ĐIều khiển thích ứng hệ thống xác định một phần

đIều khiển thích ứng hệ thống xác định một phần Adaptive Control of Partially Known System Nguyễn Tấn Tiến*, Hoàng Đức Liên** và Kim Sang Bong*** *Khoa Cơ Khí, Đại học Bách khoa Tp HCM 268 Lý Th−ờng Kiệt, Q. 10, Tp. HCM, Việt nam **Khoa Cơ Điện, Đại học Nông nghiệp I Hà nội ***Khoa Mechatronics, Đại học Quốc gia Pukyong, Pusan, Korea Tóm tắt: Bài báo đề nghị một ph−ơng pháp thiết kế bộ điều khiển thích ứng cho hệ thống xác định một phần. Hệ thống bao gồm hai phần: một phần xác định (biết tất cả các thông số) và một phần chứa các thông số ch−a biết của hệ thống. Bộ đIều khiển đ−ợc thiết kế theo tiêu chuẩn ổn định Lyapunov. Kết quả lý thuyết đ−ợc áp dụng vào việc đIều khiển robot hàn di động hai bánh xe. Mô phỏng đ−ợc thực hiện để kiểm chứng độ ổn định của bộ đIều khiển đề nghị. Abstract: This paper proposes an adaptive control method of partially known system and shows its application result to control of a two-wheeled welding mobile robot. The controlled system is designed using Lyapunov stability. The effectiveness of the proposed controller is shown through simulation results. Keyword: partially known system, Welding Mobile Robot(WMR), tracking, welding path reference 1. Giới thiệu Robot di động là một trong những hệ phi holonom (non-holonomic) và đã có rất nhiều công trình nghiên cứu về nó đ−ợc thực hiện nh− trích dẫn ở phần tài liệu tham khảo[1-18]. Hầu hết các công trình nghiên cứu này tập trung vào mô hình động học của robot và chỉ một vài công trình giảI quyết đến mô hình động lực học. Sakar[17] đề nghị dùng hồi tiếp phi tuyến (nonlinear feedback) đển đảm bảo độ ổn định ngõ vào-ngõ ra và độ ổn định Lagrange cho toàn hệ thống. Fierro[16] phát triển một luật đIều khiển bao gồm cả động học và động lực học (combined kinetic/torque control law) dùng ph−ơng pháp b−ớc lùi (backstepping method). Cả hai bài báo này ch−a giải quyết vấn đề có sự biến động thông số hệ thống (system parameter uncertainties) mà vấn đề này rất th−ờng gặp trong bàI toán đIê2u khiển robot di động. Fukao[10] đề nghị một giải pháp điều khiển thích ứng để đIều khiển robot di động có tính đến các thông số động học ch−a biết của hệ thống. Các thông số này đ−ợc xác định dùng luật cập nhật (update law). Bài báo này đề nghị bộ đIều khiển thích ứng dùng điều khiển hệ thống xác định một phần (partly known system). Hệ thống ổn định theo tiêu chuẩn Lyapunov. Bộ điều khiển đề nghị đ−ợc ứng dụng vào việc điều khiển robot di động hàn hai bánh xe. Moment quán tính của hệ thống đ−ợc xem nh− là các thông số ch−a biết và đ−ợc −ớc định (estimate) thông qua luật cập nhật. Mô phỏng đ−ợc thực hiện cho robot hàn theo đ−ờng hàn biên dạng cong. 2. đIều khiển thích ứng hệ thống xác định một phần Bài báo này khảo sát hệ thống phi tuyến gồm hai hệ thống phụ có dạng nh− sau ηξξξ )()( gf +=& (1) ukh )()(21 ηηηη +∆=∆ & (2) với nR∈ξ , mRu ∈,η , nRf ∈ , mnRg ì∈ , 21,∆∆ là các ma trận chéo chứa các thông số ch−a biết t−ơng ứng ii 21 , θθ ; mmRkh ì∈∆∆ ,,, 21 . Ngoài ra, )(ηk khả nghịch (invertible) và 01 >iθ . Định lý 2.1 Bộ đIều khiển sau ổn định hóa hệ thống (1)-(2) và thỏa đIều kiện 0→ξ [ ]ηηαξξαηη )(ˆˆ)()()( 2121 hgKku T ∆−∆+−−−= − & (3) với luật cập nhật iiiii ααηγθ && )(ˆ 11 −= (4) ∑ = −−= m j jijiiii h 1 22 )()(ˆ ηηαηγθ& (5) với mmnn RKRK ìì ∈∈ 21 , là các ma trận xác định d−ơng; miii ∼=> 1,0, 21 γγ là độ lợi thích ứng (adptive gains); 21 ˆ,ˆ ∆∆ là giá trị −ớc l−ợng của các thông số chứ biết 21,∆∆ . Ngoài ra hàm ổn định hóa (stabilizing function) α thỏa mãn điều kiện sau )()( 1 ξξαξ fKg −−= (6) Chứng minh: Gọi +g là ma trận nghịch đảo ảo (pseudo inverse) của ma trận g . Chọn hàm ổn định hóa nh− sau )]()[( 1 ξξξα fKg −−= + (7) Nừu luật đIều khiển ảo (virtual control) η đạt giá trị αη = , hệ thống phụ (1) sẽ ổn định với ξξ 1K−=& . Đặt z là sai số giữa luật đIều khiển ảo và hàm ổn định hóa, αη −=z . Ta có ))(()( αξξξ ++= zgf& ukzhz )())(( 121 ηααη +∆−+∆=∆ && Ta có thể chọn hàm Luapunov theo 0 2 1 2 1 2 1 2 0 ≥∆+= zV ξ (8) Suy ra zzV TT &&& 10 ∆+= ξξ ukzhgzK TT )())(()([ 12 2 1 ηααηξξξ +∆−+∆++−= & (9) Nếu luật điều khiển đ−ợc chọn nh− sau [ ]))(()()( 2121 αηαξξη +∆−∆+−−= − zhgzKku T & (10) ⇒ .022210 ≤−−= zKKV ξ& Theo bổ đề Barbalat[19], ta có thể thấy rằng 0→z , do đó αη→ và .0→ξ Bởi vì 21,∆∆ ch−a biết , nên đ−ợc thay thế bằng các giá trị −ớc định của chúng 21 ˆ,ˆ ∆∆ và luật đIừu khiển trên trở thành [ ]))((ˆˆ)()( 2121 αηαξξη +∆−∆+−−= − zhgzKku T & (11) Bây giờ chúng ta chọn hàm Lyapunov nh− sau ( ) ( ) 0~ 2 1~ 2 1 2 1 2 1 2 22 2 11 2 1 2 1 ≥Γ∆+Γ∆+∆+= zV ξ (12) với iii ∆−∆=∆ ˆ~ [ ]Timiii 2/12/122/11 ,,, −−−=Γ γγγ L , 2,1=i Đạo hàm ph−ơng tình (12) ta có ∑∑∑ ∑∑ = − = − = == −−+−+= Γ∆∆Γ−Γ∆∆Γ−+∆−∆+= Γ∆∆Γ−Γ∆∆Γ−∆+= m i iii m i iii m i m j jjijii m i iii TTT TTTT zhzzV zhzV zzV 1 22 1 2 1 11 1 1 1 1 2 1 10 22221111210 2222111111 ˆ~ˆ~))((~~ ˆ~ˆ~)])((~~[ ˆ~ˆ~ θθγθθγαηθαθ αηα ξξ &&&& &&&& &&&&& ∑ ∑∑ = = − = −     ++−   −−= m i m j jjijiiiii m i iiiiii zhzzV 1 1 222 1 2 1 111 1 10 ))((ˆ ~ˆ~ αηγθθγαγθθγ &&&& (13) Để loại trừ ảnh h−ởng của các thông số ch−a biết ijijij θθθ ˆ~ −= , luật cập nhật đ−ợc chọn nh− sau    +−= = ∑ = m j jjijiii iiii zhz z 1 22 11 ))((ˆ ˆ αηγθ αγθ & && ⇒    −−= −= ∑ = m j jijiiii iiiii h 1 22 11 )()(ˆ )(ˆ ηηαηγθ ααηγθ & && (14-15) và 001 ≤→VV && . ■ Chú ý: Khi i∆ ( 2,1=i ) là đại l−ợng vô h−ớng, tức là ii θ→∆ , luật cập nhật trên đây có thể viết ở dạng sau ∑ = −= m i iii 1 11 )(ˆ ααηγθ && (16) ∑ ∑ = = −−= m i m j jijii h 1 1 22 )()(ˆ ηηαηγθ& (17) 3. mô hình robot di động hàn hai bánh xe Mô hình hóa hệ thống robot hàn đ động hai bánh xe đã đ−ợc đề cập đến trong các nghiên cứu tr−ớc đây của chúng tôi[1-3]. ở đây chỉ nêu kết quả tóm tắt. Hệ tọa độ robot hàn di động hai bánh xe đ−ợc trình bày trong sơ đồ hình H.1. 