Đề tài Góp phần nâng cao hiệu quả dạy học Hình học 10 trên cơ sở phối hợp quan điểm dạy học giải quyết vấn đề và dạy học kiến tạo

1. Lí do chọn đề tài 1.1. Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam (Khóa IV, 1993) nêu rõ: "Mục tiêu giáo dục - đào tạo phải hướng vào việc đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó mà góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nước” (dẫn theo Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên 2005, tr. 1) Về phương pháp giáo dục đào tạo, Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam (Khóa VIII, 1997) đã đề ra: Phải đổi mới phương pháp đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng những phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu …”. Điều 24, Luật Giáo dục (1998) quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh…; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”. Chương trình môn Toán thí điểm trường THPT (2002) chỉ rõ: "Môn Toán phải góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trưng của Toán học cần thiết cho cuộc sống, …; phát triển khả năng suy luận có lý, hợp lôgic trong những tình huống cụ thể …". Sự phát triển của xã hội và công cuộc đổi mới đất nước đòi hỏi một cách cấp bách phải nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo. Nền kinh tế nước ta đang chuyển từ cơ chế bao cấp sang cơ chế thị trường có sự quản lý của Nhà nước. Công cuộc đổi mới này đòi hỏi phải có sự đổi mới về hệ thống giáo dục, bên cạnh sự thay đổi về nội dung vẫn cần có những đổi mới căn bản về phương pháp giáo dục. Về thực trạng này, năm 1997 nhà Toán học Nguyễn Cảnh Toàn đã nhận định: “Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy đưa ra kiến thức (khái niệm, định lý) rồi giải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định lý, hiểu chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng các công thức định lý để tính toán, chứng minh …” [35, tr. 4]. GS. Hoàng Tụy phát biểu: “Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải các bài toán oái oăm, giả tạo, chẳng giúp gì mấy đến việc phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi và chán nản …" (dẫn theo [31, tr. 25]). 1.2. Trong cuộc đổi mới giáo dục ở nước ta hiện nay, việc đổi mới phương pháp dạy học đóng vai trò hết sức quan trọng: “Quan điểm chung của đổi mới phương pháp dạy học đã được khẳng định là tổ chức cho học sinh được học trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác tích cực, chủ động và sáng tạo mà cốt lõi là làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động, hay nói một cách khác giáo viên phải lấy người học làm trung tâm nhằm chống lại thói quen học tập thụ động. Khi nói về mối quan hệ giữa nội dung dạy học và hoạt động, tác giả Nguyễn Bá Kim cho rằng: “Mỗi một nội dung dạy học đều liên hệ mật thiết với những hoạt động nhất định. Đó là những hoạt động được tiến hành trong quá trình hình thành và vận dụng nội dung đó, phát hiện được những hoạt động tiềm tàng trong một nội dung là vạch ra được con đường để người học chiếm lĩnh nội dung đó và đạt được các mục đích khác và cũng đồng thời là cụ thể hóa được mục đích dạy học có đạt được hay không và đạt dến mức độ nào?”.[13, tr 97] 1.3. Theo M. A. Đanilôp và M. N. Xcatkin: “Quá trình dạy học là một tổ hợp rất phức tạp và năng động những hành động của giáo viên và học sinh. Để có khả năng tổ chức đúng đắn quá trình dạy học và điều khiển nó cần phải hình dung rõ nét cấu trúc và những quy luật bên trong của quá trình dạy học. Đặc biệt quan trọng là phát hiện ra mối liên hệ qua lại giữa việc nắm vững kiến thức với quá trình phát triển những năng lực nhận thức của học sinh" [3, tr. 6]. Bản chất của quá trình học là quá trình nhận thức của học sinh, đó chính là quá trình phản ánh thế giới khách quan vào ý thức của học sinh. Quá trình nhận thức của học sinh về cơ bản cũng giống như quá trình nhận thức chung, diễn ra theo quy luật: “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng trở về thực tiễn”. Tuy nhiên quá trình nhận thức của học sinh có tính độc đáo, đó là nó được tiến hành trong những điều kiện sư phạm nhất định. Theo tác giả Nguyễn Hữu Châu thì: “Quá trình nhận thức của học sinh không phải là quá trình tìm ra cái mới cho nhân loại mà là nhận thức được cái mới cho bản thân, rút ra từ kho tàng hiểu biết chung của loài người và là quá trình học sinh xây dựng, kiến tạo nên những kiến thức cho bản thân thông qua các hoạt động để thích ứng với môi trường học tập mới" [21, tr. 205]. 1.4. Xuất phát từ đặc điểm của tư duy toán học, đó là sự thống nhất giữa suy đoán và suy diễn: Nếu trình bày lại những kết quả toán học đã đạt được thì nó là một khoa học suy diễn và tính lôgic nổi bật lên. Nhưng, nếu nhìn Toán học trong quá trình hình thành và phát triển, thì trong phương pháp của nó vẫn có tìm tòi, dự đoán, có thực nghiệm và quy nạp. Vì vậy, trong dạy học Toán, phải chú ý tới cả hai phương diện, suy luận chứng minh và suy luận có lý thì mới khai thác được đầy đủ các tiềm năng môn Toán để thực hiện mục tiêu giáo dục toàn diện. G. Polia cho rằng: "Nếu việc dạy Toán phản ánh mức độ nào đó việc hình thành Toán học như thế nào thì trong việc giảng dạy đó phải dành chỗ cho dự đoán, suy luận có lý" [21, tr. 6]. 1.5. Trong những thập kỷ qua, các nước trên thế giới và Việt Nam đã nghiên cứu và vận dụng nhiều lý thuyết và phương pháp dạy học theo hướng hiện đại nhằm phát huy tính tích cực học tập của học sinh, trong đó có dạy học giải quyết vấn đề của tác giả Nguyễn Bá Kim và dạy học kiến tạo nhận thức của tác giả J. Piaget . Trong dạy học giải quyết vấn đề, tác giả Nguyễn Bá Kim cho rằng: “Học sinh tích cực tư duy do nảy sinh nhu cầu tư duy, do đứng trước khó khăn về nhận thức; học sinh tự kiến tạo hoặc tham gia vào việc kiến tạo tri thức cho mình dựa vào chi thức đã có, bổ sung và làm cho các tri thức cũ được hoàn thiện hơn. Học sinh học tập tự giác, tích cực, vừa kiến tạo được tri thức, vừa học được cách thức giải quyết vấn đề, lại vừa rèn luyện được những đức tính quý báu như kiên trì, vượt khó...." [13; tr .183]. Còn trong dạy học kiến tạo, tác giả J.Piaget cho rằng: “Tri thức được kiến tạo một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức” và “Nhận thức là một quá trình thích nghi và tổ chức lại thế giới quan của chính người học“. Như vậy dạy học giải quyết vấn đề và dạy học kiến tạo đều coi trọng vai trò tích cực và chủ động của học sinh trong quá trình học tập để tạo nên tri thức cho bản thân. Hơn nữa, qua thực tiễn dạy học cho thấy: do trình độ của học sinh không đồng đều và thời lượng quy định cho từng tiết học không cho phép thực hiện chỉ một phương pháp duy nhất trong dạy học toán mà phải kết hợp nhiều phương pháp khác nhau. Vì vậy, thông qua nghiên cứu và thông qua các tiết dạy thực tế chúng tôi nhận thấy: việc phối hợp giữa phương pháp dạy học giải quyết vấn đề và dạy học kiến tạo trong quá trình dạy học toán có tính khả thi cao, khai thác được vai trò trung tâm của người học, nâng cao tính tích cực học tập của học sinh, làm cho họ tham gia trực tiếp, chủ động và sáng tạo trong quá trình nhận thức. Yếu tố quyết định thành công của việc dạy học phối hợp này là phải đảm bảo thể hiện đúng bản chất cũng như phát huy lợi thế của từng phương pháp, phải lựa chọn các pha hợp lý cho từng nội dung, từng tiết học và từng đối tượng học sinh, đảm bảo các cá nhân trong lớp đều tham gia vào việc giải quyết vấn đề và kiến tạo kiến thức mới. nhằm phát huy tối đa năng lực tư duy của người học và nâng cao chất lượng dạy học. Vấn đề này từ trước đến nay chưa được đặt ra nghiên cứu một cách sâu sắc, vì vậy chúng tôi chọn đề tài: “Góp phần nâng cao hiệu quả dạy học Hình học 10 trên cơ sở phối hợp quan điểm dạy học giải quyết vấn đề và dạy học kiến tạo.” 2. mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu việc dạy học Hình học 10 trên cơ sở phối hợp quan điểm dạy học giải quyết vấn đề và dạy học kiến tạo nhằm nâng cao năng lực nhận thức cho học sinh. Xem xét sự phù hợp giữa dạy học giải quyết vấn đề với dạy học kiến tạo: - Do trình độ của học sinh không đồng đều và thời lượng quy định cho từng tiết học không cho phép thực hiện chỉ một phương pháp duy nhất trong dạy học toán mà phải kết hợp nhiều phương pháp khác nhau. Cho nên, nếu phối hợp tốt phương pháp dạy học giải quyết vấn đề và dạy học kiến tạo sẽ phát huy được tính tích cực cao và chủ động sáng tạo của học sinh trong quá trình học tập - Để phối hợp hai phương pháp dạy học này có hiệu quả giáo viên cần dự tính lựa chọn các pha thích hợp cho từng nội dung, từng tiết học và từng đối tượng học sinh. 3. nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn có nhiệm vụ làm rõ những vấn đề sau : 3.1. Những quan điểm lí luận về dạy học giải quyết vấn đề và dạy học kiến tạo trong quá trình dạy học toán. 3.2. Điều tra đánh giá một vài nét về thực trạng dạy học Hình học 10 cho học sinh ở trường THPT; đề xuất các phương pháp, kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh. 3.3. Xây dựng một số biện pháp phối hợp quan điểm dạy học giải quyết vấn đề và dạy học kiến tạo vào dạy học Hình học 10 nhằm nâng cao năng lực nhận thức cho học sinh. 3.4.Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng tính hiệu quả của các biện pháp được đề xuất trong đề tài luận văn. 4. giả thuyết khoa học Trên cơ sở chương trình và sách giáo khoa hiện hành, nếu giáo viên biết quan tâm, khai thác và vận dụng các biện pháp sư phạm theo hướng phối hợp quan điểm dạy học giải quyết vấn đề và dạy học kiến tạo thì sẽ nâng cao năng lực nhận thức cho học sinh và từ đó góp phần nâng cao hiệu quả dạy học toán ở trường THPT. 5. PHƯƠNG PHáP NGHIÊN CứU 5.1. Nghiên cứu lí luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu về các vấn đề liên quan đến đề tài của luận văn. 5.2. Nghiên cứu thực tiễn: Quan sát thực trạng dạy và học môn toán nói chung và dạy học Hình học 10 nói riêng ở một số địa phương trong nước. 5.3.Thực nghiệm sư phạm: Để xem xét tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất. 6. đóng góp của luận văn. 6.1. Về mặt lí luận: Hệ thống hoá các cơ sơ khoa học và các quan điềm chủ đạo về sự phối hợp quan điểm dạy học giải quyết vấn đề và dạy học kiến tạo; xác định rõ vai trò của việc tích cực hoá hoạt động nhận thức cho học sinh. 6.2. Về mật thực tiễn: Nghiên cứu cách phối hợp quan điểm dạy học giải quyết vấn đề và dạy học kiến tạo vào dạy học Hình học 10, nhằm nâng cao hiệu quả trong quá trình dạy học. 6.3. Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên toán THPT. 7. cấu trúc của luận văn. Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn có ba chương: Chương1: Một số vấn đề về cơ sở lí luận 1.1. Phương pháp dạy học 1.1.1 Khái niệm về phương pháp 1.1.2. Phương pháp dạy học 1.2. Nhu cầu và định hướng đổi mới phương pháp dạy học. 1.2.1. Xác lập vị trí chủ thể của người học, bảo đảm tính tự giác, tích cực và sáng tạo của hoạt động học tập. 1.2.2. Dạy học dựa trên sự nghiên cứu tác động của những quan niệm về kiến thức sẵn có của người học. 1.2.3. Dạy việc học, cách học thông qua toàn bộ quá trình dạy học. 1.2.4. Xác định vai trò mới của người thầy với tư cách người thiết kế, uỷ thác, điều khiển và thể chế hoá. 1.3. Dạy học giải quyết vấn đề. 1.3.1. Cơ sở khoa học của phương pháp dạy học giải quyết vấn đề. 1.3.2. Những khái niệm cơ bản. 1.3.3. Các hình thức dạy học giải quyết vấn đề. 1.3.4. Thực hiện dạy học giải quyết vấn đề. 1.3.5. Những biện pháp thực hiện quy trình. 1.4. Lí thuyết kiến tạo 1.4.1. Các quan điểm chủ đạo của lý thuyết kiến tạo của J. Piaget 1.4.2. Mô hình dạy học theo lý thuyết kiến tạo 1.4.3. Một số luận điểm cơ bản của lý thuyết kiến tạo trong dạy học. 1.4.4. Vai trò của người học và người dạy trong quá trình dạy học kiến tạo 1.5. Phân tích những yếu tố phù hợp giữa dạy học giải quyết vấn đề và dạy học kiến tạo. 1.6. Thực trạng của hoạt động dạy Toán và dạy học Hình học lớp 10 cho học sinh THPT. 1.7. Kết luận chương 1. Chương 2: Dạy học hình học 10 theo hướng phối hợp quan điểm dạy học giải quyết vấn đề và dạy học kiến tạo 2.1. Đặc điểm xây dựng chương trình Hình học 10 THPT hiện hành 2.1.1. Sơ lược về chương trình sách giáo khoa mới hiện nay. 2.1.2. Đặc điểm xây dựng chương trình Hình học 10 THPT hiện hành 2.2. Định hướng xây dựng và thực hiện các biện pháp phối hợp dạy học giải quyết vấn đề và dạy học kiến tạo. 2.3. Một số biện pháp phối hợp quan điểm dạy học giải quyết vấn đề và dạy học kiến tạo. 2.3.1. Biện pháp 1: Tuỳ theo từng nội của từng từng tiết học mà phối hợp phương pháp dạy học giải quyết vấn đề và dạy học kiến tạo nhằm khai thác các kiến thức và kinh nghiệm đã có của học sinh, giúp học sinh kiến tạo và khám phá kiến thức mới. 2.3.2.Biện pháp 2: Phối hợp phương pháp dạy học giải quyết vấn đề và dạy học kiến tạo đối với những nhóm học sinh có trình độ kiến thức và tư duy khác nhau, để mỗi học sinh được làm việc với sự nỗ lực vừa sức. 2.3.3. Biện pháp 3: Phối hợp phương pháp dạy học giải quyết vấn đề và dạy học kiến tạo nhằm rèn luyện cho học sinh cách thức khai thác các bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau. 2.4. Kết luận chương 2 Chương 3: Thực nghiệm sư phạm 3.1. Mục đích thực nghiệm. 