Định lý kiểu Bohl-Perron cho phương trình động lực ẩn trên thang thời gian - Nguyễn Thu Hà

ISSN: 1859-2171 e-ISSN: 2615-9562 TNU Journal of Science and Technology 208(15): 177 - 183 Email: jst@tnu.edu.vn 177 ĐỊNH LÝ KIỂU BOHL-PERRON CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC ẨN TRÊN THANG THỜI GIAN Nguyễn Thu Hà Trường Đại học Điện lực TÓM TẮT Trong bài báo này, chúng tôi phát triển lý thuyết ổn định cho phương trình động lực ẩn trên thang thời gian. Đây là dạng tổng quát của phương trình vi phân đại số và phương trình sai phân ẩn. Cụ thể, ta nghiên cứu định lý Bohl-Perron cho phương trình động lực ẩn trên thang thời gian. Chúng tôi chỉ ra được mối liên hệ giữa tính bị chặn của nghiệm của phương trình động lực ẩn không thuần nhất với tính ổn định của phương trình thuần nhất tương ứng. Từ khóa: Định lý Bohl-Perron; Tính ổn định; Phương trình động lực ẩn; Thang thời gian. Ngày nhận bài: 18/10/2019; Ngày hoàn thiện: 24/11/2019; Ngày đăng: 27/11/2019 BOHL-PERRON TYPE THEOREM FOR IMPLICIT DYNAMIC EQUATIONS ON TIME SCALES Nguyen Thu Ha Electric Power University ABSTRACT In this paper, we develop a stability theory for implic it dynamic equations which is a general form of differential algebraic equations and implicit difference equations. Specifically, we investigate Bohl-Perron type stability theorems for implicit dynamic equations on the time scales. We show the relation between the boundedness of the solution of the nonhomogeneous implicit dynamic equation and the stability of the corresp onding homogeneous equation. Từ khóa: Bohl-Perron theorem; Stability; Implicit dynamic equation; Time scale. Received: 18/10/2019; Revised: 24/11/2019; Published: 27/11/2019 Email: ntha2009@yahoo.com 1 Giîi thi»u Nh÷ chóng ta ¢ bi¸t, b i to¡n v· t½nh ên ành câ vai trá r§t quan trång trong to¡n håc v  ùng döng. Vi»c t¼m ra c¡c i·u ki»n º h» thèng v¨n ho¤t ëng ên ành d÷îi t¡c ëng cõa nhi¹u l  b i to¡n câ þ ngh¾a lîn. º o t½nh ên ành vúng, ng÷íi ta ti¸n h nh c¡c thû nghi»m v  hy vång r¬ng n¸u vîi ¦u v o tèt hìn, th¼ ¦u ra s³ ¡p ùng mët sè thuëc t½nh mong muèn v  h» thèng cõa chóng ta v¨n ên ành mô. V o ¦u th¸ k 20, Bohl, v  sau â l  Per- ron ¢ x²t b i to¡n tr¶n cho ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng. Sau â ành lþ ên ành kiºu Bohl-Perron công ¡p döng cho ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n trong [1,8], ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n câ tr¹ trong [2,4] v  cho ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n ©n trong [6,7]. Do â, r§t câ þ ngh¾a khi b i to¡n n y ÷ñc gi£i quy¸t cho mët ph÷ìng tr¼nh ©n tr¶n thang thíi gian têng qu¡t. Trong b i b¡o n y, ta s³ nghi¶n cùu ành lþ ên ành kiºu Bohl-Perron cho mët lîp ph÷ìng tr¼nh ëng lüc ©n câ d¤ng E(t)x
(t) = A(t)x(t); t  a; t 2 T (1.1) ð â E(
); A(
) l  c¡c h m ma trªn li¶n töc ành ngh¾a tr¶n T \ [a;1), l§y gi¡ trà trong Rnn v  E(t) ÷ñc gi£ thi¸t l  suy bi¸n t  a. N¸u (1.1) chàu nhi¹u q(t), ta câ ph÷ìng tr¼nh khæng thu¦n nh§t E(t)x
(t) = A(t)x(t) + q(t): (1.2) 2 Ki¸n thùc chung Thang thíi gian T l  mët tªp con âng kh¡c réng cõa R. Tr¶n thang thíi gian T ta trang bà tæ pæ ÷ñc c£m sinh tø tæ pæ chu©n t­c tr¶n ÷íng th¯ng thüc R. Tr¶n T, ta ành ngh¾a to¡n tû nh£y ti¸n (t) = inffs 2 T : s > tg, v  to¡n tû nh£y lòi (t) := supfs 2 T : s < tg, t 2 T. H m h¤t  : T ! R+ ÷ñc x¡c ành bði (t) = (t) t; t 2 T. iºm t 2 T ÷ñc gåi l  cæ lªp ph£i n¸u (t) > t; l  trò mªt ph£i n¸u (t) = t v  cæ lªp tr¡i n¸u (t) < t, trò mªt tr¡i n¸u (t) = t. Vîi måi x; y 2 T, ta ành ngh¾a c¡c ph²p to¡n tr¶n thang thíi gian ph²p cëng : x y := x+ y + (t)xy; ph²p trø : x y := x y 1 + (t)y ; H m sè f : T ! R ÷ñc gåi ch½nh quy, n¸u tçn t¤i c¡c giîi h¤n ph£i t¤i c¡c iºm trò mªt ph£i v  giîi h¤n tr¡i t¤i c¡c iºm trò mªt tr¡i. H m f l  rd-li¶n töc n¸u nâ li¶n töc t¤i c¡c iºm trò mªt ph£i cõa T v  tçn t¤i giîi h¤n tr¡i t¤i c¡c iºm trò mªt tr¡i. Tªp c¡c h m rd-li¶n töc kþ hi»u l  Crd(T;R). H m f ÷ñc gåi l  hçi quy (d÷ìng) n¸u 1 + (t)p(t) 6= 0(1 + (t)p(t) > 0); t 2 T: Kþ hi»u R = R(T;R) (R+ = R+(T;R)) l  tªp c¡c h m hçi quy (hçi quy d÷ìng). ành ngh¾a 2.1 (
-¤o h m). H m sè f : T ! Rd ÷ñc gåi l  câ
-¤o h m t¤i t n¸u tç t¤i v²c tì f
(t) sao cho vîi måi " > 0, tçn t¤i  > 0 sao cho kf((t))f(s)f
(t)((t) s)k  "j(t) sj thäa m¢n vîi måi s 2 (t ; t+ )\T. Khi â f
(t) ÷ñc gåi l 
-¤o h m cõa f t¤i t. ành lþ 2.2. [3] Cho p 2 R v  t0 2 T, khi â nghi»m duy nh§t cõa b i to¡n gi¡ trà ban ¦u y
(t) = p(t); y(t0) = 1 tr¶n T l  h m mô ep(t; t0). Bê · 2.3. [3] [B§t ¯ng thùc Gronwall- Bellman] Cho  2 T, u; b 2 Crd, u0 2 R v  b(t)  0 vîi måi t   . Khi â, n¸u u(t)  u0 + Z t  b(s)u(s)
