Đề tài Nhập môn lý thuyết knot

UBND TỈNH AN GIANG TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG FÕG KHOA SƯ PHẠM NGÀNH TỐN KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC ĐỀ TÀI ( CHUYÊN NGÀNH HÌNH HỌC ) GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ ( Giảng Viên Tổ Hình học-Khoa Tốn- Trường ĐHSP TPHCM ) SVTH: LÊ THÀNH TUẤN LONG XUYÊN, 5/2008 GVHD:PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khố Luận Tốt Nghiệp 1 MỤC LỤC FÏG MỤC LỤC.............................................................................................................. 1 MỘT SỐ KÝ HIỆU ............................................................................................... 3 LỜI NĨI ĐẦU ....................................................................................................... 4 CHƯƠNG I : NHĨM CƠ BẢN............................................................................. 6 I. ĐỒNG LUÂN ................................................................................................. 6 1.Quan hệ đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục................................................. 6 1.1. Kiến thức chuẩn bị ............................................................................ 6 1.2. Định nghĩa......................................................................................... 6 1.3. Minh họa khái niệm đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục: ................. 7 1.4. Định lý............................................................................................... 7 2. Quan hệ đồng luân giữa hai khơng gian tơpơ............................................. 8 II.NHĨM CƠ BẢN ........................................................................................... 9 1. Khái niệm đường ........................................................................................ 9 1.1. Định nghĩa.......................................................................................... 9 1.2. Định nghĩa........................................................................................ 10 1.3. Định nghĩa........................................................................................ 10 2. Đường đĩng............................................................................................... 11 2.1.Định nghĩa......................................................................................... 11 2.2.Tích các đường đĩng......................................................................... 11 2.3. Tính chất........................................................................................... 12 3. Khơng gian liên thơng đường ................................................................... 13 3.1. Định nghĩa 1..................................................................................... 13 3.2. Định nghĩa 2..................................................................................... 13 3.3. Tính chất........................................................................................... 13 4. Nhĩm cơ bản ............................................................................................. 13 4.1. Định nghĩa....................................................................................... 13 4.2. Định lý.............................................................................................. 14 5. Tính chất hàm tử của 1π ............................................................................. 15 5.1 Định lý 1............................................................................................ 15 5.2 Định lý 2............................................................................................ 17 5.3. Định lý 3........................................................................................... 19 CHƯƠNG II: KNOT........................................................................................... 21 I. KNOT ........................................................................................................... 21 II. PHÉP DỊCH CHUYỂN................................................................................ 27 III. MỘT SỐ KNOT ĐẶC BIỆT ...................................................................... 30 IV. MỘT VÀI BẤT BIẾN CỦA KNOT .......................................................... 37 V. TÍNH CHẤT BA MÀU CỦA KNOT.......................................................... 46 CHƯƠNG III : NHĨM CƠ BẢN CỦA KNOT .................................................. 50 I. ĐỊNH LÝ VAN-KAMPEN ........................................................................... 50 1. Định lý ........................................................................................................ 50 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 2 2. Nhận xét...................................................................................................... 56 3.Hệ quả.......................................................................................................... 57 II. NHĨM CƠ BẢN CỦA KNOT .................................................................... 58 1. Định nghĩa ................................................................................................ 58 2. Đại diện Wirtinger của knot ..................................................................... 59 2.1.Định lý Wirtinger............................................................................... 59 2.2.Chú ý.................................................................................................. 65 3.Ví dụ .......................................................................................................... 66 3.1. Knot tầm thường............................................................................... 66 3.2. Knot ba lá......................................................................................... 66 3.3.Knot hình số 8.................................................................................... 67 Kết Luận............................................................................................................... 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………69 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 3 MỘT SỐ KÝ HIỆU FÂG Ký hiệu Giải thích quan hệ đồng luân hay tương đương ≅ đẳng cấu Z tập hợp số nguyên tập hợp số thực [ ]0;1I = ⊂ đoạn đơn vị *f g đường nối đường f và đường g f đường đảo ngược của đường f [ ]f lớp các đường đồng luân (cố định) với f [ ]g fo phép lấy tích hai lớp đường [ ]f ,[ ]g [ ]f *[ ]g phép nối hai lớp đường [ ]f ,[ ]g XId ánh xạ đồng nhất trên X 0 ( )Xπ tập các thành phần liên thơng đường của X 1 0( , )X xπ nhĩm cơ bản của 0( , )X x kết thúc một phép chứng minh GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 4 LỜI NĨI ĐẦU FÏG Tơpơ theo quan điểm hình học là một ngành khoa học nghiên cứu các bất biến Tơpơ, tức là các tính chất khơng thay đổi qua các phép biến đổi liên tục. Tơ pơ đại số là một nhánh lớn của Tơpơ mà trong đĩ người ta dùng cơng cụ đại số để khảo sát các bất biến Tơpơ. Nĩi một cách nơm na, Tơpơ đại số là “bức tranh” đại số của “vật thể” Tơpơ. Lý thuyết knot là một bộ phận quan trọng của Tơpơ học nĩi chung, Tơpơ đại số nĩi riêng. Lý thuyết knot được khởi xướng bởi C.F.Gauss vào khoảng 1835- 1840. Sau đĩ được một học trị xuất sắc của Gauss là J. B. Listing phát triển và nghiên cứu như là một đối tượng của Tơ pơ học. Trong vài ba thập niên gần đây, lý thuyết knot phát triển rất mạnh và tìm được nhiều ứng dụng trong cả nội tại Tốn học cũng như trong vật lý, cơ học. Lý thuyết knot là một bộ phận của Tơ pơ đại số vì các cơng cụ đại số rất hữu dụng trong nghiên cứu lý thuyết knot. Bất biến đầu tiên của một knot (với tư cách một khơng gian tơpơ) chính là nhĩm cơ bản của nĩ. Các bất biến cơ bản khác của một knot liên quan đến các đa thức (đa thức Alexander, đa thức Jones, đa thức Kauffman). Hệ các bất biến của knot sẽ giúp chúng ta phân loại tơ pơ các knot. Chính vì sự hấp dẫn và tầm quan trọng của lý thuyết knot nên em quyết định chọn nĩ làm đề tài nghiên cứu của mình, hy vọng sẽ tìm hiểu và nắm được những kiến thức cơ bản về knot, làm cơ sở cho những nghiên cứu sâu hơn về sau ở lĩnh vực này. Trong luận văn này ta sẽ trình bày về một số định nghĩa cơ bản của knot dựa trên sự mơ tả hình học. Cuối cùng, ta sẽ tiến hành xem xét một bất biến của knot đĩ là nhĩm cơ bản. Ngồi lời nĩi đầu và kết luận, nội dung của luận văn bao gồm ba chương : 1. Chương I : Nhĩm cơ bản Trong chương này ta trình bày lại một số định nghĩa cơ bản của tơpơ đại số như đồng luân, nhĩm cơ bản,…Đồng thời khảo sát một số tính chất của hàm tử ( )π1 X . 