Giải tích - Bài 3: Đường tròn

Bài 3. Đường tròn 21 BÀI 3. ĐƯỜNG TRÒN I. PHƯƠNG TRÌNH: 1. Dạng chính tắc: ( ) ( ) ( )22 2:C x a y b R− + − = ⇒ Tâm I(a, b) ; bán kính R. 2. Dạng khai triển: ( ) 2 2: 2 2 0C x y ax by c+ − − + = ⇒ Tâm I(a, b) ; bán kính 2 2R a b c= + − với 2 2 0a b c+ − > II. TIẾP TUYẾN: 1. ( ) ( ) ( )22 2:C x a y b R− + − = ⇒ Tiếp tuyến tại ( ) ( )0 0 0,M x y C∈ : ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0x a x x y b y y− − + − − = 2. ( ) 2 2: 2 2 0C x y ax by c+ − − + = ⇒ Tiếp tuyến tại ( ) ( )0 0 0,M x y C∈ : ( ) ( )0 0 0 0 0x x y y a x x b y y c+ − + − + + = 3. ( ) : 0D Ax By C+ + = tiếp xúc (I, R) ⇔ ( )( ),d I D R= III. PHƯƠNG TÍCH: ( ) 2 2: 2 2 0C x y ax by c+ − − + = ; Điểm M(m, n) ⇒ ( )( ) ( ) 2 2 0 : 2 2 0 : 0 : M M m n am bn c MC M C >  = + − − + <  = ∈ n»m ngoµi n»m trongP IV. TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 : , 2 2 0 : , 2 2 0 C f x y x y a x b y c C g x y x y a x b y c  = + − − + =    = + − − + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 11 2 , , 2 2 0M M f x y g x y a a x b b y c cC C= ⇔ = ⇔ − + − + − =P P V. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN A. XÁC ĐỊNH PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN THEO CÁC YẾU TỐ HÌNH HỌC CHO TRƯỚC 1. VPT đường tròn đường kính AB biết A(4, −1); B(3, 5) 2. VPT đường tròn đi qua A(2, 0); B(0, 1); C(−1, 2) 3. VPT đường tròn đi qua A(2, 3); B(−1, 1) và tâm ∈ 3 11 0x y− − = 4. VPT đường tròn tâm I(1, 2) và tiếp xúc ( ) : 2 2 0D x y− − = 5. VPT đường tròn đi qua A(1, 2) và tiếp xúc ( ) :3 4 2 0D x y− + = tại (−2, −1) Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 22 6. VPT đường tròn đi qua A(6, 3); B(3, 2) và tiếp xúc ( ) : 2 2 0D x y+ − = 7. VPT đường tròn tâm ∈ ( ) : 5 0x y∆ + − = ; 10R = và tiếp xúc ( ) :3 3 0D x y+ − = 8. VPT đường tròn tâm I(3, 1) và cắt ( ) : 2 4 0x y∆ − + = một đoạn có độ dài = 4 9. Viết phương trình đường tròn tâm ∈ ( ) : 4 3 2 0x y∆ + − = và tiếp xúc với ( )1 : 4 0D x y+ + = và ( )2 : 7 4 0D x y− + = 10. Viết phương trình đường tròn đi qua O(0, 0) và tiếp xúc với 2 đường thẳng ( ) ( )1 2: 2 1 0; : 2 2 0D x y D x y+ − = − + = 11. Viết phương trình đường tròn đi qua A(4, 2) và tiếp xúc với 2 đường thẳng ( ) ( )1 2: 3 2 0; : 3 18 0D x y D x y− − = − + = 12. Viết phương trình đường tròn đi qua A(1, −2) và các giao điểm của ( ) : 7 10 0D x y− + = với ( ) 2 2: 2 4 20 0C x y x y+ − + − = B. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 1. ( ) ( ) 2 2: 2 4 0 : 1 0 C x y x y D x y  + − − =   + − = 2. ( ) ( ) 2 2: 6 4 9 0 : 2 0 C x y x y D x y  + + + + =   − + = 3. ( ) ( ) 2 2: 8 2 1 0 : 2 1 0 C x y x y D x y  + − − + =   − + = C. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA 2 ĐƯỜNG TRÒN ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 ( ) : , ( ) : , C I R C I R     1 2d I I= ⇒ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 : ( ), ( ) : : : : R R d R R C C d R R d R R d R R d R R  − < < +   = +   = −  > +  < − c¾t nhau tiÕp xóc ngoµi tiÕp xóc trong ngoµi nhau trong nhau 1. 2 2 1 2 2 2 ( ) : 4 6 4 0 ( ) : 10 14 70 0 C x y x y C x y x y  + − − + =   + − − + = 2. 2 2 1 2 2 2 ( ) : 2 6 15 0 ( ) : 6 2 3 0 C x y x y C x y x y  + − − − =   + − − − = 3. 