Đề tài Nghiên cứu lí thuyết tương đối trong một số bài tập vật lí đại cương

Đề tài “Lí thuyết tương đối trong một số bài tập vật lí đại cương” 1 vLời cảm ơn Đầu tiên em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa, các thầy cô giáo trong khoa đã giúp đỡ em trong những năm học tại khoa Vật lí và tạo điều kiện cho em được làm luận văn này. Đặc biệt em bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS. Võ Thanh Cương - người đã hết lòng giúp đỡ, chỉ bảo tận tình cho em để có ý tưởng về đề tài và hoàn thành được khoá luận này. Em xin chân thanh cám ơn thầy giáo ThS. Trịnh Ngọc Hoàng và các Thầy Cô trong tổ vật lí đại cương đã góp cho em nhiều ý kiến bổ ích để khoá luận hoàn thiện hơn. Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Khoa Vật lí và các bạn đã động viên em hoàn thành được khoá luận của mình. Tuy nhiên, đây là lần đầu tiên thực hiện một đề tài nghiên cứu nên mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhưng luận văn không tránh khỏi những sai sót. Bởi vậy em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến cuả các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để luận văn được hoàn thiện hơn. Chân thành cảm ơn. Vinh, tháng 5 năm 2008 Sinh viên làm khoá luận 2 Phần mở đầu Hiểu sâu sắc một hiện tượng vật lí mới có thể diễn giải và truyền đạt một cách chính xác bản chất hiện tượng đó. Trong tự nhiên các hiện tượng vật lí có thể chia ra làm hai nhóm đối tượng chính: các hiện tượng xảy ra trong hệ quy chiếu quán tính và các hiện tượng xảy ra trong hệ quy chiếu không quán tính. Tại sao ánh sáng có thể lan truyền trong vũ trụ (chân không), tại sao khi vật chuyển động nhanh thì không gian co lại thời gian trể đI và bao nhiêu câu hỏi như vậy chỉ có thể lí giải khi thuyết tương đối ra đời. Hàng ngày nhiều hiện tượng về lực quán tính xảy ra quanh ta, để lí giải các hiện tượng đó học sinh phải hiểu đúng bản chất của hiện tượng. Do đó trong quá trình giải bài tập Vật lí cần lựa chọn cách giải phù hợp. Vì vậy việc sử dụng kiến thức về thuyết tương đối vào giải một số bài tập Vật lí đại cương sẽ giúp chúng ta có cách nhìn mới về hiện tượng vật lí và sẽ có được ưu điểm so với cách giải khác. Đó chính là lí do vì sao em chọn đề tài “Lí thuyết tương đối trong một số bài tập vật lí đại cương”. Với mục đích trên khoá luận cần nghiên cứu các vấn đề sau: 1.Trình bày tóm tắt lí thuyết về nguyên lí tương đối Galilê: hệ quy chiếu quán tính, phép biến đổi Galilê, nội dung nguyên lí tương đối Galilê, khái niêm về lực quán tính. + Giải một số bài tập về phép biến đổi Galilê. + Nêu lí thuyết về lực quán tính và tính chất của chúng trong các hệ quy chiếu không quán tính. + Giải một số bài tập về lực quán tính. 2. Tổng quan sự ra đời, nội dung và các hệ quả của thuyết tương đối hẹp Einstein. Biểu diễn một số đại lượng theo quan điểm thuyết tương đối hẹp Einstein. 3 + Giải một số bài tập theo quan điểm thuyết tương đối. Luận văn ngoài phần mở đầu kết luận, còn có hai chương: Chương I: Tổng quan về lí thuyết tương đối Galilée. Trong chương này các vấn đề được trình bày là: 1.1.1 Hệ quy chiếu quán tính 1.1.2 phép biến đổi Galilée 1.1.3 Nguyên lí tương đối Galilée 1.1.4 Bài tập về phép biến đổi Galilée 1.2 Chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu quán tính 1.2.1 Hệ quy chiếu không quán tính chuyển động thẳng biến đổi đều 1.2.2 Bài tập về lực quán tính trong hệ qui chiếu không quán tính chuyển động thẳng biến đổi đều 1.3 Chuyển động của chất điểm trong hệ qui chiếu không quán tính quay 1.3.1 Bài tập về lực quán tính quay Chương II: Thuyết tương đối Eistein. Nội dung chương này là: 2.1 Sự ra đời của thuyết tương đối hẹp Einstein, 2.2 Thuyết tương đối hẹp Einstein. 2.3 Các hệ quả của thuyết tương đối hẹp. 2.4 Kết luận. 2.5 Biểu diễn một số đại lượng theo quan điểm thuyết tương đối hẹp Einstein 2.6 Bài tập minh họa. Trong khuôn khổ một khoá luận tốt nghiệp do lần đầu tập làm quen với phưng pháp nghiên cứu khoa học và cũng do thời gian hạn chế nên vẫn còn nhiều thiếu sót. Nếu được đầu tư nhiều hơn tôi nghĩ đây là một hướng nghiên cứu bổ ích và có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên khoa vật lí. 5 Chương I Nguyên lí tương đối galiée Từ khi định luật Newton ra đời các chuyển động cơ học đều tuân theo định luật này. Tuy nhiên trong quá trình khảo sát các chuyển động người ta pháp hiện ra một số hiện tượng “vi phạm” định luật Newton. Đó là các chuyển động diễn ra trong hệ quy chiếu không quán tính. Để giải thích cấc hiện tượng đó sau nhiều thời gian nghiên cứu Galile đã đưa ra thuyết đối Galiée. Trong thuyết này thời gian là tuyệt đố còn không gian là tương đối và để giả thích các hiện tựơng nêu trên Galilée đưa ra khái niệm lực quán tính. Lực quán tính xuất hiện trong hệ quy chiếu chuyển động có gia tốc đối với hệ quy chiếu quán tính. Với sự ra đời khái niệm lực quán tính các quy luật chuyển động được giải thích một cách rõ ràng hơn. Để nghiên cứu thuyết tương đôi Galilée ta cần đề cập tới các vấn đề sau: 1.1.1 Hệ quy chiếu quán tính Hệ quy chiếu là một hệ tọa độ dựa vào đó vị trí của mọi điểm trên vật thể và vị trí của vật thể khác được xác định đồng thời có một đồng hồ đo để xác định thời điểm của sự kiện. Quan sát định luật chuyển động của các chất điểm sẽ khác nhau trong những hệ quy chiếu khác nhau. Tuy nhiên tồn tại hệ quy chiếu mà trong đó chất điểm cô lập hoặc đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều từ một vị trí ban đầu bất kì, từ một hướng bất kì của véctơ vận tốc. Hệ quy chiếu như vậy 6 được gọi là hệ quy chiếu quán tính (hệ quy chiếu bảo toàn trạng thái chuyển động của vật). Như vậy trong hệ quy chiếu quán tính chất điểm cô lập giữ nguyên trạng thái đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều. Từ những nghiên cứu đó Galilê đã đưa ra thuyết tương đối gồm các điểm sau:  Trong hệ quy chiếu quán tính thời gian như nhau hay thời gian là tuyệt đối: t = t  Vị trí của một điểm M nào đó phụ thuộc hệ quy chiếu. Ví dụ: có hai hệ quy chiếu O, O’ (hệ O’ chuyển động với vận tốc V so với hệ O). Trong hệ O’ điểm M có toạ độ là x’. Trong hệ O toạ độ của điểm M là: x = x’ + OO’ = x’ + V.t Vậy vị trí trong không gian là tương đối.  Khoảng (khỏang cách) có tính tuyệt đối không phụ thuộc hệ quy chiếu. Thật vậy: Lấy hai điểm cố định trên O’. Độ dài L’ trong O’ được xác định: L’ = x’B- x’A Lại có: xA = x’A +V.t xB = x’B + V.t Nên độ dài L trong hệ O sẽ là: L = xA – xB = x’A – x’B = L’ Thuyết tương đối Galilê khẳng định không gian chuyển động là tương đối, thời gian là tuyệt đối. Một vật đứng yên trong hệ này nhưng có thể chuyển động thẳng đều đối với hệ kia. 1.1.1 Phép biến đổi Galilê 7 Để khảo sát chuyển động của một vật ta cần đưa ra một hệ toạ độ trong đó phương trình biểu diễn sự phụ thuộc các thành phần của toạ độ vào thời gian gọi là phương trình chuyển động. Trên một chuyển động ta có thể chọn nhiều hệ toạ độ khác nhau, nhưng trong cách chọn hệ toạ độ như thế nào các phép đo vật lí phải tuân theo thuyết tương đối Galilê. Các toạ độ trong các hệ quy chiếu khác nhau cùng mô tả một chuyển động có thể biến đổi cho nhau. Phép biến đổi đó được gọi là phép biến đổi Galilê. Để minh hoạ, ta xét hai hệ quy chiếu K và K’, trong đó K’ chuyển động thẳng đều với vận tốc v so với K. Hệ K gắn vào hệ toạ độ Đêcác vuông góc Oxyz, hệ K’ gắn vào hệ toạ độ Đềcác vuông góc O’x’y’z’ sao cho trục Ox trùng với trục O’x’ và trùng với véctơ vận tốc V, Oy song song với O’y’, Oz song song với O’z’. Với cách chọn như vậy, hai hê quy chiếu K, K’ được gọi là hai hệ quy chiếu quán tính với nhau, hay là hai hệ quy chiếu quán tính với nhau khi chúng chuyển động thẳng đều với nhau. Tại thời điểm ban đầu hai hệ hoàn toàn trùng nhau, sau đó K’ chuyển động dọc chiều dương của trục Ox với vận tốc V (hình1.2), từ đó ta có: a) Phép biến đổi toạ độ của hệ quy chiếu. Thong hệ K và K’ toạ độ của chất điểm lần lượt là: M(x,y,z) và M’(x’,y’,z’), ta có phép biến đổi toạ độ là: x(t) = x’(t) + V. 8 y(t) = y’(t) (1.1.1) z(t) = z’(t) t = t’ Ba phương trình trên cũng là mối quan hệ giữa phương trình chuyển động trong hệ K và hệ K’. b) Phép biến đổi vận tốc. Đạo hàm theo thời gian hệ phương trình (1.1.1) ta đuợc phương trình cộng vận tốc: vx(t) = v’x(t) + V vy(t) = v’y(t) (1.1.2) vz(t) = vz’(t) Nếu biểu