Đề tài Nghiên cứu tính ổn định nghiệm và ứng dụng của phương trình vi phân

LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên của Luận văn, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy hướng dẫn khoa học của mình: PGS. TS. Đặng Đình Châu - người đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy, cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để hoàn thành bản luận văn này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến bạn bè, đặc biệt là các bạn trong nhóm Giải Tích lớp Cao học 2008 - 2010 đã động viên giúp đỡ tác giả về tài liệu tham khảo và kỹ thuật biên soạn Latex. Do thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn bản luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự góp ý tận tình của các thầy, cô và bạn bè đồng nghiệp. Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà nội, tháng 12 năm 2010 Học viên Ngô Quý Đăng. 1 Mục lục LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1. Phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình sai phân . . . . . . . . . 7 1.1.1. Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất và công thức biến thiên hằng số Lagrăng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3. Hệ phương trình sai phân tuyến tính có nhiễu phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.4. Khái niệm ổn định của hệ phương trình sai phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.5. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình sai phân . . . . . . . . . . . 10 1.2. Phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình vi phân hàm . . . . 13 1.2.1. Khái niệm ổn định nghiệm của phương trình vi phân hàm . . . . . . . . . . . . 15 1.2.2. Một số định lý cơ bản theo phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . 16 Chương 2. Phương trình vi phân có xung và ứng dụng. . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1. Khái niệm về hệ phương trình vi phân có xung . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1. Định nghĩa và ví dụ về hệ phương trình vi phân có xung. . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân có xung . . . . . . 26 2.2. Nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân thường có xung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.1. Các định lý so sánh nghiệm của hệ phương trình vi phân thường . . . . . . 29 2.2.2. Các định lý so sánh nghiệm của phương trình vi phân có xung . . . . . . . . 30 2.2.3. Các định lý về tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân có xung . 34 2.3. Nghiên cứu tính ổn định bộ phận của nghiệm của phương trình vi phân có xung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4. Sử dụng phương pháp Razumikhin nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân hàm có xung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.1. Tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân hàm với xung . . . 38 2.4.2. Các định lý kiểu Razumikhin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2 2.5. Áp dụng cho mô hình quần thể. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3 LỜI NÓI ĐẦU Phương trình vi phân có xung được phát hiện từ các ứng dụng: xác định quỹ đạo của vệ tinh, điều khiển máy móc, lấy mẫu dữ liệu, quản lý hệ sinh thái,... Trong thực tế, những quá trình vật lý khác nhau tạo ra những thay đổi đột ngột của trạng thái tại thời điểm nhất định của thời gian giữa khoảng tiến hóa liên tục. Thời gian của những thay đổi này thường không đáng kể so với của toàn quá trình tiến hóa và do đó những thay đổi đột ngột có thể được xấp xỉ tốt về tức thời thay đổi của trạng thái tức là xung. Ví dụ: Mô hình tăng trưởng dân số có thể được mô tả bằng một phương trình vi phân có xung. Các xung mô tả một số yếu tố bất ngờ như nhập cư, di cư, bệnh dịch. Trong ứng dụng thông tin liên lạc, phương trình vi phân có xung sử dụng để mô tả lỗi khi thời gian gây ra lỗi bởi truyền tải và xung được sử dụng để ổn định. Phương trình vi phân có xung thường bao gồm ba yếu tố: Hệ phương trình vi phân; hệ phương trình sai phân; tiêu chí để xác định khi các không gian pha của hệ được thiết lập lại. Do đó nghiệm của của hệ phương trình vi phân có xung thường liên tục từng mảnh, nên gây ra một số khó khăn: Ví dụ: nếu x(t) là liên tục từng mảnh, thì x(t) có thể là hàm không liên tục khắp nơi theo t. Khi đó tính tồn tại, ổn định và bị chặn của nghiệm có thể bị thay đổi do xung. Phương trình vi phân thường có xung xuất hiện không lâu được viết vào năm 1960 bởi A.Myshkis và V.Mill’man (xem [12]). Kể từ đó một số kết quả cổ điển phương trình vi phân thường đã được mở rộng cho phương trình vi phân có xung. Phương trình vi phân trễ có xung ứng dụng rộng rãi nhưng nghiên cứu về phương trình vi phân trễ có xung mới xuất hiện. Bài viết đầu tiên về chủ đề này vào năm 1986 bởi A.Anokhin (xem [4]). Trong những năm gần đây, nghiên cứu tính ổn định nghiệm và ứng dụng của phương trình vi phân có xung được phát triển rất mạnh bởi các ứng dụng thực tế của chúng. Các công cụ nghiên cứu ổn định thường là phương pháp hàm Lyapunov, kỹ thuật Razumikhin. Ổn định là một trong những vấn đề quan trọng của phương trình vi phân trễ có xung, nó có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như mạng thần kinh, các mô hình tăng trưởng dân số, điều khiển máy móc.... Bố cục của luận vặn gồm: Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị về: phương trình sai phân, tính ổn định nghiệm của phương trình sai phân (xem [5]), phương trình vi phân hàm, tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân hàm (xem [7],[9]). Chương 2: Trình bày khái niệm về phương trình vi phân có xung, tính tồn tại, duy nhất, tiêu chuẩn so sánh, mối liên hệ gữa hệ phương trình vi phân có xung và phương trình vi phân có xung (xem [6],[10],[11]). Trình bày phương trình vi phân hàm có xung và các định lý ổn định kiểu Razu- mikhin và một số ứng dụng vào giải các bài toán thực tế (xem [13],[14]). 4 Để làm sáng tỏ vấn đề trên công việc của người viết chủ yếu là đọc hiểu khái niệm ổn định nghiệm, phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình sai phân. Tiêu chuẩn so sánh nghiệm cho phương trình vi phân thường. Khái niệm tính ổn định nghiệm, phương pháp hàm Lyapunov, các định lý dạng Razumikhin cho phương trình vi phân hàm. Sau đó mở rộng các khái niệm cho đó cho phương trình vi phân có xung và phương trình vi phân hàm có xung. Nghiên cứu vấn đề này người viết đã cố gắng khai thác triệt để, xong thời gian và trình độ còn hạn chế chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót rất mong nhận được sự đóng góp của các thầy, cô và các bạn. 5 Bảng ký hiệu N Tập hợp các số nguyên không âm. N(a) Tập hợp các số nguyên lớn hơn hoặc bằng a (a ∈ N). N(a,b) Tập hợp các số nguyên lớn hơn hoặc bằng a, nhỏ hơn hoặc bằng b(a,b ∈ N). N¯ Là một trong ba tập N,N(a),N(a,b). R Tập các số thực. R+ Tập hợp các số thực dương. Rn Không gian n chiều. Rn+ Không gian mã mỗi phần tử có n thành phần toạ độ thực dương. limsup n→∞ Giới hạn trên. liminf n→∞ Giới hạn dưới. 6 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình sai phân 1.1.1. Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất Xét hệ phương trình sai phân thuần nhất (xem [5]): u(n+1) = A(n).u(n), n> n0, (1.1) trong đó u(n)= (u1(n),u2(n), ...,um(n))T ∈Rm, A(n)= (ai j(n))mm là ma trận không suy biến. Bài toán Cô-si: Xét hệ phương trình sai phân:{ u(n+1) = A(n).u(n), n> n0, u(n0) = u0. (1.2) Bằng phương pháp truy hồi, bài toán Cô-si luôn có nghiệm và nghiệm được xác định: u(n) = A(n−1)A(n−2)...A(n0 +1)A(n0)u0,n> n0. * Toán tử tiến hoá sinh bởi ma trận không suy biến Định nghĩa 1.1.1. Với mỗi s> n0, ký hiệu: W (n,s) = { A(n−1)A(n−2)...A(s+1)A(s), n > s, I n = s. (1.3) Khi đó, họ {W (n,s)}n>s>n0 được gọi là họ toán tử tiến hoá sinh bởi ma trận không suy biến A(n). 7 * Ma trận nghiệm cơ bản chuẩn tắc ( ma trận Cô-si) Định nghĩa 1.1.2. Giả sử {W (n,s)}n>s>n0 là họ toán tử tiến hoá sinh bởi ma trận hàm không suy biến A(n). Khi đó W (n,n0) được gọi là ma trận nghiệm cơ bản chuẩn tắc (hay ma trận Cô-si) của hệ (1.2). Nhận xét 1.1.3. Từ định nghĩa của ma trận Cô-si và họ toán tử tiến hoá ta thấy, với mỗi s> n0 thì W (n,s) =W (n,k).W (k,s),n> k > s. Đặc biệtW (n,n0) =W (n,k).W (k,n0), n> k > n0, khi đó ta có: W (n,k) =W (n,n0).W−1(k,n0),n> k > n0. Nhận xét 1.1.4. Khi A(n) = A là ma trận hằng, ta có: W (n,n0) = An−n0 ,∀n> n0. Nhận xét 1.1.5. Nghiệm u(n) = u(n,n0,u0) của bài toán Cô-si (1.2) có thể viết dưới dạng u(n) = W (n,n0).u0 với mọi n > n0, hoặc u(n) = W (n,s).u(s) với mọi n> s> n0. 1.1.2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất và công thức biến thiên hằng số Lagrăng Xét hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất (xem [5]):{ v(n+1) = A(n)v(n)+b(n), n> n0, v(n0) = v0, (1.4) trong đó b(n) ∈ Rm. Định lý 1.1.6. Nghiệm v(n) = v(n,n0,v0) của hệ (1.4) được xác định bởi công thức v(n) =W (n,n0)v0 + n ∑ k=n0+1 W (n,k)b(k−1). (1.5) Chứng minh. Ta tìm nghiệm v(n) của 1.4 dưới dạng v(n) =W (n,n0).C(n) sao cho v(n0) = v0, (1.6) bằng phương pháp biến thiên hằng số. Vì v(n0) =W (n0,n0)C(n0) =C(n0) nênC(n0) = v0. Từ v(n) =W (n,n0)C(n), 8 suy ra v(n+1) =W (n+1,n0)C(n+1). (1.7) Mà v(n+1) = A(n)v(n)+b(n) = A(n)W (n,n0)C(n)+b(n), ta có: v(n+1) =W (n+1,n0)C(n)+b(n). (1.8) Kết hợp (1.7) và (1.8) ta được W (n+1,n0)C(n+1) =W (n+1,n0)C(n)+b(n), suy ra W (n+1,n0)∆C(n) = b(n), hay ∆C(n) =W−1(n+1,n0)b(n). Do đó n−1 ∑ k=no ∆C(k) = n−1 ∑ k=no W−1(k+1,n0)b(k), (1.9) và ta được C(n)−C(n0) = n−1 ∑ k=no W−1(k+1,n0)b(k). (1.10) Thay (1.10) vào (1.6) ta nhận được kết quả (1.5). Hệ quả 1.1.7. Nếu A(n) = A là ma trận hằng thì v(n) = An−no .vo+ n ∑ k=no+1 An−kb(k−1), (1.11) với mọi n > n0. 