Đề tài Một số kinh nghiệm rèn kỹ năng giải toán điển hình ở lớp 4

Sáng kiến kinh nghiệm Đề Tài MỘT SỐ KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN ĐIỂN HÌNH Ở LỚP 4 1 SÁNG KIẾN MỘT SỐ KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN ĐIỂN HÌNH Ở LỚP 4 PHẦN THỨ NHẤT ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình toán ở tiểu học, việc giải các bài toán chiếm một vị trí rất quan trọng. Được thể hiện qua các khái niệm toán học, các quy tắc toán học đều được giảng dạy thông qua giải toán. Việc giải toán giúp học sinh củng cố vận dụng các kiến thức, rèn luyện kĩ năng tính toán . Đồng thời qua việc giải toán cho học sinh mà giáo viên có thể dễ dàng phát hiện những mặt mạnh, mặt yếu của từng em về kiến thức, kĩ năng và tư duy để từ đó giúp học sinh phát huy được tính chủ động sáng tạo trong học tập. Hướng dẫn học sinh tìm ra lời giải đúng và hay là rất khó. Đại đa số giáo viên chỉ hướng dẫn học sinh giải các bài toán trong sách giáo khoa, ít khi đề cập đến các bài toán khác trong các tài liệu tham khảo. Chính vì thế việc rèn kĩ năng giải toán điển hình còn có phần hạn chế. Để dạy tốt các dạng toán này điều trước tiên mỗi giáo viên phải thực sự yêu nghề mến trẻ, thực sự quan tâm đến học sinh từ đó phải đầu tư nghiên cứu đề ra những biện pháp cụ thể cho từng tiết dạy. Từ những điều này tôi thấy việc cần phải rèn kĩ năng giải toán điển hình cho học sinh là quan trọng. Song bản thân tôi không có tham vọng lớn mà chỉ cố gắng nghiên cứu tìm tòi nhằm đáp ứng được phần nào trong việc đổi mới và nâng cao chất lượng dạy học. Vì lẽ đó năm học 2 2005-2006 này tôi đã chọn nội dung “ Rèn kỹ năng giải toán điển hình ở lớp 4” để nghiên cứu và áp dụng vào công tác giảng dạy của mình. PHẦN THỨ HAI NỘI DUNG I.CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.Cơ sở khoa học. Trong hoạt động dạy và học thì không thể không nói đến phương pháp dạy và phương pháp học, hai hoạt động đó diễn ra song song. Nếu chỉ chú ý đến việc truyền thụ kiến thức cho học sinh mà không chú ý đến việc tiếp thu và hình thành kỹ năng và kỹ xảo như thế nào thì quá trình dạy học sẽ không mang lại kết quả cao. Khi học sinh không nhận thức được tri thức khoa học thì sẽ không hình thành được kỹ năng kỹ xảo. Từ đó không nhận thức đúng đắn, đáp ứng yêu cầu thực tiễn sảy ra những tình huống mà học sinh sẽ không xử lý được, cho dù giáo viên có những phương pháp giảng dạy hay đến đâu đi chăng nữa, mà học sinh không có học tập khoa học thì không giải quyết được nhiệm vụ dạy học. 2.Cơ sở thực tiễn. Đối với môn Toán là môn học tự nhiên nhưng rất trìu tượng, đa dạng và lôgic, hoàn toàn gắn với thực tiễn cuộc sống hàng ngày. Bởi vậy nếu học sinh không có phương pháp học đúng sẽ không nắm được kiến thức cơ bản về Toán học và đối với các môn học khác nhận thức gặp rất nhiều khó khăn. Môn Toán là môn học quan trọng trong tất cả các môn học khác. nó là chìa khoá để mở ra các môn học khác. Đồng thời nó có khả năng phát 3 triển tư duy lôgic, phát triển trí tuệ cần thiết giúp con người vận dụng vào cuộc sống hàng ngày. Trong