diễn theo véctơ vận tốc, ta có công thức cộng vận tốc: Vvv   ' c) Công thức cộng gia tốc. Đạo hàm theo thời gian (1.1.2) ta được: ay = a’y ay = a’y (1.1.3) az = a’z Như vậy gia tốc trong hai hệ quy chiếu quán tính được bảo toàn. Nếu K và K’ là hai hệ quy chiếu quán tính với nhau thì gia tốc của một chất điểm trong hai hệ quy chiếu là như nhau, hay nói cách khác tính quán tính trong hai hệ quy chiếu quán tính được bảo toàn. 1.1.3 Nguyên lí tương đối Galilê 9 Từ sự nghiên cứu khảo sát chuyển động cơ học trong các hệ quy chiếu quán tính, Galilê đã đưa ra một nguyên lí, sau này gọi là nguyên lí tương đối tương đối Galilê. Nội dung nguyên lí: tất cả các định luật cơ học đều giống nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính Về mặt toán ghọc có nghĩa là: những phương trình mô tả các định luật cơ học cổ điển sẽ không đổi dạng đối với phép biến đổi của toạ độ và thời gian khi chuyển từ hệ quy chiếu quán tính này sang hệ quy chiếu quán tính khác theo công thức biến đổi Galilê. Nguyên lí tương đối Galilê có vai trò rất quan trọng trong việc nghiên cứu cơ học cổ điển. Trong môn học này phương trình cơ bản của động lực học được biểu diễn bằng định luật II của Newton: dt vmdF )(   Trong đó: m là khối lượng của vật và là đại lượng bất biến F  là tổng hợp lực tác dụng lên vật Lực tác dụng lên vật được chia làm ba loại sau  Lực phụ thuộc khoảng cách không gian: lực đàn hồi, lực hấp dẫn, lực tĩnh điện  Lực phụ thuộc vận tốc tường đối: lực ma sát, lực cản của không khí, lực nhớt  Lực phụ thuộc thời gian: lực đàn hồi Mặt khác khoảng cách không gian, vận tốc tương đối, thời gian đều là những đại lượng bất biến đối với phép biến đổi Galiliée. Do vậy lực F  cũng là lượng bất biến đối với phép biến đổi Galilée. Vậy phương trình biểu diễn định luật II Newton là phương trình bất biến đối với phép biến đổi Galilê. Từ đó ta có kết luận: trong các hệ quy 10 chiêú quán tính, các định luật cơ học cổ điển là bất biến với phép biến đổi Galilê Minh hoạ cho phép biến đổi Galilê ta xét một số dạng chuyển như sau: 1.1.4 Bài tập về phép biến đổi Galilée Bài 1.1.1 (Bài tập về phép biến đổi toạ độ) Tàu A đi theo đường AC với vận tốc u. Ban đầu tàu A cách tàu B khoảng AB. Biết BH vông góc với AC, góc giữa AB và BH là (hình vẽ). Hỏi tàu B phải đi với vận tốc bằng bao nhiêu để gặp được tàu A? Biết tàu B đi theo hướng tạo với HB góc . Giải: Chọn hệ quy chiếu K và K’ sao cho:  Hệ K gắn với mặt đường  Hệ K’ gắn với tàu A Ban đầu K và K’ hoàn toàn trùng nhau, sau đó K’ chuyển động với vận tốc u so với K theo phương ox. Xét chuyển động của tàu B trong hệ quy chiếu K và K’. + Vận tốc của tàu B trong hệ K là: vx = v.sin vy = v.cos + Phương trình chuyển động của B trong K là: x = L.sin + vx.t = L.sin + v.sin .t y = L.cos - vy.t = L.cos - v.cos .t (1.1.4) 11 áp dụng phép biến đổi Galilê cho toạ độ ta có: x’ = x - u.t y’= y (1.1.5) Khi tàu A gặp tàu B thì: x’ = 0 y’= 0 Thay (1.1.4) vào (1.1.5) ta đựơc: L.sin + v.sin .t- u.t = 0 L.cos - v.cos .t = 0 (1.1.6) Giải (1.1.6) ta được kết quả: )sin( cos.     uv Bài toán 1.1.2 (Bài tập về phép biến đổi vận tốc) Một người chèo thuyền qua sông có dòng nước chảy. nếu người ấy chèo theo hướng AB (AB vuông góc với dòng sông, hình vẽ) thì sau thời gian t1=10 phút thuyền sẽ tới vị trí C cách B khoảng s =120m. nếu người âý chèo thuyền về phía ngược dòng một góc  , sau thời gian t2 = 12.5 phút thuyền sẽ tới đúng vị trí B. coi vận tốc của thuyền với dòng sông là không đổi. tính: a) bề rộng l của dòng sông b) vận tốc v của thuyền đối với dòng nước. c) Vận tốc u của nước đối với bờ sông d) Góc  Giải: 12 Chọn hệ quy chiếu K gắn với bờ sông, hệ K’ gắn với dòng nước, sao cho:  Tại thời điểm ban đầu t = 0 thì K và K’ hoàn toàn trùng nhau  O trùng A, Ox trùng Ax, Oy song song với AB Theo phép biến đổi Galilê ta có: x = x’ + u.t (1.1.6) y = y’ và vx = vx +u (1.1.7) vy = vy Trường hợp thứ nhất: thuyền được chèo theo hướng vuông góc với AB Ta có: vx’ = 0 và vx = u (1.1.8) vy’ = 0 vy = v Thay (1.1.7) vào (1.1.6) ta được: x = BC = u.t1 Thay số ta được: u = 0,2 (m/s) + trường hợp thứ 2: thuyền được chèo theo phương tạo với AB góc  Ta có AB = v.t1 (1.1.8) vx’ = - v. sin (1.1.9) vy’ = v. cos thay vào công thức (1.1.7) ta có: vx = -v.sin +u (1.1.10) vy = v.cos thay vào công thức (1.1.6) ta được: x = (-v.sin + u).t2 (1.1.11) 13 AB = v.cos .t2 (1.1.12) Từ (1.1.8) và (1.1.12) góc  được xác định theo công thức: cos = t t 2 1 = 0.8 => = 36,86˚ (1.1.13) khi đó ta tính được vận tốc của thuyền đối với dòng nước là: v = sin u = 0,333 (m/s) độ rộng của bờ là: AB = 0,333.600 =1,998 (m) Bài tập 1.1.3 (Bài tập về phép biến đổi vận tốc) một máy bay bay ngang với vận tốc v1 độ cao h so với mặt đất, muốn thả bom trúng một tàu đang chạy trên mặt biển với vận tốc v2 trong cùng một mặt phẳng thẳng đứng với máy bay. Hỏi máy bay phải cắt bom khi nó cách tàu một khoảng cách theo phương ngang l là bao nhiêu? bỏ qua sức cản của không khí. Giải: Chọn hệ quy chiếu K gắn với mặt biển, hệ K’ gắn với tàu sao cho:  K’ chuyển động với vận tốc v2 so với K.  Trục Oy vuông góc với mặt biển  Trục Ox trùng phương và chiều của tàu áp dụng công thức cộng vận tốc Galilê cho máy bay ta có: vx = vx’ + v2 (1.1.14) vy = vy * Nếu máy bay và tàu chuyển động cùng chiều thì tính được vận tốc máy bay trong hệ K’ là: vx’ = v1 – v2 vy’ = vy = g.t 14 Trong hệ K’ phương trình chuyển động của bom là: x’ = (v1 – v2).t + l (1.1.15) y’ = h- 2 1 g.t 2 để bom trúng máy bay sau thời gian t1 thì: y’(t1) = 0 x’(t1) = 0 Giải phương trình trên ta có kết quả: t1= g h.2 và l = (v2 – v1) g h.2 * Nếu máy bay và tàu chuyển động ngược chiều thì vận tốc máy bay trong hệ K’ tính được: vx’ = - (v1 + v2) vy’ = vy = g.t Trong hệ K’ lúc này phương trình chuyển động của bom là: x’ = - (v1 + v2).t + l (1.1.16) y’ = h- 2 1 g.t 2 để bom trúng tàu tại thời điểm t1 thì: y’(t1) = 0 x’(t1) = 0 Giải phương trình này ra ta được kết quả: t1 = g h.2 và l = (v1 + v2). g h.2 Bài tập 1.1.4 (Bài tập về phép biến đổi vận tốc) một xe chạy đều trên mặt nằm ngang có một cái ống. Hỏi ống phải đặt trong mặt phẳng nào và nghiêng một góc bao nhiêu để cho những giọt mưa 15 rơi thẳng đứng lọt vào đáy ống mà không chạm phải thành ống? Biết vận tốc hạt mưa là v1 và vận tốc xe là v2. Giải: Chọn hệ quy chiếu K gắn với mặt đất, hệ K’ gắn với xe. K’ chuyển động với vận tốc v2 so với K. trục Ox theo phương chuyển động, trục Oy vuông góc với mặt đất. áp dụng công thức cộng vận tốc Galilê cho vận tốc của hạt mưa là: vx= vx’ + v2 vy = vy’ vận tốc hạt mưa trong hệ quy chiếu K là: vx= 0 vy=-vy’ vận tốc giọt mưa trong hệ K’ là: vx’=-v2 vy’=- v1 để ống không bị ướt thì trong hệ K’ phương rơi của hạt mưa trùng với phương đặt ống. Góc  được xác định sao cho tg = v v v v x y 2 1. ' ' . Vậy khi đặt ống trong mặt phẳng thẳng đứng với góc so với trục chuyển động thì lòng ống không ướt. 1.2 Chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu không quán tính. Các định luật cơ học newon chỉ đúng trong hệ quy chiếu quán tính. Hệ quy chiếu chuyển động không thẳng và không đều so với hệ quy chiếu quán tính thì không phải là hệ quy chiếu quán tính. Khi chất điểm chuyển động trong hệ quy chiếu như vậy thì không thể áp dụng được các định luật Newton. để có thể áp dụng đựơc các định luật Newton trong hệ quy chiếu 16 không quán tính theo phép biến đổi Galilê thì ta nhận thấy phải đưa vào khái niệm lực quán tính. Với lực quán tính, xét hai loại hệ quy chiếu quán tính như sau: 1.2.1 Hệ quy chiếu không quán tính chuyển động thẳng biến đổi đều. xét hệ quy chiếu K’ chuyển động thẳng đều với gia tốc A  so với hệ quy chiếu K. khi đó công thức cộng vận tốc của Galilê sẽ là: vx(t) = vx’(t) + V(t) vy(t) = vy’(t) (1.2.1) vz(t) = vz’(t) lấy đạo hàm (1.2.1) theo t được: ax = ax’ + A ay = ay’ (1.2.2) az = az trong đó A = dt dV gọi là gia tốc quán tính. Công thức (1.2.2) được viết dưới dạng véctơ là: Aaa   ' Đối với hệ quy chiếu quán tính K ta có định luật II Newton: amF    , trong hệ K’ định luật II là: )( AmamF   . Lúc này định luật quán tính của Newton trong hệ K và K’ sẽ khác nhau. nếu một vật đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều trong hệ K thì sẽ chuỵển động có gia tốc trong hệ K’. hai hệ quy chiếu này không quán tính với nhau. Trong khi đó theo nguyên lí của Galilê lực F  là một đại lượng bất biến. Trong hệ K’ chất điểm có gia tốc 'a được xác định: Aaa  ' , lúc đó amAamam    )( hay định luật Newton không bảo toàn. Nếu ta đặt AmFqt   , ta có: qtFFam  ' . Phương trình này giống phương trình định luật II Newton. Khi đó lực qtF gọi là lực quán tính. 17 Trường hợp đặc biệt khi K’ chuyển động với gia tốc )0,0,(AAA   , lúc này lực quán tính sẽ là: AmFqt   có đặc điểm:  độ lớn bằng khối lượng vật đó nhân với gia tốc chuyển động của hệ,  phương trùng với phương chuyển động của hệ  chiều ngược chiều véctơ gia tốc, hay cùng chiều chuyển động nếu vật chuyển động chậm dần đều, ngược chiều chuyển động nếu chuyển động nhanh dần đều.  