Đề tài Phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình với phát triển tư duy hàm cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học Đại số và Giải tích

mở đầu 1. Lí do chọn đề tài 1.1. Nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học môn Toán nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành Giáo dục nước ta hiện nay. Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung và phương pháp dạy học. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được chỉ rõ trong các văn bản có tính chất pháp quy của Nhà nước và ngành Giáo dục nước ta. Có thể dẫn ra một vài văn bản đã được ban hành trong những năm qua như sau: - Luật Giáo dục (1998) quy định: “…Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo cho học sinh; phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn…”. - Dự thảo chương trình (1989) môn Toán nêu rõ: “...Góp phần phát triển năng lực trí tuệ, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian, tư duy biện chứng, tư duy hàm…; đồng thời rèn luyện các phẩm chất của tư duy linh hoạt, độc lập, sáng tạo…”. Tuy nhận thức rõ được tầm quan trọng và định hướng đổi mới phương pháp đã được nêu ra ở trên nhưng thực tế dạy học hiện nay vẫn còn chịu ảnh hưởng nhiều của quan niệm và phương pháp dạy học xưa cũ. Nhận định về vấn đề này đã có không ít nhà nghiên cứu đưa ra những ý kiến, đặt ra nhiều vấn đề cho ngành Giáo dục và mỗi giáo viên suy nghĩ, tháo gỡ. Sau đây là một số ý kiến như vậy: - ý kiến của GS. Hoàng Tụy: "Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí nhớ dạy mẹo vặt để giải những bài toán oái ăm, giả tạo; chẳng giúp gì mấy để phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mỏi mệt và chán chường". - ý kiến của GS. Nguyễn Cảnh Toàn: “Kiến thức, tư duy, tính cách con người chính là mục tiêu của giáo dục. Thế nhưng, hiện nay trong nhà trường tư duy và tính cách bị chìm đi trong kiến thức". 1.2. Kiến thức và kỹ năng là hai mặt gắn bó hữu cơ trong mỗi nội dung dạy học. Không thể nói đến vấn đề rèn luyện kỹ năng thực hiện một loại hoạt động nào đó nếu không chú ý trang bị kiến thức về lĩnh vực đó một cách vững chắc. Ngược lại, việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các hoạt động trong mỗi lĩnh vực có tác dụng củng cố và mở rộng kiến thức, giúp cho người học tìm thấy những tác dụng to lớn của kiến thức học được trong việc giải quyết các tình huống trong thực tiễn và trong khoa học. Chủ đề phương trình và bất phương trình có vị trí quan trọng trong chương trình môn Toán THPT. Kiến thức và kỹ năng về chủ đề này có mặt xuyên suốt từ đầu cấp đến cuối cấp. Những kiến thức về phương trình và bất phương trình còn là chìa khoá để giải quyết nhiều vấn đề thuộc hầu hết các chủ đề kiến thức về Đại số, Giải tích và Hình học, đặc biệt là Hình học giải tích. Vì vậy bên cạnh việc giảng dạy các kiến thức lý thuyết về chủ đề phương trình, bất phương trình một cách đầy đủ theo quy định của chương trình, việc rèn luyện kỹ năng giải phương trình và bất phương trình cho học sinh có ý nghĩa quan trọng trong việc nâng cao chất lượng dạy học nhiều nội dung môn Toán ở trường THPT. Kiến thức hàm số có vai trò quan trọng trong toàn bộ chương trình môn Toán phổ thông. Điều này được khẳng định không chỉ ở nước ta mà còn được đề cập đến trong nhiều ý kiến của các nhà khoa học nước ngoài. Ta có thể thấy được điều này qua các ý kiến được trích từ [16] sau đây: - ý kiến của Kơlanh khi khởi xướng phong trào cải cách việc dạy học Toán ở trường phổ thông đầu thế kỷ XX đã đề nghị: Đưa cái mới vào giáo trình toán phổ thông, lấy tư tưởng hàm số và biến hình làm tư tưởng quan trọng nhất. - Kiến nghị của Hội nghị Quốc tế về giáo dục quốc dân họp tại Giơnevơ (tháng 7 năm 1956) gửi các vị Bộ trưởng Giáo dục các nước nêu rõ: Nên xây dựng chương trình sao cho việc dạy Toán dựa trên các cơ sở hàm số ... - ý kiến của GS. Papy tại Hội nghị Quốc tế các nhà toán học họp tại Matxcơva (tháng 8 năm 1966) đề nghị: Chương trình toán Trung học (cấp II và II) phải bao gồm: Tập hợp, Quan hệ, Đồ thị, Nhóm, Không gian vectơ, Các yếu tố của phép tính vi phân và tích phân. ở Việt Nam, chương trình môn Toán trong cải cách giáo dục và các chương trình đổi mới trong những năm gần đây đều chú trọng đến kiến thức hàm số. Trong [24], GS. Nguyễn Bá Kim đã cho rằng "Đảm bảo vị trí trung tâm của khái niệm hàm số" là một trong "những tư tưởng cơ bản" của chương trình môn Toán bậc THPT. Khi phân tích tư tưởng cơ bản này tác giả đã nhấn mạnh: - Nghiên cứu hàm số được coi là nhiệm vụ xuyên suốt chương trình bậc Phổ thông Trung học; - Phần lớn chương trình Đại số và Giải tích dành cho việc trực tiếp nghiên cứu hàm số và công cụ khảo sát hàm số; - Cấp số cộng và cấp số nhân được nghiên cứu như những hàm số đối số tự nhiên; - Lượng giác chủ yếu nghiên cứu những hàm số lượng giác còn phần công thức được giảm nhẹ; Phương trình và bất phương trình được trình bày liên hệ chặt chẽ với hàm số. 1.3. Gắn bó chặt chẽ với tư tưởng hàm số, tư tưởng biến hình, tư tưởng về sự tương ứng đơn trị giữa các tập hợp, các sự vật và hiện tượng là vấn đề tư duy hàm. Những đặc trưng về tư duy hàm được các tác giả Nguyễn Bá Kim, Đinh Nho Chương, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dương Thuỵ, Nguyễn Văn Thường chỉ ra trong [25]. Phát triển tư duy hàm có ý nghĩa quan trọng trong dạy học toán, nó vừa là yêu cầu của việc dạy học môn Toán, vừa là điều kiện để nâng cao chất lượng dạy học nhiều tuyến kiến thức môn Toán. Việc dạy học các kiến thức môn Toán được trình bày theo tư tưởng hàm số có tác dụng tốt trong việc phát triển tư duy hàm cho học sinh đồng thời có thể rèn luyện nhiều kỹ năng giải toán và ứng dụng kiến thức toán cho học sinh trong sự kết hợp phát triển tư duy hàm. 1.4. Có một số công trình nghiên cứu các biện pháp nâng cao chất lượng dạy học nội dung Phương trình, bất phương trình. Nhiều công trình nghiên cứu về phát triển tư duy hàm cho học sinh thông qua dạy học các chủ đề kiến thức cụ thể. Dựa trên những kết quả nghiên cứu đó, chúng tôi tập trung xét vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình cho học sinh trong sự phối hợp hữu cơ với vấn đề phát triển tư duy hàm. Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài của luận văn là: “Phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình với phát triển tư duy hàm cho học sinh THPT trong dạy học Đại số và Giải tích ". 2. Mục đích nghiên cứu Xác định mối quan hệ tương hỗ giữa việc rèn luyện kỹ năng giải phương trình, bất phương trình với việc phát triển tư duy hàm cho học sinh trong dạy học Đại số và Giải tích nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường THPT. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 3.1. Hệ thống hoá các vấn đề lý luận về kỹ năng và quan điểm rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh. 3.2. Hệ thống hoá các kỹ năng giải toán phương trình, bất phương trình cần rèn luyện cho học sinh THPT. 3.3. Hệ thống hoá các thành tố của tư duy hàm và quan điểm phát triển tư duy hàm cho học sinh trong dạy học toán. 3.4. Đề xuất quan điểm rèn luyện các kỹ năng giải toán phương trình, bất phương trình trong sự phối hợp với việc phát triển tư duy hàm cho học sinh THPT thông qua dạy học Đại số và Giải tích. 3.5. Thực nghiệm sư phạm, kiểm tra tính khả thi và hiệu quả áp dụng. 4. Giả thuyết khoa học Trên cơ sở dạy học đúng chương trình quy định, áp dụng các phương pháp dạy học và sử dụng các phương tiện hiện có, nếu trong quá trình dạy học giáo viên quan tâm phối hợp giữa việc rèn luyện kỹ năng giải toán với việc phát triển tư duy hàm cho học sinh thì chất lượng dạy học môn Toán (thể hiện qua khả năng giải toán phương trình, bất phương trình của học sinh) được cải thiện. 5. Phương pháp nghiên cứu 5.1. Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các vấn đề về Tâm lý học, Giáo dục học, Lý luận dạy học, Toán học, Triết học, Thống kê trong giáo dục ... có liên quan đến đề tài. 5.2. Nghiên cứu thực tiễn: Quan sát, Điều tra ... 5.3. Thực nghiệm sư phạm. 6. đóng góp của luận văn 6.1. Hệ thống hoá các vấn đề lý luận liên quan đến đề tài. 6.2. Đề xuất một số quan điểm phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình với phát triển tư duy hàm. 7. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn có 3 chương: Chương 1: Một số vấn đề lý luận liên quan đến đề tài 1.1. Một số đổi mới về nội dung và phương pháp dạy học 1.1.1. Một số đổi mới về nội dung 1.1.2. Đổi mới về phương pháp dạy học 1.2. Kỹ năng và vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh 1.2.1. Khái niệm kỹ năng 1.2.2. Vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh 1.3. Tư duy hàm và vấn đề phát triển tư duy hàm cho học sinh 1.3.1. Tư duy hàm 1.3.2. Vấn đề phát triển tư duy hàm thông qua dạy học phương trình 1.4. Kết luận chương 1 Chương 2: Phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình với phát triển tư duy hàm cho học sinh THPT 2.1. Phân tích nội dung chủ đề Phương trình trong môn Toán THPT 2.1.1. Về chủ đề phương trình, bất phương trình 2.1.2. Các kỹ năng cần rèn cho học sinh khi giải toán phương trình 2.2. Rèn kỹ năng giải toán phương trình dựa vào các tư tưởng chủ đạo của tư duy hàm 2.2.1. Rèn kỹ năng vận dụng các dạng phương trình mẫu 2.2.2. Rèn kỹ năng biến đổi phương trình 2.2.3. Rèn kỹ năng giải phương trình thông qua đánh giá giá trị các biểu thức thành phần 2.2.4. Rèn kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán 2.2.5. Rèn kỹ năng giải phương trình thông qua xét sự biến thiên của hàm số 2.3. Phát triển tư duy hàm cho học sinh thông qua giải toán phương trình 2.3.1. Tìm miền xác định của tương ứng hàm thông qua giải toán phương trình, bất phương trình 2.3.2. Tìm giá trị vào, giá trị ra của một tương ứng thông qua giải toán phương trình 2.3.3. Xét tính chất của tương ứng hàm thông qua giải toán phương trình, bất phương trình 2.3.4. Định hướng sử dụng phương trình, bất phương trình trong quá trình lợi dụng tương ứng hàm để giải quyết vấn đề. 2.4. Kết luận chương 2 Chương 3: Thực nghiệm sư phạm 3.1. Mục đích thực nghiệm 3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm 3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm 3.4. Kết luận chung về thực nghiệm chương 1 Một số vấn đề lý luận liên quan đến đề tài 1.1. Một số đổi mới về nội dung và phương pháp dạy học 1.1.1. Một số đổi mới về nội dung Chương trình sách giáo khoa (SGK) mới hiện nay đã có những thay đổi về nội dung và cách trình bày như: - Đưa thêm vào một số nội dung Toán học cho hoàn chỉnh chương trình THPT, như Số phức, Thống kê, Tổ hợp, Xác suất… Sắp xếp nội dung chương trình theo hệ thống để dễ dạy, dễ học hơn như phần toạ độ trong mặt phẳng ở chương trình lớp 12 được đưa vào cuối lớp 10 giảm nhẹ phần các đường cônic. Đồng thời nhấn mạnh liên hệ giữa các phần khác nhau của chương trình Toán ở các cấp, các lớp, giữa các môn học. Chẳng hạn đưa phần Đạo hàm xuống lớp 11 để giúp kịp thời cho dạy và học môn Vật lý ở đầu lớp 12. - Cách viết SGK như từ trước đến nay còn mang tính hàn lâm: Thông báo kiến thức, trình bày các vấn đề quá lôgíc chặt chẽ; đưa ra nhiều các bài toán khó nên còn thiếu tính sư phạm. SGK chưa thể hiện được phương pháp dạy học tích cực. Theo cách viết SGK và cách giảng dạy cũ, SGK chỉ đơn thuần là một tài liệu khoa học dùng cho giáo viên, nội dung các tiết dạy thường được viết cô đọng, đầu tiên là nêu định nghĩa của một khái niệm mới, sau đó là các tính chất và chứng minh, rồi các định lý và chứng minh, cuối cùng là các ví dụ và các bài toán. Theo định hướng đổi mới, SGK phải trình bày và hướng dẫn như thế nào đó để cho nếu không có thầy giáo, học sinh cũng có thể tự học được, cố nhiên là khó khăn và vất vả hơn. SGK mới nêu nhiều câu hỏi, đề ra nhiều hoạt động tại lớp mà giáo viên có thể thay đổi cho thích hợp để phát huy tính tích cực học tập của học sinh, học sinh được suy nghĩ và hoạt động nhiều hơn. Nhiều câu hỏi đặt ra nhằm giúp học sinh nhớ lại một kiến thức nào đó hoặc để gợi ý, hoặc để định hướng cho những suy nghĩ của họ… Các câu hỏi này nói chung là dễ, vì thế không đưa ra câu trả lời trong SGK. SGK theo tinh thần mới tinh giảm những nội dung phức tạp, giảm bớt những suy luận quá hình thức, quá trừu tượng, giảm nhẹ phần lý thuyết, chủ yếu là giảm nhẹ các chứng minh của các tính chất hoặc định lý. Một số tính chất quá hiển nhiên không nêu ra, các định lý chứng minh quá phức tạp thì chỉ nêu những trường hợp cụ thể để kiểm chứng mà không cần phải chứng minh. SGK theo tinh thần mới tăng cường những nội dung thực tiễn, thiết thực, những điều gần gũi với cuộc sống của học sinh trong trường hợp có thể. Chẳng hạn, trong phần véctơ, có thể đưa thêm những ứng dụng trong Vật lý: Tổng hợp lực, phân tích lực… Ngoài ra, SGK mới còn đưa thêm các phần như: Có thể em chưa biết, em có biết, bài đọc thêm, để nói thêm những chi tiết hay, thú vị gây hứng thú học tập cho học sinh. SGK mới đã chỉ ra các hoạt động tại từng thời điểm để thầy, trò xem xét và giải quyết. Những hoạt động này rất đa dạng, có thể là ôn lại kiến thức cũ, đặt vấn đề cho kiến thức mới, qua các ví dụ cụ thể gợi ý phương pháp giải quyết vấn đề hay bài toán đặt ra, thực hành áp dụng trực tiếp các công thức nêu trong lý thuyết. Cách thức thực hiện các hoạt động này cũng rất đa dạng: Có thể thầy làm hoặc cho học sinh thực hiện, hoặc nêu thành vấn đề để cả lớp cùng thảo luận tìm cách giải quyết. Tóm lại so với sách giáo khoa cũ thì sách giáo khoa lần này không phải thay đổi nhiều về nội dung mà chủ yếu thay đổi cách trình bày để học sinh học tập một cách tích cực hơn. Những sự thay đổi trên của sách giáo khoa hiện nay đã tạo điều kiện để học sinh học tập một cách tích cực hơn, từ đó giáo viên có thể phối hợp rèn luyện kỹ năng với việc phát triển tư duy hàm cho học sinh qua dạy học Toán nói chung và dạy học chủ đề phương trình nói riêng. 