Đề tài Sử dụng biểu diễn trực quan động để nâng cao năng lực đại số của học sinh lớp 10

1 CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU 1. Giới thiệu Giáo dục tính tích cực, chủ động và phát triển năng lực độc lập giải quyết vấn đề cho học sinh là vấn đề cần được quan tâm trong mọi thời đại. Công nghệ thông tin ngày càng có vai trò quan trọng trong mọi lĩnh vực, trong đó có giáo dục. Nó đã, đang và sẽ có tác động trực tiếp đến nội dung, phương tiện và phương pháp dạy học. Vì vậy, mỗi nhà trường THPT cần trang bị cho học sinh kỹ năng không ngừng tự bổ sung kiến thức và đổi mới tri thức, phát triển kỹ năng tích cực học tập của học sinh, biết tự mình thu thập tri thức và vận dụng tri thức một cách sáng tạo. Nhằm đáp ứng nhu cầu trên, hiện nay, các chương trình giáo dục toán phổ thông thường tạo điều kiện cho tất cả học sinh để: Xây dựng kiến thức toán thông qua giải quyết vấn đề; Giải quyết vấn đề nảy sinh từ toán học và những hoàn cảnh khác; Áp dụng và mô phỏng nhiều phương pháp thích hợp để giải quyết vấn đề; Theo dõi và phản ánh quá trình giải quyết vấn đề. Theo PISA (chương trình đánh giá Học sinh Quốc tế - Programme for International Student Assessment) thì học sinh lớp 10 đang ở lứa tuổi mười lăm, lứa tuổi vừa hoàn thành phổ cập chính thức bậc trung học cơ sở, cũng là giai đoạn chuyển tiếp có ý nghĩa quyết định, ở đó năng lực toán của học sinh sẽ có ảnh hưởng lớn đến thành công của các em trong những năm học tiếp theo và nghề nghiệp sau này. Do đó, để hình thành các năng lực về toán cho học sinh là điều rất quan trọng. Trong chương trình Đại số lớp 10, có rất nhiều khái niệm, định lý… khá trừu tượng và vẫn còn nhiều giáo viên dạy theo lối truyền thụ, thiếu mô hình trực quan động nên học sinh thường gặp khó khăn trong việc nắm khái niệm cũng như nhầm lẫn các khái niệm. Khi đó, sẽ xảy ra trình trạng học sinh phải học thuộc định nghĩa, định lý và vận dụng máy móc vào giải bài tập mà không hiểu được bản chất của các khái niệm cơ bản. Chúng tôi cho rằng, các phần mềm động có thể giúp ích cho việc học toán, nghĩa là: thông qua các biểu diễn 2 trực quan động được thiết kế trên phần mềm The Geometer’s Skepchpad (GSP), giáo viên có thể sử dụng có hiệu quả cao trong nhiều khâu của quá trình dạy toán như: Phát hiện vấn đề, khảo sát, giải quyết vấn đề, củng cố, kiểm tra và đánh giá, thông qua đó học sinh có thể phát hiện và giải quyết vấn đề một cách dễ dàng, nhanh chóng. 1.1. Nhu cầu nghiên cứu Giải quyết vấn đề là mục tiêu chính của việc học toán. Với học sinh, đó là kỹ năng cơ bản cho công việc ở tương lai. Khác với một số nước trên thế giới, các hoạt động tìm kiếm và sử dụng các biểu diễn trực quan động chưa có vị trí riêng trong nội dung dạy học hay các chủ đề của chương trình toán ở nước ta. Do đó, đa số học sinh đều bỡ ngỡ khi tiếp xúc với các kiểu nhiệm vụ này, đặc biệt là sử dụng các biểu diễn trực quan động để giải quyết các vấn đề toán học và thực tế. Phương pháp dạy học luôn cần được đổi mới để phù hợp với các yêu cầu của thời đại và mỗi người giáo viên luôn mong muốn mang đến cho học sinh những giờ học thực sự hiệu quả, giáo viên truyền đạt đầy đủ kiến thức nhưng mất không quá nhiều thời gian, học sinh chủ động hoàn toàn. Lấy ví dụ, để rút ra được định lý về dấu của tam thức bậc hai, giáo viên phải có 6 đồ thị của hàm số bậc hai tương ứng với các trường hợp. Câu hỏi đặt ra là: làm thế nào để học sinh có thể rút ra được kết luận mà không phải dùng nhiều hơn một đồ thị? không mất quá nhiều thời gian trên lớp?...Sử dụng biểu diễn trực quan động là một câu trả lời phù hợp. Để góp phần nâng cao chất lượng học tập, nâng cao các năng lực toán cho học sinh, việc đổi mới phương pháp cần được thực hiện theo hướng tích cực hoá người học, cần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, chủ động, tích cực và sáng tạo. Thích hợp với định hướng đó có nhiều xu hướng dạy học nhằm nâng cao năng lực đại số với sự hỗ trợ của các biểu diễn trực quan động trên máy tính. 1.2. Đề tài nghiên cứu Nghiên cứu vai trò của biểu diễn trực quan động trong việc nâng cao năng lực toán của học sinh THPT nói chung và trong việc nâng cao năng lực đại số của 3 học sinh lớp 10 nói riêng là một nhiệm vụ thiết thực, có ý nghĩa. Các mô hình toán học động tỏ ra có hiệu quả trong việc hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức và nâng cao năng lực toán học cho học sinh. Việc xây dựng các mô hình này cũng như áp dụng nó vào giảng dạy cần được thực hiện một cách phổ biến. Chúng tôi chọn đề tài: “Sử dụng biểu diễn trực quan động để nâng cao năng lực đại số của học sinh lớp 10”. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của nghiên cứu “Sử dụng biểu diễn trực quan động để nâng cao năng lực đại số của học sinh lớp 10” là:  Lên ý tưởng và thiết kế các mô hình động, phù hợp với khả năng của học sinh để học sinh có thể thực hiện được các thao tác trên mô hình nhằm đạt hiệu quả trong giờ dạy.  Nắm bắt được năng lực đại số mà học sinh lớp 10 thể hiện khi giải quyết các vấn đề toán học và các vấn đề thực tế bằng cách sử dụng biểu diễn trực quan động.  Nghiên cứu vai trò của biểu diễn trực quan động đối với việc nâng cao năng lực đại số của học sinh lớp 10. 3. Câu hỏi nghiên cứu Dựa vào các mục đích ở trên, nghiên cứu này sẽ trả lời ba câu hỏi sau:  Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất: Xây dựng những mô hình động về đại số như thế nào để giáo viên và học sinh có thể sử dụng nhằm đạt hiệu cao trong giảng dạy và học tập?  Câu hỏi nghiên cứu thứ hai: Những năng lực đại số nào mà học sinh lớp 10 thể hiện khi giải quyết các vấn đề toán học và thực tế thông qua thao tác trên các biểu diễn trực quan động?  Câu hỏi nghiên cứu thứ ba: Các bài toán có sử dụng biểu diễn trực quan động có vai trò như thế nào đối với việc nâng cao năng lực đại số của học sinh lớp 10? 4. Định nghĩa các thuật ngữ  Trực quan hóa: Trực quan hoá là khả năng, quá trình và sản phẩm của sự sáng tạo, giải thích, sử dụng và phản ánh dựa trên các hình vẽ, hình ảnh, đồ thị, sơ đồ, biểu bảng ở trong đầu chúng ta, trên giấy hay trên các công 4 cụ khoa học công nghệ, với mục đích mô tả và giao tiếp thông tin, tư duy và phát triển các ý tưởng chưa biết trước đó để đi đến việc hiểu toán (Arcavi, 2003, [14, tr. 217).  Biểu diễn: Có nhiều định nghĩa khác nhau về biểu diễn trong giáo dục toán. Hầu hết các nhà nghiên cứu giáo dục toán phân biệt giữa biểu diễn trong và ngoài, trong đó biểu diễn ngoài là những biểu hiện của các ý tưởng hoặc khái niệm như biểu đồ, bảng biểu, đồ thị, sơ đồ, ngôn ngữ… và biểu diễn trong là các mô hình nhận thức mà một người có được trong trí óc họ (Minh Phúc, 2010, [4]).  Biểu diễn bội: BDB là những biểu hiện bên ngoài của các ý tưởng và khái niệm toán học nhằm cung cấp cùng một thông tin ở những dạng khác nhau (Minh Phúc, 2010, [4]).  Biểu diễn trực quan: Biểu diễn trực quan được xem là công cụ để trực quan hoá nhằm hiểu được các đối tượng toán học trừu tượng.  Biểu diễn trực quan động: BDTQĐ trên máy tính là biểu diễn trực quan trong đó cho phép sử dụng các thao tác động lên các đối tượng trong biểu diễn. Với sự hỗ trợ của máy tính cùng các phần mềm hình học động GSP, có thể thiết kế được các biểu diễn loại này để hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức toán (Minh Phúc, 2010, [4]).  Vấn đề: Vấn đề là tình huống đặt ra cho cá nhân hoặc nhóm để giải quyết mà khi đối mặt với tình huống này họ không thấy ngay các phương pháp hoặc con đường để thu được lời giải (Trần Vui, 2006, [10]).  Suy luận: Suy luận chỉ quá trình một cá nhân có thể sử dụng các quy tắc, các bằng chứng và những kiến thức đã có để suy ra các kết luận mới, xây dựng các giải thích hoặc đánh giá các kết luận khác (English, L. D.,2004, [15]).  Tư duy: là cách nghĩ để nhận thức và giải quyết vấn đề. Tư duy là quá trình tâm lý nhờ đó con người phản ánh, nhận thức được các sự vật hiện tượng, các mối quan hệ của hiện thực qua những dấu hiệu căn bản của chúng.  Tư duy toán học: là khả năng của người học để đạt một kết luận có cơ sở từ những dữ liệu toán học đã cho. Đặc trưng quan trọng nhất của tư duy toán học là tính có vấn đề, tư duy phải được gắn với những tình huống có vấn 5 đề. Học sinh phải đặt được giả thuyết, rồi từ những mối liên hệ trong tình huống có vấn đề để đi đến kết luận và lý giải kết quả đạt được. Những kết quả này sẽ được tổng hợp thành những ý tưởng toán học mới. Ở đây, chúng ta chia thành bốn thành phần chính là nhắc lại, hiểu, phê phán và sáng tạo. Với quan điểm này thì quá trình suy luận toán học là một bộ phận của tư duy toán học, nó nằm trên mức độ tư duy nhắc lại.  Tư duy logic: là tư duy theo các quy tắc của logic học, là cách tư duy nhằm khám phá bản chất, tính tất yếu, tính quy luật của sự vật trong quá trình phát triển.  Tư duy sáng tạo: là cách nghĩ mới về sự vật, hiện tượng, về mối quan hệ, suy nghĩ mới về cách giải quyết có ý nghĩa, có giá trị.  Tư duy phê phán: là khả năng xem xét các mối liên hệ, đánh giá mọi khía cạnh của bài toán hay tình huống. Tư duy phê phán thể hiện qua việc học sinh có khả năng nhận ra giả thiết và các yêu cầu của bài toán, hoặc phát hiện được tính hợp lý trong các điều kiện của bài toán, tính đầy đủ của lời giải...Tư duy phê phán bao gồm các kỹ năng như tập trung vào các yếu tố của bài toán hay tình huống khó khăn, thu thập và sắp xếp thông tin. 5. Ý nghĩa của nghiên cứu  Thứ nhất: Nghiên cứu này sẽ cung cấp cho người dạy và người học những mô hình động có thể sử dụng trong giờ học nhằm hỗ trợ học sinh giải quyết một số vấn đề.  Thứ hai: Kết quả thăm dò sẽ cung cấp một cái nhìn khách quan về năng lực đại số của học sinh lớp 10 thể hiện khi giải quyết các bài toán bằng cách sử dụng biểu diễn trực quan động.  Thứ ba: Kết quả của nghiên cứu sẽ giúp chúng ta thấy được những vai trò của các biểu diễn trực quan động trong quá trình giúp học sinh giải quyết vấn đề. 6. Cấu trúc khóa luận Khóa luận bao gồm 5 chương, phần tài liệu tham khảo và các phụ lục. Chương 1: Mở đầu 6 Trong chương 1, chúng tôi đưa ra nhu cầu nghiên cứu, mục đích nghiên cứu, các câu hỏi nghiên cứu, định nghĩa các thành phần và ý nghĩa của việc nghiên cứu này. Chương 2: Những kết quả nghiên cứu liên quan Trong chương 2, chúng tôi trình bày nền tảng lịch sử của vấn đề nghiên cứu, nền tảng lý thuyết gồm lý thuyết kiến tạo, lý thuyết về biểu diễn bội và lý thuyết về trực quan động. Bên cạnh đó, tôi cũng giới thiệu cơ sở lý thuyết theo khuôn khổ đánh giá của PISA. Cuối cùng là những kết quả nghiên cứu liên quan. Chương 3: Phương pháp và quy trình nghiên cứu Trong chương 3, chúng tôi thiết kế quá trình nghiên cứu, nêu ra đối tượng nghiên cứu, công cụ nghiên cứu, quy trình thu thập tài liệu, quy trình phân tích dữ liệu và các hạn chế. Chương 4: Kết quả nghiên cứu Trong chương 4, chúng tôi trình bày những kết quả nghiên cứu của mình nhằm trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu nêu ra ở chương 1. Chương 5: Kết luận, lý giải và ứng dụng Trong chương này, trình bày kết luận cho ba câu hỏi nghiên cứu từ đó lý giải cho ba câu hỏi nghiên cứu, cuối cùng là những ứng dụng của nghiên cứu. 7. Tóm tắt Trong chương 1, chúng tôi trình bày mục đích và ý nghĩa của đề tài “Sử dụng biểu diễn trực quan động để nâng cao năng lực đại số của học sinh lớp 10.”, đồng thời chúng tôi cũng phát biểu các câu hỏi nghiên cứu và định nghĩa một số thuật ngữ cho khóa luận. Chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức làm cơ sở và định hướng cho nghiên cứu này ở chương 2. 7 CHƯƠNG 2. NHỮNG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN 1. Giới thiệu Mục đích của chương này là xác định và làm rõ vấn đề nghiên cứu, lịch sử của vấn đề nghiên cứu, nền tảng lý thuyết, cơ sở lý thuyết theo khuôn khổ đánh giá toán của PISA, biểu diễn bội và biểu diễn trực quan động, tóm tắt sơ lược các nghiên cứu trước đây liên quan đến đề tài. 2. Nền tảng lý thuyết 2.1. Lý thuyết kiến tạo Trong quá trình dạy học, điều quan trọng nhất không phải là giáo viên dạy những gì mà học sinh học được những gì. Do đó, khi dạy người giáo viên không những quan tâm đến phương pháp, nội dung giảng dạy của mình mà còn phải chú ý đến việc học sinh học như thế nào. Lý thuyết kiến tạo nhằm trả lời cho câu hỏi “con người học như thế nào?”