Đề tài Sự hội tụ của kỳ vọng có điều kiện và martingale trong đại số von Neumann

Mục lục Trang Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1. Kỳ vọng có điều kiện và Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 - 13 1.1. Kỳ vọng có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Các đặc trưng của kỳ vọng có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Thời điểm dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 2. Sự hội tụ hầu đều trong đại số von Neumann . . . . . . . . . 14 - 30 2.1. Đại số von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2. Dạng khác của hội tụ hầu chắc chắn trong đại số von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3. Một dạng không giao hoán của Định lý Egoroff . . . . . . . 27 3. Sự hội tụ của kỳ vọng có điều kiện và martingale trong đại số von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 - 62 3.1. Kỳ vọng có điều kiện trong đại số von Neumann . . . . . . 31 3.2. Sự hội tụ hầu đều của kỳ vọng có điều kiện và martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Tài liệu tham khảo. Hệ thống ký hiệu (Ω,F ,P) Không gian xác suất đầy đủ. G σ−đại số con của F. (Fn, n ∈ N) Dãy không giảm các σ - đại số con của F. (ξn, n ∈ N) Dãy các biến ngẫu nhiên tương thích với (Fn, n ∈ N). Lp Tập tất cả các biến ngẫu nhiên khả tích cấp p, 1 6 p 6∞. E(ξ) = ∫ Ω ξ(ω)dP Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên ξ. EG(ξ) = E(ξ|G) Kỳ vọng có điều kiện của ξ biết G. τ ∈ T Thời điểm dừng bị chặn. H Không gian Hilbert. B(H) Tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn trên H. C∗ C∗ - đại số. A Đại số von Neumann A. A′ Hoán tập của A. ProjA Tập tất cả các phép chiếu trực giao trong A. A∞ = W ∗{An;n > 1} Đại số von Neumann sinh bởi (An). φ Trạng thái trên A. Mở Đầu Lý thuyết xác suất và thống kê là một bộ phận của toán học, nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên và ứng dụng chúng vào thực tế. Các khái niệm đầu tiên của xác suất do các nhà toán học tên tuổi Pierre Fermat (1601 - 1665) và Bailes Pascal (1623 - 1662) xây dựng từ thế kỷ thứ 17 dựa trên việc nghiên cứu các quy luật trong trò chơi may rủi. Sau gần 3 thế kỷ phát triển, lý thuyết xác suất đã được A.N. Kolmogorov tiên đề hoá. Có thể nói, cuốn sách "Các cơ sở của lý thuyết xác suất" do ông xuất bản lần đầu tiên bằng tiếng Đức, năm 1933 được coi là bằng chứng khai sinh ra xác suất hiện đại. Dựa trên nền tảng đó, nhiều hướng nghiên cứu chuyên sâu của xác suất đã ra đời, trong đó có lý thuyết về kỳ vọng có điều kiện và martingale. Đề tài luận văn của tôi: "Sự hội tụ của kỳ vọng có điều kiện và martingale trong đại số von Neumann" là một phần nhỏ thuộc hướng nghiên cứu đó. Để có thể hiểu và nắm bắt được một số kết quả của đề tài, tôi xây dựng luận văn theo 3 chương như sau: Chương 1: Kỳ vọng có điều kiện và martingale. Chương 2: Sự hội tụ hầu đều trong đại số von Neumann. Chương 3: Sự hội tụ của kỳ vọng có điều kiện và martingale trong đại số von Neumann. Hai chương đầu là nền tảng, trong đó một số đặc trưng của kỳ vọng có điều kiện trong không gian Lp và các dạng hội tụ trong đại số von Neumann được coi là quan trọng nhất. Nội dung chính của luận văn nằm trong Chương 3. ở đó, các Định lý 3.2.9 ; 3.2.11 và Định lý 3.2.16 về sự hội tụ hầu đều của kỳ vọng có điều kiện trong đại số von 1 Neumann là đáng chú ý nhất. Hoàn thành được luận văn trên, trước tiên tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Phan Viết Thư, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo cho tôi trong suốt quá trình tôi thực hiện luận văn. Tôi cũng muốn được gửi lời cảm ơn đến các thầy cô thuộc Khoa Toán - Cơ - Tin học, Bộ môn Xác suất thống kê, Phòng Đào tạo, Phòng Sau đại học trường ĐHKHTN - ĐHQGHN và các thầy bên Viện Toán học đã giảng dạy, rèn luyện tôi trong suốt thời gian tôi học tập tại trường, cũng như tất cả các bạn lớp cao học khóa 2007 - 2009 đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành bản luận văn này. Luận văn cũng là món quà nhỏ của tôi dành kính tặng bố mẹ, vợ con và những người thân trong gia đình đã dành những tình cảm yêu thương nhất cho tôi. Cuối cùng, do khả năng và thời gian có hạn nên luận văn không thể tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự hướng dẫn, chỉ bảo của các thầy cô, sự hợp tác của các bạn để tôi có thể hoàn thiện hơn. Hà Nội, ngày 10 tháng 12 năm 2009. Học viên: Đinh Thanh Tuấn. 2 Chương 1. kỳ vọng có điều kiện và martingale 1.1 Kỳ vọng có điều kiện Kỳ vọng có điều kiện là một công cụ cơ bản và hữu hiệu của lý thuyết xác suất. Vì vậy, trong phần này tôi xin trình bày vắn tắt các tính chất của toán tử kỳ vọng có điều kiện. Trước hết, ta có định nghĩa sau: 1.1.1. Định nghĩa. Cho (Ω,F ,P) là không gian xác suất đầy đủ, G là σ− đại số con của F và ξ ∈ L1. Ta gọi biến ngẫu nhiên, ký hiệu là E(ξ|G) hay EG(ξ) là kỳ vọng có điều kiện của ξ với G đã cho, nếu nó thoả mãn: i) E(ξ|G) là G− đo được và E(ξ|G) ∈ L1. ii) Với mọi A ∈ G, ta có: ∫ A E(ξ|G)dP = ∫ A ξdP. Chú ý: 1) Nếu ξ = 1A, A ∈ F thì P(A|G) := E(1A|G) được gọi là xác suất có điều kiện của biến cố A với điều kiện σ− đại số G đã cho. 2) Nếu η là biến ngẫu nhiên đã cho và G = σ(η) là σ− đại số sinh bởi η thì E(ξ|η) := E(ξ|G) được gọi là kỳ vọng có điều kiện của ξ biết η. 1.1.2. Ví dụ. Cho (Ω,F ,P) là không gian xác suất, (Bi)i∈K,K ⊂ N là một phân hoạch nào đó của Ω, G = σ{(Bi)i∈K} và ξ ∈ L1. Khi đó: EG(ξ) = ∑ k∈K EBk(ξ)1Bk với EBk(ξ) = 1 P(Bk) ∫ Bk ξdP, k ∈ K. 3 1.1.3. Các tính chất cơ bản của kỳ vọng có điều kiện . Trong suốt mục này ta luôn giả thiết (Ω,F ,P) là không gian xác suất đầy đủ cố định, các biến ngẫu nhiên đều khả tích và G ⊂ F là σ− đại số con nào đó của F . Khi đó, kỳ vọng điều kiện có các tính chất sau: 1. Nếu c là hằng số thì E(c|G) = c (h.c.c). 2. Nếu ξ > η(h.c.c) thì E(ξ|G) > E(η|G) (h.c.c). 3. Nếu a, b là hằng số ; ξ, η là các biến ngẫu nhiên thì: E(aξ + bη|G) = aE(ξ|G) + bE(η|G) (h.c.c). 4. E(ξ|{φ,Ω}) = E(ξ) (h.c.c). 5. E(ξ|F) = ξ (h.c.c). 6. E ( E(ξ|G)) = E(ξ) (h.c.c). 7. Tính tương thích: Nếu G1,G2 là các σ− đại số con của F và G1 ⊂ G2 thì: E ( E(ξ|G2)|G1 ) = E(ξ|G1) = E ( E(ξ|G1)|G2 ) (h.c.c). 8. Tính không giãn:∣∣E(ξ|G)∣∣ 6 E(|ξ|∣∣G) (h.c.c) và ∣∣∣∣E(ξ|G)∣∣∣∣ 1 6 ||ξ||1. 9. Nếu ξ và G độc lập thì E(ξ|G) = E(ξ) (h.c.c). 10. Nếu η là G− đo được, E(|η|) <∞ và E(|ξη|) <∞ thì: E(ξη|G) = ηE(ξ|G) (h.c.c). Đối với kỳ vọng có điều kiện, ngoài những tính chất trên còn có một số tính chất quan trọng sau đây: Nhóm tính chất chuyển qua giới hạn: 11. Định lý hội tụ đơn điệu Levy: a) Nếu ξn ↑ ξ (h.c.c) và tồn tại n ∈ N sao cho E(ξ−n ) <∞ thì: E(ξn|G) ↑ E(ξ|G) (h.c.c). b) Nếu ξn ↓ ξ (h.c.c) và tồn tại n ∈ N sao cho E(ξ+n ) <∞ thì: E(ξn|G) ↓ E(ξ|G) (h.c.c). 12. Bổ đề Fatou: Giả sử η là biến ngẫu nhiên khả tích, khi đó: 4 a) Nếu ξn 6 η (h.c.c) thì E(lim ξn|G) 6 limE(ξn|G) (h.c.c). b) Nếu ξn > η (h.c.c) thì E(lim ξn|G) > limE(ξn|G) (h.c.c). 13. Định lý bị chặn Lebesgue: Giả sử η khả tích, |ξn| 6 η (h.c.c) và ξn h.c.c−−→ ξ, n ∈ N. Khi đó: E(lim n ξn|G) = lim n E(ξn|G) (h.c.c). 14. Bất đẳng thức Jensen: Giả sử ϕ : I → R là hàm lồi dưới, I ⊂ R và ξ là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong I. Khi đó, nếu ξ và ϕ(ξ) khả tích thì: ϕ ( E(ξ|G)) 6 E(ϕ(ξ)|G). Vì khuôn khổ có hạn của luận văn, cũng như các chứng minh chi tiết có thể tìm được trong [1] , [9] nên tôi xin phép được bỏ qua các giải thích cụ thể mà bước ngay sang phần quan trọng sau. 1.2 Các đặc trưng của kỳ vọng có điều kiện Trước tiên, ta sẽ nghiên cứu nó trên không gian L2. Trong không gian L2, ta có thể định nghĩa một tích vô hướng như sau: = ∫ Ω ξ.ηdP = E(ξ.η) ξ, η ∈ L2 Rõ ràng, tích vô hướng này xác định trên L2 chuẩn ||.||2 đã có: ||ξ||2 = ( ) 1 2 = (∫ Ω |ξ|2dP ) 1 2 . Vì ( L2, ||.||2 ) là không gian Banach nên ( L2, ) là không gian Hilbert. Từ kết quả thuộc về giải tích hàm ta thu được khẳng định sau đây: 1.2.1. Định lý. Nếu M là một không gian véc tơ con đóng của không gian Hilbert L2 thì mỗi phần tử ξ của L2 được biểu diễn duy nhất dưới dạng : ξ = η+ζ, trong đó η ∈ M ; ζ ∈ M⊥ với M⊥ = {H ∈ L2 := 0,M ∈ M}. 5 Từ nay về sau, ta gọi η là hình chiếu trực giao của ξ trên không gian M. 1.2.2. Bổ đề. Kỳ vọng điều kiện EG(.), hạn chế trên L2 là phép chiếu vuông góc từ không gian Hilbert L2 xuống không gian véc tơ con đóng L2(G) của nó, trong đó: L2(G) = { ξ ∈ L2 : ξ là G- đo được } . Chứng minh. Dễ thấy, L2(G) là không gian vectơ con đóng của không gian L2. Khi đó, nếu ξ ∈ L2 thì theo Định lý trên ta có ξ = η + ζ, η ∈ L2(G) và ζ ∈ L⊥2 (G). Với B ∈ G ta thấy 1B ∈ L2(G) nên:∫ Ω 1BζdP == 0, hay ∫ B ζdP = 0, suy ra ∫ B ξdP = ∫ B (η + ζ)dP = ∫ B ηdP, B ∈ G. Do đó, theo định nghĩa của E(.|G) ta có : η = E(ξ|G). Vậy EG(.) thu hẹp trên L2 là phép chiếu trực giao từ không gian L2 lên không gian L2(G), nghĩa là, nếu ξ ∈ L2 và η ∈ L2(G) thì: E(ξ|G) ∈ L2(G), và: ∫ Ω EG(ξ)ηdP = ∫ Ω ξηdP. 1.2.3. Định lý. Để toán tử tuyến tính T : L2 → L2 là toán tử kỳ vọng điều kiện, điều kiện cần và đủ là: T là phép chiếu trực giao, không âm và bất biến đối với hàm hằng. 6 Chứng minh. (⇒) Cho T : L2 → L2 là toán tử tuyến tính. Giả sử nó cũng là kỳ vọng điều kiện E(.