s; vîi måi t  ; th¼ ta câ u(t)  u0eb(t; ) vîi måi t  : 2 3 T½nh gi£i ÷ñc cõa h» ëng lüc ©n L§y a 2 T cè ành. Ta x²t h» ëng lüc ©n tuy¸n t½nh tr¶n thang thíi gian T, E(t)x
(t) = A(t)x(t) + q(t); t  a; (3.1) vîi E;A l  c¡c ma tr¥n nh÷ ¢ x²t ð möc 1. Gi£ sû rank E(t) = r, 1  r < n, vîi måi t 2 Ta, v  q : Ta ! Rn l  h m li¶n töc. Gi£ sû ker E(t) trìn theo ngh¾a l  tçn t¤i ph²p chi¸u Q(t) l¶n ker E(t) sao cho Q(t) l  kh£ vi li¶n töc vîi måi t > a v  li¶n töc tr¶n Ta. Vîi P (t) = I Q(t), khi â, ph÷ìng tr¼nh (3.1) ÷ñc vi¸t l¤i d÷îi d¤ng E(t)(Px)
(t) = A(t)x(t) + q(t); (3.2) vîi A := A+ EP
2 Lloc1 (T;Rnn). Cho T : Ta ! Gl(Rn) l  mët h m li¶n töc sao cho T jker E l  mët ¯ng c§u giúa ker E v  ker E. Kþ hi»u G := E ATQ v  S := fx : Ax 2 im Eg: Bê · 3.1. C¡c m»nh · sau l  t÷ìng ÷ìng, i) S \ ker E = f0g; ii) G khæng suy bi¸n; iii) Rn = S  ker E. Chùng minh Xem [5. Lemma 2.1]. Gi£ sû ma trªn G khæng suy bi¸n, khi â ta câ bê · sau. Bê · 3.2. Ta câ c¡c mèi li¶n h» sau: i) P = G1E; ii) G1ATQ = Q; iv) N¸u bQ l  ph²p chi¸u tr¶n ker E th¼ PG 1A = PG1A bP ; QG 1A = QG1A bP T1 bQ: Chùng minh Chùng minh t÷ìng tü Lemma 2.2 [5]. Bê · 3.3. PG1; TQG1 khæng phö thuëc v o c¡ch chån T v  Q. Chùng minh Gåi Q0 l  c¡c ph²p chi¸u l¶n ker A v  T 0 2 Gl(Rd) sao cho T 0 jker E l  mët ¯ng c§u giúa ker E v  ker E. Ta s³ chùng minh TQG 1 = T 0Q0G01 with G0 = EAT 0Q0: Thªt vªy, ta câ TQG 1G0 = TQG1(E AT 0Q0) = TQG 1AT 0Q0 = T 0Q0: Vªy, TQG1 = T 0Q0G01. T÷ìng tü ta công câ PG1 = PG01. Bê · ÷ñc chùng minh. Þ ngh¾a 3.4. C¡c bê · tr¶n câ vai trá r§t lîn trong vi»c gi£i ÷ñc ph÷ìng tr¼nh ëng lüc ©n. Nâ gióp ta ph¥n r¢ 3.2 v  ÷a nâ v· mët ph÷ìng tr¼nh ëng lüc th÷íng v  mët quan h» ¤i sè. i·u n y gióp ta d¹ d ng hìn trong vi»c biºu di¹n nghi»m cõa 3.2. ành ngh¾a 3.5. Ph÷ìng tr¼nh ëng lüc ©n (3.1) ÷ñc gåi l  câ ch¿ sè 1 m·m (gåi t­t l  ch¿ sè 1) tr¶n T n¸u G(t) kh£ nghàch vîi måi t 2 T. Cho J  T. Kþ hi»u C1(J;Rn) := fx(
) 2 Crd(J;Rn) : P(t)x(t) l  kh£ vi
vîi måi t 2 J:g Ta chó þ r¬ng nghi»m x(
) cõa (3.1) l  ph¦n tû cõa C1(J;Rn). Ð â x(
) l  khæng kh£ vi-
. Do â chóng ta hiºu r¬ng biºu di¹n Ex
câ ngh¾a l  E((Px)
P
x). Nh¥n hai v¸ cõa (3.2) vîi PG1, QG1 v  °t u = Px and v = Qx, ta ÷ñc u
= (P