. Bằng cách xây dựng lý thuyết từ những biểu diễn trực quan động, học sinh có thể nắm bắt tốt hơn các khái niệm, định lý, hệ quả và có thể đi từ nhận biết sang hiểu nó. Về cơ bản, lý thuyết kiến tạo cho là việc học gắn liền với sự tương tác giữa hai yếu tố là đồng hóa và điều ứng.  Đồng hóa: nếu gặp một tri thức mới nhưng tương tự với cái đã biết thì tri thức mới này có thể được kết hợp trực tiếp vào trong một sơ đồ nhận thức đang tồn tại mà nó rất giống với tri thức mới;  Điều ứng: đôi khi một tri thức mới có thể hoàn toàn trái ngược với những sơ đồ nhận thức đang có. Những sơ đồ hiện có được thay đổi để tương hợp với thông tin trái ngược đó. Lý thuyết kiến tạo được trình bày theo hai nguyên tắc sau:  Tri thức được kiến tạo một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức chứ không phải được tiếp thu một cách thụ động từ môi trường bên ngoài;  Nhận thức là quá trình điều ứng và tổ chức lại thế giới quan của chính mỗi người. Nhận thức không phải là khám phá một thế giới độc lập đang tồn tại bên ngoài ý thức của chủ thể. 8 Lý thuyết kiến tạo thể hiện niềm tin rằng tất cả các tri thức đều là sản phẩm của hoạt động nhận thức của chúng ta. Kiến thức được kiến tạo khuyến khích tư duy phê phán, nó cho phép học sinh tích hợp các khái niệm theo nhiều cách khác nhau. Và giáo viên đóng vai trò quan trọng trong việc giúp đỡ học sinh xây dựng kiến thức chính xác. Đôi khi học sinh kiến tạo tri thức cho mình nhưng chỉ đúng trong trường hợp cụ thể. Khi đó giáo viên cần phải đưa ra thêm những tình huống cho phép học sinh thử nghiệm kiến thức của mình. Một khi học sinh nhận ra rằng tri thức được kiến tạo không đúng với tình huống mới, các em có thể điểu chỉnh và kiểm tra tính đúng đắn cho phù hợp. Như vậy, lý thuyết kiến tạo đề cao tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh trong quá trình nhận thức. Một môi trường học tập tích cực gắn liền với sự hứng thú và sự tự giác trong nhận thức của học sinh. Tích tích cực học tập liên quan mật thiết với động cơ học tập của học sinh. Động cơ đúng tạo ra hứng thú. Hứng thú và tự giác là hai yếu tố tâm lý tạo nên tính tích cực. Phong cách học tập tích cực, độc lập và sáng tạo sẽ phát triển tính tự giác, hứng thú và bồi dưỡng động cơ học tập (Trần Vui, 2006, [9]). 2.2. Biểu diễn bội 2.2.1. Giới thiệu Việc sử dụng biểu diễn bội có hoặc không có công nghệ thông tin là một trong những chủ đề chính của giáo dục toán trong những năm gần đây. Biểu diễn bội cung cấp một môi trường hiệu quả cho học sinh nhận biết và hiểu những khái niệm toán, định lý, hệ quả được học. Điều quan trọng đặt ra là những biểu diễn nào được dùng cho những khái niệm, định lý riêng biệt. Các câu hỏi sau đây cần có được những câu trả lời xác đáng: (1) Với một khái niệm đại số, một định lý, sử dụng biểu diễn bội như thế nào để hỗ trợ học sinh nắm bắt khái niệm, định lý đó? (2) Các biểu diễn thao tác được đóng vai trò như thế nào trong hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức toán? (3) Học sinh chọn lựa các thao tác trên các biểu diễn như thế nào để giải quyết các vấn đề toán được đặt ra? Biểu diễn trực quan động với thế mạnh của mình có thể thể hiện đồng thời nhiều loại biểu diễn khác nhau và hỗ trợ tốt cho học sinh khám phá kiến thức. 9 2.2.2. Biểu diễn bội và vai trò của nó trong dạy học toán Ozgun Koca (2003) đã đề xuất vai trò của các biểu diễn trong dạy học toán như sau:  Các biểu diễn là một phần không tách rời của toán học;  Các biểu diễn là những cụ thể hóa khác nhau của một khái niệm nào đó;  Các biểu diễn được sử dụng để giảm bớt độ khó của vấn đề;  Các biểu diễn nhằm làm cho toán học hấp dẫn và thú vị hơn. Biểu diễn như là một công cụ của tư duy. Chúng ta biểu diễn một vấn đề hoặc khái niệm và dùng biểu diễn đó để tư duy. Hơn nữa biểu diễn còn được xem như một phương pháp ghi nhớ và là một phương pháp để thông tin. (Minh Phúc, 2010, [4]). Bruner (trong Tadao Nakahara, 2007) chỉ ra rằng có thể chia biểu diễn thành 3 phạm trù theo các giai đoạn phát triển của biểu diễn là: Biểu diễn thực tế  Biểu diễn biểu tượng  Biểu diễn ký hiệu. Phân loại, mô tả của các biểu diễn được trình bày ở bảng sau, trong đó các biểu diễn được xếp từ dưới lên trên theo thứ tự từ cụ thể đến trừu tượng hơn: Giai đoạn phát triển Phân loại Mô tả Biểu diễn ký hiệu Sử dụng số, chữ cái và các ký hiệu toán. Biểu diễn ký hiệu Biểu diễn ngôn ngữ Sử dụng ngôn ngữ nói và viết hằng ngày như tiếng Việt, tiếng Anh. Biểu diễn biểu tượng Biểu diễn minh họa/ trực quan Sử dụng các minh họa như hình vẽ, sơ đồ, đồ thị trên mặt phẳng hai chiều hoặc giả lập ba chiều trên máy tính. Biểu diễn thực thao tác được Thực hiện các thao tác lên các mô hình ba chiều thực hoặc mô hình cho phép thao tác. Biểu diễn thực tế Biểu diễn thực Dựa trên các trạng thái thực của đối tượng. 10 2.2.3. Những tiếp cận dạy học khái niệm theo biểu diễn bội Lý thuyết kiến tạo đề xuất rằng học sinh phải kiến tạo tri thức cho bản thân bởi chính sự chủ động của các em. Von Glasersfeld (1996) nhận thấy các kiến thức có được nhờ vào thế giới thực nghiệm được xây dựng bởi chính bản thân người học và không có kiến thức nào mang tính đơn trị. Từ đó, chúng ta không nên cho rằng mọi người sẽ lĩnh hội cùng một kiến thức toán từ một biểu diễn như nhau. Dienes (1960) (trong Ozgun Koca, 1998) đề xuất rằng những khái niệm toán học nên được giới thiệu trong nhiều dạng khác nhau để học sinh nắm bắt được bản chất toán học của nó. Dienes cũng nhấn mạnh việc học khái niệm toán học sẽ tốt hơn khi các em được thấy khái niệm đó thông qua nhiều bối cảnh hoặc biểu hiện khác nhau. Theo Piez và Voxman (1997) (trong Ozgun Koca, 1998), bởi vì mỗi biểu diễn nhấn mạnh và lưu giữ những khía cạnh khác nhau của một khái niệm, chúng ta tin rằng học sinh nhận được nhiều hiểu biết sâu hơn về một hàm số nếu nó được khám phá bằng cách sử dụng các phương pháp số, đồ thị và giải tích (Minh Phúc, 2010, [4]). 2.3. Biểu diễn trực quan động 2.3.1. Biểu diễn trực quan động trên máy tính Biểu diễn trực quan động trên máy tính là biểu diễn trực quan trong đó cho phép sử dụng các thao tác tác động lên các đối tượng trong biểu diễn. Với sự hỗ trợ của máy tính cùng các phần mềm hình học động, có thể thiết kế được các biểu diễn loại này để hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức toán. Thao tác động theo William Finzer (1998) có các đặc điểm sau đây:  Thao tác trực tiếp. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 1 ẩn là một đa giác rồi lấy một điểm di động M trên biên của đa giác đó. Bạn nắm lấy điểm M rồi kéo rê nó đến trùng với các đỉnh của đa giác. Bạn sẽ nói “Tôi kéo rê điểm M” chứ không nói “Tôi kéo rê chấm tròn nhỏ này và nó sẽ làm thay đổi vị trí của điểm M”. 11  Chuyển động cập nhật liên tục. Các thay đổi được cập nhật liên tục trong suốt quá trình kéo rê. Các đối tượng toán học có trên màn hình vẫn liên kết trong một tổng thể tại mọi thời điểm. Chẳng hạn, nếu tính độ dài cung ¼AM trên đường tròn lượng giác thì giá trị hiển thị độ dài của cung trên màn hình sẽ thay đổi tương ứng với sự thay đổi vị trí của điểm M khi kéo rê M.  Môi trường tối ưu cho các thao tác. Thực nghiệm của bạn chỉ liên quan đến những đối tượng mà bạn thao tác. Bạn khám phá chúng, làm việc với chúng. Giao diện của chương trình hầu như không gây ra tác động nào và bạn có thể tập trung làm thế nào để đạt được những mục đích toán học chứ không phải làm thế nào để điều khiển công nghệ. Dựa trên ba đặc điểm này, việc sử dụng các biểu diễn trực quan động cần tạo cho học sinh có sự chủ động trong việc tìm ra và thực hiện các thao tác động trên biểu diễn. Hơn nữa, trong những điều kiện cho phép, giáo viên có thể cho học sinh tự thiết kế biểu diễn trực quan và dùng nó để tìm hiểu, khám phá kiến thức cũng như giải quyết vấn đề. 2.3.2. Biểu diễn trực quan động – Chiếc cầu nối giữa dạy và học Mối quan hệ giữa công nghệ thông tin với dạy - học toán đã đang được nhiều nhà giáo dục toán quan tâm nghiên cứu. Ngay cả với những giáo viên có kinh nghiệm dạy học nhất, họ cũng phải thấy rằng phải mất nhiều hơn một lần giải thích một cách rõ ràng để học sinh nắm bắt và hiểu được khái niệm toán nào đó. Để cho học sinh nắm bắt và đưa ra được mối quan hệ giữa các khái niệm, không chỉ đơn giản là bằng cách giáo viên nói cho các em biết các quan hệ đó. Giải quyết vấn đề, những công việc thực tế phù hợp, thảo luận, khảo sát là những khía cạnh cần thiết của môi trường học toán ở mọi cấp học. Vai trò của biểu diễn trực quan được nhấn mạnh với các ví dụ về thống kê, số học, hình học, đại số và giải tích. BDTQĐ được xem như là một công cụ để hiểu toán, để đạt đến sự hiểu biết đó, chúng ta cần xem xét trực quan hóa dưới dạng: Thường biểu diễn với các biểu diễn có tính đồ thị, thường xảy ra không phải như là một chủ đề cô lập, mà trong một bối cảnh toán học có sự hiện diện của các biểu diễn số và ký hiệu. 12 Như vậy, BDTQĐ tạo nên một công cụ minh họa hoàn hảo cho những ý tưởng của giáo viên cũng như của học sinh cần diễn đạt, nó kích thích quá trình trao đổi toán, tạo hứng thú học tập, tự đặt câu hỏi và định hướng giải quyết vấn đề. Nếu việc dạy toán ở một góc độ nào đó được xem như là một quá trình truyền thụ, thì công nghệ thông tin được sử dụng để trình bày, giải thích và làm sáng tỏ các ý tưởng toán học, giáo viên tìm kiếm cách để thuyết phục học sinh (Vĩnh Lợi, 2010, [3]). 2.3.3. Biểu diễn trực quan động - Công cụ của tư duy BDTQĐ bao gồm các hình ảnh đồ thị, mô hình toán học được thiết kế bằng những phương tiện công nghệ như máy tính điện tử, là công cụ thiết yếu để dạy, học và làm toán. Đặc biệt, những mô hình toán tích cực được thiết kế bằng phần mềm động trên máy tính cung cấp những hình ảnh động, trực quan về các ý tưởng toán học, thúc đẩy việc sắp xếp và phân tích các dữ liệu; đồng thời, thiết lập các phép tính một cách có hiệu quả và chính xác. Chúng có thể hỗ trợ học sinh khảo sát toán trong mọi lĩnh vực toán học bao gồm: hình học, đại số, giải tích, thống kê, đo đạc và số. Với những công cụ và công nghệ phù hợp, học sinh có thể tập trung vào việc đưa ra các quyết định, phản ánh, suy luận và giải quyết các vấn đề toán học. Các phần mềm xây dựng các mô hình động như GSP hay Cabri cung cấp cho học sinh một công cụ trực quan động hiệu quả để thu thập dữ liệu hình học nhằm lý giải một cách quy nạp và hình thành những giải quyết, giống với quá trình mà nhà toán học đã sử dụng trong những nghiên cứu toán học của họ. Có thể nói rằng, việc sử dụng BDTQĐ sẽ tạo ra một môi trường tích cực cho học sinh tự thao tác trên các mô hình biểu diễn, tự khảo sát toán, tự kiểm chứng các kết quả từ đó phát hiện ra các mối quan hệ giữa các đối tượng, tìm cách chứng minh các mối quan hệ đó bằng toán học, điều này giúp phát huy khả năng tư duy của học sinh (Vĩnh Lợi, 2010, [3]). 2.3. Giải quyết vấn đề Giải quyết vấn đề là một thành tố quan trọng của quá trình dạy học, nó không chỉ là mục đích mà còn là phương tiện chính của việc học toán. Có nhiều phương pháp cụ thể để giải quyết vấn đề, dưới đây là mười phương pháp phổ biến thường được sử dụng ở bậc THPT trong những tình huống toán và cuộc sống: 13  Phát hiện quy luật;  Phân tích đi lên;  Giải theo một cách nhìn khác;  Giải một bài toán đơn giản hơn;  Xét các trường hợp đặc biệt;  Vẽ hình;  Đoán và thử;  Tính toán cho mọi khả năng (liệt kê số liệu);  Sắp xếp các dữ liệu;  Suy luận logic. Giáo viên cần giúp học sinh phát triển những phương pháp cụ thể để giải quyết vấn đề. Những vấn đề tốt tạo cho học sinh cơ hội để củng cố và mở rộng tri thức của mình và kích thích việc tìm kiếm tri thức mới. Hầu hết các khái niệm toán học đều có thể được giới thiệu thông qua những vấn đề dựa trên những kinh nghiệm quen thuộc từ cuộc sống của các em hoặc từ những tình huống toán học. Để phát triển tư duy toán học cho học sinh, giáo viên cần phải chọn các vấn đề toán học có một trong những đặc điểm:  Hấp dẫn và thách thức học sinh;  Tạo cơ hội cho các em thảo luận và tương tác;  Đòi hỏi kỹ năng phân tích, phê phán và quan sát;  Gắn liền với việc hiểu một khái niệm toán hoặc áp dụng một kỹ năng toán;  Có nhiều hướng tiếp cận khác nhau;  Có thể đưa đến một quy tắc hay một sự tổng quát. Với các vấn đề thực tế không quen thuộc, chúng đòi hỏi học sinh phải có các kỹ năng tư duy và suy luận bậc cao, khả năng lập luận, chuyển thể và giải thích giữa các biểu diễn khác nhau...Vì vậy, quá trình học sinh tìm kiếm và sử dụng các biểu diễn toán để giải quyết các vấn đề toán học và thực tiễn là cơ hội tốt để giáo viên đánh giá năng lực toán của các em (Ngọc Bích, 2010, [1]). 