Đề tài Tăng cường liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học một số chủ đề giải tích ở trường trung học phổ thông

Mở đầu I. Lí do chọn đề tài 1.1. Đào tạo những người lao động phát triển toàn diện, có tư duy sáng tạo, có năng lực thực hành giỏi, có khả năng đáp ứng đòi hỏi ngày càng cao trước yêu cầu đẩy mạnh công nghiệp hoá - hiện đại hoá gắn với phát triển nền kinh tế trí thức và xu hướng toàn cầu hoá là nhiệm vụ cấp bách đối với ngành giáo dục nước ta hiện nay. Để thực hiện được nhiệm vụ đó sự nghiệp giáo dục cần được đổi mới. Cùng với những thay đổi về nội dung, cần có những đổi mới căn bản về tư duy giáo dục và phương pháp dạy học, trong đó phương pháp dạy học môn Toán là một yếu tố quan trọng. Một trong những nhiệm vụ và giải pháp lớn về giáo dục được đề ra trong Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ X của Đảng là: "Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện. Đổi mới cơ cấu, tổ chức, nội dung, phương pháp dạy và học theo hướng ‘‘chuẩn hoá, hiện đại hoá, xã hội hoá”. Phát huy trí sáng tạo, khả năng vận dụng, thực hành của người học. Đề cao trách nhiệm của gia đình, nhà trường và xã hội" [43, tr. 58]. 1.2. ''Lí luận liên hệ với thực tiễn'' là một yêu cầu có tính nguyên tắc trong dạy học môn Toán được rút ra từ luận điểm triết học: ''Thực tiễn là nguồn gốc của nhận thức, là tiêu chuẩn của chân lí''. Chủ tịch Hồ Chí Minh đã viết: "Thống nhất giữa lí luận và thực tiễn là một nguyên tắc căn bản của chủ nghĩa Mác - Lênin. Thực tiễn không có lí luận hướng dẫn thì thành thực tiễn mù quáng. Lí luận mà không liên hệ với thực tiễn là lí luận suông" [52, tr. 66]. Trong lĩnh vực Giáo dục và Đào tạo, Bác là người có quan điểm và hành động chiến lược vượt tầm thời đại. Về mục đích việc học Bác xác định rõ: học để làm việc. Còn về phương pháp học tập Người xác định: Học phải gắn liền với hành; học tập suốt đời; học ở mọi nơi, mọi lúc, mọi người. Quan điểm này được Người nhấn mạnh: "Học để hành: Học với hành phải đi đôi. Học mà không hành thì vô ích. Hành mà không học thì không trôi chảy". Vấn đề này đã được cụ thể hoá và quy định trong Luật giáo dục nước ta (năm 2005). Tại chương 1, điều 3, khoản 2: ''Hoạt động giáo dục phải được thực hiện theo nguyên lý học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội''. Chương 2, mục 2, điều 27 và 28 xác định rằng: "Giáo dục trung học phổ thông nhằm giúp học sinh ..., có điều kiện phát huy năng lực cá nhân để lựa chọn hướng phát triển, tiếp tục học đại học, cao đẳng, trung cấp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động''. "Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh". 1.3. Toán học có nguồn gốc thực tiễn và là "chìa khoá" trong hầu hết các hoạt động của con người. Nó có mặt ở khắp nơi. Toán học là kết quả của sự trừu tượng hoá các sự vật hiện tượng trong thực tiễn trên những bình diện khác nhau và có vai trò rất quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông. Mặc dù là ngành khoa học có tính trừu tượng cao nhưng Toán học có mối liên hệ chặt chẽ với thực tiễn và có thể ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau: là công cụ để học tập các môn học trong nhà trường, nghiên cứu nhiều ngành khoa học và là công cụ để hoạt động trong sản xuất và đời sống thực tế. Trong thư gửi các bạn trẻ yêu toán, thủ tướng Phạm Văn Đồng đã nhấn mạnh: "Dù các bạn phục vụ ở nghành nào, trong công tác nào, thì các kiến thức và phương pháp toán cũng cần cho các bạn" [7, tr. 14]. ''Toán học có vai trò quan trọng trong khoa học công nghệ cũng như trong đời sống'' [19, tr. 50]. 1.4. Mặc dù vậy, do nhiều lí do khác nhau mà SGK Toán phổ thông nói chung, sách Đại số và Giải tích 11; Giải tích 12 (chỉnh lí hợp nhất năm 2000) nói riêng, chưa thực sự quan tâm đúng mức, thường xuyên tới việc làm rõ mối liên hệ với thực tiễn ngoài Toán học, nhằm bồi dưỡng cho học sinh ý thức và năng lực vận dụng những hiểu biết Toán học vào việc học tập các môn học khác, giải quyết nhiều tình huống đặt ra trong cuộc sống lao động sản xuất. Bên cạnh đó, thực trạng dạy học Toán ở trường phổ thông cho thấy rằng, đa số giáo viên chỉ quan tâm tới việc truyền thụ lí thuyết, thiếu thực hành và liên hệ kiến thức với thực tiễn. Học sinh ''đang học Toán chỉ giới hạn trong phạm vi bốn bức tường của lớp học, thành thử không để ý đến những tương quan Toán học quen thuộc trong thế giới những sự vật hiện tượng xung quanh, không biết ứng dụng những kiến thức Toán học đã thu nhận được vào thực tiễn'' [33, tr. 5]. Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn thì coi đây là kiểu ''Dạy và học toán tách rời cuộc sống đời thường''. 1.5. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học và nội dung sách giáo khoa của Bộ giáo dục và Đào tạo đã xác định rõ: Cần dạy học theo cách sao cho học sinh có thể nắm vững tri thức, kỉ năng và sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn. Tạo cơ sở để học sinh học tiếp hoặc đi vào cuộc sống lao động. Sách giáo khoa cần chú ý nêu rõ ý nghĩa và ứng dụng của các kiến thức, chú ý mối quan hệ liên môn. Gần đây đã có một số công trình nghiên cứu liên quan đến vấn đề này, trong đó phải kể đến: - Nguyễn Ngọc Anh (2000), ứng dụng phép tính vi phân (Phần đạo hàm) để giải các bài tập cực trị có nội dung liên môn và thực tế trong dạy học toán 12 trung học phổ thông, Luận án Tiến sỹ Giáo dục học, Viện khoa học giáo dục, Hà Nội. - Nguyễn Văn Bảo (2005), Góp phần rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn, Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học, trường Đại học Vinh. - Bùi Huy Ngọc (2003), Tăng cường khai thác nội dung thực tế trong dạy học Số học và Đại số nhằm nâng cao năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn cho học sinh Trung học cơ sở, Luận án Tiến sỹ Giáo dục học, Trường Đại học Vinh, Vinh. Luận văn này trên cơ sở kế thừa, phát triển và cụ thể hoá những kết quả nghiên cứu của các tác giả đi trước, nhằm tìm hiểu để làm sáng tỏ thêm việc tăng cường liên hệ các kiến thức Giải tích ở trường Trung học phổ thông với thực tiễn. Vì những lí do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của Luận văn là: "Tăng cường liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học một số chủ đề Giải tích ở trường trung học phổ thông". II. Mục đích nghiên cứu Mục đích của Luận văn là tìm hiểu mối liên hệ của một số kiến thức Giải tích trong chương trình Toán phổ thông với thực tiễn và vận dụng vào đổi mới Phương pháp dạy học, nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục Toán học cho học sinh Trung học phổ thông. III. Nhiệm vụ nghiên cứu 3.1. Tổng hợp các quan điểm của các nhà khoa học liên quan đến vấn đề tăng cường liên hệ với thực tiễn trong dạy Toán nói chung và dạy học Giải tích nói riêng. 3.2. Nghiên cứu kĩ nội dung các SGK Đại số và Giải tích 11; Giải tích 12 hiện hành và các tài liệu tham khảo có liên quan để làm rõ những nội dung có mối liên hệ chặt chẽ với thực tiễn. 3.3. Tìm hiểu thực trạng và nguyên nhân của việc dạy và học môn Giải tích ở trường Trung học phổ thông theo hướng nghiên cứu của đề tài. 3.4. Xây dựng một số biện pháp tăng cường liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học Giải tích lớp 11 và 12 nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học. 3.5. Tiến hành tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi của một số phương án dạy học môn Giải tích nhằm điều chỉnh và rút ra kết luận. IV. Giả thuyết khoa học Giả thuyết khoa học của đề tài là: trên cơ sở tôn trọng sách giáo khoa hiện hành, nếu giáo viên chú ý đến việc tăng cường liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng học tập môn Giải tích ở nhà trường phổ thông và góp phần đào tạo những người lao động đáp ứng yêu cầu của đất nước trong giai đoạn hội nhập hiện nay. V. Phương pháp nghiên cứu 5.1. Nghiên cứu lí luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu toán học; phương pháp dạy học môn Toán và các tài liệu khác liên quan đến đề tài. 5.2. Quan sát: Quan sát thực trạng dạy và học môn Toán nói chung và phân môn Giải tích nói riêng ở trường phổ thông ở một số địa phương. 5.3. Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của việc tăng cường liên hệ với thực tiễn trong dạy học Giải tích ở trường phổ thông. VI. Những đóng góp của luận văn 6.1. Góp phần làm rõ tầm quan trọng của việc rèn luyện cho học sinh ý thức tăng cường liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học. 6.2. Làm rõ sự phản ánh thực tiễn, nguồn gốc thực tiễn và các ứng dụng trong thực tiễn của một số vấn đề Giải tích. 6.3. Đề xuất một số quan điểm cơ bản nhằm làm cơ sở đưa ra một số biện pháp tăng cường liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học Giải tích. 6.4. Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành Sư phạm Toán và giáo viên Toán ở trường Trung học phổ thông. VII. Cấu trúc luận văn Mở đầu I. Lí do chọn đề tài II. Mục đích nghiên cứu III. Nhiệm vụ nghiên cứu IV. Giả thuyết khoa học V. Phương pháp nghiên cứu VI. Đóng góp của Luận văn Chương 1: Một số vấn đề cơ sở lí luận và thực tiễn 1.1. Về phạm trù thực tiễn 1.2. Nguyên tắc thống nhất giữa lí luận và thực tiễn trong dạy học Toán 1.3. Mục đích của việc tăng cường liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học Toán ở trường Trung học phổ thông 1.4. Cơ sở thực tiễn 1.5. Kết luận chương 1 Chương 2: Dạy học môn Giải tích ở trường phổ thông theo hướng tăng cường liên hệ với thực tiễn 2.1. Sơ lược về lịch sử hình thành và phát triển của một số vấn đề Giải tích 2.2. Tiềm năng của một số chủ đề Giải tích trong việc rèn luyện cho học sinh năng lực liên hệ với thực tiễn 2.3. Một số biện pháp sư phạm nhằm tăng cường liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học Giải tích 2.4. Kết luận chương 2 Chương 3: Thực nghiệm sư phạm 3.1. Mục đích thực nghiệm 3.2. Tổ chức thực nghiệm 3.3. Nội dung thực nghiệm 3.4. Phân tích kết quả thực nghiệm 3.5. Kết luận chung về thực nghiệm Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1 Một số vấn đề Cơ sở lí luận và thực tiễn Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày ngắn gọn một số lí luận và hoạt động thực tiễn liên quan đến vấn đề "Tăng cường liên hệ với thực tiễn trong dạy học Toán" nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu chương 2. Cụ thể sẽ làm rõ: ã Triết học quan niệm về thực tiễn như thế nào? ã Nguyên tắc thống nhất giữa lí luận và thực tiễn và việc vận dụng vào quá trình dạy học Toán. ã Tại sao phải tăng cường liên hệ với thực tiễn trong dạy học Toán? ã Làm rõ thực trạng dạy học và nội dung các SGK theo hướng nghiên cứu của đề tài. 1.1. Về phạm trù thực tiễn 1.1.1. Thuật ngữ thực tiễn trong một số tài liệu ngôn ngữ khoa học Theo Từ điển Tiếng Việt: 'Thực tiễn'' là ''những hoạt động của con người, trước hết là lao động sản xuất, nhằm tạo ra những điều kiện cần thiết cho sự tồn tại của xã hội (nói tổng quát)'' [56, tr. 974]. Còn Từ điển học sinh thì định nghĩa: "Thực tiễn" là "toàn bộ những hoạt động của con người để tạo ra những điều kiện cần thiết cho đời sống xã hội bao gồm các hoạt động sản xuất, đấu tranh giai cấp và thực nghiệm khoa học: không có thực tiễn thì không có lí luận khoa học" [31, tr. 575]. 1.1.2. Phạm trù thực tiễn trong Triết học Phạm trù thực tiễn đã được Lútvích Phoiơbắc - nhà duy vật lớn nhất trước Mác đề cập đến. Song ông không nhận thức được ''hoạt động cảm giác của con người là thực tiễn'' nên còn quá coi trọng hoạt động lí luận và chưa thấy hết được vai trò, ý nghĩa của thực tiễn đối với nhận thức của con người. Các nhà duy tâm cũng chỉ hiểu thực tiễn như là hoạt động tinh thần chứ không hiểu nó như là hoạt động hiện thực, hoạt động vật chất cảm tính của con người. Ngay cả Hêghen - nhà triết học duy tâm lớn nhất trước Mác, mặc dù đã có những tư tưởng hợp lí sâu sắc (bằng thực tiễn, chủ thể tự ''nhân đôi'' mình, đối tượng hoá bản thân mình trong quan hệ với thế giới bên ngoài [52, tr. 53] ) nhưng cũng chỉ giới hạn thực tiễn ở ý niệm, ông cho rằng thực tiễn là một ''suy lí lôgíc''. Kế thừa những yếu tố hợp lí, chỉ rõ và khắc phục những thiết sót trong quan điểm của các nhà triết học đi trước. Mác và ăngghen đã đem lại một quan niệm đúng đắn, khoa học về thực tiễn: ''Thực tiễn là những hoạt động vật chất ''cảm tính'', có mục đích, có tính lịch sử xã hội của con người, nhằm cải tạo tự nhiên và xã hội'' [52, tr. 54]. Như vậy, thực tiễn không phải bao gồm toàn bộ hoạt động của con người mà chỉ là những hoạt động vật chất - hoạt động đặc trưng, có mục đích, có ý thức, năng động, sáng tạo. Hoạt động này có sự thay đổi qua các giai đoạn lịch sử khác nhau và được tiến hành bởi đông đảo quần chúng nhân dân trong xã hội. Con người sử dụng các phương tiện, công cụ vật chất, sức mạnh vật chất của mình tác động vào tự nhiên, xã hội để làm biến đổi chúng trong hiện thực cho phù hợp với nhu cầu của mình và làm cơ sở để biến đổi hình ảnh sự vật trong nhận thức. ''Thực tiễn trở thành mắt khâu trung gian nối liền ý thức con người với thế giới bên ngoài'' [52, tr. 55]. Con người và xã hội loài người sẽ không thể tồn tại và phát triển được nếu không có hoạt động thực tiễn (mà dạng cơ bản đầu tiên và nguyên thuỷ nhất là hoạt động sản xuất vật chất). ''Thực tiễn là phương thức tồn tại cơ bản của con người và xã hội, là phương thức đầu tiên và chủ yếu của mối quan hệ giữa con người với thế giới'' [52, tr. 55]. 