Định lý nhúng cho không gian Sobolev có trọng và ứng dụng - Phạm Thị Thủy

Phạm Thị Thủy và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ 185(09): 83 - 87 83 ĐỊNH LÝ NHÚNG CHO KHƠNG GIAN SOBOLEV CĨ TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG Phạm Thị Thủy1, Lê Thị Hồng Hạnh2 1Trường Đại học Sư phạm - ĐH Thái Nguyên, 2Trường Đại học Hoa Lư TĨM TẮT Trong bài báo này, chúng tơi nghiên cứu sự tồn tại và tính trơn của nghiệm của phương trình elliptic suy biến     2 2 2 2 2 0 trong , 0 trên , u u f x g u x y u            ở đây  là một miền bị chặn với biên trơn trong khơng gian 2 , ,f g¡ là các hàm cho trước. Kết quả của bài báo là sự tổng quát định lý nhúng trong N. M. Trí [N. M. Tri, Critical Sobolev exponent for hypoelliptic operators, Acta Mathematic Vietnamica, Vol. 23 (1998), no. 1, 83 – 94] và sự tồn tại nghiệm, tính trơn của nghiệm trong D. T. Luyen, N. M. Tri [D. T. Luyen and N. M. Tri, On boundary value problem for semilinear degenerate elliptic differential equations, AIP Conf. Proc. 1450, 13 (2012), 13 - 17]. Từ khĩa: Bài tốn biên, số mũ tới hạn, giá trị tới hạn, nghiệm khơng tầm thường, định lý nhúng Định lý nhúng Sobolev cho khơng gian cĩ trọng Giả sử  là miền giới nội trong 2¡ với biên  trơn và  0  . Ta xét bài tốn sau: *       2 2 2 2 2 0 trong , 1 0 trên , u u f x g u x y u            trong đĩ          2, 0 0,g u C gR f x C R   . Đặt     0 u G u g t dt  và  1 2,   là vector pháp tuyến đơn vị ngồi trên  . Định nghĩa 1. Ta ký hiệu  1 ,1 pS p    là khơng gian các hàm  pu L  thỏa mãn      , .p p u u L f x L x y         Chuẩn trong  1 ,1 pS p    , được định nghĩa như sau:     1 1 .p p pp p S u u u u f x dxdy x y                  Với 2p  ta cĩ tích vơ hướng trong  21S  như sau: * Tel: 0913 005027, Email: p.thuysptn@gmail.com                 2 2 1 2 2 , , , , . S L L L u v u v u v x x u v f x f x y y                        Định nghĩa 2. Khơng gian  1,0 pS  được gọi là bao đĩng của  10C  trong khơng gian  1 . pS  Định nghĩa 3. Hàm  21,0u S  được gọi là nghiệm yếu của Bài tốn (1) nếu đẳng thức:    2 , u u dxdy f x dxdy g u dxdy x x y y                   thỏa mãn với mọi  0 .C   Định lý 1.  1 pS  là khơng gian Banach,  21S  là khơng gian Hilbert. Chứng minh. xem [3] Trong phần tiếp theo ta xét một trường hợp của hàm      22 1 k f x x x  trong đĩ      1( ), 1, 0.x C x x x     ¡ Khi đĩ ta cĩ kết quả sau Định lý 2. (Định lý nhúng Sobolev cho khơng gian cĩ trọng). Giả sử 1 2p k   . Khi đĩ       2 2 1,0 k p p k pS L        với  là số dương đủ nhỏ. Phạm Thị Thủy và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ 185(09): 83 - 87 84 Chứng minh Ta chứng minh với mỗi    10,u x y C  , ta cĩ bất đẳng thức sau:        22 1,0 . 2 k p pk pL S u C u        Ta chứng minh (2) đúng với p =1, Lấy số M > 0 đủ lớn để    , , .M M M M    Khi đĩ ta cĩ:      , , , , . x M u u x y t y dt x y t      Do vậy      , , , , . M M u u x y t y dt x y t      Tương tự ta cĩ:           , , , , , , , 0. M M M M u u x y x t dt x y t u u x y x t dt t                    Nên ta cĩ:               1 , , , , . , , . , . M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M u x y dxdy u u x t dt t y dt dxdy t t u u x t dt dx t y dt dy t t u u x y dxdy x y dy dx x y                                                                            Áp dụng bất đẳng thức Hưlder ta cĩ:          1 1 1 , 1 1 , . M M M M M k M M M k M M u x y dy dx y x x dx u x x x y dx y                                                   Do vậy            1 1 1 1 , , 1 1 , . M M M M M k M M M k M M u u x y dxdy x y dxdy x x x dx u x x x y dx y                                                     Ta cĩ      1 , 1x C x   ¡ , nên trên  ,M M , hàm số  1 x là liên tục đều, nên  0 ,x M M   để      0 1 , min 1 1 0. M M x x C        Nên   1 2 211 , 0 , 0. 