Độ sai số mô hình phần tử hữu hạn lan truyền mặn trong nước dưới đất trong không gian một chiều sử dụng phần tử tuyến tính của một số bài toán chuẩn - Nguyễn Văn Hoàng

KHOA HỌC CÔNG NGHỆ TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ THỦY LỢI SỐ 32 - 2016 1 ĐỘ SAI SỐ MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN LAN TRUYỀN MẶN TRONG NƯỚC DƯỚI ĐẤT TRONG KHÔNG GIAN MỘT CHIỀU SỬ DỤNG PHẦN TỬ TUYẾN TÍNH CỦA MỘT SỐ BÀI TOÁN CHUẨN Nguyễn Văn Hoàng Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam Nguyễn Thành Công Viện Khoa học Thủy lợi Việt Nam Tóm tắt: Bài báo trình bày kết quả đánh giá sai số giữa mô hình giải tích và mô hình (MH) số phần tử hữu hạn (PTHH) sử dụng hàm dáng tuyến tính một số bài toán chuẩn một chiều và các đánh giá sai số. Kết quả nổi bật cho thấy: 1) Với biên có nồng độ chất ô nhiễm-muối không đổi, khu vực càng gần biên độ sai số càng nhỏ (sai số tương đối không quá 0.05%-0,06%) 2) Với ranh giới giữa NDĐ bị ô nhiễm và không bị ô nhiễm, sai số của MH PTHH cao trong khoảng thời gian đầu của quá trình lan truyền, và giảm dần theo thời gian; 3) Sai số tuyệt đối và sai số tương đối của nồng độ theo MH PTHH không đồng bộ (sai số tuyệt đối lớn nhưng sai số tương đối lại nhỏ và ngược lại) có thể có mặt ở những miền có giá trị nồng độ lớn và thấp. Từ kết quả nghiên cứu đã kiến nghị về việc lựa chọn biên mô hình hợp lý để giảm thiểu sai số trong mô phỏng đồng thời việc đánh giá độ sai số kết quả MH PTHH cần lưu ý việc sử dụng sai số tuyệt đối hay sai số tương đối (phụ thuộc vào yêu cầu thực tế của bài toán lan truyền chất rất độc hại nên sử dụng giá trị sai số tương đối, và những chất không độc hại như độ mặn thì nên dùng giá trị tuyệt đối...). Từ khóa: Nước dưới đất, lan truyền ô nhiễm, nhiễm mặn, mô hình, phần tử hữu hạn. Summary: The paper presents results obtained by analytical and finite element modeling (FEM) using linear shape function of some one-dimensional problems and assessment of the errors. It has been found that: (1) For the the boundary of constant concentration of pollutantor saline, the closer to the boundary, the smaller the error is: the relative error does not exceed 0.06% and decreases very small value, less than 0,05%; (2) For the boundary between the polluted and unpolluted groundwater, the error values are greater at the initial period of speeding process, and gradually decrease as time passes; (3) The absolute error and relative error are not of the same trend (i.e. absolute error is great while relative error is less and vice versa) may be present at the areas having either high or low concentration. From the study results some proposals for selection of proper boudaries to reduce error some recommedations of the evaluation FEM methods has been made: either absolute or relative FEM concentration errors should be well associated with the requirement of the actual problems (for heavily toxic substances, it should be used the relative error, and for the non-toxic substances such as salinity absolute error should be used). Keywords: Groundwater, pollutanttransport, salinity transport, finite element model, linear element. 