Đề tài Phân loại và phương pháp giải bài tập điện động lực vĩ mô

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN VẬT LÝ -- -- LÊ THỊ MỸ DUYÊN LỚP: DH5L KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGÀNH VẬT LÝ PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP ĐIỆN ĐỘNG LỰC VĨ MÔ Giảng viên hướng dẫn: Th.S VŨ TIẾN DŨNG Long Xuyên, Tháng 5 năm 2008 Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu trường Đại Học An Giang, Ban chủ nhiệm Khoa Sư Phạm và các giáo viên trong Tổ Bộ Môn Vật Lý đã tạo điều kiện để tôi được làm khóa luận. Đặc biệt, tôi xin cảm ơn giáo viên Th.s Vũ Tiến Dũng đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa luận. Ngoài ra, tôi xin cảm ơn những người bạn, người thân đã luôn động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi làm khóa luận. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót, mong quý thầy cô cùng các bạn đọc nhận xét, góp ý thêm. 1 Phần một: Mở đầu I. Lý do chọn đề tài Bài tập vật lý có vai trò đặc biệt quan trọng trong quá trình nhận thức và phát triển năng lực tư duy của người học, giúp cho người học ôn tập đào sâu mở rộng kiến thức, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng vật lý vào thực tiễn, góp phần phát triển tư duy sáng tạo. Vì vậy, phân loại và đề ra phương pháp giải bài tập vật lý là việc làm rất quan trọng và cần thiết đối với sinh viên sư phạm. Vật lý học hình thành bằng con đường thực nghiệm nên tính chất cơ bản của nó là thực nghiệm. Và để biểu diễn các quy luật vật lý, trình bày nó một cách chính xác, chặt chẽ trong những quan hệ định lượng phải dùng phương pháp toán học. Vật lý lý thuyết là sự kết hợp giữa phương pháp thực nghiệm và toán học. Như vậy, vật lý lý thuyết có nội dung vật lý và phương pháp toán học. Điện động lực học là một môn học của vật lý lý thuyết, nên cũng có những đặc điểm đó. Điện động lực vĩ mô nghiên cứu và biểu diễn những quy luật tổng quát nhất của trường điện từ và tương quan của nó với nguồn gây ra trường. Sau khi học xong học phần Điện động lực, tôi cảm thấy đây là môn học tương đối khó. Nguyên nhân, đây là môn học mới, có nhiều hiện tượng, khái niệm, định luật,… mới. Ngoài ra, muốn làm được bài tập Điện động lực, chúng ta phải biết được quy luật, bản chất vật lý và phải biết sử dụng phương pháp toán học (phương trình, hàm số, phép tính vi tích phân, các toán tử, phương pháp gần đúng,…). Trong khi vốn kiến thức về toán học thì hạn chế. Nên việc tìm ra một phương pháp giải cho bài tập Điện động lực là khó khăn. Với mục đích tìm hiểu sự tương ứng giữa những hiện tượng vật lý có tính quy luật (được biểu diễn dưới dạng những bài tập) với những mô hình toán học cụ thể, để qua đó xây dựng khả năng đoán nhận ý nghĩa vật lý của các mô hình toán học trong Điện động lực học nói riêng và vật lý lý thuyết nói chung mà tôi đã chọn đề tài: ”Phân loại và phương pháp giải bài tập Điện động lực học vĩ mô”. II. Đối tượng nghiên cứu Hệ thống các bài tập Điện động lực vĩ mô và các mô hình toàn học tương ứng với các mức độ nhận thức. III. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1. Mục đích nghiên cứu • Trang bị cho bản thân nội dung lý thuyết về quy luật nhận thức. • Phân loại bài tập dựa theo mức độ nhận thức. • Tìm phương pháp giải cho các loại bài tập. • Soi sáng nội dung lý thuyết, áp dụng thực tế. 2. Nhiệm vụ nghiên cứu • Tìm hiểu các quy luật của quá trình nhận thức và mức độ nhận thức. • Sưu tầm hệ thống bài tập liên quan nội dung lý thuyết được học. • Xác định nội dung lý thuyết tương ứng với các mức độ nhận thức. 2 • Xây dựng các tiêu chí để phân loại bài tập. • Đưa ra phương pháp giải chung và áp dụng phương pháp chung cho một số bài tập. • Một số bài tập đề nghị. IV. Phạm vi nghiên cứu Hệ thống các bài tập thuộc ba chương (Trường tĩnh điện, Trường tĩnh từ, Trường chuẩn dừng) của Điện động lực vĩ mô thuộc học phần Điện động lực học. V. Giả thuyết khoa học Căn cứ vào mức độ nhận thức, nếu phân loại và đề ra phương pháp giải bài tập Điện động lực học phù hợp với chương trình đào tạo giáo viên trung học phổ thông thì giúp nâng cao được chất lượng học tập của sinh viên. VI. Phương pháp nghiên cứu 1. Phương pháp đọc sách và nghiên cứu tài liệu. 2. Phương pháp lấy ý kiến của chuyên gia. 3. Phương pháp gần đúng. 4. Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết. VII. Đóng góp của đề tài • Xây dựng hệ thống bài tập theo mức độ nhận thức phần Điện động lực vĩ mô. • Làm tài liệu tham khảo cho sinh viên đặc biệt là sinh viên ngành vật lý. Nhằm nâng cao chất lượng học tập học phần Điện động lực học của sinh viên. VIII. Cấu trúc khóa luận Phần I: Mở đầu. I. Lý do chọn đề tài. II. Đối tượng nghiên cứu. III. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu. IV. Phạm vi nghiên cứu. V. Giả thuyết khoa học. VI. Phương pháp nghiên cứu. VII. Đóng góp của đề tài. VIII. Cấu trúc khóa luận. IX. Kế hoạch nghiên cứu. Phần II: Nội dung. Chương I: Cơ sở lý luận của đề tài. Chương II: Phân loại phương pháp giải. Phần III: Kết luận. 3 IX. Kế hoạch nghiên cứu • 7- 12/10/2007: Lựa chọn đề tài và nhận nhiệm vụ từ giảng viên hướng dẫn. • 13- 20/10/2007: Sưu tầm tài liệu cho đề tài. • 21- 26/10/2007: Xây dựng tiêu chí để phân loại bài tập. • 27/10- 2/11/2007: Xây dựng đề cương chi tiết. • 3- 16/11/2007: Hoàn thành đề cương chi tiết. • 17/11/2007-5/5/2008: Hoàn thành khóa luận. 4 Phần hai: Nội dung Chương I Cơ sở lý luận của đề tài 1. Lý luận về hoạt động nhận thức 1.1. Khái niệm hoạt động nhận thức Hoạt động nhận thức là quá trình tâm lý phản ánh hiện thực khách quan và bản thân con người thông qua các giác quan và dựa trên kinh nghiệm hiểu biết của bản thân. Việc nhận thức thế giới có thể đạt những mức độ khác nhau: từ đơn giản đến phức tạp, từ thấp đến cao. Vì thế, hoạt động nhận thức chia thành: nhận thức cảm tính và nhận thức lý tính. 1.2. Nhận thức cảm tính: là mức độ nhận thức đầu tiên, thấp nhất của con người. Trong đó con người phản ánh những thuộc tính bên ngoài, những cái đang trực tiếp tác động đến giác quan của họ. Nhận thức cảm tính bao gồm: cảm giác và tri giác. • Cảm giác: là quá trình nhận thức phản ánh từng thuộc tính riêng lẻ, bề ngoài của sự vật, hiện tượng và trạng thái bên trong của cơ thể khi chúng đang trực tiếp tác động vào giác quan của ta. • Tri giác: là quá trình nhận thức phản ánh một cách trọn vẹn các thuộc tính của sự vật, hiện tượng khi chúng trực tiếp tác động vào các giác quan của ta. 1.3. Nhận thức lý tính: là mức độ nhận thức cao ở con người, trong đó con người phản ánh những thuộc tính bên trong, những mối quan hệ có tính quy luật của hiện thực khách quan một cách gián tiếp. Nhận thức lý tính bao gồm: tư duy và tưởng tượng. • Tư duy: tư duy là một quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết. • Tưởng tượng: là một quá trình nhận thức phản ánh những cái chưa từng có trong kinh nghiệm của cá nhân bằng cách xây dựng hình ảnh mới trên cơ sở những biểu tượng đã có. 2. Lý luận về bài tập vật lý 2.1. Khái niệm bài tập vật lý Bài tập vật lý là một vấn đề đặt ra đòi hỏi người học phải giải quyết nhờ những suy luận logic, những phép tính toán và những thí nghiệm dựa trên cơ sở các định luật và các phương pháp vật lý. 2.2 Tác dụng của bài tập vật lý • Bài tập vật lý giúp người học ôn tập, đào sâu, mở rộng kiến thức. • Bài tập vật lý là điểm khởi đầu để dẫn tới kiến thức mới. • Giải bài tập vật lý có tác dụng rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo vận dụng lý thuyết vào thực tiễn, rèn luyện thói quen vận dụng kiến thức khái quát. • Giải bài tập vật lý có tác dụng rèn luyện cho người học làm việc tự lực. 5 • Giải bài tập vật lý có tác dụng phát triển tư duy sáng tạo của người học. • Giải bài tập vật lý có tác dụng kiểm tra mức độ nắm vững kiến thức của người học. 3. Lý luận về phân loại bài tập vật lý Có nhiều kiểu phân loại bài tập vật lý: phân loại theo mục đích, phân loại theo nội dung, phân loại theo cách giải, phân loại theo mức độ nhận thức…Tùy theo mục đích sử dụng mà ta chọn cách phân loại phù hợp. ¾ Phân loại theo nội dung: có thể phân ra làm 4 loại. o Phân loại theo phân môn vật lý: chia các bài tập theo các đề tài của tài liệu vật lý. Bài tập về cơ học, bài tập về nhiệt học, bài tập về điện học,… Sự phân chia có tính quy ước. o Phân loại theo tính chất trừu tượng hay cụ thể của nội dung bài tập. Nét đặc trưng của những bài tập trừu tượng là nó tập trung làm nổi bản chất vật lý của vấn đề cần giải quyết, bỏ qua những yếu tố phụ không cần thiết. Những bài toán như vậy dễ dàng giúp người học nhận ra là cần phải sử dụng công thức hay định luật hay kiến thức vật lý gì để giải. Các bài tập có nội dung cụ thể, là nó gắn với cuộc sống thực tế và có tính trực quan cao. Khi giải các bài tập vật lý này người học nhận ra tính chất vật lý của hiện tượng qua phân tích hiện tượng thực tế, cụ thể của bài toán. o Phân loại theo tính chất kỹ thuật: đó là các bài toán có nội dung chứa đựng các tài liệu về sản xuất công nghiệp, nông nghiệp, về giao thông, vận tải, thông tin liên lạc… o Phân loại theo tính chất lịch sử: đó là những bài tập chứa đựng những kiến thức có đặc điểm lịch sử: những dữ liệu về các thí nghiệm vật lý cổ điển, về những phát minh, sáng chế hoặc về những câu chuyện có tính chất lịch sử. ¾ Phân loại theo cách giải: có thể phân ra làm 4 loại. o Bài tập câu hỏi (bài tập định tính): là loại bài tập mà việc giải không đòi hỏi phải làm một phép tính nào hoặc chỉ phải làm những phép tính đơn giản có thể tính nhẩm được. Muốn giải bài tập này phải dựa vào những khái niệm, những định luật vật lý đã học, xây dựng những suy luận logic, để xác lập mối liên hệ phụ thuộc về bản chất giữa các đại lượng vật lý. o Bài tập tính toán (bài tập định lượng): là loại bài tập mà việc giải đòi hỏi phải thực hiện một loạt các phép tính. Được phân làm hai loại: bài tập tập dượt và bài tập tổng hợp.Bài tập tập dượt là loại bài tập tính toán đơn giản, muốn giải chỉ cần vận dụng một vài định luật, một vài công thức. Loại này giúp củng cố các khái niệm vừa học, hiểu kỷ hơn các định luật các công thức và cách sử dụng chúng, rèn luyện kỹ năng sử dụng các đơn vị vật lý và chuẩn bị cho việc giải các bài tập phức tạp hơn. Bài tập tổng hợp là loại bài tập tính toán phức tạp, muốn giải phải vận dụng nhiều khái niệm, nhiều công thức có khi thuộc nhiều bài, nhiếu phần khác nhau của chương trình. Loại bài tập này có tác dung đặc biệt trong việc mở rông, đào sâu kiến thức giữa các thành phần khác nhau của chương trình và bài tập này giúp cho người học biết tự mình lựa chọn những định luật, nhiều công thức đã học. o Bài tập thí nghiệm: là những bài tập đòi hỏi phải làm thí nghiệm mới giải được bài tập. Những thí nghiệm mà bài tập này đòi hỏi phải tiến hành được ở phòng thí nghiệm hoặc ở nhà với những dụng cụ thí nghiệm đơn giản mà người học có thể 6 tự làm, tự chế. Muốn giải phải biết cách tiến hành thí nghiệm và biết vận dụng các công thức cần thiết để tím ra kết quả. Loại bài tập này kết hợp được cả tác dụng của các loại bài tập vật lý nói chung và các loại bài thí nghiệm thực hành. Có tác dụng tăng cường tính tự lực của người học. o Bài tập đồ thị: là loại bài tập trong đó các số liệu được dùng làm dữ liệu để giải, phải tìm trong các đồ thị cho trước hoặc ngược lại, đòi hỏi người học phải biểu diễn quá trình diễn biến của hiện tượng nêu trong bài tập bằng đồ thị. ¾ Phân loại theo mức độ nhận thức: dựa vào thang đo nhận thức Bloom, ta có thể phân loại bài tập theo các mức độ: o Bài tập vận dụng, tái hiện tái tạo: là khả năng ghi nhớ và nhận diện thông tin. o Bài tập hiểu áp dụng: là khả năng hiểu, diễn dịch, diễn giải, giải thích hoặc suy diễn. o Bài tập vận dụng linh hoạt: là khả năng sử dụng thông tin và kiến thức từ một sự việc này sang sự việc khác. o Bài tập phân tích, tổng hợp: phân tích là khả năng nhận biết chi tiết, phát hiện và phân biệt các bộ phận cấu thành của thông tin hay tình huống; tổng hợp là khả năng hợp nhất nhiều thành phần để tạo thành vật lớn, khả năng khái quát. o Bài tập đánh giá: là khả năng phán xét giá trị hoặc sử dụng thông tin theo các tiêu chí thích hợp. 4. Lý luận về phương pháp giải bài tập vật lý 4.1 Phương pháp giải bài tập vậy lý Xét về tính chất của các thao tác tư duy khi giải các bài tập