Đề tài Góp phần phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học một số nội dung phương trình

Lời cảm ơn Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Phương pháp dạy học toán, khoa Toán, trường Đại học Vinh đã giúp đỡ và có những ý kiến đóng góp quý báu trong quá trình sưu tầm tư liệu, soạn thảo đề cương và hoàn thành luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã quan tâm, động viên và tạo điều kiện tốt nhất để tác giả hoàn thành luận văn. Đặc biệt, tác giả xin gửi lời biết ơn sâu sắc nhất đến TS. Chu Trọng Thanh, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình trong quá trình làm luận văn, để tác giả hoàn thành tốt luận văn thạc sỹ của mình. Vinh, ngày 20 tháng 12 năm 2007 Tác giả Chu Hương Ly Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài 1.1. Để phục vụ cho sự nghiệp công nghiệp hóa - hiện đại hóa đất nước và bắt kịp sự phát triển của xã hội trong điều kiện bùng nổ thông tin, ngành giáo dục và đào tạo phải đổi mới phương pháp dạy học một cách mạnh mẽ nhằm đào tạo những con người có đầy đủ phẩm chất của người lao động trong nền sản xuất tự động hóa như: năng động, sáng tạo, tự chủ, kỷ luật nghiêm, có tính tổ chức, tính trật tự của các hành động và có ý thức suy nghĩ tìm giải pháp tối ưu khi giải quyết công việc. Những định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được thể hiện trong các Nghị quyết hội nghị như: Nghị quyết hội nghị lần thứ IV BCH trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam (khóa IV, 1993) nêu rõ: Mục tiêu giáo dục đào tạo phải hướng vào việc đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó mà góp phần tích cực thể hiện mục tiêu lớn của đất nước. Về phương pháp giáo dục đào tạo, Nghị quyết Hội nghị lần thứ II BCH TW Đảng cộng sản Việt Nam (khóa VIII, 1997) đã đề ra:"Phải đổi mới phương pháp đào tạo, khắc phục lối truyền đạt một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng những phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu". Điều 24, luật giáo dục (1998) quy định:" Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh,..., bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh". Muốn đạt được điều đó, một trong những việc cần thiết phải thực hiện trong quá trình dạy học là phát triển tư duy thuật giải cho học sinh. 1.2. Hiện nay ở trường phổ thông đã tiến hành giáo dục tin học. Tin học được dạy tường minh như một nội dung và sử dụng máy tính điện tử như công cụ dạy học. Do đó vấn đề phát triển phát triển tư duy thuật giải trong môn toán giữ một vị trí quan trọng trong giáo dục tin học. Khẳng định này được thể hiện rõ trong mục đích giáo dục tin học: "Làm cho tất cả mọi học sinh tốt nghiệp trung học đều nắm được những yếu tố cơ bản của tin học với tư cách là thành tố của văn hóa phổ thông". "Góp phần hình thành ở học sinh những loại hình tư duy liên hệ mật thiết với việc sử dụng công nghệ thông tin như tư duy thuật giải, tư duy điều khiển,..", "Góp phần hình thành ở học sinh những phẩm chất của người lao động trong nền sản xuất tự động hóa như: tính kỷ luật, tính kế hoạh hóa, tính phê phán và thói quen tự kiểm tra,..". 1.3. Phát triển tư duy thuật giải là mục đích của việc dạy học toán ở trường phổ thông vì: * Tư duy thuật giải tạo điều kiện tốt để học sinh tiếp thu kiến thức, rèn luyện các kỹ năng Toán học. * Tư duy thuật giải phát triển sẽ thúc đẩy sự phát triển các thao tác trí tuệ (như: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa,...) cũng như những phẩm chất trí tuệ (như : tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo). * Tư duy thuật giải giúp học sinh hình dung được quá trình tự động hóa diễn ra trong những lĩnh vực khác nhau của con người, trong đó có lĩnh vực xử lý thông tin. Điều này làm cho học sinh thích nghi với xã hội tự động hóa, góp phần làm giảm ngăn cách giữa nhà trường và xã hội. 1.4. Phát triển tư duy thuật toán trong môn toán có ý nghĩa về nhiều mặt và môn toán chứa đựng khả năng to lớn về phát triển tư duy thuật giải, thế nhưng, tư duy thuật giải chưa được chú ý phát triển đúng mức ở nhà trường phổ thông. Đã có một số công trình nghiên cứu về vấn đề này, trong số các công trình đó có thể kể tới luận án phó tiến sỹ của Dương Vương Minh: "Phát triển tư duy thuật giải của học sinh trong khi dạy học các hệ thống số ở trường phổ thông" (1998). Luận án này đã xem xét việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong khi dạy các hệ thống số chứ chưa đi sâu vào việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong khi dạy học nội dung phương trình. Luận văn của thạc sỹ Nguyễn Thị Thanh Bình: "Góp phần phát triển tư duy thuật giải của học sinh Trung học phổ thông thông qua dạy học nội dung lượng giác 11" (2000) đã đề cập đến việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong khi dạy nội dung lượng giác 11. 1.5. Nội dung phương trình là nội dung quan trọng và khó ở chương trình toán trung học phổ thông với nhiều biến đổi phức tạp, nhiều dạng toán, nhiều quy trình vận dụng kỹ năng tính toán nhiều bài toán có tiềm năng có thể chuyển về một thuật giải. Đó là điều kiện thuận lợi nhằm phát triển tư duy thuật giải cho học sinh. Với những lý do nêu trên, tôi chọn đề tài "Góp phần phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học một số nội dung phương trình" làm đề tài nghiên cứu khoa học của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của luận văn là đề ra một số biện pháp phát triển tư duy thuật giải trong quá trình dạy học một số nội dung phương trình nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học Toán ở trường phổ thông. 3. Giả thuyết khoa học Nếu trong quá trình dạy học Toán trung học phổ thông nói chung, dạy học nội dung phương trình, bất phương trình nói riêng, giáo viên thực hiện theo một quy trình dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán ở trường phổ thông. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt được mục đích nêu trên, luận văn có nhiệm vụ trả lời các câu hỏi khoa học sau: 4.1. Tư duy thuật giải là gì và vì sao nó cần được phát triển ở học sinh trong môn Toán? 4.2. Tiến hành phát triển tư duy thuật giải của học sinh trong môn toán dựa trên những tư tưởng chủ đạo nào? 4.3. Có thể xây dựng quy trình dạy học phương trình theo hướng phát triển tư duy thuật giải được không? 4.4. Để phát triển tư duy thuật giải cho học sinh cần có những định hướng sư phạm nào? 4.5. Có thể đưa ra thuật giải giải một số dạng phương trình nhằm tập luyện hoạt động tư duy thuật giải cho học sinh được không? 4.6. Kết quả thực nghiệm như thế nào? 5. Phương pháp nghiên cứu 5.1. Nghiên cứu lý luận * Nghiên cứu các văn kiện Đảng và nhà nước, của Bộ giáo dục đào tạo có liên quan đến việc dạy và học Toán ở trường phổ thông. * Các sách báo, tạp chí có liên quan đến nội dung đề tài. * Các công trình nghiên cứu các vấn đề có liên quan trực tiếp đến đề tài (các luận văn, luận án, chuyên đề...) 5.2. Nghiên cứu thực tiễn * Dự giờ, quan sát giờ dạy của giáo viên và hoạt động học tập của học sinh trong quá trình dạy học nói chung, dạy học nội dung phương trình nói riêng. * Tổ chức thực nghiệm kiểm chứng thông qua các lớp học thực nghiệm và đối chứng trên cùng một lớp đối tượng. 6. Đóng góp của luận văn 6.1. Luận văn góp phần làm sáng tỏ nội dung khái niệm tư duy thuật giải và vai trò vị trí của việc phát triển tư duy thuật giải trong dạy học toán. 6.2. Xây dựng được các quy trình dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải cho học sinh. 6.3. Xác định được một số định hướng sư phạm phát triển tư duy thuật giải cho học sinh. 6.4. Khai thác được một số dạng phương trình có thể giúp học sinh xây dựng được thuật giải. 6.5. Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên toán trung học phổ thông. 7. Cấu trúc luận văn Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo gồm có 3 chương. Chương 1. Tư duy thuật giải và vấn đề phát triển tư duy thuật giải cho học sinh phổ thông. 1.1. Cơ sở lý luận. 1.2. Khái niệm thuật toán. 1.3. Khái niệm tư duy thuật giải. 1.4. Vấn đề phát triển tư duy thuật giải trong dạy học Toán. Chương 2. Một số định hướng sư phạm góp phần phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trung học phổ thông khi dạy một số nội dung phương trình. 2.1. Các nguyên tắc dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải. 2.2. Một số định hướng phát triển tư duy thuật giải thông qua dạy học nội dung phương trình. 2.3. Hướng dẫn học sinh xây dựng thuật giải cho một số dạng phương trình. Chương 1 Tư duy thuật giải và vấn đề phát triển tư duy thuật giải cho học sinh thông qua môn Toán 1.1. Cơ sở lý luận 1.1.1. Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học Chúng ta biết rằng quá trình dạy học là một quá trình điều khiển hoạt động giao lưu của học sinh nhằm thực hiện những mục đích dạy học. Còn học tập là một quá trình xử lý thông tin. Quá trình này có các chức năng: đưa thông tin vào, ghi nhớ thông tin, biến đổi thông tin, đưa thông tin ra và điều phối. Học sinh thực hiện các chức năng này bằng những hoạt động của mình. Thông qua hoạt động thúc đẩy sự phát triển về trí tuệ ở học sinh làm cho học sinh học tập một cách tự giác, tích cực. Xuất phát từ một nội dung dạy học ta cần phát hiện những hoạt động liên hệ với nó rồi căn cứ vào mục đích dạy học mà lựa chọn để tập luyện cho học sinh một số trong những hoạt động đã phát hiện. Việc phân tích một hoạt động thành những hoạt động thành phần giúp ta tổ chức cho học sinh tiến hành những hoạt động với độ phức hợp vừa sức họ. Việc tiến hành hoạt động nhiều khi đòi hỏi những tri thức nhất định, đặc biệt là tri thức phương pháp. Những tri thức này lại là kết quả của một quá trình hoạt động khác. Trong hoạt động, kết quả rèn luyện được ở một mức độ nào đó có thể lại là tiền đề để tập luyện và đạt kết quả cao hơn. Do đó cần phân bậc những hoạt động theo những mức độ khác nhau làm cơ sở cho việc chỉ đạo quá trình dạy học. Trên cơ sở việc phân tích trên về phương pháp dạy học theo quan điểm hoạt động. Luận văn được nghiên cứu trong khuôn khổ của lý luận dạy học, lấy quan điểm hoạt động làm nền tảng tâm lý học. Nội dung của quan điểm này được thể hiện một cách tóm tắt qua những tư tưởng chủ đạo sau: * Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động tương thích với nội dung và mục đích dạy học. * Hướng đích và gợi động cơ cho các hoạt động. * Truyền thụ tri thức, đặc biệt là những tri thức phương pháp, như phương tiện và kết quả của hoạt động. * Phân bậc hoạt động làm căn cứ cho việc điều khiển quá trình dạy học. 1.1.2. Một số quan điểm khác Luận văn lấy quan điểm hoạt động làm nền tảng tâm lý học để nghiên cứu nhưng cũng dựa vào quan điểm của lý thuyết tình huống và lý thuyết kiến tạo bởi vì các quan điểm dạy học của các lý thuyết này có sự giao thoa với quan điểm của lý thuyết hoạt động. Theo lý thuyết tình huống thì học là sự thích ứng (bao gồm đồng hóa và điều tiết) đối với một môi trường sản sinh ra những mâu thuẫn, những khó khăn, những sự mất cân bằng. Một tình huống thường liên hệ với những quy trình hành động. Một yếu tố của tình huống mà sự thay đổi giá trị của nó có thể gây ra sự thay đổi quy trình giải quyết vấn đề của học sinh. Do đó trong quá trình dạy học ta cần soạn thảo ra tình huống tương ứng với tri thức cần dạy (tình huống cho tri thức đó một nghĩa đúng). Sau đó ủy thác tình huống này cho học sinh. Học sinh tiến hành hoạt động học tập diễn ra nhờ sự tương tác với môi trường. Theo lý thuyết kiến tạo, học tập là hoạt động thích ứng của người học. Do đó dạy học phải là dạy hoạt động, tổ chức các tình huống học tập đòi hỏi sự thích ứng của học sinh, qua đó học sinh kiến tạo được kiến thức, đồng thời phát triển được trí tuệ và nhân cách của mình. Như vậy, nếu phân tích rõ quan điểm dạy học theo lý thuyết tình huống và lý thuyết kiến tạo sẽ góp phần phát triển phương pháp dạy học phát triển tư duy thuật giải cho học sinh. 1.2. Khái niệm thuật toán Khái niệm tư duy thuật giải liên hệ chặt chẽ với khái niệm thuật toán. Do đó trước khi đưa ra khái niệm tư duy thuật giải ta hãy nghiên cứu khái niệm thuật toán. 1.2.1. Nghiên cứu khái niệm thuật toán a. Khái niệm bài toán Trong tin học, người ta quan niệm bài toán là một việc nào đó ta muốn máy tính thực hiện. Những việc như đưa một dòng chữ ra màn hình, giải phương trình bậc hai, quản lý cán bộ của một cơ quan... là những ví dụ về bài toán. Khi dùng máy tính giải toán, ta cần quan tâm đến hai yếu tố: Đưa vào máy thông tin gì (Input) và lấy ra thông tin gì (Output). Do đó để phát biểu một bài toán, ta cần phải trình bày rõ Input và Output của bài toán và mối quan hệ giữa Input và Output. Ví dụ 1: Bài toán tìm ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương. Input: Hai số nguyên dương M và N. Output: ước chung lớn nhất của M và N. Ví dụ 2: Bài toán tìm nghiệm của phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 (a0) Input: Các số thực a, b, c. (a0) Output: Tất cả các số thực x thỏa mãn: ax2 + bx + c = 0 ở đây Output có thể là một hoặc hai số thực hoặc câu trả lời không có số thực nào như vậy. Qua các ví dụ trên, ta thấy các bài toán được cấu tạo bởi hai thành phần cơ bản: Input: Các thông tin đã có. Output: Các thông tin cần tìm từ Input. b. Khái niệm thuật toán Việc cho một bài toán là mô tả rõ Input cho trước và Output cần tìm. Vấn đề là làm thế nào để tìm ra Output. Việc chỉ ra tường minh một cách tìm Output của bài toán được gọi là một thuật toán (algorithm) giải bài toán đó. Có nhiều định nghĩa khác nhau về thuật toán. Dựa vào sự phân tích trên ta có thể định nghĩa thuật toán như sau: Thuật toán để giải một bài toán là một dãy hữu hạn các thao tác được sắp xếp theo một trình tự xác định sao cho sau khi thực hiện dãy thao tác ấy, từ Input của bài toán, ta nhận được Output cần tìm. Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của một dãy số nguyên. + Xác định bài toán. + Input: Số nguyên dương N và dãy N số nguyên a1, a2, ...an. + Output: Giá trị lớn nhất Max của dãy số. * ý tưởng: - Khởi tạo giá trị Max = a1. - Lần lượt với i từ 2 đến N, so sánh giá trị số hạng ai với giá trị Max, nếu ai > Max thì Max nhận giá trị mới là ai. * Thuật toán: Thuật toán giải bài toán này có thể được mô tả theo cách liệt kê như sau: Bước 1: Nhập N và dãy a1, a2, ...,an. Bước 2: Max = ai ; i: = 2 Bước 3: Nếu i > N thì đưa ra giá trị Max rồi kết thúc. Bước 4: + Bước 4.1. Nếu ai > Max thì Max: = ai + Bước 4.2. Nếu i: = i + 1 rồi quay lại bước 3. Từ định nghĩa ta thấy thuật toán có các tính chất sau: * Tính dừng: Thuật toán phải kết thúc sau một số hữu hạn lần thực hiện các thao tác. * Tính xác định: Sau khi thực hiện một thao tác thì hoặc là thuật toán kết thúc hoặc là có đúng một thao tác xác định để được thực hiện tiếp theo. * Tính đúng đắn: sau khi thuật toán kết thúc ta phải nhận được Output cần tìm. Ví dụ: Với thuật toán tìm Max đã xét: * Tính dừng: Vì giá trị của i mỗi lần tăng lên một đơn vị nên sau N lần thì i > N, khi đó kết quả của phép so sánh ở bước 3 xác định việc đưa ra giá trị Max rồi kết thúc. * Tính xác định: Thứ tự thực hiện các bước của thuật toán được mặc định là tuần tự nên sau bước 1 là bước 2, sau bước 2 là bước 3. Kết quả các bước so sánh trong bước 3 và bước 4 đều xác định duy nhất bước tiếp theo cần thực hiện. * Tính đúng đắn: Vì thuật toán so sánh Max với từng số hạng của dãy số và thực hiện Max: = ai nếu ai > Max nên sau khi so sánh hết N số hạng của dãy thì Max là giá trị lớn nhất. Ví dụ: Tính tổng các số nguyên dương lẻ trong khoảng từ 1 đến n. - Xác định bài toán: + Input: N là số nguyên dương lẻ. + Output: Tổng các số nguyên dương lẻ từ 1 đến n. * Thuật toán tính tổng các số nguyên dương lẻ từ 1 đến N như sau: Bước 1: Hỏi giá trị của N. Bước 2: S: = 0 Bước 3: i = 1. Bước 4: Nếu i = N+1 thì sang bước 8, ngược lại sang bước 5. Bước 5: Cộng thêm i vào S. Bước 6: Cộng thêm 2 vào i. Bước 7: Quay lại bước 4. Bước 8: Tổng cần tìm chính là S. Ta chú ý đến bước 4. ở đây ta muốn kết thúc thuật toán khi giá trị của i vượt quá N. Thay vì viết "nếu i lớn hơn N" thì ta viết điều kiện "i = N+1" không phải lúc nào cũng đạt được. Vì ban đầu i là một số lẻ, sau mỗi bước i lại được tăng thêm 2 đơn vị nên i luôn luôn là số lẻ. Nếu N là số chẵn thì N + 1 là số lẻ nên sau một số bước nhất định, i sẽ bằng N + 1. Tuy nhiên, nếu N là số lẻ thì N + 1 là số chẵn, do i là số lẻ nên dù có qua bao nhiêu bước đi chăng nữa, i vẫn khác N + 1. Trong trường hợp đó, thuật toán trên bị quẩn (hay vi phạm tính dừng). Tính "đúng" là một tính chất khá hiển nhiên nhưng là tính chất khó đạt tới nhất. Thật vậy, khi giải quyết một số vấn đề bài toán, ta luôn mong muốn lời giải của mình sẽ cho kết quả đúng nhưng không phải lúc nào cũng đạt được. Mọi học sinh khi làm bài kiểm tra đều muốn bài làm của mình có đáp số đúng, nhưng trên thực tế, trong lớp chỉ có một số học sinh nhất định là có khả năng đưa ra lời giải đúng. 1.2.2. Các đặc trưng của thuật toán 1. Tính đơn trị Tính đơn trị của thuật toán đòi hỏi rằng các thao tác sơ cấp phải đơn trị, nghĩa là hai phần tử thuộc cùng một cơ cấu, thực hiện cùng một thao tác trên cùng một đối tượng thì phải cho cùng kết quả. Ví dụ: Quy trình 4 bước để giải một bài toán. Bước 1. Tìm hiểu nội dung bài toán. Bước 2. Tìm đường lối giải toán. Bước 3. Thực hiện chương trình giải toán. Bước 4. Kiểm tra kết quả và nghiên cứu lời giải. Quy trình này không phải là một thuật toán vì tính đơn trị bị vi phạm. Chẳng hạn bước 1, bước 2, bước 3, bước 4 không được xác định vì người ta có thể hiểu và làm theo nhiều cách khác nhau. Từ tính đơn trị, ta cũng thấy được tính hình thức hóa của thuật toán. Bất kể cơ cấu nào, chỉ cần biết thực hiện đúng trình tự quy định là sẽ đi đến kết quả chứ không cần phải hiểu ý nghĩa của những thao tác này. Tính chất này hết sức quan trọng vì nhờ đó ta có thể giao cho những thiết bị tự động thực hiện thuật giải, làm một số công việc thay thế cho con người. 2. Tính hiệu quả Tính hiệu quả của thuật toán được đánh giá dựa trên một số tiêu chuẩn như: khối lượng tính toán, không gian và thời gian khi thuật toán được thực hiện. Tính hiệu quả của thuật toán là một yếu tố quyết định để đánh giá, chọn lựa cách giải quyết vấn đề - bài toán trên thực tế. Có rất nhiều phương pháp để đánh giá tính hiệu quả của thuật toán. Độ phức tạp của thuật toán là một tiêu chuẩn được dùng rộng rãi. 3. Tính tổng quát Thuật toán có tính tổng quát là thuật toán phải áp dụng được cho mọi trường hợp của bài toán chứ không phải chỉ áp dụng được cho một số trường hợp riêng lẻ nào đó. Chẳng hạn thuật toán giải phương trình bậc hai sau đây bằng Delta đảm bảo được tính chất này vì nó luôn luôn giải được với mọi giá trị số thực a, b, c bất kỳ. Tuy nhiên, không phải thuật toán nào cũng đảm bảo được tính tổng quát. Trong thực tế, có lúc người ta chỉ xây dựng thuật toán cho một dạng đặc trưng của bài toán mà thôi. Ví dụ: Thuật toán giải phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) 1. Cho biết giá trị ba hệ số a, b, c. 2. Nếu a = 0 thì: 2.1. Yêu cầu bài toán không đảm bảo. 2.2. Kết thúc thuật toán. 3. Nếu a 0 thì: 3.1. Tính giá trị D = b2 - 4ac 3.2. Nếu D > 0 thì: 3.2.1. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2. 3.2.2. Giá trị của hai nghiệm tính theo công thức: , 3.2.3. Kết thúc thuật toán. 3.3. Nếu D = 0. 3.3.1. Phương trình có nghiệm kép x0 3.3.2. Giá trị của nghiệm kép là 3.3.3. Kết thúc thuật toán. 3.4. Nếu D < 0 thì: 3.4.1. Phương trình vô nghiệm. 3.4.2. Kết thúc thuật toán. 1.2.3. Các phương pháp biểu diễn thuật toán Khi chứng minh hoặc giải một bài toán trong toán học, ta thường dùng những ngôn ngữ toán học như: "ta có", "điều phải chứng minh","giả thiết",... và sử dụng các phép suy luận toán học như phép kéo theo, phép tương đương,... Thuật toán là một phương pháp thể hiện lời giải một bài toán nên cũng phải tuân theo một số quy tắc nhất định. Để có thể truyền đạt thuật toán cho người khác hay chuyển thuật toán thành chương trình máy tính, ta phải có phương pháp biểu diễn thuật toán. Có 4 phương pháp biểu diễn thuật toán. 1. Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học. 2. Dùng lưu đồ - sơ đồ khối. 3. Dùng ngôn ngữ phỏng trình. 4. Dùng ngôn ngữ lập trình. 1. Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học. Trong cách biểu diễn thuật toán theo ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học, người ta sử dụng ngôn ngữ thường ngày và ngôn ngữ toán học để liệt kê các bước của thuật toán. Các thuật toán ở mục 1 đều được viết dưới dạng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học. Phương pháp biểu diễn này không yêu cầu người viết thuật toán cũng như người đọc thuật toán phải nắm các quy tắc. Tuy vậy, cách biểu diễn này thường dài dòng, không thể hiện rõ cấu trúc thuật toán, đôi lúc gây hiểu nhầm hoặc khó hiểu cho người đọc. Ta xét thêm ví dụ sau: Ví dụ 1: Thuật toán xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (với giả thiết abc 0) Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c. Bước 2: Kiểm tra điều kiện ac < 0. + Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bước 3. + Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bước 4. Bước 3: Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm trái dấu. Chuyển sang bước 14. Bước 4: Tính D = b2 - 4ac. Bước 5: Kiểm tra điều kiện D > 0. + Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bước 9. + Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bước 6. Bước 6: Kiểm tra điều kiện ab > 0. + Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bước 7. + Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bước 8. Bước 7: Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm dương. Chuyển sang bước 14. Bước 8: Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm âm. Chuyển sang bước 14. Bước 9: kiểm tra điều kiện D = 0 + Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bước 10. + Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bước 13. Bước 10. Kiểm tra điều kiện ab > 0. + Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bước 11. + Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bước 12. Bước 12. Kết luận: Phương trình có nghiệm kép dương. Chuyển sang bước 14. Bước 12. Kết luận: phương trình có nghiệm kép âm. Chuyển sang bước 14. Bước 13: Kết luận: phương trình vô nghiệm. Bước 14: Kết thúc. 2. Lưu đồ - Sơ đồ khối. Lưu đồ hay sơ đồ khối là một công cụ trực quan để diễn đạt các thuật toán. Biểu diễn thuật toán bằng lưu đồ sẽ giúp người đọc theo dõi được sự phân cấp các trường hợp và quá trình xử lý của thuật toán. Phương pháp lưu đồ thường được dùng trong những thuật toán có tính rắc rối, khó theo dõi được quá trình xử lý. Để biểu diễn thuật toán theo sơ đồ khối, ta phải phân biệt hai loại thao tác: thao tác lựa chọn và thao tác hành động. * Thao tác lựa chọn. Thao tác lựa chọn được biểu diễn bằng một hình thoi, bên trong chứa biểu thức điều kiện: a = b D = 0 * Thao tác xử lý được biểu diễn bằng một hình chữ nhật, bên trong chứa nội dung xử lý. Tăng i lên 1 Tăng i lên Chọn 1 hộp bất kỳ * Đường đi. Trong ngôn ngữ lưu đồ, do thể hiện các bước bằng hình vẽ và có thể đặt các hình vẽ này ở vị trí bất kỳ nên ta phải có phương pháp để hiện trình tự thực hiện các thao tác. Bước 1 Bước 3 Bước 2 Hai bước kế tiếp nhau được nối bằng một mũi tên chỉ hướng thực hiện. Từ thao tác chọn lựa có thể có hai hướng đi, một hướng ứng với điều kiện đúng, một hướng ứng với điều kiện sai. D > 0 D = 0 S Có 2 nghiệm phân biệt Đ * Điểm cuối. Điểm cuối là điểm khởi đầu và kết thúc của thuật toán, được biểu diễn như sau: Bắt đầu Kết thúc (Có thể thay chữ bắt đầu bởi Star/Begin) (Có thể thay chữ kết thúc bởi End) Ngoài ra còn có điểm nối, điểm nối sang trang dùng cho thuật toán có lưu đồ lớn. Ví dụ: Lưu đồ thuật toán giải phương trình bậc hai. Bắt đầu Hỏi giá trị a, b , c Có 2 nghiệm phân biệt , Có nghiệm kép Vô nghiệm x=-b/2a Kết thúc S S Đ Đ D = b2 - 4ac Lưu đồ mô tả thuật toán một cách trực quan nhưng lại rất cồng kềnh khi phải mô tả những thuật toán phức tạp. Một phương pháp khác để biểu diễn thuật toán khắc phục nhược điểm ấy là ngôn ngữ phỏng trình. 3. Ngôn ngữ phỏng trình Tuy sơ đồ khối thể hiện rõ quá trình xử lý và sự phân cấp các trường hợp của thuật toán nhưng lại cồng kềnh. Để mô tả thuật toán nhỏ ta phải dùng một không gian rất lớn. Hơn nữa, lưu đồ chỉ phân biệt hai thao tác là rẽ nhánh (lựa chọn có điều kiện) và xử lý mà trong trực tế, các thuật toán còn có các lặp. Biểu diễn thuật toán bằng ngôn ngữ phỏng trình là cách biểu diễn sự vay mượn các cú pháp của một ngôn ngữ lập trình nào đó (Pascal, Basic, C, C++,...) để thể hiện thuật toán. Ngôn ngữ phỏng trình đơn giản, gần gũi với mọi người, dễ học vì nó sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và chưa quá sa đà vào những quy ước chi tiết. Mặt khác, nó cũng dễ chuyển sang những ngôn ngữ cho máy tính điện tử vì đã sử dụng một cấu trúc và ký hiệu chuẩn hóa. Ví dụ: Biểu diễn thuật toán giải phương trình bậc hai bằng ngôn ngữ phỏng trình. Begin. If Delta > 0 then begin. x1 = (-b-sqrt(delta))/(2*a) x2 = (-b + sqrt (delta))/(2*a). inra: phương trình có 2 nghiệm là x1, x2. End. Else. If Delta = 0 then. Inra: phương trình có nghiệm kép là Else (trường hợp Delta < 0) Inra: phương trình vô nghiệm. End. Trên đây, ta đã chỉ ra 3 cách để biểu diễn một thuật toán. Trong trường hợp thuật toán viết bằng ngôn ngữ máy tính, ta có một chương trình. 