Giải mã tích bằng giải mã quyết định mềm dùng mã đối ngẫu đảm bảo tính khả dụng

Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 57, 10 - 2018 11 GIẢI MÃ TÍCH BẰNG GIẢI MÃ QUYẾT ĐỊNH MỀM DÙNG MÃ ĐỐI NGẪU ĐẢM BẢO TÍNH KHẢ DỤNG Phạm Xuân Nghĩa1, Nguyễn Thị Hồng Nhung2* Tóm tắt: Mã tích lần đầu tiên được giới thiệu bởi Elias vào năm 1954, gồm 2 mã khối nối tiếp với nhau, với khả năng sửa lỗi khá tốt. Tuy nhiên, nhược điểm cơ bản của mã tích là độ phức tạp trong quá trình giải mã quá lớn dẫn đến việc ứng dụng cũng như các nghiên cứu tiếp theo nhằm cải tiến chất lượng của mã này hầu như rất ít được đề cập. Đến nay, nhờ tiếp thu thành quả phát triển của kỹ thuật vi xử lý, nhược điểm trên đối với mã tích đã không còn là vấn đề khó khắc phục. Bài báo này trình bày việc ứng dụng thuật toán giải mã đối ngẫu và giải mã mềm cho các mã thành phần trong mã tích, điều này mang lại sự cải thiện độ phức tạp của thuật toán đáng kể so với các công bố trước, thúc đẩy khả năng ứng dụng mã tích trong hệ thống truyền tin số đảm bảo tính khả thi hơn so với các đề xuất trước đây với sự trả giá về chất lượng giải mã có thể chấp nhận được (từ 0,2 đến 0,5 dB). Từ khóa: Mã tích; Mã Hamming; Giải mã đối ngẫu, giải mã lặp; Giải mã quyết định mềm. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Mặc dù giải mã mềm có độ phức tạp tính toán cao hơn so với giải mã cứng nhưng với công nghệ hiện nay có thể chấp nhận trả giá cho độ lợi mã hóa cao hơn khoảng 2 ~ 3 dB [1]. Các thuật toán giải mã mềm tối ưu cho phép tối thiểu hóa xác suất lỗi từ mã cho kênh rời rạc không nhớ bất kỳ khi các từ mã là đồng xác suất. Giải mã Viterbi được dùng cho mã chập và giải mã tương quan dùng cho mã khối đều hoạt động theo kiểu vét cạn khi véc-tơ tín hiệu thu được so sánh với tất cả các từ mã có thể [2]. Do đó các kỹ thuật giải mã này thường ứng dụng hiệu quả đối với các mã có số lượng từ mã hạn chế, nghĩa là cho các mã có tỷ lệ mã hóa thấp hoặc các mã có tỷ lệ mã hóa trung bình-cao nhưng với chiều dài từ mã (khối) hoặc chiều dài ràng buộc máy mã (chập) ngắn. Bên cạnh đó, cũng như thuật toán MAP (Maximum Aposteriori Probability), thuật toán giải mã dùng mã đối ngẫu là giải mã tối ưu theo nghĩa tối thiểu hóa xác suất lỗi bít cho kênh rời rạc không nhớ khi các từ mã là đồng xác suất [3], [4]. Giải mã đối ngẫu cũng dựa trên kỹ thuật vét cạn, nhưng là so sánh với tất cả các từ mã đối ngẫu chứ không phải là các từ mã có thể có. Nghĩa là giải mã đối ngẫu phù hợp cho các mã có tỷ lệ mã hóa cao hoặc mã có tỷ lệ mã hóa trung bình- thấp nhưng với chiều dài từ mã (khối) hoặc chiều dài ràng buộc máy mã (chập) ngắn. Trong khi các thuật toán giải mã như BPA (Belief Propagation Algorithm) và MAP được ứng dụng rộng rãi cho mã FEC (Forward Error Correction) hiện đại, thuật toán giải mã đối ngẫu hầu như không được nhắc tới kể từ khi được đề xuất bởi Carlos R. P. Hartmann và Luther D. Rudolph từ Đại học Syracuse trong bài báo “An Optimum Symbol-by-Symbol decoding rule for linear codes” đăng tải trên Tập san Engineering and Computer Science