vật lý, người ta thường dùng phương pháp phân tích và phương pháp tổng hợp. • Giải bài tập bằng phương pháp phân tích Theo phương pháp này xuất phát điểm của suy luận là đại lượng cần tìm. Người giải phải tìm xem đại lượng chưa biết có liên quan gì với những đại lượng vật lý nào, và khi biết được sự liên hệ này thì biểu diễn nó thành những công thức tương ứng. Nếu một vế của công thức là đại lượng cần tìm còn vế kia chỉ gồm những dữ kiện của bài tập thì công thức ấy cho ta đáp số của bài tập. Nếu trong công thức còn những đại lượng khác chưa biết thì đối với mỗi đại lượng, cần tìm một biểu thức liên hệ nó với các đại lượng vật lý khác, cứ làm như thế cho đến khi nào biểu diễn được hoàn toàn đại lượng cần tìm bằng những đại lượng đã biết thì bài toán đã được giải xong. Như vậy theo phương pháp này ta có thể phân tích một bài toán phức tạp thành những bài toán đơn giản hơn rồi dựa vào những quy tắc tìm lời giải mà lần lượt giải các bài tập đơn giản này, từ đó tìm ra lời giải của bài tập phức tạp trên. • Giải bài tập bằng phương pháp tổng hợp Theo phương pháp này suy luận không bắt đầu từ đại lượng cần tìm mà bắt đầu từ các đại lượng đã biết, có nêu trong đề bài. Dùng công thức liên hệ các đại lượng này với các đại lượng chưa biết, ta đi dần tới công thức cuối cùng, trong đó chỉ có một đại lượng chưa biết là đại lượng cần tìm. Nhìn chung giải bài tập vật lý ta phải dùng chung hai phương pháp phân tích và tổng hợp. Phép giải bắt đầu bằng phân tích các điều kiện của bài toán để hiểu đề bài, 7 phải có sự tổng hợp kèm theo ngay để kiểm tra lại mức độ đúng đắn của các sự phân tích ấy. Muốn lập được kế hoạch giải phải đi sâu phân tích nội dung vật lý của bài tập, tổng hợp những dữ kiện đã cho với những quy luật vật lý đã biết, ta mới xây dựng được lời giải và kết quả cuối cùng. Vậy ta đã dùng phương pháp phân tích và tổng hợp. 4.2 Trình tự giải bài tập vật lý • Bước 1: Tìm hiểu đề bài - Đọc, ghi ngắn gọn các dữ liệu xuất phát và các vần đề phải tìm. - Mô tả lại tình huống đã nêu trong đề bài, vẽ hình minh họa. - Nếu đề bài cần thì phải dùng đồ thị hoặc làm thí nghiệm để thu được các dữ liệu cần thiết. • Bước 2: Xác lập những mối liên hệ cơ bản của các dữ liệu xuất phát và các cái phải tìm. - Đối chiếu các dữ liệu xuất phát và cái phải tìm, xem xét bản chất vật lý của những tình huống đã cho để nghĩ đến các kiến thức, các định luật, các công thức có liên quan. - Xác lập các mối liên hệ cơ bản, cụ thể các dữ liệu xuất phát và các vấn đề phải tìm. - Tìm kiếm lựa chọn các mối liên hệ tối thiểu cần thiết sao cho thấy được mối liên hệ của cái phải tìm với các dữ liệu xuất phát, từ đó có thể rút ra vấn đề cần tìm. • Bước 3: Rút ra kết quả cần tìm Từ các mối liên hệ cần thiết đã xác lập, tiếp tục luận giải, tính toán để rút ra kết quả cần tìm. • Bước 4: Kiểm tra, xác nhận kết quả để có thể xác lập kết quả cần tìm, cần kiểm tra lại việc giải theo một hoặc một số cách sau: - Kiểm tra xem đã tính toán đúng chưa. - Kiểm tra xem thứ nguyên có phù hợp không. - Kiểm tra kết quả bằng thực nghiệm xem có phù hợp không. - Giải bài toán theo cách khác xem có cho cùng kết quả không. 4.3 Lựa chọn bài tập vật lý Lựa chọn một hệ thống bài tập thỏa mãn các yêu cầu sau: • Các bài tập phải từ dễ đến khó, đơn giản đến phức tạp, giúp người học nắm được phương pháp giải các bài tập điển hình. • Hệ thống bài tập cần bao gồm nhiều thể loại bài tập. Bài tập giả tạo và bài tập có nội dung thực tế, bài tập luyện tập, bài tập sáng tạo, bài tập thừa hoặc thiếu dữ kiện, bài tập có tính chầt ngụy biện và nghịch lý, bài tập có nhiều cách giải khác nhau, bài tập có nhiều lời giải tùy thuộc những điều kiện cụ thể của bài tập. • Lựa chọn chuẩn bị các bài tập nêu vấn đề để sử dụng trong tiết dạy nghiên cứu tài liệu mới nhằm kích thích hứng thú học tập và phát triển tư duy của người học. 8 • Lựa chọn những bài tập nhằm củng cố, bổ sung, hoàn thiện những kiến thức cụ thể đã học, cung cấp cho học sinh những hiểu biết về thực tế, kỹ thuật có liên quan với kiến thức lý thuyết. • Lựa chọn, chuẩn bị các bài tập điển hình nhằm hướng dẫn cho người học vận dụng kiến thức đã học để giải những loại toán cơ bản, hình thành phương pháp chung để giải các bài tập đó. 5. Tóm tắt nội dung lý thuyết 5.1. Trường điện từ Trường điện từ là một dạng đặc biệt của vật chất. Nó có tính hai mặt là liên tục dưới dạng sóng và gián đoạn dưới dạng lượng tử (hạt photon). Trường điện từ thể hiện sự tồn tại và vận động qua tương tác với các hạt mang điện đứng yên hay chuyển động những lực phụ thuộc khoảng cách và vận tốc của chúng. Tính liên tục của trường điện từ thể hiện ở cấu trúc sóng. Trong chân không trường điện từ lan truyền với vận tốc không đổi độc lập với tần số của trường và có giá trị bằng vận truyền của ánh sáng trong chân không. Tính gián đoạn của trường điện từ thể hiện ở cấu trúc lượng tử (hay hạt). Trường điện từ có tính hai mặt là sóng và hạt đồng thời, nhưng tùy thuộc phạm vi không gian khảo sát nghiên cứu nó mà đặc tính này hay đặc tính kia thể hiện rõ rệt hơn. Trong phạm vi vĩ mô thì trường điện từ thể hiện đặc tính sóng là chính. Còn trong phạm vi vi mô đặc tính hạt của trường điện từ lại nổi trội. Trường điện từ biểu hiện rõ ở hai dạng là điện trường và từ trường khác nhau nhưng liên quan chặt chẽ với nhau. Điện trường biến đổi sinh ra từ trường và ngược lại từ trường biến đổi sinh ra điện trường. 5.2. Tính chất của trường điện từ Trường điện từ là trường vectơ và có thể biểu diễn qua các đường sức của trường. Trường điện từ mang năng lượng. 5.3. Nguồn của trường điện từ: là điện tích và dòng điện được đặc trưng bởi đại lượng: điện tích Q hoặc mật độ điện tích ρ, dòng điện I hoặc mật độ dòng điện J . 5.4. Các đại lượng vật lý đặc trưng cho trường điện từ 5.4.1. Vectơ cường độ điện trường E Trường do các điện tích đứng yên hoặc chuyển động (dòng điện) sinh ra. Để đặc trưng cho trường điện từ về dạng trường, người ta dùng đại lượng vật lí là: vectơ cường độ điện trường E . Điện trường được đặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặc trong trường theo biểu thức: EqF = (1) F là lực tác dụng của điện trường có cường độ E lên điện tích q đặt trong trường tại một điểm nào đó, q là điện tích thử. Nếu điện tích thử là dương và có giá trị bằng một đơn vị điện tích (q=1C) thì: 9 F q FE == Cường độ điện trường E tại một điểm nào đó là một đại lượng vectơ có trị số bằng lực tác dụng lên một điện tích dương đặt ở điểm đã cho. Từ biểu thức (1) và định luật Coulomb ta xác định được cường độ điện trường E do điện tích điểm Q tạo ra: 24 r rQ q FE o o πε== Quy ước: Điện tích Q là dương thì đường sức của điện trường E của nó sẽ hướng theo bán kính vectơ đơn vị or từ điểm đặt nguồn ra ngoài, còn khi Q âm thì hướng của E sẽ đổi chiều ngược lại. Trong chân không hay không khí, có N điện tích điểm riêng rẽ, thì theo nguyên lí chồng chất điện trường: ok N k k k o N k k rr Q EE ∑∑ == == 11 4 1 πε . Điện trường do các dây, mặt và thể tích tích điện được tính: o l l o l rr dlE ∫= 24 1 ρπε o S S o S rr dSE ∫= 24 1 ρπε o V V o V rr dVE ∫= 24 1 ρπε 5.4.2. Vectơ cảm ứng điện D Trong chân không vectơ cường độ điện trường E đủ để mô tả trạng thái của điện trường. Nhưng trong các môi trường vật chất ảnh hưởng của chúng đối với điện trường cần phải được tính đến. Do vậy ngoài vectơ cường độ điện trường người ta đưa vào vectơ điện cảm hay cảm ứng điện D r Nếu điện trường tồn tại trong môi trường vật chất thì dưới tác dụng của trường sẽ xảy ra hai hiện tượng: - Sự xê dịch các điện tích liên kết trong phạm vi phân tử và nguyên tử hay mạng tinh thể vật chất. - Sự chuyển động có hướng của các điện tích tự do. Điện trường trong điện môi được đặc trưng bởi vectơ điện cảm D r có dạng : D r = Eo r /εε = Erε 10 Với: ε = /εε o là độ thẩm tuyệt đối hay hằng số điện môi tuyệt đối của môi trường. /ε là độ điện thẩm tương đối của môi trường. E rε là vectơ điện cảm trong chân không hoặc trong không khí. 5.4.3. Vectơ cảm ứng từ B Từ trường được tạo ra bởi các điện tích chuyển động hay dòng điện. Từ trường được đặc trưng bởi đại lượng vật lý và vectơ từ cảm hay cảm ứng từ B r . Vectơ từ cảm B r đặc trưng cho tác dụng lực của từ trường lên điện tích chuyển động hay dòng điện theo định lực Loren sau: [ ]BvqF ×= Trong đó: v là vectơ vận tốc chuyển động của điện tích q trong từ trường có vectơ từ cảm B r . F r là lực tác dụng của từ trường lên điện tích có hướng vuông góc với các đường sức từ trường B r và vectơ vận tốc v . Nếu có một đơn vị điện tích (q =1c) dương chuyển động vuông góc với đường sức từ trường B r với vận tốc v =1 m/s thì giá trị của vectơ từ cảm B r bằng độ lớn của từ lực F r tác dụng lên điện tích này. Chiều của 3 vectơ F r , B r , v được xác định theo quy tắc bàn tay trái. Từ trường do yếu tố dòng điện lId tạo ra đặc trong chân không được xác định bởi định luật thực nghiệm Biôxava có dạng : Bd = [ ]oo rldrI ×24πµ Trong đó: r là khoảng cách từ điểm tính trường với từ cảm Bd đến yếu tố dòng điện lId . or r là vectơ đơn vị của r hướng từ yếu tố lId đến điểm tính trường. oµ là hằng số từ môi tuyệt đối hay độ từ thẩm tuyệt đối của chân không. Vậy từ trường chân không có vectơ từ cảm B r do dòng điện I chảy trong dây dẫn l tạo ra trong chân không: [ ]o l o rld r IB ×= ∫ 24πµ 5.4.4. Vectơ cường độ từ trường H Trong chân không vectơ từ cảm B r đủ để mô tả trạng thái của từ trường. Nhưng trong môi trường vật chất ta phải tính đến ảnh hưởng của chúng lên từ trường. Cũng giống như với điện trường người ta dùng vectơ cường độ từ trường H r đặt trưng cho từ các môi trường vật chất. 11 H r = µµµ BB o rr =/ Trong đó: µ là độ từ thẩm tuyệt đối hay hằng số từ môi tuyệt đối của môi trường. 'µ là độ từ thẩm tương đối hay hằng số từ môi tương đối của môi trường. 5.5. Các định luật và lý thuyết biểu diễn trường điện từ 5.5.1. Định luật Ohm dạng vi phân Trong môi trường dẫn điện dưới tác dụng của điện trường các điện tích tự do chuyển động định hướng tạo nên dòng điện gọi là dòng điện dẫn.Cường độ dòng điện dẫn I chảy qua mặt S đặt vuông góc với nó bằng lượng điện tích Q dịch chuyển qua mặt S trong một đơn vị thời gian. Theo định nghĩa ta có: I = - dt dQ Ở đây, dấu (-) chỉ dòng I được xem là dương khi điện tích Q giảm. Dòng dẫn I là một đại lượng vô hướng. Để mô tả đầy đủ sự chuyển động của các hạt mang điện trong môi trường dẫn, người ta đưa ra khái niệm mật độ dòng điện dẫn J r . Nó là một vectơ được xác định bởi biểu thức sau: EvvNeJ σρ === : biểu thức định luật Ohm dạng vi phân. Dòng điện dẫn I qua mặt S nào đó có thể viết dưới dạng sau: ∫ ∫== S S SdESdJI σ 5.5.2. Định luật bảo toàn điện tích Điện tích có thể phân bố gián đoạn hay liên tục. Nó không tự sinh ra và cũng không tự mất đi. Nó có thể dịch chuyển từ vùng này sang vùng khác tạo nên dòng điện dẫn. Điện tích tuân theo định luật bảo toàn. Định luật bảo toàn điện tích được phát biểu như sau: Lượng điện tích đi ra khỏi một mặt kín S bao quanh thể tích V trong một khoảng thời gian nào đó bằng lượng điện tích ở trong thể tích này giảm đi trong khoảng thời gian ấy. Giả sử trong thể tích V tuỳ ý của môi trường vật chất được bao bởi mặt kín S tại thời điểm t chứa một lượng điện tích là Q với mật độ khối ρ . Ta có: ∫= V dVQ ρ (1) Sau một khoảng thời gian dt lượng điện tích trong thể tích V giảm đi một lượng là dQ. Theo định luật bảo toàn điện tích lượng điện tích giảm đi trong V bằng lượng điện tích đi khỏi V qua mặt S trong khoảng thời gian dt để tạo ra dòng điện dẫn I. Từ dt dQI −= và (1), ta có: ∫−= V dV dt dI ρ 12 Vì thể tích V đứng yên và áp dụng biểu thức ∫= S SdJI , nên ta được: ∫∫ ∂∂−= VS dVtSdJ ρ là biểu thức dạng tích phân của định luật bảo toàn điện tích. Hay ∫∫∫ ∂∂−= VVS dVtdVJdivSdJ ρ Vì thể tích V là tuỳ ý nên: 0=∂ ∂+ t Jdiv ρ là biển thức dạng vi phân của định luật bảo toàn điện tích hay còn gọi là phương trình liên tục. 5.5.3. Định luật cảm ứng điện từ * Phát biểu: Sức điện động cảm ứng xuất hiện trong một vòng dây kim loại kín về số trị bằng tốc độ biến thiên của từ thông đi qua điện tích của vòng dây. dt decu φ−= Dấu (-) nói lên rằng sức điện động cảm ứng e cu trong vòng dây sinh ra dòng điện có chiều sao cho từ trường của nó chống lại sự biến thiên của từ thông. Ở đây,φ là từ thông tức thông lượng của vectơ cảm ứng từ B qua mặt S bao bởi vòng dây: ∫= S SdBφ Ta có thể biểu diễn sức điện động cảm ứng e cu xuất hiện trong vòng dây như là lưu thông của vectơ cường độ điện trường E r do dòng cảm ứng sinh ra dọc theo vòng dây kín dạng: ∫= l cu ldEe Sd t BldE Sl ∫∫ ∂∂−=→ : là biểu thức của định luật cảm ứng điện từ. 5.5.4. Định luật Gauxơ Thông lượng của vectơ điện cảm D r qua một mặt S nào đó là một đại lượng vô hướng được xác định bởi tích phân sau: ∫= S SdDφ Trong đó: Sd là yếu tố vi phân diện tích của S hướng theo pháp tuyến ngoài. 