1. MỞ ĐẦU * Nghiên cứu lan truyền mặn trong nước dưới đất là một lĩnh vực rất quan trọng đối với nước ta do đường bờ biển dài và nguy cơ xâm nhập mặn nước dưới đất từ nước biển rất cao. Ở Ngày nhận bài: 24/02/2016 Ngày thông qua phản biện: 25/3/2016 Ngày duyệt đăng: 20/4/2016 trong nước, các nghiên cứu nhiễm mặn còn tương đối mới mẻ, hạn chế và thông thường trong các báo cáo đánh giá tài nguyên nước dưới đất chủ yếu nêu lên biên giới phân chia vùng có nước mặn với độ tổng khoáng hóa bằng 1g/l và đề xuất rằng cần lưu ý đến khả năng nhiễm mặn vào các công trình khai thác tại các khu vực này, nhưcác tác giả Đặng Hữu Ơn (1996, 1997), Nguyễn Trường Giang và KHOA HỌC CÔNG NGHỆ TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ THỦY LỢI SỐ 32 - 2016 2 nnk (1998), Nguyễn Văn Đản và nnk (1998), Ngô Ngọc Cát và Đoàn Văn Cánh (1998), Ngô Ngọc Cát và nnk (1998), Hồ Vương Bính và nnk (1996). Một số tác giả có sử dụng mô hình số trong đánh giá nhiễm mặn như Phạm Quý Nhân (2000), Ngô Đức Chân và Trương Thanh Cường (2005), Bùi Trần Vượng (2008), Phan Chu Nam (2010)... Nghiên cứu sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trong mô phỏng chuyển động của nước dưới đất, lan truyền các chất ô nhiễm và nhiễm mặn có tác giả Nguyễn Văn Hoàng qua một số công trình đã công bố như mô hình chuyển động nước dưới đất và xâm nhập mặn khu vực Nam Định (Vũ Đình Hùng chủ nhiệm, 2000) trong đề tài "Nghiên cứu nguyên nhân làm suy thoái chất lượng nước dưới đất vùng duyên hải Nam Định, Hải Phòng và giải pháp khắc phục", tổng quan nghiên cứu nhiễm mặn đất-nước ven biển và một kết quả nghiên cứu ban đầu về giải pháp bổ cập nhân tạo nước dưới đất và chống xâm nhập mặn bằng đê ngầm (Nguyễn Văn Hoàng và Nguyễn Thành Công, 2001), Groundwater Artificial Recharge and Salinization Prevention as a Drought-Fighting Measure in Central Coastal Areas of Vietnam (Shaft Meister and Nguyen Van Hoang, 2001), Ground Water Abstraction Potential and Salt Water Intrusion Issue in Da Nang Coastal Area (Phạm Quý Nhân, Nguyễn Văn Hoàng, 2005), đánh giá tiềm năng nước dưới đất và khả năng nhiễm mặn trong quá trình khai thác trên đảo Vĩnh Thực-Quảng Ninh (Nguyễn Văn Hoàng và Ngô Ngọc Cát, 2005), mô hình phần tử hữu hạn đánh giá xâm nhập mặn công trình khai thác nước dưới đất ven biển tỉnh Thái Bình do nước biển dâng (Nguyễn Văn Hoàng và nnk, 2011)... Tuy nhiên, nghiên cứ đánh giá sai số tính toán nồng độ các chất ô nhiễm hoặc muối theo kết quả mô hình số chưa được phân tích đánh giá cụ thể. Trong chương trình nghiên cứu cơ bản định hướng ứng dụng, đề tài nghiên cứu mang mã số ĐT.NCCB-ĐHUD.2012-G/04 được tài trợ bởi Quỹ phát triển khoa học và công nghệ quốc gia-NAFOSTED thực hiện xây dựng phần mềm mô hình phần tử hữu hạn chuyển động nước dưới đất và lan truyền các chất ô nhiễm cũng như nhiễm mặn. Bài viết trình bày kết quả nghiên đánh giá sự đúng đắn và xác định độ chính xác của phần mềm chương trình được xây dựng thông qua việc so sánh các kết quả của mô hình số và kết quả lời giải tích chính xác của một số bài toán chuẩn lan truyền các chất ô nhiễm và nhiễm mặn. 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN CHUẨN MỘT CHIỀU LAN TRUYỀN CHẤT Ô NHIỄM NƯỚC DƯỚI ĐẤT Bức tranh lan truyền các chất ô nhiễm trong nước dưới đất của một tầng chứa nước nhất định nào đó ngoài các yếu tố quyết định là trường vận tốc dòng nước dưới đất và các thông số lan truyền vật chất của tầng chứa nước, còn bị quyết định bởi kiểu điều kiện biên và giá trị biên. Có hai kiểu điều kiện biên phổ biến đối với các nguồn ô nhiễm nước dưới đất là nguồn ô nhiễm tồn tại một khoảng thời gian nhất định nào đó và tồn tại mãi mãi. Một số bài toán chuẩn lan truyền các chất ô nhiễm và nhiễm mặn với các điều kiện biên đặc trưng được mô tả như sau: 2.1. Nguồn ô nhiễm ở dạng dải trong một thời gian rất ngắn Đây là trường hợp tầng chứa nước dưới đất có chiều dày và chiều rộng không thay đổi, và cho rằng nước dưới đất không chuyển động. Ở một ranh giới của tầng tồn tại một dải mà nước dưới đất tại đây có nồng độ chất ô nhiễm hoặc muối trong nước là C0. Có thể có hai trường hợp là: 1) biên ô nhiễm hoặc mặn tiếp giáp với đất đá không