Đề tài Giải toán trên máy tính Casio - Trương Ngọc Bôn

A. ®Æt vÊn ®Ò M¸y tÝnh ®iÖn tö lµ mét trong nh÷ng c«ng cô tÝch cùc trong viÖc d¹y vµ häc to¸n. Nhê cã m¸y tÝnh ®iÖn tö mµ nhiÒu vÊn ®Ò ®­îc coi lµ khã trong d¹y häc to¸n ( vÝ dô gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc hai, ph­¬ng tr×nh ba, ph­¬ng tr×nh v« tû, chuæi sè, c¸c ®Þnh lý sè häc...) ta cã thÓ gi¶ng d¹y cho häc sinh THCS mét c¸ch dÔ dµng. C¸c quy tr×nh thao t¸c trªn m¸y tÝnh ®iÖn tö bá tói cã thÓ coi lµ b­íc tËp d­ît ban ®Çu ®Ó häc sinh dÇn dÇn lµm quen víi thuËt to¸n vµ lËp tr×nh trªn m¸y tÝnh c¸ nh©n. Bé Gi¸o Dôc vµ §µo t¹o ®· tæ chøc cho THCS vµ THPH c¸c kú thi häc sinh giái “gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio”. Phßng Gi¸o Dôc vµ ®µo t¹o CÈm xuyªn ®· tæ chøc c¸c kú thi häc sinh giái “gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio” cÊp huyÖn vµ tham gia kú thi häc sinh giái “gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio” cÊp TÜnh song kÕt qu¶ cßn khiªm tèn so víi c¸c huyÖn m¹nh nh­ Can Léc,Hång lÜnh, TP Hµ TÜnh... Mét sè bµi dù thi cña häc sinh kÕt qu¶ cßn thÊp, hoÆc bµi lµm thiÕu tÝnh chÝnh x¸c, c¸ch tr×nh bµy sêi s¹c, ngÉu høng, c¸c thuËt to¸n trªn m¸y tÝnh ch­a ®­îc vËn dông vµo bµi lµm... Víi lý do ®ã vµ niÒm ®am mª to¸n häc trªn m¸y tÝnh vµ thùc tr¹ng qua nhiÒu n¨m gi¶ng d¹y vµ båi d­ìng häc sinh giái, t«i m¹nh d¹n biªn so¹n tËp tµi liÖu båi d­ìng HSG gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio nµy l­u hµnh néi bé. Môc ®Ých cña tµi liÖu ngoµi h­íng dÉn chi tiÕt c¸c thao t¸c tÝnh to¸n, C¸c d¹ng bµi tËp to¸n gi¶i b»ng m¸y tÝnh cÇm tay mµ cßn tr×nh bµy ý nghÜa to¸n häc cña c¸c bµi to¸n.V× vËy nhiÒu kiÕn thøc to¸n häc ngoµi ch­¬ng tr×nh vÉn ®­îc ®­a vµo.ViÖc tr×nh bµy c¸c kiÕn thøc to¸n häc, tÝnh chÝnh x¸c kÕt qu¶ trong tõng phÐp tÝnh ®­îc ®Æc biÖt chó träng. Bëi ®ã lµ ®iÒu c¬ b¶n vµ cèt lái cña viÖc s÷ dông m¸y tÝnh. Ng­êi viªt xin ®­îc trao ®æi cïng b¹n ®äc qua ®Ò tµi: “gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio” §Ò tµi gåm ba phÇn: PhÇn I: H­íng dÉn sö dông m¸y tÝnh casio Fx:500 MS vµ Fx:570 MS PhÇn II: C¸c d¹ng bµi tËp: ”Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio” PhÇn III: Mét sè ®Ò thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio ( hÖ THCS ) Trong khi biªn so¹n mÆc dï ®· rÊt cè g¾ng song kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt. RÊt mong nhËn ®­îc sù gãp ý ch©n thµnh cña quý thÇy c« vµ b¹n ®äc. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n CÈm xuyªn, ngµy 07/10/2010 Tr­¬ngNgäcB«n B. néi dung PhÇn I: H­íng dÉn sö dông m¸y tÝnh casio Fx:500 MS vµ Fx:570 MS A/.m¸y tÝnh casio Fx:500 MS I/ C¸c phÝm vµ c¸ch bÊm m¸y sö dông chung cho c¶ m¸y Fx:500 MS vµ Fx:570 MS : C¸c lo¹i phÝm: + PhÝm tr¾ng: BÊm trùc tiÕp ( vÝ dô: ta Ên 5 = ) + PhÝm vµng: BÊm SHIFT + PhÝm vµng (VÝ Dô: , ta bÊm 4 SHIFT 81 = ) + PhÝm ®á: BÊm ALPHA + PhÝm ®á (vÝ dô: A, ta bÊm ALPHA A 2) Më t¾t m¸y: + Më m¸y: BÊm ON + T¾t m¸y: BÊm SHIFT + OFF + Xo¸ mµn h×nh khi lµm tÝnh : - BÊm AC - BÊm SHIFT CLR 2 = - BÊm SHIFT CLR 3 = + §Ó kiÓm tra lçi ta dïng c¸c phÝm + §Ó s÷a lçi: - Dïng phÝm di chuyÓn. - BÊm phÝm DEL xo¸ ký tù ®ang nhÊp nh¸y - BÊm phÝm SHIFT + IN S chÌn ký tù ®¸nh sãt II/ .m¸y tÝnh casio Fx:500 MS: *) ChÕ ®é Mode: Nh»m Ên ®Þnh ngay tõ ®Çu lo¹i h×nh tÝnh to¸n, lo¹i ®¬n vÞ ®o,d¹ng sè biÓu diÔn kÕt qu¶, ch÷ sè cã nghÜa,sai sè lµm trßn...phï hîp víi gi· thiÕt cña bµi to¸n a) BÊm Mode ( 1 lÇn) + BÊm Mode 1 Lµm c¸c phÐp tÝnh th­êng + BÊm Mode 2 Lµm thèng kª mét biÕn + BÊm Mode Lµm thèng kª hai biÕn b) BÊm Mode Mode( 2 lÇn) ( gi¶i ph­¬ng tr×nh ) + BÊm Mode Mode 1 UNKNO S ( Èn )  - BÊm tiÕp 2 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn - BÊm tiÕp 3 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt ba Èn + BÊm Mode Mode 1 Degree (bËc) - BÊm tiÕp 2 Gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc hai mét Èn - BÊm tiÕp 3 Gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc ba mét Èn c) BÊm Mode Mode Mode ( 3 lÇn) + BÊm Mode Mode Mode 1 Chän ®¬n vÞ ®o gãc lµ ®é + BÊm Mode Mode Mode 2 Chän ®¬n vÞ ®o gãc lµ ra®ian + BÊm Mode Mode Mode 1 Chän ®¬n vÞ ®o gãc lµ grad d) BÊm Mode Mode Mode Mode ( 4 lÇn) BÊm Mode Mode Mode Mode 1 Cã chän sè sè lÎ thËp ph©n BÊm Mode Mode Mode Mode 2 Cã chän hiÖn sè d¹ng : a.10 BÊm Mode Mode Mode Mode 3 Cã chän sè d¹ng th­êng e) BÊm Mode Mode Mode Mode Mode( 5 lÇn) BÊm tiÕp 1 + BÊm Mode Mode Mode Mode Mode 1 1 kÕt qu¶ d­íi d¹ng hæn sè + BÊm Mode Mode Mode Mode Mode 1 2 kÕt qu¶ d­íi d¹ng ph©n sè + BÊm Mode Mode Mode Mode Mode 1 + BÊm Mode Mode Mode Mode Mode 1 1 Chä dÊu c¸ch ph©n nguyªn vµ phÇn thËp ph©n lµ dÊu (.) + BÊm Mode Mode Mode Mode Mode 1 1 Chä dÊu c¸ch ph©n nguyªn vµ phÇn thËp ph©n lµ dÊu (,) III/. C¸ch lµm mét bµi thi “ Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio" *Quy ®Þnh: 1. Yªu cÇu c¸c em dù thi chØ dïng m¸y Casio fx 500 MS, Casio fx 570 MS, Casio fx 500 ES, Casio fx 570 ES ®Ó gi¶i. 2. NÕu kh«ng qui ®Þnh g× thªm th× c¸c kÕt qu¶ trong c¸c ®Ò thi ph¶iviÕt ®ñ 10 chö sè hiÖn trªn mµn h×nh m¸y tÝnh. 3. Tr×nh bµy bµi gi¶i theo c¸c b­íc sau : - S¬ l­îc lêi gi¶i ( lêi gi¶i v¾n t¾t) - Thay sè vµo c«ng thøc (nÕu cã) - ViÕt quy tr×nh Ên phÝm - KÕt qu¶ *NhËn xÐt : Qua c¸c ®Ò thi tØnh, khu vùc tæ chøc c¸c n¨m gÇn ®©y. Chóng ta cã thÓ nh×n ®Ò thi ‘ Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio  theo c¸c ®Þnh h­íng sau ®©y : 1. Bµi thi häc sinh giái" Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " ph¶i lµ mét bµi thi Häc sinh giái to¸n cã sù trî gióp cña m¸y tÝnh ®Ó thö nghiÖm t×m ra c¸c quy luËt to¸n häc hoÆc t¨ng tèc ®é tÝnh to¸n. 2. §»ng sau c¸c bµi to¸n Gi¶i trªn m¸y tÝnh Casio Èn chøa nh÷ng ®Þnh lý, thuËt to¸n, thËm chÝ c¶ mét lý thuyÕt to¸n häc ( sè häc, d·y tru håi...) ` 3. Ph¸t huy ®­îc vai trß tÝch cùc cña to¸n häc vµ m¸y tÝnh trong gi¶i c¸c bµi to¸n thùc tÕ PhÇn II: C¸c d¹ng bµi tËp to¸n gi¶i b»ng m¸y tÝnh cÇm tay I/. Mét sè d¹ng to¸n x¸c ®Þnh sè (sè häc): 1/ . Lo¹i 1. TÝnh chÝnh x¸c kÕt qu¶ phÐp tÝnh : .Ph­¬ng ph¸p: Dùa vµo c¸c tÝnh chÊt sau: Sè = . 10+ TÝnh chÊt cña phÐp nh©n: ( A + B)( C + D) = AC + AD +BC + BD KÕt hîp tÝnh trªn m¸y vµ lµm trªn giÊy. .Môc tiªu: Chia sè lín thµnh nh÷ngsè nhámµ kh«ng trµn mµn h×nh khi thùc hiÖn trªn m¸y vÝ dô1: tÝnh chÝnh x¸c kÕt qu¶ cña phÐp tÝnh sau: A = 12578963 x 14375 b) TÝnh chÝnh x¸c A c) TÝnh chÝnh x¸c cña sè: B = 1234567892 d) TÝnh chÝnh x¸c cña sè: C = 10234563 Gi¶i: a) NÕu tÝnh trªn m¸y sÏ trµn mµn h×nh nªn ta lµm nh­ sau: A = 12578963.14375 = (12578.103 + 963).14375 = 12578.103.14375 + 963.14375 * TÝnh trªn m¸y: 12578.14375 = 180808750 Þ 12578.103.14375 = 180808750000 * TÝnh trªn m¸y: 963.14375 = 13843125 Tõ ®ã ta cã: A = 180808750000 + 13843125 = 180822593125 VËy A = 12578963 x 14375 = 180822593125 b) B =1234567892=(123450000 + 6789)2 = (1234.104)2 + 2.12345.104.6789 + 67892 TÝnh trªn m¸y: 123452 = 152399025; 2x12345x6789 = 167620410 ; 67892 = 46090521 VËy: B = 152399025.108 + 167620410.104 + 46090521 = 15239902500000000 + 1676204100000 46090521 = 15241578750190521 d) C = 10234563 = (1023000 + 456)3= (1023.103 + 456)3 = 10233.109 + 3.10232.106.456 + 3.1023.103.4562 + 4563 TÝnh trªn m¸y: 10233 = 1070599167; 3.10232.456 = 1431651672 3.1023.4562 = 638155584; 4563 = 94818816 VËy (tÝnh trªn giÊy): C = 1070599167000000000 1431651672000000 + 638155584000 94818816 = 1072031456922402816 Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1 : TÝnh kÕt qu¶ ®óng cña c¸c tÝch sau: a) M = 2222255555 x 2222266666 b) N = 