2. Chương II : Knot Phần này dành để định nghĩa thế nào là một knot và mơ tả hình ảnh cụ thể của nĩ trong thực tế bằng ngơn ngữ hình học thơng thường. Đồng thời đưa ra GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 5 một số bất biến đơn giản của knot như số crossing của một knot, số link của một link,… 3. Chương III : Nhĩm cơ bản của knot Mở đầu chương này ta sẽ chứng minh một định lý cơ bản của tơpơ đại số- định lý Van-Kampen. Từ đĩ chứng minh định lý Wirtinger làm cơng cụ để tính nhĩm cơ bản của một vài knot đơn giản. Lý thuyết knot là một lý thuyết khĩ. Cho đến nay vẫn cịn nhiều vấn đề, nhiều chỗ chưa thể chứng minh được. Chính vì đặc điểm này, nĩ đang là một đề tài nĩng bỏng được rất nhiều nhà tốn học quan tâm. Với một kiến thức hạn chế khi nghiên cứu về một lý thuyết mới, bản thân em khĩ trách khỏi những thiếu xĩt, rất mong được sự đĩng gĩp ý kiến của quý thầy cơ và bạn bè đồng mơn. Trước tiên, em xin chân thành cảm ơn các quý thầy cơ trong tổ bộ mơn Tốn những người đã trực tiếp giảng dạy em trong những năm qua để hơm nay em cĩ cơ hội được thực hiện đề tài này . Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Phĩ Giáo Sư - Tiến sĩ Lê Anh Vũ đã tận tình hướng dẫn và truyền đạt cho em những ý kiến quý báo. Trong quá trình thực hiện đề tài, em đã tham khảo một số tài liệu sách của một số tác giả nhưng khơng cĩ điều kiện liên hệ, thơng qua đây em xin gửi lời cảm ơn đến các tác giả. Nhân dịp này, em cũng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo điều kiện cũng như giúp đỡ em để đề tài nghiên cứu được hồn thành. Long Xuyên, tháng 5 năm 2008 Tác giả GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 6 CHƯƠNG I : NHĨM CƠ BẢN Trong chương này ta sẽ tìm hiểu về quan hệ đồng luân trên khơng gian các ánh xạ liên tục [ ],C X Y . Để từ đĩ đi đến việc giới thiệu sơ lược về một vấn đề cơ bản của tơpơ đại số - nhĩm cơ bản. Kết thúc chương bằng việc tìm hiểu các tính chất của nhĩm cơ bản. I. ĐỒNG LUÂN 1.Quan hệ đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục 1.1. Kiến thức chuẩn bị Bổ đề dán : Giả sử khơng gian tơpơ X là hợp hữu hạn các tập đĩng của nĩ ( X =U n i iF 1= ) và : ii F Yf → là một họ các ánh xạ liên tục ( ni ,1= ) mà ( ) ( )FFfFFf jijjii ∩=∩ nji ,1, =∀ . Khi đĩ ánh xạ f : X→ Y xác định bởi : ( )if F = ,( 1, )if i n= là ánh xạ liên tục. 1.2. Định nghĩa Cho X và Y là hai khơng gian tơpơ. Xét hai ánh xạ liên tục: : →f X Y : →g X Y Ta nĩi f đồng luân với g bởi phép đồng luân F ( kí hiệu: ( )F f g ) nếu tồn tại ánh xạ liên tục: : × →F X I Y (với [ ]0,1=I ) sao cho ( ) ( )( ) ( ) ,0 ,1 =⎧⎪⎨ =⎪⎩ F x f x F x g x Ví dụ: Xét X là khơng gian tơpơ, Y là tập con lồi của nR ( tức nếu y, z thuộc Y thì tồn bộ đoạn thẳng nối y và z nằm hồn tồn trong Y ). Xét các ánh xạ liên tục sau: : →f X Y ; : oy c X Y→ ox ya GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 7 Khi đĩ ta cĩ: ( ) o F yf c . Thật vậy: Xét ánh xạ: : × →F X I Y xác định như sau: ( ) ( ) ( ), 1 . . , ,= − + ∀ ∈ ∀ ∈oF x t t f x t y x X t I hiển nhiên ta cĩ: • F liên tục. • ( ) ( ),0 =F x f x . • ( ) ( ),1 oy F x c x= . 1.3. Minh họa khái niệm đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục Hình (a) là trường hợp f, g đồng luân. Hình (b)là trường hợp f, g khơng đồng luân. Hay một cách hình dung khác, hai ánh xạ liên tục f, g gọi là đồng luân nếu f cĩ thể biến đổi một cách liên tục thành g. 1.4. Định lý Quan hệ đồng luân là một quan hệ tương đương trên khơng gian [ ],C X Y các ánh xạ liên tục từ X đến Y ( với X , Y là các khơng gian tơpơ bất kì ). Y X f g (a) Y X f g (b) GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 8 Chứng minh • Ta dễ dàng chứng minh tính phản xạ và tính đối xứng của quan hệ đồng luân. Thật vậy : ta cĩ ( )F f f với ( ) ( ), ,= ∀ ∈F x t f x x X ; It ∈∀ ( ) ( )F G f g g f⇒ với ( ) ( ), ,1G x t F x t= − ,x X t I∀ ∈ ∀ ∈ Vì G(x,0) = g(x) = F(x,1) G(x,1) = f(x) = F(x,0). • Tính bắc cầu : Giả sử ta cĩ : ( ) F f g và ( ) H g h ta sẽ chứng minh: ( )H f h Xét ánh xạ : × →H X I Y ( ) ( ), ,x t H x ta xác định như sau: ( ) ( ) ( ) 1,2 , 0 2, 1,2 1 , 1 2 F x t t H x t G x t t ⎧ ≤ ≤⎪⎪= ⎨⎪ − ≤ ≤⎪⎩ Dễ thấy H liên tục vì ( ) ( ) ( )1 1, ,1 ,0 , 2 2 H x F x g x G x H x⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Đồng thời : ( ) ( ) ( ),0 ,0 ,H x F x f x x X= = ∀ ∈ ; ( ) ( ) ( ),1 ,1 ,H x G x h x x X= = ∀ ∈ ; Nên ta cĩ : ( )H f h Vậy ta cĩ điều phải chứng minh. 2. Quan hệ đồng luân giữa hai khơng gian tơpơ Cho X ,Y là hai khơng gian tơpơ. Ta nĩi X đồng luân với Y (kí hiệu: X Y ) nếu tồn tại các ánh xạ f và g : : f X Y g Y X → → GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 9 sao cho : • f , g liên tục. • Yf g Ido . • Xg f Ido . Từ định nghĩa trên ta thấy rằng : Nếu X và Y là hai khơng gian đồng phơi thì chúng cũng sẽ là hai khơng gian đồng luân. Thật vậy, gọi :f X Y→ là một song ánh liên tục thì ta cĩ: 1 Y Yf f Id Id − =o 1 X Xf f Id Id − =o Do đĩ : X Y . Điều ngược lại thì nĩi chung là khơng đúng. Chẳng hạn : Rn và { }0 là đồng luân vì tồn tại các ánh xạ { }0: →nRf và { } nRg →0: thỏa mãn : nRg f Id=o 0ax xa0 và { }0f g Id=o nhưng nR và { }0 khơng đồng phơi vì tập hợp của chúng khơng cùng lực lượng. Vì vậy, phân loại ( cùng kiểu ) đồng luân là phân loại thơ hơn phân loại đồng phơi ( đồng luân “yếu” hơn đồng phơi ) nên mọi bất biến đồng luân càng là bất biến đồng phơi. Chính vì thế, ta hy vọng sẽ dễ dàng xét các bất biến đồng phơi thơng qua bất biến đồng luân bằng cơng cụ đại số. II.NHĨM CƠ BẢN 1. Khái niệm đường 1.1. Định nghĩa Cho khơng gian tơpơ X, x,y ∈X, [ ]0,1I = ∈ với tơpơ cảm sinh từ tơpơ tự nhiên của . Ánh xạ liên tục XIf →: sao cho (0)x f= , (1)y f= được gọi là một đường trong X nối x và y ( hình vẽ ). Điểm x gọi là điểm đầu, y gọi là điểm cuối. GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 10 Ví dụ : x,y n∈ . Ánh xạ liên tục : sao cho ( ) (2 ) (1 )f t t t y t x= − + − là một đường trong n nối x và y vì (0)f x= và (1)f y= . 1.2. Định nghĩa Cho ánh xạ XIf →: là một đường trong X nối x và y. Đường XIf →: xác định bởi : )1( tff −= được gọi là đường đảo ngược của đường f nối y và x . 1.3. Định nghĩa Cho hai đường XIgf →:, thỏa mãn ( ) ( )01 gf = . Ánh xạ XIh →: xác định bởi : ⎩⎨ ⎧ ≤≤− ≤≤= 12/1),12( 2/10),2( )( ttg ttf th thì h là ánh xạ liên tục và được gọi là đường nối hai đường f với g . Kí hiệu : *h f g= . : nf I → X x y I f 0 1 I f X x y 0 1 X z x y I g f 0 1 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 11 2. Đường đĩng 2.1.Định nghĩa - Ánh xạ liên tục :f I X→ sao cho : ( ) ( ) 00 1f f x= = được gọi là một đường đĩng tại 0x . - Với hai đường đĩng f và g tại 0x , ta nĩi f tương đương với g khi f đồng luân với g , kí hiệu : f g . Lớp tương đương đồng luân của đường đĩng f được kí hiệu là [ ]f . - Ta đặt ( )1 0,X xπ là lớp tương đương đồng luân các đường đĩng tại 0x ( )1 0, ( , )X x C I Xπ = = [ ]{ f / f là đường đĩng tại }0x . 2.2. Tích các đường đĩng Cho f và g là hai đường đĩng tại 0x trong X . Ta định nghĩa tích f g∗ như sau: :f g I X∗ → ( ) ( ) ( ) 12 ;0 2 12 1 ; 1 2 f t t f g t g t t ⎧ ≤ ≤⎪⎪∗ = ⎨⎪ − ≤ ≤⎪⎩ f 0 1 0x X X 0 1 f 0x f g∗ g I GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 12 f*g là đường đĩng trong X nối hai đường f và g . 2.3. Tính chất Nếu 1 1, , ,f g f g là các đường đĩng tại 0x và 1 1 f f g g ⎧⎨⎩ thì 1 1f g f g∗ ∗ . Chứng minh : Giả sử ( ) 1 ( ) 1 F G f f g g ⎧⎪⎨⎪⎩ ( do 1 1 f f g g ⎧⎨⎩ ) Khi đĩ, dễ thấy, tại 0t I∈ thì ( ) ( )0 0, , ,F x t G x t là các đường đĩng tại 0x . Thật vậy : ta xét ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ →× → → YIXF YXf YXf : : :1 thì ta cĩ : 10 (0) , 0 ( , ) (1) , 1 f t F x t f t =⎧= ⎨ =⎩ mà 1,f f là các đường đĩng tại 0x nên suy ra ),( 0txF là đường đĩng tại 0x . Tương tự 10 (0) , 0 ( , ) (1) , 1 g t G x t g t =⎧= ⎨ =⎩ mà 1,g g là các đường đĩng tại 0x , nghĩa là: 1 1 0 0 (0) (1) (0) (1) g g x g g x = = = = ⇒ 1 0 0 ( ,0) (0) ( ,1) (1) G x g x G x g x = = = = nên suy ra 0( , )G x t là đường đĩng tại 0x . Ta xây dựng ánh xạ :H I I X× → thỏa mãn ( ) ( ) ( ), , , , ,H x t F x t G x t x I t I= ∗ ∀ ∈ ∀ ∈ Dễ thấy : • ∀ ∈t I , ( ),H x t là một đường đĩng tại 0x • H liên tục trên ×I I ( theo bổ đề Dán ) • 1 1( ,0) ( ,0)* ( ,0) * ( )H x F x G x f g x x I= = ∀ ∈ • ( ,1) ( ,1)* ( ,1) * ( )H x F x G x f g x x I= = ∀ ∈ Vậy ( ) 1 1 H f g f g∗ ∗ . GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 13 Từ tính chất trên ta xây dựng phép tốn trên ( )1 0,X xπ như sau: ( ) ( ) ( )1 0 1 0 1 0( ) : , , ,X x X x X xπ π π∗ × → [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ], f g f g f g∗ = ∗a gọi là phép nối tiếp hai đường đĩng trên ( )1 0,X xπ . 3. Khơng gian liên thơng đường 3.1. Định nghĩa 1 Khơng gian tơpơ X được gọi là khơng gian liên thơng đường (hay cịn gọi là khơng gian liên thơng tuyến tính) nếu mọi cặp điểm Xxx ∈10 , đều được nối với nhau bằng một đường nào đĩ trong X. 3.2. Định nghĩa 2 Tập con Y của khơng gian tơpơ X được gọi là tập liên thơng đường nếu Y là liên thơng đường với tơpơ cảm sinh từ X . 