+ PG 1A)u+ PG1q; (3.3) v = TQG 1Au+ TQG1q: (3.4) 3 Ta câ x = u + v, vîi u câ thº t¼m tø (3.3), sau â dòng (3.4) º t½nh ÷ñc v. Tø â ta th§y, ta ch¿ c¦n °t ra i·u ki»n ¦u cho (3.3) u(t0) = P (t0)x0; t0  a, hay P (t0)(x(t0) x0) = 0; x0 2 Rn: (3.5) Bê · 3.6. Måi nghi»m u(t) cõa ph÷ìng tr¼nh (3.3) xu§t ph¡t tø im P (t0) th¼ v¨n trong im P (t) vîi måi t 2 Tt0. Chùng minh Thªt vªy, nh¥n hai v¸ cõa ph÷ìng tr¼nh (3.3) vîi Q ta ÷ñc Qu
= QP
u. Tø â suy ra (Qu)
= Q
Qu. Vªy, n¸u Q(t0)u(t0) = 0 th¼ Q(t)u(t) = 0 vîi måi t 2 Tt0 . Do â u(t) = P (t)u(t) hay u(t) 2 im P (t). Ta câ i·u c¦n chùng minh. Gi£ sû (t; s) l  to¡n tû Cauchy sinh ra bði h» thu¦n nh§t E(t)x
(t) = A(t)x(t): (3.6) Khi â vîi måi t  s  a, ta câ( E(t)
(t; s) = A(t)(t; s); P (s)((s; s) I) = 0: Gåi 0(t; s) l  to¡n tû Cauchy cõa (3.3) 
0 (t; s) = (P
+ PG 1A(t))0(t; s); (3.7) vîi 0(s; s) = I: Tø (3.3) v  (3.4), ta câ (t; s) = eP (t)0(t; s)P (s); (3.8) vîi eP = I + TQG1A. Kþ hi»u x(
; t0; x0) l  nghi»m duy nh§t cõa h» (3.1) vîi i·u ki»n ¦u P (x(t0; t0; x0) x0) = 0: (3.9) Theo cæng thùc bi¸n thi¶n h¬ng sè ta câ x(t) = (t; t0)P (t0)x0 + Z t t0 (t; (s))P(s)G 1(s)q(s)
s + T (t)Q(t)G 1(t)q(t): (3.10) 4 ành lþ kiºu Bohl-Perron cho h» ëng lüc ©n Möc ½ch cõa nëi dung n y l  chùng minh ành lþ Bohl-Perron cho h» ëng lüc ©n tuy¸n t½nh. Ð â ta xem x²t mèi quan h» giúa t½nh bà ch°n cõa nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (3.1) vîi t½nh ên ành cõa ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t t÷ìng ùng (3.6). Theo c¡ch gi£i ph÷ìng tr¼nh (3.1), ta th§y h m q ÷ñc t¡ch th nh hai th nh ph¦n PG 1q v  TQG1q. Do â, vîi b§t ký t0 2 Ta ta x²t q nh÷ l  mët ph¦n tû cõa tªp hñp L(t0) = fq 2 C ([t0;1];Rn) : sup tt0 kT (t)Q(t)G1(t)q(t)k <1 and sup tt0 kP(t)G1(t)q(t)k <1g: D¹ th§y L(t0) l  mët khæng gian Banach vîi chu©n kqk = sup tt0 kP(t)G1(t)q(t)k + kT (t)Q(t)G1(t)q(t)k
: Gi£ sû x(t; s; q) l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (3.1) k¸t hñp vîi q(t) v  câ i·u ki»n ¦u P (s)x(s; s) = 0. º ìn gi£n, ta câ thº vi¸t x(t; s) ho°c x(t) thay v¼ x(t; s; q). Bê · 4.1. N¸u vîi måi h m q(
) 2 L(t0), nghi»m x(
; t0) cõa b i to¡n Cauchy (3.1) vîi i·u ki»n ban ¦u P (t0)x(t0; t0) = 0 bà ch°n, khi â vîi måi t1  t0, tçn t¤i k > 0, khæng phö thuëc v o t1, sao cho sup tt1 kx(t; t1)k  kkqk: (4.1) Chùng minh Tr÷îc h¸t ta ành ngh¾a hå to¡n tû fVtgtt0 nh÷ sau Vt : L(t0) ! Rn q 7! Vt(q) = x(t; t0): 4 Theo gi£ thi¸t cõa bê ·, ta câ sup tt0 kVtqk <1 vîi måi q 2 L(t0). Sû döng nguy¶n lþ bà ch°n ·u, tçn t¤i h¬ng sè k > 