13 Giả sử một mặt kín S dạng tuỳ ý nào đó bao quanh điện tích điểm q.Ta hãy tính thông lượng của vectơ điện cảm D r do điện tích q tạo ra qua mặt kín S. ( ) Ω=== dq r SdDqdSSdDd ππφ 44 ,cos 2 Trong đó: ( )SdDdS ,cos là hình chiếu của yếu tố dS lên phương của vectơ Dr dΩ là vi phân góc đặt từ điện tích q nhìn bao toàn diện tích dS. Thông lượng của vectơ điện cảm D r qua toàn mặt S tính được: qqdSdD S =Ω== ∫∫ Ωπ φ 4 1 Nếu trong thể tích V bao bởi mặt kín S có các điện tích điểm khác nhau là nqqq ,...,, 21 thì vectơ điện cảm của các điện tích trên là chồng chất các vectơ điện cảm do từng điện tích tạo ra. Ta có: ∑ = = n k kDD 1 Nên thông lượng được tính: ∑∫ ∑∫ = ∑ = ==== n k S n k kk S QqSdDSdD 1 1 φ (1) Vậy thông lượng của vectơ điện cảm qua mặt kín S bất kỳ bằng điện lượng tổng cộng của các điện tích nằm trong thể tích V bao bởi mặt kín này. Chú ý: Vì tổng (1) là tổng đại số các điện tích nên thông lượng φ có thể nhận giá trị âm hoặc dương . Nếu điện tích trong thể tích V bao bởi mặt S với mật độ khối ρ thì tổng ở vế phải (1) được thay bằng tích phân theo thể tích ρ . Ta có: QdVSdD VS === ∫∫ ρφ Biểu thức (1) và (2) là các biểu thức của định luật Gauxơ. 5.5.5. Định luật dòng toàn phần * Phát biểu: lưu thông của vectơ cường độ từ trường H r dọc theo một đường cong kín bất kỳ bằng đại số các dòng điện chảy qua diện tích bao bởi đường cong này. * Biểu thức: IIldH n k k l == ∑∫ =1 Nếu dòng điện chảy qua mặt S có phân bố liên tục với mật độ dòng j thì định luật dòng toàn phần được viết: SdjldH Sl ∫∫ = 14 5.5.6. Các phương trình Maxwell * Phương trình Maxwell thứ nhất: - Phương trình dạng tích phân: Sd t DSdjldH SSl ∫∫∫ ∂∂+= (*) Phương trình (*) mô tả mối quan hệ giữa các vectơ của trường điện từ ( H r , D r ) trong một vòng kín bất kỳ và các dòng điện (dẫn và dịch) chảy qua nó. Để mô tả quan hệ giữa chúng ở từng điểm trong không gian ta cần dẫn ra dạng vi phân của phương trình này. Sd t DSdjSdHrotldH SSSl ∫∫∫∫ ∂∂+== Vì mặt S là tùy ý nên nhận được phương trình Maxwell thứ nhất dạng vi phân: t DjHrot ∂ ∂+= Nếu môi trường có độ dẫn điện riêng σ = o (điện môi tưởng và chân không) thì do J r = E r∂ =0 nên: rot H r = t D ∂ ∂ r (2) Phương trình (2) chỉ ra rằng: dòng điện dịch hay điện trường biến thiên cũng tạo ra từ trường xoáy tương đương như dòng điện dẫn. * Phương trình Maxwell thứ hai: - Phương trình dạng tích phân: Sd t BldE Sl ∫∫ ∂∂−= (3) Nếu áp dụng định lý Grin Stôc cho vế trái của phương trình (3) với S là tùy ý ta nhận được phương trình Maxwell thứ hai dạng vi phân là: rot E r = - t B ∂ ∂ r (4) Phương trình (4) chỉ ra rằng từ trường biến thiên tạo ra điện trường xoáy. * Phương trình Maxwell thứ ba và thứ tư: - Phương trình dạng tích phân: ∫ S SdD r = ∫ S dVρ = Q ∫ = S SdB 0 Áp dụng định lý Ôtstrôgrats ki- Gauxơ ta được: ∫ V dVDdiv r = ∫ V dVρ =Q 15 ∫ V dVBdiV r = 0 Vì thể tích V là tùy ý nên ta nhận được các phương trình Maxwell thứ ba và thứ tư dạng vi phân sau: ( ) ( )60 5 = = Bdiv Ddiv ρ Phương trình (5) chỉ ra rằng: điện tích là nguồn của điện trường. Khi 0≠ρ đường sức điện trường không khép kín. Nó xuất phát từ điện tích dương và kết thúc ở điện tích âm. Khi 0=ρ điện trường sinh ra chỉ do từ trường biến thiên nên đường sức của nó hoặc khép kín hoặc tiến ra vô cùng. Phương trình (6) mô tả trong tự nhiên không tồn tại từ tích. Đường sức của từ trường là khép kín hoặc tiến ra vô cùng. 5.5.7. Năng lượng trường điện từ Trường điện từ là một dạng đặc biệt của vật lý. Nó mang năng lượng và cũng như các dạng năng lượng khác năng lượng trường điện từ tuân theo định luật bảo toàn. Năng lượng của trường điện từ bao gồm năng lượng điện (điện năng) và năng lượng từ (từ năng) phân bố trong không gian thể tích V theo biểu thức: ( )dVwwdVHEWWW V Me V Me ∫∫ +=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +=+= 22 22 µε We, WM là điện năng và từ năng trong thể tích V. we, wM là mật độ khối điện năng và mật độ khối từ năng. Năng lượng của trường điện từ có thể biến từ dạng điện sang dạng từ và ngược lại, hoặc biến sang các dạng năng lượng khác và dịch chuyển trong không gian. 6. Các công thức toán học giải tích vectơ ™ Gradien của một hàm vô hướng: dn dngrad o ψ= , on là vectơ pháp tuyến của mặt const=ψ hướng theo chiều tăng của ψ . • Trong hệ tọa độ Đêcac: z z y y x xgrad ooo ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂= ψψψψ • Trong hệ tọa độ trụ: z z rr rgrad ooo ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂= ψϕ ψϕψψ 1 • Trong hệ tọa độ cầu: ϕ ψ θϕθ ψθψψ ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂= sin 11 rrr rgrad ooo ™ Divecgence của một vectơ A : V sdA Adiv S V ∆= ∫ →∆ 0lim , S là mặt kín bao thể tích V∆ . 16 • Trong hệ tọa độ Đêcac: z a y A x A Adiv zyx ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂= • Trong hệ tọa độ trụ: ( ) z AA r rA rr Adiv zr ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂= ϕ ϕ11 • Trong hệ tọa độ cầu: ( ) ( ) ϕθθθθ ϕθ ∂∂+∂∂+∂∂= ArArArrrAdiv r sin1sinsin11 22 ™ Rot của một vectơ A : S dlA imlArot L Sn ∆= ∫ →∆ 0 • Trong hệ tọa độ Đêcac: zyx ooo AAA zyx zyx Arot ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= • Trong hệ tọa độ trụ: zr ooo ArAA zr zrr r Arot ϕ ϕ ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= 1 • Trong hệ tọa độ cầu: ϕθ θ ϕθ ϕθθ θ ArrAA r rrr r Arot r ooo sin sin sin 1 2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ™ Toán tử Hamintơn hay Nabla trong hệ tọa độ cong trực giao 33 03 22 02 11 01 111 qh q qh q qh q ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂=∇ ™ Toán tử vi phân bậc hai Laplace của một hàm vô hướng • Trong tọa độ Đêcac: 2 2 2 2 2 2 2 zyx ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂=∇ ψψψψ • Trong hệ tọa độ trụ: 2 2 2 2 2 2 11 zrr r rr ∂ ∂+∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂=∇ ψϕ ψψψ • Trong hệ tọa độ cầu: 2 2 222 2 2 2 sin 1sin sin 11 ϕ ψ θθ ψθθθ ψψ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂=∇ rrr r rr ™ Các định lý 17 • Định lý Ôtstrôgratski- Gauxơ: SdAdVAdiv SV ∫∫ = Trong đó, S là mặt kín bao thể tích V, dSnSd o= , on là vectơ đơn vị pháp tuyến ngoài của mặt S. • Định lý Grin- Stôc: ldASdArot LS ∫∫ = Trong đó, l là chu vi kín bao diện tích S, chiều đi dọc theo chu vi kín L được lấy ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn từ đầu cuối của vectơ pháp tuyến on của diện tích S. Chương II Phân loại và phương pháp giải bài tập 1. Cơ sở phân loại bài tập 1.1. Đặc điểm của môn học Điện động lực học, là một môn học thuộc bộ môn vật lý lý thuyết. Vì vậy nó có những đặc điểm chung của ngành vật lý lý thuyết. Một trong những đặc điểm nổi bật đó là vật lý lý thuyết có nội dung vật lý và phương pháp toán học. Vì vậy, Động lực học nói riêng và vật lý lý thuyết nói chung có hai nhiệm vụ chính: ¾ Diễn tả các quy luật vật lý dưới dạng các hệ thức định lượng và thành lập mối liên hệ nội tại giữa các sự kiện quan sát được trong thực nghiệm, xây dựng những lý thuyết tổng quát bao gồm nhiều sự vật, hiện tượng thuộc một hoặc nhiều lĩnh vực của điện, từ và giải thích được một phạm vi rộng rãi nhiều hiện tượng vật lý. o Lý thuyết điện từ của Maxwell đã thống nhất hai mặt tương tác cơ bản tương tác điện và từ trên cơ sở quan điểm về tính liên tục của các phân bố điện tích, dòng điện và không gian tồn tại của trường, ở đó bỏ qua cấu trúc phân, nguyên tử của các vật thể và tính gián đoạn của các điện tích. o Thuyết electron, cũng là lý thuyết và các hiện tượng điện từ nhưng ở đó có xét đến cấu trúc gián đoạn của điện tích và cấu trúc phân nguyên tử của không gian. o Thuyết tương đối là thuyết tổng quát hơn cho phép chúng ta hiểu được thực chất của điện động lực học và các mô tả của chúng gần với thực tiễn tồn tại của chúng hơn. ¾ Dùng phương pháp toán học để diễn tả và biển diễn các hiện tượng, quy luật vật lý và hơn thế nữa, bằng phương pháp toán học để tìm ra những quy luật mới, những quy luật tổng quát hơn các quy luật đã biết, dự đoán được những mối quan hệ mới giữa các hiện tượng vật lý mà thực nghiệm chưa chứng minh được. Phương pháp toán học trong điện động lực học cũng có những đặc điểm riêng, một trong những đặc điểm đáng lưu ý nhất đó là tính gần đúng của các nghiệm vật lý trong phương trình toán học, sự vật và hiện tượng tồn tại trong nhiều mối quan hệ ràng buộc phức tạp, do đó cần phải lựa chọn những tương quan chủ yếu để lựa chọn nghiệm vật lý phù hợp. Khi giải một bài toán thông thường là một trường hợp riêng, cá biệt đó là một quá trình chuyển hoá từ cái tổng quát, trừu tượng về cái cụ thể, đơn lẻ, từ cái chung 18 đến cái riêng là muôn hình muôn vẽ, nó thể thiện trình độ nhận thức của người giải. Vì vậy trong khoá luận này, một trong những tiêu chí để chúng tôi phân loại bài tập là theo mức độ nhận thức, dựa vào thang đo Bloom, bao gồm: o Hiểu: Đòi hỏi người giải hiểu đúng hiện tượng, biết mô tả và biển diễn các đại lượng, hiểu các quan hệ giữa chúng để giải quyết được nhiệm vụ cụ thể đặt ra. Thông thường các quan hệ liên quan trực tiếp tới các dữ kiện, giả thiết đã cho. o Vận dụng: Đòi hỏi người giải phải xác định đúng các diễn biến của các hiện tượng, qua đó xác định mối quan hệ giữa các mặt trong hiện tượng đó. Từ đó, xác định mối quan hệ chíng giữa cac hiện tượng để thiết lập các tương quan toán học giữa chúng, thông thương các tương quan không liên hệ trực tiếp với giả thiết của bài toán. o Phân tích tổng hợp: Đòi hỏi người giải phải phân tích các thông tin mô tả trong bài toán, từ đó chỉ ra các hiện tượng, các nguyên nhân có tính bản chất của các hiện tượng để xây dựng quy luật vật lý, thiết lập các quy luật tổng quát hơn, để biển diễn bằng các mệnh đề toán học tổng quát, việc giải nó cho kết quả là một họ nghiệm, lựa chọn nghiệm phù hợp. 1.2. Cấu trúc nội dung môn học Căn cứ vào nội dung, chương trình môn học điện động lực ở trường Đại học An Giang, chúng tôi phân loại theo cấu trúc nội dung môn học bao gồm: 1.2.1. Trường tĩnh điện. 1.2.2. Trường tĩnh từ. 1.2.3. Trường chuẩn dừng. 1.3. Căn cứ vào mục tiêu bài tập Mối quan hệ cơ bản của các bài toán trong Điện động lực, đó là quan hệ giữa nguồn và trường bao gồm hai mặt tương tác và năng lượng. Vì vậy có thể xây dựng 4 loại bài tập cơ bản: 1.3.1. Cho biết trường, tìm quy luật phân bố của nguồn. 1.3.2. Cho biết phân bố của nguồn, xác định quy luật của trường. 1.3.3. Tương tác và trao đổi năng lượng giữa các trường, giữa trường với các điện tích và dòng điện khác đặt trong trường. 1.3.4. Sự chuyển hoá giữa các mặt của cùng một trường. 2. Phân loại và giải bài tập 2.1. Trường tĩnh điện 2.1.1. Cơ sở lý thuyết Trường tĩnh điện là trường của các điện tích đứng yên đối với không gian tồn tại của trường. Quy luật phân bố của trường phụ thuộc vào quy luật phân bố của điện tích và chịu ảnh hưởng của không gian tồn tại của trường. Do đó, để giải các bài tập trong chương này cần xác định được: ™ Quy luật phân bố điện tích với tư cách như là nguồn của trường. 