3.3. Tính chất Khơng gian liên thơng đường cĩ các tính chất sau : - Cho X,Y là hai khơng gian tơpơ đồng phơi. Khi đĩ X liên thơng đường khi và chỉ khi Y liên thơng đường. - Giả sử { }jX Jj∈ là một họ các tập con liên thơng đường của khơng gian tơpơ X. Nếu j j J X φ ∈ ≠I thì U Jj jX ∈ cũng liên thơng đường. - X,Y liên thơng đường YX ×⇔ liên thơng đường. - Mọi khơng gian liên thơng đường đều liên thơng. 4. Nhĩm cơ bản 4.1. Định nghĩa ( )1 0,X xπ cùng với phép tốn (*) trên nĩ tạo thành một nhĩm và nhĩm đĩ được gọi là nhĩm cơ bản của X tại 0x ( 0x được gọi là điểm cơ sở). Chứng minh : Ta dễ dàng kiểm tra những tính chất sau đây: GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 14 • [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]( )f g h f g h∗ ∗ = ∗ ∗ • ( ) 01 0, xX xe cπ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ • [ ] ( ) [ ] 11 0,f X x f fπ − ⎡ ⎤∀ ∈ ⇒ ∃ = ⎣ ⎦ sao cho [ ] [ ] [ ] [ ] 0 1 1 xf f f f c − − ⎡ ⎤∗ = ∗ = ⎣ ⎦ với :f I X→ ( ) ( )1x f x f x= −a Do vậy nên ta cĩ ( )1 0,X xπ là một nhĩm với 0[ ]xc là phần tử đơn vị, phần tử nghịch đảo của một đường đĩng chính là đường đĩng đĩ nhưng lấy theo chiều ngược lại. 4.2. Định lý Cho 0 1,x x X∈ . Giả sử tồn tại đường liên tục :u I X→ sao cho ( ) ( )0 10 ; 1u x u x= = Khi đĩ ta cĩ: ( ) ( )1 0 1 1, ,X x X xπ π≅ . Chứng minh : Xét ánh xạ ( ) ( )1 0 1 1: , ,u X x X xπ π∗ → [ ] [ ]( ) [ ] [ ] * *f u f u f u∗ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦a với :u I X→ ( ) ( ) 1x u x u x= −a Ta chứng minh *u là một đẳng cấu. Thật vậy: (i) Với mọi [ ] ),( 11 xXg π∈ ta cĩ : [ ] [ ] [ ] [ ]( )* * * *g u u g u u⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = [ ] [ ]( ) [ ]* * * *u u g u u⎡ ⎤⎣ ⎦ = [ ] [ ]( )* * *u u g u⎡ ⎤⎣ ⎦ ( [ ] [ ]( ) 1 0* * ( , )u g u X xπ⎡ ⎤ ∈⎣ ⎦ vì nếu H là phép đồng luân của những đường đĩng tại 1x trong ),( 1xX thì uHu ** là phép đồng luân của những đường đĩng tại 0x trong ),( 0xX ). Suy ra *u là tồn ánh (1). GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 15 (ii) Với mọi [ ] [ ] 1 0, ( , )f g X xπ∈ sao cho *u [ ]( ) [ ]( )*f u g= thì [ ] [ ] [ ] [ ]* * * *u f u u g u⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦ [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ] * * * * * * * * * * * * * * * * u u f u u u u g u u u u f u u u u g u u f g ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇒ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇒ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⇒ = Suy ra *u là đơn ánh (2). (iii) Với mọi [ ] [ ] 1 1, ( , )f g X xπ∈ thì : [ ]( ) [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ] * ** * * * * * * * * * * u f u g u f u u g u u f u u g u ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )** * * *u f g u u f g⎡ ⎤ =⎣ ⎦ . Vậy *u là đồng cấu (3). Từ (1), (2), (3) suy ra *u là đẳng cấu hay ( ) ( )1 0 1 1, ,X x X xπ π≅ .  Từ định lý trên ta cĩ: Nếu X liên thơng đường thì ( ) ( )1 0 1 1, ,X x X xπ π≅ . Do đĩ ta đi đến khái niệm nhĩm cơ bản của một khơng gian X liên thơng đường. Ta kí hiệu : ( )1 Xπ . 5. Tính chất hàm tử của 1π 5.1 Định lý 1 Cho X và Y là hai khơng gian tơpơ. (i) Xét ánh xạ liên tục: :f X Y→ ( )0 0 0x y f x=a X 0x 1x u u f GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 16 Khi đĩ, f cảm sinh một đồng cấu nhĩm ( ) ( )1 0 1 0: , ,f X x Y yπ π∗ → (ii) ( ) ( )1 0,X X xId Idπ∗ = (iii) Với : ; :f X Y g Y Z→ → là các ánh xạ liên tục; 0x X∈ , ( )0 0y f x Y= ∈ , ( ) ( )0 0 0z g f x g y Z= = ∈o ta cĩ [ ] *** fgfg oo = . Tức là tam giác sau giao hốn: Chứng minh (i) Ta xây dựng f∗ như sau: ( ) ( )1 0 1 0: , ,f X x Y yπ π∗ → [ ] [ ]( ) [ ] l f l f l∗ =a o Ta cĩ: [ ] [ ]( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ]( ) [ ]( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 f l l f l l f l l f l f l f l f l f l f l ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ = ∗ = ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = ∗ = ∗ o o o o o Vậy f∗ là đồng cấu nhĩm. (ii) Theo cách xây dựng f∗ thì ta cĩ: f∗ ( )1 0,X xπ ( )1 0,Y yπ g∗ ( )g f ∗o fX Y 0x 0y 0 1 f lo l ( )1 0,Z zπ GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 17 ( ) ( ) [ ] [ ]X XId l Id l l∗ = =o Do đĩ nên ta cĩ : ( ) ( )1 0,X X xId Idπ∗ = (iii) Trước hết ta xét bổ đề sau: Cho , :f g X Y→ , :h Y Z→ là các ánh xạ liên tục và ( ) F f g Khi đĩ ta cĩ h f h go o . Thật vậy với mỗi [ ]0,1t∈ ta xét ánh xạ :G X I Z× → thoả ( ) ( )( ), ,G x t h F x t= Hiển nhiên ta thấy : • G liên tục ( do h liên tục ). • ( ) ( )( ) ( )( ) ( ),0 ,0G x h F x h f x h f x= = = o . • ( ) ( )( ) ( )( ) ( ),1 ,1G x h F x h g x h g x= = = o . Do đĩ ( )G h f h go o . Vậy bổ đề được chứng minh. Trở lại phép chứng minh (iii) [ ] ( )1 0,l X xπ∀ ∈ , ta cĩ: ( ) [ ]( ) ( ) ( )g f l g f l g f l∗ = =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦o o o o o ( ) [ ]( ) [ ]( )( )g f l g f l g f l∗⎡ ⎤⎡ ⎤= = =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦o o [ ]( ) [ ]( )( ) ( ) [ ]( )g f l g f l g f l∗ ∗ ∗ ∗ ∗⎡ ⎤= = =⎣ ⎦o o Do vậy nên ( )g f g f∗ ∗∗ =o o . 5.2 Định lý 2 (i) Cho X và Y là hai khơng gian đồng phơi. Khi đĩ ta cĩ: ( ) ( )1 0 1 0, ,X x Y yπ π≅ . (ii) Cho X và Y là hai khơng gian bất kì thì ta cĩ : ( )( ) ( ) ( )1 0 0 1 0 1 0, , , ,X Y x y X x Y yπ π π× ≅ ⊕ Chứng minh (i) Do X Y≈ nên tồn tại song ánh liên tục :f X Y→ GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 18 Xét ánh xạ cảm sinh ( ) ( )1 0 1 0: , ,f X x Y yπ π∗ → [ ] [ ] X Xl f la o ( ) ( )1 0 1 0: , ,f Y y X xπ π∗ → [ ] 1 Y Yl f l−⎡ ⎤⎣ ⎦a o Dễ thấy: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) π π − − ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = ⇒ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪⎨ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = ⇒ =⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎩ o o o o o o o o o o 1 0 1 0 1 1 , 1 , Y Y Y Y Y y X X X X X x f f l f f l f f l l f f Id f f l f f l f f l l f f Id Ta chứng minh đồng cấu cảm sinh *f là một đẳng cấu. Thật vậy : ⊕Với [ ] *KerflX ∈ ta cĩ [ ]( ) [ ]ε=Xlf* (với [ ]ε là phần tử đơn vị của ),( 01 yYπ ). [ ] [ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ] [ ]( )[ ] [ ]ε εεε=⇒ =⇒=⇒=⇒ X XXXl flffflfflf *** oooo Suy ra *f là đơn cấu. (1) ⊕ Với mọi [ ] ),( 01 yYlY π∈ ta cĩ : [ ] [ ] [ ] ( )* **Y Y Yl f f l f f l⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦o ( 1 0[ ] ( , )Yf l X xπ∈o vì nếu Yl là phép đồng luân của các đường đĩng tại 0y trong ),( 0yY thì [ ]Yf lo là phép đồng luân của các đường đĩng tại 0x trong ),( 0xX ). Do đĩ *f là tồn cấu. (2) Từ (1), (2) suy ra f∗ là đẳng cấu hay ( ) ( )1 0 1 0, ,X x Y yπ π≅ . (ii) Xét ánh xạ: ( )( ) ( ) ( )1 0 0 1 0 1 0: , , , ,X Y x y X x Y yθ π π π× → ⊕ [ ] [ ] [ ]( )1 2 ,l l lρ ρa o o trong đĩ : ( ) ( ) 1 2 : , : , X Y X x y x X Y Y x y y ρ ρ × → × → a a GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 19 Dễ thấy θ là một song ánh và đồng thời là một đồng cấu. Do vậy nên ta cĩ: ( )( ) ( ) ( )1 0 0 1 0 1 0, , , ,X Y x y X x Y yπ π π× ≅ ⊕ . 5.3. Định lý 3 (i) Nếu , :f g X Y→ là các ánh xạ liên tục và ( )Ff g thì ta cĩ f g∗ ∗= . (ii) Nếu X và Y là hai khơng gian liên thơng đường và X Y thì ta cĩ ( ) ( )1 1X Yπ π≅ . Chứng minh (i) Với mỗi [ ]0,1t∈ xét ánh xạ :F X I Y∗ × → thoả ( ) ( )( ), ,F x t F l x t∗ = . Hiển nhiên ta thấy: • F∗ liên tục. • ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ),0 ,0F x F l x f l x f l x∗ = = = o . • ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ),1 ,1F x F l x g l x g l x∗ = = = o . Do đĩ ( )F f l g l ∗o o hay nĩi cách khác f g∗ ∗= . (ii) Do X Y nên tồn tại các ánh xạ liên tục : : : f X Y g X Y → → thỏa mãn tính chất: Y X f g Id g f Id ⎧⎨⎩ o o Khi đĩ ta cĩ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 Y Y Y X X X f g Id f g f g Id Id g f Id g f g f Id Id π π ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ⇒ = = = ⇒ = = = o o o o o o Vậy ta cĩ ( ) ( )1 1:f X Yπ π∗ → là đẳng cấu (theo phần chứng minh định lý 2i). Do đĩ nên ( ) ( )1 1X Yπ π≅ . GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 20 Tĩm lại, chương này chúng ta đã xây dựng thế nào là hai khơng gian đồng luân. Từ đĩ nêu lên mối liên hệ giữa quan hệ đồng luân và đồng phơi: mọi khơng gian đồng phơi thì cùng kiểu đồng luân. Mặc khác chúng ta cũng đã xây dựng định nghĩa nhĩm cơ bản của khơng gian tơpơ X tại điểm 0x bằng phép tốn nối các đường đĩng trên ( )1 0,X xπ . Qua đĩ cho ta thấy được rằng nhĩm cơ bản là một bất biến tơpơ thơng qua việc chứng minh nĩ là bất biến đồng luân, tức là hai khơng gian cùng kiểu đồng luân thì cĩ các nhĩm cơ bản đẳng cấu (điều này cho phép chứng minh tính khơng đồng phơi của hai khơng gian tơpơ bằng cách chỉ ra nhĩm cơ bản của chúng là khơng đẳng cấu). GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 21 CHƯƠNG II: KNOT Trong phần này ta sẽ nghiên cứu knot (nút) – hình ảnh của một knot dây trong thực tế. Qua đĩ ta đi đến các khái niệm liên quan như cung, crossing, ảnh đối xứng, tích liên thơng, mã số,…. I. KNOT 1. Định nghĩa 1.1. Sự hiểu biết trực quan về knot Ta lấy một sợi dây rồi thắt một cái gút lỏng trên nĩ, sau đĩ nối hai đầu sợi dây lại ta sẽ được một knot. Ta hiểu một cách trực quan ban đầu: knot là một đường cong đĩng cĩ thắt gút trong khơng gian mà nĩ khơng cắt nhau tại bất cứ chỗ nào trên nĩ . Cùng một knot cĩ rất nhiều hình ảnh khác nhau biểu diễn nĩ (chẳng hạn như các hình bên dưới biểu diễn cho cùng knot hình số 8). Sau đây là cách định nghĩa knot thơng qua cơng cụ tơpơ ( phép đồng phơi ). 