Đề tài Phương pháp bắn ngẫu nhiên định hướng để giải số một loại bài toán điều khiển ngẫu nhiên tổng hợp

Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1. Tạo các phân bố đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1. Khái niệm phân bố đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2. Tạo phân bố đều trên hộp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3. Tạo phân bố đều trong đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4. Tạo phân bố đều trên mặt đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.5. Phương pháp loại trừ Von Neuman trên miền bất kỳ giới nội . . . 9 1.2. Phương pháp dò tìm ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1. Phương pháp dò tìm ngẫu nhiên đơn giản . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2. Phương pháp dò tìm ngẫu nhiên tổng quát . . . . . . . . . . . . . 10 Chương 2 Một loại bài toán điều khiển ngẫu nhiên tổng hợp và chuyển nó về bài toán điều khiển theo chương trình 12 2.1. Thiết lập bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2. Thiết lập các điều khiển chấp nhận được tham số hoá . . . . . . . . . . . 19 Chương 3 Cơ sở của phương pháp bắn ngẫu nhiên định hướng 28 3.1. Xấp xỉ hệ động lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2. Thuật toán bắn ngẫu nhiên định hướng đối với xấp xỉ vế phải của hệ động lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 − 3 − LỜI NÓI ĐẦU Các bài toán điều khiển tối ưu (dạng tất định và ngẫu nhiên) đóng một vai trò quan trọng trong khoa học kỹ thuật và đời sống xã hội. Bởi vậy nhiều tài liệu khoa học (xem [13], [14], [15], [16]) đã quan tâm nghiên cứu giải loại hình bài toán này trong dạng điều khiển theo chương trình (programme control) theo phương pháp gián tiếp (xem [13]) và trực tiếp (xem [14], [15], [16]). Trong số các phương pháp này, có phương pháp bắn tất định (shooting method) (xem [13] pag 186-187) tỏ ra rất có hiệu quả đối với trường hợp có ràng buộc hỗn hợp giữa biến trạng thái và biến điều khiển. Tuy nhiên, các phương pháp trên chỉ chứng minh được sự hội tụ của dãy điều khiển xấp xỉ về điều khiển tối ưu khi miền chấp nhận được và hàm mục tiêu có tính lồi. Vấn đề càng trở nên phức tạp khi bài toán điều khiển được đặt ra dưới dạng điều khiển tổng hợp (Synthetic control). Trong luận văn này, chúng tôi quan tâm đến một loại bài toán điều khiển ngẫu nhiên tổng hợp trong mô hình liên tục với miền chấp nhận được không có tính lồi và hàm mục tiêu không những không có tính lồi mà còn không liên tục (giới nội địa phương). Loại hình bài toán này đã được đặt ra trong các tài liệu [3], [4], [8] khi nghiên cứu việc giảm thiểu độ rủi ro lũ lụt cho công trình thuỷ điện Sơn La. Phương pháp bắn ngẫu nhiên Makov [10] cũng đã được sử dụng làm cơ sở toán học cho phần mềm VISAM-3 nhằm lựa chọn với một xác suất dương biến điều khiển trên phân tập (có độ đo dương) của tập hợp các điều khiển chấp nhận được. Trên cơ sở này mô hình dò tìm ngẫu nhiên tổng quát đã được sử dụng trong VISAM-5 [9] trong đó hàm mục tiêu được mô phỏng bởi VISAM-4. Nhằm cải tiến phương pháp bắn ngẫu nhiên Markov nói trên, trong luận văn này chúng tôi đề nghị một phương pháp mới "Phương pháp bắn ngẫu nhiên định hướng để giải số một loại bài toán điều khiển ngẫu nhiên tổng hợp" liên quan đến công trình thuỷ điện Sơn La. Để phục vụ cho mục tiêu nói trên, tại chương 1 chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị có liên quan về phương pháp Monte-Carlo. Thông qua việc tham số hoá hàm điều khiển, trong chương 2 bài toán điều khiển nói trên được chuyển về một loại bài toán điều khiển tối ưu rời rạc theo chương trình. Cuối cùng, trong chương 3 những cơ sở của phương pháp bắn ngẫu nhiên định hướng sẽ được xây dựng. − 4 − Để hoàn thành luận văn này, tôi đã được sự hướng dẫn tận tình và chu đáo của GS.TS.Nguyễn Quý Hỷ. Với tất cả tình cảm của mình, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy và gia đình. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong và ngoài Khoa Toán-Cơ-Tin học đã truyền đạt cho tôi những kiến thức quý giá để cho tôi vững bước trên con đường nghiên cứu khoa học sau này. Tôi cũng xin cảm ơn Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin học và Phòng Sau đại học Trường ĐHKHTN, ĐHQGHN đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khoá học. Hà Nội, tháng 12 năm 2009 Học viên Nguyễn Đình Thi − 5 − Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Tạo các phân bố đều 1.1.1. Khái niệm phân bố đều Định nghĩa 1.1.1. Giả sử gắn với miền X đã cho trong Rn có một σ-đại số Σ các phân tập của X có một độ đo µ xác định trên Σ, sao cho (xem[5]): 0 < µ(X) < +∞; µ(A) := mes(A) (∀A ∈ Σ) (1.1.1) Một vectơ ngẫu nhiên (VTNN) ξ = (ξ1, . . . , ξn) ∈ X gọi là có phân bố đều trên X (ký hiệu ξ ∼ U(X)), nếu P (ξ ∈ S) = µ(S) µ(X) (∀S ∈ Σ) (1.1.2) Đặc biệt, ta xét trường hợp µ là độ đo Lebesgue và Σ = Bn là σ đại số Borel trong Rn mà X ∈ Bn, trong đó: µ(X) hiểu là độ dài |X| của đoạn thẳng X(n = 1), diện tích mes(X) của hình phẳng X(n = 2), thể tích V ol(X) của hình khối X(n ≥ 3). Khi đó có thể chỉ ra định nghĩa (1.1.1) tương đương với định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1.2. Véc tơ ngẫu nhiên liên tục ξ = (ξ1, . . . , ξn) ∈ X gọi là có phân bố đều trong miền X (thoả mãn điều kiện (1.1.1)) và ký hiệu ξ ∼ U(X), nếu hàm mật độ (đồng thời) của ξ − 6 − có dạng (xem [5]): p(x1, . . . , xn) = Ix(x1, . . . , xn)[µ(X)](−1) = = [µ(X)](−1) (nếu (x1, . . . , xn) ∈ X)0 (nếu (x1, . . . , xn) /∈ X) (1.1.3) 1.1.2. Tạo phân bố đều trên hộp Định nghĩa 1.1.3. Xét hình hộp n-chiều [a, b] := {(x1, . . . , xn) ∈ Rn : ai ≤ xi ≤ bi (i = 1÷ n)} (1.1.4) (xác định bởi 2 vectơ hữu hạn: a = (a1, . . . , an), b = (b1, . . . , bn)) với thể tích: µ([a, b]) = V ol([a, b]) = n∏ i=1 (bi − ai) (1.1.4∗) véc tơ ngẫu nhiên(VTNN) ξ = (ξ1, . . . , ξn) có phân bố đều trong hình hộp [a, b] (ξ ∼ U [a, b]) nếu hàm mật độ của nó có dạng (xem [5]): p(x1, . . . , xn) = [ n∏ i=1 (bi − ai) ]−1 I[a,b](x1, . . . , xn) (1.1.5) Định lý 1.1.1. [5] Giả sử R1, . . . , Rn là n số ngẫu nhiên (độc lập). Khi đó có thể tạo VTNN ξ = (ξ1, . . . , ξn) ∼ U [a, b] với các thành phần cho từ công thức: ξi = ai + (bi − ai)Ri (1 ≤ i ≤ n) (1.1.6) 1.1.3. Tạo phân bố đều trong đơn hình Xét đơn hình m chiều với đỉnh tại a = (a1, . . . , am) và các cạnh ở đỉnh có độ dài h: ∆mh (a) := { (x1, . . . , xm) }∈ Rm : m∑ i=1 (xi − ai) ≤ h;xi ≥ ai(i = 1÷m) (1.1.7) Định nghĩa 1.1.4. VTNN ξ ∈ R gọi là có phân bố đều trong đơn hình m - chiều ∆mn (a), nếu hàm mật độ của ξ có dạng: p(x1, . . . , xm) = [mes(∆mh (a))]−1 khi x ∈ ∆mh (a)0 khi x ∈ Rm∆mh (a) (1.1.8) − 7 − Định lý 1.1.2. [5] Giả sử R1, . . . , Rm là m số ngẫu nhiên (thuộc dãy ngẫu nhiên {Rj}j, trong đó R(j) là vị trí thống kê thứ j của m số ngẫu nhiên Rj (1 ≤ j ≤ m), nghĩa là: R(1) ≤ R(2) ≤ . . . ≤ R(m−1) ≤ R(m) Khi đó, VTNN ξ = (ξ1, . . . , ξm) với các thành phần: ξ1 = hR(1) + a1 ξ2 = h(R(2) −R(1)) + a2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . ξm = h(R(m) −R(m−1)) + am (1.1.9) sẽ có phân phối đều trong đơn hình ∆mh (a), a = (a1, . . . , am) 1.1.4. Tạo phân bố đều trên mặt đơn hình Định nghĩa 1.1.5. VTNN ξ ∈ Rm gọi là có phân bố đều trên (mặt đáy) đơn hình m - chiều: ∆¯mh (a) := { (x1, . . . , xm) }∈ Rm : m∑ i=1 (xi − ai) = h;xi ≥ ai(i = 1÷m) (1.1.10) (với đỉnh tại a = (a1, a2, . . . , am) và các cạnh ở đỉnh có độ dài là h), nếu với mọi mảnh cong khả tích S ⊂ ∆¯mh (a), ta có: Pr(ξ ∈ S) = mes(S) mes(∆¯mh (a)) (∀S ∈ B(∆¯mh (a)) (1.1.11) Định lý 1.1.3. [5] Giả sử R1, . . . , Rm−1 là (m - 1) số ngẫu nhiên (thuộc dãy ngẫu nhiên {Rj}j), trong đó R(j) là vị trí thống kê thứ j của m - 1 số ngẫu nhiên Rj (1 ≤ j ≤ m− 1), nghĩa là: R(1) ≤ R(2) ≤ . . . ≤ R(m−1) Khi đó, VTNN ξ = (ξ1, . . . , ξm) với các thành phần: ξ1 = hR(1) + a1 ξ2 = h[R(2) −R(1)] + a2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ξm−1 = h[R(m−1) −R(m−2)] + am−1 ξm = h[1−R(m−1)] + am (1.1.12) − 8 − sẽ có phân phối đều trên mặt đơn hình ∆¯mh (a), a = (a1, . . . , am) 1.1.5. Phương pháp loại trừ Von Neuman trên miền bất kỳ giới nội Trên đây, ta xét việc tạo VTNN ξ ∼ U(X), trong đó X ⊂ Rn là một hình có những dạng đặc biệt. Trong trường hợp X có dạng phức tạp, từ (1.1.1) ta suy ra rằng: X là một miền giới nội trong Rn, bởi vậy ta có thể xem rằng: X ⊂ G (1.1.13) trong đó G cũng là một miền giới nội trong Rn. Giả sử rằng đã tạo được VTNN ξ′ ∼ U(G) (chẳng hạn, theo định lý (1.1.1) G là hình hộp). Trên cơ sở này ta có thể dùng phương pháp loại trừ Von Neuman để tạo ξ ∼ U(X) như sau: Định lý 1.1.4. [5] Giả sử ξ ′ ∼ U(G) và VTNN ξ lập theo phương pháp loại trừ: ξ = ξ ′ (khi ξ ′ ∈ X) (1.1.14) Khi đó ξ ∼ U(X) và xác suất để tạo được VTNN ξ theo cách trên sẽ là: P{ξ ∈ X} = mes(X) mes(G) (1.1.15) 1.2. Phương pháp dò tìm ngẫu nhiên 1.2.1. Phương pháp dò tìm ngẫu nhiên đơn giản Xét bài toán quy hoạch đo được dạng tổng quát: (xem [5]) f(x∗) = min{f(x) : x ∈ D}, D ⊂ Rn (1.2.1) gắn với không gian độ đo (D,Σ, µ), trong đó hàm f là Σ-đo được trên D và là hàm tính được; còn miền D là nhận dạng được. Đồng thời, giả thiết rằng: 0 < µ(D) < +∞. (1.2.2) Giả sử bài toán (1.2.1) tồn tại ít nhất một lời giải (tối ưu). Ta cần tìm lời giải x∗ ∈ D trong tập D các lời giải chấp nhận được, sao cho hàm mục tiêu f đạt giá trị nhỏ nhất (theo nghĩa toàn cục): f(x∗) ≤ f(x) (∀x ∈ D). − 9 − Để giải bài toán quy hoạch (1.2.1) bằng mô hình dò tìm ngẫu nhiên đơn giản, ta thiết lập dãy dò tìm ngẫu nhiên đơn giản {xn}n theo công thức lặp: xn+1 = ξn khi f(ξn) < f(xn) ("thành công")xn khi f(ξn) ≥ f(xn) ("thất bại") (n ≥ 1) (1.2.3) trong đó, x1 = ξ0; ξn (n ≥ 0) là các vectơ ngẫu nhiên độc lập (trong toàn bộ) và có cùng phân bố đều trên không gian độ đo (D,Σ, µ), nghĩa là: P{ξn ∈ A} = µ(A) µ(D) , (∀A ∈ Σ; n ≥ 1). (1.2.4) Khi đó nếu ta coi xN (N  1) là xấp xỉ cho lời giải tối ưu x∗, thì "sai số tương đối" của nó có thể được xác định bằng độ đo tương đối µN := µ{x ∈ D : f(x) < f(xN)}/µ(D), (1.2.5) của tập hợp: AN := {x ∈ D : f(x) < f(xN)} (1.2.5∗) các lời giải chấp nhận được tốt hơn lời giải xấp xỉ xN (so với tập hợp tất cả các lời giải chấp nhận được). Nếu µN = µ(AN) µ(D) ≈ 0 thì độ đo của AN nhỏ hơn (không đáng kể) so với của D. Độ đo tương đối µN nói trên có thể được đánh giá theo số phép lặp N bằng kết quả sau: Định lý 1.2.1. [5] Nếu hàm mục tiêu f là đo được trên không gian độ đo (D,Σ, µ) và bài toán (1.2.1) có lời giải x∗ ∈ D thì có thể đánh giá µN như sau: P{µN+1 ≤ } ≥ 1− (1− )N (∀ ∈ (0, 1)) (1.2.6) 1.2.2. Phương pháp dò tìm ngẫu nhiên tổng quát Định nghĩa 1.2.1. Giả sử dãy VTNN {x¯n} ⊂ D lập theo công thức lặp: x¯n+1 = ξ¯n khif(ξ¯n) < f(x¯n))x¯n khif(ξn) ≥ f(xn)) (1.2.7) trong đó, x¯1 = ξ¯0, {ξ¯n}n ≥ 0 là dãy những thể hiện độc lập của VTNN ξ¯ ∈ D. − 10 − Khi đó {x¯n} được gọi là dãy dò tìm ngẫu nhiên tổng quát theo phân bố xác suất Pξ¯ của VTNN ξ¯ (1), nếu ξ¯ có khả năng nhận giá trị trong mọi tập hợp ΣD - đo được với độ đo dương, nghĩa là: Pξ¯(A) := P{ξ¯ ∈(A)} > 0 (∀A ∈ ΣD : µ(A) > 0) (1.2.8) Giả sử (D,ΣD, µ) là một không gian độ đo với D ⊂ Rn,Σ = ΣD là một σ− đại số nào đó các phân tập của D và µ(.) : ΣD → [0,+∞] là một độ đo xác định trên ΣD. Xét bài toán quy hoạch đo được: f(x) → min, x ∈ D (1.2.9) trong đó: 0 < µ(D) ≤ ∞ và ta còn giả thiết giá trị cực tiểu của nó "không cô lập" theo nghĩa sau: Định nghĩa 1.2.2. Bài toán quy hoạch đo được (1.2.9) gắn với không gian độ đo (D,ΣD, µ) gọi là có giá trị cực tiểu f ∗ = f(x∗) không cô lập, nếu nó có ít nhất một lời giải x = x∗, sao cho: µ({x ∈ D : f(x) 0 (∀ε > 0) (1.2.10) Định lý 1.2.2. [5] Giả sử bài toán quy hoạch đo được (1.2.9) (gắn với không gian độ đo (D,ΣD, µ))có giá trị cực tiểu f ∗ = f(x∗) không cô lập và {x¯n}n ≥ 1 là dãy dò tìm ngẫu nhiên tổng quát tương ứng. Khi đó dãy này sẽ hội tụ hầu chắc chắn về x∗ theo hàm mục tiêu, nghĩa là: P{ lim N→∞ f(x¯N) = f(x∗)} = 1 (1.2.11) Hệ quả 1.2.1. [5] Cùng với các giả thiết nêu trong định lý (1.2.2) về bài toán quy hoạch đo dược (1.2.9), ta còn thêm điều kiện: 0 < µ(D) < +∞ Khi đó dãy dò tìm ngẫu nhiên đơn giản {xn}n hầu chắc chắn sẽ hội tụ về x∗ theo hàm mục tiêu: P{ lim N→∞ f(xN) = f(x∗)} = 1 (1.2.12) Trên đây là những kiến thức cơ sở được sử dụng trong việc thiết lập mô hình bắn ngẫu nhiên định hướng (chương 3). (1)Không nhất thiết là phân bố đều − 11 − Chương 2 Một loại bài toán điều khiển ngẫu nhiên tổng hợp và chuyển nó về bài toán điều khiển theo chương trình 2.1. Thiết lập bài toán Khi thiết kế hệ thống thuỷ điện (HTTĐ) bậc thang, ta cần quan tâm đến tính đa tiêu chí của bài toán như: phát điện, an toàn, phòng lũ, chống hạn, tham gia cắt lũ ở hạ du, tưới tiêu cho nông nghiệp . . . Tuỳ theo thời gian và tính chất của HTTĐ, người ta chọn một trong những tiêu chí kể trên làm mục tiêu tối ưu; các tiêu chí còn lại gọi là tham số thiết kế về chỉ tiêu và xem như đã biết. Mỗi kế hoạch vận hành trong một chu kỳ điều tiết (thường là một năm) của HTTĐ bậc thang gọi là một quy trình vận hành (QTVH). Quy trình này bao gồm kế hoạch về lưu lượng nước dùng và nước xả của tứng nhà máy thuỷ điện (NMTĐ) trong HTTĐ vào từng thời gian trong một chu kỳ điều tiết. Quy trình vận hành hợp lý, khả thi (QTVHHLKT) Một QTVH được gọi là hợp lý (HL), nếu trạng thái động của mực nước các hồ chứa trong chu kỳ điều tiết năm đảm bảo các yêu cầu của thuỷ điện và thuỷ lợi về: mực nước dâng bình thường (MNDBT), cao trình phòng lũ và tích nước (mùa lũ muộn). Quy trình này gọi là khả thi (KT), nếu nó đáp ứng các tham số về chỉ tiêu và phù hợp với tham số thiết kế về kỹ thuật đối với từng NMTĐ trong hệ thống. Cụ thể tính hợp lý được thể hiện: - Trong mùa ít mưa (15/9 - 15/12) cần giữ cho cao trình ở mực nước dâng bình − 12 − thường (MNDBT) với thời gian lâu nhất để tận dụng chiều cao cột nước phát điện ở mức tối đa. - Trong thời gian trước lũ tiểu mãn (15/12 (năm trước) - 15/6) cần giữ cho cao trình tối tiểu của mực nước hồ, để khoảng cách từ cao trình này tới mực nước chết tạo nên một dung tích dự trữ (gọi là dung tích chống hạn). - Trong mùa lũ chính vụ (15/7 - 25/8) cần giữ cho cao trình nước hồ ở mức không đổi nào đó (gọi là cao trình phòng lũ), để khoảng cách từ cao trình này đến mái đập tạo nên một dung tích phòng lũ nhằm chứa lũ đột ngột. - Cuối cùng sau mùa lũ chính vụ, cần tận dụng những con lũ muộn để tích nước cho chu kỳ điều tiết tiếp theo. Tính khả thi thể hiện ở chỗ: - Đáp ứng được các tham số thiết kế về kỹ thuật: cao trình mái đập, mực nước mái đập, mực nước chết, lưu lượng tối đa và tối thiểu của nước dùng và nước xả . . . - Các tham số chỉ tiêu về: sản lượng điện, dung tích phòng lũ, dung tích chống hạn. Mỗi QTVHHLKT tối thiểu độ rủi ro lũ lụt được gọi là một quy trình vận hành an toàn hợp lý (QTVHATHL). Bài toán xác định QTVHANHL được gọi là Bài toán giảm thiểu rủi ro lũ lụt. Về mặt toán học, việc xác định các QTVHATHL nói trên đưa về giải một loại bài toán điều khiển tối ưu với biến điều khiển là lưu lượng nước điều tiết từ các hồ chứa bao gồm lưu lượng nước dùng và nước xả, biến trạng thái là trạng thái động của mực nước trong các hồ chứa, hàm mục tiêu là độ rủi ro lũ lụt trung bình, các điều kiện ràng buộc (chấp nhận được) là các điều kiện HLKT, tập hợp các biến điều khiển thoả mãn các điều kiện HLKT là tập hợp các điều khiển chấp nhận được, hệ động lực là hệ phương trình liên hệ các trạng thái động của mực nước trong các hồ chứa (gọi là "phương trình trạng thái"). Để thiết lập phương trình trạng thái của hệ thống thuỷ điện (HTTĐ) 3 bậc thang trên sông Đà [3], ta cần phải xét chu kỳ điều tiết năm [0, T ] của quá trình vận hành (trong tương lai) các nhà máy thuỷ điện (NMTĐ) Hoà Bình, Sơn La, Lai châu, ta đánh số chúng ( theo thứ tự từ hạ đến thượng nguồn) lần lượt là i = 1÷ 3. Tại mỗi thời điểm t ∈ [0, T ], ký hiệu: xi(t) (m 3/s)- là lưu lượng trung bình (TB) nước điều tiết từ hồ thứ i xuống hồ dưới, ui(t) (m 3/s) - là lưu lượng (TB) nước dùng của hồ thứ i, − 13 − vi(t) (m 3/s) - là lưu lượng (TB) nước xả của hồ thứ i, trong đó: ui(t) = xi(t) (khi xi(t) ≤ u¯i)u¯i (khi xi(t) > u¯i) vi(t) =  0 (khi xi(t) ≤ u¯i)xi(t)− u¯i (khi xi(t) > u¯i), (2.1.1) với u¯i - là mức quy định tối đa về lưu lượng nước dùng của nhà máy thứ i. qi(t) - là lưu lượng (TB) nước tự nhiên đổ vào hồ chứa thứ i , wi(t) (10 6m3) - là thể tích (TB) nước trong hồ chứa thứ i, woi (10 6m3) - là thể tích ứng với mực nước hoi (m) dâng bình thường của hồ thứ i. qo = 16, 9 (m 3) - là hằng số liên quan đến lưu lượng nước thấm (xem [6] tr.11-12). p(t) - là tỷ lệ nước bị tiêu hao do thấm và bốc hơi vào thời điểm t, tính theo công thức: p(t) = [ 0, 707965 + 0, 000038 pb(t) ] .10−8 (0 ≤ t ≤ T ) (2.1.2) với pb(t) là hàm tuyến tính từng khúc (xem [4]) ri(t) - lưu lượng nước thấm và bốc hơi (TB) của hồ thứ i tại thời điểm t và được xác định dưới dạng (xem [2] tr 6-8): ri(t) = p(t)ωi(t)− 10−6q0 (i = 1÷ 3, 0 ≤ t ≤ T ) Khi đó ta có:w3(t + ∆t) ≈ w3(t) + ∆t[−r3(t) + 10−6(q3(t)− x3(t))], (0 < t ≤ T )wi(t + ∆t) ≈ wi(t) + ∆t[−ri(t) + 10−6(qi(t) + xi+1(t)− xi(t))] i = 1, 2. Khi cho ∆t → 0, ta thu được hệ phương trình vi phân như sau:w˙3(t) = −r3(t) + ( q3(t)− x3(t) ) 10−6 (0 < t ≤ T ) w˙i(t) = −ri(t) + ( qi(t) + xi+1(t)− xi(t) ) 10−6 i = 1, 2. trong đó: { qi(t)(0 ≤ t ≤ T ) } là các quá trình lưu lượng TB nước tự nhiên đổ về hồ chứa thứ i đã được dự báo bằng mô hình chuỗi thời gian. Hệ phương trình vi phân trên có thể viết lại dưới dạng:w˙i(t) = −p(t)wi(t) + ( q ′ i(t) + qo − xi(t) ) 10−6 (0 < t ≤ T ) wi(0) = woi (i = 1÷ 3), (2.1.3) trong đó: q ′ i(t) =  q3(t) (khi i = 3)qi(t) + xi+1(t) (khi i = 2÷ 1). (2.1.4) − 14 − Khi đó, dễ dàng nhận thấy rằng: việc xác định quy trình vận hành (QTVH)[4]:( u, v ) := {( ui(t), vi(t) ) (0 ≤ t ≤ T ) }n i=1 (2.1.5) tương ứng với việc xác định hàm điều khiển (liên tục) tương ứng: x(t) := ( x1(t), x2(t), x3(t) ) (0 ≤ t ≤ T ) ; xi ∈ C(0, T ) (∀i = 1÷ 3) (2.1.6) của hệ động lực (2.1.3), ta có thể gọi quá trình: x = { x(t) , 0 ≤ t ≤ T } là quy trình điều tiết (QTĐT)của hệ thống thuỷ điện. Nếu ta chia mốc thời gian theo các mùa nước trong năm: 0 = T0 < T1 < T2 < T3 < T4 < T5 < T với Ti ∈ [0, T ] (i = 0÷ 5) là các mốc thời gian được quy định (trong [1]) như sau:0 = To = ngày 16/9 (năm trước) ;T1 = ngày 15/12 (năm trước) ; T2 = ngày 15/6T3 = ngày 25/6 ; T4 = ngày 15/7 T5 = ngày 25/8 ; T = ngày 15/9 trong đó: [0, T1] là thời gian mực nước dâng bình thường; [T1, T2] là thời gian cạn nước; [T2, T3] là thời gian lũ tiểu mãn; [T4, T5] là thời gian lũ chính vụ; [T5, T ] là thời gian lũ muộn. "Tính HL" của QTVH (2.1.5) đặc trưng bởi các điều kiện sau: 1 - Đảm bảo mực nước của hồ chứa thứ i dâng ở mức bình thường với thời gian lâu nhất để tận dụng chiều cao cột nước phát điện ở mức tối đa vì trong thời gian [T0, T1] rất ít mưa. wi(t) ≡ woi, (i = 1÷ 3; 0 ≤ t ≤ T1) (2.1.7) 2 - Đảm bảo giữ cho cao trình nước hồ ở mức không đổi nào đó (gọi là cao trình phòng lũ), để khoảng cách từ cao trình này tới mái đập tạo nên một dung tích phòng lũ nhằm chứa lũ đột ngột vì đây là mùa lũ chính vụ [T4, T5] wi(t) ≡ wi(T4) (i = 1÷ 3, T4 ≤ t ≤ T5) (2.1.8) 3 - Tận dụng được những con lũ muộn trong khoảng thời gian [T5, T] tích nước cho chu kỳ điều tiết nước tiếp theo. wi(t) = wi(T4) + (t− T5)× woi − wi(T4) T − T5 , (i = 1÷ 3;T5 ≤ t ≤ T ) (2.1.9) − 15 − "Tính KT" của mỗi QTVH (2.1.5) đặc trưng bởi các điều kiện sau: 1 - Đáp ứng tham số thiết kế về chỉ tiêu phát điện N¯ dưới dạng: N¯ ≤ 24 ∫ T 0 3∑ i=1 Ni(t)dt (2.1.10) 2 - Đảm bảo các chỉ tiêu phòng lũ V trong thời gian lũ chính vụ [T4, T5] và chỉ tiêu chống hạn V trong thời gian cạn nước và lũ tiểu mãn [T1, T3] 3∑ i=1 [wi − wi(t)] ≥ V (t ∈ [T4, T5]) ; 3∑ i=1 [wi(t)− wi] ≥ V (t ∈ [T1, T3]). (2.1.11) 3 - Đảm bảo các chỉ tiêu về cung cấp nước cho hạ lưu (tưới tiêu, sinh hoạt) và tham gia cắt lũ tiểu mãn và các điều kiện khả thi tương ứng của QTVH lần lượt có dạng:wi ≤ wi(t) ≤ wi (t ∈ [T1, T4]) ;q(hl) ≤ x1(t) (t ∈ [T1, T2]) ; x1(t) ≤ q(hl) (t ∈ [T2, T3]); (2.1.12) ui ≤ xi(t) ≤ xi(t) (t ∈ [0, T ]) ; (2.1.13) xi(t) :=  ui (t ∈ [T1, T3])ui + vi (t ∈ [0, T ] \ [T1, T3]) (i = 1÷ 3). trong đó: N¯ (103Kwh) - là sản lượng (thiết kế) phát điện trong chu kỳ điều tiết [0, T ] của HTTĐ. V (106m3) - là dung tích phòng lũ TB của HTTĐ theo thiết kế. V (106m3) - là dung tích chống hạn TB của HTTĐ theo thiết kế. wi (10 6m3) - là thể tích nước hồ thứ i ứng với cao trình mái đập hi (xem [3] tr.49-50). wi (10 6m3) - là thể tích hồ thứ i ứng với mục nước chết hi (cho trong [3] tr.49-50). vi (m 3/s) - là lưu lượng xả mặt đập tối đa của đập thứ i. ui (m 3/s) và ui (m 3/s)- là lưu lượng nước dùng tối đa và tối thiểu của NMTĐ thứ i, xác định như sau (xem [6] tr.54 và [3] tr.59): ui = Pi(lm) α[hi − ho,i−1]β (i = 2÷ 3), u1 = 2.400 , ui = 0, 05ui ;α = ( 196, 4078 )−1 ; β = 1, 1016 hoi (m) - là cao trình của mực nước DBT trong hồ thứ i (ứng với thể tích woi). Pi(lm) (10 3Kw) - là công suất lắp máy của NMTĐ thứ i (cho trong [3] tr. 49-50). q(hl) = 575(m3/s) - là lưu lượng nước tối thiểu mà HTTĐ bậc thang cần cung cấp cho − 16 − hạ lưu để tưới tiêu (xem [6] tr.54). q(hl) = 4.000(m3/s) - là lưu lượng nước tối đa mà HTTĐ bậc thang có thể đưa xuống hạ lưu trong thời gian lũ tiểu mãn (xem [1] tr.4). Ni(t) (10 3Kw) - là công suất phát điện của NMTĐ thứ i vào thời điểm t và ta có thể xác định theo các công thức (xem [3] tr.16-17): Ni(t) = α [ Zi(t)− Zi(t) ]β ui(t) (i = 1÷ 3 , 0 ≤ t ≤ T ), (2.1.14) Zi(t) = χi ( Zi−1(t) ) Zoi(xi(t)) + [ 1− χi ( Zi−1(t) )] Zi−1(t) (2.1.15) (i = 1÷ 3, 0 ≤ t ≤ T ) Zoi(xi) = ci + δ ( xi )γ (i = 2÷ 3) c1 + 1, 1 + δ(x1) γ (i = 1) (2.1.16) (0 ≤ t ≤ T ) ; δ = 0, 0294 ; γ = 0, 6377. χi(Zi−1) := 1, (nếu Zi−1 < ci)0, (nếu Zi−1 ≥ ci) (2.1.17) (i = 1÷ 3) ; Zo(t) ≡ 0 (0 ≤ t ≤ T ). trong đó: ci - là cao trình của chân đập thứ i (i = 1÷ 3) (xem [3] tr.49-50); Zi(t) = hi(wi(t)) - là cao trình của mực nước hồ thứ i vào thời điểm t ∈ [0, T ], xác định theo thể tích wi(t) tương ứng của nước hồ, với hàm hi = hi(wi) (biểu diễn cao trình của thể tích nước hồ thứ i) có dạng tuyến tính từng khúc: hi = hi(wi) := Ki∑ k=1 1[wki ,w k+1 i ) (wi) [ hki + hk+1i − hki wk+1i − wki (wi − wki ) ] ; (2.1.18) 1A(a) = 1 (nếu a ∈ A)0 (nếu a /∈ A) Các dãy số liệu { (hki , w k i ) }Ki k=1 (i = 1 ÷ 3) được cho trong tài liệu [3] (tr.149-156), với K1 = 21 , K2 = 21 , K3 = 15. Tương tự, ta có thể xác định được hàm ngược của hàm hi(wi), ký hiệu wi = Wi(hi), biểu thị sự phục thuộc của dung tích wi (10 6m3) vào cao trình hi với i = 1÷ 3 wi = Wi(hi) := Ki∑ k=1 1[hki ,h k+1 i ) (hi) [ wki + wk+1i − wki hk+1i − hki (hi − hki ) ] ; (2.1.18∗) − 17 − Khi đó việc xác định QTVHATHL đưa về việc xác định biến điều khiển (2.1.6) trong bài toán điều khiển ngẫu nhiên tổng hợp [4] sau: L(x) := E{λ(ωˆ(., x))} → inf (2.1.19) dωˆi(t) dt = −p(t)ωˆi(t) + (qˆ′i(t) + q0 − xi(t)).10−6 (0 < t ≤ T ) ωˆi(0) = ωoi (i = 1÷ 3) (2.1.20) w˙i(t) = −p(t)wi(t) + ( q ′ i(t) + qo − xi(t) ) 10−6 (0 < t ≤ T ) wi(0) = woi (i = 1÷ 3), (2.1.21) wi(t) ≡ woi, (i = 1÷ 3; 0 ≤ t ≤ T1) (2.1.22) wi(t) ≡ wi(T4) (i = 1÷ 3, T4 ≤ t ≤ T5) (2.1.23) wi(t) = wi(T4) + (t− T5)× woi − wi(T4) T − T5 , (i = 1÷ 