Đề tài Tăng cường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy môn toán đại số nâng cao 10 trung học phổ thông

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM Lê Thị Thanh Phương TĂNG CƢỜNG VẬN DỤNG CÁC BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN VÀO DẠY MÔN TOÁN ĐẠI SỐ NÂNG CAO 10 - THPT Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học môn toán Mã Số:60.14.10 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN NGỌC UY Thái Nguyên, năm 2008 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 Lời cảm ơn Với lòng biết ơn sâu sắc em xin chân thành gửi tới T.S Nguyễn Ngọc Uy - người thầy đã tận tâm, nhiệt tình chỉ bảo, động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành đề tài. Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ bộ môn PPDH toán và các thầy cô giáo trong Khoa Toán Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi giúp em hoàn thành công trình nghiên cứu. Xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu và các bạn đồng nghiệp ở Trường THPT Lương Ngọc Quyến đã động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu của mình. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2008. Tác giả Lê Thị Thanh Phương Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Trang 2 CHƢƠNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Trang 5 1.1 Tính thực tiễn và phổ dụng của toán học Trang 5 1.1.1 Tính thực tiễn và tính ứng dụng của toán học Trang 5 1.1.2 Vai trò của toán học trong nhiều lĩnh vực của khoa học khác Trang 6 1.1.3 Lý luận và thực tiễn trong dạy học toán tại trường THPT Trang 11 1.2 Tính thực tiễn trong nội dung toán học phổ thông Trang 16 1.2.1 Mối liên hệ giữa thực tiễn và toán học Trang 16 1.2.2 Tình hình ứng dụng của toán học trong nhà trường phổ thông Trang 17 1.2.3 Tăng cường và làm rõ mạch toán ứng dụng và thực hành trong dạy học môn toán. Trang 20 1.3 Các định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn toán Trang 22 1.3.1 Tóm tắt các định hướng đổi mới PPDH hiện nay Trang 22 1.3.2 Phân tích một số định hướng có liên quan đến đề tài Trang 22 1.3.3 Định hướng đổi mới PPDH nhằm vận dụng kiến thức vào thực tiễn thông qua khai thác các bài toán có ứng dụng trong thực tế làm cho toán học gần với đời sống xã hội. Trang 23 Kết luận chung Trang 26 Chƣơng II TĂNG CƢỜNG VẬN DỤNG NHỮNG TRI THỨC ĐÃ HỌC TRONG CHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ NÂNG CAO LỚP 10 VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TIỄN Trang 27 2.1 Phương pháp chung để giải các bài toán có nội dung thực tiễn Trang 28 2.2 Xây dựng hệ thống các ví dụ và bài toán có nội dung thực tiễn trong dạy học một số chương đại số 10 nâng cao – THPT Trang 30 2.2.1 Chương 1: Mệnh đề - Tập hợp Trang 30 2.2.2 Chương 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai Trang 42 2.2.3 Chương 3: Phương trình và hệ phương trình – Chương 4: Bất đẳng thức và bất phương trình Trang 50 2.2.4 Chương 5: Thống kê Trang 82 Kết luận chung Trang 89 CHƢƠNG III THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM Trang 90 3.1 Mục đích, nhiệm vụ thực nghiệm Trang 90 3.2 Phương pháp thực nghiệm Trang 90 3.3 Nội dung và tiến trình thực nghiệm Trang 90 Kết luận chung Trang 110 Tài liệu tham khảo Trang112 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thế giới. Uneco đã đề ra 4 trụ cột của giáo dục trong thế kỉ 21 là học để biết, học để làm, học để cùng chung sống, học để khẳng định mình (Learning to knovv, Learning to do, Learning to live together and learning to be). Chính vì thế vai trò của các bài toán có nội dung thực tế trong dạy học toán là không thể không đề cập đến. Vai trò của toán học ngày càng quan trọng và tăng lên không ngừng thể hiện ở sự tiến bộ trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội, đặc biệt là với máy tính điện tử, toán học thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hoá trong sản xuất, mở rộng nhanh phạm vi ứng dụng và trở thành công cụ thiết yếu của mọi khoa học. Toán học có vai trò quan trọng như vậy không phải là do ngẫu nhiên mà chính là sự liên hệ thường xuyên với thực tiễn, lấy thực tiễn làm động lực phát triển và là mục tiêu phục vụ cuối cùng. Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn lao động sản xuất của con người và ngược lại toán học là công cụ đắc lực giúp con người chinh phục và khám phá thế giới tự nhiên. Để đáp ứng được sự phát triển của kinh tế, của khoa học khác, của kỹ thuật và sản xuất đòi hỏi phải có con người lao động có hiểu biết có kỹ năng và ý thức vận dụng những thành tựu của toán học trong những điều kiện cụ thể để mang lại hiệu quả lao động thiết thực. Chính vì lẽ đó sự nghiệp giáo dục – đào tạo trong thời kì đổi mới hiện nay phải góp phần quyết định vào việc bồi dưỡng cho HS tiềm năng trí tuệ, tự duy sáng tạo, năng lực tìm tòi chiếm lĩnh trí thức, năng lực giải quyết vấn đề, đáp ứng được với thực tế cuộc sống. Để đáp với sự phát triển của kinh tế tri thức và sự phát triển của khoa học thì ngay từ bây giờ khi ngồi trên ghế nhà trường phải dạy cho học sinh tri thức để tạo ra những con người lao động, tự chủ, năng động sáng tạo và có năng lực để đáp ứng được những yêu cầu phát triển của đất nước và cũng là nguồn lực thúc đẩy cho mục Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 tiêu kinh tế - xã hội, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc. Chính vì thế dạy học toán ở trường THPT phải luôn gắn bó mật thiết với thực tiễn đời sống. Nội dung chương trình toán lớp 10 là nội dung quan trọng vì nó có vị trí chuyển tiếp và hoàn thiện từ THCS lên THPT và có nhiều cơ hội để đưa nội dung thực tiễn vào dạy học. Tuy nhiên trong thực tiễn dạy học ở trường THPT nhìn chung mới chỉ tập chung rèn luyện cho học sinh vận dụng trí thức học toán ở kỹ năng vận dụng tư duy tri thức trong nội bộ môn toán là chủ yếu còn kĩ năng vận dụng tri thức trong toán học vào nhiều môn khác vào đời sống thực tiễn chưa được chú ý đúng mức và thường xuyên. Những bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động sản xuất còn được trình bày một cách hạn chế trong chương trình toán phổ thông. Như vậy, trong giảng dạy toán nếu muốn tăng cường rèn luyện khả năng và ý thức ứng dụng, toán học cho học sinh nhất thiết phải chú ý mở rộng phạm vi ứng dụng, trong đó ứng dụng vào thực tiễn cần được đặc biệt chú ý thường xuyên, qua đó góp phần tăng cường thực hành gắn với thực tiễn làm cho toán học không trừu tượng khô khan và nhàm chán. Học sinh biết vận dụng kiến thức đã học để giải quyết trực tiếp một số vấn đề trong cuộc sống và ngược lại. Qua đó càng làm thêm sự nổi bật nguyên lý: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”. Chính vì vậy tôi chọn đề tài: Tăng cường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy học nội dung môn toán Đại số nâng cao 10 -THPT. 1. Mục đích nghiên cứu - Mục đích nghiên cứu của luận văn là làm sáng tỏ cơ sở lý luận và thực tiễn tăng cường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy học môn toán 10 -THPT. -Phân tích và xây dựng phương án dạy học có nhiều nội dung toán học thể hiện về mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn, các bài toán thực tiễn đã được đưa vào giảng dạy ở THPT. Qua đó thấy được ý nghĩa: “Học đi đôi với hành”. - Biết vận dụng thực tế cuộc sống vào trong dạy học toán. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6 - Góp phần nâng cao tính thực tế, chất lượng dạy học môn toán ở trường THPT. 2. Nhiệm vụ nghiên cứu. Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên, những nghiệm vụ nghiên cứu của luận văn là: a/ Nghiên cứu về tính thực tiễn và tính ứng dụng của toán học. b/ Toán học liên hê với thực tiễn đựơc thể hiện như thế nào trong nội dung chương trình toán 10 THPT. c/Tìm hiểu thực tiễn dạy học môn toán 10 và vấn đề tăng cường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào giảng dạy. d/ Đề xuất biện pháp thiết kế, tổ chức dạy học, tiến hành trong giờ học đối với môn toán ở trường THPT,tính khả thi và hiệu quả của đề tài. 3. Phƣơng pháp nghiên cứu. Sử dụng các phuơng pháp nghiên cứu chuyên ngành lí luận và phương pháp giảng dạy môn toán đã học được tập trung vào các phương pháp sau: a/Nghiên cứu lý luận. b/ Điều tra quan sát thực tiễn . c/ Thực nghiệm sư phạm. II.Cấu trúc luận văn 1) Phần mở đầu. 2) Chương 1: Cở sở lí luận và thực tiễn. 3) Chương 2. Tăng cường vận dụng các kiến thức của đại số nâng cao 10 vào giải một số bài toán thực tiễn. 4) Chương 3. Thực nghiệm sư phạm. 5) Kết luận. 6) Tài liệu tham khảo Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7 Chƣơng 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Tính thực tiễn và phổ dụng của toán học 1 .1.1. Tính thực tiễn và tính ứng dụng của toán học. Trong khoa học cũng như trong cuộc sống, chúng ta thường phải xây dựng số phấn tử của tập hợp. Nếu số phần tử không nhiều thì ta có thể đếm trực tiếp số phần tử của nó bằng cách liệt kê, tuy nhiên nếu số phần tử của một tập hợp là rất lớn thì cách đếm trực tiếp là không khả thi hoặc phải tính toán xem khả năng này có sảy ra hay không? Ngoài ra cần phải biết tách những vật đã được đếm ra khỏi những vật khác, phân biệt chúng với nhau loại ra tất cả các tính chất khác của vật và phải biết thành lập sự tương ứng một giữa nhiều phần tử của các nhóm đồ vật khác nhau. Nhưng những khả năng này không phải do bẩm sinh và không phải tự nó thấm vào nhận thức của con người, nó là sản phẩm của sự phát triển trong hàng thế kỉ của tư duy con người, xuất phát từ hoạt động thực tiễn của họ. Ăng-ghen đã chỉ ra rằng những khái niệm toán học ban đầu – Khái niệm về số tự nhiên, về đại số và hình học được con người trừu tượng hoá từ trong thế giới hiện thực do những nhu cầu thực tiễn của con người, chứ không phải là do phát sinh từ trí não của con người, do tư duy thuần tuý. Những ngón tay, ngón chân, những hón đá nhỏ, nhờ đó người ta học đếm, những đối tượng có hình dạng khác nhau mà người ta so sánh, những mảnh đất trên đó người ta đo diện tích… đó chính là một bộ phận của nhiều sự vật cụ thể đã giúp con người hoàn thiện được khái niệm về số tự nhiên, về đại lượng, về hình học. Con người đã nghiên cứu tất cả những sự vật đó, số lượng, hình dạng, thể tích, diện tích của Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8 chúng trong khi giải quyết những bài toán mà họ gặp nhiều nhất và nhiều lần trong hoạt động thực tiễn của họ. Khái niệm số tự nhiên đã được nhiều dân tộc phát triển trong thời gian hàng ngàn năm cùng với những nhu cầu trong cuộc sống hàng ngày. Những nhu cầu đó đã đề ra nhiều đòi hỏi ngày càng cao đối với kỹ thuật khoa học nhất là kỹ thuật tính toán. Khái niệm số là kết quả trừu tượng hoá một số tính chất của các nhóm đối tượng và vì vậy mà ngược lại nó có thể sử dụng được để làm công cụ tính toán. Khái niệm về hình học và khái niệm về đại lượng đã được hình thành và phát triển trong hoạt động lao động của con người. Thực tế cho thấy, sau khi phát sinh, lý thuyết của toán học có ảnh hưởng trực tiếp hay gián tiếp đến sự phát triển của các lực lượng sản xuất, đến các khoa học khác và tiết học nếu như có những điều kiện xã hội hưởng ứng. Ăng-ghen đã viết: “Cũng như mọi ngành khác của tư duy, những qui luật trừu xuất từ thế giới hiện thực đến một mức độ phát triển nào đó sẽ tách khỏi thế giới hiện thực, đối lập với nó như là một cái gì độc lập, như là những qui luật từ ngoài đưa đến mà thế giới bắt buộc phải phù hợp. Điều đó đã xảy ra với xã hội và nhà nước, cũng như với toán học thuần tuý; toán học thuần tuý được áp dụng vào thế giới mặc dầu rằng nó bắt nguồn từ chính thế giới ấy và chỉ là biểu thị một bộ phận của những hình thức liên hệ của thế giới”. Tóm lại tính thực tiễn của toán học thể hiện qua ứng dụng của toán học và thực tiễn đời sống. Điều này không những chỉ để nâng cao kiến thức của học sinh mà còn nhằm thực hiện nguyên lý giáo dục học đi đôi với hành, lý thuyết gắn liền với thực tiễn nhà trường gắn liền với xã hội. 1.1.2. Vai trò của toán học trong nhiều lĩnh vực của khoa học khác Toán học nghiên cứu những mối quan hệ số lượng và hình dạng không gian của thế giới khách