3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm. 3.2.1. Tổ chức thực nghiệm 3.2.2.Nội dung thực nghiệm 3.3. Đánh giá các kết quả thực nghiệm. 3.3.1.Đánh giá định tính 3.3.2.Đánh giá định lượng 3.4. Kết luận chung về thực nghiệm. Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1: Một số vấn đề về cơ sở lý luận Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam khóa VIII (1993) đã nêu rõ: "Mục tiêu giáo dục - đào tạo phải hướng vào đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết vấn đề thường gặp, qua đó góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ văn minh". Chúng ta đang sống trong thời kỳ công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước, thời đại mà lượng thông tin phát triển mạnh như vũ bão. Từ những năm 70 của thế kỷ XX, đã xuất hiện những lời nhận xét: "Khối lượng tri thức khoa học tăng lên nhanh chóng một cách lạ thường, theo các nhà bác học, cứ 8 năm nó lại tăng lên gấp đôi" [2, tr. 112]. Dòng thông tin khoa học phát triển mạnh làm cho khoảng cách giữa tri thức khoa học nhân loại và bộ phận tri thức được lĩnh hội trong nhà trường ngày một tăng thêm. Do đó, tham vọng giáo dục sẽ truyền thụ cho học sinh tất cả tri thức đủ để đảm bảo cuộc sống sau này của học sinh là không tưởng. V. A. Cruchetxki cũng từng nói: "Không một trường học nào cung cấp cho con người đủ một phần tri thức dù ít ỏi cần thiết" [2, tr. 113]. Lượng tri thức đó phải là kết quả của quá trình học tập lâu dài, “Học nữa, học mãi”, học suốt đời chứ không phải chỉ khi còn ngồi trên ghế nhà trường. Vì vậy, giáo dục không chỉ dạy tri thức mà còn phải truyền thụ cho học sinh phương pháp tự học tích cực, độc lập, sáng tạo, khả năng thích ứng tốt trong cuộc sống. Để đáp ứng được “Đơn đặt hàng của xã hội”, nhà trường cần phải đổi mới phương pháp dạy học: "Phải đổi mới phương pháp giáo dục - đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học" (Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam Khóa VIII năm 1997). Về cách dạy, phương pháp mới quan tâm nhiều đến việc tạo ra niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh. Xem đó như là động lực để phát huy tính tự giác, tích cực, chủ động trong quá trình học tập của học sinh, đặc biệt là niềm vui, hứng thú của một người tự mình tìm ra chân lý. "Nếu học sinh được độc lập quan sát, so sánh, phân tích, khái quát hóa các sự kiện, hiện tượng thì các em sẽ hiểu sâu sắc và hứng thú bộc lộ rõ rệt". Do đó, trong phương pháp giảng dạy, giáo viên cần phải “biết dẫn dắt học sinh luôn tìm thấy cái mới, có thể tự tìm lấy kiến thức, phải làm cho học sinh thấy mình mỗi ngày một trưởng thành” (Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên 2005, tr. 2). Hơn nữa, thực hiện định hướng "hoạt động hóa người học", "học sinh cần được cuốn hút vào các hoạt động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó tự lực khám phá những điều mình chưa biết, chứ không phải là thụ động tiếp thu tri thức đã được sắp sẵn. Cần đặt học sinh vào những tình huống thực tế, trực tiếp quan sát làm thí nghiệm, thảo luận, giải quyết theo cách riêng của mình. Qua đó học sinh vừa nắm được kiến thức mới, kỹ năng mới, vừa nắm được phương pháp làm ra kiến thức, kỹ năng đó, không nhất thiết phải rập khuôn theo những mẫu sẵn có, được bộc lộ và phát huy tiềm năng sáng tạo" (Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên 2005, tr. 3). Như vậy, chức năng, vai trò của giáo dục ngày nay đã được "chuyển sang vai trò nhà tổ chức giáo dục", phương pháp dạy học mới đã chú trọng đến việc phát huy tối đa tính tích cực, độc lập của học sinh, đề cao phương pháp tự học, "chuyển quá trình giáo dục sang quá trình tự giáo dục". Xóa bỏ cách học cũ theo kiểu “thầy đọc, trò chép”, "học vẹt", "học tủ", "học thuộc lòng mà không hiểu, không kích thích được học sinh suy nghĩ, tìm tòi, rèn luyện trí thông minh", chuyển đổi chức năng từ thông báo, tái hiện sang tìm tòi. "Để phát huy tối đa tính tích cực học tập của học sinh, tốt nhất là tổ chức tốt những tình huống có vấn đề, đòi hỏi dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa những ý kiến trái ngược" (Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên 2005, tr. 4). 1.1. Phương pháp dạy học 1.1.1. Khái niệm phương pháp Thuật ngữ “phương pháp” trong dạy học được dùng ở những cấp độ khác nhau từ khái quát đến cụ thể: Phương pháp dạy học, phương pháp trực quan, phương pháp vấn đáp... Phương pháp hiểu theo nghĩa chung và rộng nhất là: cách thức hành động để đạt được mục đích nhất định. Đó cũng là con đường mà người ta cần đi theo để đạt được mục đích. Chúng tôi có thể nêu ra một trong nhiều định nghĩa về phương pháp như sau: phương pháp được hiểu như là một hệ thống các nguyên tắc, hệ thống các thao tác nhằm đi từ những điều kiện nhất định ban đầu tới một mục đích xác định. Theo đó, phương pháp có tính hướng đích; phạm trù phương pháp có chức năng phương tiện và đặc trưng kết thúc. 1.1.2. Phương pháp dạy học Phương pháp dạy học là khái niệm có nhiều định nghĩa khác nhau Người ta thường hiểu phương pháp dạy học là cách thức làm việc của giáo viên và học sinh để lĩnh hội được các tri thức, kỹ năng, kỹ xảo. Lu.K.Babanxky: “Phương pháp dạy học là cách thức tương tác giữa giáo viên và học sinh nhằm giải quyết các nhiệm vụ giáo dưỡng, giáo dục và phát triển trong quá trình dạy học”. L.La.Lecner h: “Phương pháp dạy học là hệ thống những hoạt động có mục đích của giáo viên nhằm tổ chức hoạt động nhận thức, thực hành của học sinh, đảm bảo cho các em lĩnh hội lĩnh hội được nội dung học vấn”.Theo tác giả Nguyễn Ngọc Quang trong “Lý luận dạy học đại cương” (1988): “Phương pháp dạy học là cách thức làm việc giữa thầy và trò trong sự phối hợp thống nhất và sự chỉ đạo của thầy, nhằm làm trò tự giác, tích cực, tự lực đạt tới mục đích dạy học” . Lấy tiêu chí mức độ hoạt động độc lập của học sinh làm cơ sở, đồng thời tính đến việc đổi mới phương pháp dạy học theo hướng quy trình hoá việc tổ chức quá trình dạy học nhằm tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh thì: “Phương pháp dạy học là tổ hợp các cách thức hoạt động của giáo viên và học sinh trong quá trình dạy học, được tiến hành dưới vai trò chủ đạo của giáo viên, sự hoạt động nhận thức tích cực, tự giác của học sinh nhằm thực hiện tốt những nhiệm vụ dạy học theo hướng mục tiêu” [22]. 1.2. Nhu cầu và định hướng đổi mới phương pháp dạy học. Quá trình dạy học gồm 3 thành phần cơ bản: mục đích - nội dung - phương pháp. Mục đích dạy học là kiểu nhân cách mà xã hội đòi hỏi. Nội dung dạy học trong trường hợp này là môn toán. Phương pháp dạy học là cách thức hoạt động và ứng xử của thầy để gây nên những hoạt động và giao lưu của trò nhằm đạt được mục đích dạy học. Các thành phần cơ bản này tác động lẫn nhau, quy định lẫn nhau, trong đó mục đích đóng vai trò chủ đạo. Cho đến gần đây, các phương pháp dạy học mang tính chất thông tin - tiếp thu và tái hiện vẫn còn chiếm ưu thế. Giáo viên truyền đạt (thông báo) cho học sinh các tri thức về thực tại xung quanh và các phương thức hoạt động trong thực tại đó mà xã hội thu lượm được, còn học sinh tiếp thu thông tin ấy, sau đó giáo viên ra những bài tập để học sinh nhớ lại (tạo lại) những tri thức và phương thức hoạt động mà họ lĩnh hội được để lặp lại hệ thống hành động theo mẫu thầy giáo đã làm. Các phương pháp này cần thiết để củng cố tri thức, lĩnh hội kỹ năng, kỹ xảo. Chừng nào mà dạy học chỉ có mục đích cung cấp tri thức và luyện tập kỹ năng, áp dụng tri thức theo mẫu thì phương pháp trên là đủ. Tuy nhiên, do nhịp độ phát triển của kỹ thuật, công nghệ, khoa học của mọi mặt đời sống xã hội ngày càng tăng thêm đã khiến cho những tri thức thu được trong những năm học ở trường trở thành không đủ nữa. Đồng thời, sự phát triển xã hội và đất nước đề ra những yêu cầu mới đối với hệ thống giáo dục. Đó là, đào tạo ra những con người phát huy được tính tích cực cá nhân, làm chủ được tri thức khoa học và công nghệ hiện đại, có tư duy sáng tạo, có kỹ năng thực hành giỏi, có khả năng đề ra và độc lập giải quyết những vấn đề mới... Những thay đổi của mục đích dạy học tất yếu dẫn tới sự đổi mới về nội dung và phương pháp dạy học. ở nước ta, tư tưởng chỉ đạo công cuộc đổi mới phương pháp dạy học từ một vài năm gần đây được phát biểu với nhiều thuật ngữ như: tích cực hoá hoạt động học tập, hoạt động hoá người học, lấy người học làm trung tâm... Với tư tưởng đó, định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay là tổ chức cho người học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo. Định hướng đó bao hàm các ý tưởng đặc trưng sau: 1.2.1. Xác lập vị trí chủ thể của người học, bảo đảm tính tự giác, tích cực và sáng tạo của hoạt động học tập. Người học là chủ thể chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kỹ năng, hình thành thái độ chứ không phải là nhân vật hoàn toàn làm theo lệnh của thầy giáo. Vai trò chủ thể của người học được khẳng định trong quá trình họ học tập trong hoạt động và bằng hoạt động của bản thân mình. 1.2.2. Dạy học dựa trên sự nghiên cứu tác động của những quan niệm về kiến thức sẵn có của người học. Theo tâm lý học, học tập chủ yếu là một quá trình trong đó người học xây dựng kiến thức cho mình bằng cách liên hệ những cảm nghiệm mới với những kiến thức và kinh nghiệm sẵn có, bắc một chiếc cầu nối giữa cái mới và cái sẵn có. Khi học một kiến thức mới, thường không phải là học trò chưa có một quan niệm nào về kiến thức đó. Trái lại, bộ óc học trò thường đã có một quan niệm, kinh nghiệm nào đó có liên quan với kiến thức cần học, làm thuận lợi hoặc gây khó khăn cho quá trình xây dựng kiến thức mới. Vì vậy, tổ chức cho học sinh hoạt động học tập có một hàm nghĩa là nghiên cứu những quan niệm, kinh nghiệm sẵn có đó, khai thác mặt thuận lợi và hạn chế mặt khó khăn cho quá trình học tập, nghiên cứu những chướng ngại mà họ có thể gặp, những sai lầm mà họ có thể mắc khi xây dựng một kiến thức mới, nhờ đó giáo viên điều khiển việc học có hiệu quả. 1.2.3. Dạy việc học, cách học thông qua toàn bộ quá trình dạy học. Mục đích dạy học không phải chỉ ở những kết quả cụ thể của quá trình học tập: ở tri thức và kỹ năng bộ môn mà điều quan trọng hơn là ở bản thân việc học, ở cách học, ở khả năng đảm nhiệm, tổ chức và thực hiện những quá trình học tập một cách hiệu quả. 1.2.4. Xác định vai trò mới của người thầy với tư cách người thiết kế, uỷ thác, điều khiển và thể chế hoá. Hoạt động hoá người học dễ dẫn tới việc ngộ nhận về sự giảm sút vai trò của người thầy. Một mặt, cần phải hiểu rằng hoạt động hoá người học, sự xác lập vị trí chủ thể của người học không hề làm suy giảm, mà ngược lại còn nhằm nâng cao vai trò, trách nhiệm của người thầy. Mặt khác, sẽ là bảo thủ nếu cho rằng tính chất, vai trò của người thầy vẫn như xưa. Trong khi khẳng định vai trò của thầy không suy giảm, cần phải thấy rằng tính chất của vai trò này đã thay đổi: Thầy không phải là nguồn phát tin duy nhất, thầy không phải là người ra lệnh một cách khiên cưỡng, thầy không phải là người hoạt động chủ yếu ở hiện trường. Vai trò trách nhiệm của thầy bây giờ quan trọng hơn, nặng nề hơn nhưng tế nhị hơn cụ thể là: +) Thiết kế: xác định, hoạch định toàn bộ kế hoạch giảng dạy. +) Uỷ thác: phải biến được ý đồ dạy của thầy thành nhiệm vụ tự nguyện, tự giác của trò. +) Điều khiển: hướng dẫn, tổ chức quá trình học tập sao cho học sinh tự tìm tòi và tự giải quyết nhiệm vụ đó. +) Thể chế hoá: đánh giá hoạt động học tập của học sinh, xác định vị trí kiến thức trong hệ thống tri thức đã có và hướng dẫn khả năng vận dụng kiến thức đó. 1.3. Dạy học giải quyết vấn đề 1.3.1. Cơ sở khoa học của phương pháp dạy học giải quyết vấn đề. 1.3.1.1. Cơ sở triết học. Theo triết học duy vật biện chứng: “Mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình phát triển”. Mỗi vấn đề được gợi cho học sinh học tập chính là một mâu thuẫn giữa yêu cầu nhiệm vụ nhận thức với kiến thức và kinh nghiệm sẵn có. Tình huống này phản ánh một cách lôgic và biện chứng quan hệ bên trong giữa kiến thức cũ, kỹ năng cũ, kinh nghiệm cũ với những yêu cầu giải thích sự kiện mới hoặc đổi mới tình thế. 1.3.1.2. Cơ sở tâm lý học. Theo các nhà tâm lý học, con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu cần tư duy, tức là khi đứng trước một khó khăn về nhận thức cần phải khắc phục, một tình huống gợi vấn đề, hay nói như Rubinstein: “Tư duy sáng tạo luôn luôn bắt đầu bằng một tình huống gợi vấn đề”. 