2e ),,( rrr yx φ ),,( www yx φ rx ry xwx wy y y x φ φ rφ 1e 3e ρ reference welding path l W R XYtorch slider r2 b ),,( φyxC WMR H.1 Hệ tọa độ robot hàn di động hai bánh xe Ph−ơng trình động học và động lực học cho bởi[2]            − − +− +         −=         ωω v e le lev ev e e e r r r 10 0 1 sin cos 1 2 3 3 3 2 1 & & & & (18)   =     −− −+           −−+ ++ lw rw c ww ww v b b dm b rv I r bI b rI r mr I r bI b rI r mr τ τ ωωω 1 1 2 2 1 2 2 1 2 & & (19) Với 3,2,1, =iei là các sai số đ−ợc định nghỉa nh− trên hình H.1; rv là vận tốc hàn tham chiếu; l là chiều dài đầu hàn tính đến tâm robot; nếu rφ đ−ợc định nghĩa là góc giữa rvr và trục rx ω⇒ là đạo hàm của theo thời gian (xin tham khảo [2]); ω,v lần l−ợt là vận tốc dài và vận tốc góc của robot; r là bán kính bánh xe; m là khối l−ợng đ−ợc tính theo công thức wc mmm 2+≡ , trong đó wc mm , là khối l−ợng của thân và bánh xe robot bao gồm cả khối l−ợng trục động cơ; wI là moment quán tính của bánh xe và rotor động cơ tính trên trục quay của bánh xe; b là bán khoảng cách giữa hai tâm bánh xe; I là moment quán tính đ−ợc tính theo công thức mcwc IIbmdmI 22 22 +++≡ , trong đó d là khoảng cách giữa tâm hình học và tâm khối l−ợng của robot, cI là moment quán tính của robot tính theo trục thẳng đứng qua tâm hình học của robot và mI là moment quán tính của bánh xe và rotor động cơ tính trên đ−ờng kính bánh xe. rwτ và lwτ là torque của động cơ đặt trên các bánh xe trái và phải. Ph−ơng trình (18) t−ơng ứng với hệ phụ đã biết còn ph−ơng trình (19) t−ơng ứng với hệ phụ chứa các thông số động học ch−a biết. Cả hai ph−ơng trình trên đ−ợc dùng để thiết kế bộ đIều khiển cho robot hàn và đ−ợc trình bày trong phần kế tiếp. 4. áp dụng ph−ơng pháp đề nghị để đIều khiểnrobot hàn di động Mô hình động học sử dụng các vận tốc làm các luật điều khiển (control input) của hệ thống. Với   = 2 1 α αα ,         = 3 2 1 e e e ξ ,   = ωη v ,         −= r r r lev ev f ω & 3 3 sin cos ,         − − +− = 10 0 1 1 2 e le g ph−ơng trình (6) trở thành         −−                 −=           − − +− r r r lev ev k k k e le ωξ ξ ξ α α & 3 3 3 2 1 13 12 11 2 1 1 2 sin cos 00 00 00 10 0 1 (20) và ta có    + +++=  =   313 1113313 2 1 cos)( ek ekeveklv r rr ω ω α α ω (21) cùng với qui luật chuyển động cho đầu hàn nh− sau 2123sin ekevl r +=& (22) với 0>ijk đ−ợc chọn tùy yêu cầu của hệ thống đ−ợc điều khiển (controlled system). Mô hình động lực học sử dụng torque lwrw ττ , làm các luật điều khiển của hệ thống. Nhân hai vế của (19) cho ma trận [ ]11;11 − , và đặt ijθ nh− sau wIr rm 2 11 +=θ , wIr bI b r 2 12 +=θ , dmb r c=2θ (23) Ph−ơng trình (19) trở thành      −+     −=     lw rwvbv τ τ ωω ωθωθ θ 11 11 0 0 0 0 2 12 11 & & (24) Trong robot hàn di động, các bánh xe đ−ợc dẫn động thông qua các bộ hộp số và khoảng cách từ đấu hàn đến tâm robot thay đổi trong quá trình làm việc. Do đó khó có thể đo hay −ớc l−ợng chính xác các giá trị moment quán tính và khỏng cách giữa hai tâm động học và động lực học của robot, .d Vì lý do đó, trong bài báo này, giá trị ijθ đ−ợc xem nh− là các thông số ch−a biết. áp dụng định lý 2.1 ở trên với   =∆ 12 11 1 0 0 θ θ , 22 θ=∆ ,   = lw rwu τ τ ,    −= 0 0 ω ωb h ,    −= 11 11 k để thiết kế luật điều khiển cho robot, ta đ−ợc kết quả sau [ ] [ ]   +−−+−−−−+−−= −−++++−−−−−= )(ˆˆˆ)1()()( 2 1 )(ˆˆˆ)1()()( 2 1 221211131222121 221211131222121 vbeelkvk vbeelkvk lw rw ωωθαθαθαωατ ωωθαθαθαωατ && && (25) với giá trị của α đ−ợc tính nh− theo ph−ơng trình (21) và đạo hàm của chúng theo thời gian nh− sau   −+= ++++++++−= )( sincos]sin)([ 132 3313311212313211111 ωωωα ωωωα rr rrrrr k eekvevkeklevlklekvk && && (26) Luật cập nhật hóa cho các thông số không biết đ−ợc tính toán từ các ph−ơng trình (14) và (17)    −−−−= −= −= ])()[(ˆ )(ˆ )(ˆ 2122 221212 111111 vbv v αωωαωγθ ααωγθ ααγθ & && && (27) 5. Kết quả mô phỏng Mô phỏng và thí nghiệm đ−ợc thực hiện với các số liệu cho ở bảng B.1. và B.2. B.1 Thông số dùng trong mô phỏng Thông số Giá trị Đơn vị Thông số Giá trị Đơn vị a 0.105 m d 0.01 m r 0.025 m cm 16.9 kg wm 0.3 kg cI 0.208 kgm2 wI 41075.3 −ì kgm2 mI 41096.4 −ì kgm2 B.2 Giá trị ban đầu dùng trong mô phỏng Thông số Giá trị Đơn vị Thông số Giá trị Đơn vị rx 0.28 m ry 0.40 m wx 0.27 m wy 0.39 kg v 0 mm/s ω 0 rad/s rφ 0 độ φ 15 độ Đ−ờng hàn tham chiếu dùng trong mô phỏng cho ỡ hình H.2. Vận tốc hàn ở đây là smm /5.7 . Các giá trị ijk và 10,4.3,8,2.4 2221131211 ===== kkkkk đ−ợc chọn bằng và 121211 === γγγ . (0.280,0.400) (0.621,0.590) (0.812,0.666) (0.865,0.719) (1.015,0.910) (0.865,0.910) (0.730,0.854) (0.677,0.801) (0.621,0.666) (0.430,0.591) (0.430,0.400) R = 0. 19 1 R = 0.191 R = 0. 19 1 H.2 Đ−ờng hàn tham chiếu Kết quả mô phỏng cho ở hình H3-12. Chuyển đông của robot khi nó track theo đ−ờng hàn tham chiếu cho ở H.3. Thoạt đầu, robot hiệu chỉnh nhanh chóng vị trí t−ơng đối của nó với đ−ờng hàn tham chiếu nhằm làm giảm thiểu các sai số ban đầu. Các sai số (tracking errors) đ−ợc thể hiện ở hình H.4. Với các giá trị ban đầu cho ở bảng B.2, sau khoảng 1.5 giây robot có thể theo đúng đ−ờng hàn tham chiếu của nó nh− thể hiện trên hình H.5. Khi đi từ đ−ờng thẳng sang đ−ờng cong, vì sự thay đổi của đ−ờbg hàn tham chiếu rω nên tại các điểm chuyển tiếp xảy ra sai số. Tuy nhiên các sai số này nhanh chóng giảm về zero nh− thể hiện ở hình H.6 và H.7. Các sai số −ớc định đ−ợc cho ở hình H.8-10. Đầu hàn (torch slider) phải chuyển động theo qui luật (22) để đạt đ−ợc yêu cầu của bộ đIều khiển. Hình H.11 biểu diễn vận tốc của đầu hàn theo ph−ơng vuông góc với đ−ờng hàn tham chiếu và khoảng cách từ đầu hàn đến tâm robot cho trên hình H.12. Nh− thể hiện trên mô phỏng, bộ điều khiển dùng ph−ơng pháp đề nghị trong bài báo này cho kết quả tốt. 0.2 0.3 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.4 X coordinate (m) Y co or di na te (m ) welding trajectory WMR center trajectory 0.0 1.10.50.3 1.30.90.1 0.7 1.0 1.20.80.60.40.2 H.3 Quỹ đạo của robot khi track đ−ờng hàn tham chiếu 5 0 -5 -10 15 10 -15 0 2.01.00.5 2.51.5 Tr ac ki ng E rr or e i Time (s) error e1 (mm) error e2 (mm) error e3 (deg) H.4 Sai số (tracking errors) lúc robot bắt đầu chuyển động 100 50 0 50 200 150 -100 0 2.01.00.5 2.51.5 Time (s) Ve lo ci ty (m m /s ) welding velocity WMR velocity H.5 Vận tốc của điểm hàn và vận tốc robot 19.8 