3;T5 ≤ t ≤ T ) (2.1.24) N¯ ≤ 24 ∫ T 0 3∑ i=1 Ni(t)dt (2.1.25) 3∑ i=1 [wi − wi(t)] ≥ V (t ∈ [T4, T5]) ; 3∑ i=1 [wi(t)− wi] ≥ V (t ∈ [T1, T3]). (2.1.26)wi ≤ wi(t) ≤ wi (t ∈ [T1, T4]) ;q(hl) ≤ x1(t) (t ∈ [T1, T2]) ; x1(t) ≤ q(hl) (t ∈ [T2, T3]); (2.1.27) ui ≤ xi(t) ≤ xi(t) (t ∈ [0, T ]) ; (2.1.28) trong đó: xi(t) :=  ui (t ∈ [T1, T3])ui + vi (t ∈ [0, T ] \ [T1, T3]) (i = 1÷ 3). (2.1.29) q ′ i(t) =  q3(t) (khi i = 3)qi(t) + xi+1(t) (khi i = 2÷ 1). (2.1.30) qˆ′i(t) = qˆ3(t) khi i = 3qˆi(t) + xi+1(t) khi i = 1, 2 (2.1.31) qˆi(t) - là lưu lượng nước tự nhiên thực tế (ngẫu nhiên) về hồ i vào thời điểm t ∈ [0, T ]. wˆi(t) - là thể tích nước thực tế (ngẫu nhiên) của hồ i vào thời điểm t ∈ [0, T ]. − 18 − λ(ωˆ(., x)) là một hàm giới nội địa phương, phụ thuộc vào trạng thái: ωˆ(x) = ( ωˆ1(x), ωˆ2(x), ωˆ3(x) ) của hệ động lực ngẫu nhiên (2.1.20), biểu thị độ rủi ro lũ lụt gắn với QTVH (2.1.5) (xem [10]). Ký hiệu X là tập hợp các điều khiển chấp nhận được: X = { x : [0, T ] −→R3 | (2.1.21 − (2.1.28) } (2.1.32) thì bài toán nói trên sẽ đưa về dạng: L(x) := E{λ(ωˆ(., x))} → inf , x ∈ X (2.1.33) dωˆi(t) dt = −p(t)ωˆi(t) + (qˆ′i(t) + q0 − xi(t)).10−6 (0 < t ≤ T ), ωˆi(0) = ωoi (i = 1÷ 3) Để giải bài toán điều khiển ngẫu nhiên (2.1.33) bằng mô hình dò tìm ngẫu nhiên, trong luận văn này chúng tôi quan tâm đến việc lựa chọn một cách ngẫu nhiên hàm điều khiển chấp nhận được x = (x1, x2, x3) ∈ X. Trên cơ sở này, xác định trạng thái tương ứng ωˆi(t) của hệ động lực ngẫu nhiên trong (2.1.33) để sử dụng VISAM-4 [10] thiết lập độ rủi ro lũ lụt λ(ωˆ(., x)). Sau đó, sử dụng VISAM-5 [10] để giải số bài toán (2.1.33). Ta biết rằng, mô hình bắn ngẫu nhiên Markov đã được sử dụng trong VISAM-3 [9] nhằm lựa chọn hàm điều khiển chấp nhận được x ∈ X. Nhằm cải tiến mô hình này, chúng tôi sẽ đưa ra trong (chương 3) mô hình bắn ngẫu nhiên định hướng. Với ý nghĩa trên, dưới đây chúng tôi sẽ thiết lập tập hợp D trong dạng tham số hoá của hàm điều khiển x ∈ X với lưu ý rằng: các điều khiển chấp nhận được x ∈ X lại liên quan đến trạng thái ωi(t), (i = 1 ÷ 3) của hệ động lực tất định (2.1.21) và liên quan đến tính "tổng hợp" (2.1.22)-(2.1.24) của hàm điều khiển. Với lý do đó, trong mục 2 dưới đây, chúng ta sẽ xét việc thiết lập tập hợp D nói trên. 2.2. Thiết lập các điều khiển chấp nhận được tham số hoá Ta biết rằng (xem [8]) trên các khoảng [0, T ] \ [T1, T4] = [0, T1) ∪ (T4, T5] ∪ (T5, T ], − 19 − hàm điều khiển (2.1.6) của hệ động lực (2.1.21) có dạng một điều khiển tổng hợp (ĐKTH), vì nếu đặt: Xˆi(t) :=  p(t)woi (0 ≤ t < T1) p(t)wi(T4) (T4 < t ≤ T5) p(t)wi(T4) + [p(t)(t− T5) + 1] woi − wi(T4) T − T5 (T5 < t ≤ T ) (2.2.1) (i = 1÷ 3) thì tính "tổng hợp" (phụ thuộc vào trạng thái điều khiển) của các thành phần: x(t) = xˆ(t) := ( xˆ1(t), xˆ2(t), xˆ3(t) ) (∀t ∈ [0, T ] \ [T1, T4]); xˆi ∈ C([0, T ] \ [T1, T4]) (∀i = 1÷ 3) (2.2.2) trong hàm điều khiển (2.1.6), được biểu hiện qua bổ đề dưới đây: Bổ đề 2.2.1. [8] Nếu đã biết các trạng thái điều khiển wi(T4) (i = 1÷ 3), thì các thành phần của ĐKTH (2.2.2): x(t) = xˆ(t) := ( xˆ1(t), xˆ2(t), xˆ3(t) ) (∀t ∈ [0, T ] \ [T1, T4]); hoàn toàn được xác định bởi công thức truy hồi lùi: xˆi(t) = q ′ i(t) + qo − Xˆi(t).106 (i = 3÷ 1 , ∀t ∈ [0, T ] \ [T1, T4]), (2.2.3) trong đó ta xem rằng q ′ i ∈ C(0, T ) (∀i = 1÷ 3). Như vậy, điều khiển xˆi(t) trong các khoảng [0, T ] \ [T1, T4] hoàn toàn được xác định khi biết w(T4). Trên cơ sở này, để xác định điều khiển x(t) trên cả đoạn [0, T] ta chỉ cần xác định nó trên đoạn [T1, T4]. Với ý nghĩa đó, ta chỉ cần xét điều khiển: x(t) = ( x1(t), x2(t), x3(t) ) (∀t ∈ [T1, T4]), xi ∈ C[T1, T4] (2.2.4) của hệ động lực (2.1.21) dưới dạng thu hẹp trên đoạn [T1, T4] với các điều kiện khả thi (2.1.22) - (2.1.28) và gọi nó là các biến điều khiển theo chương trình (gọi tắt là điều khiển). Để chuyển bài toán ĐKTH (2.1.19) - (2.1.28) về việc xác định các hàm điều khiển theo chương trình, ta đặt: N (o)(x,w) := 3∑ i=1 ∫ T4 T1 Hi ( xi(t), wi−1(t), wi(t) ) ui(t)dt, (2.2.5) − 20 − N (1)(xˆ) := 3∑ i=1 ∫ T1 0 Hi ( xˆi(t), wo,i−1, woi ) uˆi(t)dt, (2.2.6) N (2) ( xˆ, w(T4) ) := 3∑ i=1 ∫ T5 T4 Hi ( xˆi(t), wi−1(T4), wi(T4) ) uˆi(t)dt, (2.2.7) N (3) ( xˆ, w(T4) ) := 3∑ i=1 ∫ T T5 Hi ( xˆi(t),W ( wi−1(T4); t ) ,W ( wi(T4); t )) uˆi(t)dt, (2.2.8) N(xˆ, w(T4)) := N 24 − [ N (1)(xˆ) + N (2) ( xˆ, w(T4) ) +N (3) ( xˆ, w(T4) )] (2.2.9) trong đó: ui(t) (t ∈ [T1, T4]) xác định theo xi(t) tương ứng nhờ công thức (2.1.1) và: uˆi(t) = xˆi(t) (khi xˆi(t) ≤ u¯i)u¯i (khi xˆi(t) > u¯i) (i = 3÷ 1 , ∀t ∈ [0, T ] \ [T1, T4]), (2.2.10) W ( wi(T4); t ) := wi(T4) + (t− T5)× woi − wi(T4) T − T5 , (i = 1÷ 3;T5 ≤ t ≤ T ) (2.2.11) Hi ( xi, wi−1, wi ) := α [ hi(wi))−H i(xi, wi−1) ]β (∀t ∈ [0, T ]), (2.2.12) H i(xi, wi−1) := χi ( hi−1(wi−1) ) Zoi(xi) + [ 1 − χi ( hi−1(wi−1) )] hi−1(wi−1) (2.2.13) (i = 1÷ 3) ; ho(wo) ≡ 0 với hi(w) (i = 1÷ 3) xác định bởi (2.2.18), Zoi(xi) (i = 1÷ 3) xác định bởi (2.1.16). Bổ đề 2.2.2. (xem[4]) Nếu các hàm (đã cho) qi(t) (i = 1÷ 3) và các điều khiển (2.2.4) là liên tục: qi ∈ C(0, T ) ; xi ∈ C(T1, T4) (i = 1÷ 3), (2.2.14) thì ta có: 1- Các thành phần (2.2.2) trong ĐKTH (2.1.6) là liên tục: xˆi ∈ C ( [0, T ] \ [T1, T4] ) (i = 1÷ 3), (2.2.15) và ứng với mỗi điều khiển (2.2.4) nói trên, hệ phương trình vi phân (2.1.21) có duy nhất một nghiệm liên tục: w = (w1, w2, w3) ; wi(.) = wi ( . ;x )∈ C([0, T ]) (i = 1÷ 3). (2.2.16) 2- Phiếm hàm N (o)(x,w) (xác định theo công thức (2.2.5)) chỉ phụ thuộc vào các điều khiển xi(t) (t ∈ [T1, T4]; i = 1 ÷ 3) và nghiệm w(t) (t ∈ [T1, T4]) của "thu hẹp" trên [T1, T4]:w˙i(t) = −p(t)wi(t) + [ q ′ i(t) + qo − xi(t)] ] 10−6 (T1 < t ≤ T4) wi(T1) = woi (i = 1÷ 3) (2.2.17) − 21 − đối với hệ phương trình (2.1.21). Bổ đề 2.2.3. (xem[4]) Với các điều kiện của bổ đề (2.2.2), thì điều kiện (2.1.25) tương đương với điều kiện sau; N(xˆ, w(T4)) ≤ N (o)(x,w) (2.2.18) Dựa vào điều kiện (2.1.28) và các bổ đề (2.2.1) - (2.2.3) ta có thể chuyển khái niệm "chấp nhận được" của điều khiển tổng hợp (2.1.6) thành khái niệm "chấp nhận được của điều khiển theo chương trình" trong định nghĩa sau đây: Định nghĩa 2.2.1. Điều khiển (2.2.4) của hệ động lực (2.2.17) được gọi là chấp nhận được, nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau đây: N(xˆ, w(T4)) ≤ N (o)(x,w) (2.2.19)q(hl) ≤ xˆ1(t) (t ∈ [0, T1) ∪ (T4, T ]);ui ≤ xˆi(t) ≤ ui + vi (t ∈ [0, T1) ∪ (T4, T ]) ; i = 1÷ 3. (2.2.20) 3∑ i=1 [ wi − wi(T4) ]≥ V ; 3∑ i=1 [ wi(t)− wi ]≥ V (T1 ≤ t ≤ T3). (2.2.21) wi ≤ wi(t) ≤ wi (T1 ≤ t ≤ T4). (2.2.22)q(hl) ≤ x1(t) (t ∈ [T1, T4]) ; x1(t) ≤ q(hl) (T2 ≤ t ≤ T3);ui ≤ xi(t) ≤ ui + vi (t ∈ [T1, T4]) ; i = 1÷ 3, (2.2.23) Mối liên hệ giữa tính "chấp nhận được" của điều khiển tổng hợp (2.1.6) và tính "chấp nhận được" của điều khiển theo chương trình (2.2.4) cho trong kết quả dưới đây. Định lý 2.2.1. (xem[4]) Với các điều kiện của bổ đề (2.2.1) - (2.2.3), nếu điều khiển theo chương trình (2.2.4) của hệ động lực (2.2.17) là chấp nhận được thì ĐKTH (2.1.6) của hệ động lực (2.1.21) cũng là chấp nhận được và ngược lại. Chú ý 2.2.1. Nếu biết các hàm điều khiển chấp nhận được (2.2.4) theo nghĩa trên và biết trạng thái w(T4) := ( w1(T4), w2(T4), w3(T4) ) của hệ động lực (2.2.17) tương ứng với điều khiển này, thì thông qua các công thức (2.2.1), (2.2.3) ta có thể bổ sung (vào (2.2.4)) các hàm điều khiển (2.2.2) để thu được hàm điều khiển tổng hợp (2.1.6) đối với hệ động lực (2.1.21) (trong đó tính chấp nhận được xác định bởi các điều kiện (2.1.22) - (2.1.28)); Nghĩa là ta thu được một QTVHHLKT đối với HTTĐ 3 bậc thang trên sông Đà. − 22 − Để tham số hoá hàm điều khiển (2.2.4) (liên tục) nói trên, ta thu hẹp lớp hàm liên tục C(T1, T4) về lớp hàm tuyến tính từng khúc trên [T1, T4] Với ý nghĩa đó, ta thiết lập một phân hoạch {tk}Kk=0 của đoạn [0, T ], sao cho: 0 = t0 < t1 < . . . < tk < . . . < tK = T ; tkn = Tn (n = 1÷ 5). (2.2.24) max 0≤k≤K−1 {|∆k|} ≤ ε ; |∆k| := tk+1 − tk ; ∆k := [tk, tk+1) (k = 0÷K − 1). (2.2.24∗) Ký hiệu: xki := xi(tk) (i = 1÷ 3 , k = 0÷K − 1) (2.2.25) và xét các hàm (2.2.4) dưới dạng: xi(t) = x k i + xk+1i − xki tk+1 − tk ( t− tk ) (2.2.26) (tk ≤ t < tk+1 , k = k1 + 1÷ k4 , i = 1÷ 3) Khi đó mỗi hàm điều khiển (2.2.4) sẽ được xác định bởi một bộ tham số điều khiển: X = x k1+1 1 . . . x k4 1 xk1+12 . . . x k4 2 xk1+13 . . . x k4 3  ∈ R3×n ; n := k4 − k1. (2.2.27) đối với hệ động lực (2.2.17). Chú ý 2.2.2. Nếu đã cho phân hoạch {tk}Kk=0 thì ma trận X hoàn toàn được xác định. Định nghĩa 2.2.2. Mỗi ma trận X ∈ R3×n được gọi là một bộ tham số điều khiển của hệ động lực (2.2.17) ứng với phân hoạch {tk}Kk=0 của đoạn [0, T]; còn hàm điều khiển (2.2.4) với các thành phần xác định theo (2.2.26) được gọi là điều khiển (tham số hoá) tuyến tính từng khúc tương ứng. Tính chấp nhận được của bộ tham số điều khiển X nói trên cũng được xác định bởi tính chấp nhận được của hàm điều khiển của hàm điều khiển (2.2.26) tưng ứng, nghĩa là thoả mãn các điều kiện (2.2.19) - (2.2.23) Định nghĩa 2.2.3. Tập hợp D gồm tất cả các bộ tham số điều khiển chấp nhận được theo nghĩa trên: D := { X ∈ R3×n : (2.2.26), (2.2.19)− (2.2.23) } (2.2.27∗) được gọi là tập hợp các bộ tham số điều khiển chấp nhận được đối với hệ động lực (2.2.17). − 23 − Chú ý 2.2.3. Nếu biết được tập hợp D, ta có thể dựa trên công thức (2.2.26) để khôi phục tập hợp Dˆ gồm tất cả các hàm điều khiển (tuyến tính từng khúc) chấp nhận được đối với hệ động lực (2.2.17). Khi đó, có thể dựa trên chú ý (2.2.1) để thu được tập hợp tất cả các QTVHHLKT, nghĩa là dự báo được tất cả các kế hoạch vận hành có thể lập được trong tương lai đối với mỗi dự án thiết kế HTTĐ 3 - bậc thang trên sông Đà. Tuy nhiên, ta không thể tiếp cận trực tiếp tập hợp D nói trên, vì các bất đẳng thức cần phải kiểm tra trong (2.2.19) - (2.2.23) có số lượng không chỉ là vô hạn mà là không đếm được. Nhằm khắc phục khó khăn này, trước hết ta đặt:ai := Ai.pe p(T4−T1) + Ai − woi T4 − T1 (i = 1÷ 3) Ai := woi + 10 −6(T4 − T1) [ qi + qo + xi + xi+11{1,2}(i) ] (2.2.28) a := A.pe p(T3−T1) + A−∑3i=1 woi T3 − T1 A := ∑3 i=1 woi + 10 −6(T3 − T1) [∑3 i=1 qi + 3qo + x1 ] , (2.2.29) trong đó (xem (2.1.2)) p := min T1≤t≤T4 {p(t)} ; p := max T1≤t≤T4 {p(t)} ; qi := max T1≤t≤T4 {qi(t)} (i = 1÷ 3). (2.2.30) p := [ 0, 707965 + 0, 000038× 512].10−8 = 72, 7× 10−10 p := [ 0, 707965 + 0, 000038× 168].10−8 = 71, 4× 10−10 Để thiết lập các điều kiện ε - chấp nhận được của bộ tham số điều khiển X (xem (2.2.27)), ta xét bổ đề dưới đây: Bổ đề 2.2.4. [4] Nếu các điều khiển (2.2.4) là tuyến tính từng khúc với bộ tham số điều khiển (2.2.27) thì các điều kiện chấp nhận được (2.2.19) - (2.2.23) tương đương với các điều kiện sau: q(hl) ≤ xk1 ≤ u1 (k = k1 + 1÷ k2) ; u1 ≤ xk1 ≤ u1 (k = k2 + 1÷ k3), ui ≤ xki ≤ ui (k = k1 + 1÷ k3) (i = 2÷ 3), ui ≤ xki ≤ xi (k = k3 + 1÷ k4) (i = 1÷ 3), (2.2.31) wi(ε) ≤ wi(tk) ≤ wi(ε) (k = k1 + 1÷ k4 ; i = 1÷ 3), (2.2.32) 3∑ i=1 [ wi − wi(T4) ]≥ V (2.2.33) − 24 − ui ≤ xˆki ≤ xi (∀k = 0÷ k1 , k = k4 + 1÷K ; i = 1÷ 3) , (2.2.34) N ≤ 24[N (o)(x,w) + N (1)(xˆ) + N (2)(xˆ, w(T4)) + N (3)(xˆ, w(T4))] (2.2.35) 3∑ i=1 [ wi(tk)− wi ]≥ V (ε) (k = k1 + 1÷ k3), (2.2.36) trong đó: wi(ε) := wi + aiε , wi(ε) := w¯i − aiε (i = 1÷ 3) ; V (ε) := aε + V , (2.2.37)( w1(T4), w2(T4), w3(T4) ) := w(T4) = w(X;T4) - là nghiệm của hệ phương trình (2.2.17) ứng với bộ tham số điều khiển X tại t = T4 ; xˆki - là các biến phụ thuộc wi(T4), xác định theo các công thức (2.2.1) và (2.2.3); N (j) (j = 0÷ 3) - là các tích phân tính theo các công thức (2.2.5) - (2.2.8). Định nghĩa 2.2.4. Tập hợp Dε