1.3.1.3. Cơ sở giáo dục học. Dạy học giải quyết vấn đề phù hợp với nguyên tắc tính tự giác và tích cực vì nó khêu gợi được hoạt động học tập mà chủ thể được hướng đích, gợi động cơ trong quá trình giải quyết vấn đề. Dạy học giải quyết vấn đề cũng biểu hiện sự thống nhất giữa giáo dưỡng và giáo dục. Tác dụng giáo dục của kiểu dạy học này là ở chỗ nó dạy cho học sinh cách khám phá, tức là rèn luyện cho họ cách thức phát hiện, tiếp cận và giải quyết vấn đề một cách khoa học. Đồng thời nó góp phần bồi dưỡng cho người học những đức tính cần thiết của người lao động sáng tạo như: tính chủ động, tính kiên trì vượt khó, tính kế hoạch và thói quen tự kiểm tra... 1.3.2. Những khái niệm cơ bản. 1.3.2.1. Vấn đề. Trong giáo dục, người ta thường hiểu khái niệm “vấn đề” như sau: Một vấn đề được biểu thị bởi một hệ thống những mệnh đề và câu hỏi (hoặc yêu cầu hành động) thoả mãn các điều kiện sau: - Học sinh chưa giải đáp được câu hỏi đó hoặc chưa thực hiện được hành động đó. - Học sinh chưa được học một quy tắc có tính chất thuật toán nào để giải đáp câu hỏi hoặc thực hiện yêu cầu đặt ra. Hiểu theo nghĩa trên thì vấn đề không đồng nghĩa với bài tập. Những bài tập chỉ yêu cầu học sinh trực tiếp vận dụng một quy tắc có tính chất thuật toán thì không phải là những vấn đề. 1.3.2.2. Tình huống có vấn đề. Tình huống có vấn đề là một tình huống gợi ra cho học sinh những khó khăn về lý luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vượt qua, nhưng không phải là ngay tức khắc nhờ một quy tắc có tính chất thuật toán, mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có. Như vậy, một tình huống có vấn đề cần thoả mãn các điều kiện sau: - Tồn tại một vấn đề: Tình huống phải bộc lộ mâu thuẫn giữa thực tiễn với trình độ nhận thức, chủ thể phải ý thức được một khó khăn trong tư duy hoặc hành động mà vốn hiểu biết sẵn có chưa đủ để vượt qua. - Gợi nhu cầu nhận thức: Nếu tình huống có một vấn đề, nhưng nếu học sinh thấy xa lạ, không muốn tìm hiểu thì đây cũng chưa phải là một tình huống có vấn đề. Trong tình huống có vấn đề, học sinh phải cảm thấy cần thiết, thấy có nhu cầu giải quyết vấn đề đó. Một vấn đề có thể có ý nghĩa do bản thân nội dung của nó, đó có thể là lời giải cho một câu hỏi nào đó mà cá nhân đã quan tâm đến từ lâu, hay một câu hỏi nảy sinh một cách tự nhiên và lý thú từ lôgic của đề tài đang nghiên cứu. Đó có thể là một tình huống nghịch lý khiến người ta ngạc nhiên thắc mắc. Song, quá trình dạy học nêu vấn đề hình thành tốt đẹp các chức năng của nó thì trong quá trình áp dụng nó ngày càng nhiều trong thực hành thì bản thân quá trình sáng tạo, quá trình tìm tòi sẽ trở thành động cơ chủ yếu. - Gây niềm tin ở khả năng: Nếu một tình huống tuy có vấn đề và vấn đề tuy hấp dẫn, nhưng nếu học sinh cảm thấy nó vượt quá xa so với khả năng của mình thì học sinh cũng không sẵn sàng giải quyết vấn đề. Cần làm cho học sinh thấy rõ tuy họ chưa có ngay lời giải, nhưng đã có một số kiến thức, kỹ năng liên quan đến vấn đề đặt ra và nếu họ tích cực suy nghĩ thì có nhiều hy vọng giải quyết vấn đề đó. Đặt vấn đề tốt sẽ tác động đến cá nhân theo một phương thức nhất định. Nếu việc khắc phục được khó khăn trong vấn đề nêu lên dẫn đến sự thoả mãn một nhu cầu nào đó của cá nhân, thì cá nhân đó sẽ có nguyện vọng giải quyết vấn đề ấy. Lúc này sẽ nảy sinh một sự căng thẳng trí tuệ nhất định, sự căng thẳng này chỉ mất đi khi vấn đề đã được giải quyết. Những người lười suy nghĩ, không quen với tư duy độc lập, sẵn sàng tránh sự căng thẳng đó và sự băn khoăn về trí tuệ kèm theo nó. Điều đó cũng cho thấy, tình huống có vấn đề còn phụ thuộc vào chủ quan và tạo ra tình huống có vấn đề như thế nào để không bỏ rơi một bộ phận học sinh trong lớp là kết quả của nghệ thuật sư phạm của giáo viên. 1.3.2.3. Dạy học giải quyết vấn đề. Trong dạy học giải quyết vấn đề, giáo viên tạo ra những tình huống có vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác và tích cực để giải quyết vấn đề và thông qua đó mà lĩnh hội tri thức, rèn luyện kỹ năng và đạt được những mục đích học tập khác. Có thể sơ đồ hoá quá trình dạy học giải quyết vấn đề như sau: Hình 1 Đưa học sinh (H) đến một trở ngại (T) (tình huống có vấn đề), ở đó T thoả mãn các điều kiện gây xúc cảm và trên sức một ít. Học sinh tích cực hoạt động nhận thức dưới sự gợi mở dẫn dắt toàn bộ hoặc từng phần của giáo viên, hoặc hoàn toàn độc lập để tìm ra con đường HK vượt qua T đến kết quả K. Mô phỏng theo lý thuyết hoạt động các mũi tên Hx thể hiện yếu tố trực giác với tư cách là một sự mách bảo bất ngờ, không nhận thức được. Quá trình rèn luyện học sinh độc lập vượt qua trở ngại sẽ dần dần hình thành và phát triển ở họ các năng lực sáng tạo. Dạy học giải quyết vấn đề có những đặc trưng sau: - Học sinh được đặt vào một tình huống có vấn đề. - Học sinh hoạt động tích cực huy động tri thức và khả năng của mình để giải quyết vấn đề. - Mục đích của dạy học không chỉ là làm cho học sinh lĩnh hội được kết quả của quá trình giải quyết vấn đề, mà còn làm cho họ phát triển được khả năng tiến hành những quá trình như vậy. Nói cách khác, học sinh không chỉ học kết quả của việc học mà trước hết là học bản thân việc học. 1.3.3. Các hình thức dạy học giải quyết vấn đề. Tuỳ theo mức độ độc lập của học sinh trong quá trình giải quyết vấn đề, người ta nói tới các cấp độ khác nhau, cũng đồng thời là những hình thức khác nhau của dạy học giải quyết vấn đề. 1.3.3.1. Hình thức nghiên cứu. Trong hình thức nghiên cứu, tính độc lập của người học được phát huy cao độ. Thầy giáo chỉ tạo ra tình huống gợi vấn đề, học sinh tự phát hiện và giải quyết vấn đề đó. Thầy giáo giúp học sinh cùng lắm là ở khâu phát hiện vấn đề. Như vậy, trong hình thức này, người học độc lập nghiên cứu vấn đề và thực hiện tất cả các khâu cơ bản của quá trình nghiên cứu này, nhờ đó chuẩn bị cho học sinh năng lực giải quyết các vấn đề một cách trọn vẹn. 1.3.3.2. Hình thức tìm tòi từng phần. Trong hình thức này, học sinh giải quyết vấn đề không hoàn toàn độc lập mà có sự gợi ý dẫn dắt khi cần thiết. Giáo viên tạo tình huống, học sinh tự phát hiện và giải quyết vấn đề với sự hướng dẫn của giáo viên. Hình thức này là cần thiết trong trường hợp học sinh gặp khó khăn, không có lối thoát khi giáo viên tạo tình huống gợi vấn đề. Khi đó, nhiệm vụ của giáo viên là phải giúp đỡ học sinh mà không làm mất đi tính có vấn đề của bài toán. Có thể chỉ ra một số con đường để thực hiện phương pháp này. Nếu học sinh không thể giải được bài toán thì thì giáo viên xây dựng một bài toán khác tương tự thế nhưng hẹp hơn. Hoặc giáo viên chia một bài toán khó thành vài ba bài toán nhỏ, dễ hơn, nhưng tập hợp lại thì thành lời giải cho bài toán ban đầu. Hoặc, giáo viên gợi ý những dữ kiện bổ sung cho điều kiện của bài toán khó, nhờ đó hạn chế được số bước giải và phạm vi tìm tòi... 1.3.3.3. Hình thức trình bày nêu vấn đề. ở hình thức này, mức độ độc lập của học sinh thấp hơn ở hai hình thức trên. Thầy giáo tạo ra tình huống gợi vấn đề, sau đó chính bản thân thầy đặt vấn đề và trình bày quá trình suy nghĩ giải quyết (chứ không phải chỉ đơn thuần nêu lời giải). Trong quá trình này có tìm kiếm dự đoán, có lúc thành công, có khi thất bại phải điều chỉnh phương hướng mới đi đến kết quả. Như vậy, kiến thức được trình bày không phải dưới dạng có sẵn mà là trong quá trình khám phá ra chúng, quá trình này là một sự mô phỏng và rút gọn quá trình khám phá thực. Hình thức này được áp dụng trong trường hợp thông báo những sự kiện trong lịch sử phát triển khoa học mà chính khoa học cũng đứng trước những tình huống có vấn đề, có khi đến nay vẫn chưa giải quyết được. Hoặc trong trường hợp do lô-gic của trình bày tài liệu mà nảy sinh ra những tình huống mâu thuẫn với các quan niệm quen thuộc hay với những khẳng định mới đây của giáo viên liên quan với việc nghiên cứu giai đoạn phát triển khoa học trước đó. Trong hai trường hợp vừa nêu, tình huống có vấn đề là không vừa sức học sinh. Nếu tình huống có vấn đề tuy cũng vừa sức học sinh nhưng nó thuận tiện để giới thiệu với học sinh một mẫu mực về tư duy nghiêm túc, tiết kiệm... thì vẫn có thể sử dụng hình thức trình bày nêu vấn đề. 1.3.4. Thực hiện dạy học giải quyết vấn đề. Hạt nhân của dạy học giải quyết vấn đề là điều khiển quá trình nghiên cứu của học sinh. Quá trình này có thể chia thành các bước sau, trong đó bước nào, khâu nào do học trò tự làm hoặc có sự gợi ý của thầy hoặc chỉ theo dõi sự trình bày của thầy là tuỳ thuộc sự lựa chọn một cấp độ đã nêu ở mục 1.2.3. Bước 1: Phát hiện vấn đề: - Đưa học sinh vào tình huống có vấn đề. - Phân tích tình huống đó. - Dự đoán vấn đề nảy sinh và đặt mục đích chứng minh tính đúng đắn của nó. Bước 2: Giải quyết vấn đề: - Phân tích vấn đề, làm rõ những mối liên hệ giữa cái đã biết và cái phải tìm. - Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết, có thể điều chỉnh, thậm chí bác bỏ và chuyển hướng khi cần thiết. Trong khâu này thường sử dụng những quy tắc tìm đoán như: quy lạ về quen, đặc biệt hoá, chuyển qua những trường hợp suy biến, xem xét tương tự, khái quá hoá, xét những mối liên hệ và phụ thuộc, suy ngược và suy xuôi... - Trình bày cách giải quyết vấn đề. Bước 3: Kiểm tra và vận dụng: - Kiểm tra sự đúng đắn và phù hợp với thực tế của lời giải. - Kiểm tra tính hợp lý hoặc tối ưu của lời giải. - Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả. - Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tương tự, khái quát hoá, lật ngược vấn đề... và giải quyết nếu có thể. Những điểm lưu ý trong quá trình sử dụng quy trình dạy học: - Quy trình dạy học trên phải được xây dựng trên cơ sở bao quát toàn bộ các đơn vị kiến thức quy định trong một giờ học, tức là giáo viên phải định rõ vấn đề nhận thức nào là cơ bản, cho học sinh phát hiện và giải quyết (giai đoạn 1 và 2), những vấn đề còn lại được coi là sự vận dụng (giai đoạn 3) của vấn đề cơ bản đó. Như vậy, toàn bộ tiến trình giờ học là sự vận động và biến đổi theo ba giai đoạn của vấn đề cơ bản ban đầu. - Bước vận dụng vào tình huống mới (trong giai đoạn thứ ba của quy trình) lại trải qua ba giai đoạn của quy trình dạy học: phát hiện tình huống mới, giải quyết nó và lại vận dụng nó vào tình huống mới khác... cứ thế tiếp tục cho tới hết giờ học. Do đó, hành động vận dụng ở quy trình dạy học phải thực hiện mục đích kép: vừa tìm ra kiến thức mới, vừa rèn luyện phương thức hành động qua việc thực hành lại quy trình dạy học. - Quy trình dạy học đã nêu nên được coi là quy trình “khung” cho một giờ dạy theo kiểu giải quyết vấn đề. Còn trong mỗi giai đoạn, hoạt động tương tác giữa giáo viên và học sinh luôn biến đổi hết sức linh hoạt bởi: tuỳ thuộc vào nội dung nhận thức nào cần lĩnh hội, hình thức dạy học nào được lựa chọn, trình độ nhận thức của học sinh, năng lực chuyên môn và sư phạm của giáo viên... Song, cần đảm bảo tính hướng đích của quy trình dạy học: Dựa vào kết quả dự đoán mà chủ thể (học sinh) luôn hướng vào đó để điều chỉnh và kiểm tra hành động của mình. - Không nên quá cứng nhắc trong việc xây dựng và sử dụng quy trình dạy học, bởi việc thiết kế nó bị phụ thuộc vào nội dung, đối tượng nhận thức, trình độ của giáo viên, phương tiện dạy học... 1.3.5. Những biện pháp thực hiện quy trình. Các biện pháp sử dụng trong từng giai đoạn của quy trình là một yếu tố đảm bảo cho tính hiệu quả của phương pháp dạy học. Vì vậy, điều cần thiết là phải trang bị cho giáo viên và qua đó cho học sinh những biện pháp trong quá trình phát hiện giải quyết, kiểm tra và vận dụng trong giải quyết vấn đề. Để từ đó, các em học được cách học, cách giải quyết vấn đề và cách tự học cho bản thân. Trong [19], tác giả Nguyễn Lan Phương đã chỉ ra hệ thống các biện pháp sử dụng trong các bước của quy trình. Cụ thể là: 1.3.5.1. Biện pháp tích cực hoá tư duy học sinh trong quá trình phát hiện vấn đề. - Giải bài tập vào lúc mở đầu: Với mục đích làm cho vấn đề trở nên hấp dẫn và việc xây dựng nó trở nên dễ hiểu, hợp tự nhiên, chúng ta có thể sử dụng biện pháp đơn giản là cho học sinh giải bài tập, rồi từ kết quả thu được chuyển sang vấn đề cần nghiên cứu. - Hướng dẫn áp dụng phép tương tự: Từ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu, ta