Điều khiển bám vị trí hệ phi tuyến có tham số trễ theo trạng thái và tín hiệu đầu vào với bộ điều khiển tuyến tính từng đoạn

Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông Đ.T.T.Anh, N.D.Phước, “Điều khiển bám tuyến tính từng đoạn.” 52 ĐIỀU KHIỂN BÁM VỊ TRÍ HỆ PHI TUYẾN CÓ THAM SỐ TRỄ THEO TRẠNG THÁI VÀ TÍN HIỆU ĐẦU VÀO VỚI BỘ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH TỪNG ĐOẠN Đỗ Thị Tú Anh*, Nguyễn Doãn Phước Tóm tắt: Bài toán điều khiển bám tiệm cận vị trí cho hệ phi tuyến có tham số trễ theo cả trạng thái và tín hiệu điều khiển luôn là một thách thức. Bài báo này giới thiệu một phương pháp giải quyết bài toán vừa nêu. Phương pháp đề xuất này được xây dựng trên nền nguyên lý tuyến tính hóa từng đoạn với bộ điều khiển phản hồi trạng thái LQR trượt dọc trên trục thời gian. Do các bộ điều khiển LQR chỉ đảm bảo được tính ổn định tại điểm cân bằng nên khi áp dụng vào bài toán điều khiển bám, bộ điều khiển tối ưu từng đoạn của bài báo cần thêm kỹ thuật bổ sung, đó là kỹ thuật chuyển bài toán điều khiển bám thành bài toán điều khiển ổn định tương đương. Chất lượng bám tiệm cận đó của bộ điều khiển cũng đã được bài báo xác nhận thông qua kết quả mô phỏng của một ví dụ số. Từ khóa: Tuyến tính hóa từng đoạn, Hệ phi tuyến có trễ, LQR. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Các đối tượng điều khiển trong thực tế đều là những hệ phi tuyến [1]. Để mô tả được một cách tương đối đầy đủ bản chất của những hiện tượng vật lý, hóa học trong tự nhiên người ta luôn phải sử dụng các phương trình phi tuyến [2]. Bởi vậy, trong xu hướng nâng cao chất lượng các hệ thống điều khiển tự động ngày nay, người ta không thể không lưu tâm nghiên cứu phát triển các phương pháp điều khiển phi tuyến. Biết là như vậy, song các phương pháp điều khiển hệ phi tuyến hiện có, đặc biệt là với những hệ phi tuyến có trễ, lại không nhiều. Điều này ta có thể thấy ngay ở tài liệu [3], một trong những quyển sách được đánh giá cao về tính bao quát trong điều khiển phi tuyến. Hơn thế nữa, những phương pháp điều khiển bám tín hiệu đặt trước cho hệ phi tuyến có trễ lại càng hiếm [4], trong khi bài toán điều khiển bám ổn định vị trí có ràng buộc cho những đối tượng phi tuyến có trễ lại rất phổ biến trong thực tế [2,5], chẳng hạn ở như các hệ cơ, hệ chuyển động có lực ma sát, hệ thủy lực... với hiện tượng dính (stiction), vọt nhẩy (jump), khe hở (dead zone)... sinh ra từ các thành phần hai vị trí có trễ, khuếch đại có trễ, hysteris... bên trong nó [4,5]. Và đó cũng là lý do chính thúc đẩy các tác giả của bài báo này nghiên cứu xây dựng một phương pháp điều khiển cho hệ phi tuyến có tham số trễ theo cả trạng thái và tín hiệu điều khiển, mô tả bởi mô hình trạng thái không liên tục dạng chung như sau: 1 1 1 1 2 2 2 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) k k k k k k k k k k k k kk x A x u x B x u u y C x u x D x u u                       (1) trong đó:  1( [ ], , [ ]) T nkx x k x k  là vector của n giá trị biến trạng thái trong hệ ở thời điểm t kT và T là chu kỳ trích mẫu, Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2016 53  1( [ ], , [ ]) T mku u k u k  là vector của m biến điều khiển (tín hiệu đầu vào),  1( [ ], , [ ]) T mk y y k y k  là vector của m tín hiệu đầu ra,  1 1 2 2, , ,     là các thời gian trễ theo biến trạng thái và chúng đều là những số tự nhiên,  1 1 2 2, , ,     là các thời gian trễ theo biến điều khiển và chúng cũng đều là các số tự nhiên,  1 1 1 1 2 2 2 2 ( , ), ( , ), ( , ), ( , )k k k k k k k kA x u B x u C x u D x u               lần lượt là các ma trận hàm mô tả tính phụ thuộc trạng thái và tín hiệu điều khiển trong quá khứ của tham số mô hình. Nhiệm vụ điều khiển được đặt ra ở đây là phải xây dựng bộ điều khiển phản hồi trạng thái sao cho tín hiệu đầu ra k y của hệ (1) bám tiệm cận theo được giá trị đặt w dạng hằng số cho trước. 2. THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN Tư tưởng thiết kế bộ điều khiển của bài báo là sự mở rộng của phương pháp điều khiển đã được trình bày ở tài liệu [6] sang cho hệ phi tuyến có trễ mô tả bởi mô hình (1). Như vậy, các bước thiết kế bộ điều khiển sẽ bao gồm:  Tuyến tính hóa từng đoạn mô hình (1) theo chu kỳ trích mẫu. Mỗi mô hình tuyến này sẽ chỉ được sử dụng trong khoảng thời gian ( 1)kT t k T   .  Chuyển bài toán điều khiển bám cho hệ tuyến tính thành bài toán điều khiển ổn định tương ứng.  Xây dựng bộ điều khiển LQR từng đoạn để xác định tín hiệu điều khiển ku thuộc khoảng thời gian ( 1)kT t k T   cho hệ (1). 2.1. Tuyến tính hóa từng đoạn mô hình phi tuyến Xét hệ (1) tại thời điểm t kT hiện tại. Do ở thời điểm này các giá trị trạng thái 1 1 2 2 , , ,k k k kx x x x       và tín hiệu điều khiển 1 1 2 2, , ,k k k ku u u u       thuộc quá khứ là đã biết nên tất cả các ma trận: 1 1 1 1 2 2 2 2 ( , ), ( , ) ( , ), ( , ) k kk k k k k kk k k k A A x u B B x u C C x u D D x u                     (2) đều xác định được. Khi đó, nếu tất cả các ma trận phụ thuộc trạng thái và tín hiệu điều khiển , , , A B C D của mô hình song tuyến (1) được giả thiết là các hàm liên tục, tức là có thể xấp xỉ được: , , , k k k kA A B B C C D D    với ( 1)kT t k T   thì hệ phi tuyến đã cho ban đầu sẽ được thay thế gần đúng bởi mô hình tuyến tính tham số hằng (LTI): 1 : k kk k k k k kk kk x A x B u H y C x D u       (3) Như vậy, ở các thời điểm 1,2, k   hệ phi tuyến (1) đã được tuyến tính hóa thành các mô hình , 1,2, kH k   cho ở (3) và mỗi mô hình tuyến tính này cũng chỉ có tác dụng thay thế cho (1) trong khoảng thời gian tương ứng là ( 1)kT t k T   . Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông Đ.T.T.Anh, N.D.Phước, “Điều khiển bám tuyến tính từng đoạn.” 54 2.2. Chuyển bài toán điều bám thành bài toán điều khiển ổn định Giả sử rằng với dãy tín hiệu điều khiển ku tìm được, hệ , 1,2, kH k   đi vào chế độ xác lập với biến trạng thái kx tiến tới hằng số, ký hiệu bởi [ ]sx k , và ky w . Khi đó, nếu ký hiệu [ ]k su u k cũng là giá trị tín hiệu điều khiển của nó ở chế độ xác lập, ta sẽ được từ (3): [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] k ks s s k ks s x k A x k B u k w C x k D u k       [ ] [ ]0 [ ] [ ] k n k s s k k k s s x k x kA I B M u k u kC Dw                        với kM là ký hiệu của: k n k k k k A I B M C D       (4) Vậy, nếu ma trận kM định nghĩa bởi (4) là không suy biến thì: 1 [ ] 0 [ ] s k s x k M u k w           (5) Từ đây ta thấy nếu đặt biến mới: [ ]k k se x x k  và [ ]k k sd u u k  (6) hệ sai số sẽ là: / 1: k k kk k kH e A e B d   (7) và khi hệ sai số /kH này ổn định tiệm cận tại gốc, ta cũng sẽ có từ 0ke  điều mong muốn [ ]k sx x k và [ ]k su u k , hay ky w . 2.3. Thuật toán điều khiển Để điều khiển ổn định tiệm cận tại gốc hệ sai số "kH có mô hình (7) ta sử dụng tiêu chuẩn tối ưu toàn phương:   0 minT Tk k kk i k i k i k i i J e Q e d R d          (8) với , n n m mk kQ R   R R là hai ma trận đối xứng xác định dương tùy chọn. Khi đó, theo phương pháp quy hoạch động [6], bộ điều khiển LQR cho hệ (7) sẽ là:       1 1 [ ]T T T Tk k k k k k k k k k k k k kk k k sd R B L B B L A e R B L B B L A x x k          (9) trong đó ma trận đối xứng xác định dương 0Tk kL L  là nghiệm của phương trình Riccati:   1T T T k k k k k k k k kk k kL Q A L I B R B L LB B A           (10) Tiếp theo, từ kd có được với công thức (9) ta cũng sẽ có được tín hiệu điều khiển ku cho hệ (1) ban đầu ở thời điểm k , tính ngược nhờ các công thức (6) như sau: Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2016 55     1 [ ] [ ] [ ]T Tk k k k k k kk k s k s su d u k R B L B B L A x x k u k         (11) Vậy, khi tổng kết lại tất cả các bước thực hiện ở trên thì bộ điều khiển tuyến tính từng đoạn để điều khiển bám giá trị đặt w cho hệ phi tuyến với tham số trễ theo trạng thái và tín hiệu điều khiển mô tả bởi (1) sẽ làm việc theo các bước sau: 1. Khai báo 8 mảng dữ liệu sau: 1 x gồm 1 phần tử n chiều: 1 1 1 1 1 1 2, , ,x x x          x với 1 i nx R 2 x gồm 2 phần tử n chiều: 2 2 2 2 2 1 2, , ,x x x          x với 2 i nx R 1 x gồm 1 phần tử n chiều: 1 1 1 1 1 1 2, , ,x x x          x với 1 i nx R 2 x gồm 2 phần tử n chiều: 2 2 2 2 2 1 2, , ,x x x          x với 2 i nx R 1 u gồm 1 phần tử m chiều: 1 1 1 1 1 1 2, , ,u u u          u với 1 i mu R 2 u gồm 2 phần tử m chiều: 2 2 2 2 2 1 2, , ,u u u          u với 2 i mu R 1 u gồm 1 phần tử m chiều: 1 1 1 1 1 1 2, , ,u u u          u với 1 i mu R 2 u gồm 2 phần tử m chiều: 2 1 2 2 2 1 2, , ,u u u          u với 1 i mu R 2. Gán 0k  . Chọn tùy ý giá trị đầu cho 1u và cho tất cả các phần tử của các mảng 1 2 1 2 , , ,   x x x x , 1 2 1 2, , ,   u u u u . 3. Chọn hai ma trận đối xứng xác định dương , k kQ R . 4. Đo kx từ đối tượng điều khiển (1). Tính các ma trận , , ,k k k kA B C D theo công thức (2) mà bây giờ cụ thể là: 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1( , ), ( , ), ( , ), ( , )k k k kA A x u B B x u C C x u D D x u           5. Xây dựng ma trận kM theo (4). 6. Nếu kM là suy biến thì gán 1k ku u  và chuyển tới bước 9. Ngược lại thì thực hiện bước tiếp theo. 7. Xác định [ ], [ ]s sx k u k theo công thức (5). 8. Tính ku theo các công thức (10) và (11), sau đó đưa vào điều khiển đối tượng. 9. Sắp xếp lại các mảng 1 2 1 2 1 2 1 2 , , , , , , ,       x x x x u u u u theo thứ tự từ phải sang trái như sau (FILO): 1 1 1 1 1 2, , , kx x x x           tức là 1 1 1 1: , 1 1 i ix x i       và 1 1 : kx x    2 2 2 2 1 2, , , kx x x x           tức là 2 2 1 2: , 1 1 i ix x i       và 2 2 : kx x    Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông Đ.T.T.Anh, N.D.Phước, “Điều khiển bám tuyến tính từng đoạn.” 56 1 1 1 1 1 2, , , kx x x x           tức là 1 1 1 1: , 1 1 i ix x i       và 1 1 : kx x    2 2 2 2 1 2, , , kx x x x           tức là 2 2 1 2: , 1 1 i ix x i       và 2 2 : kx x    1 1 1 1 1 2, , , ku u u u           tức là 1 1 1 1: , 1 1 i iu u i       và 1 1 : ku u    2 2 2 2 1 2, , , ku u u u           tức là 2 2 1 1: , 1 1 i iu u i       và 1 1 : ku u    1 1 1 1 1 2, , , ku u u u           tức là 1 1 1 1: , 1 1 i iu u i       và 1 1 : ku u    2 2 2 2 1 2, , , ku u u u           tức là 2 2 1 2: , 1 1 i iu u i       và 2 2 : ku u    10. Gán : 1k k  và quay lại bước 3 nếu cần thay đổi ,k kQ R hoặc quay lại bước 4 nếu giữ nguyên ,k kQ R cho tất cả các bước tính, tức là cho mọi k . 3. VÍ DỤ MINH HỌA Xét hệ (1) bậc hai có dạng chi tiết như sau:   1 1 2 1 2 1 0 1 0.25 [ 1] [ 1] 0.5 1 , [ 1] kk k k k k kk x k x x u x k u y x k x u u                       (12) tức là có các thời gian trễ 1 2 1 1 2 1 2 21, 0               của các tham số mô hình. Cụ thể, hệ này có các tham số là:   1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 [ 1] 1 0.25 [ 1] ( , ) , ( , ) [ 1] 0.5 ( , ) 1 , [ 1] , ( , ) k k k k k kk k k k x k x k A x u B x u x k u C x u x k D x u u                                   (13) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0.5 1 1.5 2 S ta te v a ri a b le 1 R k = 100*(0.5)k R k = R = 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -1 -0.5 0 0.5 time S ta te v a ri a b le 2 R k = 100*(0.5)k R k = R = 1 Hình 1. Quỹ đạo trạng thái của hệ kín. Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2016 57 Sử dụng thuật toán điều khiển đã có ở mục 2.3 với:  2, 100 0.5 k k kQ I R  và 1w  cho mọi bước tính k , cũng như các giá trị đầu:  1 10, 0 , 1 T u x   thì với giá trị trạng thái khởi phát:  0 0.2 , 1.3 T x  hệ kín sẽ có chất lượng được thể hiện ở các hình gồm hình 1 biểu diễn quỹ đạo vector trạng thái, hình 2 về tín hiệu đầu ra và hình 3 về giá trị tín hiệu điều khiển. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 time P ro c e s s o u tp u t R k = 100*(0.5)k R k = R = 1 Hình 2. Đáp ứng đầu ra của hệ kín. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 time C o n tr o l s ig n a l R k = 100*(0.5)k R k = R = 1 Hình 3. Tín hiệu điều khiển đưa vào đối tượng. Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông Đ.T.T.Anh, N.D.Phước, “Điều khiển bám tuyến tính từng đoạn.” 58 Các kết quả mô phỏng này cho thấy bộ điều khiển đề xuất đã điều khiển được đối tượng song tuyến (12) có tham số trễ theo cả trạng thái và tín hiệu điều khiển như ở công thức (13), bám ổn định theo tín hiệu đặt 1w  cho trước, tức là hệ kín đã có đầu ra ky tiệm cận tới 1w  và trong suốt quá trình điều khiển hệ luôn có trạng thái bị chặn. Ngoài ra trong tất cả các hình vẽ, đường nét liền biểu diễn cho trường hợp  100 0.5 kkR  còn đường nét đứt biểu diễn trường hợp 1kR  để cho thấy ưu điểm của việc thay đổi các ma trận trọng số của hàm mục tiêu (8). Ngay lúc đầu (khi k nhỏ), ta chọn kR đủ lớn để có ku đủ nhỏ sao cho có thể thỏa mãn điều kiện ràng buộc (nếu có) của tín hiệu điều khiển. Sau đó, ta sẽ giảm dần kR để thông qua đó làm tăng thêm sự tham gia của thành phần sai lệch bám ke trong hàm mục tiêu (8) nhằm làm giảm nhanh sai lệch bám của tín hiệu ra ky so với tín hiệu đặt w . 4. KẾT LUẬN VÀ KHẢ NĂNG MỞ RỘNG CỦA PHƯƠNG PHÁP Bài báo đã giới thiệu một phương pháp điều khiển bám vị trí cho lớp hệ song tuyến có tham số trễ theo trạng thái và tín hiệu điều khiển. Các kết quả mô phỏng số đã xác nhận chất lượng bám vị trí đặt rất tốt của bộ điều khiển. Mặc dù bộ điều khiển đề xuất của bài báo chỉ giới hạn cho lớp các hệ song tuyến có cấu trúc mô hình cho bởi (1), song có thể thấy ta vẫn có thể mở rộng để áp dụng cho các hệ phi tuyến affine có tham số trễ với mô hình: 1 1 1 1 2 2 2 2 1 ( , , ) ( , , ) ( , ) ( , ) k k k k k k k k k k k k k kk x f x x u H x x u u y C x u x D x u u                       nếu như ở đó có vector hàm 1 1 ( , , )k k kf x x u   và ma trận 1 1 ( , , )k k kH x x u   là liên tục theo đối số của nó. Cuối cùng, từ kết quả mô phỏng, một vấn đề nẩy sinh cần được nghiên cứu tiếp là việc chọn hợp lý các ma trận , k kQ R , cũng như một quy luật thay đổi các ma trận đó cho từng vòng lặp, nhằm nâng cao chất lượng bám của hệ thống trong khi vẫn đảm bảo các điều kiện ràng buộc kèm theo của bài toán điều khiển. Đây cũng sẽ là hướng nghiên cứu tiếp theo của nhóm tác giả. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Engell, S., “Entwurf nichtlinearer Regelung”, Oldenbourg, 1995. [2]. Gruyitch, L.T, “Nonlinear Systems Tracking”, CRC Press, 2016. [3] Khalil, H.K., “Nonlinear Systems”, The 3rd edition. Pearson Educaion Limited, 2014. [4]. Phước, N.D., “Phân tích và điều khiển hệ phi tuyến”, Xuất bản lần thứ 2. NXB Bách Khoa, 2015. [5]. Johansson, R. and Rantzer, A., “Nonlinear and hybrid systems in automotive control”, Springer, 2002. [6]. Tú Anh, Đ.T., “Điều khiển dự báo phản hồi đầu ra cho hệ phi tuyến”, Luận án TS, ĐHBK Hà Nội, 2014. Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2016 59 ABSTRACT TRACKING CONTROL OF TIME-DELAY NONLINEAR SYSTEMS WITH CONTROL AND STATE-DEPENDENT PARAMETERS USING PIECEWISE LINEAR CONTROLLER The asymptotically tracking control of time-delay nonlinear systems with control and state-dependent parameters is always a challenging problem. In the paper a method to solve the above problem is introduced. The proposed technique is based on the piecewise linearization principle in which the LQR state-feedback controller moves along the time axis. Because LQR controllers guarantee stability of the system only at the equilibrium point, the proposed controller requires an additional technique to reduce the tracking control problem to the equivalent stabilizing control problem. The asymptotically tracking performance of the controller is also verified through simulation results of a numerical example. Keywords: Piecewise linearization, Time-delay nonlinear systems, LQR. Nhận bài ngày 12 tháng 05 năm 2016 Hoàn thiện ngày 23 tháng 06 năm 2016 Chấp nhận đăng ngày 04 tháng 07 năm 2016 Địa chỉ: Đại học Bách khoa Hà Nội, Số 1, Đại Cồ Việt, Hai Bà Trưng, Hà Nội. *Email: anh.dothitu@hust.edu.vn