1.1.3. Hệ phương trình sai phân tuyến tính có nhiễu phi tuyến Xét hệ phương trình sai phân tuyến tính có nhiễu phi tuyến:{ z(n+1) = A(n)z(n)+g(n,z(n)), n> n0, z(n0) = z0, (1.12) trong đó g : N(n0)×Rm→ Rm. Định lý 1.1.8. Nghiệm z(n) = z(n,n0,z0) của(1.12)được cho bởi công thức z(n) =W (n,n0)z0 + n ∑ n0+1 W (n,k)g(k−1,z(k−1)). (1.13) Chứng minh. Từ công thức (1.5) lấy b(n) = g(n, z(n)), ta có (1.13). 9 1.1.4. Khái niệm ổn định của hệ phương trình sai phân Với phương trình vi phân, phương pháp hàm Lyapunov được sử dụng từ năm 1892, trong khi phương trình sai phân mới sử dụng gần đây (xem [5]). Xét hệ phương trình sai phân: u(k+1) = f (k,u(k), k ∈ N¯, (1.14) trong đó u và f là các vectơ (1×n) với các thành phần ui và fi, 1 6 i 6 n. Giả sử f (k,0) = 0 với mọi k ∈ N(a) vậy hệ (1.14) có nghiệm tầm thường. Định nghĩa 1.1.9. Nghiệm tầm thường của (1.14) được gọi là: (i) Ổn định, nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ = δ (a,ε)> 0 sao cho, với mọi nghiệm u(k) = u(k,a,u0) của (1.14) thỏa mãn ||u0||< δ , thì ||u(k,a,u0)||< ε,∀k ∈ N(a). (ii) Ổn định đều, nếu δ trong (i) không phụ thuộc vào a. (iii) Ổn định tiệm cận, nếu nó ổn định và tồn tại δ = δ (a) > 0 với mọi nghiệm u(k) = u(k,a,u0) của (1.14), thỏa mãn ||u0||< δ thì ||u(k,a,u0)|| → 0 khi k→ ∞. (iv) Ổn định tiệm cận đều, nếu ổn định đều và tồn tại δ > 0 không phụ thuộc vào a và với mọi nghiệm u(k) = u(k,a,u0) của (1.14), thỏa mãn ||u0|| < δ , thì ||u(k,a,u0)|| → 0 khi k→ ∞. (v) Ổn định tiệm cận mũ, nếu tồn tại số λ > 0 và với ε > 0, tồn tại δ = δ (ε) sao cho: với mọi nghiệm u(k) = u(k,a,u0) của (1.14) thỏa mãn ||u(k1)|| < δ với k1 ∈ N(a), thì ||u(k,a,u0)||< ε exp(−λ (k− k1)), với mọi k ∈ N(k1). 1.1.5. Phương pháp hàmLyapunov cho hệ phương trình sai phân Trong phần này, chúng ta sẽ mở rộng phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ phương trình sai phân.(xem [5]) Xét hệ phương trình sai phân (1.14): u(k+1) = f (k,u(k), k ∈ N¯, Giả sử Sρ = {u ∈Rn : ‖u‖6 ρ}, và u(k) = u(k,a,u0) là một nghiệm bất kỳ của (1.14) sao cho ‖u(k)‖< ρ,∀k ∈ N(a). Cho Ω là tập mở trong Rn và chứa gốc tọa độ. Giả sử V(k,u) là hàm liên tục vô hướng xác định trên Ω,V ∈ C[Ω,R] và V (k,0) = 0. Định nghĩa 1.1.10. Hàm φ(r) được gọi là thuộc vào lớp K, nếu và chỉ nếu φ ∈ C([0,ρ),R+),φ(0) = 0, và φ(r) là tăng chặt theo r. Định nghĩa 1.1.11. Hàm vô hướng V(k, u) xác định trên N(a)× Sρ được gọi là xác định dương nếu và chỉ nếu V (k,0) = 0 với mọi k ∈ N(a) và tồn tại một hàm φ(r) ∈ K sao cho φ(r)6V (k,u),‖u‖= r,(k,u) ∈N(a)×Sρ .Và là xác định âm nếu V (k,u)6−φ(r). 10 Định nghĩa 1.1.12. Hàm vô hướng V(k, u) xác định trên N(a)× Sρ được gọi là giảm dần về không (decrescent) nếu và chỉ nếu V (k,0) = 0 với mọi k ∈ N(a) và tồn tại một hàm ϕ(r) ∈ K sao cho V (k,u)6 ϕ(r),‖u‖= r,(k,u) ∈ N(a)×Sρ . Với u(k)= u(k,a,uo) là nghiệm của (1.14) sao cho ‖u(k)‖< ρ với mọi k∈N(a). Khi đó ta có biến phân của hàm V (k,u(k)) là: ∆V (k,u(k)) =V (k+1,u(k+1))−V (k,u(k)) =V (k+1, f (k,u(k)))−V (k,u(k)). Định lý 1.1.13. Giả sử tồn tại hàm vô hướng xác định dương V (k,u) ∈C[N(a)× Sρ ,R+] sao cho ∆V (k,u(k,a,u0)) 6 0, với nghiệm bất kỳ u(k) = u(k,a,u0) của (1.14) thoả mãn ‖u(k)‖ < ρ thì nghiệm tầm thường u(k,a,0) = 0 của (1.14) là ổn định. Chứng minh. DoV(k,u) là xác định dương, tồn tại một hàm φ ∈K sao cho φ(‖u‖)6 V (k,u) với mọi (k,u) ∈ N(a)×Sρ . Với 0 < ε < ρ cho trước. Vì V(k,u) liên tục và V (k,0) = 0 nên có thể chọn được một số δ = δ (ε)> 0 sao cho ‖u0‖< δ thoả mãn V (k0,u0) < φ(ε). Giả sử nghiệm tầm thường của (1.14) không ổn định thì tồn tại một nghiệm u(k) = u(k,0,u0) của (1.14), sao cho ||u0|| < δ mà ε 6 ‖u(k1)‖ < ρ với k1 ∈ N(a). Tuy nhiên do ∆V (u(k))6 0 khi ‖u(k)‖< ρ , ta có V (u(k1))6V (u0) và do đó φ(ε)6 φ(‖u(k1)‖)6V (u(k1))6V (u0) < φ(ε), dẫn tới mâu thuẫn. Vậy nếu ‖u0‖ < δ thì ‖u(k)‖ < ε,∀k ∈ N. Nên nghiệm tầm thường của (1.14) là ổn định. Định lý 1.1.14. Giả sử tồn tại hàm vô hướng xác định dương V (k,u) ∈C[N(a)× Sρ ,R+] sao cho ∆V (k,u(k,a,u0))6−α(‖u(k,a,u0‖) với α ∈ K, và nghiệm bất kỳ u(k)= u(k,a,u0) của (1.14) thoả mãn ‖u(k)‖< ρ thì nghiệm tầm thường u(k,a,0)= 0 của (1.14) là ổn định tiệm cận. Chứng minh. Do các giả thiết của định lý (1.14) được thoả mãn, nên nghiệm tầm thường của (1.14) là ổn định. Bằng phản chứng với 0 < ε < ρ cho trước, giả sử tồn tại δ > 0,λ > 0 và một nghiệm u(k) = u(k,a,u0) của (1.14) thoả mãn λ 6 ‖u(k)‖< ε, k ∈ N(a), ‖u0‖< δ . (1.15) Vì ‖u(k)‖> λ > 0,∀k∈N nên tồn tại hằng số d > 0 sao cho α(‖u(k)‖)> d,∀k∈N. Vậy ta có ∆V (k,u(k))6−d < 0, k ∈ N. Điều này kéo theo V (k,u(k)) =V (a,u0)+ k−1 ∑ l=0 ∆V (l,u(l))6V (a,u0)− kd, với k đủ lớn vế phải sẽ âm, mâu thuẫn với V(k,u) xác định dương. Do đó không tồn tại λ thoả mãn (1.15). Hơn nữa V(k,u(k)) xác định dương và là hàm giảm theo k nên 11 lim k→∞ V (k,u(k)) = 0. Do đó lim k→∞ ‖u(k)‖ = 0. Vậy nghiệm tầm thường u(k,a,0) = 0 của (1.14) là ổn định tiệm cận. Định lý 1.1.15. Với giả thiết của định lý (1.1.13) (định lý (1.1.14)) và hàm V(k,u) là hàm giảm dần về không thì nghiệm tầm thường u(k,a,0) = 0 của hệ (1.14) là ổn định đều (tiệm cận đều). Chứng minh. Vì V (k,u) là hàm xác định dương và giảm dần về không, nên tồn tại hàm ϕ,φ ∈ K sao cho φ(‖u‖) 6 V (k,u) 6 ϕ(‖u‖), với mọi (k,u) ∈ N(a)×Sρ . Với mỗi ε,0 0 sao cho ϕ(δ ) < φ(ε). Ta chứng minh nghiệm tầm thường của hệ (1.14) ổn định đều, tức là với k1 ≥ a và ‖u(k1)| < ρ , thì ‖u(k)| k1, thỏa mãn k2 > a và ‖u(k2)| < ρ kéo theo ε 6 ‖u(k2)‖ < ρ. Nhưng ∆V (k,u(k)) 6 0 suy ra V (k,u(k))6V (k1,u(k1))) với mọi k ∈ N(k1), từ đó: φ(ε)6 φ(‖u(k2)‖)6V (k2,u(k2))6V (k1,u(k1)) 6 ϕ(‖u(k1)‖)6 ϕ(δ ) < φ(ε), mâu thuẫn. Vậy ta có điều cần chứng minh. Định lý 1.1.16. Giả sử tồn tại hàm vô hướng V (u) ∈C[N(a)×Sρ ,R], sao cho: (i) |V (k.u)| ≤ ϕ(||u||) với mọi (k,u) ∈ N(a)×Sρ , ở đó ϕ ∈ K. (ii) Với mọi δ > 0 tồn tại u0 với ||u0||6 δ sao cho V (a,u0) < 0. (iii) ∆V (k,u(k,a,u0)) ≤ −φ(‖u(k,a,u0)‖) với φ ∈ K và nghiệm bất kỳ u(k) = u(k,a,u0) của (1.14) thoả mãn ‖u(k‖< ρ . Thì nghiệm tầm thường u(k,a,0) = 0 của (1.14) là không ổn định. Chứng minh. Giả sử nghiệm tầm thường của (1.14) là ổn định. Thì với mọi ε > 0(ε 0 sao cho ||u0||< δ ta có ||u(k)||= ||u(k,a,u0)||< ε với mọi k ∈ N(a). Lấy u0 thỏa mãn ||u0|| < δ và V (a,u0) < 0 từ ||u0|| < δ ta có ||u(k)||< ε , từ điều kiện (i) ta có: |V (k,u(k))| ≤ ϕ(||u(k)||) < ϕ(ε),k ∈ N(a). (1.16) Từ điều kiện (iii) ta thấy rằng V(k,u(k)) là hàm giảm với mọi k ∈ N(a), nên từ V (k,u(k))≤V (a,u0)< 0 ta có |V (k,u(k))| ≥ |V (a,u0)| do đó từ điều kiện (i) chúng ta có ||u(k)|| ≥ ϕ−1(|V (a,u0)|). Từ điều kiện (iii) ta có ∆V (k,u(k))≤−φ(||u(k)||), do đó: V (k,u(k))≤V (a,u0)− k−1 ∑ l=a φ(||u(l)||). Tuy nhiên từ ||u(k)|| ≥ ϕ−1(|V (a,u0)|) ta có: φ(||u(k)||)≥ φ(ϕ−1(|V (a,u0)|)). 12 Như vậy ta có: V (k,u(k))≤V (a,u0)− (k−a)φ(ϕ−1(|V (a,u0)|)). Hay limk→∞V (k,u(k)) =−∞, trái với điều kiện (1.16). Vậy ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 1.1.17. Xét hệ phương trình sai phân:{ u1(k+1) = u2(k)− cu1(k)(u21(k)+u22(k)), u2(k+1) = u1(k)+ cu2(k)(u21(k)+u 2 2(k)), (1.17) trong đó c là hằng số. Chọn hàm xác định dươngV (u1,u2)= u21+u 2 2 trênΩ=R2. Khi đó ∆V (u1(k),u2(k))= c2(u21(k) + u 2 2(k)) 3. Do đó nếu c = 0 thì ∆V (u1(k),u2(k)) = 0 nên nghiệm tầm thường của hệ là ổn định. Tuy nhiên nếu c 6= 0 thì nghiệm tầm thường của hệ là không ổn định. 1.2. Phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình vi phân hàm Trong phần này, tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của phương trình vi phân hàm (xem [7],[9]). Với x ∈ Rn, ký hiệu |x| là chuẩn của x. Với τ > 0 cho trước ký hiệu C là không gian các hàm liên tục trên đoạn [−τ,0] nhận giá trị trong Rn và với ϕ ∈C, ‖ϕ‖= sup −τ≤θ≤0 |ϕ(θ)|, là chuẩn của ϕ trong không gian C. Với H > 0, kí hiệu CH = {ϕ ∈C : ‖ϕ‖ 6 H}. Với bất kỳ hàm x(u) liên tục trên [−τ,A] với A > 0 và với t ∈ [0,A], ký hiệu xt là hạn chế của x(u) trên [t− τ, t], tức là xt là một phần tử của C xác định bởi xt(θ) = x(t+θ),−τ 6 θ 6 0. Xét phương trình vi phân hàm: x˙ = f (t,xt), (1.18) với f (t,ϕ) xác định trên [0,c]×CH . Chúng ta gọi phương trình (1.18) là phương trình vi phân có chậm (RDEs),(DDEs) hoặc phương trình vi phân hàm (FDEs).Dễ thấy (1.18) chứa cả phương trình vi phân thường (ODEs) và phương trình vi phân x˙(t) = f (t,x(t),x(t− τ1(t)), ...,x(t− τp(t)), 13 với 0 6 τ j(t) 6 τ, j = 1,2, ..., p và ta có thể xây dựng như là phương trình tích phân sau: x˙(t) = ∫ 0 −r g(t;θ ;x(t+θ))dθ . Chúng ta gọi phương trình (1.18) là tuyến tính nếu f (t,xt) = L(t,xt)+h(t) trong đó L(t,xt) là tuyến tính đối với xt , tuyến tính thuần nhất nếu h(t) ≡ 0, tuyến tính không thuần nhất nếu h(t) 6≡ 0. Chúng ta gọi (1.18) là autonomous nếu f (t,xt) = g(xt) ở đây g(t) không phụ thuộc vào t, trường hợp còn lại ta gọi là không au- tonomous. Giống như phương trình vi phân thường (ODEs) ta cũng có các kết quả tương tự như sau: Bổ đề 1.2.1. Nếu t0 ∈R,ϕ ∈C cho trước và f (t,ϕ) là hàm liên tục trên Ω, thì việc tìm nghiệm phương trình (1.18) tương đương với việc giải phương trình tích phân{ x(t) = ϕ(0)+ ∫ t t0 f (s,xs)ds, t ≥ t0, xt0 = ϕ. Định lý 1.2.2. (Tồn tại nghiệm) Giả sử Ω là tập mở trong R×C, f là hàm liên tục trên Ω. Nếu (t0,ϕ) ∈Ω, thì tồn tại nghiệm của phương trình (1.18) đi qua (t0,ϕ). Chúng ta gọi f (t,φ) là Lipschitz với φ trong tập compact K của R×C, nếu tồn tại số dương k > 0 sao cho, với mỗi (t,φi) ∈ K, i = 1,2, || f (t,φ1)− f (t,φ2)||6 k||φ1−φ2||. Định lý 1.2.3. (Duy nhất nghiệm) Giả sửΩ là tập mở trong R×C, f : Ω→Rn liên tục , và f (t,φ) là Lipschitz theo φ trên mỗi tập compact trong Ω. Nếu (t0,ϕ) ∈ Ω, thì có duy nhất nghiệm của phương trình (1.18) đi qua (t0,ϕ). Ta có thể đi tìm nghiệm của phương trình vi hàm (1.18) bằng phương pháp từng bước. Ví dụ 1.2.4. Xét phương trình vi phân hàm:{ x˙(t) = 6x(t−1), ϕ(t) = t, 0≤ t ≤ 1. Ta sẽ tìm nghiệm x(t0,ϕ),(t0 = 1), của phương trình vi phân trên đoạn [0,3]. Theo bổ đề (1.2.1), nghiệm của phương trình vi phân trên có dạng:{ x(t) = ϕ(1)+ ∫ t 1 6x(s−1)ds, t ≥ 1, x(t) = ϕ(t), 0≤ t ≤ 1. 