1.2. Nguyên tắc thống nhất giữa lí luận và thực tiễn trong dạy học Toán 1.2.1. Nguyên tắc thống nhất giữa lí luận và thực tiễn Giữa lý luận và thực tiễn có mối quan hệ biện chứng với nhau, tác động qua lại lẫn nhau. Việc quán triệt mối quan hệ này có ý nghĩa quan trọng trong nhận thức khoa học và hoạt động thực tiễn cách mạng. Con người quan hệ với thế giới bắt đầu từ thực tiễn. Lý luận là hệ thống sản phẩm tri thức được khái quát từ thực tiễn nhờ sự phát triển cao của nhận thức. Thực tiễn là cơ sở, mục đích và động lực chủ yếu của nhận thức, lý luận. Thực tiễn cung cấp tài liệu cho nhận thức, không có thực tiễn thì không có nhận thức. Mọi tri thức khoa học dù trực tiếp hay gián tiếp thì xét đến cùng đều bắt nguồn từ thực tiễn. Nhận thức, lý luận sau khi ra đời phải quay về phục vụ thực tiễn, hướng dẫn và chỉ đạo thực tiễn. Ngược lại, thực tiễn là công cụ xác nhận, kiểm nghiệm tri trức thu được là đúng hay sai, chân lý hay sai lầm và nghiêm khắc chứng minh chân lý, bác bỏ sai lầm - "Thực tiễn là tiêu chuẩn của chân lý". Cần coi trọng thực tiễn. Việc nhận thức phải xuất phát từ thực tiễn, dựa trên cơ sở thực tiễn, đi sâu đi sát thực tiễn, nghiên cứu lý luận phải liên hệ với thực tiễn, "học đi đôi với hành". Tuy nhiên không có nghĩa là coi nhẹ, xa rời lý luận. Chủ tịch Hồ Chí Minh đã viết: "Thống nhất giữa lí luận và thực tiễn là một nguyên tắc căn bản của chủ nghĩa Mác - Lênin. Thực tiễn không có lí luận hướng dẫn thì thành thực tiễn mù quáng. Lí luận mà không liên hệ với thực tiễn là lí luận suông" [52, tr. 66]. 1.2.2. Một số quan điểm về vấn đề liên hệ với thực tiễn trong dạy học Trong lĩnh vực Giáo dục và Đào tạo, Chủ tịch Hồ Chí Minh là người có quan điểm và hành động chiến lược vượt tầm thời đại. Về mục đích việc học Bác xác định rõ: Học để giúp dân cứu nước; học để làm việc. Còn về phương pháp học tập (là một nội dung của mục đích học) Người xác định: Học phải gắn liền với hành; học tập suốt đời; học ở mọi nơi, mọi lúc, mọi người. Quan điểm này được Người nhấn mạnh: "Học để hành: Học với hành phải đi đôi. Học mà không hành thì vô ích. Hành mà không học thì không trôi chảy" [37, tr. 2-3-5]. Đồng chí Trường Chinh cũng đã nêu: "dạy tốt... là khi giảng bài phải liên hệ với thực tiễn, làm cho học sinh dễ hiểu, dễ nhớ và có thể áp dụng điều mình đã học vào công tác thực tiễn được". Còn theo Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn, trong dạy học không nên đi theo con đường sao chép lí luận ở đâu đó rồi nhồi cho người học, vì học như vậy là kiểu học sách vở. Nên theo con đường có một lí luận hướng dẫn ban đầu rồi bắt tay hoạt động thực tiễn, dùng thực tiễn này mà củng cố lí luận, kế thừa có phê phán lí luận của người khác, rồi lại hoạt động thực tiễn, cứ thế theo mối quan hệ qua lại giữa lí luận và thực tiễn mà đi lên. 1.2.3. Nguyên lý giáo dục và định hướng tăng cường liên hệ với thực tiễn trong dạy học môn Toán 1.2.2.1. Nguyên lý giáo dục Luật Giáo dục nước ta (năm 2005) xác định: ''Hoạt động giáo dục phải được thực hiện theo nguyên lý học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội''. 1.2.2.2. Định hướng tăng cường liên hệ với thực tiễn trong dạy học môn Toán Toán học là môn học có tính trừu tượng cao. Tuy nhiên, Toán học có nguồn gốc thực tiễn nên tính trừu tượng chỉ che lấp chứ không hề làm mất đi tính thực tiễn của nó. Với vai trò là môn học công cụ nên các tri thức, kĩ năng và phương pháp làm việc của môn Toán được sử dụng cho việc học tập các môn học khác trong nhà trường, trong nhiều ngành khoa học khác nhau và trong đời sống thực tế. Chẳng hạn, trong Vật lí chúng ta gặp mối liên hệ giữa quảng đường đi được s và thời gian t trong một chuyển động đều biểu thị bởi: s = vt, mối liên hệ giữa hiệu điện thế U và cường độ dòng điện I khi điện trở R không đổi biểu thị bởi: U = I.R; trong Hình học chúng ta gặp mối liên hệ giữa chu vi C và bán kính R của đường tròn biểu thị bởi: C = 2R; trong Hóa học chúng ta gặp mối liên hệ giữa phân tử gam M của một chất khí với tỉ khối d của chất khí đó đối với không khí biểu thị bởi: M = 29d; mối quan hệ giữa giá tiền p với chiều dài n của tấm vải biểu thị bởi: p = a.n;… Bằng cách trừu tượng hóa, gạt ra một bên các đại lượng cụ thể và chỉ chú ý tới quan hệ của các đại lượng đó, chúng ta có hàm số y = a.x. Do vậy, có thể nói rằng, môn Toán có nhiều tiềm năng liên hệ với thực tiễn trong dạy học. Theo [19, tr. 71] thì liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học Toán là một trong ba phương hướng thực hiện Nguyên lí giáo dục nói trên. Cụ thể là cần liên hệ với thực tiễn qua các mặt sau: 1) Nguồn gốc thực tiễn của Toán học: số tự nhiên ra đời do nhu cầu đếm, hình học xuất hiện do nhu cầu đo đạc lại ruộng đất sau những trận lụt bên bờ sông Nil (Ai cập), … 2) Sự phản ánh thực tiễn của Toán học: khái niệm véctơ phản ánh những đại lượng đặc trưng không phải chỉ bởi số đo mà còn bởi hướng, chẳng hạn vận tốc, lực,… khái niệm đồng dạng phản ánh những hình đồng dạng nhưng khác nhau về độ lớn… trong Toán học có chứng minh thuận, chứng minh đảo thì trong cuộc sống ta thường khuyên nhau: "nghĩ đi rồi phải nghĩ lại", "có qua có lại", "sống phải có trước có sau", … 3) Các ứng dụng thực tiễn của Toán học: ứng dụng lượng giác để đo khoảng cách không tới được, đạo hàm được ứng dụng để tính vận tốc tức thời, tích phân được ứng dụng để tính diện tích, thể tích… Muốn vậy, cần quan tâm tăng cường cho học sinh tiếp cận với những bài toán có nội dung thực tiễn trong khi học lí thuyết cũng như làm bài tập. - Trong nội bộ môn Toán, cần cho học sinh làm toán có nội dung thực tiễn như giải bài toán bằng cách lập phương trình, bài toán cực trị, đo khoảng cách không tới được… - Cần cho học sinh vận dụng những tri thức và phương pháp Toán học vào những môn học trong nhà trường, chẳng hạn vận dụng véctơ để biểu thị lực, vận tốc, gia tốc, vận dụng đạo hàm để tính vận tốc tức thời trong Vật lí, vận dụng tổ hợp xác suất khi nghiên cứu di truyền, vận dụng tri thức về hình học không gian trong vẽ kĩ thuật… - Tổ chức những hoạt động thực hành toán học trong và ngoài nhà trường kể cả những hoạt động có tính chất tập dượt nghiên cứu bao gồm khâu đặt bài toán, xây dựng mô hình, thu thập dữ liệu, xử lí mô hình để tìm lời giải, đối chiếu lời giải với thực tế để kiểm tra và điều chỉnh [16, tr. 53]. Tất cả những hoạt động trên cần dẫn tới hình thành phẩm chất luôn luôn muốn ứng dụng tri thức và phương pháp Toán để giải thích, phê phán và giải quyết những sự việc xảy ra trong đời sống. Chẳng hạn, khi nhìn thấy một số ghi ở một cột bên lề đường, có thể học sinh chưa biết được số đó chỉ cái gì. Chính ý thức và phong cách vận dụng Toán học sẽ thôi thúc họ xem xét sự biến thiên của các số trên các cột để giải đáp điều đó. Tác giả Trần Kiều cho rằng: "Học Toán trong nhà trường phổ thông không phải chỉ tiếp nhận hàng loạt các công thức, định lý, phương pháp thuần túy mang tính lí thuyết..., cái đầu tiên và cái cuối cùng của quá trình học Toán phải đạt tới là hiểu được nguồn gốc thực tiễn của Toán học và nâng cao khả năng ứng dụng, hình thành thói quen vận dụng Toán học vào cuộc sống" [21, tr. 3 - 4]. "Loại trừ những ứng dụng khỏi Toán học chẳng khác gì đi tìm một thực thể sống chỉ từ một hài cốt, không bắp thịt, không thần kinh, không mạch máu" [6, tr. 31]. Tuy nhiên, trước hết học sinh cần được trang bị cho một hệ thống vững chắc những tri thức, kĩ năng, phương pháp Toán học phổ thông một cách có hệ thống, cơ bản, hiện đại, sát thực tiễn Việt Nam theo tinh thần giáo dục kĩ thuật tổng hợp. 1.3. Mục đích của việc tăng cường liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học Toán ở trường Trung học phổ thông 1.3.1. Tăng cường liên hệ với thực tiễn góp phần hoàn thành mục tiêu, nhiệm vụ dạy học bộ môn Toán ở trường phổ thông trong giai đoạn hiện nay Trước hết ta đề cập đến mục tiêu chung của của giáo dục nước ta đã được quy định trong Luật Giáo dục (năm 2005): "Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kĩ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc" (Điều 27). Nói một cách tổng quát, mục tiêu của nhà trường phổ thông nước ta là hình thành những cơ sở ban đầu và trọng yếu của con người mới phát triển toàn diện phù hợp với yêu cầu và điều kiện, hoàn cảnh của đất nước Việt Nam. Hiện nay, thế giới đã bước vào kỉ nguyên kinh tế tri thức và toàn cầu hóa cùng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ, đặc biệt là lĩnh vực công nghệ kỉ thuật cao. Còn nước ta, vào tháng 4 năm 2006, diễn ra Đại hội Đảng toàn quốc lần thứ 10; ngày 07 tháng 11 năm 2006 Việt Nam trở thành thành viên chính thức của Tổ chức Thương mại Thế giới (WTO) và ngày 17 tháng 11 năm 2006 khai mạc Diễn đàn Hợp tác Kinh tế Châu á - Thái Bình Dương (APEC) lần thứ 14 tại Hà Nội. Việt Nam đang tự tin bước vào một kỉ nguyên mới - kỉ nguyên hội nhập quốc tế và hợp tác cạnh tranh toàn cầu. Để theo kịp với những chuyển biến to lớn trên về tình hình kinh tế và chính trị xã hội của nước ta cũng như trên thế giới trong giai đoạn này - một giai đoạn mà cạnh tranh quốc tế là cạnh tranh về con người. Nền giáo dục phải có sứ mệnh làm sao đào tạo ra những thế hệ con người Việt Nam có đủ sức mạnh trí tuệ và nhân cách để đưa nước ta hội nhập thành công và cạnh tranh thắng lợi trong môi trường toàn cầu. Giáo sư Hoàng Tụy đã từng có ý kiến cho rằng: "xã hội công nghệ ngày nay đòi hỏi một lực lượng lao động có trình độ suy luận, biết so sánh phân tích, ước lượng tính toán, hiểu và vận dụng được những mối quan hệ định lượng hoặc lôgic, xây dựng và kiểm nghiệm các giả thuyết và mô hình để rút ra những kết luận có tính lôgic" [53, tr. 5 - 6]. Muốn vậy, nền giáo dục cũng phải có những thay đổi về mục tiêu, nhiệm vụ và phương pháp dạy học. Trong Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ X của Đảng, một trong những nhiệm vụ và giải pháp lớn về giáo dục được đề ra là: "Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện. Đổi mới cơ cấu, tổ chức, nội dung, phương pháp dạy và học theo hướng "chuẩn hoá, hiện đại hoá, xã hội hoá”. Phát huy trí sáng tạo, khả năng vận dụng, thực hành của người học. Đề cao trách nhiệm của gia đình, nhà trường và xã hội" [43, tr. 58]. Trong trường phổ thông môn Toán có vai trò, vị trí và ý nghĩa hết sức quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông. Đặc biệt trong giai đoạn hiện nay nó càng có vai trò và ý nghĩa quan trọng hơn, là một thành phần không thể thiếu của trình độ văn hóa phổ thông của con người mới. 1.3.1.1. Tăng cường liên hệ với thực tiễn góp phần hoàn thiện một số tri thức và kĩ năng toán học cần thiết cho học sinh Trong quá trình liên hệ với thực tiễn, thông qua một yếu tố lịch sử, một ứng dụng Toán học nào đó hoặc một mệnh đề đánh giá (chẳng hạn, "Toán học là "chìa khóa" của hầu hết các hoạt động của con người".) thì hai dạng tri thức là tri thức sự vật và tri thức giá trị được hình thành và hoàn thiện. Còn thông qua các ứng dụng Toán học, học sinh sẽ được rèn luyện những kĩ năng trên các bình diện khác nhau sau: - Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán. - Kĩ năng vận dụng tri thức Toán học vào các môn học khác nhau. - Kĩ năng vận dụng Toán học vào đời sống. Qua việc rèn luyện các kĩ năng trên bình diện thứ nhất và thứ hai sẽ nâng cao mức độ thông hiểu tri thức Toán học cho học sinh. Vì rằng muốn vận dụng được tri thức để làm toán thì cần phải thông hiểu nó. Đồng thời, thể hiện vai trò công cụ của Toán học đối với những khoa học khác; thể hiện mối quan hệ liên môn giữa các môn học trong nhà trường. Do vậy người giáo viên dạy Toán cần có quan điểm tích hợp trong dạy học bộ môn. Còn trên bình diện thứ ba, đây là một mục tiêu quan trọng của môn Toán. Cho học sinh thấy rõ mối liên hệ giữa Toán học và đời sống. Qua đây, giúp học sinh hình thành và phát triển kĩ năng "toán học hóa tình huống thực tế". Dựa vào sự phân tích các mục tiêu dạy học của