2 2 1 2 2 2 ( ) : 6 10 24 0 ( ) : 6 4 12 0 C x y x y C x y x y  + + − + =   + − − − = 4. 2 2 1 2 2 2 ( ) : 2 4 5 0 ( ) : 5 4 0 C x y x y C x y x y  + + − − =   + − − + = Bài 3. Đường tròn 23 D. QUỸ TÍCH TÂM ĐƯỜNG TRÒN 1. ( ) 2 2: 4 2 2 3 0mC x y mx my m+ + − + + = 2. ( ) 2 2 2: 2e 4e 1 e 0m m mmC x y x y− −+ − + − + = 3. ( ) ( ) ( )2 2: 2 cos 2 2sin 1 0C x y x yα α α+ − − − + = 4. ( ) ( ) ( )2 2: 2 1 cos 2 1 sin sin 2 0C x y x yα α α α+ − + + − + − = E. ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC ĐƯỜNG TRÒN CỐ ĐỊNH 1. ( ) ( ): 1 cos 1 sin 4 0D x yα α α− + − − = 2. : cos sin 2cos 1 0D x yα α α α+ + + = 3. : sin cos 3sin 2cos 6 0D x yα α α α α− + + − = 4. : cos sin 2 cos sin 9 0D x yα α α α α+ − − − = 5. 2: cos 2 sin 2 cos 3 0D x yα α α α− + − = F. TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG TRÒN 1. VPT tiếp tuyến tại giao điểm ( ) 2 2: 4 4 5 0C x y x y+ − − − = với Ox. 2. VPT tiếp tuyến tại giao điểm ( ) 2 2: 7 0C x y x y+ − − = với 3 4 3 0x y+ − = 3. VPT tiếp tuyến của ( ) 2 2: 2 8 1 0C x y x y+ − + + = // với 5 12 6 0x y+ − = 4. VPT tiếp tuyến của ( ) 2 2: 6 2 5 0C x y x y+ − + + = // với 2 4 0x y+ + = 5. VPT tiếp tuyến của ( ) 2 2: 6 2 5 0C x y x y+ − − + = ⊥ với 2 1 0x y− − = 6. VPT tiếp tuyến của ( ) 2 2: 6 2 0C x y x y+ − + = ⊥ với 3 6 0x y− + = 7. VPT tiếp tuyến của ( ) 2 2: 2 8 19 0C x y x y+ + − − = (45°) với 2 1 0x y− + = 8. VPT tiếp tuyến a. Đi qua A(1, −1) đến: ( ) 2 2: 4 6 4 0C x y x y+ − + + = b. Đi qua A(−3, 3) đến: ( ) 2 2: 7 0C x y x y+ − − = c. Đi qua A(1, 3) đến: ( ) 2 2: 6 2 6 0C x y x y+ − + + = d. đi qua A(3, 4) đến: ( ) 2 2: 4 2 0C x y x y+ − − = e. Đi qua A(5, 7) đến: ( ) 2 2: 4 4 5 0C x y x y+ − − − = g. đi qua A(4, 7) đến: ( ) 2 2: 2 4 0C x y x y+ + − = f. Đi qua A(−3, −1) đến: ( ) 2 2: 4 3 0C x y x y+ − − = Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 24 9. Cho ( ) ( ) ( )2 2 2: 2 1 2 2 8 13 0mC x y m x m y m m+ + − − − + − + = a. Tìm quỹ tích tâm I của họ đường tròn. b. VPT tiếp tuyến đi qua A(1, 5) đến đường tròn (C4) 10. VPT tiếp tuyến chung của 2 đường tròn: 2 2 1 2 2 2 ( ) : 4 8 11 0 ( ) : 2 2 2 0 C x y x y C x y x y  + − − + =   + − − − = 2 2 1 2 2 2 ( ) : 2 2 2 0 ( ) : 6 2 9 0 C x y x y C x y x y  + − + − =   + − − + = 2 2 1 2 2 2 ( ) : 10 24 56 0 ( ) : 2 4 20 0 C x y x y C x y x y  + − + − =   + − − − = 2 2 1 2 2 2 ( ) : 6 5 0 ( ) : 12 6 44 0 C x y x C x y x y  + − + =   + − − + = 11. ( ) ( ) ( )2 2 2 2: 1 0; : 2 1 4 5 0mC x y C x y m x my+ − = + − + + − = a. Tìm quỹ tích tâm I của họ đường tròn ( )mC b. CMR: Có 2 đường tròn của họ ( )mC tiếp xúc với (C). Viết PTTT chung khi đó. G. ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐƯỜNG TRÒN TRÒN CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ 1. Cho 2 28 6 16a b a b+ = + + . Tìm Max, Min 4 3S a b= + 2. Cho ( )2 2 1 2a b a b+ + = + và ( )2 2 36 12c d c d+ + = + . Chứng minh rằng: ( ) ( )2 25 2 7 ` 5 2 7a c b d− ≤ − + − ≤ + 3. Cho 2 2 1a b+ = và 6c d+ = . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 18 6 2c d ac bd+ − − ≥ − 4. Tìm m để hệ sau có đúng 2 nghiệm ( ) ( ) 2 2 2 2 1 4 x y m x y  + = +    + = 5. Tìm m để hệ sau có 2 nghiệm phân biệt 2 2 0 0 x my m x y x + − =  + − = Chứng minh rằng: ( ) ( )2 22 1 2 1 1x x y y− + − ≤ 6. Tìm m để hệ sau có nghiệm 2 2 1x y x y m  + =   + < 7. Tìm m để hệ có nhiều nghiệm nhất 2 2 1 1 1x y x y m  − + + =   + = Bài 3. Đường tròn 25 VI. MỘT SỐ BÀI TẬP MẪU MINH HỌA VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Bài 1. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(3; 1) và chắn trên đường thẳng (∆): 2 4 0x y− + = một dây cung có độ dài bằng 4. Giải Giả sử (C) chắn trên ∆ một dây cung có độ dài bằng 4. Từ I kẻ IH ⊥ AB tại H thì H là trung điểm của AB. Khi đó: 1 22HA AB= = và ( ), 5IH d I= ∆ = Gọi R là bán kính của (C) ta có: 2 2 5 4 3R IH HA= + = + = Phương trình của (C) là: ( ) ( ) 223 1 9x y− + − = Bài 2. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A(2; 3), B(–1, 1) và có tâm nằm trên đường thẳng : 3 11 0x y∆ − − = . Giải Cách 1: Gọi I, R lần lượt là tâm và bán kính của (C). Ta có: Điểm ( )( ) 3 11;I I t t∈ ∆ ⇒ + . Điểm ( ) 2 2,A B C IA IB R IA IB∈ ⇒ = = ⇔ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 5 7 5 653 9 3 3 12 1 ; ,2 2 2 2t t t t t I R⇔ + + − = + + − ⇔ = − ⇒ − = Phương trình của (C) là: ( ) ( )2 27 5 652 2 2x y− + + = ⇔ 2 2 7 5 14 0x y x y+ − + − = Cách 2: Giả sử (C) : 2 2 2 2 0x y ax by c+ − − + = . Tâm của (C) là I(a; b) ∈ (∆) suy ra: 3 11 0a b− − = (1). Ta có: ( ) ( )( ) 4 6 13 2 , 2 2 2 3 a b c A B C a b c − − + = − ∈ ⇒  − + = − Từ (1), (2), (3) ta có: 7 5, , 142 2a b c= = − = − . Vậy (C): 2 2 7 5 14 0x y x y+ − + − = Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(0; 5), B(2; 3). Viết phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A, B và có bán kính 10R = . Giải Gọi ( );I a b là tâm của (C). Từ giả thiết, ta có: 10IA IB R= = = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 2 22 22 35 2 3 2 3 010 5 10 b aIA IB a b a b a aIA a b  = += + − = − + −   ⇒ ⇔ ⇔   − − ==  + − =   I A B (∆) H Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 26 1 3 2 6 a a b b = − =  ⇔ ∨  = =  . Vậy có hai đường tròn cần tìm là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 21 2: 1 2 10; : 3 6 10C x y C x y+ + − = − + − = Bài 4. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I∈ ( ) : 5 0x y∆ + − = ; bán kính 10R = và tiếp xúc với đường thẳng ( ) :3 3 0d x y+ − = Giải Tâm ( ) ( );5I I t t∈ ∆ ⇒ − . Đường tròn (C) tiếp xúc với ( ) ( )( ),d d I d R⇔ = ( ) ( ) 4 4;12 2 10 1 5 6 6;1110 t It t t I  = ⇒+⇔ = ⇔ + = ⇔  = − ⇒ − Vậy có hai đường tròn cần tìm là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 21 2: 4 1 10 ; : 6 11 10C x y C x y− + − = + + − = Bài 5. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I∈ ( ) :2 0x y∆ + = và tiếp xúc với đường thẳng ( ) : 7 10 0d x y− + = tại điểm A(4; 2). Giải Cách 1: Ta có tâm ( ) ( ); 2I I t t∈ ∆ ⇒ − 25 20IA t⇒ = + . Đường tròn (C) tiếp xúc với (d) tại A ( )( ) 23 2, 5 20 2 td I d IA t+⇔ = ⇔ = + ( ) ( )2 23 2 2 5 20t t⇔ + = + ( )2 12 36 0 6 6; 12 , 10 2t t t I R⇔ − + = ⇔ = ⇒ − = Vậy phương trình đường tròn (C) là: ( ) ( )226 12 200x y− + + = Cách 2: Gọi I, R lần lượt là tâm và bán kính của (C). Gọi (d′) là đường thẳng vuông góc với (d) tại A ( ) :7 0d x y c′⇒ + + = ( ) ( )30 :7 30 0A d c d x y′ ′∈ ⇒ = − ⇒ + − = Do (C) tiếp xúc với (d) tại A nên ( )I d ′∈ Mặt