3. Cơ sở lý thuyết theo khuôn khổ đánh giá của PISA PISA là chương trình Đánh giá học sinh Quốc tế do các quốc gia công nghiệp phát triển thuộc Tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế OECD và một số quốc 14 gia khác được tiến hành ba năm một lần, bắt đầu từ năm 1997. Dựa trên cơ sở đánh giá hiểu biết toán của học sinh tuổi 15 của PISA, chúng tôi nghiên cứu và đưa ra đánh giá về năng lực đại số của học sinh tuổi 15 để từ đó xây dựng các mô hình trực quan động có hiệu quả. 3.1. Năng lực toán Theo PISA, những quá trình toán học mà học sinh áp dụng khi các em nổ lực giải quyết vấn đề được hiểu là các năng lực toán. Để xác định và kiểm tra những năng lực này, PISA đã quyết định sử dụng tám năng lực toán học sau đây (Trần Vui, 2008, [12]). 1) Tư duy và suy luận: Điều này liên quan đến việc đặt câu hỏi (“Có hay không...?”, “Nếu như vậy, có bao nhiêu?”, “Làm thế nào chúng ta tìm...?”); biết loại câu trả lời có thể đáp ứng cho những câu hỏi như vậy; phân biệt các loại mệnh đề khác nhau (định nghĩa, định lý, phỏng đoán, giả thuyết, ví dụ, khẳng định có điều kiện); hiểu và xác định phạm vi cũng như hạn chế của các khái niệm toán đã cho. 2) Lập luận: Điều này liên quan đến việc biết các chứng minh toán học là gì và chúng khác với các loại suy luận khác như thế nào; theo dõi và đánh giá các chuỗi lập luận toán; thu được cảm nhận về giải quyết vấn đề bằng kinh nghiệm (“Điều có thể (không thể) xảy ra, và tại sao?); tạo nên và trình bày các lập luận toán. 3) Giao tiếp: Điều này liên quan đến việc bộc lộ mình, theo nhiều cách, về những vấn đề với một nội dung toán, theo dạng nói cũng như theo dạng viết, hiểu được những mệnh đề được nói hay được viết bởi người khác về những vấn đề đó. 4) Mô hình hoá: Điều này liên quan đến việc chuyển thể “thực tế” thành các cấu trúc toán; giải thích các mô hình toán theo nghĩa “thực tế”; làm việc với một mô hình toán; làm cho các mô hình thoả đáng; phản ánh, phân tích và đưa ra sự phê phán cũng như các kết quả của nó; giao tiếp về mô hình và các kết quả của nó (bao gồm hạn chế của các kết quả như vậy); giám sát và điều khiển quá trình mô hình hoá. 15 5) Đặt vấn đề và giải: Điều này liên quan đến việc đặt, định dạng và xác định những loại khác nhau của các vấn đề toán (ví dụ: “thuần tuý toán”, “ứng dụng”, “kết thúc mở” và “đóng”); và giải quyết nhiều dạng bài toán khác nhau theo nhiều cách. 6) Biểu diễn: Điều này liên quan đến việc giải mã, mã hoá, chuyển thể, giải thích và phân biệt giữa các dạng biểu diễn khác nhau của những đối tượng và bối cảnh toán học, và những mối quan hệ bên trong giữa các biểu diễn khác nhau; chọn và chuyển dịch giữa các dạng khác nhau của biểu diễn tuỳ theo bối cảnh và mục đích. 7) Sử dụng ngôn ngữ kí hiệu, ngôn ngữ hình thức và các phép toán: Điều này liên quan đến việc giải mã, giải thích ngôn ngữ kí hiệu và hình thức, hiểu được mối quan hệ của nó với ngôn ngữ tự nhiên; chuyển thể ngôn ngữ tự nhiên thành ngôn ngữ kí hiệu hay hình thức; xử lý các mệnh đề và biểu thức chứa các kí hiệu và công thức; dùng các biến số, giải các phương trình và thực hiện các phép tính. 8) Sử dụng các đồ dùng hỗ trợ và công cụ: Điều này liên quan đến việc hiểu biết và có khả năng sử dụng nhiều loại phương tiện hỗ trợ khác nhau (bao gồm công cụ công nghệ thông tin) có thể trợ giúp cho hoạt động toán, và biết các hạn chế của những loại công cụ đó. 3.2. Cụm năng lực toán Để mô tả và báo cáo một cách hiệu suất các năng lực của học sinh, cũng như thế mạnh và điểm yếu theo một quan điểm quốc tế thì người ta cần đến một vài cấu trúc. Một cách đưa ra cấu trúc đó theo cách dễ hiểu và quản lý được là mô tả theo các cụm năng lực, dựa trên các loại nhu cầu nhận thức cần đến để giải quyết các bài toán khác nhau. PISA chọn các hoạt động nhận thức để mô tả các năng lực toán trên theo ba cụm năng lực: cụm tái tạo, cụm liên kết và cụm phản ánh. Ba cụm năng lực gói gọn các quá trình nhận thức khác nhau cần giải quyết nhiều dạng vấn đề, phản ánh cách thức các quá trình toán học tiêu biểu được huy động để học sinh giải quyết các vấn đề nảy sinh khi học sinh tương tác với thế giới của mình. 16 1) Cụm tái tạo: Những năng lực trong cụm này liên quan chủ yếu đến sự tái tạo các kiến thức đã được thực hành. Chúng bao gồm những điều thường hay được dùng nhiều nhất trong các đánh giá chuẩn hoá và kiểm tra ở lớp. Những năng lực này là:  Kiến thức về các sự kiện và sự biểu diễn các vấn đề chung;  Sự nhận ra các tương đồng;  Thu thập lại những đối tượng và tính chất toán học quen thuộc;  Sự thể hiện các quy trình quen thuộc;  Áp dụng các thuật toán thông thường và kỹ năng có tính kỹ thuật;  Thao tác với các biểu thức chứa kí hiệu và công thức theo dạng chuẩn;  Tiến hành các tính toán. Các câu hỏi đánh giá các năng lực thuộc cụm tái tạo có thể được mô tả với những chỉ số chính sau đây: tái tạo lại tài liệu và thể hiện các phép toán quen thuộc. Học sinh giải mã, mã hoá và giải thích các biểu diễn tiêu chuẩn quen thuộc được thực hành về các đối tượng toán học nổi tiếng; chuyển dịch giữa các biểu diễn chỉ liên quan khi sự chuyển dịch chính nó là một phần được thiết lập của các biểu diễn được sử dụng. 2) Cụm liên kết: Các năng lực cụm liên kết được xây dựng trên các năng lực tái tạo bằng cách đưa giải quyết vấn đề vào các bối cảnh không hoàn toàn quen thuộc nhưng vẫn có liên quan đến cấu trúc gần như quen thuộc. Những câu hỏi kết hợp với cụm này thường đòi hỏi một vài chứng cứ về sự tích hợp và liên kết tài liệu từ nhiều ý tưởng bao quát hay từ các mạch kiến thức chương trình khác nhau, liên kết giữa các biểu diễn khác nhau của một vấn đề và mở rộng khiêm tốn các tài liệu đã thực hành. Học sinh giải mã, mã hoá và giải thích các biểu diễn của các đối tượng toán học ít quen thuộc; chọn và chuyển dịch giữa các dạng biểu diễn khác nhau của các đối tượng và bối cảnh toán học, chuyển thể và phân biệt các dạng biểu diễn khác nhau. 3) Cụm phản ánh: Các năng lực cụm phản ánh tập trung vào khả năng của học sinh phản ánh về các phương án giải quyết vấn đề hay sử 17 dụng chúng để thiết lập các tiếp cận có tính sáng tạo hơn những gì mà học sinh đã thực hành một cách thành thạo. Đánh giá liên quan đến cụm phản ánh gồm có các suy luận bậc cao, lập luận, trừu tượng hoá, tổng quát hoá và xây dựng mô hình. Người ta có thể dùng các mô tả trên để phân loại các câu hỏi toán và sắp xếp chúng vào một trong các cụm năng lực. Một cách để làm điều đó là phân tích các yêu cầu của câu hỏi. Cụm năng lực nào cung cấp mô tả phù hợp nhất về các yêu cầu của câu hỏi trong mối liên quan với các cụm năng lực đang xét thì câu hỏi sẽ được sắp xếp vào cụm năng lực đó. 3.3. Toán học hoá OECD/PISA kiểm tra các năng lực của học sinh để phân tích, suy luận và giao tiếp các ý tưởng toán học một cách hiệu quả khi các em đặt, thiết lập, giải và lý giải các vấn đề toán trong nhiều bối cảnh. Giải quyết vấn đề như vậy đòi hỏi học sinh sử dụng các kỹ năng và năng lực các em đã đạt được qua các kinh nghiệm học đường và cuộc sống. Trong OECD/PISA, một quá trình cơ bản mà các học sinh dùng để giải quyết các vấn đề thực tế được đề cập là “toán học hóa”. Newton có thể đã trình bày toán học hóa trong công trình chính của mình, “các Nguyên tắc Toán học của Triết học Tự nhiên” khi ông viết: “Những mục đích của chúng ta chỉ là phát hiện đại lượng và các tính chất của lực này từ hiện tượng đó và để áp dụng những gì chúng ta khám phá trong một số trường hợp đơn giản như các nguyên tắc, mà với chúng, chúng ta có thể ước lượng các tác động trong những trường hợp liên quan nhiều hơn” (Newton, 1678). Thảo luận trước đây về cơ sở lý thuyết của khuôn khổ toán học OECD/PISA được thể hiện bằng sự mô tả 5 bước của toán học hóa. Những bước này được chỉ ra ở Hình 1. 18 Hình 1. Quy trình toán học hóa (1) Bắt đầu từ một vấn đề được đặt ra trong thực tế; (2) Tổ chức nó theo các khái niệm toán học và xác định toán học phù hợp; (3) Không ngừng cắt tỉa thực tế thông qua các quá trình như đặt giả thuyết, tổng quát và hình thức hóa, chúng khuyến khích những khía cạnh toán học của vấn đề và chuyển thể vấn đề thực tế thành một bài toán mà đại diện trung thực cho bối cảnh thực tế; (4) Giải quyết bài toán; (5) Làm cho lời giải toán có ý nghĩa theo nghĩa của bối cảnh thực tế, bao gồm việc xác định những hạn chế của lời giải. Như sơ đồ ở Hình 1 đề xuất, 5 khía cạnh sẽ được thảo luận theo 3 giai đoạn. Toán học hóa trước hết liên quan đến việc chuyển thể vấn đề từ thực tế sang toán học. Quá trình này bao gồm các hoạt động như:  Xác định toán học phù hợp tương tự với một vấn đề được đặt ra trong thực tế;  Biểu diễn vấn đề theo một cách khác; bao gồm việc tổ chức nó theo các khái niệm toán học và đặt những giả thiết phù hợp;  Hiểu các mối quan hệ giữa ngôn ngữ của vấn đề và ngôn ngữ ký hiệu và hình thức cần thiết để hiểu vấn đề một cách toán học;  Tìm những quy luật, mối quan hệ và những bất biến;  Nhận ra các khía cạnh tương đồng với các vấn đề đã biết; 19  Chuyển thể vấn đề thành toán học chẳng hạn như thành một mô hình toán. Một khi học sinh đã chuyển thể được vấn đề thành một dạng toán, toàn bộ quá trình có thể tiếp tục trong toán học. Học sinh sẽ đặt những câu hỏi như: “Liệu có… không?”, “Nếu như vậy thì có bao nhiêu?”, “Làm thế nào tôi có thể tìm…?”, bằng cách dùng các kỹ năng và khái niệm toán học đã biết. Các em sẽ nổ lực làm việc trên mô hình của mình về bối cảnh vấn đề, để điều chỉnh nó, để thiết lập các quy tắc, để xác định các nối kết và để sáng tạo nên một lập luận toán học đúng đắn. Phần này của quá trình toán học hóa được gọi chung là phần suy diễn của quy trình mô hình hóa (Blum, 1996; Schupp, 1988). Tuy nhiên, những quá trình khác với suy diễn có thể tham gia vào giai đoạn này. Phần này của quá trình toán học hóa bao gồm:  Dùng và di chuyển giữa các biểu diễn khác nhau;  Dùng ngôn ngữ ký hiệu, hình thức, kỹ thuật và các phép toán;  Hoàn thiện và điều chỉnh các mô hình toán;  Kết hợp và tích hợp các mô hình;  Lập luận;  Tổng quát hóa. Bước (hay những bước) cuối cùng trong việc giải quyết một vấn đề liên quan đến việc phản ánh về toàn bộ quá trình toán học hóa và các kết quả. Ở đây, học sinh phải giải thích các kết quả với một thái độ nghiêm túc và công nhận toàn bộ quá trình, phản ánh như vậy xảy ra ở tất cả các giai đoạn của quá trình, nhưng nó đặc biệt quan trọng ở giai đoạn kết luận. Những khía cạnh của quá trình phản ánh và công nhận này là:  Hiểu lĩnh vực và các hạn chế của các khái niệm toán học;  Phản ánh về các lập luận toán học, giải thích và kiểm tra các kết quả;  Giao tiếp quá trình đó và lời giải;  Phê phán mô hình và các hạn chế của nó. Giai đoạn này được chỉ ra ở hai chỗ trong Hình 1 bằng số (5), ở đó quá trình toán học hóa chuyển từ lời giải toán học thành lời giải thực tế, và ở đó lời giải được liên hệ ngược trở lại với vấn đề thực tế gốc (Trần Vui, 2008, [12]). 