Benjamin Bloom và các cộng sự (Dẫn theo [19, tr. 51 - 52]), quá trình liên hệ với thực tiễn trong dạy học Toán còn giúp học sinh phối hợp giữa chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kĩ năng thể hiện ở 6 chức năng trí tuệ từ thấp lên cao thể hiện qua sơ đồ sau: Biết Thông hiểu Vận dụng Phân tích Tổng hợp Đánh giá Như vậy, việc tăng cường liên hệ với thực tiễn trong dạy học Toán đã giúp học sinh hoàn thiện các tri thức như tri thức phương pháp, tri thức giá trị và rèn luyện nhằm hoàn thiện một số kĩ năng như kĩ năng ứng dụng (cả trong và ngoài môn Toán), kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá… 1.3.1.2. Tăng cường liên hệ với thực tiễn giúp hình thành và phát triển thế giới quan duy vật biện chứng cho học sinh Dạy học Toán theo hướng tăng cường liên hệ với thực tiễn sẽ góp phần làm rõ mối quan hệ biện chứng giữa Toán học và thực tiễn: Toán học bắt nguồn từ thực tiễn và trở về phục vụ thực tiễn. Lịch sử đã cho thấy rằng, Toán học có nguồn gốc thực tiễn, chính sự phát triển của thực tiễn đã có tác dụng lớn đối với toán học. Thực tiễn là cơ sở để nảy sinh, phát triển và hoàn thiện các lí thuyết Toán học. Ví dụ: Số tự nhiên ra đời do nhu cầu đếm các đồ vật. Tập hợp số nguyên được xây dựng để cho phép trừ luôn thực hiện được, hoặc các phương trình dạng a + x = b luôn có nghiệm. Trong quá trình đo đạc nhiều khi gặp phải những đại lượng không chứa đựng một số tự nhiên hoặc do nhu cầu chia những vật ra nhiều phần bằng nhau mà số biểu diễn bởi phân số được phát sinh. Hệ thống số hữu tỉ được hình thành do nhu cầu đo những đại lượng có thể xét theo hai chiều ngược nhau. Hệ thống số thực được xây dựng do nhu cầu đo những đoạn thẳng, sao cho mỗi đoạn thẳng, kể cả những đoạn thẳng không đo được bằng số hữu tỉ, đều có một số đo. Trong lịch sử Toán học, để giải phương trình bậc 3 người ta đã phải giải phương trình bậc 2 như một bước trung gian. Khi xét phương trình: x3 - x = 0 rõ ràng là có 3 nghiệm 0, 1, -1 nhưng ta nhận thấy rằng phương trình bậc 2 trung gian lại có biệt số âm. Việc "Không có căn bậc 2 của số âm", "Phương trình bậc 2 vô nghiệm khi biệt số âm" đã làm xuất hiện mâu thuẫn. Nhưng nếu thử chấp nhận những số mà bình phương bằng -1 (một cách hình thức) để biểu thị nghiệm của phương trình bậc hai trung gian thì cuối cùng cũng đi đến ba nghiệm của phương trình bậc 3 nói trên. Thực tế này gợi ra việc cần phải mở rộng tập số thực, đưa thêm vào cả những số mà bình phương bằng số âm, đi đến tập hợp số phức. Như vậy, học sinh sẽ hình thành được quan điểm duy vật về nguồn gốc Toán học, thấy rõ Toán học không phải là một sản phẩm thuần tuý của trí tuệ mà được phát sinh và phát triển do như cầu thực tế cuộc sống. Đồng thời cũng giúp học sinh nghiệm ra rằng mâu thuẫn biện chứng là động lực của sự phát triển. Ngược lại, toán học lại xâm nhập vào thực tiễn thúc đẩy thực tiễn phát triển. Với vai trò là công cụ, Toán học sẽ giúp giải quyết các bài toán do thực tiễn đặt ra. Mối quan hệ biện chứng giữa lí luận và thực tiễn cũng thể hiện qua công thức nhận thức thiên tài của V. I. Lênin: "Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn, đó là con đường nhận thức chân lí, con đường nhận thức hiện thực khách quan". Trong dạy học, theo Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn là không nên đi theo con đường sao chép lí luận ở đâu đó rồi nhồi cho người học, vì học như vậy là kiểu học sách vở. Nên theo con đường có một lí luận hướng dẫn ban đầu rồi bắt tay hoạt động thực tiễn, dùng thực tiễn này mà củng có lí luận, kế thừa có phê phán lí luận của người khác, rồi lại hoạt động thực tiễn, cứ thế theo mối quan hệ qua lại giữa lí luận và thực tiễn mà đi lên. Ví dụ [5, tr. 40]: Khi dạy về "Số thực dương, số thực âm" để cho học sinh dễ dàng tiếp thu ta có thể đề cập sự liên hệ: "Một người A nào đó suy cho cùng, hoặc là không có tiền (A không có đồng tiền nào cả) hoặc có tiền (A có một số tiền nào đó) hoặc đang nợ tiền. Và như vậy ta có thể gán số 0 với trường hợp A không có tiền, số dương với trường hợp A có tiền và số âm với trường hợp A đang nợ tiền. Lúc này thì học sinh sẽ dễ dàng tiếp nhận tính chất "Nếu a > 0, b > 0 thì a + b > 0", "Phủ định của mệnh đề "a > 0" là mệnh đề "a 0"". Với tính chất "" ta có thể liên hệ như sau: "Bạn A có số tiền lớn hơn bạn B và bạn B lại có số tiền lớn hơn bạn C" thì bằng thực tế, học sinh dễ dàng nói được một cách chắc chắn rằng bạn A có số tiền lớn hơn bạn C. Một tính chất khá quan trọng và có nhiều ứng dụng đó là:d " Có thể minh họa để học sinh dễ hiểu, dễ nhớ như sau: Gọi a, b lần lượt là số người của 2 nhóm A và B. a > b: số người nhóm A lớn hơn số người nhóm B. Như vậy: Nếu nhân số người mỗi nhóm với một số tiền nào đó thì số tiền nhóm A thu được lớn hơn số tiền nhóm B. Nếu nhân số người mỗi nhóm với một số tiền nợ nào đó thì số tiền nhóm A nợ sẽ nhiều hơn số tiền nhóm B nợ. Sau khi có sự liên hệ trên, ta cho học sinh Quy tắc: Nếu nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương, ta được một bất đẳng thức cùng chiều và tương đương. Nếu nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm, ta được một bất đẳng thức trái chiều và tương đương. Rõ ràng sự liên hệ trên sẽ giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ và tránh được cách dạy học "sao chép lí luận ở đâu đó rồi nhồi cho người học" như GS. Nguyễn Cảnh Toàn đã đề cập. Đặc biệt rèn luyện cho học sinh thói quen liên tưởng, kiểm nghiệm tính đúng đắn của các kiến thức mỗi khi sử dụng. Nhờ vậy, những phẩm chất, tính cách của người lao động mới như tính cẩn thận, chính xác cũng được hình thành và hoàn thiện. 1.3.1.3. Tăng cường liên hệ với thực tiễn góp phần rèn luyện và phát triển các năng lực trí tuệ Môn Toán có tiềm năng rất lớn trong việc góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung cho học sinh như tư duy trừu tượng, tư duy lôgic, tư duy biện chứng, rèn luyện các trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa…, các phẩm chất tư duy như linh hoạt, độc lập, sáng tạo… Chính trong quá trình dạy học theo hướng tăng cường liên hệ với thực tiễn mà các năng lực trí tuệ này được hình thành và phát triển. - Các hoạt động trí tuệ cơ bản: việc tăng cường liên hệ với thực tiễn trong dạy học môn Toán đòi hỏi học sinh phải thường xuyên thực hiện những hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tương tự hóa, so sánh,… nên có tác dụng rất lớn trong việc rèn luyện cho học sinh những hoạt động trí tuệ này. Trong đó phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ cơ bản của quá trình tư duy, làm nền tảng cho các hoạt động trí tuệ khác; là hai hoạt động trái ngược nhau nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất. - Hình thành những phẩm chất trí tuệ như tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo. Việc rèn luyện cho học sinh những phẩm chất trí tuệ này có ý nghĩa to lớn đối với việc học tập, công tác và trong cuộc sống. * Tính linh hoạt: thể hiện ở khả năng phát hiện, chuyển hướng nhanh quá trình tư duy nhằm ứng dụng kiến thức Toán học để giải quyết thành công một vấn đề. * Tính độc lập: thể hiện ở khả năng tự mình phát hiện vấn đề, tự mình xác định phương hướng và lựa chọn kiến thức để ứng dụng giải quyết một bài toán đặt ra trong thực tiễn, tự mình kiểm tra lại và đánh giá kết quả. Tính độc lập có liên hệ mật thiết với tính phê phán của tư duy. * Tính sáng tạo: hai phẩm chất trí tuệ nói trên là những điều cần thiết, những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy được thể hiện rõ nét ở việc biết vận dụng linh hoạt các kiến thức Toán đã được học ở trường để giải quyết các vấn đề đặt ra trong thực tiễn. - Phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng: việc liên hệ với thực tiễn sẽ rèn luyện cho học sinh khả năng hình dung những đối tượng Toán học có trong cuộc sống và làm việc với chúng dựa trên những dữ liệu bằng lời. Đồng thời tạo cho học sinh ý thức sử dụng những quy tắc suy đoán như xét tương tự, khái quát hóa, quy lạ về quen… trên nền tảng tri thức và kinh nghiệm nhất định. - Khả năng tư duy lôgic và sử dụng ngôn ngữ chính xác cũng được phát triển trong hoạt động giải toán cực trị, hoặc trong vận dụng Toán học vào các bộ môn khác. 1.3.1.4. Tăng cường liên hệ với thực tiễn nhằm giáo dục lòng yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội Cũng như các bộ môn khác, quá trình dạy học Toán phải là một quá trình thống nhất giữa dạy chữ và dạy người. Muốn vậy cần khai thác tiềm năng đặc thù của môn Toán so với các môn học khác để đóng góp vào việc thực hiện mục tiêu này. Trong quá trình dạy Toán giáo viên cần tranh thủ đưa ra những số liệu về công cuộc xây dựng và bảo vệ Tổ quốc vào những đề toán trong trường hợp có thể. Chẳng hạn những bài toán có nội dung thực tế giải bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Cũng có thể khai thác một số sự kiện về lịch sử Toán học có liên quan tới truyền thống dân tộc. Chẳng hạn, trong dân gian có lưu truyền quy tắc tính gần đúng số : "Quân bát, phát tam, tồn ngũ, quân nhị", tức là "chia (chu vi) làm 8 phần, bỏ đi 3 phần, còn lại 5 phần, chia đôi". Theo quy tắc này, tỉ số của đường kính và chu vi đường trong bằng , do đó . 1.3.1.5. Tăng cường liên hệ với thực tiễn nhằm giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản. Đồng thời phát hiện, phát triển và bồi dưỡng năng lực ứng dụng toán học của học sinh, góp phần tạo cơ sở để học sinh học tiếp hoặc đi vào cuộc sống lao động Tính trừu tượng là một đặc điểm rõ nét của môn Giải tích. Do vậy, so với các vấn đề khác của toán học, học sinh thường gặp nhiều khó khăn, chướng ngại hơn trong việc tiếp thu các vấn đề Giải tích. Để làm giảm bớt sự trừu tượng và tạo niềm vui, hứng thú cho học sinh trong quá trình học tập, giáo viên nên quan tâm đến việc liên hệ với thực tiễn. Xem việc tăng cường liên hệ với thực tiễn như là phương tiện để truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ năng, bồi dưỡng ý thức và năng lực ứng dụng Toán học. Thế giới đã bước vào kỷ nguyên kinh tế tri thức và toàn cầu hóa. với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ. Giáo dục, với chức năng chuẩn bị lực lượng lao động cho xã hội, chắc chắn phải có những sự chuyển biến to lớn, tương ứng với tình hình. Hội đồng quốc tế về Giáo dục cho thế kỷ 21 được UNESCO thành lập 1993 do Jacques Delors lãnh đạo, nhằm hỗ trợ các nước trong việc tìm tòi cách thức tốt nhất để kiến tạo lại nền giáo dục của mình vì sự phát triển bền vững của con người. Năm 1996, Hội đồng đã xuất bản ấn phẩm Học tập: một kho báu tiềm ẩn, trong đó có xác định "Học tập suốt đời" được dựa trên bốn "trụ cột" là: Học để biết; Học để làm; Học để chung sống với nhau; Học để làm người. "Học để làm" được coi là "không chỉ liên quan đến việc nắm được những kỹ năng mà còn đến việc ứng dụng kiến thức", "Học để làm nhằm làm cho người học nắm được không những một nghề nghiệp mà con có khả năng đối mặt được với nhiều tình huống và biết làm việc đồng đội" (dẫn theo [44, tr. 29 - 30]). ở trường phổ thông nước ta trong giai đoạn hiện nay, mục tiêu chủ yếu của việc giảng dạy Toán là hình thành và rèn luyện năng lực ứng dụng. Theo Ngô Hữu Dũng: ứng dụng Toán học vào thực tế là một trong những năng lực toán học cơ bản, cần phải rèn luyện cho học sinh [9, tr. 13 - 16]. Đành rằng, đây không phải là yêu cầu chỉ của riêng môn Toán, nhưng vì vai trò và vị trí quan trọng của nó - là "chìa khóa" của sự phát triển đối với nhiều ngành khoa học, công nghệ, của các ngành kinh tế quốc dân… Do đó, mục tiêu này được nhấn mạnh trong giảng dạy Toán. Việc tăng cường liên hệ với thực tiễn sẽ phát hiện, phát triển và bồi dưỡng năng lực ứng dụng toán học cho học sinh. Vấn đề này cần được đặc biệt quan tâm ở cấp trung học phổ thông, bởi vì họ đang ở giai đoạn chuẩn bị tham gia trực tiếp vào quá trình lao động, sản xuất của xã hội, hoặc tham gia vào các quá trình đào tạo có tính chuyên môn hóa cao hơn. Rõ ràng đây là một trong những yếu tố góp phần thể hiện những quan điểm trên của UNESCO, góp phần thực hiện "học để làm" trong dạy học Toán ở trường phổ thông nước ta hiện nay. Muốn vậy, không thể bằng cách nào tốt hơn là sự quan tâm thích đáng của giáo viên đến việc liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học. Trong đó, đặc biệt chú ý luyện tập các ứng dụng để giải quyết các bài toán trong thực tế với mức độ và phương pháp thích hợp. 1.3.2. Tăng cường liên hệ với thực tiễn nhằm thực hiện nguyên tắc dạy học vận dụng vào môn Toán Theo [19, tr. 76], hai tác giả Hà Thế Ngữ - Đặng Vũ Hoạt đã đưa ra 6 nguyên tắc dạy học. Việc tăng cường liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học