giờ Toán, bên cạnh việc tìm tòi và sáng tạo phương pháp giảng dạy phù hợp với yêu cầu bài học và đối tượng học sinh. Mỗi giáo viên cần phải giúp các em có phương pháp lĩnh hội tri thức Toán học. Học sinh có phương pháp học Toán phù hợp với từng dạng bài Toán thì việc học mới đạt kết quả cao. Từ đó khuyến khích tinh thần học tập của các em cao hơn. II.THỰC TRẠNG : 1. Đối với giáo viên: Trong quá trình dạy học có thể nói người giáo viên còn chưa có sự chú ý đúng mức tới việc làm thế nào để đối tượng học sinh nắm vững được lượng kiến thức, đặc biệt là các bài toán điển hình. Nguyên nhân là do giáo viên phải dạy nhiều môn, thời gian dành để nghiên cứu, tìm tòi những phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh trong lớp còn hạn chế. Do vậy, chưa lôi cuốn được sự tập trung chú ý nghe giảng của học sinh. Bên cạnh đó nhận thức về vị trí, tầm quan trọng của các bài toán điển hình trong môn Toán cũng chưa đầy đủ. Từ đó dẫn đến tình trạng dạy học chưa trọng tâm, kiến thức còn dàn trải. 2. Đối với học sinh: Còn nhiều gia đình học sinh chưa thực sự quan tâm tới việc học tập của con cái. Do điều kiện kinh tế còn khó khăn và trình độ học vấn chưa cao nên chưa chú ý đến việc học hành của con cái.Đặc biệt chưa nhận thức đúng vai trò của môn Toán. Học sinh chưa ý thức được nhiệm vụ của mình, chưa chịu khó, tích cực tư duy suy nghĩ tìm tòi cho mình những phương pháp học đúng để biến tri thức của thấy thành của mình. Cho lên sau khi học xong 4 bài, các em chưa nắm bắt được lượng kiến thức thầy giảng rất nhanh quên và kĩ năng tính toán chưa nhanh. Nhất là đối với kỹ năng giải toán điển hình Số liệu điều tra học lực đầu năm: Khá giỏi Trung bình yếu L ớp T ổng số H S S L % S L % S L % 4 A 29 8 27 ,6 1 6 55, 2 5 1 7,2 4 B 29 9 31 ,0 1 6 55, 2 4 1 3,8 III. KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN ĐIỂN HÌNH. 1. Xác định các bước giải toán điển hình: a) Bước 1: Cho học sinh giải các bài toán có tính chất chuẩn bị cơ sở việc giải loại toán sắp học. Các bài toán có tích chất chuẩn bị này nên có số liệu không lớn lắm để học sinh có thể tính miệng được dễ dàng nhằm tạo điều kiện cho các em tập trung suy nghĩ váo các mối quan hệ toán học và các từ mới chứa trong đầu bài toán. 5 VD1: Để chuẩn bị cho việc học loại toán “Tìm số trung bình cộng” có thể cho học giải bài toán đơn sau: “Anh Hải điều khiển máy xay lúa. Trong 8 giờ anh xay được 72 tạ lúa. Hỏi trung bình mỗi giờ anh xay được mấy tạ thóc?”. VD2: Để chuẩn bị cho việc học loại toán “ Tìm hai số biết tổng và tỉ số của chúng”. Có thể cho học sinh giải bài toán sau: “ Mẹ có 30 cái kẹo, chia thành 3 gói bằng nhau. Mẹ cho chị 1 gói, cho em 2 gói. Hỏi chị được mấy cái kẹo?” b) Bước 2: Cho học sinh phân tích và giải bài mẫu về loại toán điển hình đó. Những bài toán được chọn làm mẫu này nên có số liệu không lớn quá và có dạng tiêu biểu nhất chứa dựng tất cả những đặc điểm chung của loại toán điển hình cần học để học sinh có thể tập trung chú ý được vào khâu nhận dạng loại toán và rút ra được cách giải tổng quát. VD3: Dạy phần bài mới