20 4. Lịch sử của vấn đề nghiên cứu 4.1. Khái niệm hình học động Khái niệm động (dynamic) trong toán học bao gồm chuyển động và biến đổi. Hình học động (Dynamic Geometry) là một khái niệm mới liên quan đến các phần mềm như Skepchpad và Cabri. Các phần mềm này thực thi với công cụ cơ bản gồm một cây thước và compa điện tử. Các bản vẽ trên Skepchpad khác với cái mà chúng ta tạo ra trên giấy với các công cụ phổ thông không chỉ bởi sự chính xác của cấu trúc. Skepchpad nhớ các mối liên hệ giữa các đối tượng khác nhau trong cấu trúc đó khi rê các đối tượng tự do. Chẳng hạn, nó nhớ điểm M là một điểm di động trên biên của đa giác, nhớ đường thẳng d luôn đi qua điểm A… Môi trường hình học động đang trở nên phổ biến ở trường học. Có nhiều tranh luận khác nhau về hiệu quả của phần mềm hình học động trong suy luận toán học của học sinh. Tuy nhiên các phần mềm hình học động đã chứng tỏ sự hữu ích trong việc phát triển suy luận của các em. Việc phổ biến các phần mềm tới tận các giáo viên giảng dạy môn toán đã và đang được triển khai một cách sâu rộng và bài bản, hơn nữa, đã có nhiều tài liệu được xuất bản nhằm giúp cho giáo viên và học sinh có thể sử dụng phần mềm động hoặc các mô hình thiết kế sẵn trong dạy và học Toán. 4.2. Xu hướng kết nối toán học với cuộc sống thực tiễn trong giáo dục toán Mối quan hệ giữa toán học và cuộc sống thực được thảo luận trong một thời gian dài. Một số nhà tâm lý học và nhà toán học đã tranh luận rằng việc nhấn mạnh đến mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn có thể làm học sinh xa rời khỏi những ý tưởng toán học. Một số khác khẳng định những lợi ích quan trọng và có ý nghĩa từ việc trình bày các vấn đề toán học trong bối cảnh thực, bao gồm việc giúp học sinh có được những kết nối tốt hơn giữa toán học, cuộc sống và cả việc gây hứng thú học tập cho học sinh. PISA là chương trình đánh giá học sinh với quy mô quốc tế đầu tiên tập trung vào đánh giá hiểu biết toán mà học sinh sử dụng khi đối mặt với các vấn đề trong cuộc sống thực. PISA chọn một cách tiếp cận rộng cho việc “đánh giá 21 kiến thức và các kỹ năng phản ánh những thay đổi hiện nay trong chương trình, di chuyển xa hơn tiếp cận dựa vào nhà trường về phía sử dụng kiến thức trong nhiệm vụ và thách thức thường ngày” (OECD, 2003, [17, tr. 11]). PISA cũng nhấn mạnh đến quá trình toán học hoá theo một nghĩa rộng đặc trưng cho việc con người sử dụng toán học như thế nào trong nhiều nghề nghiệp chính hiện nay, và những công dân có hiểu biết và biết phản ánh nội dung toán để tham gia một cách trọn vẹn vào thế giới thực. 5. Các kết quả nghiên cứu liên quan Từ trước đến nay, nhiều tác giả nghiên cứu về vấn đề các mô hình động có vai trò như thế nào trong quá trình giúp học sinh kiến tạo tri thức, tuy nhiên mỗi người có cách tiếp cận riêng theo ý tưởng của mình. Ở phần này, tôi sẽ giới thiệu một số nghiên cứu đã có trước đây. Một số nghiên cứu:  Michael (2006) cùng cộng sự tiến hành một nghiên cứu vai trò của các biểu diễn bội với việc hiểu các mối quan hệ toán học trong quy luật. Các mức độ này hiểu là: 1) Rút ra các mối quan hệ toán học dựa vào kinh nghiệm: học sinh ở mức độ này có thể tiếp tục một quy luật; 2) Sử dụng quy tắc tổng quát một cách tiềm ẩn: Học sinh ở mức độ này có thể tiên đoán các số hạng của quy luật ở một vị trí xa hơn; 3) Sử dụng quy tắc tổng quát một cách tường minh: Học sinh ở mức độ này có khả năng tổng quát quy luật và đưa ra một quy tắc bằng biểu tượng hay bằng lời. Kết quả nghiên cứu đã khẳng định rằng: với các quy luật phức tạp, dạng biểu diễn bằng lời dường như gây nhiều khó khăn hơn cho học sinh ở tất cả các mức độ nhận thức so với các dạng biểu diễn khác. Trong khi đó, biểu diễn trực quan động giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc dự đoán các số hạng ở các vị trí xa hay tổng quát hóa, có lẽ vì nó giúp học sinh nhận ra một vài mối quan hệ không nhìn thấy được khi dùng các biểu diễn bằng lời. Spicer (2000) đã nhận định: các biểu diễn trực quan động có thể tạo ra sức mạnh hữu hình cho những gì không thể nhìn thấy hoặc tưởng tượng được. 22  Bolyard (2005), Steen, Brooks và Lyon (2006) cũng đã đề cập đến vai trò của các biểu diễn trực quan động: nó làm cho những đối tượng toán học trừu tượng có ý nghĩa hơn, thúc đẩy động cơ và nâng cao kết quả học tập của học sinh.  Trong bài báo với tiêu đề “ Những đóng góp của các biểu diễn trực quan động trong việc học toán” - Trần Vui, đã xác định vai trò của biểu diễn trực quan trong hệ thống biểu diễn toán và các đặc trưng của nó đối chiếu với biểu diễn đại số. Những kết quả nghiên cứu cho thấy biểu diễn trực quan có thể hỗ trợ và minh họa các lời giải toán học thuần tuý ký hiệu, chúng thực sự hữu ích trong giáo dục toán.  Nhóm tác giả: Trần Vui, Lê Quang Hùng, Nguyễn Đăng Minh Phúc đã nghiên cứu và xuất bản một số sách hỗ trợ học sinh khám phá các chủ đề trong nội dung toán ở THPT thông qua tương tác với các mô hình động thiết kế bằng phần mềm GSP. Các sách này được thiết kế bám sát những nội dung trong chương trình của SGK. Những đầu sách này là tài liệu bổ ích cho học sinh và giáo viên trong dạy học môn toán (Vĩnh Lợi, 2010, [3]). Các nghiên cứu trên đã đề cập chủ yếu đến vai trò của các BDTQĐ, giúp học sinh khám phá một số kiến thức trong nội dung toán ở THPT. Và chưa khai thác đến vấn đề quá trình học sinh khám phá kiến thức, tương tác với các thao tác động trên mô hình như thế nào? học sinh thể hiện các năng lực gì của mình qua các thao tác? sử dụng các biểu diễn trực quan động tác động như thế nào đến các năng lực đại số của học sinh? Bên cạnh việc nghiên cứu lại những vai trò của các biểu diễn trực quan động, trong khóa luận này, chúng tôi sẽ đề cập thêm đến những vấn đề đó. Tóm tắt chương 2. Trong chương này, chúng tôi đã trình bày một số vấn đề liên quan đến lịch sử đề tài như: khái niệm hình học động, xu hướng kết nối toán học với cuộc sống thực tiễn. Chúng tôi đã cung cấp nền tảng lý thuyết dựa theo khuôn khổ đánh giá toán của PISA. Từ cơ sở và các định hướng này, chúng tôi sẽ thiết kế quá trình nghiên cứu trong chương 3. 23 CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP VÀ QUY TRÌNH NGHIÊN CỨU 1. Giới thiệu Mục đích của nghiên cứu là sử dụng các BDTQĐ để nâng cao năng lực đại số của học sinh lớp 10. Chương này nhằm giới thiệu phương pháp và quy trình nghiên cứu cho khóa luận, gồm các mục: thiết kế quá trình nghiên cứu, xác định đối tượng nghiên cứu, công cụ nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, trình bày quy trình thu thập và phân tích dữ liệu, các hạn chế khi thực hiện theo phương pháp và quy trình nghiên cứu đó. 2. Thiết kế quá trình nghiên cứu Quá trình nghiên cứu được tiến hành theo các bước sau đây:  Nghiên cứu về phần mềm GSP để từ đó thiết kế các biểu diễn động giúp học nắm được các kiến thức và giải quyết một số bài toán trong chương trình SGK Đại số 10 Nâng cao.  Phân tích và nghiên cứu các nội dung trong SGK, để từ đó lựa chọn các mảng kiến thức có thể sử dụng biểu diễn trực quan động nhằm giúp học sinh nâng cao năng lực đại số trong quá trình tự kiến tạo nên các tri thức cho bản thân.  Tìm hiểu những năng lực đại số mà học sinh lớp 10 thể hiện khi giải quyết các bài toán có sự hỗ trợ của các biểu diễn trực quan động.  Nghiên cứu tác động tích cực của các biểu diễn trực quan động trong việc giúp học sinh nâng cao năng lực đại số. Cụ thể: Những nội dung trong SGK Đại số 10 Nâng cao có sử dụng các biểu diễn trực quan động  Hàm số bậc nhất và bậc hai  Phương trình và hệ phương trình  Bất đẳng thức và bất phương trình  Góc và công thức lượng giác 24 Trong mỗi nội dung, chúng tôi tiến hành thiết kế như sau:  Bước 1: Lựa chọn các mảng kiến thức và một số bài toán liên quan.  Bước 2: Xây dựng mô hình.  Bước 3: Xây dựng hệ thống các câu hỏi.  Bước 4: Đánh giá các câu trả lời của học sinh.  Bước 5: Phân tích sư phạm. 3. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là học sinh lớp 10/2 Trường THPT Chuyên Quốc Học. 4. Công cụ nghiên cứu  Các mô hình động, kế hoạch bài học, phiếu học tập.  Bảng khảo sát thu thập thông tin phản hồi về vai trò của các biểu diễn trực quan động (khả năng thu nhận kiến thức khi có các biểu diễn trực quan động có dễ dàng hơn không, các em gặp những khó khăn gì khi giáo viên sử dụng biểu diễn trực quan động để kiến tạo kiến thức cho các em…). 5. Phương pháp nghiên cứu 5.1. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết  Nghiên cứu những vấn đề trong chương trình và trong SGK, các bài toán có liên quan đến đề tài.  Nghiên cứu những bài toán, mô hình toán, kế hoạch bài học...theo từng chủ đề và có thể phát triển chúng theo hướng đề tài.  Nghiên cứu cơ sở lý luận về hiểu biết đại số theo hướng PISA đề từ đó đưa ra những đánh giá đúng về năng lực đại số của học sinh. 5.2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn Sử dụng các phương pháp nghiên cứu định tính trong giáo dục toán  Nghiên cứu hoạt động  Quan sát  Phỏng vấn 6. Quy trình thu thập dữ liệu  Thu thập dữ liệu của phần mềm GSP thông qua phần hướng dẫn, hỗ trợ để xây dựng các mô hình động, công cụ giúp học sinh kiến tạo tri thức và giải các bài toán liên quan. 25  Sử dụng 4 mô hình liên quan đến nội dung áp dụng định lý về tịnh tiến đồ thị (file kl | 1. gsp và kl | 2. gsp); định lý về dấu tam thức bậc hai (file kl | 14. gsp và kl | 15. gsp) nhằm mục đích giúp học sinh nhớ, hiểu và vận dụng được các định lý, giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề. Chuẩn bị các phiếu học tập, hệ thống bảng hỏi dùng cho nghiên cứu. Chúng tôi sẽ tiến hành giới thiệu 4 mô hình dạy học đã thiết kế cho học sinh, học sinh quan sát các mô hình, thực hiện các thao tác trên mô hình và trả lời các câu hỏi trên phiếu học tập.  Thông qua các phiếu hỏi cho học sinh, chúng tôi tiến hành thu thập dữ liệu từ phía học sinh để nhận định về sự tác động tích cực của biểu diễn trực quan động trong việc học toán của học sinh.  Tiến hành nghiên cứu hoạt động: thông qua hoạt động dạy – học của giáo viên và học sinh, chúng tôi nghiên cứu để trả lời các câu hỏi: Quá trình suy nghĩ, lập luận của học sinh khi thực hiện các thao tác trên mô hình? Làm thế nào để nâng cao năng lực đại số của học sinh lớp 10 thông qua các biểu diễn trực quan động?. 7. Quy trình phân tích dữ liệu  Với quá trình nghiên cứu phầm mềm động GSP và phân tích SGK, chúng tôi tiến hành thống kê các kiến thức sẽ sử dụng BDTQĐ để từ đó thiết kế nên các mô hình động chính xác về mặt toán học, phù hợp và có hiệu quả.  Với những dữ liệu được thu thập trong quá trình thực nghiệm, chúng tôi tiến hành thống kê các kết quả thu được, phân tích quá trình tiếp thu tri thức góp phần trả lời câu hỏi nghiên cứu thứ nhất, thứ hai và thứ ba, thống kê các tác động tích cực của biểu diễn động trong việc học toán đối với học sinh, các thế mạnh và các hạn chế của các biểu diễn trực quan động. 8. Các hạn chế  Trong quá trình thực nghiệm, học sinh được thực hiện trực tiếp các thao tác trên các mô hình. Do điều kiện cơ sở vật chất của các trường THPT nên đối tượng nghiên cứu chỉ gồm 15 học sinh lớp 10/2 trường THPT Chuyên 26 Quốc Học. Nếu kích thước mẫu lớn hơn và thành phần tham gia mẫu được mở rộng ra nhiều trường khác nhau thì các kết luận được đưa ra sẽ đúng hơn;  Khi thiết kế các câu hỏi, chúng tôi giả định rằng tất cả đối tượng tham gia là nghiêm túc, hiểu chính xác nội dung các câu hỏi và trả lời theo đúng suy nghĩ của bản thân, tuy nhiên điều đó trong thực tế không hoàn toàn đúng;  Chúng tôi mong muốn được khảo sát toàn bộ nội dung đã thiết kế. Tuy nhiên, do điều kiện không cho phép nên chúng tôi chỉ thực nghiệm 2 nội dung trong các nội dung đã thiết kế;  Mức độ khó dễ của các câu hỏi là không giống nhau và các câu hỏi chúng tôi đưa ra có thể chỉ phù hợp với đối tượng chúng tôi khảo sát. Do đó, việc đánh giá các năng lực toán mà học sinh thể hiện trong các câu hỏi chỉ mang tính chất tương đối;  Việc khái quát hóa các kết quả nghiên cứu còn phụ thuộc nhiều vào khả năng và nỗ lực của người nghiên cứu, trong khi bản thân người nghiên cứu chưa có nhiều nghiệm về giáo dục toán và năng lực còn hạn chế. 27 CHƯƠNG 4. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 1. Giới thiệu Chúng tôi đã tiến hành nghiên cứu theo đúng phương pháp và quy trình được trình bày ở chương 3. Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các kết quả thu được, để lần lượt trả lời các câu hỏi nghiên cứu đã được đề ra ở chương 1. 2. Các nội dung có sử dụng biểu diễn trực quan động 2.1. Hàm số bậc nhất và bậc hai 2.1.1. Áp dụng định lý về tịnh tiến đồ thị Tôi sử dụng biểu diễn trực quan động để giúp học sinh hiểu rõ hơn về định lý, kiểm tra lại tính đúng đắn của định lý đã được chứng minh thông qua biểu diễn trực quan động. Từ đó áp dụng định lý vào việc giải một số bài toán có liên quan.  Mở file kl | 1. gsp, quan sát mô hình Cho hàm số y = f (x) = ax + b (a, b là các tham số) có đồ thị là đường thẳng nét nhạt, hàm số ( )y g x có đồ thị là đường thẳng nét đậm. H? Kéo rê các thanh trượt a, b như thế nào để đồ thị hàm số ( )y f x trùng với đồ thị hàm số ( )y g x ? Hình 2. Kết quả thực nghiệm 28 Phân tích sư phạm  Đây là ví dụ đầu tiên giúp học sinh làm quen với thao tác kéo rê các thanh trượt a, b.  