Giải tích - Bài 5: Đường Hypecbol

Bài 5. Đường Hypecbol 51 BÀI 5. ĐƯỜNG HYPECBOL I. CÁC DẠNG HYPECBOL VÀ ĐẶC ĐIỂM Trục thực Hình dạng Hypecbol Phương trình và các yếu tố trong Hypecbol Ox 22 2 2 2 2 2 1; yx c a b a b − = = + ; Tâm sai ce a = . ( ) ( )1 2 ; 0 ; ; 0F c F c− . Tiêu cự: F1F2 = 2c. A1(−a; 0); A2(a; 0) ∈ Trục thực. A1A2 = 2a. B1(0; −b); B2(0; b) ∈ Trục ảo. B1B2 = 2b. Tiệm cận by x a = ± ; Đg chuẩn 2a ax c e =± =± , ( ) ( ) 1 2 e e MF x a MF x a  = ε +  = ε − 1 0 1 0 x x ε = > ε = − < nÕu nÕu Oy 2 2 2 2 2 2 2 1; y x c a b b a − = = + ; Tâm sai ce b= . ( ) ( )1 20 ; ; 0 ;F c F c− . Tiêu cự: F1F2 = 2c. A1(−a; 0); A2(a; 0) ∈ Trục ảo. A1A2 = 2a. B1(0; −b); B2(0; b) ∈ Trục thực. B1B2 = 2b. Tiệm cận by x a = ± ; Đg chuẩn 2b by c e =± =± ( ) ( ){ 1 2;MF ey b MF ey b= ε + = ε − với 1ε = ± y = β ( ) 22 2 2 2 2 2 ( ) 1;yx c a b a b −β −α − = = + ; Tâm sai ce a = ( ) ( )1 2 ; ; ;F c F cα − β α + β . Tiêu cự: F1F2 = 2c. ( ) ( )1 2 ; ; ;A a A aα − β α + β ∈ Trục thực. A1A2 = 2a. ( ) ( )1 2; ; ;B b B bα β − α β + ∈ Trục ảo. B1B2 = 2b. Tiệm cận ( )by x a −β = ± − α ; Đg chuẩn 2ax c = α ± x = α ( )2 2 2 2 2 2 2 ( ) 1;y x c a b b a −β −α − = = + ; Tâm sai ce b= ( ) ( )1 2; ; ;F c F cα β − α β + . Tiêu cự: F1F2 = 2c. ( ) ( )1 2 ; ; ;A a A aα − β α + β ∈ Trục ảo. A1A2 = 2a. ( ) ( )1 2; ; ;B b B bα β − α β + ∈Trục thực. B1B2 = 2b Tiệm cận ( )by x a −β= ± −α ; Đg chuẩn 2by c = β ± F1 A1 F2 B2 B1 A2 I x y O α β F1 A1 F2 B2 B1 A2 O x y O α β F1 A1 F2 B2 B1 A2 I x y F1 A1 F2 B2 B1 A2 O x y Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 52 II. XÁC ĐỊNH PHƯƠNG TRÌNH HYPECBOL THEO CÁC YẾU TỐ Bài 1. VPTCT của (H) đi qua ( )M 5 2, 2 5 và có tiêu điểm ( ) ( )1 23 5;0 ; 3 5;0F F− Bài 2. VPTCT của (H) đi qua M(2; 0) có tiêu điểm F1(−4; 0), F2(4; 0) Bài 3. VPTCT của (H) đi qua O(0; 0) có tiêu điểm F1(−2; 0), F2(0; 3) Bài 4. VPTCT của (H) đi qua M(5; −3) và có tâm sai 2e = Bài 5. VPTCT của hypecbol (H) đi qua ( ) ( )1 2M 4; 6 ;M 6;1− − Bài 6. VPTCT của hypecbol (H) đi qua ( )M 6; 2 3 biết độ dài trục thực bằng 6 Bài 7. VPTCT của hypecbol (H) đi qua ( )M 3; 3 biết độ dài trục ảo bằng 2 Bài 8. VPTCT của (H) đi qua 4 34 9M ;5 5       và M nhìn F1F2∈Ox dưới góc 2 pi Bài 9. VPTCT của (H) đi qua ( )M 4 10;9 và M nhìn F1F2∈Ox dưới góc vuông. Bài 10. VPTCT của (H) đi qua 4 5 2M ;3 3       và M nhìn F1F2∈Ox dưới góc 23 pi Bài 11. VPTCT của (H) đi qua 4 52M ;3 3   −    và M nhìn F1F2∈Oy dưới góc 3 pi Bài 12. VPTCT của (H) biết độ dài trục ảo bằng 6 và 2 tiệm cận ⊥ với nhau. Bài 13. VPTCT của (H) đi qua M(24; 5) và 2 đường tiệm cận là: 5 12 0x y± = Bài 14. VPTCT của (H) đi qua M(−2; 1) và góc tù của 2 đường tiệm cận là 120° Bài 15. VPTCT của (H) đi qua M(6; 4) và góc giữa 2 đường tiệm cận là 60°. Bài 16. Viết phương trình chính tắc của hypecbol (H) có 2 đường tiệm cận là 3 4 0x y± = và 2 đường