Giải tích - Chương 1: Giới hạn - Phan Trung Hiếu

9/10/2017 1 LOGO GIẢI TÍCH GV. Phan Trung Hiếu 60 tiết 2 Kiểm tra, đánh giá kết quả: -Điểm chuyên cần (hệ số 0.1):Dự lớp đầy đủ: 10 điểm.Vắng 1 ngày hoặc đi trễ 2 ngày: trừ 1điểm.Chỉ được vắng 1 ngày cĩ phép.-Bài kiểm tra giữa kì (hệ số 0.3):Tự luận, khơng được sử dụng tài liệu.-Bài kiểm tra cuối kì (hệ số 0.6):Tự luận, khơng được sử dụng tài liệu. Điểm cộng, trừ giờ bài tập: 3 -Điểm cộng vào bài kiểm giữa kỳ:1 lần xung phong lên bảng làm đúng 1câu:+0,5 điểm (nếu làm sai thì khơngtrừ điểm).Chỉ được cộng tối đa 2 điểm. Điểm cộng, trừ giờ bài tập: 4 -Điểm trừ vào bài kiểm giữa kỳ:Khi SV đã được +2 điểm mà vẫn tự ý lên làmbài: -0,5 điểm/lần.Khi khơng cĩ SV xung phong lên làm thì GVsẽ gọi 1 SV lên làm theo danh sách thứ tự từtrên xuống:-Nếu SV làm đúng thì +0,5 điểm/lần,-Nếu làm sai hoặc khơng biết làm thì -0,5điểm/lần. Tải bài giảng và xem thơng tin mơn học: 5 sites.google.com/site/sgupth 6 Nội dung: Chương 1: Giới hạn.Chương 2: Hàm liên tục.Chương 3: Hàm khả vi.Chương 4: Nguyên hàm.Chương 5: Tích phân xác định.Chương 6: Tích phân suy rộng.Chương 7: Lý thuyết chuỗi. 9/10/2017 2 7 Tài liệu học tập: [1] Bài giảng trên lớp.[2] Nguyễn Đình Trí, Tốn cao cấp tập 2Phép tính giải tích hàm một biến, NXB Giáodục.[3] Nguyễn Đình Trí, Bài tập Tốn cao cấp(tập 2), NXB Giáo dục.Các tài liệu tham khảo khác. 8 Dụng cụ hỗ trợ học tập: Máy tính FX 500MS, FX 570MS, FX 570ES, FX 570ES Plus. LOGO Chương 1:Giới hạn GV. Phan Trung Hiếu §1. Giới hạn của dãy số §2. Giới hạn của hàm số §3. Phương pháp tính giới hạn của hàm số 10 §1. Giới hạn của dãy số 11 I. Các định nghĩa về dãy số thực:Định nghĩa 1.1. Dãy số thực (dãy số) là ánh xạ *: ( ) .n f n f n x      Kí hiệu: 1 2{ } { , ,..., ,...},n nx x x x trong đĩ: 1 2, ,..., ,...nx x x là các số hạng, nx là số hạng tổng quát của dãy số.Nhận xét 1.2. Dãy số hồn tồn xác định khibiết số hạng tổng quát của nĩ. 12 Ví dụ 1.1: Dãy số , với{ }nx 1 .1nx n Khi đĩ 1 1 ,2x  2 1 ,3x  3 1 ,...4x  Ví dụ 1.2: Dãy số , với{ }nx 1 .!nx n n Khi đĩ 3 1 ,3x  4 1 ,20x  5 1 ,...115x  9/10/2017 3 13 Ví dụ 1.3: Dãy số , với{ }nx 1 2 3 ... .nx n    Khi đĩ 1 1,x  2 1 2 3,x    3 1 2 3 6,...x     14 Ví dụ 1.4: Dãy số , với{ }nx 2 2 2 1 1 11 1 ... 12 3nx n                Khi đĩ 2 2 1 31 ,2 4x    3 2 2 1 1 21 1 ,...2 3 3x           15 Ví dụ 1.5: Dãy số , với{ }nx 1 1 1 2n n x x x   Khi đĩ 1 1,x  2 1 2 1,x x    3 2 2 3,...x x    16 Định nghĩa 1.3 *1, .n nx x n   ▪ Dãy số {xn} được gọi là dãy tăng nếu *1, .n nx x n   ▪ Dãy số {xn} được gọi là dãy giảm nếu ▪ Một dãy số tăng (hay giảm) được gọi là dãyđơn điệu. 17 Ví dụ 1.6: 2nx na) Dãy số {xn}, với là dãy tăng. b) Dãy số {xn}, với là dãy giảm.1nx n c) Dãy số {xn}, với là dãy khơng tăng, khơng giảm (khơng đơn điệu).