1.1.2. Đổi mới phương pháp dạy học Thực tế dạy học Toán lâu nay cho thấy, chúng ta chỉ coi trọng đến mục đích truyền thụ tri thức, thường thì giáo viên đưa ra các định lý, tính chất rồi giải thích cho học sinh thông hiểu chứng minh, vận dụng định lý, tính chất. Phương pháp dạy học được sử dụng phổ biến trong nhà trường là phương pháp thuyết trình tràn lan, thầy truyền đạt kiến thức áp đặt, dưới dạng có sẵn, ít yếu tố tìm tòi phát hiện, trò tiếp thu thụ động. Đa số giáo viên chỉ nghĩ đến việc dạy đúng, dạy đủ, dạy nội dung gì chứ chưa nghĩ đến cách dạy như thế nào? Phần lớn khi giảng dạy họ coi mọi đối tượng học sinh là như nhau nên giảng cùng một nội dung, cùng một phương pháp và tự cho là hoàn thành nhiệm vụ. Ngoài ra kiểu đánh giá và thi cử đã ảnh hưởng rõ rệt tới phương pháp giảng dạy, đánh giá và thi cử như thế nào thì sẽ có lối dạy tương ứng đối phó như thế ấy, dạy và học theo kiểu "Thi gì - học nấy". Về thực trạng này, nhà toán học Nguyễn Cảnh Toàn đã nhận định: “Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy đưa ra kiến thức (khái niệm, định lý) rồi giải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định lý, hiểu chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng các công thức định lý để tính toán, chứng minh…”. GS. Hoàng Tụy phát biểu: “Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải các bài toán oái oăm, giả tạo, chẳng giúp gì mấy đến việc phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi và chán nản …". Tóm lại, với kiểu dạy học như vậy tạo thói quen "Thầy giảng - Trò ghi", thầy truyền thụ kiến thức còn trò thụ động tiếp thu kiến thức, điều thầy nói được coi là tuyệt đối đúng, những gì thầy giảng thường không có sự tranh luận giữa thầy và trò, không có sự phản hồi, thông tin ngược từ phía học sinh trong bài giảng. Kiểu giảng dạy "một chiều" như vậy làm giảm hiệu suất tiếp thu kiến thức cũng như hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo của học sinh; không kiểm soát được việc học. Do đó việc đổi mới phương pháp dạy học được xác định là một trong những nội dung chủ yếu trong đổi mới giáo dục ở nước ta hiện nay. Quan điểm đổi mới phương pháp dạy học bao gồm sự đổi mới trên các phương diện: cách dạy, cách học, cách tổ chức và cách kiểm tra đánh giá. Cốt lõi của đổi mới dạy và học là hướng tới hoạt động học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động. Chuyển từ dạy học lấy giáo viên làm trung tâm sang dạy học lấy học sinh làm trung tâm, làm cho học sinh suy nghĩ nhiều hơn, hoạt động nhiều hơn trong một tiết học. Thay vì lối dạy truyền thống truyền thụ một chiều, thuyết trình, giảng giải các kiến thức sẵn có, giáo viên cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, tự học, kỹ năng vận dụng vào thực tiễn, phù hợp với đặc điểm từng học sinh; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, tạo được sự hứng thú học tập cho học sinh, tận dụng được công nghệ mới nhất áp dụng trong dạy và học. Dạy học theo quan điểm mới giáo viên không chỉ đơn giản cung cấp kiến thức mà còn phải thiết kế, tổ chức, hướng dẫn học sinh hoạt động để học sinh tích cực tham gia vào các hoạt động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ đạo. Từ đó tự lực khám phá kiến thức mình chưa biết chứ không phải tiếp thu thụ động những kiến thức sẵn có. Giáo viên cần cài đặt những tình huống thực tế để học sinh trực tiếp quan sát, làm thí nghiệm, thảo luận, giải quyết theo cách riêng của bản thân, từ đó học sinh lĩnh hội được kiến thức mới. Như vậy, chức năng và vai trò của giáo dục ngày nay đã được "chuyển sang vai trò nhà tổ chức giáo dục", phương pháp dạy học mới đã chú trọng đến việc phát huy tối đa tính tích cực, độc lập của học sinh, đề cao phương pháp tự học, "chuyển quá trình giáo dục sang quá trình tự giáo dục". Xóa bỏ cách học cũ không kích thích được học sinh suy nghĩ, tìm tòi, rèn luyện trí thông minh, chuyển đổi chức năng từ thông báo, tái hiện sang tìm tòi. "Để phát huy tối đa tính tích cực học tập của học sinh, tốt nhất là tổ chức tốt những tình huống có vấn đề, đòi hỏi dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa những ý kiến trái ngược" (Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên 2006). Đổi mới phương pháp dạy học không chỉ đổi mới cách dạy, cách học, cách tổ chức hoạt động mà còn đổi mới cả cách kiểm tra đánh giá. Nội dung kiểm tra, đánh giá phải toàn diện, bao gồm cả kiến thức, kỹ năng và phương pháp có trong chương trình học, khắc phục tình trạng "học tủ" đối phó với thi cử, ra đề kiểm tra nặng về tính toán, mẹo vặt như trước đây. Việc đổi mới phương pháp dạy học dựa trên những thành tựu của Tâm lý học hiện đại, Lý luận dạy học cho rằng, nhân cách của học sinh được hình thành và phát triển thông qua các hoạt động chủ động, có ý thức. Do đó để đạt được mục đích dạy học thì cần phải đặt học sinh vào vị trí của chủ thể hoạt động trong quá trình dạy học, thông qua hoạt động tích cực của bản thân mà nắm được kiến thức mới, kỹ năng mới đồng thời nắm được phương pháp "làm ra" những kiến thức, kỹ năng đó, không theo những khuôn mẫu có sẵn, bộc lộ và phát huy tiềm năng sáng tạo. Qua hoạt động học sinh không những chiếm lĩnh được kiến thức mới mà còn hình thành và phát triển năng lực. Tuy nhiên, cần phải nói thêm rằng đổi mới phương pháp dạy học không có nghĩa là gạt bỏ, phủ nhận hoàn toàn các phương pháp truyền thống mà cần kế thừa, phát triển các mặt tích cực của hệ thống phương pháp dạy học quen thuộc, đồng thời cần học hỏi, vận dụng một số phương pháp mới, theo quan điểm đổi mới phù hợp với điều kiện dạy và học ở từng vùng, từng miền ở nước ta. 1.2. Kỹ năng và vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh 1.2.1. Khái niệm kỹ năng Theo Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học sư phạm thì: “Kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…) để giải quyết một nhiệm vụ mới” [19, tr.131]. Còn Tâm lý học đại cương cho rằng: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ liệu, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định”[31, tr.149]. Theo từ điển Tiếng Việt khẳng định: "Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế"[44, tr. 426]. Tóm lại, kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức vào giải quyết nhiệm vụ mới. Trong thực tế dạy học, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp...) vào giải quyết các bài tập cụ thể. Học sinh thường khó tách ra những chi tiết thứ yếu, không bản chất ra khỏi đối tượng nhận thức, không phát hiện những thuộc tính, mối quan hệ vốn có giữa kiến thức và đối tượng. Sở dĩ như vậy là do kiến thức không chắc chắn, khái niệm trở nên chết cứng, không gắn liền cơ sở của kỹ năng. Một sự vật có thể có nhiều thuộc tính bản chất khác nhau, những thuộc tính bản chất về các mặt phù hợp với những hoạt động, mục đích nhất định. Do đó cần lựa chọn những thuộc tính phù hợp với mục tiêu đặt ra trước hành động, để hành động biến đổi đối tượng đạt mục tiêu (tất nhiên mục tiêu đặt ra thu được thông tin mới). Sự dễ dàng hay khó khăn khi vận dụng kiến thức (hình thành kỹ năng) tùy thuộc vào khả năng nhận dạng kiểu bài toán, phát hiện, nhìn thấy trong các dữ liệu đã cho của bài toán, có những thuộc tính và những quan hệ là bản chất để thực hiện giải bài toán đã cho. Theo các nhà Tâm lý học sự hình thành kỹ năng chịu ảnh hưởng của các yếu tố sau: Nội dung của bài toán đặt ra, được tách ra một cách rõ ràng hay che đậy quan hệ bản chất của bài toán bởi các dữ liệu xuất phát, làm lệch hướng tư duy. Ví dụ 1: Giải phương trình: Mới nhìn dễ gây cho học sinh tâm lý hoảng sợ vì nghĩ là phương trình vô tỉ lượng giác nhưng chịu khó suy nghĩ, xem xét các biểu thức dưới dấu căn, xét thấy các biểu thức dưới căn là các bình phương đúng: Như vậy, tính chất vô tỉ trong bài toán chỉ là cái áo ngụy trang, bởi vì , phương trình đã cho có dạng: . Việc lột bỏ hình thức bề ngoài của bài toán, phát hiện ra mối quan hệ bản chất ẩn chứa trong bài toán, giúp học sinh xác định đúng bản chất của bài toán. Để phát hiện ra mối quan hệ bản chất chứa trong bài toán, học sinh chỉ nhìn thấy, phân tích những yếu tố riêng biệt của bài toán mà cần thâu tóm toàn bộ những yếu tố có mặt trong bài toán. Ví dụ 2: Giải phương trình: Cần phải quan sát, phân tích tất cả các số hạng có mặt trong phương trình, từ đó mới phát hiện được mối quan hệ bản chất có mặt trong bài toán đó là: Khả năng khái quát, mở rộng ảnh hưởng không nhỏ đến việc hình thành kỹ năng. Tâm lý và thói quen tâm lý cũng là một yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng. Khi học sinh hăng say, hứng thú trong học tập sẽ giúp họ dễ dàng hình thành kỹ năng, còn ngược lại sẽ cản trở việc học tập. Thói quen tâm lý là một trở ngại thường gặp trong học tập. Nguyên nhân chủ yếu hình thành thói quen tâm lý đó là tư duy của con người có tính phương hướng. Một loại kiến thức hoặc phương pháp cũ nào đó dùng nhiều lần, ấn tượng sâu làm cho học sinh không bứt ra khỏi sự ràng buộc của thói quen tư duy cũ để mở ra một hướng suy nghĩ mới. Ngoài ra, một nguyên nhân nữa hình thành thói quen tâm lý đó là nhận thức chỉ dừng lại ở bề mặt, không quan sát phân tích đặc điểm của từng bài toán cụ thể. Ví dụ 3: Giải phương trình: Nếu chỉ quan sát trên bề mặt thông thường học sinh sẽ chỉ nghĩ đến việc khai triển rồi đơn giản đưa ra phương trình bậc hai: và tìm nghiệm theo công thức quen thuộc rất cồng kềnh, phức tạp: . . . Tuy nhiên, nếu chú ý quan sát, phân tích đặc điểm bài toán thấy giữa các hệ số hình thành tỉ lệ, thực hiện biến đổi đơn giản các hệ số đưa phương trình về dạng: : Như vậy, thói quen tâm lý là một thứ tiêu cực, làm cho tư duy trở nên cứng nhắc, bảo thủ và cản trở quá trình học tập của học sinh. 1.2.2. Vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh Trong các mục đích riêng của môn Toán ở trường phổ thông thì việc truyền thụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốn thực hiện được phải dựa trên mục đích này. Và kiến thức về một mặt nào đó sẽ không được củng cố, mở rộng, vận dụng vào thực tiễn cũng như vào các ngành khoa học khác, nếu không chú trọng việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các hoạt động tương ứng. Việc rèn luyện kỹ năng hoạt động nói chung, kỹ năng toán học nói riêng là một yêu cầu quan trọng, đảm bảo mối liên hệ giữa học với hành, điều này đã được nhiều tác giả đề cập như: “ Suy nghĩ tức là hành động” ( J. Piaget) “ Cách tốt nhất để tìm hiểu là làm” ( Kant) “ Học để hành, học và hành phải đi đôi” ( Hồ Chí Minh) Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng khái niệm, định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng hay vận dụng không thành thạo vào việc giải bài tập. Dạy toán là dạy kiến thức, kỹ năng tư duy và tính cách cho học sinh ( Nguyễn Cảnh Toàn). Việc hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là một trong những yêu cầu cơ bản và cần thiết của hoạt động dạy toán, giúp học sinh hiểu sâu sắc kiến thức toán trong trường phổ thông, đồng thời rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy, các hoạt động trí tuệ. Từ đó, bồi dưỡng các phẩm chất trí tuệ, phát triển năng lực giải toán cho học sinh. Sự hình thành kỹ năng đó là sự nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hành động cụ thể. Có thể dạy cho học sinh kỹ năng bằng những con đường khác nhau như: Con đường thứ nhất: Sau khi cung cấp, truyền thụ cho học sinh vốn tri thức cần thiết thì yêu cầu học sinh vận dụng tri thức đó để giải các bài toán liên quan theo mức độ tăng dần. Con đường thứ hai: Dạy những dấu hiệu đặc trưng, từ đó có thể định hướng một số dạng bài toán và các thao tác cần thiết để giải dạng toán đó. Con đường thứ ba: Dạy học sinh các hoạt động tâm lý cần thiết đối với việc vận dụng tri thức. Việc hình thành và rèn luyện cho học sinh cần được tiến hành trên các bình diện khác nhau. - Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ toán, thể hiện rõ dưới dạng giải bài tập toán. - Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác như vật lý, hoá học. - Kỹ năng vận dụng vào đời sống. Có thể nói, bài tập toán chính là ''mảnh đất'' để rèn luyện kỹ năng toán. Do đó, để rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh, giáo viên cần tăng cường hoạt động giải toán (đây cũng chính là hoạt động chủ yếu khi dạy toán). Cụ thể hơn thông qua hoạt động giải toán, rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh cần quan tâm chú trọng những vấn đề sau: * Cần hướng cho học sinh biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng. Nói cách khác, hướng cho học sinh biết cách phân tích đặc điểm bài toán. Ví dụ 1: Giải bất phương trình (1) Nếu giải bài toán này theo phương pháp thông thường, tức dùng biến đổi tương đương, thì sẽ tương đối phức tạp. Ta nhận thấy, tổng các bình phương các căn thức ở vế trái là một số không đổi: Và vế trái của (1) có dạng a1b1 + a2b2 + a3b3 trong bất đẳng thức Bunhiakốpxki. Từ đó, ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Bunhiakốpxki để giải quyết bài toán: Nếu ta xem thì ta có: Tức là (1) luôn đúng. Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho chính là điều kiện cho các căn thức có nghĩa: * Hướng cho học sinh hình thành mô hình khái quát để giải quyết các bài tập, các đối tượng cùng loại. * Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến thức tương ứng. Ngoài ra, còn tạo nhu cầu hướng thú cho học sinh, khắc phục ảnh hưởng tiêu cực của thói quen tâm lý bằng cách rèn luyện ba mặt sau: + Nhìn bài toán dưới nhiều khía cạch khác nhau, từ đó so sánh các cách giải với nhau để hiểu sâu sắc, vận dụng hợp lý kiến thức. + Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm của bài toán Ví dụ 2: Giải bất phương trình Nếu để ý mối liên hệ: là một hằng số; làm ta liên hệ tới tích vô hướng. Có thể xem vế trái là tích của hai véc tơ còn vế phải là tích các độ dài của chúng. Với hướng suy nghĩ này, lời giải bài toán khá độc đáo. Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là: Đặt: Từ góc độ hình học để hiểu bất phương trình thì vấn đề trở nên rõ ràng. Bài toán chuyển về chứng minh . Đây là một bất đẳng thức đúng với tích vô hướng của hai véc tơ. Vậy nghiệm của bất phương trình là những giá trị của x mà bất phương trình có nghĩa tức là: . Như vậy, các cách giải hay, độc đáo đều gắn liền với đặc điểm của từng bài. Do đó cần phải quan sát kỹ và chú ý đầy đủ mới có thể nhìn ra đặc điểm ẩn sâu trong bài toán. + Tích cực suy nghĩ, tìm tòi cách giải ngắn gọn trong khi giải toán. Học sinh không chỉ gặp những bài toán đơn giản, tuân theo phương pháp và các bước làm rõ ràng mà còn gặp khá nhiều bài phức tạp, không có phương pháp sẵn. Đòi hỏi phải suy nghĩ tìm cách giải ngắn gọn, chặt chẽ độc đáo. Ví dụ 3: Giải phương trình: (x2 – 5x + 3)(2x2 + 5x – 1) = (x2 + 5x + 3)(2x2 – 5x -1) Khi gặp bài toán này, thông thường học sinh nhân các số hạng với nhau, sau đó đơn giản rồi giải, như vậy sẽ rất phiền phức. Chăm suy nghĩ, chú ý đến đặc điểm phương trình, các hệ số có mặt ở hai vế phương trình, nghĩ tới cách học cấp phương trình,dùng phương pháp xác định hệ số để giải. Đặt a = x2 - 5x + 3; b = 2x2 + 5x -1. Phương trình trở thành: ab = ( a + 10x)(b – 10x)Rút gọn được: - 100x2 + 10x(b – a) = 0Suy ra : x = 0; b – a = 10x Hoặc cũng có thể đặt a = x2 + 3; b = 2x2 – 1. Không dừng lại ở cách giải này, tiếp tục suy nghĩ, xem xét phân tíchđặc điểm phương trình. Phương trình cho ở dạng tích nên có thể biến đổi thành dạng tỉ lệ: (2) Vậy có thể dùng tính chất tỉ lệ thức để giải phương trình này được không? Với hướng suy nghĩ này, ta có lời giải bài toán khá độc đáo: áp dụng tính chất tỉ lệ thức: được Giải được: Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức toán học thì việc rèn luyện kỹ năng đóng một vai trò hết sức quan trọng, góp phần bồi dưỡng tư duy toán học cho học sinh. 1.3. Tư duy hàm và vấn đề phát triển tư duy hàm cho học sinh 1.3.1. Tư duy hàm Trước hết hãy bàn về thuật ngữ tư duy hàm, tư duy hàm tất nhiên không phải là thuật ngữ toán học, tư duy là một khái niệm Tâm lý còn hàm là một khái niệm toán học, hàm ở đây không có nghĩa là hàm số mà còn có thể là một sự tương ứng giữa các phần tử của hai tập hợp nào đó. Cho đến nay vẫn chưa có một định nghĩa thống nhất, chính thức về tư duy hàm. Theo Koliagin định nghĩa tư duy hàm như sau: Tư duy hàm là một loại hình tư duy đặc trưng bởi việc nhận thức được tiến trình những sự tương ứng riêng và chung giữa các đối tượng toán học hay giữa các tính chất của chúng (kể cả kỹ năng vận dụng chúng) [30]. Còn Trần Thúc Trình và Phạm Đức Quang cho rằng: Tư duy hàm là các hoạt động trí tuệ liên quan đến sự tương ứng giữa các phần tử của một, hai hay nhiều tập hợp, phản ánh mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các phần tử của tập hợp đó, trong sự vận động của chúng. Nguyễn Bá Kim thì thay vì đưa ra định nghĩa tư duy hàm, đã đưa ra các hoạt động đặc trưng cho nó, ông quan niệm tư duy hàm đặc trưng bởi các hoạt động phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng các sự tương ứng. Như vậy, tư duy hàm là hoạt động trí tuệ liên quan đến sự nghiên cứu những quy luật của sự vật, trong sự biến đổi sinh động của chúng, trong sự phụ thuộc lẫn nhau của chúng. Với cách hiểu này, tư duy hàm không chỉ cần đối với nhà khoa học mà nó cũng rất cần thiết đối với người lao động, nó là yếu tố quan trọng trong văn hoá Toán học giúp người lao động tìm ra quy luật trong tự nhiên, xã hội và tư duy. Chẳng hạn như sản phẩm của tư duy hàm thể hiện qua câu ca dao “Chuồn chuồn bay thấp thì mưa, bay cao thì nắng, bay vừa thì râm” thể hiện sự tương ứng giữa độ cao và thời tiết. 1.3.2. Vấn đề phát triển tư duy hàm cho học sinh thông qua dạy học phương trình Trong dạy học toán học ở trường việc phát triển tư duy hàm cho học sinh không có nghĩa là thầy lên lớp một bài giảng về tư duy hàm. Nhiệm vụ tư duy hàm không tồn tại độc lập so với nhiệm vụ truyền thụ kiến thức. Muốn phát triển tư duy hàm thầy giáo phải thông qua kiến thức đã quy định, trong và trên cơ sở đó tìm ra giải pháp phát triển tư duy hàm cho học sinh, phát triển tư duy hàm là mục đích kép. Thực tiễn giáo dục tư duy hàm cho học sinh phổ thông gặp nhiều khó khăn như : Trình độ học sinh còn hạn chế, không đồng đều, khối lượng kiến thức nhiều trong khi số tiết dành cho bộ môn Toán lại không nhiều. Những tri thức về hoạt động tư duy hàm không được qui định rõ ràng trong chương trình nên không được giảng dạy một cách tường minh. Mặt khác, hầu hết giáo viên phổ thông nắm về tư duy hàm chưa đầy đủ và cũng chưa thấy được tầm quan trọng của nó trong dạy học. Trong dạy học việc xem xét các đối tượng toán học một cách cô lập, trong trạng thái tĩnh tại, rời rạc. Chưa thấy hết những mối liên hệ phụ thuộc hoặc mối quan hệ nhân quả làm cho học sinh lúng túng trong việc giải quyết các bài toán. Bên cạnh đó, các tài liệu viết về vấn đề này nói chung còn hạn chế, khó tiếp cận, gây cho giáo viên và học sinh không ít khó khăn. Qua phiếu thăm dò, trao đổi với các giáo viên có kinh nghiệm, dạy một số tiết để thăm dò rút ra những khó khăn của giáo viên, học sinh khi tiếp cận các bài toán phương trình, bất phương trình và hệ phương trình do thiếu giáo dục các thành tố tư duy hàm: - Xác lập sự tương ứng; - Nhìn nhận sự vật trong trạng thái vận động và biến đổi; - Đặt sự vật này trong mối liên hệ sự vật kia theo các quan hệ nhân quả, phụ thuộc. Các khó khăn chủ yếu là: 1. Học sinh không biết cách phân chia các trường hợp riêng khi đứng trước một bài toán cụ thể; 2. Xuất phát từ cơ sở nào để phân chia các trường hợp riêng thích hợp cho việc giải quyết bài toán; 3. Học sinh không biết nhìn nhận các bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình trong mối liên hệ với các bài toán hàm số... Những khó khăn này gây nên do: Khi dạy học phương trình, bất phương trình, hệ phương trình thầy giáo thiếu quan tâm đến các hoạt động sau: - Lập sự tương ứng giữa các đối tượng, quan hệ... trong Toán học; - Hoạt động ăn khớp với những tri thức phương pháp về tư duy hàm; - Hoạt động gợi động cơ. Một số vấn đề cần lưu ý khi dạy học giải phương trình: Cần hình thành cho học sinh thói quen luôn ý thức về diễn biến của tập nghiệm khi biến đổi phương trình. Sau khi biến đổi phương trình thì tập nghiệm của phương trình ban đầu và tập nghiệm của phương trình thu được có quan hệ với nhau như thế nào? Có những khả năng nào xảy ra? Có thể phân chia không triệt để các khả năng loại trừ lẫn nhau thì có các khả năng sau: Khả năng 1: Hai tập nghiệm trùng nhau Khả năng 2: Tập nghiệm của phương trình trước là tập con của tập nghiệm của phương trình sau Khả năng 3: Tập nghiệm của phương trình sau là tập con của tập nghiệm của phương trình trước Khả năng 4: Giao của hai tập nghiệm khác rỗng, nhưng không tập nghiệm nào là bộ phận của tập nghiệm kia. Có thể dùng biểu đồ Ven để minh họa cho điều này. Căn cứ vào đâu để nhận biết sự thay đổi của các tập hợp nghiệm? Thứ nhất là căn cứ vào các phép biến đổi một phương trình về một phương trình đơn giản đã biết cách giải Loại 1: Phép biến đổi không làm tập xác định của phương trình thay đổi Với phép biến đổi này phương trình mới nhận được tương đương với phương trình đã cho. Khi đó ta kết luận: Tất cả các nghiệm của phương trình mới thu được là tất cả các nghiệm của phương trình đã cho. Mặc dù vậy, ta vẫn hình thành cho học sinh ý thức và thói quen thử lại nghiệm khi giải phương trình (dù trong trường hợp này không đòi hỏi về mặt lý luận mà chỉ có tác dụng kiểm tra kết qủa), góp phần giáo dục cho học sinh tính cẩn thận, thói quen tự kiểm tra kết quả công việc, một trong những đức tính cần thiết của người lao động trong thời đại mới. Ví dụ 1: Phương trình: Loại 2: Phép biến đổi làm mở rộng tập xác định của phương trình Với phép biến đổi này phương trình mới nhận được thường là hệ quả của phương trình đã cho. Khi đó, tất cả các nghiệm của phương trình đã cho đều là nghiệm của phương trình mới nhận được, như vậy phép biến đổi phương trình không làm mất nghiệm, tập nghiệm của phương trình đã cho là tập con của tập nghiệm của phương trình thu được, nghiệm ngoại lai nếu xuất hiện sẽ rơi vào phần mở rộng của tập xác định. Ví dụ 2: Phương trình: (x = -1 là nghiệm ngoại lai, sau phép thử phải loại bỏ "nghiệm này"). Khi giải phương trình sử dụng phép biến đổi làm mở rộng tập xác định ta cần nhấn mạnh sự cần thiết của phép thử khử nghiệm ngoại lai, điều này không chỉ có mục đích kiểm tra tính toán, rèn luyện tính cẩn thận, chu đáo khi làm bài mà còn có tính chặt chẽ về mặt lý luận. Loại 3: Phép biến đổi làm thu hẹp tập xác định của phương trình Với phép biến đổi này, có thể dẫn tới hiện tượng mất nghiệm của phương trình đầu, phương trình đầu là hệ quả của phương trình cuối cùng thu được. Khi đó, tập nghiệm của phương trình thu được là tập con của phương trình đầu, phép biến đổi phương trình không làm rộng tập nghiệm, nghiệm bị mất ( nếu có ) rơi vào phần thu hẹp của tập xác định. Trong trường hợp này, cần phải thử các giá trị bị mất do thu hẹp tập xác định vào phương trình đã cho để khắc phục hiện tượng thiếu nghiệm. Tuy nhiên, không có quy tắc tổng quát cho mọi trường hợp mà tuỳ từng bài toán cụ thể mà ta có cách tìm lại nghiệm đã bị mất. Ví dụ 3: Giải phương trình: (1) Đặt Khi đó (1) trở thành: Do thu hẹp tập xác định từ thành ; do đó nếu không thử: vào (1), ta sẽ gặp hiện tượng mất nghiệm . Thật vậy: thay vào (1) ta được (luôn đúng). Ví dụ 4: Giải phương trình: (2) hay Do thu hẹp tập xác định từ R thành nên ta cần thử x = 3 vào (2) để tránh mất nghiệm. Như vậy, nếu dùng phép biến đổi đồng nhất làm cho tập xác định của phương trình bớt đi một số hữu hạn giá trị hay một số hữu hạn họ giá trị thì cần phải thử các giá trị đó (họ các giá trị đó) vào phương trình ban đầu tránh làm mất nghiệm. Lưu ý: Nếu các giá trị của ẩn số rơi vào trong phần thu hẹp không là nghiệm của phương trình