chuẩn 5 16 0x ± = Bài 17. VPTCT của (H) có cùng hình chữ nhật cơ sở với elip (E): 2 29 16 144x y+ = Bài 18. VPTCT của hypecbol (H) có đỉnh A(1; −1) nằm trên trục thực và đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H) là (C): 2 2 2 2 7 0x y x y+ − − − = Bài 5. Đường Hypecbol 53 III. MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG GIAO CỦA HYPECBOL Bài 1. Cho (H): 22 1 4 9 yx − = . Gọi (d’) đi qua O và ⊥ (d): y = kx a. Tìm điều kiện của k để (d) và (d’) đều cắt (H). b. Tính diện tích hình thoi với 4 đỉnh là 4 giao điểm của (d), (d’) và (H). c. Xác định k để hình thoi ấy có diện tích nhỏ nhất. Giải a. Ta có: (d): y = kx và ( ) 1:d y xk − ′ = . Ta có (d) cắt (H) khi và chỉ khi 2 2 2 1 4 9 x k x − = ⇔ ( )2 29 4 36k x− = có nghiệm 29 4 0k⇔ − > (d’) cắt (H) khi và chỉ khi 2 2 2 14 9 x x k − = 2 2 49 36x k  ⇔ − =    có nghiệm Yêu cầu bài toán ⇔ 2 2 49 4 0,9 0k k − > − > ⇔ 2 9 34 29 4 3 2k k< < ⇔ < < b. Với 323 2k< < thì (d): y = kx cắt (H) tại 2 điểm A, C phân biệt với các tọa độ là 2 2 2 36 9 4A C x x k = = − ; 2 2 2 2 36 9 4A C ky y k = = − và ( ) 1:d y xk − ′ = cắt (H) tại 2 điểm B, D phân biệt với 2 2 2 2 36 9 4B D kx x k = = − ; 2 2 2 36 9 4B D y y k = = − Ta có AC ⊥ BD tại trung điểm O của mỗi đoạn nên ABCD là hình thoi. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 72 114 4 . 2 2 9 4 9 4 ABCD AOB A A B B kS S OA OB x y x y k k + = ⋅ = ⋅ = + + = − − c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2519 4 9 4 9 4 9 4 1 2 2 k k k k k − − ≤ − + − = +  ⇒ 1445ABCDS ≥ Dấu bằng xảy ra ⇔ 2 29 4 9 4 1k k k− = − ⇔ = ± . Vậy 144Min 5ABCDS = . Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho (H): 2 29 9 0x y− − = . Tìm trên (H) những điểm nhìn đoạn nối hai tiêu điểm dưới góc vuông. Tìm trên (H) những điểm nhìn đoạn nối hai tiêu điểm dưới góc 60° Tìm trên (H) những điểm có tọa độ nguyên. Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 54 Giải (H): 2 2 2 29 9 0 19 y x y x− − = ⇔ − = . Ta có: a = 1, b = 3 ⇒ 10c = M(x0, y0) ∈ (H) ⇔ 2 20 09 9x y− = (1) . Điểm M nhìn đoạn nối hai tiêu điểm dưới góc vuông nên M thuộc đường tròn (C) đường kính 1 2F F , tức là tâm O, 2 2 102 F F R = = . ⇒ M∈(C): 2 2 10x y+ = ⇒ 2 20 0 10x y+ = . Kết hợp với (1) ⇒ 2 20 019 81;10 10x y= = 1 2 3 4 190 9 10 190 9 10 190 9 10 190 9 10 , , , , , , , 10 10 10 10 10 10 10 10 M M M M         ⇒ − − − −                b. M(x0, y0) nhìn 1 2F F dưới góc 60° ⇒ 2 2 21 2 1 2 1 22 . cos 3F F MF MF MF MF pi = + − ⇔ ( ) ( ) ( )22 2 21 2 1 2 1 2 0 0. 