( 1) nnx   18 Định nghĩa 1.4 *: , .nM x M n      ▪ Dãy số {xn} được gọi là bị chặn trên nếu ▪ Dãy số {xn} được gọi là bị chặn nếu {xn} bịchặn trên và bị chặn dưới. *: , .nm x m n      ▪ Dãy số {xn} được gọi là bị chặn dưới nếu  Nhận xét 1.5. Dãy số {xn} được gọi là bị chặn nếu *0 : , .nM x M n     9/10/2017 4 19 Ví dụ 1.7: a) Dãy số {xn}, với là dãy bị chặn dưới bởi số 0 và bị chặn trên bởi số 1.b) Dãy số {xn}, với là dãy bị chặn dướibởi số 1, nhưng khơng bị chặn trên, nĩ khơng bị chặn. 1 nx n c) Dãy số {xn}, với là dãy bị chặn vì ( 1) sin nnx n  2nx n *1, .nx n  d) Dãy số {xn}, với là dãy khơng bị chặn trên và cũng khơng bị chặn dưới. 1( )nnx n   20 Định nghĩa 1.6 Số được gọi là giới hạn của dãy số {xn} nếua 0 00, : , .nn x a n n         Ký hiệu haylim nn x a  .nnx aChú ý 1.7: -Nếu a là một con số hữu hạn thì ta nĩi dãy {xn}hội tụ đến a.-Nếu a khơng tồn tại hoặc thì ta nĩi dãy{xn} phân kỳ. a   21 Ví dụ 1.8: a) 1lim 1.n n n   b) 1lim 2 1n nn   c) 1lim 2nn  d) ( 1)lim 2 n n n      e) lim( 1)nn  khơng tồn tại. 1 .2 0. 2. 22 Một số kết quả giới hạn cần nhớ: 1) lim ( ).n k k k   12) lim 0, 0.n n     13) lim 0, 1.nn     0 khi 1,4) lim khi 1.nn aa a     23 5) lim 1, 0.nn a a    17) lim 1 .nn en     6) lim 1.nn n  8) lim lim( ) 0.n nn nx a x a     9) lim 0 lim 0.n nn nx x    24 II. Các phép tốn về giới hạn của dãy số: Định lý 2.1 ▪Nếu một dãy số cĩ giới hạn thì giới hạn đĩ làduy nhất.▪Nếu một dãy số hội tụ thì nĩ bị chặn.▪Nếu một dãy số tăng và bị chặn trên thì nĩ hộitụ.▪ Nếu một dãy số giảm và bị chặn dưới thì nĩ hộitụ. 9/10/2017 5 25 Định lý 2.2. Nếu các dãy số {xn} và {yn} đều cĩ giới hạn thì ) lim( ) lim limn n n nn n ni x y x y     ) lim( . ) lim .limn n n nn n nii x y x y   lim) lim (lim 0).lim nn n nn nn nn xxiii yy y    26 Định lý 2.3 (Định lý kẹp): Cho 3 dãy số {xn}, {yn}, {zn}. Nếu *, , lim limn n nn nn n y x z n y z a          thì lim .nn x a  27 Chú ý 2.4:1) Một vài quy tắc với : ( ) ( ) ,a a      ( ) ( ) ,a a      , 0,.( ) ( ). , 0, aa a a         , 0,.( ) ( ). , 0. aa a a        28 ( ) ( ) ,     ( ).( ) ( ).( ) ,      ( ) ( ) ,    ( ).( ) ( ).( ) .        ta cĩ*,n  ( ) ,n      nếu chẵn,( ) nếu lẻ. n n n  0.a  29 :0 a   a > 0 và mẫu > 0a 0 và mẫu 0 ,,, .  