19 ™ Ảnh hưởng của phân bố đến không gian về mặt tích điện theo các nguyên tắc cảm ứng. ™ Quy luật phân bố của trường trong chân không và trong điện môi và khi chuyển từ điện môi này sang điện môi khác. Quy luật phân bố của trường trên cả hai lĩnh vực động lực và năng lượng. ™ Sự chồng chất của nguồn của trường và trường. ™ Cơ sở là lý thuyết của Maxwell về điện từ trường. Theo tư tưởng đó có thể phân các bài tập thành các loại: ™ Tìm trường với các nguồn phân bố khác nhau: rời rạc, liên tục, đối xứng • Phân bố rời rạc: là hệ bao gồm một hay nhiều điện tích điểm đặt cách nhau những khoảng rất lớn so với kích thước các điện tích, hoặc là hệ các vật tích điện khác nhau. • Phân bố liên tục: Các điện tích được coi là phân bố liên tục khi bỏ qua kích thước khoảng cách giữa các điện tích trên vật. - Phân bố dạng sợi chỉ: có tiết diện đều và rất nhỏ, có chiều dài rất dài. dl dq=λ λ: mật độ điện tích dài, khi λ= const, thì phân bố đó là phân bố đều. - Phân bố mặt: Sự có mặt điện tích trên một lớp mỏng h<< so với kích thước mặt của lớp a. dS dq=σ σ: đại lượng đặc trưng cho phân bố mặt, gọi là mật độ điện mặt. Nếu σ = const đối với không gian thì phân bố này gọi là phân bố đều. Nếu σ không phụ thuộc thời gian thì phân bố này là phân bố dừng. - Phân bố khối: Sự có mặt điện tích trong toàn bộ thể tích của vật. dV dq=ρ ρ: mật độ điện khối. Nếu ρ = const thì phân bố này gọi là phân bố đều. Nếu không phụ thuộc thời gian thì phân bố này là phân bố dừng. • Phân bố đối xứng: có 3 loại: - Đối xứng phẳng: Một phân bố điện tích D trong thể tích V, với mật độ ρ là một hàm của tọa độ. Nếu mặt phẳng xOy là mặt phẳng đối xứng của D thì: ρ(x,y,z)=ρ(x,y,-z), phân bố đang xét có tính chất đối xứng phẳng qua mặt phẳng xOy. - Đối xứng trụ: Một phân bố điện tích D trong thể tích V, với mật độ ρ(x,y,z)=ρ(r,θ,z). Nếu ρ(r,θ,z)=ρ(r), thì D có tính chất đối xứng trụ. - Đối xứng cầu: Một phân bố điện tích D trong thể tích V, với mật độ ρ(x,y,z)=ρ(r,θ,ϕ). Nếu ρ(r,θ,ϕ)=ρ(r), thì D có tính chất đối xứng cầu. 20 ™ Tìm lực tương tác và năng lượng của trường. ™ Trường và điện môi. 2.1.2. Một số phương pháp giải các bài toán điện tĩnh a) Phương pháp ảnh điện Phương pháp này dùng cho những bài toán tìm trường của một hay một số điện tích điểm khi có các mặt biên. Nội dung của phương pháp này là chọn các điện tích điểm tưởng tượng ở phía bên kia mặt biên (điện tích ảnh), sao cho các điện tích này cùng với điện tích đã gây ra điện trường giống như điện trường do điện tích thật và mặt biên gây ra. Ví dụ 1: Tính thế ϕ của một điện tích điểm nằm cách mặt phẳng dẫn có thế ϕ=0 một khoảng d. Giải: Hình 1-1 Điện tích q nằm bên cạnh mặt phẳng dẫn (hình 1-1a) gây ra điện trường tương đương với điện trường do hai điện tích q và q’ gây ra (hình 1-1b). ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++−πε=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +πε=ϕ dR 'q dR q 4 1 'r 'q r q 4 1P (1.1) Vì ϕ =0 tại mặt phẳng d = 0 nên từ (1.1)suy ra q’ = - q (1.2) Thay (1.2) vào (1.1) ta được ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−−πε=ϕ dR 1 dR 1 4 qP (1.3) Ví dụ 2: Tính thế ϕ của một điện tích điểm nằm cách tâm một mặt cầu dẫn điện nối đất (ϕ = 0 ) một khoảng bằng d. Bán kính của hình cầu là R. Giải: Điện tích q nằm cạnh mặt cầu dẫn điện gây ra điện trường tương đương ứng với điện trường do hai điện tích q và q’ gây ra (q nằm tại điểm A và q’ nằm tại điểm A’). Điện thế ϕ tại điểm pháp tuyến (hình 1.2) bằng: R P d q ϕ = 0 q' r' d R p r q d b) a) 21 ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +πε=ϕ 'OAr 'q OAr q 4 1 'r 'q r q 4 1P oo (1.4) Hình 1.2 Nếu n và n’ là các vectơ đơn vị dọc theo ro và d (ở đây OA = d và OA’ = d’) thì: ( ) ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + −πε =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+−πε=ϕ n 'd r 'n'd 'q 'n r dnr q 4 1 'n'dnr 'q 'dnnr q 4 1P o o o oo (1.5) Tại mặt cầu ro = R thế ϕ = 0 nên ta có thể đặt 'd 'q R q −= 'n 'd R'n'n R dn −=− (1.6) Từ đó suy ra: d Rd q d Rq 2 ' ' ' ' = −= (1.7) Thay (1.7) vào (1.4) ta được: ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+−πε=ϕ dRrd d dr R R4 1P 2 o 2 3 o (1.8) b) Phương pháp nghịch đảo Cơ sở của phương pháp này là nếu ta biết nghiệm của một bài toán điện tĩnh này thì ta có thể tìm được nghiệm của một bài toán điện tĩnh khác bằng một phép biến đổi thích hợp, miễn là phép biến đổi đó không làm thay đổi dạng của phương trình Laplace. Trong hệ toạ độ cầu phương trình Laplace có dạng: O R ro r’ r A d q P λ’ 22 0 sinr 1sin sinr 1 r r rr 1 2 2 222 2 2 =α∂ ϕ∂ θ+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ θ∂ ϕ∂θθ∂ ∂ θ+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ϕ∂ ∂ ∂ Có thể thấy dễ dàng rằng, phương trình này bảo toàn dạng của nó nếu ta thực hiện phép biến đổi ααθθ === ',',' 2 r ar (1.9) Phép biến đổi như thế gọi là phép biến đổi nghịch đảo, α là một hằng số có thứ nguyên độ dài gọi là bán kính nghịch đảo Nếu ta thay hàm ϕ bằng ϕ=ϕ 'r a' (1.10) Và nếu ta thay hàm ϕ thoã mãn phương trình Laplace thì hàm ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ρ=ϕ 'r 'r a 'r a'r' 2 2 (1.11) Cũng là nghiệm của phương trình đó. Khi thực hiện phép biến đổi nghịch đảo thì cả điện tích lẫn kích thước của các vật thể ở trong điện trường tĩnh đều thay đổi. Ta có thể lấy ví dụ sau: cho một điện tích điểm q và vật dẫn được nối đất (thế ϕ của nó bằng không) và ở vô cực thì ϕ = - ϕ = const. Sau khi thực hiện phép biến đổi nghịch đảo, điều kiện biên không thay đổi vì khi ϕ = 0 thì ϕ’ cũng bằng không, điện tích nằm tại điểm ro chuyển sang điểm. o2 o 2 o rr a'r ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= Theo phép biến đổi (1.9) và có điện tích là q’. Khi r → ro thế ϕ(r) sẽ tiến đến vô cực theo định luật orr4 q −πε=ϕ Lấy vi phân của hệ thức 'r 'r ar 2 2 = Chúng ta được ( ) ( )24' o 4 2 'r r ar δ=δ Ở đây 'oo r'r,rrr =δ−=δ Theo (1.10) khi r’ → r’o hàm ϕ’ tiến đến vô cực theo định luật 'ra qr r q r 'a' ' o ' o δ =δ=ϕ Tương ứng với điện tích or a.q a qr'q == (1.12) 23 Ở gốc toạ độ r’ = 0 tương ứng với r → ∞. Nhưng khi r → ∞ thì hàm ϕ(r) → (-ϕ0) . Do đó khi r’ → 0 thì hàm ϕ’ → ∞ theo định luật 0'r a' ϕ=ϕ Điều đó có nghĩa là tại r’ = 0 có điện tích: qo = - αϕo (1.13) Sau đay ta xét hình dạng hình học của vật dẫn thay đổi như thế nào sau phép biến đổi nghịch đảo. Trường hợp riêng ta xét một mặt cầu bán kính R có tâm tại điểm Ro . Mặt cầu đó được cho bởi phương trình. ( ) 22o RRr =− (1.14) Thực hiện biến đổi nghịch đảo, ta thu được phương trình: 2 2 o2 2 RR'r 'r a =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − (1.15) Nhân hai vế với r’2 và thực hiện một số phép biến đổi, ta đưa phương trình về dạng: ( ) 22o 'R'R'r =− (1.16) Ở đây, 2 o 2 2 o2 o 2 2 o RR Ra'R;R RR a'R −=−= (1.17) Như vậy trong toạ độ mới chúng ta lại thu được hình cầu khác có bán kính R’ và tâm tại Ro’. Nếu hình cầu đầu tiên đi qua gốc toạ độ (R=Ro) thì R’ = ∞ và hình cầu biến thành một mặt phẳng. Mặc khác từ (1.15) khi thay R = Ro ta suy ra phương trình: 0nn R2 a'r o 2 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − (1.18) Ở đây Ro = Rn , nghĩa là mặt phẳng đó vuông góc với Ro và cách gốc toạ độ một khoảng R2 a R2 a 2 o 2 = (3.9.19) Như vậy sau phép biến đổi nghịch đảo, điện tích q biến thành q’ (công thức (1.12)); ở gốc toạ độ (tâm nghịch đảo) xuất hiện điện tích qo (công thức (1.13)) và mặt cầu dẫn điện biến thành mặt phẳng tương ứng phương trình (1.18). Nếu chúng ta có hai mặt cầu giao nhau thì sau biến đổi nghịch đảo hai mặt cầu đó sẽ biến thành hai mặt phẳng giao nhau và với các mặt phẳng đó ta có thể giải bằng phương pháp ảnh điện. c) Phương pháp ánh xạ bảo giác Trường chỉ phụ thuộc vào hai toạ độ Descartes (x,y) gọi là trường phẳng. Công cụ sắc bén để giải các bài toán điện tĩnh phẳng là lý thuyết hàm biến phức. Cơ sở để ứng dụng lý thuyết này như sau: 24 Trường tĩnh điện trong chân không thỏa mãn hai phương trình 0=×∇ E và ∇E= 0. Phương trình thứ nhất cho phép ta dựa vào thế của trường dựa theo công thức E = - ∇ϕ. Còn phương trình thứ hai chứng tỏ rằng, cùng với thế ϕ ta có thể đưa vào cả thế vectơ A theo công thức E = ∇ x A. Trong trường phẳng, vectơ E nằm trong mặt phẳng (x,y) và chỉ phụ thuộc vào hai toạ độ đó. Một cách tương ứng, vectơ A có thể chọn sao cho tại mọi nơi nó hướng vuông góc với mặt phẳng (x,y). Khi đó các thành phần của điện trường được biểu diễn dưới dạng hàm của ϕ hoặc A theo x A y E y A x E y x ∂ ∂−=∂ ϕ∂= ∂ ∂=∂ ϕ∂−= (1.20) Nhưng theo quan điểm toán học thuần tuý, các hệ thức như vậy giữa các đạo hàm của các hàm ϕ và A trùng với các điều kiện Cauchy – Riemann quen thuộc biểu diễn sự kiện là biểu thức phức. ω = ϕ - iA (1.21) là hàm giải tích của đối số phức. z = x + iy (1.22) Điều đó có nghĩa là hàm w(z) có đạo hàm xác định tại mọi điểm, không phụ thuộc vào hướng lấy đạo hàm. Chẳng hạn lấy đạo hàm theo hướng của trục x, ta tìm được x Ai xdz dW ∂ ∂−∂ ϕ∂= Hay theo (1.20) ta có: yx iEEdz Wd +−= (1.23) Hàm w được gọi là thế phức Các đường sức của trường được xác định bởi phương trình. yx E dy E dx = (1.24) Biểu diễn Ex và Ey dưới dạng đạo hàm của A, chúng ta có thể viết lại phương trình trên dưới dạng 0dAdy y Adx x ==∂ ∂+∂ Α∂ (1.25) Từ đó suy ra A(x,y) = const Như vậy các đường trên đó phần ảo của hàm w(x) có giá trị không đổi là những đường sức của trường, còn các đường trên đó phần thực của hàm đó có giá trị không đổi là các đường thế. Tính trực giao của hai họ đường đi có thể suy ra từ (1.20) 0 y A yx A x =∂ ∂ ∂ ϕ∂+∂ ∂ ∂ ϕ∂ (1.26) Phần thực cũng như phần ảo của hàm giải tích w(z) điều thoả mãn phương trình Laplace. Do đó cũng có thể coi Imw là thế của trường. Một cách tương ứng, các 25 đường sức khi đó sẽ được cho bởi các phương trình Rew = const. Thay cho (1.21) khi đó ta có w = A + iϕ (1.27) Như vậy muốn tìm thế và đường sức của điện trường tĩnh trong một bài toán cụ thể nào đó ta phải biết hàm w(z) tương ứng với bài toán đó. Thông thường khi biết được sự phân bố các điện tích trong không gian và các điều kiện biên ta có thể suy ra hình dạng hình học của cac đường sức và các mặt đẳng thế, mà từ đó mà tìm ra hàm w(z) trong các sổ tay tra cứu. Sau cùng ta xét một ứng dụng của phương pháp ánh xạ bảo giác để tính điện dung của tụ điện trong trường phẳng. Điện dung của tụ điện được cho bởi công thức: 12 qC ϕ−ϕ= (1.28) Ở đây ϕ1 và ϕ2 là thế trên hai bản cực của tụ điện, q là điện tích trên bản cực. Trong trường phẳng bản cực là một đoạn đường cong (hoặc thẳng) do đó ở đây σ1 là mật độ điện dây ∫σ= dlq 1 (1.29) Áp dụng điều kiện biên của mặt bản tụ εEn = σ1 Ta có thể viết (1.29) dưới dạng: dl y j x idlEq n∫ ∫ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ϕ∂+∂ ϕ∂ε−=ε= (1.30) Nếu ta viết phần tử độ dài dl dưới dạng: dl = - k x dλ ở đây dλ trùng với chiều tăng của A (hình 1.3) và k = i x j thì ( )12 2 1 AAd y j x Aiq −ε=λ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ Α∂+∂ ∂ε= ∫ (1.31) Kết hợp với (1.28) ta được: 12 12 AAC ϕ−ϕ −ε= (1.32) dl x j y iq ∫ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ Α∂+∂ Α∂−ε−= (1.30) 2.1.3. Phân loại và giải bài tập a) Bài tập hiểu Bài toán 1: Cho hai điện tích q1 và q2 trái dấu, đặt cách nhau một khoảng d (d lớn hơn kích thước của điện tích rất nhiều, đặt trong chân không. Xác định độ lớn của vectơ cường độ điện trường tại điểm M cách hai điện tích những khoảng cách r1 và r2. ¾ Mục tiêu: A1 A2 ϕ2 ϕ1 dλ dl x y Hình 1.3 26 o Ôn tập khái niệm điện tích điểm. o Biết áp dụng công thức xác định cường độ điện trường của điện tích điểm. o Hiểu sự tương tác của hai trường. ¾ Lời giải: o Theo giả thiết: d>> kích thước của điện tích, nên có thể coi q1, q2 là các điện tích điểm. o Hai điện tích đặt trong chân không nên không gian bao quanh không có điện tích cảm ứng. o Giữa hai điện tích xuất hiện sự cảm ứng tĩnh điện, tuy nhiên vì đã coi chúng là điện tích điểm nên hiệu ứng cảm ứng không ảnh hưởng đến kết quả bài toán. o Mỗi điện tích điểm tạo ra ở không gian bao quanh một điện trường do đó trường tại M là sự tổng hợp của hai trường: trường của q1 là 1E và trường của q2 là 2E Phương và chiều của E được xác định như hình vẽ. Theo nguyên lí chồng chất điện trường: 21 EEE += 1E là điện trường do q1 gây ra tại M: 12 1 1 0 1 4 1 rer qE πε= 2E là điện trường do q2 gây ra tại M: 22 2 2 0 2 4 1 rer qE πε= Suy ra: ( ) αcos2,cos2 212221212122212 EEEEEEEEEEE −+=++= Trong tam giác MAB: 21 22 2 2 1 2 cos rr drr −+=α Vậy: ( )3 2 3 1 22 2 2 121 4 2 2 2 4 1 2 1 04 1 rr drrqq r q r qE −+−+= πε ¾ Nhận xét: -+ B M A r1 r2 2E 1E E q2 α d q1 27 o Phương chiều của vectơ E còn phụ thuộc vào dấu của các điện tích và vị trí của M, do đó có thể tìm được những hệ điện tích và những điểm M thỏa mãn điều kiện E =0. o Có thể mở rộng cho hệ N điện tích điểm. o Tuy bài toán chỉ giải cho trường hợp hai điện tích trái dấu, chúng ta có thể dựa vào đó để mở rộng thêm cho hệ nhiều điện tích, có thể là cùng dấu. Và trong bài, M nằm ở vị trí bất kì, vì thế chúng ta có thể áp dụng cho những trường hợp riêng: M nằm tại trung điểm của d, M nằm trên đường trung trực