1.2. Định nghĩa Một khơng gian con K của 3R được gọi là một knot nếu nĩ là ảnh đồng phơi của đường trịn 1S . Tức là : (K là knot)⇔ ( 1:f S K∃ → là một phép đồng phơi). GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 22 1.3. Ví dụ Xét 1 1:Id S S→ Hiển nhiên Id là một phép đồng phơi từ 1S lên 1S . Do đĩ ta cĩ 1S là một knot. Ta gọi 1S là knot tầm thường ( unknot ). 1.4. Nhận xét • Một knot là một đường đĩng trong 3R . • Mọi knot trong 3R đều đồng phơi với nhau. Một vài knot thường gặp: Vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào chúng ta cĩ thể biết được những knot cĩ hình biểu diễn khác nhau cĩ phải là những knot khác nhau hay khơng? Để làm rõ điều này ta sẽ đi tìm hiểu về đồ thị của knot. 2. Đồ thị của knot Những hình vẽ dùng để biểu diễn cho knot được gọi là đồ thị của knot, nĩ là đại diện trong 2R của một vật thể ba chiều. 2.1. Định nghĩa Knot ba lá Knot hình số 8 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 23 Một đồ thị của knot trong 2R được tạo thành từ một số hữu hạn các cung và các crossing (nơi giao nhau giữa cung dưới và cung trên). Tại mỗi crossing, ta thu được thơng tin về sự chênh lệch độ cao giữa hai cung tương ứng trên knot. 2.2. Chú ý 2.2.1. Trong đồ thị của một knot khơng tồn tại những hình ảnh sau: 2.2.2. Trong một đồ thị nếu ta bỏ qua ý nghĩa của crossing thì khi đĩ đồ thị trở thành một vết trong 2R . 2.3. Nhận xét 2.3.1. Một knot cĩ thể được biểu diễn bởi nhiều đồ thị khác nhau. Chẳng hạn như ta cĩ ba đồ thị biểu diễn của knot hình số 8. đồ thị vết Cung trên Cung dưới Cung dưới crossing GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 24 2.3.2. Số crossing nhỏ nhất trong tất cả các đồ thị cùng biểu diễn một knot được gọi là số crossing của knot đĩ và được kí hiệu là c(K). 2.3.3. Dễ thấy rằng khơng cĩ knot nào cĩ số crossing là 1 và 2. Vì nếu một knot cĩ một crossing thì nĩ sẽ cĩ dạng giống như một trong các hình sau. Khi đĩ ta cĩ thể dễ dàng tháo crossing đơn này để thu được knot tầm thường. 2.3.4. Một đồ thị của knot K với số crossing bằng c(K) được gọi là đồ thị tối tiểu của nĩ. Ta thấy 1D và 2D đều là những đồ thị biểu diễn knot 3 lá nhưng số crossing của 1D lớn hơn số crossing của 2D . Đồng thời do (3) nên 2D được gọi là đồ thị tối tiểu của knot ba lá. 2.4. Ví dụ 1D 2 D c(K) =8 c(K) =5 c(K) =8 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 25 3. Bài tốn chưa giải quyết Chứng minh rằng một đồ thị đã cho là đồ thị của knot tầm thường. Nhiều lý thuyết về knot cĩ cách nhìn nhận và giải quyết vấn đề khác nhau. Nội dung bài tốn được hiểu một cách đơn giản là : nếu như ta cho trước đồ thị của một knot thì ta cĩ thể kết luận đĩ là knot tầm thường khơng? Đương nhiên nếu lấy một knot từ một mẫu dây và cố gắng sắp xếp để tháo các gút trên knot đĩ ra. Nếu tất cả các gút trên sợi dây đều được tháo gỡ thì đĩ là knot tầm thường. Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu như trong hai tuần mà ta vẫn khơng thể nào tháo gỡ hết được tất cả các gút trên sợi dây. Ta cũng khơng thể kết luận đĩ khơng phải là knot tầm thường vì cĩ thể ta chưa đủ thời gian để tháo gỡ knot đĩ ra chăng? Trên thực tế đã cĩ người tìm ra cách chứng minh một đồ thị đã cho cĩ phải là knot tầm thường khơng? Đĩ là Wolfgang Haken. Theo lý thuyết của ơng (1961), chúng ta cĩ thể đưa đồ thị của knot vào máy tính, máy tính sẽ chạy thuật tốn và cho chúng ta kết quả. Nhưng đáng tiếc, thuật tốn mà Haken tìm ra cách đây hơn 40 năm quá phức tạp đến nỗi chưa cĩ ai viết được chương trình này trên máy tính để thực hiện nĩ. 4. Link 4.1. Định nghĩa Một khơng gian con L của 3R được gọi là một link nếu nĩ là hợp hữu hạn của những knot rời rạc. L là một link 1 2 3 ... nL K K K K⇔ = U U U U trong đĩ iK là một knot 1,i n∀ = và ,i jK K i j= ∅ ∀ ≠I Khi đĩ ta gọi L là một link cĩ n thành phần ( kí hiệu: Comp( L ) n= ). Hiển nhiên một knot là một link với một thành phần. Nhận xét: Cũng giống như knot, một link cĩ thể cĩ hai hay nhiều đồ thị biểu diễn nĩ. 4.2 Ví dụ unlink Hopf link Borromean rings Whitehead link GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 26 4.3. Link tách được Link tách được là loại link mà các thành phần của link cĩ thể tách rời ra thành các link đơn tầm thường bằng cách thay đổi tính chất của một số croosing trên đồ thị . 4.4. Link Brunman Một link được gọi là link Brunman nếu bản thân nĩ khơng là link tầm thường nhưng sự di chuyển của bất kỳ một thành phần nào của link ra khỏi link đều làm cho link trở thành link tầm thường . VD : Link được cho ở hình bên dưới là link Brunman vì khi ta tách bất cứ một vịng nào của link ra khỏi link thì lập tức hai vịng cịn lại trở thành link tầm thường. 4.5. Sự tương đương giữa các link Cho hai link L và L’ trong 3R . Ta nĩi L tương đương với L’ (kí hiệu : 'L L ) nếu tồn tại một ánh xạ liên tục f sao cho: ( ) ' f Id f L L ⎧⎨ =⎩ Dễ thấy quan hệ tương đương giữa hai link là một quan hệ tương đương. II. PHÉP DỊCH CHUYỂN 1. Phép dịch chuyển ( )∆ 1.1. Định nghĩa Xét L là một link và một tam giác phẳng trong 3R . Giả sử tam giác đĩ cĩ một cạnh nằm trên L. Khi đĩ, ta cĩ thể chuyển L thành L’ tương đương với nĩ theo cách sau : trên L ta xĩa đoạn chung với tam giác rồi lắp vào chổ hổng trên L hai cạnh cịn lại của tam giác ta thu được L’. GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 27 Rõ ràng trong một tam giác, ta luơn cĩ tương ứng 1-1 sau : Do đĩ dễ thấy tồn tại một song ánh liên tục thỏa mãn ( ) ' f Id f L L ⎧⎨ =⎩ Vậy 'L L . Phép dịch chuyển trên được gọi là phép dịch chuyển ( )∆ . 1.2.Định lý Hai link L và L’ được gọi là tương đương với nhau nếu và chỉ nếu L’ là sản phẩm của L qua hữu hạn các phép dịch chuyển ( )∆ (hoặc ngược lại). 2. Phép dịch chuyển Reidemeister 2.1. Định nghĩa Phép dịch chưyển Reidemeister là phép biến đổi đồ thị của một knot bằng cách thay đổi tính chất của các crossing. Trong 3R các phép dịch chuyển sau đây được gọi là phép dịch chuyển Reidemeister: - Phép dịch chuyển 0R cho phép ta thay đổi tồn bộ tính chất “trên, dưới” tại các crossing của knot. - Phép dịch chuyển Reidemeister 1R cho phép ta tạo hay tháo một crosing trên đồ thị của knot. 0R L L’ GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 28 - Phép dịch chuyển Reidemeister 2R cho phép ta tạo thêm hay bớt ra hai crossing trên đồ thị của knot. - Phép dịch chuyển Reidemeister 3R cho phép ta di chuyển một cung trên đồ thị từ hai chỗ giao nhau này đến hai chỗ giao nhau khác. 2.2. Nhận xét - Mỗi phép dịch chuyển Reidemeister làm thay đổi đồ thị của knot nhưng khơng biến knot đã cho thành knot khác. - Mỗi phép dịch chuyển Reidemeister trên đồ thị của knot K tương ứng với một dãy hữu hạn phép dịch chuyển ( )∆ trên K . Thật vậy : Điều này hiển nhiên đối với 0R và 1R (qua hữu hạn phép phân hoạch trên K) cịn đối với 2R và 3R thì cĩ thể minh hoạ như dưới đây: a) Minh hoạ đối với 2R 1R 2R 3R GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 29 b) Minh hoạ đối với 3R Từ nhận xét trên ta cĩ định lý : 2.3. Định lý Reidemeister Hai knot K và K’ cĩ đồ thị tương ứng là D và D’. Ta nĩi K tương đương K’ nếu và chỉ nếu D’ là sản phẩm của D qua hữu hạn các phép dịch chuyển Reidemeister (hoặc ngược lại) . Ví dụ: Từ knot hình số 8 ta thực hiện một chuỗi các phép dịch chuyển Reidemeister ta thu được knot ba lá. Ta nĩi knot hình số 8 và nút ba lá tương đương nhau. Ngồi ra, Reidemeister cịn chứng minh được nếu ta cĩ hai đồ thị khác nhau của cùng một knot thì ta cĩ thể biến đổi đồ thị này thành đồ thị kia bằng một chuỗi các phép dịch chuyển Reidemeister. 2R ∆ ∆ GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 30 Ví dụ: Hai đồ thị của knot hình số 8 tương đương nhau qua một chuỗi các phép dịch chuyển Reidemeister (hình bên dưới). III. MỘT SỐ KNOT ĐẶC BIỆT 1. Ảnh đối xứng của một knot 1.1. Định nghĩa Cho knot K, ảnh đối xứng của nĩ qua một mặt phẳng trong 3R cũng là một knot và knot đĩ được gọi là ảnh đối xứng của K. Kí hiệu : K Ví dụ Dễ thấy rằng để xác định ảnh đối xứng của một knot, ta chỉ cần thay đổi tính “trên, dưới” của các cung tại mỗi crossing. 1.2. Knot tự đối xứng Một knot được gọi là tự đối xứng nếu nĩ tương đương với ảnh đối xứng của nĩ. Ví dụ : Knot hình số 8 là một knot tự đối xứng. K K III I GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 31 Thật vậy : 2. Knot định hướng 2.1.