khác ( )I ∈ ∆ nên tọa độ I thỏa mãn hệ ( )7 30 0 6; 12 10 2 2 0 x y I IA x y + − = ⇒ − ⇒ = + = Vậy phương trình của (C) là: ( ) ( )226 12 200x y− + + = . I A (∆ ) (d) Bài 3. Đường tròn 27 Bài 6. Viết phương trình đường tròn (C) có bán kính R = 5 và tiếp xúc với đường thẳng ( ) :3 4 31 0x y∆ − − = tại điểm A(1; –7). Giải Đường thẳng (d) ⊥ (∆) tại A(1; –7) có phương trình tham số (d): 1 3 7 4 x t y t = +  = − − Do (C) tiếp xúc với (∆) tại A nên có tâm ( ) ( )1 3 , 7 4I d I t t∈ ⇒ + − − Mặt khác: ( )( ) ( )( ) 1 2, 325 , 5 15 1 4, 11 t Itd I R t t I  = − ⇒ = − − ∆ = ⇔ = ⇔ = ⇔  = ⇒ − Vậy có hai đường tròn cần tìm là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 21 2: 2 3 25 ; : 4 11 25C x y C x y+ + + = − + + = Bài 7. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua điểm A(6; 4) và tiếp xúc với đường thẳng ( ) : 2 5 0x y∆ + − = tại điểm B(3; 1). Giải Gọi I, R lần lượt là tâm và bán kính của (C); đường thẳng (d)⊥(∆) tại B(3;1) ( ) :2( 3) ( 1) 0d x y⇒ − − − = ⇔ ( ) : 2 5 0d x y− − = Do (C) tiếp xúc với (∆) tại B nên tâm ( ) ( )I I ; 2 5d t t∈ ⇒ − Mặt khác: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 6 9 2 3 6 2 4IA IB IA IB t t t t t= ⇔ = ⇔ − + − = − + − ⇔ = ( )I 4;3 ; 5R IA⇒ = = . Phương trình đường tròn (C) là: ( ) ( )224 3 5x y− + − = . Bài 8. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I∈ ( ) :4 3 2 0x y∆ + − = ; tiếp xúc với hai đường thẳng ( )1 : 4 0d x y+ + = và ( )2 :7 4 0d x y− + = . Giải Phương trình tham số của (∆) là: 1 3 2 4 x t y t = − −  = + Ta có: ( ) ( )1 3 ; 2 4I I t t∈ ∆ ⇒ − − + . Gọi R là bán kính của (C) (C) tiếp xúc với ( )1d và ( )2d ( )( ) ( )( )1 2, ,d I d d I d R⇔ = = ( ) ( ) 1 4;6 , 3 25 5 1 5 5 1 2 2 1 2; 2 , 2 2 t I Rt t t t t I R  = ⇒ − =+ +⇔ = ⇔ + = + ⇔   = − ⇒ = Vậy ( ) ( ) ( )22: 4 6 18C x y+ + − = hoặc ( ) ( ) ( ) 22: 2 2 8C x y− + + = Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 28 Bài 9. Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại A(2; 0) và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B(6; 4) bằng 5. Giải Gọi I(a; b) và R lần lượt là tâm và bán kính của (C) Do (C) tiếp xúc với trục Ox tại A nên ta có: ( )2 2;I Ax x I b= = ⇒ và R b= Mặt khác: ( ) ( )2 225 25 6 2 4 25IB IB b= ⇔ = ⇔ − + − = ( ) 24 9b⇔ − = ( ) ( ) 7 2;7 , 7 1 2;1 , 1 b I R b I R  = ⇒ = ⇔  = ⇒ = . Vậy có hai đường tròn cần tìm là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 21 2: 2 7 49; : 2 1 1C x y C x y− + − = − + − = Bài 10. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng ( ) : 7 10 0d x y− + = và đường tròn ( ) 2 2: 2 4 20 0C x y x y′ + − + − = . Viết phương trình đường tròn (C) đi qua điểm A(1; –2) và các giao điểm của đường thẳng d và đường tròn (C'). Giải Đường tròn (C) qua giao điểm của (d) và (C') nên phương trình có dạng: ( )2 2 2 4 20 7 10 0x y x y m x y+ − + − + − + = ( ) ( ) 2 21 : 3 10 0A C m C x y x y∈ ⇒ = ⇒ + − − − = Bài 11. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn ( ) 2 2: 12 4 36 0C x y x y+ − − + = . Viết phương trình đường tròn ( )1C tiếp xúc với hai tọa độ Ox, Oy đồng thời tiếp xúc ngoài với đường tròn (C). Giải Đường tròn (C) có tâm I(6; 2), bán kính R = 2. Gọi ( )1 ;I a b , 1R lần lượt là tâm và bán kính của ( )1C . ( )1C tiếp xúc với hai trục Ox, Oy nên ta có: ( ) ( )1 1 1, ,d I Oy d I Ox R= = 1 1 1 , , a b R a a b R a b R a  = = ⇔ = = ⇔  = − = ( )1C tiếp xúc với ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 221 1 1 1 16 2 2 1C II R R II R R a b R⇔ = + ⇔ = + ⇔ − + − = + Trường hợp 1: 1,a b R a= = Bài 3. Đường tròn 29 ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 21 6 2 2 16 4 36 0a a a a a a⇔ − + − = + ⇔ − − + = 2 2 0 0 20 36 0 12 36 0 a a a a a a > <   ⇔ ∨  − + = − + =   : vô nghiệm ( ) ( ) 1 1 2 2 18 18;18 , 18 2 2; 2 , 2 a I R a I R  = ⇒ = ⇔  = ⇒ = Trường hợp 2: 1,a b R a= − = ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 21 6 2 2 8 4 36 0a a a a a a⇔ − + + = + ⇔ − − + = 2 2 0 0 12 36 0 4 36 0 a a a a a a > <   ⇔ ∨  − + = − + =   : vô nghiệm ( )1 16 6; 6 , 6a I R⇔ = ⇒ − = . Vậy có ba đường tròn cần tìm là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 218 18 324; 2 2 4; 6 6 36x y x y x y− + − = − + − = − + + = Bài 12. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(–1; 7), B(4; –3), C(–4; 1). Hãy viết phương trình đường tròn (C) nội tiếp tam giác ABC. Giải Gọi I(a; b), R lần lượt là tâm và bán kính của (C). Gọi M(x; y) là chân đường phân giác trong của góc A trong tam giác ABC. Ta có: 5 5 533 5 MB AB MB MC MC AC = = ⇒ = −






 . Suy ra M chia đoạn BC theo tỉ số 5 3k = − nên ta có tọa độ điểm M là: ( )11 1: 1; 21 1 2 B C B C x kx x kM M y ky y k − = = − − ⇒ − − − = = −  − I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên 2 2IA BA IA IM IM BM = = ⇒ = −




 Suy ra điểm I chia đoạn AM theo tỉ số 2k = − ( ) 1 1 : 1;2 2 1 A M A M x kx x kI I y ky y k − = = − − ⇒ ⇒ − − = =  − Phương trình cạnh (AB) là: ( )( )2 5 0 , 5x y R d I AB+ − = ⇒ = = Phương trình đường tròn (C) là: ( ) ( ) 221 2 5x y+ + − = . Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 30 Bài 13. Lập phương trình đường thẳng ( )∆ đi qua gốc tọa độ O và cắt đường tròn (C): ( ) ( )221 3 25x y− + + = theo một dây cung có độ dài bằng 8. Giải Đường tròn (C) có tâm I(1; 3) và bán kính R = 5. Phương trình đường thẳng qua O là: ( )2 20 0ax by a b+ = + > Giả sử ( )∆ cắt (C) theo dây cung AB có độ dài bằng 8. Kẻ IH ⊥ ( )∆ tại H thì H là trung điểm của đoạn AB 4 2 ABHA⇒ = = Tam giác IHA vuông tại H, ta có: 2 2 25 16 3IH IA HA= − = − = . Mặt khác: ( )( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 3 , 3 3 9 4 3 0a bd I IH a b a b a ab a b −∆ = ⇔ = ⇔ − = + ⇔ + = + 0 : 1 4 : 3, 43 A chon B B A chon A B = = ⇔ = − = = −  . Suy ra: ( ) ( )1 2: 0; : 3 4 0y x y∆ = ∆ − = . Bài 14. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: 2 2 2 4 20 0x y x y+ + − − = và điểm A(3; 0). Viết phương trình đường thẳng ( )∆ đi qua điểm A và cắt đường tròn (C) theo một dây cung MN sao cho a. MN có độ dài lớn nhất. b. MN có độ dài nhỏ nhất. Giải a. Đường tròn (C) có tâm I(–1,2), bán kính R = 5 Dây MN lớn nhất khi MN là đường kính của (C). Do đó ( )∆ là đường thẳng đi qua hai điểm A, I. Phương trình của ( )∆ là: 3 2 3 0 1 3 2 yx x y− = ⇔ + − = − − b. Ta có: ( )4; 2 2 5IA IA= − ⇒ =

 Kẻ IH ⊥ MN tại H. Dây MN nhỏ nhất khi IH lớn nhất. Ta có: max 2 5 2 5IH IA IH≤ = ⇒ = khi ( )H A IA≡ ⇒ ∆ ⊥ tại A ( )∆ qua A và nhận IA