14 Trên đoạn [1,2] ta có:{ x(t) = ϕ(1)+ ∫ t 1 6sds, 2≥ t ≥ 1, x(t) = ϕ(t), 0≤ t ≤ 1, hay { x(t) = 1+3(t−1)2, 2≥ t ≥ 1, x(t) = ϕ(t), 0≤ t ≤ 1. Trên đoạn [2,3] ta có:{ x(t) = ϕ(2)+ ∫ t 2 6x(s−1)ds, 3≥ t ≥ 2, x(t) = 1+3(t−1)2, 2≥ t ≥ 1. Suy ra { x(t) = 6(t−2)[(t−2)2 +1]+4, 3≥ t ≥ 2, x(t) = 1+3(t−1)2, 2≥ t ≥ 1. Như vây, nghiệm của phương trình trên [0,3] là x(t) = t, 1≥ t ≥ 0, x(t) = 1+3(t−1)2, 2≥ t ≥ 1, x(t) = 6(t−2)[(t−2)2 +1]+4, 3≥ t ≥ 2. Tiếp tục như vậy ta mở rộng nghiệm trên một đoạn hữu hạn tuỳ ý. 1.2.1. Khái niệm ổn định nghiệm của phương trình vi phân hàm Xét phương trình vi phân (1.18): x˙(t) = f (t,xt), với điều kiện ban đầu x(t) = ϕ(t), t ∈ [t0− τ, t0]. Giả sử phương trình (1.18) thoả mãn tất cả các điều kiện về sự tồn tại, duy nhất nghiệm và f (t,0) = 0,∀t ∈ R. Khi đó, phương trình (1.18) có nghiệm tầm thường . Định nghĩa 1.2.5. Nghiệm tầm thường của phương trình vi phân (1.18) được gọi là ổn định theo Lyapunov khi t→+∞ nếu: ∀ε > 0, t0 ∈ R+,∃δ = δ (t0,ε) > 0,sao cho‖ϕ‖ t0. 15 Định nghĩa 1.2.6. Nghiệm tầm thường của phương trình (1.18) được gọi là ổn định đều khi t→+∞ nếu số δ trong định nghĩa (1.2.5) không phụ thuộc vào t0. Định nghĩa 1.2.7. Nghiệm tầm thường của phương trình vi phân (1.18) được gọi là ổn định tiệm cận theo Lyapunov khi t→+∞ nếu: 1. Nghiệm tầm thường là ổn định, 2. ∃∆= ∆(t0) > 0,∀ϕ ∈C,‖ϕ‖< ∆⇒ lim t→+∞‖x(t0,ϕ)‖= 0 Định nghĩa 1.2.8. Nghiệm tầm thường của phương trình vi phân (1.18) được gọi là ổn định tiệm cận đều theo Lyapunov khi t→+∞ nếu 1. Nghiệm tầm thường là ổn định đều. 2. ∃∆> 0(∆ không phụ thuộc vào t0), ∀ϕ ∈C,‖ϕ‖< ∆⇒ lim t→+∞‖x(t0,ϕ)‖= 0. 1.2.2. Một số định lý cơ bản theo phương pháp hàm Lyapunov Trong phần này, tôi giới thiệu một số điều kiện đủ về sự ổn định và không ổn định của nghiệm tầm thường của phương trình (1.18). Đây là kết quả mở rộng của phương pháp thứ hai của Lyapunov cho phương trình vi hàm. Định nghĩa 1.2.9. (Phiếm hàm Lyapunov) Ta gọi phiếm hàm liên tục V : R×C→ R, thoả mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, là phiếm hàm Lyapunov. Nếu V : R×C → R liên tục, x(t0,ϕ) là nghiệm của phương trình (1.18) đi qua điểm (t0,ϕ), và V˙ (t,ϕ) = lim h→0+ sup 1 h [V (t+h,xt+h(t,ϕ))−V (t,ϕ)], hàm V˙ (t,ϕ) được gọi là đạo hàm trên bên phải của hàm V (t,ϕ) dọc theo quỹ đạo của nghiệm phương trình (1.18). Xét phiếm hàm Lyapunov V (t) = V (t,ϕ) xác định trên miền Ω = R+×C. Để nghiên cứu tính ổn định đều và ổn định tiệm cận đều của phương trình vi phân hàm (1.18), ta luôn giả thiết f (t,ϕ) là hoàn toàn liên tục trên Ω và f (t,0) = 0. Ký hiệu: K = {a | a : R+→ R+,a liên tục không giảm và a(0) = 0,a(s) > 0 với s > 0}. Định lý 1.2.10. (Định lý ổn định) Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục (Lyapunov) thoả mãn điều kiện: 1. V (t,0) = 0, 16 2. a(‖ϕ‖)≤V (t,ϕ), a ∈ K, 3. V˙ (t,ϕ)≤ 0, thì nghiệm tầm thường của hệ (1.18) ổn định. Chứng minh. Giả sử phiếm hàm Lyapunov V (t,x) thoả mãn các điều kiện trên, ta chứng minh nghiệm tầm thường của phương trình vi phân (1.18) là ổn định. Giả sử ε > 0(ε < H), đủ bé, ta xác định mặt cầu: Sε = {φ |φ ∈CH ,‖φ‖= ε}, từ điều kiện (2) ta suy ra 0 < a(ε)6V (t,φ),φ ∈ Sε . Vì V (t,0) = 0, V (t,ϕ) là hàm liên tục nên với t0 cố định và a(ε) > 0 tồn tại δ (t0,ε) > 0 sao cho: ‖ϕ‖< δ (t0,ε)⇒V (t0,ϕ) < a(ε). Lấy x = x(t0,ϕ) là nghiệm của (1.18) sao cho với ‖ϕ‖< δ , ta sẽ chứng minh ‖xt(t0,ϕ)‖ t0. (1.19) Giả sử (1.19) không xẩy ra tức là tồn tại t1 > t0 sao cho nghiệm xt(t0,ϕ) với ‖ϕ‖< δ thỏa mãn ‖xt1(t0,ϕ)‖= ε, Từ điều kiện (3) và tính liên tục V (t) = V (t,xt1(t0,ϕ)), nên V (t) giảm theo t và t0 < t ≤ t1 ta có: V (t1,xt1(t0,ϕ))6V (t,xt(t0,ϕ)), suy ra a(ε)6V (t1,xt1(t0,ϕ)6V (t0,ϕ) < a(ε). Vậy ‖ϕ‖ t0, tức là nghiệm tầm thường là ổn định. Định lý 1.2.11. (Định lý ổn định đều) Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục V : R+× C→ R+ thỏa mãn các điều kiện sau: 1. a(‖ϕ(0)‖)6V (t,ϕ)6 b(‖ϕ‖), a(r),b(r) ∈ K, 2. V˙ (t,ϕ)6 0, thì nghiệm tầm thường của hệ (1.18) là ổn định đều. 17 Chứng minh. Lấy ε > 0 tùy ý ε 0,(0 < δ < ε) sao cho b(δ )< a(ε). Khi đó với t0 cố định bất kì, lấy một nghiệm xt(t0,ϕ) tùy ý của (1.18) sao cho ‖ϕ‖< δ . Từ giả thiết V˙ 6 0 ta có: a(‖xt(t0,ϕ)‖)6V (t,xt(t0,ϕ))6V (t0,ϕ)6 b(‖ϕ‖)6 b(δ ) < a(ε). Tức là ‖xt(t0,ϕ)‖ t0,‖ϕ‖< δ . Vậy nghiệm là ổn định đều. Định lý 1.2.12. ( Định lí ổn định tiệm cận đều) Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục V : R+×C→ R+ thỏa mãn các điều kiện sau: 1. a(‖ϕ(0)‖)6V (t,ϕ)6 b(‖ϕ‖), a(r),b(r) ∈ K, 2. V˙ (t,ϕ)6−c(‖ϕ‖), c(r) liên tục và c(r) > 0 khi r > 0. khi đó nghiệm tầm thường của hệ (1.18) là ổn định tiệm cận đều. Chứng minh. Từ định lí trên ta có thể suy ra nghiệm tầm thường của phương trình (1.18) là ổn định đều. Bây giờ ta sẽ chứng minh nghiệm tầm thường của nó là ổn định tiệm cận đều. Do nghiệm tầm thường của phương trình (1.18) là ổn định đều nên với H > 0 tồn tại δ0 = δ0(H)> 0, sao cho với t0 > 0 bất kỳ và ‖ϕ‖6 δ0, ta có: ‖xt(t0,ϕ)‖ t0. Mặt khác ∀ε > 0,∃δ = δ (ε) > 0 ta có: ‖ϕ‖ t0. Tiếp theo ta chứng minh: Điều kiện (2) của định nghĩa (1.2.8) Giả sử điều kiện (2) của định nghĩa (1.2.8) không xẩy ra tức là tồn tại một nghiệm xt(t0,ϕ),(t0 ∈ R+,‖ϕ‖< δ0) không không thỏa mãn: lim t→+∞‖xt(t0,ϕ)‖= 0, khi đó tồn tại dãy tk, tk > t0, tk→ ∞(k→ ∞), đồng thời δ 6 ‖x(t0,ϕ)(tk)‖< H. Theo điều kiện (1) ta có: V (tk,x(t0,ϕ)(tk)> a(δ ). Từ điều kiện (2) ta suy ra, tồn tại γ > 0 sao cho: V˙ (t,ϕ)6−γ, 18 với δ (ε) > ‖ϕ‖ ta có: ∫ t t0 V˙ (τ,ϕ)dτ 6 ∫ t t0 −γdτ, hay V (t,xt(t0,ϕ))6V (t0,ϕ)− γ(t− t0). Kí hiệu T = b(δ0)−a(δ ) γ . Vì V (t0,ϕ)6 b(δ0) nên với t > t0 +T và ‖ϕ‖< δ0 ta có: V (t0,ϕ)− γ(t− t0)6 b(δ0)− γT 6 b(δ0)−b(δ0)+a(δ ) 6 a(δ ). Chứng tỏ V (t,xt(t0,ϕ) < a(δ ). Mâu thuẫn với V (tk,x(t0,ϕ)(tk)> a(δ ), điều đó chứng tỏ giả thiết phản chứng sai. Do đó với mọi t > t0 +T,(T = T (ε)) và ‖ϕ‖< δ ta có: ‖x(t0,ϕ)‖< ε. Tức là ngiệm tầm thường x≡ 0 của phương trình vi phân (1.18) là ổn định tiệm cận đều. Ví dụ 1.2.13. Xét hệ phương trình vi phân:{ x˙(t) = y(t)− x(t)y2(t− r1(t)), y˙(t) =−x(t)− y(t)x2(t− r2(t)), trong đó t ∈R và r j(t)> 0( j = 1,2) Để nghiên cứu tính ổn định của hệ ta xét hàm: V (x,y) = x2 + y2. Khi đó ta có: V (x,y) = ‖ϕ‖2, đồng thời V˙ (x,y) = 2.x(t).[y(t)− x(t).y2(t− r1(t))]+2y[−x(t)− y(t).x2(t− r2(t))] =−y2(t).x2(t− r2(t))− x2(t).y2(t− r1(t)) 6 0. Vậy ta có nghiệm tầm thường của hệ là ổn định đều. 19 Định lý 1.2.14. (Định lý ổn định đều dạng Razumikhin) Giả sử tồn tại u,v ∈ K, w ∈C(R+,R+), và phiếm hàm liên tục V : R×Rn→ R thỏa mãn: 1.u(||x||)≤V (t,x)≤ v(||x||), t ∈ R, x ∈ Rn. (1.20) 2.V˙ (t,ϕ(0))≤−w(||ϕ(0)||) với V (t+θ ,ϕ(θ))≤V (t,ϕ(0)),θ ∈ [−τ,0]. (1.21) Thì nghiệm tầm thường của phương trình (1.18) ổn định đều. Chứng minh. Với ε > 0 tùy ý (ε 0, sao cho v(δ ) < u(ε). Khi đó với t0 cố định bất kì, lấy một nghiệm xt(t0,ϕ) tùy ý của (1.18) sao cho ‖ϕ‖ t0, ||x(t∗)|| ≥ ε thì: V (t∗,x(t∗))> u(||x(t∗)||)> u(ε) > v(δ )≥V (t0,ϕ). Do đó, tồn tại t¯ ∈ (t0, t∗] sao cho: V˙ (t¯,x(t¯)) > 0 trong khi đó V (t+θ ,x(t¯+θ))≤V (t¯,x(t¯)),θ ∈ [−τ,0]. Trái với điều kiện (1.21), vậy ‖xt(t0,ϕ)‖ t0,‖ϕ‖< δ . Hay nghiệm tầm thường của phương trình (1.18) ổn định đều. Định lý 1.2.15. (Định lý ổn định tiệm cận đều dạng Razumikhin) Giả sử tồn tại u,v,w ∈ K, và phiếm hàm liên tục V : R×Rn→ R thỏa mãn: 1.u(||x||)≤V (t,x)≤ v(||x||), t ∈ R, x ∈ Rn. (1.22) 2. Tồn tại một hàm liên tục không giảm p(s) > s,s > 0 sao cho: V˙ (t,ϕ(0))≤−w(||ϕ(0)||) với V (t+θ ,ϕ(θ))≤ p(V (t,ϕ(0))),θ ∈ [−τ,0]. (1.23) Thì nghiệm tầm thường của phương trình (1.18) ổn định tiệm cận đều. Chứng minh. Theo định lý (1.2.14) nghiệm tầm thường của trình (1.18) ổn định đều. Giả sử δ > 0,h > 0 sao cho v(δ ) = u(h) theo định lý (1.2.14) nếu ||φ || ≤ δ thì ||xt(t0,φ)|| ≤ h,V (t,xt(t0,φ))≤ v(δ ) với t ≥ t0− τ . Giả sử với η(0 < η ≤ h) tùy ý ta cần chứng minh tồn tại một số t¯ = t¯(η ,δ ) sao cho với t0 ≥ 0 và ||φ || ≤ δ , nghiệm của phương trình (1.18) thỏa mãn ||xt(t0,φ)|| ≤ η , t ≥ t0 + t¯+ τ tức là ta phải chứng minh V (t,xt(t0,φ))≤ u(η) với t ≥ t0 + t¯. Đặt x(t) = xt(t0,φ), từ tính chất của hàm p(s), tồn tại số thực a > 0 thỏa mãn p(s)−s> a, u(η)≤ s≤ v(δ ). Lấy N là số nguyên dương sao cho u(η)+Na≥ v(δ ), 20 kí hiệu γ = inf η≤s≤H w(s) và T = Nv(δ )/γ . Ta chứng minh với j = 1,2, ...,N, Tj = jv(δ )/γ thì V (t,x(t))≤ u(η)+(N− j)a, t ≥ t0 +Tj. (1.24) Thật vậy, bằng quy nạp, với j=1 ta chứng minh: V (t,x(t))≤ u(η)+(N−1)a, t ≥ t0 +(v(δ )/γ). Giả sử ngược lại V (t,x(t))≥ u(η)+(N−1)a, ∀t ∈ [t0− τ, t0 +(v(δ )/γ)], từ V (t,x(t))≤ v(δ ) với t ≥ t0− τ,θ ∈ [−τ,0], suy ra p(V (t,x(t))) >V (t,x(t))+a≥ u(η)+Na≥ v(δ )≥V (t+θ ,x(t+θ)), theo (1.23) ta có: V˙ (t,x(t))≤−w(||x(t)||)≤−γ, nên V (t,x(t))≤V (t0,x(t0))− γ(t− t0)≤ v(δ )− γ(t− t0). Do đó V (t0 +(v(δ )/γ)),x(t0 +(v(δ )/γ)))≤ v(δ ))− v(δ ))≤ 0, điều này trái với giả thiết (1.22), vậy tồn tại t∗ ∈ [t0− τ, t0 + (v(δ )/γ)], sao cho V (t∗,x(t∗))≤ u(η)+(N−1)a và từ (1.23) với mọi t ≥ t∗, ta có: V (t,x(t))≤V (t∗,x(t∗))≤ u(η)+(N−1)a. Hay V (t,x(t))≤ u(η)+(N−1)a với t ≥ t0 +(v(δ )/γ). Giả sử với j = k, k < N, t ≥ t0 +Tk, ta có V (t,x(t))≤ u(η)+(N− k)a, thì V (t,x(t))≤ u(η)+(N− k−1)a, t ≥ t0 +Tk+1. Thật vậy, giả sử ngược lại: V (t,x(t))≥ u(η)+(N− k−1)a, ∀t ∈ [t0 +Tk− τ, t0 +Tk+1], từ V (t,x(t))≤ u(η)+(N− k)a, t ≥ t0 +Tk− τ,, và θ ∈ [−τ,0], kéo theo p(V (t,x(t))) >V (t,x(t))+a≥ u(η)+(N− k)a≥V (t+θ ,x(t+θ)), theo (1.23) ta có: V˙ (t,x(t))≤−w(||x(t)||)≤−γ, 21 nên V (t,x(t))≤V (t0 +Tk,x(t0 +Tk))− γ(t− t0−Tk)≤ v(δ )− γ(t− t0−Tk) < 0, với t ≥ t0 +Tk+1, điều này trái với giả thiết (1.22). Vậy tồn tại t∗ ∈ [t0 +Tk− τ, t0 +Tk+1), sao cho V (t∗,x(t∗))≤ u(η)+(N− k−1)a và từ (1.23) với mọi t ≥ t∗ ta có: V (t,x(t))≤V (t∗,x(t∗))≤ u(η)+(N− k−1)a. Hay V (t,x(t))≤ u(η)+(N− k−1)a với t ≥ t0 +Tk+1. Vậy (1.24) được chứng minh, với j = N ta có V (t,x(t))≤ u(η),∀t ≥ t0 +Nv(δ )/γ ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 1.2.16. Xét phương trình vi phân hàm x˙(t) =−a(t)x(t)−b(t)x(t− r(t)), trong đó a(t),b(t),r(t) liên tục và bị chặn trên R, |b(t)| ≤ a(t), 0≤ r(t)≤ r với mọi t ∈ R. Chọn V (x(t)) = 12x 2(t). Nếu V (x(t− r(t)))≤V (x(t)) thì |x(t− r(t))| ≤ |x(t)|, và ta có: V˙ (x(t)) =−a(t)x2(t)−b(t)x(t)x(t− r(t)) ≤−a(t)x2(t)+ |b(t)|x2(t) ≤−(a(t)−|b(t)|)x2(t)≤ 0. Vậy theo định lý ổn định đều dạng Razumikhin nghiệm tầm thường của hệ là ổn định đều. Với a(t) ≥ δ > 0, tồn tại hằng số k ∈ (0,1) sao cho |b(t)| ≤ kδ . Chọn p(s) = q2s, q > 1, kq < 1 ta có V (x(t− r(t)))≤ p(V (x(t))), khi đó V˙ (x(t))≤−(1−qk)δx2(t). Vậy theo định lý ổn định tiệm cận đều dạng Razumikhin nghiệm tầm thường của hệ là ổn định tiệm cận đều. 22 Chương 2 Phương trình vi phân có xung và ứng dụng 2.1. Khái niệm về hệ phương trình vi phân có xung 2.1.1. Định nghĩa và ví dụ về hệ phương trình vi phân có xung Xét phương trình vi phân có xung (xem[6],[10],[11]):{ x˙ = f (t,x), t 6= tk, ∆x(tk) = Ik(x(t−k )),k = 1,2, ..., (2.1) trong đó, Ω⊂ Rn, Ω là tập mở, x = col(x1,x2, ...,xn) ∈Ω, f : R+×Ω→ Rn. x(t+k ) = limh→0+ x(tk +h) = x(tk), x(t−k ) = limh→0− x(tk−h), ∆x(tk) = x(t+k )− x(t−k ), Ik : Ω→ Rn, t1 < t2 < ... < tk < tk+1 < ..., k = 1,2, .... Ví dụ 2.1.1. 1. Xét phương trình vi phân có xung:x˙ = 0, t 6= k,∆x(k) = 1 x(k−)−1 ,k = 1,2, ..., (2.2) với thời điểm ban đầu là (t0,x0) = (0,1), nghiệm của phương trình vi phân có xung trên đoạn [0,1) là x= 1. Với t > 1, thì ∆x(1)= 1 x(1−)−1 không xác định vì x(1 −)= 1. Tuy nhiên, nghiệm của phương trình vi phân x˙ = 0 là x(t) = 0 xác đinh và liên tục với mọi t. 23 2. Xét phương trình vi phân có xung: x˙ = 1+ x2; t 6= kpi 4 , ∆x(tk) =−1, tk = kpi4 ,k = 1,2..., (2.3) với điều kiện ban đầu x(0) = 0 với t ∈ [t0, t1) = [0, pi4 ) nghiệm của phương trình (2.3) là x(t) = tan t. Với t ∈ [t1, t2) = [pi4 , pi 2 ) ta có: { x(t) = tan(t+ c) x(t+1 ) = x(t − 1 )−1 ⇒ { x(t) = tan(t+ c) x(t+1 ) = 0 ⇒ { x(t) = tan(t− pi 4 ) x(t+1 ) = 0. Vậy với t ∈ [pi 4 , pi 2 ) nghiệm của phương trình (2.3) là x(t) = tan(t− pi 4 ). Tương tự, ta thấy rằng, với t ∈ [kpi 4 , (k+1)pi 4 ) nghiệm của hệ là x(t) = tan(t− kpi 4 ), tuần hoàn với chu kỳ pi/4. Tuy nhiên, nghiệm của phương trình vi phân tương ứng x(t) = tan t tồn tại trong [0, pi 2 ) vì lim t→ pi2 − tan t = ∞. Qua các ví dụ xét ở trên chúng ta có thể xây dựng một mô hình của phương trình vi phân có xung, và đưa ra một ví dụ thực tế: Xét một quá trình tiến hóa được xác định bởi hệ: (i) Phương trình vi phân x˙(t) = f (t,x), (2.4) trong đó, Ω⊂ Rn,Ω là tập mở, x = col(x1,x2, ...,xn) ∈Ω; f : R+×Ω→ Rn, (ii) tập M(t),N(t)⊂ R+×Ω, ∀t ∈ R+. (iii) toán tử A(t) : M(t)→ N(t) với mỗi t ∈ R+. Giả sử Ω là không gian pha của quá trình tiến hóa. Kí hiệu Pt là đồ thị của quá trình tiến hóa tại thời điểm t, đồ thị Pt là cặp (t,x) của không gian hữu hạn n+ 1 chiều. Tập R+×Ω được gọi là là không gian pha mở rộng của quá trình tiến hóa. Giả sử x(t) = x(t, t0,x0) là nghiệm của (2.4) tại thời điểm ban đầu (t0,x0) quá trình tiến hóa như sau: Đồ thị Pt của quá trình tiến hóa bắt đầu tại điểm Pt0 = (t0,x0), di chuyển dọc theo đường cong {(t,x(t)) : t ≥ t0} đến thời điểm t1 > t0, tại t1 đồ thị Pt gặp M(t), toán tử A(t1) lập tức biến điểm Pt−1 = (t1,(x(t − 1 ))) thành Pt+1 = (t1,x + 1 ) ∈ N(t), x+1 = A(t1)x(t−1 ). Sau đó Pt bắt đầu tại Pt1 = x(t1,x + 1 ) di chuyển dọc theo đường cong {(t,x(t)) : t ≥ t0,x(t) = x(t, t1,x+1 ) nghiệm của (2.4)} đến thời điểm t2 > t1, tại t2 đồ thị Pt gặp M(t), một lần nữa Pt−2 = (t2,x(t − 2 )) được dịch chuyển đến điểm Pt+2 = (t2,x+2 ) ∈ N(t), x+2 = A(t2)x(t−2 ), quá trình tiến hóa cứ tiếp tục khi nghiệm của (2.4) tồn tại. 24 Mối quan hệ giữa (i),(ii),(iii) đặc trưng bởi quá trình tiến hóa trên lập thành hệ phương trình vi phân có xung. Đường cong mô tả các điểm Pt là đường cong tích phân và hàm định nghĩa đường cong tích phân là nghiệm của hệ phương trình vi phân với xung. Nghiệm của hệ phương trình vi phân với xung là một hàm: *Liên tục nếu đường cong không có điểm thuộc tập M(t), hoặc các điểm chung của chúng là các điểm bất động của toán tử A(t). *Liên tục từng mảnh với hữu hạn các điểm tại đó gián đoạn loại 1 nếu đường cong tích phân giao với M(t) tại các điểm không là bất động của toán tử A(t). *Liên tục từng mảnh với đếm được các điểm gián đoạn loại 1 nếu đường cong tích phân giao với M(t) tại một số điểm đếm được, tại đó không là bất động của A(t). Thời điểm tk mà tại đó Pt gặp M(t) được gọi là hiệu ứng xung, toán tử A(t) : M(t)→ N(t) gọi là toán tử nhẩy (jump operator). Ví dụ mô hình tương tác vật dữ-con mồi mà Volterra đã đưa ra chưa có xung như sau: 1. Con mồi sinh trưởng không giới hạn khi vật dữ không kiểm soát nó. 2. Vật dữ sống sót nhờ sự có mặt của con mồi làm thức ăn. 3. Tốc độ ăn thịt phụ thuộc vào xác suất con mồi gặp vật dữ. 4. Tốc độ tăng trưởng của quần thể vật dữ tỉ lệ thuận với lượng thức ăn kiếm được. Từ những giả thiết trên, Volterra đã thiết lập phương trình cho mô hình như sau: dx(t) dt = Ax(t)−Bx(t)y(t), dy(t) dt =−Cy(t)+Dx(t)y(t), (2.5) trong đó x(t),y(t) là mật độ quần thể con mồi và vật dữ tại thời điểm t(t ≥ 0), A(A > 0) tốc độ tăng trưởng thực của quần thể con mồi khi không có mặt vật dữ. C(C > 0) là tỉ lệ chết thực của quần thể vật dữ khi không có mặt con mồi. B,D là các hằng số thỏa mãn BD là hiệu suất săn mồi, xy thể hiện xắc suất vật dữ gặp con mồi. Mô hình trên đã bỏ qua rất nhiều yếu tố, vì trong thực tế sự tương tác giữa vật dữ và con mồi là rất phức tạp. Ví dụ tại một thời điểm nào đó diễn ra sự nhập cư và di cư của vật dữ hoặc con mồi, săn bắt hay nuôi thêm vật dữ hoặc con mồi của con người, sự thay đổi thời tiết, thu hoạch mùa vụ, phun hóa chất.... Các yếu tố trên làm ảnh hưởng đến mật độ quần thể của vật dữ và con mồi tại mỗi thời điểm ta gọi là xung. Kết hợp với những yếu tố này với mô hình Volterra ta thu được phương trình vi phân có xung. Ví dụ tại thời điểm t = tk mật độ của vật ăn thịt bị thay đổi, ta có thể giả sử ∆y(tk) = y(t+k )− y(t−k ) = gky(t−k ), (2.6) trong đó y(t−k ),y(t + k ) = y(tk) là mật độ động vật ăn thịt trước và sau khi bị xung, gk ∈ R là đặc trưng cho hiệu ứng xung tại tk. Nếu gk > 0 thì mật độ của vật ăn thịt 25 tăng, gk < 0 thì mật độ của vật ăn thịt giảm. Kết hợp (2.5),và (2.6) ta được hệ phương trình vi phân có xung: dx(t) dt = Ax(t)−Bx(t)y(t), t 6= tk, dy(t) dt =−Cy(t)+Dx(t)y(t), t 6= tk, ∆y(tk) = gky(t−k ), ∆x(tk) = 0, (2.7) trong đó 0 < t1 < t2 < ..., lim k→∞ tk = ∞. Mô hình sinh học (2.7) biểu thị hệ động lực vật dữ-con mồi với hiệu ứng xung tại các thời điểm nhất định.Với cách xây dựng này ta thấy rằng phương trình vi phân có xung có thể mô tả được sự thay đổi tại thời điểm nào đó có tác động bên ngoài. 2.1.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân có xung Xét hệ phương trình vi phân có xung với điều kiện ban đầu: x˙(t) = f (t,x(t)),0≤ t ≤ T, t 6= tk,x ∈ Rn, ∆x(tk) = Ik(x(t−k )),k = 1,2, ..., p,0 < t1 < t2 < ... < tp < T, x(0) = x0, (2.8) trong đó: A.1 ∆x(tk) = x(t+k )− x(t−k ), A.2 f ∈C([0,T ]×Rn,Rn), A.3 Ik ∈C([0,T ]×Rn),k = 1,2, .... Kí hiệu PC([0,T ],Rn) = {x : [0,T ]→ Rn,x(t) liên tục, khả vi với t 6= tk liên tục phải tại tk, giới hạn trái tại tk tồn tại hữu hạn với k = 1,2, ...p}, như vậy, PC([0,T ],Rn) là không gian Banach với chuẩn ||x||PC = sup t∈[0,T ] ||x(t)||. Định nghĩa 2.1.2. Nghiệm của phương trình (2.8) là hàm x(.) ∈ PC([0,T ],Rn)∩C1([0,T ]\{t1, t2, ..., tp},Rn), thỏa mãn (2.8) trên [0,T ]. Với các điều kiện A.1-A.3 thỏa mãn ta có các định lý sau: 26 Định lý 2.1.3. Hàm x(t) ∈ PC([0,T ],Rn) là nghiệm của phương trình (2.8) khi và chỉ khi x(t) = x0 + ∫ t 0 f (s,x(s))ds+ ∑ 0<ti<t Ii(x(ti)). Chứng minh. Ta thấy nếu x(t) là nghiệm của (2.8) thì với t ∈ [t j, t j+1) ta có: ∫ t 0 f (s,x(s))ds = ∫ t 0 x˙(s)ds = ∫ t1 0 x˙(s)ds+ ∫ t2 t1 x˙(s)ds+ ...+ ∫ t t j x˙(s)ds = [x(t−1 )− x(0+)]+ [x(t−2 )− x(t+1 )]+ ...+[x(t−)− x(t+j )] =−x(0)− [x(t+1 )− x(1−)]− [x(t+2 )− x(t−2 )]− ... − [x(t+j )− x(t−j )]+ x(t), do đó: x(t) = x(0)+ ∫ t 0 f (s,x(s))ds +[x(t+1 )− x(t−1 )]+ [x(t+2 )− x(t−2 )]+ ...+[x(t+j )− x(t−j )] = x(0)+ ∫ t 0 f (s,x(s))ds+ ∑ 0<ti<t ∆x(ti) = x0 + ∫ t 0 f (s,x(s))ds+ ∑ 0<ti<t Ii(x(ti)). (2.9) Mặt khác, với x(.) ∈ PC([0,T ],Rn) là hàm thỏa mãn (2.9). Ta thấy t ∈ (t j, t j+1), ∑ 0<ti<t Ii(x(ti)) = j ∑ i=1 Ii(x(ti)) không phụ thuộc vào t, nên ddt ∑ 0<ti<t Ii(x(ti)) = 0 với t 6= ti, i = 1,2, ..., p. Do đó từ (2.9) ta có x˙(t) = f (t,x(t)), t 6= ti,x(0) = x0 và ∆x(ti) = x(t+i )− x(t−i ) = [x(0)+ ∫ ti 0 f (s,x(s))ds+ i ∑ j=1 I j(x(t j))] − [x(0)+ ∫ ti 0 f (s,x(s))ds+ i−1 ∑ j=1 I j(x(t j))] = Ii(x(ti)). Vậy ta có điều phải chứng minh. 27 Định lý 2.1.4. Giả sử tồn tại các hằng số M > 0,hi > 0, i = 1,2, ..., p, sao cho: || f (t,u)− f (t,v)|| ≤M||u− v||, t ∈ [0,T ], u,v ∈ Rn, (2.10) ||Ii(u)− Ii(v)|| ≤ hi||u− v||, u,v ∈ Rn, (2.11) và MT + p ∑ i=1 hi < 1. (2.12) Khi đó phương trình (2.8) có nghiệm duy nhất trên [0,T ], thỏa mãn: x(t) = x0 + ∫ t 0 f (s,x(s))ds+ ∑ 0<ti<t Ii(x(ti)). (2.13) Chứng minh. Xét ánh xạ F : PC([0,T ],Rn)→ PC([0,T ],Rn), được xác định F(x(t)) = x0 + ∫ t 0 f (s,x(s))ds+ ∑ 0<ti<t Ii(x(ti)). Với u,v ∈ PC([0,T ],Rn) ta có: ||F(u(t))−F(v(t))|| ≤ ∫ t 0 || f (s,u(s))− f (s,v(s))||ds + ∑ 0<ti<t ||Ii(u(ti))− Ii(u(ti))|| ≤M ∫ t 0 ||u(s)− v(s)||ds+ ∑ 0<ti<t hi||u(ti)− (v(ti)|| ≤MT ||u(.)