thấm nước, và 2) biên ô nhiễm hoặc mặn tiếp giáp với nguồn nước mặt nhạt. Hai trường hợp này được biểu diễn dưới dạng một chiều và có lời giải giả tích tương ứng như sau: - Tại x=0 tiếp giáp đất đá không thấm, tức là ∂C/∂x=0, chiều dài đới ô nhiễm hoặc bị mặn là h (hình 1). KHOA HỌC CÔNG NGHỆ TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ THỦY LỢI SỐ 32 - 2016 3 Trong trường hợp này thì nồng độ tại một điểm bất kỳ nào đó tính từ gốc tọa độ x vào thời điểm t xác định theo công thức:           Dt hxerf Dt hxerf C C 442 0 (1) - Tại x=0 tiếp giáp với khối nước mặt có nồng độ chất ô nhiễm hoặc muối C=0 (hình2) x0 h ban ®Çu C0 ban ®Çu C=0 § Ç u k ª nh b Þt kÝ n x0 h ban ®Çu C0 ban ®Çu C=0 § Ç u k ª nh ti Õp v í i h å n −í c n h ¹ t Hình 1. Nguồn diện bị chặn phía biên Hình 2. Nguồn diện tiếp xúc nước nhạt phía biên Trong trường hợp này thì nồng độ tại một điểm bất kỳ nào đó tính từ gốc tọa độ x vào thời điểm t xác định theo công thức:             Dt hxerf Dt hxerf Dt xerf C C 444 2 2 0 (2) 2.2. Biên ô nhiễm mãi mãi: Đây là trường hợp: tầng chứa nước dưới đất có chiều dày và chiều rộng không thay đổi, và nước dưới đất chuyển động dọc theo chiều dài của tầng. Ở một ranh giới của tầng nước dưới đất tại đây có nồng độ chất ô nhiễm hoặc muối trong nước là C0. Điều kiện ban đầu là nguồn ô nhiễm có nồng độ C0 tồn tại mãi mãi từ thời gian ban đầu đến hết thời gian tính toán, tức là có điều kiện ban đầu và điều kiện biên như sau: - Điều kiện ban đầu: t=0; C(x)=0; x=0 - Điều kiện biên: C(0,t)= C0 với t = 0 ; C(,t) = 0 Hình 3. Biên là ô nhiễm hoặc nhiễm mặn Theo Jacob Bear (1987), sau một khoảng thời gian khi mà dòng chảy từ x=0 đã xâm nhập vào tương đối sâu ta có lời giải sau:        dye 2 )(erfc ; R/Dt2 t)R/V(x ; R/Dt2 t)R/V(x erfc 2 1 C )t,x(C 2y 0 (4) III. MÔ HÌNH PHÂN TỬ HỮU HẠN LAN TRUYỀN CHẤT Ô NHIỄM HOẶC NHIỄM MẶN NƯỚC DƯỚI ĐẤT MỘT CHIỀU Phương trình lan truyền chất ô nhiễm hoặc nhiễm mặn nước dưới đất một chiều có dạng như sau (Jacob Bear, 1987): t CR x CV x CD     2 2 (5) ở đây: D: hệ số phân tán thủy động lực học theo hướng x (L2/T), C: nồng độ vật chất trong nước (M/L3), V: vận tốc dòng chảy nước dưới đất theo hướng x (M/T), R: hệ số chậm trễ; t: thời gian (T). Phương trình (5) chỉ có lời giải duy nhất khi có đầy đủ các điều kiện ban đầu và điều kiện biên được mô tả như sau: Điều kiện ban đầu là phân bố nồng độ của vật chất đang xem xét vào thời điểm ban đầu tùy ý t=t0 tại mọi vị trí trong miền tính toán: )(xCC o (6) Các điều kiện biên có thể là một hoặc đồng thời các dạng sau:  Biên có nồng độ đã biết: C=Cc trênc (7) KHOA HỌC CÔNG NGHỆ TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ THỦY LỢI SỐ 32 - 2016 4  Biên có gradient nồng độ pháp tuyến với đường biên đã biết: cJc C   trênJc (8)  Biên có dòng vật chất pháp tuyến với biên đã biết: cq qC)(CVc CD  0  trênqc (9) ở đây: V0, Cq tương ứng là vận tốc dòng chất lỏng và nồng độ vật chất của chất lỏng này qua biên. Như vậy để có thể giải được bài toán lan truyền vật chất (kể cả lan truyền mặn không tính đến ảnh hưởng của tỷ trọng nước mặn, điều này hoàn toàn phù hợp với nồng độ muối không cao) cần phải biết trường vận tốc. Trường vận tốc được xác định bằng mô hình chuyển động nước dưới đất thông qua trường mực nước. Phương pháp phần tử hữu hạn giải phương trình (5) như sau (Zienkiewicz O. C. and Morgan K., 1983). Lấy chiều dài miền mô hình là L (x=0 đến L). Miền 0L chia ra M phần tử và M+1 nút; sử dụng hàm dáng toàn cục Nm cho từng nút. Khi đó có thể thiết lập công thức gần đúng:  );()(1 1 xNtC M m mm   0 Lx  (10) )(tCm là giá trị gần đúng nồng độ vào thời điểm t tại nút thứ m, và Nm(x) là hàm dáng. Các