 làm vectơ pháp tuyến có phương trình: ( ) ( )4 3 2 0 0 2 6 0x y x y− − − = ⇔ − − = I M N (∆) H A Bài 3. Đường tròn 31 Bài 15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình: 2 2 2 4 4 0x y x y+ − + + = . Viết PT đường thẳng ( )∆ // ( ) : 3 4 7 0d x y+ − = và chia đường tròn (C) thành hai cung mà tỉ số độ dài bằng 2. Giải Đường tròn (C) có tâm ( )1; 2I − và bán kính R = 1 ( ) ( ) ( ) ( )// :3 4 0 7d x y c c∆ ⇒ ∆ + + = ≠ − Giả sử ( )∆ chia hai đường tròn (C) thành hai cung
AmB và
AnB sao cho: sđ
AmB = 2 sđ
AnB ⇒ sđ
AnB =120° ⇒  o120AIB = Kẻ IH ⊥ AB tại H, ta có:   o o1 160 .cos 60 2 2 AIH AIB IH IA= = ⇒ = = Mặt khác: ( ) 5 15 51, 5 2 2 2 cd I IH c c−∆ = ⇔ = ⇔ = ∨ = Vậy có hai đường thẳng cần tìm là: ( ) ( )1 215 5:3 4 0; :3 4 02 2x y x y∆ + + = ∆ + + = Bài 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình: 2 2 2 4 4 0x y x y+ − + + = có tâm I và điểm M(–1; –3). Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và b sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất. Giải Đường tròn (C) có tâm I(1; –2), bán kính R = 3. Phương trình đường thẳng (d) qua M có dạng: ( ) ( ) ( )2 21 3 0 0 2 0a x b y a b ax by a b+ + + = + ≠ ⇔ + + + = Diện tích tam giác IAB là: 91 . sin , 2 2 S IA IB= ϕ = với AIBϕ = và ( )0;ϕ∈ pi 9max 2 S⇒ = đạt được khi sin 1 2 piϕ = ⇒ ϕ = . Kẻ IH ⊥ AB tại H, ta có:   31 .cos 2 4 4 2 AIH AIB IH IApi pi= = ⇒ = = . Mặt khác: ( )( ) ( ) ( )2 2 2 2 2, 2 2 9 7 8 0d I d IH a b a b b ab a= ⇔ + = + ⇔ − + = 7b a a b⇔ = ∨ = . Vậy có hai đường thẳng cần tìm là: ( ) ( )1 2: 4 0; :7 10 0d x y d x y+ + = + + = . A B (d) H I m n A B (d) H I Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 32 VII. TIẾP TUYẾN CHUNG CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN Cho ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1 1:C x a y b R− + − = và ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2:C x a y b R− + − = . Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1) và (C2). 1. PHƯƠNG PHÁP TỔNG QUÁT: (C1) có tâm ( )1 1 1;I a b bán kính R1 và (C2) có tâm ( )2 2 2;I a b bán kính R2. Xét (∆): 0Ax By C+ + = ( )2 2 0A B+ ≠ là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). ⇒ ( ) ( ) 1 1 2 2 , , d I R d I R  ∆ =   ∆ = ⇔ 1 1 2 21 12 2 2 2 ; Aa Bb C Aa Bb C R R A B A B + + + + = = + + Từ đó suy ra hệ 2 phương trình ba ẩn A, B, C. Giải 2 ẩn theo 1 ẩn rồi rút gọn (ví dụ: giải A, C theo B) suy ra phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). Ví dụ: Cho ( ) 2 21 : 9C x y+ = và ( ) 2 22 : 6 8 0C x y x+ − + = . Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). Giải: ( ) 2 21 : 9C x y+ = có tâm ( )1 0;0I O≡ bán kính R1 = 3 ; ( ) ( )2 22 : 3 1C x y− + = có tâm ( )2 3;0I bán kính R2 = 1. Xét (∆): 0Ax By C+ + = ( )2 2 0A B+ ≠ là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 21 2 2 2 2 2 2 2 .0 .0 , 3 3 1 3 0. , 1 3 2 A B Cd I C A BA B A B Cd I A C A B A B  + +∆ = =  = + + ⇔ + + ∆ = = + = + + 3 3C A C⇒ = + ⇒ 9 9 3 2 9 3 9 4 ACC A C C A C AC − = = +  ⇔   = − − − =  Xét 92 AC = − : Từ hệ thức (1) ta suy ra: 2 2 2 2 2 2 2 53 9 5 2 4 4 2 A A B A A B A B B A− = + ⇔ = + ⇔ = ⇔ = ± ⇒ A ≠ 0 (∆): 5 59 90 0 2 5 9 02 2 2 2Ax Ay A x y x y± − = ⇔ ± − = ⇔ ± − = Bài 3. Đường tròn 33 Xét 94C A= − : Từ hệ thức (1) ta suy