Điều khiển bám quỹ đạo cho hệ ball & plate dựa trên smc kết hợp PI

Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2017 209 ĐIỀU KHIỂN BÁM QUỸ ĐẠO CHO HỆ BALL & PLATE DỰA TRÊN SMC KẾT HỢP PI Nguyễn Thị Tuyết Hoa, Trần Thiện Dũng* Tóm tắt: Hệ thống bóng trên đĩa (Ball & Plate system – B&P) có đặc trưng phi tuyến, hơn nữa các thành phần bất định trong mô hình hệ thống như ma sát giữa viên bi và đĩa phẳng, hiệu ứng Criolis và lực ly tâm, sự không chính xác trong tham số hệ thống, ... làm cho chất lượng điều khiển giảm đi đáng kể. Bài báo này đưa ra một cấu trúc điều khiển bám quỹ đạo cho hệ phi tuyến B&P dựa trên nguyên lý của điều khiển trượt. Để loại bỏ hiện tượng rung (chattering) trong hệ thống, một bộ điều khiển tỷ lệ - tích phân (PI) được đưa vào. Các thành phần bất định cũng được ước lượng và bù bởi bộ điều khiển. Kết quả mô phỏng cho thấy cấu trúc đề xuất đảm bảo độ chính xác quỹ đạo và khả năng bền vững với bất định mô hình. Từ khóa: Ball & Plate system (Hệ bóng trên đĩa); Điều khiển trượt; Ước lượng tham số; Điều khiển bám. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Hệ thống Ball & Plate bao gồm đĩa phẳng và một viên bi lăn tự do trên đó. Đĩa phẳng có thể quay quanh hai trục vuông góc làm viên bi chuyển động. Vị trí viên bi được điều chỉnh bằng cách thay đổi góc nghiêng của mặt phẳng. Đây được xem là phiên bản mở rộng của hệ Ball & Beam (bóng và thanh), có thể thiết kế theo một số cách khác nhau [3]. Tuy cấu tạo đơn giản, nhưng B&P lại là một hệ đa biến và có tính phi tuyến điển hình. Vì vậy nó được sử dụng nhiều trong phòng thí nghiệm để nghiên cứu, thử nghiệm các thuật toán điều khiển [4]. Một số phương pháp dựa trên điều khiển tuyến tính [9], [10] xấp xỉ mô hình của hệ B&P thành dạng tuyến tính, sau đó áp dụng các thuật toán của điều khiển tuyến tính như PID, phản hồi trạng thái gán điểm cực, tối ưu LQR, ... và cho đáp ứng đầu ra khá tốt. Tuy nhiên, do việc xấp xỉ và không tính đến các yếu tố bất định: ma sát giữa viên bi và mặt phẳng, hiện tượng backlash, tham số không chính xác, ... mà chất lượng điều khiển của các phương pháp này không được như mong đợi. Điều khiển phi tuyến cho phép nâng cao chất lượng và khả năng bền vững với các bất định trong dải rộng vận hành. Trong [11], phương pháp điều khiển cuốn chiếu (backstepping) được sử dụng, tuy vậy lựa chọn các hàm Lyapunov rất phức tạp và gây khó khăn cho việc thiết kế. Trong [3],[4] sử dụng điều khiển trượt (Sliding Mode Control) nâng cao đáng kể khả năng bền vững với các bất định. Tuy nhiên, điều này lại gây ra hiện tượng rung (chattering) trong hệ. Cấu trúc điều khiển đề xuất gồm 2 mạch vòng phản hồi [8]. Trong cùng là mạch vòng điều khiển vị trí cho động cơ DC Servo, mạch vòng ngoài điều khiển vị trí của viên bi trên đĩa. Đầu ra của bộ điều khiển vị trí viên bi chính là góc nghiêng của mặt phẳng, được đưa tới làm lượng đặt cho mạch vòng trong, điều khiển động cơ bám theo lượng đặt này. Tốc độ của mạch vòng trong được chọn cao hơn mạch vòng ngoài, có thể bỏ qua động học của nó so với động học của viên bi. Chất lượng hệ thống chủ yếu phụ thuộc vào mạch vòng ngoài, được thiết kế dựa trên điều khiển trượt. Hiện tượng rung xuất hiện do việc sử dụng