Đề tài Mô hình tính toán song song giải các bài toán biên phức tạp dựa trên tư tưởng chia miền

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Cao Thị Anh Thư Mô hình tính toán song song giải các bài toán biên phức tạp dựa trên tư tưởng chia miền Chuyên ngành: Khoa học máy tính Mã số: 60.48.01 Luận văn thạc sỹ Khoa học máy tính Người hướng dẫn Khoa học: TS. Vũ Vinh Quang Thái Nguyên - 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên MỤC LỤC ĐẶT VẤN ĐỀ ....................................................................................................... 2 Chương 1: Các kiến thức cơ bản về giải số phương trình đạo hàm riêng....... 4 1.1 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN....................................................................... 4 1.2 THUẬT TOÁN THU GỌN KHỐI LƯỢNG TÍNH TOÁN.......................... 6 1.2.1 Bài toán biên thứ nhất.............................................................................. 6 1.2.2 Bài toán biên thứ hai................................................................................ 12 1.3 ÁP DỤNG ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC..................................... 15 1.3.1 Bài toán biên Dirichlet............................................................................. 15 1.3.2 Bài toán biên hỗn hợp.............................................................................. 16 1.4 PHƯƠNG PHÁP LẶP VÀ CÁC SƠ ĐỒ LẶP CƠ BẢN.............................. 18 1.4.1 Không gian năng lượng............................................................................ 18 1.4.2 Phương pháp lặp giải phương trình toán tử............................................ 19 Chương 2: Cơ sở Toán học của phương pháp chia miền.................................. 27 2.1 CÔNG THỨC ĐA MIỀN VÀ PHƯƠNG TRÌNH STEKLOV- POICARE.. 28 2.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN CƠ SỞ.................................................. 30 2.2.1 Phương pháp Dirichlet-Neumann............................................................ 30 2.2.2 Phương pháp Neumann-Neumann............................................................ 31 2.2.3 Phương pháp Robin.................................................................................. 31 2.3 MỘT SỐ THUẬT TOÁN CHIA MIỀN....................................................... 33 2.3.1 Thuật toán chia miền Patrick Le Talle. ................................................... 33 2.3.2 Thuật toán chia miền J.R.Rice, E.A. Vavalis, Daopi Yang...................... 35 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2.3.3 Thuật toán chia miền Saito-Fujita............................................................ 37 2.3.4 Phương pháp DQuangA-VVQuang.......................................................... 38 2.3.5 Phương pháp chia miền giải bài toán biên gián đoạn mạnh .................. 40 Chương 3: Mô hình tính toán song song giải bài toán Elliptic dựa trên chia miền ....................................................................................................................... 43 3.1 CÁC BƯỚC LẶP TRÊN NHIỀU MIỀN CON............................................. 43 3.2 MÔ HÌNH TÍNH TOÁN SONG SONG GIẢI BÀI TOÁN BIÊN GIÁN ĐOẠN MẠNH........................................................................................................ 45 3.2.1.Hướng tiếp cận hiệu chỉnh đạo hàm........................................................ 46 3.2.2. Hướng tiếp cận hiệu chỉnh hàm............................................................... 47 3.3. CÁC KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM............................................................... 49 3.4. ỨNG DỤNG MÔ HÌNH SONG SONG GIẢI BÀI TOÁN CƠ HỌC.......... 51 3.4.1 Sơ đồ song song theo hướng hiệu chỉnh đạo hàm ................................... 53 3.4.2 Sơ đồ song song theo hướng hiệu chỉnh hàm .......................................... 57 3.4.3 Các kết quả thực nghiệm.......................................................................... 60 NHẬN XÉT KẾT LUẬN...................................................................................... 63 DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN ................................................................................................................ ....... 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................... 65 PHỤ LỤC............................................................................................................... 68 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian nghiên cứu và thực hiện luận văn thạc sỹ chuyên ngành Khoa học máy tính, đến nay luận văn :"Mô hình tính toán song song giải các bài toán biên phức tạp dựa trên tư tưởng chia miền" của tôi đã được hoàn thiện và đầy đủ. Để có được kết quả như mong muốn tôi luôn nhận được sự quan tâm, chỉ bảo sự giúp đỡ từ thầy giáo hướng dẫn: Tiến sĩ Vũ Vinh Quang - Phó trưởng Khoa Công nghệ thông tin- Đại học Thái Nguyên. Nhân dịp này tôi xin trân trọng gửi lời cảm ơn của mình tới các thầy giáo, các vị giáo sư của Viện Công nghệ Thông tin, các thầy cô giáo thuộc Khoa Công nghệ thông tin - Đại học Thái Nguyên đã truyền đạt những kiến thức bổ ích cho các học viên cao học khoá 6 nơi tôi được học tập và nghiên cứu trong suốt 2 năm qua. Tôi xin bày tỏ tình cảm và lời cảm ơn chân thành nhất tới các đồng nghiệp Viễn thông Thái Nguyên, tới bạn bè người thân và gia đình đã khích lệ, động viên, giúp đỡ tôi trong thời gian qua. Một lần nữa tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo Vũ Vinh Quang đã hướng dẫn, tạo điều kiện để tôi được học tập và nghiên cứu hoàn thiện luận văn của mình. Tôi xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 30 tháng10 năm 2009. Học viên Cao Thị Anh Thư Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 ĐẶT VẤN ĐỀ Lý thuyết về phương pháp chia miền đã được phát triển trong vòng 20 năm qua, xuất phát từ công thức đa miền và phương trình biên chung Steklov- Poincare, các phương pháp chia miền được phát triển từ các sơ đồ lặp cơ bản như: Sơ đồ Dirichlet-Neumann, sơ đồ Neumann-Neumann và sơ đồ Robin được nghiên cứu bởi tác giả trên thế giới. Có thể thấy cơ sở của các phương pháp đều xuất phát từ giá trị điều kiện trên biên phân chia từ đó xây dựng các sơ đồ lặp dạng hai lớp đối với phương trình toán tử. Việc nghiên cứu tính chất hội tụ của các sơ đồ lặp sử dụng kết quả của các không gian Sobolev và toán tử Steklov-Poincare. Nội dung chính của luận văn là trên cơ sở của lý thuyết chia miền, luận văn đề xuất mô hình tính toán song song giải quyết các bài toán với điều kiện biên rất phức tạp trên tư tưởng chia miền, tiến hành cài đặt thử nghiệm mô hình đồng thời ứng dụng mô hình song song giải quyết một bài toán trong môi trường vật lý bán dẫn. Luận văn cấu trúc gồm 3 chương: Chương 1: Đưa ra cơ sở về phương pháp lưới, thuật toán thu gọn khối lượng tính toán giải phương trình lưới và cơ sở lý thuyết về các sơ đồ lặp tổng quát. Chương 2: Trình bày tóm tắt cơ sở toán học về phương pháp chia miền, các sơ đồ lặp cơ bản trong phương pháp chia miền. Một số phương pháp chia miền của các tác giả trên thế giới và đặc biệt là các sơ đồ lặp trên tư tưởng hiệu chỉnh hàm hoặc đạo hàm trên biên phân chia của các tác giả Việt Nam và Nhật Bản, phương pháp chia miền đối với bài toán biên gián đoạn mạnh. Chương 3: Trên cơ sở của các sơ đồ lặp theo hướng hiệu chỉnh hàm và đạo hàm, luận văn đề xuất sơ đồ tính toán song song dựa trên tư tưởng hiệu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 chỉnh hàm hoặc đạo hàm, tiến hành tính toán bằng số so sánh hai sơ đồ tính toán song song và đồng thời áp dụng phương pháp song song giải quyết một bài toán cơ học được các tác giả trên thế giới quan tâm. Các kết quả lý thuyết được kiểm tra bằng các chương trình thực nghiệm lập trình trong môi trường MATLAB trên máy tính PC. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI SỐ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức liên quan đến việc giải số phương trình đạo hàm riêng bao gồm cơ sở của phương pháp lưới, thuật toán thu gọn khối lượng tính toán và lý thuyết về phương pháp lặp giải phương trình toán tử. Những kiến thức cơ sở và kết quả được tham khảo từ các tài liệu [ 5, 10, 16, 21]. 1.1 Phƣơng pháp sai phân Lƣới sai phân: Xét bài toán , , , . u f x u g x       (1.1) trong đó  2( , ) , ,x y R a x b c y d      , chọn 2 số nguyên >1N và >1M , đặt = ( ) /h b a N gọi là bước lưới theo x , = ( ) /k d c M gọi là bước lưới theo y . Đặt = , = , 0.. , 0.. . i j x a ih y c jk i N j M    Mỗi điểm ( , ) i j x y gọi là một nút lưới ký hiệu là nút ( , )i j . Tập tất cả các nút trong ký hiệu là hk  . Nút ở trên biên  gọi là nút biên; tập tất cả các nút biên ký hiệu là hk  , tập = hk hk hk    gọi là một lưới sai phân trên  . Hàm lƣới: Mỗi hàm số xác định tại các nút của lưới gọi là một hàm lưới, giá trị của hàm lưới ( , )u x y tại nút lưới ( , )i j viết tắt là ,i j u . Mỗi hàm ( , )u x y xác định tại mọi ( , )x y  tạo ra hàm lưới u xác định bởi ,i j u . Bài toán sai phân: Ký hiệu Lu f là tập các hàm số hai biến ,x y có các đạo hàm riêng đến cấp m liên tục trong =  Giả sử bài toán có nghiệm 4 ( )u C  , khi đó: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 4 1( , ) 4 | ( , ) | = x y u max x y C const x     , 4 2( , ) 4 | ( , ) | = x y u max x y C const y     . Do đó theo công thức Taylor ta có: 1 ( , ) = ( ) , i j i j u x y u x h y   2 2 3 3 4 2 3 = ( , ) ( ) 2! 3! i j u h u h u u x y h o h x x x           hay 2 1 1 2 2 2 ( , ) 2 ( , ) ( , ) = ( )i j i j i j u x y u x y u x y u o h h x        Một cách tương tự: 1 ( , ) = ( , ) i j i j u x y u x y k   2 2 3 3 4 2 3 = ( , ) ( ) 2! 3! i j u k u k u u x y k o k y y y           1 ( , ) ( , ) i j i j u x y u x y k    2 2 3 3 4 2 3 = ( , ) ( ) 2! 