đã cho, thì tập nghiệm của phương trình ban đầu trùng với tập nghiệm của phương trình thu được. Khi đó, ta nói hai phương trình này tương đương với nhau. Ví dụ 5: Giải phương trình: (3) Đặt ta được: (4) Kiểm tra không là nghiệm của (3) nên ta khẳng định (3) và (4) là hai phương trình tương đương. Loại 4: Hỗn hợp các phép biến đổi Đối với loại biến đổi này phương trình thu được vừa có khả năng thêm nghiệm vừa có khả năng thiếu nghiệm so với phương trình đã cho. Do vậy cần vận dụng cả hai cách giải quyết ở loại 2 và loại 3, tức là vừa phải thử xem các nghiệm của phương trình thu được có phải là nghiệm của phương trình đã cho không, vừa phải tìm xem những giá trị nào không phải là nghiệm của phương trình thu được nhưng lại là nghiệm của phương trình đã cho. Thứ hai là căn cứ vào các định lý biến đổi phương trình, ở đây là các phép biến đổi tương đương mà học sinh đã được học. Nắm vững các định lý này không những giúp học sinh định hướng, biến đổi phương trình thành phương trình tương đương đơn giản, dễ giải hơn mà còn giúp họ xác lập mối quan hệ giữa các tập nghiệm của các phương trình trong quá trình biến đổi. Đây là một trong những điều quan trọng làm cơ sở để tiến hành thực hiện biến đổi phương trình. Thứ ba là căn cứ vào một số kiến thức cơ bản, có thể là định nghĩa, định lý, tính chất... mà học sinh đã được học dù có thể không liên quan trực tiếp đến biến đổi phương trình. Làm cơ sở xác định quá trình biến đổi đó bảo tồn số nghiệm, thêm nghiệm hay bớt nghiệm. Ví dụ 6: Phép chuyển từ phương trình: sang phương trình: làm mất nghiệm (nếu có) của phương trình ban đầu. Ví dụ 7: Phép chuyển từ phương trình: (5) sang phương trình: (6) và phép chuyển ngược lại từ (6) sang (5). - Phép chuyển từ (5) sang (6) là phép mũ hoá, có thể làm mở rộng tập nghiệm - Phép chuyển từ (6) sang (5) là phép logarít hóa, có thể làm thu hẹp tập nghiệm. Tóm lại: Khi dạy học giải phương trình, ta cần hình thành cho học sinh lập luận có căn cứ ở từng phép biến đổi, xác định chính xác mối quan hệ giữa các phương trình biến đổi kế tiếp, sử dụng các ký hiệu đúng, từ đó biết được diễn biến của các tập nghiệm sau từng bước biến đổi, dẫn đến xác định được tập nghiệm của phương trình đầu dựa vào tập nghiệm của phương trình cuối. Ngoài ra, theo tác giả Nguyễn Bá Kim khi dạy học giải phương trình cần quan tâm giải quyết hợp lý mối liên hệ giữa hai phương diện ngữ nghĩa và cú pháp. 1.4. Kết luận chương 1 Trong chương này, Luận văn đã sơ lược trình bày quan điểm đổi mới nội dung và phương pháp dạy học. Phân tích, minh họa khái niệm tư duy hàm, kỹ năng cũng như vấn đề rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh phổ thông, nhấn mạnh một số vấn đề cần lưu ý khi dạy học giải phương trình. Làm cơ sở đề xuất quan điểm phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình với việc phát triển tư duy hàm, giúp học sinh học tập tích cực hơn. Chương 2 Phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình với phát triển tư duy hàm cho học sinh THPT 2.1. Phân tích nội dung chủ đề Phương trình trong môn toán THPT 2.1.1. Về chủ đề phương trình, bất phương trình Bàn về khái niệm phương trình, khác với một số sách giáo khoa (SGK) trước đây khái niệm phương trình theo SGK Đại số 10, Chuẩn phát biểu: “Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng: (1) Trong đó và là những biểu thức của x. Ta gọi là vế trái, là vế phải của phương trình (1). Nếu có số thực sao cho là mệnh đề đúng thì x0 được gọi là một nghiệm của phương trình (1). Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm). Nếu không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng)” Còn SGK Đại số 10, Nâng cao thì định nghĩa: “Cho hai hàm số y = f(x) và y =g(x) có tập xác định lần lượt là Df và Dg. Đặt , mệnh đề chứa biến “f(x) = g(x)” được gọi là phương trình một ẩn, x gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là tập xác định của phương trình. Số x0 thuộc D gọi là tập nghiệm của phương trình f(x) = g(x) nếu “f(x0) = g(x0)” là mệnh đề đúng”. Cả hai cách định nghĩa phương trình dựa vào hàm mệnh đề đã khắc phục được hạn chế, có thể áp dụng vào mọi trường hợp cụ thể phù hợp với trình độ học sinh cũng như thoả mãn với cả các phương trình phải tìm nghiệm lẫn cả những phương trình biểu thị những quy luật vật lý hay những phương trình biểu diễn đường. Trước đây khi cho phương trình thường gắn với tập xác định, dù phương trình đó có tập xác định là cũng phải ghi rõ nhưng theo tinh thần SGK mới, cụ thể SGK 10 Nâng cao đã hướng dẫn học sinh đến việc làm đơn giản là chỉ cần nêu điều kiện để ẩn số thuộc D, gọi là điều kiện xác định (hay điều kiện) của phương trình. Trong trường hợp f(x) và g(x) là những biểu thức thì điều kiện của phương trình không chỉ gồm các điều kiện để hai biểu thức f(x) và g(x) có nghĩa, mà có thể còn gồm cả những điều kiện được áp đặt cho ẩn vì lý do nào đó (như x nguyên, ). Với việc đưa ra khái niệm phương trình, bất phương trình dựa vào hàm mệnh đề đã tạo điều kiện thuận lợi cho việc chứng minh đầy đủ, chặt chẽ định lý về phép biến đổi tương đương. Khi dạy học chủ đề phương trình, bất phương trình cần làm rõ sự khác nhau giữa các định lý về phép biến đổi tương đương phương trình với các định lý về phép biến đổi tương đương bất phương trình. Nhiều học sinh do không nắm vững nội dung kiến thức này đã áp dụng lẫn lộn giữa phép biến đổi tương đương cho phương trình sang bất phương trình, dẫn đến sai lầm trong suy luận, đưa đến lời giải không đúng. Ví dụ 1: Giải bất phương trình: (1) Học sinh thực hiện lời giải như sau: Điều kiện: Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của phương trình là . Thực tế, học sinh đã “mất cảnh giác” khi nhân hai vế của phương trình (1) với , mà không quan tâm tới dấu của f(x) (điều này ảnh hưởng trực tiếp đến chiều của bất phương trình) dẫn đến kết quả bài toán sai. Như vậy, việc nắm vững các định lý biến đổi phương trình, bất phương trình là quan trọng và cần thiết, lần đưa ra những bài tập để học sinh vận dụng các phép biến đổi tương đương này thành thạo, làm rõ sự giống và khác nhau giữa phép biến đổi tương đương phương trình với phép biến đổi tương đương bất phương trình, tránh sai lầm khi áp dụng. Thật vô nghĩa nếu yêu cầu học sinh “thuộc lòng” các định lý về các phép biến đổi tương đương hoặc các phép biến đổi tương đương áp dụng cụ thể đối với các dạng phương trình, bất phương trình. Chẳng hạn, các phép biến đổi tương đương khi bình phương hai vế các phương trình, bất phương trình vô tỷ hay chứa dấu giá trị tuyệt đối như: sẽ làm học sinh rối, dễ nhầm lẫn giữa các công thức. Việc xem xét, nghiên cứu các bài toán trong toán học sơ cấp bằng cách ghép thành từng lớp bài toán giải được bằng cùng một phương pháp là một việc làm cần thiết và có ý nghĩa. Trên cơ sở lý thuyết, bài tập sách giáo khoa và một số sách tham khảo khác, có thể liệt kê một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình như sau: - Phương pháp biến đổi tương đương - Phương pháp đặt ẩn phụ - Phương pháp hàm số - Phương pháp đồ thị - Phương pháp xét điều kiện cần và đủ - Phương pháp đánh giá Đứng trước bài toán giải phương trình, bất phương trình thì việc định hướng phương pháp giải đóng vai trò quyết định để thực hiện lời giải. Tuy nhiên, việc định hướng phương pháp giải dạng toán này là đa dạng, có những bài toán có thể giải bằng nhiều phương pháp khác nhau, vấn đề là lựa chọn phương pháp nào tối ưu nhất để trình bày. 2.1.2. Các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh khi giải toán phương trình Có nhiều kiểu phân chia kỹ năng phù hợp với từng “mảng” kiến thức, từng nội dung môn học. Nhưng tựu trung lại cần rèn cho học sinh các kỹ năng cơ bản như: kỹ năng nhắc lại, kỹ năng nhận thức, kỹ năng hoạt động chân tay, kỹ năng xử sự (theo cách phân loại của De Ketele). Đây là những kỹ năng không chỉ được rèn luyện khi giải toán phương trình mà còn được rèn luyện trong suốt chương trình phổ thông, ở tất cả các nội dung và tất cả các môn học. Tất nhiên sự phân chia này chỉ có tính chất tương đối, khi dạy học ta thường rèn luyện kỹ năng ở dạng “phức hợp’ tức là trên một nội dung kiến thức cụ thể, ta không chỉ rèn một loại kỹ năng cơ bản đơn lẻ, vì một kỹ năng có thể là hỗn hợp của nhiều loại kỹ năng cơ bản. Chẳng hạn kỹ năng vẽ đồ thị bao gồm cả kỹ năng nhận thức, kỹ năng hoạt động chân tay và kỹ năng xử sự. Vì để vẽ được đồ thị người ta không những cần phải biết vẽ như thế nào (kỹ năng nhận thức) mà còn phải biết những động tác để vẽ được đồ thị (kỹ năng hoạt động chân tay) và cần vẽ đồ thị chính xác, đẹp (kỹ năng xử sự). Đối với chủ đề phương trình và bất phương trình ta cần rèn luyện cho học sinh những kỹ năng thuộc về nhóm kỹ năng nhận thức và vận dụng. Có thể kể ra một số kỹ năng sau: - Kỹ năng tính toán: Trước hết cần phải nói rằng học toán gắn liền với tính toán, tính chính xác nhanh và ngắn gọn là những yêu cầu cơ bản, đầu tiên để học tốt môn Toán. Đồng thời kỹ năng này có ý nghĩa vô cùng quan trọng trong thực tế của đời sống, trong sản xuất kinh doanh, trong kỹ thuật. Khi giải toán phương trình tính toán có tính số và tính biểu thức, dặc biệt đối với các bài toán phương trình bất phương trình chứa tham số mức độ yêu cầu cao, vừa khó vừa trừu tượng, tầng lớp nhiều, chỉ cần tính toán sai một bước sẽ dẫn đến tất cả đều sai. Do đó cần rèn luyện cho học sinh khả năng tính toán ở nhiều mức độ khác nhau. Nguyễn Bá Kim cho rằng cần rèn luyện khả năng tính toán theo những hướng sau: + Đặc biệt chú ý những yêu cầu nào của kỹ năng tính toán cần thiết cả trong trường hợp không máy tính lẫn bằng máy tính: tính nhẩm, tính ước chừng... + Về mặt tính viết, không cần thiết phải bỏ công sức cho học sinh tập luyện tính toán trên những số liệu quá cồng kềnh, phức tạp. + Từ bỏ việc tính toán với những phương tiện đã lỗi thời Chúng tôi cho rằng rèn luyện khả năng tính toán khi giải toán phương trình thể hiện ở các mặt sau: + Rèn kỹ năng tính nhẩm và tính nhanh: việc tính nhẩm và tính nhanh rất phù hợp với những bài có số liệu đơn giản (trực tiếp nhẩm ra đáp số không cần viết ra giấy) hoặc những bài chứa căn thức biến đổi đưa về hằng đẳng thức (tính nhanh) ... Ví dụ 1: Giải phương trình 2007x2 – 2006x - 1 = 0 Nhẩm thấy: a + b + c = 0, không cần giải kết luận phương trình có 2 nghiệm x = 1 và x= - Ví dụ 2: Giải phương trình: Không khó khăn khi tìm điều kiện để phương trình có nghĩa: . Nhưng nếu biến đổi phương trình bằng thói quen theo thường lệ là quy đồng mẫu số mà không chú ý đến đặc điểm phương trình thì sẽ gặp phức tạp. Chỉ cần chú ý đến mẫu số của hai số hạng đầu là dạng hiệu và dạng tổng để lấy mẫu số chung, ta có kết quả nhanh chóng. Theo hướng này có thể tính ngay kết quả Phương trình vô nghiệm. Phải biến đổi và sử dụng thành thạo các hằng đẳng thức theo cả chiều thuận và chiều nghịch, chẳng hạn: a2 – b2 = (a - b)(a + b) a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab Phải biết thành thạo phép bình phương để tìm căn bậc hai, lập phương để tìm căn bậc ba hay tổng quát là luỹ thừa bậc n để tìm căn bậc n như ( khi b > 0, n chẵn). Phải biết phương pháp biến tử số và mẫu số thành những dạng hợp lí để biến đổi đưa về hằng đẳng thức. Ví dụ 3: Giải phương trình Điều kiện Học sinh phải sử dụng lượng liên hợp để biến đổi đưa về hằng đẳng thức (a-b)(a+b) =a2 – b2. Rồi tiếp tục rút gọn, biến đổi tương đương, thực hiện giải phương trình thu được nghiệm x = 2. Phải luôn tìm tòi các phương pháp tính khác nhau để có lời giải ngắn gọn nhất. + Nhớ những số hay dùng, có thể sử dụng cách nhớ máy móc kết hợp với nhớ theo quy luật. Những số hay dùng như: Bình phương các số từ 1 đến 20, căn của các số tự nhiên 2, 3, 5, 6 để khi biến đổi, lấy nghiệm, so sánh hoặc biểu diễn các nghiệm trên trục số khi giải phương trình, bất phương trình có phản ứng nhanh. Nhờ giá trị sin, cos, tg, cotg của các giá trị góc đặc biệt như 00, 150, 300, 450, 750, 900 và chuyển đổi giữa độ và radian của các góc đặc biệt này để khi giải phương trình, bất phương trình lượng giác hoặc phương trình bất phương trình giải bằng phương pháp lượng giác hoá được nhanh chóng. Ngoài ra, các số lập phương từ 1 đến 10; log của lg2, lg3, lg5 hoặc log24, log381 ... để thuận lợi khi giải (bất) phương trình mũ và logarit. Bên cạnh việc rèn luyện kỹ năng tính toán cho học sinh khi giải phương trình cần chú trọng rèn luyện kỹ năng này trong tất cả các nội dung kiến thức khác. Cần rèn luyện các đức tính như cẩn thận, chu đáo, kiên trì, nhanh trí nhằm tiến tới thói quen tính toán chính xác, đồng thời một đề ra có thể có nhiều cách giải từ các khía cạnh khác nhau, cần khai thác triệt để làm như vậy học sinh có cơ hội tính toán linh hoạt đa dạng. Từ đó tìm ra cách giải ngắn và hay nhất. - Kỹ năng thực hiện các phép biến đổi, đặc biệt là các phép biến đổi đồng nhất, các phép biến đổi tương đương. - Kỹ năng vận dụng các phương trình mẫu Nhận dạng và giải thành thạo các phương trình, bất phương trình dạng cơ bản hoặc quy về dạng cơ bản. Chẳng hạn khi học phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai. Thì cần rèn cho học sinh các kỹ năng như: + Giải và biện luận thành thạo phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai. + Giải được các phương trình quy về bậc nhất, bậc hai. Phương trình có ẩn ở mẫu số, phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình chứa căn, phương trình đưa về phương trình tích. Ví dụ 4: Khi học về “phương trình bậc hai”, có thể yêu cầu học sinh theo các mức độ sau: 1. Nhắc lại dạng và các bước giải phương trình bậc hai theo công thức nghiệm tổng quát (kỹ năng nhắc lại)? 