điều kiện biên tại x=0 và x=L có thể cho bằng chính các giá trị tại các nút ở biên. Như vậy với tất cả 121 ,...,, MCCC là ẩn số chưa biết trong bước này. Sử dụng công thức số dư trọng số: 02 2         dxxΦDxΦVtΦRW L o x x  ; 1...,3,2,1  M (11) Trong W là hàm trọng số và với thành phần có chứa số dư trên biên R =0 Áp dụng định lý Green biến đổi được: LLL x x x x x x x Wdx xx Wdx x W 000 2 2            (12) Áp dụng cho: dx x DW Lx x 2 2 0    = LL x x x x x DWdx xx WD 00            Thay vào (11) ta có: 0)( 00           LL x x x x x DWdx xx WD x VW t RW  (13) Thay (13) vào (10) ta có:   1 1 M m LL L x x x x x x m mm mm dx dDWdx dt dCNRWdxtC dx dN dx dWD dx dNVW 00 0 )(}{           =0 (14) Sử dụng phương pháp Galerkin (Wℓ =N  ). Viết (14) dưới dạng ma trận: KC +E  dt dC F (15) Trong đó: K =          1 1 0 M m x x mm L dx dx dN dx dND dx dNVN  (16) E =      1 1 0 M m x x m L dxNRN (17) F = Lx xx DN 0       (18) (1 1 M ) KHOA HỌC CÔNG NGHỆ TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ THỦY LỢI SỐ 32 - 2016 5 Sử dụng hàm dáng tuyến tính, với kí hiệu ixx  đối với phần tử thứ e ta sẽ có: e e jj h NN  ; e e e ii h hNN  ; h ije xx  (19) Các hàm thử nghiệm toàn cục khác 0 đối với phần tử e chỉ là những hàm Ni và Nj. Như vậy N  trong phần tử e nếu không bằng i hoặc j, tức là  không thuộc phần tử e. Bởi vì: K m =  E e e mK 1  ; C    E e Cm mm C 1 ª  ; F    E e F 1  (20) Có thể viết tổng quát cho phần tử e như sau: e h jij i e ij e ii h DVdx dx dN dx dND dx dN VNKK e       20 (21) e h iji j e jj e ji h DVdx dx dN dx dN D dx dNVNKK e       20 (22) 30 e j h i e jj e ii hdxNNCC e   ; 60 e j h i e ji e ij hdxNNCC e   ; (23) 0 1      x DNF ii  ; 1      x DNF j M j  ; 0eiF , 1e & 0ejF , Me (24) Khi có các thành phần của các ma trận phần tử Ke và Fe được hoàn toàn xác định bằng cách này, các ma trận K và F sẽ được hình thành bằng phép cộng trực tiếp tất cả các phần tử. Yếu tố thời gian trong phương trình (15) được biến đổi như sau (Zienkiewicz O. C. and Morgan K., 1983):  tttttt FF t CK t CK         2 1)1(  ; 10 (25) Để đảm bảo độ sai số của mô hình số cần tuân thủ điều kiện sau (Peter S. Huyakorn & George F. Pinder, 1987): Số Peclet: x xx xx x Dx D x Pe   2 2  (28); SốCourant: tx x t Cr xx    1 (26) 4. ĐÁNH GIÁ SAI SỐ KẾT QUẢ MÔ HÌNH PTHH SỬ DỤNG PHẦN TỬ TUYẾN TÍNH SỐ MỘT SỐ BÀI TOÁN CHUẨN LAN TRUYỀN CÁC CHẤT Ô NHIỄM 4.1. Nguồn ô nhiễm ở dạng dải trong một thời gian rất ngắn, nước dưới đất không chuyển động Trường hợp là tại x=0 tiếp giáp với khối nước nhạt, đều có các thông số sau: - D=0,02m2/ngày; Miền mô hình dài 50m; h=10m; Điều kiện ban đầu là C= C0=1g/l trên đoạn x=0m10m, C=0 tại x=10m50m; Điều kiện biên: C=0 tại x=0m; Bước lưới trong mô hình PTHH là 0,02m; Bước thời gian trong mô hình PTHH là 0,05 ngày. KHOA HỌC CÔNG NGHỆ TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ THỦY LỢI SỐ 32 - 2016 6 Hình 4. Nồng độ theo mô hình PTHH: x=0 tiếp giáp đất đá không thấm Hình 5. Nồng độ theo mô hình PTHH: x=0 tiếp giáp nước nhạt Kết quả thể hiện trên hai hình 4 và 5 cho thấy rằng phân bố nồng độ trong hai trường hợp điều kiện biên tại x=0: 1) tiếp giáp với khối nước nhạt, và 2) tiếp giáp với đất đá không thấm ở khoảng cách x lớn hơn 5m là rất tương tự nhau. Vì vậy sẽ chỉ đánh giá độ sai số đối với trường hợp điều kiện biên tại x=0 tiếp giáp với khối nước nhạt vì qua kết quả cũng thể hiện độ sai số đối với trường hợp điều kiện biên tại x=0 tiếp giáp với đất đá không thấm. Nồng độ tính toán theo phương pháp giải tích sẽ không thể hiện trong bài viết, mà chỉ thể hiện nồng độ tính toán theo phương pháp PTHH. Theo hình 5 và 6 cho thấy phân bố nồng độ ở dải x=6-14m có tính đối