3! i j u k u k u u x y k o k y y y           Do đó: 2 1 1 2 2 2 ( , ) 2 ( , ) ( , ) = ( )i j i j i j u x y u x y u x y u o k k y        Vậy ta có: 1 1 1 1 2 2 2 2 ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) = ( ) i j i j i j i j i j i j u x y u x y u x y u x y u x y u x y h k u o h k             Ta đặt: 1, , -1, , 1 , , -1 2 2 - 2 - 2 -1 i j i j i j i j i j i j hk u u u u u u u h k        Khi đó chứng tỏ: 2 2= ( ) kh u u o h k    Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6 Số hạng 2 2O(h +k ) là một vô cùng bé bậc hai. Ta nói toán tử kh  xấp xỉ toán tử , điều đó cho phép  thay phương trình vi phân bằng phương trình sai phân: = , = ( , ), ( , ) hk ij ij i j i j hk u f f f x y x y  tức là: 1, , 1 , 1 , , 2 2 2 2 1 ( , ), ( , )i j i j i j i j i j i j i j i j hk u u u u u u f x y x y h k            (1.2) đồng thời thay điều kiện biên bằng điều kiện: ( , ), ( , ) ij i j i j hk u g x y x y  (1.3) Ta được bài toán sai phân hoàn chỉnh: tìm hàm lưới u tại các nút ( , )i j thoả mãn hệ phương trình sai phân (1.2) với điều kiện biên (1.3). Như vậy việc tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán vi phân (1.1) với độ chính xác cấp hai được đưa về việc giải bài toán sai phân (1.2) với điều kiện (1.3) bằng các phương pháp đại số. 1.2 Thuật toán thu gọn khối lƣợng tính toán Được đề xuất bởi Samarski-Nicolaev. Bằng các phép biến đổi đơn giản về vec tơ và ma trận, các bài toán sai phân luôn luôn được đưa về hệ phương trình vec tơ 3 điểm thuộc một trong các dạng sau đây: 1.2.1 Bài toán biên thứ nhất Xét bài toán biên thứ nhất đối với phƣơng trình véc tơ ba điểm 1 1 = j j j j Y CY Y F      , 1 1j N   , 0 0 =Y F , = N N Y F . (1.4) Trong đó j Y là véc tơ cần tìm, C là ma trận vuông, j F là véc tơ cho trước. ý tưởng của phương pháp rút gọn hoàn toàn giải (1.1) là khử liên tiếp các ẩn j Y đầu tiên với các j lẻ, sau đó từ các phương trình còn lại khử các j Y Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7 với j là bội của 2, rồi bội của 4,… Mỗi bước khử sẽ giảm được một nửa số ẩn. Như vậy nếu = 2nN thì sau một số lần khử sẽ còn lại một phương trình chứa véc tơ ẩn /2N Y mà từ đó /2N Y có thể tính được qua 0 Y và N Y . Sau khi đã có được 0 /2 , N Y Y và N Y thì quá trình ngược lại là việc tìm các j Y với j là bội của 4 N rồi bội của 8 N ,… Rõ ràng, phương pháp rút gọn hoàn toàn là một biến thể của phương pháp khử Gauss áp dụng cho bài toán (1.4) trong đó việc khử các biến được thực hiện theo một thứ tự đặc biệt. Sau đây, ta sẽ mô tả cụ thể phương pháp. Giả sử = 2 , > 0nN n Ký hiệu (0) (0)= , = ; =1,2,..., 1 j j C C F F j N  . Khi đó (1.4) được viết dưới dạng 0 (0) 1 1 = (1 1) j j j j Y C Y Y F j N         , 0 0 =Y F , = N N Y F . (1.5) Bước khử thứ nhất: Từ các phương trình đầu của (1.5) ta khử các j Y với j lẻ. Muốn vậy ta viết 3 phương trình liên tiếp: (0) (0) 2 1 1 = j j j j Y C Y Y F       , (0) (0) 1 1 = j j j j Y C Y Y F      , (0) (0) 1 2 1 = j j j j Y C Y Y F       Nhân 2 vế của phương trình thứ hai với (0)C vào bên trái rồi cộng cả 3 phương trình lại ta được (1) (1) 2 2 1 = , = 2,4,..., 2 j j j j Y C Y Y F j N        , 0 0 =Y F , = N N Y F (1.6) trong đó: (1) ( 2= ( 0)) 2C C E (1) (0) (0) (0) (0) 1 1 = , = 2,4,..., 2 j j j j F F c F F j N      . Nhận xét rằng hệ (1.6) chỉ chứa các j Y với j chẵn, số véc tơ ẩn j Y là 1 2 N  . Do đó nếu giải được hệ này thì các j Y với j lẻ sẽ tìm được từ phương trình Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8 (0) (0) 1 1 = , =1,3,..., 1 j j j j C Y F Y Y j N      (1.7) Như vậy hệ (1.5) tương đương với hệ gồm (1.6) và (1.7). Bước khử thứ hai: ở bước khử này ta sẽ tiến hành khử các của hệ (1.6) với j là bội của 2 nhưng không là bội của 4. Muốn vậy ta viết 3 phương trình liên tiếp của (1.6) (1) (1) 4 2 2 = j j j j Y C Y Y F       , (1) (1) 2 2 = ,( = 4,8,..., 4) j j j j Y C Y Y F j N       , (1) (1) 2 4 2 = j j j j Y C Y Y F       . Nhân 2 vế của phương trình thứ hai với (1) C vào bên trái rồi cộng cả 3 vế phương trình lại ta được (2) (2) 4 4 = , = 4,8,..., 4 j j j j Y C Y Y F j N       , 0 0 =Y F , = N N Y F (1.8) trong đó: (2) ( 2= ( 1)) 2C C E (2) (1) (1) (1) (1) 2 2 = , = 4,8,..., 4 j j j j F F c F F j N      . Hệ (1.8) chỉ chứa 1 4 N  Véc tơ ẩn j Y , trong đó j là bội của 4. Nếu giải được hệ này thì các j Y , với j là bội của 4 sẽ tìm được từ phương trình 2 nhưng không là bội của 4 sẽ tìm được từ phương trình: (1) (1) 2 2 = , = 2,6,10..., 2 j j j j C Y F Y F j N      . Cứ tiếp tục quá trình khử này. Kết qủa là sau bước khử thứ l ta nhận được một hệ gồm 1 l N c  ẩn j Y , trong đó j là bội của 2l ( ) ( ) 2 2 = , = 2 ,2.2 ,3.2 ,..., 2l l l l l l l j l jj j Y C Y Y F j N       , 0 0 =Y F , = N N Y F (1.9) và nhóm các phương trình: ( 1) ( 1) 1 12 2 =k k j j k kj j C Y F Y Y       , 1 1= 2 ,3.2 ,..., 2k kj N   , = , 1,...,1,k l l  (1.10) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9 trong đó các ma trận ( )kC và các véc tơ vế phải ( )k j F được tính theo các công thức truy toán: ( ) ( 1) 2= ( ) 2k kC C E  , ( ) ( 1) 1 ( 1) 1 12 2 =k k k k j k j kj j F F C F F        , = 2 ,2.2 ,3.2 ,..., 2 , =1,2,3...k k k kj N k , (1.11) Từ các bước khử trên suy ra rằng sau 1n  bước khử ( = 1)l n  ta thu được hệ chỉ gồm một phương trình đối với biến 2 /2 1=N N Y Y là ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 0 0 02 2 = = , = =n n n j j n n j N N Nj j C Y F Y Y F Y Y Y FY F          (1.12) Với vế phải đã biết. Vì vậy từ (1.12) ta có thể tìm được /2N Y , và tất cả các ẩn còn lại được tìm liên tiếp từ các phương trình ( 1) ( 1) 1 12 2 0 0 1 1 1 1 = , = = = 2 ,3.2 ,5.2 ,..., 2 , = , 1,...,1 k k j j k kj j N N k k k k C Y F Y Y Y F Y F j N k n n              (1.13) Các công thức trên đã mô tả phương pháp rút gọn hoàn toàn giải. Việc tính các ( )k j F theo công thức truy toán có thể dẫn đến việc tích luỹ sai số nếu như chuẩn của ma trận ( 1)kC  lớn hơn 1. Ngoài ra các ma trận ( )kC nói chung là các ma trận đầy đủ, thậm chí cả với ma trận ban đầu là (0) =C C là ma trận ba đường chéo. Điều này dẫn đến tăng khối lượng tính toán khi tính các ( )k j F theo (1.13). Để khắc phục những khó khăn trên, thay cho ( )k j F ta sẽ tính các véc tơ ( )k j p và ( )k j q liên hệ với theo công thức sau: ( ) ( ) ( ) ( )= , = 2 ,2.2 ,3.2 ..., 2 , = 0,1,2,..., 1k k k k k k k k j j j F C p q j N k n   (1.14) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 trong đó ta chọn (0) j p và (0) = , =1,2,..., 1 j j q F j N  . Bằng các công thức toán học, có thể thấy mối quan hệ mà ( )k j p và ( )k j q phải thoả mãn như sau. ( ) ( ) ( ) =k k k j j C p q ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 1 12 2 2 2 [ ]k k k k k k k k j k j k k kj j j j C q p C p p q q                    , = 2 ,2.2 ,3.2 ,..., 2 , =1,2,3...k k k kj N k , Ta sẽ chọn ( )k j p và ( )k j q thoả mãn ( ) ( ) ( 1) ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) = 2k k k k j j j k j k q p q q        Khi đó, kết hợp với công thức ( ) ( 1) 22 = [ ]k kC E c  ta có ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 12 2 =k k k k k k k j j k j kj j C p q p C p p           Đặt ( 1) ( ) ( 1)=k k k j j j S p p  , suy ra ( 1)k j S  phải thoả mãn ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 12 2 =k k k k k j j k kj j C S q p p          Như vậy ta thu được thuật toán sau đây để xác định các véc tơ ( )k j p và ( )k j q ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 12 2 =k k k k k j j k kj j C S q p p          , ( 1) ( ) ( 1)=k k k j j j S p p  , ( ) ( ) ( 1) ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) = 2k k k k j j j k j k q p q q        (1.15) (0) (0)= ; = 0 j j j q F p , = 2 ,2.2 ,3.2 ,..., 2k k k kj N  , = 0,1,2,..., 1k n  . Ký hiệu ( 1) ( 1)=k k j j j t Y p  , ta sẽ thấy rằng j Y có thể tính được từ các công thức sau ( 1) ( 1) ( 1) 1 12 2 =k k k j j k kj j C t q Y Y        , ( 1) ( 1)= k k j j j Y p t  , 0 0 = ; = N N Y F Y F , = 2 ,2.2 ,3.2 ,..., 2k k k kj N  , = , 1,...,1k n n (1.16) Nhận xét rằng các quá trình (1.15) và (1.16) luôn cần tính ma trận nghịch đảo ( 1[ 1)]C k  . Bằng các phép biến đổi sơ cấp từ các mối quan hệ của ma trận ( )kC và đa thức Chebysev ( ) 2 1 = 2 ( ) 2 k k C T C , ta có 1( 1) 2 ( =1) , 1 = kk l l k C C    , trong đó Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 , 1 (2 1) = 2cos 2 l k k l C C E     . Như vậy, chẳng hạn ta có phương trình ( 1) =kC   , (1.17) thì với việc giải lần lượt các phương trình 1 , 1 1 = , =1,2,...,2k l k l l C l     , 0 =  sẽ cho ta nghiệm của (1.17) là 12 = k    Tóm lại qua các bước phân tích trên đây ta có thuật toán rút gọn hoàn toàn giải bài toán biên thứ nhất như sau  Quá trình xuôi Bước 1.1 Cho các giá trị ban đầu (0) (0), = , =1,2,3,..., 1 j j j p q F j N  Bước 1.2 Với =1k giải phương trình (1) (0)= j j Cp q và tính (1) (1) (0) (0), =2,4,6,..., 2 ( 1) ( 1) = 2 j N j j j j q p q q      Bước 1.3 Với = 2,3,..., 1k n  xác định các véc tơ (0) ( 1) ( 1) ( 1) 1 1( 2 ) 2 = , = 2 ,2.2 ,3.2 ..., 2k k k k k k k j j k kj j q p p j N         . Sau đó, với mỗi 1=1,2,...2kl  và với mỗi = 2 ,2.2 ,3.2 ..., 2k k k kj N  , giải phương trình ( ) ( 1) , 1 =l l l k j j C     Khi đó 1( ) ( 1) (2 )= kk k j j j p p    , ( ) ( ) ( 1) ( 1) 1 1( 2 ) 2 = 2 , = 2 ,2.2 ,3.2 ..., 2k k k k k k k k j j k kj j q p q q j N        Quá trình ngƣợc Bước 2.1 Cho các giá trị ban đầu 0 0 = , = N N Y F Y F Bước 2.2 Với = , 1,...,2k n n  tính Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 (0) ( 1) 1 1 1 1 12 2 = , = 2 ,3.2 ... 2k k k k j j k kj j q Y Y j N           Sau đó, với mỗi 1=1,2,...,2kl  và với mỗi 1 1 1= 2 ,3.2 ... 2k k kj N   , giải phương trình ( ) ( 1) , 1 =l l l k j j C     Khi đó: 1( 1) (2 )= , = 2 ,2.2 ,3.2 ,... 2 kk k k k k j j j Y p j N    Bước 2.3 Với =1k , giải phương trình (0) 1 1 = , =1,3,5,..., 1 j j j j CY q Y Y j N      1.2.2 Bài toán biên thứ hai Xét bài toán thứ hai 0 0 1 1 1 = , = 0, = ,1 1, 2 = . j j j j N N N Y F j Y CY Y F j N Y CY F               (1.18) trong đó = 2 , > 0nN n Để giải bài toán (1.18) ta cũng thực hiện các bước khử lần lượt như đã được trình bày ở bài toán biên thứ nhất. Sau n phép khử, ta nhận được các phương trình ( ) ( ) ( ) 0 0 (0) = , 2 =n n n N N Y F Y C Y F  . (1.19) Và nhóm các phương trình ( 1) ( 1) 1 1 1 1 12 2 = , = 2 ,3.2 ,..., 2 , = , 1,...,1.k k k k k j j k kj j C Y F Y Y j N k n n            Trong đó ( )k j F và ( )kC được xác định bởi công thức truy toán sau Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 ( ) 0 0 ( ) 1 ( 1) ( 1) 1 1 11 2 ( ) 1 ( 1) ( 1) 12 ( ) ( 1) 2 = , = , = 2 ,2.2 ,..., 2 = 2 , = [ ] 2 , k k k k k j k j kj j k k k k k k k N k NN k k F F F F C F F j N F F C F C C E                  Kí hiệu: ( ) ( ) ( ) ( )=k k k k j j j F C p q , = 2 ,2.2 ,..., 2 , , = 0,1,2,...,k k kj N N k n Bằng các phép biến đổi đơn giản và cách chọn ( )k j p và ( )k j q thích hợp, ta nhận được quá trình sau để xác định các véc tơ ( )k j p và ( )k j q với J N ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2 2 ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2 2 (0) (0)=0 = = , = 2 , = 2 ,3.2 ,..., 2 , = 0,1,2,..., 1 = , k k k k k j j k k j j k k k j j j k k k k j j k k j j k k k j j j C S q p q p p S q p q q j N k n q F p                          Tương tự, với =j N , ta có: ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1) 2 ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1) 2 (0) (0) = 2 , = , = 2 2 , = ; = 0, k k k k N N k N k k k N N N k k k N N k N N N N C S q p p p S q p q q F p               Trong đó ( 1) ( 1)= k k j J j Y p t  , 1 1 1= 2 ,3.2 ,..., 2 , = , 1,...,2,1k k kj N k n n    Trong đó ( 1)k j t  là nghiệm của phương trình . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2 2 = k k t kj j k k j j C q Y Y          , Tóm lại, ta có thuật toán sau đây giải bài toán biên thứ hai.  Quá trình xuôi Bước 1.1 Xác định các giá trị ban đầu (0) (0)= 0; = , =1,2,..., j j j p q F j N Bước 1.2 Với =1,2,..., 1k n  xác định các véc tơ: (0) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2 2 = k k k j j k k j j v q p p         , = 2 ,2.2 ,..., 2k k kj N  Sau đó, với ( 1)=1,2,...,2 kl  và với mỗi = 2 ,2.2 ,..., 2k k kj N  , giải phương trình ( ) ( 1) , 1 =l l l k j j C v v   Khi đó ( ) ( 1) (2 1)=k k k j j j p p v  , ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2 2 = 2k k k k J j k k j j q p q q        , = 2 ,2.2 ,..., 2k k kj N  Bước 1.3 Với =1,2,..., 1k n  xác định các véc tơ (0) ( 1) ( 1) ( 1) 2 = 2k k N N k N v q p     Sau đó, với ( 1)=1,2,...,2 kl  , giải phương trình ( ) ( 1) , 1 =l l l k N N C v v   Khi đó 1( ) ( 1) (2 )= kk k N N N P p v   , ( ) ( ) ( 1) 12 = 2 2k k k N N kN q p q     Quá trình ngƣợc Bước 2.1 Xác định N Y . Xác định véc tơ (0) ( ) 0 = 2n N N v q Y Sau đó, với =1,2,...,l n , giải hệ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 ( ) ( 1) , =l l l n N N C v v  Khi đó ( ) ( )= n n N N N Y p v Bước 2.2 Xác định , =1,2,..., 1 j Y j N  Với = , 1,...,2,1,k n n  xác định các véc tơ (0) ( 1) ( 1) ( 1) 2 2 = k j j k k j j v q Y Y       , 1 1 1= 2 ,3.2 ,..., 2k k kj N   Sau đó, với 1=1,2,...,2kl  và với mỗi 1 1 1= 2 ,2.2 ,..., 2k k kj N   , giải phương trình ( ) ( 1) , 1 =l l l k j j C v v   Khi đó 1( 1) (2 )= kk j j j Y p v   , = 2 ,2.2 ,3.2 ..., 2k k k kj N  . Trên đây là nội dung của thuật toán thu gọi khối lượng tính toán giải bài toán biên thứ nhất và bài toán biên thứ hai. Trong các tài liệu của Samaski-Nicolaev [21] đã chứng minh độ phức tạp của các thuật toán là O ( log )M N N . 1.3 Áp dụng đối với phƣơng trình elliptic Trên cơ sở phương pháp lưới, ta thu được các kết quả xây dựng lược đồ sai phân cho các bài toán Dirichlet và bài toán Neumann 1.3.1 Bài toán biên Dirichlet Cho  là hình chữ nhật  21 2 1 1 2 2= = ( , ) :0 < < ;0 < <x x x R x l x l  Xét bài toán = ( )u x x  = ( ) =u g x x  (1.20) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16 trong đó 2 2( ); ( )L g L    Rời rạc hoá miền  bằng lưới h   1 2 1 1 2 2= = ( , ) = ( , ); = ; = ;h i j i jx i j x x x ih x jh 1 1 = l h M ; 2 2 = l h N ; = 0,1,...,i M ; = 0,1,...,j N . Bằng cách biến đổi đơn giản ta có thể đưa bài toán sai phân tương ứng về hệ phương trình vec tơ 3 điểm có dạng như sau: 1 1 = , =1,2,..., 1 j j j j Y CY Y F j N       0 0 = ; = N N Y F Y F 1, 2, 1, = ( ; ;...; )T j j j M j Y y y y  (1.21) 0 1,0 2,0 1,0 = ( ; ;...; )T M F g g g  1, 2, 1, = ( ; ;...; )T N N N M N F g g g  Ma trận C có dạng C= 2( 1) 0 ... 0 0 0 2( 1) ... 0 0 0 0 2( 1) ... 0 0 0 0 0 0 ... 2( 1) 0 0 0 0 ... 2( 1) 0 0 0 ... 0 2( 1) r r r r r r r r r r r r r r                                    2 2 1, 0, 2 2 2, 2 2 2, 2 2 1, , j j j j M j M j M j h rg h F h h rg                       Với 2 2 2 1 = h r h 1.3.2 Bài toán biên hỗn hợp Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 Cho miền  1 2 1 1 2 2= = ( , );0 < < ;0 < <x x x x l x l Xét bài toán biên hỗn hợp = ( );u x x  = ( )u g x với 1 x (1.22) 2 = ( ) u x x    với 2 x Trong đó: 2 2 2 1 2 ( ); ( ); ( )L g L L          1 1 1 1 1 2 2 2= = ( ,0);0 = ( , );0x x x l x l x x l      2 2 2= (0, );0x x x l    2 1 2 1 1= = ( , );0x x l x l   Tương tự, ta đưa bài toán sai phân về hệ phương trình vec tơ 3 điểm 0 0 =Y F 1 1 = 1 1 j j j j Y CY Y F j N         (1.23) 1 2 = = N N N Y CY F j N    Trong đó: 0 1,0 2,0 1,0 = ( , ,..., )T M F y y y  ; 1, 2, 1, = ( , ,..., ) ; =1,...,T j j j M j Y y y y j N  C= 2( 1) 0 ... 0 0 0 2( 1) ... 0 0 0 2( 1) ... 0 0 0 0 0 0 ... 2( 1) 0 0 0 0 ... 2( 1) 0 0 0 ... 0 2( 1) r r r r r r r r r r r r r r                                    2 2 1, 0, 2 2 2, 2 2 2, 2 2 1, , j j j j M j M j M j h rg h F h h rg                       Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 2 2 1, 2 1, 0, 2 2 2, 2 2, 2 2 2, 2 2, 2 2 1, 2 1, , 2 2 2 2 N N N N N N M N M N M N M N M N h h rg h h F h h h h rg                               1.4 Phƣơng pháp lặp và các sơ đồ lặp cơ bản 1.4.1 Không gian năng lượng Giả sử H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng (,) và chuẩn . . A là toán tử đối xứng, xác định dương trong H , tức là miền xác định ( )D A trù mật trong H , ( , ) = ( , ), , ( )Au v u Av u v D A  và tồn tại hằng số dương  sao cho 2 ( , ) , ( ).Au u u u D A   Trong miền xác định ( )D A , xét phiếm hàm song tuyến tính ( , )Au v mà ta kí hiệu là ( , ) = [ , ]Au v u v . Ta thấy, phiếm hàm [ , ]u v trong ( )D A thỏa mãn mọi tiên đề của tích vô hướng trong không gian Hilbert trừu tượng nói chung. Thật vậy, ta có [ , ] = ( , ) = ( , ) = ( , ) = [ , ],u v Au v u Av Av u v u 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 [ , ] = ( ( ), ) = ( , ) ( , ) [ , ] [ , ],u u v A u u v Au v Au v u v u v            [ , ] = ( , ) 0,[ , ] = ( , ) = 0u u Au u u u Au u khi và chỉ khi 0u  . Do đó, đại lượng [ , ]u u thỏa mãn các tính chất của một chuẩn. Ta kí hiệu chuẩn đó là . . 2 = [ , ] = ( , ).u u u Au u (1.24) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 Bây giờ ta xây dựng một không gian tuyến tính định chuẩn A h như sau:  Các phần tử của A h trùng với các phần tử của ( )D A và các phép toán cộng hai phần tử, nhân một số với một phần tử trong A h được định nghĩa trùng với các phép toán trong H .  Chuẩn của các phần tử trong A h được định nghĩa bởi (1.21). Không gian A h được định nghĩa như vậy có thể là một không gian không đủ. Trong trường hợp này, ta làm đủ không gian A h bằng phương pháp bổ sung không gian Metric để được không gian đủ A H . Không gian A H này được gọi là không gian năng lượng của toán tử A . Như vậy, A H gồm những phần tử cũ thuộc ( )D A và những phần tử thu được sau phép bổ sung. Chuẩn của A u H được xác định bởi 2 2 = lim nA n u u  trong đó { } n u là dãy cơ bản (theo metric . trong A h ) các phần tử thuộc ( )D A xác định u . Tích vô hướng của hai phần tử , A u v H được xác định bởi [ , ] = [ , ],limA n n n u v u v  trong đó { },{ } n n u v là dãy cơ bản các phần tử thuộc ( )D A xác định ,u v . Không gian A H với tích vô hướng trên là không gian Hilbert. Ta thường nói gọn là: Không gian năng lượng A H là không gian Hilbert thu được bằng cách bổ sung tập ( )D A cho thành không gian đủ theo tích vô hướng ( , )Au v . 1.4.2 Phương pháp lặp giải phương trình toán tử Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20  Lược đồ lặp hai lớp Xét bài toán = ,Au f (1.25) trong đó :A H H là toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert thực N chiều H với tích vô hướng (,) và chuẩn = ( , )y y y . Giả sử A là toán tử đối xứng, xác định dương, f H là vectơ tùy ý. Trong mỗi phương pháp lặp, xuất phát từ 0 y bất kỳ thuộc H , người ta đưa ra cách xác định nghiệm xấp xỉ 1 2 , ,..., ,... k y y y của phương trình (1.25). Các xấp xỉ như vậy được biết như là các giá trị lặp với chỉ số lặp =1,2,...k Bản chất của những phương pháp này là giá trị 1k y  có thể được tính thông qua các giá trị lặp trước: 1 , ,... k k y y  . Phương pháp lặp được gọi là phương pháp lặp một bước hoặc hai bước nếu xấp xỉ 1k y  có thể tính được thông qua một hoặc hai giá trị lặp trước đó. Phương pháp lặp một bước có thể được viết như sau: 1 = ( = 0,1,2...) k k k k B Y Cy F k   (1.26) ở đây k B và k C là toán tử tuyến tính từ không gian H vào không gian H nói chung phụ thuộc vào chỉ số lặp k , k F H là hàm biết trước phụ thuộc k và k y là giá trị lặp thứ k . Giả thiết rằng 1 k B tồn tại với mọi k . Một đòi hỏi tự nhiên là nghiệm chính xác u của phương trình (1.25) không phụ thuộc vào k , thoả mãn phương trình (1.26). ( ) = k k k B C u F Nhưng điều đó chỉ xảy ra nếu 1( ) = k k k B C A f F , kéo theo Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21 + Toán tử ngược 1( ) k k B C  tồn tại. + 1= ( ) k k k f A B C F Điều này được thoả mãn nếu 1 1 ( ) = k k k B C A    , 1 = k k F f  , = 0,1,2,...k ở đây > 0 k  là tham số. Dạng chính tắc của lược đồ lặp hai lớp là 1 1 = , = 0,1,2,...k k k k k y y B Ay f k     (1.27) trong đó 1k   là các tham số lặp. Giả thiết k B là toán tử tuyến tính từ H vào H , tồn tại toán tử ngược 1 k B . Do đó từ (1.27) ta có 1 1 1 = ( ) k k k k k y y B Ay f      (1.28) hoặc dạng tương tự 1 1 1 1 = = , k k k k k k k k y y B r y        trong đó = k k r Ay f là độ không khớp và 1= k k k B r  là phần hiệu chỉnh. Với k y đã biết, giá trị của 1k y  có thể tính được từ (1.28). Biết 0 y ta xác định được 1 2 , ,...y y Tất nhiên, nó chỉ có nghĩa khi phép lặp hội tụ, tức là 0, . k y u k   Thông thường, nghiệm được tìm với độ chính xác  (liên quan đến độ chính xác 0 )k y u y u   , có nghĩa là sự tính toán được dừng khi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22 . k k y u y u   (1.29) Vì véctơ u chưa biết nên ta thay điều kiện (1.29) bằng bất đẳng thức cho độ không khớp 0 . k Ay f Ay f   (1.30) Ta chấp nhận điều kiện dừng 0 . k D D y u y u   (1.31) Trong đó D là toán tử đối xứng, xác định dương. Với 2=D A , từ (1.31) ta suy ra được (1.30). Bây giờ chúng ta xét phương trình liên quan đến phần dư = . k k z y u Từ =Au f ta có 1 1 = 0, = 0,1,2,...k k k k k z z B Az k     (1.32) trong đó 0 z H được biết. Từ (1.32) ta thấy 1 1 1 1 1 = , = , k k k k k k z S z S E B A       trong đó 1k S  là toán tử chuyển tiếp từ lớp thứ k tới lớp thứ 1k  . Với = 1k n  ta có 0 1 2 1 = , = ... . n n n n n z T z T S S S S  Ta có đánh giá 0 0 . n n nD D D D z T z T z  hay 0 . ; = n n n nD D D z q z q T Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23 Từ đó ta suy ra điều kiện dừng là n q  . Từ đây dẫn đến vấn đề về sự hội tụ của phép lặp theo ước lượng chuẩn của toán tử n T . Lược đồ (1.27) cho ta xấp xỉ nghiệm u của phương trình =Au f với bất kỳ toán tử n B và cách chọn tham số 1k   . Nhưng n q phụ thuộc vào cả { } n B và 1 { } k   . Vấn đề ở đây là nên chọn { } k B và 1 { } k   như thế nào để cực tiểu chuẩn = n nD q của toán tử n T của lược đồ (1.27) và để cực tiểu toàn bộ số phép toán số học cần để phục hồi giá trị 1k y  từ phương trình 1 1 ; ( ) k k k k k k k k B y F F B y Ay f       với k y đã biết. Đặt ( )Q  là tổng số phép toán số học cần thiết để đạt được nghiệm của phương trình (1.25) với độ chính xác 0  cho trước. Thành phần k B và k T nên được chọn để cực tiểu lượng ( )Q  . Nếu độ chính xác qui định có thể đạt được với số phép lặp cực tiểu ( )n n  , thì ( ) k k = 1 ( ) = Q = Q n n Q n    ở đây k Q là số phép toán cần thiết trong phép lặp thứ k . Do vậy vấn đề cực tiểu ( )Q  qui về vấn đề cực tiểu ( )n  và số k Q phụ thuộc vào k B . + Nếu = k B E thì lược đồ lặp (1.27) được gọi là lược đồ lặp hiển 1 1 = , = 0,1,2,...k k k k y y Ay f k     (1.33) Trong trường hợp = k const là hằng số, lược đồ (1.33) còn được gọi là lược đồ lặp đơn giản. + Nếu k B E thì lược đồ lặp (1.27) được gọi là lược đồ ẩn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24  Lược đồ dừng, định lý cơ bản về sự hội tụ của phép lặp Lược đồ lặp (1.27) với toán tử = k B B , tham số 1 = k    không đổi ( = 0,1,2,...)k còn được gọi là lược đồ lặp dừng. 1 = , = 0,1,2,...k k k y y B Ay f k    (1.27 ’ ) Trong trường hợp này, phương trình (1.32) liên hệ với sai số xấp xỉ = k k z y u có dạng 1 0 0 = 0, = , = 0,1,2,...k k k z z B Az z y u k    (1.32 ’ ) Toán tử B nói chung là không đối xứng, có toán tử ngược 1B . Định lý: Nếu A là toán tử đối xứng, xác định dương thì 1 1 > ( , ) > ( , ), 2 2 B A hay Bx x Ax x x H    (1.34) là điều kiện đủ cho sự hội tụ của lược đồ lặp (1.27 ’) trong không gian A H với tốc độ hội tụ cấp số nhân 1 , = 0,1,2,..., <1, k kA A z z k    (1.35) trong đó 1 2 * 2 * 0 2 1 = 1 , = ( ), = ( ),min min 2 k k k k A B A B             trong đó * 0 = 2 B B B  là phần đối xứng của toán tử B . Chứng minh Từ (1.32 ’) ta có: 1 = k k z Sz  với 1=S E B A  . Do đó Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 = ( , ) = = ( , ) = = ( ( ) ,( ) ) = = [( , ) ( , )] ( , ). k k kA k k k k k k k k kA k k z Az z ASz Sz A E B A z E B A z z AB Az z B Az Az AB Az B Az                    Thế = k k Az Bv với 1= k k v B Az , kết hợp với điều kiện A là toán tử đối xứng ta được 2 2 1 1 = 2 (( ) , ). 