Đề thi học kỳ một năm học 2009-2010. môn học: giải tích 1. thời gian làm bài: 90 phút

ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009-2010. Môn học: Giải tích 1. Thời gian làm bài: 90 phút. Đề thi gồm 7 câu. HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN CA 2 Câu 1 : Tính giới hạn (trình bày lời giải cụ thể) I = lim x→0 s in x− ln ( s in x+ √ 1 + x2 ) t a n x− x c o s 2 x . Câu 2 : Khảo sát và vẽ đồ thị của đường cong y = ( 1 + x) 1 1+x . Câu 3 : Tìm và phân loại tất cả các điểm gián đoạn của đồ thị hàm số y = lg ( x2 + 3 x ) . Câu 4 : Giải phương trình vi phân y′ − y x = − ln x x với điều kiện y ( 1 ) = 1 . Câu 5 : Giải phương trình vi phân y′′ − 2 y′ + y = s in h ( 2 x) . Câu 6 : Tính tích phân suy rộng ∫ +∞ 1 dx x13/3 · 3 √ 1 + x2 Câu 7 : Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp khử hoặc trị riêng, véctơ riêng.   dx dt = 5 x + y + z dy dt = 2 x + 6 y + 2 z dz dt = x + y + 5 z Đáp án Câu 1(.5 điểm). Khai triển: s in x+ ln ( s in x+ √ ( 1 + x2 ) = x 3 6 + o( x3 ) ; t a n x− x c o s 2 x = 4x3 3 + o( x3 ) → I = lim x→0 s in x+ ln ( s in x+ √ ( 1 + x2 ) t a n x− x c o s 2 x = limx→0 x3 6 + o( x3 ) 4x3 3 + o( x3 ) = 1 8 . Câu 2(1.5 điểm). Tập xác định x > − 1 , đạo hàm: y′ = ( 1 + x ) 1/(x+1) · 1 (1+x)2 ( 1 − ln ( x+ 1 ) ) → y′ ≥ 0 ⇔ 0 < x ≤ e − 1 . Hàm tăng trên ( 0 , e − 1 ) , giảm trên ( e − 1 ,+∞ ) , cực đại tại x = e− 1 , fcd = e1/e lim x→−1+ ( x+ 1 ) 1/(x+1) = 0 , không có tiệm cận đứng, lim x→+∞ ( x+ 1 ) 1/(x+1) = 1 , tiệm cận ngang y = 1 . Lập bảng biến thiên, tìm vài điểm đặc biệt, vẽ. Câu 3(1.0đ). Miền xác định x 0 , y liên tục trên toàn MXĐ, không có điểm gián đoạn. Câu 4(1.5đ). y = e− ∫ p(x)dx (∫ q ( x) · e ∫ p(x)dxdx+ C ) ;y = e ∫ 1/xdx (∫ − ln x x · e ∫ −1/xdxdx+ C ) y = x (∫ − ln x x2 dx+ C ) = x ( ln x+1 x + C ) ; y ( 1 ) = 1 ⇔ C = 0 → y = ln x+ 1 . Câu 5(1.5đ). Ptrình đặc trưng k2− 2 k+ 1 = 0 ⇔ k = 1 → y0 = C1ex+C2 ·x · ex. Tìm nghiệm riêng: yr = yr1 + yr2 , với yr1 = e2x 2 là nghiệm riêng của y′′ − 2 y′ + y = e 2x 2 yr2 = −e−2x 1 8 là nghiệm riêng của y′′ − 2 y′ + y = −e −2x 2 . Kết luận: ytq = y0 + yr1 + yr2 . 1 -CA 2. Câu 6 (1.5đ) ∫ +∞ 1 dx 3 √ x13 + x15 ⇔ ∫ +∞ 1 dx x5 3 √ 1 + 1 x2 . Đặt t = 3 √ 1 + 1 x2 ⇔ t3 = 1 + 1 x2 I = ∫ 1 3 √ 2 −3 2 t( t3 − 1 ) dt = − 3 2 0 · 3 √ 4 + 9 2 0 Câu 7(1.5đ). Ma trận A =   3 1 1 2 4 2 1 1 3  . Chéo hóa A = PDP−1, với P =   1 − 1 − 1 2 1 0 1 0 1  ,D =   8 0 0 0 4 0 0 0 4  , Hệ phương trình X ′ = A ·X ⇔ X ′ = PDP−1X ⇔ P−1X ′ = DP−1X ,đặt X = P−1Y , có hệ Y ′ = DY ⇔ y′1 = 8 y1; y ′ 2 = 4 y2; y ′ 3 = 4 y3 → y1 ( t) = C1e8t; y2 ( t) = C2e4t; y3 ( t) = C3e4t Kluận: X = PY ⇔ x1 ( t) = C1e8t − C2e4t − C3e4t; x2 ( t) = 2 C1e8t + C2e4t;x3 ( t) = C1e8t + C3e4t 2 -CA 2.