rút ra kết luận chúng giống nhau ở một số dấu hiệu khác. Biện pháp này sử dụng trong hai hoạt động: dự đoán và đặt đề toán. - Gợi ý thay đổi một số bộ phận của vấn đề đã giải quyết. - Gợi ý áp dụng mẫu, mô hình quen thuộc. - Hướng dẫn dùng quy nạp, thử nghiệm. - Phân tích sự tối nghĩa và mâu thuẫn. - Khái quát hoá, trừu tượng hoá những kiến thức đã biết. 1.3.5.2. Biện pháp tích cực hoá tư duy của học sinh trong quá trình giải quyết vấn đề. - Trình bày kiến thức theo kiểu nêu vấn đề. - Thảo luận thông qua hệ thống câu hỏi. - Hướng dẫn đặt giả thuyết. - Hướng dẫn tự nghiên cứu từng phần. - Dùng phương pháp diễn dịch. - Dùng phương pháp phân tích và tổng hợp. - Gợi ý dùng phép tương tự. - Tìm nguyên nhân của hiện tượng. - Tạo nên và hướng dẫn giải quyết mâu thuẫn. - Tổ chức độc lập nghiên cứu. 1.3.5.3. Tích cực hoá tư duy của học sinh trong quá trình vận dụng kiến thức. - Phát triển tư duy lô-gic trên cơ sở những lý thuyết đã nhận thức. - Khái quát hoá. - Đặc biệt hoá. - Phép tương tự. - Kết hợp khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự. - Toán học hoá các tình huống thực tiễn. - Cho học sinh phát hiện lời giải có sai lầm và được thử thách thường xuyên với bài toán dễ mắc sai lầm. - Cho học sinh tiếp cận với bài toán mở. Nói tóm lại, thực chất dạy học giải quyết vấn đề là tạo điều kiện để học sinh được học tập trong hoạt động, bằng hoạt động của chính mình, khi đó tính tích cực sẽ được phát huy tối đa ở mỗi học sinh. Vì vậy, có thể nói phương pháp dạy học giải quyết vấn đề đã tích cực hoá được người học qua các hình thức tổ chức, các giai đoạn của quy trình dạy học và các biện pháp sử dụng trong các giai đoạn đó. 1.4. Lí thuyết kiến tạo 1.4.1. Các quan điểm chủ đạo của lý thuyết kiến tạo của J. Piaget Theo từ điển tiếng việt, kiến tạo có nghĩa là xây dựng nên. Theo Mebrien và Brandt (1997) thì: “Kiến tạo là một cách tiếp cận “Dạy” dựa trên nghiên cứu về việc “Học” với niềm tin rằng: tri thức được kiến tạo nên bởi mỗi cá nhân người học sẽ trở nên vững chắc hơn rất nhiều so với việc nó được nhận từ người khác”. Còn theo Brooks (1993) thì: “Quan điểm về kiến tạo trong dạy học khẳng định rằng học sinh cần phải tạo nên những hiểu biết về thế giới bằng cách tổng hợp những kinh nghiệm mới vào trong những cái mà họ đã có trước đó. Học sinh thiết lập nên những quy luật thông qua sự phản hồi trong mối quan hệ tương tác với những chủ thể và ý tưởng …”. Vào năm 1993, M. Briner đã viết: “Người học tạo nên kiến thức của bản thân bằng cách điều khiển những ý tưởng và cách tiếp cận dựa trên những kiến thức và kinh nghiệm đã có, áp dụng chúng vào những tình huống mới, hợp thành tổng thể thống nhất giữa những kiến thức mới thu nhận được với những kiến thức đang tồn tại trong trí óc”. Mặc dù có những cách diễn đạt khác nhau về kiến tạo trong dạy học, nhưng tất cả các cách nói trên đều nhấn mạnh đến vai trò chủ động của người học trong quá trình học tập và cách thức người học thu nhận những tri thức cho bản thân. Theo những quan điểm này, người học không học bằng cách thu nhận một cách thụ động những tri thức do người khác truyền cho một cách áp đặt, mà bằng cách đặt mình vào trong một môi trường tích cực, phát hiện ra vấn đề, giải quyết vấn đề bằng những kinh nghiệm đã có sao cho thích ứng với những tình huống mới, từ đó xây dựng nên những hiểu biết mới cho bản thân. Cơ sở tâm lý học của lý thuyết kiến tạo là tâm lý học phát triển của J. Piaget và lý luận về : “Vùng phát triển gần nhất” của Vưgotski. Hai khái niệm quan trọng của J. Piaget được sử dụng trong “Lý thuyết kiến tạo” là đồng hóa (assimi - lation) và điều ứng (accommodation). Đồng hóa là quá trình, nếu gặp một tri thức mới, tương tự như tri thức đã biết, thì tri thức mới này có thể được kết hợp trực tiếp vào sơ đồ nhận thức đang tồn tại, hay nói cách khác học sinh có thể dựa vào những kiến thức cũ để giải quyết một tình huống mới. Điều ứng là quá trình, khi gặp một tri thức mới có thể hoàn toàn khác biệt với những sơ đồ nhận thức đang có thì sơ đồ hiện có được thay đổi để phù hợp với tri thức mới. Theo Vưgotski, mỗi cá nhân đều có một “Vùng phát triển gần nhất” của riêng mình, thể hiện tiềm năng phát triển của cá nhân đó. Nếu các hoạt động dạy học được tổ chức trong “Vùng phát triển gần nhất” thì sẽ đạt được hiệu quả cao. Vưgotski còn nhấn mạnh rằng văn hóa, ngôn ngữ và các tương tác xã hội cũng tác động đến việc kiến tạo nên tri thức của mỗi cá nhân. Lý thuyết kiến tạo nhận thức của J. Piaget (1896 - 1980) là cơ sở tâm lý học của nhiều hệ thống dạy học, đặc biệt là dạy học phổ thông. Do vậy ta có thể nêu vắn tắt các quan điểm chủ đạo chính của lý thuyết kiến tạo nhận thức như sau: Thứ nhất: Học tập là quá trình cá nhân hình thành các tri thức cho mình. Có hai loại tri thức: tri thức về thuộc tính vật lý, thu được bằng các hoạt động trực tiếp với các sự vật và tri thức về tư duy, quan hệ Toán, logic thu được qua sự tương tác với người khác trong các quan hệ xã hội. Đó là quá trình cá nhân tổ chức các hành động tìm tòi, khám phá thế giới bên ngoài và cấu tạo lại chúng dưới dạng các sơ đồ nhận thức. Sơ đồ là một cấu trúc nhận thức bao gồm một lớp các thao tác giống nhau theo một trật tự nhất định. Sơ đồ nhận thức được hình thành từ các hành động bên ngoài và được nhập tâm. Sự phát triển nhận thức là sự phát triển hệ thống các sơ đồ, bắt đầu từ các giản đồ cảm giác và vận động. Thứ hai: Dưới dạng chung nhất, cấu trúc nhận thức có chức năng tạo ra sự thích ứng của cá thể với các kích thích của môi trường. Các cấu trúc nhận thức được hình thành theo cơ chế đồng hóa và điều ứng. Thứ ba: quá trình phát triển nhận thức phụ thuộc trước hết vào sự trưởng thành và chín muồi các chức năng sinh lí thần kinh của học sinh, vào sự luyện tập và kinh nghiệm thu được thông qua hành động với đối tượng, vào tương tác của các yếu tố xã hội và vào tính chủ thể và sự phối hợp chung của hành động. Chính yếu tố chủ thể làm cho các yếu tố trên không tác động riêng rẽ, rời rạc chúng được kết hợp với nhau trong một thể thống nhất trong quá trình phát triển của học sinh. 1.4.2. Mô hình dạy học theo lý thuyết kiến tạo Bản chất của quá trình dạy học là quá trình nhận thức của học sinh, đó chính là quá trình phản ánh thế giới khách quan vào ý thức của học sinh. Quá trình nhận thức của học sinh về cơ bản giống như quá trình nhận thức chung, tức là cũng diễn ra theo quy luật: “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng trở về thực tiễn”. Tuy nhiên, quá trình nhận thức của học sinh lại có tính độc đáo so với quá trình nhận thức của các nhà khoa học, bởi vì được tiến hành trong những điều kiện sư phạm nhất định. Quá trình nhận thức của học sinh không phải là quá trình tìm ra cái mới cho bản thân rút ra từ kho tàng hiểu biết chung của loài người. Theo những nghiên cứu của nhà tâm lý học nổi tiếng Jean Piaget về cấu trúc của quá trình nhận thức thì trí tuệ của học sinh không bao giờ trống rỗng và nhận thức của con người ở bất cứ cấp độ nào đều thực hiện các thao tác trí tuệ thông qua hai hoạt động đồng hóa và điều ứng. Sự đồng hóa xuất hiện như một cơ chế gìn giữ cái đã biết trong trí nhớ và cho phép người học dựa trên những khái niệm quen biết để giải quyết tình huống mới. Sự điều ứng xuất hiện khi người học vận dụng những kiến thức và kỹ năng quen thuộc để giải quyết tình huống mới nhưng đã không thành công và để giải quyết tình huống này người học phải thay đổi, điều chỉnh, thậm chí phải loại bổ những kiến thức và kinh nghiệm đã có. Khi tình huống mới đã được giải quyết thì kiến thức mới được hình thành và được bổ sung vào hệ thống kiến thức đã có. Như vậy, quá trình nhận thức của học sinh về thực chất là quá trình học sinh xây dựng nên những kiến thức cho bản thân thông qua các hoạt động đồng hóa và điều ứng các kiến thức và kỹ năng đã có để thích ứng với môi trường học tập mới. Đây chính là nền tảng của lý thuyết kiến tạo trong dạy học. 1.4.3. Một số luận điểm cơ bản của lý thuyết kiến tạo trong dạy học. Xuất phát từ quan điểm của J. Piaget về bản chất của quá trình nhận thức, các vấn đề về kiến tạo trong dạy học đã thu hút ngày càng nhiều các công trình của các nhà nghiên cứu và xây dựng nên những lý thuyết về kiến tạo. Là một trong những người tiên phong trong việc vận dụng lý thuyết kiến tạo vào dạy học, Von Glaerfed đã nhấn mạnh một số luận điểm cơ bản làm nền tảng của lý thuyết kiến tạo Thứ nhất: Tri thức được tạo nên một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức chứ không phải tiếp thu một cách thụ động từ bên ngoài. Quan điểm này hoàn toàn phù hợp với thực tiễn nhận thức trong dạy học, điều này cũng được thể hiện rất rõ ràng. Chẳng hạn ý tưởng về quan hệ “lớn hơn” và “nhỏ hơn” được trẻ em kiến tạo nên thông qua quá trình phản ánh các hoạt động được thực hiện trên tập hợp các đồ vật. Thứ hai: Nhận thức là quá trình thích nghi và tổ chức lại thế giới quan của chính mỗi người. Nhận thức không phải là khám phá một thế giới độc lập đang tồn tại bên ngoài ý thức của chủ thể. Theo quan điểm này nhận thức không phải là quá trình người học thụ động thu nhận những kiến thức chân lí do người khác áp đặt lên. Nếu người học được đặt trong môi trường xã hội tích cực, thì ở đó người học có thể được khuyến khích vận dụng những tri thức và kỹ năng đã có để thích nghi với môi trường mới và từ đó xây dựng nên tri thức mới. Đây chính là quá trình nhận thức của học sinh theo quan điểm kiến tạo. Thứ ba: Kiến thức và kinh nghiệm mà cá nhân thu nhận phải “Tương xứng” với những yêu cầu mà tự nhiên và xã hội đặt ra. Luận điểm này định hướng cho việc dạy học theo quan điểm kiến tạo, tránh việc để người học phát triển một cách quá tự do dẫn đến tình trạng hoặc là tri thức người học thu được trong quá trình học tập là quá lạc hậu, hoặc quá xa vời với tri thức khoa học phổ thông. Thứ tư: Học sinh đạt được tri thức mới theo chu trình: Dự báo Kiểm nghiệm (Thất bại) Thích nghi Kiến thức mới. Hai loại kiến tạo trong dạy học Thứ nhất: Kiến tạo cơ bản (Radical Constructivism). Kiến tạo cơ bản là một quan điểm nhận thức, nhấn mạnh tới cách thức cá nhân xây dựng tri thức cho bản thân trong quá trình học tập. Nerida F. Ellerton và M. A. Clementes cho rằng: “Tri thức được kiến tạo một cách cá nhân”. Điều này cũng phù hợp với luận điểm của Ernt Von Glaserfeld là “Kiến thức là kết quả của hoạt động kiến tạo của chính chủ thể nhận thức, không phải là thứ sản phẩm mà bằng cách này hay cách khác tồn tại bên ngoài chủ thể nhận thức và có thể được truyền đạt hoặc thấm nhuần bởi sự cần cù nhận thức hoặc giao tiếp”. Như vậy, có thể nói kiến tạo cơ bản đề cao vai trò của mỗi cá nhân trong quá trình nhận thức và cách thức cá nhân xây dựng tri thức cho bản thân. Kiến tạo cơ bản quan tâm đến quá trình chuyển hóa bên trong của cá nhân trong quá trình nhận thức. Sự nhấn mạnh tới kiến tạo cơ bản trong dạy học là sự nhấn mạnh tới vai trò chủ động của người học, nhưng cũng nhấn mạnh tới sự cô lập về tổ chức nhận thức của người học. Thứ hai: kiến tạo xã hội (Social Constructivism) Theo Nor Joharuddeen Mohdnor: “Kiến tạo xã hội là quan điểm nhấn mạnh đến vai trò của các yếu tố văn hóa và các điều kiện xã hội và sự tác động của các yếu tố đó đến sự hình thành kiến thức”. Kiến tạo xã hội xem xét cá nhân trong mối quan hệ chặt chẽ với các lĩnh vực xã hội. Nhân cách của chủ thể được hình thành thông qua sự tương tác của họ với những người khác. Kiến tạo xã hội nhìn nhận chủ thể nhận thức trong mối quan hệ sống động với môi trường xã hội. Về kiến tạo xã hội trong dạy học môn Toán ở nhà trường, Jim Neyland đã nói: “… Toán học phải được xem xét như sự kiến tạo mang tính xã hội. Giáo dục toán học có ý nghĩa tích cực thông qua những gì mà học sinh kiến tạo lại một cách xã hội những tri thức của quá khứ thành những tri thức hiện tại”. 