gồm tất cả các bộ tham số điều khiển ε - chấp nhận được theo nghĩa trên: Dε := { X ∈ R3×n : (2.2.31)− (2.2.36) } (2.2.38) được gọi là tập hợp các bộ tham số điều khiển ε - chấp nhận được đối với hệ động lực (2.2.17). Chú ý 2.2.4. Ta biết (xem [4]) rằng: Nếu các điều kiện ε - chấp nhận được nói trên (đối với mỗi bộ tham số X) được thoả mãn thì các điều kiện chấp nhận được nêu trong định nghĩa (2.2.3) cũng sẽ được thoả mãn, nghĩa là Dε ⊂D. (2.2.39) Ngoài ra ta còn có lim ε→0 mes ( Dε) = mes ( D). (2.2.40) Vì vậy, ta có thể sử dụng chú ý (2.2.3) (với việc xấp xỷ tập hợp D bởi tập hơp Dε) để xác định tất cả các QTVHHLKT có thể lập được trong tương lai đối với mỗi dự án thiết kế của HTTĐ 3 - bậc thang trên sông Đà. Với ý nghĩa trên, ta sẽ xét trong chương 3 dưới đây việc lựa chọn một cách ngẫu nhiên bộ tham số điều khiển ε - chấp nhận được X ∈Dε Trong việc giải số bài toán giảm thiểu độ rủi ro vỡ đập cho công trình thuỷ điện Sơn la, ta biết rằng (xem [7]): đây là một loại bài toán điều khiển ngẫu nhiên tổng hợp [7], − 25 − nên khi giải nó (bằng phương pháp Monte Carlo), ta cần phải lựa chọn một cách ngẫu nhiên ma trận X ∈Dε, sao cho (xem (1.2.3) - (1.2.12)): P{X ∈ A} > 0 (∀A ⊂Dε : mes(A) > 0). (2.2.41) Phần mềm VSAM-3A của hội UDTH Việt Nam đã được soạn thảo để chỉ ra sự tồn tại của miền D ′ ε, sao cho D ′ ε ⊂Dε , mesD ′ ε > 0; (2.2.42) đồng thời đề ra thuật toán lựa chọn một cách ngẫu nhiên các tham số điều khiển ε-chấp nhận được X ∼ U(D′ε) (có phân bố đều trên D′ε). Mặc dầu VSAM-3A đã đưa ra những quy trình VHHLKT khá tốt về mặt sản xuất điện và phân bổ dung tích phòng lũ. Nhưng nó chưa thể sử dụng để giải bài toán giảm thiểu độ rủi ro lũ lụt cho công trình thuỷ điện Sơn La, vì rằng điều kiện (2.2.41) chưa được bảo đảm. Điều này dẫn tới yêu cầu cần phải cải tiến chương trình VSAM-3A nói trên. Về mặt nguyên tắc, ta có thể thực hiện điều này thông qua việc tạo VTNN với 3n- chiều X ∼ U(Dε), với các thành phần xki ∼ U([ui, x¯i]) thoả mãn các điều kiện tương ứng (nêu trong (2.2.31)). Những điều kiện còn lại trong (2.2.32) - (2.2.36) sẽ được kiểm tra bằng phương pháp loại trừ Von Neumann đã trình bày ở chương 1. Tuy nhiên, do thể tích của siêu hộp 3n-chiều quá lớn so với thể tích miền Dε: mes ( 3⊗ i=1 k4⊗ k=k1+1 [0, x¯i] ) >> mes ( Dε ) , nên hiệu quả của thuật toán loại trừ Von Neumann quá thấp. Điều này làm cho thời gian tính toán lâu, tới mức không sử dụng được trong thực tế. Nhằm khắc phục khó khăn nói trên, ta sẽ sử dụng thuật toán loại trừ Von Neumann với hiệu quả cao hơn để thu được bộ tham số điều khiển X ∈ Dε thoả mãn điều kiện (2.2.41). Thuật toán "bắn ngẫu nhiên" cùng với phần mềm VISAM-3 đã giải quyết được bài toán trên. Trong luận văn này, ta sẽ cải tiến thuật toán bắn ngẫu nhiên nói trên dưới dạng thuật toán "bắn ngẫu nhiên định hướng" sẽ được trình bày ở chương 3 dưới đây. Ý tưởng của thuật toán này là: các trạng thái wi(tk) thoả mãn điều kiện (2.2.32) với k = k1 + 1 ÷ k3 sẽ thu được bằng cách tạo phân bố đều trong đơn hình (xem chương 1), với k = k3 + 1÷ k4 − 1 sẽ thu được bằng cách tạo phân bố đều trên đơn hình (xem chương 1). Điểm cuối wi(T4) của quỹ đạo nói trên sẽ thu được bằng phương pháp bắn ngẫu nhiên vào miền xác định bởi các điều kiện (2.2.33) - (2.2.34). − 26 − Bằng cách làm này ta thu được một miền đủ nhỏ chứa Dε, khi đó có thể sử dụng phương pháp loại trừ Von Neumann với "hiệu quả cao" để kiểm tra sự thoả mãn điều kiện (2.2.31) và các điều kiện (2.2.35) - (2.2.36). − 27 − Chương 3 Cơ sở của phương pháp bắn ngẫu nhiên định hướng 3.1. Xấp xỉ hệ động lực Từ định lý (2.2.1) ta nhận thấy rằng hệ động lực (2.1.21) trong bài toán (2.1.19) - (2.1.28) có thể thay bởi dạng thu hẹp (2.2.17) của nó trên khoảng [T1, T4]. Với ý nghĩa đó, ta xét hệ phương trình vi phân (2.2.17) trên đoạn [T1, T4]w˙i(t) = −p(t)wi(t) + ( q ′ i(t) + qo − xi(t) ) 10−6 (T1 ≤ t ≤ T4) wi(0) = woi (i = 1÷ 3), Đặt: fi(t, ωi(t), x(t)) = −p(t)wi(t) + ( q ′ i(t) + qo − xi(t) ) 10−6 (T1 ≤ t ≤ T4) fˆi(t, x(t)) = −pi + σ [ q ′ i(t)− xi(t) ] (T1 ≤ t ≤ T4) trong đó các hằng số σ, pi chọn theo công thức: σ = 10−6 pi = 1 4 (p + p)(woi + wi)− σqo = ( 0, 0036(woi + wi)− 16, 9 ) 10−6 (3.1.1) (i = 1÷ 3) Ta xét: ∆i(t) := |fi(t, ωi(t), x(t)) − fˆi(t, x(t))| (T1 ≤ t ≤ T4, i = 1÷ 3) Ta có: ∆i(t) := | p + p¯ 2 x wi + woi 2 − p(t)wi(t)| (1) − 28 − Ta xấp xỉ gần đúng p + p¯ 2 ≈ p(t) và wi + woi 2 ≈ wi(t) ta được: ∆i(t) := p + p¯ 2 ∆wi(t) + wi + woi 2 ∆p(t) (2) trong đó: ∆p(t) := |p(t) − p + p¯ 2 | , ∆wi(t) = |wi(t) − wi + woi 2 | Từ công thức (2.2.30) ta có: p ≤ p(t) ≤ p¯ ⇒ ∆p(t) ≤ p + p¯ 2 = 7.2 x 10−9 (T1 ≤ t ≤ T4) (3) Tương tự, từ điều kiện chấp nhận (2.2.22) ta còn có: wi ≤ wi(t) ≤ wi ⇒ ∆wi(t) ≤ w¯i − wi (T1 ≤ t ≤ T4) (4) Kết hợp (2), (3) và (4) ta thu đươc: ∆i(t) ≤ 7,2 x 10−9 x (wi + woi − wi 2 ) := ∆i (T1 ≤ t ≤ T4, i = 1÷ 3) (5) Dựa vào các số liệu ban đầu woi, wi, wi ta dễ dàng đánh giá sai số của ∆i nhỏ hơn nhiều lần so với sai số của số liệu ban đầu (có thể bỏ qua chúng khi tính toán), nên ta có thể xấp xỉ vế phải của hệ phương trình (2.2.17) bởi vế phải của hệ phương trình sau đây: w˙i(t) = −pi + σ [ q ′ i(t)− xi(t) ] (T1 < t ≤ T4) wi(T1) = woi (i = 1÷ 3). (3.1.2) Tương tự, ta có thể xấp xỉ hệ phương trình (2.1.21) bởi hệ phương trình sau:w˙i(t) = −pi + σ [ q ′ i(t)− xi(t) ] (0 < t ≤ T ) wi(0) = woi (i = 1÷ 3). (3.1.3) Trong trường hợp này điều khiển tổng hợp được xác định như sau: Bổ đề 3.1.1. Nếu hệ phương trình (2.2.17) được xấp xỷ bởi hệ (3.1.2), thì công thức (2.2.3) (để xác định điều khiển tổng hợp (2.2.2)) sẽ trở thành: xi(t) = xˆi(t) := qˆ ′ i(t)− σ−1pi (∀t ∈ [0, T1) ∪ (T4, T5] , i = 3÷ 1) (3.1.4) xi(t) = xˆi(t) := qˆ ′ i(t)− wi(T4)− woi − pi(T − T5) σ(T − T5) (∀t ∈ (T5, T ] , i = 3÷ 1), (3.1.5) trong đó wi(T4) (i = 1÷ 3) là nghiệm của hệ (3.1.2) tại t = T4 và qˆ ′ i(t) :=  q3(t) (khi i = 3)qi(t) + xˆi+1(t) (khi i = 2÷ 1). (3.1.5*) − 29 − Chứng minh: Với t ∈ [0, T1) ∪ (T4, T5], từ (2.1.22) và (2.1.23) ta suy ra w˙i(t) ≡ 0. Do đó, từ hệ phương trình (3.1.3) ta có: 0 = −pi + σ[qˆ′i(t)− xi(t)]. Khi đó ta trực tiếp thu được (3.1.4), trong đó (2.1.30) có dạng (3.1.5*). Trong trường hợp T5 < t ≤ T , từ (2.1.24) ta có: w˙i(t) = woi − wi(T4) T − T5 . Do đó, từ (3.1.3) ta còn có: woi − wi(T4) T − T5 = −pi + σ[qˆ ′ i(t)− xi(t)] (i = 1÷ 3). Trên cơ sở này ta suy ra: woi − wi(T4) σ(T − T5) = − pi σ + qˆ ′ i(t)− xi(t) =⇒ xi(t) = wi(T4)− woi σ(T − T5) − pi σ + qˆ ′ i(t). Khi đó ta thu được (3.1.5).  Bây giờ ta đặt: ξki := σ ∫ tk+1 tk xi(t)dt (k = k1 ÷ k4 − 1 , i = 3÷ 1). (3.1.6) n1 := k3 − k1 ; n2 := k4 − k3. (3.1.7) Khi đó ta có: Bổ đề 3.1.2. Nếu hệ phương trình (2.2.17) được xấp xỷ bởi hệ (3.1.2) , thì các nghiệm wi(tk) (k = k1 + 1÷ k4 , i = 3÷ 1) của chúng được xác định từ các biến điều khiển mới ξki (k = k1 ÷ k4 − 1) theo các công thức sau: wi(tk1+j) = woi − pi(tk1+j − T1) + σ ∫ tk1+j T1 q ′ i(t)dt− k1+j−1∑ k=k1 ξki (3.1.8) (j = 1÷ n1 , i = 3÷ 1) wi(tk3+j) = wi(T3)− pi(tk3+j − T3) + σ ∫ tk3+j T3 q ′ i(t)dt− k3+j−1∑ k=k3 ξki (3.1.9) (j = 1÷ n2 , i = 3÷ 1). Ngoài ra, các tham số điều khiển (2.2.27) cũng được xác định từ các biến điều khiển mới theo các công thức truy hồi sau: xk+1i = 2ξki σ|∆k| − x k i (k = k1 ÷ k4 − 1 , i = 3÷ 1), (3.1.10) − 30 − trong đó: xk1i = q3(T1)− σ−1p3 (i = 3)qi(T1)− σ−1pi + xk1i+1 (i = 2÷ 1). (3.1.10*) Chứng minh: Với mỗi i = 3 ÷ 1, khi tích phân 2 vế của (3.1.2) trên các khoảng [T1, tk1+j] và [T3, tk3+j] ta lần lượt thu được: wi(tk1+j) = woi − pi(tk1+j − T1) + σ ∫ tk1+j T1 q ′ i(t)dt− σ ∫ tk1+j T1 xi(t)dt (j = 1÷ n1). (1) wi(tk3+j) = wi(T3)−pi(tk3+j−T3)+σ ∫ tk3+j T3 q ′ i(t)dt−σ ∫ tk3+j T3 xi(t)dt (j = 1÷n2). (2) Từ (2.2.24) và (3.1.6) ta có σ ∫ tk1+j T1 xi(t)dt = k1+j−1∑ k=k1 σ ∫ tk+1 tk xi(t)dt = k1+j−1∑ k=k1 ξki (j = 1÷ n1). (3) σ ∫ tk3+j T3 xi(t)dt = k3+j−1∑ k=k3 σ ∫ tk+1 tk xi(t)dt = k3+j−1∑ k=k3 ξki (j = 1÷ n2). (4) Do đó, khi thay (3) vào (1) ta thu được (3.1.8) và khi thay (4) vào (2) ta thu được (3.1.9). Mặt khác, từ (3.1.6) và (2.2.26), (2.2.24*) ta có: ξki = σ ∫ tk+1 tk ( xki + xk+1i − xki tk+1 − tk ( t−tk )) dt = σ|∆k| 2 ( xki +x k+1 i ) (k = k1÷k4−1 , i = 3÷1). Trên cơ sở này ta thu được (3.1.8). Cuối cùng, để chứng minh (3.1.10*) ta chú ý đến điều kiện (2.1.6) về tính liên tục tại t = T1 của hàm điều khiển (2.2.2), để từ (2.2.26) và (3.1.4) suy ra: xk1i = xi(tk1) = xi(T1) = lim t→T1−0 xˆi(t) = lim t→T1−0 ( qˆ ′ i(t)− σ−1pi ) (i = 3÷ 1). (5) Ngoài ra, từ (3.1.5*) và giả thiết về tính liên tục của các hàm qi ∈ C(0, T ) tại t = T1 ta còn có: lim t→T1−0 qˆ ′ i(t) = q3(T1) (i = 3)qi(T1) + xk1i+1 (i = 2÷ 1). Kết hợp điều này với (5) và tính liên tục tại t = T1 của hàm p(t) (xem (2.1.2)) ta thu được (3.1.10*).  − 31 − Để xét các dấu hiệu có thể giảm bớt các điều kiện ε - chấp nhận được (2.2.31) - (2.2.36), ta ký hiệu: P¯i =  p3 + σu3 (i = 3)pi + σ(ui − x¯i+1) (i = 2÷ 1) P i =  p3 + σx3 (i = 3)pi + σ(x¯i − ui+i) (i = 2÷ 1) (3.1.11) Bổ đề 3.1.3. Với các điều kiện của bổ đề (3.1.1) và giả sử điều kiện (2.2.31) được thoả mãn. Khi đó ta có các kết luận sau: 1- Nếu tồn tại số tự nhiên k, sao cho: σ ∫ tk T1 qi(t)dt ≤ P¯i(tk − T1) (k = k1 + 1÷ k3 , i = 1÷ 3), (3.1.12) thì trạng thái wi(tk) tương ứng thoả mãn điều kiện: wi(tk) ≤ woi (∀i = 1÷ 3). (3.1.12*) 2- Nếu tồn tại số tự nhiên k, sao cho: σ ∫ tk T3 qi(t)dt ≥ P i(tk − T3) (k = k3 + 1÷ k4 , i = 1÷ 3), (3.1.13) thì trạng thái wi(tk) tương ứng thoả mãn điều kiện: wi(tk) ≥ wi(T3) (∀i = 1÷ 3). (3.1.13*) Chứng minh: Từ (3.1.10) ta có: ξki = σ|∆k| 2 ( xki + x k+1 i ) (k = k1 ÷ k4 − 1 , i = 1÷ 3). Do đó, từ (2.2.31) ta suy ra: σui|∆k| ≤ ξki ≤ σ|∆k|x¯i (k = k1 ÷ k4 − 1 , i = 1÷ 3). (1) Mặt khác, từ (3.1.8), (3.1.9) và (3.1.7) ta còn có: wi(tk) = woi − pi(tk − T1) + σ ∫ tk T1 q ′ i(t)dt− k−1∑ j=k1 ξji (k = k1 + 1÷ k3 , i = 3÷ 1). (2) wi(tk) = wi(T3)− pi(tk−T3)+σ ∫ tk T3 q ′ i(t)dt− k−1∑ j=k3 ξji (k = k3 +1÷k4 , i = 3÷ 1). (3) Với i = 1÷ 2, từ (3.1.6) và (1) ta thu được σ ∫ tk T1 xi+1(t)dt = k−1∑ j=k1 σ ∫ tj+1 tj xi+1(t)dt = k−1∑ j=k1 ξji+1 ≤ σx¯i+1 k−1∑ j=k1 |∆j|. − 32 − Hay là (xem (2.2.24*)): σ ∫ tk T1 xi+1(t)dt ≤ σx¯i+1(tk − T1) (k = k1 + 1÷ k3 , i = 2÷ 1). Khi đó, từ (2.1.30) ta suy ra σ ∫ tk T1 q ′ i(t)dt = σ ∫ tk T1 qi(t)dt + σ ∫ tk T1 xi+1(t)dt ≤ σ ∫ tk T1 qi(t)dt + σx¯i+1(tk − T1). Kết hợp điều này với (3.1.11) và (1) ta có −pi(tk − T1) + σ ∫ tk T1 q ′ i(t)dt− k−1∑ j=k1 ξji ≤ −P¯i(tk − T1) + σ ∫ tk T1 qi(t)dt (i = 2÷ 1). (4) Trong trường hợp i = 3, từ (3.1.11) và (2.1.30), (1) ta trực tiếp suy ra: −p3(tk−T1)+σ ∫ tk T1 q ′ 3(t)dt− k−1∑ j=k1 ξji ≤ −P¯3(tk−T1)+σ ∫ tk T1 q3(t)dt (k = k1+1÷k3). (4*) Dựa vào (2) và (4), (4*) ta có: wi(tk) ≤ woi − P¯i(tk − T1) + σ ∫ tk T1 qi(t)dt (k = k1 + 1÷ k3 , i = 3÷ 1). Do đó từ (3.1.12) ta thu được (3.1.12*). Để chứng minh (3.1.13*), trước hết ta dựa vào (3.1.6) và (1) để suy ra rằng σ ∫ tk T3 xi+1(t)dt = ∑k−1 j=k3 σ ∫ tj+1 tj xi+1(t)dt = ∑k−1 j=k3 ξji+1 ≥ σui+1(tk − T3) (k = k3 + 1÷ k4 , i = 2÷ 1). Khi đó, từ (2.1.30) ta có: σ ∫ tk T3 q ′ i(t)dt ≥ σ ∫ tk T3 qi(t)dt + σui+1(tk − T3) (k = k3 + 1÷ k4 , i = 2÷ 1). (5) Ngoài ra, từ (1) ta còn có: k−1∑ j=k3 ξji ≤ σx¯i k−1∑ j=k3 |∆j| = σx¯i(tk − T3) (k = k3 + 1÷ k4 , i = 3÷ 1). (6) Kết hợp điều này với (3), (5) và (3.1.11) ta suy ra wi(tk) ≥ wi(T3)− ( pi − σui+1 + σx¯i ) (tk − T3) + σ ∫ tk T3 qi(t)dt = = wi(T3)− P i(tk − T3) + σ ∫ tk T3 qi(t)dt (k = k3 + 1÷ k4 , i = 2÷ 1). (7) − 33 − Tương tự, từ (3), (6) và (3.1.11) ta còn có: w3(tk) ≥ w3(T3) + σ ∫ tk T3 q3(t)dt− P 3(tk − T3) (k = k3 + 1÷ k4). Kết hợp điều này với (7) ta thu được wi(tk) ≥ wi(T3) + σ ∫ tk T3 qi(t)dt− P i(tk − T3) (k = k3 + 1÷ k4 , i = 3÷ 1). Khi đó, từ (3.1.13) ta suy ra (3.1.13*).  