30 2) Trong tính tốn về giới hạn, cĩ khi ta gặpcác dạng sau đây gọi là dạng vơ định: Khi đĩ, ta khơng thể dùng định lý 2.2, mà phảidùng các phép biến đổi để khử các dạng vơđịnh đĩ. 0 , , 0. , .0     9/10/2017 6 31 Dạng , trong đĩ P(n) và Q(n) là hai đa thức theo n: ( )lim ( )n P n Q n Đưa làm thừa số chung. Ví dụ 1.9: Tính 2 15 1) lim .2 1n na n  2 2 12 1) lim .3 1n n nb n   22 1) lim .3 2n nc n  maxn 32 Dạng cĩ chứa các lũy thừalimn TuMau Đặt làm thừa số chung, với c cĩ trị tuyệtđối lớn nhất. nc Ví dụ 1.10: Tính 3 5.4) lim .4 2 n n n nna   , ,... :n na b 10 4 1 3) lim .3 7 n nnb     33 Dạng , trong đĩ xn là biểu thức cĩ chứa n dưới dấu căn: lim nn x Đưa ra ngồi dấu căn.Nếu gặp vơ định thì ta phải nhân và chia chobiểu thức liên hợp. Ví dụ 1.11: Tính 24 2) lim .3n n n na n   4 2 3 4 2 3) lim .2n n n nb n n n     2) lim 3 1 .nc n n n     3 3) lim 4 .nd n n   maxn 34 Ví dụ 1.12: Tìm với 1 1 1 1) ... .1.2 2.3 3.4 .( 1)na x n n      Dạng , trong đĩlim nn x 1 1 hay :nnn k n kk kx u x u   Thu gọn xn , sau đĩ tìm lim .nn xlim ,nn x 2 2 2 1 1 1) 1 1 ... 1 .2 3nb x n                35 Dạng , trong đĩ xn cĩ dạng truy hồi:lim nn x-Bước 1: C/m dãy số cĩ giới hạn hữu hạn(dùng Định lý: tăng+bị chặn trên hoặcgiảm+bị chặn dưới).-Bước 2: Gọi , đưavề phương trình theo x và giải tìm x. Chú ýđiều kiện cho x. Ví dụ 1.13: Tìm với xn được xác định bởi 1 1 5, 4 .n n x x x    1lim limn nn nx x x x    lim ,nn x 36 Dạng , trong đĩ xn cĩ lượng giác:lim nn x-Dùng Định lý kẹp và chú ý: Ví dụ 1.14: Tính 1lim sin .n nn    lim 0 lim 0.n nn nx x    9/10/2017 7 37 §2. Giới hạn của hàm số I. Hàm số: 38 Một hàm số f xác định trên một tập hợp làmột quy tắc đặt tương ứng mỗi số với một sốthực y xác định duy nhất D: tập xác định (TXĐ) của hàm số f.x: biến độc lập (biến số).y: biến phụ thuộc (hàm).f(x): giá trị của hàm số f tại x. : ( )     f D x y f x  Dx D ( ) { ( ), }:    f D y y f x x D Tập giá trị (TGT) của hàm số f. 39 Chú ý 1.1:-Nếu cho hàm số y=f(x) mà khơng nĩi gì vềTXĐ của hàm số thì TXĐ của nĩ là tập hợpnhững điểm x sao cho biểu thức f(x) cĩ nghĩa.-TGT của hàm số y=f(x) là tập hợp các giá trịy để pt y=f(x) cĩ nghiệm Ví dụ 2.1: Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số 2 2 ) 1. ) 1 . a y x b y x     .x D II. Các hàm số cơ bản: 40 Hàm lũy thừa: ( ).y x   Hàm mũ: (0 1).xy a a   Hàm logarit: log (0 1).ay x a  Hàm lượng giác:sin , cos , tan , cot .   y x y x y x y xHàm lượng giác ngược:arcsin , arccos , arctan , arccot   y x y x y x y x Hàm hằng: .y C2.1. Các hàm số sơ cấp cơ bản: 41 2.2. Các hàm số sơ cấp: là những hàm số được tạothành bởi một số hữu hạn các phép tốn cộng, trừ,nhân, chia các hàm số sơ cấp cơ bản.Ví dụ 2.2: Ta thường gặp các dạng hàm số sơ cấpsau 11 0... .n nn ny a x a x a    Hàm đa thức (hàm nguyên): Hàm phân thức (hàm hữu tỷ):  ( ) ( ) P xy Q x P(x) và Q(x) là các