Giải tích - Chương 6: Tích phân suy rộng - Phan Trung Hiếu

04/12/2017 1 LOG O Chương 6: Tích phân suy rộng GV. Phan Trung Hiếu §1. Các loại tích phân suy rộng §2. Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng 2 §1. Các loại tích phân suy rộng 3 Loại 1: ( ) ; ( ) ; ( ) . b a f x dx f x dx f x dx        Loại 2: ( ) b a f x dx trong đó vớilim ( )x c f x   [ , ].c a b 4 Ví dụ 1.1: Tích phân nào sau đây là tích phân suy rộng? Nếu là tích phân suy rộng thì hãy cho biết nó thuộc loại nào. 2 1 1 )  a dxx 2) 1    dx b x /2 0 sin ) cos   xdx c x 1 1 )   dx d x 1 2 ) .    dx e x 5 §2. Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng 6 TH1 (Dễ tính nguyên hàm): Ta dùng giới hạn tại điểm suy rộng của tích phân xác định để tính tích phân. TH2 (Khó tính nguyên hàm): Ta dùng tiêu chuẩn so sánh với tích phân đã có kết quả hoặc tích phân dễ tính nguyên hàm. Từ đó, đưa ra kết luận tích phân hội tụ hay phân kỳ. 04/12/2017 2 7 TH1 (Dễ tính nguyên hàm của f(x)): Phương pháp: -Chú ý những điểm suy rộng: , điểm  [ , ]c a b mà lim ( ) . x c f x    -Dùng giới hạn tại điểm suy rộng của tích phân xác định để tính tích phân. 8 Chú ý 2.1:  ( ) lim ( ) b b a a f x dx f x dx      ( ) lim ( ) b b a a f x dx f x dx      ( ) ( ) ( ) ,      c c f x dx f x dx f x dx c      ( ) ( ) ( ) , (0, )        b a a b f x dx f x dx f x dx b   tùy ý tùy ý 9  Điểm suy rộng tại a  lim ( ) x a f x    ( ) lim ( ) b b t a t f x dx f x dx    a  Điểm suy rộng tại b  lim ( ) x b f x    ( ) lim ( ) t t b a a f x dx f x dx    b  Điểm suy rộng tại a và b ( ) ( ) ( ) , ( , ) c b a c f x dx f x dx f x dx c a b     b a 10 -Trong công thức ,,, nếu giới hạn tồn tại hữu hạn thì kết luận tích phân hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ. -Trong công thức ,,, nếu cả 2 tích phân (bên phải) hội tụ thì kết luận tích phân hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ.  Điểm suy rộng tại ( , )a bc ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx f x dx f x dx    c c 11 Định lí 2.2: a) ( ) a f x dx   hội tụ và ( ) a g x dx   hội tụ  ( ) ( ) a f x g x dx    hội tụ và  ( ) ( ) ( ) ( ) . a a a f x g x dx f x dx g x dx         b) ( ) a f x dx   hội tụ và k là một hằng số . ( ) a k f x dx    hội tụ và . ( ) . ( ) a a k f x dx k f x dx     12 Ví dụ 2.1: Khảo sát sự hội tụ và tính các tích phân sau (trong trường hợp hội tụ) 2 1 ) dx a x   0 ) xb e dx   0 ) xd xe dx    2) 1    dx f x 1 2 0 ) 1  dx g x 1 1 ) 1   x x e dx i e /2 0 sin ) 1 cos   xdx h x 1 ln ) x c dx x   2 2 2 ) 4   dx j x 2 2 ) 1    xdx e x 04/12/2017 3 13 TH2 (Khó tính nguyên hàm của f(x)): Phương pháp: -Chú ý những điểm suy rộng: , điểm  [ , ]c a b mà lim ( ) . x c f x    -Dùng tiêu chuẩn so sánh với tích phân đã có kết quả hoặc tích phân dễ tính nguyên hàm. 14 Định lí 2.2: f(x), g(x) dương trên và khả tích trên mọi đoạn [a,b], [ , )a  Xét ( ) lim . ( )  x f x k g xi) 0 :k   ( ) , ( ) a a f x dx g x dx     cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. ii) 0 :k  ( ) a g x dx   hội tụ ( ) a f x dx    hội tụ. ( ) a f x dx   phân kỳ ( ) a g x dx    phân kỳ. iii) :k   ( ) a f x dx   hội tụ ( ) a g x dx    hội tụ. ( ) a g x dx   phân kỳ ( ) a f x dx    phân kỳ. .b a 15 Hệ quả 2.3: f(x), g(x) dương, liên tục trên và thì [ , )a  ( ) ( )f x g x khi x   ( ) a f x dx   cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. ( ) a g x dx  và Định lý và Hệ quả trên tương tự cho trường hợp trên [ , ), ( , ]a b a b 16 Chú ý 2.4:  Với , ta có0 a   1   n a dx x hội tụ phân kỳ 1 n 1 n  Với , ta có0 b   0 1  b n dx x hội tụ phân kỳ 1 n 1 n 17  Với , ta có  a b 1 ( ) b n a dx b x hội tụ phân kỳ 1 n 1 n  Với , ta có  a b 1 ( ) b n a dx x a hội tụ phân kỳ 1 n 1 n 18 Ví dụ 2.2: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân 3 1 ) 1 dx a x x    5 1 2 ) 1 xdx b x x     33 1 ( 5) ) 1 x dx c x x     1 3/2 0 ln(1 ) ) x dx e x   1 0 ) sin dx f x 3 0 ) dx d x   04/12/2017 4 19 Ví dụ 2.3: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân 2 2 0 )   x x a dx e 2 3 1 5ln ) 2 1      x x x b dx x x 2 11 0 )  xc xe dx 1 0 ln )  x d dx x 2 2 1 ) 1  dx e x 1 3 2 53 0 ) (1 )  x dx f x 20 Định lí 2.5: 0 ( ) ( )f x g x  với mọi x trên [ , ) [ , ), lim ( ) ( , ], lim ( )               x b x a a a b f x a b f x Khi đó: ( ) b a g x dxi) hội tụ ( ) b a f x dx  hội tụ. ( ) b a f x dxii) phân kỳ ( ) b a g x dx  phân kỳ. 21 Chú ý 2.6:  , ta có  ta có  ta có  ta có  ta có 2 1.x x x  1x  1,x  ln .xx x e  Ví dụ 2.4: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân 2 1 ) xa e dx    1 1 0 ) xe dx b x   0,x  1.xe  ,x e  ln 1.x  6 4 3 ln ) ( 3) x c dx x  2,x  ln(1 ) 1.x  22 Chú ý 2.7: Trường hợp hàm f(x) đổi dấu Phương pháp: Lấy trị tuyệt đối và đánh giá theo Định lý sau Tích phân suy rộng của hội tụ ( )f x  Tích phân suy rộng của hội tụ. ( )f x Khi đó, ta nói tích phân suy rộng của f(x) hội tụ tuyệt đối. Chú ý kết quả: sin 1; cos 1, .X X X    Ví dụ 2.5: Khảo sát sự hội tụ của tích phân 3 1 sin x dx x  