Chú ý 3.1.1. Khi đối chiếu với các số liệu của các hàm qi(t) (t ∈ [T1, T4] , i = 1÷ 3) (cho trong [7]) và với các bộ tham số thiết kế khác nhau về x¯i, woi, wi, w¯i (cho trong [11]), ta nhận thấy rằng: các điều kiện (3.1.12) đều được thoả mãn ∀k = k1 + 1÷ k3; các điều kiện (3.1.13) đều được thoả mãn ∀k = k3 + 1÷ k4. Bởi vậy ta có thể dựa vào (3.1.12*) và (3.1.13*) để thu hẹp các điều kiện ε-chấp nhận được (2.2.32), dưới dạng: wi ≤ wi(tk) ≤ woi (∀k = k1 + 1÷ k3 , i = 1÷ 3) wi(T3) ≤ wi(tk) ≤ wi (∀k3 + 1÷ k4 , i = 1÷ 3). (3.1.14) Chú ý 3.1.2. Tương tự, từ các số liệu của các hàm qi(t) (t ∈ [0, T1]∪ [T4, T5] , i = 1÷3) và với các bộ tham số thiết kế khác nhau về x¯i, woi, wi, w¯i (cho trong [11]), ta có thể dựa vào công thức (3.1.4) để nhận thấy rằng: các điều kiện (2.2.34) đều được thoả mãn ∀k = 0÷ k1 , k = k4 + 1÷ k5. Do đó có thể thu hẹp các điều kiện này dưới dạng sau đây: ui ≤ xˆki ≤ xi (∀k = k5 + 1÷K ; i = 1÷ 3) . (3.1.15) Dựa vào các chú ý (3.1.1) và (3.1.2), nếu đặt: xk1 := q(hl) (k = k1 + 1÷ k2)u1 (k = k2 + 1÷ k3) ; xk1 := u1 (k = k1 + 1÷ k3) (3.1.16) xki := ui ; x k i := ui (k = k1 + 1÷ k3 , i = 2÷ 3) (3.1.16*) Ta có thể phát biểu lại các điều kiện (2.2.31) - (2.2.36) dưới dạng các điều kiện ε-chấp nhận được thu hẹp sau đây:xki ≤ xki ≤ xki (∀k = k1 + 1÷ k3 ; i = 3÷ 1)wi(ε) ≤ wi(tk) ≤ woi (∀k = k1 + 1÷ k3 , i = 3÷ 1). (3.1.17)ui ≤ xki ≤ xi (∀k = k3 + 1÷ k4 − 1 ; i = 3÷ 1)wi(T3) ≤ wi(tk) ≤ wi(ε) (∀k = k3 + 1÷ k4 − 1 , i = 3÷ 1). (3.1.18) − 34 − ui ≤ x k4 i ≤ xi , ui ≤ xˆki ≤ xi (∀k = k5 + 1÷K), wi(T3) ≤ wi(T4) ≤ wi(ε) (i = 3÷ 1) ; ∑3 i=1 [ wi − wi(T4) ]≥ V . (3.1.19) N ≤ 24[N (o)(x,w) + N (1)(xˆ) + N (2)(xˆ, w(T4)) + N (3)(xˆ, w(T4))] (3.1.20) 3∑ i=1 [ wi(tk)− wi ]≥ V (ε) (k = k1 + 1÷ k3). (3.1.21) Nhằm thiết lập thuật toán bắn ngẫu nhiên để xác định các tham số điều khiển X ∈Dε := { X ∈ R3×n : (3.1.17)− (3.1.21) } , (3.1.22) trước hết ta dựa vào (2.1.30) để suy ra rằng: Qki = Q k i (x k i+1, x k+1 i+1 ) := ∫ tk+1 tk q ′ i(t)dt = ∫ tk+1 tk qi(t)dt + 1{1,2}(i) |∆k| 2 (xki+1 + x k+1 i+1 ), (3.1.22*) trong đó (xem (2.1.18)): 1{ 1 , 2 }(i) = 1 nếu i = 30 nếu i = 1÷ 2. Cùng với hàm Qki (theo các tham số điều khiển x k i+1, x k+1 i+1 ), ta còn đưa ra các hàm wk+1i , w k+1 i (theo trạng thái wi(tk) và các tham số điều khiển x k i+1, x k+1 i+1 , x k i ) dưới đây: wk+1i := max { wi(ε) , wi(tk) + σQ k i (x k i+1, x k+1 i+1 )− |∆k| [ pi + σ 2 (xki + x k+1 i ) ]} wk+1i := min { woi , wi(tk) + σQ k i (x k i+1, x k+1 i+1 )− |∆k| [ pi + σ 2 (xki + x k+1 i ) ]} (i = 3÷ 1 ; k = k1 ÷ k3 − 1), (3.1.23) wk+1i := max { wi(T3) , wi(tk) + σQ k i (x k i+1, x k+1 i+1 )− |∆k| [ pi + σ 2 (xki + xi) ]} wk+1i := min { wi(ε) , wi(tk) + σQ k i (x k i+1, x k+1 i+1 )− |∆k| [ pi + σ 2 (xki + ui) ]} (i = 3÷ 1 ; k = k3 ÷ k4 − 2), (3.1.24) wk4i := max { wi(T3) , wi(tk4−1) + σQ k4−1 i (x k4−1 i+1 , x k4 i+1)− |∆k4−1| [ pi + σ 2 (xk4−1i + xi) ] , woi + σ(T − T5) [ ui − qˆ ′ i(max) + σ −1pi ]} ; (3.1.25) − 35 − qˆ ′ i(max) := maxk5≤k≤K { qˆ ′ i(tk) } (i = 3÷ 1) wk4i := min { wi(ε) , wi(tk4−1) + σQ k4−1 i (x k4−1 i+1 , x k4 i+1)− |∆k4−1| [ pi + σ 2 (xk4−1i + ui) ] , woi + σ(T − T5) [ xi − qˆ′i(min) + σ−1pi ]} ; (3.1.25*) qˆ ′ i(min) := mink5≤k≤K { qˆ ′ i(tk) } (i = 3÷ 1). Khi đó ta có: Bổ đề 3.1.4. Nếu hệ động lực có dạng (3.1.2) thì ta có thể xác định các tham số điều khiển theo công thức truy hồi: xk+1i = 2 [ wi(tk)− wi(tk+1) ] σ|∆k| + 2 |∆k|Q k i (x k i+1, x k+1 i+1 )− (2pi σ + xki ) (i = 3÷ 1 ; k = k1 + 1÷ k4), (3.1.26) với xk1i (i = 3÷ 1) xác định theo (3.1.10*) và thu được các kết luận sau: 1- Các điều kiện (3.1.17) tương đương với các điều kiện: wki ≤ wi(tk) ≤ wki (∀k = k1 + 1÷ k3 , i = 3÷ 1). (3.1.27) 2- Các điều kiện (3.1.18) tương đương với các điều kiện: wki ≤ wi(tk) ≤ wki (∀k = k3 + 1÷ k4 − 1 , i = 3÷ 1). (3.1.28) 3- Các điều kiện (3.1.19) tương đương với các điều kiện: wk4i ≤ wi(T4) ≤ wk4i (∀i = 3÷ 1) ; 3∑ i=1 wi(T4) ≤ 3∑ i=1 wi − V . (3.1.29) Chứng minh: Khi tích phân phương trình (3.1.2) trên ∆k = [tk, tk+1) và dựa trên (3.1.6), ta có wi(tk+1) = wi(tk)− pi|∆k|+ σ ∫ tk+1 tk q ′ i(t)dt− ξki (k = k1 + 1÷ k4 , i = 3÷ 1). Hay là (xem (3.1.10)) wi(tk+1) = wi(tk)−pi|∆k|+σ ∫ tk+1 tk q ′ i(t)dt− σ|∆k| 2 (xki +x k+1 i ) (k = k1+1÷k4, i = 3÷1). (1) − 36 − Khi đó từ (3.1.22*) ta thu được (3.1.26). Hiển nhiên là các điều kiện (3.1.17) có thể lần lượt biểu diễn dưới dạng: xk+1i ≤ xk+1i ≤ xk+1i (∀k = k1 ÷ k3 − 1, i = 3÷ 1). (2) wi(ε) ≤ wi(tk+1) ≤ woi (∀k = k1 ÷ k3 − 1, i = 3÷ 1). (3) Dựa trên (1) ta dễ dàng nhận thấy rằng: các điều kiện (2) tương đương với các điều kiện (2*) dưới đây: wi(tk) + σ ∫ tk+1 tk q ′ i(t)dt− |∆k| [ pi + σ 2 (xki + x k+1 i ) ]≤ wi(tk+1) ≤ ≤ wi(tk)− |∆k|+ σ ∫ tk+1 tk q ′ i(t)dt− |∆k| [ pi + σ 2 (xki + x k+1 i ) ] (2*) (∀k = k1 ÷ k3 − 1, i = 3÷ 1) Từ (3.1.22*) và (3.1.23) ta lại thu được sự tương đương giữa các điều kiện (2*), (3) với điều kiện dạng (3.1.27) dưới đây: wk+1i ≤ wi(tk+1) ≤ wk+1i (∀k = k1 ÷ k3 − 1 , i = 3÷ 1). Khi đó, kết luận 1 được chứng minh. Tương tự như khi chứng minh sự tương đương giữa các điều kiện (2) và (2*), bằng cách dựa vào (1) ta dễ dàng thu được: ui ≤ xk+1i ≤ xi ⇐⇒ wi(tk) + σ ∫ tk+1 tk q ′ i(t)dt− |∆k| [ pi + σ 2 (xki + xi) ]≤ wi(tk+1) ≤ ≤ wi(tk) + σ ∫ tk+1 tk q ′ i(t)dt− |∆k| [ pi + σ 2 (xki + ui) ] (∀k = k3 ÷ k4 − 1, i = 3÷ 1) Khi đó từ (3.1.22*) và (3.1.24) ta cũng chứng minh được kết luận 2 bằng cách tương tự như trường hợp trên. Nhằm chứng minh kết luận 3, trước hết ta dựa vào (1) (với k = k4 − 1) để thu được: ui ≤ xk4i ≤ xi ⇐⇒ wi(tk4−1) + σ ∫ T4 tk4−1 q ′ i(t)dt− |∆k4−1| [ pi + σ 2 (xk4−1i + xi) ]≤ ≤ wi(T4) ≤ wi(tk4−1) + σ ∫ T4 tk4−1 q ′ i(t)dt− |∆k4−1| [ pi + σ 2 (xk4−1i + ui) ] (4) (∀i = 3÷ 1) − 37 − Mặt khác, từ (3.1.5) ta còn có: wi(T4) = woi + σ(T − T5) [ xˆki + σ −1pi − qˆ′i(tk) ] (∀k = k5 + 1÷K , i = 3÷ 1). Do đó: ui ≤ xˆki ≤ xi ⇐⇒ woi + σ(T − T5) [ ui + σ −1pi − qˆ′i(tk) ]≤ wi(T4) ≤ ≤ woi + σ(T − T5) [ xi + σ −1pi − qˆ′i(tk) ] , (∀k = k5 ÷K, i = 3÷ 1) (5) Vì qˆ ′ i(min) := min k5≤k≤K { qˆ ′ i(tk) } ; qˆ ′ i(max) := max k5≤k≤K { qˆ ′ i(tk) } (i = 3÷ 1) (xem (3.1.25), (3.1.25*)), nên: qˆ ′ i(min) ≤ qˆ ′ i(tk) ≤ qˆ ′ i(max) (∀k = k5 ÷K , i = 3÷ 1). Khi đó, từ (5) ta suy ra: ui ≤ xˆki ≤ xi (∀k = k5 ÷K) ⇐⇒ woi + σ(T − T5) [ ui + σ −1pi − qˆ′i(max) ]≤ ≤ wi(T4) ≤ woi + σ(T − T5) [ xi + σ −1pi − qˆ′i(min) ] , (i = 3÷ 1) Khi đó, từ (4), (3.1.22*) và (3.1.25), (3.1.25*) ta thu được ui ≤ xk4i ≤ xi ; ui ≤ xˆki ≤ xi (∀k = k5 ÷K) ; wi(T3) ≤ wi(T4) ≤ wi(ε) ⇐⇒ wk4i ≤ wi(T4) ≤ wk4i (∀i = 3÷ 1). Nghĩa là kết luận 3 được chứng minh.  Dựa vào các kết quả trên, ta xây dựng phương pháp bắn ngẫu nhiên định hướng để giải bài toán QTVHHLKT hệ thống thuỷ điện 3 bậc thang trên sông Đà. 3.2. Thuật toán bắn ngẫu nhiên định hướng đối với xấp xỉ vế phải của hệ động lực Để xây dựng thuật toán, trước hết ta ký hiệu: Ski := { (ξk1i , ..., ξ k3−1 i ) : a k−1 i ≤ ξk−1i ≤ ak−1i , bki ≤ k−1∑ j=k1 ξji ≤ cki } (k = k1+1÷k3), (3.2.1) ∆ (1) i := { (ξk1i , ..., ξ k3−1 i ) : k3−1∑ k=k1 (ξki − aki ) ≤ d(1)i ; ξki ≥ aki (k = k1 ÷ k3 − 1) } (3.2.2) (i = 1÷ 3) − 38 − d (1) i := c k3 i − k3−1∑ k=k1 aki ; c k i := woi − wi(ε) + bki ; bki := −pi(tk − T1) + k−1∑ j=k1 qji (3.2.3) (k = k1 + 1÷ k3 , i = 1÷ 3) aki := σ|∆k| 2 (xki + x k+1 i ) ; a k i := σ|∆k| 2 (xki + x k+1 i ) ; a k i := σ|∆k| 2 (xki + x k+1 i ) (3.2.3*) (k = k1 ÷ k3 − 1 , i = 1÷ 3) qki := σ ∫ tk+1 tk q3(t)dt (i = 3) σ ∫ tk+1 tk qi(t)dt + ξ k i+1 (i = 2÷ 1) (k = k1 ÷ k4 − 1). (3.2.4) Khi đó ta có: Bổ đề 3.2.1. Nếu hệ động lực có dạng (3.1.2) và nếu với mỗi i = 3 ÷ 1, các hàm aki = a k i (x k i ) ; a k i = a k i (x k i ) (k = k1 + 1 ÷ k3) xác định trong (3.2.3*) theo các tham số điều khiển xki (trong đó x k i được xác định theo các biến điều khiển mới ξ k−1 i từ công thức truy hồi (3.1.10)), thì các điều kiện (3.1.17) tương đương với các điều kiện (3.2.5) sau đây: (ξk1i , ..., ξ k3−1 i ) ∈ S(1)i (ε) := k3⋂ k=k1+1 Ski ⊂ ∆(1)i (i = 3÷ 1). (3.2.5) Trong đó điều kiện wi(ε) ≤ wi(tk3) = wi(T3) trong (3.1.17), nếu được hiểu theo nghĩa chặt hơn: wi(ε) < wi(T3)) thì ta có d (1) i > 0. Chứng minh: Từ (3.1.10) ta suy ra: ξk−1i = σ|∆k−1| 2 (xk−1i + x k i ) (k = k1 + 1÷ k4 , i = 3÷ 1). (3.2.5*) Khi đó từ (3.2.3*) ta có: xki ≤ xki ≤ xki ⇐⇒ ak−1i = σ|∆k−1| 2 (xk−1i + x k i ) ≤ ξk−1i ≤ σ|∆k−1| 2 (xk−1i + x k i ) = a k−1 i (∀k = k1 + 1÷ k3 ; i = 3÷ 1). (1) Mặt khác, khi sử dụng (3.1.8) với j = k − k1 ta có: wi(tk) = woi−pi(tk−T1)+ k−1∑ j=k1 σ ∫ tj+1 tj q ′ i(t)dt− k−1∑ j=k1 ξji (k = k1+1÷k3 , i = 3÷1). (2) − 39 − Từ (2.1.30) ta còn có: σ ∫ tj+1 tj q ′ i(t)dt = σ ∫ tj+1 tj q3(t)dt (i = 3) σ ∫ tj+1 tj qi(t)dt + σ ∫ tj+1 tj xi+1(t)dt (i = 2÷ 1) (j = k1 + 1÷ k4). Bởi vậy, từ (3.1.6) và (3.2.4) ta suy ra: σ ∫ tj+1 tj q ′ i(t)dt = q j i (j = k1 + 1÷ k4 , i = 1÷ 3). (3.2.6) Kết hợp điều này với (3.2.3) ta có thể biểu diễn (2) dưới dạng: wi(tk) = woi + b k i − k−1∑ j=k1 ξji (k = k1 + 1÷ k3 , i = 3÷ 1). (3) Khi đó, do cki := woi − wi(ε) + bki (xem (3.2.3)) nên ta có: wi(ε) ≤ wi(tk) ≤ woi ⇐⇒ bki ≤ k−1∑ j=k1 ξji ≤ cki (∀k = k1 + 1÷ k3 ; i = 3÷ 1). (4) Từ (1), (4) và (3.2.1) ta suy ra rằng: Các điều kiện (3.1.17) ⇐⇒ (ξk1i , ..., ξk3−1i ) ∈ k3⋂ k=k1+1 Ski (i = 3÷ 1). (5) Vì d (1) i − ck3i = − ∑k3−1 k=k1 aki (xem (3.2.3)), nên: k3−1∑ k=k1 ξki ≤ ck3i =⇒ k3−1∑ k=k1 (ξki − aki ) ≤ ck3i + (d(1)i − ck3i ) = d(1)i (i = 1÷ 3). (6) Ngoài ra, do ak−1i = σ|∆k−1| 2 (xk−1i + x k i ) ≥ ak−1i := σ|∆k−1| 2 (xk−1i + x k i ) (∀xk−1i ≥ xk−1i ) (xem (3.2.3*)), nên ak−1i ≤ ξk−1i (∀k = k1 + 1÷ k3) =⇒ ξki ≥ aki (∀k = k1 ÷ k3 − 1). Khi đó, từ (6) và (3.2.1), (3.2.2) ta dễ dàng suy ra: k3⋂ k=k1+1 Ski = { (ξk1i , ..., ξ k3−1 i ) : a k−1 i ≤ ξk−1i ≤ ak−1i , bki ≤ k−1∑ j=k1 ξji ≤ cki (k = k1+1÷k3) } ⊂ { (ξk1i , ..., ξ k3−1 i ) : k3−1∑ k=k1 (ξki −aki ) ≤ d(1)i ; ξki ≥ aki (k = k1÷k3−1) } = ∆ (1) i (i = 1÷3). − 40 − Kết hợp điều này với (5) ta thu được sự tương đương giữa các điều kiện (3.1.17) và (3.2.5). Cuối cùng, từ (3.2.3) ta dễ dàng nhận thấy rằng: d (1) i = woi − wi(ε)− pi(tk3 − T1) + k3−1∑ j=k1 qji − k3−1∑ j=k1 aji = woi − wi(ε) + bk3i − k3−1∑ j=k1 aji . Khi đó, do xk+1i ≥ xk+1i , xki ≥ xki (xem (3.1.17)), nên từ (3.2.3*) và (3.2.5*) ta có: d (1) i = woi − wi(ε) + bk3i − σ 2 k3−1∑ k=k1 |∆k|(xk+1i + xki ) ≥ ≥ woi − wi(ε) + bk3i − σ 2 k3−1∑ k=k1 |∆k|(xk+1i + xki ) = woi − wi(ε) + bk3i − k3−1∑ k=k1 ξki . Kết hợp điều này với (3) và giả thiết wi(tk3) > wi(ε) ta suy ra d (1) i ≥ wi(tk3)−wi(ε) > 0.  