Định nghĩa Cho knot K, lấy một điểm M trên K, di chuyển M dọc trên K theo một hướng nhất định. Khi đĩ, ta đã định hướng cho knot K và K được gọi là một knot định hướng. Để biểu diễn một knot định hướng ta gắn trên đồ thị của K các mũi tên tương ứng theo chiều của nĩ. Ví dụ K K GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 32 2.2.Knot nghịch đảo Nghịch đảo của một knot định hướng K (kí hiệu r(K)) cũng chính là nĩ nhưng được lấy theo hướng ngược lại. Ví dụ : 2.3. Knot xen kẽ a. Một đồ thị D của knot K được gọi là đồ thị xen kẽ nếu ta lấy trên D một điểm M bất kì, khi di chuyển dọc trên D theo một hướng nhất định thì tại hai crossing liên tiếp bất kì thì tính “trên , dưới” xen kẽ nhau. b. Một knot K được gọi là một knot xen kẽ nếu nĩ cĩ đồ thị tối tiểu là một đồ thị xen kẽ. Ví dụ: Knot ba lá là một knot xen kẻ Knot hình số 8 là một knot xen kẻ Nhận xét : K r(K) GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 33 - Từ một vết trong mặt phẳng ta cĩ thể biến nĩ thành một knot xen kẻ trong khơng gian bằng cách thay thế một cách hợp lý các giao điểm trên vết thành những crossing mà tính chất “ trên, dưới ” của các crossing được thay đổi đều đặn liên tục. Chẳng hạn như vết này - Bất kỳ một đồ thị của knot nào cũng cĩ thể biến đổi về đồ thị của knot xen kẻ. - Bằng cách thay đổi tính “trên, dưới” của các cung tại các crossing, bất kỳ một knot nào đều cĩ thể biến đổi về knot tầm thường. Ví dụ : 2.4. Link định hướng Một link L gọi là được định hướng nếu các thành phần của nĩ đều cĩ hướng. Ví dụ : Crossing cần thay đổi ⇒ GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 34 3. Tích liên thơng - Knot nguyên tố 3.1. Tích liên thơng a. Cho hai knot định hướng K và K’. Ta nĩi K và K’ cùng chiều khi hai hướng trên K và K’ là cùng chiều (và ngược lại ). b. Tích liên thơng của hai knot K và K’ (kí hiệu: K # K’) là một knot được sinh ra bởi quá trình sau : • Chọn M trên K và N trên K’. • Cắt K tại M và cắt K’ tại N. • Dán lần lượt từng đầu mút của K với từng đầu mút của K’( tại M và N ) sao cho bảo đảm khơng vi phạm về hướng. Ví dụ 3.2. Điều kiện để phép nối hai knot là tích liên thơng - Sau khi thực hiện phép nối thì hướng trên hai knot K và K’ khớp với nhau. - Hai cung tạo thành do nối hai đầu mút trên knot K với hai đầu mút trên knot K’ phải thoả mãn điều kiện là khơng tạo thành các crosing mới với các cung của hai đồ thị ban đầu. Ví dụ Crossing mới khơng thoả điều kiện Crossing mới khơng thoả điều kiện GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 35 3.3. Nhận xét - Tích liên thơng của hai knot cũng tương tự như tích của hai số nguyên dương. Nếu như phép nhân trong Z + : : .1x Z x x+∀ ∈ = thì trong lý thuyết knot ta cĩ tích của knot K với knot tầm thường là knot K. Các thành phần trong knot tích gọi là các knot thừa số ( hình vẽ). Từ đĩ, dễ thấy tập { }= tất cả các knotX cùng với phép tốn tích liên thơng tạo thành một vị nhĩm với phần tử đơn vị là knot tầm thường. - Sự khác nhau giữa phép nhân của knot với phép nhân trong Z + là luơn cĩ nhiều hơn một cách để thực hiện tích của hai knot. Nĩ phụ thuộc vào việc ta chọn điểm M trên K và N trên K’. Với những cách chọn khác nhau ta sẽ được những cách nhân khác nhau của cùng một knot tích. Vì cĩ vơ số cách chọn nên cĩ vơ số cách thực hiện phép nhân hai knot. 3.4. Tích liên thơng của hai knot định hướng Khi ta thực hiện nhân hai knot định hướng K và K’ thì sẽ cĩ hai khả năng xảy ra: hoặc là hướng trên K và K’ khớp nhau – kết quả ta thu được một hướng duy nhất cho knot tích K#K’; hoặc là hướng của K và K’ khơng khớp nhau – khi đĩ hướng trên K#K’ khơng đồng nhất. Tất cả các phép nhân hai knot K và K’ mà hướng trùng khớp nhau luơn cho ta knot tích giống nhau (hình vẽ). K K Knot tầm thường GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 36 Tất cả các phép nhân hai knot K và K’ mà hướng khơng trùng khớp nhau sẽ cho ta knot tích đơn. Knot này khác với các knot tích được tạo ra khi hướng của hai knot thừa số khớp nhau (vì nĩ khơng cịn là knot định hướng nữa). (hình vẽ) 3.5. Knot nguyên tố Một knot K được gọi là knot nguyên tố nếu nĩ khơng là tích liên thơng của hai knot bất kỳ ( khác knot tầm thường ). Hay nĩi cách khác một knot khơng là knot nguyên tố nếu nĩ là tích liên thơng của hai knot khác knot tầm thường. Ví dụ: IV. MỘT VÀI BẤT BIẾN CỦA KNOT Trong phần này ta sẽ đi tìm hiểu một số bất biến của knot. Trước tiên, ta bắt đầu với một bất biến mang tính trực quan nhất – đĩ là khơng số của knot. - Knot nguyên tố : vì nĩ là tích của knot 3 lá với knot tầm thường. - Knot khơng nguyên tố : vì nĩ là tích liên thơng của hai knot 3 lá. GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 37 1. Khơng số của knot (unknotting number) 1.1.Định lý Đồ thị của một knot bất kì luơn cĩ thể chuyển được về đồ thị của một knot tầm thường sau hữu hạn lần thay đổi tính “trên , dưới” tại các crossing. Chứng minh: Xét knot K, giả sử K cĩ đồ thị là D. Trên D ta chọn crossing bất kì, ta cắt cung dưới tại crossing đĩ và sau đĩ đưa hai đầu cung đĩ lên trên cung cịn lại rồi dán chúng lại. Sau khi dán, nếu đồ thị nhận được chưa tương đương với đồ thị của một knot tầm thường thì ta tiếp tục làm như trên cho đến khi đồ thị nhận được tương đương với đồ thị của một knot tầm thường thì dừng. Quá trình trên sẽ kết thúc sau hữu hạn bước bởi ta chỉ xét trên các knot với c(K) là số hữu hạn. 1.2. Định nghĩa Khơng số của knot K là số crossing nhỏ nhất mà tại đĩ nếu ta thay đổi tính “trên, dưới” thì knot đĩ trở thành một knot tầm thường. Kí hiệu: u(K). Ví dụ: Vậy u( knot ba lá ) =1. cắt dán GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 38 1.3. Nhận xét - Khơng số của knot là một số hữu hạn do các knot ta xét đều cĩ số crossing hữu hạn. - Khơng số của một knot rất khĩ xác định vì mỗi một knot cĩ rất nhiều đồ thị biểu diễn. Ví dụ: Nếu ta thay đổi tính chất “ trên,dưới” một số crosing của knot 47 ( hình bên dưới ) thì dường như ta thấy nĩ cĩ khơng số u(K) = 2. Tuy nhiên, ta khơng thể biết được cĩ đồ thị nào khác của knot 47 mà chỉ cần thay đổi tính chất một crossing ta đã thu được nút tầm thường. Khi đĩ, u(K) = 1. - Knot tích liên thơng cĩ khơng số lớn hơn 1 vì nếu ta thay đổi tính chất của một crossing thì ta chỉ tháo được một trong hai thành phần tạo nên knot tích chứ khơng thể tháo được cả knot tích thành knot tầm thường. 2. Độ xoắn của đồ thị 2.1.Quy ước dấu Trên đồ thị của một knot định hướng, ta chỉ cĩ hai dạng crossing và chúng được quy ước dấu tại mỗi crossing như sau: +1 -1 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 39 2.2.Định nghĩa Độ xoắn của một đồ thị định hướng D được tính bằng tổng các dấu tại mỗi crossing trên đồ thị. Kí hiệu: w(D). Ví dụ: 2.3.Nhận xét Khi ta đổi hướng tất cả các thành phần trên đồ thị của một link thì độ xoắn của đồ thị đĩ là khơng đổi. Với nhận xét trên ta thấy rằng: • w(D) = w(r(D)) với r(D) là đồ thị của r(K). • w(D) = -w( D ) với D là đồ thị của K . Ví dụ W(D) = -3 W(D) = -1 W(D) = 2 +1 -1 w(D) = -3 w(r(D)) = -3 w( D ) = 3 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 40 3. Số link 3.1. Định nghĩa Cho D là đồ thị của một link định hướng cĩ n thành phần 1 2 3, , ,...., nC C C C . Ta định nghĩa số link giữa iC và jC là nửa tổng các dấu của các crossing tạo bởi iC và jC (ta khơng tính dấu của các crossing được tạo ra bởi một thành phần nào đĩ của link với chính nĩ). Khi đĩ, ta gọi số link của D là: ( ) ( ) 1 ,i j i j n lk D lk C C ≤ < ≤ = ∑ . Ví dụ 3.2.Nhận xét : ( )lk D ∈ . Thật vậy, với hai thành phần bất kì của một link thì số crossing tạo bởi chúng luơn là một số chẵn. Do đĩ nên : ( ), ;i jlk C C i j∈ ∀ ≠ và từ đĩ ta cĩ ( )lk D ∈ . 3.3. Định lý Nếu D và D’ là hai đồ thị của cùng một link định hướng thì ( ) ( )'lk D lk D= . Do vậy nên số link của đồ thị là một bất biến . Chứng minh: Do D và D’ là đồ thị của cùng một link nên ta cĩ thể giả sử D’ là sản phẩm của D qua một số hữu hạn các phép dịch chuyển Reidemeister. Vì thế, ta chỉ cần ( ) ( ) ( )1 2 2 3 1, .8 4 2 7 1, .6 3 2 lk C C lk D lk C C ⎫= = ⎪⎪⇒ =⎬⎪= = ⎪⎭ 1C 2C 3C GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 41 chứng minh các phép dịch chuyển Reidemeister khơng làm thay đổi số link. Thật vậy: • 0R và 1R là hiển nhiên đúng. Vì 1R cĩ thể tạo ra hay làm mất đi một crossing của một thành phần nào đĩ của link với chính nĩ, nhưng nĩ khơng làm ảnh hưởng đến các crossing chung của cả hai thành phần trong link. Do đĩ nĩ khơng làm ảnh hưởng đến số link. • Đối với 2R Theo hình trên, ta đã chọn một hướng xác định trên mỗi cung của link. Ta thừa nhận một điều là: hai cung tương ứng với hai thành phần của link khi di chuyển theo hai cách của phép 2R đều khơng làm ảnh hưởng đến số link. Thật vậy, một crossing mới sẽ đĩng gĩp giá trị +1 vào tổng liên kết trong khi đĩ crossing mới thứ hai lại đĩng gĩp giá trị -1 vào tổng link nên sự đĩng gĩp cuối cùng của phép 2R vào số link là 0. • 3R đúng vì: 4. Số crossing của knot Chúng ta đã nĩi đến bất biến này ở phần trước của bài luận. Số crossing của knot chính là số crossing nhỏ nhất trong tất cả các đồ thị cùng biểu diễn knot đĩ. Hay nĩi cách khác nĩ là số crossing của đồ thị tối tiểu biểu diễn cho knot đĩ (kí hiệu là c(K)). (1) (2) (3) (1) (2) (3) GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 42 Tuy nhiên việc tìm số crossing của một knot khơng phải là chuyện đơn giản. Giả sử đầu tiên ta cĩ đồ thị của knot K với n crossing, khi đĩ ta cũng khơng thể kết luận số crossing của knot K là n được vì cĩ thể cịn đồ thị khác của knot K cĩ số crossing nhỏ hơn n. Nếu tất cả các đồ thị khác cĩ ít hơn n crossing đều khác knot K hay nĩi cách khác khơng cĩ đồ thị nào của knot K cĩ ít hơn n crossing thì ta kết luận knot K cĩ số crossing là n. Ví dụ: Knot 37 cĩ số crossing là 7 vì nĩ cĩ một đồ thị với 7 crossing và đồ thị này phân biệt với tất cả các các đồ thị cĩ ít hơn 7 crossing (hình vẽ). Nĩi chung, rất khĩ để xác định được số crossing của một knot đã cho. Vì mỗi knot cĩ rất nhiều đồ thị, ta khơng biết đồ thị đang xét cĩ phải là đồ thị tối tiểu hay chưa? ™ Tuy nhiên, đối với knot xen kẽ ta cĩ nhận xét sau: - Nếu đồ thị của knot xen kẻ K cĩ n điểm chéo thì số crossing c(K) sẽ bằng chính n. - Nếu 1 2,K K đều là hai knot xen kẽ thì 1 2 1 2( # ) ( ) ( )c K K c K c K= + . 