quan. Quan hệ bằng nhau, lớn hơn, nhỏ hơn của hai đại lượng là mối quan hệ cơ bản thường gặp trong thực tiễn khoa học và đời sống.. Điều đó nói lên vai trò toán học được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học, văn học… Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9 Những thành tựu to lớn trong thời đại của chúng ta ngày nay như năng lượng điện tử, động cơ phản lực, vô tuyến điện tử… đều gắn liền với sự phát triển của những ngành toán học như đại số tổ hợp, xác xuất thông kê, hàm số phức, giải tích hàm hình học ơ-clít, hình học aphin… Cơ học và vật lý học không thể phát triển đựoc nếu không có toán học. Những điều đáng chú ý nhất trong giai đoạn cách mạng kỹ thuật mới là bên cạnh những ứng dụng của toán học vào kỹ thuật và sản xuất thông qua vật lý và cơ học thì những ứng dụng thông qua điều kiện học tăng lên không ngừng và ngày càng quan trọng. Ví dụ: Khi thực hiện bắn tên lửa lên không gian vũ trụ, để tên lửa có thể đạt được vận tốc rất lớn, cần có hai điều kiện phải tính toán. Một là khối lượng và vận tốc của tên lửa khi phụt ra cần phải lớn, hai là cần chọn tỉ lệ thích hợp giữa khối lượng của vỏ tên lửa và khối lượng nhiên liệu chứa trong nó. Từ đó người ta đã tìm ra giải pháp chế tạo tên lửa nhiều tầng. Khi nhiên liệu của tầng một đã cháy hết thì tầng một tự tách ra và bốc cháy trong khí quyển. Tầng hai bắt đầu hoạt động và tên lửa tiếp tục tăng tốc từ vận tốc đã đạt được trước đó. Do khối lượng toàn bộ tên lửa đã giảm đáng kể, nên vận tốc sẽ tăng nhanh. Quá trình lặp lại; khi nhiên liệu tầng hai cháy hết tầng này lại tự tách ra và tầng ba bắt đầu hoạt động … Nhận thấy tên lửa đảm nhiệm được nhiều vai trò to lớn cho sự phát triển của các ngành khoa học như vận chuyển các phương tiện khác nhau vào vũ trụ , phóng trạm thăm dò lên các hành tinh khác trong hệ mặt trời, đưa con người vào trong vũ trụ nghiên cứu khoa học phục vụ cho đời sống,… Trong hoá học và sinh học trước đây chỉ thỉnh thoảng có dùng đến toán , nhưng chỉ dùng đến toán học cổ điển như giải tích, phương trình vi phân, thống kê. Hiện nay đã có những bộ phận hoá học và sinh học đã sử dụng những nội dung hiện đại của toán học như tôpô học, thông tin học, máy tính điện tử… bằng những phương pháp toán học người ta có thể dự đoán ngày càng chính xác hơn các tính chất của nhiều hợp chất hoá học, hoặc có thể tính được công thức của Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 hợp chất có một số đặc tính định trước. Những bí mật của sự sống, những vấn đề khó khăn nhất về tính di truyền, cơ cấu hoạt động của thần kinh và những vấn đề sinh lý sinh vật, việc tính toán sinh con theo ý muốn… đã và đang được nghiên cứu bằng những phương tiện toán học tinh vi, hiện đại. Một lĩnh vực không thể không nhắc đến trong cuộc sống đã chịu sự xâm nhập của phương pháp toán học và điều khiển học là Y học - Ngành khoa học có lịch sử rất lâu đời và cũng tích luỹ được nhiều kinh nghiệm phong phú. Trải qua hàng nghìn năm, y học đã biết đến hàng triệu căn bệnh khác nhau và có những phương pháp chữa trị bệnh khác nhau và cũng có rất nhiều trong sách ghi lại tỉ mỉ căn bệnh và thay đổi trạng thái cơ thể của người bệnh. Nhưng những tài liệu đó vẫn chưa được khai thác hết, bằng chứng là không thiếu những trường hợp thầy thuốc đoán nhầm bệnh vì phuơng pháp chuẩn đoán chưa hoàn hảo hoặc bó tay trước các bệnh nan y trước đây như suy thận, bệnh tim. Thời nay nhờ có các trang thiết bị máy móc hiện đại và phương pháp tính toán, việc sử dụng các phương pháp thống kê toán học và máy tính điện tử có thể giúp con người khai thác triệt để các kinh nghiệm và chuẩn đoán bệnh một cách chính xác và hiệu quả hơn. Y học đã thành công rất nhiều trong các lĩnh vực như ghép thận, ghép tim, ghép gan… Một số lĩnh vực khác thể hiện vai trò của toán học đã đưa lại nhiều kết quả đáng kể là kinh tế học. Đó là những ứng dụng hàng ngày thông qua vấn đề tổ chức và quản lí sản xuất. Ai cũng biết rằng không phải chỉ cần có kỹ thuật cao, máy móc hiện đại là sản xuất tốt mà trọng tâm của vấn đề là phải biết tổ chức và quản lí sản xuất một cách khoa học để phát huy được đầy đủ hiệu quả của kỹ thuật và máy móc ấy. Đứng trước một vấn đề tổ chức sản xuất người ta có thể đưa ra rất nhiều phương án giải quyết khác nhau và đương nhiên bao giờ cũng chọn phượng án tốt nhất. Bài toán về “sự lựa chọn” ấy đã đựoc một số nhà khoa học chú ý nghiên cứu tỉ mỉ, chi tiết. Kết quả là đã ra đời một môn khoa học về các vấn đề đó gọi là vận trù học. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 Thực tế cho thấy vận trù học và các phương pháp toán học nói chung có tác dụng rất lớn đối với sản xuất đồng thời có thể áp dụng trong hầu hết các lĩnh vực kinh tế: công nghiệp, nông nghiệp, giao thông vận tải… Trong công nghiệp đưa vào lý thuyết chương trình tuyến tính để đặt kế hoạch sản xuất hợp lý nhằm tập trung thiết bị, tiết kiệm thời gian, giảm nguyên liệu… Ví Dụ1: Hai cần cẩu lớn bốc rỡ một lô hàng ở cảng Sài Gòn. Sau 3 giờ có thêm năm cần cẩu bé (công suất bé hơn ) cùng làm việc. Cả bảy cần cẩu làm việc 3 giờ nữa thì xong. Hỏi mỗi cần cẩu làm việc một mình thì bao lâu xong việc. Biết rằng nếu cả bảy cần cẩu cùng làm việc từ đầu thì trong 4giờ xong việc. Giải; Gọi thời gian nếu chỉ có một cần cẩu lớn làm xong việc là x (giờ) ,x>o; Gọi thời gian một cần cẩu bé làm một mình đến khi xong việc là y (giờ). Theo đầu bài hai cần cẩu lớn làm trong 6 giờ, còn năm cần cẩu bé làm trong 3 gìơ thì xong việc. Do đó ta có phương trình 1 1512 yx (1) Nếu bảy cần cẩu cũng làm từ đầu thì trong 4 giờ xong việc. Do đó ta lại có phương trình 4 152 yx (2) Giải hệ gồm hai phương trình (1) và (2) ta được (x;y) =(24;30). Trả lời. Một cần cẩu lớn làm một mình trong 24 giờ thì xong công việc. Một cần cầu bé làm một mình trong 30 giờ thì xong việc. Trong nông nghiệp có thể áp dụng chương trình tuyến tính để cải tiến các kế hoạch trồng trọt, chăn nuôi nhằm tận dụng năng xuất các loại đất, năng xuất nâng cao mức thu hoạch… Ví dụ 2: Trên một cánh đồng cáy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống cũ . Thu hoạch tất cả được 460 tấn thóc. Hỏi năng xuất mỗi loại lúa trên 1 ha là Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 bao nhiêu biết rằng 3 ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa cũ là một tấn. Giải: Gọi năng xuất trên 1 ha của lúa giống mới là x (tấn), x>0 Gọi năng xuất trên 1 ha của lúa giống cũ là y (tấn),y>o Ta có hệ phương 134 4604060 xy yx Giải hệ phương trình trên ta có x=5; y=4. Trả lời. Năng suất 1 ha lúa giống mới là 5 tấn. Năng suất 1 ha lúa giống cũ là 4 tấn. Trong giao thông vận tải dùng chương trình tuyến tính để chọn phương án vận chuyển tiết kiệm nhất, giảm bớt các quãng đường chạy không, chọn phương án hợp lí để giảm bớt thời gian quay vòng… Ví Dụ 3: Một ôtô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B trong một thời gian nhất định. Nếu chạy với vận tốc 45 km/h thì đến B chậm mất 2 1 giờ. Nếu chạy với vận tốc 60 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 45 phút. Tính quãng đường AB và thời gian dự định lúc đầu. Gợi ý: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x>0)và thời gian dự định là t giờ (t>0). Như vậy thời gian đi lúc ban đầu là 45 x ,lúc sau là 60 x . Do đó thời gian lúc đầu là t + 2 1 , còn lúc sau là t - 4 3 . Từ đó ta lập hệ phương trình để giải. Tóm lại toán học có vai trò to lớn với sự phát triển của các ngành khoa học, kỹ thuật khác, là điều kiện thiết yếu để phát triển lực lượng sản xuất. Còn một đặc điểm rất quan trọng của tình hình khoa học hiện nay là: song song với việc phân hoá theo chuyên môn, đang hình thành một xu hướng tổng hợp, thống nhất các khoa học lại. Nổi bật một nét mới là các khoa học ngày càng “toán học hoá” có nghĩa là ngày càng được sử dụng rộng rãi hơn các phương pháp toán học. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 Toán học là sợi dây liên hệ ràng buộc các khoa học với nhau thúc đẩy cùng phát triển. Ngày nay các phương pháp toán học không phải là chỉ được sử dụng trong vật lý và cơ học mà đã trở thành những phương pháp chung cho toàn bộ khoa học khác. Không phải chỉ có các nhà vật lý, cơ học và các kỹ sư mới cần đến toán mà còn có cả các nhà sinh vật học, các thầy thuốc, các nhà ngôn ngữ học, kinh tế học, văn học… cũng cần đến toán. Theo dự đoán của một số nhà bác học thì trong một tương lai không xa, cả sử học và pháp lý học cũng sẽ “toán học hoá”. 1.1.3. Lý luận và thực tiễn trong dạy học toán tại trường THPT Trong học tập và nghiên cứu toán học. Đẻ đạt được hiệu quả tốt đều cần có sự hài hoà giữa lý luận và thực tiễn. Lý luận là những chỉ dẫn giúp hoạt động thực tiễn của con người đi đúng hướng. Ngược lại hoạt động thực tiễn cũng giúp lý luận có ý nghĩa hơn. Động lực phát triển của toán học dựa vào mâu thuẫn giữa lý luận và thực tiễn như ngôn ngữ toán học chứa đúng hai mặt ngữ nghĩa và cú pháp. Ngữ nghĩa xem xét những quan hệ giữa các kí hiệu và được biểu đạt qua kí hiệu. Cú pháp nghiên cứu quan hệ giữa các kí hiệu. Khi vận dụng vào toán học cả hai mặt của ngôn ngữ toán học thì đều quan trọng như nhau. Nếu chỉ chú trọng về mặt cú pháp thì kiến thức toán học của học sinh sẽ mang tính chất hình thức, không vận dụng vào được thực tế. Theo Khin-sin chủ nghĩa hình thức trong các kiến thức thường xảy ra ở học sinh bắt nguồn từ chỗ: Trong ý thức của học sinh có một sự phá vỡ nào đó mối quan hệ tương hỗ, đúng đắn giữa nội dung bên trong của sự kiện toán học và cách diễn đạt bên ngoài của sự kiện ấy (bằng lời, kí hiệu, hình ảnh trực quan, cụ thể…). Nên tập dượt toán học hoá các tình huống theo hai chiều từ thực tiễn đến mô hình toán học và ngược lại. Ví Dụ 4: Đo khoảng cách. Hãy xác định chiều rộng của một khúc sông và việc đo đạc chỉ tiến hành bên một bờ sông. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 B C x A a Chuẩn bị dụng cụ: Êke đạc, giác kế, thước cuộn, máy tính bỏ túi hoặc bảng lượng giác. Hướng dẫn học sinh thực hiện: Coi hai bờ sông song song với nhau. Chọn một điểm B bên kia sông, lấy một điểm A bên này sông sao cho AB vuông góc với các bờ sông. Dùng Êke đạc kẻ đường thẳng Ax phía bên này sông sao cho Ax vuông góc với AB. Lấy một điểm C trên Ax và đo AC. Giả sử đo AC = a, dùng giác kế đo góc ABC, giả sử CBA ˆ = . Dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng lượng giác để tính tan . Vậy chiều rộng của khúc sông là: AB = a.tg H.1.1.3 Nội dung giáo dục phổ thông phải đảm bảo tính phổ thông cơ bản, toàn diện, hướng nghiệp và hệ thống, gắn bó thực tiễn cuộc sống, phù hợp với tâm sinh lý lứa tuổi của học sinh. Đáp ứng được mục tiêu giáo dục ở mỗi bậc học, cấp học. Do tính toàn diện của nội dung giáo dục phổ thông, của mục đích đang học môn toán mà trong dạy học môn toán rất cần những phương pháp để thể hiện được phương pháp luận của khoa học cùng với những kỹ thuật hoạt động, thực tiễn, những ý tưởng về sự phản ánh thực tế vào toán học và những khẳng định vai trò của toán học trong thực tế. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 Ví Dụ 5: Để hình thành khái niệm véc tơ, sách giáo khoa hình học lớp 10 đã giới thiệu đại lượng có trong vật lý là vận tốc, gia tốc, lực… các đại lượng đó không chỉ được xây dựng bởi độ lớn mà còn được xây dựng bởi hướng của chúng nữa. Hướng của các đại lượng trên là rất quan trọng, nó được thể hiện qua ví dụ sau: (bài 10 – trang4). Một chiếc tàu thuỷ chuyển động thẳng đều với vận tốc 20 hải lí một giờ. Hiện nay nó đang ở vị trí M. Hỏi sau 3 giờ nữa nó sẽ ở đâu? Các em trả lời được câu hỏi đó hay không? Vì sao? Rõ ràng là ta không thể biết được con tàu đang ở vị trí nào sau 3 giờ chuyển động. Vì sao vậy? Vì ta không biết được hướng chuyển động của con tàu. Ta chỉ có thể biết được sau 3 giờ con tàu sẽ cách điểm M là: 20.3 = 60 hải lí, muốn biết được chính xác vị trí của con tàu ta cần phải biết hướng chuyển động của nó nữa. Hướng chuyển động của một vật là hình ảnh cụ thể biểu diễn khái niệm véc tơ, sách giáo khoa đã dùng những hình ảnh sau để hình thành khái niệm véc tơ cho học sinh. Qua những hình ảnh cụ thể như trên đã tạo điều kiện cho học sinh hình thành và nắm bắt được khái niệm về véc tơ, hơn thế nữa các em thấy được tính thực tiễn của khái niệm toán học này. Khi lĩnh hội một kiến thức mới cho học sinh tái hiện nội dung trong những tình huống quen thuộc gắn trong thực tế cuộc sống hay là các môn học trong trường ta phải biết qui lạ về quen. Qua đó nâng dần trình độ, tính độc lập, sự thành thạo của học sinh. Từ đó học sinh được lĩnh hội chắc chắn kiến thức hơn, rồi từ đó phấn khởi, có hứng thú học tập khi biết rõ nguồn gốc hoặc học nó để giải quyết ứng dụng vào điều gì trong thực tiễn và Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16 B‟ giúp các em có khả năng tự tin hơn, nhìn thấy ngay học tập tốt để giúp ích rất nhiều trong cuộc sống, trong xã hội, trong tư duy. Qua đó sẽ đạt đuợc mức tư duy cao hơn, đòi hỏi học sinh diễn đạt phân tích hay vận dụng thông tin mới hay với thông tin đã tích luỹ trong trí óc, sáng tạo ý tưởng mới. Để tăng cường bài toán thực tiễn thông qua ví dụ trong sách giáo khoa đã trình bày bài học thêm “thuyền buồm chạy ngược chiều gió” như sau: Thông thường ta vẫn nghĩ rằng gió thổi về hướng nào thì sẽ đẩy thuyền buồm về hướng đó. Trong thực tế con người đã nghiên cứu tìm cách lợi dụng sức gió làm cho thuyền buồm chạy ngược chiều gió. Vậy người ta làm như thế nào để có thể thực hiện được điều tưởng chừng là vô lý đó? Nói một cách chính xác thì người ta có thể làm cho thuyền buồm chuyển động theo một góc nhọn gần bằng 2 1 góc vuông đối với chiều gió thổi. Chuyển động này được thực hiện theo đường zích zắc nhằm tới hướng cần đến của mục tiêu. Để làm được điều đó ta đặt thuyền theo hướng TT‟ và đặt buồm theo phương BB‟ như hình vẽ (SGK lớp 10 – trang 13). Gió T T‟ q  s  p  r  B f  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 Khi đó gió thổi tác động lên mặt buồm một lực. Tổng hợp lực là lực f có điểm đặt ở chính giữa buồm. Lực f được phân tích thành hai lực: Lực p  vuông góc với cách buồm BB‟ và lực q  theo chiều dọc của cánh buồm. Ta có qpf  . Lực q  này không đẩy buồm đi đâu cả vì lực cản của gió đối với cánh buồm không đáng kể. Lúc đó chỉ còn lực p  đẩy buồm dưới một góc vuông. Như vậy khi có gió thổi, luôn luôn có một lực p  vuông góc với mặt phẳng BB‟ của buồm. Lực p  này được phân tích thành lực r  vuông góc với sống thuyền và lực s  thì dọc theo sống thuyền TT‟ hướng về mũi thuyền. Khi đó ta có rsp  . Lực r  rất nhỏ so với lực cản rất lớn của nước, do thuyền buồm có sống thuyền rất sâu. Chỉ còn lực s  hướng về phía bước dọc theo sống thuyền đẩy thuyền đi một góc nhọn với chiều gió thổi. Bằng cách đổi hướng thuyền theo con đường zích zắc, thuyền có thể đi tới đích theo hướng ngược chiều gió mà không cần lực đẩy. Nghị quyết 14 của Bộ Chính trị Ban chấp hành trung ương Đảng cộng sản Việt Nam đã chỉ ra phuơng hướng của việc cải cách nội dung giáo dục là: Chọn lọc có hệ thống những kiến thức cơ bản, hiện đại, sát với thực tế Việt Nam, làm cho vốn văn hoá, khoa học và kỹ thuật được giảng dạy ở nhà trường đã có tác dụng thực sự trong việc hình thành thế giới quan khoa học, phát triển tư duy khoa học, phát triển năng lực hành động của học sinh, bồi dưỡng năng lực thực hành, tính nhạy bén trong việc vận dụng kiến thức vào thực tế sản xuất và xây dựng đất nước. Tinh thần của nghị quyết 14 đã được phản ảnh đầy đủ, sâu sắc quá trình hoạt động giảng dạy học nói chung và trong môn toán nói riêng một cách bao quát, xuyên suốt trong mọi hoạt động của nhà trường “học đi đôi với hành, giáo Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 dục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”. Ví Dụ 6: Khi học phần thống kê trong đại số lớp 10. Học sinh nắm được thống kê là khoa học về các phương pháp thu thập, tổ chức, trình bày, phân tích và xử lý số liệu. Qua ví dụ sau: Một cửa hàng bản quần áo thống kê số áo sơ mi nam đã bán trong một quí theo các cỡ khác nhau và có được bằng tần số sau: Cỡ áo 36 37 38 39 40 41 42 Số áo bán được(n) 13 45 110 184 126 40 5 Điều mà của hàng quan tâm đến là cỡ áo nào được khách hàng mua nhiều nhất. Bảng thống kê cho thấy cỡ áo bán được nhiều nhất là 39 (tức là giá trị 39 có tần số lớn nhất). Giá trị 39 chính là mốt của mẫu số liệu trên. Như vậy ý nghĩa của khái niệm tần số và mốt đã rõ. Nó giúp cho người kinh doanh điều chỉnh mặt hàng kinh doanh của mình để bản được nhiều hàng và thu lãi về nhiều nhất. 1.2. Tính thực tiễn trong nội dung toán học Phổ thông. 1.2.1. Mối liên hệ giữa thực tiễn và toán học. Như ta đã biết, toán học là kết quả của sự trừu tượng hoá những đối tượng vật chất khác nhau. Toán học có quan hệ mật thiết với thực tiễn, những mối quan hệ có tính qui luật của hàng loạt sự vật, hiện tượng, những điều mà con người chưa biết, cần phải tìm tòi và giải quyết. Toán học là một dạng phản ánh thực tế khách quan, cụ thể là: + Phản ánh nguồn gốc của toán học: Nhận thấy toán học là xuất phát từ thực tiễn lao động của con người, do nhu cầu của con người trong quá trình lao động sản xuất, khám phá tự nhiên. Số tự nhiên ra đời do nhu cầu đếm, hình học xuất hiện do nhu cầu đo đạc… + Phản ánh thực tiễn của toán học, sự phân tích những điều kiện cụ thể của quá trình phát triển của đối tượng và ý nghĩa của toán học đã chỉ ra rằng thực Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 tiễn không những chỉ là nguồn gốc và động lực của sự phát triển toán học mà còn là tiêu chuẩn chân lý của mỗi một lý thuyết toán học. Mỗi lý thuyết toán học đều trực tiếp hay gián tiếp phản ánh những hiện tượng, những đại lượng, những qui luật, những mối quan hệ có trong thực tiễn. Khái niệm tập hợp phản ánh một nhóm hữu hạn hay vô hạn các vật, các đối tượng trong thực tế, hàm số y = ax phản ánh mối quan hệ giữa số tiền phải trả với lượng hàng hoá cần mua, trong hình học khái niệm véc tơ phản ánh những đại lượng đặc trưng không chỉ về hướng, độ dài mà còn phản ánh về độ lớn, vận tốc, lực… + Phản ánh ứng dụng thực tế trong toán học thực tế là nguồn gốc của mọi lý thuyết toán học, nhưng sau khi ra đời các lý thuyết toán họclại quay lại phục vụ con người trong hoạt động thực tiễn, là công cụ đắc lực giúp con người giải quyết các vấn đề khó khăn trong lao động xã hội và trong kỹ thuật. Ứng dụng thực tế trong toán học cho học sinh thấy được rằng trong phần giải tam giác của chương trình hình học lớp 10 đã vận dụng lượng giác để cho những khoảng cách không tới được như khoảng cách của bờ sông bên này đến bờ sông bên kia, khoảng cách của một toà nhà cao, ứng dụng thống kê để tính sản lượng cao thu lãi lớn… Muốn vậy cần tăng cường cho học sinh tiếp cận với những bài toán có nội dung thực tế. Xuất phát từ những nhu cầu trong thực tiễn để giải thích các hiện tượng trong khi học lý thuyết cũng như làm bài tập. Tóm lại: Mối quan hệ toán học và thực tiễn gồm bao hàm tất cả các tính phổ dụng, tính toàn bộ, tính nhiều tầng. 1. 2.2. Tình hình ứng dụng của toán học trong nhà trường phổ thông. Quan điểm và làm rõ mạch toán ứng dụng và ứng dụng toán học đã được nhấn mạnh trong dự thảo chương trình môn toán cải cách giáo dục. Tuy vậy, việc quán triệt tinh thần của quan điểm đó trên thực tế vẫn còn những tồn tại , cần có những phương hướng cụ thể và biện pháp tích cực để khắc phục. Việc dạy học toán ở nhà trường phổ thông hiện nay đang rơi vào tình trạng bị coi nhẹ thực hành và ứng dụng toán học vào đời sống. Mối liên hệ toán học với thực tế là còn yếu, học sinh ít được về mặt toán học hoá các tình huống bắt đầu từ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 những vấn đề trong cuộc sống thực tiễn. Thực trạng ấy, theo tôi có thể do những nguyên nhân sau: - Tất cả các sách giáo khoa môn toán và hầu hết các tài liệu tham khảo, rất ít quan tâm đến các ứng dụng trong các lĩnh vực ngoài toán học mà hầu như chỉ tập trung chú ý tới các ứng dụng có tính chất nội bộ môn toán. Đành rằng môn toán không chỉ là “ phục vụ viên ” của các môn học khác, nhưng sự quan tâm quá ít như vậy không thể hiện vai trò công cụ của toán học trong hệ thống sách giáo khoa cũng như trong thực tế của sống. - Trong quá trình đánh giá, thông qua các kỳ thi, chẳng hạn kỳ thi tốt nghiệp phổ thông hay tuyển sinh vào các trường chuyên nghiệp, vào các trường đại học hầu như các ứng dụng ngoài toán học đều không được đề cập đến. Điều đó khiến cho học sinh, thậm chí cả giáo viên coi nhẹ vấn đề học và dạy ứng dụng toán học vào thực tế. Ảnh hưởng của sách giáo khoa và tài liệu tham khảo, lối dạy phục vụ cho thi cử ( chỉ chú ý những nội dung để học sinh đi thi ) như hiện nay là một nguyên nhân góp phần tạo ra tình trạng này. - Trong quá trình dạy học môn toán phải làm cho học sinh nhận thức được đúng và đầy đủ rằng môn toán là một khoa học nghiên cứu về tương quan số lượng và hình dạng trong không gian của thế giới khách quan. Chẳng hạn trong quá trình dạy học sinh hàm số bậc nhất y= ax +b cần làm cho học sinh thêm sáng tỏ đây là một tương quan thường sảy ra trong vật lý giữa tốc độ và thời gian t của chuyển động : vt = vo +at, giữa áp xuất và nhiệt độ của chất khí trong điều kiện thể tích không đổi p = po (1+ t); Đối với hàm số y= ax 2 +bx +c ta cũng có những liên hệ tương tự. Chẳng hạn sự tương quan giữa sức cản của không khí và vận tốc chuyển động của vật được biểu thị bởi p=av 2 ; sự tương quan giữa nhiệt năng trong một dây dẫn có điện trở R và cường độ dòng điện I biểu thị bằng công thức; VV=RI 2 ;phương trình chuyển động trong vật lý biểu thị bằng công thức: x= xo+vot + 2 1 at 2 là sự tương quan x chuyển động của chất điẻm Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21 và thời gian t;động năng VVđ của một vật chuyển động có khối lượng m và vật tốc v: VVd = 2 1 mV 2 . Mỗi khi học đến vấn đề mới cần nêu rõ hơn ứng dụng của toán học trong thực tế hoặc nguồn gốc thực tế của nó để học sinh dần dần nhận thức được rằng toán học nghiên cứu những định luật trong sản xuất. Ví dụ khi học sinh được học đến phần đường tròn, đường elíp là thuộc họ đường cô nic các em cần được biết nguồn gốc thực tế. Đó là từ xa xưa, con người đã chú ý tìm hiểu những hiện tượng thiên nhiên hàng ngày sảy ra trên bầu trời, như mặt trời mọc và lặn, trăng tròn trăng khuyết, thời tiết thay đổi bốn mùa … vì thế môn thiên văn học ra đời rất sớm, từ thời cổ hy lạp. Từ năm 140 sau công nguyên, quan điểm Ptô LêMê coi trái đất là trung tâm của vũ trụ đã thống trị trong nhiều thế kỉ, mãi cho tới khi thuyết nhật tâm của Cô - péc – níc ra đời (năm 1543). Theo Cô – péc – níc, người đặt nền móng cho thiên văn học thì Trái Đất chỉ là một trong nhiều hành tinh quay quanh mặt trời. Dựa theo sự quan sát về vị trí của các hành tinh trong nhiều năm nhà thiên văn học Ke – ple người Đức đã đưa ra các định luật Kêple được học trong Vật Lý. Quỹ đạo của các hành tinh trong hệ mặt trời đều là những hình elíp rất gần với đường tròn. Từ đó ta có thể tìm được khoảng cách từ hành tinh nào đến Mặt Trời cụ thể là Trái Đất đến Mặt Trời hoặc có thể xác định được khối lượng của một thiên thể nếu biết khoảng cách và chu kì của một vệ tinh bất kỳ của thiên thể đó nhờ có tính toán và kết quả có được phải dùng đến công thức: 22 1 3 1 4 GMT T r (1) Với MT là khối lượng của Mặt Trời. T1 là chu kì quay của hành tinh 1. G là hằng số hấp dẫn. R là khoảng cách từ hành tinh tới Mặt Trời. VD: Tìm khối lượng của Mặt Trời từ các dữ kiện của Trái Đất: khoảng cách tới Mặt Trời r = 1,5.10 11 m. Chu kỳ quay T = 365.24.3600 = 3,15.10 7 s. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22 Cho hằng số hấp dẫn G = 6,67.10 -11 Nm 2 /kg 2 . Muốn giải bài toán này trước hết ta phải tìm MT bằng cách giải phương trình (1) theo dữ kiện còn lại từ (1) có: GMT = r1 3 .4 2 :T 2 MT = 2 23 1 4. GT r Thay số: MT = 2711 3112 )10.15,3.(10.67,6 )10.5,1.()14,3.