Đề tài Hướng dẫn học sinh lớp 10 nâng cao giải và biện luận phương trình, hệ phương trình

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH AN GIANG TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM X W KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành Phương PhápGiảng Dạy (Bộ Mơn Tốn) GVHD:NGUYỄN THIẾT SVTH :TRẦN THỊ MAI THANH An Giang 05 - 2008 Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh LỜI CẢM ƠN Trước hết em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại Học An Giang và Ban chủ nhiệm khoa Sư phạm đã tạo điều kiện thuận lợi để em hồn thành khĩa luận tốt nghiệp này. Em xin cảm ơn quý thầy (cơ) Trường Đại Học An Giang trong thời gian qua đã nhiệt tình giảng dạy, cung cấp cho em những kiến thức quý báu, giúp em cĩ cơ sở để tiến hành việc nghiên cứu của mình. Em xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến THẦY NGUYỄN THIẾT –người thầy đã tận tình chỉ dạy, hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện đề tài. Xin cảm ơn Ban giám hiệu và tập thể giáo viên Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm đã nhiệt tình giúp đỡ, gĩp ý, để em hồn thành khĩa luận của mình. Cuối cùng,con xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới bố mẹ,thầy cơ- tất cả những người đã động viên, ủng hộ và giúp đỡ cho cơng việc nghiên cứu của con hồn thành đúng kế hoạch ! Long Xuyên, tháng 5 năm 2008 SVTH: Trần Thị Mai Thanh Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh MỤC LỤC MỞ ĐẦU...........................................................................................................................1 I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:........................................................................................1 II. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU: ....................................................2 III. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:..............................................................................2 IV. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:..............................................................................2 V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:.......................................................................2 VI. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC: .............................................................................3 VII. CẤU TRÚC LUẬN VĂN: ................................................................................3 VIII. THAY LỜI KẾT LUẬN PHẦN MỞ ĐẦU: ....................................................3 NỘI DUNG .......................................................................................................................5 CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN....................................................................................5 I. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC:........................5 1. Mở đầu: .............................................................................................................5 2. Thực trạng phương pháp dạy học mơn Tốn ở trường Phổ thơng hiện nay: ....8 3. Nguyên nhân của thực trạng dạy và học mơn Tốn hiện nay: ..........................8 II. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VIỆC RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG TƯ DUY TỐN HỌC BẰNG VIỆC GIẢI BÀI TẬP TỐN:...........................................................10 1.Giải bài tập Tốn là kiểm nghiệm lại nhận thức Tốn học, củng cố lí thuyết đã học:......................................................................................................................10 2.Giải bài tập là khả năng vận dụng kiến thức đã học để giải quyết vấn đề được đặt ra một cách logic, đầy đủ và trọn vẹn: ..........................................................10 III. ĐẶC ĐIỂM CỦA VIỆC CỦNG CỐ KIẾN THỨC (LÝ THUYẾT ĐÃ HỌC) THƠNG QUA VIỆC GIẢI BÀI TẬP:....................................................................12 1. Áp dụng lý thuyết để giải bài tập: ...................................................................12 2.Áp dụng kỹ năng tính tốn, suy luận để giải:...................................................13 KẾT LUẬN CHƯƠNG I ....................................................................................15 CHƯƠNG II QUAN NIỆM VỀ GIẢI TỐN VÀ NỘI DUNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH ........................................................................................................................18 I. QUAN NIỆM VỀ VẤN ĐỀ RÈN LUYỆN GIẢI TỐN: ..................................18 1. Việc rèn luyện giải tốn bao gồm hai nội dung chủ yếu:................................18 2.Quá trình phân tích này chứng tỏ tính chất quan trọng của việc rèn luyện giải bài tốn (khi đã cĩ đường lối). ............................................................................19 II. NỘI DUNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH: ...........................................................19 A. Nội dung của phương pháp tìm lời giải tốn nĩi chung:................................19 B.Tìm lời giải các bài tốn phương trình, hệ phương trình.................................21 CHƯƠNG III RÈN LUYỆN TƯ DUY TỐN HỌC QUA VIỆC GIẢI CÁC BÀI TẬP VỀ LOẠI TỐN: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10 NÂNG CAO.......................................................38 I. THỰC TRẠNG VỀ TRÌNH ĐỘ TỐN CỦA HỌC SINH LỚP 10 HIỆN NAY: .................................................................................................................................38 II. THỰC TRẠNG VỀ TRÌNH ĐỘ, KỸ NĂNG LÀM CÁC BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HIỆN NAY:.......................................39 III. RÈN LUYỆN TƯ DUY TỐN HỌC QUA VIỆC GIẢI BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH: ...........................................................39 Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh 1. Rèn luyện khả năng phân tích bài tốn: ..........................................................39 2.Rèn luyện khả năng định hướng và xác định đường lối giải: ..........................41 3.Rèn luyện khả năng chọn lựa phương pháp và cơng cụ:..................................47 4.Rèn luyện khả năng kiểm tra bài giải:..............................................................52 5. Rèn luyện khả năng tìm các bài tốn liên quan và sáng tạo bài tốn mới: .....53 IV. CỦNG CỐ VÀ TỪNG BƯỚC HỒN THIỆN KHẢ NĂNG TƯ DUY TỐN HỌC VÀ KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10 NÂNG CAO:.................................54 1.Củng cố và từng bước hồn thiện khả năng tư duy Tốn học: ........................54 2.Hồn thiện kỹ năng giải Tốn: .........................................................................94 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM..........................................................................................96 I. MỤC ĐÍCH: ........................................................................................................96 1.Khảo sát, đánh giá đúng trình độ học sinh. ......................................................96 2.Kiểm lại giả thuyết của đề tài là:......................................................................96 II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN:...................................................................................96 III. PHÂN TÍCH KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM:.................................96 A. Đánh giá trình độ chung của học sinh:...........................................................96 B. Ý kiến của giáo viên:.....................................................................................98 KẾT LUẬN...................................................................................................................102 I. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC: ...................................................................................102 II. HẠN CHẾ CỦA ĐỀ TÀI:................................................................................102 III. HƯỚNG GỢI MỞ CỦA ĐỀ TÀI: ..................................................................103 IV. KẾT LUẬN CHUNG: ....................................................................................103 TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................................104 Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 1 MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: 1. Khả năng tư duy Tốn học của học sinh lớp 10 hiện nay: - Trong thời đại khoa học kỹ thuật hiện nay, lượng tri thức (đặc biệt là tri thức tốn học) phải tiếp thu khi ngồi trên ghế nhà trường ngày càng nhiều, địi hỏi học sinh phải tiếp thu một cách sáng tạo, tích cực. Cĩ như vậy mới đáp ứng được yêu cầu của nền giáo dục là đào tạo học sinh thành những người cĩ kiến thức vững vàng, những người lao động mới xây dựng đất nước Việt Nam XHCN, văn minh, giàu mạnh. - Tuy vậy, thực trạng về chất lượng đa số học sinh (đặc biệt là mơn Tốn ở lớp 10) lại chưa đáp ứng được yêu cầu đĩ, nhất là làm các bài tập nâng cao dạng tốn giải và biện luận phương trình, hệ phương trình. - Hơn nữa, với tình hình chung của học sinh lớp 10 hiện nay khi gặp các bài tốn dạng này thường là thoả mãn ngay sau khi đã tìm được cách giải mà khơng tìm cách biện luận đầy đủ hoặc tìm cách giải sáng tạo dễ hiểu hoặc cách giải độc đáo… 2.Nguyên nhân vì sao học sinh gặp những khĩ khăn khi giải và biện luận phương trình, hệ phương trình: a.Qua khảo sát, tìm hiểu dễ dàng nhận thấy học sinh khi giải và biện luận phương trình, hệ phương trình thường gặp khĩ khăn do chưa nắm vững kiến thức lớp dưới, chưa rèn luyện được thĩi quen “giải quyết triệt để, tận gốc” các vấn đề, thường khi giải xong đã thoả mãn cách làm. b.Bên cạnh đĩ, trong cách học tập của các em chưa thật sự chủ động tìm tịi sáng tạo, độc lập suy nghĩ, gặp các bài tốn khĩ thường lệ thuộc vào thầy giảng, bạn giúp, hoặc xem các bài tập giải sẵn ở sách tham khảo mà khơng chịu đầu tư thời gian nhiều. Vì vậy khơng khắc sâu được khả năng suy nghĩ nhanh, nhạy bén sáng tạo trong việc làm bài. - Các em chưa nhận thức được là phải tự mình suy nghĩ, giải quyết làm kì được các bài tốn khĩ, các bài tốn nâng cao. Nếu chưa làm được, lúc khác sẽ làm tiếp và cứ tiếp tục suy nghĩ và làm tiếp cho kì được. Chờ thầy giảng (ở trên lớp, ở lớp phụ đạo, học kèm), nhờ bạn giải hoặc xem sách giải là bước cuối cùng. - Thực ra đây cũng là kinh nghiệm đơn giản, khơng mới nhưng địi hỏi quyết tâm rất lớn, học sinh sẽ tìm được “Chìa khố” để mở cửa kiến thức, giải được các bài tốn dạng nâng cao. - Xuất phát từ những lý do trên, nhằm khắc phục những khĩ khăn của học sinh khi làm bài dạng giải và biện luận phương trình, hệ phương trình và hy vọng với cơng trình này, khi trở thành giáo viên sẽ dạy đạt kết quả tốt Chương, phần nghiên cứu nĩi riêng và cả chương trình Tốn ở THPT nĩi chung, đồng thời là bước đầu để cĩ thể nghiên cứu sâu hơn các vấn đề khác, cĩ thể rút kinh nghiệm trong dạy học mơn Tốn đạt kết quả tốt nhất, đặc biệt là các lớp nâng cao. Vì vậy Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 2 chúng tơi chọn đề tài: “HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 10 NÂNG CAO GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH”. II. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU: 1. Đối tượng nghiên cứu: Hướng dẫn học sinh lớp 10 nâng cao giải và biện luận phương trình, hệ phương trình. 2. Phạm vi nghiên cứu: - Về con người và khơng gian: Là học sinh lớp 10, đặc biệt là lớp 10A1, 10A2, nơi tơi thực tập và dạy trực tiếp (8 tiết) và các lớp 10 khác (qua trao đổi với giáo viên dạy tốn ở trường) - Về kiến thức: Trong phạm vi mơn Đại số lớp 10 nâng cao phần giải và biện luận phương trình, hệ phương trình. III. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: 1. Tìm hiểu đánh giá khả năng tư duy Tốn học của học sinh lớp 10, đặc biệt mơn Đại số dạng tốn giải và biện luận phương trình, hệ phương trình. 