5. Mã số của knot xen kẽ Ở phần trước ta đã nắm khái niệm thế nào là knot xen kẽ, liên quan đến knot xen kẽ ta cĩ định lý sau: 1 2#K K GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 43 5.1. Định lý Một vết bất kì trong 2R đều đại diện duy nhất một knot xen kẽ khơng định hướng. Chứng minh: Trước hết ta chứng minh bổ đề sau đây: Mọi vết trong 2R đều cĩ thể được tơ màu theo kiểu bàn cờ. Thật vậy: Giả sử ta cĩ vết D, kẻ một đường thẳng đứng L và di chuyển L dọc từ biên trái sang biên phải của mặt phẳng. Ta sẽ tơ màu D như sau: • Chỉ tơ màu khi L khơng cắt D tại crossing. • Trên những miền mà L cắt đồng thời trên D, ta tơ màu xen kẽ đen trắng từ trên xuống dưới. Vì L luơn cắt D tại hữu hạn điểm nên cách tơ trên là hợp lý. Trở lại định lý, giả sử cĩ vết D. Ta tiến hành tơ màu D theo kiểu bàn cờ L D GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 44 Để đưa về đồ thị của một knot xen kẽ, ta quy ước tính “trên, dưới” tại mỗi crossing như sau: (i) Lấy một điểm trên D, di chuyển điểm đĩ dọc trên D theo một hướng nhất định. (ii) Tại mỗi crossing ta quy ước: • Nếu miền trắng nằm bên trái hướng dịch chuyển thì cung đĩ nằm dưới. • Nếu miền trắng nằm bên phải hướng dịch chuyển thì cung đĩ nằm trên. Do trên D ta tơ màu theo kiểu bàn cờ nên đồ thị nhận được từ vết đã cho cùng với quy ước bên trên hiển nhiên sẽ là một đồ thị xen kẽ và nĩ đại diện cho một knot xen kẽ . 5.2. Mã số của knot xen kẽ 5.2.1.Định nghĩa Cho đồ thị D của một knot xen kẽ, lấy điểm M trên D, di chuyển M trên D theo một hướng xác định. Qua mỗi crossing ta đánh số thứ tự tăng dần 1,2,….. Đặt { }X= tập các số lẻ tại các crossing . { }Y= tập các số chẳn tại các crossing . Ta xây dựng song ánh : →: X Yf x ya với ,x y là số thứ tự tại cùng crossing. Dãy số ( ) ( ) ( )1 , 3 , 5 ,......f f f được gọi là mã số của knot xen kẽ đã cho. Kí hiệu là Cd(K). Ví dụ : do (1) 4, (3) 6, (5) 2f f f= = = nên Cd(K) = 4 6 2 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 45 5.2.2.Nhận xét a. Số phần tử trong dãy mã cũng chính là số crossing của đồ thị của knot đĩ. b.Ứng với mỗi bộ mã 1,...., na a ta cĩ sự tương ứng ( ) ( ) ( )1 21, ; 3, ;.....; 2 1, na a n a− . c. Nếu ta quy ước rằng tại mỗi crossing, cung mang số lẻ là cung nằm dưới, cịn cung mang số chẵn là cung nằm trên; thì khi đĩ ta cĩ thể dựng lại đồ thị của một knot xen kẽ tương ứng với bộ mã 1,..., na a cho trước theo cách sau: • Lấy một điểm M bất kì.Trên mặt phẳng, ta lấy n điểm bất kì và đánh số 1 2 3, , ,....., na a a a . • Sau đĩ, tại mỗi điểm ta gán thêm tạo ảnh của nĩ: Gán 1 cho 1a . Gán 3 cho 2a . ………….. Gán 2n-1 cho na . Nối điểm M với các điểm đĩ theo thứ tự 1,2,3,… ; và tuân theo quy ước trên ta sẽ được đồ thị cần dựng. Ví dụ : Với Cd(K) = 4 6 2; thì đồ thị tương ứng của K là: 1 2 6 4 53 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 46 V. TÍNH CHẤT BA MÀU CỦA KNOT 1. Định nghĩa Một giả định được đặt ra ở đây là: mỗi đồ thị của knot K (khác knot tầm thường) đều bắt đầu từ đồ thị của knot tầm thường được làm rối lên, nghĩa là qua một chuỗi các phép dịch chuyển Reidemeister knot tầm thường được biến thành knot khơng tầm thường. Giả định này đã làm xuất hiện một mâu thuẫn: chẳng lẽ mỗi knot đều tương đương với knot tầm thường? Điều đĩ là khơng đúng, ta sẽ chứng minh cĩ ít nhất một knot khác knot tầm thường. Đĩ chính là knot ba lá (trefoil knot). Để chứng minh được điều này ta cần đi tìm hiểu tính chất ba màu của knot. Ta định nghĩa một “cung” trên đồ thị của knot là một phần của đồ thị, nĩ được tính từ crossing phía dưới này đến crossing phía dưới khác, ở giữa hai crossing này cĩ duy nhất một crossing mà nĩ nằm trên. Ta nĩi đồ thị của knot cĩ tính chất ba màu nếu mỗi cung trên đồ thị được tơ bởi một màu trong ba màu khác nhau. Vì thế ở mỗi crossing, hoặc cĩ tới ba màu khác nhau hoặc chỉ cĩ một màu duy nhất. Để một đồ thị được tơ ba màu thì cần cĩ ít nhất hai màu được sử dụng. Ở hình bên dưới cĩ hai đồ thị của knot 3 lá được tơ ba màu. Ở đồ thị thứ nhất, ba màu khác nhau gặp nhau ở mỗi crossing. Cịn ở đồ thị thứ hai, một số crossing chỉ cĩ duy nhất một màu xuất hiện (màu trắng). Tuy nhiên khơng cĩ chỗ giao nhau nào cĩ đúng hai màu xuất hiện nên nĩ vẫn thỗ tính chất ba màu của knot. 2.Ví dụ 1 “cung” ba màu khác nhau tại crossing 1 màu duy nhất tại crossing GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 47 Một trong ba đồ thị của các knot 16 , 26 , 36 sẽ cĩ đồ thị cĩ tính chất ba màu (đồ thị của knot 16 ) (bạn đọc tự tơ màu). 3. Sự ảnh hưởng của các phép dịch chuyển Reidemeister đối với tính ba màu của knot Mục đích của chúng ta là muốn nghiên cứu xem nếu một knot được tơ ba màu thì qua phép dịch chuyển Reidemeister nĩ cịn bảo tồn tính chất ba màu hay khơng? Đối với 0R thì hiển nhiên tính chất ba màu của knot vẫn được bảo tồn vì 0R chỉ biến knot K thành knot đối xứng của nĩ. Đối với 1R : vì 1R chỉ tạo ra hay làm mất đi một crossing trên một cung nào đĩ trong đồ thị nên ta chỉ cần giữ nguyên lại màu ban đầu của cung đĩ khi thực hiện phép di chuyển 1R thì đồ thị của knot vẫn đảm bảo tính ba màu. Tiếp theo ta xét đối với phép dịch chuyển 2R : nếu như ta thực hiện phép dịch chuyển 2R để tạo ra hai crossing mới trên đồ thị của knot thì khi đĩ ta cĩ hai trường hợp: hoặc là hai đoạn dây gốc ban đầu cĩ màu khác nhau thì ta chỉ cần đổi màu của đoạn dây mới tạo ra bằng một màu thứ ba; hoặc màu trên hai đoạn dây gốc ban đầu 16 26 36 1R khơng làm thay đổi tính chất ba màu của knot GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 48 giống nhau thì ta vẫn giữ màu như cũ cho đoạn dây mới, lúc đĩ đồ thị thu được vẫn sẽ đảm bảo tính ba màu. Ngược lại, nếu dùng phép dịch chuyển 2R để làm mất đi hai crossing trên đồ thị của knot thì nĩ vẫn đảm bảo tính ba màu. Tương tự ta cũng dễ dàng chứng minh được phép dịch chuyển 3R sẽ khơng làm mất đi tính chất ba màu của knot. 4. Nhận xét - Vì các phép dịch chuyển Reidemeister khơng làm ảnh hưởng đến tính chất ba màu của knot nên một knot cĩ tính chất ba màu hay khơng là tuỳ thuộc vào bản chất của knot đĩ. - Đối với một knot hoặc tất cả các đồ thị của nĩ cĩ tính ba màu hoặc khơng đồ thị nào của nĩ cĩ tính chất ba màu . Chẳng hạn, mọi đồ thị của knot 3 lá đều cĩ tính chất ba màu và đồ thị thơng dụng nhất của knot tầm thường (đường trịn) khơng cĩ tính ba màu (do khơng thể dùng ba màu khác nhau để tơ màu cho đường trịn) nên knot ba lá là hồn tồn phân biệt với knot tầm thường. Như vậy, dựa vào tính chất ba màu của knot mà ta đã chứng minh được cĩ ít nhất một knot khác knot tầm thường. Thực chất thì bất kỳ một knot nào cĩ tính chất ba màu đều khác knot tầm thường. Hay tổng quát hơn, ta cĩ thể kết luận rằng bất kỳ một knot nào cĩ tính chất ba màu đều là phân biệt so với những knot khơng cĩ tính chất ba màu. hoặc 2R khơng làm thay đổi tính chất 3 màu của knot GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 49 Kết thúc chương II ta đã cĩ một cái nhìn tổng quát về knot bằng hai phương pháp: trực quan và tốn học. Từ việc tìm hiểu một số knot đặc biệt cũng như nghiên cứu các bất biến của chúng đã giúp cho ta nắm được những tính chất cơ bản nhất của đối tượng này. Ngồi ra, ta đã cĩ thể chứng minh được sự khác nhau giữa các knot thơng qua tính ba màu trên đồ thị của nĩ. Đây là những cơ sở lý thuyết rất quan trọng cho việc nghiên cứu nhĩm cơ bản của knot ở chương sau. GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 50 CHƯƠNG III : NHĨM CƠ BẢN CỦA KNOT Trong phần này ta sẽ chứng minh một định lý cơ bản của tơpơ đại số - định lý Van Kampen. Bằng cách áp dụng định lý Van Kampen ta sẽ chứng minh một cơng cụ để tính số nhĩm cơ bản của knot- định lý Wirtinger. Sau đĩ ta sẽ đi tìm hiểu nhĩm cơ bản của vài