2 k k k kA A z z B A v v     (1.36) Do giả thiết (1.34) của định lý ta suy ra toán tử 1 = 2 P B A là toán tử dương. Chúng ta thiết lập tính xác định dương của nó trong H * * 1 , > 0, 2 B A E    (1.34 ’ ) trong đó *  là giá trị riêng nhỏ nhất của toán tử 0 0 1 = 2 P B A . Do đó 2 * 1 2 (( ) , ) 2 . 2 k k k B A v v v    (1.36 ’ ) Mặt khác 2 1 21 21 2 2 2 = ( , ) = = ( , ) . . . . k k kA k k k k k z Az z Bv A Bv A Bv A B v B v           suy ra Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26 2 2 2 .k k Av z B   (1.37) Kết hợp (1.36 ’), (1.36), (1.37) ta được 2 2 22 1 = k k kA A A z Sz z   với 2 * 2 2 =1 <1 B     . Từ đó ta suy ra (1.33). Còn bất đẳng thức 0 n n A A z z khẳng định sự hội tụ của phép lặp do 0,n n   . Với = k B B cố định, định lý đã đưa ra qui tắc lựa chọn giá trị  để lược đồ lặp hội tụ. Trong trường hợp =B E , điều kiện hội tụ sẽ được đảm bảo nếu tất cả các giá trị riêng thỏa mãn 1 1 ( ) =1 ( ) > 0 2 2 k k E A A    hay 1 1 > 0. 2 A Như vậy, lược đồ lặp hội tụ với mỗi 2 < A  . Kết luận: Trong chương 1, luận văn đã trình bày một số kiến thức liên quan đến việc giải số phương trình đạo hàm riêng bao gồm một số kiến thức cơ bản của phương pháp sai phân, thuật toán thu gọn khối lượng tính toán giải phương trình vec tơ 3 điểm đối với bài toán biên thứ nhất và bài toán biên thứ hai, áp dụng đối với bài toán biên Dirichlet và bài toán biên hỗn hợp, cơ sở lý thuyết về phương pháp lặp giải phương trình toán tử. Những kiến thức quan trọng này làm nền tảng cho các kết quả sẽ trình bày trong các chương tiếp theo của luận văn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 27 Chương 2 CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA PHƢƠNG PHÁP CHIA MIỀN Trong chương này, chúng ta đưa ra cơ sở toán học của phương pháp chia miền bao gồm giới thiệu các khái niệm về các điều kiện chuyển giao giữa các biên chung, các công thức biến phân và đặc biệt là ứng dụng của toán tử Steklov-Poincare đối với phương pháp chia miền. các phương pháp lặp đơn trên các biên chung. Các kiến thức được trình bày trên cơ sở các tài liệu [11,12, 14, 22, 25, 26, 29, 30, 31] Hình 1 Xét bài toán , , 0, , u f x u x       (2.1) trong đó  là miền d chiều )3,2( d , với biên Lipschitz  , kí hiệu n là véc tơ pháp tuyến ngoài của miền  , f là hàm đã cho thuộc không gian 2 ( )L  , 1 d j j j D D    là toán tử Laplace và jD . Kí hiệu là đạo hàm riêng theo )..1( djx j  . Giả sử rằng miền  được chia thành hai miền con không giao nhau 1 và 2 , kí hiệu 21  (Hình 1). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 28 2.1 Công thức đa miền và phƣơng trình Steklov-Poicare Kí hiệu i u là giá trị nghiệm u trong miền )2,1(,  ii và in là hướng pháp tuyến ngoài trên i   . Ta đặt 1nn  . Khi đó bài toán (2.1) có thể viết lại dưới dạng đa miền như sau: 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 , , 0, , , , , , 0, , , . u f x u x u u x u u x n n u x u f x                          (2.2) Các phương trình 3 và 4 trong (2.2) là các điều kiện chuyển tiếp trên biên về mặt ý nghĩa vật lý muốn mô tả điều kiện liên tục của hàm và đạo hàm khi biến thiên qua biên chung  giữa hai miền. Kí hiệu  là giá trị chưa biết của u trên  , ta xét hai bài toán biên Dirichlet , , 0, , , . i i i i i w f x w x w x           (2.3) Với 2,1i , chúng ta có thể biểu diễn *0 iii uuw  trong đó 0 iu và * iu là nghiệm của các bài toán Dirichlet sau: 0 0 0 0, , 0, , , . i i i i i u x u x u x           (2.4) * * * , , 0, , 0, . i i i i i u f x u x u x           (2.5) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 29 Với mỗi 2,1i 0 iu là mở rộng điều hoà của  vào i và được kí hiệu là iH , ta sẽ viết i G f thay cho * iu . Bằng việc so sánh (2.2) và (2.3) ta thấy rằng )2,1(  iuw ii khi và chỉ khi .,21       x n w n w (2.6) Giá trị  trên biên chung phải thoả mãn phương trình Steklov- Poincare , ,S x   trong đó (2.7) 2 2 1 1 i i G f G f G f n n n              , (2.8) trong đó S là toán tử Steklov-Poincare được định nghĩa bởi            2 1 21 i i i n H n H n H S  . Cùng với toán tử S , ta cũng sử dụng các toán tử 1 iS và gọi là các toán tử Poincare-Steklov. Mô hình chia miền trên có thể áp dụng đối với bài toán tổng quát  xfLu , , (2.9) trong đó L là toán tử vi phân, f là hàm đã cho và u là nghiệm chưa biết. Do  được chia thành hai miền con nên phương trình (2.9) tương đương với hai phương trình      22 11 , ,, xfLu xfLu (2.10) trong đó )2,1(, iui cần thoả mãn các điều kiện chuyển dịch qua  được biểu hiện bởi hai quan hệ tổng quát Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 30      ,),()( ,),()( 21 21 xuu xuu trong đó các hàm , phụ thuộc vào từng loại bài toán, Với bài toán Poisson thì n v vvv    )(,)( . 2.2 Các phƣơng pháp lặp đơn cơ sở Trong phần này, chúng ta xét việc giải bài toán đa miền bằng các thủ tục lặp, chúng ta xét 1 dãy các bài toán con trong 21,  với các điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann tương ứng. Các phương pháp đó có thể thực hiện được bởi 1 trong các sơ đồ lặp sau đây, trong đó các dãy hàm    kk uu 21 , sẽ được xác định từ các giá trị ban đầu 0 2 0 1 , uu và sẽ hội tụ đến 21, uu tương ứng. 2.2.1 Phương pháp Dirichlet-Neumann Phương pháp này đã được xét đến bởi các tác giả Bjorstad và Windlund (1986), Bramble (1986), Funaro (1988), Marini và Quanrteroni (1988,1989). Cho trước 0 , với mỗi 0k  , giải hai bài toán 1 1 1 1 1 1 1 1 , , 0, , , , k k k k u f x u x u x              (2.11) 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 , , , , 0, , k k k k u f x u u x n n u x                  (2.12) Tính lại giá trị 1k  theo công thức Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31 .)1(12 1 kkk u     (2.13) Trong đó  là tham số cần lựa chọn để dãy lặp hội tụ. 2.2.2 Phương pháp Neumann-Neumann Phương pháp này được nghiên cứu bởi các tác giả Bourgat (1989), Agoshkov và Lebedev (1985). Trong trường hợp này, xuất phát từ 0 , với mỗi 0k ta giải các bài toán 1 1 , , 0, , , , k i i k i i k k i u f x u x u x             (2.14) 1 1 1 1 2 1 , , , , 0, , k i i k k k i k i i f x u u x n n n x                        (2.15) Hiệu chỉnh )( 1221111   kkkk  , (2.16) trong đó  là tham số lặp, 21, là hai hệ số ước lượng trung bình dương. Việc chứng minh sự hội tụ của thuật toán này đã được đưa ra trong các tài liệu cùng với sự rời rạc các phần tử. Trong trường hợp này, tốc độ hội tụ được chỉ ra là không phụ thuộc vào mức lưới h . 2.2.3 Phương pháp Robin Phương pháp này được nghiên cứu bởi tác giả Lion(1990), Agoshkov(1988). Trong trường hợp này, xuất phát từ 0 2 u , với mỗi 0k ta giải các bài toán Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32 1 1 1 1 11 2 1 1 1 2 1 1 1 , , , , 0, , k k k k k k u f x u u u u x n n u x                      (2.17) 1 2 2 1 1 1 12 1 2 2 2 1 1 2 2 , , , , 0, , k k k k k k u f x u u u u x n n u x                        (2.18) trong đó 1 2 ,  là các tham số gia tốc không âm thoả mãn 1 2 0   . Ta có thể xây dựng phương pháp tương tự bằng cách đổi vai trò 2 ku với 1 ku Một phương pháp khác được đề xuất bởi Agoshkov-Lebedev (1985). Xuất phát từ 0 2 0 1 , uu , với mọi 0k giải các bài toán:                    ,, ,,0 ,, 2 22/1 1 2/1 1 1 2/1 1 1 2/1 1 xup n u up n u xu xfu k k k k k k k k ,),( 11 2/1 111 1 1     xuuuu kkk kk                        ,, ,,0 ,, 1 1 1 12/1 2 1 2 2 2/1 2 2 2/1 2 xu n u qu n u q xu xfu k k k k k k k k ,),( 22 2/1 212 1 2     xuuuu kkk kk  trong đó kkkk qp  ,,0,0  là các tham số tự do. Trong thực tế, phương pháp này tổng quát cho nhiều phương pháp, ví dụ phương pháp Dirichlet-Neumann là trường hợp đặc biệt của phương pháp này với 1,0 1  kkk qp  và phương pháp Robin sẽ nhận được với )0(,/1,,1 21  kkkkk qqp  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33 2.3 Một số thuật toán chia miền Trên cơ sở của lý thuyết chia miền tổng quát, trên thế giới đã xuất hiện một số thuật toán chia miền của các tác giả áp dụng đối với các trường hợp cụ thể. 2.3.1 Thuật toán chia miền Patrick Le Talle. Thuật toán đưa ra nhằm sử dụng phương pháp chia miền để giải các bài toán biên Dirichlet và Neumann, đây là cơ sở cho việc tính toán đa nhiệm trên máy tính CRAY2 và INTER, đã được kiểm nghiệm trên các bài toán đàn hồi trong không gian 3 chiều, bài toán miền ảo, bài toán trong các ngành công nghiệp trên quy mô lớn. Xét mô hình đơn giản      .,0 ,, xu xfu (2.19) Chia 21  bởi biên chung S . Kí hiệu  là giá trị hàm u trên S , khi đó ta có thể tiến hành giải song song hai bài toán trong hai miền 2,1,  ii . ,, ,,0 ,, Sxu xu xfu i ii ii          (2.20) Trong đó  phải thoả mãn điều kiện tổng đạo hàm pháp tuyến trên biên chung phải triệt tiêu tức là .,0 2 2 1 1 Sx n u n u       (2.21) Như vậy phương trình (2.21) chính là phương trình xác định  . Để giải bài toán này, đưa ra hàm ),( fui  được xác định như sau Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34         .,),( ,,0),( ,,),( Sxfu xfu xffu i ii ii    (2.22) Đưa vào toán tử Steklov-Poincare iS được xác định bởi i i i n u S    )0,(  và vế phải 2 2 1 1 )0,()0,( n u n u b        . Theo công thức này, điều kiện (2.21) trở thành bSS  )( 21 . Từ đó có thể giải bài toán theo thuật toán dốc liên kết gradien trên nghiệm theo sơ đồ lặp sau đây ))(( 21 1 bSSM kkk   , (2.23) trong đó M là toán tử trên nghiệm và  là hệ số