21.220.620.2 21.420.820.0 20.4 21.0 Time (s) -4 -2 0 2 4 6 8 10 Tr ac ki ng E rr or e i ( x1 0- 2 ) error e1 (mm) error e2 (mm) error e3 (deg) H.6 Sai số tại điểm chuyển tiếp 19.8 21.220.620.2 21.420.820.0 20.4 21.0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Time (s) Ve lo ci ty (m m /s) welding velocity WMR velocity H.7 Vận tốc của điểm hàn và vận tốc robot tại điểm chuyển tiếp 0 2.01.00.5 2.51.5 Time (s) 87.51 87.50 87.52 87.49 ) 10 ( ~ 3 11 kg m Er ro r Es tim at io n − ì θ H.8 Sai số −ớc định (estimation error) 11 ~θ 30.0 30.1 30.3 30.4 30.5 30.6 30.7 30.8 30.2 0 2.01.00.5 2.51.5 Time (s) ) 10 ( ~ 3 12 kg m Er ro r Es tim at io n − ì θ 2 H.9 Sai số −ớc định (Estimation error) 12 ~θ 17.74 17.76 17.77 17.78 17.75 ) 10 ( ~ 3 2 kg m Er ro r Es tim at io n − ì θ 0 2.01.00.5 2.51.5 Time (s) H.10 Sai số −ớc định (Estimation error) 2 ~θ -10 0 10 20 30 40 50 60 To rc h Sl id er V el oc ity (m m /s ) Time (s) 0 2.01.00.5 2.51.5 H.11 Vận tốc của đấu hàn theo ph−ơng vuông góc với đ−ờng hàn tham chiếu 0 2.01.00.5 2.51.5 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 Time (s) To rc h Sl id er L en gt h (m m ) H.12 Khoảng cách từ đầu hàn đến tâm robot 6. kết luận Bài báo này đề nghị một bộ điều khiển thích ứng dùng để điều khiển hệ thống xác định một phần và ứng dụng vào việc đIều khiển robot di đông hàn hai bánh xe. Hệ thống ổn định theo tiêu chuẩn Luapunov. Moment quán tính của hệ thống đ−ợc xem nh− là các thông số ch−a biết và đ−ợc −ớc định thông qua luật cập nhật. Mô phỏng đ−ợc thực hiện cho robot hàn track theo đ−ờng hàn tham chiếu có biên dạng cong bất kỳ. Với kết quả mô phỏng, tác giả hy vọng ph−ơng pháp đề nghị trong bài báo này có thể sử dụng đ−ợc để đIều khiển robot hàn di động hai bánh xe. 7. H−ớng nghiên cứu - Thực hiện thí nghiệm để kiểm chứng tính kgả thi của ph−ơng pháp trên đề nghị. - Nghiên cứu cách −ớc định (estimante) thông số của đ−ờng hàn tham chiếu. H−ớng suy nghĩ có thể là thiết kế một bộ quan sát phi tuyến (nonlinear observer) hay một luật cập nhật (update law) cho thông số này. - Tổng quát hoá lý thuyết trên cho hệ cơ khí phi holonom xác định một phần. - Xét bài toán bao gồm cả các thông số động học và động lực học ch−a biết. Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Tấn Tiến và đồng sự, ”Control of Two-Wheeled Welding Mobile Robot: Part I – Kinematic Model Approach”, Hội nghị Khoa học và Kỹ thuật lần thứ 8, Đại học Bách khoa Tp. HCM, Việt nam, pp. 7-14, tháng T− 2002. [2] Nguyễn Tấn Tiến và đồng sự, ”Control of Two-Wheeled Welding Mobile Robot: Part II – Dynamic Model Approach”, Hội nghị Khoa học và Kỹ thuật lần thứ 8, Đại học Bách khoa Tp. HCM, Việt nam,, pp. 15-22, tháng T− 2002. [3] T.T. Nguyen, T.L. Chung, T.H. Bui, and S.B. Kim, ”A Simple Nonlinear Control of Two-Wheeled Welding Mobile Robot”, Korean Transaction on Control, Automation and Systems Engineering, (code: 02-02-E04, accepted to publish). [4] Y.B. Jeon, S.S. Park and S.B. Kim, “Modeling and Motion Control of Mobile Robot