− v(.)||PC +( ∑ 0<ti<t hi)||u(.)− v(.)||PC ≤ (MT + p ∑ i=1 hi)||u(.)− v(.)||PC, t ∈ [0,T ], hay ||F(u(t))−F(v(t))|| ≤ (MT + p ∑ i=1 hi)||u(.)− v(.)||PC. Vì MT + p ∑ i=1 hi < 1, nên F là ánh xạ co trên PC([0,T ],Rn). Theo nguyên lý ánh xạ co thì F tồn tại duy nhất một điểm bất động vậy phương trình (2.8) có nghiệm duy nhất trong PC([0,T ],Rn). 28 2.2. Nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân thường có xung Để thuận tiện, cho việc trình bày những kết quả cơ bản về tính ổn định của phương trình vi phân có xung, trước hết chúng tôi xin nhắc lại một số kết quả về phương pháp so sánh nghiệm của phương trình vi phân thường (xem [10], [11]). 2.2.1. Các định lý so sánh nghiệm của hệ phương trình vi phân thường Xét phương trình vi phân với điều kiện ban đầu:{ u˙(t) = g(t,u(t)), u(t0) = u0, t0 ≥ 0, (2.14) trong đó g ∈C[R2+,R] , g(t,u) là hàm không giảm theo u với mỗi t ∈ R+. Định nghĩa 2.2.1. (xem [11] trang 11.) Giả sử r(t) là nghiệm của (2.14) trên [t0, t0+ a). r(t) được gọi là nghiệm cực đại của (2.14) nếu với mọi nghiệm u(t) của (2.14) tồn tại trên [t0, t0 +a), thỏa mãn: u(t)≤ r(t), t ∈ [t0, t0 +a). (2.15) Gọi là nghiệm cực tiểu của (2.14) nếu bất đẳng thức (2.15) đổi chiều. Định lý 2.2.2. (xem [11] trang 11.) Giả sử g ∈C[R0,R], R0 = {(t,u) : t ∈ [t0, t0 + a], |u− u0| ≤ b}, và |g(t,u)| ≤M trên R0. Khi đó tồn tại nghiệm cực đại, cực tiểu của (2.14) trên [t0, t0 +α], α = min{a, b2M+b}. Định lý 2.2.3. (xem [10])Với g ∈C[R2+,R] và r(t) là nghiệm cực đại của (2.14) tồn tại trên [t0,∞). Giả sử m ∈C[R+,R+] và Dm(t)≤ g(t,m(t)), t ≥ t0, ở đó D là đạo hàm Dini (xem [11] trang 7). Nếu m(t0) ≤ u0 thì m(t) ≤ r(t), t ≥ t0. Xét hệ phương trình vi phân với điều kiện ban đầu:{ x˙(t) = f (t,x(t)), x(t0) = x0, t0 ≥ 0, (2.16) trong đó f ∈C[R+×S(ρ),Rn], S(ρ) = {x ∈ Rn : ||x|| < ρ}, giả sử nghiệm x(t) = x(t, t0,x0) của (2.16) tồn tại trên khoảng [t0,∞), liên tục, khả vi. Xét phương trình vi phân với điều kiện ban đầu:{ u˙(t) = g(t,u(t)), u(t0) = u0 ≥ 0, t0 ≥ 0, (2.17) 29 trong đó g ∈C[R2+,R], giả sử nghiệm cực đại r(t) của hệ (2.17) tồn tại trên [t0,∞). Định lý 2.2.4. Giả sử V (t,x) ∈C[R+×S(ρ),R+], là Lipschitz địa phương theo x, thỏa mãn: D+V (t,x)≤ g(t,V (t,x)),(t,x) ∈ R+×S(ρ), (2.18) Nếu x(t) nghiệm của (2.16) tồn tại trên [t0,∞), sao choV (t0,x0)≤ u0, thìV (t,x(t))≤ r(t), t ≥ t0. Chứng minh. Đặt m(t) = V (t,x(t)), x(t) là nghiệm của (2.16) trên [t0,∞) sao cho V (t0,x0)≤ u0. Khi đó m(t) liên tục, và với h > 0 đủ nhỏ ta có: m(t+h)−m(h) =V (t+h,x(t+h)) −V (t+h,x(t)+h f (t,x(t))) +V (t+h,x(t)+h f (t,x(t)))−V (t,x(t)) Do V (t,x) là Lipschitz địa phương theo x và (2.18) ta có: D+m(t)≤ g(t,m(t)),m(t0)≤ u0, theo định lý (2.2.3) ta có: V (t,x(t))≤ r(t),∀t ≥ t0. Vậy ta có điều phải chứng minh. Hệ quả 2.2.5. Khi g(t,u) = 0 với (t,u) ∈ [t0,∞)×R+ thì V (t,x(t)) là hàm không giảm và V (t,x(t))≤V (t0,x(t0))), t ≥ t0 2.2.2. Các định lý so sánh nghiệm của phương trình vi phân có xung Xét hệ phương trình vi phân có xung với điều kiện ban đầu: x˙(t) = f (t,x(t)), t 6= tk, x(tk) = Jk(x(t−k )), k = 1,2, ..., x(t0) = x0, t0 ≥ 0, (2.19) trong đó: (i) t0 < t1 < t2 < ... < tk < tk+1 < ..., tk→ ∞ khi k→ ∞, (ii) f ∈C[R+×S(ρ),Rn], f (t,0) = 0, S(ρ) = {x ∈ Rn : ||x||< ρ}, (iii) Jk ∈C[R+×S(ρ)], Jk(0) = 0,k = 1,2, .... Giả sử nghiệm x(t) = x(t, t0,x0) của (2.19) tồn tại trên khoảng [t0,∞), liên tục, 30 khả vi với t 6= tk, liên tục phải tại tk với mọi k ∈ N. Xét phương trình vi phân có xung với điều kiện ban đầu: u˙(t) = g(t,u(t)), t 6= tk, u(tk) = ψk(u(t−k )), k = 1,2, ..., u(t0) = u0, t0 ≥ 0, (2.20) trong đó g ∈ C[R2+,R],ψk : R+ → R, là hàm không giảm, và t0 < t1 < t2 < ... < tk < tk+1 < ..., tk → ∞ khi k→ ∞, giả sử nghiệm cực đại r(t) của hệ (2.20) tồn tại trên [t0,∞). Định lý 2.2.6. Giả sử g ∈ C[R2+,R],ψk : R+ → R, và ψk(u) là hàm không giảm theo u; m : R+→ R+ liên tục t 6= tk, liên tục phải tại tk và thỏa mãn: Dm(t)≤ g(t,m(t)), t 6= tk, t ≥ t0, m(tk)≤ ψk(m(t−k )), k = 1,2, ..., và m(t0)≤ u0. Khi đó m(t)≤ r(t) với mọi t > t0. Chứng minh. Từ định lý (2.2.3) ta có m(t) ≤ r(t), t ∈ [t0, t1) do đó m(t−1 ) ≤ r(t−1 ). Vì vậy m(t1)≤ ψ1(m(t−1 ))≤ ψ1(r(t−1 )) = r(t1). Tương tự, với t ∈ [tk, tk+1), k = 1,2, ... ta có: m(t)≤ r(t). Vậy m(t)≤ r(t) với mọi t > t0. Định lý 2.2.7. Giả sử V ∈C[R+× S(ρ),R+],V (t,x) là Lipschitz địa phương theo x, g ∈C[R2+,R],ψk là hàm tăng chặt và ψk(0) = 0, thỏa mãn: D+V (t,x)≤ g(t,V (t,x)), t 6= tk,(t,x) ∈ R+×S(ρ), và V (t,Jk(x))≤ ψk(V (t−k ,x)), x ∈ S(ρ). Nếu x(t) nghiệm của (2.19) tồn tại trên [t0,∞), sao choV (t0,x0)≤ u0, thìV (t,x(t))≤ r(t), t ≥ t0. Chứng minh. Đặt m(t) = V (t,x(t)), x(t) là nghiệm của (2.19) trên [t0,∞). Khi đó m(t) liên tục với t 6= tk, liên tục phải tại t = tk với mọi k ∈ N, và thỏa mãn bất đẳng thức D+m(t)≤ g(t,m(t)), t 6= tk,m(t0)≤ u0, 31 và m(tk)≤ ψ(m(t−k )),k = 1,2, ..., theo định lý (2.2.6) ta có: m(t)≤ r(t),∀t ≥ t0. Vậy ta có điều phải chứng minh. Hệ quả 2.2.8. Khi g(t,u) = 0 với (t,u)∈ [t0,∞)×R+ và ψk(u) = u với u∈R+, k= 1,2, ... thì ta có V (t,x(t))≤V (t0,x(t0))), t ≥ t0 Nhận xét 2.2.9. Tương tự xét hệ phương trình vi phân có xung với điều kiện ban đầu:  x˙(t) = f (t,x(t)), t 6= tk, x(t+k ) = Jk(x(tk)), k = 1,2, ..., x(t0) = x0, t0 ≥ 0, (2.21) trong đó: (i) t0 < t1 < t2 < ... < tk < tk+1 < ..., tk→ ∞ khi k→ ∞, (ii) f ∈C[R+×S(ρ),Rn], f (t,0) = 0, S(ρ) = {x ∈ Rn : ||x||< ρ}, (iii) Jk ∈C[R+×S(ρ)], Jk(0) = 0,k = 1,2, .... Giả sử nghiệm x(t) = x(t, t0,x0) của (2.21) tồn tại trên khoảng [t0,∞), liên tục, khả vi với t 6= tk, liên tục trái và tồn tại giới hạn phải tại tk, với mọi k ∈ N. Ta cũng có các kết quả tương tự. Áp dụng: Xét phương trình vi phân có xung với điều kiện ban đầu: u˙(t) = g(t,u(t)), t 6= tk, u(t+k ) = ψk(u(tk)), k = 1,2, ..., u(t0) = u0, t0 ≥ 0, (2.22) trong đó g(t,u) = p(t)g(u) với p(t) > 0 liên tục trên R+, g ∈ K. Giả sử tồn tại c0, sao cho với 0 < c≤ c0,∫ ψ(c) c ds g(s) ≤ ∫ tk tk−1 p(s)ds,k = 1,2, ..., (2.23) khi đó nghiệm tầm thường của phương trình (2.22) ổn định đều. Chứng minh. Giả sử t0 ∈ (t j, t j+1] với j≥ 1 và δ > 0, sao cho ψk(s)< ε , s ∈ [0,δ ). Với 0≤ u0 < δ , tồn tại t∗ ∈ (t0, t j+1], sao cho u(t∗)≥ ε , thì∫ ε ψ j(ε) ds g(s) < ∫ ε δ ds g(s) < ∫ ε u0 ds g(s) ≤ ∫ u(t∗) u0 ds g(s) = ∫ t∗ t0 p(s)ds≤ ∫ t j+1 t j p(s)ds, 32 vậy ∫ t j+1 t j p(s)ds+ ∫ ψ j(ε) ε ds g(s) > 0, mâu thuẫn với (2.23). Do đó u(t) < ε, ∀t ∈ [t0, t j+1]. Lấy i≥ j+2, giả sử u(t) < ε với t ∈ (t j+1, ti], thì với t ∈ (ti, ti+1] ta có:∫ u(t) u(t+i ) ds g(s) ≤ ∫ t ti p(s)ds≤ ∫ ti+1 ti p(s)ds. Từ u(t+i ) = ψi(u(ti)), ∫ u(t+i ) u(ti) ds g(s) = ∫ ψi(u(ti)) u(ti) ds g(s) , do đó từ (2.23), ∫ u(t) u(ti) ds g(s) ≤ ∫ ti+1 ti p(s)ds+ ∫ ψi(u(ti)) u(ti) ds g(s) ≤ 0. Vậy u(t)≤ u(ti) < ε với t ∈ (t j, ti+1], bằng quy nạp ta có: u(t) < ε, với t ≥ t0. Ví dụ 2.2.10. Xét phương trình vi phân có xung :x˙ = x t , t ≥ 1, t 6= i, x(i+) = x(i)+ pix(i), i≥ 2, pi hằng số , |1+ pi| ≤ ii+1 . Lấy V (t,x) = x2, ta có: V˙ (t,x) = 2x˙x nên D+V (t,x) = 2 t V (t,x), t 6= i, V (i,x+ Ii(x))≤ (1+ pi)2V (i,x). Như vậy chọn p(t) = 1 t , g(s) = 2s, ψi(s) = (1+ pi)2s, ta có: ∫ ti+1 ti p(s)ds+ ∫ ψi(c) c ds g(s) = ∫ i+1 i ds s ds+ ∫ (1+pi)2(c) c ds 2s = log[ i+1 i |1+ pi|]≤ 0. Vậy nghiệm tầm thường của hệ ổn định đều. 33 2.2.3. Các định lý về tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân có xung Định lý 2.2.11. Giả sử V ∈C[R+×S(ρ),R+],V (t,x) là Lipschitz địa phương theo x thỏa mãn: (1) V (t,x)≥ a(||x||),V (t,0) = 0, a ∈ K,(t,x) ∈ R+×S(ρ), V (tk,x(tk))≤V (t−k ,x(t−k )), (2) V˙ (t,x)≤ 0, t 6= tk. Khi đó nghiệm tầm thường của hệ (2.19) ổn định. Chứng minh. Với ε > 0 theo tính chất của hàm V tồn tại δ = δ (t0,ε) > 0 sao cho x ∈Ω, ||x||< δ thì sup ||x||<δ V (t0,x)< a(ε). Với x(t) = x(t, t0,x0) là nghiệm của (2.19) theo hệ quả (2.2.8) ta có: a(||x||)≤V (t,x(t))≤V (t0,x) < a(ε). Vậy ||x(t)||< ε. Định lý 2.2.12. Giả sử V ∈C[R+×S(ρ),R+],V (t,x) là Lipschitz địa phương theo x thỏa mãn: (1) a(||x||)≤V (t,x)≤ b(||x||),V (t,0) = 0, a,b ∈ K,(t,x) ∈ R+×S(ρ), V (tk,x(tk))≤V (t−k ,x(t−k )), (2) V˙ (t,x)≤ 0, t 6= tk. Khi đó nghiệm tầm thường của hệ (2.19) là ổn định đều. Chứng minh. Với ε > 0 cho trước, chọn δ = δ (ε)> 0 sao cho b(δ )< a(ε), ||x(t0)||< δ , x(t) = x(t, t0,x0) nghiệm của (2.19). Tương tự như chứng minh đinh lý (2.2.11), ta có: a(||x||)≤V (t,x(t))≤V (t0,x) < b(δ ) < a(ε). Vậy ||x(t)||< ε với t ≥ t0. Định lý 2.2.13. Giả sử V ∈C[R+×S(ρ),R+],V (t,x) là Lipschitz địa phương theo x thỏa mãn: a(||x||)≤V (t,x)≤ b(||x||),V (t,0,) = 0 a,b ∈ K,(t,x) ∈ R+×S(ρ), (2.24) V (tk,x(tk))≤V (t−k ,x(t−k )), (2.25) V˙ (t,x)≤−c(||x(t||)), t 6= tk,c ∈ K. (2.26) Khi đó nghiệm tầm thường của hệ (2.19) là ổn định tiệm cận đều. 34 Chứng minh. Theo định lý (2.2.12) thì nghiệm tầm thường của (2.19) là ổn định đều, khi đó tồn tại α > 0 sao cho ||x(t, t0,x0)|| ≤ α,∀t ≥ t0. Ta chứng minh nghiệm tầm thường của nó hút đều toàn cục. Thật vậy với ε > 0 cho trước, chọn η = η(ε)> 0 sao cho b(η) b(α)c(η) .Giả sử với mỗi t ∈ [t0, t0+T ] thì ||x(t, t0,x0)|| ≥ η . Từ (2.26) ta có: V (t,x(t, t0,x0))≤V (t0,x0)− ∫ t t0 c(||x(t, t0,x0)||)ds≤ b(α)− c(η)T < 0, (2.27) trái với (2.24) vậy tồn tại t∗ ∈ [t0, t0 +T ] sao cho ||x(t∗, t0,x0)|| ≤ η . Từ (2.24), (2.25), (2.26) với t ≥ t∗ ta có: a(||x(t, t0,x0)||)≤V (t,x(t, t0,x0))≤V (t∗,x(t∗, t0,x0)) ≤ b(||x(t∗, t0,x0)||) < b(η) < a(ε). Vậy với t ≥ t0 +T ≥ t∗ thì ||x(t, t0,x0)||< ε. Ví dụ 2.2.14. Xét hệ phương trình vi phân có xung: x˙(t) = n(t)y+m(t)x, t 6= tk, t ≥ 0, y˙(t) =−n(t)x+m(t)y, t 6= tk, t ≥ 0, ∆x(tk) = ckx(t−k ),∆y(tk) = dky(t − k ),k = 1,2, ..., x(0) = x0,y(0) = 0, (2.28) trong đó x,y ∈R, các hàm n(t), m(t) liên tục trên R, −1 < ck ≤ 0,−1 < dk ≤ 0,k = 1,2, ...,0 < t1 < t2 < ...., lim k→∞ tk = ∞. Chọn V (t,x,y) = x2 + y2. Với t ≥ 0, t 6= tk, ta có: V˙ (t,x(t),y(t)) = 2m(t)(x(t)2 + y(t)2) = 2m(t)V (t,x(t),y(t)) Với t ≥ 0, t = tk, ta có: V (tk,x(tk),y(tk)) =V (tk,x(t−k )+ ckx(t − k ),y(t − k )+dky(t − k )) = (1+ ck)2x2(t−k )+(1+dk) 2y2(t−k )≤V (t−k ,x(t−k ),y(t−k )),k = 1,2, .... khi đó ta có hệ so sánh:  u˙(t) = 2m(t)u, t 6= tk, t ≥ 0, u(0) = u0 = x2(0)+ y2(0), u(tk) = u(t−k ), (2.29) trong đó u ∈ R+. Hệ (2.29) chính là phương trình vi phân u˙(t) = 2m(t)u(t), t ≥ 0,với điều kiện ban đầu u(0) = u0. Ta thấy ngay rắng nếu m(t) ≤ 0 thì hệ (2.29) ổn định, m(t) < 0 thì hệ (2.29) ổn định tiệm cận. Theo Vậy với m(t)≤ 0 hệ (2.28) ổn định, với m(t) < 0 thì hệ (2.28) ổn định tiệm cận. 35 2.3. Nghiên cứu tính ổn định bộ phận của nghiệm của phương trình vi phân có xung Ổn định bộ phận nghiệm của phương trình vi phân thường được V.V. Rumi- anxev xây dựng. Sau đây chúng tôi xây dựng cho phương trình vi phân có xung. Giả sử f : R+×Ω×Rm→Rn, và g : R+×Ω×Rm→Rm, Ik : Ω×Rm→Rn. Trong đó Ω là miền mở của Rn chứa gốc tọa độ, giả sử f (t,0,0) = 0,g(t,0,0) = 0, Ik(0,0) = 0,k = 1,2, ... với t ∈ R+. Xét hệ phương trình vi phân có xung: x˙ = f (t,x,y), t 6= tk,k = 1,2, ..., y˙ = g(t,x,y), t 6= tk,k = 1,2, ..., ∆(x(tk),y(tk)) = Ik(x(t−k ),y(tk)), t = tk,k = 1,2, ..., (2.30) Định nghĩa 2.3.1. Kí hiệu z(t) = (x(t),y(t)) là nghiệm của hệ (2.30). Ta nói rằng nghiệm z(t) = 0 là ổn định theo quan hệ đối với x, nếu (∀ε > 0)(∀t0 ∈ R+)(∀z0 ∈ Bδ (t0,ε)),(∀t ≥ t0)||x(t, t0,z0)||< ε. Định nghĩa 2.3.2. Kí hiệu z(t) = (x(t),y(t)) là nghiệm của hệ (2.30). Ta nói rằng nghiệm z(t) = 0 là ổn định đều theo quan hệ đối với x, nếu (∀ε > 0)(∀t0 ∈ R+)(∀z0 ∈ Bδ (ε)),(∀t ≥ t0)||x(t, t0,z0)||< ε. Định lý 2.3.3. Giả sử V ∈C[R+×Ω×Rm,R+],V (t,x,y) là Lipschitz địa phương theo (x,y) thỏa mãn: (1) V (t,x,y)≥ a(||x||),V (t,0,0) = 0,(t,x,y) ∈ R+×Ω×Rm, V (tk,x(tk),y(tk))≤V (t−k ,x(t−k ),y(tk)), (2) V˙ (t,x,y)≤ 0, t 6= tk. Khi đó nghiệm tầm thường của (2.30) là ổn định theo quan hệ đối với x. Chứng minh. Với ε > 0 cho trước, do tính liên tục và điều kiện (1) của hàm V , nên tồn tại δ = δ (t0,ε) > 0 sao cho ||z(t0)||< δ với t0 ∈ R+, thì sup ||z(t0)||<δ V (t0,x,y) < a(ε). Với z(t) = (x(t),y(t)) là nghiệm của (2.30), theo hệ quả (2.2.8) ta có: a(||x||)≤V (t,x(t),y(t))≤V (t0,x,y) < a(ε). Vậy ||x(t)||< ε 36 Định lý 2.3.4. Giả sử V ∈C[R+×Ω×Rm,R+],V (t,x,y) là Lipschitz địa phương theo (x,y), với hàm a,b ∈ K và với bất kỳ (t,x,y) ∈ R+×Ω×Rm thỏa mãn: (1) a(||x||)≤V (t,x,y)≤ b(||x||+ ||y||),V (t,0,0) = 0, V (tk,x(tk),y(tk))≤V (t−k ,x(t−k ),y(tk)), (2) V˙ (t,x,y)≤ 0, t 6= tk. Khi đó nghiệm tầm thường của (2.30) là ổn định đều theo quan hệ đối với x. Chứng minh. Với ε > 0 cho trước, chọn δ = δ (ε) > 0 sao cho b(δ ) < a(ε), với ||z(t0)|| < δ/2, t0 ∈ R+ và z(t) = (x(t),y(t)) là nghiệm của (2.30). Tương tự như chứng minh đinh lý (2.3.3), ta có: a(||x||)≤V (t,x(t),y(t))≤V (t0,x,y) ≤ b(||x(t0)||+ ||y(t0)||)≤ b(2||z(t0)||) < b(δ ) < a(ε). vậy ||x(t)||< ε với t ≥ t0. 2.4. Sử dụng phương pháp Razumikhin nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân hàm có xung Để thuận tiện trình bày những kết quả ổn định nghiệm dạng Razumikhin của phương trình vi phân hàm có xung, sau đây chúng tôi đưa ra một số khái niệm cơ bản về phương trình vi phân hàm có xung (xem [13],[14]). Cho t0 ∈ R,τ = const, xét hệ phương trình vi phân hàm có xung:{ x˙(t) = f (t,xt), t 6= tk, x(tk) = Jk(x(t−k )), k = 1,2..., (2.31) trong đó: f : [t0,∞)×PC→Rn, PC = PC([−τ,0],Rn) = {φ : [−τ,0]→Rn,φ(t) liên tục hầu khắp nơi trừ hữu hạn các điểm t˜ tại đó φ(t˜+),φ(t˜−) tồn tại và φ(t˜+) = φ(t˜)}. Jk(x) : S(ρ)→ Rn, k = 1,2..., S(ρ) = {x ∈ Rn : ||x|| ≤ ρ}; t0 < t1 < t2 < ... < tk < tk+1 < ... với tk→+∞ khi k→ ∞. x˙(t) là đạo hàm bên phải của x(t). Với mỗi t ≥ t0, xt ∈ PC ta xác định xt(s) = x(t + s),−τ ≤ s ≤ 0. Với φ ∈ PC, chuẩn của φ được xác định ||φ ||τ = sup −τ≤s≤0 ||φ(s)||. Giả sử ϕ ∈ PC, kí hiệu x(t) = x(t, t0,ϕ) là nghiệm của (2.31) thỏa mãn điều kiện ban đầu { x(t, t0,ϕ) = ϕ(t− t0), t0− τ ≤ t ≤ t0, x(t0, t0,ϕ) = ϕ(0). (2.32) 37 2.4.1. Tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân hàm với xung Xét các điều kiện: (H1) f : [t0,∞),×PC→ Rn liên tục trên [tk−1, tk)×PC, k = 1,2.... Với ϕ ∈ PC giới hạn lim (t,φ)→(t−k ,ϕ) f (t,φ) = f ((t−k ,ϕ)) tồn tại, k = 1,2.... (H2) f (t,φ) là Lípchitz theo φ với mỗi tập compact trong PC. (H3) Jk(x) ∈C(S(ρ),Rn), k = 1,2.... Tồn tại ρ1 > 0(ρ1 ≤ ρ) sao cho x ∈ S(ρ1) ta có Jk(x) ∈ S(ρ), k = 1,2.... Định lý 2.4.1. Với các điều kiện (H1),(H2),(H3) và (t0,ϕ)∈R×PC, khi đó phương trình (2.31) có nghiệm x(t) = x(t, t0,ϕ) duy nhất. Chứng minh. Với (t0,ϕ) ∈ R× PC và điều kiện (H1),(H3) theo định lý tồn tại nghiệm của phương trình vi phân hàm thì phương trình (2.31) tồn tại nghiệm Φ1(t) với t ≥ t0. Hơn nữa Φ1(t) = ϕ(t − t0), t ∈ [t0− τ, t0], tại t1 là thời điểm đầu tiên của xung, đặt x(t, t0,ϕ) = Φ1(t), t ∈ [t0, t1) khi đó nghiệm x(t) của hệ mở rộng tại t1 là Φ(t1 + 0) = J1(Φ1(t−1 )) = Φ + 1 . Theo định về tồn tại nghiệm của phương trình vi phân hàm sẽ tồn tại nghiệm Φ2(t) = Φ1(t) với t1− τ ≤ t ≤ t1 và Φ2(t1) = Φ+1 , nghiệm x(t) của hệ tồn tại trên [t1, t2) và mở rộng tại t = t2 là Φ(t2 + 0) = J2(Φ1(t−2 )) =Φ + 2 và x(t, t0,ϕ) =Φ2(t) với t1 ≤ t < t2. Chứng minh tương tự ta cóΦk(t) là nghiệm của hệ (2.31) trên đoạn [tk−1, tk) với k=3,4,..., tương ứng với t = tk ta có: Φ(tk +0) = Jk(Φk(t−k )) =Φ + k . Theo định lý về tồn tại nghiệm của phương trình vi phân hàm, tồn tại nghiệm Φk+1(t) trên [tk, tk+1) sao choΦk+1(t) =Φk(t) với tk−τ ≤ t ≤ tk vàΦk+1(tk) =Φ+k . Vậy nghiệm x(t, t0,ϕ) của hệ (2.31) tồn tại và mở rộng tại tk+1, k = 2,3, ... . Hơn nữa nghiệm x(t) = x(t, t0,ϕ) của hệ xác định trên [t0,∞), vì tk → ∞ và [t0, t1)∪ [tk, tk+1), k = 1,2, .... Với các điều kiện (H1)− (H3) theo định lý tồn tại duy nhất của phương trình vi phân hàm, nên với mỗi t ∈ [tk, tk+1) Φk(t),k = 1,2, ... là duy nhất nên nghiệm x(t, t0,ϕ) của hệ (2.31) là duy nhất. * Chú ý: Khi (t0,ϕ) ∈ R×PC, và θ1,θ2, ...,θs là các điểm gián đoạn của ϕ, thỏa mãn liên tục phải và tồn tại giới hạn trái, bằng cách tương tự như trên ta xét tại các điểm xung tk = θl + τ,k = 1,2, ..., l = 1,2, ...,s. Ví dụ 2.4.2. Xét phương trình vi phân hàm có xung:{ x(t) = x(t−1), t 6= tk, t ≥ t0, x(tk) = 2x(t−k ), tk = 2k,k = 1,2.... (2.33) 38 Thỏa mãn thời điểm ban đầu x(t) = t,(0 ≤ t ≤ 1), t0 = 1. Với t1 = 2 là hiệu ứng xung đầu tiên ta có nghiệm x(t) = x(t, t0,ϕ), của hệ (2.33) trên [0,2) là:{ x(t) = ϕ(t0)+ ∫ t t0 x(s−1)ds, t ∈ [1,2), x(t) = ϕ(t), t ∈ [0,1], suy ra { x(t) = 1+ ∫ t 1 x(s−1)ds, t ∈ [1,2), x(t) = t, t ∈ [0,1], hay x(t) = 1+ 1 2 (t−1)2, t ∈ [1,2), x(t) = t, t ∈ [0,1]. Với t2 = 4 ta tìm nghiệm của hệ (2.33) trên đoạn [2,4). Trước tiên ta tìm nghiệm trên đoạn [2,3], ta có x(t1) = 2x(t−1 ) = 3 nênx(t) = x(t1)+ ∫ t t1 x(s−1)ds, t ∈ [2,3], x(t) = 1+ 1 2 (t−1)2, t ∈ [1,2], suy ra x(t) = 3+ ∫ t 2 x(s−1)ds, t ∈ [2,3], x(t) = 1+ 1 2 (t−1)2, t ∈ [1,2], hay  x(t) = 3+(t−2)+ 1 6 (t−2)3, t ∈ [2,3], x(t) = 1+ 1 2 (t−1)2, t ∈ [1,2]. Nghiệm trên [3,4)x(t) = x(3)+ ∫ t 3 x(s−1)ds, t ∈ [3,4), x(t) = 3+(t−2)+ 1 6 (t−2)3, t ∈ [2,3], 39 suy ra  x(t) = 25 6 + ∫ t 3 x(s−1)ds, t ∈ [3,4), x(t) = 3+(t−2)+ 1 6 (t−2)3, t ∈ [2,3], hay  x(t) = 25 6 +3(t−3)+ 1 2 (t−3)2 + 1 24 (t−3)4, t ∈ [3,4), x(t) = 3+(t−2)+ 1 6 (t−2)3, t ∈ [2,3]. Vậy nghiệm của hệ (2.33) phương trình trên [0,4) là: x(t) = t, t ∈ [0,1], x(t) = 1+ 1 2 (t−1)2, t ∈ [1,2), x(t) = 3+(t−2)+ 1 6 (t−2)3, t ∈ [2,3], x(t) = 25 6 +3(t−3)+ 1 2 (t−3)2 + 1 24 (t−3)4, t ∈ [3,4) Tương tự, ta mở rộng nghiệm trên một đoạn hữu hạn tùy ý. 2.4.2. Các định lý kiểu Razumikhin Hàm V (t,x) : [t0;∞)×S(ρ)→ R+ thuộc lớp V0 nếu (A1). V (t,x) liên tục trên các tập [tk−1, tk)× S(ρ), với mọi x ∈ S(ρ), giới hạn lim (t,y)→(t−k ,x) V (t,y) =V (t−k ,x) tồn tại, k = 1,2.... (A2). V (t,x) là Lípschitz theo x ∈ S(ρ), và với mọi t ≥ t0, V (t,0)≡ 0. Cho V ∈V0, với (t,x) ∈ [tk−1, tk)×S(ρ), D+V dọc theo nghiệm x(t) của (2.31) được đinh nghĩa: D+V (t,x(t)) = limsup δ→0+ 1 δ [V (t+δ ,x(t+δ ))−V (t,x(t))]. Với η > 0, đặt PC(η) = {φ ∈ PC : ||φ ||τ < η} Giả sử f (t,0) = 0,Jk(0) = 0, phương trình (2.31) có nghiệm tầm thường . Định nghĩa 2.4.3. Nghiệm tầm thường của (2.31) gọi là: (S1). Ổn định đều nếu với ∀ε > 0, tồn tại η = η(ε) ≥ 0 sao cho ϕ ∈ PC(η), thỏa mãn ||x(t, t0,ϕ)|| ≤ ε với t ≥ t0. (S2). Ổn định tiệm cận đều nếu nó ổn định đều và tồn tại η > 0 với mọi ε > 0 có T = T (ε) > 0, sao cho ϕ ∈ PC(η), ta có ||x(t, t0,ϕ)|| ≤ ε với t ≥ t0 +T. 40 (S3). Ổn định mũ toàn cục nếu với ϕ ∈ PC(η), tồn tại α > 0,M ≥ 1 sao cho ||x(t, t0,ϕ)|| ≤M||ϕ||τe−α(t−t0), với mọi t ≥ t0. Kí hiệu: K = {ω ∈C(R+,R+) : tăng chặt và ω(0) = 0}. Ω1 = {ψ ∈C(R+,R+) : ψ(s)≥ s với s > 0 }. Ω2 = {ψ ∈C(R+,R+) : ψ(s) > s với s > 0 }. Ω3 = {H ∈C(R+,R+) : H(0) = 0,H(s) > 0 với s > 0 }. Định lý 2.4.4. Giả sử tồn tại các hàm V ∈ V0,ω1,ω2 ∈ K,ψk ∈ Ω1,H ∈ Ω3 sao cho: (i) ω1(||x||)≤V (t,x)≤ ω2(||x||), với (t,x) ∈ [t0,∞)×S(ρ), (ii) Với mọi k ∈ N, ψk(s)s là không giảm với s > 0 và V (tk,Jk(x))≤ ψk(V (t−k ,x)), với x ∈ S(ρ1). Tồn tại M ≥ 1 sao cho với a > 0, ∞ ∑ k=1 [ψk(a)−a] a < ∞ và lim k→∞ ψk(ψk−1(...