co giãn. Điểm mấu chốt là phải tìm một toán tử trên nghiệm đơn giản và hiệu quả, theo các tài liệu đã biết thì cách chọn đơn giản và hiệu quả nhất là cách chọn .4/)( 12 1 1   SSM (2.24) Cách chọn này đạt độ chính xác nhất trong trường hợp 21 SS  và khi đó  được xác định bởi sơ đồ lặp kkk SSSS  ))(( 4 21 1 2 1 1 1   . (2.25) Để tìm lời giải của bài toán, xuất phát từ )(2 1 00 SH thực hiện giải song song hai bài toán Dirichlet         ,, ,,0 ,, Sxu xu xfu i ii ii  (2.26) Tiếp theo giải song song hai bài toán Neumann Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35                   .),( 2 1 ,,0 ,,0 2 2 1 1 Sx n u n u n x x i i ii ii (2.27) Cập nhật lại 2/)( 21   , quá trình lặp lại cho đến khi hội tụ. Như vậy trong thuật toán chia miền trên, vấn đề quan trọng nhất là việc chọn giá trị tham số  . Thuật toán chia miền Patrick Le Talle ở trên mới được trình bày dưới mức vi phân, trong các tài liệu đã biết đã trình bày phương pháp rời rạc hoá thuật toán vi phân và trên cơ sở sử dụng sơ đồ lặp Seidel co giãn đưa ra các kết quả thực nghiệm trên máy tính điện tử với một số bài toán cụ thể. Kết quả chứng tỏ thuật toán là đúng đắn và độ chính xác phụ thuộc vào việc sai phân các đạo hàm để nhằm xác định giá trị  trên mỗi bước lặp. Xuất phát từ thuật toán cơ sở, chúng ta có thể thấy do sơ đồ lặp với mục tiêu là xác định gần đúng giá trị hàm  trên biên chung đối với cả hai bài toán trong hai miền 21 ,  nên đối với bài toán biên hỗn hợp trong miền hình học phức tạp thì chúng ta phải thực hiện phép chia thành nhiều miền con mới tránh được bài toán biên hỗn hợp mạnh. Điều này sẽ tăng khối lượng tính toán trong các sơ đồ lặp. 2.3.2 Thuật toán chia miền J.R.Rice, E.A. Vavalis, Daopi Yang. Xét  là một đa thức lồi dR ,...2,1d Với biên  , xét bài toán: Cho )();( 2/12  HgLf , hãy tìm )(1  Hu ,, ,,      xgu xfLu (2.28) trong đó Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 36 uxa x u xa x Lu j ij d ji i )())(( 0 1,         . (2.29) Chia miền  thành 2 miền con 1 và 2 như sau  2121 , ,   21 , . Ký hiệu 21  là biên chung của hai miền. Khi đó bài toán (2.28), (2.29) là tương đương với hai bài toán sau                  ,,0 ,, ,, ,, 2 2 1 1 21 11 11 x v u v u xuu xgu xfLu (2.30)                  ., ,, ,, ,, 1 1 2 2 12 22 22 x uu xuu xgu xfLu  (2.31) Trong đó 21, uu lần lượt là nghiệm trong 21, và 21, là các véc tơ pháp tuyến ngoài của  ứng với 21,  . Định nghĩa thuật toán chia miền như sau Chọn )(1)0( nn Hu  với .2,1,)0(   ngu n n  Xây dựng dãy lặp )(1)1(  Hu kn với gu n k n   )1( , ,...2,1k thoả mãn                                      .,)1(,, ,,)1(,, ,,)1(,, ,,)1(,, 1 )12( 1 2 )12( 2 2 )22( 2 2 )12( 2 2 )12( 2 1 )12( 1 1 )22( 1 1 )22( 1 )2( 1 )2( 2 )12( 22 )12( 2 )2( 2 )2( 1 )12( 11 )12( 1 x uuu xfLu x uuu xfLu xuuuxfLu xuuuxfLu kkk k kkk k kkkk kkkk             (2.32) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 37 Với )1,0(,  là các tham số giảm dư được chọn để đẩy nhanh tốc độ hội tụ của sơ đồ lặp, việc chọn các tham số này phụ thuộc vào cách chia miền và bài toán gốc. Về mặt lý thuyết thì khó xác định các giá trị tối ưu. Tuy nhiên qua phân tích lý thuyết và thực nghiệm đã chỉ ra rằng trong nhiều trường hợp nên chọn 2 1   . Khi phép lặp hội tụ, giới hạn của dãy  )(knu sẽ là nghiệm của bài toán ban đầu. Xuất phát từ sơ đồ lặp, chúng ta có thể thấy rằng do các bài toán ứng với chỉ số lẻ là nhằm hiệu chỉnh giá trị hàm, các bài toán ứng với chỉ số chẵn là hiệu chỉnh giá trị đạo hàm nên trong trường hợp bài toán biên hỗn hợp trên miền hình học phức tạp thì để tránh gặp phải các bài toán biên hỗn hợp mạnh thì phải sử dụng phép chia thành nhiều miền con. Điều này cũng tăng khối lượng tính toán trong các bước lặp. 2.3.3 Thuật toán chia miền Saito-Fujita Với tư tưởng hiệu chỉnh giá trị hàm trên biên phân chia, năm 2001, hai nhà toán học Nhật Bản là Noroshi Fujita dựa trên cơ sở sơ đồ lặp Dirichlet- Neumann đã đề xuất một phương pháp chia miền giải bài toán biên Elliptic với điều kiện biên Dirichlet. Các kết quả được tham khảo trong các tài liệu [22, 23]. Cho là miền trong R2 với biên Lipschitz . Xét bài toán: , , , u f x u x       (2.33) trong đó  2 1/2( ),f L H    . Chia miền 1 2   bởi biên chung . Kí hiệu    ( ) ( )1 2, k ku u là các dãy hàm hội tụ đến u1, u2 một cách tương ứng. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 38 Tư tưởng của phương pháp Saito-Fujita là tìm ra xấp xỉ g u   nhận được bởi sơ đồ lặp sau: 1. Cho trước (0)g xác định trên  . 2. Với ( )kg xác định trên  0k  , tiến hành giải hai bài toán (k) 1 1 (k) 1 1, (k) (k) 1 - u = f,x , u = ,x u = g ,x        (2.34) ( ) 2 2 ( ) 2 2 ( ) ( ) 2 1 2 1 , , , , k k k k u f x u x u u x n n                  (2.35) 3. Giá trị của ( )kg được tính theo công thức ( 1) ( ) ( ) 2 (1 ) , ,k k kg g u x      (2.36) trong đó  là tham số cần lựa chọn để dãy lặp hội tụ, 0<  <1. Ta thấy rằng, điều kiện liên tục của đạo hàm qua biên phân chia  đã thoả mãn, còn điều kiện liên tục của hàm qua biên phân chia  phụ thuộc vào sự hội tụ của dãy lặp (2.36). Như vậy, trong phương pháp Saito-Fujita trình bày ở trên, mỗi lần lặp cần giải quyết một bài toán Dirichlet (2.34) trong 1  , sau đó giải một bài toán Neumanm (2.35) trong 2  . Do đó phương pháp trên được phát triển trên tư tưởng của sơ đồ Dirichlet-Neumann. 2.3.4 Phương pháp DQuangA-VVQuang Xuất phát từ tư tưởng hiệu chỉnh giá trị đạo hàm trên biên phân chia, năm 2004, hai nhà toán học Việt Nam là Đặng Quang á và Vũ Vinh Quang đã Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 39 đề xuất một phương pháp chia miền mới. Các kết quả được tham khảo trong các tài liệu [1, 3, 4, 12]. Cho  là miền trong 2 với biên Lipschitz  . Xét bài toán , , , , u f x u x       Trong đó    2 1/2,f L H    . Sử dụng phương pháp chia miền cùng các kí hiệu tương tự. Kí hiệu      1 2, k k u u là các dãy hàm hội tụ đến 1 2 ,u u một cách tương ứng. Tư tưởng của phương pháp DquangA-VVQuang là tìm ra xấp xỉ 1 1 u g n     nhận được bởi sơ đồ lặp sau: 1. Cho  0 2g L  . 2. Với  kg xác định trên  0k  tiến hành giải hai bài toán         1 1 1 1 1 1 , , , , , , k k k k u x u g x n u f x           (2.37)         2 2 2 2 2 1 , , , , , . k k k k u f x u x u u x           (2.38) 3. Giá trị của  kg được tính theo công thức         1 2 2 1 , k k k u g g x n        , (2.39) trong đó  là tham số lặp cần lựa chọn để dãy lặp hội tụ 0 1  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 40 Ta thấy rằng, điều kiện liên tục của hàm qua biên phân chia  được thoả mãn, còn điều kiện liên tục của đạo hàm biên phân chia  phụ thuộc vào sự hội tụ của dãy lặp (2.39). Như vậy, trong phương pháp DquangA-VVQuang trình bày ở trên, mỗi lần lặp cần giải quyết một bài toán Neumanm (2.37) trong 1  , sau đó giải một bài toán Dirichlet (2.38) trong 2  . Do đó phương pháp trên được phát triển trên tư tưởng ngược với sơ đồ Dirichlet-Neumann. 2.3.5 Phương pháp chia miền giải bài toán biên gián đoạn mạnh Xét bài toán , , , \ , , . n n u f x u x u x                 (2.40) trong đó 2 2 1/2, ( ), ( ).R f L H     Bài toán được gọi là bài toán biên hỗn hợp mạnh khi trên đoạn biên trơn d n   gồm cả hai loại điều kiện biên Dirichlet và Neumann (hình 2). Trên thế giới đã có nhiều tác giả đề cập các phương pháp giải bài toán biên hỗn hợp mạnh như Arad, Yosibash, Ben-Dor, Yakhot [8], Poullikkas, Karageorghis, Georgiou [18], ... Phát triển phương pháp chia miền theo tư tưởng xác định đạo hàm trên biên phân chia, các tác giả Đặng Quang á, Vũ Vinh Quang đề xuất phương pháp lặp giải bài toán biên với điều kiện biên hỗn hợp mạnh. Các kết quả được tham khảo trong các tài liệu [2, 3, 4, 6]. Chia miền 1 2 1 2 ,      bằng biên 1 2     . Kí hiệu ( 1,2) ii u u i    , 1 1 \ , d      2 2 \ n      (Hình 2) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 41 Tư tưởng của phương pháp là tìm ra các xấp xỉ của 1 1 u g      nhận được bởi sơ đồ lặp sau đây: Hình 2 Bước 1. Cho (0) 2 (0)( ), 0.g L g   (2.41) Bước 2. Với mọi ( )kg trên ( 1,2,...)k  tiến hành giải lần lượt hai bài toán ( ) 1 1 ( ) 1 1 ( ) ( )1 1 , , , , , , k k k k u f x u x u g x               (2.42) ( ) 2 2 ( ) 2 2 ( ) 2 2 ( ) ( ) 2 1 , , , , , , , . k k k n k k u f x u x u x u u x                  (2.43) Bước 3. Tính toán lại xấp xỉ mới .,)1( 2 )( 2)()1(     x u gg k kk  (2.44) trong đó  là tham số lặp cần lựa chọn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 42 Bằng lý thuyết toán tử, các tác giả đã chứng minh phương pháp lặp là hội tụ, các kết quả thực nghiệm trên máy tính điện tử đã chứng tỏ tính hữu hiệu của phương pháp. Kết luận: Trong chương 2 đã đưa ra cơ sở lý thuyết về phương pháp chia miền cùng các sơ đồ lặp cơ bản, đặc biệt đã giới thiệu một số phương pháp chia miền của các tác giả trên thế giới và trong nước giải quyết bài toán biên Dirichlet và bài toán biên gián đoạn mạnh đã được phát triển trong những năm gần đây. Các kết quả trên là cơ sở cho việc nghiên cứu phát triển hướng đề xuất mô hình tính toán song song trên cơ sở chia miền giải quyết các bài toán cơ học phức tạp. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 43 Chương 3 MÔ HÌNH TÍNH TOÁN SONG SONG GIẢI BÀI TOÁN ELIPTIC DỰA TRÊN CHIA MIỀN 3.1 Các bƣớc lặp trên nhiều miền con Khi miền  được chia thành nhiều miền con )..1(, Mii  , kí hiệu jiij  . Khi đó dạng tách của Lu f trong  được cho bởi         Ø,,,)()( Ø,,,),()( ,..1,, ijijji ijijji ii jxuu jxuu MixfLu (3.1) Thủ tục lặp đa miền được tổng quát hoá như sau: Tô các miền bởi các mầu đen và trắng xen kẽ nhau (Hình 3), đặt  1BI i M   với i  là các miền tô màu đen, \ W B I I I , thực hiện giải các bài toán trong đó ln v vvv    )(,)( .         Ø.:,),()1()()( ,,, 1 1 ijWij k i k j k i Bi k i Ijxuuu IixfLu  (3.2) H×nh 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 44 Điều này tạo ra một họ các bài toán con độc lập, tương tự         Ø.,,),()( ,,, 11 1 ijBij k i k j Wj k j Iixuu IjxfLu (3.3) Sơ đồ trên tạo ra một dãy các bài toán con kiểu  và một dãy các bài toán con kiểu  , tất cả các bài toán con này đều được ghép thành từng đôi theo nguyên tắc nếu các bài toán kiểu  giải xong thì có thể tiến hành giải các bài toán con kiểu  . Như vậy ta đã tạo ra một sơ đồ lặp song song cho phép giải các bài toán con một cách độc lập có thể xử lý đồng thời trên máy tính đa nhiệm. Một dạng khác của sơ đồ là việc thay thế sơ đồ trên bằng sơ đồ         Ø.:,),()( ,,, 1 1 ijBij k i k j Wj k j Iixuu IjxfLu Trong trường hợp này, dãy khối song song đã tạo chứa một dãy khối tuần tự như một dãy con thứ 3, khi đó trong quá trình tính toán ta phải đầu tư vào mỗi bước tính toán một khối lượng gấp đôi các trường hợp khác. Tuy nhiên trong trường hợp này, tại mỗi bước tính toán các giá trị trên biên có thể thực hiện bởi thủ tục lấy trung bình hoá trên biên. Thuật toán mới có thể được định nghĩa như sau: Cho trước các giá trị Miuki ,...,1,  xác định với mỗi Mi ,..,1 ,),()1()( ij k j k i av i xuu   trong đó  là tham số lấy trung bình và ij là phần biên của i phân chia i và j , rõ ràng )( ki av i u trên  i . Tiến hành giải M bài toán kiểu         .,...,2,1,,)( ,, )2/1 2/1 Mixu xfLu i av i k i i k i và tính các giá trị )( 2/1 kiu từ đó xác định các giá trị trung bình Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45 ,),()1()( 2/12/1 ij k j k i av i xuu    trong đó  là tham số lấy trung bình, đặt   i k i av i xu ),( 2/1 , Tiếp theo giải M bài toán con thuộc loại         .,...,2,1,,)( ,, )1 1 Mixu xfLu i av i k i i k i 3.2 Mô hình tính toán song song giải bài toán biên gián đoạn mạnh Mục đích chính của phương pháp chia miền là đưa ra một phương pháp hữu hiệu để giải quyết các bài toán phức tạp về miền hình học và điều kiện biên phức tạp trong các mô hình thực tế, trong phần này luận văn sẽ trình bày các hướng đề xuất mô hình tính toán song song giải các bài toán biên với điều kiện biên rất phức tạp trên cơ sở chia miền. Các kết quả đã được công bố trong các công trình [6, 7]. Xét bài toán biên: 4,2 4,2 , , , ,( 1.. ), , \ ,,( 1.. ). i i u f x u x i n n u x i n                   (3.4) 41  42  43  4,2 1l  4,2 l  4,2 1l  4,2 1n  1  1  2  2  3  3  … . 2 1l  2 1l  2 l  2l  2 1l  2 1l  …. 2 1n  2n  Hình 4 Trong đó     1 2 2f L ; H   , n là vectơ pháp tuyến ngoài của miền  . Trên thế giới theo chúng tôi chưa có công trình nào đưa ra kết quả tìm nghiệm gần đúng của bài toán trên. Xuất phát từ các sơ đồ chia miền theo Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 46 hướng hiệu chỉnh hàm và đạo hàm, trong phần này chúng tôi đề xuất các mô hình tính toán song song giải bài toán như sau: 3.2.1. Hướng tiếp cận hiệu chỉnh đạo hàm Chia 2n 1 i i 1      bởi các biên phân chia i( i 1..2n )  , (Hình 4). Ký hiệu 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 , ,( 1,2,... ) i i i i i i i i u u g g i n n n           . Việc giải bài toán (3.4) được thực hiện bởi sơ đồ lặp sau đây: Bƣớc 1: Xuất phát ( 0 ) ig 0,i 1,2,...,2n  . Bƣớc 2: Tiến hành giải song song các bài toán trong các miền lẻ ( ) 1 1 ( ) ( )1 1 1 1 ( ) 1 1 1 , , , , , \ , k k k k u f x u g x n u x             (3.5)   ( ) 2 1 2 1 ( ) 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( )2 1 2 2 2 2 2 1 ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 , , , \ , , , , , k l l k l l l l k kl l l l k kl l l l u f x u x u g x n u g x n                               3,...,n (3.6) ( ) 2 1 2 1 ( ) ( )2 1 2 2 2 1 ( ) 2 1 2 1 2 , , , , , \ , k n n k kn n n n k n n n u f x u g x n u x                   (3.7) Bƣớc 3: Tiến hành giải song song các bài toán trong các miền chẵn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 47   ( ) 2 2 ( ) ( ) 2 2 1 2 1 ( ) 2 4,2 2 ( ) ( ) 2 2 1 2 1 ( ) 2 2 4,2 2 2 1 , , , , , , , , , \ . k l l k k l l l k l l l k k l l l k l l l l l u f x u u x u x n u u x u x                               1,2,...,n (3.8) Bƣớc 4: Hiệu chỉnh ( ) ( 1) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( 1) ( ) 2 2 2 2 2 (1 ) , , (1 ) , . k k k l l l l l k k k l l l l l u g g x n u g g x n                         1,2,...,n (3.9) Nhận xét: Trong mô hình tính toán, chúng ta có thể thấy: theo sơ đồ tính toán đã đưa ra, việc giải các bài toán được thực hiện theo nguyên tắc tính toán song song. Khi thu được kết quả của các bài toán trong miền lẻ, việc giải các bài toán trong miền chẵn cũng sẽ được thực hiện bằng tính toán song song. Sự hội tụ của phương pháp lặp phụ thuộc vào sự hội tụ của sơ đồ (3.9). Xuất phát từ các kết quả lý thuyết trong [2, 3, 4] có thể chứng minh các sơ đồ hội tụ. 3.2.2. Hướng tiếp cận hiệu chỉnh hàm Ký hiệu  1,2,...,2 ii i g u i n    . Việc giải bài toán (3.4) được thực hiện bởi sơ đồ lặp sau đây. Bƣớc 1: Xuất phát (0) 0, 1,2,...,2 i g i n  Bƣớc 2: Tiến hành giải song song các bài toán trên các miền chẵn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 48   ( ) 2 2 ( ) ( ) 2 2 1 2 1 ( ) 2 4,2 2 ( ) ( ) 2 2 1 2 1 ( ) 2 2 4,2 2 2 1 , , , , , , , , , \ . k l l k k l l l k l l l k k l l l k l l l l l u f x u g x u x n u g x u x                               1,2,...,l n (3.10) Bƣớc 3: Tiến hành giải song song các bài toán trên các miền lẻ ( ) 1 1 ( ) ( ) 1 2 1 1 2 ( ) 1 1 1 , , , , , \ , k k k k u f x u u x n n u x                 (3.11)   ( ) 2 1 2 1 ( ) 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 ( ) ( ) 2 1 2 2 1 2 1 2 , , , \ , , , , , k l l k l l l l k k l l l l l k k l l l l l u f x u x u u x n n u u x n n                                     (3.12) ( ) 2 1 2 1 ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 2 ( ) 2 1 2 1 2 , , , , , \ , k n n k k n n n n n k n n n u f x u u x n n u x                       (3.13) Bƣớc 4: Hiệu chỉnh ( 1) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 ( 1) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 (1 ) , , (1 ) , k k k k k k g g u x g g u x                             1,2,...,n (3.14) Nhận xét: Sự hội tụ của sơ đồ hoàn toàn phụ thuộc vào sự hội tụ của các sơ đồ lặp (3.14), xuất phát từ các kết quả lý thuyết trong [22, 23] cũng có thể chứng minh sự hội tụ của sơ đồ lặp (3.14). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 49 Như vậy, hai mô hình tính toán song song (3.5)-(3.9) và (3.10)-(3.14) cùng giải quyết bài toán (3.4). Đây là các sơ đồ tính toán song song hoàn toàn mới chưa được công bố, sự khẳng định tính đúng đắn và so sánh tốc độ của hai mô hình có thể thông qua các kết quả thực nghiệm. 3.3. Các kết quả thực nghiệm Để kiểm tra tính đúng đắn của các mô hình tính toán song song, chúng tôi sử dụng phương pháp lưới chuyển các bài toán vi phân về các bài toán sai phân tương ứng và tiến hành tìm nghiệm của các bài toán sai phân bằng thuật toán thu gọn khối lượng tính toán trên cơ sở sử dụng các hàm trong TK2004 [5]. Trong các kết quả, chúng tôi luôn lấy lưới chia M N  64  64 đối với các miền con, ký hiệu u*(x1, x2) là nghiệm đúng của phương trình, sai số * ij ij(i,j) axm u u   . Các kết quả thực nghiệm được tính toán đồng thời với cả hai mô hình, ngôn ngữ sử dụng Matlab trên máy tính PC. Bảng 1: 1 1 2 2 2 1 ( , ) log( 5) sin( )log( 6)xu x x e x x x    Tham sè  HiÖu chØnh ®¹o hµm HiÖu chØnh hµm n  n  0.3 16 7.10 -5 27 8.10 -5 0.4 11 7.10 -5 19 8.10 -5 0.5 8 6.10 -5 15 5.10 -5 0.6 8 8.10 -5 11 8.10 -5 0.7 14 8.10 -5 13 9.10 -5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 50 B¶ng 2: 1 23 3 1 2 1 2 2 1 ( , ) x xu x x x x e x x e    Tham sè  HiÖu chØnh ®¹o hµm HiÖu chØnh hµm n  n  0.3 16 9.10 -5 26 2.10 -4 0.4 11 9.10 -5 19 8.10 -5 0.5 8 8.10 -5 15 5.10 -5 0.6 9 4.10 -5 11 9.10 -5 0.7 15 7.10 -5 15 7.10 -5 B¶ng 3: 1 2 1 2 ( , ) sinx sinxu x x  Tham sè  HiÖu chØnh ®¹o hµm HiÖu chØnh hµm n  n  0.3 16 1.10 -3 27 1.10 -3 0.4 11 1.10 -3 19 1.10 -3 0.5 8 1.10 -3 15 1.10 -3 0.6 9 1.10 -3 11 1.10 -3 0.7 15 1.10 -3 15 1.10 -3 Nhận xét Hai mô hình tính toán song song trên hai hướng tiếp cận hiệu chỉnh giá trị đạo hàm và hàm trên các biên chung là hai hướng tiếp cận trên hai quan điểm ngược nhau, việc chứng minh tính đúng đắn của các mô hình tính toán song song đã đề xuất bằng lý thuyết là chưa thực hiện được nhưng qua các kết quả thực nghiệm tính toán có thể khẳng định các mô hình tính toán là hội tụ với tham số 0 1  trong đó tham số tối ưu 0,5 opt   . Qua thực nghiệm có thể thấy tốc độ hội tụ của mô hình tính toán trên tư tưởng hiệu chỉnh đạo Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 51 hàm có tốc độ hội tụ nhanh hơn. Trên cơ sở của mô hình này, có thể mở rộng đề xuất mô hình tính toán song song giải các bài toán phức tạp hơn nữa. 3.4. Ứng dụng mô hình song song giải bài toán cơ học Trên cơ sở mô hình tính toán song song đã đề xuất, trong phần này chúng ta xét một mô hình mô tả các quá trình trong các thiết bị bán dẫn sử dụng các mô hình thủy động lực học, mô hình này được các tác giả A.M.Blokhin, A.C. Ibragrimova, N.I. Crasnhicova đưa ra. Về mặt toán học, đây chính là mô hình xác định hàm thế năng trong trường hợp Transitor bán dẫn kiểu điện tử đối với các điều kiện ràng buộc rất phức tạp thỏa mãn phương trình Poisson đối với hàm thế năng. Mô hình toán học như sau: Xét bài toán 1 2 ( , )u f x x  (3.15) với các điều kiện biên 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 0, 0,0 6 , 0, 0, 6 , 0 2 , 0, 2 ,0 , , 2 ,2 4 , , 2 ,5 6 , 0, 2 , 2 4 5 . u x x a x u x a x a x u x a x a u g const x a a x a u b const x a a x a u x a a x a và a x a x                                         (3.16) trong đó 1 2 ,x x là các biến không gian, 1 2 ( , )f x x là hàm vế phải đã biết. 0a  là hằng số. Không giảm tổng quát chúng ta cho rằng / 6a  . (Hình 5) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 52 Đây là một mô hình bài toán vật lý thực tế với hệ điều kiện biên hỗn hợp mạnh. Bằng phương pháp tìm nghiệm dưới dạng tổng của các hàm mẫu, các tác giả đã đưa ra phương pháp xác định nghiệm xấp xỉ của bài toán trên và đồng thời chứng minh tính đúng đắn của phương pháp đã đưa ra. Tuy nhiên trong trường hợp khi điều kiện biên là tùy ý thì việc xác định dạng của các hàm mẫu sẽ gặp khó khăn. Theo chúng tôi bài toán trên trong trường hợp tổng quát có thể giải quyết được dựa trên phương pháp thiết kế thuật toán song song dựa trên tư tưởng chia miền. Trên cơ sở của phương pháp chia miền đã đề xuất cùng các mô hình tính toán song song, đối với mô hình bài toán vật lý bán dẫn trên, chúng tôi sẽ đề xuất các phương pháp giải bài toán bằng việc đưa ra thuật toán song song trên tư tưởng chia miền đối với bài toán trong trường hợp tổng quát sau: Xét bài toán tổng quát ,u f x   . (3.17) với các điều kiện biên H×nh 5 u=0 uy=0 u=g uy=0 u=b ux=0 ux=0 uy=0 a 2a Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 53 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 , 0,0 6 , , 0, 6 , 0 2 , , 2 ,0 , , 2 ,2 4 , , 2 ,5 6 , , 2 , 2 4 5 . u x x a x u x a x a x u g x a x a u g const x a a x a u g const x a a x a u x a a x a và a x a x                                            (3.18) trong đó , , g  là các hàm số cho trước (Hình 6). 