1 x C C k           Do đĩ với 1 0 1k    , khi đĩ tích phân   11 1 x M k M x x d            là hội tụ. Do vậy ta cĩ:         11 1 , xd | | 1 .k LL u u u x y d y C x x y x             Áp dụng bất đẳng thức Young ta cĩ:             1 11 11 1 1 1 | | 1 | | 1 . k L LL k LL u u u C x x y x u u C x x y x                              Đối với p bất kỳ lấy | | , 1u    thay vào cơng thức trên và áp dụng bất đẳng thức Hưlder ta cĩ:               1 1 ' 1 1 1 1 | | 1 | | 1 , pp p L k L L L k LL u u C x x u y u C u C u x u u x x y x                                    Phạm Thị Thủy và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ 185(09): 83 - 87 85 trong đĩ 1 1 1 p p    . Chọn 1 p p       ta cĩ:                             1 1 1 11 ' 1 1 1 1 1 1 ' 1 1 1 1 1 1 x | | 1 . | | 1 . | | 1 pp pp p p p p p p k LL p p p k LL p p p p k LL u d C u u u x x y x u dx u u C x x y x u dx u u C x x y x                                                                                                       , p          hay           1 1 | | 1 p p p p k L L L u u C x x y u C x                  Cho  đủ gần 1 1k  . Khi đĩ ta cĩ điều phải chứng minh. Tiếp theo ta chứng minh đẳng thức (2) đúng với    1,0, pu x y S  . Do  1,0 pS  là bao đĩng của  10C  trong khơng gian  1 pS  . Nên tồn tại một dãy       100, , ,n nnu x y u x y C     mà  ,nu x y hội tụ đến  ,u x y trong khơng gian  1 . pS  Nên ta cĩ:  ,nu x y hội tụ đến  ,u x y trong khơng gian  pL  và ta cĩ:        1,0 1,0 , , khi . p p p pn nS S L L u u u u n        Mặt khác ta cĩ:  2 , 2 k p p k p       nên:       2 2 . k p p k pn nL L u u C u u          Mà    0 ,n n u x y   là một dãy Cauchy trong khơng gian  1,0 pS  , nên       2 2 1,0 0 00, 0, , 0 ta cĩ .k p p k pn n p n n pS L N n N p u u u u                       Do vậy    0 ,n n u x y   là một dãy Cauchy trong khơng gian     2 2 k p k pL       . Nên ta cĩ       2 2 1 , k p k pu x y L        để  ,nu x y hội tụ đến  1 ,u x y trong khơng gian     2 2 k p k pL       suy ra    1 , pu x y L  . Theo bất đẳng thức trên ta cĩ:       2 21 1 . k p P k pn nL L u u C u u          Do vậy ta cĩ dãy  ,nu x y hội tụ đến  1 ,u x y trong khơng gian   pL  . Do giới hạn của một dãy là duy nhất nên ta cĩ:  ,nu x y hội tụ đến  ,u x y trong khơng gian     2 2 k p k pL       , hay         2 2 2 2 , khi . k p k p k p k pn L L u u n             Mà theo chứng minh trên ta cĩ:       2 2 1,0 k p pk pn nL S u C u        , cho n , ta cĩ điều phải chứng minh. Lưu ý. Trong trường hợp 1 2p k   , phép nhúng       2 2 1,0 k p p k pS L        khơng tồn tại với  là dương bất kỳ. Định lý 3. Giả sử 1 2p k   . Khi đĩ ánh xạ nhúng       2 2 1,0 k p p k pS L        là compact với mọi  là dương đủ nhỏ. Phạm Thị Thủy và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ 185(09): 83 - 87 86 Chứng minh tương tự như Mệnh đề 4 trong [8] chúng ta cĩ. Định lý 4. Giả sử 1 2p k   . Khi đĩ       2 2 1,0 . k p p k pS L      Định lý 5. Giả sử 2p k  . Khi đĩ  01,0 .pS C  Định lý về sự tồn tại nghiệm Định lý 6. Giả sử ( )g u thỏa mãn các điều kiện sau: i.    0, ,locg u C  ¡ ii.    1 ,mg u C u  với 41 ,km k    iii.     khi 0,g u o u u  iv. Tồn tại A sao cho với    ,u A G u g u u  , trong đĩ 1 0, . 