2. Việc nghiên cứu này giúp sinh viên hiểu rõ và tích luỹ kinh nghiệm để vận dụng vào giảng dạy sau này đạt kết quả tốt. Mặt khác cũng mong rằng khám phá được chìa khố từ đĩ vận dụng vào giảng dạy học sinh lớp 10 nâng cao giải và biện luận phương trình, hệ phương trình, đáp ứng yêu cầu đổi mới về giảng dạy mơn Tốn trong trường THPT, hồn thành tốt nhiệm vụ giảng dạy của giáo viên nĩi chung và giáo viên bộ mơn Tốn nĩi riêng. IV. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU: 1. Nghiên cứu tình hình học Tốn của học sinh, những khĩ khăn, thuận lợi khi học mơn Tốn, để đi sâu vào mơn Đại số phần giải và biện luận phương trình, hệ phương trình. 2. Tìm cách giải quyết những vướng mắc của học sinh trong học tập (mơn Tốn), hướng dẫn học sinh phương pháp học tập, cách suy luận, tư duy để làm được các bài tập ở lớp, trong sách giáo khoa, và các bài tập dạng mở rộng, tham khảo cho học sinh lớp 10. V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: 1.Nghiên cứu lý luận: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 3 - Sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên, sách bồi dưỡng giáo viên lớp 10 (cơ bản và nâng cao) - Sách giáo khoa chuyên Tốn - Sách tham khảo về giảng dạy mơn Tốn…. - Tài liệu về đổi mới phương pháp dạy học của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo năm 2000. 2.Điều tra thực tế: Tại trường Trung học phổ thơng Nguyễn Bỉnh Khiêm, huyện Châu Thành, tỉnh An Giang. 3.Quan sát: - Theo dõi các nhĩm học tập lớp 10A1, 10A2 - Dự giờ dạy của giáo viên 4.Thực nghiệm sư phạm: để kiểm nghiệm kết quả nghiên cứu VI. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC: 1.Học sinh giải và biện luận phương trình, hệ phương trình chưa thành thạo, gặp các bài tốn nâng cao cịn lúng túng. 2.Thơng qua việc hướng dẫn học sinh lớp 10 nâng cao giải và biện luận phương trình, hệ phương trình, để củng cố kiến thức, nâng cao khả năng tư duy Tốn học, các em sẽ tự tin, độc lập suy nghĩ…giải được các bài tốn thành thạo, từ đĩ sẽ hứng thú trong học tập mơn Tốn. 3.Sinh viên (thực tập) sẽ rút được kinh nghiệm tích lũy được nghiệp vụ sư phạm và khi giảng dạy sẽ đạt kết quả tốt, đồng thời xây dựng cho mình thĩi quen nghiên cứu khoa học, cĩ thể sẽ cĩ những đĩng gĩp cho nền giáo dục đang đổi mới với những kinh nghiệm, cơng trình nghiên cứu cĩ giá trị trong tương lai. VII. CẤU TRÚC LUẬN VĂN: Luận văn bao gồm phần mở đầu, nội dung, thực nghiệm sư phạm, kết luận với các hình vẽ, sơ đồ, bảng và thư mục các tài liệu tham khảo. VIII. THAY LỜI KẾT LUẬN PHẦN MỞ ĐẦU: - Với việc hướng dẫn học sinh nâng cao khả năng tư duy Tốn học qua việc giảng dạy (dạy lý thuyết,luyện tập, ơn tập) là việc làm cần thiết của giáo viên. Tuy vậy lại là vấn đề khĩ của sinh viên. Vì vậy, để chuẩn bị làm giáo viên trong tương lai gần và với lịng yêu ngành, yêu nghề, chuẩn bị tâm lý và hành trang sắp tới, tơi chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh lớp 10 nâng cao giải và biện luận phương trình, hệ phương trình” cũng nhằm mục đích đĩ. Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 4 - Hướng dẫn học sinh nâng cao khả năng tư duy Tốn học là vấn đề lớn, phạm vi rộng. Vì vậy, với trình độ cĩ hạn tơi chỉ nghiên cứu trong phạm vi Tốn lớp 10 và giới hạn trong phần giải và biện luận phương trình, hệ phương trình . - Khi bắt tay vào nghiên cứu, tơi nhận ra là tuy vấn đề đã được hình thành, giới hạn trong phạm vi hẹp nhưng cũng rất khĩ khăn, gặp nhiều vấn đề phải giải quyết vượt quá khả năng và trình độ của mình. - Tuy nhiên, với tinh thần cố gắng và trách nhiệm cao, tơi đã thật nghiêm túc, thật sự cầu thị để hồn thành đề tài đã chọn . Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 5 NỘI DUNG CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN I. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: 1. Mở đầu: a. Hội nghị lần thứ 2 (khố 8-1997) Ban chấp hành TW Đảng (về cơng tác giáo dục) đã vạch rõ: - Mục tiêu giáo dục và đào tạo phải hướng vào đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo, cĩ năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đĩ gĩp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước mạnh, xã hội cơng bằng, dân chủ, văn minh. - Về phương pháp giáo dục phải khuyến khích tự học, phải áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại, để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề. - Phải đổi mới phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến và phương pháp hiện đại vào quá trình dạy học, bảo đảm điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh, nhất là sinh viên đại học. b. Luật giáo dục (1998) điều 24.2 viết: “phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng mơn học, lớp học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú cho học sinh. c. Cố thủ tướng Phạm Văn Đồng là người rất quan tâm đến giáo dục, đã nhiều lần nhắc nhở, căn dặn giáo viên và lãnh đạo ngành giáo dục: “ Chương trình sách giáo khoa phải bảo đảm dạy cho học sinh những nguyên lí cơ bản, tồn diện về các mặt đức dục, trí dục, mỹ dục, đồng thời tạo cho các em điều kiện phát triển trí thơng minh, khả năng độc lập suy nghĩ và sáng tạo. Cái quan trọng của trí dục là rèn luyện ĩc thơng minh và suy nghĩ”. - Phương pháp giảng dạy bao giờ cũng đi đơi với nội dung giảng dạy. Anh dạy như thế nào cho học trị, người sinh viên cĩ khả năng độc lập suy nghĩ, giúp cho cái thơng minh của họ làm việc, phát triển chứ khơng phải chỉ giúp cho họ cĩ trí nhớ, nhưng chủ yếu là phải giúp họ phát triển trí thơng minh sáng tạo (Trích “Đào tạo thế hệ trẻ của dân tộc thành nhũng chiến sĩ cách mạng, dũng cảm, thơng minh, sáng tạo”, Nhà XBGD, Hà Nội 1969). Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 6 - Như vậy, một phương pháp dạy học chỉ cĩ khả năng bồi dưỡng những phẩm chất của tư duy khi nĩ thực sự phát động, thúc đẩy sự suy nghĩ ấy theo con đường ngắn nhất, hợp lí nhất để đạt tới kiến thức và kỹ năng. Một phương pháp như vậy phải dựa vào những thành tựu khoa học nghiên cứu và tư duy. d. Xét trên bình diện tồn cục, tổng thể thì đổi mới phương pháp dạy học là từ dạy theo phương pháp cũ sang dạy theo phương pháp mới, song phải là phương pháp cĩ hiệu quả hơn để đạt mục tiêu giáo dục như đã trình bày phần trên, tức là phương pháp dạy sao cho phát huy tính tích cực của học sinh. Người học trị trở thành trung tâm, chủ thể được định hướng để tự mình tìm ra kiến thức, chân lí bằng hành động của chính mình. Người thầy (cơ) đảm nhiệm việc mới là chuẩn bị cho học sinh những tình huống phong phú, tạo cho học sinh giải quyết vấn đề chứ khơng phải nhồi nhét thật nhiều kiến thức vào đầu ĩc học sinh. Thầy giáo khơng chỉ là người truyền đạt kiến thức sẵn cĩ, mà là người định hướng và đĩng vai trị trọng tài, cố vấn cho học sinh tự khám phá ra chân lý, tự mình tìm ra kiến thức (bằng khả năng tư duy độc lập) với sự hợp tác của các chủ thể (lớp học). - Phương pháp dạy học nào bảo đảm phối hợp nhuần nhuyễn hai cách tái hiện và tìm kiếm kiến thức. Trong đĩ tận dụng cơ hội để tìm kiếm kiến thức chiếm ưu thế, đồng thời kết hợp hài hồ với tinh thần sẵn sàng học tập, tiếp thu của học sinh thì về cơ bản phương pháp dạy học đĩ cĩ khả năng tích cực hố được quá trình học tập của học sinh thì đĩ là phương pháp dạy học tích cực tức là đổi mới phương pháp dạy học theo phương pháp tích cực. - Như vậy, ngồi phương pháp diễn giảng truyền thống, trong quá trình dạy học chúng ta đã vận dụng thêm phương pháp khác: phương pháp đàm thoại gợi mở (đàm thoại Ơristic), phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề … thực ra là bổ sung, hồn thiện việc dạy học để đạt kết quả tốt hơn. - Phải cơng bằng mà nhìn nhận rằng phương pháp diễn giảng dạy theo truyền thống là do bối cảnh lịch sử giáo dục của đất nước. Dạy theo phương pháp này cho phép thầy truyền đạt những nội dung lí thuyết tương đối khĩ, phức tạp chứa đựng nhiều thơng tin mà trong một thời gian ngắn trị khơng dễ dàng tìm hiểu lấy được. - Phương pháp này cho phép thầy trình bày một mơ hình mẫu của tư duy logic, của cách đề cập và lí giải một vấn đề khoa học (bao gồm đầy đủ các bước đi của quá trình này, tức là algorit của việc giải quyết một vấn đề khoa học), của cách dùng ngơn ngữ để diễn đạt một vấn đề tốn học sao cho chính xác, rõ ràng. - Phương pháp này cũng là nhân tố giáo dục tư tưởng tình cảm khi giáo viên đề cập đến lịch sử của một phát minh Tốn học, tiểu sử các nhà Tốn học … làm cho học sinh yêu thích mơn Tốn, khám phá đức tính và tài năng các nhà Bác học, xem đĩ là tấm gương để học tập, mơ ước… - Trong lời nĩi của thầy cịn là mẫu mực cho trị trong phát triển tư duy biện luận, văn hố của ngơn ngữ nĩi. Logic trình bày của thầy cĩ tác dụng giúp hình thành tư duy của trị. - Nhưng mặt khác, phương pháp diễn giảng cũng cĩ nhược điểm là: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 7 + Nĩ chỉ địi hỏi học sinh một quá trình nhận thức thụ động + Nĩ khơng giúp trị tích cực phát huy văn hố của ngơn ngữ nĩi + Nĩ chỉ cho phép trị đạt tới trình độ tái hiện của sự lĩnh hội - Thực tế (và cả lí luận) đều cho rằng phương pháp diễn giảng (theo truyền thống) vẫn là phương pháp thơng dụng vì những ưu điểm của nĩ. Nhưng hiệu quả sẽ tăng rõ rệt nếu chúng ta thay đổi tính chất tái hiện bằng tính chất nêu vấn đề (tức là phương pháp dạy theo hướng tích cực) bổ sung cho những hạn chế của phương pháp diễn giảng. Theo tác giả Tống Phước Lộc (luận văn tốt nghiệp 2001) khi điều tra, khảo sát một số trường THPT ở Thành phố Hồ Chí Minh về giảng dạy mơn Tốn, tác giả đã kết luận: Khi giảng dạy giáo viên đã sử dụng các phương pháp theo tỉ lệ: + Phương pháp trực quan: 9% + Phương pháp thuyết trình:43% + Phương pháp đàm thoại: 9% + Phương pháp đọc tài liệu : 3% + Tổng hợp các phương pháp khác :46% - Theo điều tra của chúng tơi, tại trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm, Châu Thành, An Giang cũng cĩ tình hình gần giống: + Phương pháp trực quan: 12% + Phương pháp thuyết trình: 42% + Phương pháp đàm thoại: 8% + Phương pháp đọc tài liệu: 0% + Tổng hợp các phương pháp khác: 38% - Khi dạy khái niệm và định lí, giáo viên khơng chú trọng nhiều đến việc đặt câu hỏi gợi mở cho học sinh. Trong các tiết dạy, thơng thường thầy cơ ít đặt câu hỏi cho học sinh trả lời. Các câu hỏi thầy cơ đưa ra phần lớn là theo kinh nghiệm, khơng chuẩn bị trước. Hơn nữa, mục đích của mỗi bài học là làm sao cho học sinh hiểu bài, mà cách đánh giá duy nhất là học sinh giải được bài tập, chủ yếu là bài tập trong sách giáo khoa. - Trong mỗi tiết học, thầy vẫn làm việc nhiều nên kiến thức truyền đạt một chiều từ thầy đến trị. Chính vì lẽ đĩ mà cách dạy theo phương pháp truyền thống (thuyết trình) vẫn chiếm tỉ lệ lớn trong các giờ dạy của giáo viên. - Các lí do trên dẫn đến tình trạng học sinh chưa phát huy được tính tích cực, chủ động sáng tạo trong quá trình hình thành khái niệm định lí. - Như đã trình bày ở trên, mục đích của thầy mỗi bài dạy là làm sao cho học sinh làm được bài tập. Và mục đích của học sinh cũng như vậy nên học sinh chỉ chú ý học thuộc lịng định lí, cơng thức, ghi chép các ví dụ, bài tập mẫu, khơng chú ý đến bản chất của vấn đề, hoặc đặt giả thiết, lật ngược vấn đề … Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 8 - Do học sinh chỉ tiếp nhận máy mĩc, khơng sâu nên khi làm bài khơng phát huy được tính tích cực, sáng tạo, khả năng tư duy Tốn học bị hạn chế và gặp vấn đề mới dễ bị bế tắc, lúng túng khơng giải quyết được. Vì những lí do trên, chúng tơi cho rằng việc dạy Tốn ở trường THPT hiện nay dù đã được cải tiến, song hiệu quả chưa được như ý muốn. 2. Thực trạng phương pháp dạy học mơn Tốn ở trường Phổ thơng hiện nay: a. Mấy năm gần đây, trên các phương tiện thơng tin đại chúng cũng như dư luận xã hội, nĩi nhiều đến bệnh thành tích và gian lận trong thi cử của ngành giáo dục. Dạy và học mơn Tốn cũng khơng ngồi nhận xét trên. Do nhiều nguyên nhân khác nhau, học sinh phải học đối phĩ để thi cử (học tủ, học thêm, học luyện thi…), thầy giáo chưa đổi mới phương pháp giảng dạy và do những áp lực (từ nhiều phía) nên việc cho điểm, đánh giá kết quả học tập của học sinh cịn dễ dãi, chưa phản ánh đúng chất lượng học tập. Bộ Giáo Dục đã phát động phong trào: “Nĩi khơng với tiêu cực” và “Chống bệnh thành tích và gian lận trong thi cử ”.Vì vậy, giáo dục đã cĩ những chuyển biến tích cực, thu được kết quả bước đầu, lấy lại niềm tin trong xã hội, học sinh cố gắng học tập, thi cử nghiêm túc, cơng bằng…được giáo viên ủng hộ, cố gắng giảng dạy đạt kết quả tốt. b. Theo nghiên cứu, tìm hiểu của chúng tơi tại trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm, do tác động của việc chống tiêu cực, chống chạy theo “bệnh thành tích” lại được Ban Giám Hiệu lãnh đạo sâu sát, đúng hướng, giáo viên ủng hộ nhiệt tình nên việc đánh giá học sinh đã nghiêm túc hơn. Vì vậy việc dạy Tốn đã cĩ kết quả bước đầu tốt, do giáo viên cố gắng, học sinh chăm học hơn (vì sợ khơng được lên lớp, thi rớt tốt nghiệp …) và vì vậy việc vận dụng phương pháp giảng dạy theo hướng tích cực đã được chú ý hơn. Giáo viên cũng đã chú ý quan tâm đến cách đàm thoại gợi mở, đặc biệt đã chấm dứt phương pháp dạy theo cách thầy đọc, trị ghi. Về học sinh: chuẩn bị làm bài tập ở nhà cũng đã tiến bộ hơn. Tuy vậy vẫn cịn tư tưởng ỷ lại vào tiết sửa bài tập của thầy nên chưa thực sự tìm mọi cách giải quyết thật tốt bài tập trong sách giáo khoa. c. Hình thức dạy cũng sinh động hơn, cĩ phụ đạo học sinh yếu (khơng cịn tình trạng khốn trắng cho việc dạy thêm, học thêm). 