Giải tích - Chương 3: Hàm khả vi - Phan Trung Hiếu

01/10/2017 1 LOGO Chương 3:Hàm khả vi GV. Phan Trung Hiếu §1. Khái niệm§2. Đạo hàm cấp cao §3. Công thức Taylor §4. Ứng dụng 2 §1. Khái niệm 3 I. Đạo hàm cấp một:Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định trênkhoảng mở chứa x0. Đạo hàm (cấp một) củahàm số f(x) tại x0, ký hiệu , đượctính bởi 0 00 0 ( ) ( )( ) limx x f x f xf x x x    0 0( ) ( )y x f x  nếu giới hạn tồn tại hữu hạn.Chú ý 1.2. Nếu tồn tại thì f(x) đượcgọi là khả vi tại x0. 0( )f x  4 Trong định nghĩa trên, nếu đặt 0 :x x x   Số gia của biến số tại x0. 0( ) ( )y f x f x   : Số gia của hàm số tại x0.0 0( ) ( )f x x f x   Khi đó 0 00 0 0 0 0 0 ( ) ( )( ) lim lim ( ) ( )lim x x h y f x x f xf x x xf x h f x h              5 Ví dụ 1.1: Tìm đạo hàm của hàm số 2ln(1 ) khi 0( ) 0 khi 0 x xf x x x     tại 0 0.x Định nghĩa 1.3 (Đạo hàm bên trái) 0 00 0 ( ) ( )( ) limx x f x f xf x x x     Định nghĩa 1.4 (Đạo hàm bên phải) 0 00 0 ( ) ( )( ) limx x f x f xf x x x     6 Định lý 1.5 0 0 0( ) ( ) ( )f x L f x f x L        Định lý 1.6.f(x) có đạo hàm tại x0 f(x) liên tục tại x0. Ví dụ 1.2: Xét sự tồn tại đạo hàm của hàm số ( )f x xtại 0 0.x  01/10/2017 2 7 Ví dụ 1.4: Tìm a, b để hàm số 23 5 khi 1( ) khi 1         x xf x ax b x có đạo hàm tại Ví dụ 1.3: Tìm m để hàm số 2( ) khi 0( ) khi 0      xe x x xf x m x khả vi tại 0 0.x  0 1.x   II. Các công thức và quy tắc tính đạo hàm: 8 2.1. Các công thức tính đạo hàm: Xem Bảng 2. 2 ( . ) . ( ) ( . ) . . . . k u k u u v u v u v u v u v u u v u v v v                  2.3. Đạo hàm của hàm số hợp:Xét hàm số hợp f(x)=y[u(x)]. Khi đó ( ) .u xy x y u   2.2. Quy tắc tính đạo hàm: Với , ta có ( ), ( )u u x v v x  9 Ví dụ 1.5: Tính đạo hàm của các hàm số sau a) arctany x b) 2(arcsin )y x c) 11   xy x d) 2arctan ln 1  x x xy e e e e) 32( 1)  xy x f) 2 3 3(1 ) 2 3   y x x x III. Vi phân cấp một: 10 Vi phân (cấp một) của hàm số f(x) là ( ) ( )df x f x dx dy y dxhay Ví dụ 1.6. Tìm vi phân của hàm số 2 .xy e 11 Định lý 2.3. Nếu u, v là các hàm khả vi thì 1) ( ) .d u v du dv   2) ( . ) . .d k u k du 3) ( . ) .d u v vdu udv  24) . u vdu udvd v v      IV. Ứng dụng của vi phân: 12 Dùng vi phân, ta có thể tính gần đúng giá trị của hàm số.Ta có giá trị của hàm số tại x gần x0 là Để áp dụng công thức trên ta cần chỉ ra dạng hàm f(x),điểm x0 và số gia đủ nhỏ. 0 0 0( ) ( ) ( ).    f x x f x f x x x Ví dụ 1.7. Tính gần đúng giá trị của 3 2,0001. 01/10/2017 3 13 §2. Đạo hàm cấp cao I. Đạo hàm cấp cao: 14 Định nghĩa 1.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm cấpmột thì đạo hàm cấp hai của hàm số y=f(x)là Tương tự, ta có đạo hàm cấp n của f(x) là y  ( ) ( )y f x f x     ( ) ( ) ( 1)( ) ( )n n ny f x f x      Ví dụ 2.1. Tính đạo hàm cấp một, cấp hai, cấpba, cấp bốn, cấp n của hàm số , .kxy e k const  15 Định lý 1.2 (Công thức Leibniz). Giả sử u vàv có đạo hàm đến cấp n. Khi đó ( ) ( ) ( ) 0 ( . ) nn k k n knku v C u v    Ví dụ 2.4. Tính của hàm số 2 2 .xy x e (20)y Ví dụ 2.2. Cho hàm số Chứngminh sin .y x x2( sin ) 0.    