0 sao cho sup tt0 kx(t; t0)k = kVtqk  kkqk; (4.2) vîi måi t  t0. Gåi q l  mët h m cho tr÷îc thuëc L(t1), ta x¥y düng h m q nh÷ sau: qt = 0; n¸u t < t1 v  q(t) = q(t) n¸u t  t1: D¹ th§y q(t) 2 L(t0). Theo cæng thùc bi¸n thi¶n h¬ng sè, vîi måi t  t1, ta câ x(t; t0; q) = Z t t0 (t; ())P()G 1()q()d + T (t)Q(t)G 1(t)q(t) = Z t t1 (t; ())P()G 1()q()d + T (t)Q(t)G 1(t)q(t): Tø â suy ra x(t; t0; q) = x(t; t1; q) vîi måi t  t1. K¸t hñp vîi (4.2) ta nhªn ÷ñc sup tt1 kx(t; t1; q)k = sup tt0 kx(t; t0; q)k  kkqk = kkqk: ành lþ ÷ñc chùng minh. ành lþ 4.2. Måi nghi»m cõa b i to¡n Cauchy (3.1) vîi li¶n k¸t q 2 L(t0) v  i·u ki»n ban ¦u P (t0)x(t0) = 0, l  bà ch°n, khi v  ch¿ khi ph÷ìng tr¼nh ëng lüc ©n ch¿ sè mët (3.6) l  ên ành mô. Chùng minh i·u ki»n c¦n. Tr÷îc h¸t, ta chùng minh n¸u måi nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (3.1) vîi i·u ki»n ban ¦u P (t0)x(t0) = 0, vîi li¶n k¸t q 2 L(t0), l  bà ch°n th¼ ph÷ìng tr¼nh (3.6) s³ ên ành mô. L§y gi¡ trà b§t ký t1  t0, °t (t) = k((t); t1)k; t  t1. Khi â vîi b§t ký y 2 Rn, ta x²t h m sè q(t) = E(t)((t); t1)y (t) ; t  t1: D¹ d ng ch¿ ra ÷ñc P(t)G 1(t)q(t) = P(t) ((t); t1) (t) y; suy ra kT (t)Q(t)G1(t)q(t) = 0k; kP(t)G1(t)q(t)k  K0kyk: Vªy, q 2 L(t1) v  kqk = sup tt1 kP(t)G1(t)q(t)k + kT (t)Q(t)G1(t)q(t)k
 K0kyk: Hìn núa, x(t; t1) = Z t t1 (t; ())P()G 1()q()
 + T (t)Q(t)G 1(t)q(t) = Z t t1 (t; ())P() ((); t1)y ()
 = Z t t1 (t; t1)y ()
: °t (t) = Z t t1 1 ()
 > 0, ta câ x(t; t1) = (t; t1) (t)y: (4.3) Theo Bê · 4.1, ta nhªn ÷ñc kx(t)k = k(t; t1) (t)yk = k(t; t1)yk (t)  kkqk  kK0kyk; tø â suy ra k(t; t1)k  k (t) ; (4.4) ð â k = kK0. M°t kh¡c, 1
(t) = (t) = k((t); t1)k  k ((t)) : 5 Hay
(t)  1 k ((t)): Khi â, ta nhªn ÷ñc (t)  (c)e  1 k (t; c); vîi måi t  c. Do vªy, theo (4.4) ta câ k((t); t1)k  k (c) e 1 k ((t); c): vîi måi t  c. Do â, vîi måi t > c th¼ k(t; t1)k  k (c) e 1 k (t; c) = k (c)e 1 k (c; t1) e 1 k (t; t1): °t  = 1 k , N1 = k (c)e 1 k (c; t1) v  N = max  N1; max t1tc k(t; t1)k e(t; t1)  ; ta nhªn ÷ñc i·u c¦n chùng minh k(t; t1)k  Ne(t; t1) for t  t1: i·u ki»n õ.º chùng minh i·u ki»n c¦n, ta s³ ch¿ ra r¬ng n¸u (3.6) ên ành mô th¼ t§t c£ c¡c nghi»m cõa b i to¡n Cauchy (3.1) vîi i·u ki»n ban ¦u P (t0)x(t0) = 0, vîi li¶n k¸t q(t) trong L(t0) l  bà ch°n. Vîi q 2 L(t0), ta gi£ sû sup tt0 kP(t)G1(t)q(t)k = C1; sup tt0 kT (t)Q(t)G1(t)q(t)k = C2: Sû döng cæng thùc (3.10), ta ÷ñc kx(t)k  Z t t0 k(t; ())PG1q()k