Chú ý 3.2.1. Từ (3.2.6) và công thức (2) trong chứng minh bổ đề trên, ta dễ dàng suy ra rằng: wi(tk) = f k i (woi; ξ k1 i , ..., ξ k3−1 i ) := woi − pi(tk − T1) + k−1∑ j=k1 qji − k−1∑ j=k1 ξji (3.2.6*) (k = k1 + 1÷ k3 , i = 3÷ 1) Chú ý 3.2.2. Trong số các điều kiện ε-chấp nhận được (3.1.17) - (3.1.21), để xét các dạng tương đương của các điều kiện (3.1.18) - (3.1.19) ta có thể biểu diễn chúng dưới dạng (3.2.7) - (3.2.8) dưới đây:ui ≤ xki ≤ xi (∀k = k3 + 1÷ k4 ; i = 3÷ 1)wi(T3) ≤ wi(tk) ≤ wi(ε) (∀k = k3 + 1÷ k4 − 1 , i = 3÷ 1). (3.2.7)ui ≤ xˆki ≤ xi (∀k = k5 + 1÷K),wi(T3) ≤ wi(T4) ≤ wi(ε) (i = 3÷ 1) ; ∑3i=1 wi(T4) ≤∑3i=1 wi − V . (3.2.8) Trong trường hợp các trạng thái wi(T3), wi(T4) (i = 1÷ 3) đã cho, để biểu diễn các điều kiện (3.2.7) theo các biến điều khiển ξki (k = k3 ÷ k4 − 1) ta đặt: Ski := { (ξk3i , ..., ξ k4−1 i ) : a k−1 i ≤ ξk−1i ≤ ak−1i , bki ≤ k−1∑ j=k3 ξji ≤ cki } (3.2.9) (k = k3 + 1÷ k4 − 1) − 41 − Sk4i := { (ξk3i , ..., ξ k4−1 i ) : a k4−1 i ≤ ξk4−1i ≤ ak4−1i , k4−1∑ j=k3 ξji = c k4 i } , (3.2.9*) ∆ (2) i := { (ξk3i , ..., ξ k4−1 i ) : k4−1∑ k=k3 (ξki − aki ) = d(2)i ; ξki ≥ aki (k = k3 ÷ k4 − 1) } (3.2.10) (i = 1÷ 3) d (2) i := c k4 i − ∑k4−1 k=k3 aki ; ck4i := wi(T3)− wi(T4)− pi(T4 − T3) + ∑k4−1 j=k3 qji ; cki := −pi(tk − T3) + ∑k−1 j=k3 qji ; b k i := wi(T3)− wi(ε) + cki (3.2.11) (k = k3 + 1÷ k4 − 1 , i = 1÷ 3) aki := σ|∆k| ui ; aki := σ|∆k| 2 (xki + xi) ; a k i := σ|∆k| 2 (xki + ui) (3.2.11*) (k = k3 ÷ k4 − 1 , i = 1÷ 3) Bổ đề 3.2.2. Nếu các trạng thái wi(T3) (i = 1÷ 3) xác định theo công thức: wi(T3) = f k3 i (woi; ξ k1 i , ..., ξ k3−1 i ) := woi − pi(T3 − T1) + k3−1∑ j=k1 qji − k3−1∑ j=k1 ξji (3.2.12) (i = 3÷ 1) trong đó các biến điều khiển ξki (k = k1÷ k3− 1) thoả mãn điều kiện (3.2.5), thì ứng với mỗi trạng thái (w1(T4), w2(T4), w3(T4)) các điều kiện (3.2.7) tương đương với các điều kiện (3.2.13) sau đây: (ξk3i , ..., ξ k4−1 i ) ∈ S(2)i (ε) := k4⋂ k=k3+1 Ski ⊂ ∆(2)i (i = 3÷ 1). (3.2.13) Trong trường hợp tồn tại 1 chỉ số k(i) ∈ {k3, ..., k4− 1} (∀i = 1÷ 3) thoả mãn điều kiện ui < x k(i) i (chặt hơn điều kiện tương ứng trong (3.2.7)), ta luôn có d (2) i > 0. Chứng minh: Tương tự như khi chứng minh bổ đề (3.2.1), từ (3.2.5*) và (3.2.11*) ta có: ui ≤ xki ≤ xi ⇐⇒ ak−1i = σ|∆k−1| 2 (xk−1i + ui) ≤ ξk−1i ≤ σ|∆k−1| 2 (xk−1i + xi) = a k−1 i (∀k = k3 + 1÷ k4 ; i = 3÷ 1). (1) − 42 − Khi sử dụng (3.1.9) với j = k − k3 và dựa trên (3.2.6) ta suy ra: wi(tk) = f k i (w(T3); ξ k3 i , ..., ξ k4−1 i ) := wi(T3)− pi(tk − T3) + k−1∑ j=k3 qji − k−1∑ j=k3 ξji (3.2.13*) (k = k3 + 1÷ k4 , i = 1÷ 3) Hay là (xem (3.2.11)): wi(tk) = wi(T3) + cki − ∑k−1 j=k3 ξji (Khi k3 < k < k4) wi(T4) + c k4 i − ∑k4−1 j=k3 ξji (Khi k = k4) (i = 1÷ 3). (2) Khi đó, do bki := wi(T3)− wi(ε) + cki (xem (3.2.11)) nên ta có: wi(T3) ≤ wi(tk) ≤ wi(ε) ⇐⇒ bki ≤ k−1∑ j=k3 ξji ≤ cki (∀k = k3 + 1÷ k4 − 1 ; i = 3÷ 1). (3) Ngoài ra, khi xét (2) với k = k4 ta còn có: ck4i = k4−1∑ j=k3 ξji (i = 3÷ 1). (4) Khi đó, từ (3.2.11) ta thu được: k4−1∑ k=k3 (ξki − aki ) = ck4i − k4−1∑ k=k3 aki = d (2) i (i = 3÷ 1). Trên cơ sở này, từ (1), (3), và (3.2.9), (3.2.9*) ta suy ra rằng: Các điều kiện (3.2.7) ⇐⇒ (ξk3i , ..., ξk4−1i ) ∈ k4⋂ k=k3+1 Ski (i = 3÷ 1). (5) Do d (2) i = c k4 i − ∑k4−1 k=k3 aki (xem (3.2.11)), nên hiển nhiên là: k4−1∑ k=k3 ξki = c k4 i ⇐⇒ k4−1∑ k=k3 (ξki − aki ) = d(2)i (i = 1÷ 3). (6) Ngoài ra, từ (3.2.11*) ta còn có: ak−1i = σ|∆k−1| 2 (xk−1i + ui) ≥ ak−1i = σ|∆k−1|ui (∀xk−1i ≥ ui, k = k3 + 1÷ k4). (7) Bởi vậy, từ (3.2.5*) ta nhận thấy rằng: ak−1i ≤ ξk−1i (∀k = k3 + 1÷ k4) =⇒ ξki ≥ aki (∀k = k3 ÷ k4 − 1). − 43 − Khi đó, từ (6) và (3.2.9) - (3.2.10) ta dễ dàng suy ra: k4⋂ k=k3+1 Ski = { (ξk3i , ..., ξ k4−1 i ) : a k−1 i ≤ ξk−1i ≤ ak−1i , bki ≤ k−1∑ j=k1 ξji ≤ cki (k = k3+1÷k4−1) } ⋂{ (ξk3i , ..., ξ k4−1 i ) : a k4−1 i ≤ ξk4−1i ≤ ak4−1i , k4−1∑ j=k3 ξji = c k4 i } ⊂ ⊂ { (ξk3i , ..., ξ k4−1 i ) : k4−1∑ k=k3 (ξki −aki ) ≤ d(2)i ; ξki ≥ aki (k = k3÷k4−1) } = ∆ (2) i (i = 1÷3). Kết hợp điều này với (5) ta thu được sự tương đương giữa các điều kiện (3.2.7) và điều kiện (3.2.10). Cuối cùng, từ (3.2.11) và (3.2.11*) ta có: d (2) i = c k4 i − k4−1∑ k=k3 aki = wi(T3)− wi(T4)− pi(T4 − T3) + k4−1∑ k=k3 qki − k4−1∑ k=k3 aki (8) Nhưng từ (3.2.5*), (3.2.11*) và (7) ta nhận thấy rằng: ξki = σ|∆k| 2 (xki + x k+1 i ) ≥ σ|∆k| 2 (xki + ui) = a k i ≥ aki (∀xki ≥ ui, k3 ≤ k ≤ k4). Khi đó từ giả thiết về việc tồn tại ít nhất 1 chỉ số k(i) ∈ {k = k3, ..., k4 − 1}, sao cho ui < x k i ta suy ra: ∑k4−1 k=k3 ξki > ∑k4−1 k=k3 aki . Kết hợp điều này với (8) và (3.2.13*) ta thu được: d (2) i > c k4 i − k4−1∑ k=k3 aki = wi(T3)−wi(T4)−pi(T4−T3)+ k4−1∑ k=k3 qki − k4−1∑ k=k3 ξki = 0.  Để biểu diễn các điều kiện (3.2.8) trong trường hợp các trạng thái wi(T3) (i = 1÷ 3) đã cho, ta đặt (1): ξk := (ξk1 , ξ k 2 , ξ k 3 ) ′ (k = k1 ÷ k4 − 1), (3.2.14) S(3)(ε) := { (ξk1 , ..., ξk3−1) : 3∑ i=1 wi(T4) ≤ c ; ak4i ≤ wi(T4) ≤ ak4i (i = 1÷ 3) } , (3.2.15) ∆(3)(ε) := { (ξk1 , ..., ξk3−1) : 3∑ i=1 ( wi(T4)−aki ) ≤ d ; wi(T4) ≥ ak4i (i = 1÷3) } , (3.2.16) c := 3∑ i=1 wi(ε)− V ; d := c− 3∑ i=1 ak4i , (3.2.17) (1)Dưới đây, ta sẽ ký hiệu chuyển vị của vec tơ hàng (ξk1 , ξ k 2 , ξ k 3 ) là vec tơ cột (ξ k 1 , ξ k 2 , ξ k 3 ) ′ − 44 − ak4i := max { wi(T3) , woi + σ(T − T5) [ ui − qˆ ′ i(max) + σ −1pi ]} , ak4i := min { wi(ε) , woi + σ(T − T5) [ xi − qˆ′i(min) + σ−1pi ]} (i = 3÷ 1). (3.2.18) trong đó: qˆ ′ i(max), qˆ ′ i(min) được xác định từ các công thức (3.1.25), (3.1.25*); còn wi(T3) (i = 1÷ 3) được xác định bởi công thức (3.2.12). Bổ đề 3.2.3. Nếu các trạng thái wi(T3) (i = 1÷ 3) được xác định như trong bổ đề (3.2.2), thì các điều kiện (3.2.8) tương đương với điều kiện (3.2.19) sau đây: (ξk1 , ..., ξk3−1) ∈ S(3)(ε) ⊂ ∆(3)(ε). (3.2.19) Ngoài ra ta còn có d > 0, nếu một trong số các bất đẳng thức ∑3 i=1 wi(T4) ≤ c , ak4i ≤ wi(T4) (i = 1÷ 3) (xác định miền S(3)(ε) trong (3.2.15)) được hiểu theo nghĩa chặt. (2) Chứng minh: Từ chứng minh kết luận 3 của bổ đề (3.1.4) ta đã biết rằng: ui ≤ xˆki ≤ xi (∀k = k5 ÷K) ⇐⇒ Ai ≤ wi(T4) ≤ Bi (i = 3÷ 1), (1) trong đó: Ai := woi + σ(T − T5) [ ui + σ −1pi − qˆ′i(max) ] , Bi := woi + σ(T − T5) [ xi + σ −1pi − qˆ′i(min) ] (i = 3÷ 1), (2) Nhưng, từ (1) ta còn có: ui ≤ xˆki ≤ xi (∀k = k5 ÷K) , wi(T3) ≤ wi(T4) ≤ wi(ε) ⇐⇒ Ai ≤ wi(T4) ≤ Bi , wi(T3) ≤ wi(T4) ≤ wi(ε) ⇐⇒ max { wi(T3), Ai } ≤ wi(T4) ≤ min { wi(ε), Bi } (i = 3÷ 1). Khi đó, do ak4i = max { wi(T3), Ai } , ak4i = min { wi(ε), Bi } (xem (2) và (3.2.18)), nên: ui ≤ xˆki ≤ xi (∀k = k5÷K) , wi(T3) ≤ wi(T4) ≤ wi(ε) ⇐⇒ ak4i ≤ wi(T4) ≤ ak4i (i = 3÷1). Kết hợp điều này với (3.2.15) và (3.2.17) ta suy ra: Các điều kiện (3.2.8) ⇐⇒ (ξk1 , ..., ξk3−1) ∈ S(3)(ε). (3) (2)Thay dấu "≤" bởi dấu " < ". − 45 − Bây giờ ta xét (ξk1 , ..., ξk3−1) ∈ S(3)(ε). Khi đó, do ∑3 i=1 wi(T4) ≤ c ; ak4i ≤ wi(T4) (i = 1÷ 3) (xem (3.2.15)), nên từ (3.2.17) ta có: 3∑ i=1 [wi(T4)− ak4i ] = 3∑ i=1 wi(T4)− 3∑ i=1 ak4i ≤ c− 3∑ i=1 ak4i = d. Nghĩa là (ξk1 , ..., ξk3−1) ∈ ∆(3)(ε) (xem (3.2.16)). Trên cơ sở này ta suy ra: S(3)(ε) ⊂ ∆(3)(ε). Khi kết hợp điều này với (3) ta thu được (3.2.19). Cuối cùng, để xét một trong các trường hợp có thể của giả thiết nêu trong bổ đề là trường hợp: ∑3 i=1 wi(T4) < c. Khi đó, từ (3.2.17) ta có: d = c− 3∑ i=1 ak4i > 3∑ i=1 wi(T4)− 3∑ i=1 ak4i . Do đó, từ (3.2.15) ta thu được : d > ∑3 i=1 wi(T4)− ∑3 i=1 wi(T4) = 0.  Chú ý 3.2.3. Dựa vào các bổ đề (3.2.1) - (3.2.3), ta có thể phát biểu các điều kiện ε-chấp nhận được (3.1.17) - (3.1.21) trong dạng tương đương (3.2.20) - (3.2.24) (theo các biến điều khiển ξki (k = k1 ÷ k4 − 1 , i = 1÷ 3) dưới đây: ak−1i ≤ ξk−1i ≤ ak−1i , bki ≤ k−1∑ j=k1 ξji ≤ cki (k = k1 + 1÷ k3 , i = 3÷ 1), (3.2.20) 3∑ i=1 wi(T4) ≤ c ; ak4i ≤ wi(T4) ≤ ak4i (i = 1÷ 3), (3.2.21)ak−1i ≤ ξk−1i ≤ ak−1i , bki ≤ ∑k−1 j=k3 ξji ≤ cki , (k = k3 + 1÷ k4 − 1 , ak4−1i ≤ ξk4−1i ≤ ak4−1i , ∑k4−1 j=k3 ξji = c k4 i (3.2.22) (i = 3÷ 1) N ≤ 24[N (o)(x,w) + N (1)(xˆ) + N (2)(xˆ, w(T4)) + N (3)(xˆ, w(T4))], (3.2.23) 3∑ i=1 [ wi(tk)− wi ]≥ V (ε) (k = k1 + 1÷ k3), (3.2.24) trong đó: N (j) (j = 0÷ 3) tính theo các công thức (3.2.1)-(3.2.3) với xki = xi(tk) (k = k1 ÷ k4) xác định bởi các công thức (3.1.10), (3.1.10*) xˆki = xˆi(tk) (k = 0÷ k1 − 1, k = k4 +1÷K) xác định bởi các công thức (3.1.4)-(3.1.5*); wi(tk) (k = k1 + 1 ÷ k3) xác định bởi (3.2.6*) và wi(tk) (k = k3 + 1 ÷ k4) xác định bởi (3.2.13*). − 46 − Chú ý 3.2.4. Từ bổ đề (3.2.1) ta nhận thấy rằng: Đối với mỗi i = 3 ÷ 1, các biến điều khiển (ξk1i , ..., ξ k3−1 i ) thoả mãn điều kiện (3.2.20) có thể được lựa chọn (xem (3.2.5)) trong đơn hình (k3 − k1)-chiều ∆(1)i (xem (3.2.2)) với đỉnh tại điểm ai = (ak1i , ..., ak3−1i ) và cạnh là d (1) i > 0. Khi đó, bằng việc sử dụng công thức (3.2.6*), ta có thể tạo được khúc quỹ đạo chấp nhận được trong thời gian [T1, T3] tương ứng: woi = wi(tk1) → wi(tk1+1) → ... → wi(tk3) = wi(T3) (i = 3÷ 1). (3.2.25) của hệ động lực (3.1.2). Khúc quỹ đạo này xuất phát từ trạng thái ban đầu wi(T1) = woi (đã cho) và tính "chấp nhận được" của nó hiểu theo nghĩa các biến điều khiển ξki (k = k1 ÷ k3 − 1, i = 1÷ 3) tương ứng thoả mãn điều kiện (3.2.20):ξ k1 1 . . . ξ k3−1 1 ξk12 . . . ξ k3−1 2 ξk13 . . . ξ k3−1 3  = (ξk1 , ..., ξk3−1) ∈ S(1)(ε) := = { (ξk1 , ..., ξk3−1) : (ξk1i , ..., ξ k3−1 i ) ∈ S(1)i (ε) (i = 1÷ 3) } . (3.2.25*) Chú ý 3.2.5. Từ các trạng thái cuối (w1(T3), w2(T3), w3(T3)) của các khúc quỹ đạo nói trên, ta có thể xác định (xem (3.2.17) - (3.2.18)) cạnh d và đỉnh ak4 := (ak41 , a k4 2 , a k4 3 ) của đơn hình 3-chiều: f ( ∆(3)(ε) ) := { (w1(T4), w2(T4), w3(T4)) : 3∑ i=1 ( wi(T4)− aki ) ≤ d ; wi(T4) ≥ ak4i (i = 1÷ 3) } , (3.2.26) trong đó f ( ∆(3)(ε) ) là ảnh của ∆(3)(ε) (xem (3.2.16)) qua phép biến đổi: f = (f1, f2, f3) , fi = ( fk1+1i (woi ; .), ..., f k3 i (woi ; .) ) (i = 1÷ 3) với fki (woi ; .) (k = k1 + 1÷ k3) xác định bởi (3.2.6*)). Khi đó, từ bổ đề (3.2.3) ta nhận thấy rằng: các trạng thái ( w1(T4), w2(T4), w3(T4) ) có thể được lựa chọn trong đơn hình f ( ∆(3)(ε) ) nói trên, để cho điều kiện (3.2.21) được thoả mãn. Nghĩa là:( w1(T4), w2(T4), w3(T4) )∈ f(S(3)(ε)):= = { (w1(T4), w2(T4), w3(T4)) : 3∑ i=1 wi(T4) ≤ c ; ak4i ≤ wi(T4) ≤ ak4i (i = 1÷3) } ⊂ f(∆(3)(ε)) (3.2.26*) − 47 − Trong ngôn ngữ của các phương pháp bắn (shooting method), ta có thể đưa ra các khái niệm dưới đây: Định nghĩa 3.2.1. Điểm ( w1(T3), w2(T3), w3(T3) ) với các toạ độ là các trạng thái cuối của các khúc quỹ đạo chấp nhận được trong thời gian [T1, T3] gọi là điểm bắn. Miền f ( S(3)(ε) ) gọi là vùng bắn. Mỗi cách lựa chọn các trạng thái (w1(T4), w2(T4), w3(T4)) trong miền nói trên gọi là một phương pháp bắn định hướng từ điểm bắn ( w1(T3), w2(T3), w3(T3) ) vào vùng bắn f ( S(3)(ε) ) . Điểm (w1(T4), w2(T4), w3(T4)) được lựa chọn theo phương pháp này gọi là kết quả bắn hay được bắn định hướng từ điểm ( w1(T3), w2(T3), w3(T3) ) . Chú ý 3.2.6. Khi các toạ độ wi(T3) (i = 1÷3) của điểm bắn đã được lựa chọn (theo chú ý (3.2.4)) và khi các kết quả bắn tương ứng wi(T4) đã thu được (theo chú ý (3.2.5)), ta có thể xác định (xem (3.2.11)-(3.2.11*)) cạnh d (2) i và đỉnh ai := (a k3 i , ..., a k4−1 i ) của các mặt đơn hình (k4 − k3)-chiều ∆(2)i (i = 3÷ 1) (xem (3.2.10)). Khi đó, từ bổ đề (3.2.2) ta nhận thấy rằng: Đối với mỗi i = 3÷1, các biến điều khiển (ξk3i , ..., ξ k4−1 i ) thoả mãn điều kiện (3.2.22) có thể được lựa chọn (xem (3.2.13)) trên các mặt đơn hình ∆ (2) i (i = 3÷ 1). Do đó, bằng việc sử dụng công thức (3.2.13*), ta có thể thu được khúc quỹ đạo chấp nhận được trong thời gian [T3, T4] tương ứng: wi(T3) = wi(tk3) → wi(tk3+1) → ... → wi(tk4) = wi(T4) (i = 3÷ 1). (3.2.27) Khúc quỹ đạo này nối trạng thái chấp nhận được wi(T4) với trạng thái chấp nhận được wi(T3), trong đó tính "chấp nhận được" của khúc quỹ đạo (3.2.27) hiểu theo nghĩa các biến điều khiển ξki (k = k3 ÷ k4 − 1, i = 1÷ 3) tương ứng thoả mãn điều kiện (3.2.22):ξ k3 1 . . . ξ k4−1 1 ξk32 . . . ξ k4−1 2 ξk33 . . . ξ k4−1 3  = (ξk3 , ..., ξk4−1) ∈ S(2)(ε) := = { (ξk3 , ..., ξk4−1) : (ξk3i , ..., ξ k4−1 i ) ∈ S(2)i (ε) (i = 1÷ 3) } . (3.2.27*) Dựa vào các chú ý (3.2.4) - (3.2.6) nói trên, ta có thể xét một trường hợp riêng của định nghĩa (3.2.1) là khái niệm "bắn ngẫu nhiên định hướng" sau đây: − 48 − Định nghĩa 3.2.2. Giả sử các toạ độ của điểm bắn ( w1(T3), w1(T3), w1(T3) ) được lựa chọn từ trạng thái cuối của các khúc quỹ đạo (3.2.25) ứng với các biến điều khiển là VTNN (ξk1i , ..., ξ k3−1 i ) ∼ U ( S (1) i (ε) ) , trong đó VTNN này thu được bằng phương pháp loại trừ Von Neuman từ VTNN (ηk1i , ..., η k3−1 i ) ∼ U ( ∆ (1) i ) (phân bố đều trong