4. Ngôn ngữ lập trình. Có nhiều ngôn ngữ lập trình như Pascal, Basic, C, C++,.... Sau đây là ví dụ dùng ngôn ngữ lập trình Pascal để biểu diễn thuật toán giải phương trình bậc hai: Ví dụ. Tìm nghiệm thực của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0, (a 0) Input: Các hệ số a, b, c nhập từ bàn phím. Outpt: Đưa ra màn hình các nghiệm thực hoặc thông báo “Phương trình vô nghiệm”. Thuật toán: Thuật toán giải phương trình bậc hai bằng ngôn ngữ lập trình Pascal. Program Giai-pt bậc hai; Uses Crt; Var a , b, c : real; D, x1, x2 : real; Begin Clrscr; Write (‘a, b, c: ’); Readln (a, b, c) ; D = b * b – 4 * a * c ; if D < 0 then Writeln (‘Phương trình vô nghiệm’) Else Begin x1 = ( - b – sqrt ())/(2 * a); x1 = ( - b + sqrt ())/(2 * a); Witeln ( ‘x1 =’, x1 : 8:3 , ‘x2 = ’ , x2 : 8:3); End; Readln End. 1.2.4. Độ phức tạp của thuật toán Trong thực tế có nhiều thuật toán, về mặt lý thuyết là kết thúc sau hữu hạn bước, tuy nhiên thời gian "hữu hạn" đó vượt quá khả năng làm việc của chúng ta. Do đó để đánh giá tính hiệu quả của một thuật toán, chúng ta phải chú ý đến độ phức tạp của các thuật toán. Độ phức tạp của thuật toán có thể đo bằng không gian, tức là dung lượng bộ nhớ của máy tính cần thiết để thực hiện thuật toán; và bằng thời gian, tức là thời gian máy tính làm việc. Trong luận văn này, khi nói đến độ phức tạp của thuật toán ta luôn hiểu là độ phức tạp thời gian. Độ phức tạp của thuật toán chính là cơ sở để phân loại bài toán giải được hay không giải được. 1.3. Khái niệm tư duy thuật giải 1.3.1. Khái niệm thuật giải Trong quá trình nghiên cứu giải quyết các vấn đề - bài toán, người ta đã đưa ra nhận xét sau: + Có nhiều bài toán cho đến nay vẫn chưa tìm ra một cách giải theo kiểu thuật toán và cũng không biết có tồn tại thuật toán hay không. + Có nhiều bài toán đã có thuật toán để giải nhưng không chấp nhận được vì thời gian giải theo thuật toán đó quá lớn hoặc các điều kiện cho thuật toán đó khó đáp ứng. + Có những bài toán được giải theo những cách giải vi phạm thuật toán nhưng vẫn chấp nhận được. Từ những nhận định trên, người ta thấy rằng cần phải có những đổi mới cho khái niệm thuật toán. Người ta đã mở rộng hai tiêu chuẩn của thuật toán: tính xác định và tính đúng đắn. Việc mở rộng tính xác định đối với thuật toán được thể hiện qua các thuật giải đệ quy và ngẫu nhiên. Tính đúng của thuật toán không còn bắt buộc đối với một số cách giải bài toán, nhất là cách giải gần đúng. Trong thực tế, có nhiều trường hợp người ta chấp nhận các cách giải thường cho kết quả tốt (nhưng không phải lúc nào cũng tốt) nhưng ít phức tạp và hiệu quả. Chẳng hạn, nếu giải một bài toán bằng thuật toán tối ưu đòi hỏi máy tính thực hiện trong vòng nhiều năm thì chúng ta có thể chấp nhận một giải pháp gần tối ưu mà chỉ cần máy tính chạy trong vài ngày hoặc vài giờ. Các cách giải chấp nhận được nhưng không hoàn toàn đáp ứng đầy đủ các tiêu chuẩn của thuật toán thường được gọi là các thuật giải. Khái niệm mở rộng này của thuật toán đã mở rộng cho chúng ta trong việc tìm kiếm phương pháp để giải quyết các bài toán được đặt ra. Ngoài việc mở rộng tính đúng của thuật toán, thuật giải có tất cả các tính chất khác của thuật toán. Nó cũng có các hình thức biểu diễn phong phú như thuật toán. Tuy nhiên, đối với một cơ cấu nhất định chỉ tương ứng với một hình thức biểu diễn nhất định. Đặc biệt trong dạy học cần chú ý lựa chọn phương tiện biểu diễn phù hợp với trình độ và kiến thức hiện có của học sinh. Sự hiểu biết về thuật giải, các tính chất và phương tiện biểu diễn nó phản ánh trình độ văn hóa thuật giải. Ngôn ngữ lập trình là bước phát triển cao của văn hóa thuật giải. 1.3.2. Khái niệm tư duy thuật giải Tư duy toán học là hình thức biểu lộ của tư duy biện chứng trong quá trình con người nhận thức khoa học toán học hay thông qua hình thức áp dụng toán học vào các khoa học khác. Như vậy, tư duy toán học là tư duy biện chứng. Tư duy thuật giải là một loại hình thức tư duy toán học. Nó là phương thức tư duy biểu thị khả năng tiến hành các hoạt động sau: T1: Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật giải. T2: Phân tích một quá trình thành những thao tác được thực hiện theo những trình tự xác định. T3: Khái quát hóa một quá trình diễn ra trên một số đối tượng riêng lẻ thành một quá trình diễn ra trên một lớp đối tượng. T4: Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động. T5: Phát hiện thuật giải tối ưu để giải quyết bài toán. Trong đó, (T1) thể hiện năng lực thực hiện thuật giải, (T2 - T5 ) thể hiện năng lực xây dựng thuật giải. Khái niệm tư duy thuật giải được xác định như trên là hoàn toàn phù hợp với những kết quả nghiên cứu về hình thành văn hóa thuật giải. Trong [38] tác giả Monakhôp đã nêu lên những thành phần của văn hóa thuật giải bao gồm: - Hiểu bản chất của thuật giải và những tính chất của nó; hiểu bản chất ngôn ngữ là phương tiện biểu diễn thuật giải. - Nắm vững các phương pháp và các phương tiện biểu diễn thuật giải. - Hiểu tính chất thuật giải của các phương pháp toán học và các ứng dụng của chúng; nắm vững các thuật giải của giáo trình toán phổ thông. - Hiểu những cơ sở sơ cấp về lập trình cho máy tính điện tử. Như vậy, phát triển tư duy thuật giải là một điều kiện cần thiết góp phần hình thành và phát triển văn hóa thuật giải cho học sinh. Từ khái niệm về tư duy thuật giải ta thấy rằng để phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong dạy học toán, giáo viên phải tổ chức, điều khiển các hoạt động tư duy thuật giải. Thông qua hoạt động đó giúp học sinh nắm vững, củng cố các quy tắc đồng thời phát triển tư duy thuật giải cho học sinh. Sau đây là một số ví dụ về phát triển tư duy thuật giải trong môn toán khi dạy nội dung phương trình ở trường phổ thông. 1.3.3. Một số ví dụ dạy học phát triển tư duy thuật giải khi dạy nội dung phương trình Ví dụ 1. ở chương trình toán lớp 9, ngay sau khi dạy xong quy tắc giải phương trình bậc hai: ax2 +bx +c = 0, (a 0), giáo viên có thể cho học sinh nêu các bước giải phương trình bậc hai như sau: Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c. Bước 2: Tính biệt thức. D = b2- 4ac. Bước 3: Xét dấu D + Nếu D < 0 thì phương trình vô nghiệm. + Nếu D = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1= x2 = + Nếu D > 0 thì phương trình có 2 nghiệm Bước 4: Trả lời. Hoạt động này nhằm mục đích tập luyện các hoạt động (T2) và (T4) của tư duy thuật giải cho học sinh. Sau đó giáo viên yêu cầu học sinh làm bài tập sau. Bài tập: áp dụng quy tắc giải phương trình bậc hai, hãy giải các phương trình sau: a. 2x2 - 3x + 5 = 0 b. - 4x2 + 20x - 25 = 0 c. Mục đích của bài tập này là yêu cầu học sinh thực hiện hoạt động (T1). Do đó cần hướng dẫn các em thực hiện đúng theo trình tự các bước đã nêu trong quy tắc. Có thể dùng một phần bảng trình bày quy tắc giải phương trình, phần bảng còn lại trình bày lời giải phù hợp với từng quy tắc. Tiến hành nhất quán như vậy trong một thời gian nhất định sẽ hình thành ở học sinh quy tắc giải phương trình bậc hai, đồng thời phát triển ở các em năng lực thực hiện thuật giải. Ví dụ 2. Khi dạy luyện tập giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx ta có thể đưa ra cho học sinh thêm bài tập sau: Bài tập 1. Giải phương trình: Đứng trước bài toán này học sinh phải biết các công thức nhân đôi và công thức hạ bậc, từ đó áp dụng các công thức này để biến đổi. Ta có thể hướng dẫn học sinh giải bài toán này theo các bước sau: Bước 1. Tính sin2x, cos2x theo cos2x. , và sinxcosx theo sin2x. sinxcosx= Bước 2. Biến đổi đưa phương trình về phương trình bậc nhất đối với sin 2x và cos2x dạng: Asin2x + Bcos2x = C Bước 3. Giải phương trình: Asin2x + Bcos2x = C Bài tập 2. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số: Với bài toán này, học sinh phải nắm được sơ lược khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Biết cách tìm điều kiện để hàm số có nghĩa và cách tìm điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx có nghiệm. Ta có thể hướng dẫn học sinh giải bài toán trên theo các bước sau: Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2. Thực hiện phép quy đồng và biến đổi đưa biểu thức về dạng asinx + bcosx = c. Bước 3. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: a2 + b2 c2 Bước 4. Đưa ra bất đẳng thức: . Từ đó kết luận Maxy, Miny. Một điều cần lưu ý là khi phân tích bài toán để học sinh định hướng phương pháp giải, chúng ta cần cố gắng phân tích làm nổi lên những tri thức phương pháp tiến hành hoạt động này. Sự phân tích trên đây có ý làm nổi bật tri thức phương pháp: quy lạ về quen. Ví dụ 3. Dạy học sinh quy tắc giải phương trình: ax + b = 0. Để hình thành quy tắc giải phương trình: ax + b = 0, giáo viên có thể yêu cầu học sinh giải bài tập sau: Bài tập 1: a. Giải các phương trình sau: 5x - 2 = 0; -2x + 3 = 0; 0x + 3 = 0; 0x - 0 = 0 b. Xây dựng và phát biểu quy tắc giải phương trình tổng quát ax + b = 0 với a, b bất kỳ. Hướng dẫn: Lọai bài toán này nhằm mục đích chính là cho học sinh tập luyện hoạt động (T3). Mục đích này thể hiện ở câu (b), nhưng câu (a) là bước chuẩn bị, là cơ sở để giải câu (b). Học sinh sẽ không khó khăn lắm khi giải câu (a), nhưng sẽ gặp lúng túng khi giải câu (b). Khi đó tùy thuộc diễn biến tình hình học sinh mà đặt ra những câu hỏi gợi ý như sau: + Về nghiệm của phương trình: ax + b = 0 có thể chia thành mấy trường hợp, đó là những trường hợp nào? (Có 3 trường hợp: có 1 nghiệm duy nhất, vô số nghiệm và vô nghiệm). + Điều kiện nào quyết định đến số nghiệm của phương trình trong từng trường hợp? (Có nghiệm duy nhất khi a 0, vô số nghiệm khi a = 0 và b = 0, vô nghiệm khi a = 0, b 0) + Hãy nêu các bước giải phương trình: ax + b = 0 một cách tỉ mỉ? Bước 1: xác định a, b. Bước 2. Nếu a 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất Nếu a = 0, b 0 thì phương trình vô nghiệm. Nếu a = 0, b = 0 thì phương trình có vô số nghiệm. Dạy học khái quát hóa như trên đã dựa trên cơ sở xét đầy đủ các trường hợp riêng (nghiệm duy nhất, vô số nghiệm, vô nghiệm). Một phương án khác để dạy hoạt động này là trên cơ sở xuất phát từ một trường hợp riêng. Trường hợp riêng này cần lựa chọn sao cho học sinh dễ mắc sai lầm khi khái quát hóa từ đó. Lúc học sinh mắc sai lầm, giáo viên giúp học sinh tự sửa chữa sai lầm là một tình huống sư phạm tốt để lĩnh hội và phát triển tri thức. Theo phương án đó thì có thể hình thành quy tắc giải phương trình ax + b = 0 thông qua bài tập sau: Bài tập 2: a. Giải các phương trình sau: 4x - 3 = 0; - 2x - 3 = 0; 6x + 0 = 0. b. Xây dựng và phát biểu quy tắc giải phương trình tổng quát: ax + b = 0 (a, b bất kỳ). Ví dụ 4 (Luyện tập hoạt động T4). Để luyện khả năng mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động, có thể cho học sinh giải những bài tập có dạng: "Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: ". Ngoài mục đích luyện tập hoạt động (T4), bài toán còn tập luyện hoạt động trực quan cho học sinh. Do đó, học sinh phải biết dùng ngôn ngữ của mình một cách hợp lý để mô tả quá trình biện luận số nghiệm của phương trình trên theo m. Quá trình này có thể mô tả như sau: + Bước 1. Ta xem số nghiệm của phương trình: là số giao điểm của hai đồ thị: (C) và y = m (d) + Bước 2. Vẽ đồ thị (C) * Vẽ đồ thị (C1) * Giữ nguyên phần đồ thị (Cn) của (C1) ứng với * Lấy đối xứng qua Ox phần còn lại của (C1) được (Cm). Khi đó đồ thị (C) là hợp của (Cn) và (Cm). + Bước 3. Dựa vào đồ thị (C) biện luận số giao điểm của đường thẳng (d) với đồ thị (C). * Nếu m = 0 (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt phương trình có 2 nghiệm phân biệt. * Nếu 0 < m < 1/4 (d) cắt (C) tại 4 điểm phương trình có 4 nghiệm phân biệt. * Nếu m =1/4 (d) cắt (C) tại 3 điểm phương trình có 3 nghiệm. * Nếu m >1/4 (d) cắt (C) tại 2 điểm phương trình có 2 nghiệm. Ví dụ 5: Khi dạy nội dung phương trình – bất phương trình quy về bậc hai, đối với học sinh khá giỏi giáo viên có thể yêu cầu học sinh làm bài tập sau: Bài tập: Giải các phương trình sau: a. 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + 2 = 0; b. x4 - 2x3 + x2 - 2x + 1 = 0; c. x4 + x3 - 4x2 + x + 1 = 0 Đứng trước bài tập này, học sinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn bởi vì học sinh mới chỉ gặp phương trình bậc 4 trùng phương. Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh giải bài tập bằng các câu hỏi định hướng sau đối với phương trình (a). + Xét xem x = 0 có là nghiệm của phương trình không? + Hãy chia cả hai vế của phương trình cho x2 ≠ 0. Nêu đặc điểm của phương trình mới nhận được? Ta mong đợi học sinh trả lời: (a) Phương trình mới có đặc điểm. + Để giải phương trình ta làm thế nào? Ta mong đợi học sinh trả lời. Đặt Cuối cùng giáo viên cho học sinh tiếp tục giải phương trình và các phương trình còn lại. khi học sinh giải xong giáo viên có thể nêu câu hỏi nhằm giúp học sinh giải bài toán tổng quát như sau: + Hãy nêu đặc điểm các hệ số trong mỗi phương trình? Ta mong học sinh trả lời: phương trình (a) các hệ số đối xứng qua hệ số (-16), phương trình (b) các hệ số đối xứng qua hệ số (1), phương trình (c) các hệ số đối xứng qua hệ số (- 4). + Từ đặc điểm đó hãy nêu phương trình dạng tổng quát? Ta mong đợi học sinh trả lời: Phương trình dạng tổng quát: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0, với a ≠ 0. + Từ cách giải các phương trình (a), (b), (c) hãy nêu thuật giải giải phương trình trên? Ta mong đợi học sinh trả lời: Bước 1: Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm. Bước 2: Chia cả hai vế của phương trình cho x2 ≠ 0 và biến đổi phương trình về dạng. Bước 3: Đặt Bước 4: Giải phương trình: at2 + bt - 2a + c = 0, được nghiệm t0. Bước 5: Giải phương trình: Bước 6: Trả lời. Thông qua dạy học sinh giải bài tập trên chúng ta đã tập luyện cho học sinh hoạt động (T3), (T2) và (T4) của tư duy thuật giải. Để củng cố các hoạt động này, giáo viên yêu cầu học sinh làm bài tập sau: Bài tập 2. Giải các phương trình sau: a. x4 + 3x3 - 6x2 - 3x + 1 = 0; b. 2x4 + x3 + 11x2 - x + 2 = 0. Bài tập 3. Hãy nêu bài toán tổng quát và thuật giải bài toán đó. Ví dụ 6. (Tập luyện hoạt động T5) Giải phương trình: sin2x + 2tanx = 3. Hướng dẫn: Bài toán này yêu cầu học sinh tập luyện hoạt động (T5). Trước khi các em giải, cần hướng dẫn cho các em thấy trước cách giải chưa hợp lý, đó là: Điều kiện: phương trình sinx – cosx = 0 sin2x – cos2x + 5 = 0 Phương trình vô nghiệm. Đối chiếu với điều kiện, nghiệm của phương trình là: x = Cần phải tìm phương pháp khác hợp lý hơn, với số lượng phép biến đổi phải thực hiện ít hơn và mỗi phép tính đều thực hiện nhanh hơn, thậm chí có thể nhẩm được: Phương trình Û 2(tanx – 1) – ( 1 – sin2x) = 0 Û 2( sinx – cosx) – cox(sinx – cosx)2 = 0 Û (sinx – cosx)(sinxcosx – cos2x -2 ) = 0 Û (sinx – cosx)(sin2x – cos2x – 5) = 0 Nếu học sinh gặp khó khăn thì giáo viên có thể gợi ý giúp học sinh thực hiện phép biến đổi thông qua một số câu hỏi định hướng như: ? Các hệ số của phương trình có đặc điểm gì? (1 + 2 = 3) ? Thử tách 3 thành 2 và 1 rồi chuyển vế và ghép tương ứng với 2tanx và sin2x ? (2tanx - 2 + sin2x – 1 = 0) ? Biểu thức (1 - sin2x) có thể viết dưới dạng bình phương được không? (1- sin2x = sin2x + cos2x – 2sinxcosx = (sinx- cosx)2) Những hoạt động trên đây có tác dụng gợi động cơ và hình thành tri thức phương pháp cho hoạt động (T5) trong trường hợp này. Sáu ví dụ trên đã minh họa cho việc tập luyện 5 hoạt động của tư duy thuật giải. Trong thực tế, việc tập luyện các hoạt động này sẽ không được tách ra một cách rành mạch, khi tập luyện hoạt động này có sự tham gia của các hoạt động khác. Nói tới tập luyện hoạt động tư duy thuật giải nào đó trong khi giải một bài toán là để nhấn mạnh đến hoạt động đó mà thôi. 1.4. Vấn đề phát triển tư duy thuật giải trong dạy học Toán 1.4.1. Vai trò của việc phát triển tư duy thuật giải trong dạy học Toán ở trường phổ thông Sau khi nghiên cứu khái niệm tư duy thuật giải và một số ví dụ về phát triển tư duy thuật giải trong môn toán, chúng ta nhận thấy rằng vấn đề phát triển tư duy thuật giải trong môn toán là một việc cần thiết. Vai trò của việc phát triển tư duy thuật giải đối với học sinh trong dạy học môn Toán là quan trọng. Cấu trúc của tư duy thuật giải gắn liền với 5 hoạt động (T1 - T5), việc phát triển các hoạt động tư duy thuật giải sẽ góp phần phát triển các hoạt động khác của toán học. Điều này cũng đã được tác giả Vương Dương Minh nói đến trong luận án của mình. * Tiến hành các hoạt động tư duy thuật giải là một phương tiện, một điều kiện để chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kỹ năng. Thật vậy, để nắm vững khái niệm toán học, học sinh phải tiến hành các hoạt động nhận dạng và thể hiện một khái niệm. Trong nhiều trường hợp, những hoạt động này diễn ra dưới dạng những hoạt động tư duy thuật giải. Nói đến kỹ năng là phải nói đến hoạt động, kỹ năng được hình thành và phát triển nhờ các hoạt động tư duy thuật giải. * Các hoạt động tư duy thuật giải đòi hỏi và thúc đẩy các hoạt động trí tuệ. - Các thao tác tư duy như phân tích và tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa và cụ thể hóa được phát triển khi tiến hành các hoạt động tư duy thuật giải. - Các phẩm chất trí tuệ như tính linh hoạt, tính độc lập cũng được phát triển trong các hoạt động tư duy thuật giải. - Khả năng tư duy logic và sử dụng ngôn ngữ chính xác cũng được rèn luyện qua các hoạt động tư duy thuật giải. * Phát triển tư duy thuật giải góp phần giáo dục những đức tính tốt đẹp của người lao động mới và giáo dục thế giới quan duy vật biện chứng. Thật vậy: - Hoạt động (T1) cho khả năng hình thành, củng cố những đức tính tốt như tính kỷ luật, ngăn nắp, cẩn thận, thói quen tự kiểm tra. - Hoạt động (T4) rèn luyện khả năng diễn đạt chính xác. Nó cũng có thể cho ta những minh hoạ về mối quan hệ biện chứng giữa nội dung và hình thức. Một nội dung có thể tồn tại dưới nhiều hình thức. Nội dung quyết định hình thức và hình thức tác động trở lại nội dung. - Hoạt động (T5) góp phần hình thành ý thức tìm phương án tối ưu khi giải quyết công việc. - Các hoạt động (T1- T5) dẫn tới việc hiểu đúng bản chất của quá trình tự động hóa và vai trò quyết định của con người trong quá trình đó. - Một thuật giải có cấu trúc đẹp, trình bày sáng sủa, chính xác có thể xem là sản phẩm của lao động trí óc, có tác dụng giáo dục thẩm mỹ cho học sinh. * Phát triển tư duy thuật giải gắn liền với phát triển tư duy sáng tạo. Trong số những mục đích của giáo dục thì việc phát triển năng lực tư duy sáng tạo, năng lực tự giải quyết vấn đề,...cho học sinh là những mục đích rất quan trọng. Tuy nhiên, các năng lực trên chỉ được phát triển nếu liên hệ với một thuật giải, một quy trình nào đó quen thuộc. Tính sáng tạo "nằm ngay trong" tính thuật giải. Nếu hiểu thuật giải là thực hiện tổ hợp các thao tác (T1 - Tn) theo một trình tự logic xác định để đi đến kết quả (Tn) thì tính sáng tạo thể hiện ở những bước chuyển tiếp (Ti - Ti+1) và ở việc từ algorit tổng quát để lựa chọn một algorit cụ thể. Đây là mối liên hệ biện chứng thể hiện quy luật tính thống nhất trong các mặt đối lập trong tiến trình đi đến kết quả tối ưu. 1.4.2. Những tư tưởng chủ đạo để phát triển tư duy thuật giải trong dạy học Toán Phương hướng chung để phát triển tư duy thuật giải là tổ chức, điều khiển học sinh tập luyện các hoạt động tư duy thuật giải. Muốn vậy, trước hết giáo viên cần phải thiết kế và xây dựng các bài dạy theo một quy trình có tính chất thuật giải đối với các tình huống điển hình trong dạy học toán. Nghĩa là phải xây dựng một hệ thống quy định nghiêm ngặt được thể hiện theo một quá trình chặt chẽ và dẫn tới cách giải quyết đúng đắn. Trong luận án của mình, tác giả Vương Dương Minh đã đưa ra hệ thống các tư tưởng chủ đạo về phát triển tư duy thuật giải trong môn toán như sau: * Rèn luyện cho học sinh các hoạt động tư duy thuật giải trong khi và nhằm vào thực hiện những yêu cầu toán học. * Gợi động cơ và hướng đích cho các hoạt động tư duy thuật giải bao gồm: - Gợi động cơ và hướng đích mở đầu các hoạt động tư duy thuật giải. - Gợi động cơ và hướng đích trong khi tiến hành các hoạt động tư duy thuật giải. - Gợi động cơ kết thúc hoạt động tư duy thuật giải. * Truyền thụ cho học sinh những tri thức phương pháp về tư duy thuật giải trong khi tổ chức, điều khiển tập luyện các hoạt động tư duy thuật giải. * Phân bậc các hoạt động. Những tư tưởng chủ đạo trên đã quán triệt những yêu cầu đầu tiên của việc khai thác hoạt động trong nội dung dạy học toán. Thật vậy, các hoạt động tư duy thuật giải nhằm vào thực hiện những yêu cầu toán học có nghĩa là các hoạt động này phải tương thích với nội dung đó. Các hoạt động tư duy thuật giải xuất hiện trước hết như phương tiện chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kỹ năng. Sau đó, do có vai trò quan trọng trong học tập và đời sống đã trở thành mục đích dạy học. Vì vậy, các hoạt động tư duy thuật giải mang hai chức năng. Chức năng phương tiện và chức năng mục đích. Tiến hành các hoạt động tư duy thuật giải trong khi và nhằm vào thực hiện các yêu cầu toán học chính là nhằm phối hợp hai chức năng này. Những tư tưởng chủ đạo này còn mang ý nghĩa nền tảng cho việc phát triển tư duy thuật giải trong môn toán. Trong dạy học toán, không có những hoạt động tư duy thuật giải chỉ nhằm một mục đích duy nhất là phát triển tư duy thuật giải mà chỉ có những hoạt động tư duy thuật giải được tíên hành trong khi tiến hành các hoạt động toán học. Đồng thời các hoạt động tư duy thuật giải phải nhằm vào các yêu cầu toán học. Hiệu quả tập luyện các hoạt động tư duy thuật giải thể hiện bằng hiệu quả thực hiện những yêu cầu toán học. Trên tinh thần các tư tưởng chủ đạo đó, luận văn sẽ đưa ra một số định hướng nhằm góp phần phát triển tư duy thuật giải của học sinh trong quá trình dạy học một số nội dung phương trình trong chương trình toán phổ thông. 1.5. Kết luận chương 1 Luận văn đã nêu được quan điểm chủ đạo để phát triển tư duy thuật giải cho học sinh đó là quan điểm hoạt động. Luận văn đã đưa ra được khái niệm thuật toán và các đặc trưng của thuật toán. Dựa trên khái niệm thuật toán và quan điểm dạy học theo lý thuyết hoạt động, luận văn đã đưa ra khái niệm tư duy thuật giải. Luận văn cũng đưa ra được một số ví dụ dạy học phát triển tư duy thuật giải trong khi dạy học một số nội dung phương trình và nêu lên vấn đề cần phải phát triển tư duy thuật giải cho học sinh như thế nào cũng như vai trò của việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh. Chương 2 Một số định hướng góp phần phát triển tư duy thuật giải cho học sinh thông qua dạy học một số nội dung phương trình 2.1. Một số nguyên tắc dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải cho học sinh Để dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải đảm bảo chất lượng và đạt hiệu quả cần phải dựa trên một số nguyên tắc sau: Nguyên tắc 1. Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải phải đáp ứng được mục đích của việc dạy, học toán ở nhà trường phổ thông. Mục đích của việc dạy học toán trong nhà trường phổ thông là: giúp học sinh lĩnh hội và phát triển một hệ thống kiến thức, kỹ năng, thói quen cần thiết cho cuộc sống, cho học tập; Hình thành và phát triển các phẩm chất tư duy (tư duy logic, tư duy thuật giải, tư duy trừu tượng...) cần thiết của một con người có học vấn trong xã hội hiện đại; Góp phần quan trọng trong việc hình thành thế giới quan khoa học toán học, hiểu được nguồn gốc thực tiễn của toán học và vai trò của nó trong quá trình phát triển văn hóa văn minh nhân loại cũng như những tiến bộ của khoa học kỹ thuật. Để đạt được những mục đích to lớn đó, những năm gần đay, ngành giáo dục đào tạo liên tục đổi mới chương trình sách giáo khoa, phương pháp dạy học. Do đó, dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải là một trong những phương pháp dạy học đáp ứng được mong muốn đó. Nguyên tắc 2. Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải phải dựa trên định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay là tổ chức cho người học được học tập trong hoạt động và bằng hoạt động: tự giác, tích cực, sáng tạo ("hoạt động hóa người học"). Phù hợp với định hướng đổi mới đó có thể trình bày một số xu hướng dạy học không truyền thống như: dạy học giải quyết vấn đề, dạy học dựa vào lý thuyết tình huống, dạy học theo thuyết kiến tạo, dạy học chương trình hóa, dạy học với công cụ máy tính điện tử, dạy học theo lý thuyết hoạt động... Vì vậy, dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải phải dựa trên định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay. Nguyên tắc 3. Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải phải đảm bảo sự tôn trọng, kế thừa và phát triển tối ưu chương trình sách giáo khoa hiện hành. Chương trình và sách giáo khoa môn toán được xây dựng trên cơ sở kế thừa những kinh nghiệm tiên tiến ở trong và ngoài nước theo một hệ thống quan điểm nhất quán về phương diện toán học cũng như về phương diện sư phạm, đã thực hiện thống nhất trong phạm vi toàn quốc trong nhiều năm và được điều chỉnh nội dung cũng như chương trình nhiều lần sao cho phù hợp với thực tiễn giáo dục ở nước ta mà gần đây là sách giáo khoa chỉnh lý hợp nhất năm 2000 và sách giáo khoa phân ban năm 2006. Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải của học sinh phải đảm bảo sự tôn trọng, kế thừa và phát triển một cách tối ưu chương trình sách giáo khoa hiện hành. Cụ thể là: + Khai thác triệt để sách giáo khoa để tìm những phần có thể thông qua đó bồi dưỡng các hoạt động tư duy thuật giải (T1 - T5). + Khai thác các dạng toán trong sách giáo khoa để xây dựng các thuật giải cho các dạng toán tổng quát. Nguyên tắc 4. Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải phải góp phần đắc lực hình thành nhân cách con người ở thời đại mới. Xã hội ngày càng phát triển đòi hỏi con người phải năng động, tự chủ, sáng tạo, kỷ luật, biết tôn trọng pháp luật và các quy tắc của xã hội. Do đó, dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải góp phần quan trọng trong việc phát triển nhân cách người học. Cùng với việc tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo những tri thức và rèn luyện kỹ năng toán học, dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải còn có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá... và những phẩm chất của người lao động mới.như: tính cẩn thận, chính xác, tính kỷ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ cho học sinh. Nguyên tắc 5. Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải phải phát huy tính tính cực nhận thức của học sinh phù hợp với thực tiễn hoàn cảnh, môi trường giáo dục và thực tiễn học sinh. Quá trình dạy học chỉ thực sự đạt hiệu quả khi quá trình dạy học bảo đảm sự thống nhất giữa tính vừa sức với yêu cầu phát triển có thể được thực hiện dựa trên lý thuyết về vùng phát triển gần nhất của Vưgôtxki. Tính vừa sức để học sinh có thể chiếm lĩnh được tri thức, rèn luyện được kỹ năng, kỹ xảo nhưng mặt khác lại đòi hỏi không ngừng nâng cao yêu cầu để thúc đẩy sự phát triển của học sinh. Hơn nữa, trong quá trình dạy học, những yêu cầu phải hướng vào vùng phát triển gần nhất, tức là phải phù hợp với trình độ mà học sinh đã đạt tới ở thời điểm đó, không thoát ly cách xa trình độ này, nhưng họ vẫn còn phải tích cực suy nghĩ, phấn đấu vươn lên thì mới thực hiện được nhiệm vụ đặt ra. Nguyên tắc 6. Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải phải kết hợp chặt chẽ rèn luyện cho học sinh tính tổ chức, tính trật tự với tính linh hoạt và sáng tạo. Để đào tạo những con người có đầy đủ các phẩm chất của người lao động mới đòi hỏi trong quá trình dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải bên cạnh việc cho học sinh tập luyện tốt các hoạt động tư duy thuật giải cần làm cho học sinh biết cách tìm tòi, sáng tạo thông qua việc khai thác ứng dụng của một số nội dung kiến thức hay những bài tập đòi hỏi tính linh hoạt, tính tích cực trong tư duy của học sinh. 2.2. Một số định hướng sư phạm góp phần phát triển tư duy thuật giải cho học sinh thông qua dạy học nội dung phương trình Trên cơ sở hệ thống các nguyên tắc dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải đã nêu ở trên và đặc điểm của nội dung phương trình, chúng tôi đề ra một số định hướng sư phạm nhằm góp phần phát triển tư duy thuật giải cho học sinh như sau. 2.2.1. Xây dựng quy trình dạy học phương trình theo hướng phát triển tư duy thuật giải Theo quan điểm hoạt động trong dạy học đã được trình bày ở chương 1, việc phát triển tư duy thuật giải chính là việc rèn luyện cho học sinh thực hiện tốt các hoạt động tư duy thuật giải. Để làm được việc đó, trước hết việc dạy của giáo viện phải có tính chất thuật giải và được tiến hành theo hướng phát triển tư duy thuật giải. Quy trình dạy học là một algorit dạy học rất đặc biệt: chủ thể phải thực hiện nghiêm ngặt từng thao tác và sau một số hữu hạn bước sẽ đạt được kết quả mong muốn. Song không thể xem quy trình dạy học là một cấu trúc cứng nhắc, nghiêm ngặt như một thuật toán mà phải tính đến cả thái độ, tình cảm, nhân cách của học sinh, cả những khó khăn, chướng ngại trong quá trình dạy học, mang tính nghệ thuật và sáng tạo rất cao trong quá tình truyền thụ tri thức. Sau đây chúng tôi xây dựng hai quy trình dạy học nội dung phương trình, bất phương trình theo hướng phát triển tư duy thuật giải của học sinh trong hai giai đoạn: chiếm lĩnh tri thức phương trình và rèn luyện kỹ năng giải phương trình. 2.2.1.1. Quy trình dạy học chiếm lĩnh tri thức phương trình Quy trình gồm 5 bước như sau. Bước 1. Làm nảy sinh nhu cầu nhận thức tri thức phương trình. Trong bước này giáo viên có thể tiến hành bằng 2 cách: Nêu vấn đề hoặc cho học sinh làm một số ví dụ và phản ví dụ để từ đó phát hiện ra vấn đề. Bước 2 Tổ chức hướng dẫn học sinh hành động tác động vào đối tượng nhằm phát hiện ra dấu hiệu bản chất, cấu trúc lôgic của kiến thức mới. Trong bước này, giáo viên đưa ra các phương tiện trực quan, ví dụ và bài tập yêu cầu học sinh quan sát, phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa tìm ra dấu hiệu bản chất của vấn đề. Từ đó khái quát hóa thành khái niệm, định lý, công thức... Bước 3. Gợi động cơ để học sinh phát biểu lại khái niệm, định lý, công thức nêu ở bước 2 dưới dạng một thuật giải. Trong bước này, giáo viên phải nêu các câu hỏi thích hợp làm nổi bật các thao tác có trong khái niệm, định lý, công thức... Bước 4. Tổ chức hướng dẫn học sinh nhận dạng và thể hiện thuật giải vừa nêu vào các tình huống cụ thể. Trong bước này, giáo viên yêu cầu học sinh làm các bài tập đòi hỏi phát triển các thao tác tư duy thuật giải (T1, T2, T3, T4) Bước 5. Tập luyện các hoạt động tư duy thuật giải thông qua các bài toán không theo thuật giải đã biết. Trong bước này, giáo viên có thể đưa ra một số bài toán giải được bằng 2 cách: theo thuật giải và không theo thuật giải nhưng không theo thuật giải thì lời giải gọn hơn. Việc làm này có tác dụng rèn luyện phát hiện thuật giải tối ưu (thứ 5). Từ quy trình dạy học nêu trên, chúng tôi xây dựng 5 biện pháp sư phạm thích hợp sau đây để vận dụng vào quy trình đó theo hướng phát triển tư duy thuật giải của học sinh. Biện pháp sư phạm 1. Xây dựng và tận dụng các phương tiện trực quan thích hợp trong quá trình dạy học chiếm lĩnh tri thức phương trình. Phát hiện các hoạt động tư duy thuật giải tương thích với nội dung và mục đích dạy học. Biện pháp sư phạm 2. Xây dựng, sắp xếp, bổ sung và khai thác các ví dụ, phản ví dụ theo hướng thuật toán hóa trong quá trình dạy học chiếm lĩnh tri thức phương trình. Biện pháp sư phạm 3. Tìm các hình thức gợi động cơ thích hợp với các hoạt động tư duy thuật giải đã phát hiện. Biện pháp sư phạm 4. Xây dựng, sắp xếp và sử dụng một cách thích hợp các bài tập ở mức độ đơn giản để học sinh vận dụng thành thạo các thao tác có trong thuật giải. Xác định các tri thức phương pháp và cách truyền thụ chúng khi tập luyện các hoạt động tư duy thuật giải. Biện pháp sư phạm 5. Xây dựng và sử dụng các bài tập có nhiều cách giải, các bài tập và tận dụng khai thác các tình huống dễ mắc sai lầm để học sinh tự kiểm tra, tự phát hiện, khắc phục các khó khăn, chướng ngại, sửa chữa các sai lầm thường gặp và đưa ra các thuật giải tối ưu. Chú ý: để thực hiện quy trình dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giait đã nêu trong quá trình dạy học chiếm lĩnh tri thức phương trình có thể sử dụng 5 biện pháp sư phạm trên với những lưu ý sau: a. Lựa chọn biện pháp sư phạm thích hợp, phù hợp với tri thức phương trình cần truyền thụ khi thực hiện quy trình dạy học chiếm lĩnh tri thức phương trình. b. Sử dụng linh hoạt hệ thống các biện pháp sư phạm thích hợp khi thực hiện quy trình dạy học chiếm lĩnh tri thức. c. Kết hợp nhuần nhuyễn theo thứ tự từ thấp lên cao các biện pháp sư phạm thích hợp để học sinh tự chiếm lĩnh tri thức lượng giác dưới sự tổ chức hướng dẫn của giáo viên, qua đó khuyến khích các hoạt động tư duy thuật giải phát triển. Ví dụ 1. Dạy bài “Phương trình lượng giác cơ bản” (tiết 1) I. Mục tiêu bài học. 1. Kiến thức: Học sinh biết được phương trình lượng giác cơ bản: sinx = m, cosx = m, tanx = m, cotx = m và cách giải. 2. Kỹ năng: Giải thành thạo phương trình lượng giác cơ bản. II. Tổ chức giờ dạy. Sau khi nêu một số phương trình lượng giác cơ bản. Để gợi nhu cầu nhận thức giải các phương trình lượng giác cơ bản, giáo viên đưa ra các câu hỏi. ? Hãy nêu các bước để xác định giá trị lượng giác của các cung (góc) lượng giác có số đo a? Chẳng hạn đối với sina, học sinh trả lời như sau: Bước 1. Biểu diễn cung (góc) có số đo a lên đường tròn lượng giác. Giả sử điểm ngọn của cung là M. Bước 2. Hạ MK vuông góc với trục sin. Bước 3. Tính độ dài đoạn OK. Bước 4. Trả lời: sina = OK nếu K thuộc khoảng dương trên trục sin. sina = - OK nếu K thuộc khoảng âm trên trục sin. sina = 0 nếu K O. K M M’ A’ α o A Cos Sin B B’ Nhận xét: sina . Giáo viên tiếp tục đưa ra câu hỏi thứ hai. ? Xác định các giá trị a ẻ R để: sina = -1; sina = 0; sina = 1; sina = ; sina =- ; sina = + sina = -1 + sina = 1 + sina = 0 hoặc + sina = : Trên OB lấy điểm K: OK = . Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với OB cắt (O) tại M, M’ . sđ sđ Vậy sina = a không tồn tại vì Sau khi giải 2 bài toán ngược nhau, giáo viên có thể yêu cầu học sinh nêu chi tiết các bước để giải phương trình: sinx = m. Bước 1: Kiểm tra . Nếu đúng chuyển sang bước 2; nếu sai trả lời phương trình sinx = m vô nghiệm, chuyển sang bước 4. Bước 2. Đặt sina = m, a ẻ R Bước 3. Trả lời phương trình sinx = m có các nghiệm là: A Cos K M M’ A’ α o Sin B B’ Bước 4. Kết thúc. Để rèn luyện cho học sinh thực hiện hoạt động (T1), giáo viên yêu cầu học sinh giải các bài tập sau: Bài tập 1. Giải các phương trình sau: a. sinx = b. c. sin (2x + 1) = d. Trong quá trình hướng dẫn học sinh giải các phương trình trên, bên cạnh việc tập luyện cho học sinh hoạt động (T1), còn có tác dụng gợi động cơ giúp học sinh phát hiện một số đặc trưng trong việc giải phương trình lương giác cơ bản: sinx = m + Phương trình lượng giác sinx = m có tập xác định là R được hiểu là hàm mệnh đề “số trị của hàm số y = sinx bằng m đã cho”. + Giải phương trình sinx = m là tìm tất cả các số thực x làm cho mệnh đề sinx = m là đúng, do đó việc giải phương trình dẫn đến việc tìm các số thực x sao cho sinx = m (trừ một số trường hợp bài toán có yêu cầu cụ thể thì x có thể là góc). + Giải phương trình sinx = m tương đương với việc giải phương trình: sinx = sina (a cho trước). Để học sinh nắm vững thuật giải giải phương trình sinx = m và phát triển các hoạt động khác của tư duy thuật giải, giáo viên đưa ra bài tập: Bài tập 2: Giải phương trình: Đứng trước bài toán này học sinh có thể sẽ gặp lúng túng không biết bắt đầu như thế nào vì nó chưa có dạng quen thuộc để thực hiện thuật giải. Lúc này, giáo viên phải nêu câu hỏi gợi động cơ thích hợp để học sinh phân tích bài toán và đưa về dạng quen thuộc, chẳng hạn: + Hãy xem X = sinx, giải phương trình sin X = + Mục đích của việc giải phương trình này là gì? Hãy biến đổi để đưa về phương trình sinx = m. Giải phương trình: Đặt X = sinx và (2) là 2 phương trình lượng giác cơ bản. Như vậy, trong quá trình giải bài toán này học sinh được tiếp cận với dạng phương trình mới, gần giống với phương trình cơ bản, đó là phương trình dạng sinf(x) = m. Sau khi giải bài tập này giáo viên có thể yêu cầu học sinh nêu thuật giải để giải dạng phương trình lượng giác nêu trên. Để kết thúc bài dạy, giáo viên có thể yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi: Tương tự như cách giải phương trình sinx = m, hãy nêu thuật giải giải phương trình lượng giác cơ bản: cosx = m. Giáo viên gợi ý để học sinh tự xây dựng được thuật giải theo hướng trên vừa giúp học sinh nắm vững thuật giải đồng thời qua đó tập luyện cho học sinh các hoạt động T1, T2, T3, T4 của tư duy thuật giải được phát triển. Ví dụ 2. Dạy bài: “Một số phương trình lượng giác đơn giản” (Tiết 1, sách giáo khoa Đại số - Giải tích 11, nâng cao, 2006). I . Mục đích - yêu cầu. Biết được dạng và cách giải phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác, phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx. II. Tổ chức dạy học. Sau khi nêu dạng của phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx, để gợi nhu cầu tìm cách giải phương trình, giáo viên cho học sinh làm ví dụ sau: Ví dụ 1. Biến đổi thành tích các biểu thức sau: a, sinx + cosx b. c. 3sinx + 4 cosx. * Để biến đổi biểu thức (a) thành tích, giáo viên có thể ra câu hỏi: + Đưa biểu thức về tổng của hai sin ( hoặc hai cos)? Đưa về tổng của hai sin: . + áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích, hãy biến đổi thành tích? . Giáo viên có thể hỏi tiếp: + Có thể đưa biểu thức về dạng công thức cộng được không ? Nếu học sinh còn gặp khó khăn thì giáo viên có thể gợi ý để học sinh biến đổi như sau: Ta nhân và chia cho vào biểu thức. (với ) Ta để ý: Biểu thức được viết: Giáo viên yêu cầu học sinh làm tương tự đối với các biểu thức còn lại theo cách 2: b. Ta nhân và chia cho = 5 vào biểu thức 5 Ta xem (a cho trước). Biểu thức được viết: 5 Giáo viên yêu cầu học sinh nêu nhận xét về cách biến đổi thành tích các biểu thức đã cho: áp dụng cách biến đổi thứ 2, ta có thể biến đổi thành tích biểu thức dạng tổng quát: asinx + bcosx như sau: Nhân và chia biểu thức cho Có: Ta xem Biểu thức có dạng: Qua ví dụ này chúng ta tập luyện cho học sinh hoạt động (T3) và (T5) của tư duy thuật giải. Các hoạt động này làm cơ sở để học sinh dần dần phát hiện thuật giải phương trình: asinx + bcosx = c. Giáo viên yêu cầu học sinh giải các bài toán sau: Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: a. sinx + cosx =1. b. c. 4sinx + 3cosx = 5. áp dụng ví dụ 1. Phương trình (a) , đây là phương trình cơ bản. Phương trình (b) Phương trình giáo dục Sau khi giải hai bài toán trên giáo viên nêu câu hỏi: + Với điều kiện nào của a, b thì phương trình: asinx + bcosx = c có nghiệm? (Phương trình Phương trình có nghiệm + Giáo viên yêu cầu học sinh nêu chi tiết các bước giải phương trình: asinx + bcosx = c (a,b 0) Bước 1. Kiểm tra các hệ số a, b, c. Nếu thì chuyển sang bước 2. Nếu sai trả lời phương trình vô nghiệm, chuyển sang bước 5. Bước 2. Chia cả hai vế của phương trình cho Bước 3. Đặt Bước 4. Giải phương trình: Bước 5. Trả lời. Để rèn luyện cho học sinh hoạt động (T1), giáo viên yêu cầu học sinh giải các bài toán sau: Ví dụ 3. Giải các phương trình sau: a. 3cosx + 4sinx = - 5 b. 2sin2x - 2cos2x = c. 2sin3x + cos3x = - 3 d. sinx + 2cosx = 4. Để học sinh củng cố thuật giải giải phương trình: asinx + bcosx = c và truyền thụ tri thức phương pháp quy lạ về quen, giáo viên yêu cầu học sinh giải bài toán: Ví dụ 4. Giải các phương trình sau: a. 5sin2x - 6cos2x = 13 b. 2sin2x - 5 sinxcosx - cos2x = -2. Trước khi kết thúc bài dạy, giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại thuật toán giải phương trình asinx + bcosx = c. Sau đó giao công việc về nhà nhằm củng cố thuật giải và phát triển hoạt động quy lạ về quen. Chúng tôi đã trình bày chi tiết 2 ví dụ sử dụng quy trình dạy học chiếm lĩnh tri thức phương trình nhằm phát triển tư duy thuật giải của học sinh. Chúng tôi nhận thấy rằng còn có nhiều nội dung về phương trình có thể sử dụng quy trình trên vào dạy học phát triển tư duy thuật giải của học sinh một cách có hiệu quả như: dạy học phương trình đã có thuật giải; phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc hai một ẩn, phương trình lượng giác đối xứng đối với sinx và cosx; phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx; phương trình mũ và logarit... Như vậy, chúng ta có thể xem quy trình dạy học chiếm lĩnh tri thức phương trình như là một biện pháp phát triển tư duy thuật giải của học sinh trong quá trình dạy học nội dung phương trình. 2.2.1.2. Quy trình dạy học rèn luyện kỹ năng giải phương trình Quá trình dạy giải các bài toán về phương trình cho chúng ta rất nhiều cơ hội để phát triển tư duy thuật giải của học sinh. a. Các dạng phương trình Trong chương trình Toán ở trường phổ thông, bài tập về phương trình gồm 2 dạng cơ bản sau: - Dạng bài tập giải phương trình dựa vào các thuật giải đã biết. - Dạng bài tập nhằm hình thành kiến thức mới (thông qua giải bài tập giúp học sinh có thể tiếp thu những kiến thức chưa biết, có thể là những tính chất, quy tắc...). Vì nội dung phương trình ở trường phổ thông là nội dung lớn, xuyên suốt quá trình học tập của học sinh nên bài tập về phương trình rất đa dạng và phong phú. Trong luận văn này, chúng tôi không nghiên cứu tất cả các dạng toán về phương trình mà chỉ nghiên cứu một số dạng phương trình cơ bản nhất (việc giải các phương trình này đòi hỏi học sinh phải nắm vững thuật giải của một số phương trình và một số phép biến đổi tương đương một cách linh hoạt). Chúng ta có thể nhìn một cách tổng quan về phương trình ở chương trình toán phổ thông qua sơ đồ sau: PT không chứa tham số 1 2 3 4 PT có chứa tham số Giải và biện luận PT Đk để PT có nghiệm Bl số nghiệm của PT trên một khoảng Đk để hai PT tương đương Trong đó: (1): Các phương trình cơ bản: - Phương trình bậc nhất một ẩn: ax + b = 0 (a 0) - Phương trình bậc hai một ẩn: ax2 + bx + c = 0 ( a0) - Phương trình lượng giác cơ bản: sinx = m; cosx = m; tanx = m; cotx = m và phương trình lượng giác thường gặp. - Phương trình mũ: ax = at ; ax = c. - Phương trình logarit: logax = logat; logax = c. Các phương trình cơ bản đóng một vai trò rất quan trọng trong chương trình bởi vì việc giải bất kỳ một phương trình nào cũng dẫn đến việc giải một trong các phương trình cơ bản. (2): Phương trình “gần cơ bản”. Chẳng hạn đối với phương trình lượng giác thì phương trình “gần cơ bản” là các phương trình có dạng: ; ; ; sin f(x) = sin g(x); cos f(x) = cos g(x); tan f(x) = tan g(x); cot f(x) = cot g(x) Đối với phương trình mũ: af(x) = ag(x); af(x) = c. Đối với phương trình logarit: logaf(x) = logag(x); logaf(x) = c. (3). Phương trình quy về phương trình cơ bản. Là các phương trình khi giải, ta giải bằng phép đặt ẩn phụ (đại số hóa phương trình lượng giác) hoặc sử dụng phép biến đổi tương đương. Chẳng hạn: + Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0, (a 0) Để giải phương trình ta đặt y = x2, với điều kiện y 0. Ta đưa về phương trình bậc hai đối với y. ay2 + by + c = 0. + Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx, cosx; phương trình lượng giác đối xứng đối với sinx và cosx, chứa ẩn ở mẫu, phương trình chứa căn thức… Đối với dạng phương trình giải được bằng cách đặt ẩn phụ để đưa về phương trình cơ bản, giáo viên cần làm cho học sinh luôn ý thức kiểm tra điều kiện đối với ẩn mới. Vì khi đặt ẩn phụ có thể thu hẹp hoặc mở rộng tập xác định của phương trình mới, nghiệm tìm được phải đối chiếu với điều kiện xem có thỏa mãn hay không. Dạng toán này đòi hỏi học sinh phải có sự tích lũy vốn kiến thức nhất định. Do đó trong quá trình dạy giải bài tập giáo viên hướng dẫn cho học sinh nhận dạng phương trình để có thể đặt ẩn phụ một cách thích hợp để đưa đến cách giải tối ưu hơn. Ví dụ 1. Giải phương trình: Có nhiều học sinh làm như sau: Đặt t = , điều kiện: t 0. Phương trình Cách đặt này đưa đến giải một phương trình vô tỷ, nếu không nắm vững dạng phương trình này học sinh có thể mắc sai lầm. Chẳng hạn: Học sinh có thể giải tiếp phương trình: Phương trình Nếu giáo viên yêu cầu học sinh: Bằng cách thêm bớt hãy biến đổi biểu thức ngoài dấu căn giống biểu thức trong dấu căn? Phương trình Giáo viên yêu cầu tiếp: Để giải phương trình ta làm thế nào? Đến đây học sinh sẽ đặt ẩn phụ: t = , điều kiện t 1. Phương trình Trong quá trình dạy học dạng toán (3), giáo viên cần hướng dẫn học sinh nắm đặc điểm nhận dạng của phương trình để ứng với mỗi dạng toán đó học sinh nắm được phương pháp giải. Quá trình này rèn luyện và phát triển năng lực nhận dạng, thể hiện của học sinh, đồng thời phát triển tư duy thuật giải và tư duy sáng tạo của học sinh. Ví dụ khi dạy về phương trình lượng giác, giáo viên đưa ra một số dạng phương trình có thể đại số hóa như: - Phương trình dạng: F(sinx, cosx, tanx, cotx) = 0. - Phương trình dạng: R(sinx, cosx,...) (Trong đó R là hữu tỷ đối với sinx, cosx, tanx, cotx). - Phương trình dạng: R(sinx, cosx, tanx, cotx, sin2x, cos2x, tan2x, cot2x,...) = 0 - Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx, tanx và cotx. - Phương trình dạng: asinx + bcosx = c. Dạng phương trình có thể biến đổi về dạng tích. Phương pháp đưa phương trình về dạng tích quy về việc giải các phương trình đã biết thuật giải với lưu ý rằng: phương trình f1(x).f2(x)...fn(x) = 0 tương đương với giải tập hợp các phương trình: f1(x) = 0; f2(x) = 0; ... ; fn(x) = 0 (xét trên tập xác định ban đầu). Nếu ký hiệu T1, T2,...Tn theo thứ tự là tập nghiệm của phương trình đã nêu thì tập nghiệm của phương trình là T = . Tuy nhiên, những phương trình giải bằng phương pháp này đòi hỏi kỹ thuật biến đổi và kinh nghiệm nhận dạng để định hướng cách giải: tiến hành giải bằng cách đưa phương trình về dạng tích là tổng hợp một chuỗi các hoạt động nhận dạng và thể hiện. Cho nên trong quá trình dạy học giáo viên cần hình thành cho học sinh kỹ năng nhận dạng các phương trình có thể đưa về dạng tích. a. Phương trình: asinx + bsin2x + csin3x = 0. Cả 3 số hạng đều chứa nhân tử sinx, phân tích được thành tích của sinx với một biểu thức bậc hai của cosx. b. Các phương trình có thể sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng, hạ bậc để đưa phương trình về dạng tích. Chẳng hạn, nếu trong phương trình có chứa các số hạng cos f(x); cos g(x) thì có thể biến đổi: Và phương trình sẽ được đưa về dạng tích nếu các số hạng còn lại chứa thừa số hoặc c. Phương trình chứa những biểu thức có thừa số chung như: F(x) Biểu thức chứa thừa số f(x) sinx sin 2x, sin3x, tanx, tan2x, tan3x,... cosx sin2x, cos3x, tan2x, cotx, cot3x,... 1+cosx , , , ,... 1-cosx , , , ,... 1 + sinx , , , ,... sinx + cosx cos2x, cot2x, 1 + sin2x, 1 + tanx, 1 + cosx, tanx- cosx,... cosx - sinx cos2x, cot2x, 1- sin 2x, 1 - tanx, 1- cotx, tanx - cotx,... Dạng phương trình có các hệ số đặc biệt đôi khi các mối liên hệ số học đơn giản giữa các hệ số lại chứa đựng chìa khóa giải bài toán. Khai thác đặc điểm này một cách triệt để sẽ phát triển tư duy thuật giải của học sinh lớp các bài toán dạng này. Chẳng hạn, nếu chú ý đặc điểm các hệ số trong phương trình thì sẽ biến đổi đưa phương trình về dạng tích. a. sin2x + 2tanx = 3 b. 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx. c. 2(tanx- sinx) + 3(cotx - cosx) + 5 = 0. (4). Phương trình không mẫu mực. Những phương trình này thường không thể áp dụng phương pháp giải truyền thống mà phải biết vận dụng khéo léo phương pháp đánh giá các số hạng có trong phương trình, sử dụng tính chất đơn điệu, tính bị chặn, sử dụng đồ thị... để giải. Trên đây chúng tôi đưa ra một số dạng phương trình thường gặp ở chương trình toán phổ thông. Các dạng phương trình này chung quy lại đều có thể đưa về giải bằng hai phương pháp cơ bản: phương pháp algorit (thuật giải) và phương pháp orictic (tìm kiếm, sáng tạo...), đều phải vận dụng tư duy sáng tạo và tư duy thuật giải theo từng cấp độ của một bài toán cụ thể. Vì vậy, quá trình dạy học giải toán nói chung, dạy học giải phương trình nói riêng là điều kiện thuận lợi để phát triển tư duy thuật giải cho học sinh. Quy trình dạy học rèn luyện kỹ năng giải phương trình Trong quá trình dạy học giải phương trình, tư duy thuật giải được vận dụng theo các cấp độ sau: Cấp độ 1: Những quy tắc, phương pháp có tính chất thuật toán: giải các phương trình đã có thuật giải. Cấp độ 2: Những quy tắc, phương pháp có tính chất phi thuật toán: tiến trình giải một bài toán (thông thường qua 4 bước); giải toán bằng phương pháp lập trình,... Cấp độ 3: Những quy tắc, phương pháp có tính chất tìm đoán: quy lạ về quen, khái quát hóa, trừu tượng hóa, phương pháp tìm lời giải các bài toán,... “Tính chất tìm đoán” ở đây chỉ là gợi ý giải quyết vấn đề chứ không phải là những thuật toán đảm bảo chắc chắn thành công. ở cấp độ này đòi hỏi tư duy toán học của học sinh hoạt động tích cực, đặc biệt là tư duy sáng tạo. Thông qua mò mẫm, dự đoán phương pháp giải mà rèn luyện tư duy sáng tạo của học sinh: tính mềm dẻo, tính linh hoạt, khả năng biết điều chỉnh phương hướng và phương pháp khi cần thiết. Từ những nhận xét về vai trò của tư duy thuật giải trong giải toán phương trình, chúng tôi đưa ra quy trình dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải gồm các bước như sau: Bước 1. Tập luyện cho học sinh thói quen phân tích bài toán, nhận dạng phương trình. Nếu phương trình cần giải là một trong những phương trình đã có thuật giải thì tiến hành thực hiện theo thuật giải (T1). Ngược lại ta chuyển sang bước 2. Bước 2. Rèn luyện cho học sinh biến đổi phương trình về dạng quen thuộc. Trong bước này, giáo viên cần gợi động cơ, hướng đích, lôi cuốn học sinh tích cực tìm tòi những phương pháp biến đổi phương trình về dạng quen thuộc. Đây là khâu quan trọng và khó khăn nhất trong hoạt động giải phương trình. Giáo viên cần hướng dẫn để học sinh huy động kiến thức tổng hợp để tìm phương pháp biến đổi thích hợp. Bước 3. Cho học sinh tiến hành giải phương trình nhận được. Sau khi đã biến đổi đưa phương trình về dạng quen thuộc, học sinh phải vạch ra chương trình giải rồi thực hiện chương trình đó. Bài giải phải đảm bảo yêu cầu: không có sai lầm (lời giải không nên sai sót về kiến thức toán học, về phương pháp suy luận, kỹ năng tính toán, về ký hiệu và ngôn ngữ diễn đạt); lập luận có căn cứ chính xác (trong từng bước biến đổi phương trình đều có cơ sở lý luận); lời giải đầy đủ (xem xét đầy đủ các khả năng, không bỏ sót một trường hợp nào). Bước 4. Kiểm tra lời giải, kết quả. Giải phương trình là một hoạt động toán học tổng hợp bao gồm nhiều hoạt động, nhiều khâu: hiểu và vận dụng được khái niệm có liên quan, nắm vững định lý, công thức biến đổi đồng nhất, biến đổi tương đương, biến đổi hệ qủa phương trình; lập luận và thể hiện các thao tác tư duy logic, phân chia trường hợp, tính toán cụ thể và cách diễn đạt, thể hiện lời giải dưới dạng văn bản,... ứng với mỗi hoạt động, mỗi khâu. Trong quá trình tìm tòi lời giải và trình bày lời giải học sinh có thể mắc sai lầm. Do đó giáo viên cần lường trước để chỉ ra những sai lầm học sinh thường mắc phải, đồng thời phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm đó và đề ra biện pháp khắc phục. Bước 5. Rèn luyện cho học sinh khả năng nghiên cứu lời giải. Nghiên cứu - khai thác - phân tích và tìn tòi lời giải khoa học nhất sẽ giúp học sinh có thói quen tập dượt nghiên cứu khoa học, nắm được bản chất vấn đề trong giải toán. Hoạt động này có ý nghĩa rất quan trọng, nó góp phần phát triển hoạt động (T5) (phát hiện thuật giải tối ưu). Bước 6. Hướng dẫn học sinh tìm các bài toán liên quan, mở rộng bài toán bằng tương tự hóa, khái quát hóa. Trong bước này, giáo viên cần phát triển khả năng suy đoán và rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh. Muốn vậy, giáo viên cần chú ý cho học sinh làm quen và có ý thức sử dụng những quy tắc suy đoán, tương tự hóa, khái quát hóa, phân tích, tổng hợp và so sánh. Giáo viên cần tập dượt cho học sinh các thao tác tương tự đơn giải, biết so sánh một bài toán với những bài toán tương tự, tìm ra đặc điểm chung về hình thức, nội dung hoặc phương pháp một số dạng phương trình đơn giản, từ đó xây dựng thuật giải giải một số dạng phương trình tổng quát. Ví dụ 1. Giải phương trình. Bước 1. Đây là phương trình chức ẩn ở mẫu và chưa có thuật giải. Bước 2. Tìm tập xác định của phương trình: D = R\ Quy đồng mẫu thức với mẫu thức chung: x2 - 4, ta đưa về: Bước 3. Giải phương trình: 3x2 - 5x - 2 = 0 Đối chiếu với tập xác định. Vậy phương trình có nghiệm Bước 4. Học sinh có thể mắc những sai lầm sau: + Khi giải học sinh có thể quên không tìm tập xác định của phương trình, dẫn đến khi trả lời phương trình có nghiệm và x =2. + Khi giải tìm được và x = 2 nhưng không đối chiếu với điều kiện để chọn nghiệm thích hợp. + Trong quá trình quy đồng mẫu thức và biến đổi học sinh có thể sai lầm do không nắm vững phép toán cộng trừ hai phân thức không cùng mẫu và thực hiện phép tính chưa được chính xác. Bước 5. Trước khi giải, cho học sinh nhận xét đặc điểm nhận dạng của phương trình (phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình chứa các phân thức không cùng mẫu). Từ đặc điểm của phương trình, ta thấy để giải phương trình trước tiên cần tìm tập xác định của phương trình, sau đó tìm mẫu thức chung, thực hiện phép quy đồng mẫu thức, biến đổi đưa phương trình về phương trình cơ bản. Tiến hành giải phương trình thu được, tìm nghiệm thuộc tập xác định của phương trình. Bước 6. Đây là phương trình thuộc dạng (3) (phương trình quy về phương trình cơ bản). Dạng phương trình này gây cho học sinh rất nhiều khó khăn trong quá trình giải. Cần cho học sinh nắm vững tuần tự cách giải phương trình dạng này. Ví dụ 2. Giải phương trình: Sinx + sin 2x + sin 3x = 0 Bước 1. Đây là phương trình chưa có thuật giải. Ta cần biến đổi để đưa về phương trình đã có thuật giải. Bước 2. áp dụng các công thức lượng giác để biến đổi đưa phương trình về dạng (3) (phương trình dạng tích) theo các cách sau: Cách 1. Nhóm sin3x với sinx, áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích để xuất hiện thừa số chung sin2x, từ đó đưa về phương trình dạng tích. Giải phương trình dạng tích quy về giải phương trình cơ bản. Cách 2. Làm xuất hiện thừa số chung sinx bằng cách sử dụng công thức nhân đôi, nhân ba. Chuyển về giải phương trình cơ bản. Bước 3. Giải phương trình theo 2 cách như sau: Cách 1. sinx + sin 2x + sin3x = 0 (sin3x + sinx) + sin2x = 0 2sin2xcosx + sin2x = 0 sin2x(2cosx + 1) = 0 Cách 2. sinx + sin 2x + sin3x = 0 sinx + 2sinxcosx + 3sinx - 4sin3x = 0 sinx(4 + 2cosx - 4sin2x) = 0 sinx(4cos2x + 2cosx) = 0 2sinxcosx(2cosx + 1) = 0 sin2x(2cosx + 1) = 0 Giải ra ta được: và Bước 4. Học sinh có thể mắc phải sai lầm trong biến đổi (do nhớ sai công thức) hoặc không lấy được tập nghiệm đúng nếu như học sinh biến đổi phương trình thành: sinx (4cos2x + 2cosx) = 0 Nghiệm của phương trình: và Bước 5. Trong 2 cách giải trên, cách 1 ngắn gọn hơn nhưng không áp dụng được cho bài toán tổng quát. Còn cách 2 có thể áp dụng để xây dựng thuật giải cho bài toán tổng quát (xem mục 2.3, chương 2). Bước 6. Một số bài toán liên quan đến bài toán trên. Bài toán 1. Giải phương trình: sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0 Bài toán 2. Giải phương trình: asinx + bsin2x + csin3x = 0, (a, b, c R) Bài toán 3. Giải phương trình: sinx + sin2x + ... + sinnx = 0 Bài toán 4. Giải phương trình: Bài toán 5. Giải hệ phương trình: Bài toán 6. Giải phương trình: cosx + cos2x = sinx + sin2x Bài toán 7: Giải phương trình: sinx + sin2x + ... + sinnx = cosx + cos2x + ... + cosnx. Ví dụ 3. Giải phương trình: sinx + cosx = 1. Đây là phương trình lượng giác đã có thuật giải, học sinh có thể xây dựng một chương trình giải bằng cách lựa chọn các phương pháp và công cụ (kiến thức lượng giác) phù hợp để giải. Học sinh có thể giải bài toán này theo 10 cách sau: Cách 1. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ. Đặt t = Cách 2. Xem , đưa về phương trình: Cách 3. Dùng góc phụ: Cách 4. Sử dụng kiến thức cơ bản: sin2 x + cos2x = 1, rồi đưa về phương trình bậc hai đối với sinx và cosx. Cách 5. áp dụng công thức nhân đôi: , Cách 6. Biến đổi đại số: Bình phương hai vế rồi đưa phương trình về dạng tích: sinx.cosx = 0 Cách 7. Đưa về giải hệ phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx. Cách 8. Sử dụng phương pháp hình học: dùng đường tròn lượng giác. Cách 9. Sử dụng phương pháp đồ thị hàm số. Cách 10. Sử dụng phương pháp đánh giá. Từ các cách giải phương trình: sinx + cosx = 1, ta có thể giải được các phương trình sau: Bài tập 1. Giải phương trình: asinx + bcosx = c (a, b, c R, ab0) Bài tập 2. Giải các phương trình: a. sin3x + cos3x = 1 b. sin4x + cos4x = 1 c. sin6x + cos6x = 1 ........................... d. sin2007x + cos2007x = 1 Bài tập 3. Giải các phương trình: a. sinnx + cosnx = 1, (n ) b. sin2nx + cos2nx = 1, (m, n ) Bài tập 4. Giải các phương trình sau: a. b. Sử dụng quy trình dạy học nêu trên trong quá trình dạy học giải phương trình giúp học sinh định hướng được phương pháp giải khi đứng trước một bài toán và việc thực hiện đúng quy trình khi giải toán góp phần phát triển các hoạt động tư duy thuật giải. 2.2.2. Tổ chức luyện tập cho học sinh giải các phương trình đã biết thuật giải Trong chương trình toán trung học phổ thông, học sinh được giới thiệu một số phương trình và cách giải chúng. Tuy nhiên trong sách giáo khoa chưa nêu cách giải các dạng phương trình đó dưới dạng một thuật giải. Sau đây chúng tôi sẽ trình bày chi tiết các thuật giải đó và đưa ra một số bài tập cụ thể để học sinh nắm vững cách giải các phương trình này nhằm thực hiện tốt bước 1 trong quy trình dạy học giải phương trình, đó chính là hoạt động thực hiện thuật giải (T1). Giáo viên cần cho học sinh hiểu rõ vấn đề: nhớ và vận dụng thành thạo các quy trình, thuật toán có sẵn là một việc làm cần thiết nhưng chưa đủ. Trong học tập phải có thói quen không nên dễ dàng chấp nhận những điều đã có sẵn mà cần phải luôn có ý thức và niềm say mê huy động tích cực vốn tri thức và năng lực của bản thân để tìm ra những phương pháp khác nhau hoặc phương pháp tối ưu hơn khi đứng trước vấn đề cần giải quyết. Phương trình bậc nhất một ẩn: ax + b = 0 (a 0) Phương trình bậc hai một ẩn: ax2 + bx + c = 0 (a 0) Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: a. 2x2 - 5x + 4 = 0 b. 4x2 -12x + 9 = 0 c. x2 - 3x + 5 = 0 d. 5x2 - 4x - 9 = 0 Đây là các phương trình đơn giản, học sinh dễ dàng giải các phương trình này theo thuật giải. 3. Phương trình lượng giác cơ bản. (Xem ví dụ 3, biện pháp 1) 4. Phương trình bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Thuật giải 4.1. Giải phương trình f(sinx) = 0 hoặc f(cosx) = 0. Bước 1. đặt sin x = t, (cosx = t) Bước 2. Giải phương trình ẩn t: Bước 3. Giải phương trình: sinx = ti, (cosx= ti) Ví dụ 2. Giải các phương trình: a. 2cosx - = 0 b. 2 sinx - 3 = 0 c. 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 d. – sin2x + sinx + 2 = 0 Các phương trình này nhằm tập luyện cho học sinh hoạt động giải toán theo thuật giải đã nêu. Thuật giải 4.2. Giải phương trình f(tanx) = 0 và f(cotx) = 0 Bước 1. Đặt tanx = t, (cotx = t) Bước 2. Giải phương trình ẩn t: f(t) = 0 ị t = ti Bước 3. Giải phương trình: tanx = ti, (cotx = ti) Ví dụ 3. Giải các phương trình sau: a. b. c. cot2x – 3 cotx – 10 = 0. Ví dụ 4. Giải các phương trình sau: cos2x – 6cosx + 5 = 0 Các phương trình này chưa thể áp dụng được thuật giải ngay. Để giải phương trình đòi hỏi học sinh phải vận dụng công thức lượng giác phù hợp để đưa phương trình về phương trình đã có thuật giải. Giải: Phương trình (a): cos2x – 6cosx + 5 = 0 cos2x – 3cosx + 2 = 0 Bước 1: Đặt cosx = t Bước 2: (a) Bước 3: Giải phương trình: cosx = 1 Û x = k 2p Phương trình (b) : Điều kiện: 2sinxcosx – 1 0 Bước 1: Đặt sinx= t Bước 2: (b) Bước 3: Giải phương trình: Đối chiếu với điều kiện họ nghiệm không thoả mãn. Vậy phương trình có nghiệm là Phương trình giáo dục: Điều kiện: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx. asinx + bcosx = c, (a, b, c R, ab 0) Sách giáo khoa chỉnh lý năm 2000 đề cập đến 3 cách giải. Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao nêu một cách giải. Sau đây chúng tôi đưa ra thuật giải chi tiết. Thuật giải 5.1: Bước 1: Kiểm tra: a2 + b2 c2 Nếu sai, kết luận phương trình vô nghiệm. Chuyển sang bước 5. Nếu đúng, chuyển sang bước 2. Bước 2: Chia cả hai vế cho Bước 3: Đặt Bước 4: Giải phương trình Bước 5: Kết thúc. Ví dụ 4: Giải các phương trình sau: a. 3sinx + 4cosx = 5 b. 2sin2x – 2cos2x = c. 5cos2x – 12sin2x = 13. áp dụng thuật giải chi tiết ở trên, học sinh dễ dàng giải được các phương trình này. Ví dụ 5. Giải các phương trình sau: b. 5sin2x – 6cos2x = 13; ; Các phương trình này học sinh không thể áp dụng ngay thuật giải mà phải biến đổi bằng cách áp dụng công thức hạ bậc: ; Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx. asin2x + bsinxcosx + cos2x = 0, (a, b, c R) Trong sách giáo khoa nêu hai cách giải phương trình này. Từ hướng dẫn học sinh giải phương trình 5c. Chúng tôi đưa ra thuật giải: Thuật giải 6.1. Bước 1: Biến đổi: Bước 2: Giải phương trình: Bước 3: Thực hiện thuật giải 5.1. Ví dụ 6: Giải các phương trình: a. 3sin2x + 8sinxcosx +( - 9)cos2x = 0 b. 4sin2x + sin2x – 2cos2x = 4 c. 3sin22x – sin2xcos2x – 4cos22x = 2. 7. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (a, b, c R) Thuật giải 7.1. Bước 1: Đặt t = sinx + cosx Bước 2: Đưa về phương trình đại số: bt2 + 2at – (b + 2c) = 0, (*) với . Bước 3: Giải phương trình (*), tìm nghiệm t0 Bước 4: Giải phương trình: sinx + cosx = t0 Ví dụ 7. Giải các phương trình sau: a. 3(sinx + cosx) + 2sin2x + 3 = 0 b. 5sin2x + sinx + cosx + 6 = 0 Ví dụ 8. Giải các phương trình sau: a. sinx – cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 b. sin3x + cos3x = 1 c. sin3x + cos3x = sin2x + sinx + cosx 2.2.3. Sử dụng hợp lý hình thức dạy học phân hóa Sử dụng hợp lý hình thức dạy học phân hoá (nội tại) nhằm kích thích mỗi học sinh học tập với sự nỗ lực trí tuệ phù hợp với trình độ và năng lực nhận thức của bản thân. Dạy học phân hoá xuất phát từ sự biện chứng của thống nhất và phân hoá, từ yêu cầu đảm bảo thực hiện tốt các mục tiêu dạy học đối với tất cả mọi học sinh là đào tạo con người lao động tự chủ, năng động, sáng tạo, tạo điều kiện cho mỗi thành viên hoạt động trong một lĩnh vực phù hợp với năng lực cá nhân, khai thác tiềm năng, tạo điều kiện tối ưu cho sự phát triển năng lực của họ. Phân hoá nội tại (còn gọi là phân hoá trong), tức là dùng những biện pháp phân hoá thích hợp trong một lớp học thống nhất với cùng một kế hoạch học tập, cùng một chương trình và sách giáo khoa. Để việc dạy học phân hoá theo hướng phát triển tư duy thuật giải đạt hiệu quả cao đòi hỏi phải xác định được mức độ tập luyện sát sao với trình độ học sinh. Muốn vậy cần phải thực hiện phân bậc hoạt động tư duy thuật giải. Sự phân bậc hoạt động dựa vào các căn cứ sau: Phân bậc theo bình diện nhận thức Đặc tính cụ thể hay trừu tượng của đối tượng là một căn cứ để phân bậc hoạt động tư duy thuật giải. Bậc thấp: Tiến hành hoạt động trên những đối tượng cụ thể. Ví dụ 1. Giải các phương trình: a. x2 – x – 6 = 0; b. 2x2 – 3x + 5 = 0; c. 4x2 + 12x + 9 = 0 Bậc cao: Tiến hành hoạt động tư duy thuật giải trên đối tượng trừu tượng hơn. Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình bậc hai với hệ số chứa tham số. Chẳng hạn: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: mx2 – 2(m + 3)x + m + 1 = 0 (*). Giải: Hệ số a = m, nên ta xét hai trường hợp: + Trường hợp 1. Nếu m = 0. Khi đó phương trình có dạng: 6x + 1 = 0 + Trường hợp 2. Nếu m 0. Ta có : * Nếu phương trình vô nghiệm. * Nếu phương trình có nghiệm kép. * Nếu phương trình có 2 nghiệm phân biệt Kết luận: + m = 0 ị phương trình có nghiệm + phương trình vô nghiệm. + phương trình có nghiệm kép. + phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Phân bậc theo nội dung của hoạt động tư duy thuật giải Các hoạt động tư duy thuật giải có thể được phân bậc dựa trên nội dung của hoạt động. Nội dung của hoạt đọng là những tri thức liên quan tới hoạt động và những điều kiện khác của hoạt động. Bậc thấp: Mô tả thuật giải bằng ngôn ngữ toán học: Chẳng hạn trong sách giáo khoa đại số 10 (năm 2000) đã nêu thuật giải giải phương trình: ax2 + bx + c = 0 và : ax + b = 0. Sách giáo khoa đại số - Giải tích 11 nêu thuật giải giải các phương trình: phương trình lượng giác cơ bản, phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: phương trình asinx + bcosx = c; asin2x + bsinxcosx + c.cos2x = 0; a (sinx+cosx) + bsinxcosx = c; phương trình mũ cơ bản; phương trình logarit cơ bản. Bậc cao: Mô tả thuật giải bằng ngôn ngữ sơ đồ khối hoặc ngôn ngữ phỏng trình. Bắt đầu Nhập các hệ số a, b, c, a, b ẻR; k ẻZ Hệ số a, b không thoả mãn giả thiết PT có 2 nghiệm là: x:=x1; x:=x2 a 0 b 0 a: = ; b: = c: = a: = cosa ; b: = sina a: = 1; b: = 0; x: = x + a Thoát + |c| > 1 sinb: = c x1: = b - a + k2p; x2: = p - b - a + k2p + Bậc cao hơn nữa: Mô tả thuật giải bằng ngôn ngữ lập trình. 2.2.3.3. Phân bậc theo sự phức hợp của hoạt động tư duy thuật giải Sự phức hợp của hoạt động cũng là một căn cứ để phân bậc các hoạt động tư duy thuật giải. Bậc thấp: Xây dựng một thuật giải. Bậc cao: Xây dựng thuật giải tối ưu hơn. Ví dụ 1. Giải phương trình: sinx + cosx = 1. Có thể giải phương trình này theo thuật giải đã có ở sách giáo khoa. Tuy nhiên, ta cần hướng dẫn học sinh tìm thuật giải tối ưu hơn để giải phương trình này như sau: Bước 1. Đánh giá: (1) (2) Bước 2. thực hiện cộng hai vế (1) và (2) ta có: Hay sinx + cosx 1. Dấu “=” xảy ra Chúng ta cần cho học sinh so sánh thuật giải này với thuật giải đã biết ở sách giáo khoa khi áp dụng vào giải phương trình. Thuật giải trên tối ưu hơn ở chỗ ngắn gọn và đặc biệt là có thể áp dụng cho bài toán tổng quát giải phương trình: sinnx + cosnx = 1 Cách giải: Bước 1. Nhập n; Bước 2. Nếu n < 2 thì: Bước 2.1. Nhận xét: sinn x ³ sin2 x (1) cosn x ³ cos2x (2) Bước 2.2. Thực hiện cộng theo hai vế bất đẳng thức (1), (2). Ta được: . Bước 2.3. Dấu “=” xảy ra Ngược lại. Bước 3. Nếu n 2 thì: Bước 3.1. Nhận xét: sinn x Ê sin2 x (1) cosn x Ê cos2x (2) Bước 3.2. Thực hiện cộng theo hai vế bất đẳng thức (1), (2). Ta được: . Bước 3.3. Dấu “=” xảy ra Ngược lại: Có thể phân bậc sự phức hợp của hoạt động tư duy thuật giải theo căn cứ: b. Bậc thấp: Biết cách làm trên một loạt trường hợp tương tự với trường hợp đã làm. Bậc cao: Khái quát hoá cách làm trên các trường hợp cụ thể thành cách làm cho trường hợp tổng quát. Ví dụ 2. Giải các phương trình: Từ cách giải các phương trình trên, ta đưa ra thuật giải phương trình tổng quát như sau: Bước 1. Biến đổi phương trình thành dạng: Bước 2. Đặt điều kiện Bước 3. Khử căn thức bằng cách bình phương hai vế. Bước 4. Giải phương trình Bước 5. Tìm nghiệm thoả mãn điều kiện bước 2 Bước 6. Trả lời. 2.2.3.4. Phân bậc theo chất lượng của hoạt động tư duy thuật giải Sự phân bậc các hoạt động tư duy thuật giải còn dựa trên chất lượng của hoạt động. Bậc thấp: Biết tiến hành hoạt động tư duy thuật giải. Bậc cao: Có kỹ năng tiến hành hoạt động tư duy thuật giải. Bậc cao hơn nữa: Có kỹ xảo tiến hành hoạt động tư duy thuật giải. Cách khác. b. Bậc thấp: Tiến hành hoạt động tư duy thuật giải với sự giúp đỡ của giáo viên. Bậc cao: Độc lập tiến hành hoạt động tư duy thuật giải. Bảng sau đây cho biết mỗi hoạt động tư duy thuật giải thường được phân bậc theo khả năng nào. Hoạt động tư duy thuật giải Khả năng phân bậc T1 3.1; 3.4 T2 3.1; 3.3a; 3.4a; 3.4b T3 3.1; 3.3b; 3.4a; 3.4b T4 3.1; 3.2; 3.4a; 3.4b T5 3.1; 3.3a; 3.4a; 3.4b Sự phân bậc các hoạt động tư duy thuật giải giúp cho giáo viên nắm bắt được tình hình hoạt động toán học của học sinh trong quá trình dạy học giải toán phương trình. Trên cơ sở nhận thức của học sinh để giáo viên lựa chọn các hoạt động phát triển tư duy thuật giải phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh. Rèn luyện kỹ năng biến đổi phương trình cho học sinh Biến đổi phương trình đã cho về phương trình đã có thuật giải là việc rất quan trọng. Hầu hết các phương trình đều cho ở dạng phức tạp, gây khó khăn cho học sinh trong quá trình giải. Do đó để giải phương trình đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng biến đổi phương trình. Kỹ năng biến đổi phương trình được hiểu là khả năng thực hiện các phép biến đổi cơ sở để đưa phương trình về dạng đơn giản nhất một cách có định hướng. Chúng ta có thể chia việc rèn luyện kỹ năng biến đổi phương trình theo hai cấp độ. Kỹ năng biến đổi các tri thức liên quan đến việc giải phương trình Ví dụ 1. Sau khi dạy xong các phép biến đổi tương đương hai phương trình, giáo viên có thể ra bài tập để học sinh tập luyện và nắm vững các phép biến đổi tương đương. Giải các phương trình sau: Đồng thời tập luyện cho học sinh phát hiện các sai lầm khi áp dụng. Ví dụ 2. Giải phương trình: Ta cho học sinh kiểm tra lời giải sau, yêu cầu học sinh tìm sai lầm của lời giải và cách khắc phục sai lầm. Lời giải. Điều kiện xác định: Phương trình 2x – 2 = 4 x =3. Vậy phương trình có nghiệm: x = 3. Ví dụ 3. Khi dạy về công thức lượng giác, phần công thức biến đổi tích thành tổng, giáo viên yêu cầu học sinh làm các bài tập. 1.Tính: 2. Biến đổi thành tổng các biểu thức: a. A = cos5x.cos3x b. B = 4sinx.sin2x.sin3x Bài tập (1) giúp học sinh tập luyện hoạt động thứ nhất của tư duy thuật giải. Bài tập (2) tập luyện hoạt động quy lạ về quen, giúp học sinh củng cố được kiến thức một cách bền vững. Trong quá trình dạy học các công thức liên quan đến đến việc giải phương trình, cần chú ý đến hoạt động nhận dạng và thể hiện công thức nhằm khắc phục tình trạng học một cách máy móc, thuộc vẹt công thức mà không hiểu đúng bản chất của công thức. Chẳng hạn khi học công thức: , tađưa ra công thức và hỏi học sinh bằng bao nhiêu, thì học sinh có thể trả lời: Hay khi dạy công thức nhân đôi: sin2a = 2sinacosa nhưng học sinh lại không biết biểu diễn sin a theo và Để khắc phục điều này, giáo viên cần cho học sinh tập luyện các hoạt động nhận dạng và thể hiện công thức theo hai chiều xuôi và ngược. Giáo viên có thể cho học sinh: (1). Nhận xét và rút ra dấu hiệu bản chất của công thức. (2). Đối chiếu chính xác, chắc chắn mọi chi tiết của công thức. (3). Biến đổi và tập sử dụng thành thạo đồng nhất thức. Ví dụ. Giáo viên hướng dẫn học sinh chiếm lĩnh công thức: sin2x + cos2x = 1 theo các hoạt động sau. Các công thức nào cho dưới đây là đúng? a. cos22x + sin22x = 1 (Đúng) b. (Sai) c. (Sai) d. sin2(a-b)+ cos2(a-b) =1 (Đúng) e. cos2x + sin2x = 1 (Sai) g. sin4x – cos4x = 1 (Sai) Ta căn cứ vào hoạt động (1) để nhận biết (a) và (d). Hoạt động (2) nhận được (b), (c), (e) và hoạt động (3) nhận được (g). Từ hoạt động (2), giáo viên yêu cầu học sinh rút ra 4 dấu hiệu để nhận biết công thức là: * Trong công thức phải có hai hàm số sin và cos. * Các hàm sin và cos của cùng một góc (hoặc cùng một cung) * Số mũ là 2. * Tổng bằng 1. Để tăng cường khả năng nhận dạng và thể hiện công thức, giáo viên yêu cầu học sinh: Số “1” có thể được viết dưới dạng công thức lượng giác nào? 1 = sin2x + cos2x cos2x = 1 – sin2x sin2x = 1 – cos2x Như vậy, việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng biến đổi các tri thức liên quan đến phương trình một mặt phát triển các hoạt động của tư duy thuật giải (sử dụng đúng phép biến đổi tương đương, vận dụng thành thạo công thức chính là phát triển hoạt động (T1) của tư duy thuật giải), đồng thời có kỹ năng biến đổi thì học sinh mới hiểu và thực hiện tốt các dạng phương trình đã có thuật giải cũng như xây dựng thuật giải để giải các dạng phương trình chưa có thuật giải. Ví dụ 3. Nếu trong quá trình dạy học công thức biến đổi tổng thành tích, giáo viên cho học sinh vận dụng để biến đổi: sinx + cosx thành và tập luyện cho học sinh nắm vững công thức nhân đôi, công thức hạ bậc... thì sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho việc thực hiện các thuật giải 5, 6, 7 (mục 2.2.2.) Ví dụ 4. Giải phương trình. Bước 1. Hạ bậc vế trái: Bước 2. Tiếp tục hạ bậc vế trái ta có: Bước 3. Đưa phương trình về dạng: Û cos6x + cos4x = 0 Bước 4. Đưa phương trình về dạng tích. 2cos5x.cosx = 0 Bước 5. Giải các phương trình cơ bản đặc biệt. Rèn luyện kỹ năng biến đổi phương trình Không phải phương trình nào cũng có thể nhìn ra ngay được cần sử dụng phép biến đổi hay công thức nào để biến đổi mang lại kết quả. Do đó, rèn luyện kỹ năng biến đổi phương trình chính là rèn luyện cách nhìn nhận phương trình dưới nhiều góc độ khác nhau. Một số cách biến đổi phương trình thường áp dụng. Biến đổi phương trình từ dạng phức tạp thành dạng đơn giản hơn. Đặc biệt hoá để dự đoán kết quả bài toán. Rèn luyện kỹ năng biến đổi phương trình vừa là mục đích của dạy học nội dung phương trình vừa góp phần phát triển tư duy thuật giải của học sinh. Truyền thụ cho học sinh những tri thức phương pháp về tư duy thuật giải trong khi tổ chức, điều khiển tập luyện các hoạt động thông qua dạy học giải phương trình Trong khi dạy học sinh xây dựng thuật giải cụ thể cho một dạng phương trình nào đó, giáo viên cần phải truyền thụ cho học sinh những kinh nghiệm và nghệ thuật trong phương pháp suy nghĩ, giúp học sinh tự xây dựng được thuật giải trong những tình huống mới. Quá trình xây dựng một thuật giải cũng là quá trình giải một bài toán chưa có thuật giải. Vì vậy, những tri thức phương pháp về tư duy thuật giải phải là bộ phận hợp thành tri thức phương pháp giải bài toán nói chung và phải phản ánh được nét đặc thù riêng biệt của quá trình này. Sau đây là những tri thức phương pháp cần truyền thụ cho học sinh: + Tìm hiểu bài toán một cách tổng hợp, phát hiện những đặc thù, dấu hiệu riêng biệt của bài toán. + Phân tích bài toán để thấy rõ giả thiết và kết luận của bài toán. + Phân tích bài toán thành từng bộ phận hoặc thành những bài toán đơn giản hơn. + Mò mẫm và dự đoán bằng cách phân chia thành các trường hợp. Xem xét các trường hợp (kết hợp với suy luận) bằng cách xét các trường hợp đặc biệt, tương tự, khái quát.... + Quy lạ về quen. + Kiểm tra và nghiên cứu lời giải, tìm cách giải hợp lý hơn bằng cách khắc phục điều chưa hợp lý của lời giải cũ hoặc thay đổi cách nhìn đối với bài toán; sử dụng kết quả hay cách giải bài toán cho bài toán khác; đề xuất bài toán mới. Tìm hiểu bài toán một cách tổng hợp Tìm hiểu bài toán một cách tổng hợp, phát hiện những đặc điểm, dấu hiệu riêng biệt của bài toán. Ví dụ 1. Giải phương trình. x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 24. Mới nhìn ta thấy phương trình có dạng không bình thường. Tuy nhiên, nếu để ý kỹ hơn ta thấy phương trình có đặc điểm đặc biệt là: Vế trái = x(x + 3)(x + 1)(x + 2) = (x2 + 3x)(x2 + 3x + 3) Từ đặc điểm này ta đặt: t = x2 + 3x, với điều kiện thì phương trình đưa về dạng: t( t2 + 3) = 24 Hay t2 + 3t - 24 = 0 Ví dụ 2. Giải phương trình: Thoạt nhìn thì có lẽ ai cũng hoảng sợ vì trước mắt chúng ta là một phương trình mũ vô tỷ với cơ số phức tạp. Nhưng nếu ta xem xét kỹ hai cơ số thì thấy chúng có mối liên hệ đặc biệt: Từ đặc điểm này, ta thấy có thể biểu diễn và ta đưa phương trình về dạng với t =, t > 0. hay t2 - 14t + 1 = 0. Như vậy, một số phương trình chúng ta sẽ tìm được thuật giải nếu xem xét kỹ để phát hiện ra những đặc điểm riêng biệt của chúng. Phân tích giả thiết và kết luận của bài toán Trong một số bài toán thì giả thiết và kết luận bao giờ cũng có mối liên hệ với nhau. ở một số bài toán mối liên hệ ấy dễ dàng thấy được nhưng cũng có nhiều bài toán mới nhìn qua khó có thể thấy dược mối liên hệ ấy. Vì vậy, việc phân tích bài toán để thấy ró giả thiết và kết luận để từ đó tìm ra mối