Để có thể kéo được các thanh trượt sao cho đồ thị hàm số ( )y f x trùng với đồ thị hàm số ( )y g x một các nhanh chóng thì học sinh phải tái tạo lại hai tính chất toán học quen thuộc: + Đường thẳng có phương trình dạng y = ax + b có hệ số góc k a , đường thẳng nét đậm có hệ số góc dương, do đó phải kéo thanh trượt a sang phải để a nhận giá trị dương và kéo a gần đến giá trị sao cho đường thẳng nét nhạt song song với đường thẳng nét đậm. + Khi b thay đổi thì đường thẳng nét nhạt tịnh tiến sang phải hoặc sang trái, do đó sau khi kéo rê a học sinh sẽ kéo rê b để đường thẳng nét nhạt trùng với đường thẳng nét đậm. Kết luận: Học sinh thể hiện các năng lực  Năng lực tư duy và suy luận: Với mô hình này, khi làm học sinh sẽ đặt ra cho mình câu hỏi: kéo rê a như thế nào? kéo rê b như thế nào? và biết trả lời cho những câu hỏi đó, như vậy học sinh đã được rèn luyện khả năng tư duy và suy luận của bản thân.  Năng lực lập luận: Các bước trình bày, lập luận trong bài làm tốt.  Năng lực giao tiếp: Khả năng bộc lộ những suy nghĩ của mình về vấn đề toán này, trình bày cách hiểu của mình dưới dạng ngôn ngữ viết.  Năng lực đặt vấn đề và giải: Khả năng đặt vấn đề và giải quyết vấn đề được đặt ra.  Năng lực sử dụng các đồ dùng hỗ trợ và công cụ: với mô hình này học sinh được trực tiếp làm quen và thực hiện các thao tác trên mô hình, phần mềm GSP hỗ trợ các em trong quá trình giải quyết vấn đề. 29  Mở file kl | 2. gsp, quan sát mô hình Giáo viên nhấn nút p = 0, q = 0 Sau đó dịch chuyển các thanh trượt tham số p (theo chiều ngang), tham số q (theo chiều dọc). H? Câu hỏi 1. Nhận xét sự dịch chuyển của đồ thị khi a. p thay đổi; b. q thay đổi? Hình 3. Tịnh tiến đồ thị Kết quả thực nghiệm 1. Sự dịch chuyển của đồ thị Bài làm thứ hai là một câu trả lời tốt cho câu hỏi này. Câu hỏi 2. Khi biết đồ thị của hàm số y = x2, hãy nêu cách vẽ đồ thị hàm số 2y x bx c   . Kết quả thực nghiệm 30 Câu hỏi 3. Khi biết đồ thị của hàm số y = ax2, hãy nêu cách vẽ đồ thị hàm số 2y x bx c   . Kết quả thực nghiệm Phân tích sư phạm  Ở câu hỏi 1: Giúp học sinh nhớ lại định lý về tịnh tiến đồ thị và từ mô hình động thấy được tính đúng đắn của định lý mà học sinh đã được học. Hàm số đã cho là hàm số y = a(x – p)2 + q, khi giáo viên nhấn nút lệnh 0, 0p q  , hàm số có dạng y = ax2. Như vậy từ đồ thị hàm số f(x) = ax2 ta tịnh tiến sang phải (hoặc sang trái) p đơn vị ta được đồ thị hàm số f(x) = a(x – p)2 , sau đó tịnh tiến lên trên (hoặc xuống dưới) q đơn vị ta được đồ thị hàm số 2( - )y a x p q   Ở câu hỏi 2: Nếu không có kết luận từ câu hỏi 1, học sinh khó có thể giải quyết được câu hỏi 2. Học sinh suy luận được rằng đồ thị của hai hàm số 2y x và y = x2 + bx + c giống hệt nhau về hình dạng, đồ thị hàm số 2y x bx c   sẽ thu được từ đồ thị hàm số y = x2 bằng cách tịnh tiến sang phải hoặc sang trái, lên trên hoặc xuống dưới. Vấn đề đặt ra là tịnh tiến đồ thị sang phải hoặc sang trái bao nhiêu đơn vị? lên trên hoặc xuống dưới bao nhiêu đơn vị? Để giải quyết câu hỏi này đòi hỏi học sinh phải có năng lực tư duy, suy luận. Các nhóm học sinh đều đưa ra câu trả lời là phân tích 2y x bx c   về dạng như hàm số được cho như câu hỏi 1. Tuy nhiên phần trình bày của các nhóm chưa chặt chẽ, kết luận chưa thuyết phục, điều này chứng tỏ các em chưa thể hiện tốt năng lực giao tiếp, lập luận. 31  Ở câu hỏi 3: Đây là một câu hỏi mở rộng của câu hỏi 2, có sự tương đồng với câu hỏi 2. 2.1.2. Đồ thị suy ra từ đồ thị có trước Đây là một nội dung mà học sinh sẽ được gặp lại ở chương trình toán lớp 11 (vẽ đồ thị của các hàm số lượng giác) và chương trình toán lớp 12 (phần khảo sát hàm số và vẽ các đồ thị có liên quan). Do đó các em cần được hiểu kỹ bản chất bài toán này. Bằng biểu diễn trực quan động, các em sẽ có một cách nhìn rõ hơn về sự tương quan ( )y g x đồ thị của hai hàm số đã cho, bằng quan sát học sinh có thể tự rút ra được các kết luận.  Mở file kl | 3.gsp H? Câu hỏi 1. Cho hàm số 2( )f x ax bx c   có đồ thị là parabol nét nhạt, hàm số 2( )g x ax bx c   có đồ thị là parabol nét đậm. Chọn a, b, c. Áp dụng Graph| New function và nhập hàm 2y ax bx c   Sau đó vẽ đồ thị của hàm số trên. Kéo rê các thanh trượt tham số a, b, c quan sát và trả lời các câu hỏi sau: Hình 4. Đồ thị chứa dấu giá trị tuyệt đối + Khi đồ thị của hàm số ( )y f x ở trên trục hoành hãy xét vị trí tương đối của đồ thị hàm số ( )y f x và đồ thị hàm số ( )y g x ? + Khi đồ thị của hàm số ( )y f x ở dưới trục hoành hãy xét vị trí tương đối của đồ thị hàm số ( )y f x và đồ thị hàm số ( )y g x ? + Từ đó nêu các vẽ đồ thị hàm số ( )y f x khi biết đồ thị hàm số ( )y f x . 32 Trả lời của học sinh Ta có ( ) ( ) ( ) f xy f x f x       , ( ) 0 , ( ) 0 f x f x   Suy ra, Nếu đồ thị hàm số ( )y f x ở trên trục hoành thì đồ thị hàm số ( )y f x trùng với đồ thị hàm số ( )y f x . Nếu đồ thị hàm số ( )y f x ở dưới trục hoành thì đồ thị hàm số ( )y f x đối xứng với đồ thị hàm số ( )y f x qua trục hoành.  Mở file kl | 4. gsp Câu hỏi 2. Cho hàm số 2( )f x ax bx c   có đồ thị là parabol nét nhạt, hàm số 2( )g x a x b x c   có đồ thị là parabol nét đậm. Trên trang hình có các tham số a, b, c thay đổi được giá trị bằng các nhấp chuột vào các đầu mút thanh trượt và kéo. Chọn a, b, c. Áp dụng Graph| New function và nhập hàm 2y a x b x c   . Hình 5. Đồ thị chứa dấu giá trị tuyệt đối Sau đó vẽ đồ thị của hàm số trên. Kéo rê các thanh trượt tham số a, b, c quan sát và trả lời các câu hỏi sau: + Hàm số ( ) ( )y g x f x  là hàm chẳn nên đồ thị của nó có tính chất gì? + Khi x > 0 hãy xét vị trí tương đối của đồ thị hàm số ( )y f x và đồ thị hàm số ( )y g x ? + Khi x < 0 nhánh trái của đồ thị có đặc điểm gì? + Từ đó nêu cách vẽ đồ thị hàm số ( )y f x khi biết đồ thị hàm số ( )y f x . 33 Trả lời của học sinh Hàm số ( )y f x là hàm chẳn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng. Nếu 0 ( ) ( )x f x f x   nên đồ thị hàm số ( )y f x trùng với đồ thị hàm số ( )y f x . Nếu x < 0 lấy đối xứng phần vừa vẽ qua trục tung. Câu hỏi 3. Vẽ đồ thị hàm số 2y a x b x c   Phân tích sư phạm  Ở câu hỏi 1 và câu hỏi 2: Giúp học sinh tái tạo lại kiến thức: hàm số ( )y f x có đồ thị luôn nằm trên trục hoành và đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. Khi được làm việc trực tiếp với mô hình về các đồ thị, giao tiếp bước đầu với các kết quả của mô hình, học sinh sẽ giải thích và rút ra được cho mình kết luận làm thế nào để vẽ được đồ thị hàm số ( )y f x và hàm số ( )xy f từ đồ thị hàm số ( )y f x . Như vậy việc đặt ra câu hỏi và tìm được câu trả lời tương ứng dựa vào đồ thị đã thể hiện năng lực tư duy và suy luận, năng lực đặt vấn đề và giải của học sinh.  Ở câu hỏi 3: Câu hỏi này chính là sự liên kết của câu hỏi 1 và 2. 2.1.3. Khảo sát sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = ax + b. 1) Khảo sát đồ thị của hàm số bậc nhất y = ax + b.  Mở file kl | 5. gsp, quan sát mô hình H? Khảo sát đồ thị của hàm số y ax b  khi: + 0, 0a b  ; + 0, 0a b  ; + 0, 0a b  ; + a thay đổi; + b thay đổi; + Khi nào hàm số đồng biến, nghịch biến trên R? Hình 6. Hàm số bậc nhất 34 Trả lời của học sinh + Khi 0, 0a b  : đồ thị là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ. + Khi 0, 0a b  : đồ thị là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm A(0, b) và trục hoành tại điểm ,0bB a        . + Khi 0, 0a b  : đồ thị là đường thẳng trùng với trục hoành. + Khi a thay đổi: đồ thị luôn đi qua một điểm nằm trên trục tung và đồ thị hướng từ dưới lên trên (nếu a > 0) và hướng từ trên xuống dưới (nếu a < 0). + Khi b thay đổi: đồ thị tịnh tiến sang trái (nếu b > 0) và tịnh tiến sang phải (nếu 0b  ). + Khi a > 0, hàm số y = ax + b đồng biến trên R + Khi a < 0, hàm số y = ax + b nghịch biến trên R. Phân tích sư phạm  Hàm số bậc nhất là một nội dung khá đơn giản đối với học sinh, từ mô hình động giúp học sinh nhớ lại các kiến thức đã học ở lớp dưới, sự thuận lợi ở đây là chỉ dùng một mô hình học sinh có thể khảo sát sự thay đổi của đồ thị hàm số y = ax + b trong nhiều trường hợp. Đặc biệt giúp học sinh biết thêm một kiến thức là đồ thị hàm số y = ax + b luôn đi qua một điểm trên trục tung khi a thay đổi (đây là điều mà học sinh khó có thể biết hay nói đúng hơn là học sinh chưa nghĩ đến nếu không có mô hình động cho học sinh quan sát). Kết luận: Học sinh thể hiện các năng lực toán:  Năng lực sử dụng các đồ dùng hỗ trợ và công cụ: nghĩa là học sinh biết và có thể sử dụng phần mềm GSP với các thao tác đơn giản là kéo rê các thanh trượt và nhấn vào các nút lệnh để trợ giúp quá trình khảo sát đồ thị của hàm số y = ax + b.  Năng lực mô hình hóa: nghĩa là học sinh được làm việc trực tiếp với mô hình, từ mô hình phân tích và đưa ra các kết quả về các tính chất liên quan đến đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b trong các trường hợp. 35 2) Ý nghĩa của hệ số góc Đặt vấn đề: Cho đường thẳng d: y = ax + b, ta biết rằng hệ số góc k của đường thẳng là tan( , )d Ox . Hệ số góc này có phụ thuộc gì vào các tham số a, b hay không?  Mở file kl | 6. gsp Kéo rê các thanh trượt a, b để quan sát sự thay đổi vị trí của đường thẳng. H? a. Kéo rê a, có nhận xét gì về các hệ số a và tan( )xAt ? b. Nhấn nút a = 0, nhận xét về hệ số góc của đường thẳng trong trường hợp a = 0? Từ đó, hoàn thành nhận xét sau: Hình 7. Ý nghĩa của hệ số góc Nhận xét: Đồ thị hàm số y = ax + b ( 0a  ) là một đường thẳng + Có hệ số góc k =? + Vị trí tương đối của đường thẳng y = ax + b với các trục tọa độ? Trả lời của học sinh a. tan( )a xAt  b. Đường thẳng không có hệ số góc khi a = 0. Nhận xét: Đồ thị hàm số y = ax + b ( 0a  ) là một đường thẳng + Có hệ số góc k = a. + Không song song và không trùng với các trục tọa độ. Phân tích sư phạm  Với mô hình này giúp học sinh có được kết quả một các nhanh chóng, giảm tải các bước tính toán rườm rà để đi đến kết luận tan( )a xAt  và học sinh biết được rằng khi a = 0 đường thẳng không có hệ số góc chứ không phải đường thẳng có hệ số góc bằng 0. 36  Việc thực hiện các thao tác kéo rê thanh trượt, nhấn nút lệnh a = 0 trên máy tính đã góp phần giúp học sinh nâng cao năng lực sử dụng các đồ dùng trợ giúp và công cụ.  Ngoài ra, từ mô hình này giúp học sinh nâng cao năng lực giao tiếp của học sinh, đó là việc học sinh hiểu và trình bày theo cách của mình dưới dạng nói hay viết. 2.1.4. Tính chất của hàm số lẻ Đặt vấn đề: Có những hàm số có tính chất đặc biệt mà ta có thể lợi dụng để việc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của nó dễ dàng hơn. Tính chất lẻ của hàm số là một ví dụ.  Mở file kl | 7. gsp Nhấn nút lệnh Reset để có nhánh phải của đồ thị hàm số f(x) = ax3 – bx. Nhấn nút lệnh dxdothi ta được nhánh trái của đồ thị. Đến khi đồ thị dừng hẳn, kéo rê các thanh trượt tham số a, b quan sát và trả lời các câu hỏi sau đây: a. Tìm tập xác định của hàm số. b. So sánh ( )f x và ( )f x ? c. Đồ thị có tính chất gì đặc biệt? Hình 8. Hàm số lẻ d. Nếu cần vẽ cả đồ thị ta chỉ cần vẽ đồ thị trong khoảng nào? e. Dự đoán tính chất tổng quát của hàm số lẻ? Trả lời của học sinh Cho hàm số ( )f x có tập xác định D; ( )f x được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x thuộc D ta có –x cũng thuộc D và ( ) ( )f x f x   . Hàm số lẻ có đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. 37 Phân tích sư phạm Xây dựng mô hình để giúp học sinh khảo sát các tính chất của hàm số lẻ là thực sự cần thiết với học sinh lớp 10. Hàm số lẻ dạng y = ax là hàm số duy nhất mà học sinh lớp 10 có thể vẽ được đồ thị và khẳng định tích chất hàm số lẻ có đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. Tuy nhiên những hàm số lẻ có bậc ba trở lên, học sinh chưa thể vẽ được đồ thị nên còn mơ hồ về tính chất này.  Năng lực tư duy và suy luận: Nhiều học sinh sẽ đặt ra câu hỏi: liệu mọi hàm số bậc lẻ có tính chất đó hay không? Làm thế nào ta biết được điều đó là đúng khi ta không vẽ được đồ thị? Mô hình này sẽ giải quyết thắc mắc trên của học sinh.  