Technical Reports, năm 1975. Một trong những lý do cơ bản là giải mã đối ngẫu, mặc dù tối ưu, nhưng chỉ thích hợp cho các mã có tỷ lệ mã hóa cao như đã nêu ở trên. Mà các mã khối tuyến tính có tỷ lệ mã hóa cao thì khó (hoặc không thể) đạt được khoảng cách Hamming tối thiểu đủ lớn cho các ứng dụng truyền tin hiện đại. Với mục đích tận dụng các ưu điểm của kỹ thuật giải mã đối ngẫu và mã tích, bài báo này đề xuất phương án ứng dụng kỹ thuật giải mã mềm và mã đối ngẫu cho các mã thành phần của mã tích. Hy vọng đề xuất này sẽ mở ra hướng mới về ứng dụng mã tích trong các hệ thống truyền tin số. Phần còn lại của bài báo có bố cục như sau: Mục 2 trình bày ý tưởng ứng dụng giải mã mềm và mã đối ngẫu cho mã tích. Mục 3 đề xuất thuật toán giải mã lặp cho Kỹ thuật điều khiển & Điện tử P. X. Nghĩa, N. T. H. Nhung, “Giải mã tích bằng mã đối ngẫu đảm bảo tính khả dụng.” 12 mã tích, ứng dụng phương pháp giải mã mềm và mã đối ngẫu. Mục 4 trình bày các kết quả mô phỏng đánh giá chất lượng của các mã tích vừa xây dựng trên kênh Gauss và cuối cùng là phần Kết luận. 2. ỨNG DỤNG GIẢI MÃ MỀM VÀ MÃ ĐỐI NGẪU CHO MÃ TÍCH Ý tưởng sử dụng mã tích gồm hai mã khối tuyến tính với tỷ lệ mã hóa trung bình- cao kết hợp với giải mã quyết định mềm sử dụng mã đối ngẫu dựa trên cơ sở: a) Tỷ lệ mã hóa của mã tích (bằng tích của tỷ lệ mã hóa của hai mã thành phần) sẽ đủ lớn khi các mã thành phần có tỷ lệ mã hóa trung bình- cao; b) Mặc dù mã thành phần với tỷ lệ mã hóa trung bình- cao có cự ly Hamming tối thiểu nhỏ, nhưng cự ly Hamming tối thiểu của mã tích (bằng tích của cự ly Hamming tối thiểu của hai mã thành phần) đủ lớn cho các ứng dụng đã nêu ở trên; c) Quan trọng nhất là các mã thành phần với tỷ lệ mã hóa trung bình – cao thì giải mã quyết định mềm sử dụng mã đối ngẫu cho phép cấu trúc thành giải mã lặp vừa đơn giản, vừa hiệu quả. Tuy nhiên, để tổ chức thành hệ thống giải mã lặp thì cần cải tiến thuật toán giải mã nguyên bản của Carlos R. P. Hartmann và Luther D. Rudolph sao cho giá trị đầu ra của giải mã hàng có thể dùng làm đầu vào cho giải mã cột và ngược lại. Cách tiếp cận của Hagenauer và các đồng tác giả trong bài báo kinh điển “Iterative decoding of binary and convolutional codes” là loại bỏ giả thiết các bít mã có xác suất như nhau, sau đó đưa ra công thức tính tỷ lệ hợp lẽ trong miền log để tính giá trị thông tin ngoài dùng trong giải mã lặp. Việc trực tiếp tính các giá trị tỷ lệ hợp lẽ làm đầu vào mềm, đầu ra mềm cho các bộ giải mã thành phần như là nối tiếp thuật toán của Hartmann và Rudolph. Cụ thể như sau: Cho là mã khối tuyến tính với ma trận sinh kích thước ( × ), ma trận kiểm tra kích thước (( − ) × ), và = (, , , ) là từ mã. Giả sử từ mã này được điều chế thành tín hiệu nhị phân ±1 theo qui tắc = 1 − 2, và được truyền qua kênh rời rạc không nhớ tạp âm Gauss với mật độ phổ công suất 2. Tín hiệu thu được là = + , trong đó = (, ,) là véc-tơ tạp âm và = + , 1 ≤ ≤ . Cho là mã đối ngẫu của , với = ( , , , ) là từ mã đối ngẫu thứ j. Ký hiệu , ∈ {0,1} là xác suất có điều kiện rằng thu được khi bít mã = được gửi đi. Ký hiệu = 1/0 là tỷ lệ hợp lẽ (Likelihood Ratio) của bít thứ q. Dễ dàng tính được = exp (−2/ ). Đặt (0) = ∑ ∑ ∏ ∑ (−1) ℓ ℓ ℓ (1) = (−1)ℓ ℓ + (−1) ℓ ℓ ℓ , (1) = ∑ (−1) ∑ ∏ ∑ (−1) ℓ ℓ ℓ (2) = (−1)ℓ ℓ − (−1) ℓ ℓ ℓ . Trong [4] đã chứng minh rằng (0) = (0|) và (1) = (1|), với một hệ số xác định . Nói cách khác, máy giải mã sẽ quyết định rằng bít = 0 được gửi qua kênh khi và chỉ khi (0) > (1) hay (0)−(1) > 0. Bài báo cũng dẫn dắt cách tính (0)−(1) và chứng minh rằng: Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 57, 10 - 2018 13 (0)+(1) = 2 (−1) ℓ ℓ = ∑ ∏ ℓ ℓ ℓ ℓ , (3) (0)−(1) = 2 (−1) (ℓ ℓ) ℓ = 1 − ℓ 1 + ℓ ℓ ⊕ℓ , ℓ (4) với ℓ = 1 khi = ℓ và ℓ = 0 khi ≠ ℓ. Vì đầu vào của phép tính cho giải mã là mà đầu ra của giải mã lại là hiệu (0)−(1) = (0|) − (1|) nên như đã nói ở trên, ta cần biến đổi để đầu ra của tính toán có thể làm đầu vào cho vòng lặp sau. Xét (1) (0) = (1|) (0|) = 1(|) 0(|) = 1(1) 0(0) = 1 0 = (5) với giả định rằng các bít 0 và 1 được gửi đi với xác suất như nhau. Vậy, ý tưởng quan trọng của bài báo là đưa ra công thức tính lượng tin đầu vào vòng lặp tiếp theo: = (1) (0) = − + (6) với = 1 − ℓ 1 + ℓ ℓ ′ (7) ℓ = 1 − ℓ 1 + ℓ ℓ ⊕ℓ . (8) ℓ Công thức (6) chính là cơ sở lý thuyết cho đề xuất thuật toán giải mã tích mới được trình bày dưới đây. 3. ĐỀ XUẤT THUẬT TOÁN GIẢI MÃ LẶP CHO MÃ TÍCH ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI MÃ ĐỐI NGẪU Ở đây, thuật toán mới ứng dụng cho mã tích được xây dựng trên cơ sở thuật toán DCA ký hiệu là DCAPC (Dual codes Algorithm decoding of Product Codes) [4], [5]. Trong đó, ta xét mã tích của hai mã khối tuyến tính. Cho là mã khối tuyến tính với ma trận sinh kích thước ( × ), ma trận kiểm tra kích thước (( − ) × ) và là mã khối tuyến tính với ma trận sinh kích thước ( × ), ma trận kiểm tra kích thước (( − ) × ). Mỗi nhịp mã hóa, hàng, mỗi hàng bít thông tin, được mã hóa thành từ mã thuộc , mỗi từ mã gồm bít mã. Sau đó cột, mỗi cột bít, được mã hóa thành từ mã thuộc , mỗi từ mã gồm bít mã. Tổng thể bít thông tin được mã hóa thành bít mã, tỷ lệ mã hóa là (/)(/) và cự ly Hamming tối thiểu là (), với 14 trình bày trên Hình 1. trị cho mã tích nh (7) mã cho t ph và Ta ký hi tỷ ). Cho ∈ và (8) đ đư ừng h Do ần n P. X. Ngh lệ ợc lặp lại nh gi ên ch lần l hợp l và s àng, ho ải m ư ệu ma tr ẽ và ử d ể tính ã quy ỉ cần hai lần lặp l Hình 2 ĩa, ợt l cho t ư sau. V ụng (6) đ N. T. H. Nhung à c lần l ư trên, gi ặc từng cột đ ết định mềm sử dụng m ự ly Hamming tối thiểu của m ận tín hi ừng bít mã , . Lưu đ ượt l ới t ể c v ệ à mã ừng hàng c ập nh ới ải m à đ ồ giải m Hình 1 u thu là ∈ ã theo hàng ti ược tr ã , “Gi đối ngẫu của m ập ma tr đạt đ × ải m . C = [ ủ và s ình bày trên ã cho m thông tin ã tích b ấu trúc của m = a ma tr ậ ược chất l bít ki lẻ m × [ , 1 n ử d ã ỗi h ểm tra chẵn ã c , 1 ≤ ậ . Sau đó v ụng (6) đ ếp sau l đối ngẫu l àng ho ột bit ằng ≤ ã n hình 2. ượng giải m ã ≤ , s à gi mã ã tích. ≤ , và ử dụng (7) ớ ể c ải m à gi ặc mỗi cột cho m đối ngẫu đảm bảo tính khả dụng và , 1 ≤ . Đ i từ ập nh ải m tra