20032003 x 20042004 §¸p sè: a) M = 4938444443209829630 b) N = 401481484254012 Bµi 2: TÝnh kÕt qu¶ ®óng cña c¸c phÐp tÝnh sau: a) A = 1,123456789 - 5,02122003 b) B = 4,546879231 + 107,3564177895 ; c) C= 52906279178,48 : 565,432 Bµi 3: TÝnh chÝnh x¸c tæng: S =1.1! +2.2! +3.3! +4.4! +... + 16.16! * H­íng dÉn: Ta cã n.n! = ( n + 1 – 1).n! =(n + 1).n! – n! = (n+1)! –n! * §¸p sè: S = 355687428095999 Bµi 4: a) TÝnh b»ng m¸y tÝnh: Q = 1 + 2+ 3+ . . . + 10. Cã thÓ dïng kÕt qu¶ ®ã ®Ó tÝnh tæng : K = 2 mµ kh«ng dïng m¸y tÝnh .h·y tr×nh bµy lêi gi¶i Êy. §¸p sè: a) Q = 385; b) K = 1540 Bµi 5: TÝnh chÝnh x¸c cña sè A = NhËn xÐt: lµ sè nguyªn cã (k - 1) ch÷ sè 3, tËn cïng lµ sè 4 lµ sè nguyªn gåm k ch÷ sè 1, (k - 1) ch÷ sè 5, ch÷ sè cuèi cïng lµ 6 * Ta dÔ dµng CM ®­îc vµ tÝnh ®­îc kÕt qu¶ lµ: A = 111111111111555555555556 2/. lo¹i 2: T×m sè d­ cña phÐp chia cña sè a cho sè b * Ph­¬ng ph¸p: 1/. §èi víi sè bÞ chia tèi ®a cã 10 ch÷ sè: Th× sè d­ cña A: B = A - B. (trong ®ã lµ phÇn nguyªn cña A cho 2/. Khi sè bÞ chia A lín h¬n 10 ch÷ sè: Khi sè bÞ chia A lín h¬n 10 ch÷ sè ta ng¾t ra thµnh hai nhãm. Nhãm ®Çu 9 ch÷ sè ®Çu( kÓ tõ bª tr¸i). t×m ®­îc sè d­ nh­ phÇn 1). Råi viÕt tiÕp sau sè d­ cßn l¹i tèi ®a 9 ch÷ sè råi t×m sè d­ lÇn hai. NÕu cßn n÷a th× lµm liªn tiÕp nh­ vËy. *§Þnh lÝ: Víi hai sè nguyªn bÊt kú a vµ b, b ¹ 0, lu«n tån t¹i duy nhÊt mét cÆp sè nguyªn q vµ r sao cho: a = bq + r vµ 0 £ r < |b| * Tõ ®Þnh lÝ trªn cho ta thuËt to¸n lËp quy tr×nh Ên phÝm t×m d­ trong phÐp chia a cho b: a SHIFT STO A b SHIFT STO B ALPHA AALPHA B = () ALPHA B - ALPHA B =(Kqu¶: r =...) VÝ dô1: a) ViÕt mét quy tr×nh Ên phÝm t×m sè d­ khi chia 18901969 cho 3041975 TÝnh sè d­ b) T×m sè d­ trong phÐp chia: 815 cho 2004 Gi¶i: a) Quy tr×nh Ên phÝm: 18901969 3041975 (6,213716089) 6 (650119) VËy sè d­ lµ: r = 650119 b) Ta ph©n tÝch: 815 = 88.87 Ta cã: 881732(mod2004) 87 968(mod2004) Þ 815 1732 x 968 (mod2004) 1232(mod2004) VËy sè d­ lµ: r = 1232 Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1: a) ViÕt quy tr×nh Ên phÝm ®Ó t×m sè d­ khi chia 3523127 cho 2047. b) T×m sè d­ ®ã.T×m th­¬ng vµ sè d­ trong phÐp chia: 123456789 cho 23456 Bµi 2: T×m sè d­ trong phÐp chia: a) 987654321 cho 123456789 §¸p sè: r = 9 3/. lo¹i 3: T×m UCLN – BCNN cña a vµ b: *Ph­¬ng ph¸p: 1.Víi c¸c sè a vµ b nhá h¬n 10 ch÷ sè th× ta dïng tÝnh chÊt rót gän ph©n sè Trong ®ã (a; b ) = 1. Khi ®ã UCLN (a;b) = m 2. Víi c¸c sè a vµ b lín h¬n 10 ch÷ sè th× ta dïng thuËt to¸n ¥LE: T×m UCLN(a;b) víi a b ta cã thuËt