Tài liệu Đề thi học kỳ I khóa 2009: môn toán b1 khoa vật lý – thời gian làm bài: 90 phút: Đề thi học kỳ I khóa 2009: Môn Toán B1
Khoa Vật Lý – Trường ĐHKHTN
Thời gian làm bài: 90 phút
(Được phép sử dụng tài liệu)
1. Cho dãy số {an}, =
20 + 20 + ⋯ + 20 + √20
ấ ă
. Chứng minh rằng
{an} hội tụ và tìm giá trị giới hạn của nó.
2. Cho f(x) = x2 ex. Tính f(50)(x).
3. Hãy xác định giới hạn lim
→
.
4. Dùng công thức Taylor để tính gần đúng √
với sai số không lớn hơn 10-5.
5. Chứng minh rằng tích phân suy rộng
hội tụ.
- - - HẾT - - -
Bài 1. Ta có: 4 ≤ ≤ 5 → = 20 + ≤ 5.
→ 20 + =
= . ≤ 20 + → ≤ .
Ta có:
≤
4 ≤ ≤ 5
Theo Weierstrass thì {a } hội tụ → ∃ = lim
→
→ lim
→
= .
Mặt khác: 20 + =
→ − − 20 = 0 ↔ = −4 (loại) hay = 5 (nhận).
Vậy dãy số {an} hội tụ và giá trị hội tụ bằng 5.
Bài 2. ( )= .
Áp dụng công thức Leibniz ta có: ( )( )=
( ) ( ...
2 trang |
Chia sẻ: ntt139 | Lượt xem: 1048 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem nội dung tài liệu Đề thi học kỳ I khóa 2009: môn toán b1 khoa vật lý – thời gian làm bài: 90 phút, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Đề thi học kỳ I khóa 2009: Môn Toán B1
Khoa Vật Lý – Trường ĐHKHTN
Thời gian làm bài: 90 phút
(Được phép sử dụng tài liệu)
1. Cho dãy số {an}, =
20 + 20 + ⋯ + 20 + √20
ấ ă
. Chứng minh rằng
{an} hội tụ và tìm giá trị giới hạn của nó.
2. Cho f(x) = x2 ex. Tính f(50)(x).
3. Hãy xác định giới hạn lim
→
.
4. Dùng công thức Taylor để tính gần đúng √
với sai số không lớn hơn 10-5.
5. Chứng minh rằng tích phân suy rộng
hội tụ.
- - - HẾT - - -
Bài 1. Ta có: 4 ≤ ≤ 5 → = 20 + ≤ 5.
→ 20 + =
= . ≤ 20 + → ≤ .
Ta có:
≤
4 ≤ ≤ 5
Theo Weierstrass thì {a } hội tụ → ∃ = lim
→
→ lim
→
= .
Mặt khác: 20 + =
→ − − 20 = 0 ↔ = −4 (loại) hay = 5 (nhận).
Vậy dãy số {an} hội tụ và giá trị hội tụ bằng 5.
Bài 2. ( )= .
Áp dụng công thức Leibniz ta có: ( )( )=
( ) ( ).
Với = và = .
Ta có: ( )( )= 0 → = 0; 1; 2.
→ ( )( )=
( ) ( ) = + 2.2 . + 2. = ( + 4 + 2 ).
Vậy: ( )( )= ( + 4 + 2 ).
Bài 3. (Giới hạn đã cho có dạng 1∞).
Ta có: lim
→
=
→
= .
á : = lim
→
− 1
1
ử ụ ắ `
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
ử ụ ể
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1
3
→ lim
→
=
= √
.
Cách 2: Sử dụng các vô cùng bé tương đương: ≈ và ( − )≈
.
= lim
→
− 1
1
= lim
→
−
1
= lim
→
3
1
=
1
3
→ lim
→
=
= √
.
Bài 4: Xét hàm số f(x) = ex. Ta có: f(k)(x) = ex → f(k)(0) = 1; f(n)( x) = .
Áp dụng công thức Maclaurin với phần dư dạng Lagrange ta có:
=
!
+ ( )
= 1 +
1!
+
2!
+
3!
+ ⋯+
( − 1 )!
+ ( ). Trong đó: ( )=
!
.
Cho =
ta được công thức gần đúng để tính √
như sau:
√
= 1 +
1!
+
2!
+
3!
+ ⋯+
( − 1 )!
+
1
3
. Trong đó:
1
3
=
!
.
ố:
1
3
=
!
<
3 . !
<
3
3 . !
. ℎọ = 6 ó:
1
3
<
3
3 . 6!
< 10 .
ậ : √
= 1 +
1!
+
2!
+
3!
+ ⋯+
6!
≈ 1,39561.
Xét ta có: lim
→
=
lim
→
(1 − )= 1 → hội tụ.
Lại có: 0 ≤
≤ →
hội tụ.
- - - HẾT - - -
Bài 5:
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- tailieu.pdf