3. Nguyên nhân của thực trạng dạy và học mơn Tốn hiện nay: a. Quản lí chỉ đạo: - Khơng kịp thời, khơng chuyển biến kịp với yêu cầu dạy theo phương pháp mới. - Sau năm 1975, đất nước hồ bình thống nhất, chúng ta đã phát triển mạnh mẽ về giáo dục. Nhiều trường lớp hình thành, số học sinh tăng vọt ở mọi cấp học (tiểu học, THCS, THPT) và cả Đại Học, Cao Đẳng. Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 9 - Về số lượng học sinh đơng đảo, trường mở ra nhiều đáp ứng được yêu cầu học tập của nhân dân. Tuy vậy, cơ sở vật chất lại khơng đạt, trường lớp khơng đúng chuẩn, nhiều trường khơng đủ mơi trường sư phạm (gần đường giao thơng, gần chợ, học sinh khơng cĩ sân chơi bãi tập), phịng học thiếu, sĩ số đơng (trung bình từ 40 đến 50 học sinh/lớp trong khi theo qui định chỉ khoảng 25 đến 30 học sinh/ lớp) - Bên cạnh đĩ giáo viên thiếu, dạy quá giờ qui định, kinh tế khĩ khăn khơng cĩ tiền mua sách vở tham khảo, nghiên cứu, khơng yên tâm và chuyên tâm với nghề được. Vì vậy giáo viên chỉ dạy theo sách giáo khoa là đủ, khơng chú ý gì đến phương pháp giảng dạy mới. - Hơn nữa, việc đánh giá chất lượng giảng dạy của giáo viên cứng nhắc theo tỷ lệ lên lớp (do đĩ giáo viên dễ dãi cho điểm rộng, nâng điểm cho học sinh lên lớp khơng đúng chất lượng) và theo tỷ lệ đậu tốt nghiệp, mà tỷ lệ đậu tốt nghiệp lại theo yêu cầu chính trị của địa phương … và tất nhiên chất lượng học sinh yếu. b. Khĩ khăn khi dạy học mơn Tốn: - Chương trình sách giáo khoa chưa hỗ trợ cho giáo viên đối với phương pháp dạy học. Một số nội dung cĩ tính chất kinh viện, yêu cầu chặt chẽ, cĩ những kiến thức quá tải đối với học sinh. - Vì vậy, giáo viên chủ yếu dùng phương pháp thuyết trình đơi khi đọc, chép (nhất là những định lý, định nghĩa dài dịng, khĩ nhớ) sao cho truyền thụ đầy đủ kiến thức sách giáo khoa trong 45 phút theo qui định là được, giáo viên khơng đủ thời gian để bổ sung hoặc nâng cao kiến thức cho học sinh. - Tình trạng này làm khả năng phát huy tính chủ động, sáng tạo của học sinh bị hạn chế, học sinh rất sợ phải thuộc lịng những định nghĩa, định lí khơ khan khĩ nhớ. Vì vậy dẫn đến lo, chán học, xem tài liệu giờ kiểm tra … c. Những yếu tố khác: - Giáo viên và học sinh chưa khắc phục ngay được nhận thức thĩi quen dạy và học theo phương pháp cũ. Thầy truyền thụ, học sinh tiếp thu thụ động. - Việc bồi dưỡng giáo viên chưa sát với yêu cầu nâng cao, kiến thức cũng như nghiệp vụ sư phạm, chưa theo hướng đổi mới phương pháp dạy học. - Mối quan hệ giữa đào tạo giáo viên ở các trường sư phạm và sử dụng giáo viên ở trường phổ thơng chưa chặt chẽ, sự chỉ đạo của các cấp quản lí cịn nhiều bất cập. - Đánh giá thi cử chủ yếu vẫn dựa vào nội dung và hình thức cũ, làm hạn chế đổi mới phương pháp dạy học. - Thơng tin chưa kịp thời so với các nước tiên tiến trên thế giới. Từ những phân tích trên, chúng ta thấy nhu cầu đổi mới phương pháp dạy học là cần thiết cho sự nghiệp giáo dục và cho xã hội. Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 10 Để đáp ứng yêu cầu đĩ, các nhà khoa học và các nhà sư phạm nước ta đã đề ra phương pháp dạy học nhằm phát huy tính tích cực của học sinh như: phương pháp dạy học theo tính tích cực, nâng cao khả năng tư duy Tốn học của học sinh … cách rèn luyện tư duy, khả năng nhận thức thơng qua một tiết dạy, nhất là tiết dạy bài tập được nhiều giáo viên quan tâm. Chúng ta hãy đi sâu phân tích vấn đề này. II. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VIỆC RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG TƯ DUY TỐN HỌC BẰNG VIỆC GIẢI BÀI TẬP TỐN: 1.Giải bài tập Tốn là kiểm nghiệm lại nhận thức Tốn học, củng cố lí thuyết đã học: Quan hệ tiếp thu lý thuyết và giải bài tập: - Cĩ thể hình dung sơ đồ sau: - Tiếp nhận lý thuyết đã học và giải bài tập là hai quá trình song song tồn tại của người học Tốn. Hai quá trình này chuyển hố lẫn nhau, và là cơ sở để học tốt mơn Tốn. Giải được bài tập là quá trình hiểu được lý thuyết đã học, biết tư duy để giải quyết vấn đề, từ đĩ càng củng cố lý thuyết đã học. Nắm vững lý thuyết sẽ cĩ đủ cơ sở nhận thức để giải được bài tập. Từ thực tiễn và lý luận, rõ ràng giải bài tập Tốn là việc làm khơng thể thiếu của người học Tốn. 2.Giải bài tập là khả năng vận dụng kiến thức đã học để giải quyết vấn đề được đặt ra một cách logic, đầy đủ và trọn vẹn: - Muốn làm được bài tốn phải nắm vững kiến thức đã học (định nghĩa, định lý, …). - Sau đĩ, thơng qua tư duy Tốn học để vận dụng vào việc giải bài tốn một cách logic, chặt chẽ, hệ thống như bánh xe đồn tàu hoả phải khớp với đường ray vậy, nghĩa là khơng thể khác được. Ví dụ 1: Giải phương trình: 22 4 6 11x x x x− + − = − + Hướng dẫn giải: Tiếp thu tốt nắm vững kiến thức cơ bản,cĩ phương pháp tư duy tốt,chịu đào sâu suy nghĩ Giải thành thạo bài tập, cĩ cách giải sáng tạo độc đáo khơng mắc sai lầm khi giải Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 11 Vận dụng kiến thức đã học, ta nhận thấy khơng thể cĩ phép biến đổi nào để tìm ra sự liên hệ giữa hai vế với nhau. Do đĩ, muốn giải quyết vấn đề (giải tốn) một cách logic, đầy đủ, trọn vẹn, ta phải xem xét giá trị hai vế của phương trình để tìm các giá trị của đối số để giá trị hai vế đồng thời bằng nhau. Nếu cĩ, các giá trị đĩ là nghiệm của phương trình. Ta cĩ: ( )22 6 11 3 2 2x x x− + = − + ≥ Dấu đẳng thức này xảy ra khi 3x = Cịn: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 1 1 2 4 2 4 4 x x x x bất đẳng thức Bunhiacôpski x x ⎡ ⎤− + − ≤ + − + −⎣ ⎦ ⇒ − + − ≤ Dấu đẳng thức này xảy ra khi: 2 4 3 1 1 x x x− −= ⇒ = Thuộc tập xác định 2 4x≤ ≤ của phương trình Từ đĩ: 2 4 2x x− + − ≤ . Dấu đẳng thức xảy ra khi 3x = Từ đĩ ta suy ra 3x = là nghiệm duy nhất của phương trình. Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 8 2 1 4 2 x y xy x y ⎧ + + =⎪⎨ + =⎪⎩ Hướng dẫn giải: Bằng cách nhân hai vế của phương trình ( )1 với 2 và bình phương hai vế của phương trình ( )2 ta thu được hệ phương trình tương đương sau (với điều kiện , 0x y ≥ ) 2 22 2 2 16 2 16 x y xy x y xy ⎧ + + =⎪⎨ + + =⎪⎩ Từ đây suy ra: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 12 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 x y x y x y x y x y x y + = + ⇔ + = + ⇔ − = ⇔ = Ta suy ra ngay, hệ cĩ nghiệm duy nhất: 4 4 x y ⎧ =⎨ =⎩ III. ĐẶC ĐIỂM CỦA VIỆC CỦNG CỐ KIẾN THỨC (LÝ THUYẾT ĐÃ HỌC) THƠNG QUA VIỆC GIẢI BÀI TẬP: 1. Áp dụng lý thuyết để giải bài tập: Thơng thường, khi vừa học xong lý thuyết: Định nghĩa, định lý … thường sách giáo khoa cĩ những bài tốn mà phải áp dụng những lý thuyết vừa học để giải và đương nhiên học sinh phải nắm vững cả những lý thuyết đã học trước đĩ, kể cả những kiến thức ở lớp dưới. Ví dụ : Hệ thức lượng trong tam giác (hình học lớp 9) phần lý thuyết cĩ các định lý, hệ quả sau: 2 ' 2 ' ' 2 ' 2 2 2 1 1 1 b a b h b c c a c h b c = = = = + Ta cĩ bài tốn áp dụng sau: Hãy tìm x, y trong các hình sau: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 13 Đương nhiên học sinh phải áp dụng lí thuyết mới giải được, và khi đã giải được sẽ củng cố lí thuyết đã học, nắm vững và sâu hơn. 2.Áp dụng kỹ năng tính tốn, suy luận để giải: - Khơng phải học sinh cứ nắm vững lý thuyết (đọc hiểu là thuộc các cơng thức, định nghĩa, định lý) là cĩ thể giải được tốn. Muốn giải được Tốn, điều kiện đầu tiên là phải nắm vững lý thuyết, nhưng đồng thời phải cĩ kĩ năng tính tốn (nhanh, chính xác) suy luận logic … mới làm được. - Vì vậy, cĩ những học sinh chăm học, thuộc bài (xem như là nắm được lý thuyết) nhưng lại gặp khĩ khăn khi giải tốn, nhất là những bài tốn địi hỏi sự nhanh nhạy, suy luận sáng tạo cao (tức là khả năng tư duy Tốn học). - Khơng cĩ bài tốn nào là khuơn mẫu bắt buộc phải theo, phải thuộc. Thầy giải những bài tốn mẫu cho học sinh chỉ là để các em quen với dạng tốn, để rèn luyện kĩ năng giải tốn, khả năng tư duy tốn của học sinh. Cĩ như vậy học sinh mới thích ứng được với những bài tốn khĩ, dạng nâng cao, mở rộng. Ví dụ : Giải phương trình: 4 2 21 1 2x x x x− − + + − = ( )1 Hướng dẫn giải: Điều kiện: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 14 2 2 2 1 0 1 0 1 1 0 x x x x x x ⎧ − ≥⎪⎪ + − ≥ ⇔ ≥⎨⎪ − − ≥⎪⎩ Để phát hiện được ẩn phụ, ta biến đổi phương trình đã cho. Để ý rằng ( )( )2 21 1 1x x x x− − + − = Phương trình ( )1 ⇔ 2 4 2 1 1 2 1 x x x x + + − = + − Ẩn phụ đã xuất hiện, đĩ là: 4 2 1 1u x x= + − ≥ Phương trình với ẩn phụ u cĩ dạng: 2 1 2u u + = 3 2 1 0⇔ − + =u u ( )( )21 1 0⇔ − + − =u u u 1 1 5 2 1 5 2 ⎡⎢ =⎢ − +⎢⇔ =⎢⎢ − −⎢ =⎢⎣ u u u Chỉ cĩ 1u = thỏa mãn điều kiện 1u ≥ Trở về tìm x, giải phương trình: 4 2 1 1x x+ − = 2 2 1 1 1 1 1 x x x x x ⇔ + − = ⇔ − = − ⇔ = Như vậy, rõ ràng là khi học sinh đã nắm vững lý thuyết cũng cần phải cĩ kỹ năng tính tốn, tư duy Tốn mới cĩ thể giải được các bài tập. Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 15 KẾT LUẬN CHƯƠNG I 1. Dạy học là nghệ thuật, là khoa học tổng hợp: - Bác Hồ đã dạy: “vì lợi ích mười năm trồng cây, vì lợi ích trăm năm trồng người”. Hiểu theo ý Bác Hồ là chúng ta muốn cho đất nước được giàu mạnh trong tương lai thì phải lo việc dạy học, phải “trồng người”. - Nhân dân ta, xã hội ta từ xưa đến nay cũng đã xác nhận vai trị, vị trí của người thầy trong xã hội. Nhưng dạy học như thế nào lại là vấn đề cũng cần phải trao đổi. Cách dạy học ngày xưa và ngày nay đương nhiên là khác nhau do yêu cầu của thực tế xã hội. Nhưng ở thời nào cũng cĩ những thầy giáo cĩ uy tín, cĩ tâm huyết, tìm cách giảng dạy sao cho cĩ kết quả tốt nhất. Những kinh nghiệm đĩ được kế thừa, phát triển và đúc kết thành nghệ thuật. Đĩ là khoa học sư phạm. Sư phạm là khoa học tổng hợp, chỉ ra cách dạy sao cho học sinh tiếp thu được kiến thức, trở thành người cĩ ích cho xã hội. 2.Dạy Tốn cũng là khoa học, nghệ thuật nhưng mang đặc trưng riêng của bộ mơn: - Dạy Tốn, đương nhiên cũng đầy đủ tính chất yêu cầu chung của khoa sư phạm, tức là cũng rèn luyện Trí, Đức, Mĩ … đào tạo cho học sinh theo mục đích chung là trở thành người cĩ ích cho xã hội. - Tuy vậy, mơn Tốn lại cĩ đặc trưng, yêu cầu nhiệm vụ riêng của nĩ. - Nhiệm vụ tổng quát của phương pháp dạy học Tốn là nghiên cứu mối liên hệ cĩ tính quy luật giữa các thành phần của quá trình dạy học mơn Tốn, trước hết là mục đích, nội dung và phương pháp dạy học nhằm nâng cao hiệu quả của việc dạy mơn Tốn theo các mục đích đề ra. 3.Giải được bài tập tốn là kết quả cuối cùng của người học tốn: a. Trách nhiệm của người học tốn: - Người học tốn bao giờ cũng mong hiểu được bài và giải được các bài tốn. - Tuy vậy, muốn cho mong ước ấy đạt được người học tốn phải: + Tập trung chú ý nghe giảng để nắm vững kiến thức. + Sau khi nghe giảng phải vận dụng được kiến thức đã học để làm bài tập và qua đĩ nắm vững kiến thức, cĩ thể trình bày các vấn đề đã học rõ ràng, chính xác. b. Vai trị của người thầy quyết định đến kết quả của người học tốn: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 16 - Thầy phải trình bày rõ ràng, dễ hiểu, cĩ phương pháp giảng dạy sao cho học sinh hứng thú, ham học Tốn. - Tìm chọn những bài tốn thích hợp, gây hứng thú, tự tin cho người học. - Uốn nắn, sửa chữa những sai lầm của học sinh (về kiến thức, hình