(ψ1(a))))/a≤M. (iii) D+V (t,x(t))≤−H(||x(t)||), với V (t+ s,x(t+ s)) < P(V (t,x(t))),−τ ≤ s≤ 0. Khi đó nghiệm tầm thường của (2.31) là ổn định đều. Chứng minh. Chọn ε > 0 sao cho ε ≤ ρ1, η = η(ε) > 0 thỏa mãn Mω2(η) ≤ ω1(ε). Với ϕ ∈ PC(η) và x(t) = x(t, t0,ϕ) là nghiệm của (2.31). Đặt V(t)=V(t,x(t)), giả sử t ∈ [t0, t1) . Ta chứng minh V (t)≤ ω2(η) t0 ≤ t < t1. (2.34) Giả sử (2.34) không xẩy ra, tức là tồn tại một t˜ ∈ (t0, t1) sao cho V (t˜) ≥ ω2(η) ≥ V (t0). Vậy tồn tại t∗ ∈ (t0, t˜) sao cho V˙ (t∗)> 0 vàV (t∗+ s)≤V (t∗) với−τ ≤ s≤ 0 mâu thuẫn (iii) vậy ta có (2.34). Từ (ii) và (2.34) ta có: V (t1) =V (t1,J1(x(t−1 )))≤ ψ1(V (t−1 ))≤ ψ1(ω2(η)) vì ψk(s) là hàm không giảm với mọi s > 0. Tương tự ta có: V (t)≤ ψ1(ω2(η)), t1 ≤ t < t2,V (t2)≤ ψ2(ψ1(ω2(η))), 41 bằng quy nạp ta có: V (t)≤ ψi+2(ψi+1(...(ψ1(ω2(η))))), ti+1 ≤ t < ti+2. Vậy từ điểu kiện (ii) ta có: ω1(||x(t)||)≤V (t)≤Mω2(η)≤ ω1(ε), t ≥ t0. Vậy nghiệm tầm thường của (2.31) ổn định đều. Định lý 2.4.5. Giả sử tồn tại các hàm V ∈ V0,ω1,ω2 ∈ K,ψk ∈ Ω1,H ∈ Ω3 sao cho: (i) ω1(||x||)≤V (t,x)≤ ω2(||x||), với (t,x) ∈ [t0,∞)×S(ρ), (ii) Với mọi k ∈ N, ψk(s)s là không giảm với s > 0 và V (tk,Jk(x))≤ ψk(V (t−k ,x)), với x ∈ S(ρ1). Tồn tại M ≥ 1 sao cho với a > 0, ∞ ∑ k=1 [ψk(a)−a] a < ∞ và lim k→∞ ψk(ψk−1(...(ψ1(a))))/a≤M. (iii) Tồn tại hàm P(s) liên tục với s≥ 0 và P(s)≥Ms với s > 0, sao cho: D+V (t,x(t))≤−H(||x(t)||), với V (t+ s,x(t+ s)) < P(V (t,x(t))),−τ ≤ s≤ 0. Khi đó nghiệm tầm thường của (2.31) là ổn định tiệm cận đều. Chứng minh. Với ε = ρ1 > 0, chọn η > 0 sao cho Mω2(η) = ω1(ρ1). Từ định lý (2.4.4) với ϕ ∈ PC(η) ta có: ||x(t, t0,ϕ)|| ≤ ρ1, và V (t,x(t, t0,ϕ))≤Mω2(η), t ≥ t0− τ. (2.35) Với ε > 0(ε 0 sao cho P(s)−Ms> d với M−1ω1(ε)≤ s≤Mω2(η). Lấy N = N(ε)> 0 là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho Mω2(η)≤M−1[ω1(ε)+Nd]. Kí hiệu: G(a) = ∞ ∑ k=1 [ ψk(a) a −1],a > 0. γ = in f{H(s) : ω−12 (M−1ω1(ε))≤ s≤ ρ1}. h = max {Mω2(η)[1+G(Mω2(η))] γ ,τ } . 42 Ta chứng minh V (t)≤ ω1(ε)+(N− i)d, t ≥ t0 +(2i+1)h, i = 0,1, ...,N−1. (2.36) Thật vậy, bằng quy nạp với i= 0, (2.36) đúng. Giả sử với i (0≤ i<N ), (2.36) đúng, ta chứng minh với i+1, (2.36) đúng. Kí hiệu Ii = [t0 +2(i+1)h, t0 +(2i+3)h]. Khi đó tồn tại t∗ ∈ Ii sao cho: V (t∗)≤M−1[ω1(ε)+(N− i−1)d]. (2.37) Bằng phản chứng, giả sử (2.37) không xẩy ra tức là với mọi t ∈ Ii, V (t) > M−1[ω1(ε)+(N− i−1)d] thì với t ∈ Ii ta có M−1ω1(ε) <V (t)≤Mω2(η) và P(V (t)) > MV (t)+d > ω1(ε)+(N− i)d ≥V (t+ s), −τ ≤ s≤ 0. Từ (iii) với t ∈ Ii, D+V (t)≤−H(||x(t)||)≤−γ Với t > t0 +2(i+1)h = si, t ∈ Ii, ta có: V (t)≤V (si)− γ(t− si)+ ∑ si<tk≤t [V (tk)−V (t−k )] ≤Mω2(η)− γ(t− si)+ ∑ si<tk≤t V (t−k )[ ψk(V (t−k )) V (t−k ) −1] ≤Mω2(η)− γ(t− si)+ ∞ ∑ k=1 Mω2(η)[ ψk(Mω2(η)) Mω2(η) −1] = Mω2(η)[1+G(Mω2(η))]− γ(s− ti). Vậy với t = t0 +(2i+3)h, thì V (t0 +(2i+3)h)≤Mω2(η)[1+G(Mω2(η))] − γMω2(η)[1+G(Mω2(η))] γ = 0, mâu thuẫn, vậy ta có (2.37). Lấy q = min{k ∈ N : tk > t∗}. Ta chứng minh V (t)≤M−1[ω1(ε)+(N− i−1)d] t∗ ≤ t < tq. (2.38) nếu (2.38) không xẩy ra thì tồn tại t˜ ∈ (t∗, tq) sao cho: V (t˜) > M−1[ω1(ε)+(N− i−1)d]≥V (t∗), 43 khi đó tìm được t˜∗ ∈ (t∗, t˜] sao cho: V˙ (t˜∗) > 0, V (t˜∗)≥M−1[ω1(ε)+(N− i−1)d], V (t˜∗)≥V (u), t∗ ≤ u≤ t˜∗. Chú ý với t˜∗− τ ≤ u≤ t˜∗, V (u)≤ ω1(ε)+(N− i)d = MM−1[ω1(ε)+(N− i−1)d]+d ≤MV (t˜∗)+d < P(V (t˜∗)), vậy V (t˜∗+ s) < P(V (t˜∗)) với−τ ≤ s≤ 0. Từ (iii) chúng ta có V˙ (t˜∗)≤ 0, mâu thuẫn. Vậy ta có (2.38). Từ (ii) và (2.38) ta có: V (tq)≤ ψq(V (t−q ))≤ ψq(M−1[ω1(ε)+(N− i−1)d]). Đặt L = M−1[ω1(ε)+(N− i−1)d)], chứng minh tương tự bằng qui nạp ta có: V (t)≤ ψq+ j+1(ψq+ j(...(ψq(L)))), tq+ j ≤ t ≤q+ j+1, j = 0,1, ..., kết hợp với (ii) ta có: V (t)≤ML = ω1(ε)+(N− i−1)d), t ≥ t∗. Vậy với i+1 ta có (2.36) đúng. Vậy ta có (2.36) đúng với i = 0,1, ...N, chọn i = N ta có: ω1(||x(t)||)≤V (t)≤ ω1(ε), t ≥ t0 +(2N+1)h Lấy T = (2N+1)h thì ||x(t)|| ≤ ε với t ≥ t0 +T. Định lý được chứng minh. Hệ quả 2.4.6. Nếu các điều kiện (i),(ii),(iii) trong định lý (2.4.5) với ψk(s) = (1+ bk)s,bk ≥ 0, ∞ ∑ k=1 bk <∞ và M = ∞ ∏ k=1 (1+bk), thì nghiệm tầm thường của (2.31) là ổn định tiệm cận đều. Ví dụ 2.4.7. Xét hệ phương trình vi phân có xung:{ x˙(t) = f (t,x(t))+g(t,x(t− τ))+ ∫ tt−τ h(t,x(s))ds, t > 0, x(tk) = Jk(x(t−k )) k ∈ N. (2.39) trong đó τ > 0,0 < t1 < t2 < ... < tk < tk+1 < ..., tk→ ∞ khi k→∞, f ,g,h∈C(R+×R), |g(t,x)| ≤α(t)|x|, |h(t,x)| ≤ β (t)|x|, f (t,0)= 0,Jk(x)∈ C(R,R), α,β ∈C(R+,R+). Giả sử 44 (i) |Jk(x)| ≤ |1+ ck|.|x|, và ∞ ∑ k=1 |ck|< ∞, (ii) Với các hằng số q > 1,L > 1 sao cho: f (t,x) x +q √ M[α(t)+ ∫ t t−τ β (s)ds]≤−L 2 , t ≥ 0,x 6= 0, trong đó M = ∞ ∏ k=1 (1+ 2|ck|+ c2k) < ∞. Khi đó nghiệm tầm thường của (2.39) ổn định tiệm cận. Chứng minh. Chọn V (t,x) =V (x) = x2,P(s) = q2Ms, thì V (tk,Jk(x)) = J2k (x)≤ (1+2|ck|+ c2k)x2 = (1+bk)V (x) = ψk(V (t−k ,x)), trong đó ψk(s) = (1+ bk)(s),bk = 2|ck|+ c2k . Với nghiệm x(t) của (2.39), sao cho V (x(t+ s)) < P(V (x(t))),−τ ≤ s≤ 0, ta có |x(t+ s)|< q√M|x(t)|. Do đó: D+V (x(t))≤ 2x(t) f (t,x(t))+2α(t)|x(t)|.|x(t− τ)| +2|x(t)| sup t−τ≤s≤t |x(s)| ∫ t t−τ β (s)ds ≤ 2( f (t,x(t)) x(t) +q √ M[α(t)+ ∫ t t−τ β (s)ds]x2(t))≤−Lx2(t). do hệ quả (2.4.6) nghiệm của (2.39) ổn định tiệm cận đều. Nhận xét 2.4.8. Giả sử phương trình vi phân hàm có xung (2.31) có nghiệm x1(t) = x1(t, t0,ϕ1), thỏa mãn điều kiện ban đầu:{ x1(t, t0,ϕ1) = ϕ1(t− t0), t0− τ ≤ t ≤ t0, x1(t0, t0,ϕ1) = ϕ1(0). (2.40) Định nghĩa 2.4.9. Nghiệm x1(t) của (2.31) gọi là: (S4). Ổn định đều nếu với mỗi t0 ∈ R và ε > 0 tồn tại η = η(ε) ≥ 0 sao cho ∀ϕ ∈ PC, ||ϕ−ϕ1||τ < η , thỏa mãn ||x(t, t0,ϕ)− x1(t, t0,ϕ1)|| ≤ ε với ∀t ≥ t0. (S5). Ổn định tiệm cận đều nếu nó ổn định đều và với mọi ε > 0 tồn tại η = η(ε)> 0, T = T (ε)> 0, sao cho ∀ϕ ∈ PC, ||ϕ−ϕ1||< η ta có ||x(t, t0,ϕ)−x1(t, t0,ϕ1)|| ≤ ε với t ≥ t0 +T . Bằng cách chứng minh tương tự định lý (2.4.5)ta có định lý sau: 45 Định lý 2.4.10. Giả sử tồn tại các hàm V ∈ V0,ω1,ω2 ∈ K,ψk ∈ Ω1,H ∈ Ω3 sao cho: 1. V (t,x1(t)) = 0, t ∈ [t0,∞), ω1(||x− x1(t)||)≤V (t,x)≤ ω2(||x− x1(t)||),(t,x) ∈ [t0,∞)×S(ρ), 2. Với mọi k ∈ N, ψk(s)s là không giảm với s > 0 và V (tk,Jk(x))≤ ψk(V (t−k ,x)), với x ∈ S(ρ1). Tồn tại M ≥ 1 sao cho với a > 0, ∞ ∑ k=1 [ψk(a)−a] a < ∞, lim k→∞ ψk(ψk−1(...(ψ1(a))))/a≤M. 3. Tồn tại hàm P(s) liên tục với s≥ 0 và P(s)≥Ms với s > 0, sao cho D+V (t,x(t))≤−H(||x(t)−x1(t)||), với V (t+s,x(t+s))<P(V (t,x(t))),−τ ≤ s≤ 0. Khi đó nghiệm x1(t) của (2.31) là ổn định tiệm cận đều. Định lý 2.4.11. Giả sử tồn tại hàm V ∈V0, và các hằng số p,c1,c2,λ > 0, α > τ , sao cho các điều kiện sau thỏa mãn: (i). c1||x||p ≤V (t,x)≤ c2||x||p với (t,x) ∈ [t0,∞)×S(ρ). (ii). D+V (t,x(t))≤ 0, với V (t+ s,x(t+ s))≤ qV (t,x(t)), s ∈ [−τ,0], t ∈ [tk−1, tk), k ∈ N, q≥ e2λα . (iii). V (tk,Jk(ϕ))≤ dkV (t−k ,ϕ(0)), trong đó dk > 0,∀k ∈ N là hằng số. (iv). τ ≤ tk− tk−1 ≤ α và ln(dk)+λα <−λ (tk+1− tk). Khi đó nghiệm tầm thường của (2.31) là ổn định mũ toàn cục. Chứng minh. Chọn M>1 sao cho: c2||ϕ||pτ < M||ϕ||pτ e−λ (t1−t0) ≤ qc2||ϕ||pτ . (2.41) Với x(t) = x(t, t0,ϕ) là nghiệm của(2.31), xt0 = ϕ . Đặt v(t) =V (t,x) ta chứng minh v(t)≤M||ϕ||pτ e−λ (tk−t0), t ∈ [tk−1, tk),k ∈ N. (2.42) Thật vậy, bằng phương pháp quy nạp ta có: Với k=1 ta chứng minh v(t)≤M||ϕ||pτ e−λ (t1−t0), t ∈ [t0, t1), (2.43) từ (i) và (2.41) ta có với t ∈ [t0− τ, t0], v(t)≤ c2||x||p ≤ c2||ϕ||pτ ≤M||ϕ||pτ e−λ (t1−t0). Nếu (2.43) không xẩy ra thì tồn tại t˜ ∈ (t0, t1), sao cho: v(t˜) > M||ϕ||pτ e−λ (t1−t0) > c2||ϕ||pτ ≥ v(t0 + s),s ∈ [−τ,0]. (2.44) 46 Do đó, tồn tại t∗ ∈ (t0, t˜) sao cho: v(t∗) = M||ϕ||pτ e−λ (t1−t0) và v(t)≤M||ϕ||pτ e−λ (t1−t0) với t ∈ [t0− τ, t∗], (2.45) và tồn tại t∗∗ ∈ [t0, t∗) sao cho: v(t∗∗) = c2||ϕ||pτ , và v(t)≥ c2||ϕ||pτ , với t ∈ [t∗∗, t∗]; (2.46) khi đó với t ∈ [t∗∗, t∗] v(t+ s)≤M||ϕ||pτ e−λ (t1−t0) ≤ qc2||ϕ||pτ ≤ qv(t),s ∈ [−τ.0]. (2.47) Vậy từ điều kiện (ii) ta có D+v(t) ≤ 0 với t ∈ [t∗∗, t∗] thì v(t∗∗) ≥ v(t∗), tức là c2||ϕ||pτ ≥M||ϕ||pτ e−λ (t1−t0) trái với (2.41). Vậy với k = 1 đúng. Giả sử rằng với k = 1,2, ...m ta có: v(t)≤M||ϕ||pτ e−λ (tk−t0),∀t ∈ [tk−1, tk),k = 1,2, ...m, (2.48) thì v(t)≤M||ϕ||pτ e−λ (tm+1−t0),∀t ∈ [tm, tm+1). (2.49) Bằng phản chứng giả sử (2.49) không xẩy ra, tức là tồn tại t˜ ∈ [tm, tm+1) sao cho v(t˜) > M||ϕ||pτ e−λ (tm+1−t0). Từ v(tm)≤ dmv(t−m ) < e−λαe−λ (tm+1−tm)M||ϕ||pτ e−λ (tm−t0) < M||ϕ||pτ e−λ (tm+1−t0), nên v(tm) < M||ϕ||pτ e−λ (tm+1−t0) < v(t˜). Do đó tồn tại t∗ ∈ (tm, t˜) sao cho: v(t∗) = M||ϕ||pτ e−λ (tm+1−t0) và D+v(t∗) > 0, (2.50) với t∗+ s ∈ [tm−1, t˜), s ∈ [−τ.0], từ τ ≤ tk− tk+1 ≤ α , (2.48), ta có: v(t∗+ s)≤M||ϕ||pτ e−λ (tm−t0) = M||ϕ||pτ e−λ (tm+1−t0)eλ (tm+1−tm) ≤ eλαM||ϕ||pτ e−λ (tm+1−t0) ≤ qv(t∗),s ∈ [−τ.0], từ điều kiện (ii), ta có D∗v(t∗) ≤ 0, mâu thuẫn với (2.50) vậy (2.42) được chứng minh. Vậy v(t)≤M||ϕ||pτ e−λ (t−t0), t ∈ [tk−1, tk), 47 kết hợp với điều kiện (i) ta có: ||x|| ≤M∗||ϕ||τe− λ p (t−t0), t ∈ [tk−1, tk),k ∈ N, với M∗ = max{1, [Mc1 ] 1 p } thì nghiệm tầm thường của hệ (2.31) là ổn định mũ toàn cục. Ví dụ 2.4.12. Xét hệ phương trình vi phân hàm có xung sau: x˙1(t) = x2(t)−0.001x1(t), t ≥ 0, t 6= k, x˙2(t) =−x1(t)−0.001x2(t)+ x23(t), t ≥ 0, t 6= k, x˙3(t) =−(0.005+ x2(t)+ t2 sin2(x1(t))x3(t)+0.001x3(t−0.007), t ≥ 0, t 6= k, x(k) = d 1 2 k x(k −),k ∈ N, (2.51) trong đó x = (x1,x2,x3)T ;dk,τ ≥ 0 sao cho dk thỏa mãn dk ≤ e−(α+1)λ với α,λ là các hằng số dương. Khi đó nghiệm của (2.51) là ổn định mũ. Chứng minh. Chọn V (t,x) = 1 2 x2 thỏa mãn điều khiện (i) của định lý (2.4.11), với c1 = c2 = 1 2 , p = 2. Đạo hàm trên bên phải của V dọc theo (2.51) D+V (t,x(t)) = x1(t)x˙1(t)+ x2(t)x˙2(t)+ x3(t)x˙3(t) =−0.001(|x1(t)|2 + |x2(t)|2 + |x3(t)|2)−0.004|x3(t)|2 − t2 sin2(x1(t))x23(t)+0.001x3(t)x3(t−0.07) ≤−0.001||x(t)||2− t2 sin2(x1(t))x23(t)+0.0005x23(t−0.07). Chọn λ = 0.25,α = 1,q= 2 > e0.5, từ qV (t,ϕ(0))≥V (t+ s,ϕ(s)),s ∈ [−0.5,0] ta có ||x(t+ s)||2 ≤ 2||x(t)||2,s ∈ [−0.07,0], vậy D+V (t,x(t))≤−0.001||x(t)||2− t2 sin2(x1(t))x23(t)+0.001||x(t)||2 =−t2 sin2(x1(t))x23(t)≤ 0, thỏa mãn điều kiện (ii) của định lý. Hơn nữa V (k,x(k)) = dkV (k−,x(k−)), thỏa mãn điều kiện (iii),(iv). Vậy nghiệm của (2.51) là ổn định mũ toàn cục. 48 2.5. Áp dụng cho mô hình quần thể Xét hệ: x˙i(t) = xi(t) [ bi(t)−aii(t)xi(t)− n ∑ j=1 i6= j ai j(t)x j(t− τi j(t)) ] , t 6= tk, xi(tk) = xi(t−k )+ Iik(xi(t − k )), i = 1,2, ...,n,k = 1,2, ..., (2.52) trong đó, n≥ 2, tồn tại hằng số τ sao cho 0≤ τi j(t)≤ τ. Xét các điều kiện: H.1.1. bi ∈C[R+,R], i = 1, ...,n. H.1.2. ai j,τi j ∈C[R+,R+], i, j = 1, ...,n. H.1.3. 