các tín hiệu điều khiển không liên tục (discontinous). Bài báo sử dụng luật điều khiển liên tục dạng tỷ lệ - tích phân (PI) để tránh gây rung cho hệ thống mà vẫn tận dụng được khả năng bền vững của điều khiển trượt. Bằng việc đưa thêm vào ước lượng của thành phần bất định, đầu ra sẽ ít chịu tác động của những thành phần này. Các ước lượng được thực hiện dựa trên quan sát trạng thái. Trong phần 2, mô hình toán của hệ thống được mô tả, cấu trúc điều khiển đề xuất được trình bày trong phần 3. Phần 4 là kết quả mô phỏng bộ điều khiển bám quỹ đạo. Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông N. T. T. Hoa, T. T. Dũng, “Điều khiển bám quỹ đạo dựa trên SMC kết hợp PI.” 210 2. MÔ HÌNH TOÁN HỆ BALL & PLATE Sử dụng phương pháp Euler – Lagrange, mô hình phi tuyến cho hệ Ball & Plate được cho bởi hệ phương trình sau [5]: 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 ( ) sin ( ) sin ( ) cos ( ) cos b x x y b y y x P b x x x x y x y y x x x P b y y y x y y x x y y y I m p mp mp mg r I m p mp mp mg r I I mp mp p mp p mp p mp p mgp I I mp mp p mp p mp p mp p mgp                                                                         (1) Với các thông số trong mô hình: Thông số Ý nghĩa Thông số Ý nghĩa m Khối lượng viên bi β Góc nghiêng theo trục Y r Bán kính viên bi τx Moment động cơ trên trục X px Vị trí viên bi theo trục X τy Moment động cơ trên trục Y py Vị trí viên bi theo trục Y Ip Moment quán tính của đĩa α Góc nghiêng theo trục X Ib Moment quán tính của viên bi. g Gia tốc trọng trường Xuất phát từ cấu trúc điều khiển 2 mạch vòng [8], với mạch vòng điều khiển vị trí động cơ bên trong, để đơn giản có thể coi đầu vào của hệ thống là các góc α, β thay vì τx τy. Phương trình mô tả hệ Ball & Plate: Hình 1. Mô hình hệ thống Ball & Plate. 2 2 2 2 0 0 ( ) sin ( ) sin b x x y b y y x I m p mp mp mg r I m p mp mp mg r                         (2) Mô hình B&P có thể được viết lại như sau: sin sin x x y y p b f p b f           (3) Trong đó: ( , )x y f là các thành phần bất định trong mô hình: ma sát, lực Criolis, ly tâm, sai lệch tham số, ... Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2017 211 Hình 2. Cấu trúc 2 mạch vòng phản hồi. 3. THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN BÁM QUỸ ĐẠO Xét riêng mô hình hệ Ball & Plate theo phương X: . , sin x p b u f u    (4) Giả thiết: Thành phần bất định f(t) bị chặn và đã biết. Tức là tồn tại một hằng số: 0 F   sao cho ( )f t F . Ngoài ra, b là một tham số hằng và đã biết. 3.1. Thiết kế điều khiển trượt Bộ điều khiển trượt được sử dụng để đảm bảo khả năng bám quỹ đạo cũng như tính bền vững với sai lệch mô hình. Gọi quỹ đạo đặt của viên bi theo trục X là rx, ta có, sai lệch bám: x x e p r  . Sử dụng biến trượt dạng sau: z ce e   (5) Từ nguyên lý của điều khiển trượt, nếu trạng thái của hệ ( )x t có thể đạt tới mặt trượt 0( )z t  trong khoảng thời gian hữu hạn. Khi đó, hệ (4) sẽ bám tiệm cận theo tín hiệu đặt rx. Sử dụng tín hiệu điều khiển:    1 1 .eq xu b u v b r c e v       (6) Chọn hàm Lyapunov: 2 1 2 V z (7) Từ (5) và (6) ta có:  1 ( ) . x x x z ce e ce bu f r z ce bb r ce v f r v f                            (8) Lấy đạo hàm của V theo thời gian: ( ).V zz v f z vz F z      (9) Nếu chọn tín hiệu điều khiển phụ: . sign( )v k z  (10) Kết hợp với (9), ta có: ( )V k F z   (11) Để quỹ đạo trạng thái ( )x t tiến tới mặt trượt 0( )z t  trong khoảng thời gian hữu hạn [2], cần thiết phải có: 2 V V z      (12) Kết hợp với (11) ta được: 2 2 ( )V k F z z k F           (13) Như sẽ được chỉ ra trong phần mô phỏng, hệ (4) với bộ điều khiển trượt (6) có sai lệch bám  e t tiệm cận tới 0. Tuy nhiên, do trong (10) sử dụng hàm sign(z) gây ra hiện tượng rung (chattering), điều này là không chấp nhận được do trong thực tế mạch vòng vị trí của động cơ DC Servo luôn tồn tại quán tính, không thể đáp ứng tức thời các thay đổi nhanh của tín hiệu điều khiển. Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông N. T. T. Hoa, T. T. Dũng, “Điều khiển bám quỹ đạo dựa trên SMC kết hợp PI.” 212 3.2. Điều khiển trượt kết hợp PI và bộ quan sát trạng thái Ta có đạo hàm theo thời gian của biến trượt ( )z t như sau (8): z v f  (14) Rõ ràng (14) là một hệ tuyến tính bậc nhất, với đầu vào là biến điều khiển ( )v t , đầu ra chính là biến trượt ( )z t . Thành phần ( )f t được coi là nhiễu bất định tác động vào hệ thống. Bài toán đặt ra: Thiết kế bộ điều khiển ổn định cho hệ tuyến tính (14) với sự xuất hiện của thành phần nhiễu bất định ( )f t . Để đơn giản, sử dụng luật điều khiển PI:  .IP d K v K z z s          (15) Trong đó: KP: hệ số tỷ lệ, KI: hệ số tích phân, zd: giá trị đặt của biến trượt. Với bộ điều khiển (15) và 0 d z  , hệ (14) trở thành: 2 .i P P I K s z K z f z f s s K s K               (16) Các hệ số: KP, KI được chọn sao cho hàm truyền 2 ( ) ( )z P I z s s G f s s K s K     là ổn định. Chọn: 22 ; P n I n K K   . Nhờ khâu tích phân, sai lệch tĩnh được triệt tiêu trong trường hợp nhiễu ( ) constf t  . Hơn nữa, bất định ( )f t có thể được bù một phần lớn bởi giá trị ước lượng của nó là (ˆ )f t . Luật điều khiển PI có bù được viết lại như sau: ˆ.i P K v K z f s           (17) Khi đó, hệ (16) trở thành: 2 P i s z f s K s K     (18) Với: ˆf f f   là sai lệch ước lượng của thành phần bất định. Bộ ước lượng được thiết kế để có được: ( ) ( )f t f t nên 0( )f t  , khi đó biến trượt 0( )z t  . Do z G là ổn định, nên với sai lệch ước lượng: ( )f t bị chặn thì ( )z t bị chặn. Theo [1] thì sai lệch bám ( )e t cũng sẽ bị chặn, đảm bảo được sai lệch bám luôn nằm trong giới hạn cho phép. Việc ước lượng bất định ( )f t có thể được thực hiện dựa trên bộ quan sát trạng thái. Viết lại (14): 0 1 1 0 0 0 . z z v f f                                   (19) Giả thiết rằng 0( )f t  , ta có bộ quan sát Luenberger cho hệ (19): Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2017 213  1 2 0 1 1 0 0 0 ˆ ˆ ˆ. ˆ ˆ d z z l dt v z z d lf f dt                                        (20) Các tham số l1, l2 được thiết kế theo phương pháp gán điểm cực. Bằng việc thay thế (10) bởi một hàm điều khiển trơn (17), có thể loại bỏ hiện tượng chattering mà vẫn đảm bảo được độ chính xác quỹ đạo cũng như tính bền vững đối với nhiễu và bất định. Nhận định trên sẽ được kiểm chứng thông qua các kết quả mô phỏng dưới đây. Hình 3. Cấu trúc điều khiển SMC kết hợp PI cho Ball & Plate. 4. KẾT QUẢ MÔ PHỎNG 4.1. Số liệu đầu vào Tham số hệ: m = 0,11(kg); g = 9,81(m/s2); r = 0,02(m); Ib = 1,76.10 -5(kgm2). Thông số bộ điều khiển: 1 2 1 5 1 0 7 20 300 20000, ; ; , ; ; ; n c k l l       . Viên bi được điều khiển bám theo quỹ đạo là đường tròn với bán kín 0,1(m) trong thời gian 10(s). Tín hiệu đặt vị trí cho 2 trục X, Y là: 2 0 1 0 1 10 , . , os x r c t        và 2 0 1 10 , .(sin ) y r t   . Thành phần bất định được giả sử là: 0 2 15 0 6 1 6 0 7( ) , sin( ) , ( ) , x x f t t t p       và: 0 2 15 0 8 1 4 1( ) , sin( ) , ( ) y x f t t t p       4.2. Kết quả mô phỏng a) Bộ điều khiển trượt truyền thống Sử dụng luật điều khiển (10), ta có kết quả mô phỏng như sau: Hình 4. Bộ điều khiển SMC truyền thống: a) Đáp ứng đầu ra, b)Tín hiệu điều khiển. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -0.5 0 0.5 A n p h a ( ra d ) Control Output 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -0.5 0 0.5 Time (s) B e ta ( ra d ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 p x ( m ) X trajectory 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 Time (s) p y ( m ) Y trajectory rx px ry py Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông N. T. T. Hoa, T. T. Dũng, “Điều khiển bám quỹ đạo dựa trên SMC kết hợp PI.” 214 Nhận xét: Bộ điều khiển trượt đảm bảo độ chính xác quỹ đạo, bền vững với nhiễu cũng như các thành phần bất định trong mô hình. Sau thời gian quá độ, đáp ứng đầu ra đã bám theo quỹ đạo đặt cho trước. Tuy nhiên, tín hiệu điều khiển bị rung với tần số rất lớn (hiện tượng chattering). Thực tế, không thể sử dụng tín hiệu điều khiển dạng này. b) Điều khiển trượt kết hợp PI và quan sát trạng thái Sử dụng luật điều khiển (17), ta có các kết quả mô phỏng như sau: Hình 5. Kết quả quan sát fx (a) và fy (b). Hình 6. SMC kết hợp PI: a) Đáp ứng đầu ra, b) Tín hiệu điều khiển. Nhận xét: Kết quả mô phỏng cho thấy bộ điều khiển trượt kết hợp PI và quan sát trạng thái có khả năng bám quỹ đạo tốt khi có sự xuất hiện của nhiễu và bất định. Các thành phần bất định được ước lượng khá tốt bởi bộ quan sát, cho phép nâng cao tính bền vững của hệ. Đặc biệt, tín hiệu điều khiển có dạng trơn, loại bỏ được hiện tượng rung của bộ điều khiển trượt truyền thống. 5. KẾT LUẬN Bài báo trình bày một nghiên cứu về điều khiển bám quỹ đạo cho hệ thống phi tuyến Ball & Plate với mô hình có chứa thành phần bất định. Dựa trên nguyên lý của điều khiển trượt, một luật điều khiển liên tục sử dụng thuật toán PI được đưa vào thay thế cho luật điều khiển gián đoạn của điều khiển trượt truyền thống. Điều này giúp loại bỏ hiện tượng rung mà vẫn giữ được tính bền vững của hệ. Các thành phần bất định cũng được ước lượng và được bù lại bởi bộ điều khiển. Kết quả mô phỏng cho thấy khả năng chống rung cũng như tính bền vững với bất định tham số của thuật toán đề xuất. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. J.J.E. Slotine, Weiping Li, "Applied Nonlinear Control", Prentice-Hall International (1991), pp. 276-307. [2]. Y. Shtessel et al, "Sliding Mode Control and Observation", Springer New York (2014), pp. 1-104. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 A n p h a ( ra d ) Control Output 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Time (s) B e ta ( ra d ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 p x ( m ) X trajectory 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 Time (s) p y ( m ) Y trajectory rx px ry py 0 2 4 6 8 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Time (s) fy fy Observer 0 2 4 6 8 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Time (s) fx fx Observer fx^ fx Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2017 215 [3]. L. Hongwei, L. Yanyang, "Trajectory tracking sliding mode control of ball and plate system", 2nd International Asia Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics (2010), pp. 142-145. [4]. L. Dejun, T. Yantao, D. Huida , "Ball and Plate Control System based on sliding mode control with uncertain items observe compensation", IEEE International Conference on Intelligent Computing and Intelligent Systems (ICIS 2009), Shanghai, China (2009), pp. 216-221. [5]. S. Awtar et al , "Mechatronic Design of Ball on Plate Balancing System", Mechatronics, Vol.12 (2002), pp. 217-228. [6]. J.H. Park; Y.J. Lee, "Robust visual servoing for motion control of the ball on a plate", Mechatronics, Vol.13 (2003), pp. 723-738. [7]. Y. Wang, M. Sun, "A novel disturbance-observer based friction compensation scheme for ball and plate system", ISA Transactions, Vol.53 (2014), pp. 671-678. [8]. H. Wang, Y. Tian, "Tracking Control of Ball and Plate System with a Double Feedback Loop Structure", IEEE 2007 International Conference on Mechatronics and Automation - Harbin, China (2007), pp. 1114-1119. [9]. A. Jadlovská, Š. Jajčišin, R. Lonščák, "Modelling and PID Control Design of Nonlinear Educational Model Ball & Plate", 17th International Conference on Process Control 2009, Pleso, Slovakia (2009), pp. 475-483. [10]. M. Oravec, A. Jadlovska, "Optimal control of the mechatronicalal laboratory model B&P_KYB", Electrical Engineering and Informatics 5: Proceedings of the Faculty of Electrical Engineering and Informatics of the Technical University of Košice (2014) pp. 1-7. [11]. Wang Hongrui, Tian Yantao, "Nonlinear Control for Output Regulaton of Ball and Plate System", Proceedings of the 27th Chinese Control Conference, Kunming,Yunnan, China (2008), pp. 382-387. ABSTRACT TRACKING CONTROL OF BALL & PLATE SYSTEM BASED ON SMC & PI The Ball & Plate system (B&P) is nonlinear, and the uncertainties in the system model such as friction between ball and plate, Criolis effect, centrifugal force, incorrectness in system's parameter, ... make quality control significantly reduced. This paper presents a structure for tracking control of the B&P nonlinear system based on sliding control. To eliminate the chattering in the system, a proportional- integral controller (PI) is introduced. Uncertain components are estimated and compensated by the controller. The simulation results show that the proposed structure ensures accurate tracking and robustness with model uncertainty. Keywords: Ball & Plate system, sliding control, parameter observer, tracking control. Nhận bài ngày 20 tháng 5 năm 2017 Hoàn thiện ngày 10 tháng 07 năm 2017 Chấp nhận đăng ngày 20 tháng 07 năm 2017 Địa chỉ: Khoa Điện tử, Trường Đại học Kỹ thuật công nghiệp – Đại học Thái Nguyên. * Email : tranthiendung90@gmail.com.