thức trình bày) sao cho học sinh dễ nhớ, củng cố được kiến thức. - Cĩ thể nĩi người thầy cĩ vai trị rất quan trọng đối với kết quả học tập của học sinh. 4. Tầm quan trọng của mơn Tốn trong khoa học và ứng dụng vào xây dựng kinh tế và đời sống: a.Tốn học cĩ mặt hầu như ở tất cả các mơn khoa học, đặc biệt là khoa học tự nhiên: - Cĩ thể nĩi rằng Tốn học cĩ mặt ở mọi ngõ ngách của khoa học và đời sống. Đặc biệt trong các mơn khoa học tự nhiên Lý, Hố, Sinh, với những cơng thức tính tốn phức tạp trong các mơn này, nếu khơng cĩ kỹ năng Tốn học thì khơng thể giải quyết được. - Sự phát triển của Tốn học cũng thúc đẩy các ngành Lý, Hố, Sinh. Sự phát triển của Tốn học cao cấp giúp cho khả năng tư duy con người cao hơn, vận dụng vào việc nghiên cứu khoa học các mơn khoa học khác. - Khơng cĩ học sinh yếu Tốn nào lại cĩ thể giỏi các mơn Lý, Hố được. Cĩ thể nĩi Tốn học là chìa khố mở cửa các mơn khoa học (đặc biệt là Vật lý). - Ngay các mơn khoa học xã hội, vai trị của mơn Tốn cũng rất quan trọng. Ví dụ như khoa kinh tế cũng dùng những cơng thức Tốn học để tính tốn về kế hoạch sản xuất, kinh doanh … sao cho cĩ phương pháp tối ưu để sản xuất phát triển, lợi nhuận cao. Trong triết học, nhờ cĩ tư duy Tốn học tốt, lập luận chặt chẽ … thì cách diễn đạt, trình bày các vấn đề triết học cũng sẽ dễ hiểu, cĩ sức thuyết phục. - Với thời đại khoa học kỹ thuật ngày nay, Tốn học là chỗ dựa vững chắc, là bệ phĩng cho các mơn khoa học kỹ thuật, đặc biệt là cơng nghệ thơng tin, vật lý. b.Tốn học trong đời sống: - Thực tế trong đời sống ngày nay, chúng ta được hưởng những thành quả của khoa học, đời sống ngày càng văn minh, chất lượng cuộc sống ngày càng cao. Tuy vậy những vấn đề đơn giản nhất, dễ hiểu và sơ đẳng nhất cũng cần đến Tốn. - Người nơng dân, người buơn bán nhỏ ở cửa hàng, ở chợ cũng phải tính tốn hiệu quả kinh tế, mà tính tốn được cũng phải nhờ Tốn học. Các cơ sở sản xuất lớn, cơng ty, doanh nghiệp … lại cần phải hạch tốn kinh tế, và đương nhiên cần đến Tốn học. Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 17 - Cĩ thể nĩi Tốn học len lỏi vào mọi ngõ ngách của cuộc sống, đặt chân tới mọi gia đình, mọi người, mọi đối tượng. Vì vậy mà nhu cầu học tập của mọi người ngày càng tăng, phong phú về cách học, loại hình dạy và học. - Cũng vì lẽ đĩ việc nghiên cứu cách dạy Tốn sao cho đạt kết quả tốt là việc làm của giáo viên, các nhà sư phạm và sinh viên ngành Sư phạm Tốn ngay từ khi ngồi ở ghế nhà trường cũng cĩ điều kiện và nhiệm vụ tham gia, để chuẩn bị hành trang trở thành người thầy gĩp phần cùng các bậc anh, chị đi trước hồn thành tốt nhiệm vụ được giao. Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 18 CHƯƠNG II QUAN NIỆM VỀ GIẢI TỐN VÀ NỘI DUNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. QUAN NIỆM VỀ VẤN ĐỀ RÈN LUYỆN GIẢI TỐN: 1. Việc rèn luyện giải tốn bao gồm hai nội dung chủ yếu: a. Rèn luyện việc tìm lời giải các bài tốn. b. Rèn luyện việc giải tốn. Cĩ thể mơ tả cơng việc trên hình thành hai cơng đoạn theo mơ hình: - Trong quá trình rèn luyện, hai nội dung trên cĩ khi tiến hành đồng thời nhưng cũng cĩ khi tách thành hai quá trình riêng biệt. Tuy vậy, về mặt nhận thức cần phân biệt hai nội dung trên là hồn tồn khác nhau, độc lập với nhau (tuy cĩ quan hệ hỗ trợ cho nhau). Mỗi nội dung bảo đảm một yêu cầu riêng biệt trong cơng việc rèn luyện giải tốn. - Người giải tốn cần nhận thức rõ ý nghĩa và tác dụng của nội dung và mối quan hệ giữa hai nội dung đĩ. - Ta hãy nĩi đến vấn đề giải tốn khi đã cĩ đường lối giải. Vấn đề này tất nhiên là quan trọng trong việc rèn luyện giải tốn. Người giải tốn cần thấy rõ từ chỗ tìm được phương hướng giải bài tốn đến việc giải hồn chỉnh bài tốn là cả một quá trình rèn luyện bao gồm nhiều khâu: từ việc nắm vững các kiến thức cơ bản về nội dung lí thuyết và các phương pháp thực hành đến việc luyện tập thành thạo các qui trình và các thao tác cĩ tính chất kĩ thuật. Điều này địi hỏi tính nghiêm túc, tính kiên nhẫn và một phương pháp làm việc khoa học của người giải tốn. - Mặt khác, như đã biết kết quả của mỗi bài tốn trước hết phải biểu hiện ở lời giải đúng và đầy đủ. Rèn luyện giải tốn Rèn luyện khả năng tìm lời giải Rèn luyện khả năng giải bài tốn Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 19 - Lại cĩ những bài tốn mà việc tìm đường lối giải khơng khĩ, khi đã khá rõ ràng mà cái khĩ chủ yếu thuộc về kĩ thuật giải, do vậy cũng địi hỏi ở người giải tốn khơng ít sự sáng tạo. 2.Quá trình phân tích này chứng tỏ tính chất quan trọng của việc rèn luyện giải bài tốn (khi đã cĩ đường lối). Nhưng dù sao vẫn phải xem việc rèn luyện khả năng tìm lời giải các bài tốn là khâu cĩ tính chất quyết định trong tồn bộ cơng việc rèn luyện giải tốn vì các lẽ sau đây: - Dù cĩ kĩ thuật cao, cĩ thành thạo trong việc thực hiện các thao tác và các phép tính nhưng khi chưa cĩ phương hướng hoặc chưa cĩ phương hướng tốt thì chưa thể cĩ lời giải hoặc lời giải tốt. - Mặt khác phải xem lao động trong khâu thực hiện các thao tác khi đã cĩ phương hướng là lao động cĩ tính chất kĩ thuật, khơng thể cĩ những sáng tạo lớn như lao động để tìm phương hướng. - Ngồi ra, coi trọng khâu rèn luyện phương pháp tìm lời giải các bài tốn chính là cơ sở quan trọng cho việc rèn luyện khả năng làm việc độc lập, sáng tạo - một khả năng khơng thể thiếu được đối với người giải tốn. Những điều nêu ra ở trên (dù sơ bộ) cũng đủ chứng tỏ tính chất quyết định của khâu: rèn luyện phương pháp tìm lời giải các bài tốn trong tồn bộ quá trình rèn luyện giải tốn và khả năng tư duy cho người giải tốn. II. NỘI DUNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH: A. Nội dung của phương pháp tìm lời giải tốn nĩi chung: 1. Nội dung của phương pháp tìm lời giải các bài tốn bao gồm các mặt sau đây: a.Trước hết, với mỗi bài tốn cơng việc của người giải tốn cần đặt ra là: phải làm sao từ các dữ liệu của bài tốn đã cho bao gồm các giả thiết, các điều kiện đã cĩ trong bài tốn và kể cả yêu cầu mà bài tốn địi hỏi cần xác định được: - Thể loại bài tốn - Vạch được phương hướng giải bài tốn - Tìm được các phương pháp và cơng cụ thích hợp Làm sao cho trước khi thực hiện các thao tác thì đã cĩ phương hướng và bước đi để giải các bài tốn đĩ. b.Phải phân tích cho được nguồn gốc hình thành các giả thiết, các điều kiện đã cho trong bài tốn và cĩ khi cả kết quả của bài tốn. Phải phát hiện được mối liên hệ cĩ tính tất yếu giữa giả thiết và kết luận, giữa những điều đã cho và những điều mà bài tốn địi hỏi. Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 20 c.Từ các kết quả trên, người giải tốn cĩ thể đặt ra một vấn đề nữa là tìm kiếm các bài tốn và sáng tạo các bài tốn mới. d.Cuối cùng người giải tốn phải vươn tới việc đốn nhận quá trình hình thành bài tốn của tác giả. 2. Mối liên hệ giữa các mặt của nội dung phương pháp tìm lời giải các bài tốn: - Mặt thứ nhất là một yêu cầu quan trọng và quyết định trong sự thành bại, hay hoặc dở của một lời giải bài tốn. Năng lực của người giải tốn cũng thể hiện rõ trong mặt này. Cĩ một số người giải tốn cĩ thĩi quen khơng tốt là hễ cĩ bài tốn là cứ ghi ghi chép chép và nháp lia lịa, mặc dù chưa biết mình sẽ giải quyết cái gì và những con tính của mình phục vụ cho yêu cầu nào. Cĩ thể nĩi mặt này là thước đo năng lực của người giải tốn vì rằng khơng thể đánh giá năng lực làm tốn tốt mà chỉ thể hiện ở khâu tiếp thu và vận dụng tốt. Bỏ qua mặt này mà một bài tốn giải được thì hoặc là bài tốn quá dễ do cĩ đường lối rõ ràng hoặc là do kết quả ngẫu nhiên của một quá trình mị mẫm. - Mặt thứ hai nhằm rèn luyện khả năng đi sâu vào mỗi bài tốn: Việc phân tích các giả thiết, các điều kiện của bài tốn và cả kết quả của nĩ giúp cho người giải tốn thấy rõ quá trình xảy ra cĩ tính chất qui luật của mọi bài tốn. Nĩi cụ thể hơn là người giải tốn sẽ biết được với các giả thiết, các điều kiện đã cho như vậy thì tất yếu kết quả phải diễn ra như thế nào? Và để cĩ kết quả như thế thì cần địi hỏi các giả thiết, các điều kiện như thế nào? Điều kiện này, biểu thức nọ cĩ mặt trong bài tốn phải được hình thành trong quá trình nào? - Làm quen mặt này người giải tốn cĩ đủ lịng tin vào đường lối mà mình đã tiến hành và hy vọng ở tính đúng đắn của mọi thao tác biến đổi. Nĩ cũng là cơ sở vững chắc để cho người giải tốn cĩ điều kiện đốn nhận các kết quả xảy ra bằng mọi cách chứng minh và kiểm nghiệm tính đúng đắn của sự đốn nhận đĩ. Làm tốt khâu này cịn giúp ích nhiều cho người giải tốn trong việc tìm kiếm các bài tốn liên quan, sáng tạo các bài tốn mới và đốn nhận được quá trình hình thành bài tốn của tác giả. - Mặt thứ ba: tìm các bài tốn liên quan và sáng tạo bài tốn mới. Muốn làm việc đĩ, trước hết người giải tốn phải phân tích kỹ để nắm được đặc điểm và bản chất của bài tốn, các yếu tố cấu tạo nên bài tốn đĩ. Như thế mới cĩ thể thấy được mối liên hệ giữa các bài tốn trong cùng một loại bài tốn và giữa các loại bài tốn khác nhau. Cơng việc sáng tạo các bài tốn mới, trước hết (đơn giản hơn cả) cĩ thể đi từ việc thay đổi các điều kiện đã cho của một bài tốn để tìm một kết quả mới. - Sau nữa, do phát hiện được mối liên hệ giữa các chất liệu tạo nên bài tốn nên cĩ thể thay đổi mối liên hệ đĩ để tạo ra các bài tốn mới. Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 21 - Làm tốt mặt này, sẽ làm tốt mặt thứ hai đã nêu ở trên. Từ đĩ, người giải tốn khơng chỉ nắm được các bài tốn dưới dạng riêng lẻ mà cịn nắm được dưới dạng tổng quát. Cĩ làm tốt mặt này, người giải tốn mới làm quen với việc nhận dạng các bài tốn cũng như phân loại các bài tốn mới. - Cuối cùng, nếu đốn nhận được quá trình hình thành bài tốn của tác giả thì người giải tốn sẽ cĩ một sự hiểu biết sâu sắc về bài tốn đĩ. Mặt này, nếu làm được và làm tốt (tuy khĩ) sẽ giúp ích rất nhiều cho việc sáng tạo các bài tốn mới. - Bốn mặt trên, tuy mỗi mặt cĩ những yêu cầu khác nhau nhưng lại cĩ quan hệ và hỗ trợ cho nhau một cách đắc lực. Chính vì vậy quá trình để rèn luyện khả năng giải tốn, người giải tốn phải tiến hành một cách tồn diện cả bốn mặt đĩ. B.Tìm lời giải các bài tốn phương trình, hệ phương trình Phương pháp 1: Khai thác triệt để các giả thiết bài tốn Cơng việc này bao gồm các mặt sau đây: 1. Nghiên cứu các đặc điểm về dạng của bài tốn: Các đặc điểm về dạng của bài tốn là phần hình thức của bài tốn đĩ. Do sự thống nhất giữa nội dung và hình thức nên việc nghiên cứu phần hình thức của bài tốn về thực chất là việc khám phá các đặc điểm trong nội dung của bài tốn. Chính vì thế, nhiều bài tốn cĩ được lời giải hoặc cĩ lời giải hay là nhờ vào việc khai thác đúng đắn các đặc điểm về dạng của bài tốn đĩ. Mặt khác, do tính phong phú của hình thức nên các đặc điểm về dạng biểu hiện muơn hình muơn vẻ, địi hỏi người giải tốn phải biết cách nhìn bài tốn đĩ. a. Trước hết, các đặc điểm đĩ thể hiện ở mối liên hệ giữa các số cĩ mặt trong bài tốn đĩ. b. Đặc điểm của bài tốn thể hiện ở mối liên hệ giữa các số hạng tham gia trong bài tốn. c. Đặc điểm của bài tốn thể hiện ở tính chất của hình, vị trí tương đối của các đường, dạng của biểu thức … cĩ trong bài tốn. d. Đặc điểm về dạng của bài tốn cịn thể hiện ở tính chất “kì dị” khơng mẫu mực hay tính chất “ngụy trang” của dạng bài tốn. Ví dụ 1: Giải phương trình: 32 1 2 1 2 xx x x x ++ − + − − = (1) Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 22 Hướng dẫn giải: Cần để ý rằng: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x + − = − + − × + = − + − − = − − − × + = − − Thì thực chất (1) là phương trình: 31 1 1 1 2 xx x +− + + − − = Điều kiện: 1x ≥ Do: 1 1 0 1 1 1 1x x x− + > ⇒ − + = − + Cịn 1 1, 2 1 1 1 1, 1 2 x khi x x x khi x ⎡ − − ≥− − = ⎢ − − ≤ <⎢⎣ Do đĩ: ( ) 32 1 , 2 21 32 , 1 2 2 xx khi x x khi x +⎡ − = ≥⎢⇔ ⎢ +⎢ = ≤ <⎢⎣ Giải hai phương trình cuối ta được 5x = , 1x = là nghiệm của (1) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình ( )( ) ( )( ) ( )( ) 187 154 238 x y y z y z z x z x x y + + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩ Hướng dẫn giải: Ta khơng thể nghĩ tới việc giải hệ phương trình bằng phương pháp thế (vì đây là hệ phương trình bậc cao đối với x , y , z ). Nhưng chỉ cần để ý đến các Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 23 vế trái của hệ ta thấy ngay các thừa số x y+ , y z+ , z x+ được lặp lai hai lần, vì thế bằng cách nhân các phương trình theo từng vế ta thu được: ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2. . 