Khi hệ quy chiếu chuyển động biến đổi đều thì lực quán tính bằng không. Như vậy để định luật II Newton trong mọi hệ quy chiếu thì tổng hợp lực tác dụng lênn vật, ngoài các lực thông thường ta còn phải kể thêm lực quán tính. Khi giải các bài toán lực quán tính cần chú ý:  lực quán tính không có phản lực vì không thể chỉ ra được một vật cụ thể nào đó tác dụng lên vật với lực đã cho.  Lực quán tính chỉ xuất hiện trong hệ quy chiếu không quán tính chuyển động thnẳng so với hệ quy chiếu quán tính với gia tốc A  Lực quán tính tác dụng lên vật đặt trong hệ quy chiếu mà không phụ thuộc vào vị trí vật trong hệ. 1.2.2 Bài tập về lực quán tính trong hệ quy chiếu không quán tính chuyển động thẳng biến đổi đều Bài toán 1.2.1 Một hòn bi khối lượng m được treo vào trần một toa tàu. Nếu tàu đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều thì viên bi nằm cân bằng. Nếu toa tàu chuyển động với gia tốc A  thì viên bi nằm cân bằng khi dây treo lệch góc  so với phương thẳng đứng. Ta giải thích sự lệch của sợi dây. Giải: 18  Khi toa tàu đứng yên thì hòn bi chịu tác dụng của trọng lực P  và lực căng dây treo T  . Lúc này P  và T  cân bằng với nhau nên hòn bi cân bằng.  Khi toa tàu chuyển động vớigia tốc A  . Xét trong hệ quy chiếu gắn với toa tàu, là hệ quy chiếu không quán tính. Trong hệ quy chiếu này hòn bi chịu tác dụng của các lực:  Trọng lực gmP   . phương thẳng đứng  Lực căng dây treo T  phương sợi dây  Lực quán tính Amf qt  . Nhận thấy: QfP qt   là lực nghiêng góc  so với phương thẳng đứng vì P  vuông góc với qtf  . Do vậy để hòn bi nằm cân bằng thì lực T  phải là lực trực đối của Q  . Vậy lực T  lệch góc  so với phương thẳng đứng, hay nói cách khác dây treo lệch góc  so với phương thẳng đứng. Bài tập 1.2.2 Cơ chế máy Atút treo trong thang máy, đầu dây vắt qua ròng rọc là 2 vật khối lượng lần lượt là m1, m2 (hình vẽ). Coi sợi dây không co giãn, khối lượng ròng rọc và dây treo không đáng kể. Thang máy chuyển động đi lên nhanh dần đều với gia tốc A  . Xác định gia tốc 19 21, aa  của các vật đối với mặt đất và độ lớn lực căng dây treo T Giải: Xét trong hệ quy chiếu gắn với thang máy, trục toạ độ thẳng đứng, chiều dương hướng lên trên, giả sử vật m1 đi lên. Các lực tcạc dụng vào vật m1, m2 là: m1: +Trọng lực gmP  .11  + Lực quán tính: Amf qt  .11  +Lực căng dây treo: 1T  m2: +Trọng lực gmP  .22  +Lực quán tính: Amf qt  .22  +Lực căng dây treo: 2T  Phương trình chuyển động của chất điểm m1, m2 lần lượt là: m1: 11111 .amfTP qt   (1.2.3) m2: 22222 .amfTP qt   (1.2.4) Do 21 aa   và 21 TT   nên chiếu (1.2.3) và (1.2.4) lên trục toạ độ ta có: T – m1.g – m1.A = m1.a T – m2.g – m2.A = m2.a =>(m2 – m1).(g + A) = (m1 + m2).a )( 21 21 Ag mm mma     Vì: Aaa Aaa     2 1 nên: 20  Nếu m1 > m2 thì: AAg mm mma AAg mm mma         )( )( 21 21 2 21 21 1  Nếu m1 > m2 thì: AAg mm mma AAg mm mma         )( )( 21 21 2 21 21 1 Bài tập 1.2.3 Cho cơ hệ như hình vẽ, khối lượng của các vật lần lượt là M, m1,m2. Ban đầu giữ cho hệ thống đứng yên. Thả cho cơ hệ chuyển động thì nêm chuyển động với gia tốc A bằng bao nhiêu? Tính gia tốc của vật đối với nêm theo gia tốc A của nêm. Với tỉ số nào của m1, m2 thì nêm đứng yên và các vật trượt trên 2 mặt nêm. Bỏ qua ma sát khối lượng ròng rọc và dây nối. Giải: 21 Giả sử m1.sin > m2.sin tức vật m1 đi xuống, m2 đi lên. Khi đó tổng hình chiếu của các lực lên phương ngang bằng 0 nên khối tâm của hệkhông thay đổi. Do đó nêm đi sang phải. Vật m1 và m2 chịu tác dụng của các lực: Trọng lực, lực căng dây treo, phản lực của mặt nêm, lực quán tính. Phương trình chuyển động của các vật lần lượt là:  m1 : 111111 . amTQPFqt   (1.2.5)  m2: 222222 .amTQPFqt   (1.2.6) + Chiếu (1.2.5) và (1.2.6) lên các mặt nêm ta có: m1.g.sin + m1.Acos – T1 = m1.a1 (1.2.7) m2.g.sin +m2.A.cos – T2 = m2.a2 (1.2.8) Do dây không giãn nên T1 = T2 = T và a1 = a2 = a, thay vào (1.2.7) và (1.2.8) ta được: 21 21 2121 21 2121 .. cos..cos..sin.sin.. cos..cos..sin.sin.. mm mm mAmAmmgT mm mAmAmmga         (1.2.9) Chiếu (1.2.7) và (1.2.8) lên phương vuông góc với mặt nêm: Q1 = m1.(g.cos – A.sin ) Q2 = m2.(g.cos – A.sin  ) + Phương trình chuyển động của nêm: AMTPQQN  .'21  Chiếu xuống phương ngang với Q1 = Q1’ và Q2 = Q2’ Q1.sin – Q2.sin + T(cos – cos ) = M.A (1.2.10) Thay giá trị của Q1, Q2, T vào (1.2.10) ta được: 22 )cos(cos.)sinsin)(( )coscos)(sinsin(. 21 2 2 2 121 2121      mmmmMmm mmmmgA Điều kiện để nêm đứng yên là: A = 0  m1sin – m2sin = 0. Khi đó thay vào biểu thức (1.2.8) ta được: a = 0  nêm đứng yên thì các vật cũng không chuyển động, hay nói cách khác không xảy ra trường hợp nêm đứng yên các vật chuyển động vì: khối tâm của hệ không di chuyển theo phương ngang. Bởi vậy, nếu khối tâm của 2 vật dịch chuyển thì khối tâm của nêm dịch chuyển theo chiều ngược lại. Bài tập 1.2.4 Một tấm ván khối lượng M có thể chuyển động không ma sát trên mặt phẳng nằm ngang. Trên mép tám ván đặt vật khối lượng m (hình vẽ). Hệ số ma sát giữa vật và ván là k. Hỏi giá trị nhỏ nhất Fmin của lực F theo phương ngang cần đặt vào vật m để nó bắt đầu trượt trên tấm ván là bao nhiêu? Vật sẽ có vận tốc là bao nhiêu khi nó bắt đầu trượt trên tấm ván trong trường hợp lực F = 2.Fmin tác dụng lên nó. Biết chiều dài tấm ván là l Giải: Chọn hệ quy chiếu gắn với tấm ván, chiều dương là chiều chuyển động của vật. Khi tác dụng vào vật m lực F  làm vật chuyển động thì giữa vật và ván xuất hiện lực ma sát msF  . Lực ma sát msF  tác dụng vào ván gây gia tốc cho ván được xác định: M kmgA M F M FA msms ..'  Xét trong hệ quy chiếu gắn với tấm ván, vật chịu tác dụng của các lực: 23 - Trọng lực gmP   . - Phản lực N  - Lực ma sát msF  - Lực F  Phương trình chuyển động của vật m: amFFFNP mms   '¸ (1.2.11) Chiếu (1.2.11) lên phương ngang: F – Fms – Fqt = m.a Để vật trượt trên ván thì: a > 0 qtmsqtms qtms FFFFFF m FFF    00 Hay F  m.g.k + m.g.A (do N = m.g) Vậy F = m.(k + A) = m.g( k + m/M) d) Khi F = 2.Fmin = 2.m.k (1 + m/M) Gia tốc của vật đối với đất: a1 = a + A = g.k.(1 + m/M ) + g.k(.m/M) Vận tốc của vật đối với đất: v = a1.t Quãng đường vật đi được trong hệ quy chiếu gắn với ván: 2 2 1 ats  Khi vật rời ván thì s = l  )/1(. .2.2 1 Mmkg l a ltt    Khi vật rời ván thì vận tốc của vật là: )( ).2(...2 )/1(. .2)1(.. 111 mMM mMkgl Mmkg l M mkgtavv      1.2.2 Hệ quy chiếu không quán tính quay Giả sử hệ K’ quay quanh hệ K với vận tốc góc )(t . Công thức cộng vận tốc của Galilée (1.2.1) được viết lại: rVV    ' (1.2.12) 24 Đạo hàm theo thời gian (1.2.12) được: )(' r dt d dt Vd dt Vd     (1.2.13) Để định luật Newton đúng trong trường hợp này thì trong tổng hợp lực tác dụng ngoài các lực thông thường ta cần phải cộng thêm lực quán tính: )( rmFqt    . Nhận thấy lực quán tínhgồm hai lực: )()( rmrmF     (1.2.14)  Số hạng thứ nhất của lực quán tính trong (1.2.14) có đặc điểm: + Phương trùng phương tiếp tuyến + Chiều ngược chiều hướng tâm + Độ lớn bằng m. .r (khi chất điểm chuyển động trên mặt phẩng vuông góc với trục quay). Lực này gọi là lực quán tính li tâm.  