Năng lực giao tiếp: Học sinh hiểu được tính chất này khi học sinh thu nhận từ giáo viên. 2.2. Phương trình và hệ phương trình 2.2.1. Giải và biện luận phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 (*)  Mở file kl | 8. gsp Hình 9. Phương trình ax2 + bx + c = 0 Trên trang hình là đồ thị của hàm số ( )f x = ax2 + bx + c trong hệ trục tọa độ, các tham số a, b, c có thể thay đổi giá trị khi kéo rê các đầu mút thanh trượt, nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = ( )f x = ax2 + bx+ c với trục hoành. 38 Hãy kéo rê các thanh trượt tham số a, b, c quan sát hình dạng của đồ thị, sự tương giao của đồ thị với trục hoành khi a, b, c thay đổi, mối liên hệ giữa biệt thức 2 4b ac   của phương trình (*) và sự tương giao của đồ thị với trục hoành, sau đó trả lời câu hỏi sau đây: H? Với các giá trị nào của a, b, c thì: 1. Đồ thị hàm số không có điểm chung với trục hoành? 2. Đồ thị hàm số có một điểm chung với trục hoành? 3. Đồ thị hàm số có hai điểm chung với trục hoành? 4. Đồ thị hàm số quay bề lõm lên trên? 5. Đồ thị hàm số quay bề lõm xuống dưới? 6. Đồ thị hàm số trở thành đường thẳng ? Nhấn các nút Delta > 0, Delta = 0, Delta < 0, a = 0 để dễ nhận xét trong các trường hợp 7. Ghi kết quả quan sát vào bảng sau ở những chỗ trống. Phương trình ax2 + bx + c = 0 (*), 2 4b ac   1. a = 0: phương trình (*) trở thành phương trình:…………………….. 2. 0a  : Khi 0  : (*)………………………………………………………….. Khi 0  : (*)………………………………………………………….. Khi 0  : (*)………………………………………………………….. Trả lời của học sinh 1. Với các giá trị của a, b, c thỏa mãn 2 4b ac   < 0 thì đồ thị hàm số không có điểm chung với trục hoành. 2. Với các giá trị của a, b, c thỏa mãn 2 4b ac   = 0 thì đồ thị hàm số có một điểm chung với trục hoành. 3. Với các giá trị của a, b, c thỏa mãn 2 4b ac   > 0 thì đồ thị hàm số có hai điểm chung với trục hoành. 4. Khi a > 0 thì đồ thị hàm số quay bề lõm lên trên. 5. Khi a < 0 thì đồ thị hàm số quay bề lõm xuống dưới. 6. Khi a = 0 thì đồ thị hàm số trở thành đường thẳng. 39 7. Phân tích sư phạm  Từ câu hỏi 1 đến câu hỏi 6 giúp học sinh tái tạo lại các tính chất quen thuộc của hàm số bậc hai.  Câu hỏi 7 đòi hỏi sự suy luận, liên kết các kiến thức học sinh thu nhận được từ câu hỏi 1 đến câu hỏi 6. H? Dùng đồ thị để biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình 2x2 – 4x + 3 = m (1)  Mở file kl | 9. gsp, quan sát mô hình Trên trang hình có hai đồ thị của hai hàm số y = ( )f x = 2x2 – 4x + 3 và ( )y g x m  , số nghiệm của phương trình 2x2 – 4x + 3 = m là số giao điểm của hai đồ thị hàm số ( )y f x và y = g(x) Nhấn chuột vào giao điểm của đường thẳng y = m và trục tung, rê điểm này lên trên hoặc xuống dưới, quan sát sự tương giao của đồ thị ( )y f x và y = g(x). Hình 10. Biện luận H? Với giá trị nào của m thì phương trình (1) vô nghiệm, có một nghiệm, có hai nghiệm? (nhấn nút nghiemkep để dễ quan sát). Phương trình ax2 + bx + c = 0 (*), 2 4b ac   1. a = 0: phương trình (*) trở thành phương trình: bx + c = 0 2. 0a  : Khi 0  : (*) có hai nghiệm (phân biệt) 1 2,2 2 b bx x a a        Khi 0  : (*) có một nghiệm kép 2 bx a   Khi 0  : (*) vô nghiệm 40 Trả lời của học sinh Khi m < 1: phương trình (1) vô nghiệm Khi m = 1: phương trình (1) có một nghiệm Khi m > 1: phương trình (1) có hai nghiệm. Phân tích sư phạm Bài toán này đưa ra với mục đích giúp học sinh vận dụng kết quả về giải và biện luận phương trình dạng ax2 + bx + c = 0. Học sinh thể hiện các năng lực toán:  Mô hình hóa: Chuyển thể bài toán biện luận phương trình về bài toán tìm số giao điểm của hai đường bằng cách sử dụng biểu diễn trực quan động, giao tiếp với các kết quả có được từ các thao tác trên mô hình.  Giao tiếp: Trình các kết quả có được dưới dạng ngôn ngữ nói hay viết.  Sử dụng các trợ giúp và công cụ: Học sinh làm quen với các thao tác trên máy tính và thu nhận các kết quả một các nhanh chóng. 2.2.2. Định lý Viet và ứng dụng  Mở file kl | 10. gsp Cho hàm số y = x2 – Sx + P, nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0 (*) là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x2 – Sx + P với trục hoành. * Thay đổi các số S, P sao cho: 0, 0P S  và 0  * Thay đổi các số S, P sao cho: 0, 0P S  và 0  * Thay đổi các số S, P sao cho: 0P  và S tùy ý. Hình 11. Định lý Viet Quan sát và trả lời các câu hỏi sau: + Nhận xét về số nghiệm của phương trình (*) và dấu của các nghiệm trong 3 trường hợp trên (chú ý đến vị trí của gốc tọa độ O với 2 nghiệm x1, x2). + Với điều kiện nào của P thì phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu? 41 + Với P > 0 và S > 0 ta có thể kết luận phương trình (*) luôn có hai nghiệm dương hay không? + Với P > 0 và S < 0 ta có thể kết luận phương trình (*) luôn có hai nghiệm âm hay không? Kết luận Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (1) có hai nghiệm x1, x2 với giả thiết rằng x1 < x2. Ký hiệu bS a   và cP a  Khi đó: + Nếu P < 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu + Nếu P > 0 và S > 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm dương + Nếu P > 0 và S < 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm âm. Phân tích sư phạm Đây là mô hình được thiết kế và cho học sinh khá nhiều thuận lợi trong việc đưa ra các kết luận với ba trường hợp chỉ với một mô hình; học sinh có thể rút ra các kết luận một cách nhanh chóng. Khi làm việc với mô hình này, học sinh thể hiện các năng lực toán sau đây:  Giao tiếp: Từ kết quả thu được sau khi thực hiện các thao tác trên mô hình, học sinh trình bày cách hiểu của mình dưới dạng nói hay dạng viết.  Mô hình hóa: Làm việc với mô hình, phân tích và đưa ra các kết quả của nó.  Sử dụng các đồ dùng hỗ trợ và công cụ: Khả năng sử dụng phần mềm GSP, thực hiện một số thao tác đơn giản và tự rút ra các kết luận cho mình. 2.2.3. Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Cho hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ' ' ' ax by c a x b c        (I) ( 2 2 '2 '20, 0b a ba     ) 42  Mở file kl | 11. gsp Giả sử (d) là đường thẳng ax by c  (nét đậm) và (d’) là đường thẳng ' ' 'a x b y c  (nét nhạt) Các tham số a, b, c, a’, b’, c’ có thể thay đổi giá trị. H? 1. Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và d’ trong các trường hợp: Hình 12. Hệ phương trình bậc nhất một ẩn + Hệ (I) có nghiệm duy nhất? + Hệ (I) vô nghiệm? + Hệ (I) có vô số nghiệm? 2. Kéo rê các thanh trượt tham số sao cho các đường thẳng có các vị trí tương đối khác nhau, quan sát sự thay đổi các giá trị D, Dx, Dy và trả lời câu hỏi sau: + Với các giá trị nào của D, Dx, Dy thì hệ (I) có nghiệm duy nhất, vô nghiệm, có vô số nghiệm? (Có thể kích các nút cat, ssong, trung để dễ nhận xét). + Hoàn thành bảng sau bằng cách điền vào chỗ trống Cho hệ phương trình ' ' ' ax by c a x b c        (I) ( 2 2 '2 '20, 0b a ba     ) 1. 0D  : Hệ có một nghiệm duy nhất (x; y), với ; yx DD y D D x  2. D = 0 * 0xD  hoặc 0yD  : Hệ………………………………………………. * 0x yD D  : Hệ……………………………………………………….. 43 Trả lời của học sinh 1. + Hệ (I) có nghiệm duy nhất (d) và (d’) cắt nhau + Hệ (I) vô nghiệm  (d) và (d’) song song + Hệ (I) có vô số nghiệm  (d) và (d’) trùng nhau 2. Cho hệ phương trình ' ' ' ax by c a x b c        (I) ( 2 2 '2 '20, 0b a ba     ) 1. 0D  : Hệ có một nghiệm duy nhất (x; y), với ; yx DD y D D x  2. D = 0 * 0xD  hoặc 0yD  : Hệ vô nghiệm. * 0x yD D  : Hệ có vô số nghiệm, tập nghiệm hệ là tập nghiệm của phương trình ax + by = c. Phân tích sư phạm Từ các thao tác trên mô hình, học sinh biện luận nghiệm của hệ phương trình đã cho. Để rút ra các kết luận trong bảng, học sinh phải liên kết câu trả lời của câu hỏi 1 và những gì rút ra được từ các thao tác trên mô hình.  Giao tiếp: Từ kết quả thu được sau khi thực hiện các thao tác trên mô hình, học sinh trình bày cách hiểu của mình dưới dạng nói hay dạng viết.  Mô hình hóa: Làm việc với mô hình, phân tích và đưa ra các kết quả.  Biểu diễn: Giải thích và phân biệt khác nhau của các biểu diễn của hai đường thẳng trong các trường hợp song song, cắt nhau và trùng nhau.  Sử dụng các đồ dùng hỗ trợ và công cụ: Khả năng sử dụng phần mềm GSP, thực hiện một số thao tác đơn giản và tự rút ra các kết luận cho mình. 44 2.3. Bất đẳng thức và bất phương trình 2.3.1. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân Hệ quả: Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau  Mở file kl | 12. gsp Hình 13. Hệ quả BĐT Côsi Cho đoạn thẳng AB, điểm C di động trên AB, AC = a, CB = b. Vẽ hình chữ nhật có hai cạnh có độ dài là a, b. + Chọn A, C. Áp dụng Measure| Distance để có độ dài đoạn AC = a. + Chọn B, C. Áp dụng Measure| Distance để có độ dài đoạn BC = b. + Chọn a,b. Áp dụng Measure| Calculate để tính diện tích hình chữ nhật S ab . Kéo rê điểm C, quan sát diện tích của hình chữ nhật và trả lời các câu hỏi sau: 1. Diện tích của hình chữ nhật sẽ thay đổi như thế nào khi C tiến đến A? 2. Diện tích của hình chữ nhật sẽ thay đổi như thế nào khi C tiến đến B? 3. Diện tích của hình chữ nhật sẽ đạt cực đại khi nào? Nhấn nút lệnh cucdai để dễ quan sát. 4. Từ đó rút ra kết luận, nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi nào? Trả lời của học sinh 1. Diện tích của hình chữ nhật sẽ giảm dần khi C tiến đến A. 2. Diện tích của hình chữ nhật sẽ giảm dần khi C tiến đến B. 45 3. Diện tích của hình chữ nhật sẽ đạt cực đại a = b. 4. Kết luận: Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau. Phân tích sư phạm Với phương diện sử dụng mô hình động giúp học hệ quả Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau sẽ giúp học sinh thể hiện các năng lực toán sau đây:  Suy luận: Để rút ra được kết luận, học sinh phải liên kết các câu trả lời của câu hỏi 1, 2, 3. Bằng những suy luận toán đơn giản học sinh biết được rằng diện tích của hình chữ nhật sẽ lớn nhất khi nào và tại sao?  Giao tiếp: Giải thích các kết quả tính toán và trình bày kết luận theo ngôn ngữ của mình dưới dạng nói hay dạng viết.  Sử dụng các trợ giúp và công cụ: Thực hiện các tính toán trên GSP, các thao tác trên mô hình. Bài tập ứng dụng Có 16 mét lưới, cần khoanh một cái chuồng nuôi gà hình chữ nhật mà một cạnh là tận dụng tường nhà. Hỏi kích thước của chuồng là bao nhiêu để được diện tích khoanh là lớn nhất?  Mở file kl | 13. gsp Kéo rê điểm C, quan sát diện tích, chu vi của chuồng thay đổi và trả lời các câu hỏi sau: 1. Chu vi chuồng có thay đổi không? 2. Viết biểu thức tính chu vi của chuồng theo a, b? 3. Viết biểu thức tính diện tích của chuồng? Hình 14. Ứng dụng hệ quả BĐT Côsi Diện tích của chuồng đạt cực đại khi nào? 46 Trả lời của học sinh Ta có chu vi của chuồng không thay đổi Trong trường hợp này ta có 2a + b = 16 Do đó, diện tích của chuồng S = ab đạt cực đại khi 2a = b Khi đó: 2a + 2a = 16 4, 8a b   Diện tích của chuồng đạt cực đại là S = ab = 32 m2 Phân tích sư phạm Đây là bài toán thực tế giúp học sinh vận dụng hệ quả ở trên. Nhiều học sinh nghĩ rằng, hình có tổng hai cạnh không đổi nên diện tích của chuồng sẽ lớn nhất khi hai cạnh đó bằng nhau, thực tế với bài toán này suy luận đó không đúng. Để giải quyết câu hỏi 3, học sinh phải liên kết các câu trả lời câu hỏi 1, 2, kết luận của hệ quả và bằng những suy luận toán. Rào chuồng nuôi gà có tận dụng một cạnh của tường nhà nên có 2 16a b  chứ không phải 2( ) 16a b  , học sinh suy luận được điều này thì sẽ giải quyết tốt câu hỏi này. 2.3.2. Định lý về dấu của tam thức bậc hai  Mở file kl | 14. gsp, quan sát mô hình Hình 15. Tam thức bậc hai H? 1. Nhận xét mối quan hệ về dấu của f(x) và hệ số a trong các trường hợp và hoàn thành bảng sau: 47  x 2( )f x ax bx c   0  Với mọi x 0  Với mọi 2 bx a  ( )f x có hai nghiệm 1 2x x Với mọi x ngoài đoạn 1 2;x x   0  Với mọi x trong khoảng  1 2;x x 2. Khảo sát mối quan hệ của các đồ thị khi: hệ số a thay đổi; hệ số b thay đổi; hệ số c thay đổi? 3. Nêu điều kiện cần và đủ để tam thức bậc hai 2( )f x ax bx c   luôn dương? 4. Nêu điều kiện cần và đủ để tam thức bậc hai 2( )f x ax bx c   luôn âm? Kết quả thực nghiệm 1. 2. Sự thay đổi của đồ thị 48 3. 