đa thức. 42 Định nghĩa 2.3:▪Hàm số y=f(x) được gọi là hàm chẵn nếu ▪Hàm số y=f(x) được gọi là hàm lẻ nếu( ) ( ), .f x f x x D   ( ) ( ), .f x f x x D     Định nghĩa 2.4. Giả sử y=f(u) là hàm số củabiến số u, đồng thời u=g(x) là hàm số của biếnsố x. Khi đĩ, y=f(u)=f(g(x)) là hàm số hợp củabiến số x thơng qua biến số trung gian u. Kýhiệu  ( )( ) ( ) .f g x f g x 9/10/2017 8 43 Ví dụ 2.3: Cho Khi đĩ, hàm số hợp 2 ( ) sin , ( ) 4 5. y f u u u g x x x       2( )( ) ( ( )) sin( 4 5).y f g x f g x x x     III. Định nghĩa về giới hạn của hàm số: 44 Định nghĩa 3.1. Cho hàm số f(x) xác định trên tậpD và hoặc Ta nĩi hàm số f(x) cĩgiới hạn là L khi (L, x0 hữu hạn),ký hiệu là 0x D 0 .x D 0x x 0 lim ( )x x f x L  00, 0 : , 0 ( ) .x D x x f x L               45 lim ( )x f x L 0, 0 : , ( ) .M x D x M f x L           lim ( )x f x L 0, 0 : , ( ) .m x D x m f x L           0 lim ( )x x f x   00, 0 : ,0 ( ) .M x D x x f x M            0 lim ( )x x f x   00, 0 : ,0 ( ) .M x D x x f x M             Ngồi ra, ta cịn cĩ các định nghĩa giới hạn mở rộngsau 46 lim ( )x f x  0, 0 : , ( ) .P M x D x M f x P         lim ( )x f x  0, 0 : , ( ) .P M x D x M f x P          lim ( )x f x  0, 0 : , ( ) .P M x D x M f x P          lim ( )x f x  0, 0 : , ( ) .P M x D x M f x P           47 Định nghĩa 3.2▪ Nếu f(x) cĩ giới hạn là L (L cĩ thể là ) khi(x0 hữu hạn) và thì ta nĩi f(x) cĩgiới hạn bên phải tại x0. Ký hiệu ▪ Nếu f(x) cĩ giới hạn là L (L cĩ thể là ) khi(x0 hữu hạn) và thì ta nĩi f(x) cĩgiới hạn bên trái tại x0. Ký hiệu 0x x 0x x 0 lim ( ) .x x f x L    0x x 0x x 0 lim ( ) .x x f x L  48 Chú ý: 0 0 0 lim ( ) lim ( ) lim ( ) .x x x x x xf x L f x f x L        và và  0 0.x x x x   0 0x x x x   0.x x 0 0x x x x   0.x x 0 0 0 1 2 1 2 lim ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x f x L f x L f x L L          khơng tồn tại. 9/10/2017 9 IV. Giới hạn của các hàm số sơ cấp cơ bản: 49 4.1. Giới hạn tại một điểm thuộc TXĐ: Giới hạn của hàm số sơ cấp tại một điểm thuộc TXĐ của nĩ được tính theo cơng thức 0x 0 0lim ( ) ( ). x x f x f xVí dụ 2.4: Tính các giới hạn sau 2 1 ) lim( 2). x a x x   0 sin 3) lim . cosx xb x  2 ) lim 2. x c x  50 Ví dụ 2.5: Cho 2 5 2 khi 1( ) 3 khi 1 x xf x x x      Tìm 11 1lim ( ), lim ( ), lim ( ).xx xf x f x f x    Ví dụ 2.6: Tìm m để hàm số sau cĩ giới hạn khi 2x  2 2 1 khi 2( ) .2 1 khi 2         x mx xf x x x x V. Một số kết quả giới hạn cần nhớ: 51 Xem Bảng 1. 4.2. Một số kết quả giới hạn của các hàm sơ cấp cơ bản: V. Một số định lý về giới hạn hàm số: 52 0 lim ( ).x x k k k  ĐL 5.1:ĐL 5.2: Giả sửKhi đĩ: 0 0lim ( ) , lim ( ) .x x x xf x A g x B     0 ) lim ( ) ( ) .x xii f x g x A B     0 ) lim ( ). ( ) . .x xiii f x g x A B  0 ( )) lim ( 0).