xứng qua x=10 nên độ sai số ở hai dải x=6-10m và x=10- 14m là tương đương nhau (đúng như thể hiện trên hình 6) nên chỉ trình bày kết quả dưới dạng bảng ở hai dải giá trị x=0-5m (bảng 1) và x=8-14m (bảng 2). Bảng 1. Nồng độ (g/l) theo MH PTHH trường hợp x=0 tiếp giáp nước nhạt ở dải x=0-5m x (m) 10ngày 20ngày 30ngày 40ngày 50ngày 60ngày 70ngày 80ngày 90ngày 100ngày 0,00 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,50 0,57079 0,42391 0,35200 0,30744 0,27641 0,25321 0,23501 0,22022 0,20792 0,19747 1,00 0,88616 0,73652 0,63879 0,57092 0,52064 0,48155 0,45007 0,42399 0,40195 0,38302 1,50 0,98231 0,90652 0,82919 0,76444 0,71130 0,66726 0,63017 0,59843 0,57095 0,54686 2,00 0,99844 0,97468 0,93217 0,88625 0,84283 0,80346 0,76819 0,73661 0,70830 0,68279 2,50 0,99992 0,99482 0,97755 0,95195 0,92299 0,89354 0,86499 0,83788 0,81247 0,78874 3,00 1,00000 0,99921 0,99384 0,98232 0,96616 0,94728 0,92710 0,90654 0,88616 0,86627 3,50 1,00000 0,99991 0,99861 0,99436 0,98670 0,97617 0,96355 0,94955 0,93470 0,91940 4,00 1,00000 0,99999 0,99974 0,99844 0,99532 0,99015 0,98305 0,97432 0,96428 0,95324 4,50 1,00000 1,00000 0,99996 0,99962 0,99849 0,99615 0,99237 0,98712 0,98049 0,97267 5,00 1,00000 1,00000 0,99999 0,99989 0,99940 0,99815 0,99583 0,99229 0,98749 0,98150 KHOA HỌC CÔNG NGHỆ TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ THỦY LỢI SỐ 32 - 2016 7 Bảng 2.Nồng độ (g/l) theo MH PTHH trường hợp x=0 tiếp giáp nước nhạt ở dải x=8-14m x (m) 10ngày 20ngày 30ngày 40ngày 50ngày 60ngày 70ngày 80ngày 90ngày 100ngày 8,00 0,99926 0,98771 0,96679 0,94404 0,92246 0,90286 0,88527 0,86950 0,85534 0,84256 8,50 0,99154 0,95437 0,91603 0,88379 0,85726 0,83524 0,81668 0,80078 0,78701 0,77492 9,00 0,94490 0,87065 0,82180 0,78777 0,76251 0,74286 0,72702 0,71390 0,70280 0,69326 9,50 0,79001 0,71576 0,67927 0,65663 0,64085 0,62904 0,61978 0,61225 0,60598 0,60066 10,00 0,50630 0,50445 0,50363 0,50314 0,50281 0,50257 0,50237 0,50222 0,50210 0,50199 10,50 0,21922 0,29186 0,32728 0,34919 0,36444 0,37583 0,38477 0,39203 0,39807 0,40319 11,00 0,05872 0,13412 0,18300 0,21684 0,24187 0,26131 0,27695 0,28991 0,30085 0,31024 11,50 0,00922 0,04783 0,08683 0,11934 0,14595 0,16798 0,18651 0,20235 0,21606 0,22806 12,00 0,00082 0,01302 0,03460 0,05778 0,07962 0,09939 0,11707 0,13288 0,14705 0,15979 12,50 0,00004 0,00268 0,01149 0,02447 0,03909 0,05393 0,06828 0,08189 0,09463 0,10650 13,00 0,00000 0,00041 0,00316 0,00903 0,01722 0,02675 0,03692 0,04725 0,05747 0,06740 13,50 0,00000 0,00005 0,00072 0,00289 0,00678 0,01211 0,01846 0,02549 0,03288 0,04045 14,00 0,00000 0,00000 0,00013 0,00080 0,00238 0,00499 0,00853 0,01283 0,01771 0,02299 Hình 6. Sai số tuyệt đối giữa mô hình giải tích và mô hình PTHH: x=0-5m Hình 7. Sai số tương đối nồng độ theoMH PTHH: x=0-5m Hình 8. Sai số tuyệt đối nồng độ theo MH PTHH: x=0-16m Hình 9. Sai số tương đối nồng độ theo MH PTHH: x=0-18m KHOA HỌC CÔNG NGHỆ TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ THỦY LỢI SỐ 32 - 2016 8 Kết quả cho thấy sai số tuyệt đối ở khoảng x=1-5m là dải phân tán chất ô nhiễm bị chi phối bởi điều kiện biên có nồng độ chất ô nhiễm bằng 0 có giá trị sai số tuyệt đối trong thời gian 1-10 ngày rất bé, dưới 0,0002 (khi thời gian khoảng 10 ngày) tới không quá 0,00002 (khi thời gian tới 100 ngày) (hình 6), tương ứng với độ sai số tương đối (giá trị tuyệt đối của tỷ số giữa sai số tuyệt đối và nồng độ tính theo phương pháp giải tích) là từ dưới 0,06% đến 0,005% (hình 7). Tuy nhiên, ở dải x=6-14m giá trị sai số tuyệt đối lớn nhất tại vị trí x=10m (là ranh giới ban đầu nước ô nhiễm và không ô nhiễm) đạt tới khoảng trên 0,06g/l (thời gian khoảng 