Giải tích - Bài 6: Đường Parabol

Bài 6. Đường Parabol 59 BÀI 6. ĐƯỜNG PARABOL I. CÁC DẠNG PARABOL VÀ ĐẶC ĐIỂM TĐX Trục thực Hình dạng Hypecbol Phương trình và các yếu tố trong Parabol O (0; 0) Ox 2 2y px= ; Tiêu điểm ( ); 02pF ∈ Ox. Tâm sai e = 1. Đường chuẩn (∆): 2 p x = − Bán kính qua tiêu điểm: ( ) 2 M pM P MF x∈ ⇔ = + O (0; 0) Ox 2 2y px= − ; Tiêu điểm ( );02pF − ∈ Ox. Tâm sai e = 1. Đường chuẩn (∆): 2 p x = Bán kính qua tiêu điểm: ( ) 2 M pM P MF x∈ ⇔ = − O (0; 0) Oy 2 2x py= ; Tiêu điểm ( )0; 2pF ∈ Oy. Tâm sai e = 1. Đường chuẩn (∆): 2 py = − Bán kính qua tiêu điểm: ( ) 2 M pM P MF y∈ ⇔ = + O (0; 0) Oy 2 2x py= − ; Tiêu điểm ( )0; 2pF − ∈ Oy. Tâm sai e = 1. Đường chuẩn (∆): 2 py = Bán kính qua tiêu điểm: ( ) 2 M p M P MF y∈ ⇔ = − S(a; b) y = b Phương trình: ( ) ( )2 2y b p x a− = − ; Tiêu điểm ( ; )2 pF a b+ ∈ (y = b) // Ox. Tâm sai e = 1. Đường chuẩn (∆): 2 p x a= − Bán kính qua tiêu điểm: ( )2 M pMF a x= − + S(a; b) x = a Phương trình: ( ) ( )2 2x a p y b− = − ; Tiêu điểm ( ; )2 pF a b + ∈ (x = a) // Oy. Tâm sai e = 1. Đường chuẩn (∆): 2 py b= − Bán kính qua tiêu điểm: ( )2 M pMF b y= − + x y X b O F S Y a F S x y X Y a b O p/2 2 p − F O (∆) x y p/2 F O (∆) x −p/2 y 2 p 2 p − F O (∆) x y 2 p 2 p − F O y (∆) x Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 60 II. XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CỦA PARABOL Bài 1. VPT chính tắc của (P) với đỉnh là gốc tọa độ O và biết:
Tiêu điểm F(4; 0)
Tiêu điểm F(0; 2)
Đường chuẩn x = 3
Đường chuẩn y = 1/2
Đi qua A(−2; 1) và nhận Oy làm trục đối xứng.
Nhận Ox làm trục ĐX và chắn trên y = x đoạn 2 2 Bài 2. Lập phương trình chính tắc của Parabol (P) đỉnh O biết (P) có:
Trục Ox, khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 2.
Trục Oy, tiêu điểm F(0; −1)
Trục Oy và (P) đi qua A(−1; 1)
Trục Ox và (P) đi qua ( )A 2; 2 2−
Đường chuẩn là 2x − 7 = 0 Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy, lập PT của Parabol (P)
Tiêu điểm F(3; 2), đường chuẩn là trục Ox.
Đỉnh S(2; 1), đường chuẩn là trục Oy.
Tiêu điểm ( )3F ; 22− , đường chuẩn là: y + 1 = 0.
Tiêu điểm O(0; 0), đường chuẩn: 3x − 4y − 10 = 0. Bài 4. Trong mặt phẳng Oxy, lập PT của Parabol (P)
Đỉnh S(−1; 1), tiêu điểm F(2; 1)
Tiêu điểm F(2; −4), đường chuẩn: y − 4 = 0
Đỉnh S(−1; 2), đường chuẩn Oy.
Đỉnh S(1; −2), đi qua O; trục cùng phương trục tọa độ.
Trục là đường x = 1, đỉnh S ∈ đường y + 1 = 0 và (P) chắn trên y = x − 2 một đoạn có đọ dài 4 2
Trục Ox, (P) chắn Oy một đoạn 2b và khoảng cách từ đỉnh đến gốc O bằng a.
Đỉnh S ∈ (D): x − 1 = 0, trục cùng phương Ox, (P) đi qua A(2; −3) và B(5; 3) Bài 6. Đường Parabol 61 Bài 5. Lập phương trình của Parabol (P) có:
Tiêu điểm là O, đường chuẩn: x − y − 2 = 0
Đỉnh S(2; 1), tiêu điểm F(3; 2)
Đỉnh S(1; 3), đường chuẩn (D): x − 2y = 0
Đỉnh O, trục Oy, tiêu điểm F, dây AB = 1 ⊥ Oy tại I là trung điểm OF. Bài 6. Trong mặt phẳng Oxy cho (P): 2 4y x=
Tìm M∈(P) có bán kính qua tiêu điểm MF = 10; yM > 0
Tìm thêm N∈(P) sao cho ∆OMN vuông tại O.
Tìm A, B ∈ (P) sao cho ∆OAB đều. Bài 7. Trong mặt phẳng Oxy cho Parabol (P): ( )2 2 0y px p= >
Tính độ dài dây MN ⊥ Ox tại tiêu điểm F.
Tìm 2 điểm A, B ∈(P) sao cho ∆OAB đều. Bài 8. VPT các cạnh của một tam giác nội tiếp Parabol (P): 2 8y x= , biết 1 đỉnh là gốc tọa độ O và trực tâm của tam giác là tiêu điểm của (P) Bài 9. Cho (P): 2 4x y− và (D): 2 4 0x y− + =
Tìm tọa độ giao điểm A, B của ( ) ( )P D∩
Tìm M trên cung AB của (P) sao cho tổng diện tích hai phần hình phẳng giới hạn bởi (P) và hai dây MA, MB là nhỏ nhất. Bài 10. Tìm điểm M∈(P): 2 64y x= sao cho khoảng cách từ M đến (D): 4 3 86 0x y+ + = nhỏ nhất. Bài 11. Cho (P): 2y x= và (D): y = mx (m ≠ 0) Đường (D) cắt (P) tại M ≠ O. Đường (D’) ⊥ (D) cắt (P) tại N ≠ O. Chứng minh rằng: Đường thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố định ∀m. Bài 12. Cho (D): 0Ax By C+ + = với 2 2 0A B+ > và (P): ( )2 2 0y px p= > . Biện luận theo A, B, C, p số giao điểm của (D) với (P). Bài 13. Cho (P): 2y x= và A(−1; 1), B(3; 9). Tìm M∈(P) sao cho diện tích ∆ABM đạt Max. Bài 14. Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có cạnh AB nằm trên (d): x − y − 8 = 0 còn 2 đỉnh C, D ∈ (P): 2y x= . Tính cạnh hình vuông ABCD. Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 62 III. TIẾP TUYẾN VÀ CÁC BÀI TOÁN ĐỊNH TÍNH CỦA PARABOL III.1. Tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc Parabol 1. M(x0, y0) ∈ (P1): 2 2y px= ⇒ (t): ( )0 0yy p x x= + 2. M(x0, y0) ∈ (P2): 2 2y px= − ⇒ (t): ( )0 0yy p x x= − + 3. M(x0, y0) ∈ (P3): 2 2x py= ⇒ (t): ( )0 0xx p y y= + 4. M(x0, y0) ∈ (P4): 2 2x py= − ⇒ (t): ( )0 0xx p y y= − + III.2. ĐK cần và đủ để (∆): 0Ax By C+ + = tiếp xúc (P) 1. (∆) tiếp xúc (P1): 2 2y px= ⇔ 2 2 .pB A C= 2. (∆) tiếp xúc (P2): 2 2y px= − ⇔ 2 2 .pB A C= − 3. (∆) tiếp xúc (P3): 2 2x py= ⇔ 2 2 .pA B C= 4. (∆) tiếp xúc (P4): 2 2x py= − ⇔ 2 2 .pA B C= − Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (P): 2 4 0y x+ = tại các giao điểm của (P) với (C): 2 2 5 2 4 0x y x y+ + + − = Bài 2. Viết PT tiếp tuyến của (P): 2 8y x= // (D): 2x − y = 0 Bài 3. Viết PT tiếp tuyến của (P): 2 2 0x y+ = với hệ số góc k = 2. Bài 4. Viết PT tiếp tuyến của (P): 2 36x y= đi qua điểm A(9; 2) Bài 5. Viết PT tiếp tuyến chung của (P): 2 12y x= và elip (E): 22 18 6 yx + = Bài 6. Viết PT tiếp tuyến chung của (P): 2 4y x= và (C): 2 2 2 3 0x y x+ − − = Bài 7. Cho (P): ( )2 2 0 0y px p+ = > . CMR: m∀ ∈ từ ,2 pA m     luôn kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 tiếp điểm và chứng minh nó đi qua một điểm cố định. Bài 8. Cho (P): 2 4y x= . Viết PT các tiếp tuyến của (P) kẻ từ điểm A (−1; 2). Chứng minh rằng 2 tiếp tuyến này vuông góc với nhau. Bài 6. Đường Parabol 63 IV. MỘT SỐ BÀI TẬP MẪU MINH HỌA Bài 1. Cho (P): 2 2y px= và M ∈(P). Đường (∆) đi qua M cắt Ox tại A, cắt tiếp tuyến tại đỉnh ở B và cắt (P) tại M, N. CMR: 2 .BA BM BN= Giải Kẻ MH và NK vuông góc Oy ⇒ BNBA BMOA MH NK= = ⇒ 2 2 . . BM BNBA MH NKOA = (1) Đặt ; ;M N Ax m x n m x a= = ≠ = ⇒ 2 22 , 2M Ny pm y pn= = . Do AM ~ ANm n∆ ∆ suy ra M N m a n a y y − − = ⇒ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 0 2 2 m a n a m n mn a pm pn − − = ⇔ − − = . Do m ≠ n ⇒ 2mn a= ⇒ 2.MH NK OA= (2). Suy ra 2 .BA BM BN= Bài 2. Cho (P): ( )2 2 0y px p= > có ;02 pF      và đường chuẩn (∆): 2 p x = − . Tiếp tuyến (D) của (P) tại M cắt Ox, Oy tại N, I. a. CMR: I là trung điểm MN; FI ⊥ (D) và điểm đối xứng của F qua (D) thuộc (∆) b. Gọi ( ) ( )K D≡ ∆∩ . Đường thẳng qua F và ⊥ Ox cắt (D) tại L. CMR: FK = FL Giải Kẻ MG ⊥ (∆) ⇒ MG = NF. Theo định lý Pascal thì  FMN FNM= ⇒ FM FN= ⇒ MFNG là hình thoi. Mà G, F cách đều Oy 1 khoảng 2 p nên tâm hình thoi I ∈ Oy
Ta có LF ⊥ Ox ⇒  IFL IGK= ⇒ ∆IFL = ∆IGK ⇒ FL = GK mà K∈(D) chính là trung trực của GF nên GK = FK ⇒ FK = FL A O x y B M N n m H K F O x y B M N p/2 I K −p/2 G L (∆) Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 64 Bài 3. Cho (P) có tiêu điểm F. Từ điểm I vẽ 2 tiếp tuyến IM, IN đến (P) a. CMR: 2 .FI FM FN= và 2 2 IM FM FNIN = b. Một tiếp tuyến (d) tuỳ ý của (P) tiếp xúc (P) tại T và cắt IM, IN tại Q, Q’ CMR: .FQ FQ FT ′ không phụ thuộc vị trí của (d) Giải Chọn hệ Oxy sao cho (D): 2 2y px= (p > 0) Theo định lý Pascal ⇒   MKMH KMF KMH KML MH ML x= ⇒ ∆ = ∆ ⇒ = = Mà 2M pMF x MH OF MF MH OF= + = + ⇒ − = FL OF⇒ = FKO KFL⇒ ∆ = ∆     90KFL KFO MKF OKF KMF⇒ = ⇒ = °⇒ = . Tương tự ta có:   và FJ IN FNJ FJO⊥ = a.  FKI FJI 90= = ° ⇒ IKFJ nội tiếp ⇒  FKJ FIJ= ,  KIF KJF= ⇒    FMI FIN , FIM FNI= = ⇒ ∆FIM ~ ∆FNI ⇒ 22 2. và FI FM IM IM FI FM FMFI FM FN FN FI IN FN FI FNIN = = ⇒ = = ⋅ = b. Coi d và d1 là 2 tiếp tuyến xuất phát từ Q, Q’ ⇒ 2 2. và .FQ FM FT FQ FN FT′= = ⇒ 2 2 2 2 2 . . . . . . FQ FQFQ FQ FM FN FT FI FT FQ FQ FI FT FI FT ′ ′ ′= = ⇒ = ⇒ = Bài 4. Cho parabol (P): ( )2 2 0y px p= > . Giả sử chùm đường thẳng ( ) luôn đi qua tiêu điểm F và luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N. CMR: Tích các khoảng cách từ M, N đến trục hoành Ox không phụ thuộc vào vị trí của (∆) Giải Xét (∆) đi qua ;0 2 pF      và cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N theo 2 khả năng: F x y M I K H L N J Bài 6. Đường Parabol 65 i ( ) : 2 p x∆ = ; ( ) ( )P∆ ∩ tại M ; , N ; 2 2 p pp p   −        ⇒ ( ) ( ) 2; . ;d M Ox d N Ox p= i ( ) : 2 py k x ∆ = −    , 0k ≠ . Tọa độ của M 1 1( , )x y , 2 2N( , )x y là nghiệm của hệ: 2 2 2 y px kpy kx  =   = −  ⇔ 2 2 2 2 2 0 y x p ky py kp  =   − − = ⇒ 2 2 1 2 kpy y pk − = = − Ta có ( ) ( ) 2 21 2 1 2, , . .d M Ox d N Ox y y y y p p= = = − = . Bài 5. Cho parabol (P) 2 2y px= . Giả sử trên (P) lấy điểm A cố định và hai điểm B, C di động có tung độ lần lượt là a, b, c sao cho AB ⊥ AC. CMR: Đường thẳng nối B, C luôn đi qua một điểm cố định. Giải Các điểm A, B, C lần lượt có tọa độ là 2 2 2 ; , ; , ; 2 2 2 a b cA a B b C c p p p                   . 2 2 ; // ; 1 2 2 b a b aAB b a u p p   − +  = −          ; 2 2 ; // ; 1 2 2 c a c aAC c a v p p   − +  = −          . Do AB ⊥ AC nên . 0AB AC =   ⇔ ( ) ( ) 2 1 04 b a c a p + + + = 24 p c a a b − ⇒ = − + (1). Đường thẳng nối B, C có phương trình ( ) ( )22 px c b c y b c c− = + − + (2) Thay (1) vào (2) ta có: 2 24 42 0p ppx b a y b a a b a b     − − − − + =    + +    ⇔ ( ) ( ) ( )2 2 2 22 4 4 0p a b x b a p y ba a b p b + − − − − + − =  (3) Giả sử họ (3) luôn đi qua điểm định ( ),I x y với mọi b. Khi đó: ( ) ( )2 2 2 2 22 4 2 4 0,b y a b px p a pax a y p y b− + + − − + + + = ∀ ⇔ 2 2 2 2 2 0 2 4 0 2 22 4 0 y a y a px p a ax p ppax a y p y + = = −   = − = ⇔  = +  + + = ⇒ điểm cố định 2 2 ; 2 aU p a p   + −    Bài 6. Giả sử hai parabol 2y ax b= + ; ( )2 0x cy d ac= + ≠ cắt nhau tại 4 điểm phân biệt. Chứng minh rằng: Các giao điểm này nằm trên một đường tròn. Giải Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 66 Giả sử 2y ax b= + ; ( )2 0x cy d ac= + ≠ cắt nhau tại ( ) ( ); 1, 4k k kM x y k = . Ta có 2 2 k k k k y ax b x cy d  = +  = + ⇔ ( ) ( ) 2 2 1 2 k k k k y bx a a x dy c c  = +   = +  . Cộng các vế của (1), (2) với nhau: 2 2 2 2 0k k k kk k k k y x x yb d b dx y x y a c a c c a a c + = + + + ⇒ − + − + + = ( ) ( )2 2 2 21 1 1 12 2 2 2k k b dx yc a a cc a⇒ − + − = + − − . Do hai parabol cắt nhau tại bốn điểm phân biệt nên 2 2 1 1 0 2 2 b d a cc a + − − > . Từ đó ( ) ( ); 1, 4k k kM x y k = nằm trên đường tròn tâm ( )1 1;2 2I c a và bán kính 2 21 12 2 b dR a cc a= + − − . Bài 7. Viết PT các cạnh tam giác nội tiếp trên parabol (P): 2 8y x= biết một đỉnh là tâm O và trực tâm là tiêu điểm của (P) HD: Trực tâm F(2; 0), Vì OF ⊥ AB ⇒ A, B đối xứng nhau qua Ox. Gọi A(x, y); B(x; −y) ⇒ OA FB⊥   ⇒ ( ) ( )10; 4 5 , 10; 4 5A B − Bài 8. Cho (P): ( )2 2 0y px p= > ; (D) đi qua tiêu điểm F của (P) cắt (P) tại M, N. Đặt ( ) [ ]O , FM 0; 2x = α pi . a. Tính FM, FN theo p, α. b. CMR: 1 1 const FM FN + = c. CMR: FM.FN nhỏ nhất khi (D) ⊥ Ox. HD: a. ; 1 cos 1 cos p pFM FN= = − α + α Bài 9. Cho (P): ( )2 2 0y px p= > . Lấy M∈(P) ≠ O. Gọi N, K là hình chiếu của M lên Ox, Oy. CMR: Đường thẳng đi qua K và ⊥ OM luôn đi qua một điểm cố định. Đường thẳng đi qua K và ⊥ NK luôn đi qua 1 điểm cố định. Đường thẳng NK luôn tiếp xúc với một parabol cố định. Bài 10. Cho (P): ( )2 4 0y ax a= > tiêu điểm F. Gọi M ∈ (P). Tiếp tuyến (d) của (P) tại M cắt Oy tại N. Đường thẳng (∆) qua M ⊥ (d); K là hình chiếu của F lên (∆). CMR: FN ⊥ MN và 2FN const FM = và K ∈ Parabol cố định.