187 154 238 11 14 17+ + + = × × = × ×x y y z z x Khi đĩ: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 11 14 17 11 14 17 x y y z z x x y y z z x + + + = × ×⎡⎢ + + + = − × ×⎢⎣ ( )∗ Từ ( )∗ kết hợp với các phương trình của hệ ta thu được các hệ: 17 10 11 7 14 4 x y x y z y z x z + = =⎧ ⎧⎪ ⎪+ = ⇔ =⎨ ⎨⎪ ⎪+ = =⎩ ⎩ Và: 17 10 11 7 14 4 x y x y z y z x z + = − = −⎧ ⎧⎪ ⎪+ = − ⇔ = −⎨ ⎨⎪ ⎪+ = − = −⎩ ⎩ là hai nghiệm của hệ đã cho. 2.Nghiên cứu các điều kiện đặt ra cho các đại lượng cĩ trong bài tốn để định hướng đường lối giải: - Các đại lượng cĩ trong bài tốn trước hết phải kể đến là các đối số, các tham số trong bài tốn đại số, số học và lượng giác; các yếu tố tạo nên hình và khối trong các bài tốn hình học. Các điều kiện đặt ra cho các đại lượng đĩ khơng thể là ngẫu nhiên, tùy tiện mà chính là sự biểu hiện các mối liên hệ nào đĩ giữa các yếu tố tạo nên bài tốn. - Ở một số bài tốn khác, cĩ những biểu thức, hệ thức nào đĩ được đưa vào kèm theo một số các điều kiện. Khai thác triệt để và đúng hướng các điều kiện đĩ chắc chắn sẽ dẫn tới việc xác định đúng hướng giải bài tốn. Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2A x y z u= với điều kiện , , ,x y z u là các số dương và : ( )2 4x xy z yzu+ + + = ∗ Hướng dẫn giải: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 24 Do , , ,x y z u là các số dương nên ta nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức Cơsi để tìm giá trị lớn nhất của A. Nhưng do sự cĩ mặt của điều kiện ( )∗ nhắc ta khơng thể để nguyên dạng của A mà phải biến đổi A về dạng thích hợp. Muốn vậy ta biến đổi A về dạng sau: 1 . 2 . . . 2 A x xy z yzu= Khi đĩ, áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho 4 thừa số dương 2 , , ,x xy z yzu ta được: 4 22 . . . 1 4 x xy z yzux xy z yzu ⎛ ⎞+ + +≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠ Dấu đẳng thức xảy ra khi: 2x xy z yzu= = = tức là khi 1 12 ; ; ; 1 2 2 y u x z= = = = Từ đĩ ta thu được kết luận: max 1 2 A = và đạt được khi 1 ; 1; 2 2 x u z y= = = = 3. Nghiên cứu tính chất của các biểu thức cĩ mặt trong bài tốn để định hướng lối giải cũng như chiến thuật giải: - Cĩ một số trường hợp, một biểu thức trong một bài tốn mang những tính chất khác nhau.Vì vậy, nếu nghiên cứu đầy đủ các tính chất khác nhau đĩ cĩ thể dẫn ta đến những lời giải khác nhau của một bài tốn. - Lại cĩ những trường hợp, trong cùng một bài tốn cĩ chứa nhiều biểu thức “xa lạ” với nhau quá, khi đĩ ta cần phải xét cụ thể tính chất của từng loại biểu thức để định đường lối giải thích hợp. - Cũng cĩ khi các tính chất của các biểu thức biểu hiện rất chi tiết, rất cụ thể mà người giải tốn cĩ thể thiếu cảnh giác, bỏ qua và khi đĩ hiển nhiên lời giải nếu cĩ được sẽ rất phức tạp. Ví dụ: Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 1 3 2 4 1 0 1 6 5 1 3 0 x x x y x y x x x y ⎧ − + − + + − + + − =⎪⎨ − − − + + − − =⎪⎩ Hướng dẫn giải: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 25 Tính chất rắc rối của hệ làm ta phải cảnh giác. Nếu vậy ta nhận thấy ngay rằng, để hệ tồn tại thì ẩn x ít nhất phải thỏa mãn hệ điều kiện: 2 1 11 0 1 11 0 xx x xx − ≤ ≤⎧ − ≥ ⎧⇔ ⇔ =⎨ ⎨ ≥− ≥ ⎩⎩ Khi 1x = ( ta chỉ xét 1x = mà thơi) thì hệ trở thành: 2 2 4 2 0 1 3 0 y y y ⎧ − − + =⎪⎨ − − =⎪⎩ Từ phương trình thứ hai của hệ ta suy ra: 2 21 3 2 y y y =⎡− = ⇒ ⎢ = −⎣ Giá trị 2y = − loại (vì y khơng tồn tại) Khi 2y = phương trình thỏa mãn Do đĩ nghiệm duy nhất của hệ 1 2 x y =⎧⎨ =⎩ Phương pháp 2: Phân tích biến đổi đồng thời giả thiết và kết luận Cĩ những bài tốn mà giả thiết và kết luận vốn đã quá xa nhau. Lại cĩ những bài tốn mà vốn là chúng gần nhau, nhưng để làm “khĩ dễ” cho người giải, tác giả các bài tốn cố tình làm cho chúng trở thành xa nhau hơn. Nhiệm vụ của người giải tốn là phải tìm cách bắc những nhịp cầu logic để làm cho giả thiết và kết luận trở thành gần gũi hơn. 1. Làm gần gũi giả thiết với kết luận bởi việc định hướng các phép biến đổi giả thiết bằng cách dựa vào những điều quan sát và phân tích được ở kết luận. - Người giải tốn cĩ nhược điểm là do thiếu định hướng đúng nên sau một số phép biến đổi, bài tốn trở nên phức tạp hơn, cĩ khi trở về cái đích ban đầu. - Muốn cĩ định hướng đúng, người giải tốn phải biết cách phân tích các đặc điểm của kết luận để từ đĩ đề xuất các phép biến đổi. Mỗi phép biến đổi được xem là đúng hướng nếu sau phép biến đổi đĩ gần gũi hơn với kết luận. Ví dụ: Chứng minh rằng nếu phương trình 2 0ax bx c+ + = cĩ hai nghiệm mà nghiệm này bằng k lần nghiệm kia ( k là số đã cho và khác -1) thì: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 26 ( )22 1kb k ac= + Hướng dẫn giải: Gọi 1x và 2x là các nghiệm của phương trình, từ giả thiết ta suy ra: 1 2 2 1 x kx x kx =⎡⎢ =⎣ ( )∗ Từ ( )∗ ta suy ra ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 0 0 2 0 1 0 x kx x kx x x k x x k x x x x k x x x x k x x k x x k x x − − = ⇔ − + + = ⎡ ⎤⇔ − + − + =⎣ ⎦ ⇔ + − + = ∗∗ Nhằm làm xuất hiện , ,a b c ta sử dụng định lí Viet ( 1 2 bx x a + = − , 1 2 cx x a= ) thì từ ( )∗∗ ta suy ra : ( ) ( ) 2 2 22 1 0 1 c bk k a a kb k ac ⎛ ⎞+ − − =⎜ ⎟⎝ ⎠ ⇔ = + là đẳng thức cần chứng minh. 2. Phân tích và biến đổi kết luận (yêu cầu mà bài tốn địi hỏi) bởi những định hướng hợp lí qua quan sát được từ việc phân tích giả thiết để làm cho: a.Kết luận ngày càng gần gũi với giả thiết hơn. b.Chứng minh kết luận mà bài tốn địi hỏi là đúng đắn. Việc làm gần gũi kết luận với giả thiết chính là cơng việc làm ngược chiều của người giải tốn đối với cơng việc của tác giả bài tốn (tác giả bài tốn cố tình tìm cách làm cho kết luận xa thêm với giả thiết cịn người giải tốn thì ngược lại, làm cho kết luận gần gũi hơn với giả thiết). Ví dụ: Cho a và b là hai nghiệm của phương trình: 2 1 0x px+ + = , cịn b và c là hai nghiệm của phương trình: 2 2 0x qx+ + = . Chứng minh rằng: (b-a) (b-c) = 6pq − Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 27 Hướng dẫn giải: Ta cần biến đổi (b-a) (b-c) và chứng tỏ rằng biều thức đĩ bằng 6pq − . Hướng của phép biến đổi phải căn cứ vào giả thiết: b a p+ = − , 1=ba , b c q+ = − , 2bc = Ta cĩ: ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 2 2 6 b a b c b a a b c c b a b c a b c c b a ac pq ab bc pq − − = + − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = + + − + − + + = − − = − Phương pháp 3: Chuyển hĩa nội dung của bài tốn - Trong tự nhiên xã hội, các sự vật luơn cĩ mối quan hệ với nhau và trong những điều kiện nào đĩ, chúng cĩ thể chuyển hĩa qua nhau. - Trong tốn học cũng vậy, cĩ nhiều loại tốn cĩ liên quan với nhau. Mối liên hệ giữa chúng trong điều kiện nào đĩ cho phép ta cĩ thể chuyển từ việc giải bài tốn này qua việc giải một bài tốn khác (cĩ nội dung khác nhau ) Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3u x y= + nếu ,x y thỏa mãn phương trình: 2 24 3x xy y+ + = Hướng dẫn giải: Bài tốn tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm u chuyển thành bài tốn: Tìm mọi giá trị của u sao cho hệ: 2 2 3 4 3 x y u x xy y + =⎧⎨ + + =⎩ ( )1 cĩ nghiệm ( ),x y Từ phương trình đầu ta cĩ: 3x y u= − + (với u tùy ý), thay giá trị x đĩ vào phương trình sau ta thu được phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 4 3 10 5 3 0 2 y u y u y y y uy u − + + − + + = ⇔ − + − = Điều kiện 0∆ ≥ để phương trình ( )2 cĩ nghiệm đối với y chính là điều kiện để hệ ( )1 cĩ nghiệm ( ),x y Ta cĩ: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 28 ( )2 2 2 0 25 40 3 0 15 120 0 2 2 2 2 u u u u ∆ ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ − ≤ ≤ Để tìm các ( ),x y làm cho đẳng thức xảy ra, ta xét: Khi 2 2 0u = ⇒ ∆ = ⇒ phương trình ( )2 cĩ nghiệm kép: 0 5 2 20 2 uy = = . Từ đĩ 0 22x = Khi 0 22 2 2 u y= − ⇒ = − . Từ đĩ 0 3 22x = − Vậy ta kết luận: max 2 2u = , đạt được khi 2 2 2 2 x y ⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩ min 2 2u = − , đạt được khi 3 2 2 2 2 x y ⎧ = −⎪⎪⎨⎪ = −⎪⎩ Ví dụ 2: Giải phương trình: 8 1 3 5 7 4 2 2x x x x+ + − = + + − Hướng dẫn giải: Đặt 8 1, 3 5, 7 4, 2 2u x v x z x t x= + = − = + = − Với điều kiện: , , , 0u v z t ≥ Ta được hệ: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 29 ( ) ( )2 2 2 2 1 2 u v z t u v z t ⎧ + = +⎪⎨ − = −⎪⎩ Từ ( )2 suy ra: ( )( ) ( )( )u v u v z t z t+ − = + − Vì 0u v+ > nên từ đĩ ta thu được: ( )3u v z t− = − Từ ( )1 và ( )3 ta suy ra: u z= Từ đĩ suy ra: 8 1 7 4 3x x x+ = + ⇔ = Giá trị 3x = thỏa mãn điều kiện bài tốn.Đĩ là nghiệm của phương trình. Phương pháp 4: Chuyển hĩa hình thức bài tốn - Thực tế cĩ một số bài tốn, nếu ta biết cách thay đổi hình thức của bài tốn thì sẽ dễ giải hơn hoặc cĩ lời giải tốt hơn. - Cụ thể người ta thường chuyển các bài tốn cĩ dạng Đại Số sang lượng giác, lượng giác sang Đại Số hoặc Đại Số sang hình học. Ví dụ: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 25 1 3 9 2 3 16 3 yx xy y z z xz x ⎧ + + =⎪⎪⎪ + =⎨⎪ + + =⎪⎪⎩ Tính 2 3D xy yz zx= + + Hướng dẫn giải: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 30 Khơng thể khơng nghĩ tới 3 con số trong các vế phải: 9, 16, 25 mà 9 + 16 = 25 Phải chăng đĩ là bình phương số đo các cạnh của một tam giác vuơng: 3, 4, 5 Nếu vậy vế trái của các phương trình là bình phương độ dài các cạnh của tam giác. Bằng cách nhìn lượng giác hỗn hợp đại số, ta cĩ các biến đổi sau: 22 2 2 0 2 22 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 cos150 25 3 3 3 9 3 3 2 cos120 16 y y yx xy x x BC y yz z AB z xz x z x zx AC ⎛ ⎞+ + = + − = =⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞+ = + = =⎜ ⎟⎝ ⎠ + + = + − = = Ở đây ta thấy ba tam giác OAB, OBC, OCA tạo thành tam giác vuơng. Để tính D ta lập phương trình xem D là ẩn. Một mặt ta cĩ: 1 1 3 4 6 2 2ABC S AB AC= ⋅ = ⋅ ⋅ = Mặt khác ta lại cĩ: ( ) = + + = ⋅ + + = + + = ⋅ 0 0 S 1 1 1 sin150 sin120 2 2 23 3 1 1 2 3 4 3 4 3 ABC AOB BOC COAS S S z yy x zx yz yz zx D Từ đĩ: = 24 3D Phương pháp 5: Lựa chọn cơng cụ để giải tốn - Việc lựa chọn các cơng cụ khác nhau để giải tốn là việc làm cần thiết. Các cơng cụ được chọn trên cơ sở phân tích các đặc điểm của bài tốn đã cho. - Những đặc điểm nào thích hợp với loại cơng cụ nào người giải tốn phải làm quen và nắm vững, chọn được cơng cụ thích hợp tất nhiên lời giải tương ứng sẽ tốt nhất. Chúng ta cĩ thể kể ra đây một số cơng cụ chủ yếu chẳng hạn: đồ thị, tam thức bậc hai, nguyên hàm, vectơ… Ví dụ 1: Cho phương trình: + + − =2 1a x a x b ( )1 Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 31 Hãy biện luận theo a và b số nghiệm của phương trình ( )1 Hướng dẫn giải: Biến đổi ( ) ⎡ ⎤⇔ + + − =⎣ ⎦1 2 1a x x b Khi = = 0a b phương trình cĩ nghiệm là mọi x Khi ≠ 0a phương trình: ( ) ⇔ + + − =1 2 1 bx x a Giải tốn bằng đồ thị: Gọi = + + −2 1y x x ; = bz a Đồ thị của y được vẽ sau khi khử dấu giá trị tuyệt đối. Cơng việc đĩ thực hiện trong bảng sau: x −∞ 2− 1 +∞ 2x + 2x− − 2x + 2x + 1x − 1x− + 1x− + 1x − y 2 1x− − 3 2 1x + Và ⎡− − ⎣ 2 1 2 3 2 1 2 1 1 x khi x y khi x x khi x Đồ thị của z là đường thẳng song song với trục Ox, cắt trục tung tại điểm ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠0; b a 0 0 Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 32 Graph Limited School Edition -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y b a y z Căn cứ vào đồ thị ( số giao điểm ) ta cĩ kết quả sau: Khi = = 0a b : phương trình cĩ nghiệm là mọi x tùy ý. Khi ≠ 0a : * < 3ba phương trình vơ nghiệm * = 3b a phương trình cĩ nghiệm là mọi x thuộc đoạn ⎡ ⎤−⎣ ⎦2,1 * > 3b a phương trình cĩ hai nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình: + + − = +21 3 2 1x x x x Hướng dẫn giải: Xét các vectơ: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 33 ( ) ( ) = = + − r r ,1 1 , 3 a x b x x Điều kiện: − ≤ ≤1 3x Dưới dạng đã cho, phương trình đã cho cĩ dạng: = r r r r . .a b a b Đẳng thức chỉ xảy ra khi các vectơ r a và r b cùng phương với nhau Do = 0x khơng phải là nghiệm của phương trình nên ta cĩ: + = −1 3x x x ( )( ) ⎧ >⎪⇔⎨ − + + =⎪⎩ ⎧ >⎪⇔⎨ − − − =⎪⎩ ⎡ =⇔⎢ = +⎢⎣ 3 2 0 3 1 0 0 1 2 2 0 1 1 2 x x x x x x x x x x Phương pháp 6: Chuyển đổi ẩn số, số phương trình, bậc của ẩn, bậc của phương trình Chúng ta đã làm quen với phương pháp trên khi giải các bài tốn. Chẳng hạn: - Khi giải các bài tốn hệ phương trình nhiều ẩn, ta tìm cách khử bớt ẩn số để quy bài tốn về dạng chứa ít ẩn số hơn. - Khi giải các bài tốn lượng giác cũng như đại số cĩ bậc cao, ta tìm cách hạ thấp bậc bằng cách chuyển phương trình thành phương trình tích hoặc sử dụng các ẩn số phụ. - Khi giải các bài tốn hình học phụ thuộc vào nhiều đại lượng thay đổi ta cũng tìm cách (bằng các thủ pháp cĩ tính chất hình học) để chuyển về việc nghiên cứu bài tốn phụ thuộc vào ít đại lượng biến đổi hơn. Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 34 - Tuy vậy, lại cĩ những bài tốn ta lại làm theo quá trình ngược lại tức là chuyển bài tốn ít ẩn thành bài tốn nhiều ẩn, bài tốn vốn bậc thấp thành bài tốn bậc cao… Ví dụ 1: Giải các phương trình: a) ( ) ( ) ( )6 62 4 64 1x x− + − = b) ( )4 8 7 2x x= + c) ( ) ( ) 2 2 2 81 40 3 9 xx x + = + Hướng dẫn giải: Các phương trình đã cho đều là các phương trình bậc cao khơng cĩ dạng đặc biệt, vì thế để giải chúng ta tìm cách hạ bậc các phương trình đĩ. Các phương pháp sau đây cĩ thể giúp ta thực hiện được: - Đưa vào ẩn phụ thích hợp để chuyển phương trình đã cho cĩ bậc cao về phương trình đối với ẩn phụ cĩ bậc thấp.Tìm ẩn phụ rồi trở về tìm ẩn ban đầu. - Biến đổi phương trình thành phương trình tích. Khi đĩ các phương trình sẽ cĩ bậc thấp hơn. a. Đặt 3u x= − Phương trình ( )1 với ẩn u cĩ dạng: ( ) ( )6 61 1 64u u− + + = Mà: ( ) ( ) 6 6 5 4 3 2 6 6 5 4 3 2 1 6 15 20 15 6 1 1 6 15 20 15 6 1 u u u u u u u u u u u u u u + = + + + + + + − = − + − + − + Khi đĩ ta thu được phương trình: 6 4 215 15 31 0u u u+ + − = Đặt 2 0v u= ≥ , ta cĩ phương trình: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 35 ( )( ) 3 2 2 2 15 15 31 0 1 16 31 0 1 1 1 1 v v v v v v v u u u + + − = ⇔ − + + = ⇔ = ⎡ =⇒ = ⇔ ⎢ = −⎣ Vậy phương trình ( )1 cĩ đúng 2 nghiệm: 4x = và 2x = b. Để cĩ được phương trình tích ta hãy lưu ý đến: ( )( )2 2 0u v u v u v= ⇔ − + = Do vậy, cộng vào hai vế của phương trình cùng một biểu thức 22 1x + (vì để cĩ ( )22 4 21 2 1x x x+ = + + ) Ta thu được: ( ) ( ) ( ) 4 2 2 222 2 2 2 2 1 2 8 8 1 2 2 2 0 2 2 2 1 0 2 2 2 1 0 2 9 2 2 2 9 2 2 x x x x x x x x x x x x ⇔ + + = + + ⇔ + − + = ⎡ + + + =⇔ ⎢⎢ − − + =⎣ ⎡ = + −⎢⇔ ⎢ = − −⎣ (do phương trình đầu vơ nghiệm vì 0∆ < ) c. Xem ( ) 2 2 2 81 9 xx x + + là 2 2a b+ trong ( )2a b− với a x= , 9 9 xb x = + Ta thu được: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 36 ( ) 2 22 2 2 9 93 2. . 40 9 9 18 40 0 9 9 9 9 x xx x x x x x x x xđặt u điều kiện x x ⎛ ⎞⇔ − + =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎛ ⎞⇔ + − =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ = ≠−+ Ta thu được phương trình đối với u: 2 18 40 0 2 20 u u u u + − = ⎡ =⇔ ⎢ = −⎣ Trở về tìm x, ta lần lượt giải các phương trình: 2 2) 2 2 18 0 9 1 19 1 19 x x x x x x ∗ = ⇔ − − =+ ⎡ = +⇔ ⎢⎢ = −⎣ ( )2 2) 20 20 180 0 phương trình vô nghiệm 9 x x x x ∗ = − ⇔ + + =+ Ví dụ 2: Giải phương trình: ( ) ( )33 9 3 6x x− = − + ∗ Hướng dẫn giải: Phương trình đã cho tuy chỉ cĩ một ẩn, nhưng khĩ giải vì tính chất phức tạp của chúng. Để bài tốn cĩ thể trở thành dễ giải hơn, ta chỉ cịn cách phát hiện các ẩn phụ để chuyển việc giải bài tốn một phương trình một ẩn phụ khĩ giải thành hệ các phương trình nhiều ẩn nhưng dễ giải hơn. Chọn: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 37 3 9 3 u x v x = − = − Từ phương trình ( )∗ ta cĩ được: 3 6u v= + Từ cơng thức của u , ta cĩ được: 3 39 6 3u x u x v= − ⇒ + = − = Như vậy ta thu được hệ: ( )33 66 u v v u ⎧ = +⎪ ∗∗⎨ = +⎪⎩ Ta cĩ: ( ) ( )( ) 3 3 3 3 2 2 6 6 1 0 u v u v v u u v u v u v uv ⎧ = +⎪∗∗ ⇔ ⎨ − = −⎪⎩ ⎧ = +⎪⇔ ⎨ − + + + =⎪⎩ 2 2 2 2 3 3do 1 1 0 2 46 u v vu v uv u v u v ⎛ ⎞⎧ = ⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟⇔ + + + = + + + >⎨ ⎜ ⎟⎜ ⎟= +⎪ ⎝ ⎠⎩ ⎝ ⎠ ( ) ( )23 36 0 6 2 1 2 2 2 u v u u do u u u u u v ⎧ =⎪⇔⎨ ⎛ ⎞⎡ ⎤− + = − + = + − +⎜ ⎟⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠⎩ ⎧ =−⇔⎨ =−⎩ Trở về tìm x, ta thu được: 1x = là nghiệm duy nhất của phương trình. Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 38 CHƯƠNG III RÈN LUYỆN TƯ DUY TỐN HỌC QUA VIỆC GIẢI CÁC BÀI TẬP VỀ LOẠI TỐN: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10 NÂNG CAO Để thực hiện rèn luyện tư duy Tốn học cho học sinh qua việc giải các bài tập nâng cao về loại Tốn giải và biện luận phương trình, hệ phương trình, ở chương II chúng tơi đã trình bày quan niệm về rèn luyện giải Tốn và 6 phương pháp tìm lời giải các bài tốn về phương trình, hệ phương trình nhưng thực tế cĩ những bài tốn ta cĩ thể áp dụng theo từng phương pháp một (như những ví dụ trình bày) đồng thời lại cĩ những bài tốn phải sử dụng tổng hợp các phương pháp để giải sao cho ngắn gọn, dễ hiểu, sáng tạo. Và như vậy việc rèn luyện tư duy Tốn học mới từng bước được củng cố, hồn thiện và nâng cao. Tuy vậy, cũng tuỳ từng đối tượng học sinh (từng lớp) chúng ta cĩ thể áp dụng từng mức độ khác nhau. Điều quan trọng là khi thực hiện việc rèn luyện tư duy Tốn học cho học sinh thơng qua việc ơn tập, giải bài tập cần phải hiểu và đánh giá chính xác trình độ học sinh. Vì vậy trong chương III này với nội dung là: “Rèn luyện tư duy Tốn học qua việc giải các bài tập nâng cao về loại Tốn giải và biện luận phương trình, hệ phương trình cho học sinh lớp 10 ”. Chúng tơi cũng căn cứ vào trình độ của học sinh để cĩ hướng giải quyết theo các bước, từ đĩ đề xuất các biện pháp khái quát và cụ thể để củng cố và từng bước hồn thiện nâng cao khả năng tư duy và kỹ năng giải tốn cho học sinh, được trình bày theo từng bước từng vấn đề sau, sao cho học sinh hiểu được, tự giải quyết được các vấn đề đã nêu tức là đã giải được Tốn. I. THỰC TRẠNG VỀ TRÌNH ĐỘ TỐN CỦA HỌC SINH LỚP 10 HIỆN NAY: 1.Số liệu khảo sát chất lượng đầu năm học khối 10 Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm, Châu Thành, An Giang: a. Giỏi : 13,4% b.Khá : 20,1% c. Trung bình : 48,7% d.Yếu : 17,8% Phân tích số liệu: - Khi tuyển vào lớp 10, điểm Tốn của học sinh là lớn hơn hoặc bằng 4, nhưng khảo sát chất lượng thì số học sinh cĩ điểm Tốn nhỏ 3,5 là 17,8%. Ngay từ lúc tuyển vào thì chất lượng đã thấp và khi khảo sát chất lượng đầu năm lại càng thấp hơn và cĩ sự chênh lệch đáng kể . Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 39 - Khi tham khảo ý kiến giáo viên Trường THPT Tiến Đức, Châu Thành, An Giang, chúng tơi được biết là học sinh ở Tiến Đức trình độ cịn yếu hơn học sinh ở Nguyễn Bỉnh Khiêm khi tuyển vào lớp 10, và cũng thống nhất ý kiến với chúng tơi là: Sau thời gian nghỉ hè, khi vào học các em học tập chưa cao, chất lượng ở lớp 9 khơng đồng đều, các thầy dạy Tốn cho điểm cịn dễ dãi, tức cho điểm cao hơn trình độ, khả năng của học sinh. 2.Do trình độ lúc đầu như vậy nên việc học Tốn lúc đầu gặp khĩ khăn, khả năng tiếp thu chậm. Do vậy nhiều học sinh khơng hệ thống được kiến thức, trình độ trong lớp cũng chênh lệch, điều kiện học tập cũng khác nhau. 3. Trong hè, nhiều học sinh đi học thêm. Một số ít mời gia sư dạy kèm tại gia đình, tuy bổ sung được kiến thức trống, yếu nhưng lại gặp khĩ khăn bất cập là khả năng tư duy độc lập yếu, lười suy nghĩ. Nếu gặp những bài tốn khĩ, các vấn đề mới, các em dễ buơng xuơi. II. THỰC TRẠNG VỀ TRÌNH ĐỘ, KỸ NĂNG LÀM CÁC BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HIỆN NAY: 1. Như đã phân tích, qua số liệu khảo sát chất lượng thì trình độ học lực (mơn Tốn) của học sinh cịn yếu, tỉ lệ học sinh Trung bình và Yếu là 66,5%.Về mơn Đại số cũng phản ánh đúng tình hình trên, và thực tế phần giải và biện luận phương trình, hệ phương trình càng thể hiện rõ thực chất kiến thức trình độ của học sinh. Tìm hiểu qua giáo viên dạy Tốn khối 10 trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm và thực tế tìm hiểu, khảo sát ở lớp 10A1, 10A2 chúng tơi thấy rằng học sinh cịn chưa nắm vững kiến thức lớp dưới, hoặc nắm chưa sâu nên dễ quên và khi gặp những đề Tốn dài thi dễ nản, khơng tìm được hướng giải quyết (đối với học sinh Trung bình và Yếu). 2. Do thĩi quen khĩ sửa là khi đọc xong đề Tốn đã vội vàng làm ngay, ít đọc kỹ đề để xem xét các dữ kiện cĩ hợp lý khơng từ đĩ tìm hướng giải quyết và khi tìm được kết quả đã vội vàng thỏa mãn. Như vậy, cĩ thể bỏ sĩt nghiệm, hoặc sử dụng nghiệm khơng hợp lý. 3. Phần biện luận khi giải bài tốn về phương trình, hệ phương trình cịn yếu. Muốn làm tốt phần biện luận thì phải nắm vững kiến thức cơ bản và khi đã giải quyết tốt khâu biện luận cũng tức là đã nâng cao khả năng tư duy Tốn học. Vì vậy, cĩ khả năng tư duy Tốn học mới giải quyết tốt các bài tốn về phương trình, hệ phương trình và chính việc giải các bài tốn về phương trình, hệ phương trình tốt thì khả năng tư duy Tốn học sẽ hồn thiện dần và được nâng cao. III. RÈN LUYỆN TƯ DUY TỐN HỌC QUA VIỆC GIẢI BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH: 1. Rèn luyện khả năng phân tích bài tốn: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 40 - Đĩ là việc xem xét, nghiên cứu bài tốn đã cho. Ở đây vấn đề quan trọng là cách nhìn bài tốn, phải biết nhìn bài tốn dưới dạng chính quy mẫu mực. - Đây là cách nhìn trực tiếp vào đặc điểm chủ yếu của bài tốn, cách nhìn này giúp ta phát hiện được các đặc điểm chủ yếu của bài tốn. Cách nhìn này giúp ta phát hiện được các đặc điểm cơ bản, đơn giản nếu khơng bị che khuất bởi những hình thức rắc rối. Tuy vậy lại phải biết cách nhìn bài tốn dưới dạng đặc thù, riêng lẻ. - Phải cĩ con mắt tinh tường và phải luyện tập, giải tốn nhiều mới biết cách khai thác hết mọi khía cạnh biểu hiện tinh vi của bài tốn, mới “ gọi” được những điều muốn nĩi của các con số, của các kí hiệu, các điều kiện chứa đựng trong bài tốn. - Phải biết nhìn bài tốn trong bối cảnh chung nhưng lại phải biết nhìn bài tốn trong từng hồn cảnh cụ thể; lại phải nhìn bài tốn trong mối tương quan với các loại bài tốn khác. - Phải biết cách liên tưởng giữa các phạm vi khác nhau trong khi nhìn bài tốn. Là bài tốn đại số nhưng lại phải liên tưởng đến phạm vi khác chẳng hạn phạm vi lượng giác, hình học và ngược lại. - Nĩi chung lại, trong việc rèn luyện cách nhìn một bài tốn phải cĩ những cái nhìn và cách nhìn đúng. Đây là chìa khĩa mở đường cho việc tìm kiếm các đường lối giải. Ví dụ : Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) ( )4 4 43 2 5 2 1x x x− + − = − Hướng dẫn giải: Để ý rằng, nếu khơng cĩ cái riêng: ( ) ( )3 2 5 2x x x− + − = − Thì phương trình đã cho chắc chắn là khĩ giải. Ở đây ta xem 3 , 2a x b x= − = − Thì phương trình thuộc dạng tổng quát: ( ) ( )44 4 2a b a b+ = + Trước hết ta biến đổi phương trình tổng quát ( )2 . Ta cĩ: ( ) ( )⇔ + = + + + +4 4 4 4 2 2 2 22 4 6a b a b ab a b a b Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 41 ( ) ( ) ( ) ⎡ ⎤⇔ + + =⎣ ⎦ ⎡ ⎤⇔ + + + + =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ =⎢⎢⇔ =⎢ + + + + =⎢⎣ ⎡ =⎢ =⎢⎢⇔ ⎢⎧ =⎢⎨⎢ =⎩⎣ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ab a b ab ab a b a b ab a b a b a b ab a b a b Với phương trình ( )1 do a và b khơng thể đồng thời bằng 0 vì thế: ( ) ⎡ ⎡− = =⇔ ⇔⎢ ⎢− = =⎣ ⎣ 3 0 3 1 2 0 2 x x x x 2.Rèn luyện khả năng định hướng và xác định đường lối giải: a. Theo nội dung của phương pháp tìm lời giải, việc xác định đường lối giải một bài tốn trước hết và chủ yếu là phải xác định đúng đắn thể loại bài tốn. Để làm tốt điều này cần nghiên cứu kỹ bài tốn đã cho mà chủ yếu là căn cứ vào yêu cầu mà bài tốn đĩ địi hỏi để xác định đúng thể loại bài tốn. Các đường lối giải của số lớn loại bài tốn đã được xác định trong nội dung những tri thức của loại tốn đĩ mà người giải tốn phải biết và tất nhiên là phải nhớ. Tuy vậy cái khĩ khăn về mặt này thường gặp là mỗi bài tốn tuy nằm trong một thể loại nào đĩ, nhưng lại cĩ những vẻ riêng biệt của nĩ. Vì thế người giải tốn phải nắm vững các đường lối chung, lại phải phát hiện đúng cái riêng của mỗi bài tốn để chọn một đường lối thích hợp nhất (trong các đường lối cĩ thể cĩ để giải bài tốn đĩ). Ví dụ: Giải hệ phương trình: ( ) ( )⎧ + + + = + + +⎪⎨⎪ + + + =⎩ 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 27 93 x y z t x y z t x y z t Hướng dẫn giải: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 42 Hệ đã cho chỉ cĩ hai phương trình mà số ẩn lại là bốn. Để giải bài tốn này số phương trình của hệ phải cĩ ít nhất là bốn. Như vậy cĩ nghĩa là ta phải tìm kiếm thêm các phương trình của hệ vốn phải cĩ để cĩ đủ điều kiện để giải. Để ý đến phương trình thứ nhất, bằng cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki cho 8 số: 1, 3, 4, 1 và x, y, z, t ta thu được: ( ) ( )( )+ + + ≤ + + + + + +2 2 2 2 1 2 2 2 23 4 1 3 4 1x y z t x y z t hay là: ( ) ( )+ + + ≤ + + +2 2 2 2 23 4 27x y z t x y z t đẳng thức xảy ra khi: ( )= = = ∗ 1 3 4 1 x y z t Như vậy, phương đầu của hệ xảy ra khi và chỉ khi xảy ra hệ ( )∗ Nĩi cách khác, thực chất của hệ đã cho là : ⎧ = = =⎪⎨⎪ + + + =⎩ 3 3 3 3 1 3 4 1 93 x y z t x y z t là một hệ chuẩn, đủ bốn phương trình bốn ẩn. Chỉ cần đặt các tỉ số bằng nhau là k, ta thu được: x = t = k , z = 4k , t = 3k Thay vào phương trình cuối ta thu được k = 1 Vậy hệ cĩ nghiệm là bộ bốn số: ( )1,3,4,1 b.Trong việc xác định đường lối giải của bài tốn, lại phải chú ý đến khả năng sau: Cĩ những bài tốn xét về mặt hình thức thì khác nhau nhưng cĩ những đặc điểm giống nhau và vì thế đường lối giải chúng lại hồn tồn giống nhau. Trong việc xác định đường lối giải, người giải tốn cịn phải rèn luyện các khâu sau: - Chuyển đường lối chung để giải một bài tốn nào đĩ dưới dạng tổng quát vào các bài tốn cụ thể, cơng việc này tuy đơn giản nhưng nếu khơng luyện tập thì sẽ khơng khỏi lúng túng trước một bài tốn vì hai lẽ sau: + Bài tốn này thuộc vào loại bài tốn tổng quát nào? + Đường lối giải loại bài tốn tổng quát đĩ như thế nào? - Cĩ những khĩ khăn đĩ trước hết là do người giải tốn khơng nắm chắc các đặc điểm cơ bản để phân biệt các loại tốn và các đường lối cĩ thể giải được chúng. Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 43 Vai trị của sách giáo khoa và nhất là thầy giáo gĩp phần quan trọng trong việc rèn luyện mặt này cho người giải tốn. - Xác định những bài tốn cùng loại, khái quát hĩa thành bài tốn tổng quát và xây dựng đường lối giải bài tốn đĩ. Cơng việc này khĩ hơn cơng việc trên. Trước hết địi hỏi trình độ hiểu biết các loại tốn để đủ khả năng hình thành được các bài tốn tổng quát và đường lối giải chúng. Để luyện tập khả năng này, ta cĩ thể tiến hành như sau: Phân tích trong các bài tốn đã cho các đặc điểm cơ bản, chung cho mọi bài tốn và các đặc điểm phụ, riêng cho từng bài tốn. Khơng thể xếp các bài tốn vào cùng một loại theo các đặc điểm riêng của chúng . Như vậy cĩ nghĩa là, dựa vào các đặc điểm chung, giống nhau trong các bài tốn, ta xếp chúng vào từng loại. Ví dụ: Bài 1: Cho phương trình: ( )2 0 1x kx a+ + = với 0a ≠ đã cho và k là tham số. Hãy tìm mọi giá trị của k để cho biểu thức: ( ) 3 3 1 2 2 1 52 2 x x M x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ trong đĩ 1 2,x x là các nghiệm của phương trình ( )1 Bài 2: Cho phương trình bậc hai: ( ) ( ) ( ) ( )23 3 1 0 1m x m x m− + + − + = Hãy tìm mọi giá trị của m để cho các nghiệm 1x và 2x của phương trình ( )1 thỏa mãn hệ thức: ( ) ( )2 21 2 1 24 25 1 0 2x x x x+ − − = Bài 3: Tìm mọi giá trị của tham số a để hiệu các nghiệm 1x và 2x của phương trình: ( ) ( )22 1 3 0 1x a x a− + + + = bằng 1. Hướng dẫn giải: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 44 Hiển nhiên đĩ là các bài tốn khác nhau, tuy vậy nếu nghiên cứu kĩ ta thấy các bài tốn đĩ cĩ một đặc điểm cơ bản giống nhau, đĩ là các bài tốn chứa các đại lượng liên quan đến các nghiệm của một phương trình bậc hai. Đĩ là biểu thức M trong bài 1, hệ thức ( )2 trong bài 2; biểu thức 1 2x x− trong bài 3 Chính vì đặc điểm cơ bản giống nhau giữa các bài tốn nên đường lối giải các bài tốn đĩ giống nhau mà cụ thể quy trình giải như sau: a. Tìm điều kiện để phương trình bậc hai cĩ mặt trong bài tốn cĩ nghiệm. b. Biểu diễn các đại lượng liên quan đến các nghiệm của phương trình bậc hai qua 1 2x x+ và 1 2x x , dùng định lý Viet thuận để tính 1 2x x+ và 1 2x x rồi từ đĩ tính các đại lượng đã cho. c. Cơng việc của bước này được xác định theo yêu cầu của từng bài tốn. Như vậy, với cách nhìn vào các đặc điểm cơ bản, các bài tốn trên cĩ thể xếp thành một loại (vì cĩ cùng đường lối giải). Dưới đây, xin trình bày lời giải sơ lược của bài 3: Lời giải: Điều kiện để phương trình ( )1 cĩ nghiệm là: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 8 3 0 6 23 0 3 23 3 23 a a a a a a ∆ = + − + ≥ ⇔ − − ≥ ⎡ ≤ −⇔ ∗⎢⎢ ≥ +⎣ Gọi hai nghiệm của phương trình ( )1 là ( )1 2 2 1, giả sử x x x x> Theo định lí Viét ta cĩ 1 2 1 2 1 2 3 2 ax x ax x ⎧ ++ =⎪⎪⎨ +⎪ =⎪⎩ Do 2 1 1x x− = nên ( ) ( )2 22 1 1 2 1 24 1x x x x x x− = + − = , suy ra: ( ) ( ) 2 2 1 2 3 1 4 6 27 0 9 3 a a a a a a + − + = ⇔ − − = ⎡ =⇔ ⎢ = −⎣ Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 45 Rõ ràng cả hai giá trị này đều thỏa mãn ( )∗ Vậy các giá trị của tham số a thỏa mãn yêu cầu đề bài là 9a = hoặc 3a = − c. Một mặt nữa cũng cần lưu ý khi xác định đường lối giải bài tốn là phải gắn liền việc xác định đường lối với việc chọn lựa các phương pháp và cơng cụ để thực hiện đường lối đã vạch. Nĩi đúng hơn là, một bài tốn chỉ cĩ thể cĩ lời giải tốt khi chọn được phương pháp và cơng cụ thích hợp với đường lối đã cĩ. Một cơng việc cần rèn luyện tiếp tục sau khi xác định được đường lối giải là thiết lập được một quy trình để thực hiện đường lối đã vạch. - Quy trình để giải một bài tốn bao gồm nội dung các cơng việc cần giải quyết và trình tự để giải quyết các cơng việc đĩ. - Rèn luyện việc thiết lập quy trình giải bài tốn là một bộ phận quan trọng trong việc rèn luyện khâu giải tốn. Coi thường khâu này, các hậu quả cĩ thể xảy ra là: + Do khơng định rõ các cơng việc cần làm nên cĩ thể bỏ sĩt các cơng việc cần thiết mà từ đĩ cĩ thể dẫn tới lời giải sai. + Lời giải bài tốn dài dịng, khơng gọn do quy trình khơng tối ưu. Ví dụ: Cho x và y thỏa mãn hệ phương trình: ( )2 2 21 12 2 x y a x y a ⎧ + = +⎪⎨ + = −⎪⎩ Tìm mọi giá trị của a sao cho xy đạt giá trị lớn nhất. Hướng dẫn giải: Bài tốn được giải theo quy trình sau đây: 1.Tìm a để hệ cĩ nghiệm (x, y) 2. Tìm xy. 3. Tìm a để xy đạt giá trị lớn nhất. Lời giải chi tiết như sau: Lưu ý rằng ( ) ( )2 2 212xy x y x y⎡ ⎤= + − +⎢ ⎥⎣ ⎦ , hệ đã cho tương đương với hệ: ( ) ( )2 2 1 1 1 2 2 2 x y a xy a a ⎧ + = +⎪⎨ ⎡ ⎤= + − −⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 46 Khi đĩ theo định lí Viet đảo, điều kiện cĩ nghiệm (x, y) của hệ (1) chính là điều kiện cĩ nghiệm X của phương trình: ( ) ( ) ( ) ( )22 211 1 2 2 0 22X a X a a⎡ ⎤− + + + − − =⎢ ⎥⎣ ⎦ Đĩ là điều kiện: 0∆ ≥ Ta cĩ : 0∆ ≥ ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 2 1 2 1 0 3 2 5 0 1 5 3 a a a a a a a ⎡ ⎤⇔ + − + − − ≥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⇔ − − ≥ ⎡ ≤ −⎢⇔ ⎢ ≥⎢⎣ Từ biến đổi trên ta thu được: ( ) ( )2 2 2 1 1 2 2 2 1 3 2 2 xy a a xy a a ⎡ ⎤= + − −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⇒ = − + + Tìm a ( với 1a ≤ − hoặc 5 3 a ≥ ) để u = xy đạt giá trị lớn nhất Nhận xét rằng u = xy là tam thức bậc hai cĩ hệ số cao nhất là 1 0 2 − < .Vì thế u = xy cĩ giá trị cực đại và đạt cực đại tại a = 1 ( hồnh độ đỉnh 1 1 12 2 a = − =⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ ) Tuy vậy ta khơng thể kết luận: xy đạt cực đại tức cũng là giá trị lớn nhất khi a =1 vì a = 1 khơng thỏa mãn điều kiện: 1a ≤ − hoặc 5 3 a ≥ Bằng cách vẽ đồ thị u trên miền a thỏa mãn bài tốn, đọc trên đồ thị ta thu được: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 47 Khi 5 3 a = hàm u = xy đạt giá trị lớn nhất và max 5 163 9u u ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠ 3.Rèn luyện khả năng chọn lựa phương pháp và cơng cụ: - Cơng việc xác định các phương pháp và cơng cụ cũng như các phép biến đổi mang tính chất kĩ thuật. Tuy vậy cơng việc này trước hết phải được chỉ dẫn bởi đường lối đã vạch ra và xét xem hãy chọn phương pháp và cơng cụ nào thì thích hợp nhất. - Sau nữa, để làm tốt việc này, quá trình phân tích và cách nhìn bài tốn đĩng gĩp phần quan trọng. Nĩi một cách cụ thể hơn là do bài tốn cĩ những đặc điểm nào mà từ đĩ dẫn ta tới việc chọn lựa phương pháp và cơng cụ tương ứng với đặc điểm đĩ. Ngay cả việc sử dụng các phép biến đổi, các cơng thức ở dạng nào, theo chiều xuơi hoặc ngược là cĩ lợi hơn. Hiển nhiên là chọn được tối ưu các phương pháp, các cơng cụ và các phép biến đổi thì lời giải bài tốn sẽ tốt nhất. Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 5u y x= − + biết rằng x và y thỏa mãn phương trình: ( )2 236 16 9 1x y+ = Hướng dẫn giải: Lời giải 1: Việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ( maxu và minu ) thỏa điều kiện ( )1 được quy về bài tốn: Tìm mọi giá trị của u để hệ phương trình : Graph Limited School Edition -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 a u 5 3 umax Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 48 ( )2 22 536 16 9 y x u I x y ⎧ − + =⎪⎨ + =⎪⎩ cĩ nghiệm (x, y). Bằng cách rút y theo x từ phương trình đầu rồi thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta thu được phương trình đối với x: ( ) ( ) ( )22 '100 64 5 16 5 9 0x u x u I+ − + − − = Do việc tìm y theo x từ điều kiện (1) khơng địi hỏi điều kiện đối với u, chính vì vậy mà điều kiện cĩ nghiệm x của phương trình ( )'I cũng là điều kiện cĩ nghiệm (x, y) của hệ ( )I . Đĩ là điều kiện ' 0∆ ≥ ( ) ( )2 21024 5 100 16 5 9 0u u⎡ ⎤⇔ − − − − ≥⎢ ⎥⎣ ⎦ ( )2 255 16 u⇔ − ≤ 15 25 4 4 u⇔ ≤ ≤ Để tìm các ( ),x y làm cho đẳng thức xảy ra, ta xét: Khi 25 0 4 u = ⇒ ∆ = ⇒ phương trình ( )'I cĩ nghiệm kép: ( ) 0 64 5 2 200 5 u x − −= = − . Từ đĩ 0 920y = Khi 0 15 2 4 5 u x= ⇒ = . Từ đĩ 0 920y = − Vậy ta kết luận: max 25 4 u = , đạt được khi 2 5 9 20 x y ⎧ = −⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩ min 15 4 u = , đạt được khi 2 5 9 20 x y ⎧ =⎪⎪⎨⎪ = −⎪⎩ Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 49 Lời giải 2: Biến đổi điều kiện ( 1 ) về dạng: ( ) ( )2 2 26 4 3x y+ = Dạng mới của điều kiện đĩ gợi cho ta suy nghĩ : cĩ thể lượng giác hĩa bài tốn bằng cách đặt: 1 cos6 3cos 2 4 3sin 3 sin 4 xx y y αα α α ⎧ =⎪⎧ = ⎪⇒⎨ ⎨=⎩ ⎪ =⎪⎩ Khi đĩ điều kiện ( )1 trở thành: ( )2 29 cos sin 9α α+ = Là một đồng nhất thức đúng với mọi α . Biểu thức u dưới dạng lượng giác cĩ dạng: 3 sin cos 5 4 u α α= − + Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki , ta cĩ: ( ) ( )( )2 2 2 2 2sin cos sin cosa b a bα α α α+ ≤ + + hay : 2 2 2 2sin cosa b a b a bα α− + ≤ + ≤ + Suy ra : 15 25 4 4 u≤ ≤ Ta suy ra được : max 25 4 u = , đạt được khi 2 5 9 20 x y ⎧ = −⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩ min 15 4 u = , đạt được khi 2 5 9 20 x y ⎧ =⎪⎪⎨⎪ = −⎪⎩ Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 50 Lời giải 3: Để dùng điều kiện ( ) ( ) ( )2 26 4 9 1x y+ = Ta để ý đến bất đẳng thức Bunhiacơpxki : ( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2 2a b a b a a b b+ ≤ + + Khi đĩ ta phải biến đổi cơng thức của u sao cho vế trái của điều kiện (1) đĩng vai trị là một trong hai thừa số cĩ trong vế phải của (2 ). Muốn vậy ta biến đổi u về dạng: ( )1 15 4 . 6 . 3 4 3 u y x ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠ Áp dụng (2) ta thu được: ( ) ( )2 2 21 1 1 14 . 6 4 6 4 3 16 9 y x y x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤− ≤ + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠ tức là: 2 1 1 25 254 . 6 9. 4 3 16.9 16 y x ⎛ ⎞− ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠ từ đĩ: 5 1 1 54 . 6 . 4 4 3 4 y x− ≤ − ≤ và 5 55 5 2 5 4 4 y x− ≤ + − ≤ + ta thu được: max 25 4 u = , đạt được khi 2 5 9 20 x y ⎧ = −⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩ min 15 4 u = , đạt được khi 2 5 9 20 x y ⎧ =⎪⎪⎨⎪ = −⎪⎩ Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 51 Lời giải 4: Khi viết lại u dưới dạng ( 3 ), ta cĩ thể xem biểu thức : 1 14 . 6 . 4 3 y x− như là tích vơ hướng của hai vectơ : 1 1(4 , 6 ), , 4 3 a y x b ⎛ ⎞= − = ⎜ ⎟⎝ ⎠ r r và lại để ý rằng: ( ) 2 2. .a b a b≤r r r r ta lại được: ( ) ( )2 2 21 1 1 1 254 . 6 . 4 6 4 3 16 9 16 y x y x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤− ≤ + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠ và kết quả thu được giống như lời giải 3. CÁC NHẬN XÉT VỀ LỜI GIẢI Sự cĩ mặt của 4 lời giải của cùng một bài tốn (chắc chắn chưa phải là tối đa) nhắc nhở những người giải tốn: hãy chưa nên thỏa mãn với một lời giải của bài tốn nào đĩ cho dù đĩ là lời giải tốt. Như vậy cĩ nghĩa là nếu biết cách nhìn, cách phân tích bài tốn dưới mọi “gĩc”, “cạnh” cĩ thể được thì sẽ thu được những lời giải khác nhau. Lời giải (1) cĩ tính chất mẫu mực, “sách vở” tuy dài nhưng cĩ ưu thế hơn các lời giải khác đĩ là cĩ thể dùng lời giải đĩ để giải bài tốn tổng quát của bài tốn đã cho. Đĩ là bài tốn: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: u ax by c= + + trong đĩ x và y thỏa mãn phương trình: 2 2 0mx nxy py qx ry s+ + + + + = trong đĩ x, y là biến số, cịn a, b, c, m, n, p, q, r và s là các hệ số. Tuy vậy, lời giải 1 khơng hấp dẫn vì giải dài và thiếu sáng tạo. Các lời giải từ số 2 đến số 4 gọn và hay hơn. Cĩ được các lời giải đĩ là do ta đã khai thác được cái riêng nhiều vẻ của bài tốn. Tất nhiên, bằng các cách đĩ khơng thể giải được bài tốn dạng tổng quát đã nêu. Đĩ cũng là mặt yếu của các lời giải này. Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 52 4.Rèn luyện khả năng kiểm tra bài giải: - Việc kiểm tra kết quả nên tiến hành theo hai bước: định tính và định lượng. - Kiểm tra kết quả về mặt định tính là việc xác định lại tính đúng đắn của việc chọn phương hướng giải, việc chọn lựa các phương pháp và cơng cụ đã thích hợp chưa? Nếu đã phát hiện được sai sĩt nào đĩ về mặt định tính thì phần định lượng khơng cần kiểm tra nữa (vì khi đĩ lời giải chắc chắn sai). - Kiểm tra kết quả về mặt định lượng là việc rà sốt lại quá trình thao tác đã dùng khi giải bài tốn. Tất nhiên cơng việc này phải làm sau khi đã kiểm tra định tính. Kinh nghiệm cũng cho hay rằng, khi kiểm tra định lượng, để đảm bảo khỏi mắc sai lầm lặp lại ta nên dùng con đường khác với lời giải đã cĩ. - Cơng việc này nếu tiến hành thường xuyên và cĩ chất lượng sẽ giúp ích nhiều cho người giải tốn. Ví dụ: Hai thành phố A và B cách nhau 50 km. Một người đi xe đạp từ A đến B, sau đĩ 1 giờ 30 phút một người đi xe máy cũng đi từ A đến B và đến sớm hơn người đi xe đạp 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi người, biết rằng vận tốc của người đi xe máy gấp 2,5 lần vận tốc người đi xe đạp. Hướng dẫn giải: Gọi vận tốc người đi xe đạp là x ( km/ h ) Điều kiện: x >0 Ta cĩ vận tốc người đi xe máy là: 2,5 x (km/ h) Theo đề bài ta cĩ phương trình sau: 50 501,5 1 2,5x x + + = hay: 50 50 2,5 2,5x x − = Giải phương trình ta được 12x = Trả lời: Vận tốc người đi xe đạp là 12 (km/ h) Vận tốc người đi xe máy là 30 (km/ h) * Giả sử người giải tốn đặt phương trình : 50 50 2,5 2,5x x − = Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 53 hoặc 50 502,5 2,5x x − = thì phương trình đặt sai sẽ dẫn tới kết quả sai. Khi đã xác định đặt phương trình sai thì khơng cần kiểm tra tiếp phần bài giải nữa. 5. Rèn luyện khả năng tìm các bài tốn liên quan và sáng tạo bài tốn mới: - Việc tìm các bài tốn liên quan cần vận dụng thường xuyên khi giải tốn. Vì khi giải một bài tốn nào đĩ thì một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: liệu bài tốn này cĩ quan hệ với loại bài tốn nào đĩ hay khơng? Trên cơ sở đĩ hoặc là quy bài tốn đã cho về bài tốn quen thuộc đã biết cách giải, hoặc cĩ thể sử dụng những khía cạnh nào đĩ ở các bài tốn liên quan để giải bài tốn đã cho. - Việc rèn luyện khả năng sáng tạo các bài tốn mới là một yêu cầu cần thiết (tuy khơng dễ) và rất bổ ích. Trước hết vì đĩ là một trong bốn nội dung của phương pháp tìm lời giải các bài tốn. Ví dụ: Một ca nơ dự định đi từ A đến B trong một thời gian đã định. Nếu vận tốc của nĩ tăng 3 km/h thì đến nơi sớm 2 giờ, nếu vận tốc của nĩ giảm 3 km/h thì đến nơi chậm 3 giờ. Tính chiều dài khúc sơng AB. Hướng dẫn giải: Gọi vận tốc dự định của ca nơ là x ( km/h ), thời gian ca nơ đĩ đi hết khúc sơng AB là y giờ, thì khúc sơng AB dài xy (km) Điều kiện x > 3, y > 2. Trong trường hợp đầu , ca nơ cĩ vận tốc 3x + (km), đi trong 2y − ( giờ) cũng được xy nên cĩ phương trình ( )( )3 2x y xy+ − = . Trong trường hợp sau , ca nơ cĩ vận tốc 3x − (km), đi trong 3y + ( giờ) cũng được xy nên cĩ phương trình ( )( )3 3x y xy− + = . Như vậy ta cĩ hệ phương trình: ( )( ) ( )( ) 3 2 15 123 3 x y xy x yx y xy ⎧ + − = ⎧ =⎪ ⇔⎨ ⎨ =− + = ⎩⎪⎩ Vậy : khúc sơng AB dài 15 . 12 = 180 (km). * Khai thác bài tốn:Cũng hệ phương trình trên, cĩ thể nêu bài tốn dưới dạng: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 54 a.Một cơng nhân phải làm một số dụng cụ trong một thời gian. Nếu mỗi ngày làm tăng 3 dụng cụ thì thời gian hồn thành sớm hơn 2 ngày, nếu mỗi ngày làm giảm 3 dụng cụ thì thời gian phải kéo dài 3 ngày. Tính số dụng cụ được giao. b.Trong một trang sách, nếu tăng thêm 3 dịng, mỗi dịng bớt 2 chữ thì số chữ của trang khơng đổi, nếu bớt đi 3 dịng, mỗi dịng thêm 3 chữ thì số chữ của trang cũng khơng đổi. Tính số chữ trong trang sách. c.Một câu lạc bộ cĩ một số ghế qui định. Nếu tăng thêm 3 hàng ghế thì mỗi hàng bớt được 2 ghế. Nếu bớt đi 3 hàng ghế thì mỗi hàng phải thêm 3 ghế. Tính số ghế của câu lâc bộ. IV. CỦNG CỐ VÀ TỪNG BƯỚC HỒN THIỆN KHẢ NĂNG TƯ DUY TỐN HỌC VÀ KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10 NÂNG CAO: 1.Củng cố và từng bước hồn thiện khả năng tư duy Tốn học: - Khả năng tư duy Tốn học được khẳng định và phát huy bằng cách giải các bài tập. Khi học sinh đã nắm vững những kiến thức cơ bản, tìm được hướng giải và qua việc rèn luyện giải nhiều lần, nhiều bài kỹ năng giải sẽ thành thạo. Từ chỗ học sinh đã hiểu được bài, nếu làm nhiều bài cùng dạng tốn thì sẽ củng cố được kỹ năng giải tốn, và kỹ năng đĩ dần được hồn thiện từng bước, thành thạo, tư duy Tốn học được hình thành và khẳng định. - Cần củng cố tư duy này bằng việc giải các bài tập nâng cao, xác lập được đường lối, phương hướng giải. Dạng 1: Phương trình tương đương, phương trình hệ quả. * Phương trình tương đương: Hai phương trình 1 1( ) ( )f x g x= và 2 2( ) ( )f x g x= được gọi là tương đương nếu chúng cĩ cùng một tập nghiệm. Khi đĩ ta viết 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x= ⇔ = . * Phương trình hệ quả: Cho phương trình 1 1( ) ( )f x g x= cĩ tập nghiệm là 1T . Phương trình 2 2( ) ( )f x g x= cĩ tập nghiệm 2T được gọi là phương trình hệ quả của phương trình 1 1( ) ( )f x g x= nếu 2 1T T⊃ . Khi đĩ ta viết 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x= ⇒ = . * Khi giải phương trình, ta cĩ thể biến đổi chúng về phương trình tương đương hay phương trình hệ quả đã biết cách giải hoặc dưới dạng tích nhờ các phép biến đổi sau đây: - Phép biến đổi tương đương bằng cách áp dụng các định lí tổng quát về các phương trình tương đương. - Các phép biến đổi đa thức, nâng lên lũy thừa bậc lẻ hay khai căn bậc lẻ, nâng lên lũy thừa bậc chẵn hay khai căn bậc chẵn đối với các biểu thức. Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 55 - Các phép biến đổi khác phù hợp với yêu cầu bài tốn. Lưu ý: Khi giải phương trình, cần hiểu rõ là ta đã dùng phép biến đổi dẫn đến phương trình tương đương hay hệ quả để cĩ ý thức kiểm nghiệm. Ví dụ 1: Giải phương trình: 3 7 1x x+ − = Giải: Điều kiện xác định: 0x ≥ Ta cĩ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 2 3 2 2 7 1 7 1 7 3 3 1 1 2 2 3 3 0 1 3 6 0 3 151 0 2 4 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x + − = ⇔ + = + ⇔ + = + + + ⇔ − + − + − = ⎡ ⎤⇔ − + + =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⇔ − + + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⇔ = ⇔ = Vậy phương trình cĩ một nghiệm duy nhất: 1x = . Ví dụ 2: Giải phương trình: ( )3 3 32 1 1 3 1x x x− + − = + ∗ Giải: Ta cĩ: ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 33 3 3 2 2 2 1 1 3 1 3 2 3 2 1 1 2 1 1 3 1 2 1 1 3 1 1 6 7 1 1 6 7 0 0 7 6 x x x x x x x x x x x x phương trình hệ quả x x x x x x − + − = + ⇔ − + − − − + − = + ⇒ − − + = ⇔ − + = ⇔ − = ⎡ =⎢⇔⎢ =⎢⎣ Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 56 Thay 0x = vào phương trình ( )∗ ta được: 2 1− = ( vơ lí ) Thay 7 6 x = vào phương trình ( )∗ ta được: 3 3 3 3 6 6 = ( đúng ). Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm: 7 6 x = . Ví dụ 3: Giải phương trình: ( )2 24 12 5 4 12 11 15 0x x x x− − − + + = ∗ Nhận xét: Nếu ta biến đổi phương trình ( )∗ về dạng: 2 25 4 12 11 4 12 15x x x x− + = − + rồi giải phương trình theo phương pháp biến đổi phương trình thành phương trình tương đương hay hệ quả (bằng cách bình phương hai vế) thì việc giải sẽ gặp khĩ khăn vì phương trình đã cho trở thành phương trình bậc 4. Như vậy, ta phải lựa chọn cách biến đổi phù hợp sao cho việc giải bài tốn được thuận lợi nhất. Giải: Đặt 24 12 11t x x= − + Điều kiện: 0t ≥ Khi đĩ phương trình ( )∗ trở thành: ( ) 2t 5 4 0 1 4 t t thỏa điều kiện t − + = ⎡ =⇔ ⎢ =⎣ Với 1t = ta cĩ : ( ) 2 2 2 4 12 11 1 4 12 11 1 4 12 10 0 x x x x x x phương trình vô nghiệm − + = ⇔ − + = ⇔ − + = Với 4t= ta cĩ: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 57 2 2 2 4 12 11 4 4 12 11 16 4 12 5 0 6 2 14 4 6 2 14 4 x x x x x x x x − + = ⇔ − + = ⇔ − − = ⎡ +=⎢⎢⇔ ⎢ −=⎢⎣ Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm: 6 2 14 4 x += hoặc 6 2 14 4 x −= . Ví dụ 4: Tìm các giá trị của các tham số a và b để hai phương trình sau tương đương: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 2 2 0 2 x a b x a b x a b x a b − − + − = + + + + = Giải: Hai phương trình tương đương với nhau khi và chỉ khi hai phương trình cĩ cùng tập hợp nghiệm hoặc hai phương trình cùng vơ nghiệm. Nếu hai phương trình cĩ cùng tập hợp nghiệm thì theo định lí Viet ta cĩ: ( ) ( ) 2 22 2 2 2 2 2 2 2 0 32 2 a b a b a a a b a ba b a b ⎧ − = − + ⎧ = −⎪ ⎪⇔ ⇔ = =⎨ ⎨ =⎪− = +⎪ ⎩⎩ Khi 0a b= = cả hai phương trình cùng cĩ nghiệm kép 0x = Nếu hai phương trình cùng vơ nghiệm, thì điều đĩ xảy ra khi và chỉ khi: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2' 2 2 2 2 1 2 2' 2 2 2 2 0 2 2 0 2 02 0 a b a b a ab b b aba b a b ⎧∆ = − − − ⎪ ⎪⇔ ∗⎨ ⎨ − >⎪⎪ ⎩∆ = + − + <⎩ Vì 0b = khơng thỏa mãn hệ ( )∗ , nên ta chỉ cần xét 0b ≠ . Khi đĩ hệ ( )∗ tương đương với: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 58 2 2 2 0 1 2 0 1 3 1 3 1 2 1 3 a a b b a b a b a b a b a b ⎧⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ + − >⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎨⎪ − >⎪⎩ ⎧⎡ − +⎨⎢⎣⎪⎪ <⎪⎩ ⇔ < − − Vậy các giá trị a, b cần tìm là 0a b= = hoặc 0b ≠ và 1 3a b < − − Dạng 2: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất. Vấn đề 1: Giải và biện luận phương trình dạng ax + b =0 Kết quả giải và biện luận phương trình dạng ax + b =0 được nêu trong bảng sau đây: Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình: ( )1ax b x b x a x a + −=− + trong đĩ a và b là hai tham số . Giải: Điều kiện: x a≠ ± Ta cĩ: 1) 0a ≠ : phương trình cĩ một nghiệm duy nhất bx a = − 2) 0a = và 0b ≠ : phương trình vơ nghiệm. 3) 0a = và 0b = : phương trình nghiệm đúng với mọi x R∈ Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 59 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 0 1 2 0 0 1 2 0 ax b x b x a x a ax b ax b x b x a a x a a b x x a x a a b x a x a a b + −=− + ⇔ + − = − − ⇔ − + + + = ⎡ ⎤⇔ − + + + =⎣ ⎦ ⎡ =⇔ ⎢ − + + + = ∗⎢⎣ - Nếu 1a ≠ thì phương trình ( )∗ cĩ nghiệm duy nhất: 2 21a a bx a+ += − . Giá trị này là nghiệm của phương trình ( )1 khi: 2 2 2 2 1 2 1 a a b a b aa b aa a b a a ⎧ + + ≠⎪ ⎧ ≠ −⎪ ⎪− ⇔⎨ ⎨ ≠ −+ + ⎪⎩⎪ ≠ −⎪ −⎩ - Nếu 1a = thì ( )∗ trở thành: ( )0 2 1 0x b+ + = + Nếu 1b = − thì ( )∗ thỏa với mọi x nhưng chỉ những x a≠ ± mới là nghiệm của ( )1 . + Nếu 1b ≠ − thì ( )∗ vơ nghiệm. Kết luận: 1) 1a ≠ và 0a ≠ . * Nếu 2b a≠ − và b a≠ − thì phương trình ( )1 cĩ hai nghiệm là: 2 20, 1 a a bx x a + += = − * Nếu 2b a= − hoặc b a= − thì phương trình ( )1 cĩ một nghiệm là 0x = . 2) 1a = . * Nếu 1b ≠ − thì phương trình ( )1 cĩ một nghiệm là 0x = . * Nếu 1b = − thì phương trình ( )1 cĩ nghiệm tùy ý 1x ≠ ± . 3) 0a = Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 60 * Nếu 0b ≠ thì phương trình ( )1 cĩ một nghiệm là 2x b= . * Nếu 0b = thì phương trình ( )1 vơ nghiệm. Ví dụ 2: Với giá trị nào của m thì phương trình sau vơ nghiệm: ( )1 2 1 2 x x x m x m + =− + + + Giải: Điều kiện: 1x m≠ − và ( )2x m≠ − + Ta cĩ: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x m x m x x m x x m m x m i + =− + + + ⇔ + + + = − + ⇔ + = − + Phương trình ( )2 vơ nghiệm ( ) ( ) ( )1 2 i vô nghiệm i có nghiệm x m hoặc x m ⎡⎢⇔ = − = − +⎢⎣ ( ) 1i vô nghiệm m⇔ = − ( ) 1i có nghiệm m⇔ ≠ − , lúc đĩ nghiệm của ( )i là: ( ) ( ) 2 2 1 m x m − += + ( ) ( ) ( ) ) 1 1 2 1 2 1 0 1 2 i có nghiệm x m m m m m m m ∗ = − ⎧ ≠ −⎪− +⇔ ⎨ = −⎪ +⎩ ⎡ =⎢⇔ ⎢ = −⎢⎣ Khĩa