4. Phân tích sư phạm Học sinh thực hiện các thao tác kéo rê các thanh trượt a, b, c và tìm được mối quan hệ về dấu của ( )f x và hệ số a trong các trường hợp khá dễ dàng. Một điều khá thuận lợi ở đây là chỉ với 1 mô hình có thể giúp học sinh khảo sát được mối quan hệ về dấu của ( )f x và hệ số a trong tất cả trường hợp. Câu hỏi này giúp học sinh khám phá những điều mới, nếu không có mô hình động thì học sinh không nhận xét được sự thay đổi của đồ thị khi các hệ số a, b, c thay đổi. Qua các thao tác học sinh thể hiện các năng lực toán sau:  Suy luận: Để rút ra được kết luận, học sinh phải liên kết những gì quan sát được từ các thao tác trên mô hình. Bằng những suy luận toán đơn giản học sinh rút ra định lý về dấu tam thức bậc hai  Giao tiếp: Giải thích các kết quả tính toán và trình bày kết luận theo ngôn ngữ của mình dưới dạng nói hay viết.  Mô hình hóa: Làm việc với mô hình, phân tích và đưa ra các kết quả  Sử dụng đồ dùng hỗ trợ và công cụ: thực hiện các thao tác kéo rê các thanh trượt a, b, c, biết và sử dụng phần mềm GSP để khám phá các tri thức. Bài tập ứng dụng Cho đa thức 2( ) (2 ) 2 1f x m x x    . 1. Với giá trị nào của m thì đa thức 2( ) (2 ) 2 1f x m x x    luôn dương? 2. Với giá trị nào của m thì đồ thị giao với trục hoành tại một điểm? 49 3. Khi nào thì parabol đã cho biến thành đường thẳng? 4. Kéo rê thanh trượt hệ số m như thế nào thì đồ thị của hàm số f(x) luôn nằm phía trên trục hoành?  Mở file kl | 15. gsp, thực hiện các thao tác trên mô hình và trả lời các câu hỏi đưa ra ở trên Hình 16. Áp dụng định lý dấu tam thức bậc hai Trả lời của học sinh 1. Khi m < 1 2. Khi m = 1 3. Khi m = 2 4. Kéo rê m sao cho m < 1 thì đồ thị hàm số ( )f x luôn nằm phía trên trục hoành. Phân tích sư phạm Đây là ví dụ giúp học sinh áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai. Giải quyết bài toán bằng cách sử dụng biểu diễn trực quan động giúp học sinh tìm ra kết quả một cách nhanh chóng. 2.3.3. Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn Định lý Trong mặt phẳng tọa độ, đường thẳng (d): ax + by + c = 0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng ấy (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình 0ax by c   , nửa mặt 50 phẳng còn lại (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình 0ax by c   .  Mở file kl | 16. gsp Trên trang hình là đường thẳng d: ax + by + c = 0 + Điểm M tùy ý có gán thêm tọa độ (x, y) thay đổi khi M di chuyển. + Các hệ số a, b, c có thể thay đổi giá trị bằng cách kích chuột vào hệ số muốn thay đổi rồi nhấn phím (+) để tăng và nhấn phím (–) để giảm hệ số đó. Hình 17. BPT bậc nhất hai ẩn Kéo rê điểm M về bên phải, bên trái và lên đường thẳng để quan sát giá trị ax + by + c dương, âm, bằng 0 trên những miền nào. Trả lời những câu hỏi sau: 1. Đường thẳng ax + by + c = 0 chia mặt phẳng thành hai miền. Trên mỗi miền dấu của giá trị ax + by + c thay đổi như thế nào? 2. Trên đường thẳng thì giá trị ax + by + c bằng bao nhiêu? 3. Thay đổi các giá trị a, b, c để kiểm tra các kết luận ở câu hỏi 1, 2 có còn đúng không? Từ đó đi đến kết quả Trả lời của học sinh 1. Đường thẳng ax + by + c = 0 chia mặt phẳng thành hai miền. Một miền giá trị ax + by + c dương và một miền giá trị của ax + by + c âm. 2. Trên đường thẳng thì giá trị của ax + by + c = 0. 3. Kết quả trên đúng với mọi a, b, c. 51 Phân tích sư phạm Học sinh thể hiện các năng lực toán sau  Mô hình hóa: Làm việc với mô hình, phân tích và đưa ra các kết qủa sau khi thực hiện các thao tác trên mô hình.  Tư duy và suy luận: Từ việc trả lời các câu hỏi 1 và 2 đòi hỏi học sinh phải có năng lực tư duy và suy luận để rút ra kết luận: Nếu 0 0; )( yx là một nghiệm của bất phương trình ax + by + c > 0 (hay ax + by + c < 0) thì nữa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm 0 0; )( yM x chính là miền nghiệm của bất phương trình ấy.  Sử dụng đồ dùng hỗ trợ và công cụ: thực hiện các thao tác, biết và sử dụng phần mềm GSP để khám phá các tri thức.  Giao tiếp: Giải thích các kết quả tính toán và trình bày kết luận theo ngôn ngữ của mình dưới dạng nói hay dạng viết. Bài toán thực tế Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị prôtêin và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilôgam thịt bò chứa 800 đơn vị prôtêin và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilôgam thịt lợn chứa 600 đơn vị prôtêin và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình chỉ mua nhiều nhất là 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn; giá tiền 1 kg thịt bò là 90 nghìn đồng, 1 kg thịt lợn là 70 nghìn đồng. Giả sử gia đình đó mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn. a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm (S) của hệ đó. b) Gọi T (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn. Hãy biểu thị T theo x và y. c) Ở câu a), ta thấy (S) là một miền đa giác. Biết rằng T có giá trị nhỏ nhất tại (x0; y0) với (x0; y0) là tọa độ của một trong các đỉnh của (S). Hỏi gia đình đó phải mua bao nhiêu kilôgam thịt mỗi loại để chi phí là nhỏ nhất? 52 Trả lời của học sinh Giả sử gia đình đó mua x (kg) thịt bò và y (kg) thịt lợn. Theo giả thiết, x và y cần thỏa mãn điều kiện: 0 1,6x  ; 0 1,1y  Khi đó, số đơn vị prôtêin có được là 800x + 600y và số đơn vị lipit có được là 200x + 400y. Vì gia đình cần có ít nhất 900 đơn vị prôtêin và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là: 800 600 900x y  và 200 400 400x y  Hay gọn hơn: 4 3 4,5x y  và 2 2x y  Vậy các điều kiện mà x và y cần thỏa mãn là: 0 1,6 0 1,1 4 3 4,5 2 2 x y x y x y                (I) Học sinh xác định miền nghiệm của hệ phương trình (I)  Mở file kl | 17. gsp Hình 18. Bài toán dinh dưỡng Ta có miền nghiệm của hệ trên là miền tứ giác ABCD (kể cả biên) Chi phí để mua x (kg) thịt bò và y (kg) thịt lợn là T = 90x + 70y (nghìn đồng) Ta đã biết T đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD 53 + Chọn các đỉnh A, B, C, D. Áp dụng Construct| Quadrilateral Interior để có miền trong của đa giác. + Chọn miền trong đa giác. Áp dụng Construct| Point on Quadrilateral để lấy một điểm di động trên biên của đa giác. + Nhấn các nút M A , M B , M C , M D để tìm (x; y) sao cho T nhỏ nhất. Phân tích sư phạm Đây là một bài toán thực tế áp dụng định lý trên. Giải quyết bài toán bằng cách sử dụng BDTQĐ sẽ giúp học sinh giảm các tính toán, làm quen với các thao tác đơn giản dưới sự hướng dẫn của giáo viên. Qua bài toán này, học sinh thể hiện các năng lực toán sau:  Biểu diễn: Để làm được bài toán này, học sinh phải chuyển đổi ngôn ngữ tự nhiên thành biểu diễn toán học.  Mô hình hóa: Chuyển đổi ngôn ngữ ký hiệu về dạng biểu diễn trực quan đề xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình.  Sử dụng ngôn ngữ ký hiệu và các phép toán: Sử dụng các các biểu diễn ký hiệu để tìm nghiệm của BPT, thao tác với các bất phương trình đơn giản.  Sử dụng các trợ giúp và công cụ: Biết sử dụng phương tiện hỗ trợ. 2.4. Góc lượng giác và công thức lượng giác 2.4.1. Tương ứng giữa một điểm trên đường thẳng với một điểm trên đường tròn  Mở file kl | 18. gsp Hình 19. Tương ứng điểm 54 Cho đường tròn lượng giác tâm O, điểm gốc A. Kích đúp chuột vào x để thay đổi các giá trị của x, kích nút lệnh cuonlai, quan sát và trả lời các câu hỏi sau: Với điểm x đã cho trên đường thẳng, cho tương ứng bao nhiêu điểm trên đường tròn? Thay đổi các giá trị của x và kiểm tra nhận xét trên có đúng không? Cho x các giá trị có dạng k2 và (2k + 1) , các điểm đó trùng với điểm nào trên đường tròn lượng giác? Lấy một điểm tùy ý trên khoảng (0; ) , x là số thực biểu thị điểm đó, khi cuốn lại sẽ đến trùng với điển M trên đường tròn lượng giác. Chọn A, M, đường tròn (C). Áp dụng Measure | Arc Angle để đo độ dài cung ¼AM . So sánh số đo đó với x? Trả lời của học sinh + Ứng với mỗi số thực có một điểm trên đường tròn lượng giác. + Các điểm trên trục số At có tọa độ k2 ( k Z ) đến trùng với điểm A khi quấn dây At quanh đường trong lượng giác. + Các điểm trên trục số At có tọa độ (k2 + 1) ( k Z ) đến trùng với điểm A’ khi quấn dây At quanh đường trong lượng giác. Phân tích sư phạm Qua các thao tác giúp học sinh thể hiện các năng năng lực sau:  Lập luận: Để rút ra được kết luận, học sinh phải liên kết những gì quan sát được từ các thao tác. Bằng những suy luận toán đơn giản học sinh rút ra: - Ứng với mỗi điểm trên đường thẳng cho tương ứng với một điểm duy nhất trên đường tròn - Ứng với mỗi điểm trên đường trong cho tương ứng vô số điểm trên đường thẳng  Giao tiếp: Giải thích các kết quả tính toán và trình bày kết luận theo ngôn ngữ của mình dưới dạng nói hay dạng viết.  Tư duy và suy luận: Học sinh đặt các câu hỏi ứng với mỗi điểm trên đường thẳng cho tương ứng duy nhất một điểm trên dường tròn, điều ngược 55 lại có đúng không? Thông qua các thao tác với mô hình, học sinh giải quyết được câu hỏi này.  Mô hình hóa: Làm việc với mô hình, phân tích và đưa ra các kết quả của nó.  Sử dụng đồ dùng hỗ trợ và công cụ: thực hiện các thao tác, biết và sử dụng phần mềm GSP để khám phá các tri thức. 2.4.2. Giá trị lượng giác sin và cos  Mở file kl | 19. gsp Vẽ đường tròn lượng giác tâm O, điểm gốc A trùng với điểm đơn vị của hệ tọađộ Oxy. Góc lượng giác (Ox, Oy) là góc 2  , điểm M di động trên (O) có sđ ( , )OA OM  . Gọi tọa độ của M trong hệ tọa độ Oxy là (x; y). Kéo rê điểm M để thấy tọa độ của nó thay đổi theo  , quan sát và trả lời câu hỏi sau: Hình 20. Giá trị lượng giác 1. Khi M ở góc phần tư thứ nhất, trong tam giác vuông OHM hãy tính os , sinc   . So sánh chúng với hoành độ, tung độ của M? 2. Khi M ở góc phần tư thứ hai, nhận xét ở câu hỏi 1 còn đúng không? 3. Kéo rê M đến vị trí để sin = 0, khi đó osc  bằng bao nhiêu? 4. Kéo rê M đến vị trí để os 0c   , khi đó sin bằng bao nhiêu? Trả lời của học sinh + Hoành độ x của M bằng osc  , tung độ y của điểm M bằng sin + Khi sin 0  thì os 1, os 1cc     + Khi os 0c   thì sin 1, sin 1    56 Phân tích sư phạm Mô hình này giúp học sinh khám phá những kiến thức liên quan đến các giá trị lượng giác sin và cos. Giúp học sinh nâng cao các năng lực sau:  Giao tiếp: Giải thích các kết quả thu nhận được và trình bày kết luận theo ngôn ngữ của mình dưới dạng nói hay dạng viết, sau chuyển đổi thành ngôn ngũ ký hiệu.  Tư duy và suy luận: Học sinh đặt các câu hỏi khi sin 0  thì os 1, os 1cc     và khi os 0c   thì sin 1, sin 1    , liệu có biểu thức liên hệ gì giữa sin và cos hay không? Bằng suy luận của mình học sinh có thể trả lời cho câu hỏi đó là 2 2sin cos 1   .  Mô hình hóa: Làm việc với mô hình, phân tích và đưa ra các kết qủa của nó.  Sử dụng đồ dùng hỗ trợ và công cụ: thực hiện các thao tác, biết và sử dụng phần mềm GSP để khám phá các tri thức. 3. Kết quả cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất: Xây dựng những mô hình động về đại số như thế nào để giáo viên và học sinh có thể sử dụng nhằm đạt hiệu cao trong giảng dạy và học tập? Thông qua thực nghiệm cho thấy, chúng tôi đã đạt được hiệu quả trong giờ học. Chúng tôi đã xây dựng các biểu diễn động hướng tới các vấn đề cơ bản sau: Tính trực quan, thao tác được: Chẳng hạn, trong các mô hình chúng tôi đã tiến hành thực nghiệm, việc thực hiện thao tác kéo rê tại đầu mút các thanh trượt, nhấn vào các nút lệnh là công việc khá dễ dàng với học sinh khi mới làm quen với kiểu nhiệm vụ này. Và thực tế, học sinh rất thích thú, các em tự do khám phá và nhận ra được sự thay đổi của các đồ thị khi các tham số thay đổi giá trị. Tính chính xác; tính gần gũi: các mô hình xây dựng phải đúng với nội dung cần truyền đạt, Phải hấp dẫn và thách thức học sinh: Trong mô hình liên quan đến tam thức bậc hai (file kl | 14. gsp), có một câu hỏi được đưa ra là: nhận xét sự thay đổi của đồ thị hàm số 2y ax bx c   khi các hệ số a, b, c thay đổi? Với mô hình và câu hỏi được đưa ra, các nhóm phải suy nghĩ và thảo luận rất nhiều để đưa 57 ra một kết quả chính xác nhất, câu hỏi này đòi hỏi học sinh phải có óc quan sát thật tốt. Điều quan trọng nhất là từ mô hình này giúp các em khám phá những điều thực sự rất mới, và tất cả học sinh điều thừa nhận rằng các em không thể giải quyết câu hỏi này nếu không có mô hình động. Tạo điều kiện cho các em thảo luận và tương tác: Trong mô hình (file kl | 1. gsp) để học sinh bước đầu làm quen với các thao tác trên mô hình, câu hỏi được đưa ra là: Cho hàm số ( )y f x = ax + b (a, b là các tham số) có đồ thị là đường thẳng nét nhạt, hàm số ( )y g x có đồ thị là đường thẳng nét đậm. Kéo rê các thanh trượt a, b như thế nào để đồ thị hàm số ( )y f x trùng với đồ thị hàm số ( )y g x ? Với mô hình và câu hỏi đưa ra, quá trình làm bài của học sinh là sự tranh luận của cả nhóm: kéo rê a, kéo rê b như thế nào? Tại sao lại kéo như vậy? Học sinh giải thích cho các thành viên trong nhóm và giải thích như thế nào cho các thành viên còn lại hiểu và chấp nhận kết quả đòi hỏi học sinh phải có khả năng lập luận tốt. Thông qua phiếu thăm dò và thái độ học tập của các em trên lớp cho thấy rằng học sinh thực sự hứng thú với kiểu nhiệm vụ này. Với sự tranh luận, thảo luận khi làm việc với các mô hình giúp các em tăng kỹ năng giao tiếp cũng như kỹ năng lập luận trước một vấn đề toán. Từ đó, giáo viên có cơ sở đánh giá các biểu diễn trực quan động do mình thiết kế chính xác hơn, có thể thiết lại cho tốt hơn (nếu chưa thực sự phù hợp) để phục vụ hiệu quả cho việc dạy, giúp học sinh tự mình khám phá kiến thức, nâng cao các năng lực toán cho học sinh. 4. Kết quả cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai Câu hỏi nghiên cứu thứ hai: Những năng lực đại số mà học sinh lớp 10 thể hiện khi giải quyết các vấn đề toán học và thực tế thông qua các thao tác trên các biểu diễn trực quan động? 4.1. Mô tả các mức độ hiểu biết toán Để làm cơ sở cho việc đánh giá các năng lực toán mà học sinh thể hiện, chúng tôi xây dựng 5 mức độ hiểu biết toán có liên quan đến nội dung tìm kiếm và sử dụng biểu diễn toán, phỏng theo 5 mức độ hiểu biết toán của PISA (Lemke, M. et al., 2004, [16, tr. 35]).  