2. Thực hiện giải phương trình x4 – 8x2 – 9 = 0 (kỹ năng nhận thức) 3. Giải và biện luận phương trình : x4 – (a -3)x2 + 3a = 0 4. Có thói quen kiểm tra khi kết luận nghiệm (kỹ năng xử sự) Mặc dù những kỹ năng này yêu cầu học sinh vận dụng khi giải phương trình, bất phương trình theo dạng mẫu, đã có sẵn thuật giải nhưng giáo viên không được coi nhẹ việc rèn luyện kỹ năng này vì: Thứ nhất: đây là những kiến thức cơ bản, yêu cầu học sinh cần nắm được Thứ hai: đây là nền tảng, là bài toán gốc để giải bài toán ở mức độ cao hơn (Quá trình giải phương trình, bất phương trình phần lớn “biến đổi” đưa về các phương trình, bất phương trình dạng đơn giản, cơ bản đã có sẵn cách giải). - Kỹ năng sử dụng đồ thị: Học sinh không khỏi thắc mắc giải toán phương trình sao cần đến kỹ năng sử dụng đồ thị, họ cho rằng kỹ năng này chỉ cần khi học nội dung “hàm số”. Thực ra nhiều bài toán phương trình, bất phương trình giải bằng phương pháp đồ thị, nhất là các bài toán xác định số nghiệm hay biện luận số nghiệm giải bằng phương pháp này dễ nhận ra kết quả, nhanh chóng, trực quan. Đồ thị biểu diễn trực quan các quan hệ hàm số và là công cụ để tính toán. Rèn luyện kỹ năng sử dụng đồ thị cho học sinh trên hai mặt: + Luyện vẽ chính xác, đẹp + Luyện đọc Ví dụ 5: Tìm m để sau có nghiệm duy nhất: (1) Giải bằng phương pháp đồ thị: Đường thẳng (d): y = m Đồ thị (C): y = Ta có: y = = (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại một điểm duy nhất. Điều này xảy ra khi m 1 (rất trực quan, bằng đồ thị học sinh có ngay kết luận). - Kỹ năng suy luận: Kỹ năng này không chỉ cần khi giải toán phương trình mà có thể nói đây là kỹ năng chung cần để giải bài tập toán. Kỹ năng suy luận vừa thể hiện khía cạnh nhận thức vừa thể hiện khía cạnh xử sự của kỹ năng. Để đưa ra những suy luận học sinh phải dựa vào đặc điểm, nhận thức dự đoán, phân tích riêng của bản thân để đưa ra nhiều cách làm khác nhau, khi gặp các dạng toán chưa có sẵn cách giải. Ví dụ 6: Giải hệ phương trình Quan sát, phân tích đặc điểm của hệ phương trình thấy: Các biểu thức biểu thị trong hệ có sự bình đẳng tức là hệ không thay đổi khi hoán vị vòng quanh đối với x, y, z. Từ đó ta đưa ra tính hợp lí trong tư duy. Có thể giả thiết x = max(x, y, z) và xét tính chất của hàm đặc trưng về vế trái (thể hiện khả năng xử sự trước tình huống cụ thể). Tiến hành thực hiện lời giải: Xét hàm đặc trưng f(t) = t3 – 3t2 + 5t +1 có f’(t) = 3t2 – 6t +5 >0, t Hàm số f(t) luôn đồng biến. Hệ phương trình có dạng: Vì hệ không thay đổi khi hoán vị vòng quanh đối với x, y, z nên có thể giả thiết Nếu x > y thì f(x) > f(y) Mâu thuẫn Tương tự nếu x > z thì z > x. Mâu thuẫn Do đó x = y = z, từ đó từ một phương trình trong hệ ta có: x3 – 3x2 + x + 1 = 0 Vậy hệ có nghiệm: x = y =z =1; x = y = z = Từ đây, yêu cầu học sinh nêu phương pháp làm toán dạng này ? Nếu hệ phương trình có dạng Trong đó f(t), g(t) cùng đồng biến (hoặc cùng nghịch biến) thì có thể suy ra được x = y = z, từ đó giải hệ dễ dàng. Ví dụ 7: Cho hệ phương trình và (b – 1)2 - 4ac < 0. Chứng minh rằng hệ phương trình vô nghiệm. Bằng cách suy luận thông thường, mỗi phương trình trong hệ có x, y, z bình đẳng ta nghĩ đến xét hàm đặc trưng g(t) = at2 + bt + c không thể giải quyết được. Nhưng nếu để ý giả thiết (b – 1)2 – 4ac < 0 làm cho ta nghĩ đến hàm cần xét là f(t) = at2 + (b – 1)t + c. Điều đó cho phép ta nghĩ cộng các vế của hệ phương trình trên lại với nhau. Giả sử rằng hệ phương trình trên có nghiệm (x0, y0, z0), nghĩa là: Cộng vế theo vế ta được: (3) Đến đây ta đặt: f(t) = at2 + (b – 1)t + c. Thì (3) f(x0) + f(y0) + f(z0) = 0 Vì (b – 1)2 – 4ac < 0 Nếu a > 0 Vế trái (3) > 0 ( Vô lý) Nếu a < 0 tương tự Vế trái (3) < 0 ( Vô lý) Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm. Thông qua bài toán này ta thấy việc nghiên cứu tính chất của các biểu thức có mặt trong phương trình cần kết hợp với các biểu thức có mặt trong bài toán từ đó định hướng cách giải. Các kỹ năng suy luận, chứng minh là những kỹ năng chung, đều cần khi giải toán nên chúng tôi không đề cập nhiều. Ngoài ra các kỹ năng vận dụng các phần kiến thức cụ thể vào giải phương trình như kỹ năng giải phương trình thông qua xét sự biến thiên hàm số, kỹ năng giải phương trình thông qua đánh giá giá trị của các biểu thức thành phần... chúng tôi sẽ trình bày cụ thể ở phần sau. 2.2. rèn kỹ năng giải toán phương trình dựa vào các tư tưởng chủ đạo của tư duy hàm 2.2.1. Rèn kỹ năng vận dụng các dạng phương trình mẫu Xét theo quan điểm vận dụng các tư tưởng chủ đạo của tư duy hàm, chúng tôi nhấn mạnh đến việc thiết lập sự tương ứng giữa tình huống được đưa ra trong mỗi bài toán phương trình với tập hợp các dạng phương trình mẫu học sinh đã được học. Đối với đa số bài toán có thuật giải được đưa ra trong sách giáo khoa thì việc thiết lập sự tương ứng này được thực hiện trực tiếp thông qua hoạt động nhận dạng. Có hai cấp độ thực hiện hoạt động nhận dạng khi khai thác các bài tập loại này: - Nhận dạng bài toán thông qua thiết lập sự tương ứng giữa các số hay tham số cho trong bài toán (tham số thực) với các tham số cho trong kiến thức lý thuyết về dạng phương trình đã học (tham số hình thức). - Nhận dạng sự chuyển loại của bài toán khi bài toán có chứa tham số dựa theo sự biến thiên giá trị của tham số. Ví dụ 1: Giải và biện luận bất phương trình: Yêu cầu học sinh xác định được dạng bất phương trình? ax + b > 0Xác định được các hệ số a, b? , Rồi tiến hành thực hiện các bước giải. Tất nhiên khi xây dựng quy tắc giải cần cho học sinh lập luận có căn cứ trong từng phép biến đổi, để đi đến quy tắc giải cho từng dạng toán nào đó. Việc học sinh nhận dạng đúng bài toán cần giải là họ đã thiết lập được sự tương ứng giữa bài toán đó với bài toán tổng quát đã có sẵn thuật giải. ở ví dụ trên khi a thay đổi, a nhận giá trị dương, âm hoặc bằng không thì nghiệm của bất phương trình cũng thay đổi theo. Như vậy, là đã tiến hành đánh giá sự biến thiên của giá trị ra khi cho thay đổi giá trị vào. Ví dụ 2: Cho phương trình (1) a. Giải phương trình khi m = 3 b. Giải và biện luận phương trình - Yêu cầu học sinh xác định dạng phương trình, các hệ số a, b, c của phương trình trong trường hợp m = 3? Cách giải? - Đưa ra những câu hỏi gợi ý như: Hỏi: Phương trình (1) là phương trình bậc hai khi nào? Hỏi: Khi đó cho biết mối quan hệ khi thay đổi giá trị m với số nghiệm của phương trình? : phương trình vô nghiệm : phương trình có nghiệm kép : phương trình có hai nghiệm phân biệt Như vậy, sự biến thiên giá trị m dẫn đến sự thay đổi về dấu của biệt thức , điều này kéo theo sự thay đổi về số nghiệm và giá trị nghiệm của phương trình. Hỏi: Phương trình (1) suy biến khi nào? Giải phương trình trong trường hợp này? Sự thay đổi của tham số có thể kéo theo về sự thay đổi về số nghiệm của phương trình, có thể sự thay đổi của tham số trong một khoảng nào đó không làm thay đổi về số nghiệm mà có thể chỉ thay đổi về giá trị nghiệm. Bên cạnh việc luyện tập cho học sinh áp dụng thành thạo một quy tắc tổng quát nào đó áp dụng cho mọi bài toán cùng loại, cần lựa chọn một số bài toán dựa vào sự phân tích tính đặc thù riêng có thể giải được bằng phương pháp riêng đơn giản hơn khi áp dụng giải theo quy tắc tổng quát. Chẳng hạn sau khi học công thức giải phương trình bậc hai và sau khi cho học sinh luyện tập áp dụng công thức đó, ta cho học sinh giải phương trình: Nhiều học sinh giải bằng cách tính mà không dựa trên nhận xét nên . Hay bài toán giải phương trình tích: Có khi học sinh sẽ mở dấu ngoặc, đưa phương trình về dạng bậc hai rồi áp dụng công thức nghiệm mà không thấy ở đây là một phương trình tích A.B = 0 thì A = 0 hoặc B = 0, để có ngay nghiệm và . Những trường hợp như vậy nhằm khắc phục thói quen áp dụng máy móc công thức, không làm thay đổi phù hợp với điều kiện mới và rèn luyện tư duy linh hoạt cho học sinh. Các yêu cầu cơ bản khi tiến hành rèn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng phương trình mẫu đó là: - Nắm vững quy tắc giải - Nhận dạng đúng bài toán có quy tắc giải xác định - Tiến hành giải bài toán theo quy tắc đã học Như vậy, nếu phương trình cho ở dạng mẫu mực, cơ bản học sinh chỉ cần nhận dạng, chọn cách giải ứng với mỗi dạng phương trình. Nhưng có những phương trình mới chỉ nhìn qua học sinh chưa nhìn ra dạng chuẩn mực, thì cần biến đổi đơn giản (có thể) đưa về dạng chuẩn mực đã học. Chẳng hạn như các bài toán phương trình qui về phương trình bậc nhất, bậc hai ... Ví dụ 3: Giải phương trình: cos2x + 3sin2x = 2 Mới nhìn qua bài toán này hoặc sinh chưa nhìn thấy ngay dạng đã học, nhưng chỉ cần biến đổi lượng giác đơn giản nhờ nhớ lại công thức cos2a =1 - 2sin2a thì lại có thể đưa về dạng đã học. Cần đưa ra những bài toán mà khi giải học sinh không chỉ cần vận dụng một dạng phương trình mẫu mà phải vận dụng kết hợp các dạng phương trình mẫu mới giải được. Bên cạnh các dạng toán đã có sẵn thuật giải như SGK đã trình bày, cần hình thành cho học sinh thói quen tự tìm tòi các dạng phương trình, bất phương trình (nếu có thể) từ bài toán cụ thể, đề xuất bài toán tổng quát, xây dựng qui tắc làm, rõ ràng xác định. Vì việc nêu ra tất cả các dạng phương trình mẫu là điều không thể thực hiện được, hơn nữa làm như vậy sẽ tạo ra ''sức ỳ '' cho học sinh. Ví dụ 4: Giải phương trình: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9 Hướng dẫn học sinh giải: ở bài toán này, chắc chắn ý định khai triển vế trái, biến đổi đưa phương trình về dạng : ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (a 0), rồi thực hiện giải. Như vậy học sinh sẽ gặp nhiều khó khăn vì học sinh mới chỉ học giải phương trình trùng phương. - Hãy nhận xét các hệ số có mặt trong các thừa số ở vế trái ? 