1.4.4. Vai trò của người học và người dạy trong quá trình dạy học kiến tạo Quan điểm kiến tạo cơ bản và kiến tạo xã hội đều khẳng định và nhấn mạnh vai trò trung tâm của người học trong quá trình dạy học, thể hiện ở những điểm sau: Thứ nhất: Người học phải chủ động và tích cực trong việc đón nhận tình huống học tập mới, chủ động trong việc huy động những kiến thức, kỹ năng đã có vào khám phá tình huống học tập mới. Thứ hai: Người học phải chủ động bộc lộ những quan điểm và những khó khăn của mình khi đứng trước tình huống học tập mới. Thứ ba: Người học phải chủ động và tích cực trong việc thảo luận, trao đổi thông tin với bạn bè và với giáo viên. Việc trao đổi này phải xuất phát từ nhu cầu của chính bản thân trong việc tìm những giải pháp để giải quyết tình huống học tập mới hoặc khám phá sâu hơn các tình huống đã có. Thứ tư: Người học phải tự điều chỉnh lại kiến thức của bản thân sau khi đã lĩnh hội được các tri mới, thông qua việc giải quyết các tình huống trong học tập. Giáo viên có vai trò quan trọng trong việc dạy học theo lý thuyết kiến tạo. Khi dạy học theo lý thuyết kiến tạo, giáo viên có những nhiệm vụ sau: Thứ nhất: Giáo viên cần nhận thức được kiến thức mà học sinh đã có được trong những giai đoạn khác nhau để đưa ra những lời hướng dẫn thích hợp. Lời hướng dẫn phải thỏa mãn ba yêu cầu sau: Yêu cầu 1: Lời hướng dẫn phải dựa trên những gì mà mỗi học sinh đã biết. Yêu cầu 2: Lời hướng dẫn phải tính đến các ý tưởng toán học của học sinh phát triển tự nhiên như thế nào. Yêu cầu 3: Lời hướng dẫn phải giúp học sinh có sự năng động tinh thần khi học toán. Thứ hai: Giáo viên cũng là người “Cộng tác thám hiểm” với học sinh hay nói cách khác giáo viên cũng là người học cùng với học sinh. Vì việc học tập và xây dựng kiến thức cũng diễn ra thông qua mối quan hệ xã hội, giáo viên, học sinh, bạn bè. Do đó khi giáo viên cùng tham gia học tập, trao đổi với học sinh thì mỗi học sinh có được cơ hội giao tiếp với nhau, với giáo viên. Từ đó mỗi học sinh có thể diễn đạt thành lời những suy nghĩ, những thắc mắc của mình, có thể đưa ra lời giải thích hoặc chứng minh. Và chính lúc đó giáo viên sẽ trao đổi, trả lời, hoặc hỏi những câu hỏi mở rộng hơn, đào sâu hơn những vấn đề mà các em vừa nêu, đồng thời cũng giúp học sinh tổng hợp các ý kiến để trả lời những thắc mắc của mình. Thứ ba: Giáo viên có trách nhiệm vận động học sinh tham gia các hoạt động có thể làm tăng các hiểu biết toán học thực sự cho học sinh Cần lưu ý rằng, tuy đề cao vai trò trung tâm của người học trong quá trình dạy hoc, nhưng quan điểm kiến tạo không làm lu mờ “Vai trò tổ chức và điều khiển quá trình dạy học” của giáo viên. Trong dạy học kiến tạo, thay cho việc nổ lực giảng giải, thuyết trình nhằm truyền thụ tri thức cho học sinh, giáo viên phải là người chuyển hóa các tri thức khoa học thành các tri thức dạy học với việc xây dựng các tình huống dạy học chứa đựng các tri thức cần lĩnh hội, tạo dựng nên các môi trường mang tính xã hội để học sinh kiến tạo, khám phá nên kiến thức cho mình. Trong tất cả các xu hướng dạy học hiện nay, dạy học theo lý thuyết kiến tạo có tiếng nói mạnh mẽ trong giáo dục đặc biệt là trong dạy học Toán. Lý thuyết kiến tạo đã và đang là một vấn đề mang tính xã hội, được chấp nhận như là một ngôn ngữ của xã hội. Tuy nhiên việc áp dụng lý thuyết kiến tạo trong dạy học là rất khó. Bất kỳ người giáo viên nào muốn dùng lý thuyết kiến tạo để “Chuyển tải kiến thức” đều có thể thất bại. Muốn thành công trong việc sử dụng lý thuyết kiến tạo thì phải dạy theo quan điểm học sinh tự xây dựng kiến thức cho chính mình. Việc dạy học theo lý thuyết kiến tạo, là lôi cuốn, hấp dẫn học sinh, nhưng nó đòi hỏi sự nổ lực cố gắng của cả giáo viên và học sinh. Theo nhà nghiên cứu Cobb và Steef (1983) thì giáo viên cần phải “Liên tục cố gắng để nhìn nhận cả hành động của chính mình và của cả học sinh từ quan điểm của học sinh”. Nếu ta thực hiện việc dạy học theo lý thuyết kiến tạo tốt thì hiệu quả của việc dạy học là rất cao Lý thuyết kiến tạo là lý thuyết về việc học nhằm phát huy tối đa vai trò tích cực và chủ động của người học trong quá trình học tập . Lý thuyết kiến tạo quan niệm quá trình học toán là học trong hoạt động; học là vượt qua chướng ngại, học thông qua sự tương tác xã hội; học thông qua hoạt động giải quyết vấn đề. Tương thích với quan điểm này về quá trình học tập, lý thuyết kiến tạo quan niệm quá trình dạy học là quá trình: Giáo viên chủ động tạo ra các tình huống học tập giúp học sinh thiết lập các tri thức cần thiết; giáo viên kiến tạo bầu không khí tri thức và xã hội tích cực giúp người học tự tin vào bản thân và tích cực học tập. Giáo viên phải luôn giao cho học sinh những bài tập giúp họ tái tạo cấu trúc tri thức một cách thích hợp và học sinh giúp đỡ học sinh xác nhận tính đúng đắn của các tri thức vừa kiến tạo. Như vậy, lý thuyết kiến tạo là một lý thuyết mang tính định hướng mà dựa vào đó giáo viên lựa chọn và sử dụng một cách có hiệu quả các phương pháp dạy học mang tính kiến tạo đó là: phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn, dạy học học hợp tác, dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề. Trong quá trình dạy học, giáo viên phải là người biết phối hợp và sử dụng các phương pháp dạy học mang tính kiến tạo và các phương pháp dạy học khác một cách hợp lý sao cho quá trình dạy học toán vừa đáp ứng được yêu cầu của xã hội về phát triển toàn diện con người. Lý thuyết kiến tạo chú trọng đến vai trò nhận thức của những quá trình nhận thức nội tại và “Cài đặt dữ liệu” của riêng từng cá nhân học sinh trong việc học của chính mình. Học sinh học tốt nhất khi các em được đặt trong một môi trường xã hội tích cực, ở đó các em có khả năng kiến tạo cách hiểu biết riêng của chính mình. Học hợp tác được tổ chức nhằm tạo cơ hội cho học sinh trao đổi, thảo luận cách hiểu và cách tiếp cận vấn đề của mình. Như vậy, theo quan điểm của lý thuyết kiến tạo thì học Toán không phải là một quá trình tiếp thu một cách kỹ lưỡng những kiến thức được đóng gói, được giáo viên truyền đạt một cách áp đặt, mà phải được tiếp thu một cách chủ động. Nghĩa là, học sinh phải cố gắng tự tìm tri thức cho mình thông qua việc tái tổ chức các hoạt động của giáo viên. Các hoạt động này được hiểu một cách rộng rãi là bao gồm những hoạt động về nhận thức hoặc về ý tưởng. 1.5. Phân tích những yếu tố phù hợp giữa dạy học giải quyết vấn đề và dạy học kiến tạo Như trên đã phân tích, dạy học giải quyết vấn đề biểu thị sự thống nhất giữa kiến tạo tri thức, phát triển năng lực trí tụê và bồi dưỡng những phẩm chất quý báu như: kiên trì, vượt khó... Tác dụng phất triển năng lực trí tuệ của kiểu dạy học này là ở chỗ học sinh học được cách khám phá, tức là rèn luyện cho học sinh cách thức phát hiện, tiếp cận và giải quyết vấn đề một cách khoa học. Dạy học giải quyết vấn đề có ưu thế trong việc khuyến khích học sinh suy nghĩ, tìm tòi sáng tạo, đề cao tính chủ động và tích cực trong việc đón nhận tình huống học tập mới của học sinh. Khi tổ chức cho học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề thường sử dụng các hoạt động: quy lạ về quen, đặc biệt hoá, chuyển qua những trường hợp suy biến, xem xét tương tự, khái quát hoá, xem xét những mối liên hệ và phụ thuộc, suy ngược và suy xuôi…, chính những yếu tố đó tạo cơ sở giúp cho học sinh có được các năng lực phán đoán và nó phù hợp với sơ đồ ban đầu về kiến tạo kiến thức. Tuy nhiên, đối với học sinh THPT, quá trình này chưa phát huy được tối đa tính chủ động và tích cực của học sinh trong việc huy động kiến thức, kỹ năng đã có của mình để khám phá tình huống học tập mới. Trong khi đó, dạy học kiến tạo lại có ưu thế về hợp tác. Phương pháp dạy học này lại đòi hỏi cao nỗ lực cá nhân, đòi hỏi nhiều thời gian để học sinh mò mẫm, dự đoán, kiểm nghiệm trong quá trình học tập để thu được kiến thức mới. Theo quan điểm kiến tạo, học sinh chủ động trong việc huy động kiến thức, kỹ năng đã có để khám phá tình huống học tập mới. Khi đó học sinh sẽ phát huy tối đa vai trò tích cực và chủ động của mình trong quá trình học tập. Vì vậy, trong tất cả các xu hướng dạy học hiện nay, dạy học kiến tạo có tiếng nói mạnh mẽ trong giáo dục, đặc biệt là trong dạy học toán. Tuy nhiên, việc áp dụng phương pháp dạy học kiến tạo là rất khó. Bất kỳ người giáo viên nào muốn dùng phương pháp dạy học kiến tạo để “ chuyển tải kiến thức” đều có thể thất bại. Muốn thành công khi sử dụng phương pháp dạy học kiến tạo thì trong quá trình dạy học, giáo viên phải biết phối hợp và sử dụng các phương pháp dạy học khác, đặc biệt là phương pháp dạy học giải quyết vấn đề một cách hợp lý sẽ đáp ứng được yêu cầu phát triển của xã hội và yêu cầu phát triển toàn diện con người. Để phát huy được ưu thế của hai phương pháp dạy học này thì tuỳ theo thời lượng quy định cho từng tiết học, tuỳ theo trình độ của từng đối tượng học sinh và tuỳ theo từng nội dung, từng chuyên đề mà chúng ta có thể tiến hành theo phối hợp hai phương pháp dạy học trên theo các pha sau đây: Các pha dạy học giải quyết vấn đề (áp dụng chung cho cả lớp), tiến hành theo các bước sau. Bước 1: Xây dựng tình huống có vấn đề: - Đưa học sinh vào tình huống có vấn đề; - Phân tích tình huống đó. Bước 2: Giải quyết vấn đề: - Phân tích vấn đề, làm rõ mối liên hệ giữa cái đẵ biết và cái phải tìm; - Đê xuất và thực hiện hướng giải quyết. Bước 3: Kiểm tra và vận dụng: - Kiểm tra sự dúng đắn và phù hợp với thực tế của lời giải; -Kiểm tra tính hợp lý và tối ưu của lời giải. Các pha dạy học kiến tạo (áp dụng cho nhóm học sinh khá, giỏi), tiến hành theo các bước sau. Bước 4: Dự đoán: - Dựa vào vấn đề đã giải quyết, dự đoán vấn đề nảy sinh và đặt mục đích chứng minh tính đúng đắn của nó. Bước 5: Kiểm nghiệm điều chỉnh thích nghi kiến thức mới:- Kiểm nghiệm tính đúng đắn của các vấn đề dự đoán, điều chỉnh các vấn đề chưa chính xác, lập luận và xác nhận kiến thức mới. Tóm lại: thông qua nghiên cứu và thông qua các tiết dạy thực tế chúng tôi nhận thấy: việc phối hợp giữa phương pháp dạy học giải quyết vấn đề và dạy học kiến tạo trong quá trình dạy học toán có tính khả thi cao, khai thác được vai trò trung tâm của người học, nâng cao tính tích cực học tập của học sinh, làm cho họ tham gia trực tiếp, chủ động và sáng tạo trong quá trình nhận thức. Tuy vậy, yếu tố quyết định thành công của việc dạy học phối hợp là phải thể hiện đúng bản chất cũng như phát huy lợi thế của từng phương pháp, phải lựa chọn các pha hợp lý, đảm bảo các cá nhân trong lớp đều tham gia vào việc giải quyết vấn đề và kiến tạo kiến thức mới. Giáo viên khi giảng dạy theo hướng này cần phải luôn chủ động, thích ứng với những phương án mà học sinh đưa ra và luôn khuyến khích để nhiều học sinh được tham gia vào việc kiến tạo và khám phá kiến thức mới dựa trên các vấn đề vừa giải quyết. 1.6. Thực trạng của hoạt động dạy Toán và dạy học Hình học lớp 10 cho học sinh THPT . Xuất phát từ yêu cầu nâng cao chất lượng đào tạo, Bộ GD và đào tạo có chủ trương đổi mới nội dung và phương pháp giảng dạy. Việc đổi mới phương pháp dạy học được xem là chìa khóa của vấn đề nâng cao chất lượng. Thế nhưng ở các trường phổ thông hiện nay các phương pháp dạy học được giáo viên sử dụng chủ yếu vẫn là các phương pháp truyền thống. Vấn đề cải tiến phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực của học sinh, tạo cho học sinh rèn luyện khả năng tự học đã được đặt ra nhưng kết quả chưa đạt như mong muốn. Giáo viên đã có ý thức lựa chọn phương pháp dạy học chủ đạo trong mỗi tình huống điển hình ở môn Toán nhưng nhìn chung còn có những vấn đề chưa được giải quyết, phương pháp thuyết trình vẫn còn khá phổ biến. Những phương pháp dạy học có khả năng phát huy đựơc tính tích cực, độc lập, sáng tạo ở học sinh như dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề,dạy học phân hóa, dạy học kiến tạo thì giáo viên ít sử dụng. Giáo viên chưa được hướng dẫn một quy trình, một chỉ dẫn hành động để thiết kế bài giảng phù hợp. Vì vậy khi sử dụng các phương pháp dạy học mới khó hoàn thành nội dung chương trình dạy học trong khuôn khổ thời lượng bị hạn chế. Vấn đề thu hút số đông học sinh yếu, kém tham gia các hoạt động cũng gặp không ít khó khăn. Kết quả là hiệu quả dạy học chẳng những không được nâng cao mà nhiều khi còn giảm sút. Thực tế dạy học Toán hiện nay trong trường THPT có thể mô tả như sau: phần lý thuyết giáo viên dạy theo từng chủ đề theo các bước, đặt vấn đề, giảng giải để dẫn học sinh tới kiến thức, kết hợp với đàm thoại vấn đáp, gợi mở nhằm uốn nắn những lệch lạc (nếu có), củng cố kiến thức bằng bài tập, hướng dẫn công việc học tập ở nhà. Phần bài tập, học sinh chuẩn bị ở nhà hoặc chuẩn bị ít phút tại lớp, giáo viên gọi một vài học sinh lên bảng chữa, những học sinh được nhận xét lời giải, giáo viên sửa hoặc đưa ra lời giải mẫu và qua đó củng cố hiểu biết cho học sinh. Một số bài toán sẽ được phát triển theo hướng khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa cho đối tượng học sinh khá giỏi. Việc rèn luyện tư duy lôgíc cho học sinh không đầy đủ, thường chú ý đến việc rèn luyện khả năng suy diễn, coi nhẹ khả năng quy nạp. Giáo viên ít khi chú ý đến việc dạy Toán bằng cách tổ chức các tình huống có vấn đề đòi hỏi dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa những ý kiến trái ngược hay các tình huống có chứa một số điều kiện xuất phát rồi yêu cầu học sinhđề xuất các giải pháp. Hầu hết các giáo viên còn sử dụng những phương pháp thuyết trình và đàm thoại chứ chưa chú ý đến nhu cầu, hứng thú của học sinh trong quá trình học. Hình thức dạy học chưa đa dạng, phong phú, cách thức truyền đạt chưa sinh động, chưa gây hứng thú cho học sinh, học sinh chủ yếu tiếp nhận kiến thức còn bị động. Những kỹ năng cần thiết của việc tự học chưa được chú ý đúng mức. Do vậy việc dạy học Toán ở trường phổ thông hiện nay còn bộc lộ nhiều điều cần đổi mới. Đó là học trò chưa thực sự hoạt động một cách tích cực, chưa chủ động và sáng tạo, chưa được thảo luận để đưa ra các khám phá của mình, kỹ năng vẫn dụng vào thực tiễn còn yếu. Vai trò của thầy vẫn chủ yếu là người thông báo kiến thức, cùng lắm nữa thì là người dạy cách chứng minh, cách phán đoán và một số thói quen làm việc nhất định chứ chưa phải là người "khơi nguồn sáng tạo", "kích thích học sinh tìm đoán". Hơn nữa, do thời gian hạn chế, khối lượng kiến thức và yêu cầu truyền đạt theo SGK thì nhiều và phải dạy đúng lịch phân phối chương trình nên chưa phát huy được tính độc lập của học sinh. Chưa tạo được môi trường để học sinh độc lập khám phá, độc lập tìm tòi và độc lập nghiên cứu. Đối với Hình học lớp 10, lần đầu tiên học sinh được làm quen với một đối tượng mới là Véc tơ, mà trên đó vẫn có các phép cộng, trừ, nhân như là đối với các số các phép toán trên các đối tượng véc tơ lại có nhiều tính chất tương tự như đối với các số, học sinh tiếp xúc không tránh khỏi lúng túng và mắc sai lầm. Trong chương trình lớp 10 THPT đã đề cập đến mở đầu về tọa độ trong mặt phẳng, tiếp đó sử dụng công cụ mới này, như là phương pháp Toán học mới, phương pháp véc tơ để khảo sát hệ thức lượng trong tam giác và trong đường tròn. Các bài tập sử dụng véc tơ học sinh khó tiếp thu nên một số giáo viên ít vận dụng giải các bài toán về véc tơ, ít dành thời gian luyện tập, tạo hứng thú kích thích tự tìm tòi nghiên cứu mà chủ yếu xem như đó là phương tiện để áp dụng vào giảng dạy các vấn đề Hình học khác. Trong dạy học giáo viên chưa quan tâm tới việc giúp học sinh tự mình phát hiện, khám phá, tự mình vận dụng kiến thức tìm tòi mở rộng các vấn đề, chưa đặt vấn đề tự học vào đúng vị trí của nó, điều này ảnh hưởng nghiêm trọng đến chất lượng học tập của học sinh. 1.7. Kết luận chương 1 Trong chương này luận văn đã đa ra các cơ sở khoa học của phương pháp dạy học giải quyết vấn đề và dạy học kiến tạo, đã phân tích được những yếu tố phù hợp của việc phối hợp giữa phương pháp dạy học giải quyết vấn đề và dạy học kiến trong quá trình dạy học toán và nhận thấy rằng: phương pháp dạy học giải quyết vấn đề và dạy học kiến tạo là các phương pháp dạy học mang tính hiện đại, nó đáp ứng được một số yêu cầu về vấn đề dạy học và tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh. Dạy học giải quyết vấn đề tương thích với dạy học kiến tạo ở mức độ thấp, còn dạy học kiến tạo đòi hỏi ở mức độ cao hơn ở sự nỗ lực cá nhân, đòi hỏi nhiều thời gian để học sinh tìm tòi, dự đoán, kiểm nghiệm trong quá trình khám phá tri thức mới. Cho nên, trong quá trình dạy học giáo viên cần phải dự tính lựa chọn các pha thích hợp cho từng nội dung, cho từng tiết học và cho từng đối tượng học sinh. Phù hợp với những định hướng và các giải pháp đổi mới phương pháp dạy học hiện nay. Cải tạo được thực trạng dạy học môn Toán ở trường THPT. Vì thế, việc phối hợp quan điểm dạy học giải quyết vấn đề và dạy học kiến tạo vào dạy học Toán nói chung và dạy học Hình học 10 nói riêng là hết sức cần thiết. Chương 2 Dạy học hình học 10 theo hướng phối hợp quan điểm dạy học giải quyết vấn đề và dạy học kiến tạo 2.1. Đặc điểm xây dựng chương trình sách giáo khoa Hình học 10 hiện nay. 2.1.1. Sơ lược về chương trình sách giáo khoa mới hiện nay. Chương trình sách giáo khoa mới hiện nay so với chương trình sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất 2000 đã có những thay đổi về nội dung và cách trình bày. Việc đổi mới chương trình hiện nay là do những nguyên nhân sau đây: - Chương trình giáo khoa năm 2000 còn có những chỗ chưa hợp lý, chưa bảo đảm được tính liên môn. Chẳng hạn, đầu lớp 12 môn Vật lý cần khảo sát dao động của con lắc, sử dụng kiến thức về đạo hàm ngay, trong khi đó khái niệm đạo hàm học sinh chưa được làm quen ở trong toán học, nên khái niệm đạo hàm cần được đưa vào cuối lớp 11. - Một số nội dung Toán học cần bổ sung cho hoàn chỉnh chương trình THPT, như Số phức, Thống kê, Tổ hợp, Xác suất… Trước đây, trong chương trình Toán phổ thông nước ta, sau khi học xong phần véctơ và tọa độ của véctơ, tọa độ điểm trong mặt phẳng ở lớp 10, phải đến lớp 12 học sinh mới được học về phương trình của đường thẳng, đường tròn và ba đường cônic. Như vậy là nội dung của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng bị ngắt quãng một cách không hợp lý, vì vậy chương trình mới đã đưa nội dung phương pháp tọa độ trong mặt phẳng xuống lớp 10. - Cách viết sách giáo khoa như từ trước đến nay còn mang tính hàn lâm: thông báo kiến thức, trình bày các vấn đề quá lôgíc chặt chẽ; đưa ra nhiều các bài toán khó nên còn thiếu tính sư phạm. Sách giáo khoa chưa thể hiện được phương pháp dạy học tích cực. Sách giáo khoa năm 2000 để giáo viên tạo điều kiện cho học sinh chỉ nghe và chép. Theo cách giảng dạy cũ, sách giáo khoa chỉ đơn thuần là một tài liệu khoa học dùng cho giáo viên, nội dung các tiết dạy thường được viết cô đọng, đầu tiên là nêu định nghĩa của một khái niệm mới, sau đó là các tính chất và chứng minh, rồi các định lý và chứng minh, cuối cùng là các ví dụ và các bài toán. Theo định hướng đổi mới, sách giáo khoa phải trình bày và hướng dẫn như thế nào đó để cho nếu không có thầy giáo, học sinh cũng có thể tự học được, cố nhiên là khó khăn và vất vả hơn. Sách giáo khoa mới đưa thêm phần dẫn dắt để học sinh có thể đọc nó. Chẳng hạn, để đưa khái niệm véctơ, ta liên hệ đến Vật lý để nói đến các đại lượng vô hướng và đến đại lượng có hướng. Ta nêu một ví dụ để thấy đại lượng "có hướng" là rất cần: Nếu chỉ biết một tàu thủy chạy thẳng đều với vận tốc 20 hải lí một giờ (đại lượng vô hướng) mà không nói rõ chạy theo hướng nào thì ta không thể biết sau 3 giờ nữa nó sẽ ở vị trí nào trên mặt biển. Từ đó mà ta phải biểu thị vận tốc của tàu thuỷ bằng một mũi tên để chỉ hướng của chuyển động. Tất cả những điều đó cần được viết trong sách giáo khoa. Cố nhiên, nếu thầy giáo có cách dẫn dắt tốt hơn, phù hợp với trình độ học sinh hơn thì không nhất thiết phải làm đúng như sách giáo khoa. Sách giáo khoa theo tinh thần mới phải giúp thầy giáo tạo điều kiện cho học sinh suy nghĩ và hoạt động. Do đó sách giáo khoa mới được đưa vào một hệ thống các câu hỏi và các hoạt động. Câu hỏi nhằm giúp học sinh nhớ lại một kiến thức nào đó hoặc để gợi ý, hoặc để định hướng cho những suy nghĩ của họ… Các câu hỏi này nói chung là dễ, vì thế không đưa ra câu trả lời trong sách giáo khoa. Các hoạt động đòi hỏi học sinh phải làm việc, phải tính toán để đi đến một kết quả nào đó. Đối với những chứng minh hoặc tính toán không quá khó, một vài bước hoạt động của học sinh có thể thay thế cho lời giảng của thầy. Sách giáo khoa theo tinh thần mới cố gắng giảm nhẹ phần lý thuyết, chủ yếu là giảm nhẹ các chứng minh của các tính chất hoặc định lý. Các tính chất và định lý này nhiều lúc rất hiển nhiên, hoàn toàn có thể thấy được bằng trực giác, nhưng chứng minh lại không đơn giản. Đối với đa số học sinh, một chứng minh phức tạp, dài dòng và không mang lại lợi ích gì nhiều. Bởi vậy, sách giáo khoa theo tinh thần mới không trình bày những chứng minh quá phức tạp mà chỉ nêu ra những trường hợp cụ thể để kiểm chứng. Ngoài ra, nếu một số tính chất nào đó quá hiển nhiên thì ta cũng không nêu ra, vì nếu nói ra đôi khi lại gây thêm thắc mắc cho học sinh. Sách giáo khoa theo tinh thần mới có cố gắng liên hệ thực tế trong trường hợp có thể. Chẳng hạn, trong phần véctơ, có thể đưa thêm những ứng dụng trong vật lý: tổng hợp lực, phân tích lực, …. Ngoài ra, sách giáo khoa mới còn đưa thêm các phần như: có thể em chưa biết, em có biết, bài đọc thêm, để nói thêm những chi tiết hay, thú vị, hoặc những liên hệ với cuộc sống thực tế. Sách giáo khoa từ trước đến nay - cách viết còn mang tính hàn lâm, còn sách giáo khoa mới đã chỉ ra các hoạt động tại từng thời điểm để giáo viên, học sinh xem xét. Những hoạt động này rất đa dạng, có thể là ôn lại kiến thức cũ, đặt vấn đề cho kiến thức mới, qua các ví dụ cụ thể gợi ý phương pháp giải quyết vấn đề hay bài toán đặt ra, thực hành áp dụng trực tiếp các công thức nêu trong lý thuyết. Cách thức thực hiện các hoạt động này cũng rất đa dạng: Có thể thầy làm hoặc cho học sinh thực hiện, hoặc nêu thành vấn đề để cả lớp cùng thảo luận tìm cách giải quyết. Thậm chí nội dung một hoạt động có thể biến thành một câu kiểm tra nhỏ tại lớp … Tóm lại, đối với sách giáo khoa cũ thì sách giáo khoa lần này không phải thay đổi nhiều về nội dung mà chủ yếu thay đổi cách trình bày để học sinh học tập một cách tích cực hơn. 2.1.2. Đặc điểm xây dựng chương trình Hình học 10 THPT hiện nay. Theo các tác giả Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình thì tinh thần sách giáo khoa phải thể hiện được tinh thần của Toán học hiện đại; phải quán triệt tinh thần giáo dục, kỹ thuật, tổng hợp, chuẩn bị cho học sinh có ý thức và kỹ năng liên hệ học hành, có tiềm lực để trở thành người công nhân lành nghề, người quản lí kinh tế giỏi. Do vậy mà chương trình sách giáo khoa phải cơ bản, tinh giản, sát hợp với các loại đối tượng học sinh. Từ đó thì việc hiện đại hoá chương trình theo Toán học hiên đại phải đi đôi với việc đổi mới phương pháp giảng dạy nhằm tổ chức hoạt động nhận thức, thực hành của học sinh, đảm bảo cho các em lĩnh hội được nội dung học vấn. Một trong những trọng tâm của đổi mới chương trình và sách giáo khoa giáo dục phổ thông là tập trung vào đổi mới phương pháp dạy học, thực hiện dạy học dựa vào hoạt động tích cực, chủ động của học sinh với sự tổ chức hướng dẫn của giáo viên nhằm phát triển tư duy sáng tạo, tư duy độc lập, góp phần hình thành phương pháp và nhu cầu tự học, bồi dưỡng hứng thú học tập, tạo niềm tin và niềm vui trong học tập cho học sinh. Do vậy, việc thay đổi vai trò từ kiểm soát sang giải phóng sức sáng tạo. Đó là một vấn đề để tự khẳng định mình, đó là yêu cầu cấp thiết trong thời đại ngày nay của thế hệ trẻ. Học là để sáng tạo, coi nhân cách sáng tạo là nhân cách toàn diện, bao trùm lên, cao hơn nhân cách toàn diện mà trước đây trong giáo dục ta chưa coi trọng điều này. Để làm được điều đó cần phải nhận thấy được rằng tư duy của toán học có một mối quan hệ mật thiết lẫn nhau. Để đạt được điều đó thì người giáo viên trong cách dạy hiện nay, cũng cần có sự đổi mới cao độ về phương pháp giảng dạy, luôn luôn đặt trong mối quan hệ với đổi mới mục tiêu, nội dung dạy học, đổi mới cơ sở vật chất và thiết bị dạy học; đổi mới các hình thức tổ chức dạy học để phù hợp giữa dạy học cá nhân và các nhóm nhỏ hoặc cả lớp, giữa dạy học ở trong phòng học và ngoài hiện trường; đổi mới môi trường giáo dục để học tập gắn với thực hành và vận dụng; đổi mới đánh giá kết quả học tập của học sinh qua đổi mới nội dung, hình thức kiểm tra, xây dựng bộ công cụ đánh giá, phối hợp kiểu đánh giá truyền thống với trắc nghiệm khách quan đảm bảo đánh giá khách quan, trung thực mức độ đạt được mục tiêu giáo dục của từng học sinh. Do vậy vấn đề sách giáo khoa cũng chỉ nên coi là một tài tiệu tham khảo chứ không nên coi nó là pháp lệnh. Đứng trước tình hình đó, vấn đề viết sách giáo khoa hiện hành cũng chỉ ở một mức độ nào đó để phù hợp với xu thế hiện nay. Khi nói đến Toán học, GS. TS. Nguyễn Cảnh Toàn viết “...không những chỉ nghĩ tới tư duy lôgic mà cần phải nghĩ tới tư duy khác như tư duy hình tượng, tư duy biện chứng, tư duy kỹ thuật, tư duy thuật giải, và cả tư duy quản lí tư duy kinh tế nữa...” [15, tr.7,8,9 ]. Tư duy không thể chỉ là sự thu nhận các thao tác bằng lời hay xem các biểu diễn trực quan mà không có những hoạt động xây dựng, tìm tòi, huy động những yếu tố sáng tạo của chủ thể nhận thức. Qúa trình được hình thành và phát triển do nhu cầu cần khắc phục những khó khăn hoặc mâu thuẫn về nhận thức mà chủ thể ý thức được, thấy có hứng thú, có nhu cầu giải quyết sẽ tạo điều kiện cho chủ thể tìm tòi phương tiện giải quyết mới, tri thức mới, cách thức hành động mới. Khi đó, khó khăn, mâu thuẫn sẽ tạo ra một tình huống có vấn đề. Theo Rubinsteins: “Tư duy sáng tạo luôn bắt đầu bằng một tình huống có vấn đề”. Theo J.Piaget: lý thuyết kiến tạo là lý thuyết về việc học nhằm phát huy tối đa vai trò tích cực và chủ động của người học trong quá trình học tập Qua đó thấy rằng: vấn đề sách giáo khoa hiện hành còn phải có khoa học sư phạm để phù hợp với tâm lí lứa tuổi. GS. TS. Nguyễn Cảnh Toàn viết “...Cũng phải tập dần từ thấp lên cao, trước dạy giáo viên thường ra những bài toán có nội dung thực tế cho học sinh và yêu cầu học sinh từ đó biết lập ra các phương trình để giải bài toán đó. Bây giờ người ta bắt đầu ra những bài toán ngược lại....” [6, tr.9]. Từ đó ta thấy được học sinh đã tập dượt được cả hai chiều từ Toán học đến thực tế được kết nối qua sự biện chứng của tư duy toán học. Và qua đây đẩy ra khỏi trực quan chủ nghĩa, nghĩa là cái gì cũng trực quan cả rồi qua đó mới đến trừu tượng vấn đề đó gây cho học sinh một sức ỳ. Đặc biệt trong chương trình hiện hành vấn đề sách giáo khoa đang đi theo con đường phân ban để nhằm phân hoá học sinh theo các hướng khác nhau mà chương trình sách giáo khoa môn Toán mới trong chương trình THPT hiện hành theo GS. Văn Như  Cương đã có những yêu cầu quan trọng. 