ch hóa các bít ki tra ch K 1 ≤ ề ng c ậ ã theo c ã t × ẵn lẻ × kiểm tra chẵn lẻ m hàng ỹ thuật điều khiển & Điện tử . Cấu trúc của m ≤ xu và (8) đ ộ t ma tr ã tối ốt nhất của m bít ẵn lẻ m ≤ ] ất thu t củ ột. Thuật toán giải m ưu cho t bit , a ma tr ận ã tích. kiểm ểm ã ]. Tính ma tr ật toán gi ể tính ã = exp ận . Quá trình gi ừng m ã tích. ã này (− ải mã l , , sử d ã thành đư ận giá 2 ụng .” ợc / ặp với ải ã Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 57, 10 - 2018 15 4. MÔ PHỎNG ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG MÃ TÍCH VỚI PHƯƠNG PHÁP GIẢI MÃ LẶP KẾT HỢP VỚI MÃ ĐỐI NGẪU TRÊN KÊNH GAUSS Ở mục này, tiến hành mô phỏng đánh giá chất lượng mã tích gồm hai mã thành phần là các mã Hamming với các giá trị r= m= 3, 4, 5, 6 (là số bít kiểm tra chẵn lẻ, với quan hệ giữa các đại lượng = 2 − 1, = −), cấu trúc của mã tương tự như cấu trúc tổng quát đã được mô tả trên hình 1 (ở đây lưu ý là thay tham số r bằng tham số m vì các mã thành phần của mã tích là mã Hamming). Kết quả thu được sau hai lần lặp chạy trên kênh Gauss được thể hiện trên hình 3. Từ kết quả hình 3 cho thấy, chất lượng của mã tích càng được cải thiện khi độ dài từ mã càng lớn mặc dù tỷ lệ mã hóa tăng đáng kể. Ví dụ, ở tỷ lệ lỗi bít là 10-5, nếu m= 3 (2 mã thành phần như nhau), tức là độ dài từ mã tích là n= 49, tỷ lệ mã hóa ~ 0,33, cần tỷ số Eb/N0 là 6dB. Còn với mã có m= 6, độ dài từ mã tích là n= 3969, tỷ lệ mã hóa ~0,82, để đạt được chất lượng tương đương chỉ cần tỷ số Eb/N0 khoảng 4,2 dB có nghĩa là đạt được độ lợi về Eb/N0 khoảng 1,8dB và về tỷ lệ mã hóa khoảng 2,5 lần. Tuy nhiên, ta dễ nhận thấy sự trả giá cho độ lợi tăng ích mã đạt được chính là độ phức tạp của thuật toán giải mã vì tham số này tỷ lệ thuận với độ dài từ mã. Đây chính là nguyên nhân dẫn đến việc mã tích hầu như chỉ được dừng lại ở nghiên cứu lý thuyết. Tuy nhiên, điều này hoàn toàn có thể được khắc phục bởi thành quả của kỹ thuật vi xử lý ở giai đoạn hiện nay cũng như trong tương lai, đặc biệt là khi sử dụng thuật toán đề xuất (ở đây đã có sự cải tiến đáng kể so với các thuật toán giải mã nguyên bản). Để đánh giá khách quan thuật toán giải mã mới được đề xuất, thực hiện so sánh chất lượng cũng như độ phức tạp của thuật toán giải mã này với thuật thuật được đánh giá cao đã từng được công bố như là giải mã MAP cho mã tích sử dụng thông tin giải mã trên mã đối ngẫu (MAP Decoder Using the Dual Code: MDUDC) của Hagenauer [6]. Hình 4 thể hiện kết quả mô phỏng khả năng giải mã của hai giải thuật DCAPC và MDUDC cho các mã tích với mã thành phần là mã Hamming. Hình 3. Chất lượng của mã tích gồm các thành phần là mã Hamming. Hình 4. So sánh chất lượng các thuật toán giải mã tích. Nhận xét, đánh giá kết quả mô phỏng. So với kết quả mô phỏng của Hagenauer [6], phẩm chất giải mã của hệ thống đang đề xuất kém hơn khoảng từ 0,2 dB (với = = = 4) đến 0,5 dB (với = = = 5, 6) ở xác suất lỗi bit 10 . Điều này có thể giải thích như sau, với thuật toán giải mã của Hagenauer loại bỏ giả thiết đồng xác suất của bít từ mã, dùng giá trị xác suất tiền nghiệm cho đầu vào giải mã nên cho phẩm chất giải mã tốt hơn. Tuy nhiên, điều này sẽ dẫn đến khối lượng tính toán trong thuật toán do 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 10 -8 10 -7 10 -6 10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 EbNo[dB] B E R Chat luong cua giai ma doi ngau ma tich cua cac ma Hamming DCAPC: m1=3, m2=3 DCAPC: m1=4, m2=4 DCAPC: m1=5, m2=5 DCAPC: m1=6, m2=6 DCAPC: m1=3, m2=4 DCAPC: m1=4, m2=5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 10 -9 10 -8 10 -7 10 -6 10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 EbNo[dB] B E R So sanh chat luong hai thuat toan giai ma doi ngau ma tich DCAPC(7,4)x(7,4) DCAPC(15,11)x(15,11) DCAPC(31,26)x(31,26) DCAPC(63,57)x(63,57) MDUDC(7,4)(7,4) MDUDC(15,11)(15,11) MDUDC(31,26)(31,26) MDUDC(63,57)(63,57) Kỹ thuật điều khiển & Điện tử P. X. Nghĩa, N. T. H. Nhung, “Giải mã tích bằng mã đối ngẫu đảm bảo tính khả dụng.” 16 Hagenauer đề xuất quá lớn. Bên cạnh đó, thuật toán này sử dụng các hàm phi tuyến, đây cũng là lý do dẫn đến độ phức tạp rất cao của thuật toán này và vì vậy theo các công trình đã công bố [3], [6], thuật toán này chỉ dừng lại ở mức nghiên cứu lý thuyết, rất khó có thể áp dụng vào thực tế ngay cả khi chúng ta có những bộ vi xử lý có khả năng tính toán mạnh [7]. Đây cũng chính là điểm mạnh của thuật toán giải mã mới được đề xuất DCAPC. Với thuật toán này ta hoàn toàn có thể tính được độ phức tạp giải mã, kết quả tính toán này mở ra tính khả thi khi hiện thực hóa thuật toán bằng các thiết bị phần cứng. Bên cạnh đó, thuật toán đề xuất đưa ra được cơ sở lý thuyết là nền tảng cho việc nghiên cứu, đề xuất các thuật toán giải mã cải tiến có độ phức tạp thấp hơn, có tỷ lệ mã hóa cao hơn và rất có thể cho chất lượng giải mã tốt hơn. Để khẳng định cho khả năng giảm độ phức tạp của thuật toán mới đề xuất, chúng tôi thực hiện đánh giá chi tiết tham số này. Từ (5) dễ dàng xác định được, thuật toán DCAPC cần × × (2 × × 2 + 2) phép tính cộng và nhân cho giải mã các hàng và × × (2 × × 2 + 2) phép tính cộng và nhân cho giải mã các cột mã tích. Hay để giải mã một bít mã, thuật toán mới cần tổng cộng 2 × ( × 2 + × 2 + 2) phép tính với 2 × (( − 1) × 2 + ( − 1) × 2 ) phép nhân và 2 × (2 + 2 + 2) phép cộng. Nếu sử dụng cùng một mã khối để kiểm soát lỗi, với 2 lần lặp nên có số lượng tính toán cho một bít đầu ra xấp xỉ 8 lần DCA. Bảng 1 trình bày số lượng phép tính cần thiết cho mỗi lần giải mã lặp của thuật toán DACPC đề xuất. Bảng 1. Độ phức tạp của giải thuật đề xuất. Mã Số phép tính nhân 2(( − 1)2 + ( − 1)2 ) Số phép tính cộng 2(2 + 2 + 2) (7,4) × (7,4) 9408 1764 (15, 11)(15, 11) 201600 15300 (31, 26)(31, 26) 3690240 126852 (63, 57)(63, 57) 62995968 1031940 5. KẾT LUẬN Trong nội dung bài báo đã đề xuất thuật toán giải mã mới cho mã tích DCAPC, dựa trên cơ sở sử dụng kỹ thuật giải mã mềm và giải mã đối ngẫu. Thuật toán này cho phép giảm độ phức tạp giải mã một cách đáng kể so với thuật toán giải mã tích nguyên bản, với sự trả giá về chất lượng cho phép (từ 0,2 dB đến 0,5 dB). Thuật toán mới đề xuất cho phép mở ra hướng mới về việc ứng dụng mã tích vào các hệ thống truyền tin số cũng như là cơ sở để đề xuất các cải tiến mới cho phép tăng chất lượng, tỷ lệ mã cũng như giảm độ phức tạp trong quá trình giải mã. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Todd K.Moon, Erros correction coding, John Wiley and Sons Inc., publication, 2005. [2]. LAndrew J. Viterbi, “Convolutional codes and their performance in communication systems,” IEEE Transactions on Communication Technology, COM- 19: 751- 772, 1971. [3]. L.R. Bahl, J. Cocke, F. Jelinek, and J. Raviv, “Optimal decoding of linear codes for minimizing symbol error rate,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 20, pp. 284- 287, Mar. 1974 [4]. Carlos R. P. Hartmann, Luther D . Rudolph, “An optimum symbol-by-symbol decoding rule for linear codes,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 22, pp. 514- 517, Sept. 1976. Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 57, 10 - 2018 17 [5]. Nguyen Thi Hong Nhung, Pham Khac Hoan, Pham Xuan Nghia, Bui Huy Hai, “Dual Codes decoding Algorithm for high density parity check codes,” Asian Academic Research Journal of Multidisciplinary, vol. 5, pp. 114-124, May 2018. [6]. J. Hagenauer, E. Offer, and Lutz Papke, “Iterative decoding of binary block and convolutional codes,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 42, pp. 429- 445, 1996. [7]. P. Robertson, E. Villebrun, P. Hoeher, “A comparison of optimal and sub-optimal MAP decoding algorithms operating in the log domain,” Proceedings IEEE International Conference on Communications ICC '95, 2002. ABSTRACT PRODUCT CODES DECODER BY SOFT DECISION DECODING USING DUAL CODES TO ENSURE THE POSSIBILITY The product codes were first presented by Elias in 1954, consisting of two serial concatenated block codes with good error correction capability. However, the application as well as studies in order to improve the performance of product codes is rarely mentioned due to its fundamental disadvantage of serious complexity during decoding process. So far, thanks to the development of microprocessor technology, the above-mentioned disadvantage of the product code does not remain as a problem any more. With this article, the application of dual codes decoding algorithm and soft decision decoding for the component codes of product codes will be presented. This shoud help to significantly improve the complexity of the algorithm in comparison with previous publications, hence enhancing the application of product codes in digital communication systems, ensuring the possibility in comparison with previous suggestions with the acceptable loss in term of decoding performance (from 0.2 to 0.5dB). Keywords: Product codes; Hamming code; Dual codes decoding; Soft- decision decoding. Nhận bài ngày 11 tháng 8 năm 2018 Hoàn thiện ngày 28 tháng 8 năm 2018 Chấp nhận đăng ngày 11 tháng 10 năm 2018 Địa chỉ: 1 Học viện Kỹ thuật quân sự; 2 Đại học Kinh tế kỹ thuật công nghiệp. * Email: nhungnh13@gmail.com.