|G) với G là σ− đại số con của F. Lúc đó, theo Bổ đề 1.2.2 thì T phải là phép chiếu trực giao từ L2 lên L2(G), hơn nữa theo Tính chất 1.1.3 thì T phải là toán tử không âm và bảo toàn hằng số. (⇐) Để chứng minh điều kiện đủ của định lý, ta đặt: M = {ξ ∈ L2 : Tξ = ξ}. Từ những giả thiết về T , dễ dàng kiểm tra được rằng M thỏa mãn các giả thiết của Hệ quả I.1.2- [6], tức là, tồn tại σ− đại số con G của F sao cho M = L2(G). Vậy T có hai tính chất cơ bản: 1) T (ξ) ∈ L2(G), ξ ∈ L2. 2) ∫ Ω T (ξ)ηdP = ∫ Ω ξηdP, với ξ ∈ L2, η ∈ L2(G). Đặc biệt với η = 1A, A ∈ G thì 1A ∈ L2(G), nên từ đẳng thức trên, ta có:∫ A T (ξ)dP = ∫ Ω T (ξ)1AdP = ∫ Ω ξ1AdP = ∫ A ξdP, và như vậy thì T (ξ) = E(ξ|G). Định lý được chứng minh. Sau đây, ta sẽ nghiên cứu kỳ vọng có điều kiện trên không gian Lp 1.2.4. Định lý. Cho trước một số p > 1. Khi đó toán tử tuyến tính liên tục T từ Lp vào Lp là toán tử kỳ vọng có điều kiện (tức là T = E(.|G)) với G là σ− đại số con nào đó của F khi và chỉ khi T thoả mãn hai tính chất sau: i) ∫ Ω TξdP = ∫ Ω ξdP, ξ ∈ Lp. 7 ii) T (ξ.Tη) = Tξ.Tη với ξ ∈ Lp, η ∈ L∞. Chứng minh. Điều kiện cần suy ngay ra từ định nghĩa và tính chất kỳ vọng có điều kiện. Để chứng minh điều kiện đủ ta tiến hành theo hai bước sau: Bước 1: Ta chứng minh T (L∞) ⊂ L∞. Thật vậy, với ξ ∈ L∞, ta lập dãy (ξn, n ∈ N) trong Lp như sau: ξ1 = ξ; ξn+1 = ξ.T (ξn) với n > 1. Rõ ràng ξn ∈ Lp. Với n > 1 thì theo (ii) ta có: Tξn+1 = T (ξ.T (ξn)) = Tξ.T (ξn). Lại tiếp tục biểu diễn ξn như vậy, cuối cùng ta sẽ được Tξn = (Tξ)n. Vì (Tξ)n ∈ Lp với mọi n, nên suy ra Tξ ∈ Ls với mọi s <∞. Hơn nữa, do Tξn+1 = T (ξ.T ξn) và T liên tục nên:∥∥∥Tξn+1∥∥∥ p 6 ∥∥∥T∥∥∥.∥∥∥ξ.T ξn∥∥∥ p 6 ∥∥∥T∥∥∥.∥∥∥ξ∥∥∥ ∞ . ∥∥∥Tξn∥∥∥ p . Vì: ∥∥∥Tξ∥∥∥ p 6 ∥∥∥T∥∥∥.∥∥∥ξ∥∥∥ p 6 ∥∥∥T∥∥∥.∥∥∥ξ∥∥∥ ∞ , nên: ∥∥∥(Tξ)n∥∥∥ p = ∥∥∥Tξn∥∥∥ p 6 (∥∥∥T∥∥∥.∥∥∥ξ∥∥∥ ∞ )n . Nhưng: ∥∥∥(Tξ)n∥∥∥ p = ∥∥∥Tξ∥∥∥n np nên ∥∥∥Tξ∥∥∥n np 6 (∥∥∥T∥∥∥.∥∥∥ξ∥∥∥ ∞ )n , suy ra: ∥∥∥Tξ∥∥∥ np 6 ∥∥∥T∥∥∥.∥∥∥ξ∥∥∥ ∞ , với n > 1. Vì ta có Tξ ∈ ⋂ s<∞ Ls và họ chuẩn ∥∥∥Tξ∥∥∥ s s→∞−−−→ ∥∥∥Tξ∥∥∞, suy ra, nếu ξ ∈ L∞ 8 thì Tξ ∈ L∞ và ∥∥∥Tξ∥∥∥ ∞ 6 ∥∥∥T∥∥∥.∥∥∥ξ∥∥∥ ∞ . Vậy ta đã chứng minh được T (L∞) ⊂ L∞. Bước 2: Xét đại số Λ = { ζ : ζ ∈ L∞, T (ξζ) = T (ξ).ζ ∀ξ ∈ Lp } , theo Mệnh đề I.1.5 - [6] thì Λ là đại số con của L∞ chứa giá trị hằng, suy ra Λ trong Lp sẽ có dạng Lp(G) với G là σ− đại số con đầy đủ nào đó của F . Lúc đó, nếu ζ ∈ Lp(G) thì tồn tại dãy con (ζn, n ∈ N) của Λ hội tụ trong Lp đến ζ. Vì T là toán tử liên tục từ Lp vào Lp nên ta có: T (ξ)ζn Lp−→ T (ξ)ζ, n ∈ N, ξ ∈ Lp, T (ξζn) Lp−→ T (ξζ), n ∈ N, ξ ∈ Lp Nhưng vì từng ζn ∈ Λ, nên ta cũng có: T (ξ)ζn = T (ξζn), n ∈ N. Điều này cho ta: T (ξ)ζ = T (ξζ), ξ ∈ Lp, ζ ∈ Lp. Do đó theo (i) thì:∫ Ω ξζdP = ∫ Ω T (ξζ) = ∫ Ω T (ξ)ζdP. Vậy với mọi A ∈ G cố định, lấy ζ = 1A ta nhận được∫ A ξdP = ∫ A T (ξ)dP. Cuối cùng để chứng minh T là toán tử kỳ vọng có điều kiện E(.|G) ta chỉ cần phải chứng minh rằng T (ξ) ∈ Lp(G), ξ ∈ Lp. Thật vậy, theo bước 1 và (ii) ta có : T (η) ∈ Λ ⊂ Lp(G), η ∈ L∞. Mặt khác nếu ξ ∈ Lp thì luôn tồn tại dãy biến ngẫu nhiên đơn giản (ηn, n ∈ N) của L∞ sao cho ηn Lp−→ ξ. Khẳng định này cùng với tính liên tục của T trong Lp kéo theo T (ηn) Lp−→ T (ξ), n ∈ N. Lưu ý rằng T (ηn) ∈ Λ nên T (ξ) ∈ Λ = Lp(G). Định lý được chứng minh. 9 1.3 Thời điểm dừng Ngoài kỳ vọng có điều kiện, thời điểm dừng cũng được xem như là một công cụ mạnh khác để nghiên cứu martingale. Công cụ này được hiểu một cách đơn giản như sau: Giả sử (ξn, n ∈ N) là dãy thu nhập của một người chơi nào đó trong trò chơi ngẫu nhiên hai người và Fn là σ− đại số các "thông tin" mà người chơi biết được cho tới ván thứ n, n ∈ N. Rõ ràng (Fn, n ∈ N) là dãy tăng và (ξn, n ∈ N) là dãy các biến ngẫu nhiên tương thích với (Fn, n ∈ N), nghĩa là từng ξn là Fn - đo được. Dựa vào dãy (Fn, n ∈ N), người chơi đưa ra một chiến lược hoặc chơi tiếp hoặc dừng lại. Thời điểm dừng được định nghĩa dưới đây chính là mô hình ngẫu nhiên của các chiến lược nói trên. 1.3.1. Định nghĩa. Biến ngẫu nhiên τ : Ω → N gọi là thời điểm dừng đối với họ không giảm các σ− đại số con (Fn, n ∈ N) của F, nếu: {ω : τ (ω) = n} = {τ = n} ∈ Fn, n ∈ N. Hơn nữa, nếu tồn tại k ∈ N sao cho P(τ < k) = 1 thì τ gọi là thời điểm dừng bị chặn. Để cho tiện, từ nay về sau ta ký hiệu tập tất cả các thời điểm dừng bị chặn là T. Hơn thế, ta định nghĩa thứ tự: τ 6 σ nếu và chỉ nếu τ 6 σ(h.c.c). Lúc đó, (T,6) là một tập định hướng và N có thể coi là tập con của T. 1.3.2. Nhận xét. 10 i) Với τ ∈ T, ta định nghĩa Fτ = { A ∈ F : A ∩ {τ = n} ∈ Fn, n ∈ N } . Lúc đó Fτ là σ− đại số, hơn thế, nếu τ, σ ∈ T thoả mãn σ 6 τ (h.c.c) thì Fσ ⊂ Fτ . ii) E(ξ|Fτ ) = ∑ n∈N E(ξ|Fn) với ξ ∈ L1, τ ∈ T. 1.4 Martingale 1.4.1. Định nghĩa (dãy tương thích). Dãy các biến ngẫu nhiên (ξn, n ∈ N) được gọi là tương thích (thích nghi) với họ các σ− đại số F1 ⊂ F2 ⊂ .... ⊂ Fn ⊂ F, nếu ξn là Fn - đo được với mọi n ∈ N, tức là: ξn ∈ L0(Fn) với mọi n ∈ N. Từ đây trở đi, nếu ta không giả thiết gì thêm thì (Fn, n ∈ N) luôn được hiểu là một dãy không giảm các σ - đại số con đầy đủ của F ,Fn ↑ F và (ξn, n ∈ N) là dãy các biến ngẫu nhiên khả tích, tương thích với (Fn, n ∈ N). Từ giả thiết này và Nhận xét 1.3.2, ta thấy mỗi dãy (ξn, n ∈ N) cảm sinh ra một dãy (suy rộng) các biến ngẫu nhiên khả tích (ξτ , τ ∈ T) tương thích với dãy không giảm các σ - đại số con (Fτ , τ ∈ T) của F, nghĩa là, từng ξτ là Fτ - đo được. Ta có định nghĩa sau: 1.4.2. Định nghĩa. Giả sử (Ω,F ,P) là không gian xác suất. Khi đó, dãy (ξn, n ∈ N) được gọi là: a) martingale, nếu: Với mọi m 6 n thì E(ξn|Fm) = ξm. P − h.c.c b) martingale trên, nếu: Với mọi m 6 n thì E(ξn|Fm) 6 ξm P− h.c.c. c) martingale dưới, nếu: Với mọi m 6 n thì E(ξn|Fm) > ξm P− h.c.c. 11 Kết quả sau đây rất giản đơn nhưng cực kỳ quan trọng: 1.4.3. Mệnh đề. Ta có các khẳng định dưới đây: α) Dãy (ξn, n ∈ N) là martingale trên khi và chỉ khi dãy các số ( E(ξτ ), τ ∈ T ) là dãy không tăng. β) Dãy (ξn, n ∈ N) là martingale dưới khi và chỉ khi dãy các số ( E(ξτ ), τ ∈ T ) là dãy không giảm. γ) Dãy (ξn, n ∈ N) là martingale khi và chỉ khi tất cả các phần tử của dãy ( E(ξτ ), τ ∈ T ) đều bằng một hằng số cố định (nào đó). 1.4.4. Ví dụ. (1). Giả sử ξ là biến ngẫu nhiên khả tích. Khi đó dãy ( ξn = E(ξ|Fn), n ∈ N ) là martingale và ta sẽ gọi là martingale chính quy. Thật vậy: i) (ξn, n ∈ N) là dãy tương thích vì E(ξ|Fn) là hiển nhiên đo được đối với Fn kéo theo ξn là đo được đối với Fn. ii) Do ξ khả tích nên: E (|ξn|) = E(|E(ξ|Fn)|)6 E((|ξ|) | Fn)= E(|ξ|) <∞ iii) ξn−1 = E(ξ|Fn−1) = E ( (ξ|Fn) | Fn−1 ) = E(ξn|Fm). (2). Giả sử (ηn, n ∈ N) là dãy các biến ngẫu nhiên khả tích, độc lập với E(ηn) = 0, n ∈ N. Khi đó, dãy tổng riêng: S = η0 + η1 + ....+ ηn, là martingale đối với (Fn = σ(η0, η1, ..., ηn), n ∈ N). 12 (3). Giả sử (ζn, n ∈ N) là dãy các biến ngẫu nhiên khả tích, độc lập với E(ζn) = 1, n ∈ N. Khi đó, dãy: S = n∏ k=0 ζk, là martingale đối với (Fn = σ(ζ0, ζ1, ..., ζn), n ∈ N). Do khuôn khổ có hạn của luận văn, nhiều tính chất và đặc trưng khác của toán tử kỳ vọng có điều kiện cũng như martingale chưa được nhắc đến. Những ai quan tâm có thể tìm đọc thêm trong [1] , [6] , [9] . . . . . . 13 Chương 2. Sự hội tụ hầu đều trong đại số von Neumann 2.1 Đại số von Neumann Trong phần này tôi trình bày một số vấn đề liên quan đến đại số von Neumann. Trước hết ta nhắc lại một số định nghĩa cơ bản sau: 2.1.1. Định nghĩa. Một không gian vectơ thực X được gọi là không gian tiền Hilbert (hay không gian Unita), nếu trong đó có xác định một hàm hai biến (x, y), gọi là tích vô hướng của hai vectơ x, y thỏa mãn các tính chất sau đây: i) (x, y) = (y, x) ii) (x+ y, z) = (x, z) + (y, z) iii) (αx, y) = α(x, y), với mọi α thực iv) (x, x) = ‖x‖2 Vì một không gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn, nên mọi khái niệm và tính chất của không gian định chuẩn đều có thể áp dụng cho nó. Nói riêng, một không gian tiền Hilbert có thể đủ hoặc không đủ. Một không gian tiền Hilbert đủ gọi là không gian Hilbert. 2.1.2. Định nghĩa. Một đại số A được gọi là một đại số Banach nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau đây: i) A là không gian Banach; ii) Có một tích: AìA→ A sao cho, với mọi x, y, z ∈ A;λ ∈ C, ta có: (xy)z = x(yz), (x+ y)z = xz + yz, 14 x(y + z) = xy + xz, λ(xy) = (λx)y = x(λy) Hơn nữa, có một phần tử đơn vị e : ex = xe = x,∀x ∈ A; iii) ‖e‖ = 1; iv) ‖xy‖ 6 ‖x‖‖y‖, với mọi x, y ∈ A. 2.1.3. Định nghĩa. i) Một đại số A được gọi là một ∗ - đại số nếu A là một đại số phức cùng với phép tuyến tính liên hợp ∗ mà nó là một phản đẳng cấu, nghĩa là, với mọi x, y ∈ A và λ ∈ C, ta có: (x+ y)∗ = x∗ + y∗, (λx)∗ = λx∗, x∗∗ = x và (xy)∗ = y∗x∗. ii) Một chuẩn trên ∗ - đại số A thỏa mãn: ‖x∗x‖ = ‖x‖2, với mọi x ∈ A, gọi là một C∗- chuẩn. Nếu với chuẩn này, A đầy đủ thì A được gọi là một C∗ - đại số. 2.1.4. Tôpô lồi địa phương trên B(H). Cho H là không gian Hilbert. Ký hiệu B(H) là C∗− đại số tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn trên H. Khi đó: i) Một tôpô lồi địa phương trong B(H) được cho bởi chuẩn toán tử: ‖x‖ = ‖x‖∞ = sup h∈H ‖h‖61 ‖xh‖. ii) Một tôpô mạnh trên B(H) là một không gian tôpô lồi địa phương liên kết với họ nửa chuẩn x 7→ ‖x(h)‖, với x ∈ B(H) và h ∈ H. Nói cách khác, dãy {xλ} hội tụ mạnh đến x khi và chỉ khi {xλ(h)} hội tụ đến x(h), với mọi h ∈ H. iii) Một tôpô σ−mạnh (hay siêu mạnh) trên B(H) được cho bởi nửa chuẩn: x 7→ ( ∞∑ i=1 ‖xhi‖2)1/2, 15 với {hi} là dãy các phần tử bất kỳ trong H, sao cho: ∑∞ i=1 ‖xhi‖2 <∞. iv) Một tôpô yếu trên B(H) là một không gian tôpô lồi địa phương liên kết với nửa chuẩn x 7→ |(x(h), g)|, với x ∈ B(H) và h, g ∈ H. Nói cách khác, dãy {xλ} hội tụ yếu đến x ∈ B(H) khi và chỉ khi ( (xλ − x)(h), g ) → 0 với mọi h, g ∈ H. v) Một tôpô σ−yếu (hay siêu yếu) trên B(H) được xác định bởi nửa chuẩn: x 7→ | ∞∑ i=1 (xhi, gi)|, với ∑∞ i=1 ‖hi‖2 <∞, và ∑∞ i=1 ‖gi‖2 <∞. 2.1.5. Định nghĩa. Với mỗi tập con A ⊂ B(H), ta ký hiệu A′ là hoán tập của A, tứclà: A′ = {y ∈ B(H) : xy = yx,∀x ∈ A}. Dễ dàng chỉ ra được A′ là đóng yếu. Nếu A′ là tự liên hợp thì A′ là một C∗− đại số. Từ nay về sau ta sẽ ký hiệu A′′ thay cho (A′)′ 2.1.6. Định nghĩa. Một C∗− đại số con đóng yếu A ⊂ B(H) được gọi là một đại số von Neumann. Nói cách khác, một C∗− đại số con A ⊂ B(H) là đại số von Neumann nếu A = A′′ và 1 ∈ A. 2.1.7. Định lý. Nếu A là một đại số von Neumann thì A′′ = A. Chứng minh. Cho A tác động trên một không gian Hilbert H, với mọi n nguyên dương, ta đặt H(n) = H⊕...⊕H (n lần). Mọi phần tử trong B(H(n)) được cho bởi ma trận (bij)nxn các phần tử thuộc B(H). Với x ∈ A, đặt ∧x = δijx và cho A(n) là tập tất cả các toán tử thỏa mãn các điều kiện trên. Rõ ràng A(n) là một đại số von Neumann. Cho (bij) ∈ B(H(n)). Khi đó bij ∈ A′(n) (hoán 16 tập của A(n)) nếu và chỉ nếu bij ∈ A′, với mọi i, j. Vì vậy, nếu y ∈ A′′ thì y = (δijy) ∈ A′′(n). Cho g = h1⊕h2⊕ ...⊕hn là một phần tử cố định của H(n), và ký hiệu A(n)g là bao đóng của tập {∧xg;x ∈ A}. Cho p là một phép chiếu trực giao lên A(n)g. Khi đó, theo (A2) - [7], p ∈ A′(n) và A(n)g là bất biến theo ∧y, với y ∈ An. Điều này có nghĩa là, với mỗi ε > 0, tồn tại một toán tử z ∈ A sao cho A(n)g thỏa mãn ‖∧yg − ∧zy‖ < ε, tức là: ∑n i=1 ‖yhi − zhi‖2 < ε. Điều này chứng tỏ A trù mật trong A′′ trong tôpô toán tử mạnh, vì thế trong tôpô toán tử yếu, ta có A = A′′. Định lý được chứng minh. 2.1.8. Định nghĩa. Một phiếm hàm tuyến tính φ trên A được gọi là dương nếu φ(x) > 0, với mọi x ∈ A+. Phiếm hàm φ được gọi là chính xác nếu φ(x) = 0 suy ra x = 0, với mọi x ∈ A+. 2.1.9. Nhận xét. i) Dễ dàng kiểm tra được rằng, nếu φ là phiếm hàm tuyến tính dương trên A thì φ(x∗) = φ(x). Nếu φ là một phiếm hàm dương trên A, thì với mọi x, y ∈ A, ta có: (∗) ‖φ(y∗x)‖2 6 φ(y∗y)φ(x∗x). Thật vây, với mỗi λ ∈ C, ta có: φ(λx+ y)∗(λx+ y) > 0. Với λ = tφ(x∗y)|φ(y∗x)|−1 và t ∈ R, ta có: t2φ(x∗x) + 2tφ(y∗x) + φ(x∗y) 6 0. Điều này suy ra (∗). ii) Mọi phiếm hàm tuyến tính dương φ là bị chặn và ‖φ‖ = φ(1). Thật vậy, ta có: |φ(x)| 6 φ(1)1/2φ(x∗x)1/2, và x∗x 6 ‖x∗x‖1. Do đó: φ(x∗x) 6 ‖x∗x‖φ(1), và |φ(x)| 6 φ(1)‖x‖. 17 2.1.10. Định lý GNS (Gelfand - Naimark - Segal) (xem [7]). Với mỗi phiếm hàm tuyến tính dương φ trên A, có một biểu diễn cyclic {pi,K} của A với một vectơ cyclic ξφ, sao cho: ( piφ(x)ξφ, ξφ ) = φ(x) với mọi x ∈ A. Chứng minh. Với x, y ∈ A, đặt = φ(y∗x). Khi đó A trở thành một không gian tiền Hilbert. Từ : |φ(y∗x)|2 6 φ(y∗y)φ(x∗x), tập M các phần tử x ∈ A sao cho φ(x∗x) = 0 cũng là tập các phần tử x ∈ A sao cho φ(y∗x) = 0, với mọi y ∈ A. Đây là ideal trái của A và không gian thương A/M là một không gian tiền Hilbert Hausdorff. Đặt Kφ là mở rộng của nó. ánh xạ chính tắc T của A lên A/M là một ánh xạ tuyến tính của A lên không gian con tuyến tính trù mật của Kφ. Hơn nữa, với x ∈ A thì tích trái xác định bởi x (tức là y→ xy) xác định bằng cách qua không gian thương có một toán tử tuyến tính ∼x trong A/M. Cho y ∈ A cố định, đặt φy(x) = φ(y∗xy). Khi đó φ là một phiếm hàm tuyến tín nên φ(y∗x∗xy) = φy(x∗x) 6 ‖x∗x‖φy(1) = ‖x∗x‖φ(y∗y). Từ bất đẳng thức này suy ra toán tử ∼x có chuẩn 6 1. Thật vậy, với y ∈ A ta có: = φ(y∗x∗xy) 6 ‖x∗x‖φ(y∗y) = ‖x‖2 . Do đó ∼x mở rộng tới một toán tử tuyến tính liên tục piφ(x) tác động trong Kφ. Dễ dàng kiểm tra được x→ piφ(x) là một ∗− đồng cấu thoả mãn 1H → 1K. Chẳng hạn, với mỗi x, y, z ∈ A thì: < piφ(x) ∗Ty, Tz > = = 18 = φ(z∗x∗y) = = . Do đó piφ(x)∗ = piφ(x∗). Hơn nữa, đặt: ξφ = T (1H) ∈ Kφ, ta có: piφ(x)ξφ = piφT (1) = T (x), nên ξφ là cyclic đại diện cho pi(A). Cuối cùng: = = = φ(x). Định lý được chứng minh. 2.1.11. Nhận xét. Nếu φ là chính xác, thì M = 0 và điều kiện piφ(x)ξφ = 0 suy ra T (x) = 0, nghĩa là: x ∈M, từ đó x = 0. Như vậy, trong trường hợp này, ξφ cũng là tách đối với A và hiển nhiên piφ là ∗−đẳng cấu từ A lên pi(A). Biểu diễn {Kpi, piφ} xây dựng ở trên được gọi là biểu diễn cyclic liên kết với φ. Nó cũng được ký hiệu bởi {Kpi, piφ, ξφ} để chỉ ra vectơ cyclic ξφ. 2.1.12. Định lý. Cho φ là một phiếm hàm tuyến tính trên B(H). Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương: i) φ(x) = ∑n k=1(xhk, gk), với mỗi gk, hk ∈ H, k = 1, ..., n và với mọi x ∈ B(H); ii) φ là liên tục yếu; iii) φ là liên tục mạnh. Chứng minh. Rõ ràng (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii). Ta sẽ chứng minh (iii) ⇒ (i). Giả sử rằng φ là liên tục mạnh. Vì vậy, tồn tại các vectơ h1, h2, ..., hn ∈ H sao cho: n∑ k=1 ‖x(hk)‖2 < 1, suy ra |φ(x)| 6 1. 19 Điều này cho ta: (∗) |φ(x)| 6 ( n∑ k=1 ‖x(hk)‖2)1/2. Xét H(n) và B(H(n)) như trong Định lý 2.1.7, ta có, với x ∈ B(H), đặt ∧ x = δijx ∈ B(H(n)). Cho h(n) = h1 ⊕ h2 ⊕ ...⊕ hn, với hj xác định tương tự như trong (∗). Đặt: ψ( ∧ xh(n)) = φ(x) Công thức này cho ta một phiếm hàm tuyến tính trên không gian con đóng của H(n) sinh bởi các véctơ ∧xh(n), x ∈ H và thỏa mãn: |ψ(∧xh(n))| 6 ‖∧xh(n)‖ Từ định lý biểu diễn Riesz, có một véctơ g = g1 ⊕ g2 ⊕ ...⊕ gn trong H sao cho: φ(x) = ( ∧ xh(n), g(n)) = n∑ k=1 (xhk, hk). Định lý được chứng minh. 2.1.13. Định nghĩa. Một phiếm hàm tuyến tính dương φ trên A được gọi là một trạng thái nếu φ(1) = 1. 2.1.14. Định lý. Cho φ là một trạng thái trên đại số von Neumann A, tác động trong H. Khi đó, các điều kiện sau đây là tương đương: i) φ là chuẩn, ii) φ là liên tục yếu trên hình cầu đơn vị trong A, iii) φ là liên tục σ−yếu, iv) Có một toán tử x của lớp vết trên H sao cho φ(y) = tr(xy),∀y ∈ A, v) φ(x) = ∑ (xhi, hi), với ∑ ‖hi‖2 <∞. 20 Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Từ Định lý 2.1.12, ta tìm một phép chiếu p ∈ A, sao cho φ(.p) là liên tục yếu và φ(p⊥) < ε. Nếu (xi) là dãy bị chặn hội tụ yếu đến 0, thì: ‖φ(xi)‖ 6 ‖φ(xip)‖+ ‖φ(xi(1− p))‖ 6 ‖φ(xip)‖+ φ(x∗ixi)1/2φ(1− p)1/2 6 ‖φ(xip)‖+ ‖xi‖‖φ‖1/2ε1/2. Nghĩa là: {φ(xi)} hội tụ đến 0. (ii) ⇒ (iii). Vì φ là liên tục yếu trong hình cầu đơn vị trên A, nên nó là liên tục σ−yếu trên mọi hình cầu xung quanh điểm gốc. Nhưng vì tôpô σ−yếu trên A là tôpô yếu∗ liên kết với A∗ nên đủ để áp dụng Định lý của Krein - Smulian. Từ A.24 - [7] ta có (iii) → (iv). Chứng minh được tính tương đương (iii) ↔ (iv) là đủ để có một lớp toán tử vết dương trong đường chéo từ x = ∑ ∧ λ ∧ ek, với λk(ek) là giá trị riêng (vectơ riêng đơn vị) và λk > 0, với ∑ k λk = trx <∞. Dễ dàng kiểm tra được (iv) → (ii). Từ (ii) → (i) là hiển nhiên. Định lý được chứng minh. 2.2 Dạng khác của hội tụ hầu chắc chắn trong đại số von Neumann. Cho A là một đại số Von Neuman trong không gian Hilbert phức H. A′ là hoán tập của A. φ là một trạng thái trên A. A+ là lớp các phần tử dương trong A. Ký hiệu Proj A là tập tất cả các phép chiếu trực giao trong A. Với p ∈ Proj A ta luôn có p⊥ = 1−p. Ta sẽ viết 1 là toán tử đồng nhất trong A. Với mỗi tập con Borel Z trên đường thẳng thực và toán tử tự liên hợp trong A ta kí hiệu eZ(x) là phép chiếu phổ của x tương ứng Z. Cho x ∈ A ta đặt | x |2= x∗x. Ta bắt đầu với một vài so sánh sau. 21 Trong không gian xác suất (Ω,F ,P), đặt L∞(Ω,F ,P) là đại số (hoặc lớp tương đương) các hàm bị chặn cốt yếu nhận giá trị phức F− đo được trên Ω. Nó có thể xem như một đại số von Neumann trên L2(Ω,F ,P) nếu ta đồng nhất các hàm g ∈ L∞ với toán tử nhân ag : f → fg với f ∈ L2. Đại số A = L∞(Ω,F ,P) có một trạng thái vết chuẩn chính xác τP cho bởi công thức τP(f) = ∫ Ω fdP. Theo định lý Egoroff thì sự hội tụ P− hầu chắc chắn của một dãy (fn) từ A là tương đương với sự hội tụ hầu đều của nó. Rõ ràng rằng có thể biểu diễn sự hộ tụ hầu chắc chắn như các phần tử của đại số A mà không xem xét trên không gian cơ sở Ω. Chúng ta có thể khẳng định lại sự hội tụ hầu chắc chắn theo nghĩa L∞− chuẩn, trạng thái τP và các hàm đặc trưng (của các tập "lớn"). Từ quan điểm trên ta xem xét định nghĩa sau: 2.2.1. Định nghĩa. Cho A là một đại số von Neumann với trạng thái chuẩn chính xác φ. Ta nói rằng một dãy (xn) các phần tử của A hội tụ hầu đều tới một phần tử x ∈ A nếu với mỗi ε > 0 tồn tại một phép chiếu p ∈ A sao cho φ(1− p) < ε và thoả mãn ‖(xn − x)p‖ → 0 khi n→∞. 2.2.2. Nhận xét. Ta chú ý rằng ở định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn φ. Và từ đó hội tụ hầu đều được định nghĩa tương đương với hai điều kiện sau: (∗) Với bất kì lân cận mạnh của toán tử đồng nhất trong A tồn tại một phép chiếu p sao cho ‖(xn − x)p‖ → 0 khi n→∞. (∗∗) Với mọi trạng thái chuẩn chính xác φ trên A và ε > 0 tồn tại một phép chiếu p ∈ A sao cho φ(1− p) < ε và thoả mãn ‖(xn − x)p‖ → 0 khi n→∞. Các điều kiện trên được suy ngay từ giả thiết nếu φ là một trạng thái 22 chuẩn chính xác thì tôpô mạnh trong hình cầu đơn vị S trong A có thể được metric hoá bởi công thức: dist(x, y) = φ[(x− y)∗(x− y)] 12 . 2.2.3. Định lý. Cho A là một đại số von Neumann với một trạng thái chuẩn chính xác φ. Với các dãy bị chặn các toán tử (xn) từ A thì sự hội tụ hầu đều có thể hiểu như hội tụ mạnh của dãy (xn). Chứng minh. Cho xn → 0 hầu đều. Biểu diễn GNS của A liên kết với φ là một trạng thái chuẩn và chính xác. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng A tác động lên không gian Hφ các biểu diễn GNS theo cách chuẩn. Trong trường hợp đặc biệt ta có φ(x) = (xξ, ξ) với x ∈ A và ξ là một một vectơ cyclic tách trong Hφ. Cho ε > 0 và ‖x‖ 6 1. Khi đó, tồn tại một phép chiếu p ∈ A sao cho φ(1− p) < ε và ‖xnp‖ → 0. Đặt y ∈ A′ (A′ là hoán tập của A với chuẩn ‖.‖φ trong Hφ), ta có: ‖xnyξ‖φ 6 ‖xnpyξ‖φ + ‖xn(1 − p)yξ‖φ. Nhưng: ‖xnpyξ‖φ 6 ‖xnp‖.‖yξ‖φ < 0 với n đủ lớn, và: ‖xn(1 − p)yξ‖φ = ‖yxn(1− p)ξ‖φ 6 ‖xny‖.‖(1− p)ξ‖φ = ‖xny‖[φ(1− p)] 12 6 ‖xny‖ε 12 . Điều này chỉ ra rằng xnyξ → 0 với mọi y ∈ A′. Vì tập các vectơ {yξ, y ∈ A′} trù mật trong Hφ và (xn) bị chặn đều nên sự hội tụ mạnh (σ− mạnh) của xn dần về 0. 2.2.4. Nhận xét. Trong Định nghĩa 2.2.1, chúng ta đã giới thiệu tổng quát khái niệm hội tụ hầu đều trong đại số von Neumann trong phạm vi khái niệm của 23 sự hội tụ hầu chắc chắn. Chúng ta cũng có thể xem xét trường hợp không giao hoán đối với khái niệm này. Cho A trước hết là đại số von Neumann cùng với trạng thái chuẩn chính xác φ. Ta xem xét bốn điều kiện sau của xn và x trong A: i) Với mọi ε > 0, có một phép chiếu p trong A, với φ(1 − p) < ε và số N nguyên dương sao cho: ‖(xn − x)p‖ N. ii) Với mọi ε > 0, có một phép chiếu p trong A, với φ(1 − p) < ε, sao cho: ‖(xn − x)p‖ → 0, n→∞. iii) Với mọi ε > 0, có một dãy các phép chiếu (pn) trong A tăng dần đến 1 (trong tôpô mạnh), sao cho: ‖(xn − x)pn‖ < ε, với n = 1, 2, ... iv) Với mọi phép chiếu p khác không trong A có một phép chiếu q khác không trong A sao cho q 6 p và: ‖(xn − x)q‖ → 0, n→∞. Hiển nhiên, điều kiện (ii) có nghĩa là dãy (xn) hội tụ hầu đều đến x. Nếu các điều kiện (i) hoặc (iii) hoặc (iv) thỏa mãn thì xn được gọi là hội tụ đến x đóng trên các tập lớn hơn hoặc hội tụ hầu khắp nơi hoặc tựa đều. Rõ ràng, trong trường hợp một đại số von Neumann giao hoán L∞(Ω,F ,P) thì cả bốn điều kiện trên đều tương đương với hội tụ P - hầu chắc chắn. 2.2.5. Định lý. Cho A là một đại số von Neumann cùng với trạng thái chuẩn chính 24 xác φ. Với mọi dãy bị chặn (xn) trong A, các điều kiện từ (i) đến (iv) trong (2.2.4) là tương đương. Chứng minh. Chúng ta giả sử rằng x = 0 và ‖xn‖ 6 1, với n = 1, 2, .... Cho p ∈ Proj A, y ∈ A và φ(p|y|2p) < ε4 < 1. Tiếp theo, đặt: q = pe[p,ε2 ]{p|y|2y}. Ta có: q 6 p, φ(p− q) 6 ε và ‖yq‖ < ε. Thật vậy, rõ ràng: q 6 p. Tuy nhiên: φ(p− q) 6 ε2φ(p|y|2p) < ε, và: ‖yq‖2 = ‖q|y|2q‖ = ‖qp|y|p‖ < ε2. Ta chú ý rằng: Với y ∈ A, ‖y‖ 6 1 và q, r ∈ Proj A, nếu ‖q⊥r‖ < α và ‖yq‖ < β, thì ‖yr‖ < α+ β. Điều này đủ để đánh giá: ‖yrξ‖ 6 ‖yq⊥rξ‖ + ‖yqrξ‖. Từ thực tế vừa chứng minh ta dễ dàng suy ra điều kiện (i) (∗) Với mỗi ε > 0 và q ∈ Proj A, có một phép chiếu r ∈ A sao cho: r 6 q, φ(q − r) < ε và ‖xnr‖ < ε với n đủ lớn. Thật vậy, cho 0 < εn → 0. Từ (i), ta có thể tìm một dãy (rn) ⊂ Proj A, với φ(r⊥n ) < εn và một dãy nguyên dương m(n) sao cho: ‖xmrn‖ < εn, với m > mn. Cho trước q ∈ Proj A. Khi đó, từ tính chuẩn của φ thì φ(qr⊥n q) → 0 và ta có thể cố định n0 sao cho ε > εn0 và φ(qr⊥n q) < ε4. Đặt: r = qeqr⊥n q[0, ε 2). Ta có: φ(q − r) < ε và ‖r⊥n r‖ < ε Hơn nữa: ‖xmr‖ m(n0). Để chứng minh (i) → (ii), ta cố định ε > 0 và giả sử rằng đã có (i). Từ (∗), chúng ta tìm một dãy (pn) ⊂ Proj 25 A sao cho: 1 = p1 > p2 > ..., φ(pn − pn+1) m(n). Đặt p = inf k pk. Khi đó: φ(p⊥) = ∑ n φ(pn − pn+1), và: ‖xmp‖ 6 ‖xmpn0‖ m(n0). Điều này có nghĩa là xm → 0 hầu đều. Chỉ với một điều chỉnh dễ dàng của chứng minh trên ta có thể chỉ ra được (i) → (iv). Đó là, cho trước 0 6= p ∈ Proj A và ε > 0, ta tìm được một dãy các phép chiếu: 1 = p1 > p2 > ..., với ‖xmpn‖ m(n), và: φ(pn − pn+1) < 2−(n+1)φ(p). Đặt q = inf k pk là đủ để có điều cần của Định lý. Chứng minh (ii) → (i) là tầm thường. Bây giờ, giả sử rằng ta đã có (iii), cho ε > 0, tồn tại các phép chiếu pn trong A, mà: pn ↑ 1 và ‖xnpn‖ 1 − ε, với n > m, nghĩa là ta có (i). Do đó ta có: (iii) → (i). Tiếp theo, ta sẽ chứng minh (iv) → (iii). Cho ε > 0, 0 < εk < εk+1 → ε và 0 < δk → 0. Để chứng minh (iii), ta tìm một dãy tăng (qk) ⊂ Proj A và một dãy tăng các số nguyên dương (nk), sao cho: φ(p⊥k ) nk (Chúng ta có thể đặt p1 = ... = pn1 = 0, pn1+1 = ... = p2 = q1, etc). Như vậy đủ để chỉ ra rằng, nếu ε 0 và ‖xnp‖ l, p ∈ Proj A thì tồn tại q ∈ Proj A và l′ > l sao cho: q > p, φ(q⊥) l′. 26 Cho (pt, t ∈ T ) là một họ maximal các phép chiếu trực giao lẫn nhau trong A, sao cho: pt 6 p⊥ và ‖xnpt‖ → 0, n→∞, với mọi t ∈ T. Họ này là hầu hết đếm được ( vì có một trạng thái chuẩn chính xác φ trên A). Vì φ là chuẩn và chính xác, nên từ (iv) có tồn tại một dãy (pk) các phép chiếu tự trực giao trong A, sao cho: ∞∑ k=1 pk = p ⊥ và ‖xnpk‖ → 0, n→, k = 1, 2, ... Lấy N đủ lớn, ta đạt được: φ(p⊥ − N∑ k=1 pk) < δ, và, do đó: φ(q⊥) < δ với q = p + ∑N k=1 pk. Hơn nữa, ‖xnq‖ < ε′ với n đủ lớn. Định lý được chứng minh. Để kết thúc phần này, ta đưa ra khái niệm sau: 2.2.6. Định nghĩa. Một dãy (xn) trong A được gọi là hội tụ hai phía hầu đều đến x ∈ A nếu với mọi ε > 0, tồn tại một phép chiếu p ∈ A, sao cho: φ(1− p) < ε và ‖p(xn − x)p‖ → 0, n→∞. 2.3 Một dạng không giao hoán của Định lý Egoroff. Chúng ta bắt đầu với mệnh đề sau: 2.3.1. Mệnh đề. Cho A là một đại số von Neumann tác động trong không gian Hilber H. Nếu dãy (xi) trong A hội tụ mạnh tới x0 thì với mọi ε > 0 tồn tại một dãy (pi) ⊂ ProjA sao cho pi → 1 mạnh và ‖(xi − x0)pi‖ < ε với mọi i = 1, 2, ... 27 Chứng minh. Ta giả sử rằng ‖xi‖ 6 1 và x0 = 0. Đặt yi = x∗ixi. Khi đó với mọi h ∈ H ta có: ‖yih‖ = ‖x∗ixih‖ 6 ‖x∗i‖‖xih‖ 6 ‖xih‖. Do đó(yi) hội tụ mạnh tới 0. Đặt pi = ei([0, ε2]) với ei(1) là độ đo phổ của yi. Khi đó yi = ∫ 1 0 uei(du) > ε2 ∫ [ε2,1] u ε2 (du) > ε2(1 − pi), Điều này có nghĩa là (pi) hội tụ mạnh tới 1. Hơn nữa, ta có: ‖xipi‖2 = ‖pix∗ixipi‖ 6 ‖x∗ixipi‖ = ‖yipi‖ < ε2. Mệnh đề được chứng minh. 2.3.2. Định lý không giao hoán Egoroff Cho A là một đại số von Neumann với trạng thái chuẩn chính xác φ và (xn) là một dãy trong A hội tụ tới x trong tôpô toán tử mạnh. Khi đó với mọi phép chiếu p ∈ A và ε > 0 bất kì tồn tại một phép chiếu q 6 p trong A và một dãy con xnk của xn thoả mãn: φ(p− q) < ε và ‖(xnk − x)q‖ → 0 khi k →∞. Chứng minh. Ta giả sử rằng p = 1 và x = 0. Theo Mệnh đề 2.3.1, tồn tại một dãy(pn) của các phép chiếu trong A thoả mãn ‖xnpn‖ < 12 và pn → 1 mạnh. Chọn chỉ số n1 sao cho φ(1 − pn) n1. Đặt q1 = pn1 . Như vậy φ(1 − q1) < ε2, ‖xn1q1‖ < 12 và tất nhiên rằng xnq1 → 0 mạnh. Ta đưa ra đại lượng y(1)n = q1x∗nxnq1. Khi đó ta có một dãy bị chặn trong q1Aq1 hội tụ mạnh về 0. Cũng với cách đặt trên ta tìm được một dãy (q(1)n ) các phép chiếu trong q1Aq1 thoả mãn q(1)n → q1 mạnh và ‖y(1)n q(1)n ‖ < 122 . Ta chọn chỉ số n2 > n1 sao cho φ(q1 − q(1)n ) < ε22 và ‖y(1)n2 q2‖ < 122 . 28 Tiếp tục, đặt: q2 = q(1)n2 , ta được: q2 6 q1, φ(q2 − q1) < ε 22 và ‖y(1)n2 q2‖ < 1 22 . Mặt khác: ‖xnq2‖2 = ‖q2x∗nxnq2‖ = ‖q2q1x∗nxnq1q2‖ = ‖q2y(1)n q2‖ 6 ‖y(1)n q2‖ < 1 22 với n > n2. Từ đó ‖xmq2‖ < 122 . Như vậy ta xây dựng được một dãy giảm (qn) của các phép chiếu trong A và một dãy các chỉ số n1 < n2 < ... thoả mãn: ‖xnkqk‖ < 1 2k , φ(qk − qk+1) < ε 2k . Đặt p = inf k q ta được: φ(1− q) 6 ε và ‖xnkq‖ < 1 2k → 0. Định lý được chứng minh. 2.3.3. Nhận xét. Sự hội tụ điểm trong đại số von Neumann đã được giới thiệu đầu tiên bởi I. Segal và đã được sử dụng có hệ thống trong lý thuyết không giao hoán của tích phân. Lý thuyết này đã được phát triển độc lập bởi Segal và Dixmier đối với các vết nửa hữu hạn. Hiện nay, có tồn tại một lý thuyết không chỉ đối với các vết mà còn đối với trạng thái và cao hơn. Chúng ta chú ý rằng mối quan hệ giữa các loại hội tụ trong đại số von Neumann đã được thảo luận bởi Segal, Ogasawara, Yoshinaga, Padmanabhan, Lance, Stinespring, Batty và gần đây là Petz và Paszkiewicz. Đặc biệt, D. Petz đã giới thiệu khái niệm hội tụ tựa đều và A. Paszkiewicz đã thảo luận các mối quan hệ giữa các loại hội tụ điểm của các dãy toán tử không bị chặn. Ông đã chứng minh được rằng một dãy bị chặn hội tụ hầu đều là trùng với hội tụ tựa đều. Định lý Egoroff dạng không giao hoán được chứng minh bởi Saito. Các vấn 29 đề thảo luận trong phần này được liên hệ chặt chẽ bởi Radin, trong đó có nêu khái niệm trạng thái φ− almost trên một C∗− đại số, với φ là một vết trên A′′ (song hoán tập). Ông đã chứng minh được rằng bất cứ ∗− tự đẳng cấu của A′′ là được thực hiện bởi một số phép biến đổi điểm trong không gian trạng thái của A, xác định mọi φ− almost. Một dạng tổng quát hơn (khi φ là một trạng thái tùy ý) được xem xét bởi Luczak. 30 Chương 3. Sự hội tụ của kỳ vọng điều kiện và martingale trong đại số von neumann 3.1 Kỳ vọng có điều kiện trong đại số von Neumann Nhắc lại, trong lý thuyết xác suất cổ điển, kỳ vọng có điều kiện của một biến ngẫu nhiên khả tích ξ (trên không gian xác suất (Ω,F ,P)) đối với một σ - trường con G ⊂ F được định nghĩa như là một biến ngẫu nhiên G− đo được E(ξ|G) cho bởi:∫ A E(ξ|G)dP = ∫ A ξdP, với mọi A ∈ G. (3.1) Cho A = L∞(Ω,F ,P) và B = L∞(Ω,G,P). Khi đó B là một đại số von Neumann con của A và kỳ vọng có điều kiện chỉ xem xét đối với các hàm bị chặn, như là ánh xạ tuyến tính dương EG : A → B có các tính chất: EG1 = 1 (Hàm đồng nhất) (3.2) τP(fg) = τP(EG(f)g) với mọi f ∈ A; g ∈ B, với τP là một trạng thái chuẩn chính xác trên A cho bởi tích phân: τ (f) = ∫ Ω fdP. Công thức này phù hợp với sự tổng quát hóa lên đại số von- Neumann. 3.1.1. Định nghĩa. Cho φ là một trạng thái chuẩn chính xác trong đại số von Neumann A và B là một đại số von Neumann con của A. Một ánh xạ tuyến tính: 31 EB : A→ B sao cho: a)EB1 = 1 (3.3) b)φ(yxz) = φ(yEB(x)z), với mọi y, z ∈ B,x ∈ A, được gọi là một kỳ vọng điều kiện của A lên B đối với φ. 3.1.2. Mệnh đề. Kỳ vọng điều kiện có các tính chất sau: 1o)EB(yxz) = y(EBx)z, với mọi x ∈ A; y, z ∈ B, đặc biệt: 1oo)EB lũy đẳng trong B 2o)(EBx)∗(EBx) = EB(x∗x), với x ∈ A, đặc biệt: 2oo)EB dương 3o)EB là chính xác 4o)EB là chuẩn. Chứng minh. Trước tiên ta sẽ chứng tỏ E dương. Thật vậy, vì φ là chính xác và chuẩn nên giả sử rằng A tác động trong không gian biểu diễn cyclic (GNS) Hφ của nó với các phần tử cyclic tách ξ, trong đó φ(x) = (xξ, ξ). Khi đó, với y ∈ B,x ∈ A, ta có (3.3) : (E(x∗x)yξ, yξ) = (y∗x∗xyξ, ξ) > 0. Từ {yξ, y ∈ B} là tập trù mật trong L2(B,φ), suy ra E(x∗x) > 0, với mọi x ∈ A. Một cách tương tự, ta chứng minh 1o, bắt đầu từ đẳng thức: φ(u∗yxzu) = φ(u∗E(yxz)u) = φ(u∗yE(x)zu), với u, y, z ∈ B,x ∈ A Điều kiện 2o dễ dàng suy ra từ: E [ (x− Ex)∗(x− Ex)] > 0 (tính dương của E được chứng minh) và: E((Ex)∗x) = (Ex)∗Ex, E(x∗(Ex)) = (Ex∗)Ex = (Ex)∗Ex, E((Ex)∗Ex) = (Ex)∗Ex. 3o được suy ra trực tiếp từ tính chính xác của φ. Thật vậy, cho x > 0; 32 Nếu Ex = 0 thì: 0 = φ(Ex) = φ(x), suy ra x = 0. Tiếp theo, ta chứng minh E là chuẩn. Cho xα là tập bị chặn tăng các phần tử dương của A, tức là: 0 6 xα ↑ sup xα. Khi đó: E(xα) ↑ sup α E(xα), và vì E dương nên suy ra sup α E(xα) 6 E(sup α xα). Hơn nữa, từ φ là chuẩn nên ta có: φ ( sup α E(xα) ) = sup α φ ( E(xα) ) = sup α φ(xα) = φ ( sup α xα ) = φ ( E(sup α xα). Do đó: φ ( sup α E(xα) ) = φ ( E(sup α xα) ) . Hoặc: φ [ sup α E(xα)− E(sup α xα) ] = 0. Do φ là chính xác nên ta có: sup α E(xα) = E(sup α xα). Chứng minh được hoàn thành. Chú ý rằng, từ kết quả của Tomiyama, mọi phép chiếu chuẩn bằng 1 của C∗ - đại số lên C∗ - đại số con của nó là dương và có các tính chất 1o, 2o của Mệnh đề 3.1.2. 3.1.3. Nhận xét Một điều rất quan trọng, ngược với trường hợp cổ điển là, kỳ vọng điều kiện của đại số von Neumann A lên đại số von Neumann B của nó có thể không tồn tại. Theo kết quả của Takesaki [8], kỳ vọng điều kiện EB tồn tại nếu và chỉ nếu đại số B là bất biến đối với nhóm tự đẳng cấu modular σφt liên kết với φ (định nghĩa của nhóm σφt có thể xem trong phụ lục). 33 Kết quả của Takesaki là vô cùng quan trọng, nhưng ta không sử dụng nó. Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ thảo luận về lý thuyết martingale hội tụ, và để đơn giản, ta giả sử với đại số ta xét, coi như kỳ vọng điều kiện tồn tại. 3.1.4. Ví dụ. (1). Cho A = L∞(Ω,F ,P) (trên không gian xác suất (Ω,F ,P)). Khi đó, các đại số von Neumann con B của A cũng chính là đại số con có dạng L∞(Ω,G,P) với G là σ− trường con của F. Hầu như hiển nhiên rằng, kỳ vọng điều kiện EB (theo nghĩa của Định nghĩa 3.1.1) luôn tồn tại và chính là kỳ vọng điều kiện cổ điển E(.‖G) với một σ− trường con thích hợp. (2). Với mỗi đại số von Neumann A có một trạng thái chuẩn chính xác φ, đặt E(x) = φ(x)1. Tất nhiên, E là kỳ vọng điều kiện lên đại số của các bội số (vô hướng) của phần tử đơn vị. (3). Cho H là không gian Hilbert hữu hạn chiều cùng với vết chuẩn hóa τ trên B(H) (đại số của tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn trong H). Cho {pk} là một dãy các phép chiếu trực giao tương hỗ trong H, với∑N k=1 pk = 1. Đặt: Ex = N∑ k=1 pkxpk Chúng ta sẽ chỉ ra rằng, E là kỳ vọng điều kiện của B(H) lên {pk}′ (hoán tập) đối với τ . Thật vây, hiển nhiên E1 = 1. Từ tính trực giao của pk, ta có pk(Ex) = (Ex)pk nên E là từ B(H) lên {pk}′. Hơn nữa, ta có: τ (Ex) = τ ( ∑ k pkxpk) = ∑ k τ (xpk) = τ ( ∑ k xpk) = τ (x), với mọi x ∈ B(H) 34 Do đó, với y, z ∈ {pk}′ và x ∈ B(H) thì: τ ( y(Ex)z ) = τ ( y( ∑ k pkxpk)z ) = τ ( ∑ k pkyxzpk) = τ ( E(yxz) ) = τ (yxz). Kết thúc chứng minh. Trong trường hợp pk = ∧ ek (phép chiếu lên không gian con xác định bởi ek), k = 1, ..., n = dim(H) và B(H) như là đại số của các ma trận phức cấp n với cơ sở {ek}. Khi đó, E là ánh xạ thay thế ma trận bởi phần đường chéo của nó, tức là: E : (aij) → (bij), với bij = aijδij (δij là ký hiệu Kronecker). (4). Cho φ là một trạng thái chuẩn chính xác trên A. Ký hiệu Hφ = L2(A,φ) là đầy đủ của A với chuẩn x→ φ(x∗x) 12 . Ta có thể đồng nhất A như là tập con của Hφ và A trù mật trong Hφ. Cho E là kỳ vọng có điều kiện của A lên đại số von Neumann con B của nó. Khi đó, có thể thác triển E thành phép chiếu trực giao ∼ E trong Hφ. Chính xác hơn, ký hiệu L2(B,φ) là đầy đủ của B với chuẩn x → φ(x∗x) 12 , ta có L2(B,φ) là không gian con tuyến tính đóng của L2(A,φ) và ∼ E là một phép chiếu trực giao của L2(A,φ) lên L2(B,φ). Thật vậy, từ Mệnh đề 3.1.2 φ ( (Ex)∗(Ex) ) 6 φ(x∗x) nên ta có thể thác triển E như là phép co ∼ E trong L2(A,φ). Để chứng minh ∼ E là một phép chiếu trực giao, ta xét x ∈ A, khi đó, với y ∈ B, ta có: φ ( y∗(x− Ex)) = φ(y∗x)− φ(y∗Ex) = 0. Từ đó, với x ∈ L2(A,φ) ta có (x − ∼ Ex) ⊥ L2(B,φ), nên với x ∈ L2(A,φ), công thức x = (x− ∼ Ex) + ∼ Ex là một khai triển trực giao của x đối với L2(B,φ). (5). Cho một đại số von Neumann A với một vết chuẩn chính xác τ và B là một đại số von Neumann con của A. Khi đó, tồn tại một kỳ vọng có điều kiện EB : A→ B mà có thể mở rộng thành một ánh xạ chính xác tuyến tính dương E từ L1(A, τ ) lên L1(B, τ ) có chuẩn 1 sao cho: E ( (Ex)y ) = E ( x(Ey) ) , (∗) 35 với x ∈ L1(A, τ ) và y ∈ A hoặc x ∈ A và y ∈ L1(A, τ ). Thật vậy, với mọi x ∈ A, đặt: φx(z) = τ (xz), z ∈ B. (∗∗) Khi đó φx là một hàm liên tục σ - yếu trên B, nên φx ∈ B∗. Từ đó, có x ∈ L1(B, τ ) sao cho: φx(z) = τ (xz), z ∈ B. Nhưng từ (∗∗) ta có: |φx(z)| 6 ‖x‖τ (|z|), z ∈ B, điều đó có nghĩa là: z → τ (xz) thác triển thành phiếm hàm trên L1(B, τ ) và điều đó cho ta x ∈ B. Rõ ràng x là xác đinh duy nhất bởi x. Vậy nên, ánh xạ: E : x→ x là định nghĩa tốt và thỏa mãn các điều kiện: (i) : E1 = 1 (ii) : τ (xz) = τ ((Ex)z), với x ∈ A và z ∈ B, nghĩa là E là kỳ vọng có điều kiện của A lên B đối với τ . Từ τ (|Ex|) 6 τ (|x|) và A,B tương ứng trù mật trong L1(A, τ ) và L1(B, τ ) nên ta có thể thác triển ánh xạ: x→ Ex thành một ánh xạ từ L1(A, τ ) lên L1(B, τ ). Điều kiện (∗) được suy ra dễ dàng bằng cánh chuyển qua giới hạn từ 1o trong Mệnh đề 3.1.2. (6). Một phép co tuyến tính dương α của đại số A lên chính nó được gọi là một nhân (đối với trạng thái φ) nếu: α1 = 1, φ(αx) = φ(x) và: φ(|αx|2) 6 φ(|x|2). 36 Vì vậy, kỳ vọng có điều kiện là một nhân đặc biệt (thỏa mãn các điều kiện khác điều kiện 1o của Mệnh đề 3.1.2). (7). Cho A là một đại số von Neumann với trạng thái chuẩn chính xác φ và (An) là một dãy tăng của các đại số von Neumann con của A với kỳ vọng có điều kiện En = EAn (đối với φ). Ký hiệu A∞ = W ∗{An;n > 1} là đại số von Neumann sinh bởi (An). Khi đó, kỳ vọng có điều kiện E∞ = EA∞ tồn tại. Chứng minh. Ta có thể giả sử rằng A tác động trong không gian biểu diễn cyclic Hφ với véctơ cyclic và tách ξ. Đặc biệt, φ(x) = (xξ, ξ), với x ∈ A. Ký hiệu ∼ En là thác triển chính tắc của En thành phép chiếu trực giao trên H, tức là: ∼ En(xξ) = (Enx)ξ, với x ∈ A. Dãy ( ∼ En) của phép chiếu là tăng nên có một phép chiếu trực giao trong H, chẳng hạn, ký hiệu là ∼ E∞ sao cho: ‖ ∼ Enh− ∼ E∞‖H → 0, với mọi h ∈ H. Cho y ∈ A′. Khi đó, ta có: En(x)(yξ) = y(Enx)ξ = y ∼ En(xξ) → y ∼ E∞(xξ) Từ dãy (Enx) bị chặn đều và tập {yξ, y ∈ A′} là trù mật trong H nên Enx hội tụ mạnh đến một toán tử, ký hiệu là E∞x. Nhưng Enx ∈ An ⊂ A∞. Vì A∞ là đóng trong tôpô yếu (mạnh) nên ta nhận được E∞x ∈ A∞. Do đó: ∼ E∞(xξ) = (E∞x)ξ. Tiếp theo, ta chỉ ra rằng ánh xạ: E∞ : A → A∞ là kỳ vọng có điều kiện mà ta đang tìm. Để làm được điều này, ta viết phương trình cho En(n = 1, 2, ...) : En1 = 1, 37 φ(yxz) = φ(yEn(x)z), với mọi y, z ∈ An;x ∈ A. Chuyển qua giới hạn n→∞ ta được: E∞1 = 1, φ(yxz) = φ(yE∞(x)z), với mọi y, z ∈ ∞∪ n=1 An;x ∈ A. Cho y, z ∈ A∞. Tìm (ys) và (zs) trong ∪An sao cho ys → y và zs → z mạnh. Ta có: φ(yxz) = lim s φ(yszxs) = lim s φ(ysE∞(x)zs) = φ(yE∞(x)z). Suy ra điều phải chứng minh. 3.1.5. Bổ đề. Cho A là một đại số von Neumann cùng với trạng thái chuẩn chính xác φ và {An} là dãy không tăng của các đại số von Neumann con của A cùng với các kỳ vọng có điều kiện. Đặt En = EAn. Cho ap là dãy các số dương sao cho: 0 = a0 < a1 < ... < an < ... < 1 và ap → 1. Khi đó toán tử: T = ∞∑ p=1 (ap−ap−1)Ep (3.4) là một nhân của A. Tuy nhiên, với mỗi ε > 0, có thể chọn dãy {ap} và dãy {np} các số nguyên dương sao cho: ∞∑ p=1 ‖ 1 np np−1∑ k=0 −Ep‖ 6 ε (3.5) Chứng minh. Vì trạng thái φ là chuẩn và chính xác, biểu diễn cyclic pi của A đối với φ là chuẩn chính xác và pi(A) là một đại số von Neumann. Vì vậy, không mất tổng quát, ta có thể giả thiết A tác động vào không gian biểu diễn GNS H = Hφ của nó cùng với vectơ cyclic tách ξφ. Cụ thể, ta có: φ(x) = (xξφ, ξφ) với x ∈ A. 38 Cho ∼ En là phép co của H tương ứng với kỳ vọng có điều kiện E, (tức là ∼ En(xξφ) = (En)ξφ). Hiển nhiên T là phép co tuyến tính dương của A với: T1 = 1 và φ(Tx) = φ(x), ∀x ∈ A. Đặt: ∼ T = ∞∑ p=1 (ap − ap−1) ∼ Ep. Khi đó, ∼ T là phép co tuyến tính của Hp và: (Tx)ξφ = ∼ T (xξφ) với x ∈ A. Do đó: φ ( (Tx)∗Tx ) = (Txξ, Txξ) = ‖Txξ‖2 6 ‖xξ‖2 = φ(x∗x), nên T là một nhân. Rõ ràng: EnEm = Emax(n,m). Điều này suy ra: T k = ∞∑ p=1 (akp−akp−1)Ep, k = 1, 2, ... (3.6) Thật vậy, (3.6) đúng với k = 1. Giả sử rằng (3.6) đúng với k, khi đó: T k+1 = ∞∑ p=1 bpEp, với: bp = (a k p − akp−1)(ap − ap−1) + (akp − akk−1)ap−1 + akp−1(ap − ap−1) = (ak+1p − ak+1p−1), suy ra (3.6) được chứng minh. Mặt khác, ta có: 1 n n−1∑ k=0 T k = 1 n I+ ∞∑ p=1 (b(n)p −b(n)p−1)Ep (3.7) với: b(n)p = 1− anp n(1− ap) , p > 0 (3.8) Theo công thức Taylor với hàm x→ (1 + x)n, x = a− 1, ta được: an 6 1 + n(a− 1) + n(n − 1) 2 (a− 1)2, với mọi 0 < a < 1; n = 1, 2, ... 39 Do đó: 1−n− 1 2 (1−a) 6 1 − a n n(1 − a) 6 1 n(1− a) (3.9) Từ (3.7); (3.8); (3.9) cho ta ước lượng: ‖1 n n−1∑ k=0 T k − Ep‖ 6 1 n ∞∑ q=1 q 6=p (b(n)q − b(n)q−1) + 1 − b(n)p + b(n)p−1 = 2(1− b(n)p + b(n)p−1) (Từ b(n)0 = 1n và bnp → 1 khi p→∞). Vì vậy, ta có (3.9) : ‖1 n n−1∑ k=0 T k − Ep‖ 6 2 (n− 1 2 (1− ap) + 1 n(1 − ap−1) ) . Cho n = np thì: np − 1 6 [(1− ap)(1 − ap−1)]− 12 6 np, và ta được: ‖ 1 np np∑ k=0 T k − Ep‖ 6 3( 1− ap 1 − ap−1 ) 1 2 Để kết thúc chứng minh, chỉ cần cố định (ap) sao cho: ∞∑ p=1 ( 1− ap 1 − ap−1 ) 1 2 < ε 3 , chẳng hạn, đặt: ap = 1 − (1 + 3ε )−2p 2 . 3.2 Sự hội tụ hầu đều của kỳ vọng có điều kiện và martingale Chúng ta bắt đầu bằng mệnh đề sau: 3.2.1. Mệnh đề. (xem [2]) Cho A là một đại số von Neumann với trạng thái chuẩn chính xác φ. An là dãy tăng ( tương ứng giảm ) của các đại số von Neumann con của A với kỳ vọng có điều kiện. Với mọi x ∈ A, dãy EAnx hội tụ mạnh đến EA∞x khi n → ∞, trong đó: A∞ = W ∗{An;n > 1}, (tương ứng: A∞ = ∞⋂ n=1 An) 40 Chứng minh. Cho {H, pi, ξ} là một biểu diễn cyclic của A đối với φ. ∼ En là một phép chiếu trực giao lên H tương ứng với EAn, nghĩa là: ∼ Enpi(x)ξ = pi(EAnx)ξ, với x ∈ A. ( ∼ En) là một dãy tăng (tương ứng giảm) của phép chiếu trực giao hội tụ mạnh đến phép chiếu ∼ E = sup n ∼ En (tương ứng inf n ∼ En). Do đó, với mọi x ∈ A và y ∈ pi(A)′, ta có: pi(EAnx)yξ = ypi(EAnx)ξ = y ∼ Enpi(x)ξ→ y ∼ Epi(x)ξ trong chuẩn của H. Từ {yξ, y ∈ pi(A)′} trù mật trong H (do tính chất của ξ) và dãy pi(EAnx) bị chặn đều nên pi(EAnx) hội tụ mạnh đến ∼ Epi(x). Vì pi(A) là đóng mạnh nên giới hạn này thuộc pi(A), tức là có một phần tử xác định duy nhất của A là E0x thỏa mãn: pi(EAnx) → pi(E0x). Nhưng ∼ E tương ứng với EA∞. Do φ là trạng thái chuẩn chính xác nên điều này cho ta sự hội tụ mạnh của EAnx đến EA∞x. Mệnh đề được chứng minh. 3.2.2. Định lý. (xem [2]) Cho A là một đại số von Neumann với trạng thái chuẩn chính xác φ. (An) là một dãy giảm các đại số von Neumann con của A với các kỳ vọng có điều kiện. Khi đó, với mỗi x ∈ A, dãy Enx = EAnx hội tụ hầu đều đến EA∞x, trong đó: A∞ = ∞⋂ n=1 An. Chứng minh. Cho x ∈ A và ε > 0. Lấy (ap) và (np) như trong Bổ đề 3.1.5. Từ Định lý 2.2.3 - [7], tồn tại xT ∈ A sao cho: 1 n n−1∑ k=0 T kx→ xT hầu đều. Do đó, tồn tại một phép chiếu q ∈ A sao cho φ(q⊥) < ε và: ‖( 1 n n−1∑ k=1 T kx− xT )q‖ → 0, n→∞. 41 Vì vậy, ta có: ‖(Epx− xT)q‖ 6 ‖Epx− 1 np n−1∑ k=0 T kx‖+ ‖ 1 np ( n−1∑ k=0 T kx− xT ) q‖ N(ε). Từ Định lý 1.2.1 - [7] - (i → ii), ta có được sự hội tụ hầu đều của Enx đến xT . Từ Mệnh đề 3.2.1, xT = EA∞x. Định lý được chứng minh. 3.2.3. Bổ đề. (xem [2]) Cho A là một đại số von Neumann với trạng thái chuẩn chính xác φ. A1 ⊂ A2 ⊂ ... ⊂ Aq là các đại số von Neumann con của A với các kỳ vọng có điều kiện tương ứng EA1 ,EA2 , ...,EAq. Khi đó, với mọi x ∈ A+, và với mọi ε > 0, ta có khai triển: EApx = ypq + zpq, 1 6 p 6 q, với: ypq ∈ A,xpq ∈ A+; ‖ypq‖ 6 ε, zpq < cq, p 6 q; cq ∈ A+, ‖cq‖ 6 4‖x‖, và: φ(cq) 6 8‖x‖1/2φ(x)1/2. Chứng minh. Cho ε > 0. Đặt: A′p = { Aq−p+1 nếu p 6 q, A1 nếu p > q. Với dãy (A′p) và cho trước ε > 0, ta có thể chọn (ap) và (np) sao cho với Tq được định nghĩa như trong Bổ đề 3.1.5, ta có: ‖EAp − 1 np np−1∑ k=0 T kq x‖ 6 ε Ta có thể viết: EApx = (EApx− 1 np np−1∑ k=0 T kq x) + 1 np np−1∑ k=0 T kq x. 42 Đặt: ypq và zpq là đại lượng thứ nhất và thứ hai trong khai triển trên của EApx. Khi đó: ‖ypq‖ 6 ε. Tồn tại cq với tính chất như trên suy ra từ Định lý ergodic cực đại của Lance (xem 2.2.15 - [5]). Bổ đề được chứng minh. 3.2.4. Bổ đề Maximal của Dang Ngoc đối với kỳ vọng có điều kiện. Cho (An) là một dãy tăng các đại số von Neumann con của A với các kỳ vọng có điều kiện. Với mỗi x ∈ A+, tồn tại c ∈ A+, sao cho: ‖c‖ 6 4‖x‖, φ(c) 6 8‖x‖1/2φ(x)1/2 và EAn 6 c, n = 1, 2, ... Chứng minh. Với mọi số nguyên q > 1, xét khai triển trong Bổ đề 3.2.3: EApx = ypq + zpq, với εq = 2−q; 1 6 p 6 q và với cq liên kết (như trong Bổ đề 3.2.3). Vì (cq) bị chặn đều nên tồn tại một dãy con hội tụ σ−yếu của (cq) là (cqi). Cho (cqi) → c (σ - yếu). Khi đó, ta có: ‖c‖ 6 4, φ(c) 6 8‖x‖1/2φ(x)1/2, đồng thời: ‖ypqi‖ 6 2−qi → 0 nên: ‖EApx→ zp,qi‖ → 0, i→∞, với mọi p = 1, 2, ... Vì: zp,qi 6 cqi, với p 6 qi(i = 1, 2, ...), ta suy ra: EApx 6 c. Bổ đề được chứng minh. 3.2.5. Bổ đề. (xem [2]) Cho (An) là một dãy tăng các đại số von Neumann con của A với các kỳ vọng có điều kiện. Đặt K0 = {x ∈ A : lim n ‖EAnx − EA∞x‖ = 0}. Với mọi phần tử dương x ∈ A, tồn tại một dãy (xp) trong K0 sao cho hội tụ đến x trong tôpô mạnh ∗. 43 Chứng minh. Cho x ∈ A+. Rõ ràng, từ (An) là tăng, ta có: ⋃ n An ⊂ K0. Từ Mệnh đề 3.2.1 suy ra mọi phần tử y ∈ A+∞ là một giới hạn mạnh (σ - mạnh) của dãy bị chặn (yp) của các phần tử dương của A∞ ⋂ K0 (do với y ∈ A∞, y = E∞y = lim n Eny). Đặt y = EA∞x. Cho 0 6 yp ∈ A∞ ⋂ K0 và yp → y mạnh. Tiếp theo, ta đặt: xnp = (yp − EA∞x). Khi đó, ta có: EAnxp = EAnyp, với mọi p; 1 6 n 6∞. Vì vậy: ‖EAnxp − EA∞xp‖ = ‖EAnyp − EA∞yp‖ → 0, n→∞ Điều đó có nghĩa là: xp ∈ K0. Hơn nữa: yp → y = EA∞x trong tôpô mạnh nên xp → x (mạnh ∗). Ta kết thúc chứng minh với chú ý rằng: ‖xp‖ 6 2‖x‖+ sup ‖yp‖. 3.2.6. Bổ đề. Cho A là một đại số von Neumann tác động trong không gian Hilbert H, Với x, y ∈ A, 0 6 x 6 y 6 1. Khi đó, tồn tại duy nhất một toán tử z ∈ A sao cho: x1/2 = zy1/2 và ‖z‖ 6 1. Chứng minh. Với h ∈ H ta có: ‖x1/2h‖2 = (xh, h) = (yh, h) = ‖y1/2h‖2 Đặc biệt: y1/2h = 0 suy ra x1/2h = 0. ánh xạ b : y1/2h→ x1/2h định nghĩa trên y1/2(H) là tuyến tính và liên tục trên y1/2(H). Hơn nữa, ta có: y1/2(H) = y(H). Cho c : y1/2(H) → H là một mở rộng duy nhất của b. Khi đó, 44 x1/2 → cy1/2 và tồn tại duy nhất z như trong Định lý. Tiếp theo, ta chỉ ra rằng z ∈ A. Nhưng với toán tử Unita u ∈ A′ (hoán tập của A), ta có: uzu∗y1/2 = uzy1/2u∗ = ux1/2u∗ = x1/2, suy ra từ sự duy nhất của z. Ta có:zu = uz với u ∈ A′. Từ Định lý song hoán tập (xem phụ lục, A4 - [7]) ta suy ra z ∈ A. 3.2.7. Bổ đề. (xem [5]) Cho x, y ∈ A, 0 6 x 6 y 6 1. Khi đó, với mọi phép chiếu p, ta có: ‖xp‖ 6 ‖yp‖1/2 Chứng minh. Từ Bổ đề 3.2.6, tồn tại một toán tử z ∈ A với ‖z‖ 6 1 sao cho: x1/2 = zy1/2. Do dó: ‖xp‖ = ‖x1/2zy1/2p‖ 6 ‖y1/2p‖ = ‖pyp‖1/2 6 ‖yp‖1/2 Cho x ∈ A. Bằng cách biểu diễn x dưới dạng tổng của phần tử liên hợp và phần liên hợp lệch sau đó viết một trong số chúng dưới dạng hiệu của phần âm và phần dương của nó, ta đạt được: x = 4∑ k=1 ik−1x(k), (3.10) với x(k) > 0, ‖x(k)‖ 6 ‖x‖. Đặt x++ = x(1) + x(2) + x(3) + x(4), ta có điều phải chứng minh. 3.2.8. Bổ đề. (xem [5]) Cho (xn) là một dãy bị chặn trong A và hội tụ đến 0 trong tôpô mạnh ∗. Khi đó: x++ → 0 mạnh. Chứng minh. Nếu xk = yk + izk, với yk và zk tự liên hợp, thì yk → 0 và zk → 0 (mạnh ∗), nên ta có thể giả sử rằng xk cũng tự liên hợp. Nếu xk → 0 mạnh thì 45 |xk| → 0 (vì ‖xkh‖ = ‖|xk|h‖). Do đó: (xk)(1) = 12(xk + |xk|) → 0 mạnh. Bổ đề được chứng minh. Bây giờ, ta sẽ xem xét một định lý mà có thể cho phép ta chứng minh định lý của Dang Ngoc. 3.2.9. Định lý. (xem [2]) Cho (An) là một dãy tăng các đại số von Neumann con của A với các kỳ vọng có điều kiện. Với mỗi x ∈ A, dãy EAnx hội tụ hầu đều đến EA∞x, n→∞, với A∞ = W ∗{An, n > 1} (đại số von Neumann sinh bởi An) Chứng minh. Đặt E = EAn, với 1 6 n 6∞. Từ Định lý 1.2.1 - [7] và tính chất cộng tính hiển nhiên của giới hạn tựa đều, ta giả sử rằng x ∈ A+ (nếu cần thì dùng khai triển 3.10 của x). Ta có thể giả sử rằng ‖x‖ 6 1. Từ Bổ đề 3.2.5, có một dãy (xp) ∈ K0 sao cho xp → x trong tôpô mạnh ∗, với ‖xp‖ 6 3. Ta có thể viết: Enx−E∞x = (Enxp−E∞xp)+En(x−xp)+E∞(xp−x). (3.11) Từ đó: x− xp = 4∑ k=1 ik−1(x− xp)(k) (3.12) là khai triển 3.10 của x − xp. Từ Bổ đề 3.2.4, ta tìm được cpk ∈ A+, (k = 1, 2, 3, 4) sao cho: En((x−xp)(k)) 6 cpk, n > 1, k = 1, 4 (3.13) và: ‖cpk‖ 6 8, φ(cpk) 6 16φ ( (x−xp)++ )1/2 (3.14) Ta có: E∞(x− xp) = 4∑ k=1 ik−1En((x− xp)(k)) (3.15) 46 Tiếp theo, ta đặt: cp = 4∑ k=1 [ckp]+En((x−xp)(k)) (3.16) Cho ε > 0, từ Bổ đề 3.2.8 và 3.14, cp → 0 mạnh. áp dụng Định lý 1.3.2 - [7] đối với dãy (cp), ta tìm được một dãy con (ps) và phép chiếu q sao cho φ(q⊥) < ε và lim s ‖cpsq‖ = 0. Từ 3.13 → 3.16 và Bổ đề 3.2.7, ta có: lim s→∞ sup n ‖En((x−xps)(k))q‖ = 0, 1 6 k 6 4, (3.17) và: lim s→∞ ‖E∞((xps−x)(k))q‖ = 0, 1 6 k 6 4, (3.18) kết hợp với 3.11, ta được: ‖(Enx−E∞x)q‖ 6 ‖Enxps−E∞xps‖+ 4∑ k=1 ‖En(x−xps)q‖+ 4∑ k=1 ‖E∞(x−xps)q‖. (3.19) Hai số hạng cuối tiến đến 0 khi s → ∞. Từ (xp) ⊂ K0, số hạng đầu tiên tiến đến 0 khi cố định s và n → ∞. Do đó, với ε > 0, ta có thể tìm được q, φ(q⊥) < ε sao cho: ‖(Enx− E∞x)q‖ < ε, với n đủ lớn. Từ Định lý 1.2.1 - [7] - (i) → (ii), ta đạt được sự hội tụ hầu đều của Enx đến E∞x. Định lý được chứng minh. Cho (An) là một dãy tăng các đại số von Neumann con của A với các kỳ vọng có điều kiện. (đối với trạng thái chuẩn chính xác trên A). Ta công nhận định nghĩa sau: 3.2.10. Định nghĩa. Dãy (xn) các phần tử của A là một martingale thích nghi với dãy (An) nếu các điều kiện sau đây đồng thời thỏa mãn: i) xn ∈ An, n = 1, 2, ... ii) EAnxn+1 = xn, n = 1, 2, ... iii) sup n ‖xn‖ <∞ 47 3.2.11. Định lý Dang Ngoc (xem [2]). Cho A là một đại số von Neumann với trạng thái chuẩn chính xác φ và (xn) là một martingale tương thích với dãy tăng (An) các đại số von Neumann con của A với các kỳ vọng có điều kiện (đối với φ). Khi đó, tồn tại duy nhất x∞ ∈ A∞ = W ∗{An, n > 1} sao cho (xn) hội tụ mạnh và hầu đều đến x∞. Hơn nữa, xn = EAnx∞ với mọi 1 6 n 6∞. Chứng minh. Ta có thể giả sử rằng A tác động trong GNS - không gian biểu diễn H (liên kết với φ). Đặc biệt, ta có: φ(x) = (xξ, ξ), với x ∈ A, ξ là véctơ cyclic và tách trong H. Ký hiệu ∼ En là phép chiếu chính tắc trong H liên kết với EAn, tức là: ∼ En(xξ) = (EAnx)ξ, với x ∈ A. Rõ ràng, ta có: xnξ = x1ξ + n∑ k=2 (xk − xk−1)ξ (3.20) Vì các vectơ x1ξ, (x2 − x1)ξ, ..., (xn+1 − xn)ξ, ... nên ta có: ‖xnξ‖2 = ‖x1ξ‖2+ n∑ k=2 ‖(xk−xk−1)ξ‖2 6 sup n ‖xn‖2, n = 1, 2, ... (3.21) Như vậy, x1ξ + (x2 − x1)ξ + ... hội tụ trong H. Ta ký hiệu giới hạn này là g. Ta có: ∼ Eng = xnξ, n = 1, 2, ... Cho y ∈ A. Khi đó: ‖xn(yξ)− yg‖ = ‖y(xnξ − g)‖ 6 ‖y‖.‖xnξ − g‖ → 0, n→∞. Do A′ξ trù mật trong H và dãy (xn) bị chặn đều nên (xn) hội tụ mạnh đến x ∈ A∞ và thỏa mãn xξ = g. Hơn nữa, ta có: xnξ = ∼ Eng = ∼ En(xξ) = (EAnx)ξ, n = 1, 2, ... Từ tính chất tách của ξ, ta có: xn = EAnx, n = 1, 2, ... Định lý được chứng minh. 3.2.12. Nhận xét. M.S. Goldstein (xem [4]) đã chứng minh Định lý hội tụ martingale 48 cho trạng thái trong trường hợp tổng quát hơn, độc lập với Dang Ngoc, theo một cách khác. Phương pháp của ông tương tự như một phương pháp mà ông đã dùng ước lượng trung bình ergodic là phương pháp hoán tập. Ta sẽ tiếp cận phương pháp của Goldstein bằng cách giả sử rằng đại số A (với trạng thái chuẩn chính xác φ) tác động trong không gian biểu diễn Hφ với véctơ cyclic và tách ξ. Ta bắt đầu với Bổ đề quan trọng sau của Goldstein. 3.2.13. Bổ đề. (xem [4]) Cho A1, A2, ..., AN là một dãy tăng các đại số von Neumann con của A với các kỳ vọng có điều kiện EAn = En (đối với φ). Ký hiệu E′ : A′ → A′ là ánh xạ đối ngẫu với En theo nghĩa Goldstein, tức là theo tính chất 2.2.6 - [7]. Cho x1, x2, ..., xm ∈ A, xi > 0, (i = 1, 2, ...,m) và ε1, ε2, ..., εm là các số dương sao cho: m∑ i=1 ε−1i φ(xi) < 1 (3.22) Khi đó, tồn tại các toán tử y1, y2, ..., ym ∈ A′ thỏa mãn các điều kiện sau: i) yi > 0, ∑m i=1 yi 6 1 ii) E′Nyi = yi, với i = 1, 2, ...,m iii) (yiξ, ξ) 6 ε−1i (xiyiξ, ξ), i = 1, 2, ...,m iv) Nếu y ∈ A′, 0 6 y 6 1 −∑mi=1 yi, với i = 1, 2, ...,m, 1 6 n 6 N. Chứng minh. Ta chú ý rằng: E′nE′m = E′n∧m = min(n,m) (3.23) Thật vậy, với x ∈ A, y ∈ A′, ta có: ( E′nE′m(y)ξ, xξ ) = ( x∗E′nE′m(y)ξ, ξ ) = = ( En∧m(x∗)yξ, ξ ) = ( x∗(E′n∧m(y)ξ, ξ ) = ( E′n∧m(y)ξ, xξ ) Vì x tùy ý và (Aξ) trù mật trong H, nên E′n∧m(y)ξ = E′nE′m(y)ξ. Từ tính chất tách của ξ, suy ra (3.23). Ta sẽ chứng minh Bổ đề bằng phương 49 pháp quy nạp đối với N. Giả sử rằng A1 ∈ CI. Khi đó, đặt (với N = 1) y1 = y2 = ... = ym = 0 và (yi) thỏa mãn tất cả các điều kiện từ (i) → (iv). Tiếp theo, giả sử rằng, với các đại số A1, ..., AN−1, ta tìm được các toán tử z1, z2, ..., zm thỏa mãn điều kiện (i) → (iv) (với zi = yi và N − 1 thay cho N). Ta xét đại số B = ∏m i=1A ′ và tập: L = {(u1, u2, ..., um) ∈ B,ui > 0,E′Nui = ui, 1 6 i 6 m; m∑ i=1 ui 6 1− ∑ i = 1mzi} (3.24) L là compact yếu và hàm: g(u1, u2, ..., um) = ∑ (xiuiξ, ξ)− εi(ui, ξ) (3.25) liên tục yếu trong L. Vì vậy, tồn tại một điểm u = (u1, ..., um) ∈ L sao cho g(u) = max g. Đặt yi = zi + ui, (1 6 i 6 m). Rõ ràng, các toán tử yi thỏa mãn điều kiện (i) và (ii). Cho y ∈ A′, với 0 6 y 6 1 −∑mi=1 yi, E′N (y) = y. Đặt ∧ y = E′N−1(y). Khi đó, ta có: ∧ y ∈ A′ và 0 6 ∧y 6 1− m∑ i=1 E′N−1(yi) 6 1− m∑ i=1 zi. Theo giả thiết quy nạp, ta được: (En(xi) ∧ yξ, ξ) 6 εi( ∧ yξ, ξ) với 1 6 n 6 N−1, 1 6 i 6 m (3.26) Từ Mệnh đề 2.2.6 - [7] và tính đơn điệu của dãy (E), ta được: (En(xi) ∧ yξ, ξ) = (En(xi)E′N−1(y)ξ, ξ) = = (EN−1En(xi)yξ, ξ) = (En(xi)yξ, ξ), 1 6 n 6 N − 1 (3.27) Hơn nữa, từ Mệnh đề 2.2.6 - [7], có: ( ∧ yξ, ξ) = (E′N−1(xi) ∧ yξ, ξ) = (yξ, ξ) (3.28) Nên từ (3.26) , (3.27) , (3.28), ta được: (En(xi)yξ, ξ) 6 εi(yξ, ξ) với n = 1, 2, ..., N − 1; i = 1, 2, ...,m (3.29) 50 Chú ý rằng, từ (3.24), ta có: (u1, ..., ui, ui + y, ui+1, ..., um) ∈ L với i = 1, 2, ...,m Đặt u = (u1, ..., um), ta có: g(u1, ..., ui, ui + y, ui+1, ..., um) 6 g(u) Từ (3.25) ta có: (xiyξ, ξ) 6 εi(yξ, ξ) (3.30) Tiếp tục, từ Mệnh đề 2.2.6 - [7], ta có: (EN (xi)yξ, ξ) = (xiE′N (y)ξ, ξ) = (xiyξ, ξ) (3.31) nên từ (3.30) ta được: (En(xi)yξ, ξ) 6 εi(yξ, ξ). Do đó, ta có (iv) (với 1 6 i 6 m và 1 6 n 6 N − 1). Tiếp theo, ta chứng minh (iii). Để làm được điều này, ta thấy rằng, rõ ràng: g(u1, u2, ..., ui−1, 0, ui+1, ..., um) 6 g(u) Suy ra: (uiξ, ξ) 6 ε−1i (xiuiξ, ξ). Nhưng từ giả thiết quy nạp: (ziξ, ξ) 6 ε−1i (xiziξ, ξ) với 1 6 i 6 m. Vì vậy, ta nhận được: (yiξ, ξ) 6 ε−1i (xiyiξ, ξ). Bổ đề được chứng minh. 51 3.2.14. Định lý. (xem [4]) Cho A là một đại số von Neumann và (An) là một dãy tăng của các đại số von Neumann con của A với kỳ vọng có điều kiện En = EAn. Cho (xn) là dãy các toán tử dương từ A thỏa mãn: ∞∑ n=1 ε−1n φ(xn) < 1 2 với εn là các số dương. Khi đó, tồn tại một phép chiếu p ∈ A sao cho: ‖pEm(xn)p‖∞ 6 2εn với mọi m,n = 1, 2, ... và: φ(p) > 1 − 2 ∞∑ n=1 ε−1n φ(xn). Chứng minh. Xét N toán tử x− 1, x2, ..., xn. áp dụng Bổ đề 3.2.13 đối với các đại số A1 ⊂ A2 ⊂ ... ⊂ An, ta tìm được: y1N , ..., yNN sao cho: yiN > 0, N∑ i=1 yiN 6 1 (3.32) và: (yiNξ, ξ) 6 ε−1i (xiyiNξ, ξ) với 1 6 i 6 N (3.33) Nếu 0 6 y 6 1 −∑Ni=1 yiN , y ∈ A′ thì: (En(xi)yξ, ξ) 6 εi(yξ, ξ) với i, n = 1, 2, ..., N (3.34) Đặt yN = 1 − ∑N i=1 yiN . Hiển nhiên: 0 6 yN 6 1 và với y ∈ A′, 0 6 y 6 yN, ta có: (En(xi)yξ, ξ) 6 εi(yξ, ξ) với i, n = 1, 2, ..., N (3.35) Đặt qN = supportyN. Từ Mệnh đề 2.2.8 - [7], ta có: (En(xi)yξ, ξ) 6 εi(yξ, ξ) với mỗi y ∈ qNA′qN , và i, n = 1, 2, ..., N (3.36) 52 Theo Bổ đề 2.2.7 - [7], tồn tại một phép chiếu pN ∈ A, sao cho: φ(pN ) > (qNξ, ξ) (3.37) và: ‖pNEN (xi)pN‖∞ 6 εi, i, n = 1, 2, ..., N (3.38) Từ 0 6 yN 6 1, ta có: yN 6 qN. Do đó: (qNξ, ξ) > (yNξ, ξ) = 1− N∑ i=1 (yiNξ, ξ) (3.39) Từ (3.33), ta nhận được: (yiNξ, ξ) 6 ε−1i (xiyiNξ, ξ) = ε−1i (yiNx 1/2 i ξ, x 1/2 i ξ) 6 6 ε−1i ‖x1/2i ξ‖2 = ε−1i (xiξ, ξ) = ε−1i φ(ξ) (3.40) Vì vậy, từ (3.37), (3.39), (3.40), ta được: φ(pN ) > 1− −1∑ i=1 ε−1i φ(xi) (3.41) Xét dãy chỉ số con (Ns) sao cho dãy (pNs) hội tụ trong tôpô toán tử yếu đến một toán tử dương Q. Cho Q = ∫ 1 0 λF(dλ) là biểu diễn phổ của Q. Đặt p = F [1 2 , 1]. Ta có thể kết thúc chứng minh Định lý bằng cách tương tự như chứng minh trong Mệnh đề 2.2.9 - [7]. 3.2.15. Bổ đề. (xem [4]) Cho A là một đại số von Neumann và (An) là một dãy tăng của các đại số von Neumann con của A với kỳ vọng có điều kiện En = EAn. Ký hiệu E∞ là kỳ vọng có điều kiện của A∞ = W ∗{An, n = 1, 2, ...}. Cho δ > 0. Khi đó, tồn tại một phần tử ∧x ∈ A sao cho các điều kiện sau đây thỏa mãn: ‖x−∧x‖2 < δ (3.42) ‖∧x‖∞ 6 3‖x‖∞ (3.43) ‖En(∧x)−E∞(∧x)‖ → 0, n→∞ (3.44) 53 Chứng minh. Trước hết, ta chú ý rằng, từ Ví dụ 7 trong (3.1.4) thì kỳ vọng có điều kiện E∞ tồn tại. Giả sử rằng ‖x‖ 6 1. Ta dùng thác triển chính tắc của En (tức là đặt ∼ E(xξ) = En(x)ξ ), ta được dãy ( ∼ En) của các phép chiếu trực giao. Nó cho phép ta tìm được n0 sao cho: ‖En(x)− E∞(x)‖2 6 δ, với n > n0. Đặt: ∧ x = x−E∞(x)+ ∞∑ n=1 2−nEn0+n(x) (3.45) thì: E∞( ∧ x) = ∞∑ n=1 2−nEn0+n(x) (3.46) và với n > n0, En( ∧ x) = n−n0∑ k=1 2−kEn0+k(x)+ ∞∑ k=n−n0+1 2−kEn(x) (3.47) Do đó, ta có: ‖En(∧x)− E∞(∧x)‖∞ 6 ∞∑ k=n−n0+1 2−k , suy ra ‖En(∧x)− E∞(∧x)‖ → 0, khi n→∞. Hơn nữa: ‖x− ∧x‖2 6 ∞∑ n=1 2−n‖E∞(x)− En0+n(x)‖ 6 δ. Cuối cùng: ‖∧x‖∞ 6 ‖x‖∞ + ‖E∞(x)‖∞ + ∞∑ n=1 2−n‖En0+n(x)‖ 6 3‖x‖∞. Bổ đề được chứng minh. Cho X là bao đóng của tập {x = x∗ : x ∈ A} trong L2(A,φ) = H (ta đồng nhất x và xξ với ξ là phần tử cyclic tách trong H). Khi đó, X là không gian tuyến tính thực. Ký hiệu X + iX là một dạng phức hóa của nó. 54 3.2.16. Định lý Goldstein (xem [4]). Cho A là một đại số von Neumann và (An) là một dãy tăng của các đại số von Neumann con của A với kỳ vọng có điều kiện En = EAn , (n = 1, 2, ...). Ký hiệu E∞ là kỳ vọng có điều kiện của A∞ = W ∗{An, n = 1, 2, ...