1 + 7 = 3 + 5 = 8. - Hãy đưa ra cách biến đổi thích hợp để các biểu thức gần nhau hơn! ở vế trái, ghép các thừa số thứ nhất với thừa số thứ tư, thừa số thứ hai với thừa số thứ ba ta được: (x2 + 8x + 7) (x2 + 8x + 15) = 9 - Quan sát các thừa số ở vế trái và đưa ra cách làm? Đặt t = (x2 + 8x +7), phương trình trở thành: - Hãy làm tiếp tìm x? Khi t =-6 ta được x2 + 8x + 6 = 0 Khi t = - 16 ta được x2 + 8x + 16 = 0 Bằng cách trừu tượng hoá các số cụ thể, yêu cầu học sinh đề xuất bài toán tổng quát và xây dựng cách giải dạng toán này? Bài toán tổng quát: Giải phương trình dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e (2) Với giả thiết a + d = b + c = Cách giải: [(x + a)(x + d)][(x + b)(x + c)] = e [x2 + (a + d)x + ad][x2 + (b + c)x + bc] = e (x2 +x + ad)(x2 + x + bc) = e Đặt t = x2 +x (vì x2 + x = (x + ) Khi đó (2) (t + ad)(t + bc) = e (Đây là phương trình bậc 2). Ví dụ 5: Từ việc giải các phương trình: a. x4 - 4x3 + 5x2 - 4x + 1 = 0 b. x4 - 2x3 + 5x2 - 2x + 1 = 0 Hướng dẫn học sinh tự đưa ra dạng toán tổng quát và xây dựng cách giải cho dạng toán này? Loại 1: Phương trình dạng: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 (a0) (3) Vì a0 nên x = 0 không là nghiệm của (3). Chia cả hai vế của (3) cho x2 ta được phương trình : ax2 + bx + c + = 0 a(x2 + ) + b(x +) + c = 0 Đặt t = x + (Điều kiện ). Khi đó (3) trở thành: a(t2 - 2) + bt + c = 0 at2 + bt + c - 2a = 0. Đây là phương trình bậc hai Loại 2: Phương trình dạng: ax4 - bx3 + cx2 - bx + a = 0 , (a 0) (4) Cách giải tương tự như loại 1: Vì a0 nên x = 0 không là nghiệm của (4). Chia cả hai vế của (4) cho x2 và đặt t = x - ta được phương trình . Đây là phương trình bậc hai. Khi đã xây dựng được tường minh cách giải cho loại toán này thì vịêc áp dụng giải các bài toán cụ thể là không khó khăn. Tuy nhiên là giáo viên chúng ta không dừng lại ở đó mà tiếp tục khai thác, mở rộng dạng toán. Chẳng hạn giải phương trình : 16x4 - 32x3 + 8x2 + 8x + 1 = 0. Rõ ràng phương trình không thuộc dạng phương trình loại 1 hay loại 2 (hay phương trình hồi quy hoặc phương trình phản hồi quy) nhưng có thể bắt chước cách giải hai loại phương trình này. Thật vậy: Vì x = 0 không là nghiệm của phương trình đã cho nên chia cả hai vế cho x2 ta được : (16x2 + ) - 8(4x - ) + 8 = 0 Đặt t = 4x - , khi đó phương trình trở thành: t2 - 8t + 16 = 0 t = 4 Trở về giải x ta được : Tổng quát hoá dạng toán? Có thể nêu ra cách giải cho dạng toán này được không? Căn cứ vào mối quan hệ giữa các hệ số của phương trình cụ thể trên =, có thể tổng quát hoá bài toán : Giải phương trình ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (abe 0) với giả thiết . Yêu cầu học sinh nêu cách giải ? (Đưa về phương trình bậc hai bằng cách đặt . Lớp các bài toán có thể tổng quát hoá từ bài toán cụ thể, từ đó xây dựng cách giải tương ứng cho dạng toán đó là đa dạng và phong phú. Giáo viên cần khích lệ học sinh tự tìm tòi, khám phá, giúp họ lĩnh hội kiến thức một cách chủ động, sáng tạo. 2.2.2. Rèn kỹ năng biến đổi phương trình Nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ vấn đề quan trọng của việc rèn luyện kỹ năng biến đổi phương trình, hầu như khi tiến hành giải phương trình, người ta thường tìm cách biến đổi phương trình đó về phương trình đơn giản hơn và cuối cùng dẫn đến phương trình đã biết cách giải, có thể biến đổi phương trình đó về phương trình tương đương với phương trình đã cho hoặc là phương trình hệ quả của phương trình đã cho. Xét theo quan điểm khai thác các tư tưởng chủ đạo của tư duy hàm, chúng tôi lưu ý rằng quá trình biến đổi phương trình, bất phương trình là một quá trình mang tính ''động''. Trong quá trình ''động'' đó ta khai thác yếu tố ''tĩnh'' để đạt được mục đích (là tìm nghiệm). Cái thay đổi trong biến đổi phương trình, bất phương trình là hình thức, là dạng, là loại phương trình và bất phương trình. Mục đích của sự biến đổi là giảm nhẹ khó khăn, quy lạ về quen và giữ bất biến tập nghiệm hay kiểm soát được sự thay đổi tập nghiệm sao cho sự thay đổi nếu có đều có thể kiểm tra để loại bỏ nghiệm ngoại lai hay vớt lại được các nghiệm đã bị gạt bỏ trong quá trình biến đổi. Khi đã đưa được phương trình đã cho về các dạng phương trình mẫu thì sự tương ứng xuất hiện giữa dạng phương trình với các kỹ thuật tính toán, biến đổi hay tập nghiệm chúng tôi đã trình bày ở trên được thể hiện. Ví dụ 1: Giải phương trình: (1) Một học sinh thực hiện giải như sau: Biến đổi phương trình (1) thành: (2) Bình phương hai vế của phương trình (2) ta được: (3) Thực hiện phép biến đổi đồng nhất: (4) Đưa phương trình (4) về phương trình bậc hai chính tắc: (5) Giải phương trình (5) ta được các nghiệm là và Câu hỏi đặt ra: Hãy xét mối quan hệ giữa các phương trình trong qúa trình biến đổi? Diễn biến của các tập nghiệm của các phương trình đó thay đổi ra sao? Muốn vậy, học sinh phải xác định được các phép biến đổi sử dụng khi "biến đổi"nắm vững các loại phép biến đổi hệ quả và nắm vững các kiến thức đã học, dù không liên quan trực tiếp đến biến đổi phương trình. Chẳng hạn: Với thì còn nếu a = 1 thì với mọi giá trị của p và q. Từ đó, ta biết được quan hệ giữa các phương trình: Dựa vào sơ đồ trên học sinh dễ dàng biết được diễn biến của các tập nghiệm, do đó kết luận được: Nếu thay phương trình (1) bởi phương trình (5) thì có thể vừa thừa nghiệm vừa thiếu nghiệm. Vậy khắc phục điều đó ra sao? - Thử các giá trị 1 và 2 vào phương trình (1) loại bỏ nghiệm ngoại lai (nếu có), thấy chỉ một giá trị 1 thoả mãn (khắc phục thừa nghiệm). - Thử các giá trị của x làm cho cơ số luỹ thừa nhận giá trị 1 (khắc phục thiếu nghiệm do việc biến đổi từ (1) sang (2)) ta được x = 3 thoả mãn (1). Kết luận: Phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 1 và x = 3. Muốn nâng cao kỹ năng biến đổi nói chung, kỹ năng biến đổi phương trình nói riêng, đầu tiên giáo viên phải giúp học sinh nắm chắc các khái niệm cơ bản và kiến thức cơ sở, coi trọng học các khái niệm, hiểu rõ những điều cốt lõi của khái niệm, hiểu được cách vận dụng chúng để giải bài tập và đề phòng những sai lầm thường gặp. Chẳng hạn, giá trị tuyệt đối của số thực x là , giá trị tuyệt đối của số thực x phải dựa vào quan hệ của nó với số không để biện luận. Do đó khi gặp phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, hướng suy nghĩ cơ bản khi làm loại toán này là khử dấu giá trị tuyệt đối. Muốn vậy, cần phải dựa vào ý nghĩa giá trị tuyệt đối để bỏ dấu, phương pháp cụ thể là phương pháp điểm không. Tuy nhiên, khi tìm giá trị tuyệt đối phải đề phòng vận dụng khái niệm một cách hình thức dẫn đến sai lầm có tính lý thuyết như: Giải và biện luận phương trình thì không phải là chia ra ba trường hợp và để biện luận mà phải căn cứ theo và để giải. ở đây học sinh đã hiểu một cách máy móc, hình thức dẫn đến sai lầm trong phân chia trường hợp và sai lầm không tránh khỏi khi biến đổi phương trình, bất phương trình. Bên cạnh việc rèn luyện kỹ năng “biến đổi” dựa vào hằng đẳng thức, định nghĩa còn rèn kỹ năng “biến đổi” dựa vào các quy tắc, tính chất, định lý... có điều kiện kèm theo mà điều kiện đó có ý nghĩa quan trọng quy định tính đúng - sai của hằng đẳng thức đó. ví dụ 2: Giải phương trình: Một học sinh thực hiện lời giải như sau: Điều kiện: Biến đổi phương trình trở thành: Đặt . Phương trình đã cho có dạng: Cả hai giá trị t tìm được đều âm (không thỏa mãn điều kiện ) nên phương trình đã cho vô nghiệm. Hỏi: Hãy xem xét lại phép biến đổi? . Chưa đúng! Hỏi: Phép biến đổi này chỉ đúng khi nào? Khi và Như vậy, lời giải trên thực hiện không đúng. Sai lầm từ phép biến đổi: không phải là phép biến đổi tương đương. Hỏi: Khắc phục điều đó như thế nào? Hướng 1: Khắc phục sai lầm do biến đổi Thực hiện phép biến đổi tương đương: - Xét x > 3, phương trình trở thành: Giải như trên phương trình vô nghiệm. - Xét , phương trình trở thành: Đặt , phương trình có dạng: Với t = 1, ta được: Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm Với t = 3, ta được: Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm Kết luận: Phương trình có hai nghiệm và . Hướng 2: Khắc phục sai lầm do biến đổi bằng cách thay đổi cách chọn ẩn phụ Đặt . Suy ra: Khi đó, phương trình có dạng: Với ta được: Với ta được: Vậy phương trình có hai nghiệm và . Từ bài toán cho thấy sai lầm trong biến đổi do không suy xét vấn đề một cách kín kẽ, nghiêm ngặt, áp dụng hời hợt, phiến diện có tác dụng tai hại trong quá trình giải toán phương trình, bất phương trình. Giáo viên có thể yêu cầu học sinh thống kê một số các phép biến đổi đồng nhất thức cơ bản, thường gặp đối với từng mảng kiến thức được học. Đồng thời nhấn mạnh, khắc sâu điều kiện cần để xảy ra phép biến đổi đồng nhất đó. Chẳng hạn, nêu các phép biến đổi đồng nhất khi biến đổi phương trình vô tỷ: 1. 2. 3. và 4. 5. Sau khi học sinh liệt kê một số dạng đồng nhất thường gặp khi biến đổi phương trình vô tỷ, giáo viên cần giúp học sinh ý thức được việc biến đổi phương trình khi áp dụng phép biến đổi đồng nhất có thể làm thay đổi tập nghiệm, cũng có thể làm mở rộng hoặc thu hẹp tập nghiệm, tùy thuộc quá trình biến đổi chúng ta tách hoặc gộp các biểu thức có làm thay đổi tập xác định của bài toán không? Chẳng hạn như phép biến đổi ở ví dụ trên: là phép biến đổi làm thu hẹp tập xác định. Xuất phát từ định nghĩa căn thức dẫn đến Do đó nếu thay bởi thì chỉ mới xét trường hợp còn bỏ sót trường hợp . Giáo viên cần hình thành và rèn luyện kỹ năng giải phương trình, bất phương trình bằng biến đổi tương đương do áp dụng hằng đẳng thức, các phép biến đổi đồng nhất hoặc áp dụng định lý về phép biến đổi tương đương. Ngoài ra cũng cần quan tâm rèn luyện kỹ năng giải phương trình, bất phương trình bằng biến đổi hệ quả. Rèn luyện kỹ năng biến đổi phương trình là một khâu rất quan trọng trong quá trình giải phương trình, biến đổi sai lầm dẫn đến bài toán giải sai. Thế nhưng không dễ dàng gì học sinh nhận ra bước biến đổi của mình là sai lầm. Ví dụ 3: Giải phương trình: Có học sinh thay cơ số và biến đổi như sau: (6) tức (7) Tiếp tục biến đổi và rút gọn ta được: (8) Hỏi: x = 16 có là nghiệm duy nhất không? Thực tế thì x = 1 cũng là đáp số của bài toán. Hỏi: Vậy ở bước biến đổi nào có vấn đề? Câu hỏi này buộc học sinh phải phân tích từng bước trong quá trình giải để tìm ra vấn đề: Học sinh hiểu rõ ở từng bước sự biến đổi được dựa vào định nghĩa, định lý, hệ quả nào. ở bước 1 dựa vào hệ quả , ở bước 2 dựa vào định lý và , ở bước 3 dựa vào định nghĩa hàm số logarit và lũy thừa hai vế. Nhưng lại khó khăn tìm ra nguyên nhân sai lầm ở bước biến đổi nào. Giáo viên cần giúp học sinh xem xét, kiểm tra sự biến đổi ở từng bước. Phân tích quá trình giải ở bước 1, khi thay cơ số và biến đổi thành phương trình (6) ta đã co hẹp khoảng xác định của hàm số: Từ ban đầu x > 0 và biến thành mà phạm vi thu nhỏ lại vừa đúng nghiệm của phương trình ban đầu. Như vậy, vì xem thường phương trình biến đổi mà gây nên thu hẹp khoảng xác định, dẫn đến bỏ sót nghiệm, đó là một biểu hiện cụ thể tư duy không chặt chẽ trong quá trình biến đổi. Cần phải khắc phục sai lầm này như thế nào? - Hướng 1: Thử giá trị làm co hẹp khoảng xác định vào phương trình ban đầu, tìm lại nghiệm bị mất (nếu có). Thay x = 1 vào phương trình đã cho thấy thỏa mãn. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = 16. - Hướng 2: Tìm cách biến đổi khác không làm thay đổi khoảng xác định. Chẳng hạn: Nếu dùng cách thay đổi cơ số logarit thông thường thì không làm thay đổi khoảng định nghĩa, nên sẽ không bỏ sót nghiệm. Phương trình ban đầu có thể biến đổi như sau: Xảy ra hai trường hợp: Trường hợp 1: Trường hợp 2: Kiểm tra lại thấy thỏa mãn phương trình đã cho. Vậy phương trình có hai nghiệm . 2.2.3. Rèn kỹ năng giải phương trình thông qua đánh giá giá trị các biểu thức thành phần Có nhiều bài toán giải phương trình, bất phương trình bằng cách đánh giá giá trị các biểu thức thành phần cho ta kết quả nhanh chóng, dễ dàng mà các cách làm khác có thể bế tắc hoặc khó khăn, phức tạp hơn. Việc đánh giá giá trị các biểu thức thành phần có thể dựa trên tam thức bậc hai, các tính chất của bất đẳng thức, các bất đẳng thức cơ bản... ở đây chúng tôi muốn đề cập đến kỹ năng đánh giá trị các biểu thức thành phần dựa trên đặc điểm, tính chất của các hàm số thành phần có mặt trong phương trình, bất phương trình. Phải khẳng định rằng không phải bài toán nào cũng giải được bằng phương pháp đánh giá. Tùy thuộc vào đặc điểm từng dạng, từng biểu thức thành phần. Cần rèn cho học sinh có “con mắt nhìn toán học” nhạy bén và tinh tế khi đứng trước một bài toán, xem xét mối quan hệ giữa các giá trị của các biểu thức thành phần. Ví dụ 1: Giải phương trình: (1) Mới nhìn phương trình thấy hình thức rắc rối: Vế phải là tổng hai hàm số mũ và vế trái lại là hàm lượng giác phức tạp, học sinh thường không khỏi hoang mang, bế tắc. Giáo viên cần giúp học sinh nghiên cứu đặc điểm của từng biểu thức thành phần, tìm tập giá trị của chúng trên tập xác định . Hỏi: Tìm điều kiện của phương trình? Hỏi: Đánh giá giá trị của vế phải trên hay tìm tập giá trị của hàm thành phần ? Ta có: . Dấu bằng xảy ra khi tức là x = 0.Hỏi: Tiếp tục đánh giá giá trị của vế trái trên ? Do x = 0 thì , vì vậy x = 0 là giá trị duy nhất làm cho giá trị hai vế bằng nhau. Giáo viên cần chỉ cho học sinh thấy: có những phương trình cực kỳ phức tạp, sau khi cố gắng huy động tất cả những phương pháp quen thuộc vẫn không đem đến lời giải khi đó ta thử nghĩ tới con đường đánh giá giá trị các biểu thức thành phần. Cơ sở để ta nghĩ đến con đường này là nhận thấy hai vế rất khác biệt về tính chất, chúng có chứa các phép toán phức tạp và có vẻ như giá trị của từng vế có xu hướng không vượt quá, không bé thua một số nào đó. Ví dụ 2: Giải phương trình: (2) Nhìn vào phương trình học sinh không khỏi ái ngại, không biết lựa chọn phương pháp nào để giải. Đây là phương trình vô tỷ mà bậc của căn thức ở biểu thức thành phần lại khác nhau, không thể khử dấu căn bằng biến đổi tương đương. Nhưng nếu để ý, nhận thấy là nghiệm của phương trình. Vậy ngoài ra, phương trình còn nghiệm nào khác không? Lúc này cần huy động kỹ năng đánh giá giá trị các biểu thức thành phần ở học sinh. Xem xét kỹ càng hơn, nhận thấy bậc của ẩn x dưới dấu căn là bậc chẵn nên khi xét , có thể thay việc xét 3 trường hợp bằng việc xét gộp và . Trường hợp 1: Lấy (3) cộng với (4) ta được: Phương trình (2) vô nghiệm. Trường hợp 2: Cộng (5) và (6) ta có: Phương trình (2) vô nghiệm. Vậy phương trình có hai nghiệm là Tất