for Lattice Type of Welding Line”, KSME International Journal, Vol. 16, No. 1, pp. 83-93, 2002. [5] B.O. Kam, Y.B. Jeon and S.B. Kim, “Motion Control of Two-Wheeled Welding Mobile Robot with Seam Tracking Sensor”, Proc. of the 6th IEEE Int. Symposium on Industrial Electronics, Korea, Vol. 2, pp. 851-856, June 12-16, 2001. [6] Y.B. Jeon, B.O. Kam, S.S. Park and S.B. Kim, “Seam Tracking and Welding Speed Control of Mobile Robot for Lattice Type of Welding”, Proc. of the 6th IEEE Int. Symposium on Industrial Electronics, Korea, Vol. 2, pp. 857-862, June 12-16, 2001. [7] E. Lefeber, J. Jakubiak, K. Tchon and H. Nijmeijer, “Observer Based Kinematic Tracking Controller for a Unicycle-type Mobile Robot”, Proc. of the 2001 IEEE Int. Conf. on Robotics & Automation, Korea, pp. 2084-2089, 2001. [8] T.C. Lee, K.T. Song, C.H. Lee and C.C. Teng, “Tracking Control of Unicycle-Modeled Mobile Robots Using a Saturation Feedback Controller”, IEEE Trans. on Control Systems Technology, Vol. 9, No. 2, pp. 305-318, March 2001. [10]T. Fukao, H. Nakagawa and N. Adachi, “Adaptive Tracking Control of a Nonholonomic Mobile Robot”, IEEE Trans. on Robotics and Automation, Vol. 16, No. 5, pp. 609-615, October 2000. [11] K. Tsuchia, T. Urakubo and K. Tsujita, “A Motion Control of a Two-Wheeled Mobile Robot”, Proc. of the 1999 IEEE Int. Conf. on Systems, Man, and Cybernetics, Vol. V, pp. 690-696, 1999. [12] A. Tayebi and A. Rachid, “Backstepping-based Discon-tinuous Adaptive Control Design for the Stabilization of Nonholonomic Mobile Robots with Matched Uncertainties”, Proc. of the 36th Conf. on Decision & Control, California USA, pp. 1298-1301, Dec. 1997. [13] R. Mukherjee, D. Chen and G. Song, “Asymptotic Feed-back Stabilization of a Nonholonomic Mobile Robot using a Nonlinear Oscillator”, Proc. of the 35th Conf. on Decision and Control, Kobe, Japan, pp. 1422-1427, Dec. 1996. [14] X. Yun and N. Sarkar, “Dynamics Feedback Control of Vehicles with Two Steerable Wheels”, Proc. of the 1996 IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation, pp. 3105-3110, April 1996. [15] Y. Zheng and P. Moore, “The Design of Time-Optimal Control for Two-Wheeled Driven Carts Tracking A Moving Target”, Proc. of the 34th Conf. on Decision & Control, pp. 3831-3836, 1995. [16] R. Fierro and F.L. Lewis, “Control of a Non-holonomic Mobile Robot: Backstepping Kinematics into Dynamics”, Proc. of the 34th Conf. on Decision & Control, pp. 3805- 3810, USA, Dec. 1995. [17] N. Sarkar, X. Yun and V. Kumar, “Control of Mechanical Systems With Rolling Constrains: Application to Dynamic Control of Mobile Robots”, The Int. Journal of Robotics Research, Vol. 13, No. 1, pp. 55-69, Feb. 1994. [18] X. Yun and Y. Yamamoto, “Internal dynamics of a Wheeled Mobile Robot”, Proc. of the 1993 IEEE/RSJ Int. Conference on Intelligent Robots and Systems, Japan, pp. 1288-1294, July 1993. [19] Jean-Jacques E. Slotine and Weiping Li, Applied Nonlinear Control, Prentice-Hall International, Inc., pp. 122-125.