knot đơn giản. I. ĐỊNH LÝ VAN-KAMPEN 1. Định lý Cho X là khơng gian tơpơ. Giả sử 1U và 2U là hai tập mở thỏa mãn: ⎧ =⎪⎨⎪⎩ U I 1 2 1 2 1 2, , là các tập liên thông đường X U U U U U U Lấy ∈ I1 2p U U . Xét biểu đồ giao hốn : Trong đĩ 1 2 1 2, , ,i i j j là các đồng cấu. Nếu cĩ một nhĩm G và các đồng cấu φ φ1 2, sao cho: ( ) φ φ φ π ⎧ =⎪⎨ →⎪⎩ o o1 1 2 2 1: , với m = 1,2m m i i U p G thì tồn tại đồng cấu ( )1: ,X p Gφ π → sao cho ; 1,2m mj mφ φ= ∀ =o . ( )π I1 1 2 ,U U p ( )π1 ,X p 1i 1j ( )π1 1,U p ( )π1 2 ,U p 2i 2j GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 51 Chứng minh : Đặt ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2, , , , , , ,L U U p L U p L U p L X pI là khơng gian các đường đĩng tại p trong 1 2U UI , 1U , 2U , X . Nếu α là một đường đĩng trong ( ),L M p với { }1 2 1 2, , ,M U U U U X∈ I thì lớp tương đương của α trong M được ghi là [ ]Mα . Xét ( ) ( )1 2: , ,L U p L U p Gϕ →U với ( ) [ ]( ) ( )[ ]( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 , , , , φ α α ϕ α φ α α ⎧ ∈⎪= ⎨ ∈⎪⎩ U U L U p L U p Do ( ) ( ) ( )1 2 1 2, , ,L U p L U p L U U p=I I nên: ( )1 2 ,L U U pα∀ ∈ I thì ( ) ( )1 2, ,α ∈ IL U p L U p , do đĩ ta cĩ: ( ) [ ]( ) [ ]( )( ) [ ]( )( ) [ ]( ) ( ) 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2U U U U U U i iϕ α φ α φ α φ α φ α ϕ α= = = = =I I Từ đĩ ta cĩ ϕ là một ánh xạ. Ngồi ra do 1 2,φ φ là các đồng cấu nhĩm nên ta cĩ : ( 1,2m∀ = ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) 1 2 3 : , , , : , , , : , , m m m mU U m m mU L U p L U p L U p ϕ α β ϕ α ϕ β α β ϕ ϕ α β ϕ α ϕ β α β ϕ ϕ α φ α α = ⇒ = ∀ ∈ ∗ = ∀ ∈ = ∀ ∈ Tiếp theo, lấy ( ),L X pα ∈ . Giả sử: : I Xα → thỏa mãn ( ) ( )0 1 pα α= = . Ta phân hoạch I như sau : 0 1 2 3 10 .... 1n ns s s s s s−= < < < < < < = sao cho [ ] [ ]( )1 1, ,k k k ks s s sα α− −= sẽ nằm trong 1U hoặc 2U , 1,∀ =k n G ( )π1 2 ,U p ( )π1 ,X p ( )π1 1,U p ( )π I1 1 2 ,U U p 1i 2i 1j 2j 1φ 2φ φ GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 52 Ngồi ra, xét :k I Xγ → thỏa mãn ( ) ( ) ( )0 ; 1 , 1, 1k k kp s k nγ γ α= = = − . và nếu ( )k ms Uα ∈ thì Im k mUγ ⊂ . Nếu xét 0 , :γ γ →n I X thỏa mãn ( ) ( ) ( )0 0 10 ; 1γ γ α= =p s ( ) ( ) ( )10 ; 1γ γ α −= =n n np s thì ta cĩ thể viết như sau : [ ] [ ] [ ]1 20 1 10 1 1 2 1,, ,... n nn ns ss s s sα γ α γ γ α γ γ α γ−−= ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Ta thấy rằng với cách xây dựng kγ và [ ]1 ,k ks sα − như trên thì [ ] ( ) ( )11 1 2, , , , 1,k kk ks s L U p L U p k nγ α γ−− ∗ ∗ ∈ ∀ =U Đặt ( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]( )1 20 1 10 1 1 2 1,, ,... n nn ns ss s s sϕ α ϕ γ α γ ϕ γ α γ ϕ γ α γ−−= ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Ta sẽ chứng minh rằng cách đặt trên là khơng phụ thuộc vào việc chọn iγ và việc phân hoạch I . a.Giả sử ta thay kγ bởi /γ k , 0,k n= . Đặt [ ] [ ]1 11 1 1, ,;k k k kk k k ks s s sβ γ α β α γ− +− − += ∗ = ∗ Trường hợp n = 3 1s 2s 0 0s = 3 1=s ( )1sα ( )2sα 1γ 2γ 0γ 3γ p GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 53 Ta thấy rằng nếu ( )k ms Uα ∈ thì ( ) / /; ,γ γ γ γ∗ ∗ ∈k k k k mL U p . Do đĩ ta cĩ: ( ) ( ) ( ) / / / /ϕ γ γ ϕ γ γ ϕ γ γ γ γ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ =k k k k k k k k Ge . Ngồi ra ta cịn cĩ: • Nếu ( ) /1 ,β γ− ∗ ∈k k mL U p thì ( ) / ,γ γ∗ ∈k k mL U p . • Nếu ( ) / ,γ β∗ ∈k k mL U p thì ( ) / ,γ γ∗ ∈k k mL U p . Do đĩ: ( ) ( ) ( ) ( ) / / / /1 1 1ϕ β γ ϕ γ γ ϕ β γ γ γ ϕ β γ− − −∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ = ∗k k k k k k k k k k ( ) ( ) ( ) ( ) / / / /ϕ γ γ ϕ γ β ϕ γ γ γ β ϕ γ β∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ = ∗k k k k k k k k k k Từ đĩ ta suy ra: ( ) ( ) / /1ϕ β γ ϕ γ β− ∗ ∗k k k k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / / / 1 1 . k k k k k k k k k k k k ϕ β γ ϕ γ γ ϕ γ γ ϕ γ β ϕ β γ ϕ γ β − − = ∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ Vậy khi thay kγ bởi /γ k thì ta cĩ ( )ϕ α khơng thay đổi. b. Lấy ( )1' ,k ks s s−∈ đặt ' : I Xγ → thỏa mãn ( ) ( ) ( )' 0 ; ' 1 'p sγ γ α= = và nếu ( )' ms Uα ∈ thì Im ' mUγ ⊂ . p ( )1ksα + ( )1ksα − ( )ksα /γ k kγ 1kγ − 1kγ + GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 54 Do [ ]( ) ( )1, ,α − ∈k k ms s L U p nên ta cĩ : [ ]11 , ' 'γ α γ−− ∗ ∗kk s s và [ ] ( )',' ,k k ms s L U pγ α γ∗ ∗ ∈ Vì vậy nên : [ ]( ) [ ]( )11 , ' ',' 'k kk ks s s sϕ γ α γ ϕ γ α γ−− ∗ ∗ ∗ ∗ [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ]( ) 1 1 1 1 , ' ', 1 , ' ', 1 , ' ' . k k k k k k k ks s s s k ks s s s k ks s ϕ γ α γ γ α γ ϕ γ α α γ ϕ γ α γ − − − − − − = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ Vậy ( )ϕ α khơng phụ thuộc vào việc phân hoạch I. Bây giờ ta sẽ chứng minh một số tính chất sau : ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) : ; , , . : ; , , . : ; , . m X X m mU I L X p II L X p III L U p α β ϕ α ϕ β α β ϕ α β ϕ α ϕ β α β ϕ α φ α α = ⇒ = ∀ ∈ ∗ = ∀ ∈ = ∀ ∈ Cĩ thể thấy ( )II và ( )III một cách rõ ràng; ta sẽ chứng minh ( )I . Lấy ( ), ,L X pα β ∈ sao cho [ ] [ ]α β=X X .Khi đĩ tồn tại : :H I I X× → thoả ( ) ( ) ( ) ( ),0 ; ,1H x x H x xα β= = . Ta phân hoạch I thành các đoạn [ ]1,k ks s− và [ ]1,l lt t− sao cho [ ] [ ]( )1 1, ,− −× ⊂k k l l mH s s t t U , , 0,k l n∀ = Đặt ( ) ( )( ) ,l ls H s tα = thì ta cĩ ( )( ) ,l L X pα ∈ . p ( )ksα ( )1ksα − ( )'sα 1kγ − kγ 'γ GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 55 Đặt kγ là đường nối p với ( )( 1)l ksα − . kδ là đường nối ( )( 1)l ksα − với ( )( )l ksα . Khi đĩ /γ γ δ= ∗k k k là đường nối p với ( )( )l ksα . Ngồi ra [ ] [ ]1 1 ( ) ( 1) 1 , ,k k k k l l k ks s s sδ α δ α− −−− ∗ ∗ . Mặt khác : [ ] [ ]( )1 1, ,− −× ⊂k k l l mH s s t t U nên [ ] ( )1( 1)1 , ,γ α γ−−− ∗ ∗ ∈k klk k ms s L U p và [ ] ( )1 / ( ) /1 , ,γ α γ−− ∗ ∗ ∈k klk k ms s L U p . Do đĩ : [ ]1 / ( ) / 1 ,γ α γ−−⎡ ⎤∗ ∗⎣ ⎦k k m l k ks s U [ ] [ ] 1 1 ( ) 1 1 , ( 1) 1 , . k k m k k m l k k k ks s U l k ks s U γ δ α δ γ γ α γ − − − − − − ⎡ ⎤= ∗ ∗ ∗ ∗⎣ ⎦ ⎡ ⎤= ∗ ∗⎣ ⎦ (1)α (2)α (0)α α= (3)α β= ( )( ) 1l ksα − ( ) ( )l ksα ( )( ) 1l ksα + kγ 1kγ + 1kδ + kδ p ( )( 1) 1l ksα − − ( )( 1)l ksα − ( )( 1) 1l ksα − + 1kγ − 1kδ − GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 56 Kết hợp ( )1ϕ ta cĩ : [ ]( ) [ ]( )1 1 / ( ) / ( 1)1 1, ,ϕ γ α γ ϕ γ α γ− −−− −∗ ∗ = ∗ ∗k k k kl lk k k ks s s s . Từ đĩ ta cĩ : ( ) ( )( 1) ( ) , 0l l lϕ α ϕ α− = ∀ > hay ( ) ( )ϕ α ϕ β= ( theo cách đặt ( )ϕ α ) Vậy ( )I đúng. Đặt ( )1: ,X p Gφ π → [ ] ( ) α ϕ αa Từ ( )I và ( )II ta suy ra φ là một đồng cấu nhĩm. Từ ( )III ta cĩ: [ ]( )( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) ( ), , m m m m mU U j L U pφ α φ α ϕ α φ α α= = = ∀ ∈ Hay [ ]( ) [ ]( ) m mm mU U jφ α φ α=o Vậy , 1,2m mj mφ φ= ∀ =o . Vậy định lý được chứng minh xong. 2. Nhận xét 2.1. Một sơ đồ giao hốn: thoả mãn định lý Van-Kampen được gọi là một sơ đồ Amalgate. 2.2.Trong sơ đồ giao hốn dạng trên, nếu ta lấy: 1 2G H H N= ∗ trong đĩ ( ) ( ){ }11 2 1 2,N i k i k k K H H−= ∈ ⊂ ∗ Đồng thời nếu ta lấy 1 2,j j thoả ( ) ,m mj h hN h H= ∀ ∈ với 1,2m = . Thì khi đĩ sơ đồ sẽ trở thành sơ đồ Amalgate. Chứng minh Xét sơ đồ sau: 1H 1i 1j 2i 2j K 2H G GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 57 trong đĩ, 1 2 1 2, , , ,i i j j G được cho như trên. k K∀ ∈ , ta thấy rằng: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )111 1 1 2 1 2 2 2 2j i k i k N i k i k i k N i k N j i k−−= = = = Vậy 1 1 2 2j i j i=o o hay sơ đồ là giao hốn. Xét G là một nhĩm bất kì. với :m mH Gφ → là một đồng cấu nhĩm thoả 1 1 2 2i iφ φ=o o . Ta sẽ xây dựng φ . Đặt 1 2 1 2: H H Gφ φ∗ ∗ → Do 1 2,φ φ là đồng cấu nên 1 2φ φ∗ là đồng cấu . Mặt khác, do 1 1 2 2i iφ φ=o o nên: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )11 11 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 Gi k i k i k i k i k i k eφ φ φ φ φ φ−− −∗ = = = . nên ( ) ( ) ( )11 2 1 2eri k i k k φ φ− ∈ ∗ do đĩ ( )1 2erN k φ φ⊂ ∗ . Từ đĩ ta nhận được φ cảm sinh từ 1 2φ φ∗ như sau: 1 2: H H N Gφ ∗ → ( )1 2 hN hφ φ∗a Ngồi ra: ( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 ,m m mj h hN h h h Hφ φ φ φ φ= = ∗ = ∀ ∈ . Do đĩ nên ta cĩ điều phải chứng minh. 3. Hệ quả Với các giả thiết của định lý Van-Kampen. Nếu ta lấy nhĩm ( ) ( )1 1 1 2, ,G U p U p Nπ π= ∗ G 1i 2i 1j 2j 1φ 2φ φ 2H 1H K G GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 58 với [ ]( ) [ ]( ) [ ] ( ){ }11 2 1 1 2, ,N i i U U pα α α π−= ∈ I thì ta sẽ cĩ: ( )1 ,X p Gπ ≅ . Chứng minh Xét sơ đồ: Từ định lý Van-Kampen và nhận xét ở trên, ta cĩ thể xây dựng: ( )1: ,X p Gφ π → sao cho , 1,2m mj mφ φ= ∀ =o . ( )1' : ,G X pφ π→ sao cho ' , 1,2m mj mφ φ= ∀ =o . X ét ' :G Gφ φ →o ta cĩ: Vậy ' GIdφ φ =o . Tương tự ta cĩ: ( )1 ,' X pIdπφ φ =o . Vậy ( )1 ,X p Gπ ≅ hay nĩi cách khác: ( ) ( ) ( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ] ( ){ }1 1 1 1 2 1 2 1 1 2, , , ; , ,X p U p U p i i U U pπ π π α α α π≅ ∗ = ∈ I . II. NHĨM CƠ BẢN CỦA KNOT 1. Định nghĩa Cho knot K, nhĩm cơ bản của knot K là nhĩm cơ bản ( )31 \R Kπ . Ví dụ: nhĩm cơ bản của knot tầm thường là ( )3 11 \R Sπ . Ta sẽ chứng minh rằng ( )3 11 \R S Zπ ≅ hay nĩi cách khác nhĩm cơ bản của knot tầm thường là một nhĩm xyclic vơ hạn. Thật vậy, trên 1S ta lấy một hướng nhất định. Khi đĩ ta xác định hướng của một đường đĩng tại p cố định trong 3 1\R S như sau: G ( )π1 2 ,U p ( )π1 ,X p ( )π1 1,U p ( )π I1 1 2 ,U U p 1i 2i 1j 2j 1φ 2φ φ 'φ GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 59 Ta thấy rằng một đường đĩng f tại p trong 3 1\R S chỉ cĩ ba loại là: • Khơng vịng qua 1S . • Vịng qua 1S theo chiều vặn vào của đinh ốc. • Vịng qua 1S theo chiều vặn ra của đinh ốc. Do đĩ nếu ta đặt: { } [ ]{ } [ ]{ } 0 1 2 , , p n n A c A f n N A f n N ∗ ∗ − ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ = ∈ = ∈ trong đĩ: • pc là đường đĩng hằng tại p . • nf là đường đĩng xoắn quanh 1S theo chiều vặn vào của đinh ốc n lần. • nf− là đường đĩng xoắn quanh 1S theo chiều vặn ra của đinh ốc n lần. Thì dễ dàng thấy rằng: ( )3 11 0 1 2\π ≅ ≅U UR S A A A Z . 2. Đại diện Wirtinger của knot 2.1. Định lý Wirtinger Giả sử K là một knot định hướng cĩ n crossing và m cung 1 2 3, , ,..., ma a a a liên tiếp theo thứ tự cho trước. Tại crossing c đặt cr như sau: p p 1 1 c i k j kr a a a a − −= 1 1c i k j kr a a a a− −= ia ka ia ka ja ja GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 60 Khi đĩ, định lý Wirtinger được phát biểu như sau: Với knot K như trên thì nhĩm cơ bản của K đẳng cấu với nhĩm G được xác định như sau: 1 2 1 2, ,..., ; , ,...,m nG a a a r r r= . Chứng minh Khơng mất tính tổng quát, ta giả sử K là knot cĩ các cung trên nằm trong mặt phẳng 1z = và các cung dưới nằm trong mặt phẳng 0z = như sau : Gọi N’ là một khối trụ lân cận của K. Giả sử N’ nhận cạnh của K làm trục và cĩ đường kính đáy là 2δ với 2 1δ < . Khi đĩ dễ thấy: ( ) ( )3 31 1\ \ 'R K R Nπ π≅ . Vì vậy nên ta sẽ thay việc tính ( )31 \R Kπ bằng việc tính ( )31 \ 'R Nπ . Đặt ( ){ }1 , , | 0 \ '= >U x y z z N . 0=z 1=z GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 61 ( ){ }2 , , | \ 'δ= <U x y z z N . Dễ thấy 1U và 2U là các khơng gian liên thơng đường và 3 1 2 \ 'U U R N=U . Khi đĩ theo định lý Van-Kampen ta cĩ: ( ) ( ) ( )31 1 1 1 2\ 'R N U U Nπ π π= ∗ với [ ]( ) [ ]( ) [ ] ( ){ }1 2 1 1 2,N i i U Uα α α π= = ∈ I . a. Bây giờ ta tính ( )1 1Uπ và ( )1 2Uπ . Gọi các cung nằm trên 1z = là 1 2, ,..., mA A A . Các cung nằm trên 0=z là 1 2, ,..., nB B B . Thấy rằng, 1U là một nửa khơng gian đã bị khoét bởi m ống trụ lân cận của 1 2, ,..., mA A A . Ngồi ra trên 1U cịn cĩ các rãnh do ống trụ lân cận của 1 2, ,..., nB B B tạo ra , tuy nhiên các rãnh đĩ khơng làm ảnh hưởng đến ( )1 1Uπ . Lấy 1 2p U U∈ I , ta thấy rằng mỗi đường đĩng tại p trong 1U cĩ dạng: - Hoặc là khơng vịng qua lỗ hổng nào trên 1U và ta dễ thấy rằng những đường đĩng này co rút về đường đĩng hằng tại p . - Hoặc là cĩ vịng qua ít nhất một lỗ hổng trên 1U . Đặt các đường đĩng đĩ là 1 2, ,..., mx x x tương ứng với các lỗ hổng 1 2, ,..., mA A A . ix jx kx kA iA jA 1U iB p GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 62 Đồng thời giả sử đường đĩng ix vịng quanh iA (hay cung ia ) theo chiều vặn vào của đinh ốc (và đi từ dưới vịng lên trên). Khi đĩ ta cĩ tương ứng 1-1 giữa ix và ia . Dễ thấy rằng 1U sẽ đồng phơi với hình bĩ hoa gồm m vịng trịn dán với nhau tại p . Thật vậy, giả sử cĩ một đường đĩng bao quanh hai lỗ hổng thì nĩ chính là tích của hai đường đĩng tại hai lỗ hổng đĩ. Do vậy nên ( )1 1 1 2 1 2, ,..., , ,...,m mU x x x a a aπ ≅ ≅ . Mặt khác ta cĩ ( )1 2Uπ là tầm thường . [ ] [ ]0, ,1s sα α γ γ α= ∗ ∗ ∗ ( )sα γ p 0=z p p GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 63 Vậy ( ) ( )1 1 1 2 1 2, ,..., mU U a a aπ π∗ ≅ . (1) b. Bây giờ ta xét tập quan hệ N Ta cĩ : [ ]( ) [ ]( ) [ ] ( ){ }1 2 1 1 2,N i i U Uα α α π= = ∈ I [ ]( ) [ ] ( ){ }1 1 1 21,i U Uα α π= = ∈ I (vì ( )1 2Uπ là tầm thường ). [ ] [ ] ( ){ }1 1 21, U Uα α π= = ∈ I (vì 1i là đồng cấu nhúng ) (×) Ta sẽ xác định ( )1 1 2U Uπ I . Thấy rằng 1 2U UI là một phần khơng gian bị khoét n lỗ hổng tại n crossing của K. Khi đĩ tương tự như cách tính ( )1 1Uπ ta cũng cĩ: ( )1 1 2 1 2, , ,..., nU U p l l lπ ≅I trong đĩ il là đường đĩng tại lỗ hổng thứ i theo chiều vặn vào của đinh ốc. Xét tại crossing thứ c, ta luơn cĩ một trong hai dạng sau: • Dạng 1: Do ( )1 2 ,∈ Icl L U U p nên cl sẽ nằm dưới các cung ia , ja , ka của K. Tại các cung ia , ja , ka , ta cĩ các đường đĩng , ,i j kx x x (đã được xác định ở trên) như sau: ia ja ka 0=z δ=z GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 64 Ta thấy rằng 1 1c i k j kl x x x x − − .Thật vậy: • Dạng 2: Xét tương tự như trên ta cĩ: ix ia j a ka ia ka ja ia ja ka jx kx kx kx kx ix jx p p p p ja ka ia kx ix 1 jx − 1 kx − GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 65 Do: Nên 1 1c i k j kl x x x x − − . Vậy ta cĩ: hay [ ] 1c i k j kl x x x xε ε− −⎡ ⎤⎣ ⎦ với ε là dấu của crossing thức. Do ix và ia cĩ sự tương ứng 1-1 nên kết hợp với (×) ta cĩ: { }ε ε− −= =1 1;( , , ) là các cung tạo thành một crossingi k j k i j kN a a a a a a a = 1 2, ,..., nr r r (2) Từ (1) và (2) theo định lý Van-Kampen ta cĩ: ( )π ≅31 1 2 1 2\ ' , ,..., , ,...,m nR N a a a r r r hay viết cách khác: ( )π ≅31 1 2 1 2\ ' , ,..., ; , ,...,m nR N a a a r r r . Vậy: ( )π ≅31 1 2 1 2\ , ,..., ; , ,...,m nR K a a a r r r . 2.2. Chú ý a.G là thương của nhĩm tự do 1 2, ,..., ma a a với tập các quan hệ 1 2, ,..., nr r r . b. Thực tế, dễ dàng thấy rằng trong n quan hệ 1 2, ,..., nr r r ta chỉ cần tối đa (n- 1) quan hệ là đủ; bởi nếu ta lấy tích tự do của (n-1) quan hệ nào đĩ thì sẽ sinh ra quan hệ cuối cùng. [ ] 1 1c i k j kl x x x x− −⎡ ⎤⎣ ⎦ [ ] 1 1c i k j kl x x x x− −⎡ ⎤⎣ ⎦ p p ia ka ka ja ja ia kx ix 1 jx − 1 kx − GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 66 c.Đồng thời, do cĩ tập quan hệ 1 2, ,..., nr r r nghĩa là quan hệ ε ε− − =1 1i k j ka a a a cĩ thể được viết lại: ε ε−=i k j ka a a a nên đơi khi ta cĩ thể giảm bớt được số lượng phần tử trong tập sinh 1 2, ,..., ma a a . 3. Ví dụ 3.1. Knot tầm thường ( Unknot ) Vậy ( )3 11 \π ≅ ≅R S a Z . 3.2. Knot ba lá ( Trefoil knot ) Ta cĩ các quan hệ: 1 1 2 3 2 1 2 3 1 3 1 3 1 2 1 − − − = = = a a a a a a a a a a a a Từ định lý Wirtinger ta cĩ: ( )3 1 11 1 2 3 1 2 3 2 2 3 1 3\ , , ; ,π − −≅ = =R K a a a a a a a a a a a . Thấy rằng: 11 2 3 2 −=a a a a Suy ra: 1 12 3 2 3 2 3 − −=a a a a a a Hay 2 3 2 3 2 3=a a a a a a . Vậy cuối cùng ta cĩ: ( )31 2 3 2 3 2 3 2 3\ , ;π ≅ =R K a a a a a a a a . a 1a 2a 3a GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 67 3.3. Knot hình số 8 Ta cĩ các quan hệ: 1−=a c dc (1) 1−=b dad (2) 1−=c a ba (3) 1−=d bcb (4) Ta chọn (2),(3),(4) là các quan hệ cần dùng.Thấy rằng: (4)⇒ =db bc Từ (3) 1−⇒ =bc ba ba 1−⇒ =db ba ba 1 1− −⇒ =b db a ba (*) Lấy (2) thay vào (*) ta được: 1 1 1 1 1− − − − −=da d ddad a dad a 1 1 1 1− − − −⇒ =da dad a dad a 1 -1−⇒ =ada da dad ad Vậy : ( )3 1 -11 \ , ; dadπ −≅ =R K a d ada da ad . Trong chương này, chúng ta đã tính được số nhĩm cơ bản của một vài knot đơn giản như knot tầm thường, knot ba lá hay knot hình số 8 thơng qua một cơng cụ hữu hiệu là định lý Wirtinger. Việc tính số nhĩm cơ bản của các knot khác cũng tương tự nhưng hơi phức tạp hơn ( nếu cĩ thời gian em sẽ nghiên cứu tiếp nhĩm cơ bản của các knot này ). a b c d GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 68 KẾT LUẬN FÂG ƒ Qua khố luận này ta biết được một phần nào về Tơpơ đại số như lý thuyết đồng luân, nhĩm cơ bản,…Đồng thời ta cũng thấy được một sự ứng dụng của tốn học vào đời sống thực tại thơng qua việc khảo sát nhĩm cơ bản của knot. ƒ Trong khĩa luận ta chỉ chứng minh được một phương pháp tính nhĩm cơ bản của knot. Ta đã biết rằng nhĩm cơ bản là một vấn đề tương đối cơ bản đối với Tơpơ đại số nên đã cĩ rất nhiều nhà tốn học quan tâm. Chính vì lẽ đĩ, khơng chỉ cĩ đại diện Wirtinger mà cịn các cách khác để tính nhĩm cơ bản của knot. Khơng chỉ vậy, người ta cịn dùng đa thức để khảo sát tính bất biến của các knot. ƒ Do tính hạn chế về thời gian và kiến thức nên em đã khơng thể trình bày được hết những gì muốn trình bày, em hy vọng sẽ được các thầy giúp đỡ trong việc nghiên cứu thêm những gì cịn dang dỡ đằng sau luận văn này. ƒ Em xin chân thành cảm ơn các thầy trong hội đồng phản biện đã theo dõi bài luận văn của em. GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Colin.C. Adams . The knot book. 2. Đậu Thế Cấp. NXBGD. Tơpơ Đại Cương. 3. Nguyễn Văn Đồnh. NXBĐHSP. Giáo trình nhập mơn tơpơ. 4. Hồng Xuân Sính. NXBGD. Đại số đại cương. 5. Lê Văn Chua. 2007. Bài giảng: Lý thuyết nhĩm. 6. Trần Phi Thồn. Năm 2001. Nhĩm cơ bản và một vài ứng dụng. Luận văn tốt nghiệp cử nhân ngành Tốn. Khoa sư phạm - Trường ĐHAG. 7. Nguyễn Hồng Anh. Năm 2007. Nhĩm cơ bản của knot. Khố luận tốt nghiệp cử nhân Tốn - Tin trường ĐHSP TPHCM. \\ y y [[