4 4 c cF F MF MF MF MF c a x a x aa a= − + ⇔ = + + − 2 2 0 0 3740 4 10 1 10x x⇔ = + − ⇔ = ⇒ 2 0 279 10y = ⋅ 1 2 3 4 370 9 30 370 9 30 370 9 30 370 9 30 , , , , , , , 10 10 10 10 10 10 10 10 M M M M         ⇒ − − − −                c. Để ý rằng nếu điểm M(x0, y0) là điểm có tọa độ nguyên ∈ (H) thì các điểm (−x0, y0), (−x0, −y0), (x0, −y0) ∈ (H) cũng có tọa độ nguyên. Vậy ta chỉ cần xét trường hợp khi 0 0, 0x y ≥ . Ta có: ( ) ( )2 20 0 0 0 0 09 9 3 3 9x y x y x y− = ⇔ − + = ( )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 53 1;3 9 ; 43 3 3;3 3 1; 0 x y x y x y x y x y x y  − = + = = = ⇔  ⇔  − = + = = = lo¹i Vậy các điểm có tọa độ nguyên ∈(H) là M1(1; 0), M2(−1; 0) Bài 3. Cho (H): 22 19 4 yx − = và A(3; 2), B(0; 1). Tìm điểm C∈(H) sao cho ∆ABC có diện tích nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó. Bài 5. Đường Hypecbol 55 Giải (AB): 1 0x y− − = và 3 2AB AB= =


 . Gọi C(x0, y0) ∈ (H) ⇔ 2 2 0 0 19 4 x y − = . Ta có: ( )( ) 0 0 0 03 31 , 1 12 2 2S AB d C AB x y x y= ⋅ ⋅ = − − ≥ − − . Sử dụng bất đẳng thức ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 , , , , ,ax by a b x y a b c x y− ≥ − − ∀ ta có ( ) 2 2 0 0 0 0 0 0 3 2 9 4 53 2 9 4 x y x y x y   − = ⋅ − ⋅ ≥ − − =    ( )3 5 12S⇒ ≥ − Dấu bằng xảy ra ⇔ 0 09 4,5 5 x y= = hay 9 4; 5 5 C      Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho (H): 22 116 9 yx − = . Gọi F là một tiêu điểm của (H) ( 0Fx < ) và I là trung điểm của đoạn OF. Viết phương trình các đường thẳng tiếp xúc với (H) và đi qua I. Giải Ta có: 2 216, 9 5a b c= = ⇒ = ⇒ F(−5; 0) ⇒ ( )5 ;02I − . Đường thẳng (d) qua I: ( )5 02A x By+ + = ( )2 2 0A B+ > ⇔ 5 02Ax By A+ + = (d) tiếp xúc (H) ⇔ ( ) 22 2 2 2 2 2 395 39 36 02 6a A b B A A B B A− = ⇔ − = ⇔ = ± ⇒ A ≠ 0 ⇒ (d): 39 395 50 0 6 39 15 06 2 6 2Ax Ay A x y x y± + = ⇔ ± + = ⇔ ± + = Bài 5. Cho Hypecbol (H): 22 2 2 1 yx a b − = . 1. Tính độ dài phần đường tiệm cận chắn bởi 2 đường chuẩn. 2. Tìm khoảng cách từ tiêu điểm của (H) tới các đường tiệm cận. 3. Chứng minh rằng: Chân các đường ⊥ hạ từ 1 tiêu điểm tới các đường tiệm cận nằm trên đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó. Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 56 Giải 1. (H): 22 2 2 1 yx a b − = có 2 tiêu điểm ( ) ( )1 2, 0 , , 0F c F c− với 2 2c a b= + . Hai đường chuẩn của Hypebol (H) tương ứng là 2 2 1,2 2 2 : a ax c a b ∆ = ± = ± + . Gọi H, K là giao đường tiệm cận by x a = với 1 2,∆ ∆ khi đó ta có 2 2 2 2 2 2 2 , 2 2H H H H a abx y OH x y a KH OH a a b a b = = ⇒ = + = ⇒ = = + + 2. Khoảng cách từ ( )1 , 0F c đến by xa= ± hay 0bx ay± = là 2 2 0bcd b a b − = = + 3. Ta có ( ) ( )1, ; ,H H H HOH x y F H x x y−






 suy ra ( ) 2 2 2 2 21 1, . 0H H H H H HOH F H x x c y x y c x a a F H OH= − + = + − = − = ⇒ ⊥






 Bài 6. Cho Hypecbol (H): 22 2 2 1 yx a b − = . Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm tùy ý trên (H) đến hai đường tiệm cận là không đổi. Giải Lấy điểm bất kỳ ( ) ( ) 2 222 0 0 0 0 2 2 2 2, : 1 1 x yyxM x y H a b a b ∈ − = ⇒ − = . Viết phương trình hai đường tiệm cận có dưới dạng 0yx a b± = thì khoảng cách từ điểm M đến 2 đường tiệm cận là 2 2 0 00 0 0 0 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 . 