10 ngày) và xuống khoảng 0,002 (thời gian khoảng 100 ngày); càng ra xa điểm x=10m này giá trị sai số càng giảm (hình 8), tương ứng giá trị sai số tương đối lớn nhất là 5,2% (thời gian khoảng 10 ngày) xuống 2,3% (thời gian khoảng 100 ngày) (hình 9). Trong khoảng thời gian ban đầu, độ sai số lớn hơn so với thời gian muộn hơn do độ chênh lệch nồng độ rất lớn ở ranh giới ô nhiễm (có nồng độ là 1g/l) và không ô nhiễm (có nồng độ là 0) do giá trị phân tán vật lý nhỏ hơn rất nhiều sai số trong mô hình số (Huyakorn Pinder, 1987). Theo thời gian, sự chênh lệch nồng độ trên giảm dần do quá trình phân tán vật lý nên sai số của mô hình số giảm đi. Từ đây rút ra mộtkinh nghiệm là trên thực tế các bài toán lan truyền các chất ô nhiễm và nhiễm mặn, dải biến đổi nồng độ ở khu vực lân cận ranh giới cần được xác định, và đưa các giá trị này vào mô hình số sẽ loại bỏ được điều kiện biên ranh giới ô nhiễm đột ngột gây sai số lớn trong MH PTHH, và có độ sai số sẽ nhỏ đi rất nhiều. 4.2. Biên tiếp xúc ô nhiễm mãi mãi và nước dưới đất có chuyển động: Trường hợp biên tiếp giáp với nguồn ô nhiễm có nồng độ không đổi mãi mãi có các thông số như sau: - D=1m2/ngày, V=1m/ngày; Miền mô hình dài 1000m; Điều kiện ban đầu là C=C0 tại x=0m, C=0 tại x=>0m1000m; Điều kiện biên: C=C0 tại x=0 và C=0 tại x=1000m; Bước lưới trong mô hình PTHH là ∆x=0,5m; Bước thời gian trong mô hình PTHH là ∆t=0,1ngày; Kích thước phần tử và bước thời gian được lựa chọn đáp ứng yêu cầu về độ chính xác cần thiết đối với các bài toán thực tế nêu trong các công thức (28) đến (30) nêu trên. Trong tính toán nồng độ C các chất ô nhiễm thông thường nồng độ được so sánh với nồng độ C0 tại biên hoặc nguồn ô nhiễm và sử dụng tỷ số C/C0 gọi là nồng độ tương đối. Trong bài toán chuẩn này sử dụng nồng độ tương đối trong so sánh độ sai số. Kết quả phân bố nồng độ theo mô hình PTHH cho thấy ở các bước thời gian đầu độ sai số tương đối lớn thể hiện qua hình dáng của các đường cong nồng độ không được mượt (hình 10), đặc biệt đối với thời gian trước 8 ngày. Tuy nhiên sau đó các đường cong phân bố nồng độ đã mượt hơn, độ sai số đã nhỏ đi. Vì vậy, đã thể hiện đồ thị phân bố nồng độ tương đố C/C0cho các thời gian trước 10 ngày (hình 10) và 91-100 ngày (hình 11), và số liệu đại diện kết quả tính theo MH PTHH thể hiện trong bảng 3 (1-10 ngày) và bảng 4 (91-100 ngày). Sai số tuyệt đối đối với hai khoảng thời gian 1- 10 ngày và 91-100 ngày được thể hiện tương ứng trên hình 12 và 13. Độ sai số nồng độ tương đối C/C0tuyệt đối đối với thời gian 1-10 ngày tương đối lớn, cực đại đến khoảng 0,42 (thời điểm 1 ngày) và xuống tới khoảng 0,1 (thời điểm 10 ngày) (hình 12). Vì vậy, sai số tương đối đối với khoảng thời gian 1-10 ngày là rất lớn và sẽ không cần thiết được trình bày. Trong khi đó, khi thời gian lan truyền đã kéo dài tới 91-100 ngày thì sai số giảm đi rất đáng kể, cực đại chỉ còn khoảng 0,0053 (thời điểm 91 ngày) xuống còn 0,005 (thời điểm 100 ngày), tương ứng sai số tương đối là khoảng 1,5% (thời điểm 91 ngày) xuống khoảng 1,2% (thời điểm 100 ngày) ở dải nồng độ tương đối C/C0 lớn hơn 0,8 (x=115-120m), tăng lên bằng 4%-6% ở dải nồng KHOA HỌC CÔNG NGHỆ TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ THỦY LỢI SỐ 32 - 2016 9 độ tương đối C/C0nhỏ hơn 0,02 (x>135m). Một điều đáng được lưu ý là sai số tuyệt đối sau khi giảm tới rất nhỏ (dưới 0,0001) (ở x=~95m đối với t=91 ngày và 105m đối với t=100 ngày) đã có xu thế tăng lên (tới 0,0013 ở x=~105m ở thời điểm t=91 ngày, tới và 0,0011 ở x=~115m ở thời điểm t=100 ngày), nhưng do giá trị nồng độ ở đây thấp nên sai số tương đối rất lớn tới 4%-6%. Tương tự như trường hợp trên, trong khoảng thời