ra: 2 2 2 2 2 2 23 9 7 0 0 4 16 16 A A B A A B A B A B− = + ⇔ = + ⇔ + = ⇔ = = ⇒ vô lý Vậy (C1) và (C2) có 2 đường tiếp tuyến chung là: ( )1 : 2 5 9 0d x y− − = và ( )2 : 2 5 9 0d x y+ − = 2. PHƯƠNG PHÁP TIẾP ĐIỂM: Giả sử tiếp tuyến chung tiếp xúc với (C1) tại ( ) ( )0 0 1,M x y C∈ , khi đó ( ) ( )2 2 20 1 0 1 1x a y b R− + − = (1) và phương trình tiếp tuyến có dạng (∆): ( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 0 1 0 0x a x x y b y y− − + − − = (∆) tiếp xúc (C2) ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 0 0 1 2 0 2 2 22 2 0 1 0 1 , x a a x y b b y d I R R x a y b − − + − − ∆ = ⇔ = − + − (2) Từ (1), (2) ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 1 0 1 1 0 1 2 0 0 1 2 0 1 2 x a y b R x a a x y b b y R R  − + − =   − − + − − = ⋅ Giải hệ ⇒ tọa độ ( )0 0,M x y ⇒ Phương trình tiếp tuyến. Ví dụ: Cho ( ) 2 21 : 4C x y+ = và ( ) 2 22 : 2 2 1 0C x y x y+ − − + = . Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). Giải: (C1) có tâm ( )1 0;0I O≡ bán kính R1 = 2; ( ) ( ) ( )222 : 1 1 1C x y− + − = có tâm ( )2 1;1I bán kính R2 = 1 Giả sử tiếp tuyến chung tiếp xúc với (C1) tại ( )0 0,M x y , khi đó 2 20 0 4x y+ = (1) và phương trình tiếp tuyến có dạng: (∆): 0 0 4 0x x y y+ − = . Đường thẳng (∆) tiếp xúc với (C2) ⇔ ( ) 0 02 2 2 2 0 0 4 , 1 x y d I R x y + − ∆ = ⇔ = + 2 2 0 0 0 04 2x y x y⇒ + − = + = 0 0 0 0 0 0 0 0 6 6 2 2 x y y x x y y x + = = −  ⇒  ⇔   + = = −  . Kết hợp với 2 20 0 4x y+ = ⇒ 0 0 0 0 2; 0 0; 2 x y x y = =   = = ⇒ 2 tiếp tuyến chung là: 2x = và 2y = Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 34 3. PHƯƠNG PHÁP XÉT CÁC TRƯỜNG HỢP VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG TRÒN: TH1: 1 2 1 2I I R R> + ⇒ (C1) và (C2) ngoài nhau ⇒ có 4 tiếp tuyến chung. Nếu 1 2R R= thì 2 tiếp tuyến chung ngoài // 1 2I I , 2 tiếp tuyến chung trong cắt nhau tại K là trung điểm của 1 2I I Nếu 1 2R R≠ thì 2 tiếp tuyến chung ngoài cắt nhau tại J và 2 tiếp tuyến chung trong cắt nhau tại K. TH2: 1 2 1 2I I R R= + ⇒ (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài ⇒ có 3 tiếp tuyến chung. Nếu 1 2R R= thì 2 tiếp tuyến chung ngoài song song với 1 2I I , tiếp tuyến chung trong đi qua tiếp điểm K là trung điểm của 1 2I I và vuông góc với 1 2I I . Nếu 1 2R R≠ thì 2 tiếp tuyến chung ngoài cắt nhau tại J, tiếp tuyến chung trong đi qua tiếp điểm K của (C1), (C2). TH3: 1 2 1 2 1 2R R I I R R− < < + ⇒ (C1) và (C2) cắt nhau ⇒ có 2 tiếp tuyến chung. Nếu 1 2R R= thì 2 tiếp tuyến chung song song với 1 2I I . Nếu 1 2R R≠ thì 2 tiếp tuyến chung cắt nhau tại J. I1 I2 I2 I1 J K I1 I2 K I2 I1 J K I1 I2 K I2 I1 J Bài 3. Đường tròn 35 TH4: 1 2 1 2I I R R= − ⇒ (C1) và (C2) tiếp xúc trong ⇒ có 1 tiếp tuyến chung. Nếu 1 2R R≠ thì (C1) và (C2) có 1 tiếp tuyến chung tại tiếp điểm K của 2 đường tròn. Nếu 1 2R R= thì 2 đường tròn trung nhau ⇒ vô số tiếp tuyến chung TH5: 1 2 1 2I I R R< − ⇒ (C1) và (C2) nằm trong nhau ⇒ không có tiếp tuyến chung
Cách xác định tọa độ điểm J, K: Ta có: 1 1 1 2 2 2 KI R JI KI R JI = = ⇒ 1 11 2 1 2 2 2 ; R R KI KI JI JI R R = − =










 ⇒ Tọa độ 2 điểm J, K Phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) là phương trình tiếp tuyến đi qua J, K của (C1), (C2).