xy y x xyVí dụ 2.3. Cho hàm số . Chứngminh 22 y x x3 1 0.  y y II. Vi phân cấp cao: 16 Định nghĩa 2.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm đếncấp n thì vi phân cấp n của hàm số y=f(x) là 1 ( )n n n nd y d d y y dx  17 §3. Công thức Taylor I. Công thức khai triển Taylor: 18 Định lý 1.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm đến cấp n+1trên khoảng mở chứa x0. Khi đó, công thức Taylor(khai triển Taylor) cấp n của f(x) tại x0 là ( )20 0 00 0 0 0 ( 1) 10 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )1! 2! ! ( ) ( )( 1)! n n n n f x f x f xf x f x x x x x x xn f x xn              c trong đó c là một số nằm giữa x và x0.( 1) 10( )( ) ( ) :( 1)! n nn fR x x xn    c Phần dư Lagrange bậc n. 0( ) ( ) :nnR x o x x  Phần dư Peano bậc n. 01/10/2017 4 II. Công thức khai triển Maclaurin: 19 Là khai triển Taylor của hàm f(x) tại điểm 0 0 :x  ( ) ( 1)2 1(0) (0) (0) ( )( ) (0) ...1! 2! ! ( 1)! n nn nf f f ff x f x x x xn n          c hay ( )2(0) (0) (0)( ) (0) ... ( )1! 2! ! n n nf f ff x f x x x o xn        III. Khai triển Maclaurin của một số hàm sơ cấp: 20 Xem Bảng 3. Cách tìm khai triển Maclaurin đến cấp n: Cách 1: Tính rồi thế vào công thức.( )(0), (0),..., (0)nf f f Cách 2: Dựa vào các khai triển có sẵn ở Bảng 3 và đổibiến. Chú ý: đặt sao choCách tìm khai triển Taylor đến cấp n tại x = x0 : ( )w g x Cách 1: Tính rồi thế vào công thức( )0 0 0( ), ( ),..., ( )nf x f x f xCách 2: Dựa vào các khai triển có sẵn ở Bảng 3 và đổibiến. Chú ý: đặt 0.w x x  0 0.x w   21 Ví dụ 3.1. Tính đạo hàm cấp n của hàm số 2 1( ) .2 8  f x x x Từ đó, suy ra khai triển Maclaurin của hàm số f(x) đếncấp n. 22 Ví dụ 3.3. Tìm khai triển Taylor của các hàm số sauđến cấp 3. ) ( ) xa f x e Ví dụ 3.2. Tìm khai triển Maclaurin của các hàm sốsau đến số hạng chứa 2) ( ) xa f x e 4x 2) ( ) cosb f x x 1) ( ) 3c f x x  ) ( ) ln(1 3 )d f x x  tại 0 2.x 1) ( )b f x x tại 0 3.x  23 §4. Ứng dụng I. Quy tắc L’Hospital: 24 Định lý 4.1. Giả sử các hàm f và g khả vi tronglân cận nào đó của x0 (hoặc có thể trừ x0). Nếui) hay và tồn tại thì 0 0 lim ( ) lim ( ) 0x x x xf x g x   0 0 lim ( ) lim ( )x x x xf x g x    0 ( )lim ( )x x f x g x  0 0 ( ) ( )lim lim( ) ( )x x x x f x f x g x g x    01/10/2017 5 25 Chú ý 4.2. Khi tính giới hạn hàm số, quy tắcL’Hospital chỉ dùng để khử dạng vô định  Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospitalnhiều lần. 0 0 hoặc .  II. Áp dụng quy tắc L’Hospital để tính giới hạn: 26 Dạng 00 Ví dụ 4.1. Tính các giới hạn sau 0 sin) limx xc x 2 3 22 5 6)lim 2x x xa x x x     2 20 2 4)lim 9 3x xb x     30 1)lim xx ed x  30 sin)limx x xe x  2 20 ln(cos )) lim arctan 2x xf x x  27 Dạng  Ví dụ 4.2. Tính các giới hạn sau 2 2 3 2) lim 1x x xa x  2) lim 3xx x xb e  2 3 ln) limx xc x 2) lim 1x xd x  28 Dạng 0. Ta đưa về dạng 00 hoặc . 1 1 . (0. ) g f f f g g    Ví dụ 4.3. Tính các giới hạn sau 0) lim .lnxa x x 2 ) lim .tan2xb x x       Chú ý: 29 Dạng   Ta đưa về dạng 00 hoặc .  