Giải phương trình cân bằng động lực học

Chương 4 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG ĐỘNG LỰC HỌC Phương trình cân bằng đáp ứng động học : (4.1 ) Với : F(t) = FI(t) + FD(t) + FE(t) (4.2) Trong đó : FI(t) : Lực quán tính FI(t) = FD(t) : Lực cản FD(t) = FE(t) : Lực đàn hồi , FE(t) = Để giải phương trình trên có nhiều phương pháp khác nhau I – Phương pháp sai phân trung tâm : Vận tốc và gia tốc tại thời điểm t được tính như sau : (4.3) (4.4) Giải phương trình tìm chuyển vị tại thời điểm t+Dt bằng cách giải phương trình (4.1) ở thời điểm t (4.5) Thay vàtừ (4.3) và (4.4) vào (4.1), ta được : (4.6) Từ phương trình này chúng ta có thể tính được dựa vào điều kiện cân bằng ở thời điểm t và phương trình (4.5) . Do đó quá trình sai phân trung tâm là phương pháp hiện , quá trình sai phân không đòi hỏi các hệ số ảnh hưởng của ma trận độ cứng trong mỗi bước giải kế tiếp . Trình tự các bươc như sau : Bước 1 : - Xác định ma trận độ cứng K , ma trận khối lượng M và ma trận cản C Bước 2 : - Xác định điều kiện ban đầu Þ từ phương trình (4.1 ) Bước 3 : Chọn bước thời gian Dt sao cho Dt< Dtcr = Tn/p ,tính toán các hệ số tích phân .Chu kỳ Tn được chọn với giá trị nhỏ nhất của hệ có n bậc tự do Bước 4 : Tính Bước 5 : Tính ma trận khối lượng ảnh hưởng Bước 6 : Tính tải trọng ảnh hưởng ở thời gian t Bước 7 : Giải phương trình để tìm chuyển vị tại thời điểm t+Dt : Bước 8 : Giá trị vận tốc và gia tốc tại thời điểm t II - Phương pháp Houbolt : Phương pháp sai phân Houbolt liên quan thành phần chuyển vị của phương pháp sai phân trung tâm . Biểu thức của vân tốc và gia tốc : (4.7) (4.8) Để có được lời giải tại t+Dt, chúng ta xem xét phương trình (4.1) tại thời điểm t+Dt (4.9) Thế (9.14),(9.15) vào (9.16) ta được : (4.10) Để tính được Ut+Dt từ (4.10) cần phải biết được chuyển vị tại thời điểm Ut, Ut-Dtvà Ut-2Dt Phương pháp Houbolt là phương pháp sai phân ẩn , xét phương trình cân bằng tại thời điểm t+Dt . Để giải phương trình sai phân (4.1 ) dựa vào điều kiện biên và kết quả của phương pháp sai phân trung tâm ở thời điểm Dt và 2Dt Trình tự các bước như sau : Bước 1 : Xác định ma trận độ cứng K , ma trận khối lượng M và ma trận cản C Bước 2 : - Xác định điều kiện ban đầu Þ từ phương trình (4.1 ) Bước 3 : Chọn bước thời gian Dt ,tính toán các hệ số tích phân, chu kỳ Tn được chọn với giá trị nhỏ nhất của hệ có n bậc tự do Bước 4 : Sử dụng giá trị tính toán UDt và U2Dt của phương pháp sai phân trung tâm Bước 5 : Tính toán ma trận độ cứng Bước 6 : Tính toán tải trọng ở thời điểm t+Dt : Bước 7 : Giải phương trình để tìm chuyển vị tại thời điểm t+Dt : Bước 8 : Giá trị vận tốc và gia tốc tại thời điểm t+Dt : III – Phương pháp Wilson : Phương pháp Wilson chủ yếu là sự mở rộng của phương pháp gia tốc tuyến tính ,trong dao động tuyến tính của gia tốc từ thời điểm t đến thời điểm t+Dt t+Dt t+qDt t t Hình 4.1 – Tuyến tính hoá gia tốc phương pháp q của Wilson Phương pháp Wilson giả thiết gia tốc tuyến tính trong khoảng thời gian t đến t+qDt .Trong đó q ³1.0 , khi q = 1 .0 sẽ làm giảm gia tốc tuyến tính . Điều kiện ổn định q ³ 1.37, thường dùng q = 1.40 t lấy trong khoảng 0 £ t £ qDt , từ t đến t+qDt ta có : (4.11) (4.12) (4.13) Từ (4.12) và (4.13), tại thời điểm t+qDt : (4.14) (4.15) Từ đó có thể tính vận tốc và gia tốc tại thời điểm t+qDt theo (4.16) (4.17) Để tính chuyển vị,vận tốc và gia tốc tại thời điểm t+Dt ta xét phương trình (4.1) tại thời điểm t+qDt : (4.18) Ở đây : (4.19) Thế (4.16)(4.17) vào (4.18) thu được sau đó thay vào (4.16) thu được Trình tự các bước giải như sau : Bước 1 : - Xác định ma trận độ cứng K , ma trận khối lượng M và ma trận cản C Bước 2 : - Xác định điều kiện ban đầu Þ từ phương trình ( ) Bước 3 : Chọn bước thời gian Dt,tính toán các hằng số tích phân ,chọn q = 1.4 Bước 4 : Tính toán ma trận độ cứng Bước 5 : Tính toán tải trọng ở thời điểm t+Dt : Bước 6 : Giải phương trình để tìm chuyển vị tại thời điểm t+Dt : Bước 7 : Giá trị vận tốc và gia tốc tại thời điểm t+Dt : IV – Phương pháp Newmark : Phương pháp sai phân cũng được xem là mở rộng của phương pháp gia tốc tuyến tính . Chuyển vị và vận tốc tại thời điểm t+Dt được tính như sau : (4.20) (4.21) Ở đây a vàd là các hệ số có thể được xác định để sai phân chính xác và ổn định Ban đầu Newmark đề nghị không có điều kiện ổn định và phương pháp gia tốc trung bình với d = 0.5 và a = 0.25 t t+Dt Hình 4.2 – Gia tốc trung bình của Newmark Trình tự các bước như sau : Bước 1 : Xác định ma trận độ cứng K , ma trận khối lượng M và ma trận cản C Bước 2 : Xác định điều kiện ban đầu Þ từ phương trình (4.1 ) Bước 3 : Chọn bước thời gian Dt ,tính toán các hằng số tích phân Với d ³ 0.5 và a ³ 0.25(0.5+d)2 Bước 4 : Tính toán ma trận độ cứng Bước 5 : Tính toán tải trọng ảnh hưởng ở thời điểm t+Dt : Bước 6 : Giải phương trình để tìm chuyển vị tại thời điểm t+Dt : Bước 7 : Giá trị vận tốc và gia tốc tại thời điểm t+Dt :