2        Khi đĩ bài tốn      2 2 2 2 2 | | 1 0 trong , u = 0 trên , ku ux x g u x y             luơn tồn tại nghiệm yếu ( , )u x y khơng tầm thường thỏa mãn, hơn nữa với mỗi 1 p   ta cĩ ( , ) ( ).pu x y L  Chứng minh Với  21,0u S  xét hàm sau:        22 1 | | 1 2 , ku uu x x dxdy x y G u dxdy                    Từ các điều kiện của g(u) ta cĩ  u thỏa mãn các điều kiện 1( )I , 2( )I , 3( )I trong [1]. Do vậy  u cĩ điểm tới hạn khơng tầm thường, nên bài tốn trên cĩ nghiệm yếu khơng tầm thường thuộc khơng gian  21,0S  . Chứng minh nghiệm yếu ( , )u x y thỏa mãn ( , ) ( ),pu x y L  với [1; )p  xem trong [7]. Trong trường hợp đặc biệt   0x  , các kết quả đã được cơng bố trong [5]. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. A. Ambrosetri and P. Rabinowitz, Dual variational methods in critical theory and applications, Journal of Funtion Analysis 14 (1973), 349 – 381. 2. N. M. Chuong, T. D. Ke, N. V. Thanh and N. M. Tri, Non – existence theorems for boundary value problems for some classes of semilinear degenrate elliptic operators, Proceedings of the conference on Partial Differential Equations and their Applications, pp 185-190, Hanoi December 27-29, 1990. 3. H. Brezis, F. Browder, Partial differential equations in the 20th century, Adv. Math. 135 (1998), 76 - 144. 4. D. Jerison, The Dirichlet problem for the Kohn - Laplacian on the Heisenberg group II, Journal of Funct. Anal, 43 (1981), 224 - 257. 5. N. M. Tri, Critical Sobolev exponent for hypoelliptic operators, Acta Mathematic Vietnamica, Vol. 23 (1998), no. 1, 83 – 94. 6. N. M. Tri, Semilinear Degenerate Elliptic Differential Equations, Local and global theories, Lambert Academic Publishing, 2010. 271pp. 7. D. T. Luyen and N. M. Tri, On boundary value problem for semilinear degenerate elliptic differential equations, AIP Conf. Proc. 1450, 13 (2012), 13 - 17. 8. P. T. Thuy and N. M. Tri, Nontrivial solutions to boundary value problems for semilinear strongly degenerate elliptic differential equations, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl. 19 (2012), no. 3, 279 – 298. Phạm Thị Thủy và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ 185(09): 83 - 87 87 ABSTRACT EMBEDDING THEOREMS FOR WEIGHTED SOBOLEV SPACES AND ITS APPLICATIONS Pham Thi Thuy 1* , Le Thi Hong Hanh 2 1University of Education – TNU, 2Hoa Lu University, Ninh Binh In this paper, we study the existence of solutions for degenerate elliptic equation     2 2 2 2 2 0 in , 0 on , u u f x g u x y u            where  is a bounded domain with smooth boundary in 2 .¡ This result is a generalization of that of N. M. Tri [N. M. Tri, Critical Sobolev exponent for hypoelliptic operators, Acta Mathematic Vietnamica, Vol. 23 (1998), N1, 83 – 94.] and of D. T. Luyen, N. M. Tri [D. T. Luyen and N. M. Tri, On boundary value problem for semilinear degenerate elliptic differential equations, AIP Conf. Proc. 1450, 13 (2012), 13 - 17]. Keywords: Boundary value problems, Critical exponents, Critical values, Nontrivial solutions, Embedding theorems Ngày nhận bài: 18/6/2018; Ngày phản biện: 26/7/2018; Ngày duyệt đăng: 31/8/2018 * Tel: 0913 005027, Email: p.thuysptn@gmail.com