gian ban đầu độ sai số lớn hơn so với thời gian muộn hơn, ngoài nguyên nhân do độ chênh lệch nồng độ rất lớn ở ranh giới ô nhiễm do giá trị phân tán vật lý nhỏ hơn rất nhiều sai số trong mô hình số về phân tán, còn do nguyên nhân do nước dưới đất chuyển động, mà chiều dài dòng nước chuyển động trong bước thời gian không bằng tích của một số nguyên với bước thời gian (Huyakorn Pinder, 1987). Hình 10. Nồng độ tương đố C/C0theo mô hình PTHH: thời gian 1-10 ngày Hình 11. Nồng độ tương đố C/C0 theo mô hình PTHH: thời gian 91-100 ngày Bảng 3. Nồng độ tương đối C/C0 theo mô hình PTHH phần tử tuyến tính: 1-10ngày x (m) 1ngày 2ngày 3ngày 4ngày 5ngày 6ngày 7ngày 8ngày 9ngày 10ngày 0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1 0,9163 0,8375 0,9679 0,9501 0,9859 0,9812 0,9934 0,9921 0,9968 0,9965 2 0,3265 0,7835 0,7906 0,9197 0,9204 0,9653 0,9664 0,9839 0,9849 0,9922 3 0,1164 0,4521 0,6973 0,7720 0,8748 0,9000 0,9433 0,9540 0,9730 0,9780 4 0,0415 0,2227 0,4881 0,6538 0,7554 0,8401 0,8823 0,9232 0,9423 0,9620 5 0,0148 0,1013 0,2919 0,4949 0,6328 0,7379 0,8146 0,8656 0,9057 0,9308 6 0,0053 0,0439 0,1577 0,3322 0,4956 0,6210 0,7215 0,7952 0,8498 0,8906 7 0,0019 0,0184 0,0795 0,2023 0,3561 0,4962 0,6126 0,7072 0,7796 0,8353 8 0,0007 0,0076 0,0381 0,1143 0,2356 0,3717 0,4972 0,6057 0,6952 0,7663 9 0,0002 0,0031 0,0176 0,0610 0,1451 0,2602 0,3831 0,4982 0,5998 0,6851 10 0,0001 0,0012 0,0079 0,0311 0,0843 0,1710 0,2792 0,3921 0,4991 0,5947 11 0,0000 0,0005 0,0035 0,0153 0,0466 0,1062 0,1925 0,2943 0,3995 0,4997 12 0,0000 0,0002 0,0015 0,0073 0,0247 0,0628 0,1261 0,2106 0,3068 0,4056 13 0,0000 0,0001 0,0006 0,0034 0,0127 0,0356 0,0788 0,1438 0,2259 0,3174 14 0,0000 0,0000 0,0003 0,0015 0,0063 0,0194 0,0472 0,0940 0,1595 0,2391 15 0,0000 0,0000 0,0001 0,0007 0,0031 0,0103 0,0272 0,0590 0,1082 0,1735 16 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0015 0,0053 0,0152 0,0357 0,0706 0,1213 17 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0007 0,0027 0,0083 0,0209 0,0445 0,0818 18 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0013 0,0044 0,0119 0,0271 0,0534 19 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0006 0,0023 0,0066 0,0161 0,0337 20 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0011 0,0035 0,0093 0,0207 KHOA HỌC CÔNG NGHỆ TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ THỦY LỢI SỐ 32 - 2016 10 Bảng 4 4. Nồng độ tương đố C/C0theo mô hình PTHH phần tử tuyến tính: 91-100ngày x (m) 91ngày 92ngày 93ngày 95ngày 95ngày 96ngày 97ngày 98ngày 99ngày 100ngày 50 0,999 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 55 0,997 0,997 0,998 0,998 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 60 0,989 0,991 0,992 0,993 0,994 0,995 0,996 0,997 0,997 0,998 65 0,973 0,977 0,980 0,983 0,985 0,987 0,989 0,991 0,992 0,993 70 0,940 0,948 0,954 0,960 0,965 0,970 0,974 0,977 0,980 0,983 75 0,882 0,895 0,907 0,917 0,927 0,935 0,943 0,950 0,956 0,961 80 0,793 0,812 0,830 0,846 0,862 0,876 0,889 0,901 0,912 0,921 85 0,672 0,697 0,721 0,744 0,766 0,786 0,806 0,823 0,840 0,856 90 0,530 0,559 0,587 0,615 0,642 0,667 0,692 0,716 0,739 0,760 95 0,383 0,412 0,442 0,471 0,500 0,529 0,557 0,585 0,612 0,638 100 0,252 0,278 0,304 0,331 0,358 0,386 0,415 0,443 0,472 0,500 105 0,150 0,169 0,189 0,211 0,234 0,258 0,283 0,309 0,335 0,362 110 0,080 0,092 0,106 0,122 0,138 0,156 0,175 0,196 0,217 0,240 115 0,038 0,045 0,053 0,063 0,073 0,085 0,098 0,112 0,128 0,144 120 0,016 0,019 0,024 0,029 0,035 0,042 0,049 0,058 0,068 0,079 125 0,006 0,007 0,009 0,012 0,015 0,018 0,022 0,027 0,032 0,038 130 0,002 0,003 0,003 0,004 0,006 0,007 0,009 0,011 0,014 0,017 