nhiên không phải bài toán nào ta cũng tìm ngay được sự đối lập của các biểu thức thành phần mà cần phải biến đổi linh hoạt khi xem xét chúng với các điều kiện kèm theo (xét trên tập xác định) mới hy vọng thành công. Có những bài toán việc ta ý thức được khó có thể giải được bằng cách biến đổi thông thường, ta nghĩ tới con đường không mẫu mực đó là "đánh giá" thử áp dụng vào phương trình đó xem sao. Việc làm này, đôi khi chỉ mang tính mò mẫm, dự đoán chứ chưa đảm bảo thành công. Có hàng lớp các bài toán mà việc giải chúng có nhiều cách khác nhau, thậm chí có cả thuật giải để giải từng dạng toán đó, nhưng đối với từng bài cụ thể nếu ta chịu khó xem xét sự biểu hiện các mối liên hệ giữa các yếu tố tạo nên bài toán, tìm được sự đối lập tương đối, giữa các biểu thức thành phần, sự tương ứng giữa các giá trị của các biểu thức đó với điều kiện của bài toán và sự tương ứng giữa các giá trị của ẩn x với giá trị của các biểu thức khi đánh giá, ta có thể nhanh chóng tìm ra đáp số của bài toán. Ví dụ 3: Tìm tất cả các tham số m để bất phương trình sau có nghiệm: (7) Lời giải: Biến đổi (8) Để ý trong có: Mặt khác: . Do đó: . Vậy (7) có nghiệm khi và chỉ khi . Việc đánh giá giá trị các biểu thức thành phần cần dựa vào các giá trị cực trị, tập giá trị của hàm thành phần, ngoài ra còn lợi dụng tính đơn điệu, tính chẵn lẻ của các hàm thành phần. Chẳng hạn như ví dụ trên đã lợi dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ (Hàm số đồng biến trên khi a > 1, nghịch biến trên khi 0 < a <1). Ví dụ 4: Giải phương trình: (9) Biến đổi phương trình . Rõ ràng, không thể giải phương trình bằng cách biến đổi thông thường. Vế phải là hằng số còn vế trái là tổng của một hàm lượng giác và một hàm đa thức. Làm thế nào để chúng sát lại gần nhau? Ta nghĩ tới việc đánh giá giá trị của vế trái xem sao? Đặt Việc đánh giá giá trị của vế trái chính là việc tìm tập giá trị của hàm f(x) trên . Tuy nhiên nếu để ý ta nhận thấy: f(x) = f(-x); là hàm chẵn; nên chỉ cần xét với . Cách vạn năng để giải loại toán này là dùng công cụ đạo hàm. Thật vậy, ta có: . Do đó là hàm đồng biến là hàm đồng biến . Nên là nghiệm duy nhất của phương trình. Ví dụ 5: Giải phương trình: Đường lối chung để giải các phương trình vô tỷ là thực hiện các phép biến đổi tương đương, nhưng với bài toán cụ thể này thì việc vận dụng đường lối đó sẽ rất phức tạp. Lợi dụng tính chất của hàm số, đánh giá giá trị của vế phải xem sao? Xét hàm số .Ta có thể thấy ngay được các tính chất sau: - Miền xác định của hàm số f(x) là: - f(x) là hàm số chẵn vì f(x) = f(-x). Vì vậy ta hãy xét với mọi x: . Khi đó: Từ đó: cho nên với mọi x: phương trình vô nghiệm. Do tính chất chẵn của hàm số f(x) nên ta suy ra với mọi x: phương trình cũng vô nghiệm. Lời giải ngắn gọn của bài toán có được do ta khai thác đúng tính chất của hàm số f(x) có mặt trong bài toán. Ví dụ 6: Giải phương trình: (10) Nhận thấy x = 2 là nghiệm của phương trình. Thực hiện phép biến đổi tương đương: Lợi dụng tính chất của hàm số mũ, đánh giá trị của VT khi x > 2 và x < 2 ta thấy: Với x < 2: ;   (vì 0 < a <1 hàm số y = ax nghịch biến). Nên Phương trình (11) không có nghiệm x < 2. Tương tự xét x > 2: Do đó x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình. Ví dụ 7: Giải phương trình Rõ ràng không thể giải được bằng biến đổi thông thường. Hãy đánh giá trị của các biểu thức thành phần trên : VP = có Có kết luận gì về nghiệm của phương trình ? (Phương trình vô nghiệm) 2.2.4. Rèn kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán Trong khi tiến hành giải phương trình, người ta thường biến đổi, đưa về những phương trình đơn giản hơn và cuối cùng dẫn đến một phương trình đã biết cách giải. Tuy nhiên nếu hiểu từ "biến đổi" theo nghĩa thông thường, thuần túy thì không phải sự biến đổi nào cũng dẫn đến phương trình đơn giản hơn và đã có cách giải. Rất nhiều trường hợp cách làm đó không đem lại kết quả gì, do việc tính toán dẫn đến vô cùng phức tạp, bài toán dẫn đến không rơi vào trường hợp đặc biệt quen biết rõ ràng nào cả. Bằng cách "biến đổi" theo nghĩa rộng, phát biểu lại bài toán mà với cách phát biểu này, bài toán mới hoàn toàn tương đương với bài toán ban đầu nhưng dưới dạng dễ hiểu, cho ta cách giải bài toán tự nhiên và đơn giản. Việc chuyển đổi cách phát biểu bài toán đưa về bài toán tương đương bao hàm sự biến đổi đại số hoặc lượng giác, phép thế, ẩn số phụ, bằng cách chuyển đổi từ ngôn ngữ toán học này sang ngôn ngữ toán học khác (đại số, hình học, giải tích, tổ hợp ...). ở đây chúng tôi quan tâm nhiều đến việc chuyển đổi cách phát biểu bài toán ban đầu sang bài toán mới tương đương với nó, bằng cách đặt ẩn phụ, đây cũng là cách thường gặp khi giải phương trình. Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: (1) Lời giải chưa đúng: Điều kiện: Đặt Phương trình (1) trở thành: (2) Điều kiện để phương trình có nghiệm là: . Hai tình huống có thể xảy ra: Thứ nhất: Học sinh có ý tìm hiểu miền biến thiên của u để từ đó biết rằng tương ứng với u nào sẽ có x nhưng rất tiếc vì họ đã không giải quyết được điều đó cho nên không thiết lập được sự tương ứng. Thứ hai: Học sinh sẽ không nghĩ đến điều đó, không ý thức được quy luật rằng mỗi x thì tương ứng vơi một u nhưng có thể một u nào đó sẽ không có x nào cả. Rút cuộc đáp số cũng là nhưng muốn giải đúng thì phải bổ sung thêm đoạn sau: Với u0 > 0 thì Với thì Từ hai trường hợp trên suy ra: Mọi u đều tồn tại x. Bài toán quy về tìm m để phương trình (ẩn u) có nghiệm. Thực ra bài toán trên nếu khắc sâu mối quan hệ giữa ẩn cũ và ẩn mới, làm cho học sinh luôn ý thức tìm điều kiện cho ẩn phụ u khi biết miền xác định của x là . Đồng thời ý thức đựoc sự tương quan giữa tính có nghiệm của phương trình ban đầu với phương trình sau khi chuyển đổi, tránh thói quen áp đặt yêu cầu bài toán đối với ẩn ban đầu sang áp dụng cho ẩn phụ thì bài toán trên còn có cách giải khác (dĩ nhiên trong bài toán này việc tìm điều kiện cho ẩn phụ không dễ dàng gì nên chọn cách làm ở trên vẫn hơn). Việc chuyển đổi cách phát biểu bài toán về bài toán tương đương bằng cách đặt ẩn phụ, cần rèn cho học sinh thói quen đặt điều kiện cho ẩn phụ có lập luận, có căn cứ chặt chẽ, tránh đưa ra những nhận định về điều kiện của ẩn phụ một cách cảm tính thiếu cơ sở chặt chẽ như thì điều kiện là t > 0 vì t là hàm số mũ hay với x > 0 thì t > 0 vì t là tổng của hai số dương... Cố nhiên trong các bài toán giải phương trình, bất phương trình không chứa tham số thì việc đặt điều kiện đúng cho ẩn phụ chỉ giúp ta loại bỏ trường hợp vô nghiệm chứ không dẫn đến những sai lầm trong khi giải toán. Song, đối với những bài toán chứa tham số thì việc đặt đúng điều kiện cho ẩn phụ có tính chất tiên quyết đối với việc giải phương trình, bất phương trình đã cho. Trong trường hợp này, nếu ta lờ đi việc đặt điều kiện cho ẩn phụ hoặc đặt có điều kiện cho ẩn phụ nhưng không chính xác (điều kiện của ẩn phụ quá rộng hoặc quá hẹp) đều dẫn đến việc giải bài toán sai ngay từ bước đầu khi chuyển đổi bài toán thậm chí bế tắc không tìm ra được hướng giải. Ví dụ 2: Xác định m để phương trình sau có nghiệm: (3) Lời giải chưa đúng: Đặt . Điều kiện t > 0 (vì t là hàm số mũ). Khi đó phương trình có dạng: (4) Bài toán chuyển về tìm m để (4) có nghiệm t > 0. Xảy ra các trường hợp sau: Trường hợp 1: . Do đó phương trình vô nghiệm. Trường hợp 2: (3) có nghiệm (4) có nghiệm t > 0 Khả năng 1: (4) có một nghiệm t > 0 Khả năng 2: (4) có hai nghiệm t > 0: Do đặt điều kiện cho ẩn phụ chưa thật chính xác nên chưa thiết lập được sự tướng ứng giữa t và x, t > 0 chỉ là điều kiện hẹp, bởi thực chất điều kiện cho t phải là nên việc chuyển đổi bài toán ban đầu về bài toán theo ẩn phụ không tương đương. Vì vậy, làm việc với bài toán trên ẩn phụ không giải quyết được vấn đề đặt ra. Sau khi đặt đúng điều kiện của ẩn phụ thì bài toán chuyển về tìm m để (4) có nghiệm . Không khó khăn khi học sinh giải quyết bài toán mới này cho đáp số . Nếu không ý thức được mối quan hệ giữa miền biến thiên của ẩn phụ với miền xác định x của bài toán, lãng quên điều kiện của ẩn phụ thì học sinh sẽ lúng túng khi chuyển đổi bài toán hoặc giữ nguyên yêu cầu bài toán từ ẩn ban đầu áp đặt sang bài toán đối với ẩn phụ tức là chuyển đổi sai bài toán. Chẳng hạn như ví dụ 3, học sinh lãng quên điều kiện của t nên cho rằng (3) có nghiệm tương đương với (4) có nghiệm. Cần làm rõ mối quan hệ hai chiều giữa ẩn và ẩn mới, việc tìm điều kiện cho ẩn mới chính là việc tìm tập giá trị của hàm với mọi x thuộc miền xác định cuả bài toán. Cách vạn năng để tìm tập giá trị của hàm là dùng đạo hàm nhưng tùy từng bài cụ thể mà ta có thể có cách làm ngắn gọn hơn như áp dụng các bất đẳng thức cơ bản, tính chất của bất đẳng thức, của hàm số mũ, tam thức bậc hai... Cần rèn cho học sinh ý thức được sự tương ứng giữa yêu cầu của bài toán ban đầu và bài toán sau khi chuyển đổi. Ví dụ 3: Tìm m để phương trình: (5) có 4 nghiệm phân biệt. Học sinh nhận xét x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (5) nên chia cả hai vế của phương trình cho , ta được: Để tiến hành giải phương trình học sinh đặt ẩn phụ , điều kiện Được: (6) Vấn đề đặt ra là để (5) có 4 nghiệm phân biệt thì (6) có bao nhiêu nghiệm? Thỏa mãn điều kiện gì? Học sinh phải nhận thức được mỗi x thì tương ứng với một t nhưng ngược lại thì thế nào? Với mỗi t thì có thể không có x nào (khi ), có thể có một x (khi t = 2), có thể có hai x phân biệt (khi ), cơ sở có kết luận này từ việc đặt ẩn phụ khi nào có nghiệm, vô nghiệm. Học sinh nắm bắt được mối quan hệ tác động qua lại giữa số nghiệm phương trình (5) và số nghiệm phương trình (6) không những giải quyết tốt bài toán trên mà còn giải quyết được các bài toán như: Tìm m để phương trình vô nghiệm, có một nghiệm, có hai nghiệm phân biệt, có ba nghiệm phân biệt. Đồng thời có thể tổng quát hóa bài toán. Quay trở lại bài toán trên: Học sinh nhận thức được sự tương ứng mỗi nghiệm t của (6) mà ta được hai nghiệm phân biệt của (5). Do đó để (5) có bốn nghiệm phân biệt thì (6) có 2 nghiệm phân biệt t1, t2 sao cho và . Bài toán trở về tìm m để (6) có 2 nghiệm phân biệt t1, t2 sao cho và . Phần việc còn lại học sinh giải quyết bài toán cần huy động kiến thức về tam thức bậc hai. Cần rèn cho học sinh kỹ năng chuyển đổi từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ toán học Từ việc phát biểu bài toán bằng ngôn ngữ thông thường sang phát biểu bài toán bằng công thức, bằng ký hiệu toán học và ngược lại. Điều này không chỉ cần khi giảng dạy toán phương trình , cho học sinh thấy được sự ứng dụng thực tế của lý thuyết phương trình trong khoa học và đời sống mà còn giúp học sinh lĩnh hội tốt các phần kiến thức khác, nắm bắt các khái niệm, định lý ở dạng lời và ở dạng công thức toán học. Việc "phiên dịch" một vấn đề từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ toán học và ngược lại, giúp học sinh nắm vững kiến thức hơn đồng thời giúp cho việc hình thành các liên tưởng thuận và các liên tưởng nghịch ở học sinh. Thực ra việc rèn học sinh kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ toán học khi dạy học phương trình chính là việc làm kết hợp giữa dạy học giải phương trình và dạy học giải toán bằng cách lập trình. Theo Nguyễn Bá Kim khâu mấu chốt là dạy cho học sinh biết lập phương trình xuất phát từ tình huống thực tế của bài toán, cần xoáy vào rèn luyện cho học sinh hai khả năng sau: - Rèn luyện cho học sinh khả năng phát hiện những hệ thức giữa những đại lượng. - Rèn luyện cho học sinh khả năng sử dụng những biểu thức chứa biến để biểu thị những tình huống thực tế. Rèn kỹ năng chuyển đổi cách phát biểu bài toán, cần làm rõ cho học sinh xác định yêu cầu của bài toán trước và sau khi biến đổi, dựa trên phép biến đổi đó là tương đương hay hệ quả. Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: (7) Bằng việc chuyển vế và bình phương hai vế, đưa về phương trình: (8) Học sinh phải xác định được phương trình (7) có nghiệm không tương đương với phương trình (8) có nghiệm, nghiệm của (7) là nghiệm của (8) nhưng ngược lại không luôn đúng, vì phép biến đổi là phép biến đổi hệ quả. Như vậy, ý thức được điều này học sinh mới chuyển đổi đúng: Để phương trình (7) có nghiệm thì (8) phải có nghiệm . Ngoài ra cần rèn cho học sinh kỹ năng chuyển đổi bài toán từ bài toán thuận sang bài toán nghịch và ngược lại, sự chuyển đổi đó phải đầy đủ và triệt để. Việc chuyển đổi từ bài toán thuận sang bài toán ngược và ngược lại giúp ta giải quyết nhiều bài toán dễ dàng, đơn giản hơn. Nhưng cần phải giúp học sinh ý thức được sự chuyển đổi đó phải đúng và đầy đủ, nhiều học sinh mắc phải sai lầm khi chuyển đổi do không nắm vững lý thuyết mệnh đề hoặc áp dụng không đúng. Ví dụ 5: Định m để bất phương trình sau vô nghiệm: Nhiều học sinh cho rằng: Bài toán ngược của bài toán trên là "Định m để có nghiệm". Họ lý giải phủ định của f(x) -2, còn bài toán f(x) 1). 