toán là thực hiện nguyên tắc "đảm bảo sự thống nhất giữa lí luận và thực tiễn". Để thực hiện nguyên tắc này, [16, tr. 149 - 150] đưa ra các chú ý: - Đảm bảo cho học sinh nắm vững kiến thức toán học để có thể vận dụng đúng vào thực tiễn. - Chú trọng nêu các ứng dụng của toán học vào trong thực tiễn. - Chú trọng đến các kiến thức toán học có nhiều ứng dụng trong thực tiễn. - Chú trọng rèn luyện cho học sinh có những kĩ năng toán học vững chắc. - Chú trọng công tác thực hành toán học trong nội khóa cũng như ngoại khóa. Thực hiện các chú ý nêu trên đồng thời cũng là thực hiện tăng cường rèn luyện ý thức và kĩ năng vận dụng toán vào thực tiễn cho học sinh. 1.3.3. Tăng cường liên hệ với thực tiễn góp phần hoàn thiện hoạt động gợi động cơ và hoạt động củng cố Trong quá trình dạy học bộ môn Toán, gợi động cơ là một trong những khâu quan trọng nhằm kích thích hứng thú học tập cho học sinh, làm cho việc học tập trở nên tự giác, tích cực, chủ động. Do vậy, để học sinh tiếp thu tốt cần phải tiến hành các hoạt động gợi động cơ (gợi động cơ mở đầu, gợi động cơ trung gian, gợi động cơ kết thúc). ở các lớp dưới, hình thức gợi động cơ mà các giáo viên thường sử dụng như cho điểm, khen chê, thông báo kết quả học tập cho gia đình, ... Tuy nhiên, càng lên lớp cao, cùng với sự trưởng thành của học sinh, với trình độ nhận thức và giác ngộ chính trị ngày càng được nâng cao, thì những cách gợi động cơ xuất phát từ nội dung hướng vào những nhu cầu nhận thức, nhu cầu của đời sống, trách nhiệm đối với xã hội, ... ngày càng trở nên quan trọng. Với gợi động cơ mở đầu và gợi động cơ kết thúc trong nhiều trường hợp có thể xuất phát từ một tình huống thực tiễn nào đó (từ đời sống hoặc từ nội bộ Toán học). Thực tế cho thấy, gợi động cơ theo cách này kích thích được hứng thú học tập cho học sinh. Đối với hoạt động củng cố kiến thức cũng có thể dùng hình thức liên hệ với thực tiễn mà cụ thể có thể cho học sinh ứng dụng kiến thức vừa học vào giải quyết một bài toán nào đó. 1.3.4. Tăng cường liên hệ với thực tiễn góp phần rèn luyện một số thành tố trong cấu trúc năng lực toán học của học sinh Theo V. A. Cruchetxki: ''Năng lực Toán học được hiểu là những đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng những yêu cầu của hoạt động học tập Toán học, và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo toán học với tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực Toán học'' (dẫn theo [16]). Dựa theo quan điểm của Lý thuyết thông tin, V. A. Krutecxki cho rằng Cấu trúc năng lực toán học bao gồm những thành tố sau: 1) Về mặt thu nhận thông tin toán học Đó là năng lực tri giác hình thức hoá tài liệu Toán học, năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán. 2) Về mặt chế biến thông tin toán học - Năng lực tư duy lôgic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và không gian, hệ thống ký hiệu số và dấu. Năng lực tư duy bằng các ký hiệu toán học. - Năng lực khái quát hóa nhanh và rộng các đối tượng, quan hệ toán học và các phép toán. - Năng lực rút gọn quá trình suy luận toán học và hệ thống các phép toán tương ứng. Năng lực tư duy bằng các cấu trúc rút gọn. - Tính linh hoạt của quá trình tư duy trong hoạt động toán học. - Khuynh hướng vươn tới tính rõ ràng đơn giản, tiết kiệm, hợp lý của lời giải. - Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phương hướng của quá trình tư duy, năng lực chuyển từ tiến trình tư duy thuận sang tiến trình tư duy đảo (trong suy luận toán học). 3) Về mặt lưu trữ thông tin toán học Trí nhớ toán học (trí nhớ khái quát về các: quan hệ toán học; đặc điểm về loại; sơ đồ suy luận và chứng minh; phương pháp giải toán; nguyên tắc, đường lối giải toán). Như vậy, năng lực toán học có liên quan trực tiếp đến những đặc điểm tâm lí cá nhân mà trước hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ. Những điều kiện tâm lí chung, cần thiết để đảm bảo thực hiện thắng lợi hoạt động, chẳng hạn như: khuynh hướng hứng thú; các tình trạng tâm lí; kiến thức kỹ năng, kỷ xảo trong lĩnh vực Toán học. Việc rèn luyện cho học sinh ý thức liên hệ với thực tiễn mà đặc biệt là ứng dụng kiến thức Toán học vào giải quyết các bài toán trong thực tế, sẽ có tác dụng tích cực, góp phần phát triển một số thành tố trong cấu trúc năng lực toán học cho học sinh. Chẳng hạn, đối với năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán, thì việc nắm được cấu trúc hình thức của bài toán thuần túy toán học không khó khăn bằng việc nắm cấu trúc hình thức của bài toán thực tế tương ứng (kiến thức Toán học bản chất của hai bài toán là như nhau) - do bài toán thực tế liên quan nhiều đến số liệu, dữ liệu, đối tượng khác nhau, tạo nên cái vỏ hình thức phong phú, đa dạng hơn. Do đó, việc rèn luyện cho học sinh ý thức liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học sẽ góp phần phát triển năng lực toán học này. Cũng xin nêu một ví dụ nữa, chẳng hạn, xét về năng lực khái quát nhanh chóng và rộng rãi các đối tượng, quan hệ các phép toán của Toán học: khi học sinh làm việc với phương trình ẩn x đối tượng của x là số, học sinh có thể khái quát đối tượng của x là vận tốc, quảng đường hay thời gian, ... Điều này có nghĩa là, giải những bài toán thực tiễn sẽ tạo điều kiện cho học sinh khái quát dễ dàng hơn, góp phần phát triển năng lực này. Trong cấu trúc năng lực toán học của V. A. Cruchetxki, các thành tố năng lực có quan hệ mật thiết và ảnh hưởng lẫn nhau, có tác dụng tương hỗ, đan xen nhau; chính vì vậy trong việc phát triển năng lực toán học ở học sinh, việc rèn luyện, phát triển năng lực này thường liên quan đến kỹ năng, năng lực khác; chẳng hạn, năng lực nắm được cấu trúc hình thức của bài toán là cơ sở góp phần quan trọng cho năng lực tư duy lôgic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và các quan hệ không gian (nếu không nắm được cấu trúc hình thức của bài toán thì năng lực tư duy lôgic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và các quan hệ không gian của học sinh bị hạn chế đi rất nhiều), ... Việc rèn luyện cho học sinh vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn vừa nhằm hình thành, củng cố cho học sinh những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, vừa phát triển năng lực tư duy của học sinh. Đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, góp phần phát triển năng lực toán học ở học sinh. 1.4. Cơ sở thực tiễn 1.4.1. Vấn đề liên hệ với thực tiễn trong Chương trình và Sách giáo khoa phổ thông ở nước ta Việc liên hệ Toán học với thực tiễn trong chương trình và sách giáo khoa trước đây cũng như sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000 chưa được quan tâm một cách đúng mức và thường xuyên. Vấn đề này tác giả Trần Thúc Trình (1998) có ý kiến cho rằng: "Đáng tiếc là hiện nay trong các sách giáo khoa và bài tập còn quá ít các bài toán thực tế. Điều này cần được nhanh chóng khắc phục" [51, tr. 37]. Trong các sách giáo khoa môn Toán và các tài liệu tham khảo về Toán thường chỉ chú ý tập trung làm rõ những vấn đề, những bài toán trong nội bộ Toán học nhưng cũng chưa đáp ứng được so với yêu cầu; số lượng các vấn đề lí thuyết, các ví dụ, bài tập Toán có nội dung liên môn và thực tế trong các sách giáo khoa Đại số và Giải tích ở bậc THPT để học sinh học và rèn luyện còn rất ít. Cụ thể: 1) Đối với sách giáo khoa trước đây, rất ít thấy các bài tập và các vấn đề toán học gắn liền với thực tiễn. Chẳng hạn, trong cuốn Đại số và Giải tích 11 (1999) chỉ tìm thấy: bài tập 8, 9, 10 (trang 10, 11); thí dụ (trang 95); bài tập 7 (trang 96) và thí dụ 4 (trang 99). 2) Sách Đại số và Giải tích 11; Giải tích 12 (chỉnh lí hợp nhất năm 2000). - Đại số và Giải tích 11[13]: + ở chương I, Đ1, khi nói đến mở rộng khái niệm góc có đề cập: "…Trong thực tiễn còn có những góc lớn hơn 3600. Chẳng hạn bán kính OM của một bánh xe có thể quay vòng, 2 vòng,…" [13, tr. 6]. Cũng trong Đ1 có bài tập 8 [13, tr. 12] gắn liền với thực tiễn. + Trong chương III, Đ3 có nêu ra một ví dụ về cấp số cộng gần với thực tiễn [13, tr. 98]. Cũng trong Đ3, ở phần bài tập có 1 bài "trồng cây theo hình tam giác" ở trang 100. Còn trong Đ4, có đưa vào một ví dụ về cấp số nhân - "phần thưởng của hoàng tử ấn Độ Xiram cho người phát minh ra trò chơi cờ vua" ở trang 103. - Giải tích 12 hiện hành [26]: + Chương I, Đ1, trang 1 và 2, trước khi đưa ra định nghĩa đạo hàm, sách đã đưa vào "bài toán tìm vận tốc tức thời của một chất điểm chuyển động thẳng". Cũng trong Đ1, ở trang 10 có nêu lên ý nghĩa vật lí của đạo hàm. Còn ở trang 11 đưa vào một bài tập về vấn đề này. + ở Đ4, có nêu lên "ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp 2" cùng với 1 ví dụ (trang 38 ) và 1 bài tập (trang 39). + Trong bài tập ôn tập chương I có 1 bài liên hệ với thực tiễn ở trang 43. + Trong chương II, sách trình bày những ứng dụng của đạo hàm. Tuy nhiên cũng chỉ quan tâm đến những ứng dụng thuần túy trong nội bộ toán học. Chỉ có một ví dụ (ví dụ 2) được nêu ra ở Đ3, trang 62 gắn liền với thực tiễn sản xuất. + Trong chương III, lại một lần nữa sách giáo khoa cũng quan tâm nhiều hơn các ứng dụng trong nội bộ toán mặc dù có hẳn một bài về ứng dụng hình học và vật lí của tích phân (Đ4 ở trang 143 - 154). Cụ thể là chỉ có 2 bài toán áp dụng phép tính tích phân để giải bài tập vật lí 12. 3) Còn các SGK mới hiện nay, mặc dù nhiều chủ đề có rất nhiều tiềm năng có thể đưa vào được những tình huống thực tiễn (sẽ làm sáng tỏ ở Chương 2) và thực sự cũng đã có những những quan tâm nhất định. Tuy nhiên, vấn đề này lại một lần nữa vẫn chưa được làm rõ. Chẳng hạn: - Đại số và Giải tích 11 [14]. + Trong chương I, từ trang 4 đến trang 41 không có bất cứ một kiến thức nào gắn liền với thực tiễn ngoài toán học. + Trong chương II, đây là một chương dạy về toán ứng dụng nên có khá nhiều vấn đề liên hệ với thực tiễn: * ở Đ1 có ví dụ 1(trang 43); ví dụ 2, ví dụ 3 (trang 44); phần hoạt động của học sinh, ví dụ 4 (trang 45); bài tập 3, 4 (trang 46). * ở Đ2 có ví dụ 1 (trang 46); ví dụ 2 (trang 47); ví dụ 3 (trang 49); ví dụ 6, hoạt động của học sinh (trang 52); bài tập 2,3,5 (trang 54 và 55). * ở Đ3 có ví dụ 1, 3, 4, 5 (trang 60, 61 và 63); bài tập 1 - 7 (trang 63 và 64). * ở Đ5 có ví dụ 1 - 7 (trang 65 - 71); bài tập 1 - 7 (trang 74 và 75). * Trong ôn tập chương 2 có các bài tập 5, 6, 7, 9 (trang 76 và 77). + Trong chương III, có liên hệ dãy số Fibonacci với thực tiễn (trong mục bạn có biết, trang 91). * ở Đ4, phần hoạt động của học sinh (trang 98); ví dụ 3 (trang 100); bài tập 5, 6 (trang 104); bài tập 12 (trang 108). + Trong chương IV, Đ1, có hoạt động của học sinh (trang 117); bài đọc thêm (trang 120). * ở Đ2 có bài tập 7 (trang 133 và 134); Đ4 không có kiến thức nào được liên hệ với thực tiễn. * Trong ôn tập chương IV có bài tập 3 (trang 141 và 142). + Trong chương V, ngay Đ1, trước khi đưa ra định nghĩa đạo hàm, sách đã đưa vào "bài toán tìm vận tốc tức thời" và "bài toán tìm cường độ tức thời". Ngoài ra còn có bài tập 7 (trang 157). * ở Đ5 có nêu ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp 2 cùng 1 ví dụ. * Trong ôn tập chương V, có bài tập 8 (trang 177). + Phần ôn tập cuối năm, có bài tập 4, 6, 7 (trang 179). - Đại số và Giải tích 11(nâng cao) [38]. + Trong chương I, có bài đọc thêm (trang 15); mục em có biết (trang 18). * ở Đ2 có bài tập 17 (trang 29); bài 24, 25 phần luyện tập (trang 31, 32). * ở Đ3 có bài tập 31 phần câu hỏi và bài tập (trang 41); bài tập 37 phần luyện tập (trang 46). + Trong chương II, đây là một chương dạy về toán ứng dụng nên có khá nhiều vấn đề liên hệ với thực tiễn: * ở Đ1 có ví dụ 1, 2, 3, 4, 5 (trang 51- 54 ); bài tập 1, 3 phần câu hỏi và bài tập (trang 54); bài đọc thêm (trang 55). * ở Đ2 có ví dụ 1, 2, 4 (trang 56 - 58); ví dụ 7 (trang 61); bài tập 5 - 8 phần câu hỏi và bài tập (trang 62); bài tập 9, 11, 13, 15 phần luyện tập (trang 63, 64). * ở Đ4, tất cả các ví dụ đều gắn liền với thực tiễn (8 ví dụ); phần bài tập có 2 bài (trang 75 và 76); trong phần luyện tập có 3 bài (trang 76). * ở Đ5, tất cả các ví dụ đều gắn liền với thực tiễn (7 ví dụ); phần câu hỏi và bài tập có 4 bài đều gần với thực tiễn (trang 83); phần luyện tập có các bài 41, 42 (trang 85). * ở Đ6, tất cả các ví dụ đều gắn liền với thực tiễn (6 ví dụ); phần câu hỏi và bài tập có tất cả 7 bài liên hệ với thực tiễn (trang 90, 91); phần luyện tập có bài 50 và 51 (trang 92). + Phần câu hỏi và bài tập ôn tập chương II có bài 57 (trang 93); bài 59, 62, 63, 67 (trang 94, 95). + Trong chương III, có bài đọc thêm ở trang 107. * ở Đ3, ví dụ 3 và hoạt động 5 (trang 113). Trong phần câu hỏi và bài tập không có bài nào gắn liền với thực tiễn ngoài toán học. * ở Đ4, trước khi định nghĩa cấp số nhân có đưa vào 1 bài toán về "gửi tiền tiết kiệm" (trang 115); hoạt động 3 (trang 119); Trong phần câu hỏi và bài tập có bài 35 (trang 121). + Phần câu hỏi và bài tập ôn tập chương 3 có 1 bài gắn với thực tiễn cuộc sống ở trang 124. + Trong chương IV, không có bất cứ một vấn đề nào liên hệ với thực tiễn ngoài toán học. + Trong chương V, ngay Đ1, trước khi đưa ra định nghĩa đạo hàm, sách đã đưa vào "ví dụ mở đầu"; trang 188 có nêu "ý nghĩa cơ học của đạo hàm". Ngoài ra còn có bài tập 6 (phần câu hỏi và bài tập, trang 192). * ở Đ3, phần luyện tập có bài 37 (trang 212). * ở Đ5, có đưa vào ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp 2 cùng với 1 ví dụ; phần câu hỏi và bài tập có 1 bài (bài 44, trang 219). + Phần câu hỏi và bài tập ôn tập cuối năm có 2 bài (trang 224). Như vậy có thể thấy rằng, quan điểm chỉ đạo, xuyên suốt quá trình dạy học ở trường phổ thông được nhấn mạnh trong Dự thảo chương trình CCGD môn Toán đã được quán triệt. Tuy nhiên việc quán triệt quan điểm này chưa thực sự toàn diện và cân đối. Thực tế thì sách giáo khoa toán hiện nay đã có những thay đổi lớn về nội dung theo hướng tích cực và vấn đề gắn liền toán học với thực tiễn đã có được những quan tâm nhất định. Điều này được thể hiện ở việc sách giáo khoa mới đã đưa thêm vào phần toán học ứng dụng - Xác suất và đây cũng là điều đáng nói nhất của sách giáo khoa Toán trong CCGD lần này. Ngoài ra, theo chúng tôi ở các nội dung khác (đặc biệt là phân môn Giải tích) tính thực tiễn ngoài toán học vẫn chưa được quan tâm đúng mức, thường chỉ dừng lại ở mức giới thiệu là chính, ít bài tập. Một lần nữa vai trò công cụ của môn Toán mà đặc biệt là phân môn Giải tích vẫn chưa được làm rõ. Mặc dù trong giai đoạn hiện nay, nước ta đang đứng trước đòi hỏi ngày càng cao của sự nghiệp công nghiệp hóa - hiện đại hóa, của nền kinh tế tri thức gắn với xu hướng toàn cầu hóa nên vai trò, vị trí và ý nghĩa của giáo dục học môn Toán càng trở nên quan trọng hơn. 1.4.2. Thực trạng liên hệ kiến thức môn Toán với thực tiễn trong dạy học Toán ở các nhà trường phổ thông nước ta Tăng cường liên hệ với thực tiễn trong dạy học nói chung và trong dạy học bộ môn Toán nói riêng ở trường phổ thông luôn được coi là một vấn đề quan trọng, cần thiết. Tuy nhiên, theo các nhà Toán học và các nhà làm khoa học Giáo dục cũng như trong thực tế thì vì nhiều lí do khác nhau, trong một thời gian dài trước đây cũng như hiện nay, việc tăng cường liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học Toán cho học sinh vẫn, chưa được đánh giá đúng mức và chưa đáp ứng được những yêu cầu cần thiết. Các tác giả Phạm Văn Hoàn, Trần Thúc Trình (1975) thì cho rằng: Giảng dạy Toán "còn thiên về sách vở, hướng việc dạy Toán về việc giải nhiều loại bài tập mà hầu hết không có nội dung thực tiễn", "hậu quả tai hại là đa số học sinh tốt nghiệp lớp 7 hoặc lớp 10 còn rất bỡ ngỡ trước nhiều công tác cần đến Toán học ở hợp tác xã, công trường, xí nghiệp" (Dẫn theo [5]). Tác giả Trần Kiều cũng có nhận xét: "Do nhiều nguyên nhân, việc dạy và học Toán trong nhà trường hiện nay ở nước ta đang rơi vào tình trạng quá coi nhẹ thực hành và ứng dụng Toán học vào cuộc sống" [21, tr. 3 - 4]. "Thực tế dạy học đã chỉ ra đây là một trong những thiếu sót quan trọng nhất của giáo dục phổ thông nước ta" [22, tr 1- 2]. Theo Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn (1998) khi nhận xét về tình hình dạy và học Toán hiện nay ở nước ta thì một vấn đề quan trọng - một yếu kém cơ bản là trong thực tế dạy Toán ở trường phổ thông, các giáo viên không thường xuyên rèn luyện cho học sinh thực hiện những ứng dụng của Toán học vào thực tiễn. Học sinh bây giờ thường phải đi tìm những mắt xích suy diễn phức tạp trong các bài toán khó, đặc biệt là các trường chuyên. Họ được rèn luyện thêm về tư duy kỹ thuật khi phải tìm những thủ thuật lắt léo để giải những bài toán không mẫu mực. Nhưng những khía cạnh nhân văn trong thực tế cuộc sống đời thường hay bị bỏ qua. Chẳng hạn, trong Toán học có chứng minh thuận, chứng minh đảo thì trong cuộc sống ta thường khuyên nhau: "nghĩ đi rồi phải nghĩ lại", "có qua có lại", "sống phải có trước có sau"; trong Toán học, khi biện luận phải xét cho hết mọi trường hợp có thể xảy ra, thì trong đời thường người ta hay khuyên nhau: "nghĩ cho hết nước, hết cái"; trong Toán học có "biện luận theo tham số", thì trong đời thường ta thường bảo nhau cần phải "thức thời" mà thời là một tham số quan trọng trong cuộc sống [50, tr. 252]. Theo Ông thì đây là kiểu "Dạy và học Toán tách rời cuộc sống đời thường". Giáo sư còn cho rằng trong dạy học Toán hiện nay có biểu hiện: "không gắn lí luận với thực tiễn; không làm cho học sinh nắm rõ bản chất của khái niệm, bệnh hình thức rất rõ; do hình thức mà học sinh chóng quên, vận dụng khó nhuần nhuyễn…" [49, tr.27 - 28]. Trong Tạp chí Tia sáng 12/2001 giáo sư Hoàng Tuỵ có ý kiến nhận xét: Trong dạy học toán ở nước ta hiện nay có tình trạng "chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải những bài tập oái ăm, giả tạo, chẳng giúp ích gì mấy để phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi và chán nản" [54, tr. 35 - 40]. Mới đây, trong hội thảo về "Triết lí giáo dục Việt Nam" do Học viện quản lí giáo dục tổ chức, TS. Nguyễn Tùng Lâm cho rằng: "Thiếu sót của giáo dục chúng ta trong nhiều năm qua là đã xa rời mục tiêu chất lượng, không thực hiện phương châm "Học đi đôi với hành"… "[2, tr. 21]. Vấn đề này theo JA. j. Perelman thì học sinh ''đang học Toán chỉ giới hạn trong phạm vi bốn bức tường của lớp học, thành thử không để ý đến những tương quan Toán học quen thuộc trong thế giới những sự vật hiện tượng xung quanh, không biết ứng dụng những kiến thức Toán học đã thu nhận được vào thực tiễn'' [33, tr. 5]. Qua xâm nhập quan sát thực tế giảng dạy và sau một số năm dạy học, thông qua dự giờ, tham gia các cuộc họp rút kinh nghiệm giờ dạy và trao đổi với các đồng nghiệp. Chúng tôi cũng có nhận định rằng, hiện nay việc tăng cường liên hệ với thực tiễn trong qúa trình dạy học Toán ở trường phổ thông hầu như các giáo viên không quan tâm. Các lí lẽ mà các giáo viên đưa ra để biện minh cho việc này thường là không đủ thời gian, do áp lực thi cử… và một lí do cần được quan tâm là "sách giáo khoa cũng không thể hiện nhiều đến tính thực tiễn của tri thức"!? Theo quan điểm của chúng tôi, sở dĩ để xảy ra tình trạng trên có thể do một số nguyên nhân chính sau đây: 1) Thứ nhất, do áp lực và cách đánh giá trong thi cử, kết hợp với bệnh thành tích của nền giáo dục phổ thông nước ta trong một thời gian dài. Học sinh học xong lớp 12 thì "phải thi" đại học đang là một tồn tại trong xã hội ta hiện nay. Mà đề ra trong các kì thi thì hầu như các ứng dụng ngoài toán học không được đề cập đến. Từ đây dẫn đến lối dạy học "phục vụ thi cử", chỉ chú ý dạy những gì học sinh đi thi. 2) Thứ hai, do ảnh hưởng của sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo. Trong một thời gian dài trước đây cũng như hiện nay, các sách giáo khoa cũng như các tài liệu tham khảo không quan tâm nhiều đến tính thực tiễn ngoài Toán học của các tri thức (xem 1.4.1) mà thông thường chỉ tập trung vào các ứng dụng trong "nội bộ" môn toán. Đành rằng, muốn ứng dụng được vào cuộc sống thì trước hết học sinh phải có những thông hiểu nhất định các kiến thức, kĩ năng, phương pháp toán. Tuy nhiên, với sự liên hệ quá ít như vậy sẽ không hình thành và rèn luyện cho học sinh ý thức vận dụng toán học và không làm rõ được vai trò công cụ của toán học trong hệ thống các khoa học và thực tế cuộc sống. 3) Thứ ba, còn một nguyên nhân sâu xa nữa là từ khâu đào tạo của các trường sư phạm. Khi còn ngồi trên giảng đường, những người giáo viên tương lai cũng chỉ "học toán trong phạm vi bốn bức tường" mà thôi, thiếu hẳn tính thực tiễn trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Nói tóm lại, sở dĩ có tình trạng trên là do hệ thống giáo dục và đào tạo của nước ta, trong đó yếu giáo viên và sách giáo khoa là hai yếu tố chính. 1.4.3. Vấn đề liên hệ với thực tiễn là một trong những xu hướng quan trọng của giáo dục Toán học trên thế giới từ trước tới nay Để thích ứng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ và nền sản xuất hiện đại, phong trào cải cách giáo dục Toán học ở trường phổ thông đã được thực hiện rộng khắp và sâu sắc ở nhiều nước trên thế giới. Có thể nhận thấy rằng, tăng cường hoạt động liên hệ Toán học với thực tiễn là một trong những vấn đề từ lâu đã rất được quan tâm và đang là một trào lưu giáo dục Toán học hiện nay trên thế giới. Ngay từ khi phong trào cải cách dạy toán ở trường phổ thông do nhà toán học nổi tiếng Kơlanh khởi xướng đã có luận điểm cho rằng: "nên có những ứng dụng của Toán học vào Vật lí,…[16, tr. 271]". Trong Hội nghị Quốc tế lần thứ nhất về dạy Toán, tiến hành từ ngày 24 đến ngày 30 tháng 8 năm 1969 tại Liông (Pháp), các bản Báo cáo và Thảo luận đã nói lên các quan điểm cải cách môn Toán ở trường phổ thông theo xu hướng cố gắng thiết lập mối quan hệ hợp lý giữa cái "cổ điển" và cái "hiện đại", các kiến thức phải được trình bày có tính chất cổ truyền dưới ánh sáng của những quan điểm Toán học hiện đại…. Một trong những quan điểm của xu hướng này là "liên hệ việc dạy toán với thực tiễn"[16, tr. 278]. Tiêu biểu theo xu hướng này là Chương trình và sách giáo khoa Toán của trường phổ thông Liên Xô và các nước Xã hội chủ nghĩa khác. Qua hội nghị lần thứ hai được tiến hành từ ngày 29 tháng 8 đến ngày 2 tháng 9 năm 1972 tại thành phố écxôto (Anh) và lần thứ ba từ ngày 16 đến ngày 21 tháng 8 năm 1976 tại thành phố Caclơrue (Tây Đức). Nhìn chung, xu thế cơ bản của việc cải cách môn Toán ở trường phổ thông trên thế giới là: "hiện đại hóa thận trọng, tăng cường việc gắn liền toán học với các khoa học khác, với đời sống" [16, tr. 279]. Theo "Pháp lệnh về mục tiêu giáo dục Hoa kì năm 2000", trong số 8 mục tiêu đưa ra có 2 mục tiêu hàm chứa yêu cầu cao về năng lực vận dụng của học sinh: "Tất cả học sinh học hết các lớp 4, 8 và 12 phải có năng lực ứng dụng thực tế, độc lập suy nghĩ, …, có khả năng tiếp nhận các công việc trong đời sống hiện đại". "Mỗi công dân đã trưởng thành đều phải có văn hóa, có tri thức và kĩ năng cần thiết trong cuộc cạnh tranh kinh tế thế giới" (Dẫn theo [30, tr. 10]). Còn theo Chương trình Quốc gia nước Anh, một trong các lĩnh vực kiến thức môn Toán là "ứng dụng toán học". Với chương trình bộ môn Toán nước Pháp, tác giả Phạm Gia Đức nhận xét: "toán học dạy ở nhà trường gắn với nhu cầu cuộc sống", "coi trọng thao tác tính toán, thực hành" [30, tr. 11]. Phải thừa nhận một điều rằng, xã hội càng hiện đại, khoa học kĩ thuật càng phát triển thì vai trò công cụ của Toán học trong cuộc sống và lao động sản xuất càng bộc lộ rõ. Như A. N. Krylov đã viết: "Toán học đối với kỹ sư là một công cụ như cái kìm, cái dũa, cái búa của người thợ nguội" [6, tr. 8]. Theo V. V. Firxôv : việc giảng dạy toán ở trường phổ thông không thể không chú ý đến sự cần thiết phải phản ánh khía cạnh ứng dụng của khoa học toán học. Điều đó phải được thực hiện bằng việc dạy cho học sinh ứng dụng toán học để giải quyết các bài toán có nội dung thực tế (Dẫn theo [3]). Liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học toán như là phương tiện để truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ năng và bồi dưỡng ý thức ứng dụng Toán học. Hiện nay, xu hướng này đang rất được coi trọng và được thể hiện rõ trong chương trình, sách giáo khoa của nhiều nước trên thế giới. 1.5. Kết luận chương 1 Trong Chương 1, Luận văn đã phân tích làm rõ các vấn đề lí luận và thực tiễn liên quan đến đề tài. Qua đây có thể khẳng định rằng, tăng cường liên hệ với thực tiễn trong dạy học Toán là hướng đổi mới phương pháp dạy học phù hợp với điều kiện hoàn cảnh nước ta trong giai đoạn hội nhập hiện nay. Đồng thời cũng phù hợp với xu hướng giáo dục Toán học của nhiều nước tiên tiến trên thế giới. Đây là cơ sở để tiến hành thực hiện tiếp chương 2 của Luận văn. Chương 2 dạy học môn giải tích ở trường phổ thông theo hướng Tăng cường liên hệ với thực tiễn - Trong Chương 1, chúng tôi đã phân tích làm rõ các vấn đề lí luận liên quan đến đề tài. Theo đó, trong quá trình dạy học Giải tích cần liên hệ với thực tiễn thông qua các mặt sau đây: ã Nguồn gốc thực tiễn của Giải tích. ã Sự phản ánh thực tiễn của Giải tích. ã Giải tích được ứng dụng nhiều trong thực tiễn, bao gồm: * ứng dụng trong nội bộ môn Toán. * ứng dụng vào các môn học khác nhau. * ứng dụng vào đời sống và các khoa học khác. Vấn đề này, theo PGS. TS. Trần Kiều, có thể chia làm hai loại: Những ứng dụng trong nội bộ môn Toán và những ứng dụng trong các lĩnh vực ngoài Toán học. Thông qua các ứng dụng như vậy sẽ góp phần đánh giá được mức độ thông hiểu tri thức của học sinh. Các kiến thức Giải tích Nguồn gốc thực tiễn Phản ánh thực tiễn ứng dụng trong thực tiễn Trong nội bộ môn Toán Trong các môn học khác Trong cuộc sống lao động, sản xuất Hình 2.1: Sơ đồ liên hệ các kiến thức Giải tích với thực tiễn Trong chương này, trên cơ sở tôn trọng Chương trình, sách giáo khoa Toán Trung học phổ thông hiện hành, chúng tôi sẽ tập trung làm rõ tiềm năng liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học bộ môn Giải tích. Từ đó làm căn cứ đưa ra các biện pháp thực hiện. Cụ thể sẽ tập trung giải quyết các vấn đề sau đây: ã Nêu rõ nguồn gốc thực tiễn của một số vấn đề Giải tích. ã Tiềm năng của các vấn đề Giải tích trong việc liên hệ với thực tiễn. ã Đề xuất một số quan điểm nhằm nâng cao tính khả thi của đề tài và làm cơ sở để đưa ra một số biện pháp thực hiện. - Giải tích là ngành Toán học có đối tượng nghiên cứu là các hàm số và các suy rộng của nó bằng phương pháp giới hạn hay phương pháp vô cùng bé (vì khái niệm giới hạn có liên quan mật thiết với khái niệm biến lượng vô cùng bé), trong đó bao gồm hai tư tưởng chính là phép tính vi phân và phép tính tích phân. Theo nghĩa thông thường, cơ sở của Giải tích bao gồm: Lí thuyết số thực, khái niệm hàm số, giới hạn, dãy số, chuỗi số và liên tục. Giải tích được đưa vào chương trình môn Toán trong nhà trường phổ thông nước ta ở hai lớp 11 và 12 với những nội dung chính sau: 1) Dãy số: bao gồm định nghĩa, những tính chất thông thường của dãy số và hai dãy số đặc biệt là Cấp số cộng và Cấp số nhân; 2) Giới hạn: bao gồm giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số, hàm số liên tục; 3) Đạo hàm; 4) ứng dụng của đạo hàm; 5) Nguyên hàm và Tích phân. Khái niệm Tích phân được định nghĩa theo công thức Newton-Leibniz và đa số các định lí đều được công nhận không chứng minh. 2.1. Sơ lược về lịch sử hình thành và phát triển của một số vấn đề Giải tích 2.1.1. Sơ lược về lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm Hàm số Khái niệm sơ khai về hàm số đã có từ 1000 năm trước công nguyên khi những người Babilon đã biết lập những bảng tỉ số thực nghiệm trong thiên văn. Nhưng mãi đến thế kỉ thứ XVII khái niệm này mới được hình thành rõ ràng và có hệ thống trong Toán học nhờ các công trình của Phermat và Descartes. Giữa thế kỉ thứ XVII, khi đụng chạm đến bài toán về sự dao động của sợi dây đã nảy sinh nhu cầu về một định nghĩa hàm số tổng quát. Khoảng năm 1694 danh từ hàm số được Leibniz dùng lần đầu tiên. Lúc này khái niệm hàm số gắn liền với biểu diễn hình học của hàm số bằng một đường. Thế kỉ thứ XVII cũng là giai đoạn chuyển biến việc biểu diễn tương quan hàm số từ trực giác hình học sang biểu thức giải tích. Năm 1718, Johann Bernoulli đĩnh nghĩa: "Hàm số của một biến lượng là một biểu thức giải tích gồm biến lượng đó và các đại lượng không đổi". Năm 1748, D'Alembert cũng đưa ra định nghĩa: "Hàm số là một biểu thức giải tích". Trong thế kỉ thứ XVIII biểu thức giải tích đóng vai trò cơ bản trong việc xác định tương quan hàm số. Tuy nhiên trong thế kỉ này cũng có những định nghĩa tổng quát hơn, coi hàm số như một đại lượng phụ thuộc. Năm 1755, Euler định nghĩa: "Khi một đại lượng phụ thuộc vào các đại lượng khác sao cho sự thay đổi của các đại lượng thứ hai kéo theo sự thay đổi của đại lượng thứ nhất thì đại lượng thứ nhất gọi là hàm số của đại lượng thứ hai" [20, tr. 92]. Trong thế kỉ thứ XIX với sự phát triển của giải tích toán học, khái niệm hàm số đòi hỏi phải được mở rộng. Xây dựng khái niệm này dựa vào sự tương ứng giữa các giá trị của hai đại lượng. Năm 1837, Dirichler định nghĩa: "y là hàm số của x nếu với mỗi giá trị của x thì tương ứng một giá trị hoàn toàn xác định của y còn sự tương ứng đó được thiết lập bằng cách nào thì điều này hoàn toàn không quan trọng". Ông đưa ra ví dụ: Định nghĩa này đã được tất cả các nhà bác học lúc bấy giờ chấp nhận. Nhưng về sau khi lí thuyết tập hợp phát triển thành nền tảng của toán học đòi hỏi phải mở rộng hơn nữa khái niệm hàm số. Lúc này khái niệm hàm không dùng đại lượng biến thiên mà dựa vào lí thuyết tập hợp. Đây là một khuynh hướng hiện đại dẫn tới mở rộng khái niệm hàm vì nó nghiên cứu những sự tương ứng không phải chỉ giữa các giá trị của những đại lượng. Do đó nó có khả năng phục vụ cho tất cả các ứng dụng cổ truyền của Toán học cũng như nhiều ứng dụng mới xuất hiện. Sau đây là bốn dạng định nghĩa (Dẫn theo [20, tr. 94]): - Dạng định nghĩa tình huống hàm - nghĩa là tình huống mà trong đó có thể nói rằng có một hàm số: + "Giả sử A và B là hai tập hợp bất kì. Người ta nói rằng trên A được xác định một hàm f nhận các giá trị trong B nếu với mỗi phần tử x A đặt tương ứng một và chỉ một phần tử trong B". Trong trường hợp các tập hợp có bản chất bất kì thì thay từ "Hàm" người ta thường dùng từu " ánh xạ" và nói về ánh xạ của tập hợp A đến tập hợp B. + "Cho hai tập hợp A và B. Ta nói rằng đã xác định một ánh xạ f của tập hợp A vào tập hợp B và kí hiệu f: AB nếu bằng cách nào đó đặt tương ứng với mỗi phần tử a A một phần tử xác định b B". - Hàm như một quy tắc tương ứng của hai tập hợp: "A và B là hai tập hợp đã cho. Một ánh xạ f từ A đến B là một quy tắc cho tương ứng với mỗi phần tử a A một phần tử duy nhất b B". - Hàm như một sự tương ứng: "Hàm là một sự tương ứng mà theo đó với mỗi phần tử x của tập hợp X tương ứng một phần tử y của tập hợp Y nào đó". Rõ ràng các định nghĩa hàm thuộc ba dạng trên đã dựa vào tập hợp nhưng chưa triệt để: Dạng thứ nhất chưa chỉ được đích danh hàm là gì, còn có những thuật ngữ chưa rõ như "quy tắc" ở dạng 2, "sự tương ứng" ở dạng 3. Dạng cuối cùng sau đây sẽ khắc phục được các nhược điểm trên. - Định nghĩa hàm triệt để dựa vào tập hợp của Bourbaki: + Định nghĩa đầy đủ: Một tập hợp G mà mỗi phần tử của nó là những cặp được gọi là một đồ thị. Tập hợp tất cả các phần tử thứ nhất của các cặp trong G được gọi là miền xác định của đồ thị G. Kí hiệu là pr1G. Tập hợp tất cả các phần tử thứ 2 của các cặp trong G được gọi là miền giá trị của G, kí hiệu là pr2G. Một bộ ba (G, A, B), trong đó G là một đồ thị sao cho pr1G A và pr2G B, được gọi là một sự tương ứng giữa các tập hợp A và B, A gọi là nguồn và B gọi là đích của sự tương ứng đó. Một đồ thị được gọi là một đồ thị hàm nếu trong đó không có hai cặp phân biệt nào cùng chung phần tử thứ nhất. Một sự tương ứng (F, A, B) được gọi là một hàm nếu F là một đồ thị hàm và A = pr1F. Như vậy theo những định nghĩa trên của Bourbaki thì một bộ ba tập hợp (F, A, B), trong đó F là tập những cặp sao cho pr1G A và pr2G B, được gọi là một hàm nếu mỗi phần tử của A đều là thành phần thứ nhất của một và chỉ một cặp thuộc F. + Định nghĩa rút gọn: "Một hàm là một tập hợp những cặp (x, y) sao cho đối với mỗi x bất kì trong tập hợp đó không có quá một cặp (x, y) với phần tử thứ nhất x cho trước. Như vậy nguồn và đích không có mặt trong định nghĩa rút gọn còn hàm chính là đồ thị hàm theo định nghĩa đầy đủ. Ta thấy rằng khái niệm hàm số phát sinh, phát triển, ngày càng mở rộng, chính xác hoá và hoàn thiện là do nhu cầu của thực tiễn. Và những định nghĩa dạng cuối cùng (theo cách đầy đủ hay rút gọn) là tiêu biểu nhất cho khuynh hướng hiện đại - khuynh hướng lí thuyết tập hợp. 2.1.2. Sơ lược về lịch sử hình thành, phát triển của phép tính vi phân và tích phân Các ý tưởng giúp hình thành môn vi phân, tích phân phát triển qua một thời gian dài và những người đi những bước tiên phong là các nhà toán học Hi Lạp. Xét về mặt lịch sử thì tư tưởng phép tính tích phân ra đời trước và ít lâu sau phép tính vi phân mới được nghĩ tới. Leucippus, Democritus và Antiphon đã có những đóng góp vào phương pháp "vét kiệt" (Method of Exhaustion) của Hi Lạp. Nhưng mãi về sau mới được Euxodus (408 - 355) nâng lên thành lí luận khoa học. (Sở dĩ gọi là phương pháp "vét kiệt" vì xem diện tích của một hình được tính bằng vô số hình, càng lúc càng lấp đầy hình đó.) Phương pháp vét kiệt thừa nhận tính chia hết vô hạn của các độ lớn, được coi là câu trả lời của trường phái Platon đối với những nghịch lí của Zeno. Mệnh đề cơ sở như sau: "Nếu từ bất kì một đại lượng nào đó và bỏ đi một phần không nhỏ hơn một nửa của nó, rồi từ chỗ còn lại bỏ đi một phần khác không nhỏ hơn một nửa của nó, vân vân thì cuối cùng sẽ còn lại một đại lượng nhỏ hơn bất kỳ đại lượng nào được ấn định cùng loại". Tuy nhiên, chỉ có Archimedes (287 - 212) mới là người Hi Lạp kiệt xuất nhất với phương pháp cân bằng được tìm thấy vào năm 1906. Tư tưởng chính của phương pháp Archimedes là: "Để tìm một diện tích hoặc một thể tích thì cắt nó ra thành một số rất lớn các dải phẳng mỏng song song và (nghĩ trong óc) là treo chúng ở đầu tâm đã biết". Thành tựu to lớn đầu tiên của ông là tìm được diện tích của hình tam giác cong parabol bằng 4/3 diện tích của tam giác có cùng đáy và đỉnh và bằng 2/3 diện tích của hình bình hành ngoại tiếp. Kết quả này được tìm ra bằng cách dựng một dãy vô tận các tam giác, bắt đầu với tam giác có diện tích bằng S và tiếp tục ghép thêm các tam giác mới nằm xen giữa các tam giác đã có với đường parabol. Hình parabol dần dần được lấp đầy bởi các tam giác có diện tích là: Từ đó diện tích của tam giác cong giới hạn bởi parabol là: Archimedes cũng đã tìm ra được diện tích hình tròn bằng phương pháp của mình. Đây là mô hình đầu tiên của phép tính tích phân, nhờ đó ông tìm được giá trị gần đúng của số ở khoảng giữa hai phân số và . Trong tất cả những khám phá của mình, Archimedes tâm đắc nhất là việc tìm ra công thức tính thể tích hình cầu: "Thể tích hình cầu bằng 2/3 thể tích hình trụ ngoại tiếp ". Sau khi ông mất, thể theo nguyện vọng lúc sinh thời, người ta cho dựng một mộ bia có khắc hoa văn một hình cầu nội tiếp một hình trụ. Cũng từ khi ông mất cho đến thế kỉ thứ XVII, nền toán học hầu như rơi vào trong bóng tối. Lúc này do nhu cầu của kỉ thuật, phép tính vi tích phân trở lại để giải quyết những bài toán về sự biến thiên của các đại lượng vật lí. Các nhà toán học lớn như Ferrmat (1601 - 1665), Roberval, Descartes (1596 - 1650), Cavalieri đã tập trung giải quyết bốn bài toán lớn sau: 1. Tìm tiếp tuyến của một đường cong. 2. Tìm độ dài của một đường cong. 3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một đại lượng, chẳng hạn tìm khoảng cách gần nhất và xa nhất giữa một hành tinh và mặt trời hoặc khoảng cách tối đa mà một đạn đạo có thể bay tới theo góc bắn đi của nó. 4. Tìm vận tốc và gia tốc của một vật thể. Và thế kỉ XVII được xem là một bước ngoặt trong lịch sử Toán học khi phép tính vi - tích phân được phát triển nhờ tìm ra cách giải quyết các bài toán trên. Tất cả cố gắng của họ đã đạt đến đỉnh cao khi hai nhà toán học Isaac Newton (1643 - 1727) và Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) đã nghiên cứu một cách có hệ thống, hoàn thiện phép tính vi - tích phân vào cuối thế kỉ này. Đây cũng là thành tựu Toán học nổi bật nhất vào thời kì đó. 2.1.3. Sơ lược về lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm giới hạn và liên tục của hàm số Khái niêm vô hạn đã từng gây nhiều khó khăn cho nhận thức của con người cho đến thế kỉ 17. Điều này đã được thể hiện qua hai nghịch lí nổi tiếng của Zéno là nghịch lí mũi tên, nghịch lí phân đôi. Khái niệm này được J. Kepler (1571 - 1630) và B. Cavalieri (1598 - 1647) quan tâm trở lại và đã mở đường cho Isaac Newton (1643 - 1727) và Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) phát triển và hoàn thiện hai phép tính vi phân, tích phân như đã đề cập ở mục 2.1.2. Lúc bấy giờ các nhà toán học đã tính toán trên các giới hạn. Tuy nhiên, họ chưa đưa ra được một định nghĩa chặt chẽ, mà chỉ quan niệm một cách trực giác các khái niệm giới hạn và liên tục của hàm số. Về sau nhiều nhà toán học mới thực sự lưu ý đến sự cần thiết phải chính xác hoá các khái niệm cơ bản này nhằm làm cho các phép tính tích phân và vi phân có cơ sở chặt chẽ. Nhưng các khái niệm này muốn được chính xác hóa cũng gặp nhiều khó khăn. Chẳng hạn, sự "dần tới" một giá trị nào đó lại liên quan đến vấn đề chuyển động, mà hai phép tính vi phân và tích phân lại xem chuyển động là một quá trình liên tục - theo nghĩa biến phải nhận mọi giá trị trong khoảng mà chuyển động xảy ra. Nhưng làm thế nào để mô tả bằng toán học biến di chuyển qua tất cả các điểm kế tiếp nhau trong một khoảng? Rõ ràng không thể nói rằng "đi từ điểm này đến điểm kế tiếp sau" vì không có điểm kế tiếp (giữa hai điểm bất kì có một điểm khác). Dù vậy, vào năm 1817, B. Bolzano (1781 - 1848) đã đưa ra một định nghĩa chính xác về liên tục: hàm số f(x) liên tục trong một khoảng nếu tại bất kì x nào trong khoảng đó thì hiệu f(x + ) - f(x) có thể làm nhỏ tùy ý khi cho đủ lớn (Dẫn theo [27, tr. 31]). Còn khái niệm giới hạn: hằng số c được gọi là giới hạn của x nếu ta có thể làm cho x có thể tiến gần đến c một cách tùy ý thông qua sự thay đổi liên tục. Để chính xác hóa khái niệm này cần phải mô tả bằng toán học khái niệm "gần một cách tùy ý". A. L. Cauchy (1789 - 1857) đã có công lớn trong việc chính xác hóa khái niệm giới hạn và liên tục. Ông đưa ra định nghĩa: cho x là biến số thực. x được gọi là có giới hạn là c nếu với bất kì số dương cho trước thì giá trị tuyệt đối của hiệu x và c có thể làm nhỏ hơn một số dương cho trước đó (Dẫn theo [27, tr. 31 - 32]). Nhà toán học Đức K. Weierstrass (1815 - 1897) đã làm rõ hơn khái niệm mà A. L. Cauchy đã đưa ra theo ngôn ngữ "". Như vậy, B. Bolzano, A. L. Cauchy và K. Weierstrass đã định nghĩa một cách chính xác khái niệm giới hạn và liên tục của hàm số góp phần giải thích các nghịch lí của Zéno và làm cho hai phép toán vi phân và tích phân có cơ sở chặt chẽ. 2.2. Tiềm năng của một số chủ đề Giải tích trong việc rèn luyện cho học sinh năng lực liên hệ với thực tiễn 2.2.1. Về sự phản ánh thực tiễn của bộ môn Giải tích 2.2.1.1. Vấn đề Dãy số và Giới hạn Hình 2.3 Hình 2.2 a) Vết đạn ở trường bắn. Ta tưởng tượng mỗi vết đạn trên mục tiêu ở trường bắn như một điểm và được đánh dấu bởi số thứ tự của nó. Những hình tròn của mục tiêu và cuộc thi bắn được xem như kéo dài vô hạn. Ta gọi những phần tử được đánh số của tập hợp các vết đạn là các số hạng của một dãy. Như vậy dãy là một tập hợp vô hạn các phần tử được đánh số. Nếu tiếp tục theo dõi cuộc thi bắn thì sẽ tìm ra những hình ảnh "rất đắt" để nói về dãy và về giới hạn: - Với xạ thủ giỏi, dù lấy hình tròn nhỏ bao nhiêu, bắt đầu từ một lần bắn nào đó trở đi các vết đạn tiếp sau đều rơi vào hình tròn đó. Theo cách nói Toán học có nghĩa là dãy các vết đạn hướng tới tâm bia, tâm bia là giới hạn của dãy các vết đạn. - Còn với xạ thủ còn non kinh nghiệm thì dù có chọn trước một hình tròn bán kính nào đó xung quanh tâm bia và chọn một số thứ tự nào đó, bao giờ cũng có một viên đạn có số thứ tự lớn hơn nằm ngoài giới hạn của hình tròn đã chọn. Theo cách nói Toán học thì dãy các vết đạn không dần tới tâm hình tròn. b) Sự chính xác hóa dần các hằng số của thế giới. Vận tốc ánh sáng là một trong những đại lượng Vật lí mà khoa học gọi tên là hằng số của thế giới. Năm 1675 lần đầu tiên trong lịch sử khoa học, nhà thiên văn học Đan Mạch Rême đã tính toán được vận tốc ánh sáng là 226.000km/s. Năm 1849, Fiđô đã cho các tia sáng đi qua các bánh răng của một bánh xe răng quay nhanh và đã đo được con số chính xác hơn về vận tốc ánh sáng là 313.274,304km/s. Một phần tư thế kỉ sau, cũng bằng phương pháp trên, Kornuy đã đạt được con số mới 298.400 1.000km/s. Các nhà nghiên cứu tiếp sau đều cố gắng làm cho sai số ngày càng nhỏ thậm chí có thể đến vài mét trên một giây. Sự kiện Vật lí trên nếu được mô tả theo Toán học thì có thể nói rằng, với một sai số nhỏ bất kì mà nhà nghiên cứu đạt được thì bắt đầu từ đó, những kết quả tiếp sau sẽ sai khác với giá trị thực của vận tốc ánh sáng không quá sai số đã cho. Nếu việc nghiên cứu được tiếp tục, độ chính xác của phép đo tăng lên, thì được một dãy kết quả và ta nói dãy các kết quả dần tới vận tốc ánh sáng. c) Nên chia kẹo cho các cậu bé như thế nào? Tất nhiên phải là: Cậu một nửa - mình một nửa. Người có kẹo phải chia nó làm hai phần bằng nhau để cho bạn. Phần thu được cũng phải chia làm đôi để phân cho bạn của mình. Cứ như vậy có thể chia cái kẹo thành một số phần tuỳ ý, độ lớn của các phần chia liên tiếp giảm dần tới không: Một cái kẹo, nửa cái kẹo, phần tư cái kẹo, phần tám, phần mười sáu… và cái kẹo ban đầu cứ thế nhỏ dần. Dù cho trước một độ lớn nào, bắt đầu từ một phần chia nào đó tất cả các phần chia tiếp sau sẽ nhỏ hơn độ lớn cho trước. Hình 2.4 Sự kiện này được diễn đạt một cách chặt chẽ theo Toán học như sau: Sự dần tiến tới không có nghĩa là với một lân cận nhỏ tuỳ ý của 0 (Độ dài thường được biểu thị bằng "epsilon") bao giờ cũng tìm được một số thứ tự mà mọi số hạng có số thứ tự lớn hơn của dãy phải nằm trong lân cận đó. d) Giới hạn về năng lực thể thao của con người. Trong [38, tr. 154] có trình bày (không chứng minh) định lí: "Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn". Bây giờ ta hãy liên hệ định lí này vào lĩnh vực thể thao. Cách đây không lâu thì thành tích mà các vận động viên chạy 100m cần cố gắng là 9s và bây giờ đã đạt được. Có thể khẳng định một nhà quán quân tương lai nào đó sẽ rút ngắn thời gian thêm 1 đến 2 giây. Ta xem kỉ lục về chạy cự li 100m như là các số hạng của một dãy nào đó. Nhà Toán học gọi nó là dãy đơn điệu giảm. Nếu khẳng định được rằng không ai có thể chạy 100m ít hơn 2s thì ta nói rằng các số hạng của dãy số của chúng ta bị chặn ở dưới. Theo định lí trên thì trên bậc thang kết quả chạy 100m có một mốc mà dãy các kỉ lục sẽ dần tới. Dù chọn một lân cận nhỏ tuỳ ý của mốc, mọi số hạng của dãy bắt đầu từ một số hạng nào đó sẽ nằm trong lân cận. Dãy các kỉ lục có thể dần tới giới hạn mà không đạt tới giới hạn đó. Kỉ lục hôm nay khác với giới hạn một phần mười giây thì kỉ lục tiếp sau sẽ có thể khác năm phần trăm, kỉ lục tiếp theo khác một phần trăm, tiếp theo nữa là một phần nghìn… và mỗi kết quả đứng sau sẽ là một kỉ lục vì nó nhỏ hơn kết quả đứng trước. Ta nói rằng dãy các kỉ lục chạy 100m của con người là có giới hạn. e) Chiều cao của con người. Hình 2.5 Cứ mỗi lần sinh nhật con người cha lại đánh dấu chiều cao và cẩn thận ghi chiều cao vào bên cạnh. Qua năm tháng, cậu bé lớn dần lên đã tạo nên một bậc thang toàn bộ các vạch dấu trên khung cửa. Đó là dãy các độ tăng chiều cao từ năm này qua năm khác. Các vạch dấu trên dầm cửa xích lại gần nhau và đến một thời gian nào đó chúng ngừng tăng. Nói theo Toán học thì dãy các chiều cao ghi trên dầm cửa có giới hạn và dãy các độ tăng chiều cao của con người từ năm này qua năm khác giảm dần đến không. f) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Trong một tam giác cân có một vòng tròn nội tiếp. ở phía trên nó có một hình tròn thứ 2 tiếp xúc với hình tròn thứ nhất và tiếp xúc với các cạnh bên của tam giác. Phía trên hình tròn thứ 2 là hình tròn thứ 3. Cứ như thế, toàn bộ góc ở đỉnh của tam giác được lấp đầy bởi một dãy hình tròn bán kính ngày càng nhỏ. Số lượng của chúng là vô hạn (Hình 2.5). Lúc này đường kính của các hình tròn tạo thành một cấp số nhân lùi vô hạn (vì tỉ số của đường kính hình tròn thứ 2 với hình tròn thứ nhất, giữa hình tròn thứ 3 với hình tròn thứ 2, … là một số không đổi và nhỏ hơn 1). Hình 2.6 Vấn đề đặt ra là nếu cộng liên tiếp đường kính các hình tròn thì sao? Không cần dùng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn. Chỉ cần xoay tất cả các hình tròn lại sao cho đường kính của chúng thẳng đứng (Hình 2.6). Như vậy tổng vô hạn sẽ hoàn toàn bằng một đại lượng hữu hạn - chiều cao của tam giác. g) Người bán hàng trẻ tuổi còn thiếu kinh nghiệm cân hàng. Sau 2 lần xúc và đưa gói đường lên cân nhưng đường nhiều quá phải xúc bớt ra. Xúc một nửa muôi ra và gói đường lại được đặt lên cân. Lần này thì số đường lại ít hơn. Lại xúc vào. Lại thừa và lại xúc ra… Khối lượng đường trước mỗi lần cô bán hàng thêm vào hoặc bớt ra lập thành một dãy. Các số hạng của dãy này khi thì "dương" (lúc cô bán hàng bớt đường ra), khi thì "âm" (lúc thêm vào). Theo cách nói của Toán học, dãy này tiến dần tới giới hạn do người mua hàng định trước. 2.2.1.2. Về định nghĩa Hàm số: Hình 2.7 - Theo [36, tr.36], "Các hàm số là chân dung Toán học của tính qui luật của tự nhiên". Ta hãy để ý đến các hiện tượng của thế giới xung quanh mà con người gọi chúng là các "qui luật tự nhiên": "Chuồn chuồn bay thấp thì mưa, bay cao thì nắng, bay vừa thì râm"; "Chớp đông nhay nháy, gà gáy thì mưa";…. Các "qui luật" này diễn tả một sự tương ứng của một hiện tượng thứ nhất với một hiên tượng thứ hai. - Trong nghệ thuật nhiếp ảnh thì lượng ánh sáng tác động vào phim ảnh cho tương ứng với độ đen của nó. Trong Toán học mọi quy tắc xác định sự tương ứng được gọi là một hàm số. Trong ví dụ thứ 2, theo cách nói của Toán học thì độ đen của phim ảnh là hàm số của lượng ánh sáng. 2.2.1.3. Tính chất của các hàm a) Tính đơn điệu. Để liên hệ với thực tiễn các tính chất đặc trưng của các hàm ta hãy để ý đến các câu thành ngữ, châm ngôn. Chúng phản ánh những qui luật bền vững rút ra từ kinh nghiệm lâu đời của con người. "Đi một đoạn đàng, học một sàng khôn ". "Ngọc càng mài càng sáng, vàng càng luyện càng trong". Những thành ngữ trên phản ánh sự phụ thuộc của hiện tượng này (thứ hai) vào một hiện tượng khác (thứ nhất) sao cho hiện tượng thứ nhất tăng (về số lượng hay chất lượng) thì hiện tương thứ hai cũng tăng (về số lượng hay chất lượng). Những liên hệ phụ thuộc như vậy khá phổ biến trong thực tiễn. Kiến thức giải tích phản ánh sự liên hệ như vậy là các hàm số đơn điệu tăng. Câu châm ngôn (Nga): "Cháo nấu với bơ thì không thiu" cũng thể hiện một tính chất tương tự. Chất lượng cháo có thể xem như một hàm của khối lượng bơ trong nó. Theo châm ngôn thì hàm này không giảm nếu thêm bơ vào. Nó có thể tăng lên hoặc có thể giữ nguyên như cũ. Một loại hàm tương tự như vậy được gọi là hàm đơn điệu không giảm. Hình 2.8 Như vậy, tăng - có nghĩa là vượt hơn lên. Không giảm - có nghĩa là hoặc vượt hơn lên hoặc không hơn lên, không kém đi. Tăng là trương hợp đặc biệt của không giảm. Thí dụ hàm hằng thuộc vào số các hàm số không giảm mặc dù nó không tăng lên ở bất kì bộ phận nào của miền xác định cả. Những liên hệ phụ thuộc theo chiều hướng ngược lại như: "Càng xa cha đỡ đầu, càng ít tội lỗi". Hàm này chỉ ra cách biên thiên của độ đo tội lỗi theo độ xa người cha đỡ đầu. Đây là một hàm đơn điệu giảm. b) Cực đại - Cực tiểu. Hình 2.9 Nhà nông thường nói: "Cấy dày không tốt bằng cấy thưa". Kinh nghiệm này chứng tỏ: Mùa màng chỉ tăng theo mật độ cấy đến một lúc nào đó, nếu quá đi thì nó sẽ giảm xuống vì khi mọc dày quá thì cây lúa sẽ lấn át nhau. Mức thu hoạch là cực đại khi ruộng được cấy vừa phải. Nó như là đỉnh núi, từ đó mọi con đường đều đi xuống thấp, bất kể bước về hướng nào. Tuy nhiên, nếu bước đi xa hơn thì ở đâu đó sự đi xuống sẽ thay đổi và đi lên. Ta nói, cực đại là giá trị lớn nhất của hàm số trong những điểm lân cận nào đó hay cực đại có tính chất địa phương. Trái ngược với cực đại có cực tiểu. Cực tiểu - xem như là đáy của thung lũng, từ đó mọi con đường đều đi lên cao, bất kể bước về hướng nào. Tuy nhiên, nếu bước đi xa hơn thì ở đâu đó sự tăng lên có thể sẽ thay đổi và đi xuống. Khi đó ta nói rằng cực tiểu có tính chất địa phương. Cực đại và cực tiểu được đặc trưng bởi tên gọi khái quát là "cực trị". Cũng như từ "trẻ em" có thể hiểu là em trai hoặc em gái. c) Tính lồi, lõm. * Viên đạn bắn ra từ nòng súng nghiêng một góc nào đó với mặt nằm ngang sau khi đạt độ cao cực đại, nó bắt đầu rơi xuống. Quĩ đạo bay của nó là một parabol lồi. * Độ tăng chiều cao của con người giảm đi theo thời gian, khi đến tuổi trưởng thành chiều cao con người không tăng nữa và khi về già chiều cao lại giảm xuống. Trái lại dân số trên Trái Đất tăng càng nhanh theo thời gian. Nếu biểu thị 2 sự kiện này lên đồ thị thì trong trường hợp thứ nhất ta được một đồ thị lồi, còn trường hợp thứ 2 là một đồ thị lõm. d) Chu kì của hàm tuần hoàn. * Câu nói: "Chu kì hoạt động tích cực của mặt trời" được khẳng định theo ngôn ngữ thông thường. Tuy nhiên chỉ có thể nói về sự xen kẽ của các hoạt động, nhưng không thể nói về tính tuần hoàn theo ý nghĩa chặt chẽ được. Vì nếu như mọi hiện tượng trên Mặt Trời được qui định bởi tính tuần hoàn chặt chẽ thì các cơ quan nghiên cứu Mặt Trời ở trên khắp thế giới này sẽ trở nên không cần thiết. * Còn câu nói "Tờ báo thường kì" có ý nghĩa chặt chẽ hơn các tờ báo ra hằng ngày, còn nếu cứ thứ 2 mới ra một số thì có thể nói về chu kì một tuần. Các tạp chí thì được phát hành 1 số/1 tháng. Tuy nhiên ở đây khái niệm về chu kì cũng chưa có ý nghĩa chặt chẽ tuyệt đối vì các bài báo không trùng nhau hoặc thời gian phát hành chưa hẳn đã chính xác tuyệt đối. e) Tính liên tục và gián đoạn của hàm số. Sự liên tục và gián đoạn là một trong những khái niệm quan trọng của Giải tích. Trước hết ta thấy rằng, hàm liên tục là hàm mà ta không phải nhấc bút lên khi vẽ đồ thị của nó. Còn hàm gián đoạn thì không vẽ được như vậy. * Trong thực tế, khi đi xem phim ở rạp chiếu bóng, người phụ trách ánh sáng quay từ từ cái cần biến trở, ánh sáng tờ mờ liên tục tắt dần rồi tắt hẳn. Nhưng khi ở nhà, lúc tắt bóng đèn thì trước một thời điểm nào đó độ sáng vẫn không giảm và đột nhiên tắt hẳn. Sự chuyển từ sáng tới tối như thế được mô tả bằng một hàm gián đoạn. * Thời gian có thuộc tính liên tục, nhưng khi phân chia thành giây, phút, giờ…thì lại là gián đoạn. * Đường thẳng là trường hợp điển hình cho sự liên tục. Nhưng các con số tự nhiên kết hợp với điểm trên đường thẳng là là gián đoan. * Chiếc xe chạy từ Vinh ra Hà Nội thì quảng đường đi được tăng liên tục theo thời gian. Bây giờ ta xét một ví dụ tổng quát: Khi ta đi trên đường dốc hoặc trông thấy những ngọn núi chẳng hạn ta có suy nghĩ gì về độ dốc của một mặt hay một đường cong? ở đây ta chỉ xét các đường, trên một đường cong trơn bất kì ta đánh dấu một điểm và tự hỏi: Độ dốc của đường cong tại điểm này là gì? Hình 2.10 Tại điểm đó ta dựng 2 đường thẳng: Tiếp tuyến và đường thẳng nằm ngang. Bây giờ đã có thể nói đến độ dốc dựa vào góc của 2 đường thẳng này. Nhưng cũng không cần phải biết số đo của góc mà ta sẽ dùng hệ số góc của tiếp tuyến - tức là đạo hàm. Và ta nói: độ dốc của đường cong tại điểm A bằng +2, tại điểm B là thì với một nhà toán học, không cần hình vẽ cũng hình dung được rằng là sự xuống dốc thoai thoải, còn +2 là sự lên dốc dựng đứng của đường cong nếu xét từ trái qua phải. Dấu dương của đạo hàm trong một khoảng là điều chứng tỏ sự tăng của hàm trong khoảng đó. Dấu âm chứng tỏ sự giảm. Đạo hàm đổi dấu tại điểm nào đó có nghĩa là tại điểm đó các phần tăng và giảm kề nhau. Đó là điểm cực trị - cực đại hoặc cực tiểu. Nếu giảm được thay thế bởi tăng - cực tiểu. Còn tăng được thay thế bởi giảm - cực đại. Nhưng tăng có thể từ đang tăng nhanh rồi chậm đi và đến một lúc nào đó được thay thế bởi giảm. Hoặc ngược lại, giảm cũng có thể từ giảm mạnh rồi chậm đi và đến một lúc nào đó được thay thế bởi tăng. Toán học đặc trưng những đặc điểm như vậy bằng các từ "lồi" và "lõm". Với đường cong lồi, từ trái sang phải ta thấy độ dốc của đường cong giảm, tức là đạo hàm giảm, mà sự giảm là đạo hàm âm. Nên sự giảm của đạo hàm là đạo hàm của đạo hàm âm, tức là đạo hàm bậc 2 âm. Điều này đã phản ánh một định lí trong [26, tr. 67]. Những điểm tại đó lồi được thay bằng lõm hoặc ngược lại là những điểm uốn. Tiếp tuyến tại đó sẽ cắt đường cong. Điểm cực đại đó là đỉnh của đường cong lồi, tính lồi lại ứng với dấu âm của đạo hàm bậc 2. Điều này chứng tỏ đạo hàm bậc 2 âm là tiêu chuẩn cho cực đại. Cũng như vậy, đạo hàm bậc nhất bằng 0 kết hợp với giá trị dương của đạo hàm bậc 2 là tiêu chuẩn cho cực tiểu. Điều này đã phản ánh một định lí trong [26, tr. 58]. 2.2.1.4. Chủ đề Vi phân và Tích phân - Phép vi phân liên quan đến vấn đề đặt ra về vận tốc biến thiên của một hàm bất kì khi đối thay đổi, lúc đó vận tốc này là biến thiên và việc xác định nó đòi hỏi chính xác với mọi giá trị bất kì của đối. Tuy nhiên nó không chỉ có ích trong việc xác định vận tốc tức thời của chuyển động: * Điện tích của bộ nguồn mắc vào một mạch điện giảm đi theo thời gian. Vận tốc giảm là dòng điện. Dòng này có thể khác nhau ở những thời điểm khác nhau và vì thế phải được tính như là đạo hàm của điện tích theo thời gian. * Nhiệt lượng trong một vật đang nung nóng tăng lên khi nhiệt độ tăng. Cường độ tăng là nhiệt dung - nó là riêng cho mỗi nhiệt độ. ở đây không thể tính toán nếu không có phép vi phân - nhiệt dung là đạo hàm của nhiệt lượng theo nhiệt độ. * Cũng không được quên rằng phép tính vi phân là phương tiện để vẽ tiếp tuyến với một đường cong. Hệ số góc của tiếp tuyến là đạo hàm của hàm mà đồ thị là đường cong; đạo hàm được lấy với giá trị của đối ứng với tiếp điểm. Nắm được điều này, khi dạy công thức (sinx)' = cosx có thể phát biểu bằng ngôn ngữ đồ thị: hệ số góc của tiếp tuyến với đường sin tại mỗi điểm sẽ bằng chiều cao của đường cosin tại điểm ấy. - Phép tính tích phân là phép toán ngược với phép vi phân và liên quan đến vấn đề tính quảng đường đã đi theo một đồ thị khi biết sự phụ thuộc giữa vận tốc và thời gian mà vận tốc lại có sự thay đổi khá lớn trong thời gian chuyển động: đường đi của vật từ một thời điểm cho trước đến một thời điểm khác là tích phân xác định của vận tốc theo thời gian lấy từ thời điểm ban đầu (được gọi là cận dưới của tích phân) đến thời điểm cuối (cận trên của tích phân). Ngoài ra: * Phép tích phân cho phép xác định sự phụ thuộc của điện tích vào thời gian nếu đã biết giá trị của dòng tại mỗi thời điểm. * Xác định độ tăng nhiệt lượng của một vật theo nhiệt độ khi biết nhiệt dung của nó tại mỗi nhiệt độ. Nói gọn hơn, phép tính tích phân cho phép tính tổng của một biến thiên biến đổi. Ta không quên rằng, tích phân còn là phương tiện để tính diện tích: Diện tích phần ở dưới đường cong là tích phân xác định của hàm mà đồ thị là đường cong trong khoảng mà hàm đã được cho. - Công thức Newton - Leibniz. Khi đi xe máy trên đường, đồng hồ báo cây số có thể là một dòng số tuỳ ý và đường đi không phụ thuộc vào số này. Muốn xác định quảng đường đi, phải lấy số chỉ ở máy đếm lúc đến đích trừ đi số lúc khởi hành. Hoặc khi đến của hàng mua một vật gì đó, người bán hàng sẽ xác định trọng lượng bằng cách lấy hiệu của trọng lượng toàn bộ và vật đựng nó. Còn trong vật lí ta gặp "hiệu điện thế". Dòng trong mạch điện được xác định bởi nó chứ tuyệt nhiên không phải là giá trị tuyệt đối của điện thế ở đầu này hay đầu kia của mạch. Mọi việc sẽ xảy ra y như vậy khi tính toán đường đi theo vận tốc. Đường đi là nguyên hàm của vận tốc. Nó có thể được tính từ một điểm gốc bất kì. Nhưng số gia của đường đi từ một thời điểm này đến một thời điểm khác bao giờ cũng bằng cùng một số là tích phân xác định của vận tốc lấy từ một trong các thời điểm đã chọn cho đến thời điểm kia. Và đây là một nguyên tắc chung: Tích phân xác định của một hàm nào đó với các cận đã cho là hiệu giữa các giá trị của một nguyên hàm tại cận trên và cận dưới. Vấn đề này bao hàm một công thức quan trọng để tính tích phân xác định - công thức Newton - Leipnit. Tóm lại: Các lí thuyết Toán học nói chung và Giải tích nói riêng ra đời và phát triển xuất phát từ nhu cầu thực tiễn. Do vậy, chúng sẽ phản ánh lại thực tiễn, giải thích và phục vụ thực tiễn. Bảng phản ánh thực tiễn của một số khái niệm trong Giải tích Khái niệm trong môn Giải tích Sự phản ánh trong thực tiễn Dãy số - Dãy các vết đạn trên bia ở trường bắn. Giới hạn - Xe mô tô chạy trong thành phố với vân tốc giới hạn là 40km/h. - Chiều cao của con người là có giới hạn. - Độ nóng của nước có giới hạn (1000C) dù thời gian nấu có lâu bao nhiêu đi nữa. Hàm số gián đoạn và liên tục - Thời gian có thuộc tính liên tục, nhưng khi phân chia thành giây, phút, giờ…thì lại là gián đoạn. - Đường thẳng là trường hợp điển hình cho sự liên tục. Nhưng các con số tự nhiên kết hợp với điểm trên đường thẳng lại là gián đoan. - Chiếc xe chạy từ Vinh ra Hà Nội thì quảng đường đi được tăng liên tục theo thời gian. Đạo hàm - Bài toán tìm vận tốc tức thời của chuyển động thẳng không đều. - Tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm. Tích phân - Bài toán tìm diện tích của một hình thang cong. 2.2.2. Vấn đề ứng dụng của Giải tích vào thực tiễn Việc ứng dụng Toán học đã và đang được nhiều nhà khoa học giáo dục quan tâm. Theo PGS. TS. Ngô Hữu Dũng: ứng dụng Toán học vào thực tế là một trong những năng lực toán học cơ bản, cần phải rèn luyện cho học sinh [9, tr. 13 - 16]. Trong [27, tr. 54], một trong 5 yếu tố dạy học hiệu quả môn Giải tích được đưa ra là: "Quan tâm đúng mức tới tính thực tiễn của môn Giải tích. Đặc biệt chú ý đến tính ứng dụng của môn Giải tích: ứng dụng vào giải quyết các bài toán trong thực tế và trong các môn học khác". 2.2.2.1. Vấn đề ứng dụng Giải tích trong nội bộ môn Toán "Bản thân môn Toán không phải là tập hợp các dữ kiện tách rời nhau, hay là một thế giới "trừu tượng" tách biệt với đời sống và các khoa học khác mà trái lại, nó có tính liên hệ nội tại cao; có nguồn gốc từ thực tiễn" [27, tr. 59]. Tăng cường hơn nữa các ứng dụng của Giải tích trong nội bộ môn Toán nhằm giúp học sinh nắm vững các tri thức, kĩ năng, phương pháp và tạo tiền đề cho các ứng dụng ngoài Toán học. Đồng thời làm rõ tính nhiều tầng của mối liên hệ. Nhờ đó học sinh nắm được mạch tri thức Toán, "tránh tình trạng thấy cây mà không thấy rừng" [19, tr. 52]. Muốn vậy, trong dạy học giáo viên nên chú ý đến các ứng dụng của Giải tích trong các phân môn khác của Toán học. Rất nhiều bài toán được giải quyết hiệu quả hơn nhờ công cụ Giải tích. Chẳng hạn, việc nghiên cứu phương trình, bất phương trình ta quy về nghiên cứu hàm số: Bài toán tìm m sao cho đồ thị (C) của hàm số y = f(x) cắt đồ thị (C') của hàm số y = g(x) tại n điểm có hoành độ thỏa mãn tính chất được ứng dụng để giải quyết bài toán tìm m sao cho phương trình f(x) = g(x) có n nghiệm thỏa mãn điều kiện ; tính liên tục được ứng dụng để chứng minh phương trình có nghiệm, chứng minh bất đẳng thức; tính đơn điệu của hàm số (đạo hàm) được ứng dụng để giải phương trình, bất phương trình và chứng minh bất đẳng thức; bài toán tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng Oxy thỏa mãn tính chất cũng được giải quyết dễ dàng nhờ hàm số… 1) Chủ đề Giới hạn. Các kiến thức về giới hạn là rất trừu tượng và khó hiểu đối với học sinh nhưng lại là cơ sở đối với kiến thức về hai phép tính cơ bản của Giải tích: phép tính Đạo hàm và phép tính Tích phân. Vì vậy để nâng cao hiệu quả dạy học, theo chúng tôi giáo viên cần quan tâm làm rõ các ứng dụng của giới hạn trong môn Toán. 1.1) Sử dụng Giới hạn để chứng minh phương trình có nghiệm. Vấn đề này đã đề cập trong SGK, tuy nhiên số lượng bài tập đang rất hạn chế. Giáo viên có thể đưa vào các ví dụ sau: Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình: a) có ít nhất hai nghiệm thực phân biệt. b) có nghiệm với a, b, c tùy ý. Phương pháp giải: a) Xét hàm số là hàm số liên tục trên . Ta có: , Do đó tìm được d < 0 với khá lớn sao cho . Vì hàm số liên tục trên nên liên tục trên . Hơn nữa nên sao cho , nghĩa là phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trên khoảng . Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được phương trình đã cho có nhất 1 nghiêm trên . Vậy phương trình đã cho có ít nhất 2 nghiệm phân biệt. b) Xét hàm số: Ta có: là hàm số liên tục trên . . Suy ra = = Nếu = 0 thì một trong bốn số 0, a, b, c là nghiệm của phương trình. Nếu < 0 thì ít nhất có một cặp số trái dấu, do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm thực. Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình tanx = x có vô số nghiệm. Phương pháp giải: Xét hàm số trên khoảng . Hiển nhiên trên khoảng này f(x) là hàm liên tục. Ta có: , . Suy ra, sao cho f() < 0 và sao cho và . Do đó, tồn tại xn để f(xn) = 0 hay tanxn = xn. Vì vậy, trên mỗi khoảng , phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm. Cho k thay đổi trên , phương trình đã cho có vô số nghiệm. Ví dụ 3: Chứng minh rằng: a) Một đa thức bậc lẻ thì có ít nhất một nghiệm thực. b) Một đa thức bậc chẵn có ít nhất 2 nghiệm thực, nếu nó nhận ít nhất một giá trị trái dấu với hệ số của số hạng cao nhất của đa thức. Phương pháp giải: a) Giả sử: , là một đa thức bậc lẻ nào đó. Ta có: Suy ra, để và , để . Nên sao cho . Vậy đa thức có ít nhất một nghiệm thực. b) Giả sử ,, là một đa thức bậc chẵn nào đó và . Ta có: Suy ra, để và để . Do đó để và để hay đa thức có ít nhất hai nghiệm thực. 1.2) ứng dụng giới hạn để tìm đạo hàm: mặc dù Đạo hàm được định nghĩa thông qua giới hạn nhưng có một thực trạng là học sinh chỉ biết tìm đạo hàm bằng công thức, thậm chí tính rất nhanh nhưng lại không tìm được đạo hàm của một hàm số bằng định nghĩa. Do đó, theo chúng tôi giáo viên phải thực sự quan tâm đến ứng dụng này. Một mặt vừa rèn luyện được một kĩ năng giải toán, mặt khác nhằm củng cố, khắc sâu định nghĩa Đạo hàm và phương pháp tìm giới hạn. Vấn đề này theo [26], để tính đạo hàm y'(x0) cần thực hiện 3 bước sau: Bước 1: Cho x0 số gia và tính =f(x0 + ) - f(x0) Bước 2: Lập tỉ số Bước 3: Tìm giới hạn Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số sau tại x = 0 (Đề thi tuyển sinh vào ĐHQG Hà Nội, Khối A, 1999) Phương pháp giải: Cho số gia đối số tại x = 0. Số gia hàm số là: = = . Nên: . Do đó: Vậy 1.3) Giải quyết một số bài toán về bất đẳng thức. Ví du 1: Chứng minh bất đẳng thức sau và hãy chứng tỏ rằng không thể thay hằng số ở vế phải bằng một số nhỏ hơn. , (1) Phương pháp giải: Ta có: , Đặt . Gọi là một số lớn hơn sao cho: un > (*). Vì , nên với số tìm được số n0 sao cho ta đều có: (mâu thuẫn với (*)). Vậy, trong bất đẳng thức (1) không thể thay số bằng bất kì số nào lớn hơn . Ví dụ 2: Chứng minh rằng trong mọi ABC không phải là tam giác tù ta đều có: (Đề thi tuyển sinh vào ĐHSP Hà Nội 2, Khối A, 19