Số hạng thứ hai của lực quán tính (1.2.14) + Phương trùng phương tiếp tuyến quỹ đạo tại điểm đó + Chiều ngược chiều chuyển động. Ta gọi lực này là lực Coriolis Như vậy khi chọn hệ quy chiếu quay quanh hệ quy chiếu đứng yên (hệ quy chiếu quán tính), ta phải kể đến lực quán tính li tâm và lực Coriolis  Lực Coriolis cf  có đặc điểm sau:  Lực Vf c   do đó cf  tác dụng lên vật không làm thay đổi độ lớn vận tốc mà chỉ tác dụng làm thay đổi hướng chuyển động  cf  không sinh công vì Vf c    cf  không có phản lực quán tính  cf  phụ thuộc vào vận tốc V  25 Khi vật đặt trong hệ quy chiếu không quán tính, phương trình chuyển động của vật trong hệ quy chiếu này là: 0 qtFF  , trong đó: F  : tổng hợp tất cả các lực thực tác dụng vào vật qtF  : lực quán tính tác dụng vào vật Bài tập về lực quán tính quay Bài toán 1.2.5 Một bàn quay quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc  có giá treo hòn bi khối lượng m (hình vẽ). Khi đó hòn bi đứng yên so với bàn quay nhưng dây treo lệch góc so với phương thẳng đứng. Ta sẽ giải thích hiện tượng trên trong hệ quy chiếu gắn với bàn quay và gắn với mặt đất. Giải:  Xét trong hệ quy chiếu gắn với bàn quay, hòn bi chịu tác dụng các lực: + Trọng lực gmP   . + Lực căng dây treo T  + Lực quán tính li tâm: rwmFqt  .. 2 Do hòn bi đứng yên so với bàn quay nên: 0)(0   qtqt FPTFTP Hợp lực của qtFP   là Q  có phương lệch so với phương thẳng đứng góc  (do qtFP   ). Góc  được xác định g r P F tag qt . 2   . Do đó khi hhòn bi đứng yên thì T  trực đối so với Q  nên 26 T  phải nghiêng góc  so với phương thẳng đứng.  Xét trong hệ quy chiếu gắn với mặt đất. Khi đó hòn bi chuyển động cùng với bàn quay. Hòn bi chịu tác dụng của + Trọng lực gmP   . , + Lực căng dây treo T  . Hợp lực của chúng là lực hướng tâm làm bi quay tròn với gia tốc r.2 Tacó: rmamTP   ...  (1.2.15) Chiếu (1.2.15) xuống phương thẳng đứng, do đó T  phải nghiêng góc  so với phương thẳng đứng. Góc  được xác định: g r gm rm P Qtg . . ..    Bài tập 1.2.6 Một đĩa tròn phẳng bán kính R, nằm ngang quay đều với vận tốc góc  quanh trục thẳng đứng đi qua tâm đĩa. Trên mặt đĩa đặt một hòn bi có khối lượng m. Hệ số ma sát giữa hòn bi và mặt đĩa là . Với những giá trị nào của  để sao cho hòn bi đặt ở vị trí nào trên đĩa thì nó cũng không bị văng ra? Giải: Chọn hệ quy chiếu Oxy gắn với đĩa (hình vẽ). Vì đĩa quay nên Oxy là hệ quy chiếu không quán tính. Hòn bi không văng ra ngoài nghĩa là nó đứng yên đối với đĩa. Lúc này tác dụng vào hòn bi gồm các lực: + Trọng lực P  + Phản lực N  + Lực ma sát msF  + Lực quán tính li tâm ltF  Trong quá trình chuyển động của hòn bi thì trọng lực và 27 phản lực không nằm cân bằng với nhau nên để hòn bi không bị văng ra khỏi đĩa thì: max.max nghmslt FF   (1.2.16) Lực quán tính li tâm đạt cực đại khi hòn bi nằm ở mép đĩa, giá trị của nó là: maxlt F = m. 2 .R (1.2.17) Lại có: gmF nghms ..max.  (1.2.18) Thay (1.2.18) và (1.2.19) vào (1.2.16) ta được: R g R ggmRm ...... 22   Vậy để hòn bi không bị văng ra khỏi đĩa thì vận tốc góc  phải thoả mãn: R g.   28 chương II thuyết tương đối hẹp của eistein 2.1 Sự ra đời của thuyết tương đối hẹp Eistein Vật lí học vào thời kỳ trước khi thuyết tương đối ra đời đã đạt được nhiều thành tựu to lớn. Đặc biệt là cơ học Newton và thuyết điện từ Maxwell. Cùng với những thành tựu đã đạt được thì vật lí cũng gặp phải những mâu thuân trong các lí thuyết khi tiến hành giải thích hiện tượng tinh sai, thí nghiệm Fizeau, thí nghiệm Michelson-Moriley. Để giải quyết mâu thuẫn trên phải cần tới sự ra đời một thuyết vật lí mới Cơ học Newton khẳng định rằng, khi nói tới đứng yên hay chuyển động bao giờ cũng phải gắn với một vật nào đó, gọi là vật quy chiếu hay là hệ quy chiếu. Chẳng hạn nếu lấy ôtô chuyển động làm hệ quy chiếu thì hành khách trong xe ở trạng thái đứng yên, nhưng nếu lấy bến xe làm hệ quy chiếu thì người hành khách đó lại đang trong trạng thái chuyển động. Từ kết quả này suy ra chuyển động của vật bao giờ cũng được mô tả trong hệ quy chiếu xác định. Đối với cá hệ quy chiếu khác nhau thì chuyển đọng sẽ diễn ra khác nhau. Ví dụ một hành khách ngồi yên trên một xe đang chuyển động đều trên một đường thẳng thì đối với một người đứng yên trên quỹ đạo chuyển động của hành khách đó là một đường thẳng, trên đó hành khách chuyển động không có gia tốc. Nhưng cũng chiếc xe đó đối với một 29 người đang đi trên một đoạn đường vòng thì quỹ đạo của khách lúc này là một đường cong, và chuyển động của hành khách lúc này có gia tốc. Bây giờ nếu xét chuyển động của hành khách đối với người thứ ba đang đi xe đạp, xe đạp chuyển động thẳng đều so với người đang đứng yên trên đường, khi đó chuyển động của hành khách trên ôtô là chuyển động theo quỹ đạo thẳng và không có gia tốc Theo ngôn ngữ của cơ học thì ở đây ta đã xét chuyển động của một vật đối với ba hệ quy chiếu khác nhau. Đối với hệ quy chiếu thứ nhất và thứ ba thì chuyển động của vật vẫn là chuyển động thẳng đều, nghĩa là quy luật chuyển động của vật trong hai hệ quy chiếu đó là như nhau. Hai hệ quy chiếu này được gọi là hệ quy chiếu quán tính. Các hệ quy chiếu quán tính chuyển động thẳng đều với nhau. Quy luật chuyển động của vật như nhau trong các hệ quy chiếu quán tính . Từ sự nghiên cứu, khảo sát chuyển động chuyển động của vật trong các hệ quy chiếu quán tính, Gallilê đã đưa ra giả thuyết gọi là nguyên lí Galilê mà ta đã xét ở chương I. Đến giữa thế kỷ XIX thuyết trường điện từ của Maxwell ra đời đã tiên đoán rằng trường điện từ cũng lan truyền trong không gian duới dạng sóng, gọi là sóng điện từ. Tiên đoán này được Hetz chứng minh bằng thực nghiệm dẫn đến sự thắng lợi hoàn toàn của lý thuyết sóng điện từ. Dựa vào lý thuyết của mình Maxwell đã tính ra vận tốc truyền sóng điện từ, nó có giá trị bằng giá trị của vận tốc ánh sáng thu được bằng thực nghiệm. Từ đó Maxwell đưa ra giả thuyết rằng ánh sáng cũng là sóng điện từ. Lý thuyết điện từ không phải là lý thuyết cơ học, nó vượt ngoài phạm vi cơ học. Nhưng vào thời kì bấy giờ những quan điểm cơ học Newton còn đang giữ địa vị độc tôn. Vì vậy người ta đã cố giải thích lý thuyết Maxwell 30 và những lý thuyết khác theo quan điểm cơ học. Điều đó đã dẫn đến sự xuất hiện môi trường mới (thuật ngữ mới) đó là ête ánh sáng (môi trường đàn hồi để truyền ánh sáng) và ête từ (môi trường đàn hồi để truyền sóng điện từ). Và khi coi ánh sáng là sóng điện từ thì ête ánh sáng và ête từ được coi là đồng nhất và gọi là ête vũ trụ. Theo tính toán thì ête vũ trụ có những tính chất khó hiểu ví dụ như môi trường đó phải là môi trường trong suốt, thấm vào mọi vật nhưng lại có khối lượng rất lớn. Sau đây ta đi tìm hiểu các tính chất của ête vũ trụ để xem môi trường đó có thật sự tồn tại hay không? Ta tiến hành nghiên cứu các thí nghiệm sau: 2.1.1 Thí nghiệm Fizeau Đây là thí nghiệm đo vận tốc của ánh sáng trong dòng nứơc. Sơ đồ thí nghiệm như (hình 2.1) Tia sáng SA xuất phát từ nguồn S tới gặp một mặt gương phản xạ bán phần tại A. Tại đó SA tách thành hai tia kết hợp truyền theo hai đường khác nhau đó là: ABCDAG và ÂDCBAG (tại B, C, D có các gương phản xạ) rồi cùng đi tới giao thoa kế taị G. Trên đường đi mỗi tia sáng phải truyền hai lần qua nước đang chuyển động với vận tốc V trong một ống uốn gấp khúc, một tia truyền theo chiều v (v là vận tốc của dòng nước), một tia truyền theo chiều ngược lại. Do đó thời gian truyền của hai tia lệch nhau và tại G có hiện tượng giao thoa ánh sáng. Biết hình ảnh giao thoa tại G có thể tính được hiệu thời gian t của hai tia. Xác định được t có thể tính được 31 vận tốc truyền ánh sáng theo chiều xuôi và ngược so với chuyển động của dòng nước. Nếu gọi vận tốc của ánh sáng trong chân không là c, chiết suất của nước là n thì vận tốc của ánh sáng trong nước đứng yên là c/n. Theo công thức cộng vận tốc cổ điển thì vận tốc ánh sáng trong nước là: v n c  tuỳ ánh sáng đi theo ngược chiều hay cùng chiều chuyển động của dòng nước. Nhưng kết quả thí nghiệm Fizeau lại đưa ra rằng, vận tốc của ánh sáng trong nước là: )11( 2n v n cu  Kết quả này đựơc giải thích rằng ête đã bị nứơc kéo theo một phần cùng với nó: khi vật chuyển động trong ête vũ trụ sẽ bị ête vũ trụ kéo theo một phần. 2.1.2 Hiện tượng tinh sai Giả sử có một ngôi sao ở đỉnh đầu, khi muốn quan sát ngôi sao đó người ta không cần hướng ống kính thiên văn vuông góc với mặt đất mà hướng kính lệch đi góc so với phương nằm ngang Góc  được xác định bằng điều kiện tg =  =c/v. Hiện tượng này được giải thích bằng thuyết ête đứng yên: trong ête đứng yên ánh sáng truyền từ S đến A với vận tốc bằng c và bắt đầu đi vào vật kính, sau đó truyền theo AB’ trong thời gian t: AB’ = c.t Trong khoảng thời gian đó thị kính đã di chuyển được một đọan 32 bằng v.t (v là vận tốc dài của trái đất trong vũ trụ). Để ánh sáng từ A rơi đúng được vào thị kính B thì BB’ = v.t Từ đó ta suy ra: tg = = c/v Công thức thu được phù hợp với thực nghiệm và phù hợp với giả thtuyết coi ête là đứng yên khi trái đất chuyển động hay nói cách khác ête đứng yên hòn toàn không bị các chuyển động kéo theo. Qua hiện tượng tinh sai và thí nghiêm Fizeau ta nhận thấy xuất hiện một mâu thuẫn nội tại trong lí thuyết: khi thì coi ête đứng yên hoàn toàn cùng với chuyển động, khi thì coi ête bị kéo theo một phần. Còn có tính chất nào của ête nữa không? 