}. Cho δ > 0. Khi đó, với mỗi x ∈ X + iX, dãy En(x) hội tụ hầu đều đến E∞(x). Chứng minh. Ký hiệu bởi cùng một chữ En là thác triển chính tắc của En thành một phép chiếu trong H (tức là ta đồng nhất biểu thức En(x)ξ với En(xξ), với x ∈ A). Cho x = y + iz, với y, z ∈ X. Ký hiệu K là tập tất cả x ∈ A mà: ‖En(x)− E∞(x)‖∞ → 0, n→∞. Từ Bổ đề (3.2.15), tồn tại hai dãy (yn) và (zn) trong K sao cho: yn = y ∗ n, zn = z ∗ n, ‖yn‖2 6 2−n, ‖zn‖2 6 2−n và y = ∞∑ n=1 yn, z = ∞∑ n=1 zn (sự hội tụ của hai dãy này xét trong chuẩn của L2). Cho trước ε > 0. Đặt εn = 2−n, (n = 1, 2, ...) và cố định n0 sao cho: 2n0 < ε/4. áp dụng Định lý 3.2.14 với toán tử y2n và z2n, ta tìm được phép chiếu p ∈ A, sao cho: ‖pEm(y2n)p‖∞ 6 2εn, m = 1, 2, ...; n > n0, (3.48) ‖pEm(z2n)p‖∞ 6 2εn, m = 1, 2, ...; n > n0, (3.49) và: φ(p) > 1−2 ∞∑ n=n0+1 ε−1n [φ(y 2 n)+φ(z 2 n)] > 1−4 ∞∑ n=n0+1 2−n > 1−ε (3.50) Từ bất đẳng thức Kadison (xem A37 - [7]), ta được: ‖pEm(yn)2p‖∞ 6 ‖pEm(y2n)p‖∞ 6 2−n+1 với m = 1, 2, ...;n > n0 (3.51) Do đó: ‖Em(yn)p‖∞ = ‖pEm(yn)2p‖1/2∞ 6 21− n 2 , với m = 1, 2, ...; n > n0. (3.52) 55 Từ yn ∈ R, (chuyển qua giới hạn trong (3.52)), ta được: ‖Em(yn)p‖∞ 6 21−n2 , với n > n0. (3.53) Rõ ràng, ta cũng có kết quả tương tự đối với dãy (zn). Cho n > n0. Từ (3.52) và (3.53), với mỗi 1 6 m 6∞, ta có: ∞∑ s=n+1 ‖Em(ys)p‖∞ 6 λn với λn = ∞∑ s=n+1 21−s/2 (3.54) Do đó, có các toán tử Rn,m ∈ A sao cho: ‖Rn,m‖∞ 6 λn, (m = 1, 2, ...,∞) và: ‖ n+N∑ s=n+1 Em(ys)−Rn,m‖∞ → 0 khi N →∞ (3.55) Mặt khác, chuỗi ∑∞ s=n+1 ‖Em(ys) hội tụ đến Em(y) trong H, tức là trong chuẩn của L2, với m = 1, 2, ...,∞. Do đó: Em(y) = n∑ s=1 Em(ys)+Rn,m, (m = 1, 2, ...,∞) (3.56) Vì vậy, ta có đánh giá: ‖(Em(y)−E∞(y))p‖∞ 6 nmax 16s6n ‖(Em(ys)−E∞(ys))p‖∞+‖Rn,m‖∞+‖Rn,∞‖∞ (3.57) Với δ > 0, ta lấy n1 > n0 sao cho λn1 < δ/4. Từ (ys) ⊂ K, có một m sao cho: ‖Em(ys)− E∞(ys)‖∞ < δ 2n1 với m > n1. Từ (3.57), ta được: ‖(Em(y)− E∞(y))p‖∞ 6 δ với m > n1. Điều đó có nghĩa là: ‖(Em(y)− E∞(y))p‖∞ → 0 khi m→∞. 56 Tương tự, ta cũng có: ‖(Em(z)− E∞(z))p‖∞ → 0 khi m→∞. Tóm lại, với ε > 0, ta tìm được một phép chiếu p ∈ A sao cho: ‖(En(z)− E∞(z))p‖∞ → 0 khi n→∞, và: φ(p⊥) < ε. Định lý được chứng minh. 3.2.17. Nhận xét. Cho (Ω,F ,P) là không gian xác suất và (Fn) là một dãy tăng của các các đại số con của F. Chúng ta coi các kỳ vọng điều kiện Pn = En(.|Fn) như là các toán tử tác động trong L2(Ω,F ,P). Tiếp theo, từ lý thuyết hội tụ martingale, dãy E(f |Fn) hội tụ hầu chắc chắn, với mọi f ∈ L2. L2 - version của lý thuyết martingale là đúng với các phép chiếu Pn không nhất thiết là kỳ vọng có điều kiện. E.stein đã chứng minh được rằng, với mỗi dãy tăng Pn của các phép chiếu trực giao dương trong L2(Ω,F ,P), dãy Pnf hội tụ hầu chắc chắn với mỗi f ∈ L2. Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ ra một kết quả tương tự như đã chứng minh trong đại số von Neumann. Cho A là đại số von Neumann hữu hạn với trạng thái chuẩn chính xác φ. Ta đưa ra định nghĩa sau: 3.2.18. Định nghĩa. (xem [3]) Một dãy an : E2(A,φ) → L2(A,φ) được gọi là thỏa mãn điều kiện Duncan nếu có một hằng số c dương sao cho: φ(| n∑ k=1 a∗k(pk)|2) 6 c2, (3.58) với mọi dãy (p1, p2, ...) các phép chiếu trực giao của A và các số nguyên dương n. Ta sẽ bắt đầu bằng Bổ đề maximal với toán tử dương trong L2(A,φ). 57 3.2.19. Bổ đề. Cho an : E2(A,φ) → L2(A,φ) là một dãy các toán tử dương (tức là anx > 0, với x > 0). Nếu (an) thỏa mãn điều kiện Duncan thì với mỗi x ∈ L2(A,φ) và ε > 0 có một phép chiếu q ∈ A sao cho: ‖qak(x)q‖ < 2ε với k = 1, 2, ..., (3.59) và: φ(1− q) 6 2c ε φ(|x|2)1/2 (3.60) Chứng minh. Trước hết, ta giả sử rằng x > 0. Khi đó ak(x) > 0. Cho ε > 0. Đặt q0 = 0. Tiếp tục ta định nghĩa bằng truy hồi: pn = e(ε,∞){(1 − qn−1)an(x)(1− qn−1)}, n = 1, 2, ... và qn = qn−1 + pn. Rõ ràng, các phép chiếu (pn) là trực giao và: qn = p1 + p2 + ...+ pn. Hơn nữa, từ pk 6 1− qk−1, ta có: φ ( pkak(x) ) = φ ( pkak(x)pk ) = φ ( pk(1− qk−1)ak(x)(1− qk−1)pk ) = ε ∫ ∞ ε λ ε φ ( edλ{(1− qk−1)ak(x)(1− qk−1)} ) > εφ ( e(ε,∞){(1− qk−1)ak(x)(1− qk−1)} ) = εφ(pk). Chúng ta chú ý rằng: φ ( pkak(x) ) =2, với 2= φ(v∗u) là một tích trong L2. Như vậy, ta có: φ(qn) = n∑ k=1 φ(pk) 6 1 ε n∑ k=1 φ ( pkak(x) ) = 1 ε 2 58 = 1 ε n∑ k=1 2 = 1 ε < x, n∑ k=1 a∗k(pk) >2 6 1 ε ‖x‖2.‖ n∑ k=1 a∗k(pk)‖2 = 1 ε φ(|x|2)1/2φ(| n∑ k=1 a∗k(pk)|2)1/2 6 c ε φ(|x|2)1/2. Đặt: 1− q = ∑∞k=1 pk. Khi đó, ta có: φ(1− q) 6 c ε φ(|x|2)1/2, và: ‖qak(x)q‖ 6 ‖(1− qk−1)ak(x)(1− qk−1)‖ = ‖(1− pk+1)(1− qk)ak(x)(1− qk)(1− pk+1)‖ < ε, (k = 1, 2, ...). Nếu x là tùy ý trong L2(A,φ), ta đặt x = u+ iv, với u = u∗ ∈ L2, v = v∗ ∈ L2. Cố định q ∈ Proj A, sao cho: ‖qak(|u|+ |v|)q‖ < ε, với k = 1, 2, ... và: φ(1− q) < c ε [φ(|u|+ |v|)2]1/2. Khi đó, ta có: −qak(|u|)q 6 qak(u)q 6 qak(|u|)q, và công thức tương tự cho v, nên ta có: ‖qak(x)q‖ 6 2‖qak(|u|+ |v|)q‖ < 2ε, với k = 1, 2, ... Hơn nữa, ta có: φ(1− q) 6 2c ε φ(|x|2)1/2. Thật vậy, có các dãy un ∈ A, vn ∈ A, sao cho: un → u, vn → v trong L2, nên φ(uv) = φ(vu). Do đó: φ(|x|2) = φ(u2) + φ(v2), 59 và: [φ(|.u|+ |v|)2]1/2 6 φ(|x|2)1/2. Bổ đề được chứng minh. 3.2.20. Định lý. Cho (Pn) là một dãy tăng các phép chiếu trực giao dương trong L2(A,φ). Khi đó, với mỗi x ∈ L2(A,φ) thì Pnx → Px hai phía hầu đều. Trong đó P là giới hạn mạnh của (Pn). Chứng minh. Cho x ∈ L2(A,φ). Đặt Rn = P − Pn. Khi đó, dãy các phép chiếu (Rn) thỏa mãn điều kiện Duncan. Để chứng minh điều này, chỉ cần thay đổi một chút suy luận đơn giản của Duncan (xem [3]). Cụ thể là, cho qk(k = 1, 2, ...) là dãy các phép chiếu trực giao trong A. Khi đó: φ(| n∑ k=1 Rkqk|2) = n∑ r,s=1 = n∑ r,s=1 2 = n∑ r,s=1 2 6 n∑ r,s=1 ( Từ 2= φ(Pr∨s(qr)qs) = φ(qsPr∨s(qr)qs) > 0 ). Do đó: φ(| n∑ k=1 Rkqk|2) 6 ‖P( n∑ r=1 qr)‖2‖ n∑ s=1 qs‖ 6 1, và ta nhận được điều kiện Duncan. Đặt H = L2(A,φ) và cho W là không gian tuyến tính sinh bởi (I−P)(H) và (Pk+1 − Pk)(H), (k = 1, 2, ...). Rõ ràng, W trù mật trong H (trong tôpô L2 - chuẩn) và Rn(W ) = 0, với n > n(ω), trong đó ω ∈ W . Do đó, với ε > 0 và x ∈ L2(A,φ), ta có thể tìm được ω ∈ W sao cho x = ω + a, với φ(|a|2) < ε4. Chú ý rằng: Rn(x) = Rn(a), với n > n0. Từ Bổ đề 3.2.19, tồn tại một phép chiếu q ∈ A, sao cho: ‖qRn(x)q‖ = ‖qRn(a)q‖ n0, 60 và: φ(1 − q) 6 2 ε φ(|a|2)1/2 < 2 ε ε2 = 2ε. Tóm lại, với x ∈ L2(A,φ) và ε > 0, có một phép chiếu q ∈ A, sao cho: (∗) ‖qRn(x)q‖ n0 và φ(1 − q) < ε. Từ (∗), ta tìm được một dãy (qn) ⊂ Proj A và một dãy (mn) các số dương sao cho: φ(1− qn) mn. Đặt q = ∧nqn. Khi đó φ(1 − q) < ε và ‖qRn(x)q‖ → 0, n → ∞. Nghĩa là: Pnx→ Px hầu đều. Định lý được chứng minh. 3.2.21. Nhận xét. Kỳ vọng có điều kiện (và martingale) trong đại số von Neumann đã được bắt đầu nghiên cứu trên thế giới vào năm 1954 bởi Umegaki và Tomiyama. Năm 1967, Arveson đã chứng minh được định lý L2 - hội tụ đối với các dãy đơn điệu của kỳ vọng có điều kiện. Takesaki đã chứng tỏ được rằng kỳ vọng có điều kiện EB từ A lên đại số con B (đối với trạng thái φ) tồn tại nếu và chỉ nếu đại số B là bất biến đối với nhóm tự đẳng cấu modular (σφt ) của trạng thái φ (đối chiếu với phụ lục - [7]). Định lý hội tụ martingale theo từng điểm trong đại số von Neumann đã được chứng minh đầu tiên bởi Cuculescu trong trường hợp đại số von Neumann hữu hạn (tức là khi trạng thái φ là vết). Kết quả này đã được tổng quát hóa bởi Lance trong trường hợp một vết nửa hữu hạn. Những kết quả tổng quát nhất thuộc về Dang Ngoc và Goldstein và đã được thảo luận chi tiết trong chương này. Dang Ngoc đã thích nghi một cách rất hiệu quả các phương pháp của Neveu - người làm giảm các chi tiết trong chứng minh cổ điển các định lý của Doob về lý thuyết ergodic. ý tưởng chính của Dang Ngoc là: lý thuyết sự hội tụ hầu 61 đều của martingale được suy ra từ các kết quả của Lance - K .. ummerer. Phương pháp của Goldstein là trực tiếp và rất có ích trong các trường hợp khác (so sánh với kết quả của Goldstein đã trình bày trong chương 2 - [7]). Các trường hợp không giao hoán của lý thuyết martingale chuẩn hội tụ là rất rộng, vượt quá phạm vi luận văn và không được thảo luận ở Chương này. 62 Kết luận Có thể nói lý thuyết về kỳ vọng có điều kiện và martingale đã được rất nhiều nhà toán học hàng đầu quan tâm bởi những ứng dụng to lớn của nó. Trong đó có trường hợp nghiên cứu chúng trong đại số von Neumann. Với mục đích của luận văn là hiểu và nắm bắt được các kết quả về đặc trưng của kỳ vọng có điều kiện trong không gian Lp cũng như các dạng hội tụ của chúng trong đại số von Neumann, tôi đã cố gắng tìm hiểu, tổng hợp và hệ thống các vấn đề có liên quan đến nội dung của đề tài luận văn. Tuy nhiên, do khả năng và trình độ có hạn nên chắc chắn luận văn không thể tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự hướng dẫn, chỉ bảo của các thầy cô, sự hợp tác của các bạn để tôi có thể hoàn thiện hơn. 63 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Duy Tiến và Vũ Viết Yên (2000), Lý thuyết xác suất, Nhà xuất bản giáo dục, Hà Nội. [2] Dang Ngoc, N. (1979), Pointwise convergence of martingales in von Neumann algebras, Israel J. Math. (34), No. 4, 273 - 280. [3] Duncan, R. (1977), Some pointwise convergence results in Lp(à), 1 < p <∞, Canad. Math. Bull. (20), 277 - 284. [4] Goldstein, M. S. (1981), Theorems in almost everywhere convergence in von Neumann algebras, In Russian. J. Oper. Theory 6, 233 - 311. [5] Lance, E. C. (1976), Ergodic theorems for convex sets and operator algebras, Invent Math. (37), 201 - 214. [6] Neveu J. (1975), Discrete-Parameter martingales, North-Holland Math. Library. [7] Ryszard Jajte. (1985), Strong Limit Theorems in Non-Commutative Probability, Springer - Verlag, New York. [8] Takesaki, M. (1972), Conditional expectations in von Neumann algebras, J. Funct. Anal. (9), 306 - 321. [9] William S. D. (2001), Probability with martingales, Cambridge Math. Text Books.