3.4.1 Sơ đồ song song theo hƣớng hiệu chỉnh đạo hàm Sử dụng phương pháp chia miền 1 2 3 4 5      bằng các biên 1 2 3 4, , ,    , kí hiệu ( 1..5), ii u u i  1 2 3 4 3 3 51 1 2 3 4 1 1 1 1 , , , . u u uu x x x x                 Việc tìm nghiệm của bài toán được thực hiện bằng thuật toán song song như sau: Xuất phát từ (0) (0) (0) (0) 1 2 3 4      , với mọi k=0,1,2 thực hiện thuật toán Bƣớc 1: Giải song song các bài toán trong các miền 1 3 5, ,   H×nh 6 0 a b Ω1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 Г1 Г2 Г3 Г4 Г6 Г7 Г8 Г9 Г10 Г11 Г12 Г13 Г14 Г15 Г5 Г0 x2 x1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 54 ( ) 1 1 ( ) 1 1 2 1 ( ) ( )1 1 1 2 1 ( ) 1 1 2 2 ( ) 1 1 2 , , , 0,0 , , ,0 , , 0 , 0, , 0 , , k k k k k k u f x u x x b x u x a x b x u x a x x u g x a x b                                  (3.19) ( ) 3 3 ( ) ( )3 2 1 2 1 ( ) ( )3 3 1 2 1 ( ) 3 1 2 2 ( ) 3 1 2 , , , 2 ,0 , , 4 ,0 , , 2 4 , 0, , 2 4 , , k k k k k k k u f x u x a x b x u x a x b x u a x a x x u g a x a x b                                  (3.20) ( ) 5 5 ( ) ( )5 4 1 2 1 ( ) 5 1 2 1 ( ) 5 1 2 2 ( ) 5 1 2 , , , 5 ,0 , , 6 ,0 , , 5 6 , 0, , 5 6 , , k k k k k k u f x u x a x b x u x a x b x u a x a x x u g a x a x b                                  (3.21) Bƣớc 2: Giải song song các bài toán trong các miền 2 4,  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 55 ( ) 2 2 ( ) ( ) 2 1 1 2 ( ) ( ) 2 3 1 2 ( ) 2 1 2 2 ( ) 2 1 2 2 , , , ,0 , , 2 ,0 , , 2 , 0, , 2 , , k k k k k k k u f x u u x a x b u u x a x b u a x a x x u a x a x b x                               (3.22) ( ) 4 4 ( ) ( ) 4 3 1 2 ( ) ( ) 4 5 1 2 ( ) 4 1 2 2 ( ) 4 1 2 2 , , , 4 ,0 , , 5 ,0 , , 4 5 , 0, , 4 5 , , k k k k k k k u f x u u x a x b u u x a x b u a x a x x u a x a x b x                            (3.23) Bƣớc 3: Hiệu chỉnh các giá trị đạo hàm trên biên chung ( ) ( 1) ( ) 2 1 1 1 2 1 1 ( ) ( 1) ( ) 2 2 2 1 2 2 1 ( ) ( 1) ( ) 4 3 3 1 2 3 1 ( ) ( 1) ( ) 4 4 4 1 2 4 1 (1 ) , ( , ) , (1 ) , ( , ) , (1 ) , ( , ) , (1 ) , ( , ) , k k k k k k k k k k k k u x x x u x x x u x x x u x x x                                                 (3.24) trong đó  là tham số lặp cần lựa chọn. Sự hội tụ của phương pháp song song trên tư tưởng chia miền hoàn toàn phụ thuộc vào sự hội tụ của sơ đồ lặp (3.24) Nghiên cứu sự hội tụ: các dãy lặp (3.24) được viết thành Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 56 )( 1 4 1 4 1 2 1 2 )( 4 3 2 1 )1( 4 3 2 1 4 3 2 1 )1( k kk x u x u x u x u                                                                            (3.25) Kí hiệu 1 2 3 4                  là vectơ các giá trị đạo hàm trên biên phân chia. Đưa vào toán tử B xác định như sau:                                    4 3 2 1 1 4 1 4 1 2 1 2 x u x u x u x u B (3.26) Trong đó 2 4 ,u u được xác định từ các bài toán 1 1 2 1 1 1 2 6 1 1 2 0 1 1 1 2 11 2 1 1 1 2 1 2 0, ( , ) , 0, ( , ) , 0, ( , ) , 0, ( , ) , , ( , ) . u x x u x x u x x x u x x x u x x x                          3 1 2 2 3 1 2 8 3 1 2 13 2 3 2 1 2 2 1 3 3 1 2 3 1 0, ( , ) , 0 ( , ) , 0, ( , ) , , ( , ) , , ( , ) . u x x u x x u x x x u x x x u x x x                           (3.27) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 57 5 1 2 5 5 1 2 10 5 4 1 2 4 1 5 1 2 5 1 1 1 2 15 2 0, ( , ) , 0, ( , ) , , ( , ) , 0, ( , ) , 0, ( , ) . u x x u x x u x x x u x x x u x x x                          (3.28) 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 3 1 2 2 2 1 2 7 12 2 0, ( , ) , , ( , ) , , ( , ) , 0, ( , ) , u x x u u x x u u x x u x x x                 4 1 2 4 4 3 1 2 3 4 5 1 2 4 4 1 2 9 14 2 0, ( , ) , , ( , ) , , ( , ) , 0, ( , ) , u x x u u x x u u x x u x x x                 (3.29) Khi đó sơ đồ lặp (3.25) được viết dưới dạng sơ đồ lặp   ( 1) ( ) ( ) k k kI B F         (3.30) Sử dụng lý thuyết toán tử trên các không gian hàm thích hợp, có thể chứng minh rằng B là toán tử tuyến tính, đối xứng xác định dương. Khi đó theo lý thuyết tổng quát của các sơ đồ lặp khẳng định sơ đồ lặp (3.30) hội tụ, điều đó chứng tỏ thuật toán song song dựa trên tư tưởng chia miền đề xuất giải bài toán trên là hội tụ. 3.4.2 Sơ đồ song song theo hƣớng hiệu chỉnh hàm Sử dụng phương pháp chia miền 1 2 3 4 5      bằng các biên 1 2 3 4, , ,    , kí hiệu ( 1..5), ii u u i  1 2 3 41 2 2 2 3 4 4 4, , , .u u u u          Việc tìm nghiệm của bài toán được thực hiện bằng thuật toán song song như sau: Xuất phát từ (0) (0) (0) (0) 1 2 3 4      , với mọi k=0,1,2 thực hiện thuật toán Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 58 Bƣớc 1: Giải song song các bài toán trong các miền 2 4,  ( ) 2 2 ( ) ( ) 2 1 1 2 ( ) ( ) 2 2 1 2 ( ) 2 1 2 2 ( ) 2 1 2 2 , , , ,0 , , 2 ,0 , , 2 , 0, , 2 , , k k k k k k k u f x u x a x b u x a x b u a x a x x u a x a x b x                                 (3.31) ( ) 4 4 ( ) ( ) 4 3 1 2 ( ) ( ) 4 4 1 2 ( ) 4 1 2 2 ( ) 4 1 2 2 , , , 4 ,0 , , 5 ,0 , , 4 5 , 0, , 4 5 , , k k k k k k k u f x u x a x b u x a x b u a x a x x u a x a x b x                              (3.32) Bƣớc 2: Giải song song các bài toán trong các miền 1 3 5, ,   ( ) 1 1 ( ) 1 1 2 1 ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 ( ) 1 1 2 2 ( ) 1 1 2 , , , 0,0 , , ,0 , , 0 , 0, , 0 , , k k k k k k u f x u x x b x u u x a x b x x u x a x x u g x a x b                                  (3.33) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 59 ( ) 3 3 ( ) ( ) 3 2 1 2 1 1 ( ) ( ) 3 4 1 2 1 1 ( ) 3 1 2 2 ( ) 3 1 2 , , , 2 ,0 , , 4 ,0 , , 2 4 , 0, , 2 4 , , k k k k k k k u f x u u x a x b x x u u x a x b x x u a x a x x u g a x a x b                                    (3.34) ( ) 5 5 ( ) ( ) 5 4 1 2 1 1 ( ) 5 1 2 1 ( ) 5 1 2 2 ( ) 5 1 2 , , , 5 ,0 , , 6 ,0 , , 5 6 , 0, , 5 6 , , k k k k k k u f x u u x a x b x x u x a x b x u a x a x x u g a x a x b                                   (3.35) Bƣớc 3: Hiệu chỉnh các giá trị đạo hàm trên biên chung ( 1) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 ( 1) ( ) ( ) 2 2 3 1 2 2 ( 1) ( ) ( ) 3 3 3 1 2 3 ( 1) ( ) ( ) 4 4 5 1 2 4 (1 ) , ( , ) , (1 ) , ( , ) , (1 ) , ( , ) , (1 ) , ( , ) , k k k k k k k k k k k k u x x u x x u x x u x x                                        (3.36) trong đó  là tham số lặp cần lựa chọn. Sự hội tụ của phương pháp song song trên tư tưởng chia miền hoàn toàn phụ thuộc vào sự hội tụ của sơ đồ lặp (3.36). Xuất phát từ lý thuyết toán tử và kết quả chứng minh sự hội tụ của sơ đồ lặp chia miền theo hướng hiệu chỉnh hàm của Saito-Fujita, chúng ta cũng có thể chứng minh các sơ đồ lặp trên là hội tụ. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 60 3.4.3 Các kết quả thực nghiệm Để kiểm tra sự hội tụ của thuật toán, chúng tôi cho trước nghiệm đúng *u của bài toán và từ đó xác định các giá trị điều kiên biên Dirichlet hoặc Neumann biên trên tất cả các đoạn biên của bài toán đang xét. Sai số * ij ijerr=max( u )u lấy trên mọi điểm lưới trong đó iju là nghiệm xấp xỉ, * iju là nghiệm đúng tại các điểm lưới ( , )i j . Trong các kết quả thực nghiệm sau đây, chúng tôi sẽ đưa ra các số liệu thực nghiệm trong việc lựa chọn tham số lặp, số bước lặp và sai số tương ứng trong trường hợp cho trước nghiệm đúng của bài toán. Các kết quả được lập trình đối với thuật toán song song theo hướng hiệu chỉnh đạo hàm, việc lập trình đối với thuật toán song song theo hướng hiệu chỉnh hàm là hoàn toàn tương tự. Tham số lặp Số bước lặp Sai số 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 40 27 17 12 9 16 40 5.10 -4 9.10 -5 9.10 -5 9.10 -5 8.10 -5 8.10 -5 2.10 -4 Bảng 4. Số liệu thực nghiệm và đồ thị đối với hàm nghiệm đúng * 1 2 1 2( , ) sinx sinx , / 6, / 3.u x x a b    Tham số lặp Số bước lặp Sai số 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 40 40 22 16 12 30 40 0.05 6.10 -4 6.10 -4 6.10 -4 6.10 -4 8.10 -4 0.05 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 61 Bảng 5. Số liệu thực nghiệm và đồ thị đối với hàm nghiệm đúng 1 2* 3 3 1 2 1 2 2 1( , ) x x , / 6, / 3. x xu x x x e x e a b       Tham số lặp Số bước lặp Sai số 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 40 30 18 14 10 17 40 0.05 0.002 0.001 0.002 0.002 0.002 0.002 Bảng 6. Số liệu thực nghiệm và đồ thị đối với hàm nghiệm đúng 1* 1 2 1 2 1( , ) log(x 5) sinx log( 6), / 6, / 3. x u x x e x a b       Tham số lặp Số bước lặp Sai số 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 40 34 22 15 12 20 40 0.0047 9.10 -5 6.10 -5 8.10 -5 4.10 -5 7.10 -5 0.0025 Bảng 7. Số liệu thực nghiệm và đồ thị đối với hàm nghiệm đúng * 2 2 1 2 1( , ) x x , / 6, / 3.u x x a b     Nhận xét: Thuật toán trên luôn luôn hội tụ với vế phải của phương trình và điều kiện biên trên các đoạn biên được chọn một cách tùy ý, thuật toán sẽ dừng khi dãy lặp thỏa mãn điều kiện dừng lặp là sai số giữa 2 bước lặp liên tiếp nhỏ hơn epsilon cho trước. Trong trường hợp vế phải và điều kiện biên được chọn tùy ý theo các công thức: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 62 1 2 1 2 2 1 4 4 1 2 -10 sin( ) os(x ) log( 5) sin( ) log( 6) epxilon=10 x x c g e x x x f x x               Khi thực hiện thuật toán trên, sau 31 lần lặp ta thu được nghiệm xấp xỉ mô tả bởi đồ thị trong hình 7. Hình 7: Đồ thị nghiệm xấp xỉ - số buớc lặp count=31 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 63 NHẬN XÉT KẾT LUẬN Nội dung của luận văn đã trình bày các kết quả nghiên cứu về mô hình tính toán song song trên cơ sở của phương pháp chia miền, một lĩnh vực đang được thế giới quan tâm và phát triển. Kết quả chính của luận văn gồm có: 1. Nghiên cứu lý thuyết chung về cơ sở toán học của phương pháp chia miền, các sơ đồ lặp cơ sở và một số thuật toán chia miền của các tác giả trên thế giới và trong nước. 2. Đề xuất các mô hình tính toán song song trên hai hướng hiệu chỉnh hàm và đạo hàm giải mô hình bài toán biên gián đoạn mạnh cực kì phức tạp, tiến hành cài đặt thử nghiệm mô hình tính toán trên máy tính điện tử. 3. Áp dụng mô hình tính toán song song giải quyết một bài toán mô phỏng quá trình hoạt động của một hệ vật lý bán dẫn trong thực tế. Tiến hành cài đặt thử nghiệm trên máy tính điện tử. Các kết quả thực nghiệm tính toán đã chứng tỏ mô hình tính toán song song đề xuất là đúng đắn. Các kết quả của đề tài đã khẳng định tính ưu việt của phương pháp chia miền khi giải quyết các lớp bài toán elliptic cấp hai khi miền hình học là rất phức tạp và điều kiện biên phức tạp. Đề tài mở ra một số hướng nghiên cứu về phương pháp chia miền đối với các lớp phương trình bậc cao, các lớp phương trình parabolic và hyperbolic, ứng dụng phương pháp chia miền khảo sát các bài toán cơ học và vật lý với điều kiện và môi trường rất phức tạp. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 64 DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN [1] Vũ Vinh Quang, Trương Hà Hải, Cao Thị Anh Thư, Mô hình tính toán song song giải bài toán biên hỗn hợp mạnh dựa trên chia miền, Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Thái Nguyên, T.2(50):52-57, 2009. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đặng Quang á, Vũ Vinh Quang (2006), “Nghiên cứu thực nghiệm một phương pháp chia miền giải các bài toán với điều kiện biên hỗn hợp trong miền hình học phức tạp”, Tạp chí Tin học và điều khiển học, T.21, tr.216-229. [2] Đặng Quang á, Vũ Vinh Quang (2006), “Phương pháp chia miền giải bài toán biên hỗn hợp mạnh”, Tạp chí Tin học và điều khiển học, T.22, tr.307- 318. [3] Đặng Quang á, Vũ Vinh Quang (2006), “Một số kết quả nghiên cứu về phương pháp chia miền giải phương trình elliptic và phương trình song điều hòa”, Hội nghị khoa học Kỷ niệm 30 năm ngày thành lập Viện Công nghệ Thông tin. [4] Vũ Vinh Quang (2007), Phương pháp chia miền giải phương trình elliptic cấp hai và phương trình song điều hòa trong miền hình học phức tạp, Luận án Tiến sĩ Toán học, Viện Công nghệ thông tin, Hà Nội. [5] Vũ Vinh Quang (2005), Các kết quả về việc ứng dụng thuật toán thu gọn khối lượng tính toán giải các bài toán elliptic với các điều kiện biên hỗn hợp, Hội thảo Khoa học Toàn quốc “Phát triển công cụ Tin học trợ giúp cho giảng dạy, nghiên cứu và ứng dụng Toán học”, Hà Nội, tr.247-256. [6] Đặng Quang Á, Vũ Vinh Quang, Phương pháp song song giải một bài toán biên hỗn hợp dựa trên chia miền, Hội thảo Quốc gia về Công nghệ Thông tin và truyền thông, Huế 6/2008, 329-340, 2008. [7] Vũ Vinh Quang, Trương Hà Hải, Cao Thị Anh Thư, Mô hình tính toán song song giải bài toán biên hỗn hợp mạnh dựa trên chia miền, Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Thái Nguyên, T.2(50):52-57, 2009. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 66 Tiếng Anh [8] Arad M., Yosibash Z., Ben-Dor G. and Yakhot A. (2005), “Computing Flux Intensity Factors by a Boundary Method for Elliptic Equation with Singularities,” Preprint submitted to Elsevier Science, 14 October. [9] Adams R. (1975), Shape Sobolev Spaces, Acad. Press, New York- Sanfrancisco-London. [10] Cioranescu D. and Donato P. (1999), An Introduction to Homogennization, Lectures series in Mathematics and its Applications, V.17, Oxford Univesity Press, Oxford. [11] Diaz M.A., Herrera I. (2003), Indirect Method of Collocation for the Biharmonic Equation, Fourtenth International Conference on Domain Decomposition Methods, Editors: Ismael Herrera, David E. Keyes, Olof B. Widlund, Robert Yates. [12] Dang Quang A, Vu Vinh Quang, “A domaindecompositionmethod for solving an elliptic boundary value problem”, Methods of Complex and Clifford Analysis (Proceedings of 2004 International Conference on Applied Mathematics), SAS Iternational Publication, Delhi, pp.309-319. [13] Elliotis M., Georgiou G., Xenophontos C.(2005), Solution of the stick- slip problem with the singular function boundary integral method, $5^{th}$ GRACM International Congress Computational Mechanics Limassol. [14] Funaro D., Quarteroni A., Zanolli P.(1998), “An iterative procedure with interface relaxation for domain decomposition method”, SIAM J. Numer. Anal. 25(6), pp.1213-1236. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 67 [15] Gevarsio P. (2005), “Homogeneous and heterogeneous domain decomposition methods for plate bending problem”, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 194, pp. 4321-4343. [16] Marchuk G.I. (1982), Methods of Numerical Mathematics, Springer, New York. [17] Marchuk G.I. and Kuznetsov Yu, Matsokin (1986), “Fictitous domains and domain decomposition method”, Soviet J. of Num. Anal. and Math. Modelling, V. 1, No 1, pp.5-41. [18] Poullikkas A., Karageorghis A., Georgiou G. (1998), “Methods of fundamental solutions for harmonic and biharmonic boundary value problems”, Computational Mechanics, (21), pp.416-423. [19] Quarteroni A. and Valli A. (1999), Domain Decomposition Methods for Partial Differential Equations, Clarendon Press. Oxford. [20] Samarskij A.(2001), The theory of diffence schemes, New York: Marcel Dekker. [21] Samarskij A. and Nikolaev E. (1989), Numerical Methods for Grid Equations, Vol. 2, Birkhauser, Basel. [22] Saito N. and Fujita H. (2001), Operator Theoretical Analysis to Domain Decomposition Methods, 12 th Int. Conf. on Domain Decomposition Methods, 63-70, . [23] Saito N. and Fujita H. (2000), Remarks on Trace of H1-functions defined in a Domain with corners, J. Math, Sci. Unv. Tokyo, (7), pp.325-345. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 68 PHẦN PHỤ LỤC % Chuong trinh Quang_Thu_1 giai bai toan co hoc bang mo hinh tinh toan % song song % Truong hop mien hinh hoc phuc tap-chia SM mien % Truong hop biet truoc nghiem dung % phi la ham ve phai % b1,b2,b3,b4: la cac gia tri tren bien trai,phai,duoi,tren % u la nghiem bai toan % Ngay lap 18/09/2008 clear all clc teta=0.5; a=1;b=1;cc=0; SM=21;%So mien chia count=0; epxilon=3*10^(-4);saiso=10; n=6; N=2^n; M=N; q1=1;q2=N+1;h1=a/M;h2=b/N;l1=a;l2=b;x10=0;x20=0; %buoc lap - Gia tri ban dau eta=0; for k=1:SM-1; for j=0:N; etak(k,j+1)=0; end; end; for i=0:SM*M; for j=0:N; ud(i+1,j+1)=u(x10+i*h1,x20+j*h2); w(i+1,j+1)=0; end; end; thoigian=cputime; while and(countepxilon); count=count+1; %Giai cac bai toan tren mien le for k=1:2:SM; p1=(k-1)*M+1;p2=k*M+1; x10=(k-1)*a;x20=0; % Gia tri ve phai for i=0:M; for j=0:N; x1=x10+i*h1; x2=x20+j*h2; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 69 phi(i+1,j+1)=vp1(x1,x2,cc); % Ham ve phai end; end; % Dieu kien tren canh trai va phai for j=0:N; x2=x20+j*h2; if k==1 b1(j+1)=u(x10,x2); else b1(j+1)=etak(k-1,j+1); end; if k==SM b2(j+1)=u(x10+l1,x2); else b2(j+1)=etak(k,j+1); end; end; % Dieu kien tren canh duoi va tren for i=0:M; x1=x10+i*h1; b3(i+1)=u(x1,x20); b4(i+1)=u(x1,x20+l2); end; if k==1; uu=u0100(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,cc,x10,x20,M,N,n,p1,p2,q1,q2); w(p1:p2,q1:q2)=uu(p1:p2,q1:q2); else if k==SM; uu=u1000(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,cc,x10,x20,M,N,n,p1,p2,q1,q2); w(p1:p2,q1:q2)=uu(p1:p2,q1:q2); else uu=u1100(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,cc,x10,x20,M,N,n,p1,p2,q1,q2); w(p1:p2,q1:q2)=uu(p1:p2,q1:q2); end; end; end;%Het vong lap mien le %Giai cac bai toan tren mien chan for k=2:2:SM-1; p1=(k-1)*M+1;p2=k*M+1; x10=(k-1)*a;x20=0; % Gia tri ve phai for i=0:M; for j=0:N; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 70 x1=x10+i*h1; x2=x20+j*h2; phi(i+1,j+1)=vp1(x1,x2,cc); % Ham ve phai end; end; % Dieu kien tren canh trai va phai for j=0:N; b1(j+1)=w(p1,j+1); b2(j+1)=w(p2,j+1); end; % Dieu kien tren canh duoi va tren for i=0:M; x1=x10+i*h1; b3(i+1)=u(x1,x20); b4(i+1)=dhy(x1,x20+l2); end; uu=u0001(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,cc,x10,x20,M,N,n,p1,p2,q1,q2); w(p1:p2,q1:q2)=uu(p1:p2,q1:q2); end;%Het vong lap mien chan % Hieu chinh gia tri etak(j) tren bien for k=2:2:SM-1; p1=(k-1)*M+1;p2=k*M+1; x10=(k-1)*a;x20=0; for j=0:N; x2=x20+j*h2; ph0(k-1,j+1)=vp1(x10,x2,cc); ph0(k,j+1)=vp1(x10+l1,x2,cc); end; for j=1:N-1; du1=1/h1*(w(p1+1,q1+j)-w(p1,q1+j))+h1/(2*h2*h2)*(w(p1,q1+j-1)- 2*w(p1,q1+j)+w(p1,q1+j+1))+h1/2*ph0(k-1,j+1); du2=1/h1*(w(p2-1,q1+j)-w(p2,q1+j))+h1/(2*h2*h2)*(w(p2,q1+j-1)- 2*w(p2,q1+j)+w(p2,q1+j+1))+h1/2*ph0(k,j+1); etak(k-1,j+1)=(1-teta)*etak(k-1,j+1)+teta*du1; etak(k,j+1)=(1-teta)*etak(k,j+1)-teta*du2; end; end;%Het vong lap hieu chinh saiso=0; for i=0:SM*M; for j=0:N; if abs(w(i+1,j+1))>10^(-7); if abs((w(i+1,j+1)-ud(i+1,j+1))/w(i+1,j+1))>saiso; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 71 saiso=abs((w(i+1,j+1)-ud(i+1,j+1))/w(i+1,j+1)); end; end; end; end; %for i=0:SM*M; % for j=0:N; % if abs(w(i+1,j+1)-ud(i+1,j+1))>saiso; % saiso=abs(w(i+1,j+1)-ud(i+1,j+1)); % end; % end; %end; saiso end;%Het vong lap while thoigian=cputime-thoigian count % Chuong trinh Quang_Thu_3 giai bai toan co hoc bang mo hinh tinh toan % song song - so do hieu chinh ham saito-fujita % Truong hop mien hinh hoc phuc tap-chia SM mien % Truong hop biet truoc nghiem dung % phi la ham ve phai % b1,b2,b3,b4: la cac gia tri tren bien trai,phai,duoi,tren % u la nghiem bai toan % Ngay lap 18/09/2008 clear all clc teta=0.9; a=1;b=1;cc=0; SM=21;%So mien chia count=0; epxilon=1*10^(-4);saiso=10; n=6; N=2^n; M=N; q1=1;q2=N+1;h1=a/M;h2=b/N;l1=a;l2=b;x10=0;x20=0; %buoc lap - Gia tri ban dau eta=0; for k=1:SM; for j=0:N; etak(k,j+1)=0; du1(k,j+1)=0; du2(k,j+1)=0; end; end; for i=0:SM*M; for j=0:N; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 72 ud(i+1,j+1)=u(x10+i*h1,x20+j*h2); w(i+1,j+1)=0; end; end; thoigian=cputime; while and(countepxilon); count=count+1; %Giai cac bai toan tren mien chan for k=2:2:SM-1; p1=(k-1)*M+1;p2=k*M+1; x10=(k-1)*a;x20=0; % Gia tri ve phai for i=0:M; for j=0:N; x1=x10+i*h1; x2=x20+j*h2; phi(i+1,j+1)=vp1(x1,x2,cc); % Ham ve phai end; end; % Dieu kien tren canh trai va phai for j=0:N; x2=x20+j*h2; b1(j+1)=etak(k-1,j+1); b2(j+1)=etak(k,j+1); end; % Dieu kien tren canh duoi va tren for i=0:M; x1=x10+i*h1; b3(i+1)=u(x1,x20); b4(i+1)=dhy(x1,x20+l2); end; uu=u0001(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,cc,x10,x20,M,N,n,p1,p2,q1,q2); w(p1:p2,q1:q2)=uu(p1:p2,q1:q2); for k=2:2:SM-1;%xac dinh gia tri dao ham p1=(k-1)*M+1;p2=k*M+1; x10=(k-1)*a;x20=0; for j=0:N; x2=x20+j*h2; ph0(k-1,j+1)=vp1(x10,x2,cc); ph0(k,j+1)=vp1(x10+l1,x2,cc); end; for j=1:N-1; du1(k-1,j+1)=1/h1*(w(p1+1,q1+j)-w(p1,q1+j))+h1/(2*h2*h2)*(w(p1,q1+j-1)- 2*w(p1,q1+j)+w(p1,q1+j+1))+h1/2*ph0(k-1,j+1); Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 73 du2(k,j+1)=1/h1*(w(p2-1,q1+j)-w(p2,q1+j))+h1/(2*h2*h2)*(w(p2,q1+j-1)- 2*w(p2,q1+j)+w(p2,q1+j+1))+h1/2*ph0(k,j+1); end; du1(k-1,1)=dhx(x10,x20);du1(k-1,N+1)=dhx(x10,x20+l2); du2(k,1)=-dhx(x10+l1,x20);du2(k,N+1)=-dhx(x10+l1,x20+l2); end; end;%Het vong lap mien chan %Giai cac bai toan tren mien le for k=1:2:SM; p1=(k-1)*M+1;p2=k*M+1; x10=(k-1)*a;x20=0; % Gia tri ve phai for i=0:M; for j=0:N; x1=x10+i*h1; x2=x20+j*h2; phi(i+1,j+1)=vp1(x1,x2,cc); % Ham ve phai end; end; % Dieu kien tren canh trai va phai for j=0:N; x2=x20+j*h2; if k==1 b1(j+1)=u(x10,x2); else b1(j+1)=-du2(k-1,j+1); end; if k==SM b2(j+1)=u(x10+l1,x2); else b2(j+1)=du1(k,j+1); end; end; % Dieu kien tren canh duoi va tren for i=0:M; x1=x10+i*h1; b3(i+1)=u(x1,x20); b4(i+1)=u(x1,x20+l2); end; if k==1; uu=u0100(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,cc,x10,x20,M,N,n,p1,p2,q1,q2); w(p1:p2,q1:q2)=uu(p1:p2,q1:q2); else Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 74 if k==SM; uu=u1000(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,cc,x10,x20,M,N,n,p1,p2,q1,q2); w(p1:p2,q1:q2)=uu(p1:p2,q1:q2); else uu=u1100(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,cc,x10,x20,M,N,n,p1,p2,q1,q2); w(p1:p2,q1:q2)=uu(p1:p2,q1:q2); end; end; end;%Het vong lap mien le % Hieu chinh gia tri etak(j) tren bien for k=2:2:SM-1; p1=(k-1)*M+1;p2=k*M+1; for j=0:N; etak(k-1,j+1)=(1-teta)*etak(k-1,j+1)+teta*w(p1,j+1); etak(k,j+1)=(1-teta)*etak(k,j+1)+teta*w(p2,j+1); end; end;%Het vong lap hieu chinh saiso=0; for i=0:SM*M; for j=0:N; if abs(w(i+1,j+1))>10^(-7); if abs((w(i+1,j+1)-ud(i+1,j+1))/w(i+1,j+1))>saiso; saiso=abs((w(i+1,j+1)-ud(i+1,j+1))/w(i+1,j+1)); end; end; end; end; saiso end;%Het vong lap while thoigian=cputime-thoigian count