2.1.3 Thí nghiệm Michelson- Moriley Mục đích cuả thí nghiệm Michelson-Moriley là nhằm phát hiện ra sự chuyển động của trái đất trong môi trường ête vũ trụ. Tư tưởng về thí nghiệm phát hiện chuyển động tuyệt đối của Trái đất đã được Maxwell đề xuất với nghuyên tắc như nguyên tắc của thí nghiệm Fizeau. Biết rằng trái đất chuyển động với vận tốc 30km/s. vì ête được coi là đứng yên tuyệt đối nên lấy Trái đất làm hệ quy chiếu thì có thể coi như có một luồng gió ête có vận tốc 30km/s thổi song song với mặt đất. Cho ánh sáng truyền cùng chiều và ngược chiều gió ête, sau đó so sánh vận tốc ánh sáng truyền theo hai chiều ngược đó ta có thể rút ra vận tốc của chuyển động của trái đất ở thời điểm thí nghiệm. Xuất phát từ tư tưởng của Maxwell, Michelson-Moriley đã 33 thực hiện thí nghiệm năm 1881, tuy nhiên ông đã không tìm thấy sự khác nhau của vận tốc ánh sáng. Năm 1887 Michelson-Moriley đã thực hiện thí nghiệm bằng những dụng cụ và phương tiện chính xác. Sơ đồ thí nghiệm được mô tả ở hình vẽ (Hình 2.3). Tia sáng xuất phát từ nguồn S đến gương nửa phản xạ P. Tại P một phần xuyên qua P và một phần phản xạ từ P. Tia xuyên qua P đến gặp gương phản xạ A nên tia PA bị phản xạ tại A (bố trí thí nghiệm sao cho phương PA cùng phương với gió ête). Vì vậy trên phương PA tia sáng một lần đi cùng chiều và một lần đi ngược chiều với gió ête (v là vận tốc gió ête) tia phản xạ tại P gặp gương B và bị phản xạ tại B trên đoạn PB tia sáng luôn vuông góc với gió ête. Sau khi phản xạ tại A và B, một lần của tia AP phản xạ taị P’ một phần của tia BP xuyên qua P. Hai tia phản xạ và xuyên qua P lần này cũng rơi vào ống kính T. Người ta đánh dấu hệ vân giao thoa thu đươc. Sau đó quay bộ thí nghiệm đi đến 90˚ sao cho PB trở thành cùng phương còn PA thì vuông góc với gió ête. Người ta lại quan sát hệ vân giao thoa mới thu được. Nếu gió ête là có thực thì từ các phép tính người ta thấy rằng hai hệ vân giao thoa phải lệch nhau một khoảng cách nào đó. Nhưng kết quả thí nghiệm Michelson-Moriley lại cho thấy rằng hai hệ vân giao thoa hoàn toàn trùng nhau. Để giải thích thí nghiệm này người ta đã coi rằng khi Trái đất chuyển động lớp ête gần mặt đất bị kéo theo hoàn toàn với mặt đất. Nếu ête bị kéo theo hoàn toàn thí nghiệm được coi như tiến hành trong điều kiện không có gió ête. Vì vậy, ánh sáng truyền theo mọi hướng đều như nhau nên hệ vân gioa thoa không bị dịch chuyển. Như vậy nếu coi ête bị kéo theo hoàn toàn thì giải thích được kết quả thí nghiệm Michlson-Moriley nhưng nó lại là cho những mâu thuẫn nội tại của lí thuyết càng trở nên trầm trọng. Hiện tượng tinh sai càng chứng tỏ rằng ête không bị kéo theo. Thí nghiệm Fizeau lại chứng tỏ rằng ête bị kéo theo một phần, còn thí nghiệm Michelson-Moriley chứng tỏ rằng ête bị kéo theo hoàn toàn cùng 34 với mặt đất. Thí nghiệm Michelson-Moriley đã được thực hiện nhiều lần với những dụng cụ có độ chính xác cao. Năm 1960 tại trường đại hoc Colômbia, Saclo Taunxơ đã dùng những thành tựu mới nhất của vật lí lúc ấy là Made, nhưng dụng cụ chính xác đó cũng không phát hiện ra gió ête, mặc dù nó có thể phát hiện ra gió ête dù yếu chỉ bằng 1/ 1000 giá trị giả thiết. Như vậy cuối thế kỉ XIX đầu thế kỉ XX Vật lí học đã gặp những khó khăn nghiêm trọng. Trong số ngững khó khăn đó nổi lên hàng đầu là giải thích kết quả thí nghiêm Michelson-Moriley. Điều đó cần đến sự ra đời của một thuyết mới để giải quyết các mâu thuẫn nói trên, và thuyết tương đối Einstein ra đời vào năm 1905. 2.2 Thuyết tương đối hẹp của Einstein Trước Einstein thì Phitgieren và Lorentz, cũng đã tìm cách giải thích kết quả của thí nghiệm Michelson-Moriley nhưng lúc bấy giờ lí thuyết của hai ông được coi là hết sức kì quặc. Vì vậy mà lí thuyết đó không được ai công nhận. Phitgieren cho rằng khoảng cách giữa hai điểm không phải là bất biến. Một vật đặt trong gió ête sẽ bị áp suất của ête tác dụng lên vật. Vì vậy vật bị co ngắn lại theo phương chuyển động (phương của gió ête). Còn các phương khác kích thước của vật không thay đổi. áp dụng quan sát điểm này vào sơ đồ thí nghiệm (hình 2.3) thì quãng đường truyền ánh sáng theo phương PA sẽ bị co ngắn lại so với khi không có gió ête với hệ số co ngắn chiều dài là: 2 2 1 c v  , trong đó c là vận tốc ánh sáng trong chân không. Với quan điểm này Phigieren có thể giải thích được kết quả thí nghiệm Michelson-Moriley. 35 Lorentz cũng đưa ra lí thuyết tương tự: giả thuyết co ngắn chiều dài. Lorentz còn đưa ra giả thuyết rằng, dưới tác dụng của gió ête các đồng hồ chuyển động theo phương thức của gió ête cũng chạy chậm lại. Năm 1905, Einstein công bố bài báo đầu tiên của mình và sau đó là một số ý kiến giải thích về nhiều vấn đề, từ đó những khó khăn trong ngành Vật lí học mới được giải quyết. Đối với vấn đề gió ête Einstein khẳng định là không có. Einstein cũng tán thành quan điểm của cơ học Newton rằng chuyển động là có tính tương đối. Những khó khăn mâu thuẫn trong lý thuyết được giải thích dựa vào hai tiên đề mà Einstein nêu ra trong thuyết tương đối hẹp. Tiên đề 1: Nguyên lí tương đối Einstein : Các quy luật của tự nhiên và các kết quả của tất cả các thí nghiệm tiến hành trong một hệ quy chiếu nào đó không phụ thuộc vào trạng thái chuyển động thẳng đều của hệ quy chiếu đó. Hay có thể hiểu một cách đơn giản rằng các hiện tượng Vật lí diễn ra như nhau trong các hệ quy chiếu quán tính. Tiên đề 2: Tiên đề về tính không đổi của vận tốc ánh sáng Vận tốc ánh sáng không phụ thuộc vào trạng thái chuyển động của nguồn ánh sáng hay vận tốc của ánh sáng có giá trị như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính. Tiên đề Einstein đã làm loé lên một gây ra mâu thuẫn trong quan điểm về thời gian. Cơ học Newton cho rằng thời gian là tuyệt đối còn lí thuyết tương đối coi thời gian là đại 36 lượng tương đối, thời gian phụ thuộc vào hệ quy chiếu. Điều này được thể hiện rõ qua ví dụ sau: Giả sử tại thời điểm ban đầu thì t = t’ = 0, gốc hai hệ toạ độ O và O’ trùng nhau, vào lúc đtia sáng tại gốc chung của hai hệ toạ độ.Sau thời gian t =0 ánh sáng truyền đi theo mọi phương và mặt đầu ánh sáng là mặt cầu bán kính R = c.t Theo quan điểm của cơ học Newton thì tại thời điểm t người ta quan sát ở O và O’ đều thấy đầu sóng là mặt cầu tâm O (cả hai người quan sát ở O và O’ đều thấy mặy đầu sóng đồng thời truyền đến 2 điểm M, N). Theo lí thuyết tương đối thì người quan sát ở O và O’ đều thấy mặt đầu ánh sáng là các mặt cầu nhưng tâm của chúng không trùng nhau. Đối với người quan sát ở O mặt đầu ánh sáng là mặt cầu bán kính R = c.t tâm ở O. Đối với người quan sát ở O’ thì mặt đầu ánh sáng là mặt cầu có bán kính R’ = c.t’ và tâm ở O’. Đó chính là điều vô lí đối với cơ học Newton. Bởi vì với người quan sát ở O thì mặt đầu ánh áng đồng thời truyền đến 2 diểm M, N trong khi đó đối với người A sát ở O, thì mặt đầu ánh sáng lại đồng thời truyền đến 2 điểm N’ (hình 2.5) Như vậy đã đến hai sự kiện đồng thời trong hai hệ này lại không phải là hai sự kiện đồng thời trong hai hệ kia. Đó chính là điều vô lý theo quan diểm của cơ học Newton. Nó phải được hiểu theo quan điểm của lý thuyết tương đối. 37 2.3 các hệ quả của thuyết tương đối, 2.3.1 phép biến đổi lorentz. Từ hai tiên đề của Einstein người ta thu được các công thức biến đổi toạ độ không gian và thời gian, các công thức đó gọi là công thức biến đổi Lorentz x = (x’ + v.t’). y = y’ (2.3.1) z = z’ t = (t’ + 2c v x’)  hay x’ = (x- v.t)  y’ = y (2.3.2) z’ = z t’ = (t- 2c v x)  Trong đó 2 2 11 c v   với x, y, z, t là toạ độ và thời gian trong hệ quy chiếu K x’ ,y’, z’, t’ là toạ độ và thời gian trong hệ quy chiếu K’, trong đó K’ là hệ chuyển động dọc theo trục x với vân tốc v so với K và lúc đầu t = t’ gốc toạ độ trong hai hệ K và K’ trùng nhau Các công thức (2.3.1) và (2.3.2) chỉ có ý nghĩa nếu v < c. Điều này chứng tỏ rằng không có một hệ vật chất chuyển động với vận tốc bằng vận tốc ánh sáng hay nói cách khác, vận tốc ấnh sáng là vận tốc giới hạn của hệ vật chất. Đây là nội dung trong thuyết cơ học cổ điển không có. 38 Nếu v rất nhỏ so với c tức v << c thì   1, do đó công thức (2.3.1) được viết lại: x = x’ + v.t t = y’ z = z’ (2.3.1)’ t = t’ (2.3.1)’ chính là công thức biến đổi Galilée. Như vậy phép biến đổi Galilée là trường hợp đặc biệt của phép biến đổi Lorentz, hay nói cách khác cơ học cổ điển chỉ là trường hợp riêng của thuyết tương đối Einstein. 