của d,… Bài toán 2: Một dây dẫn mảnh thẳng dài vô hạn, tích điện đều với mật độ dài λ. Tính điện trường và điện thế tại điểm cách dây dẫn một đoạn h. ¾ Mục tiêu: o Hiểu công thức xác định cường độ điện trường của điện tích điểm. o Áp dụng nguyên lý chồng chất cho một phân bố liên tục. o Sử dụng được mối liên hệ giữa E và ϕ. ¾ Lời giải: o Theo giả thiết phân bố điện tích là một phân bố liên tục, vì vậy không thể áp dụng trực tiếp công thức xác định E của điện tích điểm. Để áp dụng nó cần chia phân bố thành những điện tích điểm. o Áp dụng nguyên lý chồng chất cho phân bố, vì phân bố là liên tục nên áp dụng nguyên lý dạng: ∫= L EdE o Sau khi tìm E , áp dụng ϕgradE −= để tìm ϕ. Chia dây dẫn thành những phần tử nhỏ dl, điện trường do phần tử dl gây ra ở M là: irr dEd 2 04πεε λ l= Do tính chất đối xứng, nên chỉ tồn tại thành phần điện trường theo Ox: dEx= dE.cosα Điện trường do cả dây dẫn gây ra: ∫ ∫+∞ ∞− == 2 0 cos 4 cos. r ddEE lαπεε λα Thay: αα 2 2 2 cos cos hr r h =⇒= ααα d hd h tg 2cos =⇒= ll Ta được: Ed α Mh O r Idl λ x 28 ∫ + − == 2 2 00 2 .cos 4 π π πεε λααπεε λ h d h E Điện thế ϕ: Ta có: dh h dhEd dh dEgradE 02 . πεε λϕϕϕ −=−=⇒−=⇒= Suy ra: )ln(ln 22 000 0 hh h dhh h −−=−= ∫ πεελπεελϕ Chọn điện thế tại h0 = 0 Vậy: hln 2 0πεε λϕ −= ¾ Nhận xét: o Có thể tìm E bằng định lí O-G. Tuy nhiên việc áp dụng định lí O-G phải có điều kiện đối xứng xác định, nếu không thì kết quả sẽ chuyển thành việc áp dụng nguyên lý chồng chất. Hơn nữa nguyên lý chồng chất còn áp dụng được cho các phân bố hữu hạn. o Có thể áp dụng phương trình Poisson để ϕ tìm sau đó tìm E . o Khi giải các phương trình vectơ, cần phải chuyển chúng thành các phương trình đại số. o Sự cảm ứng giữa phân bố và điện tích được thay thế bằng hằng số điện môi tỉ đối ε . Tuy nhiên, điều đó chỉ đúng đối với một điện môi đồng tính và đẳng hướng. Bài toán 3: Tính cường độ điện trường tại M, trên trục của một đĩa tròn bán kính a, tích điện đều với điện tích q. M cách tâm một khoảng h, hệ đặt trong chân không. ¾ Mục tiêu: Trong bài toán này, chúng ta tiếp tục thực hiện mục tiêu được đặt ra ở bài toán 2. Chúng ta tìm hiểu thêm một dạng khác của phân bố liên tục, và thấy rõ hơn mối quan hệ giữa E và ϕ. ¾ Lời giải: o Theo giả thiết nguồn là một đĩa có bán kính a, chiều dày không được quan tâm đến, nghĩa là phân bố điện tích trên vật đã được thay thế bằng một phân bố mặt với mật độ const=σ . o Áp dụng phép cộng thế của các điện tích điểm dSdq σ= . Thế dϕ do dq gây ra tại M: R dqkd =ϕ Thế ϕ tại điểm M cách tâm O của đĩa tròn một đoạn h là: z x M h a rα R 29 ∫ ++= So hyx dxdy 2224 1 σ πεϕ Với: 2a q πσ = αrdrddSdxdy ryx == =+ 222 Suy ra: ( )hha a q hr rdrd a q o a o −+= + = ∫∫ 222 0 22 2 0 22 44 πεαεπϕ π Do tính chất đối xứng trục của đĩa, nên vectơ cường độ điện trường hướng dọc theo trục của đĩa và bằng: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−=∂ ∂−= 222 1 4 ha h a q h E o h πε ϕ ¾ Nhận xét: Khi 0→h (M rất gần mặt đĩa) thì: oo o a qE a q ε σ πε επϕ 24 4 2 == = Là điện thế, điện trường của một mặt phẳng vô hạn tích điện đều. Bài toán 4: Một quả cầu điện môi đồng chất bán kính a, tích điện đều mật độ ρ, hằng số điện môi ε. Môi trường chung quanh có hằng số điện môi ε. Xác định cường độ điện trường tại các điểm trong, trên mặt, ngoài quả cầu. ¾ Mục tiêu: o Áp dụng định lí O-G để xác định trường của các phân bố đối xứng. o Để áp dụng định lí O-G cần chọn các mặt Gauss thể hiện được tính chất đối xứng của trường. o Phân bố đối xứng của nguồn có ba dạng: đối xứng phẳng, đối xứng cầu và đối xứng trụ, do đó trường của các phân bố cũng có tính chất đối xứng tương ứng. ¾ Lời giải: Ở bài toán này, phân bố của quả cầu có tính chất đối xứng cầu, nên trường cũng có tính chất đối xứng cầu. Chọn mặt Gauss là một mặt cầu đồng tâm với quả cầu điện môi, bán kính r. Theo định lí O-G: 30 qSdE S =∫ε Tại mọi điểm trên mặt cầu, E đều vuông góc với mặt cầu và có cùng giá trị. * Khi r<a, ta được điện trường bên trong quả cầu: ρππε 32 3 44 rrE = rEhayrE ε ρ ε ρ 33 ==⇒ * Khi r>a, ta được điện trường bên ngoài quả cầu: ρππε 32 3 44 arE = r r aEhay r aE 3 3 2 3 33 ε ρ ε ρ ==⇒ * Khi r = a, điện trường trên bề mặt quả cầu: aE ε ρ 3 = ¾ Nhận xét: o Các bài toán trên, chúng ta sử dụng phương tiện là công thức tính E và ϕ của điện tích điểm và nguyên lý chồng chất. Còn ở bài này chúng ta sử dụng định lí O-G. Chúng ta nhận thấy, đối với các phân bố đối xứng, nếu hiểu và biết chọn mặt Gauss thích hợp thì việc giải sẽ trở nên dễ dàng hơn khi sử dụng các phương tiện khác. Tuy nhiên, các phương tiện là tương đương về mặt vật lý chỉ khác nhau về hình thức toán học. o Với các điểm ngoài quả cầu thì công thức xác định E tương tự như của điện tích điểm do đó nếu điện môi ngoài quả cầu là εε ≠1 thì cường độ điện trường ở ngoài là: r r aE 3 1 3 3ε ρ= o Tuy nhiên, tại r = a đường dòng không còn liên tục, nó được giải thích bởi sự xuất hiện các điện tích liên kết trên mặt cầu 1ε . Bài toán 5: Một hình trụ bán kính R, dài vô hạn tích điện đều với mật độ ρ. Hằng số điện môi trong và ngoài hình trụ đều bằng ε. Tính điện trường và điện thế ở trong và ngoài hình trụ. Giải bài toán bằng cách sử dụng phương trình Poisson. ¾ Mục tiêu: Áp dụng phương trình Poisson để xác định trường của phân bố đối xứng trụ. ¾ Lời giải: r Ed a dS O r Ed a dS O 31 o Phương trình Poisson là phương trình tổng quát của trường tĩnh điện, và được áp dụng cho từng điểm của không gian có trường. o Trường do phân bố trụ tạo ra cũng có tính chất đối xứng trụ nên chọn hệ tọa độ thể hiện tính chất đối xứng đó. Chọn hệ trục tọa độ trụ, có Oz trùng với trục của hình trụ. Mặt phẳng (xOy) chứa điểm cần khảo sát. Ta có: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = zz ry rx ϕ ϕ sin cos Vì tính chất đối xứng trụ, nên: ϕ(r, ϕ, z) = ϕ(r) * :0 Rr ≤≤ Phương trình Poisson: ε ρϕ −=∆ t rdr dr drd dr dr dr d r t t ε ρϕ ε ρϕ −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⇔ −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⇔ 1 BrAr dr r Ardrd Ar dr dr t t t ++−=⇔ +−=⇔ +−=⇔ ln 4 2 2 2 2 ε ρϕ ε ρϕ ε ρϕ * :Rr ≥ Phương trình Laplace: 0=∆ nϕ DrCd C dr dr dr drd dr dr dr d r n n n n +=⇔ =⇔ =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⇔ =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⇔ ln 0 01 ϕ ϕ ϕ ϕ * Điều kiện liên tục: ϕ x y z r O 32 ™ 00 0 =→==−= Ardr dE tt ϕ ™ Chọn thế ở tâm bằng 0: 00 0 =→== Brtϕ ™ Điện trường tại mặt hình trụ: ε ρ ε ρ ϕϕ 22 2RC R CR Rrdr d Rrdr d nt −=→=−⇔ === ™ Thế tại mặt hình trụ: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=→ +−=−⇔ === 2 1ln 2 ln 24 2 22 RRD DRRR RrRr nt ε ρ ε ρ ε ρ ϕϕ Thay các giá trị của A, B, C, D vào các biểu thức của thế ϕ ta được: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+−= −= 2 1ln 2 ln 2 4 22 2 RRrR r n t ε ρ ε ρϕ ε ρϕ * Điện trường: 2 2 2 R rdr dE r dr dE n n t t ε ρϕ ε ρϕ =−= =−= ¾ Nhận xét: o Ngoài áp dụng phương trình Poisson, chúng ta có thể dùng hai phương tiện khác là: định lí O-G và nguyên lý chồng chất, sẽ đơn giản hơn. Ở đây chúng tôi giải theo cách này là để cho các bạn tham khảo thêm và biết cách vận dụng phương trình Poisson vào việc giải bài tập. o Từ bài giải chung này, chúng ta có thể áp dụng cho các bài tương tự như: hình trụ hữu hạn, một mặt trụ,... o Khó khăn của cách giải này là chúng ta phải biết phương trình Poisson trong tọa độ trụ. 33 ˆ Kết luận: Trong mục này, chúng ta đã giải các bài tập biểu diễn hệ giữa nguồn và trường do nguồn gây ra. Do đó: Về mặt nội dung, mỗi bài tập chỉ biểu diễn một hệ, các quan hệ đó được xác định trực tiếp từ các công thức, các định luật được học. Về phương pháp, chúng ta đã sử dụng phương pháp phân tích để chỉ rõ ý nghĩa vật lý của các phép toán, để từ đó lập ra lược đồ giải bài toán. Về công cụ toán học, chúng ta đã sử dụng phép tính tích phân, giải phương trình vi phân đơn giản phù hợp với mức độ nhận thức đã lựa chọn. Ở bài tập hiểu thì mức độ nhận thức tương đối thấp, yêu cầu cũng đơn giản đối với người giải. Các phương pháp và các bước giải cũng ngắn gọn, chỉ sử dụng những công thức quen thuộc mà các bạn đã được biết. Quan trọng là chúng ta phải hiểu rõ để áp dụng đúng vào những bài tập cụ thể. Và qua phần này, chúng ta đã tiến hành giải các bài tập cơ bản của dạng bài tập thứ nhất là tìm trường của các phân bố. b) Bài tập vận dụng Bài toán 1: Một điện tích điểm q nằm cách tâm một mặt cầu một đoạn l. Mặt cầu có bán kính a và điện tích Q (a < l). Tìm lực tương tác giữa điện tích và quả cầu. ¾ Mục tiêu: o Khảo sát trường theo quan điểm tương tác. o Vận dụng định luật Coulomb, định lí O-G, định luật III Newton cho sự tương tác giữa vật tích điện và điện tích điểm. o Phân tích lựa chọn phương pháp đơn giản nhất. ¾ Lời giải: o Định luật Coulomb cho phép xác định lực tương tác giữa hai điện tích điểm. Do đó, để áp dụng cho bài toán cần chia quả cầu thành các điện tích điểm. Sau đó, áp dụng nguyên lý chồng chất lực để xác định lực tác dụng lên điện tích điểm q. Phương pháp này dẫn đến việc tính tích phân theo thể tích khá là phức tạp. o Vật tích điện có tính chất đối xứng cầu, nên có thể vận dụng định lí O-G để xác định trường của vật, rồi áp dụng định nghĩa của trường để xác định lực tương tác thì bài toán đơn giản hơn. * Điện trường do quả cầu gây ra tại q: Chọn mặt Gauss là mặt cầu đồng tâm với quả cầu, có bán kính l. Theo định lí O-G: eQE QE QSdE l o o S o 2 2 4 4 l l πε πε ε =→ =⇔ =∫ Ed a dS O Q q le l 34 Suy ra, lực mà Q tác dụng lên q: l o eQqEqF 24 lπε== * Lực tương tác giữa điện tích và quả cầu: Theo định luật III Newton: FF −=' l o eQqFF 2 ' 4 lπε=−= ¾ Nhận xét: o Hệ thức thu được có dạng giống như công thức của định luật Coulomb đối với hai điện tích điểm Q đặt tại tâm cầu và q. Nghĩa là có thể coi mặt cầu Q là ảnh điện của điện tích điểm Q đặt tại tâm và ngược lại, khi đó lời giải bài toán trở nên rất đơn giản. o Để có được kết quả trên, chúng ta đã bỏ qua hiện tượng cảm ứng điện giữa vật và điện tích điểm. o Qua bài giải, chúng ta thấy rõ tính chất của trường là tác dụng lực lên điện tích đặt trong nó. Chúng ta có thể áp dụng cách giải tương tự để tính lực do nhiều phân bố gây ra, bằng cách áp dụng nguyên lí chống chất điện trường. Bài toán 2: Tính năng lượng của một quả cầu điện môi bán kính a, tích điện đều theo thể tích. Hằng số điện môi của quả cầu là ε, của môi trường xung quanh là ε0, điện tích của quả cầu là q. ¾ Mục tiêu: Khảo sát trường theo quan điểm năng lượng. Ngoài ra, qua bài toán chúng ta còn thấy mối quan hệ của trường và điện môi, quy luật phân bố của trường khi chuyển từ điện môi này sang điện môi khác. ¾ Lời giải: Sử dụng định lí O-G để tính trường, sau đó dùng công thức tính năng lượng để tìm năng lượng. Chọn mặt Gauss là một mặt cầu đồng tâm với quả cầu điện môi, bán kính r. Theo định lí O-G: QSdD S =∫ * r <a: Điện trường bên trong quả cầu: 3 32 43 3 44 a qrrD rrD qSdD t t r S t π ρ ρππ ==→ =⇔ =∫ * r >a: Điện trường bên ngoài quả cầu: Đối với điện môi đồng chất tại mặt ngăn cách giữa hai điện môi xuất hiện điện tích liên kết. Khi bỏ qua r Ed a dS O r Ed a dS O 35 điện tích liên kết thì: 2 2 4 4 r qD qrD qSdD n n S n π π =→ =⇔ =∫ * Năng lượng của quả cầu: dVDdVDdVDEW V n oV t V ∫∫∫ +== 22 212121 εε ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +=+= ∞⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= += += ∫∫ ∫∫ ∞ ∞ oo o ao a a n o a t a q a qa a q ar qar a q r drqdrr a q drrDdrrD εεππεπε πεπε πεπε ε π ε π 1 5 1 8 1 858 1 8058 88 22 225 6 2 25 6 2 2 2 0 4 6 2 222 0 2 Vậy: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += oa qW εεπ 1 5 1 8 2 Năng lượng của trường không bao hàm năng lượng làm phân cực điện môi vì chúng ta đã bỏ qua hiệu ứng cảm ứng. ¾ Nhận xét: Ở bài toán này, chúng ta đã làm được hai công việc đó là khảo sát đặc quan điểm trường mang năng lượng và mối quan hệ của trường và điện môi. Như chúng ta đã biết theo lý thuyết, quy luật phân bố của trường khi chuyển từ điện môi này sang điện môi khác thì thành phần tiếp tuyến của điện trường không đổi, nhưng thành phần pháp tuyến của vectơ cảm ứng điện thì thay đổi. Chỉ khi bỏ qua hiệu ứng cảm ứng thì tại r = a, Dn=Dt. Bài toán 3: Điện tích q phân bố đều theo thể tích (ρ = const) giữa hai quả cầu lệch tâm sao cho quả cầu nhỏ, bán kính r2, nằm hoàn toàn trong