Mức 1: Mức này học sinh có thể: 58 + Làm việc với một biểu diễn toán duy nhất, ở đó nội dung toán học là trực tiếp và được trình bày rõ ràng; + Trả lời các câu hỏi liên quan đến các tình huống quen thuộc và có tất cả các thông tin phù hợp; + Thể hiện các hoạt động rõ ràng, làm theo trực tiếp từ những gợi ý đã cho trong một tình huống tường minh.  Mức 2: Mức này học sinh có thể: + Tách ra được các thông tin phù hợp từ một nguồn duy nhất và tận dụng một trạng thái biểu diễn duy nhất; + Liên kết các lời văn với các biểu diễn đơn giản; + Nhận ra và lý giải các tình huống đòi hỏi không nhiều hơn sự kết luận trực tiếp, đưa ra các giải thích bằng chữ cho các kết quả; + Sử dụng tư duy toán học trong những tình huống tương tự.  Mức 3: Mức này học sinh có thể: + Bắt đầu liên kết các biểu diễn có liên quan (lời văn, đồ thị, bảng số…); + Giải thích và sử dụng các biểu diễn dựa trên các nguồn thông tin khác nhau và suy luận trực tiếp từ các biểu diễn đó. + Lý giải các mô tả bằng lời về các tình huống toán học không quen thuộc; + Chọn và áp dụng các phương án giải quyết vấn đề đơn giản; + Phát triển các giao tiếp ngắn báo cáo lại các lý giải, kết quả và suy luận của các em.  Mức 4: Mức này học sinh có thể: + Lý giải lời văn trong một tình huống không quen thuộc và chuyển mô tả bằng lời văn thành các bài toán; + Chọn và tích hợp những biểu diễn khác nhau; + Hiểu và làm việc với các biểu diễn bội, bao gồm các mô hình toán tường minh của các khái niệm toán và các tình huống thực tế; + Vận dụng các kỹ năng đã phát triển hoàn thiện và suy luận linh hoạt với hiểu biết sâu sắc trong các tình huống này; + Sử dụng những quy trình nhiều bước, dùng nhiều kỹ năng tính toán; + Kiến tạo và giao tiếp các giải thích và lập luận dựa trên các hành động của mình. 59  Mức 5: Mức này học sinh có thể: + Sử dụng hoàn toàn tiên tiến các biểu thức và mô hình đại số hay những dạng toán học hình thức khác; + Phát triển và làm việc hiệu quả với những mô hình cho các tình huống phức tạp, xác định các hạn chế và chỉ ra các giả thiết; + Dùng sự thấu hiểu, lý giải, liên kết các biểu diễn toán học hình thức với các tình huống thực tế phức tạp; + Phản ánh các hoạt động, thành lập và giao tiếp các lý giải và suy luận của mình. 4.2. Những năng đại số mà học sinh đã thể hiện Dựa vào kết quả bài làm của 5 nhóm học sinh (mỗi nhóm 3 học sinh) lớp 10/2 trường THPT Chuyên Quốc Học trong quá trình thực nghiệm, chúng tôi phân tích các dữ liệu thu thập được qua bài làm của các nhóm học sinh ứng với từng bài toán trong hai phiếu học tập. Cụ thể như sau: Phiếu học tập số 1 Gồm 10 câu hỏi, mỗi câu trả lời đúng được 1 điểm, tùy theo mức độ học sinh làm bài sẽ có các số điểm tương ứng là 0,75 điểm, 0,5 điểm, 0,25 điểm và 0 điểm. Có 5 nhóm học sinh tham gia làm bài và kết quả được thống kê như sau: Số phần trăm học sinh đạt từng mức điểm Mức điểm Câu hỏi [0; 0,5) điểm [0,5; 1] điểm 1 100 2.a 100 2.b 100 2.c 20 80 3 100 4 100 5 100 6 100 7 100 8 20 80 60 Phân tích  Ở câu hỏi 1: Có 5/5 nhóm học sinh làm bài tốt, 4/5 nhóm đạt điểm tối đa. Điểm trung bình của câu hỏi 1 là 0,95/1 điểm. Từ sự hướng dẫn của giáo viên, học sinh thực hiện các thao tác kéo rê các thanh trượt a, b, c và tìm được mối quan hệ về dấu của f (x) và hệ số a trong các trường hợp khá dễ dàng. Một điều đáng nói ở đây: học sinh rất thích thú với mô hình này, vì chỉ với 1 mô hình có thể giúp học sinh khảo sát được mối quan hệ về dấu của f (x) và hệ số a trong 6 trường hợp. Nhìn chung, hầu hết học sinh đạt mức độ hiểu 4 ở câu hỏi 1, vì học sinh hiểu và làm việc với mô hình về định lý của dấu tam thức bậc hai, tích hợp được các biểu diễn khác nhau trong các trường hợp 0, 0, 0, 0, 0a a        và đưa ra nhận xét đúng về định lý dấu tam thức bậc hai. Mỗi bài làm của học sinh được trình bày dưới dạng biểu diễn ngôn ngữ, biểu diễn ký hiệu (sử dụng biểu diễn ký hiệu trong học toán là mục tiêu mà giáo viên muốn hướng đến), chẳng hạn: Hình 21.Sử dụng biểu diễn ngôn ngữ Hình 22. Sử dụng biểu diễn ký hiệu 61  Ở câu hỏi 2: Gồm ba câu 2.a, 2.b, 2.c, điểm tối đa cho câu hỏi 2 là 3 điểm. Điểm trung bình của câu hỏi 2 là 2.25/3 điểm. Có 5/5 nhóm học sinh đạt điểm trên trung bình. Theo ý kiến của học sinh, câu hỏi này giúp học sinh khám phá những điều mới, nếu không có mô hình động thì học sinh không nhận xét được sự thay đổi của đồ thị khi các hệ số a, b, c thay đổi. Để tìm được câu trả lời trong trường hợp hệ số b thay đổi, học sinh phải thực hiện thao tác kéo thanh trượt b rất nhiều lần. Qua các thao tác học sinh thể hiện được năng lực sử dụng đồ dùng hỗ trợ và công cụ. Câu trả lời cho câu hỏi này được trình dưới dạng ngôn ngữ nói, các em hiểu nhưng chưa biết cách để trình bày, nhiều ý không diễn đạt được. Điều này chứng tỏ năng lực giao tiếp của các em còn hạn chế. Nhìn chung, các em đạt mức độ hiểu 3 ở câu hỏi 2 vì từ quan sát học sinh hiểu và mô tả được bằng lời sự thay đổi của đồ thị khi các hệ số a, b, c thay đổi giá trị. Hình23. Bài làm câu hỏi 2  Ở câu hỏi 3: Điểm trung bình là 0,8/1 điểm. Học sinh làm bài tốt ở câu hỏi này, có một nhóm học sinh không đạt điểm là do các em đọc đề không kỹ dẫn đến làm thừa. 62 + Câu hỏi này giúp đòi hỏi học sinh phải liên kết những kiến thức mà học sinh thu nhận được từ câu hỏi 1, hiểu để giải quyết câu hỏi 3. Học sinh thể hiện năng lực tư duy, lập luận khá tốt. Trong những bài học sinh làm tốt, có nhóm trình bày thuần túy bằng biểu diễn ký hiệu, có nhóm kết hợp biểu diễn ngôn ngữ và biểu diễn ký hiệu. Hình 24. Biểu diễn ký hiệu Hình 25. Biểu diễn ngôn ngữ - ký hiệu  Ở câu hỏi 4: Điểm trung bình là 1/1 điểm. Các nhóm học sinh làm bài tốt ở câu hỏi này. Câu hỏi này có sự tương đồng với câu hỏi 3. Nhìn chung khả năng liên kết những kiến thức đã thu nhận được, khả năng lập luận, tư duy của học sinh được thể hiện khá tốt. Hình 26. Biểu diễn ngôn ngữ Hình 27. Biểu diễn ký hiệu  Ở câu hỏi 5: Điểm trung bình của câu hỏi này là 0,5/1 điểm. Không có nhóm nào đạt điểm tối đa, sai lầm của các em là không xét trường hợp a = 0. Điều này phản ánh rằng các em chưa thể hiện tốt các năng lực dư duy và kỹ năng suy luận để xét hết các trường hợp. 63  Ở câu hỏi 6: Điểm trung bình của câu hỏi này là 0,6/1 điểm. Có 3/5 nhóm không xét trường hợp 0a  dẫn đến kết quả bài làm của các em không cao. Hình 28. Không xét trường hợp a = 0 + Có 2 nhóm xét đến trường hợp 0a  , tuy nhiên cách thể hiện cách hiểu của mình vẫn chưa tốt, các em mắc lỗi trình bày, điều này chứng tỏ năng lực giao tiếp của các em vẫn còn hạn chế Hình 29. Trình bày không tốt Hình 30.  Ở câu hỏi 7: Điểm trung bình của câu hỏi 7 là 0,8/1 điểm. Các nhóm điều làm đúng kết quả, tuy nhiên có 3/5 nhóm chỉ ghi kết quả cuối cùng nên điểm không đạt tối đa. Các em vẫn chưa quen với việc sử dụng biểu diễn ký hiệu trong bài làm của mình. Hình 31. Biểu diễn ngôn ngữ  Ở câu hỏi 8: Điểm trung bình của câu hỏi 8 là 0,2/1 điểm. Các câu trả lời không trọn vẹn, có 4/5 nhóm chỉ ghi kết quả m < 1, 1 nhóm học sinh hiểu 64 đề, tuy nhiên câu trả lời chưa thực sự thuyết phục, điều này thể hiện năng lực giao tiếp của các em vẫn còn hạn chế Phiếu học tập số 2 Gồm 5 câu hỏi, mỗi câu trả lời đúng được 2 điểm, tùy theo mức độ học sinh làm bài sẽ có các số điểm tương ứng là 2 điểm, 1 điểm và 0 điểm. Có 5 nhóm học sinh tham gia làm bài và kết quả được thống kê như sau: Số phần trăm học sinh đạt từng mức điểm Mức điểm Câu hỏi 1 Câu hỏi 2a Câu hỏi 2b Câu hỏi 3 Câu hỏi 4 [0; 0,5) điểm 20 [0,5; 1) điểm 20 20 20 20 [1; 1,5 ) điểm 20 40 60 20 40 [1,5; 2] điểm 60 40 20 60 40 Phân tích  Ở câu hỏi 1: Điểm trung bình là 1,3/2 điểm. Có một nhóm học sinh không có điểm. Nhìn chung, lúc đầu các em chưa quen với các thao tác trên mô hình, kết quả đưa ra chưa nhanh, một số học sinh còn thực hiện việc kéo các thanh trượt theo cảm tính mà không lập luận để đưa ra đáp án chính xác nhất. Có hai nhóm làm bài tốt, từ câu trả lời của hai nhóm này cho thấy năng lực suy luận, lập luận của nhóm khá tốt. Có ba nhóm còn lại làm bài chưa tốt, điều này chứng tỏ năng lực giao tiếp của các em còn hạn chế, năng lực sử dụng các đồ dùng hỗ trợ và công cụ chưa cao. Nhìn chung thì phần lớn học sinh đã đạt mức độ hiểu biết 4 ở câu hỏi 1 vì học sinh đã hiểu và làm việc được với mô hình, dựa trên các lập luận và giải thích được các thao tác mình thực hiện. 65 Hình 32. Giao tiếp còn hạn chế Hình 33. Hình 34. Bài làm tốt  Ở câu hỏi 2a: Đa số các nhóm trả lời câu hỏi này một các nhanh chóng, điểm trung bình là 1,25/2 điểm. Tuy nhiên, do năng lực về giao tiếp, lập luận logic còn hạn chế nên 4/5 nhóm trả lời không trọn vẹn, dẫn đến không đạt điểm tối đa. Nhìn chung thì phần lớn học sinh đã đạt mức độ hiểu biết 3, 4 ở câu hỏi 2.a.  Ở câu hỏi 2b: Đây là câu hỏi tương tự câu 2.a, đa số nhóm học sinh đều mắc lỗi trình bày, khả năng diễn đạt chưa chặt chẽ. Có 1/5 nhóm làm bài tốt, điều này thể hiện khả năng lập luận của nhóm tốt. Nhìn chung thì phần lớn học sinh đã đạt mức độ hiểu biết 3 ở câu hỏi 2.b. Hình 35. 66 Hình 36. Bài làm tốt  Ở câu hỏi 3: Điểm trung bình là 1,3/2 điểm. Về cơ bản, các nhóm học sinh đều định hướng được cách giải quyết đó là phân tích x2 + bx + c về dạng 2( )y x p q   . Tuy nhiên phần kết luận còn thiếu sót, 5/5 nhóm học sinh không kết luận chính xác, thiếu chặt chẽ. Điều này cho thấy rằng học sinh còn hạn chế năng lực tư duy và những kỹ năng suy luận để xét hết các trường hợp xảy ra. Nhìn chung ít học sinh đã đạt mức độ hiểu biết 5 ở câu hỏi 3 vì từ câu hỏi 2, học sinh đã rút ra được nhận xét: Khi thực hiện dịch chuyển các thanh trượt tham số p và q ta thu được đồ thị hàm số 2( )y a x p q   từ đồ thị hàm số 2y ax và từ nhận xét này có được hướng giải quyết câu 3 và 4. Hình 37. Trình bày không chặt chẽ Hình 38. Trình bày tốt  Ở câu hỏi 4: Câu hỏi này là sự mở rộng của câu hỏi 3, giúp học sinh tái tạo lại nội dung câu trả lời của câu hỏi 2. Tương tự như câu hỏi 3, học sinh giải 67 quyết tốt bước phân tích ax2 + bx + c về dạng a(x – p)2 + q, phần kết luận chưa xét hết các trường hợp xảy ra. Điểm trung bình của câu hỏi là 1,15/2 điểm. Hình 43. Bài làm chưa có kết luận Hình 44. Bài làm tốt 4.2. Kết quả thăm dò bảng hỏi Qua số liệu thu thập được từ 15 học sinh của lớp 10/2 được chọn thực nghiệm, chúng tôi đã thống kê được kết quả số phần trăm học sinh đồng ý với các khẳng định theo các mức độ cho sẵn, được trình bày trong các bảng sau. 68 Câu 2. Hãy cho biết mức độ tự tin của em khi thực hiện các nhiệm vụ toán sau: 1. Rất tự tin; 2. Tự tin; 3. Không tự tin lắm; 4. Không tự tin tí nào Số phần trăm HS chọn Câu Nhiệm vụ 1 2 3 4 1 Kéo rê các thanh trượt a, b để đồ thị hàm số ( )y f x trùng với đồ thị hàm số ( )y g x . 33,3 33,3 13,4 0,0 2 Nhận xét mối quan hệ về dấu của ( )f x và hệ số a trong các trường hợp 66,7 33,3 0,0 0,0 3 Nếu không có mô hình động, em có