2.3.2 Công thức cộng vận tốc. Lấy vi phân các biểu thức của (2.3.1) ta được dx = (dx’ + v.dt’)  dy = dy’ (2.3.3) dz = dz’ dt = (dt’ + 2c v dx’)  Chia các biểu thức trên cho dt ta được:   )''( )''( ' ' '' 2 2 2 dx c vdt dz dt dz dx c vdt dy dt dy c vdt vdtdx dt dx        (2.3.4) 39 Gọi u và 'u lần lượt là vận tốc của vật trong hệ K và K’. Ta có: dt dzu dt dyu dt dxu z y x    và ' '' ' '' ' '' dt dzu dt dyu dt dxu z y x    Từ các công đạo hàm ta thu được các công thức cộng vận tốc:   )'1( ' )'1( ' '1 ' 2 2 2 x z z x y y x x x u c v uu u c v u u u c v vuu        (2.3.5) (2.3.5) chính là công thức cộng vận tốc Einstein. Trường hợp v << c thì 1 , 02 c v công thức cộng vận Einstein trở thành công thức cộng vận tốc cổ điển: zz yy xx uu uu uu ' ' '    (2.3.6) Trong công thức (2.3.5) ta tìm sự biến đổi của vận tốc ánh sáng khi chuyển hệ quy chiếu. Giả sử ánh sáng truyền theo trục x thì: ux’ = c và u’z= u’y= 0 Từ (2.3.5) suy ra: ux = uz= 0 và c c v vc c c v vcu x        11 2 (2.3.7) Ta có thể biểu diễn thành phần vận tốc trong hệ K’ qua thành phần vận tốc trong hệ K như sau: 40   )1( ' )1( ' 1 ' 2 2 2 x z z x y y x x x u c v uu u c v u u u c v vuu        (2.3.8) 2.3.3 Sự co ngắn của chiều dài một vật theo phương chuyển động. Một vật đứng yên trong hệ quy chiếu nào đó, độ dài của vật được xác định bằng cách đo hiệu các toạ độ không gian của các đầu mút của nó. Do vật đang xét không chuyển động nên việc đo đạc có thể tiến hành vào bất kì thời điểm nào. Độ dài được xác định như vậy được gọi là chiều dài riêng của vật. Để giải thích cho kết quả của thí nghiệm Michelson-Moirley, Phitegieren và Lorentz đã nêu lên giả thiết: kích thước của một vật theo phương chuyển động sẽ bị co ngắn lại. Bây giờ ta sẽ chứng tỏ sự co ngắn đó là một quy luật tổng quát, nó là một hệ quả của thuyết tương đối. Xét một chiếc thước đặt dọc theo trục x và chuyển động đều với vận tốc v, cũng dọc theo trục x. Gắn hệ K’ với chiếc thứơc. Gọi x’1 và x’2 là hai đầu mút của thước trong hệ K’. Hiệu l0 = x’2 – x’1 là chiều dài của thước trong hệ K’ (hệ mà thứơc đứng yên). 41 Xét chiều dài của thước trong hệ K. Để đo chiều dài của chiếc thước trong hệ K thì người quan sát đứng trên trục x, khi chiếc thước chuyển động ngang qua trước mặt thì người quan sát đồng thời đánh dấu hai đầu mút của thước trong hệ quy chiếu của mình. Gọi toạ độ hai vết đó là x1, x2 tương ứng với x’1, x’2. Hiệu l = x2 - x1 là chiều dài của thước trong hệ chuyển động K. Từ công thức biến đổi Lorentz ta có: x’1 = (x1 - v.t1)  x’2 = (x2 – v.t2)  Do x1, x2 được đánh dấu đồng thời nên t1 = t2, từ đó ta có: x’2 – x’1 = (x2 – x1)  hay l0 = l. (2.3.9) Từ công thức (2.3.9) ta thấy rằng khi v << c thì l = l0 sự co chiều dài là không đáng kể. Nhưng khi so sánh với vận tốc ánh sáng thì  >1 nên l < l0, lúc này sự co lại của chiều dài là đáng kể. Công thức (2.3.9) được gọi là công thức mô tả sự co lại Lorentz. Công thức (2.3.9) có biểu thức giống công thức mà Phitgieren và Lorentz đã đưa ra trước đó. Nhưng cách đoán nhận ra nó thì lí thuyết Phitgieren-Lorentz hoàn toàn khác lí thuyết tương đối. Phitgieren và Lorentz thì cho rằng sự co ngắn chiều dài là sự biến đổi về mặt Vật lí do áp suất của gió ête gây ra, còn Einstein cho rằng sự co chiều dài chỉ liên quan đến kết quả của các phép đo. Phitgieren và Lorentz coi rằng các vật chuyển động có “chiều dài tĩnh” tuyệt đối nghĩa là chiều dài thực, khi bị co lại tức là chúng không giữ chiều dài thực của chúng nữa. Còn Einstein thì coi rằng không cần đến sự có mặt của ête nên nói đến chiều dài tuyệt đối, chiều dài thực là không có nghĩa. Sự co Lorentz chỉ là một hiệu ứng động học thuần tuý chứ không liên quan đến các nguyên nhân vật lí. 42 Bây giờ ta đặt hai chiếc thước có chiều dài giống nhau vào hai hệ K và K’. Lúc này ta có thể đặt câu hỏi rằng: thực sự chiếc thước nào bị co lại? Theo lí thuyết tương đói việc đặt câu hỏi như vậy không có ý nghĩa. Lý thuyết tương đối không nói rằng chiếc thước nào thật sự bị co lại mà nói rằng trong hệ quy chiếu nào đó nếu đo chiều dài của chiếc thước kia thì sẽ thấy chiếc thước trong hệ đó ngắn hơn chiếc thước trong hệ của mình. Ta xét ví dụ sau: Giả sử có hai sự kiện nào đó xẩy ra trên trục của hệ K tại hai điểm x1, x2 vào hai thời điểm t1, t2 tương ứng (Hình 2.7). Theo công thức biến đổi Lorentz ta có: x’1 = (x1 –v.t1) x’2 = (x2 – v.t2) Từ đó ta có: x’2 – x’1 = [x2 – x1 –v(t2 – t1) Đặt 12 12 tt xxa    thì: x’2 – x’1 = (x2 –x1)(1 - a v ) (2.3.10) Nhận thấy: Nếu a > v thì 1 - a v > 0 khi đó x’2 – x’1 cùng dấu với x2 – x1 Nếu a < v thì 1 - a v < 0 khi đó x’2 – x’1 khác dấu với x2 – x1 Điều này có nghĩa là nếu trong hệ K sự kiện 2 (xẩy ra tại x2) ở bên phải sự kiện 1 (x2 > x1) thì trong hệ K’ lại thấy sự kiện 2 xẩy ra ở bên trái sự kiện 1 (x2 < x1). Như vậy bên phải bên trái là có tính tương đối tính, nó phụ thuộc vào hệ quy chiếu. Có thể nói đằng trước, đằng sau, phía trên, phía dưới cũng có tính tương đối. 43 Từ đó ta thấy thuyết tương đối Einstein khác với cơ học Newton ở chỗ: thuyết tương đối quan niệm rằng không gian có tính tương đối. 2.3.4 Sự chậm lại của thời gian Giả sử 2 con tàu chuyển động theo hai hướng gặp nhau với vận tốc không đổi, coi tàu 1 đứng yên K còn tàu kia chuyển động K’. Khi con tàu K’ đi ngang qua con tàu K thì một hành khách trong K’ chiếu tia sáng từ sàn lên một trần theo phương thẳng đứng (hình a). Nhưng đối với hành khách trong con tàu K thì sẽ thấy tia sáng không đi theo đường thẳng mà đi theo đường gấp khúc (hình b). Để tìm vận tốc ánh sáng cả hai hành khách đều lấy quãng đường đi của hai tia sáng chia cho thời gian mà tia sáng đã đi, tức là khoảng thời gian giữa hai sự kiện: lúc bắt đầu chiếu tia sáng và lúc tia sáng bắt đầu quay trở lại gặp sàn tàu. Đối với hành khách trong K sẽ thấy đường đi của tia sáng dài hơn so với đường đi trong K’. Nhưng theo tiên đề 2 của Einstein thì vận tốc ánh sáng là một đại lượng bất biến. Vì vậy để thoả mãn tiên đề đó thì thời gian mà tia sáng đã đi đối với hành khách trong K phải lớn hơn đối với hành khách trong K’. Nói cách khác nếu đo thới gian giữa hai sự kiện nói trên 44 bằng đồng hồ trong hệ K’ ta sẽ được số đo nhỏ hơn số đo trong hệ K. Điều đó nghĩa là thời gian trôi đi trong hệ chuyển động K’ chậm hơn so với hệ đứng yên K. Vậy thời gian hai hệ K và K’ có quan hệ như thế nào? Ta sẽ đi tìm hiểu. Giả sử có một chiếc đồng hồ đặt tại x’ trong hệ K’. Chiếc đồng hồ này ghi lại 2 thời điểm xảy ra hai sự kiên tại chính x’. Sự kiện 1 xảy ra lúc t’1 và sự kiện 2 xảy ra lúc t’2. Theo công thức biến đổi Lorentz ta có: t1 = (t’1 + 2c v x’) (2.3.11) t2 = (t’2 + 2c v x’) Từ (2.3.11) ta được: t2 - t1= (t’2 - t’1) t’2 - t’1 là khoảng thời gian giữa hai sự kiện xảy ra trong hệ K’ được đo bằng đồng hồ trong hệ K’. Và gọi đó là thời gian riêng 0 của hệ K’. Vì t1, t2 là thời điểm trong hệ K ứng với thời điểm t’1, t’2 trong hệ K’. Do đó,  = t2 - t1 là khoảng thời gian giữa 2 sự kiện được đo bằng đồng hồ trong hệ K. Vậy  = 0 . Do  > 1 suy ra 0 <  Số đo của đồng hồ trong hệ K’ nhỏ hơn số đo của đồng hồ trong hệ K hay nói cách khác đồng hồ trong hệ chuyển động chạy chậm hơn đồng hồ trong hệ đứng yên. Như vậy thời gian không phải là tuyệt đối, là chung cho toàn vũ trụ như Newton đã nói mà ứng với mỗi hệ quy chiếu có thời gian riêng của mình. Theo thuyết tương đối Einstein không những đồng thời của thời gian không phải là tuyệt đối mà trật tự thời gian cũng không phải là tuyệt đối. Ta xét ví dụ sau: 45 Giả sử hai sự kiện cùng xảy ra trong hệ K, sự kiện 1 xảy ra lúc t1 tại thời điểm x1, sự kiện 2 xảy ra lúc t2 tại thời điểm x2. Theo công thức biến đổi Lorentz ta có: t’1 = (t1 - 2c v x1) (2.3.12) t’2 = (t2 - 2c v x2) (2.3.13) Từ (2.3.12) và (2.3.13) ta có t’2 - t’1 = (t2 - t1)(1- 2c v a)  (2.3.14) Nếu sự kiện 1 là viên đạn bắn ra khỏi nòng súng, sự kiện 2 là viên đạn đập vào bia thì 12 12 tt xx   chính là vận tốc trung bình của viên đạn, nó phải nhỏ hơn c. Do đó 2c v a < 1 hay (1 - 2c v a) > 0. Từ công thức (2.3.14) suy ra t’2 – t’1 cùng dấu với t2 - t1. Nghĩa là trong hệ K sự kiện 2 xảy ra sau sự kiện 1 thì trong hệ K’ cũng thấy sự kiện 2 xảy ra sau sự kiện 1. Hai sự kiện này có mối liên hệ nhân quả, sự kiên 1 là nguyên nhân sự kiện 2 là kết quả. Nếu sự kiện 1 là bắt đầu buổi hoà nhạc, còn sự kiện 2 là một học sinh giải xong bài toán. Hai sự kiện này không có liên quan gì với nhau nên nó không có điều kiện ràng buộc đối với a. Do đó trong trường hợp này có thể 2c v a > 1 => (1- 2c v a) < 0. Dẫn đến t’2 – t’1 khác dấu với t2 - t1 nghĩa là trong hệ K ta thấy sự kiện 2 xảy ra sau sự kiện 1 thì trong hệ K’ ta lại thấy sự kiện 2 xảy ra trước sự kiện 1. Như vậy trật tự thời gian trước sau có tính tương đối. 2.4 Kết luận. 46 Với sự ra đời của thuyết tương đối Einstein các mâu thuẫn nội tại trong lí thuyết, các kết quả trong thí nghiệm đã được giả quyết: Hiện tượng tinh sai, thí nghiệm Fizaeu, thí nghiệm Michelson-Moriley. Bây giờ ta sẽ xét một số đại lượng trong thuyết tương đối. Một trong những hệ quả quan trọng của thuyết tương đối hẹp là khối lượng của một vật biến đổi theo vận tốc. 2.5 Biểu diễn một số đại lượng theo thuyết tương đối Einstein 2.5 .1 Khối lượng, xung lượng và năng lượng Trong cơ học cổ điển, khối lượng của một chất điểm là một lượng bất biến, bà xung lượng của chất điểm đựơc định nghĩa bằng công thức: ump  . Phương trình động lực học trong cơ học cổ điển là ).( um dt d dt pd   Kí hiệu m0 là khối lượng bất biến của chất điểm. Khi đó ta định nghĩa xung lượng bốn chiều của chất điểm kí hiệu là:  umP .0 (2.5.1) Về mặt hình thức, vế phải của (2.5.1) là một véctơ nhân với một đại lượng vô hướng, vậy vế trái của (2.5.1) cũng là một véctơ. Trong đó xung lượng, vận tốc là các đại lượng véctơ bốn chiều, và m0 cũng là đại lượng vô hướng bốn chiều. Các thành phần của P : 2 20101 1 . c u umumP x   2 20202 1 . c u u mumP y   47 2 20303 1 . c u umumP z   2 2404 1 .. . c u cimumP ò   Đặt 2 2 0 1 c u mm   (2.5.2) Suy ra P1 = m.ux P2 = m.uy P3 = m.uz Nhận thấy: Khi u = 0 thì m = m0 Khi u << c thì m  m0 Khi u  c thì m   Trong thuyết tương đối m0 được gọi là khối lượng tĩnh (hay khối lương nghỉ) của hạt, tức là khối lượng đo tại hệ quy chiếu mà trong đó hạt đứng yên. Khi đó đại lượng m được định nghĩa trong công thức (2.5.2) gọi là khối lượng tương đối tính, tức là khối lượng đo trong hệ mà hạt chuyển động với vận tốc u. Vận tốc càng lớn thì khối lượng càng lớn. Khi u  c thì khối lượng tương đối tính lớn lên vô cùng, do đó muốn tiếp tục tăng tốc cho vật thì phải tác dụng một lực lớn vô cùng, lực đó không thể có trong thực tế được. Đó chính là lí do vì sao không thể có vật nào chuyển động với vận tốc bằng vận tốc ánh sáng được. Khi đó xung lượng tương đối tính là đại lượng: 2 2 0 1 . c u umumP    Chiếu lên các trục toạ độ ta có: 48 2 2 0 1 c u umP xx   2 2 0 1 c u um P yy   2 2 0 1 c u umP zz   Khi u << c thì Px  m0.ux Py  m0.uy Pz  m0.uz Với m0.ux , m0.uy, m0.uz là các thành phần xung lượng trong cơ học cổ điển Như vậy khi vật chuyển động với vận tốc nhỏ thì công thức xung lượng trong thuyết tương đối cũng chính là công thức xung lượng trong cơ học cổ điển. Khi đó trong thuyết tương đối năng lượng được định nghĩa: E = 2 2 2 0 1 c u cm  = m0c2+ K Khi chuyển hệ toạ độ các thành phần của vécơ 4 chiều biến đổi theo các công thức: 2 2 41 1 1 . ' c v p c vip p    3 ' 3 22 ' pp pp   49 2 2 11 4 1 . ' c v p c vip p    Từ đó ta có công thức biến đổi của xung lượng và năng lượng: 2 2 1 ' c v E c vip p x x    zz yy pp pp   ' ' 2 2 1 . ' c v pvEE x    Như vậy xung lượng và năng lượng là các đại lượng tương đối. Lượng bất biến là môđun của véctơ 4 chiều P 2202 2 2222 .cm c Epppp zyü  (2.5.3) Từ (2.5.3) suy ra 2202 .. cmpcE  hay 2mcE  (2.5.4) Khi chất điểm chuyển động với vận tốc nhỏ n << c, ta tính được một cách gần đúng: 20202 2 . 2 1...) 2 1(. nmcm c ncmE  (2.5.5) Khi hạt đứng yên: u = 0 và E = E0 = m0.c² (2.5.6) E0 gọi là năng lượng tĩnh của hạt, tức là năng lượng của hạt đứng yên. Theo (2.5.5) năng lượng của hạt gồm năng lượng tĩnh và động năng (không có thế năng như trong cơ học cổ điển). 50 Các công thức (2.5.5) và (2.5.6) là các công thức Einstein. Chúng diễn tả mối quan hệ giữa khối lượng và năng lượng: năng lượng toàn phần và khối lượng của hạt tỉ lệ với nhau. Khi một hạt đứng yên ở ngoài trường thế cũng có năng lượng khác 0: E0 = m0.c² Điều này trái với cơ học cổ điển. Những kết luận của Einstein được thực nghiệm hoàn toàn các nhận. Quan điểm của Einstein về năng lượng và khối lượng dạng được sử dụng trong việc nghiên cứu vật lí hạt nhân. 2.5.2 Các phương trình Macwell Các phương trình Macwell là hệ phương trình cơ bản của điện từ trường. Thực nghiệm cho biết chúng là bất biến đối với phép biến đổi Lorenxơ. Bây giờ chúng ta biểu diễn các phương trình đó dưới dạng 4 chiều. Viết các phương trình phương trình thế và điều kiện định cỡ đối với chân không: j t A c A  .1 02 2 2 22     (2.7.1) 0 2 2 2 22 1        tc (2.7.2) 012    tc Adiv   (2.7.3) Phương trình (2.7.3) có thể viết lại: 0 4321              c i xx A x A x A zyx (2.7.4) Vế trái của (2.7.4) là dive 4 chiều của véctơ 4 chiều A mà các thành phần là Ax, Ay, Az, c i . Ta gọi A là vectơ thế 4 chiều, và khi đó (2.7.4) trở thành: 51 0     x A Đưa các thành phần của A và j vào (2.7.1) và (2.7.2) ta viết lại dưới dạng   jAxxxx 024 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 )(             (2.7.5) Từ cátơ A  và thế vô hướng  . 2 2 ' 2 2 2 1 '.' ' 1 '' c v Av AA AA c v c vA A x zz yy x x            (2.7.6) Trong hệ K và K’, điện trường và từ trường được biểu diễn qua thế véctơ và thế vô hướng bằng các công thức: ' ''' t AgrapE t AgrapE           (2.7.7) ArotB   Từ (2.7.7) ta có công thức biến đổi của điện trường và từ trường từ hệ K’ sang hệ K: 2 2 '' 2 2 '' 1 . 1 . ' c v BvE E c v BvE E EE yz z zy y xx        (2.7.9) 52 2 2 ' 2 ' 2 2 ' 2 ' 1 . 1 . ' c v E c vB B c v E c vB B BB yz z zy y xx        (2.7.10) Trong các công thức biến đổi trên, nếu thay E bằng D/e và B bằng H, ta rút ra: 2 2 ' 2 ' 2 2 ' 2 ' ' 1 1 c v H c vD D c v H c vD D DD yz z zy y xx        (2.7.11) 2 2 '' 2 2 '' ' 1 . 1 . c v DvH H c v DvH H HH yz z zy y xx        (2.7.12) Muốn có công thức biến đổi từ hệ K sang K’ chỉ cần đổi dấu của v ở các vế phải. Đối với các công thức vận tốc v<<c, ta có thể coi là 11 2 2  c v , các công thức trên được đơn giản đi rất nhiều: 53        '.' '.1' '.1' '.' 2 2 DvHH Hv c DD Ev c BB BvEE         (2.7.13) 2.5.3 Vận tốc ánh sáng trong chất lỏng. Sau khi công thức cộng vận tốc Einstein ra đời kết quả trong thí nghiệm Fizeau được chứng minh. Chúng ta sẽ rút ra công thức tính vận tốc của ánh sáng trong chất lỏng Gọi 'u là vận tốc của ánh sáng trong chất lỏng đứng yên. n cu ' (n là chiết suất của chất lỏng) Vận tốc của ánh sáng trong hệ K’ gắn với chất lỏng chuyển động là 'u . Theo định lí cộng vận tốc Einstein, vận tốc của ánh sáng trong hệ K là: + Nếu ánh sáng truyền xuôi dòng với chất lỏng: '1 ' 2 uc v vuu    (2.5.7) + Nếu ánh sáng truyền theo ngược chiều chuyển động của chất lỏng: '1 ' 2 uc v vuu    (2.5.8) Thay n cu ' vào (2.5.7) và (2.5.8) ta được: cn v v n c n c c v v n c u       1.1 2 54 cn v v n c n c c v v n c u       1.1 2 Do v << c nên 1 cn v vì vậy áp dụng công thức tính gần đúng:     1 1 1 với  << 1 ta được: nc v nc vcv n c nc vv n cu .. .) . 1)(( 2 2  Do c v <<1 nên bỏ qua số hạng cuối => )11(' . . 