đơn hình (3.2.2)). Giả sử kết quả bắn là VTNN ( w1(T4), w2(T4), w3(T4) )∼ U(f(S(3)(ε))), trong đó VTNN này thu được bằng phương pháp loại trừ Von Neuman từ VTNN (η1, η2, η3) ∼ U ( f ( ∆(3) )) (phân bố đều trong đơn hình (3.2.26)). Với mỗi i = 3 ÷ 1, khúc quỹ đạo (3.2.27) được thiết lập từ các biến điều khiển là các thành phần của VTNN (ξk3i , ..., ξ k4−1 i ) ∼ U ( S (2) i (ε) ) , trong đó VTNN này thu được bằng phương pháp loại trừ Von Neuman từ VTNN (ηk3i , ..., η k4−1 i ) ∼ U ( ∆ (2) i ) (phân bố đều trên mặt đơn hình (3.2.10)). Khi đó ta có thể ghép các khúc quỹ đạo chấp nhận được (3.2.25) và (3.2.27) thành quỹ đạo chấp nhận được: woi = wi(tT1) → ... → wi(T3) = wi(tk3) → wi(tk3+1) → ... → wi(tk4) = wi(T4) (3.2.28) trong thời gian [T1, T4] của hệ động lực (3.1.2). Ta gọi (3.2.28) là quỹ đạo có trạng thái cuối được bắn ngẫu nhiên định hướng (vào vùng bắn f ( S(3)(ε) ) ). Định nghĩa 3.2.3. Phương pháp (nêu trong định nghĩa (3.2.2)) để thu được bộ các biến điều khiển ξ = ( ξki ) 3×(k4−k1) tương ứng với quỹ đạo chấp nhận được (3.2.28) gọi là phương pháp bắn ngẫu nhiên định hướng. Tính "chấp nhận được" của quỹ đạo nói trên được hiểu theo nghĩa: các biến điều khiển ξki (k = k1÷k4−1, i = 1÷3) tương ứng thoả mãn các điều kiện (3.2.20) - (3.2.22). Cụ thể là (xem (3.2.16), (3.2.25*), (3.2.27*)): ξ := ξ k1 1 . . . ξ k3 1 . . . ξ k4−1 1 ξk12 . . . ξ k3 2 . . . ξ k4−1 2 ξk13 . . . ξ k3 3 . . . ξ k4−1 3  = (ξk1 , ..., ξk4−1) ∈ S(ε) := = ( S(1)(ε) ∩ S(3)(ε) ) ×S(2)(ε) ⊂ R3×(k4−k1). (3.2.28*) Định nghĩa 3.2.4. − 49 − Nếu bộ các biến điều khiển ξ = ( ξki ) 3×(k4−k1)∈ R3×(k4−k1) thu được bằng phương pháp bắn ngẫu nhiên định hướng còn thoả mãn các điều kiện (3.2.23) - (3.2.24), sao cho: ξ ∼ U ( S(ε) ) ; S(ε) := S(ε) ⋂ { ξ : (3.2.23)− (3.2.24) } ⊂ R3×(k4−k1), (3.2.29) (xem [5] tr.157-158), thì bộ các biến điều khiển này sẽ thoả mãn dạng tương đương (3.2.20) - (3.2.24) của các điều kiện ε-chấp nhận được. Khi đó phương pháp lựa chọn các biến điều khiển này sẽ gọi là phương pháp loại trừ Von Neuman từ các đơn hình; Còn miền S(ε) gọi là miền ε- chấp nhận được của bộ các biến điều khiển ξ. Sau khi đã xác định được các biến điều khiển ξki (k = k1 ÷ k4 − 1 , i = 1÷ 3) theo phương pháp nói trên, ta có thể dùng công thức truy hồi (3.1.10) - (3.1.10*) để xác định các tham số điều khiển xki (k = k1 + 1÷ k4 , i = 1÷ 3) và thu được (xem (2.2.27)) bộ tham số điều khiển X tương ứng. Để chỉ ra bộ tham số điều khiển này có tính chất (2.2.41), ta có thể chứng minh kết quả sau đây: Định lý 3.2.1. Nếu hệ động lực (2.2.17) được xấp xỉ bởi (3.1.2) thì tham số điều khiển xki (k = k1÷k4 được xác định theo công thức truy hồi (3.1.10) và (3.1.10*). Khi đó, nếu các tham số điều khiển mới ξki (k = k1 ÷ k4 − 1) được xác định như trong các bổ đề trên, thì các bộ tham số điều khiển X thu được từ công thức truy hồi (3.1.10) và (3.1.10*) là chấp nhận được và thoả mãn điều kiện: P{X ∈ A} > 0 (∀A ⊂Dε : mes(A) > 0). (3.2.30) Chứng minh Từ công thức truy hồi (3.1.10) - (3.1.10*): xk+1i = 2ξki σ|∆k| − x k i (k = k1 ÷ k4 − 1 , i = 3÷ 1). (1) trong đó: xk1i = q3(T1)− σ−1p3 (i = 3)qi(T1)− σ−1pi + xk1i+1 (i = 2÷ 1). Suy ra: ξki = σ|∆k| 2 .(xk+1i + x k i ) (2) − 50 − Gọi g : R3×n → R3×n là hàm cho bởi công thức (2): ξ = g(X) trong đó: ξ = (ξki : i = 1÷ 3, k = k1 ÷ k4 − 1), X ∈ R3×n. Phép biến đổi này có phép biến đổi ngược X = g−1(ξ) được xác định bởi công thức (1) với định thức của ma trận đạo hàm dg−1(ξ) dξ là |dg −1(ξ) dξ | > 0 . Ta có (xem(3.2.28*), (3.2.29)): D1 = {X ∈ R3×n : (3.1.17)− (3.1.19)} S1 = {ξ ∈ R3×k1÷k4−1 : (3.2.20)− (3.2.22)} = g(D1) Dε = {X ∈ D1 : (3.1.20)− (3.1.21)} S(ε) = {ξ ∈ S1 : (3.2.23)− (3.2.24)} = g(Dε) (3) trong đó: S1 là tập hợp các phương án bắn ngẫu nhiên định hướng; S(ε) là miền ε - chấp nhập được của bộ các biến điều khiển ξ. Và ta có: S(ε) ⊂ S1;Dε ⊂ D1 (4) Ta xét một biến ngẫu nhiên ς = (ς(k1 + 1), ..., ς(k4)) là một phương án bắn ngẫu nhiên định hướng. Ta biết rằng: (ςk1i , ..., ς k3−1 i ) ∼ U ( S (1) i (ε) ) (i = 1 ÷ 3) trong đó VTNN này thu được bằng phương pháp loại trừ Von Neuman. Từ VTNN (ηk1i , ..., η k3−1 i ) ∼ U ( ∆ (1) i ) (phân bố đều trong đơn hình (3.2.2)) với hàm mật độ: p (η k1 i ,..,η k3−1 i ) (yk1i , .., y k3−1 i ) = (k3 − k1)! (d (1) i ) k3−k1 > 0 Ngoài ra, khi ký hiệu ξk := (ξk1 , ξ k 2 , ξ k 3 ) (k1 ≤ k < k3) ta nhận thấy: (w˜1, w˜2, w˜3) = f(ξ k1 , ..., ξk3−1) ∼ U(f(S(3)(ε))) thu được từ phương pháp loại trừ Von Neuman. Từ VTNN (w1, w2, w3) = f(η k1 , ..., ηk3−1) ∼ U(f(S(3)(ε))) với hàm mật độ: p(w1,w2,w3)(t1, t2, t3) ≡ 3! d3 > 0 (ςk3i , ..., ς k4−1 i ) ∼ U ( S (2) i (ε) ) , trong đó VTNN này thu được bằng phương pháp loại trừ Von Neuman. − 51 − Từ VTNN (ηk3i , ..., η k4−1 i ) ∼ U ( ∆ (2) i ) (có phân bố đều trên mặt đơn hình (3.2.10)), với hàm mật độ: p (η k3 i ,..,η k4−1 i ) (yk3i , .., y k4−1 i ) = (k4 − k3 − 1)!√ k4 − k3(d(2)i )k4−k3−1 > 0 Do đó, khi xét tập hợp Borel bất kỳ B ⊂ S1, và chú ý đến tính độc lập trong việc tạo các đơn hình, ta nhận thấy hàm mật độ của biến ngẫu nhiên η := ηki (i = 1÷3, k = k1÷k4−1) có dạng: pη(y) = 3∏ i=1 p (η k1 i ,..,η k3−1 i ) (yk1i , .., y k3−1 i )× p(ηk3i ,..,ηk4−1i )(y k3 i , .., y k4−1 i ) × pw1,w2,w3(f(yk1 , .., yk3−1)) ≡ const > 0 P{η ∈ B} = ∫ B pη(y)dy > 0 ∀B ⊂ S1 (6) Nếu gọi ξ ∈ S(ε) là biến ngẫu nhiên thu được từ việc loại trừ các phương án bắn ngẫu nhiên định hướng để thoả mãn các điều kiện (3.2.23) và (3.2.24), thì từ (4) ta có: p{ξ ∈ B} = P{ξ ∈ B | ξ ∈ Sε} = P{ξ ∈ B} P{ξ ∈ Sε} = ∫ B pη(y)dy∫ Sε pη(y)dy (∀B ⊂ S(ε) ⊂ S1.) (7) Với mỗi tập Borel nào đó A ⊂ Dε sao cho mes(A) > 0, từ (3) và (4) suy ra: g(A) ⊂ S(ε). Ngoài ra, mes(A) = ∫ A dX = ∫ g(A) |dg −1(ξ) dξ |dξ Dễ thấy bằng phương pháp phản chứng rằng mes(g(A)) > 0, trên cơ sở này ta sử dụng công thức (6) và (7) với B = g(A) để suy ra: P{ξ ∈ g(A)} = P{ξ ∈ g(A) | ξ ∈ Sε} = P{ξ ∈ g(A)} P{ξ ∈ Sε} = = ∫ g(A) pη(y)dy∫ Sε pη(y)dy > 0 (∀A ⊂ Dε : mes(A) > 0) (8) Mặt khác do A ⊂ Dε và g(A) ⊂ S(ε) nên từ (3) ta có: P{X ∈ A} = P{ξ ∈ g(A)} (∀A ⊂ Dε) Kết hợp điều này với (8) ta thu được sự thoả mãn điều kiện (3.2.30)  − 52 − Với những cơ sở toán học đã trình bày ở trên, ta đưa ra thuật toán bắn ngẫu nhiên định hướng để giải bài toán QTVHHLKT của hệ thống thuỷ điện 3 bậc thang trên sông Đà. Thuật toán (3.2.1): Bước 0: (Khởi tạo) 1- Với mỗi i = 1÷ 3, tính các tích phân Iki := qki = σ ∫ tk+1 tk qi(t)dt (k = k1 ÷ k4 − 1). 2- Với mỗi i = 1÷ 3, tính: aki (k = k1 ÷ k3 − 1) theo (3.2.3*), aki (k = k3 ÷ k4 − 1) theo (3.2.11*). 3- Xác định các tham số σ = 10−6; pi (i = 1÷ 3) theo (3.1.1). 4- Chọn đơn vị tính thời gian là ngày; |∆k| = |∆| = 5 (k = 0÷K − 1). Xác định phân hoạch {tk}Kk=0, trong đó các mốc thời gian tk (k = 0 ÷ K) là ngày thứ tk (luc 12 giờ) trong chu kỳ điều tiết năm (T= 365 ngày). 5- Gán các gía trị tham số (TS): xki , x k i (i = 1÷ 3, k = k1 + 1÷ k3) theo các công thức (3.1.16), (3.1.16*). 6- Dựa vào các bảng số liệu {(wki , hki )}Kik=1 (i = 1 ÷ 3) trong [4] (tr. 149-156), lập các modun tính hàm hi = hi(wi) trong dạng (2.1.18). 7- Dựa vào các bảng số liệu {(wki , hki )}Kik=1 (i = 1 ÷ 3) trong [4] (tr. 149-156), lập các modun tính hàm ngược wi = Wi(hi) của hàm hi = hi(wi) theo công thức (2.1.18*) 8- Dựa vào các tham số hoi, hi, hi cho trong [4] (tr. 49-50), tính theo công thức (2.1.18*) các tham số tương ứng woi = wi(hoi) , wi = wi(hi) , wi = wi(hi). 9- Dựa vào bảng 1, lập modun tính hàm p(t) (0 ≤ t ≤ T ) dưới dạng (2.1.2). Sử dụng nó để lập bảng giá trị {p(n)}365n=1 của hàm này 10- Xác định các tham số wi(ε), wi(ε) (i = 1÷ 3), V (ε) theo (2.2.37), trong đó các hằng số a, ai (i = 1÷ 3) xác định theo (2.2.28), (2.2.29).(3) 11- Tính các điều khiển tổng hợp xˆki = xˆi(tk) (k = 0÷ (k1 − 1)) và điều khiển ban đầu xˆoi := xˆi(0) (i = 3÷ 1) theo (3.1.4) và (3.1.5*). Bước A: (Tạo các khúc quỹ đạo chấp nhận được trong thời gian [T1, T3]) I- Dựa vào các kết quả Ik3 , a k 3 (bước trên), 1- Tính: bk3, c k 3 (k = k1 + 1÷ k3) và d(1)3 theo (3.2.3), trong đó (xem (3.2.4)) qk3 = Ik3 . 2- Tạo trong đơn hình∆ (1) 3 (với đỉnh (a k1 3 , ..., a k3−1 3 ) và độ dài cạnh d (1) 3 ) vtnn (ξ k1 3 , ..., ξ k3−1 3 ) ∼ U ( ∆ (1) 3 ) . 3- Dựa vào các kết quả ξk3 (trong bước trên) tính: x k+1 3 (k = k1 ÷ k3 − 1) theo các công thức truy hồi (3.1.10)-(3.1.10*). 4- Dựa vào các kết quả xk3 (trong bước trên) tính: a k 3 , a k 3 (k = k1÷k3−1) theo (3.2.3*). 5- Dựa vào các kết quả ak3 , a k 3 (trong bước trên) và b k 3, c k 3 (bước A.I.1), kiểm tra các bất đẳng thức trong (3.2.1) (∀k = k1 + 1÷ k3): (3)Có thể bỏ qua bước này nếu ε ≈ 0, khi đó chọn: wi(ε) ≈ wi , wi(ε) ≈ wi (i = 1÷ 3) , V (ε) ≈ V . − 53 − - Nếu sai: Quay về bước A.I.2 , - Nếu đúng: Chuyển xuống bước sau. II- Dựa vào các kết quả Ik2 , a k 2 (bước 0) và ξ k 3 (bước A.I.2), 1- Tính: bk2, c k 2 (k = k1 +1÷ k3) và d(1)2 theo (3.2.3), trong đó (xem (3.2.4)) qk2 = Ik2 + ξk3 . 2- Tạo trong đơn hình∆ (1) 2 (với đỉnh (a k1 2 , ..., a k3−1 2 ) và độ dài cạnh d (1) 2 ) VTNN (ξ k1 2 , ..., ξ k3−1 2 ) ∼ U ( ∆ (1) 2 ) . 3- Dựa vào các kết quả ξk2 (trong bước trên) tính: x k+1 2 (k = k1 ÷ k3 − 1) theo các công thức truy hồi (3.1.10)-(3.1.10*). 4- Dựa vào các kết quả xk2 (trong bước trên) tính: a k 2 , a k 2 (k = k1÷k3−1) theo (3.2.3*). 5- Dựa vào các kết quả ak2 , a k 2 (trong bước trên) và b k 2, c k 2 (bước A.II.1), kiểm tra các bất đẳng thức trong (3.2.1) (∀k = k1 + 1÷ k3): - Nếu sai: Quay về bước A.I.2 , - Nếu đúng: Chuyển xuống bước sau. III- Dựa vào các kết quả Ik1 , a k 1 (bước 0) và ξ k 2 (bước A.II.2), 1- Tính: bk1, c k 1 (k = k1 +1÷ k3) và d(1)1 theo (3.2.3), trong đó (xem (3.2.4)) qk1 = Ik1 + ξk2 . 2- Tạo trong đơn hình∆ (1) 1 (với đỉnh (a k1 1 , ..., a k3−1 1 ) và độ dài cạnh d (1) 1 ) VTNN (ξ k1 1 , ..., ξ k3−1 1 ) ∼ U ( ∆ (1) 1 ) . 3- Dựa vào các kết quả ξk1 (trong bước trên) tính: x k+1 1 (k = k1 ÷ k3 − 1) theo các công thức truy hồi (3.1.10)-(3.1.10*). 4- Dựa vào các kết quả xk1 (trong bước trên) tính: a k 1 , a k 1 (k = k1÷k3−1) theo (3.2.3*). 5- Dựa vào các kết quả ak1 , a k 1 (trong bước trên) và b k 1, c k 1 (bước A.III.1), kiểm tra các bất đẳng thức trong (3.2.1) (∀k = k1 + 1÷ k3): - Nếu sai: Quay về bước A.I.2 , - Nếu đúng: Chuyển xuống bước sau. IV- Tạo các khúc quỹ đạo trong thời gian [T1, T3]: 1- Dựa vào các kết quả qk3 (bước A.I.1), ξ k 3 (bước A.I.2), tính w3(tk) (k = k1 + 1 ÷ k3) theo công thức truy hồi (xem (3.2.6*)): w3(tk+1) = w3(tk)− p3|∆k|+ qk3 − ξk3 (k = k1 ÷ k3 − 1) , w3(tk1) = wo3. 2- Dựa vào các kết quả qk2 (bước A.II.1), ξ k 2 (bước A.II.2), tính w2(tk) (k = k1 + 1÷ k3) theo công thức truy hồi (xem (3.2.6*)): w2(tk+1) = w2(tk)− p2|∆k|+ qk2 − ξk2 (k = k1 ÷ k3 − 1) , w2(tk1) = wo2. 3- Dựa vào các kết quả qk1 (bước A.III.1), ξ k 1 (bước A.III.2), tính w1(tk) (k = k1 +1÷k3) theo công thức truy hồi (xem (3.2.6*)): w1(tk+1) = w1(tk)− p1|∆k|+ qk1 − ξk1 (k = k1 ÷ k3 − 1) , w1(tk1) = wo1. − 54 − Bước B: (Bắn ngẫu nhiên định hướng) I- Dựa vào các kết quả w3(T3) = w3(tk3) (bước A.IV.1), w2(T3) = w2(tk3) (bước A.IV.2), w1(T3) = w1(tk3) (bước A.IV.3), tính: a k4 i , a k4 i (i = 3÷ 1) theo công thức (3.2.18). II- Dựa vào các kết quả ak4i (i = 3÷ 1), tính: c, d theo công thức (3.2.17). III- Dựa vào các kết quả ak4i và d (bước trên), lập dơn hình (3.2.16) và tạo VTNN( w1(T4), w2(T4), w3(T4) )∼ U(∆(3)(ε)). IV- Dựa vào các kết quả wi(T4) (bước trên), a k4 i , a k4 i (bước B.I) và (bước B.II), kiểm tra các bất đẳng thức trong (3.2.15): - Nếu sai: Quay lại bước A.I.2 , - Nếu đúng: Chuyển xuống bước sau. Bước C: (Tạo các khúc quỹ đạo chấp nhận được trong thời gian [T3, T4]) I- Dựa vào các kết quả Ik3 , a k 3 (bước 0), w3(T3) (bước A.IV.1), w3(T4) (bước B.III), 1- Tính: bk3 (k = k3 + 1 ÷ k4 − 1), ck3 (k = k3 + 1 ÷ k4) và d(2)3 theo (3.2.11), trong đó (xem (3.2.4)) qk3 = I k 3 . 