1 1 1 1. ff g ff g g g f g g f                    Chú ý: 30 Ví dụ 4.4. Tính các giới hạn sau 2) lim ( )xxb e x 1 1 1)lim ln 1xa x x     0 1 1 1)lim t an2 sinxc x x x     01/10/2017 6 31 Dạng 0 00 , , 1 Giới hạn có dạng , trong đó   0 ( )lim ( ) g xx x f x ( ) 0f x trong lân cận của x0.Xem lại phương pháp giải ở Chương 1. Ví dụ 4.5. Tính các giới hạn sau 0) lim xxa x tan 0 1) lim xxb x     III. Bài toán tìm max-min: 32 Bước 1: Tìm công thức tính đối tượng cần đạtmax-min theo các biến.Bước 2: Tìm biểu thức liên hệ giữa các biến(nếu có), sau đó quy về ít biến hơn. Bước 3: Tìm điều kiện chặt cho biến (nếu được) Bước 4: Tìm giá trị của biến để đối tượng đạtmax-min bằng cách dùng bất đẳng thức hoặc lậpbảng biến thiên. 33 Ví dụ 4.6. Một đoàn tàu chuyển động khởihành từ một nhà ga. Biết quãng đường đi đượccủa đoàn tàu là một hàm số theo thời gian 3 2( ) 3 9 35    y f t t t t Tính vận tốc lớn nhất đạt được trong thời giantừ khi khởi hành đến 5 giờ sau đó, biết đơn vịvận tốc là km/h. 34 Ví dụ 4.7. Một công ty muốn làm một đường ống dẫntừ một điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hònđảo. Hòn đảo cách bờ biển 6 km. Giá để xây đường ốngtrên bờ là 50.000 USD mỗi km và 130.000 USD mỗikm để xây dưới nước. Gọi B’ là điểm trên bờ biển saocho BB’ vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đếnB’ là 9 km. Vị trí C trên đoạn AB’ sao cho khi nối ốngtheo ACB thì số tiền ít nhất. Khi đó C cách A một đoạnbằng bao nhiêu? 7 BẢNG 2. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP STT Đạo hàm Đạo hàm của hàm hợp, với u=u(x) 1 ( ) 0C   ( )C const 2 1( ) .x x    1( ) . .u u u    ( )const  3 21 1x x       2 1 u u u       4 1( ) 2x x  ( ) 2 uu u   5 ( ) .ln , ( : x xa a a a hằng > 0) ( ) .(ln ).u ua a a u  6 ( )x xe e  ( ) .u ue e u  7 1(log ) , (0 1).ln   a x ax a (log ) .lna uu u a   8 1(ln )x x  (ln ) uu u   9 (sin ) cosx x  (sin ) (cos ).u u u  10 (cos ) sinx x   (cos ) (sin ).u u u   11 221(tan ) 1 tancosx xx    22(tan ) (1 tan ).cosuu u uu     12 221(cot ) (1 cot )sinx xx      22(cot ) (1 cot ).sinuu u uu      13 21(arcsin ) 1x x   2(arcsin ) 1 uu u    14 21(arccos ) 1x x    2(arccos ) 1 uu u    15 21(arc tan ) 1x x   2(arc tan ) 1 uu u    16 21(arccot ) 1x x    2(arccot ) 1 uu u    8 BẢNG 3. KHAI TRIỂN MACLAURIN CỦA MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP STT Công thức 1 2 3 0 ( ) 1 ... ( )! 2! 3! ! k nnx n n k x x x xe o x x o xk n         2 2 3 0 1 ( 1) ( ) 1 ... ( 1) ( )1 n k k n n n n k x o x x x x x o xx             3 2 3 0 1 ( ) 1 ... ( )1 n k n n n k x o x x x x x o xx           4 2 1 3 5 7 2 12 2 2 2 0 sin ( 1) ( ) ... ( 1) ( )(2 1)! 3! 5! 7! (2 1)! k nn k n n n k x x x x xx o x x o xk n                 5 2 2 4 6 22 1 2 1 0 cos ( 1) ( ) 1 ... ( 1) ( )(2 )! 2! 4! 6! (2 )! k nn k n n n k x x x x xx o x o xk n            6 2 3 41 1 1 ln(1 ) ( 1) ( ) ... ( 1) ( )2 3 4 k nn k n n n k x x x x xx o x x o xk n             7 2 3 4 1 ln(1 ) ( ) ... ( )2 3 4 k nn n n k x x x x xx o x x o xk n           