2.2.5. Rèn kỹ năng giải phương trình thông qua xét sự biến thiên của hàm số Nhiều bài toán việc biến đổi chúng một cách chân phương để tìm ra lời giải gặp nhiều khó khăn, phức tạp nhưng nếu dùng công cụ đạo hàm xét sự biến thiên của hàm số xác định được từ phương trình đã cho, đem lại kết quả nhanh chóng, gọn gàng. Đặc biệt là các bài toán phương trình, bất phương trình chứa tham số. Ví dụ 1: Chứng minh rằng với n chẵn và dương, a > 3 thì phương trình: (1) vô nghiệm. Để chứng minh phương trình (1) vô nghiệm ta cần chứng minh: f(x) > 0 với mọi x hoặc f(x) < 0 với mọi, trong đó f(x) là vế trái của phương trình (1). Do f(x) là đa thức bậc chẵn và n + 1 > 0, cho nên . Do đó để chứng minh phương trình đã cho vô nghiệm, ta chứng minh: f(x) > 0 với mọi x. Muốn vậy ta có thể chứng minh: Với a > 3 thì giá trị nhỏ nhất của f(x) là số dương. Dùng công cụ đạo hàm, ta tính f’(x). Ta có: . Việc xác định giá trị nhỏ nhất của f(x) được thể hiện trong bảng sau (chú ý n chẵn nên với mọi x). x 0 3 0 0 - - + f(x) Dựa vào kết quả thu được trên bảng, ta có: Do a > 3 nên từ đó fnn > 0 (Điều phải chứng minh). Trong bài toán này rõ ràng ta không thể làm được nếu sử dụng phép biến đổi thông thường. Ví dụ 2: Giải bất phương trình: (2) Biến đổi bất phương trình về dạng: (3) Việc biến đổi (2) về (3) hầu như học sinh làm được nhưng giải (3) như thế nào? Thông thường các em đưa về giải hệ: Giải bất phương trình thì không có gì đáng bàn nhưng giải bất phương trình thì sao? Rõ ràng không thể nghĩ tới việc giải bằng biến đổi thông thường vì vế trái của bất phương trình gồm hiệu của hai hàm (hàm mũ và hàm đa thức) khác hẳn nhau về tính chất nên chỉ có thể giải bằng phương pháp đánh giá hoặc bằng phương pháp hàm số. Thay vì việc tìm tiêu chí để đánh giá, học sinh luôn thường trực suy nghĩ về tư duy hàm sẽ nghĩ tới việc xét sự biến thiên của hàm xem sao? Ta có: Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta được với mọi x và với mọi . Đến đây việc giải quyết bất phương trình (3) trở nên đơn giản: Ví dụ 3: Giải phương trình: (4) Đối với bài toán này, học sinh có thể lựa chọn các cách làm như: đặt ẩn phụ, biến đổi tương đương để giải nhưng với những học sinh luôn xem xét bài toán này bằng "con mắt hàm số" thì không chịu dừng lại ở đó, các em tìm cách biến đổi, xem xét sự biến thiên của hàm số được xác định từ phương trình đã cho. Từ đó, có thể có những kết luận cần thiết để giải quyết bài toán. Hướng dẫn giải: - Hướng 1: Đặt ẩn phụ Điều kiện: , đặt (4) trở thành: . Suy ra x = 3. - Hướng 2: Dùng biến đổi tương đương - Hướng 3: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số Xét hàm số: . Tập xác định: Đạo hàm: với mọi x > -1 Nhận thấy: Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy ra x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = 0. Ví dụ 4: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có nghiệm: (5) Hướng dẫn tìm lời giải: Từ việc xem xét mối quan hệ giữa hai nhóm ẩn và chúng có mối quan hệ với nhau bởi hệ thức: Nhận xét đó cho ta hướng suy nghĩ gợi ý giải quyết bài toán bằng cách đặt ẩn phụ: Việc chuyển phương trình ẩn x về phương trình với ẩn phụ t học sinh thực hiện dễ dàng: (6) Nhưng với điều kiện thì điều kiện của t như thế nào? Có học sinh không ý thức được sự tương ứng giữa điều kiện của x và điều kiện của t nhưng có học sinh ý thức được điều này, lại lúng túng không biết làm thế nào? Trong các trường hợp này, cần hướng học sinh tìm điều kiện thông qua xét sự biến thiên của hàm số vì đây là cách vạn năng phù hợp với việc tìm tập giá trị của hàm nào đó, đặc biệt với những hàm phức tạp và có điều kiện của x kèm theo. Xét hàm với . Ta có: ; Bảng biến thiên của t theo x: x 1 2 3 t'(x) + 0 - t 2 Từ bảng biến thiên suy ra khi . Bài toán chuyển về tìm m để (6) có nghiệm thỏa mãn . Lúc này, học sinh có thể giải quyết bài toán bằng việc sử dụng kiến thức về tam thức bậc hai nhưng nếu nhìn bài toán theo tư tưởng hàm thì nghiệm của (6) thỏa mãn chính là hoành độ giao điểm của hàm số với hàm số y = m xét trên đoạn . Ta có: . Bảng biến thiên của f theo t: Suy ra: (6) có nghiệm thuộc đoạn khi và chỉ khi hay (5) có nghiệm khi và chỉ khi . Như vậy, ở bài toán này sau khi xác định được phương pháp giải bài toán bằng ẩn phụ, dùng bảng biến thiên để tìm điều kiện của ẩn phụ và một lần nữa dùng bảng biến thiên để tìm tập giá trị của hàm số cho bởi ẩn phụ với điều kiện xác định của ẩn phụ. Từ đó giải quyết được bài toán. Ví dụ 5: Cho bất phương trình: (7) Định m sao cho bất phương trình: a. Có nghiệm b. Nghiệm đúng với mọi Hướng dẫn tìm lời giải: Điều kiện: Đặt ;   + x 2 f(x) f'(x) 0 - 5 Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên có kết luận bài toán: a. f(x) > m có nghiệm m < 5 b. f(x) > m đúng Qua đây, ta thấy được việc dùng bảng biến thiên để tìm điều kiện ẩn phụ cũng như giải quyết các bài toán về phương trình, bất phương trình chứa tham số thật hữu hiệu. Vậy câu hỏi đặt ra là khi nào giải phương trình, bất phương trình lựa chọn công cụ đạo hàm, xét sự biến thiên của hàm số được xác định từ phương trình, bất phương trình đã cho? Khi đó, cần rèn cho học sinh những kỹ năng gì? - Nắm được kỹ năng xác định hàm số từ phương trình, bất phương trình đã cho. - Nắm được kỹ năng thực hiện các bước của một bài toán khảo sát sự biến thiên của hàm số. Có những bài toán xác định ngay được hàm số từ phương trình, bất phương trình và lợi dụng sự biến thiên của hàm số để giải quyết bài toán nhưng cũng có những bài toán cần phải biến đổi mới xác định được hàm cần xét sự biến thiên để giải quyết. Ví dụ 6: Giải hệ phương trình: Xem xét các phương trình có mặt trong hệ, từ đó có thể định hướng cách giải. Xét hàm số đại diện . có . Do đó hàm số f(t) luôn đồng biến. Hệ phương trình có dạng: . Vì hệ không thay đổi khi hoán vị vòng quanh đối với x, y, z nên có thể giả thiết . Nếu x > y thì . Mâu thuẫn. Tương tự nếu x > z ta cũng đi đến mâu thuẫn, suy ra x = y = z. Từ một phương trình trong hệ, ta có: . Ta được nghiệm của hệ: . Nhận xét: Xét hệ phương trình có dạng . Nếu các hàm số f(t), g(t) cùng đồng biến (hoặc cùng nghịch biến) thì lý luận như trên, ta suy ra . 2.3. Phát triển tư duy hàm cho học sinh thông qua giải toán phương trình 2.3.1. Tìm miền xác định của tương ứng hàm thông qua giải toán phương trình, bất phương trình Việc tìm miền xác định của tương ứng hàm khi giải toán nói chung giống như việc xác định được phạm vi “làm việc” của bài toán. Đặc biệt đối với khái niệm của hàm số đây là một yếu tố cơ bản khi đề cập tới khái niệm này. Ngoài ra, khoảng giá trị, tính đơn điệu, tính chẳn lẻ, cực trị, đồ thị hàm số và việc giải (hệ) phương trình, bất phương trình đều lấy miền xác định làm tiền đề, là cơ sở để thực hiện lời giải đúng, tránh những sai lầm đáng tiếc xảy ra khi giải toán. Theo Đoàn Văn Trung: Muốn tránh được sai sót đầu tiên phải hiểu sâu sắc vai trò ràng buộc của miền xác định trong khi giải các bài toán; thứ hai phải thực sự có nền tảng kiến thức vững chắc, nhất là làm rõ điều kiện áp dụng của các công thức, qui tắc; thứ ba phải xác lập cho mình một tư duy mạnh mẽ về miền xác định, tức là hình thành thói quen tư duy “hễ thấy đề có tham số bằng chữ thì nghĩ ngay đến miền xác định” [42, tr 252]. Bên cạnh việc hình thành ở học sinh ý thức tìm miền xác định, cần lưu ý học sinh “cảnh giác” khi biến đổi phương trình, bất phương trình trong quá trình giải, có thể làm thay đổi miền xác định (mở rộng hoặc thu hẹp) dẫn đến thừa hoặc thiếu nghiệm. Ví dụ 1: Giải phương trình: (1) Do trong đầu không thường trực suy nghĩ tìm miền xác định, học sinh “mặc nhiên” biến đổi (1) về dạng: (2) Giải (2) thu được 2 nghiệm x = 3, x = -17. Rồi kết luận phương trình có 2 nghiệm, sai lầm này do không đặt điều kiện cho (1) là 1 < x < 7 nên lấy cả nghiệm x = -17. Ví dụ 2: Giải phương trình: log0,5x x2 – 14log16xx3 + 40log4x = 0 ở bài toán này mặc dù học sinh ý thức được việc tìm miền xác định của phương trình: Nhưng trong quá trình biến đổi áp dụng công thức thay cơ số log: vô hình dung thu hẹp miền xác định. Biến đổi về dạng: Quy đồng mẫu số, tiến hành giải thu được 2 nghiệm x =4, x = (bỏ sót nghiệm x = 1) Việc hình thành ở học sinh ý thức tìm miền xác định khi giải phương trình nhằm tạo điều kiện tiền đề cho những bước suy luận tiếp theo trong quá trình kiếm tìm lời giải. Có những bài toán phương trình việc tìm miền xác định cho kết quả bài toán như giải phương trình: Mới nhìn vẻ cồng kềnh của phương trình làm ta “choáng váng”. Nhưng chúng ta hãy lưu ý đến điều kiện để phương trình có nghĩa: Thay vào phương trình đã cho ta có vế trái vế phải nên phương trình đã cho vô nghiệm. Tìm miền xác định không chỉ là điều kiện để các biểu thức trong phương trình tồn tại, loại bỏ được nghiệm ngoại lai mà thông qua việc tìm miền xác định định hướng cách giải. Ví dụ 3: Giải bất phương trình Điều kiện: Dựa vào điều kiện ta xét các trường hợp: (Trường hợp 1:; trường hợp 2: ) thực hiện giải toán ta thu được kết quả hoặc x = 1. Ngoài ra trong một số bài toán dựa vào điều kiện ta loại bỏ bớt các trường hợp, giảm tính phức tạp của bài toán. Chẳng hạn giải hệ bất phương trình: Từ việc tìm tập xác định làm cơ sở để đánh giá giá trị của các biểu thức thành phần hoặc xét tính đơn điệu của các hàm thành phần tìm ra hướng giải quyết bài toán. Ví dụ 4: Giải hệ phương trình Điều kiện: Với điều kiện trên ta thấy: Tất nhiên có thể giải bài toán theo các phương pháp khác, chẳng hạn phương pháp đặt ẩn phụ: nhưng chắc chắn sẽ phức tạp hơn. Ví dụ 5: Giải phương trình: Điều kiện: Biến đổi phương trình đã cho về dạng: Vì : Nhận thấy (3) là phương trình vô tỷ (căn bậc 4), nếu luỹ thừa để khử dấu căn thì chỉ làm tăng mức độ phức tạp của bài toán. Vậy ta thử nghĩ dựa vào tập xác định xét tính đơn điệu của các hàm thành phần xem sao ? Đặt: f(x) =1 - Với mọi thì f là hàm giảm, g là hàm tăng mà f(1) = g(1) = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình Việc tìm chính xác tập xác định của phương trình, bất phương trình có ý nghĩa đặc biệt quan trọng trong bài toán giải và biện luận, các bài toán giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp lượng giác hoá, nhất là tìm điều kiện của ẩn phụ trong các bài toán chứa tham số (sự tương ứng giữa x và t: nào đó thì thuộc tập nào ? Tức là từ điều kiện của ẩn x kéo theo điều kiện của ẩn phụ t). Ví dụ 6: Giải phương trình: Hướng dẫn tìm lời giải. - Tìm tập xác định ? - Từ điều kiện của x gợi cho ta giải quyết bài toán bằng phương pháp nào? (phương pháp lượng giác hoá) Đặt x = sint với Thực hiện lời giải: Phương trình trở thành: Vì do Ví dụ 7: Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm: Bài toán này đã từng được đề cập, từ việc xác định đúng điều kiện làm cơ sở để xác định điều kiện ẩn phụ (tất nhiên xác định đúng điều kiện đối với x chưa chắc đã xác định đúng điều kiện đối với t, nhưng nếu xác định điều kiện đối với x sai thì chắc chắn điều kiện đối với t sai). Từ đó chuyển đổi bài toán yêu cầu đối với x sang yêu cầu đối với t. 2.3.2. Tìm giá trị vào, giá trị ra của một tương ứng thông qua giải toán phương trình Theo Nguyễn Bá Kim, một trong những tư tưởng chủ đạo về phát triển tư duy hàm đó là: Tập luyện cho học sinh phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng những sự tương ứng trong khi và nhằm vào thực hiện những yêu cầu toán học. Các hoạt động như xác định giá trị ra khi biết giá trị vào và ngược lại, nhận biết quy tắc tổng quát của một mối liên hệ (trong trường hợp có thể) khi đã cho cặp giá trị vào và giá trị ra tương ứng trong mối liên hệ đó. Nhận biết được đơn trị của sự tương ứng. Đánh giá được sự biến thiên mong muốn đối với giá trị ra khi thay đổi giá trị vào và ngược lại dự đoán được sự phụ thuộc lẫn nhau hay các mối quan hệ nhân quả... Là những hoạt động được cụ thể hoá từ việc nghiên cứu kỹ sự tương ứng sau khi đã phát hiện và thiết lập được sự tương ứng. Trên cơ sở đó lợi dụng sự tương ứng để giải quyết các vấn đề mà nội bộ môn Toán đặt ra. Việc nêu ra các bài toán dưới dạng yêu cầu tìm giá trị vào hoặc những giá trị vào khi biết giá trị ra hoặc điều kiện đối với giá trị ra không những giúp học sinh hiểu rõ các thuật ngữ “phương trình”, “bất phương trình”, “giải phương trình”... mà còn rèn luyện và phát triển về mặt tư duy hàm cho học sinh. Ví dụ 1: