Đề thi học kỳ I năm học 2009-2010 môn học: đại số tuyến tính. thời gian làm bài: 90 phút

ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009 -20 10 Môn học: Đại số tuyến tính. Thời gian làm bài: 90 phút. Đề thi gồm 7 câu. Sinh viên k hông được sử dụn g tài liệu. HÌNH THỨC THI: TỰ L UẬN CA 2 Câu 1 : a/ Cho ma trận A = ( 7 − 3 1 0 − 4 ) . a/ Chéo hoá ma trận A. b/ Áp d ụng, tìm ma trận B s ao cho B20 = A. Câu 2 : Cho ánh x ạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3, b iết ma trận của f trong cơ sở E = { ( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A =   1 2 02 1 −1 3 0 2  . Tìm ma trận của f trong cơ s ở ch ính tắc . Câu 3 : Cho ma trận A =   3 2 2− 3 −2 −3 2 2 3   . Tìm trị riêng, cơ sở của các không g ian con riêng của ma trận A6. Câu 4 : Tìm m để vectơ X = ( 2 , 1 ,m) T là véctơ riêng của ma trận A =   − 5 3 3− 3 1 3 − 3 3 1  . Câu 5 : Tìm m để ma trận A =   1 3 −23 m −4 − 2 −4 6   có đúng hai trị riêng d ương và một trị riêng âm. Câu 6 : Cho án h xạ tuyến tính f là phép quay trong h ệ trục toạ độ Oxy quanh gốc tọa độ CÙNG chiều kim đồn g hồ một góc 6 0 o. T ìm ánh x ạ tuyến tính f . Giải th ích rõ. Câu 7 : Cho A là ma trận v uông cấp n. Ch ứng tỏ rằng A kh ả nghịch khi và chỉ khi λ = 0 KHÔNG là trị riêng của A. Khi A kh ả ng hịch ch ứng tỏ rằng nếu λ là trị riêng của A, thì 1 λ là trị riên g của A−1. Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca 2 Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 điểm; câu 7: 1.0 điểm. Câu 1(1. 5đ). Chéo hóa ma trận ( 0.5 đ) A = PDP−1; P = ( 3 1 5 2 ) . D = ( 2 0 0 1 ) . Ta có A = P ·D · P−1. Giả sử B = Q ·D1 · Q−1, ta có B20 = Q ·D201 · Q−1 = A. Chọn Q = P và D1 = ( 20 √ 2 0 0 20 √ 1 ) . Vậy ma trận B = P ·D1 · P−1 Câu 2 (1.5 đ). Có nh iều cách làm. Gọi ma trận chuyển cơ s ở từ E s ang chính tắc làP . Kh i đó ma trận chuyển cơ sở từ ch ín h tắc san g E là : P−1 =   1 1 12 1 1 1 2 1   Ma trận của ánh xạ tuyến tín h trong 1 cơ sở chín h tắc là B = P−1AP=   − 6 5 2− 9 6 4 −1 2 8 4   Câu 3 (1 .5đ). Giả sử λ0 là trị riên g của A⇔ ∃x0 : A · x0 = λ0 · x0. Khi đó A6 · x0 = A5 · A · x0 = A5 · λ0 · x0 = λ0 ·A5 · x0 = · · · = λ60 · x0. Lập ptrìn h đặc trưng, tìm được T R của A: λ1 = 1 , λ2 = 2 , Cơ sở của Eλ1 : { ( − 1 , 1 , 0 ) T , ( − 1 , 0 , 1 ) T}, của Eλ2 : {( 2 ,−3 , 2 ) T}. TR của A6: δ1 = 1 6, δ2 = 2 6, Cơ sở của: Eδ1 : { ( −1 , 1 , 0 ) T , ( − 1 , 0 , 1 ) T}, của Eδ2 : { ( 2 ,−3 , 2 ) T}. Câu 4 (1.5 đ). x là VTR của A ⇔ A · x = λ · x ⇔   −5 3 3−3 1 3 −3 3 1     21 m   = λ ·   21 m   ⇔ m = 1 Câu 5 (1.5đ). Ma trận đối xứng th ực. Dạng toàn phươn g tương ứng f ( x, x) = x21 +mx22 + 6 x23 + 6 x1x2 − 4 x1x3 − 8 x2x3. Đưa về chính tắc b ằn g biến đổi Lagrange f ( x, x ) = ( x1 + 3 x2 − 2 x3 ) 2 + 2 ( x3 + x2 ) 2 + ( m− 1 1 ) x23. Ma trận A có một TR dươn g, 1 TR âm ⇔ m < 1 1 . Câu 6 (1.5 đ). f : IR2 −→ IR2. f được xác định hoàn toàn n ếu biết ảnh của một cơ sở của IR2. Chọn cơ s ở ch ín h tắc E = { ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) }. Khi đó f ( 1 , 0 ) = ( 1 2 , − √ 3 2 ) ,f ( 0 , 1 ) = ( √ 3 2 , 1 2 ) . f ( x, y ) = ( x 2 + y √ 3 2 , −x √ 3 2 + y 2 ) Câu 7 (1 .0đ). A khả ngh ịch ⇔ det( A) = 0 ⇔ λ = 0 k hông là T R của A. Giả sử λ0 là TR của A ⇔ ∃x0 : A · x0 = λ0 · x0 ⇔ A−1 · A · x0 = A−1 · λ0 · x0 ⇔ A−1 · x0 = 1λ0 · x0 (vì λ0 = 0 ) → đpcm. 2