22 n vu n vv n cu  (2.5.9) Hoàn toàn tương tự áp dụng công thức tính gần đúng     1 1 1 ta tính được )11(' 2n vuu  (2.5.10) Công thức (2.5.9) và (2.5.10) là các công thức vận tốc của ánh sáng trong chất lỏng mà thí nghiệm Fizeau đã thu được. 2.5.4 Khái niệm thời gian trễ. Khái niệm thời gian trễ (sự chậm lại của thời gian trong hệ chuyển động) đã được kiểm nghiệm bằng việc quan sát thấy hạt mêzôn trên mặt đất. Các hạt mêzôn được tạo thành từ trên cao cách mặt đất khoảng 10 - 20km. Đời sống trung bình của hạt mêzôn vào khoảng 610.2,2  s. Vận tốc của nó trong tia vũ trụ xấp xỉ bằng vận tốc của ánh sáng ...9999999,0 c v Nếu tính theo đồng hồ chuyển động này thì hạt mêzôn chỉ chuyển động được 1 khoảng 610.2,2.300000  Km 55 Nhưng theo đồng hhồ trong hệ quy chiếu trong mặt đất thì hạt mêzôn có thời gian sống là: 4.0 10.4,14   s. Do đó hạt mêzôn chuyển động được một khoảng là: 410.4,14.300000  = 432Km. Điều này đồng nghĩa với việc hạt mêzôn có mặt tại mặt đất. Khi nói đến thời gian trễ người ta thường nói đến nghịch lý về hai anh em sinh đôi. Giả sử có hai anh em sinh đôi trên mặt đất sau khi sinh một bé để lại nuôi trên mặt đất còn một bé nuôi trên tàu vũ trụ. Con tàu này chuyển động về phía ngôi sao cách trái đất 20 năm ánh sáng, vận tốc con tàu xấp xỉ vận tốc ánh sáng. Như vậy nếu con tàu sau khi đến ngôi sao nói trên lại quay ngay lại trái đất thì theo đồng hồ trên trái đất đã 40 năm trôi qua. Nhưng nếu đo bằng đồng hồ trên con tàu thì khoảng thời gian này là: = 0 / =5.65 năm (coi vận tốc bằng 0,99.c). Điều này làm cho hai anh em sinh đôi gặp nhau lúc con tàu trở về trái đất thì một người đã bước vào tuổi 41 còn người còn người kia chưa đầy 6 tuổi. Đó là khi ta coi trái đất đứng yên còn con tàu chuyển động. Còn nếu ta coi con tàu đứng yên còn trái đất chuyển động thì ta lại có kết quả ngược lại. Người trên con tàu sẽ bước vào tuổi 41 còn người kia ở mặt đất chưa đầy 6 tuổi. Điều này đã vượt ra ngoài phạm vi của thuyết tương đối hẹp bởi một hệ là quán tính và một hệ là không quán tính: hai hệ không tương đương nhau. Sau đây ta sẽ xét một số bài tập trong theo quan điểm thuyết tương đối 2.6 Bài tập về công thức cộng vận tốc Einstein Bài tập 2.1.1 Giải thích hiện tương tinh sai Xét các véctơ ',uu  nằm trong mặt phẳng (x, z) và (x’, z’),  và góc hợp bởi u và trục x (hình vẽ) 56 Góc  được xác định: vu c vu u utg x z x z    ' 1' 2 2  (2.5.11) Với ux’ và uz’ là hình chiếu của vận tốc ánh sáng lên các trục x’, z’, trong hiện tượng tinh sai tia sáng chiếu vuông góc với mặt đất nên: ux’ = 0 , uz’ = c v là vận tốc của trá: 410 1  c v => 11 2 2  c v Thay vào (2.5.11) ta được: v ctg  (2.5.12) Kết quả (2.5.12) phù hợp với thực nghiệm. Như vậy thuyết tương đối ra đời đã giải quyết được mâu thuẫn nội tai trong các thuyết vật lí và các thí nghiệm. Bài tập 2.1.2 Một giọt mưa rơi do trọng lượng của nó để lại vết trên cửa kính của một ôtô chạy với vận tốc V. Xác định góc lệch của vệt giọt mưa so với phương thẳng đứng theo quan điểm cổ điển và theo quan điểm tương đối. Coi giọt mưa rơi đều với vận tốc v. Giải: Chọn hệ quy chiếu K gắn với trái đất, hệ K’ gắn với ôtô. ôtô chạy với theo phương ox. Vận tốc của hạt mưa trong hệ K là u(vx, vy, vz), trong hệ K’ là u’(v’x, v’y, v’z) Vận tốc của hạt mưa trong hệ quy chiếu K là vx=0, vy= - v , vz = 0 (2.7.15) Đối với hệ K’ theo công thức cộng vận tốc Einstein, vận tốc của giọt mưa là: 57 0 1 ' 2 2 ' '    z y x v c Vvv Vv (2.7.16) Từ đó góc lệch giữa vệt của giọt mưa so với phương ngang được xác định: ) 2 1( 1 2 2 2 2' ' c V v V c Vv V v vtg y z    (2.7.17) Theo quan điểm cổ điển thì vận tốc của hạt mưa trong hệ K’: vx’= -V , vy’ = -v, vz’ = 0 Từ đó góc được xác định: tg = v V (2.7.18) Nhận thấy khi v << c thì hiệu ứng tương đối không đáng kể, lúc này (2.7.17) và (2.7.18) coi như trùng nhau. Bài tập 2.1.3 Một hạt chuyển động với vận tốc 0,8c và tạo với trục x một góc 30˚ đối với một quan sát viên O. Xác định vận tốc của hạt đối với một quan sát viên O’ chuyển động dọc theo trục chung x- x’ với vận tốc (– 0,6c). Giải: Đối với quan sát viên O ta có: ux = (0,8c).cos30˚ = 0,693.c uy = (0,8c).sin30˚ = 0,4.c Đối với quan sát viên O’, theo phép biến đổi Lorentz vận tốc của hạt là: 58 226,0 )693,0().6,0(1 )6,0(1)4.0( )1( 1 913,0 )693,0()6,0(1 )6,0(693,0 1 2 2 2 2 2 ' 22 '                 c c c c u c v c vu u c c cc u c v vuu x y x x x Vận tốc của hạt đo bởi quan sát viên O’ là: cccuuu yx 941,0)226,0()913,0(''' 2222  Gọi  là góc giữa vận tốc của hạt đo bởi quan sát viên O’ là: 248,0 913,0 226,0 ' '  c c u u tg x y và  = 13,9˚ 2.6.2 Bài tập về khối lương, xung lượng và năng lượng. Bài tập 2.2.1 Hai hạt giống nhau với khối lượng nghỉ của mỗi hạt là m0 chuyển động lại gần nhau với cùng vận tốc u, va chạm hoàn toàn không đàn hồi với nhau và tạo thành một vật duy nhất. Xác định khối lượng nghỉ của vật tạo thành trong hệ quy chiếu đứng yên so với một trong hai hạt. Giải: Xét hai hệ quy chiếu O và O’, trong đó O’ chuyển động với vận tốc u so với O theo chiều dương của trục x, và hệ O’ đứng yên so với hạt A. Vận tốc của hạt còn lại (hạt B) trong hệ O là: uB = - u. áp dụng công thức biến đổi Lorentz, vận tốc của hạt B trong hệ O’ là: 2 2 2 ' 1 2 . 1 c u v c vu vuu B B B      Vì hạt C tạo thành đứng yên trong phòng thí nghiệm nên hạt C đứng yên đối với hệ O, do đó vận tốc của C đối vói O’ sẽ là u’C = - u.  Theo định luật bảo toàn động lượng đối O’. 59 2 ' ' 0 2 2' ' 0 2 2' ' 0 1)(1)(1 . c u uM c u um c u um C C B B A A      Mặt khác uA’ = 0 nên ta có: )/(1 ).( )/(1 /21 )/(1 2 22 0 2 22 220 cu uM cu cu cu um              Vậy )/(1 2 22 0 0 cu mM    Theo quan điểm định luật bảo toàn năng lượng ta có: Etrước = Esau 022 0 0 2 022 2 0 2 )/(1 2 . )/(1 2 m cu mM cM cu cm      Như vậy, xuất phát từ định luật bảo toàn vận tốc hay định luật bảo toàn động lượng ta đều thu được kết quả như nhau. Bài tập 2.2.2 Một hạt khối lượng nghỉ m0 chuyển động với vận tốc 0,8c va chạm hoàn toàn không đàn hồi với một vật khác có khối lượng nghỉ 3m0 và lúc đầu đứng yên. Xác định khối lượng nghỉ của hạt tạo thành. Giải: Theo định luật bảo toàn động lượng ta có: P1 = P2 Hay 2 2 2 20 2 2 1 10 1 . 1 . c u uM c u um    60 cmcm c u uM . 3 4 )8,0(1 )8,0.( 1 02 0 2 2 2 20      (2.2.19) Theo định luật bảo toàn năng lượng: E1 = E2 2 2 2 2 02 0 2 2 1 2 0 1 . ..3 1 . c u cM cm c u cm    220 2 0 2 2 2 2 0 67,4.3 )8,0(1 . 1 . ccm cm c u cM     (2.2.20) Từ (2.2.19) và (2.2.20) ta suy ra: u2 = 0,286c và M0 = 4,47m0 61 Kết luận Khoá luận đã đạt được các kết quả sau: + Tổng quan được lí thuyết về nguyên lí tương đối Galilée gồm: lí thuyết về hệ quy chiếu quán tính, phép biến đổi Galilée, nguyên lí tương đối Galilée. + Tổng quan lí thuyết về thuyết tương đối hẹp Einstein gồm các vấn đề: các thí nghiệm dẫn đến sự ra đời của thuyết tương đối. Tìm hiểu được khái niệm sự co ngắn chiều dài, sự chậm lại của thời gian, cách biểu diễn một số đại lượng Vật lí theo quan điểm thuyết tương đối. + ứng dụng được công thức biến đổi Galilée vào giải chi tiết một số bào tập Vật lí về động học. + Nắm được biểu thức và đặc điểm của lực quán tính trong hệ quy chiếu không quán tính chuyển động thẳng biến đổi đều và trong hệ quy chiếu không quán tính chuyển động quay đều. Giải chi tiết một số bài toán động lực học trong hệ quy chiếu không quán tính. + Vận dụng được thuyết tương đối hẹp Einstein để giải thích hiện tượng tinh sai, tính được vận tốc ánh sáng trong chất lỏng và giải được một số bài toán theo quan điểm thuyết tương đối hẹp. 62 Mục lục Chương I: Nguyên lí tương đối Galilée 3 1.1.1 Hệ quy chiếu quán tính 3 1.1.2 Phép biến đổi Galilée 5 1.1.3 Nguyên lí tương đối Galilée 6 1.1.4 Bài tập về phép biến đổi Galilée 7 Bài tập 1.1.1 7 Bài tập 1.1.2 9 Bài tập 1.1.3 10 Bài tập 1.1.4 13 1.2 Chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu quán tính 13 1.2.1 Hệ quy chiếu quán tính chuyển động thẳng đều 13 1.2.3 Bài tập về lực quán tính 15 Bài tập 1.2.1 15 Bài tập 1.2.2 ` 16 Bài tập 1.2.3 18 Bài tập 1.2.4 19 1.3 Chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu quán tính quay 20 63 1.3.1 Hệ quy chiếu quán tính quay 20 1.3.2 Bài tập về lực quán tính quay 22 Bài tập 1.3.1 22 CHƯƠNG II: Thuyết tương đối hẹp Einstein 24 2.1 Sự ra đời của thuyết tương đối hẹp Einstein 24 2.1.1 Thí nghiệm Fizeau 26 2.1.2 Hiện tượng tinh sai 27 2.1.3 Thí nghiệm Michelson-Moriley 28 2.2 Thuyết tương đối hẹp Einstein 2.3 Các hệ quả của thuyết tương đối hẹp 2.3.1 Phép biến đổi Lorentz 2.3.2 Công thức cộng vận tốc Einstein 2.3.3 Sự co ngắn chiều dài của vật theo phương chuyển động 2.3.4 Sự chậm lại của thời gian 37 2.4 Kết luận 40 2.5 Biểu diễn một số đại lượng theo thuyết tương đối Einstein 40 2.5.1 Khối lượng, xung lượng, năng lượng 40 2.5.2 Các phương trình Macxell 44 2.5.3 Vận tốc ánh sáng trong chất lỏng 47 2.5.4 Khái niệm thời gian trễ 49 2.6.1 Bài tập về công thức cộng vận tốc Einstein 51 Bài tập 2.1.1 Bài tập 2.1.2 51 Bài tập 2.1.3 52 2.6.2 Bài tập về khối lượng, xung lượng, năng lượng 54 Bài tập 2.2.1 54 Bài tập 2.2.2 55 64