( )x x f x Aiv Bg x B         0 0 ) lim . ( ) . lim ( ) ( ).x x x xi k f x k f x k     0 ( )) lim ( ) (0 1).g x Bx xv f x A A    53 Nếu thì 0 0 ) lim ( ) 0 lim ( ) 0.x x x xi f x f x   )ii 0 0 0 0( ) ( ) ( ), ( , ),lim ( ) lim ( )x x x x g x f x h x x x x g x h x L             0 lim ( ) .x x f x L  ĐL 5.3: ĐL 5.4: Giới hạn hàm số (nếu cĩ) là duy nhất. 54 Chú ý 5.5: Trong tính tốn về giới hạn hàmsố, cĩ khi ta gặp các dạng sau đây gọi là dạngvơ định: Khi đĩ, ta khơng thể dùng định lý 3.2, mà phảidùng các phép biến đổi để khử các dạng vơđịnh đĩ. 0 00 , , 0. , , 0 , ,1 .0       9/10/2017 10 VI. Vơ cùng bé (VCB): 55 Định nghĩa 6.1. Hàm số f(x) được gọi vơ cùngbé khi (x0 cĩ thể là vơ cùng) nếu0x x 0 lim ( ) 0.x x f x Ví dụ 2.7: 3) 3sin 2b x x 0.x ) sin , tan , 1 cosa x x x là VCB khi0.x là VCB khi) cos , cotc x x .2x là VCB khi 2 1) 2 xd x  .x là VCB khi 56 Tính chất 6.31) Tổng, hiệu, tích của hai VCB là một VCB.2) Tích của một VCB và một hàm bị chặn làmột VCB.3) Thương của hai VCB chưa chắc là mộtVCB. Định lý 6.2. 0 lim ( ) ( ) ( )    x x f x L x f x L là một VCB khi 0.x x 57 -Nếu thì ta nĩi f(x) là VCB bậc cao hơn g(x).Ký hiệu: , nghĩa là nhanh hơn g(x).0k   ( ) ( )f x o g x ( ) 0f x -Nếu thì ta nĩi f(x) là VCB bậc thấp hơn g(x).k   -Nếu thì ta nĩi f(x) và g(x) là hai VCB cùng bậc. Ký hiệu: -Đặc biệt, nếu thì ta nĩi f(x) và g(x) là hai VCB tươngđương. Ký hiệu: 0,k k   Định nghĩa 6.4 (So sánh các VCB): Cho f(x) và g(x)là hai VCB khiXét 0.x x 0 ( )lim .( )x x f x kg x  1k ( ) ( ).f x g x Ví dụ 2.8: Một số vơ cùng bé tương đương thường gặp(Xem Bảng 1).  ( ) ( ) .f x O g x VII. Vơ cùng lớn (VCL): 58 Định nghĩa 7.1. Hàm số f(x) được gọi vơ cùnglớn khi (x0 cĩ thể là vơ cùng) nếu0x x 0 lim ( ) .x x f x  Ví dụ 2.9: 0.x 1 1) , , cotsina xx x là VCL khi 2) , 2 1b x x  .x là VCL khi 59 -Nếu thì ta nĩi f(x) là VCL bậc thấp hơn g(x).Ký hiệu: , nghĩa là chậm hơn g(x).0k   ( ) ( )f x o g x ( ) f x-Nếu thì ta nĩi f(x) là VCL bậc cao hơn g(x).k   -Nếu thì ta nĩi f(x) và g(x) là hai VCL cùng bậc. Ký hiệu: -Đặc biệt, nếu thì ta nĩi f(x) và g(x) là hai VCL tươngđương. Ký hiệu: 0,k k   Định nghĩa 7.2 (So sánh các VCL): Cho f(x) và g(x)là hai VCL khiXét 0.x x 0 ( )lim .( )x x f x kg x  1k ( ) ( ).f x g x  ( ) ( ) .f x O g x 60 Tính chất 7.3: Quan hệ trong VI và VII làquan hệ tương đương, nĩ cĩ 3 tính chất sau 1) ( ) ( ).f x f x 2) ( ) ( ) ( ) ( ). f x g x g x f x ( ) ( )3) ( ) ( ).( ) ( )      f x g x f x h xg x h x ~ 9/10/2017 11 61 §3. Phương pháp tínhgiới hạn của hàm số Phương pháp tính 62 0 lim ( ) :x x f x Thế vào f(x)0x con số cụ thể biện luậnxem ? vơ định khử 0 00, , 0. , ,0 , ,1 .0      63 3.1. Khử dạng và : 00Dùng hàm tương đương dựa vào định lý sau đây  00 ( ) ( )2) lim ( ) .lim ( )       x xx x f x g x f x Lg x L 1 11 11 1 ( ). ( ) ( ). ( )( ) ( )3) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )        f x g x f x g xf x f x f xf xg x g x g x g x 4) ( ) ( ) ( ) ( )n nf x g x f x g x  nếu căn cĩ nghĩa. 0 1) lim ( ) \{0} ( ) .x x f x L f x L     64 Chú ý 3.2:Ta khơng thể viết hayngay cả khi hay vì điềunày vơ nghĩa. ( ) 0f x  ( )f x ( ) 0f x  ( )f x  1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x g x f x g x g x g x f x g x f x g x            65 Ví dụ 3.1: Cho và Tính: 1) 2) 2( ) 5f x x  2( ) 3.g x x   ( )lim .( )x f x g x  lim ( ) ( ) .x f x g x  Ví dụ 3.2: Tính các giới hạn sau 2 30 21) lim .3 x x xx x 2 2 ( 2)( 5 1)4) lim .( 2)   x x x xx x 2 3 2 33) lim 2 1x x x x x     2 22 42) lim .3 2  x xx x 66 0 sin 26) lim .x xx 20 7arctan 49) lim .1 xx x e 30 ln(1 2 )11) lim .1  xx xe 0 1 2 110) lim .t an3   x x x 20 1 cos38) lim . x xx 2 07) lim .arcsin 3x x x 20 ln(cos )12) lim .x xx 22 3 55) lim .5 1  x x xx 9/10/2017 12 67 Chú ý 3.3 (Quy tắc thay tương đương củatổng hai VCB): Cho f(x) và g(x) là hai VCBkhi sao cho Khi đĩ: 0x  ( ) , ( )m nf x ax g x bx          nếu ( ) ( ) nếu ( ) nếu , 0 m n m ax m n f x g x bx m n a b x m n a b Nếu thì ta khơng thể viết  , 0m n a b  ( ) ( ) 0.f x g x 68 Ví dụ 3.3: 2 4 2) ( ) 2 , ( ) 4 ( ) ( ) 2 .a f x x g x x f x g x x     4 4 4) ( ) 2 , ( ) 4 ( ) ( ) 2 .b f x x g x x f x g x x      Ví dụ 3.4: Tính 2 3 3 80 3sin 4sin) lim .5x x x xa x x x    30 tan sin) lim . x x xc x 3 5 0) lim .  x x x e eb x 69 Chú ý 3.4 (Quy tắc thay tương đương củatổng hai VCL): Cho f(x) và g(x) là hai VCLkhi sao cho Khi đĩ: x  ( ) , ( )m nf x ax g x bx          nếu ( ) ( ) nếu ( ) nếu , 0 m n m ax m n f x g x bx m n a b x m n a b Nếu thì ta khơng thể viết  , 0m n a b  ( ) ( ) 0.f x g x 70 Ví dụ 3.5: Tính 2 2 4 2 3lim .4x x x x x x      3.2. Khử dạng :   Phương pháp: Quy đồng hoặc nhân và chia với lượng liên hợp để đưa về dạng 0 0 .Ví dụ 3.6: Tính các giới hạn sau 22 1 4) lim .2 4     xa x x  2) lim 1 .xb x x x    hoặc 71 3.3. Dạng : 0 . 00 hoặc .biến đổi đưa về dạng 2 20 1 1) lim 1 .1xa x x     Ví dụ 3.7: Tính các giới hạn sau 3 2 1) lim ( 1) .2   x xb x x x 3.4. Dạng :   0 ( )lim ( ) g xx x f x0 00 , ,1 Giới hạn cĩ dạng Đặt   0 ( )lim ( ) g xx xa f x  0 ( )ln lim ln ( )  g xx xa f x 0 ln lim ( )ln ( ) Tính x x a g x f x b      .ba e  Ví dụ 3.8: Tính 210lim(cos ) .xx x