quả cầu lớn, bán kính r1. Cho rằng hằng số điện môi ở trong hốc cũng bằng ở phần giữa hai quả cầu. Xác định điện trường trong hốc. ¾ Mục tiêu: Ở bài tập hiểu, chúng ta đã sử dụng nguyên lí chồng chất điện trường để tính điện trường của hai điện tích điểm. Trong bài tập này, chúng ta sẽ vận dụng nguyên lí chồng chất theo hình thức mới để xác định trường của phân bố khối. ¾ Lời giải: Theo định luật bảo toàn điện tích một vật trung hòa về điện có thể đuợc xem là chồng chất của hai phân bố điện tích có cùng quy luật và trái dấu, nên tại hốc chúng ta có thể xem nó là tổ hợp của hai phân bố khối đều mật độ ρ và – ρ. Khi đó hệ gồm: quả cầu đặc bán kính r1, có mật độ ρ và quả cầu nhỏ bán kính r2, có mật độ - ρ. 36 * Chọn mặt Gauss là mặt cầu đồng tâm quả cầu lớn, có bán kính bằng r1. Theo định lí O-G: 11 1 qSdE S o =∫ε 11 1 1 3 1 2 11 33 3 44 rEhayrE rrE oo o ε ρ ε ρ ρππε ==⇒ = * Chọn mặt Gauss là mặt cầu đồng tâm với quả cầu nhỏ, có bán kính bằng r2. Theo định lí O-G: 22 2 qSdE S o =∫ε 22 2 2 3 2 2 22 33 3 44 rEhayrE rrE oo o ε ρ ε ρ ρππε −=−=⇒ −= * Điện trường trong hốc: Theo nguyên lý chồng chất điện trường: ( ) 212121 33 OOrrEEE oo ερερ =−=+= ¾ Nhận xét: Để giải bài tập này, chúng ta đã tìm cách thay thế phân bố đã cho bằng một phân bố tương đương, phương pháp thay thế đó gọi là phương pháp ánh xạ bảo giác. Chúng ta có thể vận dụng cách tính tương tự cho sự chồng chất của các phân bố khác, như phân bố đối xứng trụ,… ˆ Kết luận: Qua phần bài tập vận dụng này chúng ta thấy mức độ nhận thức đã cao hơn mức bài tập hiểu. Nếu như ở bài tập hiểu người giải chỉ tìm trường của các phân bố nguồn đơn giản, còn ở bài tập vận dụng này, chúng ta phải đem những kiến thức, thông tin của các bài tập này sang các bài tập mới, cao hơn. Chúng ta đã biết trường, thì chúng ta phải tìm lực tương tác, tìm năng lượng của trường; chúng ta đã tìm trường của một quả cầu thì vận dụng để tìm trường của sự chồng chất hai quả cầu,… Để qua đây, mức độ nhận thức của chúng ta được nâng lên một bậc. c) Bài tập phân tích tổng hợp Ở phần bài tập này, yêu cầu đặt ra cao hơn hai dạng bài tập trước. Chúng ta không những phải hiểu, phải vận dụng các kiến thức vào tình huống mới, mà còn phải nhận biết, phát hiện, phân biệt từng chi tiết, dữ kiện của bái toán, sau đó hợp nhất, khái quát nhiều thành phần, chi tiết đó để xây dựng một bài toán hoàn chỉnh. ▪ ▪ O1 O2 2r 1r 37 Bài toán 1: Một mặt phẳng vô hạn chia không gian thành hai nửa. Hằng số điện môi ở hai nửa là ε1 và ε2. Một quả cầu dẫn bán kính a có tâm nằm trên mặt phân cách của hai môi trường. Tính điện dung của quả cầu. ¾ Mục tiêu: Ở các bài tập trước, chúng ta đã tìm hiểu mối quan hệ giữa trường và điện môi, quy luật biến đổi của trường khi chuyển từ điện môi này sang điện môi khác. Ở bài tập này, chúng ta tiếp tục tìm hiểu sâu hơn vấn đề đó. Ngoài ra, chúng ta còn tìm hiểu mối quan hệ giữa trường và vật dẫn. ¾ Lời giải: Điện dung của quả cầu: ϕ qC = Trong đó: q là điện tích, ϕ là điện thế tương ứng. * Tìm ϕ: Ta có: ϕgradE −= Theo tính chất đối xứng cầu, E chỉ phụ thuộc r, ta được: ∫−= −=→−= Edrhay Edrd dr dE ϕ ϕϕ Chọn mặt Gauss là mặt cầu đồng tâm với quả cầu, bán kính r. Theo định lí O-G: qSdE S =∫ε Khi đi qua mặt phân cách giữa hai môi trường, thành phần tiếp tuyến của điện trường không đổi, nên: qSdESdE SS =+ ∫∫ 2 2 2 1 εε constC ErErE t ==→ =→=+ 1 2 2 2 1 0022 ϕ πεπε * Khi r >a: ( ) ( ) ( ) ( ) 221221 21 221 2 1 22 2 2 C r q r drq r qEqEr n ++=+−=→ +=→=+ ∫ εεπεεπϕ εεπεεπ a 1ε 2ε 38 * Điều kiện liên tục: • Chọn thế ở vô cùng bằng 0, ta được: ( ) 00 22 =→==∞ CCϕ • Tại r =a: ( )a qCnt 21 1 2 εεπϕϕ +=⇔= * Điện thế tại mặt cầu: ( )a q 212 εεπϕ += Vậy: ( )aqC 212 εεπϕ +== ¾ Nhận xét: Dạng bài tập phân tích tổng hợp thì yêu cầu hơi cao, vì thế để làm được các bài tập dạng này, chúng ta phải đọc kĩ đề, phân tích từng chi tiết nhỏ cho trong bài. Sau đó, chúng ta mới tổng hợp, khát quát lên để hoàn thành bài toán. Trong bài toán chúng ta phải kết hợp nhiều kiến thức khác nhau, như: công thức tính điện dung, mối quan hệ giữa điện thế và điện trường, quy luật phân bố trường khi chuyển từ điện môi này sang điện môi khác, sử dụng các điều kiện liên tục,...Cái khó là chúng ta phải biết xâu các dữ kiện lại thành một chuỗi, để có bước đi đúng và ngắn gọn, rõ ràng. Bài toán 2: Khoảng cách giữa hai bản của một tụ điện phẳng là d, còn diện tích là S. Giữa hai bản là một lớp điện môi dày đặc. Tụ điện được mắc vào một nguồn để hiệu điện thế là ∆φ, sau đó ngắt đi. Hỏi công cần thiết để kéo lớp điện môi ra khỏi tụ điện. ¾ Mục tiêu: Khảo sát quan điểm của trường theo năng lượng. Sự tương tác từ bên ngoài đến trường. ¾ Lời giải: Năng lượng của tụ điện: C qW 2 2 = * Khi có điện môi, điện dung C1 là: d SC ε=1 Năng lượng của tụ: S dq C qW ε22 2 1 2 1 == * Khi tách điện môi ra, nhưng giữ cho tụ điện cô lập tức là điện tích của bản tụ không thay đổi, điện dung C2 là: d S C o ε=2 d S ∆ϕ 39 Năng lượng của tụ: 1 2 2 2 2 22 W S dq C qW oo ε ε ε === * Công cần thiết để kéo điện môi ra khỏi tụ là: 112 1 WWWA o ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=−= ε ε Trong đó: ( ) ( )221 1 2 1 2 1 2 1 2 ϕεϕ ∆=∆== d SC C qW Vậy: ( )21 2 1 ϕεε ε ∆⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= d SA o ¾ Nhận xét: Tương tự như bài toán trên, chúng ta phải sử dụng nhiều kiến thức liên quan để giải bài tập này. Cái khó của bài toán là chúng ta phải hiểu ra được ý đồ của nó, để có thể đi đúng hướng. Bài toán 3: Hai bản kim loại được đặt thẳng đứng và song song trong một bình chứa điện môi lỏng. Khoảng cách giữa các bản là d và hiệu điện thế giữa chúng là ∆ϕ. Hỏi điện môi lỏng giữa hai bản được nâng lên bao nhiêu? Cho biết trọng lượng riêng của điện môi lỏng là δ. ¾ Mục tiêu: Ở bài tập này, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức đã học để giải bài tập liên quan đến hiện tượng thực tế. ¾ Lời giải: * Khi chứa một phần điện môi, điện dung của tụ tăng lên một lượng bằng: ( ) ax d C o εε −=∆ * Khi đó năng lượng tăng lên một lượng: ( ) ( ) ( )22 22 1 ϕεεϕ ∆−=∆∆=∆ ax d CW o * Lực tác dụng lên điện môi: ( ) ( ) ( )2 2 ϕεεδ δ ∆−=∆= a dx WF o (1) * Lực này cân bằng với trọng lượng của phần điện môi đó: adhF δ= (2) Từ (1) và (2): ( ) ( )2 22 δ ϕεε ∆−= d h o 40 ¾ Nhận xét: Ở bài tập này, ngoài những kiến thức thuộc phần Điện động lực, chúng ta phải biết kết hợp với những kiến thức liên quan khác mới giải được bài toán. ˆ Kết luận: Sau khi đã làm một loạt các bài tập hiểu, bài tập vận dụng, chúng ta đã có một kiến thức nhất định. Và chúng ta lấy đó làm cơ sở để giải các bài tập ở mức độ cao hơn, bài tập phân tích tổng hợp. Ở mức độ này, bài tập khó hơn nhiều, chúng ta phải biết phân tích từng chi tiết nhỏ của bài toán, sau đó tổng hợp, khát quát toàn bài toán. Với mức độ bài tập này thì chúng ta ít gặp trong học phần của mình, vì thế chúng tôi trình bày các bài tập mẫu dạng này không nhiều. d) Một số bài tập đề nghị Bài 1: Một dây mảnh uốn thành vòng tròn bán kính a, mang điện tích q phân bố đều trên dây. Hãy xác định cường độ điện trường tại điểm M nằm trên đường vuông góc với mặt phẳng chứa vòng tròn, đi qua tâm, cách tâm một đoạn h. Xét trường hợp h = 0. ĐS: ( ) 0 4 2 3 22 = + = E ah qhE oπε Bài 2: Hai dây mảnh, thẳng, dài, song song và cách nhau một khoảng d, tích điện trái dấu với mật độ điện tích dài không đổi λ± . Xác định cường độ điện trường tại điểm cách hai dây dẫn lần lượt r1 và r2. Xét trường hợp đặc biệt khi điểm khảo sát nằm cách đều hai dây, cách mặt phẳng chứa hai dây một khoảng h. ĐS: ( )22 21 4 2 2 dh dE rr dE o o += = πε λ πε λ Bài 3: Tìm thế tại một điểm M bên ngoài dây trụ tròn bán kính Ro, dài vô hạn, tích điện đều, mật độ mặt σ. Biết khoảng cách từ M đến trục hình trụ là R, và qui ước điện thế ở mặt trụ bằng 0. ĐS: R RR o o o M ln2ε σϕ = Bài 4: Xác định vectơ cường độ điện trường ở bên trong và bên ngoài của lớp phẳng vô hạn có bề dày d và tích điện đều với mật độ điện khối ρ. ĐS: idE ixE o n o t ε ρ ε ρ 2 = = Bài 5: Một sợi dây thẳng dài vô hạn tích điện đều với mật độ dài χ. Bao quanh sợi dây là một lớp điện môi hình trụ có bán kính R1, hằng số điện môi là ε1. Bên ngoài lớp đó là điện môi vô hạn đồng chất với hằng số điện môi ε2, bán kính R . Xác định cường độ điện trường tạo bởi sợi dây đó. 41 ĐS: ( ) ( )1 2 1 1 2 2 RR R E RR R E >= <= επ χ επ χ Bài 6: Một tụ điện trụ được đặt đứng trong một điện môi lỏng. Lớp điện môi giữa hai bản được nâng lên độ cao h. Biết bán kính của tụ điện là R1 và R2, hiệu điện thế giữa hai bản là φ. Tính hằng số điện môi của chất lỏng nếu trọng lượng riêng của nó làδ . ĐS: ( ) 1 2 2 2 1 2 2 ln R R h RR o δ ϕεε ∆ −+= 2.2. Trường tĩnh từ 2.2.1. Cơ sở lý thuyết Trạng thái riêng quan trọng thứ hai của trường điện từ là từ trường dừng. Từ trường dừng do các dòng dừng và các nam châm vĩnh cửu gây ra. Nhưng xét về mặt ứng dụng trong khoa học kỹ thuật, từ trường dừng do các dòng dừng gây ra có tầm quan trọng hơn. Tương tự như trường tĩnh điện, quy luật phân bố của trường, không gian tồn tại của trường cũng phụ thuộc vào quy luật phân bố của nguồn. Do đó, trong chương này chúng ta cũng cần xác định: quy luật phân bố của nguồn, ảnh hưởng của phân bố đến không gian; quy luật phân bố của trường trong chân không, trong từ môi và khi chuyển từ từ môi này sang từ môi khác; xét trường trên cả hai quan điểm: năng lượng và tương tác; sự chồng chất của nguồn của trường và trường. Theo tư tưởng đó, có thể phân các bài tập thành các loại: ™ Tìm trường của dòng điện không đổi với các phân bố khác nhau. ™ Tìm các lực tác dụng trong trường và tìm năng lượng của trường. ™ Trường của nam châm vĩnh cửu. 2.2.2. Phân loại và giải bài tập a) Bài tập hiểu Ở mức bài tập hiểu này, chúng ta sẽ giải các bài tập tìm trường, tìm lực tác dụng, tìm năng lượng của một số phân bố đơn giản. Bài toán 1: Một cung tròn bán kính r, gốc ở tâm là α, mang dòng điện I không đổi trong chân không. Xác định vectơ cảm ứng từ tại tâm của cung tròn. ¾ Mục tiêu: Hiểu công thức xác định cảm ứng từ cho một phần tử dòng điện. Áp dụng nguyên lý chồng chất cho một phân bố liên tục. ¾ Lời giải: Để sử dụng định luật Biôt- Savar- Laplace, chúng ta phải chia phân bố thành những phần tử dòng điện. Sau đó, dùng nguyên lý chồng chất để xác định trường do cả phân bố gây ra. 42 → Bd M r L → j Chia cung tròn thành những vi phân dl. Phần tử lId gây ra ở O một vectơ cảm ứng từ: 34 r rlIdBd o ∧= π µ Với mọi lId đều gây ra tại O các vectơ Bd cùng phương, cùng chiều, nên: L r Idl r IdBB o L o L 22 44 π µ π µ === ∫∫ R IR R IB oo απ µαπ µ 44 2 == ¾ Nhận xét: Qua bài toán, chúng ta sử dụng định luật Biôt- Savar- Laplace và nguyên lí chồng chất để tìm trường do một phân bố dòng gây ra. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm trường tại tâm cung tròn, vận dụng tương tự chúng ta có thể tìm trường ở những điểm khác theo yêu cầu của đề bài. Ngoài ra, chúng ta cũng sử dụng cách giải tương tự để tìm trường của một phân bố dòng điện thẳng dài hữu hạn hay vô hạn. Bài toán 2: Một dòng điện mật độ j chạy dọc theo một vật dẫn hình trụ tròn đặc. Xác định cảm ứng từ B tại điểm M trong vật dẫn cách trục hình trụ một khoảng r. ¾ Mục tiêu: Áp dụng định lí dòng toàn phần xác định trường của một phân bố có dạng đối xứng trụ. ¾ Lời giải: Sự phân bố dòng điện có dạng đối xứng trụ, do đó cảm ứng từ tại mọi điểm trên mặt trụ đồng trục với trục dây dẫn sẽ có độ lớn bằng nhau. Ta chọn đường lấy lưu thông là đường tròn bán kính r, đi qua M, tâm nằm trên trục hình trụ, áp dụng định lí dòng toàn phần, ta có: 2rjIldH L π==∫ Vì H và ld cùng phương chiều và trên đường lấy lưu thông H có độ lớn không đổi, nên: rHdlHldH LL π2== ∫∫ Suy ra: 2 jrH = α r → Bd lId O ⊕ 43 Áp dụng công thức BH oµ 1= và chú ý đến phương chiều của H và B , ta có: [ ] 2 , rjHB oo µµ == r là bán kính vectơ hướng từ O đến M. ¾ Nhận xét: Với các phân bố có dạng đối xứng trụ như bài toán 2, thì chúng ta sẽ dễ dàng hơn trong việc giải nhờ định lí dòng toàn phần. Bài toán 3: Trong một mặt phẳng vuông góc với các đường cảm ứng từ của một từ trường đều B, người ta đặt một dây dẫn uốn thành nửa vòng tròn. Dây dẫn dài a trong có dòng điện I chạy qua. Xác định độ lớn của lực từ F tác dụng lên dây dẫn. Cho rằng dây cứng và bỏ qua biến dạng. ¾ Mục tiêu: Khảo sát trường theo quan điểm tương tác. Áp dụng nguyên lý chồng chất cho một phân bố liên tục. ¾ Lời giải: Mỗi phần tử lId chịu tác dụng của lực từ Fd có phương hướng tâm nên có tính chất đối xứng qua On. Xét phần tử lId chịu lực từ Fd có phương qua tâm vòng dây, chiều hướng ra xa tâm, và độ lớn: IBdldF = ( lId vuông góc với B ) Theo nguyên lí chồng chất: ∫∫∫ +== nt FdFdFdF ( tích phân trên nửa đường tròn) Vì lí do đối xứng, nên: 0=∫ tFd Các vectơ nFd đều cùng phương cùng chiều, do đó: ∫ ∫∫ === αα sinsin BIdldFdFF n Với απ d adl = ( ) π παπααπ π BIaBIadBIaF 2 0 cossin 0 =−==→ ∫ lId lId → nFd → Fd I →⊕B → nFd dα α → Fd → tFd →→ ∫= nFF O n 44 ¾ Nhận xét: Qua bài toán chúng ta đã tìm lực tác dụng của từ trường lên một đoạn dây dẫn mang dòng điện. Ngoài ra, chúng ta có thể áp dụng tương tự để tính lực của từ trường tác dụng lên dòng điện kín. Bài toán 4: Tính năng lượng từ trường do dòng điện thẳng rất dài cường độ I, trong một hình trụ bán kính R, chiều cao h đặt trong không khí nhận dây dẫn làm trục đối xứng. ¾ Mục tiêu: Khảo sát trường theo quan điểm năng lượng. ¾ Lời giải: Vì dây dẫn dài nên trường có phân bố đối xứng trụ. Chọn đường tròn L, bán kính r, tâm nằm trên dòng điện, chiều của L trùng với chiều của đường cảm ứng từ. Áp dụng định lí dòng toàn phần: IldH L =∫ Trên đường lấy lưu thông, H có độ lớn không đổi, nên: r IHIrH IdlH L ππ 22 =→=⇔ =∫ r H HB oo π µµ 2 == Chọn dV là lớp trụ đồng trục với hình trụ đã cho có bán kính từ r đến r + dr. hrdrdV π2= RIh r drhIhrdr r I r I BHdVW o R o V o V ln 44 12 222 1 2 1 2 0 2 µππµπππ µ ==== ∫∫∫ ¾ Nhận xét: Từ trường luôn mang năng lượng. Qua bài toán này, chúng ta đã tìm năng lượng từ trường của một phân bố đối xứng trụ. Áp dụng cách giải tương tự, chúng ta sẽ tìm năng lượng từ trường của các phân bố có dạng khác. ˆ Kết luận: Trong mức độ bài tập hiểu, chúng ta đã tiến hành giải các bài tập như tìm trường, tìm lực tương tác, tìm năng lượng của một số phân bố đơn giản. Đối với các phân bố không đối xứng thì chúng ta chia phân bố thành những phần tử nhỏ rồi sử dụng định luật Biôt- Savar- Laplace để tìm trường của phân bố. Còn đối với những phân bố đối xứng, việc giải có phần nhẹ nhàng hơn khi ta sử dụng định lí dòng toàn phần. Sau khi đã giải một số bài tập ở phần này, người học sẽ hiểu các kiến thức mà mình được học. b) Bài tập vận dụng Ở bài tập vận dụng, chúng ta sẽ vận dụng những kiến thức, những kết quả ở bài tập hiểu để giải quyết những bài toán có nội dung yêu cầu cao hơn. Chúng ta sẽ tìm trường của một số phân bố tương đối phức tạp hơn các phân bố ở bài tập hiểu, tìm các lực và năng lượng của từ trường. Bd L M r O I R h 45 Bài toán 1: Một phân bố dòng có dạng tam giác đều cạnh a, mang cường độ dòng điện I đặt trong chân không. Tính cảm ứng từ và cường độ từ trường tại tâm của tam giác. ¾ Mục tiêu: Áp dụng định luật Biôt- Savar- Laplace xác định trường do nhiều phân bố dòng rời rạc gây ra. ¾ Lời giải: Vectơ cảm ứng từ B do dòng điện kín ABCA gây ra tại điểm O có thể xem là kết quả chồng chất từ trường gây ra bởi các đoạn mạch: 1B do cạnh AB, 2B do cạnh BC và 3B do cạnh CA. Theo nguyên lí chồng chất, ta có: 321 BBBB ++= * Cảm ứng từ 1B do AB gây ra tại O: Chia đoạn AB thành những vi phân dl. Phần tử lId gây ra tại O một vectơ: 31 4 r rlIdBd o ∧= π µ Với mọi lId đều gây ra tại O các vectơ 1Bd cùng phương, cùng chiều, nên: ∫= L o r IdlB 21 sin 4 θ π µ Trong đó: ( ) ( ) θθπθ θθθθπθ sin sinsin sin 2 hr r h dhdl tg hhtgtg =→=−= =→−=→−=−−= ll Suy ra: ( ) 6 6 5 2 2 2 1 cos 6 34 sin 4 sin sin sin 4 6 5 6 6 5 6 π π θπ µθθπ µ θ θθθ π µ π π π π −=== ∫∫ a Id h I h dh IB ooo ( )T a I a I oo π µ π µ 2 3 2 3 2 3 32 3 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += 46 Do 321 BBB ↑↑↑↑ và vì tam giác ABC đều nên: B1=B2=B3 Vậy: 2321 3BBBBB =++= a I BB oπ µ 2 9 3 1 == Cường độ từ trường: a IBH BH o o πµ µ 2 9== = ¾ Nhận xét: Chúng ta đã vận dụng cách giải của bài toán 1 ở mức bài tập hiểu để xác định trường do ba phân bố dòng rời rạc gây ra. Ngoài ra, chúng ta có thể ứng dụng để tìm trường do nhiều phân bố dòng rời rạc, và có các hình dạng khác nhau. Bài toán 2: Tính thế vectơ và từ trường tạo bởi một dòng điện một chiều I chạy theo một dây dẫn hình trụ vô hạn tiết diện tròn bán kính a. Hệ số từ thẩm của dây bằng oµ và của môi trường bao quanh vật dẫn lൠ. Giải bài tập bằng phương trình Poisson của thế vectơ A . ¾ Mục tiêu: Trong bài tập này, chúng ta tìm trường của một phân bố đối xứng trụ. Ngoài ra, chúng ta còn làm rõ mối quan hệ của thế vectơ và cảm ứng từ. Thêm vào đó chúng ta sẽ thấy được sự phân bố của trường khi chuyển từ điện môi này sang điện môi khác. ¾ Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ trụ, có Oz trùng với trục của hình trụ. Mặt phẳng (xOy) chứa điểm cần xét. Ta có: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = zz ry rx ϕ ϕ sin cos Vì tính chất đối xứng trụ, nên: ( ) ( )rAzrA =,,ϕ * ar ≤≤0 : Phương trình Poisson trong tọa độ trụ: jA ot µ−=∆ j z AA rr Ar rr o ttt µϕ −=∂ ∂+∂ ∂+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂⇔ 2 2 2 2 2 11 Chiếu lên trục tọa độ, ta được: jA ozt µ−=∆ ; 0=∆ tAϕ ; 0=∆ rtA Từ đó, ta được: Azt, Aϕt=const. Ta chọn: Azt=0, Aϕt=0 ϕ x y z r O j M 47 j dr dAr dr d r o zt µ−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⇔ 1 jrdr dr dArd ozt µ−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⇔ Crj dr dAr ozt +−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⇔ 2 2 µ dr r CdrrjdA ozt +−=⇔ 2µ DrCrjA ozt ++−=⇔ ln4 2 µ * ar ≥ : Phương trình Laplace trong tọa độ cầu: 0=∆ nA Tương tự ta có: 01 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⇔ dr dAr dr d r zn 0=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⇔ dr dArd zt E dr dA r zn =⇔ FrEAzn +=⇔ ln * Điều kiện liên tục: + Từ trường tại tâm bằng 0: 00 0 =→== CrBt + Chọn thế ở tâm bằng 0: 00 0 =→== DrAzt + ar B ar B nt === jaE a Eaj µµ 22 2 −=→=−⇔ + ar A ar A znzt === ajaajaEajFFaEaj ooo ln24 ln 4 ln 4 2222 µµµµ +−=−−=→+=−⇔ 48 Vậy: 22 2 2 444 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−=−=−= a rIr a IrjA ooozt πµπµµ aajajrajA ozn ln24 ln 2 222 µµµ +−−= a ra a Ia a I a rajaj oo ln24 ln 24 2 2 2 2 22 πµπµµµ −−=−−= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−= a rIA ozn ln24 µµπ * Cảm ứng từ B: r Ae r AeAe A zr eee ArotB zzzr z zr ∂ ∂−=∂ ∂−∂ ∂=∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂== ϕϕ ϕ ϕϕ 00 Chỉ có từ trường theo phương của ϕ : 22 a IrB ot π µ ϕ = ; r IB n π µ ϕ 2 = ¾ Nhận xét: o Qua bài toán, chúng ta đã tìm trường và thế vectơ của một đối xứng trụ. Nhưng không phải dùng phương tiện là định lí dòng toàn phần, mà dùng phương trình Poisson của thế vectơ. Việc sử dụng phương trình Poisson của thế vectơ có phức tạp hơn nhiều so với những phương tiện khác. o Ngoài ra, qua bài toán chúng ta thấy được mối quan hệ giữa thế vectơ và cảm ứng từ, chúng ta làm rõ quy luật biến đổi của trường khi chuyển từ điện môi này sang điện môi khác. Bài toán 3: Một vật dẫn hình trụ tròn dài vô hạn, có một lỗ hổng cũng hình trụ dài vô hạn (tiết diện tròn của lỗ hổng hoàn toàn nằm trong vật dẫn; Một dòng điện không đổi, mật độ j chạy dọc theo vật dẫn. Tìm cảm ứng từ bên trong lỗ hổng. ¾ Mục tiêu: Vận dụng nguyên lý chồng chất theo hình thức mới để xác định trường. ¾ Lời giải: Ta xét trường hợp tổng quát khi M không trùng với trục O’ của khoảng rỗng. Theo nguyên lí chồng chất: cảm ứng từ 'B tại M trong khoảng rỗng bằng cảm ứng từ B trước khi khoét lỗ trừ đi cảm ứng từ ''B do thành phần dòng điện bị khoét gây ra tại M. ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−+= ''' BBB (1) 49 * Tính B : Sự phân bố dòng điện có dạng đối xứng trụ, do đó cảm ứng từ tại mọi điểm trên mặt trụ đồng trục với trục dây dẫn sẽ có độ lớn bằng nhau. Ta chọn đường lấy lưu thông là đường tròn bán kính r, đi qua M, tâm nằm trên trục hình trụ, áp dụng định lí dòng toàn phần, ta có: 2rjIldH L π==∫ Vì H và ld cùng phương chiều và trên đường lấy lưu thông H có độ lớn không đổi, nên: rHdlHldH LL π2== ∫∫ Suy ra: 2 jrH = Áp dụng công thức BH oµ 1= và chú ý đến phương chiều của H và B , ta có: [ ] 2 , rjHB oo µµ == r là bán kính vectơ hướng từ O đến M. * Tính ''B : Tương tự như trên, gọi 'r là bán kính vectơ có gốc ở O’ ngọn ở M, ta được: 2 , ' '' ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ = rj B oµ Thay B và ''B vào (1), ta được: [ ]djrrjB oo , 22 ''' µµ =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= d là vectơ hướng từ O sang O’. ¾ Nhận xét: o Để giải bài toán, chúng ta đã xây dựng một phân bố mới tạo ra trường tương đương theo nguyên tắc của định luật Ohm ∑= i iII . Sau khi chuyển về phân bố tương đuơng việc giải bài toán trở nên đơn giản hơn. 50 o Ở mức độ hiểu, chúng ta đã tìm trường do một phân bố đối xứng trụ gây ra. Ở bài tập này, chúng ta đã vận dụng cách làm đó để tính trường do hai phân bố đối xứng trụ gây ra. Do đã làm quen một phần đầu, nên khi gặp bài toán, chúng ta cũng thấy dễ hiểu hơn và thuận lợi trong khi giải. Bài toán 4: Một khung dây hình vuông ABCD trong có dòng điện I1, được đặt cách một dây dẫn thẳng dài vô hạn MN trong có dòng điện I2. Khung ABCD và dây MN cùng nằm trên một mặt phẳng và cạnh AD//MN. Mỗi cạnh khung dài b, và khoảng cách giữa AD và MN là a. Xác định lực từ tác dụng tương hỗ giữa khung dây và dây dẫn. Tính công của các lực từ thực hiện được khi ta dịch chuyển khung dây ra vô cực. Cho rằng khi khung dây chuyển động I1 và I2 giữ không đổi. ¾ Mục tiêu: Xác định lực do từ trường tác dụng lên khung dây, ngoài ra chúng ta còn tìm công của lực từ khi di chuyển khung dây ra vô cực. ¾ Lời giải: * Tính lực F: Để tính lực tương tác giữa dây MN và khung ABCD, ta chỉ cần tính lực do MN tác dụng lên khung. (Do hai lực đó bằng nhau). Chọn chiều của I1 và I2 như hình vẽ. Lực từ do dòng điện I2 tác dụng lên khung ABCD bằng tổng các lực do I2 tác dụng lên từng đoạn mạch AB, BC, CD và DA. Theo nguyên lí chồng chất: 4321 FFFFF +++= Chiều của 1F , 2F , 3F , 4F được xác định như trên hình. Vì dòng điện I1 chạy qua AB và CD là như nhau, độ dài của AB = CD = b, và chúng được đặt trong từ trường có vectơ B ở những điểm tương ứng của chúng đều bằng nhau, nên: 043 =+ FF Từ đó, ta có: 21 FFF += + Tìm 1F : Sử dụng định lí dòng toàn phần ta tính được trường do I2 gây ra tại một điểm trên cạnh DA là: a I B oπ µ 2 2 1 = Do tính chất đối xứng trụ nên từ trường này 51 là như nhau tại mọi điểm trên đoạn DA. Lực từ do I2 gây ra trên phần tử dòng ldI1 của DA là: 111 BldIFd ∧= Ta có: ldI1 vuông góc với 1B . Suy ra: a bIIbBIdlBIF o b πµ 2 21 11 0 111 === ∫ + Tính 2F : Tương tự như cách tính F1, ta tính được: ( )ba bIIbBIdlBIF o b +=== ∫ πµ 2 21210212 Vì hai lực 1F và 2F cùng phương, ngược chiều và F1>F2, nên: ( )baa bII baa bIIFFF oo +=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−=−= π µ πµ 2 11 2 2 2121 21 , F cùng chiều với 1F . * Tính công: Khi đưa khung dây tịnh tiến dọc theo trục Ox, lực F1 thực hiện công dương A1 còn lực F2 thực hiện công âm A2. Công do các lực thực hiện: dxFdxFAAA baa ∫∫ ∞ + ∞ −=+= 2121 ∫∫∫∫ +∞ + ∞ + + =−+= ba ababa ba a FdxFdxFdxFA 1211 b babII x dxbIIA o ba a o +== ∫+ ln22 2121 πµπµ ¾ Nhận xét: Qua bài toán, chúng ta đã đạt được mục tiêu đặt ra. Chúng ta đã vận dụng cách tìm lực tác dụng lên một dòng điện thẳng để tìm lực tác dụng lên một khung dây kín, bên cạch đó chúng ta lại tiếp tục vận dụng để tính công của lực từ sinh ra. Bài toán 5: Một dòng điện thẳng dài vô hạn I1, và một dòng điện tròn I2 bán kính a nằm trong cùng một mặt phẳng. Khoảng cách từ tâm vòng tròn đến dây điện thẳng dài bằng b>a. Tìm lực tác dụng lên dòng điện tròn. ¾ Mục tiêu: Ở bài toán này, chúng ta tìm lực tác dụng của từ trường lên một dòng điện tròn bằng cách áp dụng định nghĩa về công của lực từ. ¾ Lời giải: Từ trường do I1 gây ra tại một điểm trên đường tròn: 52 θπ µ π µ cos 1 22 11 1 rb I h I B oo −== Năng lượng của dây điện tròn I2 đặt trong từ trường của dây điện I1 bằng: ∫ ∫∫ −== a o S rb rdrdIISdBIW 0 2 0 21 12 cos42 1 π θ θ π µ (B1 vuông góc với dS). ( )2221 2 abbIIo −−= µ ( θrdrddS = ) Lực tác dụng lên dây điện tròn: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−=∂ ∂−= 1 2 22 21 ab bII b WF oµ ¾ Nhận xét: Ở bài toán này, chúng ta lại có thêm một cách tính lực tác dụng của từ trường. Trong bài, chúng ta không dùng cách tính như bài toán thứ tư, vì nếu áp dụng cách tính đó sẽ phức tạp hơn nhiều. Tuy bài toán yêu cầu tìm lực tác dụng của từ trường, nhưng thông qua đó chúng ta cũng đã khảo sát trường theo quan điểm năng lượng. ˆ Kết luận: Qua mức bài tập này, chúng ta đã nâng mức độ nhận thức của mình lên một bậc, khi giải các bài tập tìm trường của một số phân bố phức tạp và các bài tập tìm lực tương tác, tìm năng lượng khác. Ngoài hai phương tiện mà chúng ta đã nói trên (định luật Biôt- Savar- Laplace và định lí dòng toàn phần), còn một phương tiện nữa đó là sử dụng phuơng trình Poissn của thế vectơ. Giải theo phương tiện này thì phức tạp hơn, nhưng đây là phương tiện thường dùng trong Điện động lực, vì thế chúng ta cần hiểu rõ. c) Bài tập phân tích tổng hợp Ở mức bài tập phân tích tổng hợp này, chúng ta sẽ tìm trường của các phân bố phức tạp hơn các phân bố của bài tập trước. Và chúng ta sẽ tìm trường của nam châm vĩnh cửu. Bài toán 1: Một quả cầu bán kính a, mang điện tích e phân bố đều trên mặt của nó và quay chung quanh một đường kính với vận tốc gốc ω . Tính từ trường bên trong và bên ngoài của quả cầu. ¾ Mục tiêu: Xác định trường của một quả cầu chuyển động quay. ¾ Lời giải: Mật độ điện tích mặt của quả cầu: 24 a e πσ = Khi quay, trên quả cầu xuất hiện dòng điện mặt, mật độ j. 53 Thế vectơ tạo bởi dòng điện đó: ∫ −= S o rr SdjA ' . 