1 11 1 1 1 x yx y x y a b a b a b a bd d a b a b a b a ba b a b −+ − = × = = = + +++ + Bài 7. Viết phương trình (d) đi qua M(0; 2) và cắt (H): 22 14 1 yx − = tại A, B phân biệt sao cho M là trung điểm AB. Bài 5. Đường Hypecbol 57 IV. CÁC BÀI TOÁN TIÉP TUYẾN HYPECBOL Bài 1. Cho (H): 22 2 2 1 yx a b − = . CMR: a. Tiếp tuyến của (H) tại M(x0, y0)∈(H) có phương trình: 0 02 2 1 x x y y a b − = b. Điều kiện cần và đủ để (∆): 0Ax By C+ + = tiếp xúc (H) là 2 2 2 2 2a A b B C− = Viết phương trình tiếp tuyến của (H) trong các trường hợp: Bài 2. (H): 2 24 20x y− = và hệ số góc tiếp tuyến 34k = Bài 3. (H): 2 25 4 0x y− − = và tiếp tuyến // (D): 3x + 2y − 1 = 0. Bài 4. (H): 2 24 5 20 0x y− + = và tiếp tuyến ⊥ (D): 3x + 2y − 1 = 0. Bài 5. (H): 2 24 4x y= + và tiếp tuyến tạo với (D): x − 2y + = 0 góc 45° Bài 6. (H): 2 22 4x y− = và tiếp tuyến đi qua A(2; 3) Bài 7. (H): 2 22 4x y− = và tiếp tuyến cách tâm đối xứng của (H) 1 khoảng 3 Bài 8. (H): 2 225 16 400 0x y− + = và tiếp tuyến đi qua A(4; 1) Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường cong sau: Bài 9. ( ) ( ) 2 22 2 1 2: 1 và : 14 3 4 3 y yx xH H− = − = Bài 10. ( ) ( ) 22 2 2: 1 và : 14 7 3 yx xH E y− = + = Bài 11. ( ) ( ) 22 2 2: 1 và : 12 7 yxH C x y− = + = Bài 12. ( ) 22 1 : 19 4 yxH − = và ( ) 22 2 : 16 1 yxH − = Bài 13. ( ) 22 : 18 27 yxH − = và ( ) 22 : 14 9 yxE + = Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 58 Bài 14. ( ) 22 : 116 4 yxH − = và ( ) ( )2 2: 2 4C x y+ + = Bài 15. Viết phương trình (H) biết (H) có trục trùng với các trục tọa độ và tiếp xúc với các đường thẳng: ( ) ( )1 2:5 6 16 0; :13 10 48 0x y x y∆ − − = ∆ − − = Bài 16. Cho (∆): 0Ax By C+ + = tiếp xúc (H): 22 2 2 1 yx a b − = a. F1, F2 là tiêu điểm, kẻ F1H1 ⊥ (∆), F2H2 ⊥ (∆). CMR: 21 1 2 2F H F H b⋅ = − b. Chứng minh rằng: Họ đường thẳng (D): 2cos sin 4 cos 1 0x t y t t− + + = luôn tiếp xúc với (H) cố định. Bài 17. Cho (H): 22 2 2 1 yx a b − = ; A1, A2 là đỉnh, 1 tiếp tuyến (∆) bất kì cắt 2 tiếp tuyến tại đỉnh A1, A2 lần lượt tại các điểm M, N. a. CMR: .M Ny y const= b. Tìm điểm 1 2I A N A N≡ ∩ Bài 18. Cho (H): 22 2 2 1 yx a b − = . Tiếp tuyến tiếp điểm tại M ∈ (H) cắt 2 tiệm cận tại P, Q. Chứng minh rằng: a. M là trung điểm PQ. b. ∆OPQ có diện tích không đổi khi M di động trên (H). Bài 19. Cho (H): 22 2 2 1 yx a b − = . CMR: Tiếp tuyến tiếp điểm tại M bất kì ∈ (H) là phân giác trong của 1 2F MF Bài 20. Cho (H): 22 2 2 1 yx a b − = . Tính diện tích hình chữ nhật có 4 đỉnh ∈ (H) và có 2 cạnh // Oy đi qua 2 tiêu điểm. Bài 21. Cho (H): 22 2 2 1 yx a b − = . Lấy ( )0 0,M x y thuộc nhánh bên phải của (H) và không trùng với đỉnh của (H). Đường thẳng qua M song song với trục tung cắt trục hoành tại P và cắt một đường tiệm cận tại Q. Gọi E và E′ là giao điểm của đường tròn tâm O bán kính a với đường tiệm đó. Chứng minh rằng QE = MF2, QE′ = MF1