0 < t1 < t2 < ...., lim k→∞ tk = ∞. H.1.4. Iik ∈C[R+,R], i = 1, ...,n,k = 1,2, .... H.1.5. xi+ Iik(xi)≥ 0,xi ∈ R+, i = 1,2, ...,n,k = 1,2, ... Với J ∈ R, đặt CB[J,Rn] = {σ ∈C[J,Rn] : σ(t)bị chặn trên J}. Với ϕ ∈CB[[−τ,0],Rn],ϕ = col(ϕ1,ϕ2, ...,ϕn). x(t) = x(t,0,ϕ) = col(x1(t,0,ϕ),x2(t,0,ϕ), ...,xn(t,0,ϕ)) là nghiệm của (2.52), thỏa mãn điều kiện ban đầu:{ xi(t,0,ϕ)) = ϕi(s),s ∈ [−τ,0], xi(0,0,ϕ)) = ϕi(0), i = 1, ...,n. (2.53) Nhận xét 2.5.1. Với các điều kiện H.1.1-H.1.4 theo định lý (tồn tại nghiệm của phương trình vi phân hàm có xung) hệ (2.52) có nghiệm trên [0,∞). Bổ đề 2.5.2. Với các điều kiện H.1.1-H.1.5 và H.1.6. x(t) = x(t,0,ϕ) = col(x1(t,0,ϕ),x2(t,0,ϕ), ...,xn(t,0,ϕ)) là nghiệm của ((2.52),(2.53)), sao cho: xi(s) = ϕi(s)≥ 0,supϕi(s) 0, i = 1, ...n,s ∈ [−τ,0]. Khi đó xi(t) > 0, i = 1, ...n, t ∈ [0,∞). Chứng minh. Thật vậy, do ϕi(0)> 0 và (H.1.5.) nghiệm của hệ phương trình ((2.52), (2.53)) là: xi(t) = ϕi(0)exp {∫ t 0 [ bi(s)−aii(s)xi(s) − n ∑ j=1 i6= j ai j(s)x j(s− τi j(s)) ] ds } , t ∈ [t0, t1), 49 xi(t) = xi(tk)exp {∫ t tk [ bi(s)−aii(s)xi(s) − n ∑ j=1 i 6= j ai j(s)x j(s− τi j(s)) ] ds } , t ∈ [tk, tk+1), xi(tk) = xi(t−k )+ Iik(xi(t − k ))≥ 0, i = 1,2, ...,n,k = 1,2, .... Vây xi(t) > 0, i = 1, ...n, t ∈ [0,∞). Bổ đề 2.5.3. (1) Với các điều kiện H.1.1-H.1.6, và (2) ui(t)≥ 0 là nghiệm cực đại của hệ phương trình:u˙i(t) = ui(t) [ |b∗i |− a¯iiui(t) ] , t 6= tk, ui(tk) = ui(t−k )+ I ∗ ik, i = 1,2, ...,n,k = 1,2, ..., (2.54) trong đó a¯ii = inf 0≤s<∞ aii(s),b∗i = sup 0≤s<∞ bi(s), I∗ik = sup{Iik(xi(tk))}, i = 1,2, ...,n,k = 1,2, ..... (3) vi(t)≥ 0 là nghiệm cực tiểu của hệ phương trình: v˙i(t) = vi(t) [ b¯i−a∗iivi(t)− n ∑ j=1 i6= j a∗i j(t)supt−τ≤s≤t u j(s) ] , t 6= tk, vi(tk) = vi(t−k )+ I¯ik, i = 1,2, ...,n,k = 1,2, ..., (2.55) trong đó a∗ii = sup 0≤s<∞ aii(s),a∗i j = sup 0≤s<∞ ai j(s), b¯i = inf 0≤s<∞ bi(s), I¯ik = inf{Iik(xi(tk))}, i, j = 1,2, ...,n,k = 1,2, .... (4) 0≤ vi(0)≤ ϕi(0)≤ ui(0), i = 1, ...,n. Khi đó vi(t)≤ xi(t)≤ ui(t), i = 1, ...,n, t ∈ [0,∞). Chứng minh. Từ bổ đề (2.5.2) ta thấy rằng nghiệm của ((2.52),(2.53)) thỏa mãn xi > 0, i = 1, ...,n. Từ (2.52) với i = 1, ...n, ta có:x˙i(t)≤ xi(t) [ |b∗i |− a¯iixi(t) ] , t 6= tk, xi(tk)≤ xi(t−k )+ I∗ik,k = 1,2, ..., 50 và  x˙i(t)≥ xi(t) [ b¯i−a∗iixi(t)− n ∑ j=1 i 6= j a∗i j(t) sup t−τ≤s≤t x j(s) ] , t 6= tk, xi(tk)≥ xi(t−k )+ I¯ik,k = 1,2, ... Vậy ta có điều phải chứng minh. Bổ đề 2.5.4. Với các điều kiện H.1.1-H.1.6, và b¯i ≥ n ∑ j=1 j 6=i a∗i jb∗j a¯ii , i, j = 1, ...,n, αi ≤ xi+ Iik(xi)≤ βi,xi ∈ R+, i = 1, ...,n,k = 1,2, ... trong đó αi = b¯i− n ∑ j=1 j 6=i a∗i jb∗j a¯ii a∗ii , βi = |b∗i | a¯ii , i = 1, ...,n. Khi đó αi ≤ xi(t)≤ βi, t ∈ [0,∞), i = 1, ...,n. Chứng minh. Theo bổ đề (2.5.3) ta có: vi(t)≤ xi(t)≤ ui(t), i = 1, ...,n, t ∈ [0,∞). Nên ta chỉ cần chứng minh tồn tại các hằng số dương αi,βi sao cho: αi ≤ vi(t)≤ xi(t)≤ ui(t)≤ βi, i = 1, ...,n, t ∈ [0,∞). Với t = tk,k = 1,2, ... hiển nhiên. Với t ∈ [0, t1)∪ [tk, tk+1),k = 1,2, ... ta chứng minh ui(t)≤ βi, i = 1, ...,n. (2.56) Giả sử (2.56) không xẩy ra, khi đó tồn tại t ∈ [0, t1)∪ [tk, tk+1),k= 1,2, ..., t 6= tk sao cho ui(t) > βi, i = 1, ...,n, thì u˙i(t) < ui(t) [|b∗i |− a¯iiui(t)]< 0. từ đây dẫn đến mâu thuẫn vậy ta có (2.56) với t ∈ [0, t1)∪ [tk, tk+1),k = 1,2, .... Vậy xi(t)≤ ui(t)≤ βi, i = 1, ...,n, t ∈ [0,∞). Tương tự ta có αi ≤ vi(t)≤ xi(t), i = 1, ...,n, t ∈ [0,∞). 51 Hệ quả 2.5.5. Với điều kiện của bổ đề (2.5.4) và m = inf 0≤i≤n αi,M = sup 0≤i≤n βi. Khi đó m≤ xi(t)≤M, t ∈ [0,∞). Với φ ∈CB[[−τ,0],Rn],φ = col(φ1,φ2, ...,φn). x∗(t) = x∗(t,0,φ) = col(x∗1(t,0,φ),x ∗ 2(t,0,φ), ...,x ∗ n(t,0,φ)) là nghiệm của (2.52), thỏa mãn điều kiện ban đầu{ x∗i (t,0,φ)) = φi(s),s ∈ [−τ,0], x∗i (0,0,φ)) = φi(0), i = 1, ...,n. (2.57) sao cho: φi(s)≥ 0, supφi(s) 0, i = 1, ...n. Định lý 2.5.6. Giả sử: (1) Các điều kiện của bổ đề (2.5.4) và hệ quả (2.5.5) thỏa mãn. (2) Tồn tại số thực q > 1 sao cho: a = m min 1≤i≤n ai j(t) > b = qM max 1≤i≤n ( n ∑ j=1 j 6=i ai j(t) ) , t 6= tk,k = 1,2, .... Khi đó nghiệm x∗(t) của hệ (2.52) ổn định tiệm cận đều. Chứng minh. Xét hàm V (t,x(t)) = n ∑ i=1 ∣∣ln xi(t) x∗i (t) ∣∣. Theo định lý giá trị trung bình và hệ quả (2.5.5) trên mỗi [0, t1), [tk, tk+1), k = 1,2, ..., i = 1, ...,n, ta có: 1 M |xi(t)− x∗i (t)| ≤ | lnxi(t)− lnx∗i (t)| ≤ 1 m |xi(t)− x∗i (t)|. (2.58) Từ (2.58) ta có: V (0,x(0)) = n ∑ i=1 | lnxi(0)− lnx∗i (0)| ≤ 1 m n ∑ i=1 |xi(0)− x∗i (0)| ≤ 1 m ||ϕ−φ || 52 Với t > 0, t = tk,k = 1,2, ..., ta có: V (tk,x(tk)) = n ∑ i=1 ∣∣ln xi(tk) x∗i (tk) ∣∣ = n ∑ i=1 ∣∣ln xi(t−k )+ Iik(xi(t−k )) x∗i (t − k )+ Iik(x ∗ i (t − k )) ∣∣≤ n∑ i=1 ∣∣ln M m ∣∣≤ n∑ i=1 ∣∣ln m M ∣∣ ≤ n ∑ i=1 ∣∣ln xi(t−k ) x∗i (t − k ) ∣∣=V (t−k ,x(t−k )). (2.59) Với t ≥ 0, t 6= tk,k = 1,2, ..., ta có: D+V (t,x(t)) = n ∑ i=1 ( x˙i(t) xi(t) − x˙ ∗ i (t) x∗i (t) ) sign(xi(t)− x∗i (t)) ≤ n ∑ i=1 [ −aii(t)|xi(t)− x∗i (t)|+ n ∑ j=1 i 6= j ai j(t)|x j(t− τi j(t))− x∗j(t− τi j(t))| ] ≤ min 1≤i≤n ai j(t) n ∑ i=1 |xi(t)− x∗i (t)| + max 1≤i≤n ( n ∑ j=1 j 6=i ai j(t) ) n ∑ j=1 i 6= j |x j(t− s)− x∗j(t− s)|. Chọn P(s) = qs,s≥ 0 với nghiệm x(t) của (2.52) sao choV (x(t+s)))<P(V (x(t))), −τ ≤ s≤ 0, t ≥ 0, t 6= tk,k = 1,2, ...., ta có: 1 M n ∑ i=1 |xi(t− s)− x∗i (t− s)| ≤V (t+ s,x(t+ s)) < qV (t,x(t))≤ q 1 m n ∑ i=1 |xi(t)− x∗i (t)|,s ∈ [−τ,0], do đó n ∑ i=1 |xi(t− s)− x∗i (t− s)|< q M m n ∑ i=1 |xi(t)− x∗i (t)|,s ∈ [−τ,0]. Ta có: D+V (t,x(t))≤ (b−a) n ∑ i=1 |xi(t)− x∗i (t)|, t ≥ 0, t 6= tk,k = 1,2, .... Theo định lý ((2.4.5)) với ψk(s) = s, nghiệm x∗(t) của hệ (2.52) ổn định tiệm cận đều. 53 Ví dụ 2.5.7. Xét hệ phương trình vi phân có xung: x˙(t) = x(t)[7−12x(t)− y(t− τ12)], t 6= tk, y˙(t) = y(t)[8−2x(t− τ21)− y(t)], t 6= tk, ∆x(tk) =− 35 ( x(tk)− 12 ) ,k = 1,2, ...., ∆x(tk) =− 45 ( x(tk)−1 ) ,k = 1,2, ...., (2.60) trong đó 0 < t1 < t2 < ..., lim k→∞ tk = ∞. Hệ (2.60) có điểm cân bằng (x∗,y∗) = ( 12 ,1) theo định lý (2.5.6) với m = 1 2 ,M = 1,q ∈ (1, 74 ). Do đó (x∗,y∗) = ( 12 ,1) là ổn định tiệm cận đều. 54 KẾT LUẬN Bài toán nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân có xung là một trong những hướng nghiên cứu đang được nhiều người quan tâm, vì có nhiều ứng dụng thực tế. Trong luận văn này ngoài kiến thức chuẩn bị chúng tôi đã trình bày và chứng minh được các kết quả sau: * Đưa ra tiêu chuẩn so sánh nghiệm của hệ phương trình vi phân có xung, từ đó xây dựng hàm Lyapunop cho hệ phương trình vi phân có xung. Chứng minh một số điều kiện đủ của tính ổn định nghiệm, đặc biệt là mở rộng cho trường hợp ổn định bộ phận của hệ phương trình vi phân có xung. Đây là một kết quả quan trọng trong thực tế. *Dựa vào Phương pháp hàm Lyapunop dạng Razumikhin nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân hàm có xung. Trong khuôn khổ luận văn chỉ đưa ra hai định lý về ổn định mũ toàn cục và ổn định tiệm cận đều, cùng với đó là các ví dụ và ứng dụng vào mô hình Lotka-Voltera với trễ hữu hạn. 55 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hoàn - Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân và lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục, 2003. [2] A.V. Anokhin, On linear impulsive systems for differential equations with in- finite delay, Soviet Math. Dok. 33(1986) 220-223. [3] A.V. Anokhin, L. Berezansky, E. Braveman, Exponential stability of linear delay impulsive differential equations, J. Math. Anal.Appl. 193(1995) 923- 941. [4] A.V. Anokhin, L. Berezansky, E. Braveman, stability of linear delay impulsive differential equations, Dynamic Systems and Applications, 4 (1995) 173-188. [5] R. P. Agarwal, Difference Equations and Inequalities Theory, Methods, and Applications, Marcel Dekker, Inc, New York. Basel, 2000. [6] M. Benchohra, J. Henderson, S. Ntouyas, Impulsive differential equations and inclusions, Hindawi Publishing Corporation, 2006. [7] J.K.Hale, Theory of Functional Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 1977. [8] V.V.Kolmanovskii,V.R.Nosov, Stability of Functional Differential Equations, Academic Pree, New York, 1986. [9] Y.Kuang, Delay differential equations with Applications in Population Dy- namics, Academic Pree, Inc, 1993. [10] V. Lakshmikantham, D.D. Bainov, P.S. Simeonov, Theory of impulsive differ- ential equations, World Scientific, Singapore, 1989. [11] V. Lakshmikantham, S. Leela, Differential and Integral Inequalities, Vol. I and II , Academic Pree, New York, 1969. [12] V.Mill’man, A. Myshkis, On the stability of motion in the presence of im- pulses, Siberian Math.J.,1:233-237,1960. [13] J. Shen, J. Yan, Razumikhin type Stability treory for impulsive function differ- ential equations, Pergamon N. Analysis 33(1998) 519-531. [14] M.I. Stamova Stability analysis impulsive of function differential equations, Walter de Gruyter, 2009. 57