4π µ Trong đó: dS là diện tích nguyên tố của quả cầu. r là tọa độ của điểm tính trường. 'r là tọa độ của mẫu dS. Mặt khác ta có: ( )SdaSdj .ωσ= Suy ra: ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ∫ S o rr SdaA '4 ωσπ µ Theo công thức: ∫∫ ∇= dVdSn ϕϕ ∫∫ −−∇=−→ VS rr dV rr Sd '' ( dấu (-) vì tích phân lấy theo tọa độ của dS) Ngoài ra ta có: ∫ −∇−= Voo rr dVE '4 1 πε Eo là điện trường trong chân không bởi quả cầu tích điện đều, mật độ điện khối là a. ( ) ( )⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ > < = ar r ra arr E o o o , 3 , 3 1 3 2 ε ε Từ đó ta có: ( )ooo EaA ∧= ωσµε Hay ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ >∧ <∧ = arr r a arr a A o o , 3 , 3 3 4 ωσµ ωσµ Mà ArotB = , tính toán ta được: ( ) ( ) ( )⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ >= <= = ar rr rr ar a ea B oo o o , 44 .3 , 63 2 35 π µµ π µµ π ωµωσµ 54 Với ωµ 2 2ea= là mômen từ của quả cầu. ¾ Nhận xét: Từ việc tìm thế vectơ A , thông qua mối quan hệ giữa A và B chúng ta sẽ tìm được B . Việc giải bài toán còn gặp nhiều khó khăn vì chúng ta phải sử dụng các công thức có dấu vectơ, và sử dụng phương tiện mới so với các bài tập khác. Bài toán 2: Xác định năng lượng trên một đơn vị dài của một đường dây điện kép. Đường dây gồm hai dây dẫn thẳng song song, bán kính của chúng là a và b, khoảng cách giữa các trục của các dây dẫn là h. Trong các dây dẫn có các dòng điện I cường độ như nhau nhưng chiều ngược nhau. ¾ Mục tiêu: Khảo sát trường theo quan điểm năng lượng. ¾ Lời giải: Năng lượng trên một đơn vị dài của đường dây được tính theo công thức: ( )∫= V dVjAW . 2 1 Theo bài toán 2 của bài tập vận dụng, ta tính được thế vectơ của dây dẫn mang dòng điện: Đối với dây dẫn 1: ( ) ( )ar a rIA arr a IA o z o z >⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−= <−= 1 1 2 1 2 121 ,ln21 4 , 4 π µ π µ Đối với dây dẫn 2: ( ) ( )br a rIA brr a IA o z o z >⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += <= 2 2' 2 2 2 22 ' 1 ,ln21 4 , 4 π µ π µ Vì jA ↑↑ , ta được: ( ) ( ) 2'2'121212 21 22 dSAA b IdSAA a IW S zz S zz ∫∫ +−+= ππ Thay các giá trị của thế vectơ vào, ta tính được năng lượng: 55 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += ab hIW 2 2 ln21 2 1 ¾ Nhận xét: Chúng ta sử dụng kết quả của thế vectơ ở bài tập vận dụng, sau đó đưa vào biểu thức tính năng lượng. Chúng ta tính các giá trị của tích phân và sẽ tìm được giá trị của năng lượng. Bài toán 3: Một nam châm vĩnh cửu hình trụ, tròn, thẳng, dài l, đường kính d. Biết cảm ứng từ tại cực của nam châm có độ lớn B. Hãy xác định vectơ từ hóa J , biết rằng nam châm được từ hóa đều và vectơ J nằm dọc theo trục của nam châm. Xác định cảm ứng từ Bo tại tâm của nam châm. ¾ Mục tiêu: Xác định trường của nam châm vĩnh cửu. ¾ Lời giải: * Vectơ từ hóa J: Nam châm vĩnh cửu hình trụ tròn, thẳng, dài tương đương với một xôlênôit dài với mật độ điện mặt vi mô JiS =' Áp dụng công thức: ( )12 coscos2 αα µ −= nIB o Ta lại có: JinI S == ' ( )12 coscos2 αα µ −=→ JB o Nếu lấy điểm giữa của nam châm làm gốc tọa độ và trục trùng với trục của nam châm thì: 222 2 dz 2 1 z 2 1 cos ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − − =α 222 22 1 2 1 cos ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + + −= dz z α Khi 2 lz = , ta được: 224 dl JlB o + = µ l dlBJ oµ 224 +=→ ⋅ A z O d l α1 α2 56 * Cảm ứng từ Bo tại tâm của nam châm: Tại điểm giữa của nam châm có z = 0, ta được: 22 22 22 4 dl dlB dl JlB oo + += + = µ ¾ Nhận xét: Bài tập xác định trường do một nam châm vĩnh cửu gây ra khó hơn nhiều so với các bài tập xác định trường của các phân bố dòng điện. ˆ Kết luận: Khi giải phần bài tập này, đòi hỏi chúng ta phải tổng hợp nhiều kiến thức liên quan. Các bài tập chúng tôi đưa vào để giúp cho người đọc tham khảo thêm. d) Một số bài tập đề nghị Bài 1: Một dây dẫn được uốn thành đa giác đều, có n cạnh; đường tròn ngoại tiếp với đa giác có bán kính a. Trong dây dẫn có dòng điện I chạy qua. Xác định độ lớn của vectơ cảm ứng từ B tại tâm của đa giác. ĐS: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= n tg a In B o ππ µ 2 Bài 2: Một dây dẫn được uốn thành mạch điện như hình, trong đó có dòng điện I. Tìm độ lớn cảm ứng từ B tại tâm O của cung tròn. Biết bán kính của cung tròn bằng a. ĐS: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += 4 31 2 π µ a IB o Bài 3: Dây dẫn L1 thẳng dài vô hạn, mang dòng điện I1, Dây dẫn L2 thẳng dài L mang dòng điện I2. Đặt L2 vuông góc với L1, cách L1 một đoạn a. Xác định lực từ mà L1 tác dụng lên L2. ĐS: a LaIIF o += ln 2 21 π µ Bài 4: Tìm năng lượng của một đơn vị chiều dài của một dây gồm bởi hai hình trụ đồng trục với các bán kính R1 và R2 (R1<R2), không gian giữa chúng chứa đầy chất với độ từ thẩm là µ. ĐS: 2 1 2 ln 4 R RIW π µ= Bài 5: Bên trong một vỏ dẫn điện hình trụ mỏng bán kính b có một dây dẫn bán kính a hệ số từ thẩm oµ đặt cùng trục với vỏ. Không gian giữa dây dẫn và vỏ chứa một chất có hệ số từ thẩm µ . Tìm hệ số tự cảm L của hệ dây dẫn này trên một đơn vị dài. m a O P Q R θ1 θ2 57 ĐS: a bL o ln22 1 µµ += 2.3. Trường chuẩn dừng 2.3.1. Cơ sở lý thuyết Trong hai chương đầu, chúng ta đã nghiên cứu các trường tĩnh và trường dừng, là những trường hợp không biến thiên theo thời gian. Ta thấy rằng, đối với trường tĩnh và trường dừng thì điện trường và từ trường độc lập với nhau, và có thể khảo sát riêng rẽ. Ở chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu các trường biến thiên chậm theo thời gian, lúc này thì điện trường biến thiên và điện trường biến thiên có quan hệ gắn bó với nhau, không thể tách rời. Như đã nói ở trên trường chuẩn dừng là những trường biến thiên chậm theo thời gian, nên nó phải thỏa mãn hai điều kiện: ™ Điều kiện dòng điện dịch: maxmax j t D <<∂ ∂ ™ Điều kiện về không gian: Kích thước của không gian khảo sát rất nhỏ so với bước sóng của sóng điện từ. Do đặc thù của chương, chúng tôi phân bài tập thành hai dạng: ™ Các hiện tượng chuẩn dừng trong các dây dẫn thẳng. ™ Các dòng xoáy và hiệu ứng mặt ngoài. 2.3.2. Phân loại và giải bài tập a) Bài tập hiểu Bài toán 1: Một khung dây phẳng quay với vận tốc góc không đổi trong từ trường đều, trục quay vuông góc với trường. Cảm ứng từ của từ trường là B, diện tích của khung dây là S. Tính: a. Sức điện động cảm ứng của khung dây. b. Cường độ dòng điện, biết rằng điện trở của khung dây là R, độ tự cảm là L. ¾ Mục tiêu: Trong bài tập này, chúng ta khảo sát sự biến đổi của từ trường qua một khung dây. Khi từ trường qua khung dây biến thiên thì sẽ làm xuất hiện trong khung dây một suất điện động cảm ứng và dòng điện cảm ứng. Chúng ta sẽ tìm giá trị của chúng. ¾ Lời giải: a. Tại thời điểm t, góc hợp bởi pháp tuyến của khung dây và phương của trường là: ot ϕωϕ += Trong đó, oϕ là góc tương ứng lúc t = 0. Từ thông: ( )otBS ϕωφ += cos 58 Ta có: [ ] ( )oocu tSBtSBdt d dt d ϕωωϕωφε +=+−=−= sin)cos( b. Mạch điện tương ứng: Cường độ dòng điện trên khung dây thỏa mãn phương trình: cuiRdt diL ε=+ ( )otSBiRdt diL ϕωω +=+⇔ sin * Nghiệm tổng quát của phương trình không vế phải: tL R AeiiR dt diL −=→=+ 10 * Nghiệm riêng của phương trình có vế phải: ( )α−ϕ+ωω+ ω= o222o tsinLR SBi Với R Ltg ωα = Vậy: ( )αϕωω ω −+ + +=+= − oto t LR SBAeiii L R sin 2221 ¾ Nhận xét: o Nghiệm tổng quát tLRAei −=1 là nghiệm tắt dần, sau thời gian quá độ i1 được coi là tắt hẳn trong mạch chỉ còn dòng cưỡng bức. o Thông thường chọn lúc t = 0, i1=0 nên A=0, còn oϕ và α tùy thuộc vào vị trí tương đối của khung và B lúc t =0. Bài toán 2: Một tụ điện C được tích điện với điện tích qo. Mắc tụ điện vào một mạch kín có điện trở R và tự cảm L. Xác định điện tích trên các bản của tụ điện là hàm của thời gian. Cho rằng C LR 4> ¾ Mục tiêu: Khảo sát dòng điện tắt dần trong mạch điện R, L, C, lúc t =0 tụ được tích điện. ¾ Lời giải: ·~· εcu R L 59 Sơ đồ mạch điện: Hiệu điện thế giữa hai bản của tụ điện là: C qu = Ta có phương trình: C qiR dt diL =+ Trong đó: dt dqi −= Suy ra: 02 2 =++ C q dt dqR dt qdL 012 2 =++⇔ q LCdt dq L R dt qd * Phương trình đặc trưng: 012 =++ LC r L Rr LC 4 L R LC 14 L R 22 −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−=∆ Theo giả thiết, C LR 4> nên 0>∆ 2 42 1 LCL R L R r −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+− = ; 2 42 2 LCL R L R r −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−− = * Nghiệm của phương trình: trtr eCeCq 21 21 += * Từ điều kiện ban đầu khi t=0, thì: + ( )121 oo qCCqq =+⇔= + 0=−= dt dqi trtr erCerC dt dq 21 2211 += R L C, qo 60 ω L C ( ) ( )202211 =+−⇔ rCrC Từ (1) và (2): oo qrr rCq rr rC 12 1 2 12 2 1 ; −=−= Vậy điện tích trên bản tụ là: tr o tr o eqrr req rr rq 21 12 1 12 2 −+−= Với r1 và r2 được tính như trên. ¾ Nhận xét: Trạng thái dao động của mạch phụ thuộc vào quan hệ giữa các thông số của mạch. Bài toán 3: Một mạch gồm một tụ điện có điện dung C và cuộn tự cảm L mắc song song (bỏ qua điện trở của mạch). Mắc nối tiếp mạch trên vào một mạch có một nguồn biến thiên tần số ω. Hỏi với điều kiện nào của tần số ω thì cường độ dòng điện trong mạch bằng không? ¾ Mục tiêu: Trong bài này, chúng ta khảo sát mạch điện gồm có L và C. Ở đây, chúng ta đi tìm điều kiện để dòng điện trong mạch bằng không. ¾ Lời giải: Mạch điện: Điện trở phức của tụ điện và cuộn tự cảm là: LiZ C iZ ωω =−= 21 ; Hai điện trở này được mắc song song với nguồn có suất điện động ε. Cường độ dòng điện trong mạch là: ( )1111 2 21 −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +== LC L i Lii C ZZZ I ωω ε ω ωεεε Điều kiện để cho I = 0 là: LC LC 101 22 =⇔=− ωω 61 ¾ Nhận xét: Dòng điện qua L và C là ngược pha nên dòng tổng hợp 0=+= CL iii . Hiện tượng mô tả trong mạch gọi là hiện tượng cộng hưởng dòng. ˆ Kết luận:Với mức độ bài tập hiểu, chúng ta đã khảo sát một số mạch điện đơn giản. Để giải được các bài tập về mạch điện, việc làm đầu tiên của chúng ta là vẽ sơ đồ mạch điện tương ứng với bài toán. Từ sơ đồ, chúng ta mới đi thiết lập phương trình vi phân cho mạch điện. Sau khi thiết lập phương trình vi phân cho mạch điện, chúng ta sẽ tìm cách giải các phương trình vi phân đó và tìm ra đại lượng cần tìm. b) Bài tập vận dụng Bài toán 1: Một mạch dao động gồm một cuộn tự cảm L, hai tụ điện C1 nối tiếp với C2. Lúc đóng mạch, điện tích ở C1 là Q, còn trên C2 = 0. Tính cường độ dòng điện trên mạch. ¾ Mục tiêu: Ở bài này, chúng ta sẽ khảo sát mạch điện với một cuộn cảm L và hai tụ điện C. Chúng ta sẽ tìm phương trình cường độ dòng điện qua mạch. ¾ Lời giải: Mạch điện: Ta có: dt diL CC q C qu AB =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +== 21 11 dt idL CCdt dq 2 21 11 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⇔ Mà: dt dqi −= 011 21 2 2 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++→ CC i dt idL 0 21 21 2 2 =++⇔ i LCC CC dt id Đặt LCC CC 21 212 +=ω 02'' =+→ ii ω Nghiệm của phương trình: ( )ϕω += tIi o sin * Điều kiện ban đầu: L C2 C1 ..