2- Tạo trên mặt đơn hình ∆ (2) 3 (với đỉnh (a k3 3 , ..., a k4−1 3 ) và độ dài cạnh d (2) 3 ) VTNN (ξk33 , ..., ξ k4−1 3 ) ∼ U ( ∆ (2) 3 ) . 3- Dựa vào các kết quả ξk3 (trong bước trên) tính: x k+1 3 (k = k3 ÷ k4 − 1) theo các công thức truy hồi (3.1.10)-(3.1.10*). 4- Dựa vào các kết quả xk3 (trong bước trên) tính: a k 3 , a k 3 (k = k3÷k4−1) theo (3.2.11*). 5- Dựa vào các kết quả ak3 , a k 3 (trong bước trên) và b k 3, c k 3 (bước C.I.1), kiểm tra các bất đẳng thức trong (3.2.9) (∀k = k3 + 1÷ k4 − 1): - Nếu sai: Quay về bước A.I.2 , - Nếu đúng: Chuyển xuống bước sau. II- Dựa vào các kết quả Ik2 , a k 2 (bước 0), w2(T3) (bước A.IV.2), w2(T4) (bước B.III) và ξk3 (bước C.I.2), 1- Tính: bk2 (k = k3 + 1 ÷ k4 − 1), ck2 (k = k3 + 1 ÷ k4) và d(2)2 theo (3.2.11), trong đó (xem (3.2.4)) qk2 = I k 2 + ξ k 3 . 2- Tạo trên mặt đơn hình ∆ (2) 2 (với đỉnh (a k3 2 , ..., a k4−1 2 ) và độ dài cạnh d (2) 2 ) vtnn (ξk32 , ..., ξ k4−1 2 ) ∼ U ( ∆ (2) 2 ) . 3- Dựa vào các kết quả ξk2 (trong bước trên) tính: x k+1 2 (k = k3 ÷ k4 − 1) theo các công thức truy hồi (3.1.10)-(3.1.10*). 4- Dựa vào các kết quả xk2 (trong bước trên) tính: a k 2 , a k 2 (k = k3÷k4−1) theo (3.2.11*). 5- Dựa vào các kết quả ak2 , a k 2 (trong bước trên) và b k 2, c k 2 (bước C.II.1), kiểm tra các bất đẳng thức trong (3.2.9) (∀k = k3 + 1÷ k4 − 1): - Nếu sai: Quay về bước A.I.2 , - Nếu đúng: Chuyển xuống bước sau. III- Dựa vào các kết quả Ik1 , a k 1 (bước 0), w1(T3) (bước A.IV.3), w1(T4) (bước B.III) và − 55 − ξk2 (bước C.II.2), 1- Tính: bk1 (k = k3 + 1 ÷ k4 − 1), ck1 (k = k3 + 1 ÷ k4) và d(2)1 theo (3.2.11), trong đó (xem (3.2.4)) qk1 = I k 1 + ξ k 2 . 2- Tạo trên mặt đơn hình ∆ (2) 1 (với đỉnh (a k3 1 , ..., a k4−1 1 ) và độ dài cạnh d (2) 1 ) vtnn (ξk31 , ..., ξ k4−1 1 ) ∼ U ( ∆ (2) 1 ) . 3- Dựa vào các kết quả ξk1 (trong bước trên) tính: x k+1 1 (k = k3 ÷ k4 − 1) theo các công thức truy hồi (3.1.10)-(3.1.10*). 4- Dựa vào các kết quả xk1 (trong bước trên) tính: a k 1 , a k 1 (k = k3÷k4−1) theo (3.2.11*). 5- Dựa vào các kết quả ak1 , a k 1 (trong bước trên) và b k 1, c k 1 (bước C.III.1), kiểm tra các bất đẳng thức trong (3.2.9) (∀k = k3 + 1÷ k4 − 1): - Nếu sai: Quay về bước A.I.2 , - Nếu đúng: Chuyển xuống bước sau. IV- Tạo các khúc quỹ đạo trong thời gian [T3, T4]: 1- Dựa vào các kết quả qk3 (bước C.I.1), ξ k 3 (bước C.I.2), tính w3(tk) (k = k3 ÷ k4 − 1) theo công thức truy hồi (xem (3.2.13*)): w3(tk+1) = w3(tk)− p3|∆k|+ qk3 − ξk3 (k = k3 ÷ k4 − 1) , w3(tk3) = w3(T3). 2- Dựa vào các kết quả qk2 (bước C.II.1), ξ k 2 (bước C.II.2), tính w2(tk) (k = k3 ÷ k4 − 1) theo công thức truy hồi (xem (3.2.13*)): w2(tk+1) = w2(tk)− p2|∆k|+ qk2 − ξk2 (k = k3 ÷ k4 − 1) , w2(tk3) = w2(T3). 3- Dựa vào các kết quả qk1 (bước C.III.1), ξ k 1 (bước C.III.2), tính w1(tk) (k = k3÷k4−1) theo công thức truy hồi (xem (3.2.13*)): w1(tk+1) = w1(tk)− p1|∆k|+ qk1 − ξk1 (k = k3 ÷ k4 − 1) , w1(tk3) = w1(T3). Bước D: (Kết thúc thuật toán) I - (Kiểm tra sản lượng điện) 1- Dựa vào các kết quả wi(T4) (i = 3 ÷ 1) nói trên, tính - Các điều khiển tổng hợp xki := xˆ k i = xˆi(tk) (k = k4 + 1÷ k5) theo (3.1.4), (3.1.5*). - Các điều khiển tổng hợp xki := xˆ k i = xˆi(tk) (k = k5 + 1÷K) theo (3.1.5), (3.1.5*). 2- Kết hợp các số liệu xki = xˆ k i = xˆi(tk) (k = k4 + 1 ÷K) mới thu được ở bước D.I.1, các số liệu xki := xˆ k i = xˆi(tk) (k = 0 ÷ k1 − 1) (thu được từ bước (0/11) và các số liệu xki = xi(tk) (k = k1 ÷ k4) (thu được từ bước (A) đến bước (C)), tính: - Các lưu lượng nước dùng theo công thức (2.1.1): uˆki := ui(tk) = xˆki (khi xˆki ≤ ui)ui (khi xˆki > ui) (i = 1÷ 3, k = 0÷ k1 − 1, k = k4 + 1÷K) − 56 − uki := ui(tk) = xki (khi xki ≤ ui)ui (khi xki > ui) (i = 1÷ 3, k = k1 ÷ k4). - Các giá trị hàm Zoi(x k i ) (i = 1÷ 3, k = 0÷K) theo (2.1.16). 3- Dựa vào các kết quả Zoi(x k i ) vừa tính và các kết quả bắn wi(tk) (i = 1 ÷ 3) (trong các bước A - C), tính: H (0) ik := H i(x k i , wi−1(tk) (k = k1 ÷ k4, i = 1÷ 3) H (1) ik := H i(xˆ k i , wo,i−1) (k = 0÷ k1 − 1, i = 1÷ 3) H (2) ik := H i(xˆ k i , wi−1(T4)) (k = k4 + 1÷ k5, i = 1÷ 3) H (3) ik := H i ( xˆki ,W ( wi−1(T4); tk )) (k = k5 + 1÷K, i = 1÷ 3) theo các công thức (2.2.13), (2.1.17), trong đó: wi(tk1) = woi và W ( wi−1(T4); tk ) xác định bởi (2.2.11). 4- Dựa vào các kết quả (D.I.2) - (D.I.3) và modun tính hàm (2.1.18) (ở bước 0), tính tại các điểm lưới tk giá trị hàm dưới dấu các tích phân (2.2.5) - (2.2.8): H (0) ik := α ( hi(wi(kk))−H(0)ik )β uki (k = k1 ÷ k4, i = 1÷ 3), H (1) ik := α ( hoi −H(1)ik )β uˆki (k = 0÷ k1 − 1, i = 1÷ 3), H (2) ik := α ( hi(wi(T4))−H(2)ik )β uˆki (k = k4 + 1÷ k5, i = 1÷ 3), H (3) ik := α ( hi ( W (wi(T4); tk) )−H(3)ik )βuˆki (k = k5 + 1÷K, i = 1÷ 3) theo công thức (2.2.12) (với α = (196, 4078)−1, β = 1, 1016). 5- Tính gần đúng các tích phân (2.2.5) - (2.2.8) bằng công thức hình thang: N (0) ≡ N (0)(x,w) = 1 2 ∑3 i=1 ∑k4−1 k=k1 |∆k| ( H (0) ik + H (0) i,k+1 ) N (1) ≡ N (1)(xˆ) = 1 2 ∑3 i=1 ∑k1−2 k=0 |∆k| ( H (1) ik + H (1) i,k+1 ) N (2) ≡ N (2)(xˆ, w(T4)) = 1 2 ∑3 i=1 ∑k5−1 k=k4+1 |∆k| ( H (2) ik + H (2) i,k+1 ) N (3) ≡ N (3)(xˆ, w(T4)) = 1 2 ∑3 i=1 ∑K−1 k=k5+1 |∆k| ( H (3) ik + H (3) i,k+1 ) . 6- Tính sản lượng điện phát: N(u,w) := 24 3∑ j=0 N (j) 7- Kiểm tra bất đẳng thức (3.1.20): N ≤ N(u,w). - Nếu sai: Quay lại đầu bước A.I.2 − 57 − - Nếu đúng: Chuyển xuống bước sau. II - (Kiểm tra dung tích phòng hạn) 1- Dựa vào các kết quả bắn wi(tk) (i = 1÷ 3) thu được ở bước A, tính: V (min) := min k1+1≤k≤k3 { V k } ; V k := 3∑ i=1 [ wi(tk)− wi ] (k = k1 + 1÷ k3). 2- Kiểm tra bất đẳng thức: V (min) ≥ V (ε). (4) - Nếu sai: Quay lại đầu bước A.I.2. - Nếu đúng: Chuyển xuống bước sau. III - Giải hệ phương trình vi phân 1- Dựa vào các dãy số liệu {xki }Kk=0 thu được ở các bước trên, lập các bảng {xi(n)}365n=1 giá trị hàm xi(t) (0 ≤ t ≤ T, i = 1÷ 3) (về điều tiết nước các hồ chứa) trong dạng thác triển của hàm tuyến tính từng khúc (2.2.26), nghĩa là: xi(n) = 365∑ n=1 1∆k(n) [ xki + n− tk |∆| ( xk+1i − xki )] (n = 1÷ 365 , i = 1÷ 3). 2- Dựa trên các bảng giá trị {p(n)}365n=1 (bước (0)), {xi(n)}365n=1 (vừa thu được) và các bảng giá trị {qi(n)}365n=1 (thu được từ VSAM-1) của các hàm qi(t) (0 ≤ t ≤ T ), giải hệ phương trình vi phân (2.1.21) để thu được bảng các giá trị {wi(n)}365n=1 (i = 1 ÷ 3) của các nghiệm wi(t) (0 ≤ t ≤ T, i = 1÷ 3). IV - Kết thúc thuật toán 1- Xác định quy trình nước dùng: - Với mỗi i = 1 ÷ 3, sắp xếp các kết quả ui(tk) (thu được trong các công thức (2.1.1) của bước D.I.2) theo trình tự k = 0÷K và in bộ kết quả này. - Với mỗi i = 1÷ 3, vẽ đường gấp khúc đi qua các điểm (tk, ui(tk)) (k = 0÷K). 2- Xác định quy trình nước xả: - Dựa vào các dãy số liệu {ui(tk)}Kk=0, vừa thu được và {xki }Kk=0 vừa thu được, lập các dãy số liệu tương ứng {vi(tk)}Kk=0 theo công thức (xem (2.1.1)): vi(tk) = x k i − ui(tk) (k = 0÷K, i = 1÷ 3) và in bộ kết quả này. - Với mỗi i = 1÷ 3, vẽ đường gấp khúc đi qua các điểm (tk, vi(tk)) (k = 0÷K). 3- Xác định cao trình nước hồ: -Dựa vào các dãy số liệu {wi(n)}365n=1 (i = 1 ÷ 3) về thể tích nước hồ thu được trong bước trên, sử dụng modun trong bước 0 tính các dãy cao trình tương ứng { hi(n) := hi ( wi(n) )}365 n=1 (i = 1÷ 3) và in bộ kết quả này. (4)Nếu không cho tham số V trong bài toán ban đầu, thì có thể bỏ qua bước này. − 58 − - Với mỗi i = 1÷ 3, vẽ đường cong đi qua các điểm ( n, hi(n) ) (n = 1÷ 365). 4- Xác định sản lượng điện, phân bổ dung tích phòng lũ-hạn: - In kết quả N(u,w) (trong bước (D). - Dựa vào kết quả bắn ( w1(T4), w2(T4), w3(T4) ) (bước (k4/1)), tính tổng dung tích phòng lũ V (pl) theo công thức (xem (2.1.23), (2.1.26)): V (pl) = 3∑ i=1 [wi − wi(T4)] và in kết quả này cùng với phân bổ dung tích phòng lũ cho từng hồ: Vi(pl) := wi − wi(T4) (i = 1÷ 3). - In kết quả V (ph) := V (min) (trong bước D.II.1) về tổng dung tích phòng hạn. 5- Dừng máy ! − 59 − Kết luận Nhằm cải tiến phương pháp bắn ngẫu nhiên Markov [10], trong luận văn này chúng tôi đã xây dựng một thuật toán mới (nêu trong chương 3) với những kết quả sau đây: 1 - Hoàn thiện và cải tiến các bổ đề (3.1.1) - (3.1.4) [10] nhằm thiết lập bài toán để sử dụng phương pháp bắn ngẫu nhiên định hướng. 2 - Xây dựng cơ sở lý thuyết cho phương pháp bắn ngẫu nhiên định hướng thông qua những kết quả mới trong định lý (3.2.1) với các bổ đề bổ trợ (3.2.1) - (3.1.3). 3 - Trên cơ sở này, hy vọng có thể tiết kiệm số lần bắn ngẫu nhiên và tăng hiệu quả của phương pháp loại trừ Von Neuman thông qua thuật toán (3.2.1). Tuy nhiên, do việc thử nghiệm thuật toán gắn với việc xây dựng một phần mềm ứng dụng có kích cỡ lớn và với thời gian hạn chế trong khuôn khổ một luận văn thạc sỹ nên tôi chưa hoàn thành được và chạy ra kết quả bằng số sau cùng để có những minh hoạ thực tế cho những nhận xét nói trên. Hiện nay, tôi đang tiếp tục hoàn thiện việc soạn thảo phần mềm nói trên bằng ngôn ngữ Mathematica với hy vọng sau khi bảo vệ luận văn có thể hoàn thành được công trình nói trên. Đây cũng là hướng nghiên cứu sau luận văn thạc sỹ của bản thân tôi. − 60 − Tài liệu tham khảo [1] Ban chỉ đạo phòng chống lụt bão TW, "Quyết định về việc phê duyệt quy trình vận hành Hồ chứa Thuỷ điện Hoà Bình", Số 57/BPCLBTW, ngày 12/6/1997, Hà Nội. [2] Hội đồng thẩm định NN dự án TĐSL, Báo cáo thẩm định bổ xung dự án thuỷ điện SL theo những nội dung quốc hội yêu cầu , Hà Nội 26 - 02 - 2002. [3] Hội Ứng dụng Toán học VN, Ứng dụng mô hình toán học phục vụ Công trình Thủy điện Sơn la, Đề tài NCKH, Liên hiệp các Hội KH & Kỹ thuật VN, Hà nội 2002. [4] Hội Ứng dụng toán học Việt Nam, "Mô hình phân bổ dung tích phòng lũ-hạn trong vận hành an toàn, hợp lý hệ thống thuỷ điện 3 bậc thang trên Sông Đà", Đề tài KHCN Liên hiệp hội, Hà Nội 2006. [5] Nguyễn Quý Hỷ, "Phương pháp mô phỏng số Monte-Carlo", NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004. [6] Nguyễn Quý Hỷ, N.V.Hữu, N.H.Quỳnh, P.T.Quát, H.Q.Thuỵ, "Mô hình điều khiển hợp lý nhà máy Thuỷ điện Hoà Bình", Báo cáo đề tài 10A-02-05, Bộ điện lực, Hà Nội 1987. [7] Nguyễn Quý Hỷ, Đặng Ngọc Tùng, Ưng dụng mô hình toán học phục vụ công trình thuỷ điện Sơn la (BC mời Toàn thể ), Tóm tắt BC Hội nghị TQ lần II về ƯDTH, Hà Nội 23-23/12/2005 (44-45). [8] Nguyễn Quý Hỷ, Trần Minh Toàn, Mai Văn Được, Tạp chí ƯDTH, Tập V, số 1, 2007, trang 65 - 101. [9] Nguyễn Quý Hỷ, Trần Thu Thuỷ, Mai Văn Được, Nguyễn Duy Phương, Vũ Tiến Việt, Tạp chí ƯDTH, Tập VI, số 1, 2008, trang 57 - 92. [10] Nguyễn Quý Hỷ, Mai Văn Được, Vũ Tiến Việt, Tạp chí ƯDTH, Tập VI, số 2, 2008, trang 75 - 110. − 61 − [11] N.L.Ninh, P.H.Nhật, N.X.Đặng, V.H.Hoà, "Báo cáo thẩm tra dự án thuỷ điện Sơn La", ĐHXD Hà Nội 2002. [12] Huỳnh Bá Kỹ Thuật, Nguyễn Xuân Đặng, Trịnh Trọng Hàn, . . . , Báo cáo kết quả thẩm định các TL NCKT của BC bổ sung công trình thuỷ điện SL, T. 1, ĐHXD 1 - 2001. [13] A.Bensoussan E.Gerald Hurst, Jr.B. Nauslund, "Management applications of mod- ern control theory", North Holland Publ, CMP Amsterdam-New York 1974. [14] Ju.M. Ermolev, "Các phương pháp quy hoạch ngẫu nhiên" (tiếng nga), Izd.Nauka, Miskva 1978. [15] Ju.M. Ermolev, V.P. Gulenko, T.I Sarenko "Phương pháp sai phân hưux hạn trong các bài toán điều khiển tối ưu" (tiếng nga), Izd.Naukova Dumka, Kiev 1978. [16] W.H.Fleming, R.W.Rishel, "Deterministic and Stocharstic optimal control", Springer-Verlag, Berlin-New York 1975. − 62 −