135 0,001 0,001 0,001 0,001 0,002 0,002 0,003 0,004 0,005 0,007 140 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,001 0,001 0,001 0,002 0,002 Hình 12. Sai số tuyệt đối nồng độ tương đố C/C0theoMH PTHH thời điểm 1-10ngày Hình 13. Sai số tuyệt đối nồng độ tương đốiC/C0 theo MH PTHH thời điểm 91-100ngày 4. NHẬN XÉT, KẾT LUẬN-KIẾN NGHỊ - Đối với diện gần biên có nồng độ chất ô nhiễm-muối không đổi, khu vực càng gần biên độ sai số càng nhỏ; Sai số tương đối không quá 0,06% và giảm xuống giá trị rất nhỏ dưới 0,05%; - Đối với ranh giới giữa nước dưới đất bị ô nhiễm và không bị ô nhiễm, sai số của mô hình PTHH cao trong khoảng thời gian đầu của quá trình lan truyền, và giảm dần theo thời gian: trong thời gian ban đầu (10 ngày trở về trước) sai số tương đối tới trên 5% (lớn nhất), nhưng giảm xuống tới khoảng 1,5% (lớn nhất) từ ngày thứ 100. KHOA HỌC CÔNG NGHỆ TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ THỦY LỢI SỐ 32 - 2016 11 Hình 14. Sai số tương đối nồng độ tương đốiC/C0 theo MH PTHH thời điểm 91-100ngày - Sai số tuyệt đối và sai số tương đối của nồng độ theo MH PTHH không đồng bộ (tức là sai số tuyệt đối lớn nhưng sai số tương đối lại nhỏ và ngược lại) có thể có mặt ở những miền có giá trị nồng độ lớn và thấp. Từ các kết quả trình bày ở trên, một số kiến nghị kết luận đối với MH PTHH lan truyền các chất ô nhiễm và nhiễm mặn như sau: - Tại khu vực gần biên ô nhiễm và nhiễm mặn, nên xác định sự thay đổi nồng độ trên thực tế vào thời điểm ban đầu bắt đầu mô hình, mà trên hầu hết các bài toán thực tế là một dải biến đổi nồng độ đều đều (không đột ngột từ rất cao xuống rất thấp). Điều này sẽ làm giảm thiểu độ sai số của kết quả MH PTHH; - Cũng tại khu vực được cho là ranh giới giữa khu vực ô nhiễm và khu vực không bị ô nhiễm của tầng chứa nước, nên xác định sự thay đổi nồng độ trên thực tế vào thời điểm ban đầu bắt đầu mô hình, mà trên hầu hết các bài toán thực tế là một dải biến đổi nồng độ đều đều; - Trong quá trình hiệu chỉnh mô hình, nên lựa chọn các vị trí có nồng độ chất ô nhiễm không thay đổi quá lớn để sử dụng trong hiệu chỉnh các thông số của mô hình, đồng thời khoảng thời gian giữa các thời điểm dùng hiệu chỉnh đủ dài có sự thay đổi nồng độ tương đối lớn; - Trong các bài toán thực tế, việc đánh giá độ sai số kết quả MH PTHH cần được lưu ý tới việc sử dụng sai số tuyệt đối hay sai số tương đối tùy thuộc vào yêu cầu thực tế của bài toán (đối với những chất rất độc hại nên sử dụng giá trị sai số tương đối với giá trị nồng độ cho phép làm cơ sở, và đối với những chất không độc hại như độ mặn thì dùng giá trị tuyệt đối...). TÀI LIỆU THAM KHẢO: [1] Wen-Hsiung Li, 1972. Differential equations of hydraulic transients, dispersion, and groundwater flow. Mathematical Methods in Water Resources. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey. [2] Zienkiewicz O. C. and Morgan K., 1983. Finite elements and approximation. John Wiley & Sons. [3] Peter S. Huyakorn & George F. Pinder, 1987. Computational methods in subsurface flow. Academic Press, Inc. Harcourt Brace Jovanivich, Publishers. [4] Huyakorn Pinder, 1987, Computational method in subsurface flow, Academic Press. [5] Jacob Bear and Arnold Verruijt, 1987, Modeling groundwater flow and pollution, D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, Holand. [6] Jacob Bear, 1979, Hydraulics of groundwater, McGraw-Hill Publishing Company. [7] Bear, J., 1972. Dynamics of Fluids in Porous Media, Elsevier, New York. [8] Nguyễn Văn Hoàng, 2014. Báo cáo chuyên đề thuộc ĐT.NCCB-ĐHƯD.2012-G/04: Xây dựng mô hình bài toán chuẩn lan truyền các chất ô nhiễm trong nước dưới đất sử dụng phần tử tuyến tính.