(4 Kết quả: MT = 2.10 30 kg. Tóm lại trong quá trình dạy học toán ở trường THPT giáo viên luôn cần phát triển kỹ năng và kỹ sảo cho học sinh trong thực tế hàng ngày, trong lao động công ích và trong tính toán những sự việc có thật trong cuộc sống. Học sinh phải biết tính nhẩm, tính viết, tính bằng thước, bằng máy tính, sử dụng dụng cụ đo đạc, phép tính gần đúng, sai số cho phép… đi đôi với việc phát triển kỹ năng tính toán của học sinh giáo viên cần chú ý đến các phương pháp ngắn gọn. hợp lý trong việc giải các bài toán. 1.2.3. Tăng cường và làm rõ mạch toán ứng dụng và thực hành trong dạy học môn toán. Tăng cường và làm rõ mạch toán ứng dụng và thực hành của toán học là góp phần thực hiện lý luận liên hệ với thực tiễn, học đi đôi với hành, nhà trường gắn liền với cuộc sống. Tăng cường tính thực tiễn và tính sư phạm, giảm nhẹ yêu cầu quá chặt chẽ về lý thuyết. Ở bậc phổ thông học sinh cần phải được cung cấp những kiến thức cần thiết cho cuộc sống và cung cấp công cụ để học tốt các môn học. Khi học đến phần thống kê, học sinh nắm bắt được kiến thức và ứng dụng đối với cuộc sống . Cần làm cho học sinh biết ứng dụng những tri thức và phương pháp toán học và những môn học trong nhà trường, chẳng hạn vận dụng véc tơ để biểu thị lực, vận dụng tính gần đúng, sử dụng bảng số để đo đạc, tính toán những môn học khác. vận dụng hình học trong không gian vẽ kỹ thuật. Tổ chức nhiều hoạt động thực hành toán học trong nhà trường và ngoài nhà trường như ở nhà máy, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23 đồng ruộng… kể cả những hoạt động có tính tập dượt nghiên cứu bao gồm cả khâu đặt bài toán, xây dựng mô hình, thu thập dự liệu, xử lí mô hình để tìm lời giải, đối chiếu lời giải với thực tế để kiểm tra và điều chỉnh. Việc vận dụng và thực hành toán học cần dẫn tới, hình thành phẩm chất luôn luôn muốn ứng dụng tri thức và phương pháp toán học để giải thích phê phán và giải quyết những sự kiện xảy ra trong cuộc sống.Ví dụ ở các ngã tư đường người ta gắn đèn xanh đèn đỏ. Điều đó thôi thúc họ xem xét giải thích hiện tượng khi đèn vàng, đỏ, xanh xuất hiện như thế nào? Để tăng cường rèn luyện khả năng và ý thức ứng dụng toán học cho học sinh, bên cạnh mở rộng phạm vi ứng dụng, cần thiết phải tăng cường tính ứng dụng của những nội dung toán học được giảng dạy trong nhà trường. Để quán triệt tinh thần “tăng cường ứng dụng toán học” trong giảng dạy toán ở trường phổ thông, khắc phục tình trạng coi nhẹ thực hành và ứng dụng toán học hiện nay, cần phải nghiên cứu giải pháp tổng thể, bao gồm các khâu: Chỉ đạo (chương trình), cụ thể hoá bằng sách giáo khoa ( nội dung dạy học), thực hiện đánh giá và điều chỉnh một cách thích hợp và thường xuyên. Đặc biệt, cần phải tiếp tục nghiên cứu những biện pháp cụ thể nhằm “dạy học kết dính với các ứng dụng”, phù hợp với thực tiễn nhà trường phổ thông Việt Nam. Đồng thời, cũng cần phải chú ý tới việc đào tạo và bồi dưỡng giáo viên, trước hết là phải làm cho họ muốn nghiên cứu những ứg dụng của toán học và được chuẩn bị tốt để làm việc đó. Đối với nội dung môn toán học ở trường trung học phổ thông, trước mắt bên cạnh việc gắn liền với các kiến thức toán học với những nguồn gốc thực tế của chúng, có thể cần phải đặc biệt chú ý tới hai hướng sau: - Hướng thứ nhất: Tiếp tục đưa vào giảng dạy ở mức độ phù hợp những nội dung có nhiều ứng dụng thực tiễn, cần phải trang bị cho đội ngũ những người lao động trong tương lai một số yếu tố của xác suất thống kê, phương pháp tính… Trong điều kiện sách giáo khoa hiện hành, có thể bước đầu nên đưa vào bằng các giờ học ngoại khoá, thực hành hoặc bằng các giờ học tự chọn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24 - Hướng thứ hai: Khai thác và làm đậm nét hơn nữa những ứng dụng còn ẩn tàng, còn mờ nhạt của những nội dung truyền thống vốn đã có trong chương trình sách giáo khoa bằng những biện pháp thích hợp, nhằm rèn luyện kỹ năng tính toán, xây dựng quy trình tính toán, kỹ năng xây dựng mô hình toán học, năng lực chọn lựa, giải quyết các bài toán từ thực tiễn đời sống. Cả hai hướng trên có tác dụng tích cực,bổ sung hỗ trợ lẫn nhau góp phần chủ động thực hiện mục tiêu tăng cường làm rõ mạch toán ứng dụng trong dạy học toán ở trường phổ thông. Tóm lại tăng cường và làm rõ mạch toán ứng dụng toán thực tế cho học sinh có ý thức và khả năng vận dụng toán học là mục tiêu xuyên suốt, một nhiệm vụ quan trọng, một khâu cơ bản trong quá trình dạy học toán ở trường phổ thông. Nó phản ánh được tinh thần đổi mới nội dung và PPDH phù hợp với xu thế chung của giáo dục toán học trên thế giới. 1.3. Các định hƣớng đổi mới phƣơng pháp dạy học môn toán. 1.3.1.Tóm tắt các định hướng đổi mới PPDH hiện nay (tr.113 – 122 tài liệu Nguyễn Bá Kim). Được thể hiện qua 6 hàm ý sau đây đặc trưng cho PPDH hiện đại. 1. Xác lập vị trí chủ thể của người học, đảm bảo tính tự giác, tích cực chủ động và sáng tạo của hoạt động học tập được thể hiện độc lập hoặc trong giao lưu. 2. Tri thức được cài đặt trong những tình huống có dụng ý sư phạm. 3. Dạy việc học, dạy tự học thông qua toàn bộ quá trình dạy học. 4. Tự tạo và khai thác những phương tiện dạy học để tiếp nối và gia tăng sức mạnh của con người. 5. Tạo niềm lạc quan học tập dựa trên lao động và thành quả của bản thân người học. 6. Xác định vai trò mới của người thầy với tư cách người thiết kế, uỷ thác, điều khiển và thể chế hoá. 1.3.2. Phân tích một số định hướng có liên quan đến đề tài. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25 Lấy “Học” làm trung tâm thay vì lấy “Dạy” làm trung tâm: Trong phương pháp tổ chức, người học - đối tượng của hoạt động “Dạy”, đồng thời là chủ thể của hoạt động “Học” được cuốn hút vào các hoạt động do GV tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó tự lực khám phá những điều mình chưa rõ, chưa có chứ không phải thụ động tiếp thu những tri thức đã được GV sắp đặt. Được đặt vào những tình huống của đời sống thực tế, người học trực tiếp quan sát, thảo luận, làm thí nghiệm, giải quyết vấn đề đặt theo cách suy nghĩ của mình, từ đó nắm được kiến thức kỹ năng mới, vừa nắm được phương pháp “làm ra” kiến thức kỹ năng đó, không dập theo một khuôn mẫu sẵn có, được bộc lộ và phát huy tiềm năng sáng tạo. Dạy theo cách này, GV không chỉ giản đơn truyền đạt tri thức mà còn hướng dẫn hành động. Mục đích của việc đổi mới PPDH ở trường PT là thay đổi lối dạy học truyền thụ một chiều sang dạy học theo “ phương pháp dạy học tích cực” nhằm giúp HS phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, rèn luyện thói quen và khả năng tự học, tinh thần hợp tác, kỹ năng vận dụng kiến thức vào những tình huống khác nhau trong học tập và trong thực tiễn. Mô hình hợp tác trong xã hội đưa vào đời sống học đường sẽ làm cho các thành viên quen dần với sự phân công hợp tác trong lao động xã hội. Trong nền kinh tế thị trường đã xuất hiện nhu cầu hợp tác xuyên quốc gia, liên quốc gia, năng lực hợp tác phải trở thành một mục tiêu giáo dục mà nhà trường phải chuẩn bị cho HS. Tại sao cần phải đổi mới PPDH dạy học? PPDH là con đường để đạt mục đích dạy học. Ở Việt Nam thực trạng dạy và học theo lối mòn thụ động nội dung không sát với thực tế.Đổi mới PPDH không có nghĩa là bỏ cái cũ mà phải dựa trên cái cũ và khai thác các ưu điểm phù hợp với yêu cầu mục đích mới. có thể nói cốt lõi của đổi mới PPDH là hướng tới hoạt động học tập chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động. Chỉ có thể đổi mới PPDH chúng ta mới có thể tạo được sự đổi mới thực sự trong giáo dục, mới có thể tạo lớp người lao động, sáng tạo, có tiềm năng cạnh tranh trí tuệ trong bối cảnh nhiều nước trên thế giới đang hướng tới nền kinh tế trí thức. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26 1.3.3. Định hướng đổi mới PPDH nhằm vận dụng kiến thức vào thực tiễn thông qua khai thác các bài toán có ứng dụng trong thực tế làm cho toán học gần với đời sống xã hội. Khai thác các bài toán trong chương trình học làm cho học sinh thấy rõ học tập tốt sẽ trở thành người lao động có chất xám cao. Chính vì thế đây là những hoạt động cần thiết mà người giáo viên cần phải tìm ra trong nội dung bài dạy và tìm cách tổ chức cho học sinh tiến hành các hoạt động trong giờ học toán qua các ví dụ minh hoạ được gắn với thực tiễn. Xuất phát từ tình hình thực tiễn dạy học môn toán 10 có thể nhận thấy về vấn đề khai thác và vận dụng các bài toán thực tế còn gặp nhiều khó khăn: - Về phía học sinh: Còn có những khó khăn về kiến thức của học sinh không đồng đều. Khi gặp những bài toán dưới dạng tìm tòi, được diễn tả bằng ngôn ngữ thông thường và nội dung của bài toán đề cập đến vấn đề trong cuộc sống sinh hoạt, hoạt động và học tập HS còn lúng túng trong việc thiết lập mô hình toán học tương ứng với nội dung thực tiễn của bài toán. Học sinh phải biết chuyển từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ toán học. Về phía giáo viên: Còn có những hạn chế, toán học là môn học khó và trừu tượng không phải ở tất cả các bài giảng lý thuyết nào cũng lấy được ví dụ sinh động gắn vào thực tế, giáo viên phải biết chọn lọc các bài toán không quá khó, không quá dễ để ta có thể áp dụng được vào lý thuyết đã được học, cần phải gợi ý để vào bài một cách tự nhiên, không gò ép, làm thế nào gây sự chú ý, gợi trí tò mò, gây hứng thú cho học sinh. Khi dạy toán, xét về nội dung tri thức toán. Giáo viên cần phải phân tích: - Nét đặc thù của tri thức toán học, phải chuyển từ tri thức giáo khoa sang trí thức dạy học. - Theo nghiên cứu tìm hiểu và nhất là ứng dụng Didactic của tác giả Nguyễn Bá Kim (6 trang 238 – 240). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 27 +Thầy giáo nói chung không dạy nguyên dạng tri thức khoa học hay trí thức chương trình mà phải chuyển hoá tri thức chương trình thành tri thức dạy học. Nắm vững tri thức khoa học là một điều kiện nhưng chưa đủ để đảm bảo kết quả dạy học. + Điều cốt yếu của phương pháp dạy học là thiết lập môi trường có dụng ý sư phạm để người học có thể học tập trong hoạt động, học tập thích nghi. + Nghĩa của một tri thức được hoàn thành từ những tình huống để người học hoạt động và thích nghi với môi trường, nhờ đó tri thức được kiến tạo vừa như phương tiện lại vừa như kết quả của hoạt động và thích nghi. Như vậy chúng ta có thể khai thác các bài toán có liên quan đến thực tế để thực hiện chương trình này, nhằm chuyển hoá tri thức chương trình sang tri thức dạy học, tạo điều kiện cho học sinh lĩnh hội kiến thức một cách tự nhiên, thích hợp và có ý nghĩa đối với học sinh. Khai thác có ứng dụng trong bài giảng biến học toán thành môn dạy hấp dẫn, thích thú đối với học sinh, làm cho giờ toán không phải là một gánh nặng, một hình phạt đối với học sinh, mà là một nguồn vui, một cái gì đẹp đẽ, có thể giúp ích cho họ trong cuộc sống, trong công tác sau này và làm cho các giờ học toán trở nên sôi nổi hứng thú hơn với học sinh. Khai thác các bài tập có trong thực tế nhằm góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn toán để nâng cao hiệu quả dạy học môn toán, giúp học sinh đạt được các mục đích học môn toán một cách tốt đẹp, ưu tiên con đường nhận thức qui nạp từ cụ thể và thực tiễn phong phú. Khai thác các bài tập có nội dung thực tế nhằm đổi mới phương pháp dạy học môn toán theo hai hướng: +Phân tích một số bài tập điển hình có nội dung thực tế góp phần hiểu sâu bản chất toán học. +Khai thác các bài toán thể hiện qua sự việc có thực trong cuộc sống để gắn vào toán học, thích hợp phục vụ dạy học toán ở trường THPT. Ví dụ khi học phần phương trình bậc nhất một ẩn số học sinh thấy được vai trò phương trình có ứng dụng trong đời sống thực tiễn được thể hiện rất phong phú, đa dạng giúp con người giải quyết các bài toán kinh tế, kỹ thuật… như ví dụ cụ thể sau: Một phân xưởng maylập kế hoạch may một lô hàng, theo đó mỗi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 28 này phân xưởng phải may xong 90 áo. Nhưng nhờ cải tiến kỹ thuật, phân xưởng đã may được 120 áo mỗi ngày. Do đó, phân xưởng không những đã hoàn thành kế hoạch trước thời hạn 9 ngày mà còn may thêm được 60 áo. Hỏi theo kế hoạch phân xưởng phải may bao nhiêu áo? Trước hết phải hướng dẫn học sinh phân tích bài toán có những đại lượng nào? Quan hệ của chúng ra sao? Toán học hoá các đại lượng và các mối quan hệ ấy? Trong bài toán trên ta gặp các đại lượng: Số áo may trong một ngày (đã biết). - Theo kế hoạch và thực tế đã thực hiện. Mối quan hệ giữa chúng : Số các đại lượng số áo may trong một ngày x Số ngày may = Tổng số áo may Toán học hoá các đại lượng và mối quan hệ giữa chúng. Chọn ẩn là một trong các đại lượng chưa biết. Ta chọn x là số ngày may theo kế hoạch , khi đó tổng số áo may là 90x, nhưng nhờ cải tiến kỹ thuật nên số ngày may là x-9 và tổng số áo may là: 120(x-9). Từ đó ta có, quan hệ giữa tổng số áo đã may được và số áo may theo kế hoạch được biểu thị bởi phương trình: 120(x-9) = 90x+60 Giải phương trình trên ta có x=38 Vậy kế hoạch may áo ban đầu của xưởng may là 38 ngày. Tóm lại: Khai thác các bài toán có ứng dụng trong thực tế sẽ làm đậm nét hơn những ứng dụng còn ẩn tàng, còn mờ nhạt của những nội dung toán học truyền thống vốn đã có trong chương trình và SGK . Một trong những biện pháp thích hợp trong điều kiện hiện nay là lựa chọn, xây dựng một hệ thống các bài tập có nội dung liên môn hoặc gắn với thực tế, gần gũi và quen thuộc trong sản xuất, đời sống, đưa vào bài giảng ở những thời điểm thích hợp trong quá trình dạy toán. Kết luận chung: Lý luận và thực tiễn trong hoạt động dạy học toán cần kết hợp các phương pháp giáo dục nhằm phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động tư duy sáng tạo của người học. Cần bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê tự học và ý chí vươn lên không mệt mỏi phù hợp với đặc điểm của từng môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, để tác động đến Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 29 tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập của học sinh qua đó thể hiện đổi mới được phương pháp dạy học không theo lối mòn ấn định một lượng kiến thức sẵn có ở sách giáo khoa, một cách thụ động mà nội dung lại không sát với thực tế. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 30 Chƣơng 2 TĂNG CƢỜNG VẬN DỤNG NHỮNG TRI THỨC ĐÃ HỌC TRONG CHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ NÂNG CAO LỚP 10 VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TIẾN Môn toán có liên hệ chặt chẽ với khoa học toán học, toán học đang phát triển như vũ bão, ngày càng xâm nhập vào các lĩnh vực khoa học công nghệ và đời sống. Toán học phản ánh ở trong nhà trường phổ thông là cơ bản là nền tảng được sắp xếp thành một hệ thống và đảm bảo tính khoa học, tính tư tưởng để tiếp tục học đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động. Việc đảm bảo chất lượng phổ cập xuất phát từ yêu cầu khách quan của xã hội và từ khả năng thực tế của học sinh học khẳng định rằng mọi học sinh có sức học bình thường đều có thể tiếp thu một nền văn hoá phổ thông, trong đó có học vấn toán học phổ thông. Nội dung toán học của môn toán trong nhà trường phổ thông chủ yếu bao gồm các lĩnh vực sau, được tập hợp thành hai bộ phận: * Số học, đại số và giải tích * Hình học Về số học, đại số và giải tích có thể kể các nội dung sau: (1) Các tập hợp số (2) Các phép biến đổi đồng nhất, (3) Phương trình và bất phương trình; (4) Hàm số và đồ thị; (5) Những yếu tố của phép tính vi phân, tích phân; (6) Những yếu tố về tổ hợp xác xuất. Hình học bao gồm các nội dung: (1) Những khái niệm hình học; (2) Những đại lượng hình học; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31 (3) Những hệ thức lượng trong hình học; (4) Các phép biến hình: dời hình và đồng dạng; (5) Véc tơ và tọa độ. Các lĩnh vực trên không tách rời nhau mà trái lại, thường đan kết với nhau. Nội dung chương trình đại số lớp 10 là rất cơ bản và cần thiết giúp học sinh tiếp cận được kiến thức của THPT do bộ giáo dục và đào tạo ban hành theo chương trình phân ban. Sau đây là nội dung vắn tắt giới thiệu chương trình toán trung học phổ thông ở lớp 10 phần đại số nâng cao. Chương I. Mệnh đề- Tập hợp Chương II. Hàm số bậc nhất và bậc hai Chương III. Phương trình - Hệ phương trình Chương IV. Bất đẳng thức - Bất phương trình Chương V. Thống kê Chương VI. Góc lượng giác và công thức lượng giác 2.1. Phƣơng pháp chung để giải các bài toán có nội dung thực tiễn. Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những ý khác nhau về phương pháp dạy học: Đảm bảo được trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra…Kết quả của lời giải phải đáp ứng do nhu cầu thực tế đặt ra. Ta đã biết rằng không có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán, ngay cả đối với những lớp bài toán riêng biệt cũng có trường hợp có, trường hợp không có thuật giải. Bài toán thực tiễn trong cuộc sống là rất đa dạng, phong phú xuất phát từ những nhu cầu khác nhau trong lao động sản xuất của con người. Do vậy càng không thể có một thuật giải chung để giải quyết các bài toán thực tiễn. Tuy nhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán lại là có thể và cần thiết. Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Polya về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, kết hợp Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32 với những đặc thù riêng của bài toán thực tiễn, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán có nội dung thực tiễn như sau: Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung của bài toán. Toán học hoá bài toán, chuyển bài toán với những ngôn ngữ, những dự kiện trong cuộc sống thực tế thành bài toán với ngôn ngữ toán học, các dữ kiện được biểu thị bằng các ẩn số, các con số,…Các ràng buộc giữa các yếu tố trong bài toán thực tiễn được chuyển thành các biểu thức, các phương trình, hệ phương trình, bất phương trình toán học… Bước này có ý nghĩa rất quan trọng đối với việc giải quyết một bài toán có nội dung thực tiễn, đồng thời nó cũng phản ánh khả năng, trình độ của người học đối với việc hiểu và vận dụng các tri thức toán học. Bƣớc 2: Tìm cách giải cho bài toán đã được thiết lập. Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: Biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với những dạng toán. Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hoá kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan… Bƣớc 3: Trình bày lời giải. Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước thực hiện theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó. Bƣớc 4: Đưa ra kết luận cuối cùng cho yêu cầu của bài toán thực tiễn, thường là một kết quả đo đạc, một phương án, một kế hoạch sản xuất…Do thực tiễn đặt ra. Đồng thời cần có sự nghiên cứu sâu lời giải, nghiên cứu khả năng ứng dụng của kết quả của lời giải. Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề. Đây là hoạt động nhằm phát huy khả năng tư duy, tìm tòi sáng tạo học sinh. Để trang bị cho HS tri thức phương pháp giải bài toán có nội dung thực tiễn như đã nêu trên và cần tăng cường rèn luyện cho học sinh khả năng và thói quen Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33 ứng dụng kiến thức, kỹ năng và phương pháp toán học vào những tình huống cụ thể khác nhau ( trong học tập, trong lao động sản xuất, trong đời sống…) 2.2. Xây dựng hệ thống các ví dụ và bài toán có nội dung thực tiễn trong dạy học một số chƣơng đại số 10 nâng cao - THPT 2.2.1. Chương1: Mệnh đề - Tập hợp A. Tóm tắt kiến thức cơ bản chƣơng I: mệnh đề - tập hợp. + Một mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai. Một câu khẳng định đúng gọi là một mệnh đề đúng. Một câu khẳng định sai gọi là một mệnh đề sai. + Cho mệnh đề P. Mệnh đề “không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là P . + Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề có dạng “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là P Q. + Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề có dạng “ P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề tương đương và kí hiệu là P Q. + Mệnh đề chứa biến, cho mệnh đề chứa biến P(x) với x X. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “ )"(, xPXx là “ x )(, xPX ”. Cho mệnh đề chứa biến P(x) với x X. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “ )(, xPXx ” là “ )(, xPXx ”. + Định lí là những mệnh đề đúng. được phát biểu dưới dạng )()(, xQxPXx ,trong đó P(x) và Q(x) là các mệnh đề chứa biến, X là một mệnh đề nào đó. + Phép CM định lí thường sử dụng phép CM trực tiếp hay phép CM bằng phản chứng. + Mệnh đề “ ,Xx Q(x) P(x)” đúng được gọi là định lí đảo. Định lí thuận và đảo có thể viết gộp thành một định lí “ )".()(, xQxPXx + Tập hợp; tập con; hai tập hợp bằng nhau kí hiệu là A=B. + Hợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu là A B = Axx / hoặc Bx , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 + Giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu là A B = /x x A và Bx + Hiệu của hai tập hợp A và B, kí hiệu là A\ B = Axx / và x Bx + Ta gọi aa là sai số tuyệt đối của số gần đúng a, kí hiệu là a . + Sai số tương đối của số gần đúng a là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và a và kí hiệu là a . Ta có a a a . + Qui tròn số; chữ số chắc. B.Các ví dụ và các bài tập có nội dung thực tế đƣợc ứng dụng trong lí thuyết và bài tập. Trong chương I: Mệnh đề - tập hợp phần đại số lớp 10 cung cấp cho học sinh kiến thức mở đầu về lô gíc toán và tập hợp. Các khái niệm và các phép toán về mệnh đề và tập hợp sẽ giúp chúng ta diễn đạt các nội dung toán học thêm rõ ràng và chính xác, đồng thời giúp chúng ta hiểu đầy đủ hơn về suy luận và chứng minh trong toán học. Bởi vậy chương này có ý nghĩa quan trọng đối với việc học tập hợp môn toán. Để hiểu biết thêm về kiến thức mệnh đề lô gíc và lí thuyết tập hợp được sáng lập ra môn lý thuyết tập hợp. Ghê – oóc Can – to sinh ngày 3 – 3 – 1845 tại Xanh Pe téc – bua trong một gia đình có bố là một thương gia, mẹ là một nghệ sĩ, tài năng và lòng say mê toán học của ông hình thành rất sớm. Sau khi tốt nghiệp phổ thông một cách xuất sắc, ông ôm hoài bão đi sâu vào toán học. Bố của ông muốn ông trở thành một kĩ sư vì nghề này kiếm được nhiều tiền hơn. Nhưng ông đã quyết tâm học sâu về toán và cuối cùng ông đã thuyết phục được cha bằng lòng cho ông theo học ngành toán, ông đã viết thư cho cha đại ý như sau: “Con rất sung sướng vì cha đã đồng ý cho con theo đuổi hoài bão của con , tâm hồn con, cơ thể con sống theo hoài bão ấy”. Ông bảo vệ luận án tiến sĩ tại trường đại học Béc – lin vào năm 1867. Từ năm 1869 đến 1905, ông dạy ở trường đại học Ha – lơ (Halle). Ông là người sáng lập lên lý thuyết tập hợp. Ngay sau khi ra đời, lí thuyết tập hợp đã là cơ sở cho một cuộc cách mạng trong viết sách và giảng dạy toán. Những công trình toán học của Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35 ông đã để lại những dấu ấn sâu sắc cho các thế hệ các nhà toán học lớp sau. Năm 1925, Hin – be (Đ. Hilbest), nhà toán học lỗi lạc của thế kỉ XX đã viết: “Tôi đã tìm thấy trong các công trình của ông vẻ đẹp của hoa và trí tuệ. Tôi nghĩ rằng đó là đỉnh cao của hoạt động trí tuệ của con người”. Từ năm 40 tuổi, tuy có những thời kỳ đau ốm phải nằm viện nhưng ông vẫn không ngừng sáng tạo. Một trong những công trình quan trọng của ông đã được hoàn thành trong khoảng thời gian giữa hai cơn đau. Ông mất ngày 6 – 1 – 1918 tại bệnh viện ở Ha – lơ, thọ 73 tuổi. Ta sẽ minh chứng điều đó qua một bài số học thể hiện được tính ứng dụng rộng rãi của mệnh đề để củng cố. *Ứng dụng trong dạy lí thuyết Chẳng hạn: 1. “Pari là thủ đo của nước Pháp” là mệnh đề đúng. 2. “Việt Nam nằm ở Châu Âu” là mệnh đề sai. 3. “20 là số chẵn” là mệnh đề đúng. 4. “15 lớn hơn 30” là mệnh đề sai. 5. Các câu sau: “Cuốn sách này giá bao nhiêu tiền?”. “Bao giờ lớp mình đi thăm quan Hà Nội?”. “Tất cả hãy anh dũng tiến lên” đều không phải là mệnh đề. phép toán trên mệnh đề. - Phép phủ định. Ví Dụ 1: Nếu C = “Chuyến tàu TN1 hôm nay bãi bỏ” thì mệnh đề phủ định C có thể diễn đạt như sau: “Chuyến tàu TN1 hôm nay không bãi bỏ”. Nếu qua xác minh mệnh đề C đúng (hoặc sai) thì mệnh đề phủ định C sẽ sai (hoặc đúng). -Phép hội Ví Dụ 2.a: “Thành phố Hồ Chí Minh là thành phố lớn nhất trong cả nước nhưng không phải là thủ đô” là hội của hai mệnh đề: a = “Thành phố Hồ Chí Minh là thành phố lớn nhất trong cả nước”. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 36 và b = “Thành phố Hồ Chí Minh không phải là thủ đô”. Ở đây G(a) = 1. G(b) = 1. Nên G(a b) = 1. Ví Dụ 2.b: “Chồng cày, vợ cấy, con trâu đi bừa”. * Chú ý: Đôi khi trong mệnh đề có liên từ “và” nhưng không có nghĩa là mệnh đề hội. Ví Dụ 2.c: “Hãy đạt tất cả 20 điểm 9 và 10”. + Phép tuyển. Ví Dụ 3.a: “Tháng 12 có 31 ngày hoặc 2 + 2 = 4” là tuyển của hai mệnh đề: a = “Tháng 12 có 31 ngày”. và b = “2 + 2 = 4” ở đây G(a b) = 1. Ví Dụ 3.b: “20 là số lẻ hoặc chia hết cho 3” là mệnh đề sai. + Phép kéo theo. Mệnh đề kéo theo thường được diễn tả dưới hình thức khác, chẳng hạn: “a suy ra b”. “Nếu a thì b”. “Có a khi có b”. Ví Dụ 4.a: “Nếu dây tóc bóng đèn có dòng điện chạy qua thì bóng đèn sáng”. Ví Dụ 4.b: “Nếu mặt trời quay quanh trái đất thì Việt Nam nằm ở Châu Âu”. Là mệnh đề đúng, vì ở đây hai mệnh đề a = “mặt trời quay quanh trái đất”. và b = “Việt Nam nằm ở Châu Âu” đều sai. Mệnh đề kéo theo a b, người ta không quan tâm đến mối quan hệ về nội dung của hai mệnh đề a, b, không phân biệt trường hợp a có phải là nguyên nhân của b hay không mà chỉ quan tâm đến tính đúng sai của chúng. Trong văn học, mệnh đề kéo theo còn được diễn tả như sau: “ Bao giờ bánh đúc có xương, Bấy giờ gì ghẻ mới thương con chồng”. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 37 Hoặc “Chuồn chuồn bay thấp thì mưa, Bay cao thì nắng, bay vừa thì dâm”. + Phép tương đương Ví Dụ 5.a: “Tháng 12 có 31 ngày khi và chỉ khi trái đất quay quanh mặt trời” là mệnh đề đúng. Ví Dụ 5.b: “12 giờ trưa hôm nay Vinh có mặt ở Hà Nội nếu và chỉ nếu vào giờ đó anh ấy đang ở thành phố Hồ Chí Minh” là mệnh đề sai. * Áp dụng mệnh đề - tập hợp vào phần bài tập + Ứng dụng mệnh đề lôgich trong kỹ thuật. dưới đây ta nghiên cứu một số ứng dụng của lôgích mệnh đề trong kỹ thuật lắp ráp các mạng điện và các thiết bị đồ dùng trong cuộc sống. Ví dụ 1: Hãy mô tả nguyên lý lôgích của sơ đồ mạng điện điều khiển một ngọn đèn từ hai nơi. Trước khi đi vào lời giải của bài toán trên ta xét mối quan hệ giữa hoạt động của các mạch điện và lôgich mệnh đề. Mỗi mạnh điện a ta có thể xem như một mệnh đề ( dùng ký hiệu là a ) . Ta qui ước khi mạch điện a có dòng điện chạy qua thì mệnh đề a có giá trị chân lí bằng 1 và ngược lại khi không có dòng điện chạy qua thì mệnh đề a có giá trị chân lí bằng 0 như vậy: - Phép phủ định có thể được mô tả bởi mạng điện trong hình H1 ( trong đó IBM là mạng a và I MB là mạch điện a ; công tắc IB khi đóng thì tiếp xúc tại B; còn khi mở thì tiếp xúc tại B ). - Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 38 A B C D N P H1 H2 - Phép hội có thể được mô tả bởi mạng điện mắc nối tiếp trong H3 (ở đây ABCD là mạch điện a, còn DMNP là mạch điện b). - Phép tuyển có thể được mô tả bởi mạng điện mắc song song trong H2 (ở đây ABCI là mạch a, còn AMNI là mạch b). H3 Giải: Mạng điện điều kiển một ngọn đèn bằng hai công tắc phải đảm bảo yêu cầu sau đây: - Khi công tắc của mạch a và mạch b cùng đóng hoặc cùng mở thì đèn sáng. - Khi một trong công tắc đóng còn công tắc thứ hai mở thì đèn tắt. Nếu ký hiệu c là mạng điện điều khiển ngọn đèn bằng hai công tắc thì ta có bảng sau: A B C 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 Nhìn bảng chân lí trên ta thấy mệnh đề c là mệnh đề “ a b ” A I M B M A B C I N M B M Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 39 Sơ đồ của mạng c đượ mô tả trong H4 (ở đây ABO là mạng a, OCI là mạng b; A OB là mạng a và CO I là mạch b ). H4 Qua ví dụ 1 gợi động cơ cho học sinh nhận thấy nguyên lý hoạt động điều khiển của một ngọn đèn từ hai nơi gắn trong cuộc sống hàng ngày là những dụng cụ gì? Ví dụ như đèn cầu thang ,… Ví dụ 2:Quan sát một chiếc đèn hiệu, người ta tổ hợp ánh sáng sau đây: - Đèn xanh và đèn đỏ không bao giờ cùng chiếu sáng và chỉ một trong hai đèn chiếu sáng. - Đèn vàng chiếu sáng và đèn đỏ cùng đèn xanh đều không sáng. Bạn hãy mô tả mối liên hệ trạng thái đóng, mở của các công tắc ba bóng đèn trên. Giải: Ta kí hiệu X= “ Đèn xanh chiếu sáng ” Tương tự Đ= “ Đèn đỏ chiếu sáng ” Và V= “ Đèn vàng chiếu sáng” Kết quả quan sát có thể được mô tả như sau: (1)X D (2)V XD Từ (1) ta suy ra (3)Đ X Từ (2) ta suy ra (4) Đ X V (5)V X A B O C I B O C Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 40 (6)V D Từ (4) ta suy ra (7)X V (8) Đ V T ừ các kết quả trên ta suy ra . X D V Đ X V V X D Vậy: - Khi công tắc đèn xanh đóng thì hai công tắc đèn đỏ và đèn vàng đều mở. - Khi công tắc đèn đỏ đóng thì hai công tắc đèn xanh và đèn vàng đều mở. - Khi công tắc đèn vàng đóng thì hai công tắc đèn đỏ và đèn xanh đều mở. Hay: khi một công tắc đèn đóng thì hai công tắc đèn còn lại đều mở. +Sử dụng biểu đồ ven đề giải bài toán tập hợp. Bài 1: Trong một buôn làng của người dân tộc, cư dân có thể nói được tiếng dân tộc, có thể nói được tiếng kinh hoặc nói được cả hai thứ tiếng. Kết quả của một đợt điều tra cơ bản cho biết. - Có 912 người nói tiếng dân tộc; - Có 653 người nói tiếng kinh; - Có 435 người nói được cả hai thư tiếng. Hỏi buôn làng có bao nhiêu cư dân? Giải: Ta vẽ hai hình tròn. Hình A kí hiệu cho số cư dân nói tiếng dân tộc. Hình B kí hiệu cho số cư dân nói tiếng kinh. Ta gọi số phần tử của một tập hữu hạn A bất kỳ là n(A). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 41 Nhƣ vậy: n(A) = 912; n(B) = 653; n(A B) =435. Ta cần tìm số phần tử của tập hợp A hợp B. Trước hết, ta cộng các số n(A) và n(B). Nhưng như vậy thì những phần tử thuộc vào giao của A và B được kể làm hai lần. Do vậy từ tổng n(A) + n(B) ta phải trừ đi n(A B) và được: n (A B) = n(A) + n(B) –n(A B) (1) Thay các giá trị này của n(A); n(B); n(A B) ta được N (A B) = 912 + 653 – 435 =1130. Đáp số: Cư dân của buôn làng 1130 người. Từ bài toán trên công thức (1) đúng với mọi tập hợp A,B bất kỳ. Bài 2: Một nhóm du khách đi du lịch nước ngoài trong đó gồm có: - 28 người biết tiếng Anh; - 13 người biết tiếng Pháp; - 10 người biết tiếng Đức; - 8 người biết tiếng Anh và tiếng Pháp; - 6 người biết tiếng Anh và tiếng Đức; - 5 người biết tiếng Pháp và tiếng Đức; - 2 người biết tất cả ba thứ tiếng Anh, Pháp, Đức. Và đặc biệt trong đoàn có 41 người không biết một thứ tiếng nào trong ba thứ tiếng ấy, Hỏi đoàn du khách có bao nhiêu người? Giải: A 912 B 653 435 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 42 Ta kí hiệu nhóm du khách biết tiếng Anh là A; Biết Pháp là B; Biết tiếng Đức là C. Theo giả thiết: n(A) = 28; n(B) = 13; n(C) = 10; n(A B) =8; n(A C) =6; n(B C ) =5; n( A CB ) =2. Sơ đồ ven: Trước hết ta tìm số du khách biết ít nhất một trong ba thứ tiếng, tức là tìm n( CBA ). Ta sử dụng sơ đồ ven đẻ tìm số này Tính tổng n(A) + n(B) +n(C) Trong tổng này, mỗi một trong các phần tử của A giao B, B giao C, C giao A đượ tính làm hai lần, nên trong tổng n(A) + n(B) +n(C) ta phải trừ đi tổng n(A B ) + n(B )C + n(A C) Bây giờ ta cần làm rõ xem biểu thức n(A) + n(B) + n(C) – n(A )() CBnB - n(A )C Chứa bao nhiêu lần số n(A )CB . rõ ràng nó chứa ba lần với dấu +( trong mỗi số hạng n(A), n(B),n(C) và ba lần với dấu – (trong mỗi số hạng n(A )();(); CAnCBnB ). Do đó để không bỏ sót các du khách là các phần tử thuộc tập hợp A CB , ta cần thêm số hạng n(A )CB vào tổng trên và có: n(A B )()()()()()()() CBAnCAnCBnBAnCnBnAnC (2) A 28 B 13 C 10 8 2 6 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 43 Thế các giá trị đã cho trong giả thiết ta được : N( A B )C = 28+13+10-8-6-5+2 =34 Số tổng số du kháchcủa đoàn du lịch là34+41=75 du khách. Nhận thấy: + Công thức (2) đúng với bất ký ba tập hợp A,B,C nào. + Từ công thức (1) và (2), ta cũng mở rộng khai triển cho trường hợp tổng quát với một số hữu hạn các tập hợp A1,A2,A3,…,An, và có: n(A1 A2 A3 .... Ak) = n(A1)+n(A2)+…+n(Ak) – n(A1 A2)-n(A2 A3)-…- n(Ak;1 Ak)+n(A1 A2 A3)+n(A1 A2 A4)+…+(-1) k- n(A1 A2 … Ak) (3). Công thức (3) được gọi là công thức liên hệ giữa giao và hợp . Đặc biệt khi k chẵn thì số hạng cuối cùng trong vế phải của công thức (3) mang dấu – (như trong trường hợp công thức (1) và khi k là số lẻ thì số hạng này mang dấu + (như trong trường hợp công thức (2)). Những bài toán có nội dung thực tế ,những hoạt động cụ thể ứng dụng toán học vào thực tiễn luôn đem lại sự hướng thú cho học sinh. Qua hoạt động đó các em dễ dàng khắc sâu kiến thức. Ta có thể cho học sinh tự làm một số bài toán sau: * Số gần đúng và sai số. Số gần đúng và sai số là những khái niệm cơ bản của các ngành toán học ứng dụng. Vì nói chung trong đo đạc, tính toán ta nhận được các số liệu gặp trong thực tế là những số gần đúng. Ví dụ: Khi đọc các thông tin sau em hiểu đó là số đúng hay gần đúng. “ Bán kính đường xích đạo của trái đất là 6378 km, khoảng cách từ mặt trời đến trái đất là 148600000 km.” Qua đó học sinh nhận thấy được các số liệu trong đo đạc, tính toán thường chỉ là số gần đúng . Số gần đúng có sai số tuyệt đối càng nhỏ càng biểu thị chính xác kết quả. Ví dụ 1(SGK đại số10 trang 21): các nhà thiên văn tính được thời gian để trái đất quay một vòng quanh mặt trời là 365 ngày 4 1 ngày. Còn bạn Nam tính đi từ nhà đến trường là 30 phút 1 phút. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 44 Trong hai phép đo trên phép đo nào chính xác hơn ? Nhận thấy phép đo của các nhà thiên văn có sai số tuyệt đối không vượt quá 4 1 ngày, nghĩa là 6 giờ hay 360 phút. Còn phép đo của Nam có sai số tuyệt đối không vượt quá 1 phút. Thoạt nhìn, ta thấy phép đo của Nam chính xác hơn của các nhà thiên văn (so sánh 1 phút với 360 phút). Tuy nhiên, 4 1 ngày hay 360 phút là độ chính xác của phép đo một chuyển động trong 365 ngày,còn 1 phút là độ chính xác của phép đo một chuyển động trong 30 phút. So sánh hai tỉ số . 1460 1 365 4 1 =0,0006849… 30 1 = 0,033… Ta phải nói phép đo của các nhà thiên văn chính xác hơn nhiều. Qui tròn số của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước. Cho số gần đúng a với độ chính xác d (tức là a = a d ). Khi được yêu cầu qui tròn số a mà không nói rõ qui tròn đến hàng nào thì ta qui tròn a đến hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó. Ví dụ 2:Dân sốViệt nam hiện tại vào khoảng 83.10 6 người (83 triệu người). Ở đây , k=6 nên độ chính xác của số gần đúng này là 2 1 .10 6 =500000. Do đó ta biết được dân số Việt Nam trong khoảng 82,5 triệu người đến 83,5 triệu người. Ví dụ 3: Một cái sân hình chữ nhật với chiều rộng là x=2,56 0,01 m và chiều dài là y= 4,2 m 0,01m. Chứng minh rằng chu vi p của sân là p=13,52m 0,04 m. Giải: Giả sử x= 2,56 +u, y= 4,2 +v là giá trị đúng của chiều rộng và chiều dài của sân. Ta có p=2(x+y)=2(2,56+4,2)+2(u+v) =13,52+2(u+v) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45 Theo giả thiết -0,01 u 0,01 và -0,01 ,01,0v suy ra -0,04 04,0)(2 vu Thành thử p=13,52m 0,04m Tóm lại sau khi học được số gần đúng,sai số học sinh phải nắm được khái niệm số gần đúng, sai số tương đối, độ chính xác của một số gần đúng và biết cách viết số qui tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước và đặc biệt biết ứng dụng trong thực tế. 2.2.2. chương II: Hàm số bậc nhất – Hàm số bậc hai A. Tóm tắt kiến thức cơ bản chƣơng II +Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng y = ax + b với a 0 , tập xác định R. Khi a >0, hàm số y = ax + b đồng biến trên R. Khi a < 0, hàm số y = ax + b nghịch biến trên R. Đồ thị hàm số bậc nhất là một đường thẳng, có hệ số góc a. + Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y = ax 2 +bx +c, trong đó a,b.c là các hằng số và a 0 Đồ thị hàm số bậc hai là một parabol có đỉnh I(- ) 4 ; 2 aa b , nhận đường thẳng x = - a b 2 làm trục đối xứng và bề lõm quay lên trên khi a>0, xuống dưới khi a<0. Khi a>0, hàm số nghịch biến trên khoảng (- ) 2 ; a b ; đồng biến trên khoảng (- ; 2a b ) và có giá trị nhỏ nhất là - a4 khi x= - a b 2 Khi a<0, hàm số đồng biến trên khoảng ( - ) 2 ; a b , nghịch biến trên khoảng ( - ); 2a b và có giá trị lớn nhất là - a4 khi x=- a b 2 . B. Các ví dụ và bài toán có nội dung thực tế đƣợc ứng dụng trong lí thuyết và bài tập. *Ứng dụng trong lí thuyết + Hàm số bậc nhất. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 46 Trong cuộc sống và trong tự nhiên có rất nhiều các sự vật, hiện tượng có quan hệ với nhau theo mối tương quan hàm số chẳng hạn để củng cố khái niệm hàm số, ta cho học sinh biết về một số hàm số toán học và thể hiện hàm số đó trong thực tiễn, hoặc các em tự tìm ra những mối quan hệ giữa các sự vật, hiện tượng xung quanh thể hiện là mối tương quan hàm số. Sau khi học dạy hàm số y = ax. Hàm số thấy được áp dụng trong cuộc sống như: - Nhiệt độ )( CT phụ thuộc vào sự thay đổi của thời gian t (giờ). - Khối lượng m (m) của một thanh kim loại đồng chất có khối lượng riêng là d tỉ lệ thuận với thể tích . V (cm 3 ) theo công thức: m = dv. + Trong vật lí: S = v.t S: Quãng đưòng. v: Vận tốc trung bình. t: Thời gian. Q = I.t Q: Nhiệt lượng. I: Cường độ dòng điện. t: Thời gian. + Trong hoá học: M = 29d M: Phân tử g của chất khí. d: Tỉ khối của chất khí đối với chất khí. m = n.M m: Khối lượng của một chất. n: Số mol. M: Khối lượng của mol phương trình của chất đó. v…v… + Trong cuộc sống: T = n.G G: giá tiền một đồ vật. n: Số lượng đồ vật. T: Số tiền phải trả. Số lượng công việc làm được = năng xuất x số thời gian làm việc… + Vị trí và tầm quan trọng của hàm số. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 47 Ở đây nói về vị trí và tầm quan trọng của khái niệm hàm vì hàm số chỉ là trường hợp đặc biệt của khái niệm này. Theo các nhà toán học. Khui – sin thì không có khái niệm nào khác có thể phản ánh những hiện tượng của thực tại khách quan một cách trực tiếp và cụ thể như khái niệm tương quan hàm, không một khái niệm nào có thể thể hiện được ở trong nó nhiều nét biện chứng của tư duy toán học hiện đại như khái niệm tương quan hàm. Thật vậy, bản chất của vật chất là vận động, và sự vận động chỉ ra trong mối tương quan nhất định với khái niệm hàm, người ta nghiên cứu sự vật trong trạng thái biến đổi của nó chứ không phải trong trạng thái tĩnh tại, trong sự phụ thuộc lẫn nhau chứ không phải tách rời nhau. Khái niệm hàm phản ánh sâu sắc hiện thực khách quan và thể hiện rõ nét tư duy biện chứng chính là ở chỗ đó. Chính vì vậy mà khái niệm hàm là một trong những khái niệm cơ bản của toán học, nó giữ vị trí trung tâm trong chương trình môn toán ở nhà trường THPT. Toàn bộ việc dạy học toán ở nhà trường THPT đều xoay quanh khái niệm này. Bắt đầu bậc THPT ở lớp 10 có kiến thức về hàm số bậc nhất và tiếp đó nghiên cứu hàm số bậc hai tương quan. Chú trọng qua các ví dụ và bài tập sát với thực tiễn cuộc sống và gắn bó với các môn học khác. Chẳng hạn có nhiều câu hỏi, bài tập liên quan đến luật giao thông, liên quan đến kinh tế… Ví dụ 1: Thông qua thực tế khái niệm về hàm số theo tình hình kinh tế và xã hội của đất nước như: Theo thông báo của ngân hàng ABBANK, ta có bảng dưới đây vì lãi xuất giữ tiết kiệm kiểu bậc thang với số tiền gửi tiết kiệm VND được áp dụng từ ngày 30/6/2008. Kì hạn (số tháng) 1 2 3 6 12 15 Lãi xuất (% tháng) 18.0 18.15 18.30 18.35 18.40 17.90 Bảng này thể hiện sự phụ thuộc giữa lãi xuất % theo tháng ( kí hiệu là y) là hàm số của kì hạn x (tính theo tháng). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 48 Ví dụ 2: Biểu đồ sau hình 3 biểu thị sản lượng vịt, gà và ngan lai qua 5 năm của một trang trại. Coi y = f(x), y = g(x) và y = h(x) tương ứng là các hàm số biểu thị sự phụ thuộc số vịt, số gà và số ngan lai vào thời gian x. Qua biểu đồ, hãy: a) Tìm tập xác định của mỗi hàm số đã nêu; b) Tìm các giá trị f(2002), g(1999), h(2000) và nêu ý nghĩa của chúng; c) Tính hiệu h(2002) – h(1999) và nêu ý nghĩa của nó. 0 1 2 3 4 5 6 7 1998 1999 2000 2001 2002 Sản lượng vịt Sản lượng gà Sản lượng ngan lai Hình 3 Trả lời: a) Tập xác định của cả ba hàm số y = f(x), y = g(x) và y = h(x) là : D = {1998; 1999; 2000; 2001; 2002}. b) f(2002) = 620000 (con); g(1999) = 380000 (con); h(2000) = 100000 (con). Năm 2002 sản lượng của trang trại là 620000 con vịt, năm 1999 sản lượng là 380000 con gà; năm 2000 trang trại có sản lượng là 100000 con ngan lai. c) h(2002) – h(1999) = 210000 – 30000 = 180000 ( con). Sản lượng ngan lai của trang trại năm 2002 tăng 180000 con so với năm 1999. + Hàm số bậc hai: Thấy được ý nghĩa của hàm số và đồ thị hàm số bậc hai trong đời sống thực tế, đó là đường parabol. Trong cuộc sống hàng ngày chúng ta thường gặp những hình ảnh của đường parabol. Như khi ta ngắm các đài phun nước, hoặc được chiêm ngưỡng cảnh bắn pháo hoa muôn màu, muôn sắc. Nhiều công trình kiến trúc cũng được Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 49 tạo dáng theo hình parabol, như cây cầu, vòm nhà, cổng ra vào… Điều đó không chỉ đảm bảo tính bền vững mà còn tạo nên những vẻ đẹp của công trình. *Ứng dụng trong bài tập + Hàm số bậc nhất Bài tập 1: Có 3 hình thức trả tiền cho việc truy cập Internet. - Hình thức A: Mỗi giờ truy cập giá 2000 đồng. - Hình thức B: Thuê bao hàng tháng 35000 đồng và số giờ truy cập không hạn chế. - Hình thức C: Thuê bao hàng tháng 45000 đồng và mỗi giờ truy cập phải trả 500 đồng. a, Em hãy cho biết hình thức nào thì phải trả ít tiền hơn nếu tổng hợp truy cập hàng ngày trong tháng (30 ngày). Lần lượt là 1,5h; 10h; 12h. b, Hãy viết p1(x), p2(x), p3(x) theo thứ tự là số tiền phải trả hàng tháng theo mỗi hình thức A, B, C trong đó x là số giờ truy cập Internet. Hướng dẫn a/ Hãy điền vào bảng sau: Số giờ truy cập hàng tháng Số tiền phải trả 45h 300h 360h Hình thức A Hình thức B Hình thức C b/ - Hình thức A là: p1(x) = 2000.x đồng - Hình thức B là: p2(x) = 350000 đồng - Hình thức C là: p3(x) = 500.x + 45000 đồng Bài tập 2: Một hãng taxi qui định giá thuê xe đi mỗi kilômét là 6 nghìn đồng đối với 10 km đầu tiên và 2,5 nghìn đồng với các km tiếp theo. Một hành khách thuê taxi đi quãng đường x kilômét phải trả số tiền là y nghìn đồng. Trong đó, y là một hàm số của x, x đối với 0x . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 50 a) Hãy biểu diễn y như một hàm số bậc nhất trên từng khoảng [0;10] và khoảng (10; ). b) Tính f(8), f(10) và f(18). Gợi ý: a) Khi 100 x tức là quãng đường đi nằm trong 10 km đầu tiên, số tiền phải trả là: f(x) = 355,2 6 x x nếu 10 100 x x . b) Từ công thức trên suy ra: f(8) = 6.8 = 48; f(10) = 6.10 = 60; f(18) = 2,5. 18 + 35 = 80. +Hàm số bậc hai Bài toán bóng đá: Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với toạ độ 0 t.h, trong đó t là thời gian (tính bằng giây), kể từ khi quả bóng được đá lên, h là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá từ độ cao 1,2m. Sau đó 1 giây, nó đạt độ cao 8,5m và 2 giây sau khi đá lên, nó ở độ cao 6 m. a) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo thời gian t và có phần đồ thị trùng với quỹ đạo của quả bóng trong tình huống trên. b) Xác định độ cao lớn nhất của quả bóng ( tính chính xác đến hàng phần nghìn). c) Sau bao lần thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên ( tính chính xác đến háng phần trăm)? Gợi ý: a) Giả sử h = f(t) = at 2 + bt +c. Ta cần tìm các hệ số a, b và c. Theo giả thiết, quả bóng được đá lên từ độ cao 1,2m, nghĩa là: f(0) = c= 1,2. Sau đó 1 giây, nó đạt được độ cao 8,5m nên: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 51 1 f(1) = a + b + 1,2 = 8,5. Sau khi đá 2 giây, quả bóng ở độ cao 6m, nghĩa là: f(2) = 4a + 2b + 1,2 = 6. Thu gọn cái hệ thức trên, ta có hệ phương trình bậc nhất. 4,22 3,7 ba ba Giải hệ ta có a = -4,9, b= 12,2. Vậy hàm số cần tìm là:f(t) = -4,9t 2 + 12,2t + 1,2. b) Vì những điểm có tung bằng 0 nên độ cao lớn nhất của quả bóng chính là tung độ của đỉnh parabol, cụ thể là: y = a ' = 794,8 9,4 09,43 . c) Giải phương trình: -4,9t 2 + 12,2t + 1,2 = 0, ta được hai nghiệm gần đúng là: t1 = -0,09 và t2 = 2,58 (loại giá trị âm), ta được kết quả là: Quả bóng chạm đất sau gần 2,58 giây. Bài toán tàu vũ trụ: Khi một con tàu vũ trụ được phóng lên mặt trăng, trước hết nó bay vòng qua Trái Đất. Sau đó đến một thời điểm thích hợp, động cơ bắt đầu hoạt động đưa con tàu bay theo quỹ đạo là một nhánh parabol lên mặt trăng ( trong toạ độ O t 2 1,2 4 6 8,5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 52 0xy như nhình vẽ, x và y tính bằng nghìn km). Biết rằng khi động cơ bắt đầu hoạt động, tức là khi x = 0 thì y = -7. Sau đó y = -4 khi x = 10. Và y = 5 khi x= 20. a. Tìm hàm số bậc hai có đồ thị chứa nhánh parabol nói trên. b. Theo lịch trình để đến được mặt trăng, con tàu đi qua điểm (100; y) với y = 294 1,5. Hỏi điều kiện có được thoả mãn hay không? a. Ta cần tìm hàm số dạng f(x) = ax 2 + bx + c thoả mãn: f(0) = C = -7. f(10) = 100a + 10b – 7 = -4. f(20) = 400a + 20b – 7 = 5. Từ đó suy ra a = 0.03 và b = 0. vậy hàm số cần tìm là: y = 0,03x 2 – 7. b. Theo điều kiện khi x = 100 thì y = 294 1,5 tức là: 294 – 1,5 < y < 294 + 1,5 hay y (292,5; 295,5). Ta thấy f(100) = 293 thoả mãn điều kiện đó. O quỹ đạo y x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 53 0 10 162 x Bài toán về cổng Ác – xơ (Asch). Khi di lịch đến thành phố XanhLu – i (Mĩ), ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình parabol hướng bề lõm xuống dưới, đó là cổng Ác – xơ. Giả sử ta lập một hệ toạ độ 0xy sao cho một chân cổng đi qua gốc 0 như hình 4 (x và y tính bằng mét), chân kia của cổng ở vị trí (162; 0). Biết một điểm M trên cổng có toạ độ là (10; 43). a) Tìm hàm số bậc hai có đồ thị chứa cung parabol nói trên. b) Tính chiều cao của cổng ( tính từ đỉnh cao nhất trên cổng xuống mặt đất, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Giải a/ Ta cần tìm hàm số có dạng f(x) = ax 2 + bx + c thoả mãn f(0)=c; f(10)= 100a + 10b = 43; f(126) = 162 2 a + 162b = 0 hay 162a + b = 0. Từ đó suy ra a 583,4;028,0 b . Vậy hàm số cần tìm là f(x) = ax 2 + bx, trong đó a 583,4;028,0 b b/ Chiều cao của cổng bằng tung độ của đỉnh parabol do đó: h = f(162/2) = f(81) 188(phút). c/ Xét các giao điểm của parabol với đường thẳng y =170. Hoành độ các giao điểm là nghiệm của phương trình: - 0,028x 2 + 4,583x = 170 hay 0,028x 2 – 4,583x + 170 = 0. Giải phương trình ta được x1 9,106;8,56 2x . Vậy khoảng cách giữa hai điểm đó là x2 – x1 1,50 (mét). y 43 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 54 2.2.3. Chương III Phương trình và hệ phương trình. Chương IV Bất đẳng thức và bất phương trình A. Tóm tắt kiến thức cơ bản của chƣơng III và chƣơng IV - Các phép biến đổi tương đương các phương trình - Phép biến đổi cho phương trình hệ quả - Giải và biện luận phương trình ax + b = 0 - Giải và biện luận phương trình bậc hai ax 2 + bx + c =0 (a )0 - Giải và biện luận phương hệ phương trình bậc nhất hai ẩn - Định vi-ét (thuận và đảo) - Giải hệ phương trình bậc hai hai ẩn - Các tính chất của bất đẳng thức. BĐT cô-si và BĐT chứa giá trị tuyệt đối. Bất PT tương đương - Bất PT và hệ BPT bậc nhất hai ẩn, định lí về dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai. - Bất PT và hệ BPT bậc hai. - Một số PT và BPT qui về bậc hai. B.Các ví dụ và bài toán có nội dung thực tế đƣợc ứng dụng trong lí thuyết và bài tập. Trong thực tế đời sống, kỹ thuật, sản xuất có nhiều đại lượng biến đổi và phụ thuộc lẫn nhau và ta phải tìm ra cụ thể hoặc là tất cả, hoặc là một trong các đại lượng ấy.Để giải quyết các vấn đề ấy ta cần “ toán học hoá” các mối quan hệ phụ thuộc giữa các đại lượng thành các phương trình, hệ phương trình, bất phương trình. Khi đó việc giải các phương trình, hệ phương trình,bất phương trình sẽ giúp ta giải quyết được những vấn đề mà thực tiễn đòi hỏi. Chúng ta quan tâm đến vấn đề: phương trình, hệ phương trình, bất phương trình trong toán học giúp con người giải quyết các bài toán thực tế như thế nào và việc hình thành kỹ năng đưa bài toán của thực tiễn thành các phương trình, hệ phương trình, bất phương trình ở học sinh. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 55 Ở trường phổ thông, dạy học phương trình, hệ phương trình, bất phương trình không dừng lại ở việc dạy giải phương trình, hệ Phương trình, bất phương trình mà cần quan tâm dạy học giải bài toán bằng cách lập phương trình. Đối với hệ phương trình, bất phương trình cũng được lý luận tương tự như phương trình. Vậy giải bài toán bằng cách lập phương trình để học sinh thấy được ứng dụng thực tế của lí luận trong khoa học và đồi sống. *Ứng dụng trong lí thuyết Trong việc dạy giải bài toán bằng cách lập phương trình khâu mấu chốt là dạy cho học sinh biết lập phương trình xuất phát tình huống thực tế của bài toán. để làm được điều đó,điều quan trọng là tập cho học sinh biết xem xét những đại lượng trong những mối liên quan với nhau, phát hiện ra những mối liên quan với nhau, phát hiện ra những mối liên quan về lượng giữa chúng để trên cơ sở đó mà lập được phương trình, ta xét ví dụ sau; “ Một xí nghiệp dự định sản suất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do thi đua xí nghiệp đó đã tăng năng suất thêm 5 sản phẩm mỗi ngày và do đó đã hoàn thành kế hoạch trước thời hạn 6 ngày. Tính năng suất dự định của xí nghiệp đó.” Trước hết ta có thể hướng dẫn học sinh kí hiệu x là năng suất dự kiến của xí nghiệp. Bằng cách gọi ra mối liên hệ “ năng suất dự kiến cộng thêm 5 bằng năng suất thực tế, ta có thể dẫn họ đi đến biểu thị năng suất thực tế qua năng xuất dự kiến là x+5. Trên cơ sở giúp học sinh phát hiện mối liên hệ “ Tổng sản lượng bằng năng suất nhân với thời gian sản xuất, có thể dẫn dắt họ biểu thị thời gian dự kiến là x 600 và thời gian sản xuất thực tế là x 600 +x”. Bằng cách gợi ý mối liên hệ “ Thời gian dự kiến bớt đi 6 ngày bằng thời gian sản xuất thực tế”, ta có thể giúp học sinh đi đến lập phương trình: 5 600 6 600 xx . Qua ví dụ minh hoạ trên, ta thấy trong dạy học lập PT,HPT,BPT cần xoái vào hai khâu mấu chốt như sau: + Rèn cho HS khả năng phát hiện những hệ thức giữa những đại lượng đó là cần làm cho HS ý thức được rằng những mối liên hệ giữa những đại lượng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 56 trong bài toán có thể chia thành hai loại: Những mối liên hệ cụ thể ở bài toán đó và những mối liên hệ tổng quát có tính chất qui luật. Thuộc về loại thứ nhất có thể kể : -Năng xuất dự kiến +5 = năng xuất thực tế. -Thơi gian dự kiến -6 = Thời gian thực tế, - Vận tốc ô tô gấp 3 vận tốc xe đạp vv… Thuộc loại liên hệ thứ hai có thể nêu: - Tổng sản lượng = năng xuất x với thời gian sản xuất - đường đi = vận tốc x thời gian (trong chuyển động đều), - nửa chu vi hình chữ nhật= chiều dài + chiều rộng. ….. Trong khi những mối liên hệ loại thứ nhất được nêu ra trong đề toán thì những mối liên hệ loại thứ hai được coi là những kiến thức học sinh phải nắm vững, những mối liên hệ này không được nêu ra trong bài toán, học sinh cần dựa vào vốn kiến thức của mình để phát hiện ra chúng. Người thầy giáo cần nhấn mạnh cho HS, thấy rằng phát hiện những mối liên hệ giữa những đại lượng trong bài toán là cơ sở để lập phương trình giải bài toán đó. Làm như vậy cũng là tập dượt cho HS biết xem xét sự vật trong mối liên hệ với nhau chứ không tách rời nhau một cách cô lập, đó là một yếu tố của tư duy biện chứng. Rèn luyện cho HS khả năng sử dụng những biểu thức chứa biến để biểu thị những tình huống thực tế đó là trong dạy học cần chú trọng cho HS lập phương trình là tập luyện cho họ biểu thị những tình huống thực tế bằng những biểu thức có chứa những biến đại diện cho những đại lượng chưa biết. Cần tập cho HS một mặt biết chuyển từ những tình huống thực tế sang những biểu thức biểu thị chúng và mặt khác biết chuyển từ những biểu thức sang những tình huống thực tế phù hợp với chúng chính vì thế ta nên tiến hành theo từng bước sau: a/ Đặt ấn số. Ẩn số là cái chưa biết, cái phải tìm.Thông thường bài toán yêu càu tìm cái gì (các cái gì ) thì ta đặt cái đó (các cái đó ) làm ẩn (các Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 57 ẩn).Cũng có khi ta đặt những bài toán và với cách đặt ẩn như thế mà phương trình lập nên quá phức tạp hoặc khó khăn thì cần thay đổi cách chọn ẩn hoặc chọn thêm ẩn. Ẩn mà ta chọn phải liên quan đến cái cần tìm và cho phép ta lập phương trình dễ dàng hơn. b/ Lập phƣơng trình. Sau khi đặt ẩn ( nêu điều kiện cho ẩn nếu có ) ta tiến hành biểu thị các đại lượng qua các số đã biết và ẩn số. để lập được phương trình (các phương trình) ứng với bài toán cần giải,ta có gắng hình dung thật cụ thể và rõ ràng điều kiện của bài toán ( quan hệ giữa cái cần tìm,cái chưa biết và những cái đã cho). Trong những trường hợp phức tạp, ta phải phân tích, tách ra từng phần, phiên dịch mỗi phần theo ngôn ngữ đại số,sắp xếp chúng theo một trình tự hợp lí, sau đó kết hợp những phần đã nói để có thể biểu diễn cùng một lượng bằng hai cách khác nhau thành một đảng thức. Như vậy ta sẽ có phương trình. Thông thường ở mỗi bài toán ta đưa ra bao nhiêu ẩn, cần thiết lập bấy nhiêu phương trình. Cũng có những trường hợp ngoại lệ: ta đưa thêm ẩn phụ vào và sau đó khử được ẩn đó đi hoặc có trường hợp dẫn đến PT nghiệm nguyên. Chú ý: trong những bài toán thực tế giải bằng cách lập phương trình (hệ PT,BPT) có những đại lượng liên quan chặt chẽ với nhau khi nói đến đại lượng này ta phải nghĩ ngay đến đại lượng kia dù trong bài toán không nói đến đại lượng quan hệ đó. c/ Trình tự các bƣớc trong lời giải bài toán bằng cách lập phƣơng trình (HPT, BPT) - Chọn ẩn số, xác định điều kiện cho ẩn (nếu có) - Biểu thị các đại lượng qua ẩn số và các số đã cho - Lập phương trình (HPT,BPT) - Chọn nghiệm thích hợp trả lời. Vai trò PT,HPT,BPH đối với đời sống thực tiễn được thể hiện rất phong phú, đa dạng ở nhiều lĩnh vực, Giúp con người giải quyết các bài toán trong cuộc sống như về kinh tế, kỹ thuật,..Thông qua một số ví dụ sau: *Ứng dụng trong bài tập Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 58 +Toán tìm số. Bài toán1. Số trứng ở rổ thứ nhất gấp đôi số trứng ở rổ thứ hai. Nếu bớt đi 20 quả ở rổ thứ nhất và bỏ thêm 10 quả vào rổ thứ hai thì số trứng ở rổ thứ nhất gấp 3 4 lần số trứng ở rổ thứ hai. Tính số trứng ban đầu ở mỗi rổ ? Trước những bài toán thưc tế trên, đ iều quan trọng là phải hướng dẫn học sinh phân tích bài toán để biết được trong bài toán có những đại lượng nào ? quan hệ giữa chúng ra sao ? toán học hoá các đại lượng và các mối quan hệ ấy ? Trong ví dụ của bài toán trên, ta gặp các đại lượng. Số trứng ở rổ thứ nhất (chưa biết) gấp đôi số trướng ở rổ thứ hai (chưa biết) chính vì thế cần chọn ẩn là các đại lượng chưa biết. Ta gọi số trứng ở rổ thứ nhất và ở rổ thứ hai theo thứ tự là x và y (x>y>0) Theo bài ra quan hệ giữa số trứng thêm, bớt ở rổ thứ nhất và rổ thứ hai là bước tiếp theo là toán học hoá các đại lượng và mối quan hệ giữa chúng thì tỉ số giữa số trứng ở hai rổ sau khi thêm bớt là: 3 4 10 20 y x . Từ đó ta lập hệ thống phương trình để giải. Gọi số trứng ở rổ thứ nhất và ở rổ thứ hai theo thứ tự xvà y (x>y và x,y nguyên dương). Theo đầu bài ta có phương trình: 3 4 10 20 2 y x yx Giải ra tìm được x=100; y=50. Thoả mãn điều kiện đầu bài, Vậy rổ trứng thứ nhất có 100 quả, rổ trứng thứ hai có 50 quả. Bài toán2.Tìm hai số biết tổng là 17 và tổng các bình phương của chúng là 157. a/ phân tích tìm lời giải. Nếu ta đặt ẩn với cả hai số là x và y thì ta có ngay hệ phương trình bậc hai 157 17 22 yx yx Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 59 Bài toán trên cố thể sử dụng kiến thức đơn giản hơn,phù hợp với đa phần học sinh, có thể chuyển sang chỉ tìm một số rồi từ đó tìm số kia sau. Vì lẽ đó ta sắp xếp và viết bài toán dưới dạng: Số thứ nhất là x số thứ hai là 17-x Tổng các bình phương của chúng là 157 . Khi đó ta có phương trình: X 2 +(17-x) 2 =157. giải phương trình ta có hai số là 6 và 11 b/ Lời giải (HS tự giải) c/Khai thác bài toán . Đây là loại toán bậc hai, để tạo những bài toán tương tự , ta có thể điều kiện, chẳng hạn 1.Biết hiệu hai số và tổng các bình phƣơng của chúng. 2.Biết tổng hoặc hiệu hai số và tổng hoặc hiệu các nghịch đảo của hai số. Ta có thể thay đổi ẩn nhƣ tìm ba số… Bài toán3.(bài toán cổ) Quýt, cam mười bảy quả tươi Đem chia cho một trăm người cùng vui Chia ba mỗi quả quýt rồi. Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh Trăm người trăm miếng ngọt lành Quýt, cam mỗi loại tính rành là sao? Hướng dẫn giải; Gọi x( quả) là số quả quýt và y là số quả cam. điều kiện: x,y<17;x,y *N Theo đề bài ta có: x+y=17 Chia ba mỗi quả quýt và chia mười mỗi quả cam được một trăm miếng, nghĩa là: 3x+10y=100 Ta có hệ phương trình: 100103 17 yx yx Giải hệ phương trình ta được: x=10; y=7 Hai số x và y tìm được thoả mãn điều kiện của bài toán. Vậy có 10 quả quýt và 7 quả cam. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 60 +Toán năng xuất Bài toán1. Hai công nhân cùng làm một công việc thì sau 5giờ 50 phút sẽ hoàn thành.Sau khi làm chung được 5 giờ thì một người phải điều đi làm việc khác nên người kia phải làm tiếp trong 2giờ nữa mới xong công việc. Hỏi nếu một mình thì mỗi người phải làm trong bao lâu ? Gợi ý. Gọi x, y là số giờ mà mỗi người phải làm một mình sẽ xong công việc thì trong một người thứ nhất làm được x 1 công việc và người thứ hai làm được y 1 công việc (x>0, y>0). cả hai người cùng làm thì trong 5giờ 50 phút hay 5 6 5 giờ sẽ xong công việc thì trong một giờ họ làm được 35 5 6 5 5 1 công việc. Từ đó ta lập hệ phương trình để giải. Giải: Gọi số giờ mà mỗi người phải làm một mình xong công việc là x giờ, y giờ (x>0, y>o). Thì trong một giờ người thứ nhất làm được x 1 công việc, người thứ hai làm được y 1 công việc. Cả hai người cùng làm xong công việc trong 5giờ 50 phút bằng 6 35 giờ. Thì trong một giờ làm được 6 35 1 công việc hay 35 6 công việc, ta có phương trình: 35 611 yx (1) Trong hai giờ làm chung cả hai người làm được 5( yx 11 ) công việc, và người còn lại làm một trong hai giờ tức là làm được y 2 công việc, ta có phương trình: 5( 1 2 ) 11 yyx (2). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 61 Theo đầu bài ta có hệ phương trình: 1 2 ) 11 (5 35 611 yyx yx Giải ra tìm được x=10, y=14 thoả mãn điều kiện bài toán. Vậy. Nếu làm một mình thì người thứ nhất phải làm hết 10 giờ; Người thứ hai phải làm 14 giờ mới làm xong công việc. Bài toán2. Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, kể cả thuế gía trị gia tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng ? Giải: Giả sử không kể thuế VAT, người mua hàng phải trả x (triệu ) đồng cho loại hàng thứ nhất; y(triệu) đồng cho loại hàng thứ hai. - Khi đó số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất (kể cả thuế VAT10%) là x 100 110 (triệu) đồng, cho loại hàng thứ hai (kể cả thuế VAT 8%) là y 100 108 (triệu) đồng. - Ta có phương trình: 17,2 100 108 100 110 yx 1,1x+1,08y=2,17 (1) Khi thuế VAT là 9% cho cả hai loại hàng thì số tièn phải trả là 18,2)( 100 109 yx hay 1,09x+1,09y = 2,18 (2) Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phương trình: 18,209,109,1 17,208,11,1 yx yx Giải hệ PT ta được: x=0,5 (nhận) Y=1,5 (nhận) Vậy nếu không kể thuế VAT thì người mua hàng phải trả 0,5 triệu đồng cho loại hàng thứ nhất và 1,5 triệu đồng cho loại hàng thứ hai. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 62 Bài toán 3.(bài toán cổ) một người nói với bạn: “ nếu anh đưa tôi 7 đina thì tôi sẽ giàu gấp anh 5 lần”, người bạn trả lời: “ nếu anh cho tôi 5 đina thì tôi sẽ giàu gấp anh 7 lần !”. Hỏi mỗi người có bao nhiêu đina ? Hướng dẫn. bài toán có hai người khi đó gọi người đầu là x, người thứ hai là y. với điều kiện đầu bài dẫn đến hệ phương trình. )5(75 )7(57 xy yx Giải hệ trên ta có : x= 7 17 14 9; 17 2 y Trả lời: người đầu có 7 17 2 đina, người thứ hai có 9 17 14 đina. Bài toán này được lấy trong cuốn “liberabaci” của nhà toán học Italia leonađơ Pizaxnki phibonaxi. Ông sinh ra ở Pida, năm 117. ông đã từng giảng dạy toán học ở angie, sang phương đông làm quan với toán học ẢRập. Chính vì thế mà ông đã có dịp đối chiếu và so sánh giữa nghệ thuật tính toán Ấn độ với 9 kí tự Hindu trong tính toán, ông đã đúc kết những kiến thức “cổ kim” về toán học và quyết định viết cuốn “ Liberabaci”. Đây là tác phẩm số học và đại số gồm 15 chương, công lao vĩ đại nhất của ông đối với khoa học đó là ông là người đầu tiên ở Ấn Độ giới thiệu môn đại số và hệ thống tính toán với các nhà bác học châu Âu. Như trên đã nói, để giải đươc các bài toán trong thực tiễn việc toán học hoá các đại lượng, các mối liên hệ (thực chất là “dịch” bài toán từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ toán học) là việc rất quan trọng, nó quyết định sự thành công hay thất bại của việc tìm kết quả đúng của bài toán. Bài toán 4.Một thương gia hàng năm tăng tài sản lên 3 1 và giảm tài sản do chi phí 100 bảng. Sau 3 năm ông nhận thấy gia tài tăng gấp đôi. Hỏi ban đầu ông có bao nhiêu tiền ? Ta nhận thấy rằng nội dung của bài toán chứa những mệnh đề cần phải biểu thị bằng nh