của tiết: “Bài toán tìm 2 số biết tổng và hiệu của chúng”- lớp 4. * Giáo viên đọc đề toán “ Mẹ cho hai anh em tất cả 10 cái kẹo, em được nhiều hơn anh 2 cái. Hỏi số kẹo của anh và số kẹo của em?” * Tổ chức làm việc trên đồ dùng học tập. - Mỗi học sinh lấy 10 nắp bia ( tượng trưng cho 10 cái kẹo ) khoanh phần trên mặt bàn thành 2 vòng: vòng lớn chứa số kẹo của em, vòng nhỏ chứa số kẹo của anh. - Em được nhiều hơn anh 2 cái kẹo. Vậy ta lấy 2 cái kẹo cho em trước rồi chia đôi phần còn lại. Hãy lấy 2 cái kẹo cho em trước (học sinh đặt 2 nắp bia vào vòng lớn). 6 + “Còn lại mấy cái kẹo?” (10 - 2 = 8 cái) + Bây giờ chia đều cho 2 anh em. Mỗi phần được mấy cái? (8 : 2 = 4 cái). Học sinh bỏ vòng, mỗi vòng 4 nắp bia. - Vậy anh được mấy cái kẹo? (4 cái). - Còn em được mấy cái kẹo? (2 + 4 = 6 cái) *Giáo viên hướng dẫn nhận dạng trên sơ đồ tóm tắt. - Bài toán yêu cầu tìm 2 số: trong này có 1 số lớn (số kẹo của em) và 1 số bé (số kẹo của anh). Ta biểu thị số lớn bằng một đoạn thẳng dài, số bé bằng một đoạn ngắn hơn. Số lớn: Số bé: - Bài toán cho biết gì? ( có tất cả 10 cái kẹo, em được nhiều hơn anh 2 cái). - Đúng vậy: Có tất 10 cái kẹo, nghĩa là tổng của 2 số là 10. Em được nhiều hơn 2 cái nghĩa là hiệu của 2 số đó là 2 (giáo viên vẽ tiếp vào tóm tắt để có) 2 Giáo viên nêu: ta có bài toán tìm 2 số biết tổng của chúng là 10, hiệu của chúng là 2. *Hướng dẫn học sinh giải trên sơ đồ. 10 7 Giáo viên lấy thước che “đoạn 2” đi rồi hỏi: Nếu bớt 2 ở số lớn thì 2 số như thế nào?(... bằng nhau). - Vậy 2 lần số bé là bao nhiêu? (10 - 2 = 8). - Tìm số bé bằng cách nào? (8 : 2 = 4). - Tìm số lớn bằng cách nào? (4 + 2 = 6). Giáo viên lần lượt ghi từng phần bài giải lên bảng làm mẫu cho học sinh. *Hướng dẫn rút ra quy tắc giải. Cách giải này gồm mấy bước: (3 bước). - Bước 1: Tìm 2 lần số bé bằng cách lấy tổng trừ hiệu. - Bước 2: Tìm số bé bằng cách chia đôi kết quả trên. - Bước 3: Tìm số lớn bằng cách lấy số bé + số hiệu.. Song song với việc hướng dẫn giáo viên có thể ghi thêm vào lời giải như sau. Hai lần số bé là: 10 - 2 = 8 tổng hiệu Số bé là; 8 : 2 = 4 (Tổng - hiệu): 2 Số lớn là: 4 + 2 = 6 số bé hiệu 8 Vậy tìm số bé ta làm như thế nào?(giáo viên ghi) Muốn tìm tiếp số lớn ta làm thế nào?(giáo viên ghi) Vài học sinh nhắc lại *Làm tương tự để hướng dẫn cách giải thứ 2. - Bước3: Học sinh giải 1 số bài toán tương tự với bài mẫu song thay đổi “văn cảnh” và số liệu để học sinh có khả năng nhận dạng loại toán và giải bài toán. - Bước 4: Cho học sinh giải các bài toán phức tạp dần. Chẳng hạn bài toán có thêm câu hỏi hay có câu hỏi khác với câu hỏi bài mẫu để sau khi giải như bài mẫu học sinh phải làm thêm 1, 2 phép tính nữa mới ra đáp số. Thay đổi dữ liệu để học sinh phải giải trước những bước trung gian rồi mới áp dụng được cách giải như bài mẫu. - Bước 5: Cho giải xen kẽ 1, 2 bài toán thuộc loại khác đã học nhưng có dạng na ná tương tự loại toán đang học (tương tự về nội dung, về cách nêu dữ liệu hoặc về một bước giải nào đó...) để tránh cách suy nghĩ máy móc, dập khuôn. Số bé = (tổng - ệ Số lớn = Số bé + ệ 9 - Bước 6: Cho học sinh tự lập đề toán thuộc loại toán điển hình đang học. *Rèn kỹ năng cho học sinh sau khi đã biết cách giải. Cụ thể: các loại bài rèn KN dạng toán “Tìm 2 số khi biết tổng và hiệu của 2 số đó”. **Giải các bài toán nâng dần mức độ phức tạp trong mối quan hệ giữa số đã cho và số phải tìm: Bài toán 1: Tuổi của chị và tuổi của em cộng lại được 32 tuổi. Em kém chị 8 tuổi. Hỏi em bao nhiêu tuổi, chị bao nhiêu tuổi? Tóm tắt: Tuổi em: ? Tuổi chị: 8 tuổi Bài giải: Hai lần tuổi em là 32 - 8 = 24 (tuổi). Tuổi em là: 24 : 2 = 12 (tuổi) Tuổi chị là: 12 + 8 = 20 (tuổi) ĐS: Chị 20 tuổi, em 12 tuổi. 10 Bài toán 2: Một vườn trường HCN có chu vi 480m. Tính diện tích của vườn. Biết rằng nếu viết thêm chữ số 2 vào trước số đo chiều rộng thì được số đo chiều dài. Tóm tắt: Chiều rộng: Chiều dài: Bài giải: Số đo chiều rộng phải là số có 2 chữ số và nếu có 1 chữ số thì chu vi của vườn sẽ nhỏ hơn 480m. Nếu có 3 chữ số thì chu vi lớn hơn 480m. Khi đó viết thêm số 2 vào trước số đo chiều rộng có 2 chỡ số thì ta được chiều dài. Vậy chiều dài hơn chiều rộng là 200m Nửa chu vi là: 480 : 2 = 240 (m) Chiều rộng vườn trường là: (240 - 200): 2 = 20 (m) Chiều dài vườn trường là: 200 + 20 = 220 (m) Diện tích HCN là: 220 x 20 = 4400 (m2 ) ĐS: 4400 m2 11 *Một số điểm cần lưu ý: - Khắc sâu kiến thức đã học, ôn lại kiến thức cũ. Gọi học sinh nhắc lại công thức tính diện tích HCN. - Học sinh tính nửa chu vi HCN để tính tổng chiều dài và chiều rộng. - Khi viết thêm chữ số 2 vào 1 số có 2 chữ số thì có ý nghĩa gì? Biện pháp khắc phục: - Gọi học sinh nêu công thức tính chu vi, diện tích HCN. P = (a + b) x 2 = > Nửa chu vi: 480 : 2 S hcn = a x b - Đưa bài toán về dạng cơ bản. + Biết nửa chu vi có nghĩa là biết gì? (tổng dài + rộng). + Viết thêm 2 vào chiều rộng được chiều dài nghĩa là gì? (chiều dài hơn chiều rộng 200 đơn vị). + Đây là bài toán ở dạng nào? (tìm 2 số khi biết tổng và hiệu). 2. Giải bài toán có nhiều cách giải. * Ví dụ: Bài toán: Tìm 2 số chẵn liên tiếp có tổng bằng số chẵn lớn nhất có 2 chữ số. Giải 12 Cách 1: Hai lần số bé là 98 - 2 = 96 Số bé là 96 : 2 = 48 Số lớn là 48 + 2 = 50 Cách 2: Hai lần số lớn là 98 + 2 = 100 Số lớn là 100 : 2 = 50 Số bé là 50 - 2 = 48 Cách 3: Trung bình cộng của 2 số là 98 : 2 = 49 Số chẵn lớn là 49 + 1 = 50 Số chẵn bé là 49 - 1 = 48 ĐS: 48 và 50 13 3.Tiếp xúc với các bài toán thừa dữ kiện, thiếu dữ kiện hoặc điều kiện của bài toán. VD1: Tuổi của 2 bố con là 50 tuổi. Hỏi tuổi bố và tuổi con. Bài toán này có giải được không?(không) Vì sao?(vì chỉ biết tổng số tuổi) Muốn giải được bài toán này thì ta cần thêm yếu tố gì?(hiệu giữa tuổi bố và tuổi con). VD cha hơn con là 25 tuổi (26, 27...< 50). Hoặc tuổi của 2 bố con là 50, biết bố sinh con năm bố 29 tuổi. Hỏi tuổi của bố và con. VD2: Cả 2 lớp 4A, 4B trồng được 485 cây. lớp 4A trồng được ít hơn lớp 4B là 45 cây. Lớp 4C trồng được nhiều hơn 4D là 2 cây. Hỏi lớp 4A, 4B trồng được bao nhiêu cây? Để ý ta thấy đầu bài hỏi gì về lớp 4C, 4D không?(không). Vậy ta có cần tìm 2 lớp đó không?(không). Vậy đó là dữ kiện thừa. 4. Giải bài toán trong đó phải xét đến khả năng xảy ra của bài toán để chọn 1 khả năng thỏa mãn bài toán. Ví dụ: Bài toán: Cho ab + ba = 132 a - b = 4 Tìm ab ? Giải Điều kiện: a, b ≠ 0, a ≥ 5 14 Nếu a = 5 ; b = 1 = > 51 + 15 = 66 (loại) b = 6 ; b = 2 = > 62 + 26 = 88 (lọai) a = 7 ; b = 3 = > 73 + 37 = 110 (loại) a = 8 ; b = 4 = > 84 + 48 = 132 (được) a = 9 ; b = 5 = > 95 + 59 = 154 (loại) Lưu ý: Học sinh chưa tìm ra điều kiện của bài toán. Khắc sâu cho học sinh Biện pháp khắc phục Để tìm ra điều kiện ta thử chọn 1 số trường hợp a = 0 thì 0b + b0; a - b = 4 (sai) a = 4 thì b ≠ 0 ta có a - b = 4 (sai) 5. Lập và biến đổi bài toán a) Đăt câu hỏi cho bài toán mới chỉ biết số liệu hoặc điều kiện của bài toán. Ví dụ: Bài toán: Hai đội làm đường cùng đắp chung 1 quãng đường dài 800m. Đội thứ nhất đắp được ít hơn đội thứ 2 là 136m. Hỏi cả 2 đội đắp được bao nhiêu m đường? Hỏi mỗi đội đào được bao nhiêu m? b) Đặt điều kiện cho bài toán. 15 Bài toán: Tổng của 1 số có 2 chữ số và viết số theo thứ tự ngược lại bằng . * 7* . Tìm số đó biết hiệu giữa hàng chục và hàng đơn vị là 2. Hướng dẫn học sinh tìm ra điều kiện. Gọi 2 số phải tìm là ab viết ngược lại ba theo bài ra ta có: ab + ba = *7* a - b = 2 nếu a = 0 = > b = 0 ta có 00 + 00 = *7* a - b = 2 (sai) Do đó điều kiện của bài là: a ≠ 0; b ≠ 0; a ≥ 1. Giải Hằng trăm của tổng phải bằng 1, hàng đơn vị và hàng chục đều có a + b mà tổng có chữ số nên a + b = 17 - 1 = 16 . Mà theo đầu bài: a - b = 2, do đó ta có. a = (16 + 2) : 2 = 9 b = 16 - 9 = 7 ĐS: 97 c) Chọn số hoặc số đo đại lượng còn thiếu của bài toán. Bài toán: Một cửa hàng bán được 215m vải hoa và trắng. Sau đó cửa hàng bán thêm 37m vải hoa và trắng. Như vậy cửa hàng đã bán vải hoa nhiều hơn vải trắng. Hỏi cửa hàng bán đã bán được bao nhiêu m vải hoa, bao nhiêu m vải trắng. 16 Tổng số m vải hoa và vải trắng của cửa hàng đã bán được bao nhiêu? 215 + 37 = 252 (m) Bài toán còn thiếu gì? (hiệu số) d) Lập bài toán tương tự với bài toán đã giải. e) Lập đề toán ngược với đề toán đã giải. g) Lập bài toán theo cách giải sẵn. IV. KẾT QUẢ THỰC HIỆN CÓ SO SÁNH ĐỐI CHỨNG. Khá giỏi Trung bình Yếu kém L ớp Tổ ng số học sinh S ố HS % S ố HS % S ố HS % 4 A 29 1 3 4 4,8 1 4 4 8,3 2 6, 9 4 B ( đối chứng) 29 9 3 1,1 1 6 5 5,2 4 1 3,8 Trên đây là bảng kết quả được tính dựa trên kết quả của bài kiểm tra viết của học sinh. Sau khi dạy xong các dạng toán cơ bản giáo viên cho 17 học sinh làm bài kiểm tra với một thời gian phù hợp và được tính toán trước. Tôi thấy: Với việc dạy theo đề tài nghiên cứu thấy rằng kết quả đạt cao hơn cách dạy thông thường. Do việc chú ý khắc sâu trọng tâm của bài dạy rồi mỗi loại bài rồi đưa ra các tình huống khác nhau để học sinh làm quen sử dụng và thành thạo rèn cho mình có được kỹ năng giải toán cho từng loại. 18 PHẦN THỨ BA KẾT LUẬN I. Ý NGHĨA. Có thể nói quá trình dạy học là quá trình quan trọng bậc nhất, nó là quá trình sư phạm tổng thể. Nó được thực hiện ở các bậc học khác nhau nhưng dù ở bậc học nào thì quá trình đó vẫn mang quy luật thống nhất giữa hoạt động dạy và học. Luân phản ánh mối quan hệ tất yếu, chủ yếu và bền vững giữa 2 nhân tố đặc trưng của quá trình dạy học. Trong công tác giảng dạy, vai trò của người thầy rất quan trọng. Người giáo viên chủ yếu cung cấp cho học sinh một cách đầy đủ chính xác, có hệ thống kiến thức. Ngoài ra, còn thường xuyên rèn luyện cho các em những kỹ năng cần thiết giúp các em có phương pháp vận dụng kiến thức đã học vào việc giải các bài tập liên hệ với thực tiễn. II. KẾT LUẬN CHUNG. Trong hoạt động dạy học, người giáo viên đóng vai trò chủ đạo tác động sư phạm lên hoạt động nhận thức của học sinh. Để thực hiện tốt hoạt động dạy của mình người giáo viên cần sử dụng tốt các phương pháp dạy học nhằm truyền thụ trí thức, hình thành kỹ năng, kỹ xảo cho học sinh. Đối với hoạt động của học sinh, chúng ta thấy học sinh không chỉ là đối tượng tác động sư phạm của người giáo viên mà còn là chủ thể của hoạt động nhận thức. Người học sinh chủ động tiếp thu tri thức, rèn kỹ năng kỹ xảo mà giáo viên truyền thụ cho. Chính vì vậy, trong học tập không ai có thể thay thế người khác chỉ khi chủ thể chủ động nhận thức thì hoạt động của giáo viên mới có hiệu quả và hoạt động học tập mới có ý nghĩa. 19 III. ĐỀ XUẤT, KIẾN NGHỊ. 1. Đối với giáo viên. Điều cần thiết và không thể coi nhẹ là giáo viên phải dạy tốt lý thuyểt, từ đó mới phât triển được các tư duy suyb luận cho học sinh. Để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thì trong quá trình giảng dạy học giải toán lên kết hợp và lựa chọn các phương pháp dạy tốt. khi dạy học sinh lớp 4 giải toán, điển hình với mỗi loại toán giáo viên không chỉ giúp học sinh giải đúng bài tập trong sách giáo khoa mà cần rèn khả năng giải loại toán đó, đặt ra các tình huống để các em suy nghĩ, tìm tòi cách giải khác nhau. 2. Đối với học sinh. Học sinh phải tự giác tích cực tiếp thu kiến thức nhằm trang bị cho mình những kỹ năng thực hành giải toán thành thạo. Học sinh phải nắm vững phương pháp chung để giải các bài toán điển hình. Từ đó, đào sâu suy nghĩ tìm tòi cách giải khác nhau. Xin chân thành cảm ơn ! 20 Xếp loại của Hội đồng khoa học các cấp ...................................................................................................................................... .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ......................................................... ...................................................................................................................................... .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ......................................................... ...................................................................................................................................... .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ......................................................... ...................................................................................................................................... .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .......................................