2.1.2.1 Kế thừa và phát huy truyền thống dạy và học Toán ở Việt Nam, tiếp cận với trình độ giáo dục Toán học hiện đại của các nước đang phát triển trong khu vực và trên thế giới. 2.1.2.2. Lựa chọn các kiến thức cơ bản, cập nhật thiết thực, có hệ thống theo phương hướng tinh giản, phù hợp với nhận thức của học sinh, thể hiện tính liên môn và tích hợp các nội dung giáo dục, thể hiện vai trò công cụ của môn Toán. Sách giáo khoa hiện hành đã trang bị những kiến thức phổ thông và cơ bản nhất. Loại bỏ những vấn đề quá chuyên sâu các vấn đề thiên về lý thuyết với yêu cầu cao về mặt chính xác và chặt chẽ và nó nằm trong mối liên hệ biện chứng. 2.1.2.3. Tăng cường thực hành và vận dụng, thực hiện dạy học Toán gắn với thực tiễn. Chương trình và sách giáo khoa cũ rất ít thực hành, ít vận dụng kiến thức đó vào thực tiễn, chỉ thiên về lí thuyết. Chính vì vậy, nên học sinh chúng ta đi thi các kì thi toán quốc tế về lí thuyết luôn đạt kết quả cao, song về thực hành còn kém xa trong khu vực. Do đó, chương trình sách giáo khoa mới đã có rất nhiều cái mới đổi mới về nội dung lẫn hình thức. Đặc biệt chương trình Hình học 10 THPT hiện hành ít có tính hàn lâm, tăng cường thực hành và vận dụng các vấn đề tư duy , qua dó phát triển tư duy học sinh. Giúp học sinh sử dụng sách giáo khoa và các tài liệu khác một cách sáng tạo theo nhiều hướng để phát triển tư duy học sinh, giúp học sinh rèn luyện khả năng tự nghiên cứu, tự học, đây là vấn đề trọng tâm và cốt lõi 2.1.2.4. Tạo điều kiện vận dụng các phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh. Rèn luyện cho học sinh khả năng tự học, phát triển năng lực trí tuệ chung. Vấn đề lớn trong chương trình sách giáo khoa hiện hành là vấn đề phương pháp giảng dạy. Truyền thống dạy và học theo kiểu thầy đọc trò ghi đang bị phê bình nhiều. Phương pháp lạc hậu đó đã đẩy học sinh vào thế bị động là cho học sinh có thói quen học vẹt, ỷ lại Theo tinh thần đổi mới, sách giáo khoa hiện hành đã phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh chú ý đến hoạt động tích cực của học sinh trên lớp học. Đổi mới phương pháp dạy học các môn học ở bậc trung học phổ thông cần được đẩy mạnh theo định hướng chung. Do đặc điểm trình độ của học sinh nên cần chú ý nhiều đến việc phát triển năng lực tự học, đa dạng hoá các hình thức học tập, tạo điều kiện để học sinh tự nghiên cứu, chủ động trong việc phát hiện và giải quyết vấn đề. Từ thực tiễn dạy học cho thấy : do trình độ của học sinh không đồng đều và thời lượng quy định cho từng tiết học không cho phép thực hiện chỉ một phương pháp duy nhất trong dạy học toán mà phải kết hợp nhiều phương pháp khác nhau. Dạy học theo quan điểm kiến tạo đòi hỏi cao nổ lực cá nhân, đòi hỏi nhiều thời gian để học sinh tìm tòi, dự doán, kiểm nghiệm nhằm thích nghi để thu được kiến thức mới . Vì vậy, để việc dạy học theo quan điểm vận dụng các lí thuyết dạy học không truyền thống có hiệu quả người giáo viên cần phải dự tính lựa chọn các pha thích hợp cho từng tiết cụ thể, tuỳ thuộc vào nội dung kết hợp giữa dạy học giải quyết vấn đề và dạy học kiến tạo nhằm phát huy tối đa năng lực tư duy của người học và nâng cao chất lượng dạy học 2.2. Định hướng xây dựng và thực hiện các biện pháp phối hợp giữa dạy học giải quyết vấn đề và dạy học kiến tạo. Việc xây dựng và thực hiện các biện pháp phối hợp giữa dạy học giải quyết vấn đề và dạy học kiến tạo dựa trên các định hướng sau đây: - Các biện pháp phải được xây dựng dựa trên cơ sở phân tích lí luận và thực tiễn một cách hợp lí. - Các biện pháp phải thể hiện rõ việc phối hợp giữa dạy học giải quyết vấn đề và dạy học kiến tạo trong quá trình dạy học toán - Các biện pháp phải có tính thực tiễn, có thể áp dụng vào giảng dạy ở trường phổ thông. - Trong quá trình thực hiện các biện pháp, cần quan tâm đúng mức tới việc tăng cường hoạt động cho người học, phát huy tối đa (trong chừng mực có thể) tính tích cực, độc lập của học sinh. 2.3. Một số biện pháp phối hợp quan điểm dạy học giải quyết vấn đề và dạy học kiến tạo trong chương trình Hình học 10 2.3.1. Biện pháp 1: Tuỳ theo từng nội dung của từng tiết học mà phối hợp phương pháp dạy học giải quyết vấn đề và dạy học kiến tạo nhằm khai thác các kiến thức và kinh nghiệm đã có của học sinh, giúp học sinh kiến tạo và khám phá kiến thức mới. Khi thiết kế bài học, điều quan trọng trước tiên là phải xác định đúng mục tiêu bài học. Cần thay đổi thói quen viết mục tiêu giảng dạy (cho giáo viên) bằng viết mục tiêu học tập (cho học sinh). Khi xác định mục tiêu học tập, giáo viên phải hình dung sau khi học xong bài đó, học sinh phải có được những kiến thức, kĩ năng, thái độ gì, ở mức độ như thế nào. Mục tiêu đề ra cho học sinh là: học sinh phải nắm vững kiến thức trước khi bước vào bài học, để thực hiện thông qua các hoạt động tích cực. Trong phương pháp dạy học tích cực, người ta không chỉ quan tâm đến yêu cầu thông hiểu, ghi nhớ, tái hiện các kiến thức theo sách giáo khoa, lặp lại đúng và thành thạo các kỹ năng đã được tập dượt trong tiết học mà còn chú ý năng lực nhận thức, rèn luyện các kỹ năng và phẩm chất tư duy phù hợp với nội dung bài học (phân tích, tổng hợp, xác lập quan hệ giữa các sự kiện, nêu giả thuyết…), chú ý tới các kỹ năng học tập, phát triển năng lực tự học, tự nghiên cứu. Giáo viên phải luôn luôn có ý thức nêu rõ yêu cầu, mức độ hợp lý giữa các kiến thức và kỹ năng. Khi xác định mục tiêu học tập, giáo viên lấy trình độ học sinh chung của cả lớp làm căn cứ nhưng phải hình dung thêm các yêu cầu phân hoá đối với những nhóm học sinh có trình độ kiến thức và tư duy khác nhau để mỗi học sinh được làm việc với sự nỗ lực trí tuệ vừa sức mình. Vì vậy, khi thiết kế bài dạy tuỳ theo từng nội dung trong từng tiết học mà giáo viên phải dự tính, lựa chọn các pha dạy học thích hợp. Cụ thể: sử dụng những pha dạy học giải quyết vấn đề đối với học sinh chung cả lớp và những pha dạy học kiến tạo đối với nhóm học sinh khá giỏi. Giáo viên phải phân hoá các mức độ đối với những nhóm học sinh có trình độ kiến thức và tư duy khác nhau. Sử dụng mức độ dạy học giải quyết vấn đề đối với đối tượng học sinh chung cả lớp, còn mức độ dạy học kiến tạo đối với những nhóm học sinh khá, giỏi. Như vậy, giáo viên có đủ những thông tin phản hồi về nhận thức của học sinh sau mỗi nội dung dạy học và giúp học sinh được làm việc với sự nỗ lực trí tuệ tối đa của mình. Có thể minh hoạ quá trình phối hợp các phương pháp trên trong dạy học các tiết dạy học Hình học lớp 10 THPT như sau: Giáo án : Tích của một vectơ với một số (Tiết 6 - Hình học 10- nâng cao) I - Mục tiêu - Nắm được định nghĩa tích của một véctơ với một số. Khi cho một số k và một vectơ cụ thể, học sinh phải hình dung được véctơ như thế nào? (Phương, hướng và độ dài của véc tơ đó) - Hiểu được tính chất của phép nhân véctơ với số và áp dụng trong những phép tính. - Khai thác các kiến thức và kinh nghiệm đã có của học sinh , giúp học sinh kiến tạo và khám kiến thức mới. II - Chuẩn bị của giáo viên và học sinh 1. Giáo viên: Hình vẽ biểu thị véc tơ tổng +, hình 20 ở sách giáo khoa. Có thể chuẩn bị thêm hình vẽ biểu thị véc tơ tổng (-)+ (-). 2. Học sinh: Các kiến thức về tổng, hiệu của 2 véctơ. III - Phương pháp dạy học - Gợi mở vấn đáp. - Phối hợp phương pháp dạy học giải quyết vấn đề và dạy học kiến tạo nhằm giúp học sinh chủ động tiếp thu kiến thức, giải quyết các vấn đề đặt ra và kiến tạo kiến thức mới thông qua hệ thống câu hỏi. IV - Tiến trình bài dạy 1. Kiểm tra bài cũ Hoạt động 1: Nêu các tính chất của tổng các véc tơ? Hoạt động 2: Cho tứ giác ABCD. M và N tương ứng là trung điểm của AB và CD. I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng: . Chú ý: - Học sinh chưa được học phép nhân một véctơ với một số nên chưa thể viết. . - Để chứng minh học sinh có thể dựng các hình bình hành: IBPA và ICQD. Khi đó: (quy tắc hình bình hành) rồi chứng minh và là 2 véc tơ đối nhau. 2. Nội dung bài mới *) Giáo viên sử dụng các pha dạy học giải quyết vấn đề chung cho cả lớp Hoạt động 1: Định nghĩa tích của một véctơ với một số Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi 1: Cho . Hãy dựng véctơ tổng Câu hỏi 2: Em hãy nhận xét về độ dài và hướng của véctơ tổng ()? Câu hỏi 3: Cho . Hãy dựng véctơ tổng? Câu hỏi 4: Em hãy nhận xét về độ dài và hướng của véctơ tổng GV: + ta ký hiệu là . +ta ký hiệu là -. + hay - là tích của một số và một véc tơ. + Tích của một số với một véc tơ cho ta một véc tơ. Câu hỏi 5: Cho một số thực k0 và vectơ . Hãy xác định hướng và độ dài của véctơ ? Lưu ý: HS có thể trả lời . Giáo viên: Cho học sinh nghiên cứu cách trình bày trong sách giáo khoa và nêu định nghĩa. + Quy ước: . . Câu hỏi 6: Nhận xét về phương của 2 vectơ và ? Câu hỏi 7: Cho ABC trọng tâm G, D và E lần lượt là trung điểm của BC và AC. Hãy tính vectơ: + theo vectơ . + theo vectơ . + theo vectơ . Gợi ý trả lời câu hỏi 1: + Dựng nhìn vào hình vẽ sách giáo khoa. + . Gợi ý trả lời câu hỏi 2: + cùng hướng với . + . Gợi ý trả lời câu hỏi 3: + Dựng . + . Gợi ý trả lời câu hỏi 4: + ngược hướng với . + . Gợi ý trả lời câu hỏi 5. + là véctơ cùng hướng với , nếu k > 0. + ngược hướng với , nếu k<0. + . Học sinh: Liên hệ véc tơ với trong sách giáo khoa rồi phát biểu định nghĩa. Gợi ý trả lời câu hỏi 6. luôn cùng hướng với . Gợi ý trả lời câu hỏi 7. + = - 2. + =3. + =(-). . Hoạt động 2: các Tính chất của phép nhân vectơ với số. Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi 1: Cho véc tơ . Hãy dựng và so sánh các véc tơ 2(3) và 6? Câu hỏi 2: Phát biểu công thức tổng quát cho bài toán trên? Câu hỏi 3: Cho véc tơ . Hãy dựng và so sánh các vectơ 1 và ? (-1) và -? Câu hỏi 4: Tìm véc tơ đối của k? Câu hỏi 5: Cho ABC , M và N tương ứng là trung điểm của AB và AC. Hãy so sánh các tổng sau: và Giáo viên có thể viết: hoặc . Câu hỏi 6: Phát biểu công thức tổng quát cho bài toán trên? Câu hỏi 7: Cho véc tơ . Hãy dựng và so sánh các vectơ: và . Câu hỏi 8: Phát biểu công thức tổng quát cho bài toán trên? Câu hỏi 9: Từ định nghĩa k=khi nào? Giáo viên: Cho học sinh nghiên cứu các tính chất của phép nhân véc tơ với số trong sách giáo khoa. Gợi ý trả lời câu hỏi 1. + , dựng . + Dựng 2.. + Kết luận: . Gợi ý trả lời câu hỏi 2. k(l)=(kl) ,k,l ; Gợi ý trả lời câu hỏi 3. 1=. (-1) =-. Gợi ý trả lời câu hỏi 4. véc tơ đối của k là: (-1)k= (-k) = - k. Gợi ý trả lời câu hỏi 5. + =. + =. + . nên . Gợi ý trả lời câu hỏi 6. k() = kk,k, ,. Gợi ý trả lời câu hỏi 7. + => . + Dựng ; . Có => 2+3=5. Gợi ý trả lời câu hỏi 8. (kl) = k+ l. Học sinh: Liên hệ các tính chất với các kết quả tìm được ở trên. Hoạt động 3: Củng cố khái niệm và các tính chất về phép nhân vectơ với số Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, I là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC .Chứng minh rằng: 1. Luôn tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn:.(1) 2. . 3. Luôn tồn tại duy nhất điểm G thoả mãn: 4., với M. Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi 2: Để chứng minh đẳng thức ta làm thế nào? ở bài toán này ta phân tích các véctơ ở vế nào? phân tích như thế nào? Câu hỏi 4: G là trọng tâm ABC ta có đẳng thức nào? Câu hỏi 3: Đẳng thức vectơ trên có mối quan hệ gì với đẳng thức véc tơ cần chứng minh? nghĩa là ta phân tích các véc tơ , , theo các véc tơ ,, như thế nào? Gợi ý: 1) Từ (1) ta có: Gợi ý trả lời câu hỏi 2: + Nêu các cách để chứng minh 2 vế của một đẳng thức bằng nhau. + Phân tích: . Gợi ý 3) Gợi ý trả lời câu hỏi 4: + . Gợi ý trả lời câu hỏi 3: + ; ; . =>++=3+(++)=3 *) Sử dụng các pha dạy học kiến tạo đối với nhóm học sinh khá, giỏi. Qua ví dụ trên giáo viên có thể hướng dẫn học sinh dự đoán các bài toán tương tự, các bài toán tổng quát. Bài toán 1: ( Sử dụng dạy học kiến tạo ở mức độ thấp) Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. G là trung điểm của IJ. Chứng minh rằng:, với mọi M Gợi ý: Ta có: . Mà Suy ra điều phải chứng minh. Sau đó giáo viên nâng dần mức độ dạy học kiến tạo lên. Bài toán 2: Cho n điểm phân biệt A1, A2, ..., An ( n > 2). Chứng minh rằng: a. Luôn tồn tại duy nhất điểm G thoả mãn: . b. Với điểm M bất kỳ ta luôn có: Nhận xét: Với điểm M bất kỳ ta có: Û Û . G gọi là trọng tâm hệ n điểm A1, A2, ..., An. Việc chứng minh bài toán 2, học sinh có thể xây dựng bằng phương pháp quy nạp hoặc chứng minh qua hai bước tồn tại và duy nhất một điểm G thoả mãn. Ta xét bài toán tổng quát của ví dụ 1 theo hệ số của các vectơ ta có : Bài toán 3: Cho hai điểm A, B phân biệt và hai số thực a, b () Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một điểm I sao cho a + b. Hướng dẫn: Ta có a + b Û - a+ b Û (a + b) = b Đẳng thức trên chứng tỏ sự tồn tại duy nhất của điểm I, đồng thời chỉ ra cách dựng điểm I. Điểm I gọi là tâm tỷ cự của hai điểm {A, B} với bộ số (a, b). Kết hợp bài toán 2 và bài toán 3 ta có : Bài toán 4: Với n điểm phân biệt A1, A2, ..., An ( n > 2) và n số thực a1, a2, ..., an sao cho a1 + a2 + ... + an ạ 0 .Khi đó tồn tại duy nhất điểm I sao cho: a1+ a2an. Điểm I được gọi là tâm tỷ cự của hệ điểm {A1, A2, ... , An} ứng với bộ số {a1, a2,..., an}. Bài toán này được chứng minh bằng quy nạp 3. Củng cố bài học: a. Qua bài học các em cần vận dụng thành thạo các tính chất của phép nhân véctơ với số. b. Hệ thống hóa các đẳng thức véc tơ về trung điểm và trọng tâm đã học và sử dụng được các đẳng thức đó vào giải một số bài toán khác. Bài tập: Bài 21- 23 - 24 - 26 - 27 - 28 trang 23 - 23, sách giáo khoa Hình học 10. 2.3.2.Biện pháp 2: Phối hợp phương pháp dạy học giải quyết vấn đề và dạy học kiến tạo đối với những nhóm học sinh có trình độ kiến thức và tư duy khác nhau, để mỗi học sinh được làm việc với sự nỗ lực vừa sức. Trong quá trình dạy học toán, giáo viên cần phải thiết kế các mức độ kiến thức khác nhau, các phương pháp dạy học khác nhau sao cho có thể đánh giá được càng cụ thể được càng tốt, qua đó có thể có thông tin phản hồi về nhận thức của học sinh sau mỗi nội dung dạy học. Khi xác định mục tiêu học tập giáo viên lấy trình độ học sinh chung của cả lớp làm căn cứ nhưng phải hình dung thêm yêu cầu phân hoá đối với những nhóm học sinh có trình độ kiến thức và tư duy khác nhau để mỗi học sinh làm việc với sự nỗ lực trí tuệ vừa sức mình. Cụ thể: sử dụng các phương pháp dạy học giải quyết vấn đề chung cho cả lớp và những phương pháp dạy học kiến tạo cho nhóm đối tượng học sinh khá, giỏi. Qua đó, nâng cao tinh tích cực học tập của học sinh, làm cho mọi đối tượng học sinh đều làm việc với sự nỗ lực với sự nỗ lực trí tuệ vừa sức mình, làm cho học sinh tham gia trực tiếp, chủ động và sáng tạo trong quá trình học tập. *) Giáo viên sử dụng các pha dạy học giải quyết vấn đề chung cho cả lớp. Trong quá trình dạy học định lí, giáo viên hoàn toàn có thể giáo dục cho học sinh khi xem xét các sự vật, hiện tượng phải xem xét một cách đầy đủ, trong tất cả các mặt, các mối quan hệ (bên trong và bên ngoài, trực tiếp và gián tiếp) trong tổng thể những mối quan hệ phong phú, phức tạp và muôn vẻ của nó với các sự vật khác. Từ đó có thể giúp học sinh tránh được những sai lầm của cách xem xét chủ quan, phiến diện. Giúp học sinh suy nghĩ một cách sáng tạo trong học Toán, tìm được nhiều hướng hay để giải quyết một vấn đề, tìm được cách chứng minh tối ưu cho một định lí hay mệnh đề Toán học. Ví dụ 1. Dạy học định lí về trọng tâm tam giác: “G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi (1)”. Giáo viên hướng học sinh vào việc phát hiện và chứng minh định lí và từ đó rèn luyện cho học sinh kiến tạo được các tri thức mới Trước khi học sinh học về định lí này thì các em đã biết về một tính chất của trung điểm là: "M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi ". Để đưa ra định lí về trọng tâm G của tam giác ABC ở trên thì ta có thể đi từ cái đã biết bằng cách xem đoạn thẳng là một tam giác đặc biệt có ba đỉnh thẳng hàng chẳng hạn với C là trung điểm của AB khi đó điểm M sẽ là trọng tâm của tam giác đặc biệt đó. Như vậy khi tức là định lí trên đúng trong trường hợp đặc biệt này. Bây giờ ta chứng minh cho tam giác bất kì. Điều cần chứng minh: G là trọng tâm tam giác ABC tương đương với đẳng thức , bây giờ ta xem xét đẳng thức cần chứng minh để tìm ra cách chứng minh định lí. * Nếu xem vectơ dưới khía cạnh là tổng của hai véctơ đối nhau ta có hướng chứng minh như sau: Ta biến đổi biểu thức thành tổng của hai véctơ đối nhau bằng cách dựa vào tính chất của trọng tâm. + G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi G thuộc trung tuyến AM và GA = 2GM. Dựng hình bình hành GBDC ta có M là trung điểm của GD. Và suy ra G là trung điểm của AD và ta có (2) Vậy G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi (2), mà theo quy tắc hình bình hành ta có: (3). Nên (2) . *) Giáo viên sử dụng các pha dạy học kiến tạo cho nhóm học sinh khá, giỏi. Nếu đối tượng học sinh là học sinh khá giỏi, giáo viên có thể hướng học sinh suy nghĩ mở rộng định lí tổng quát hơn, giúp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh tốt hơn nữa. Theo tư duy biện chứng thì cái chung tồn tại trong cái riêng, thông qua cái riêng để biểu thị sự tồn tại của mình, nên ta có thể tìm cái chung trong cái riêng. Vì vậy nếu ta xem định lí trên chỉ là một trường hợp riêng của một trường hợp tổng quát, bây giờ ta hãy tìm xem cái chung, tổng quát hơn là gì? Nếu ta xem trọng tâm G là một điểm đặc biệt nằm trong tam giác thõa mãn . Khi đó : Ta để ý rằng tổng các hệ số của biểu thức vế trái của (4) bằng SABC . Từ đó ta xem xét một kết quả tổng quát hơn như sau: A M C B F E Bài toán 1: "M là điểm bất kì nằm trong tam giác ABC. Đặt S 1= SMBC, S2= SMCA, S3= SMAB Chứng minh : " Chứng minh: Để chứng minh (5) ta dựng hình bình hành MEAF nhận MA làm đường chéo, ME và MF lần lượt thuộc các đường thẳng BM, CM. Theo quy tắc hình bình hành ta có: . Từ đó Hay . Do AE//MC và AF//MB nên . Từ trường hợp riêng, ta đã mở rộng định lí ra cho trường hợp M là điểm bất kì và ta đã có tính chất tổng quát hơn. Nhưng theo phép biện chứng duy vật thì mỗi cái riêng được chứa đựng trong nhiều cái chung, cái bao trùm nó theo một số quan hệ nào đó và ngược lại, nhiều cái riêng có thể chứa đựng trong cùng một cái một chung theo một mối quan hệ nào đó giữa các đối tượng. Như vậy ta có thể mở rộng tính chất này nữa hay không nếu ta xem SMBC, SMCA, SMAB chỉ là một trường hợp riêng của một bộ hệ số có tính chất chung đó là tổng của các hệ số đó bằng SABC? Và điểm M nằm trong tam giác chỉ là trường hợp riêng của một điểm M bất kì? Như vậy nếu điểm M nằm ngoài tam giác ta sẽ có kết quả như thế nào? Nếu điểm M nằm ngoài tam giác, chẳng hạn ta xét điểm M nằm trong miền góc tạo bởi hai tia CA và CB khi đó ta có SMBC+ SMCA- SMAB= SABC Chúng ta sẽ có tính chất tổng quát như sau: Bài toán 2: "Cho M là điểm nằm ngoài tam giác và thuộc miền góc tạo bởi hai tia CA và CB. Chứng minh: với S 1= SMBC, S2= SMCA, S3= SMAB” Chứng minh: Ta có: M B C A P Q Để chứng minh (6) ta dựng hình bình hành CPMQ với P, Q lần lượt nằm trên các tia MA và MB. Theo quy tắc hình bình hành ta có: Vì CP//MB và CQ//MA nên SMBM= SMBC= S1, SMAN= SMAC= S2 Từ đó ta có: Bây giờ để củng cố các định lí vừa được chứng minh chúng ta cho học sinh thực hiên các hoạt động nhận dạng và thể hiện định lí bằng cách xem xét các trường hợp riêng đặc biệt của định lí; chẳng hạn: Ta sẽ có kết quả như thế nào nếu ta xem điểm M là trực tâm tam giác? Tâm đường tròn nội tiếp tam giác? Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác? Tâm đường tròn bàng tiếp góc C? … Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh xây dựng các bài toán khác khi cho M là các điểm đặc biệt của tam giác.Thực ra đây là một dạng khác của định lý và tổng quát hơn. Khi ta nhìn nó dưới góc độ “diện tích tam giác”. Thế mà rất nhiều học sinh khá, giỏi khi gặp bài này hầu như không làm được, không biết bắt nguồn từ đâu, cái mấu chốt của nó, ở đây người giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh để "quy lạ về quen". Nhật xét 1: ở bài toán 1 kết quả không phụ thuộc vào điểm M, nếu ta thay M bởi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và r là bán kính đường tròn thì học sinh có thể sử dụng bài toán 1 để giải bài toán sau. Bài toán 3: Cho DABC, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp DABC. Đặt BC = c, BC = a, CA = b. Chứng minh rằng (7) Giải vắn tắt: áp dụng bài toán 1, ta có: A B C a I r S1 Nhận xét 2: Nếu ta nhìn các cạnh dưới "góc độ" góc, thì ta lại có bài toán sau. Bài toán 4: Cho DABC, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp DABC. Đặt AB = c, BC = a, CA = b. Chứng minh rằng: Nhận xét 3: Ta thấy vị trí M thuộc miền trong tam giác, vậy DABC nhọn thì tâm O đường tròn ngoại tiếp DABC thuộc miền trong. Do đó, ta có bài toán mới. Bài toán 5: Cho DABC nhọn, BC = a, CA = b, AB = c. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp DABC. Chứng minh rằng: (8) Giải vắn tắt: Ta có : sin éBOC = sin2A Tương tự: và . Theo bài toán 4: Do đó ta có: Nhận xét 4: Với MI là tâm đường tròn nội tiếp. Lưu ý rằng aha =bhb =chc =2SABC và . Thay vào đẳng thức (7) ta có bài toán mới. Bài toán 6 : Cho DABC, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp DABC. Đặt BC = c, BC = a, CA = b. Chứng minh rằng : . Nhận xét 5: Với O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Nếu ta biến đổi đẳng thức (8) : . Vậy ta có bài toán mới Bài toán 7: Trong tam giác ABC nhọn, gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác của nó. CMR: . Nhận xét 6: Trường hợp O H là trực tâm tam giác ta có: . Bài toán 8: Trong tam giác ABC nhọn, H là trực tâm. CMR: a) . b) . Ngoài ra, từ (7) , với I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, R, r lần lượt là độ dài các bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC. Ta suy ra: =. Vậy OI2 =R2 -2Rr. Bài toán 9: Cho tam giác ABC, gọi O, I lần lượt là các tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC. R, r lần lượt là độ dài các bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC. CMR: a) OI2 =R2 - 2Rr. b). Nhận xét 7: Từ kết quả bài toán 3, nếu ta bình phương vô hướng (7) khi đó xuất hiện . Và sử dụng công thức: . (Thật vậy ). Ta lại có bài toán mới sau. Bài toán 10: Cho DABC nhọn, BC = a, CA = b, AB = c. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp DABC.Chứng minh rằng: (9) Giải vắn tắt: (7) ị Û (a2 + ab + ac) IA2 + (b2 + ba + bc) IB2 + (c2 + ca + cb) IC2 - abc(a + b + c) = 0. Û a(a + b + c) IA2 + b(a + b + c) IB2 + c(a + b + c) IC2 = abc (a + b + c) Û aIA2 + bIB2 + cIC2 = abc. Û . Nhận xét 8: Từ công thức (7) nếu ta thay I bởi M bất thì ta luôn có ³ 0 và biến đổi hoàn toàn tương tự như bài toán 10, ta suy ra aMA2 + bMB2 + cMC2 ³ abc (***) Dễ thấy dấu "=" xảy ra Û M º I. Từ đó ta có thể vận dụng giải bài toán sau: Bài toán 11: Cho DABC nhọn, BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm M sao cho : aMA2 + bMB2 + cMC2 ³ abc (10) Hướng dẫn: Từ (***) và (10) ị aMA2 + bMB2 + cMC2 = abc Û M º I, với I là tâm đường tròn nội tiếp DABC. Vậy M duy nhất. Nhận xét 9: Cũng bài toán 13, ta có thể phát biểu dưới dạng khác. Nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo trong Toán học cho học sinh từ đó biết quy lạ về quen sau. Bài toán 12: Cho DABC nhọn, BC = a, CA = b, AB = c. Tìm vị trí M sao cho P = aMA2 + bMB2 + cMC2 đạt giá trị nhỏ nhất. Nhận xét 10: Qua dạng bài toán trên, nếu biết vận dụng linh hoạt kết hợp các bài toán lại, thì ta có thể vận dụng giải các bài toán tương tự sau, nhưng ở mức độ cao hơn. Bài toán 13: Cho DABC nhọn, BC = a, CA = b, AB = c, nội tiếp đường tròn (O; 1). Chứng minh rằng với mọi M ta luôn có a2(b2 + c2 - a2) MA + b2 (c2 + a2 - b2) MB + c2 (a2 + b2 - c2) MC ³ a2b2c2. Giải vắn tắt: Theo bài toán 5, ta có Và OA = OB = OC = 1, a = 2RsinA = 2sinA, b = 2sinB, c = 2sinC. ị MA = OA. MA = (****) Dấu bằng xảy ra của (****) khi và chỉ khi cùng hướng. Ta có: a2 (b2 + c2 - a2) MA = 2abc sin2A. MA ³ 2abcsin2A(1 - ), tương tự cho 2 trường hợp còn lại. Ta suy ra VT ³ 2abc (sin2A + sin2B + sin2C) - 2abc. = 2abc. 4sinA. sinB. sinC = a2b2c2 Mấu chốt của bài toán này, là xuất hiện a2(b2 + c2 - a2) = 2abc cosA.sinA, O là tâm đường tròn ngoại tiếp DABC nhọn. Do đó, ta liên tưởng và vận dụng Bài toán 8.