 + kTQG1q(t)k MC1 Z t t0 e(t; ())
 + C2: V¼ e(t; ( )) = e(t; t0)e ()(( ); t0), ta suy ra kx(t)k  M C1e(t; t0) Z t e 0 t ()(( ); t0)
+C2: Theo quy t­c L'Hæspital ¡p döng cho thang thíi gian ta câ t lim!1e(t; t0) Z t0 t e ()(( ); t0)
 = lim R t t 0 e ()(( ); t0)
 t!1 e ()(t; t0) = lim e ()((t); t0) = 1 : t!1 ()e ()(t; t0)  Do dâ, t sup t0 Z t0 t e(t; ( ))
 < 1, hay tçn t¤i h¬ng sè M1 > 0 sao cho kx(t)k  M C1M1 + C2: Vªy, nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (3.1) l  bà ch°n. Ta câ i·u c¦n chùng minh. 5 K¸t luªn Düa tr¶n c¡c k¸t qu£ ¢ câ v· ành lþ ên ành d¤ng Bohl-Perron cho ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n ©n v  ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤i sè, trong b i b¡o n y, chóng tæi ¢ ÷a ra ành lþ Bohl- Perron cho c¡c ph÷ìng tr¼nh ëng ©n tuy¸n t½nh. Mët sè b i to¡n mð ÷ñc °t ra sau khi ho n th nh â l  mð rëng ành lþ tr¶n cho lîp c¡c ph÷ìng tr¼nh ©n d¤ng phùc t¤p hìn. T i li»u tham kh£o [1]. B. Aulbach, N.V. Minh, "The concept of spectral dichotomy for linear difference equa- tions II", J. Differ.Equ. Appl., 2, pp. 251 262, 1996. 6 [2]. L. Berezansky, E. Braverman, "On ex- ponential dichotomy, Bohl-Perron type theo- rems and stability of difference equations", J. Math. Anal. Appl., 304, pp. 511-530, 2005. [3]. M. Bohner and A. Peterson, Advances in Dynamic Equations on Time Scales, Birkhauser, Boston, 2003. [4]. E. Braverman, I.M. Karabash, "BohlPerron type stability theorems for lin- ear difference equations with infinite delay", J. Differ. Equ. Appl., 18, pp. 909-939, 2012. [5]. N.H. Du, T.K. Duy and V.T. Viet, "Degenerate cocycle with index-1 and Lya- punov exponent", Stochatics and Dynamics, 7(2)(2007), pp. 229-245, 2007. [6]. N.H. Du, V.H. Linh and N.T.T. Nga, "On stability and Bohl exponent of linear singular systems of difference equations with variable coefficients", J. Differ. Equ. Appl., 22 (2016), pp. 1350-1377, 2016. [7]. V.H. Linh, N.T.T. Nga, "Bohl-Perron Type Stability Theorems for Linear Singu- lar Difference Equations", Vietnam Journal of Mathematics, 46 (2018), pp. 437-451, 2018. [8]. M. Pituk, "A criterion for the exponential stability of linear difference equations", Appl. Math. Lett., 17, pp. 779-783, 2004. 7 Email: jst@tnu.edu.vn 184