Sau khi tìm được tọa độ của J và K, ta viết phương trình tiếp tuyến chung theo phương pháp sau: Cách 1: Đường thẳng đi qua J là (∆): ( ) ( ) 0J JA x x B y y− + − = ( )2 2 0A B+ > tiếp xúc với (C1) ⇔ ( ) ( ) ( )1 11 1 12 2, J JA a x B b yd I R R A B − + − ∆ = ⇔ = + ⇒ Tính B theo A hoặc tính A theo B, rút gọn ⇒ (∆) Cách 2: Giả sử tiếp tuyến chung tiếp xúc với (C1) tại ( )0 0,M x y , khi đó ( ) ( )2 2 20 1 0 1 1x a y b R− + − = (1) và phương trình tiếp tuyến (∆) có dạng: ( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 0 1 0 0x a x x y b y y− − + − − = (2) Điểm J ∈ (∆) ⇔ ( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 0 1 0 0J Jx a x x y b y y− − + − − = (3). Từ (1) và (3) suy ra ( )0 0,M x y , thay vào (2) ⇒ Phương trình tiếp tuyến (∆) Ví dụ 1: Cho ( ) 2 21 : 4 3 0C x y x+ + + = và ( ) 2 22 : 8 12 0C x y x+ − + = . Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). Giải: (C1) tâm ( )1 2;0I − , R1 = 1; (C2) tâm ( )2 4;0I , R2 = 2. Ta có: 1 2 1 26I I R R= > + ⇒ (C1) và (C2) ngoài nhau ⇒ có 4 tiếp tuyến chung. Hai tiếp tuyến chung ngoài cắt nhau tại J, 2 tiếp tuyến chung trong cắt nhau tại K Ta có 1 1 1 2 2 2 KI R JI KI R JI = = ⇒ 1 2 1 2 1 1; 2 2 KI KI JI JI= − =










 ⇒ ( ) ( )0;0 , 8;0K O J≡ − I2 I1 K Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 36 Đường thẳng đi qua J có phương trình (∆): ( )8 0A x By+ + = ( )2 2 0A B+ > tiếp xúc với (C1) ⇔ ( ) ( )1 2 22 8 .0, 1 1A Bd I A B − + +∆ = ⇔ = + 2 2 2 26 35 35A A B A B B A⇔ = + ⇔ = ⇔ = ± ⇒ A ≠ 0 (∆): ( )8 0A x By+ + = ⇔ ( )8 35 0 35 8 0A x Ay x y+ ± = ⇔ ± + = Đường thẳng đi qua K có phương trình (∆): 0Ax By+ = ( )2 2 0A B+ > tiếp xúc với (C1) ⇔ ( ) ( )1 2 22 0 .0, 1 1A Bd I A B − + +∆ = ⇔ = + 2 2 2 22 3 3A A B A B B A⇔ = + ⇔ = ⇔ = ± ⇒ A ≠ 0 (∆): 0Ax By+ = ⇔ 3 0 3 0Ax Ay x y± = ⇔ ± = Vậy (C1) và (C2) có 4 tiếp tuyến chung là: 35 8 0x y± + = và 3 0x y± = Ví dụ 2: Cho ( ) ( ) ( )221 : 1 1 1C x y− + − = và ( ) ( ) ( )222 : 2 3 16C x y+ + + = . Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). Giải: (C1) tâm ( )1 1;1I , bán kính R1 = 1; (C2) tâm ( )2 2; 3I − − , bán kính R2 = 4. Ta có: 1 2 1 25I I R R= = + ⇒ (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài tại K ⇒ có 3 tiếp tuyến chung. Hai tiếp tuyến chung ngoài cắt nhau tại J. Ta có 1 1 1 2 2 2 KI R JI KI R JI = = ⇒ 1 2 1 2 1 1; 2 2 KI KI JI JI= − =










 ⇒ ( )2 1;5 5K , ( )72; 3J Đường thẳng đi qua J là (∆): ( ) ( )72 03A x B y− + − = ( )2 2 0A B+ > tiếp xúc với (C1) ⇔ ( ) ( ) ( ) 1 2 2 71 2 1 3 , 1 1 A B d I A B − + − ∆ = ⇔ = + ( )2 22 2 27 84 0 0 7 243 9 3A B A B B AB B B A⇔ + = + ⇔ + = ⇔ = ∨ = - Với 24 7 B A= ⇒ A ≠ 0 ⇒ (∆): ( ) ( )7242 0 7 24 30 07 3A x A y x y− + − = ⇔ + − = - Với B = 0 ⇒ A ≠ 0 ⇒ (∆): ( )2 0 2A x x− = ⇔ = Đường thẳng qua K ( )2 1;5 5 với véctơ pháp tuyến ( )2 1 3; 4I I


 có PT: 3 4 2x y+ = Vậy (C1), (C2) có 3 tiếp tuyến chung là: 7 24 30 0x y+ − = ; 2x = và 3 4 2x y+ =