to¸n sau : Sè d­ cuèi cïng kh¸c 0 lµ r chÝnh lµ UCLN (a;b) hay : r= UCLN (a;b) * Chó ý: BCNN(a;b) = VÝ dô 1: T×m UCLN cña hai sè: a = 24614205, b = 10719433 Gi¶i: *C 1: +) Ta cã: Trong ®ã (a; b ) = 1. Khi ®ã UCLN (a;b) = m +) Quy tr×nh Êm m¸y: 24614205 SHIFT STO A ALPHA A : 10719433 = (1155/503) ALPHA A : 1155 = ( 21311) VËy UCLN(a;b) = 21311 *C 2:  +)Theo thuËt to¸n ¥le t×m sè d­ trong phÐp chia sè a cho b ta ®­îc: +) quy tr×nh Êm m¸yliªn tôc: (B¹n ®äc cã thÓ dÓ dµng lµm ®­îc vµ kÕt qu¶ UCLN(a, b) = 21311) 3. X¸c ®Þnh sè ­íc sè cña mét sè tù nhiªn n *:§Þnh lÝ : Cho sè tù nhiªn n, n > 1, gi¶ sö khi ph©n tÝch n ra thõa sè nguyªn tè ta ®­îc: víi k, ei lµ sè tù nhiªn vµ pi lµ c¸c sè nguyªn tè tho¶ m·n: 1 < p1 < p2 <...< pk Khi ®ã sè ­íc sè cña n ®­îc tÝnh theo c«ng thøc: t (n) = (e1 + 1) (e2 + 1)... (ek + 1) VÝ dô2: H·y t×m sè c¸c ­íc d­¬ng cña sè A = 6227020800. Gi¶i: Ph©n tÝch A ra thõa sè nguyªn tè, ta ®­îc: A = 210.35.52.7.11.13 ¸p dông ®Þnh lÝ trªn ta cã sè c¸c ­íc d­¬ng cña A lµ: t (A) = 11.6.3.2.2.2 = 1584 VËy sè c¸c ­íc d­¬ng cña sè A = 6227020800 lµ: 1584 Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1: T×m ­íc chung lín nhÊt vµ béi chung nhá nhÊt cña: a = 75125232 vµ b = 175429800 §¸p sè: UCLN(a, b) = ; BCNN(a, b) = Bµi 2: Cã bao nhiªu sè tù nhiªn lµ ­íc cña: N = 1890 x 1930 x 1945 x 1954 x 1969 x 1975 x 2004 §¸p sè: 46080 4/. lo¹i 4: T×m ch÷ sè x cña sè n = m víi m N * Ph­¬ng ph¸p: 1) Dùa vµo c¸c dÊu hiÖu chia hÕt cña 2,3,4,5,6,7,8,9,11... 2) Thay x lÇn l­ît tõ 0 ®Õn 9 sao cho n m VÝ dô 1: T×m sè lín nhÊt vµ sè nhá nhÊt trong c¸c sè tù nhiªn cã d¹ng chia hÕt cho 7 *S¬ l­îc lêi gi¶i: - Sè lín nhÊt d¹ng chia hÕt cho 7 sÏ lµ: . LÇn l­ît thay z = ta ®­îc sè lín nhÊt d¹ng chia hÕt cho 7 lµ: ,th­¬ng lµ 275622 - Sè nhá nhÊt d¹ng chia hÕt cho 7 sÏ lµ: . LÇn l­ît thay z = ta ®­îc sè nhá nhÊt d¹ng chia hÕt cho 7 lµ: , th­¬ng lµ 145762 VÝ dô 2: T×m tÊt c¶ c¸c sè n d¹ng: chia hÕt cho 24. *S¬ l­îc lêi gi¶i: V× N 24 Þ N 3 ; N 8 Þ (37 + x + y) 3 ; 8. Þ y chØ cã thÓ lµ 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8. Dïng m¸y tÝnh, thö c¸c gi¸ trÞ x tho¶ m·n: (x + y + 1) 3 vµ 8, ta cã: N1 = 1235679048 ; N2 = 1235679840 Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1: T×m sè lín nhÊt, sè nhá nhÊt trong c¸c sè tù nhiªn d¹ng: chia hÕt cho 13. Sè 2: T×m sè lín nhÊt vµ sè nhá nhÊt trong c¸c sè tù nhiªn cã d¹ng chia hÕt cho 25 Sè 3: T×m ch÷ sè a biÕt r»ng chia hÕt cho 2009 Sè 4: T×m ch÷ sè x biÕt r»ng chia hÕt cho 2009 * lo¹i 4: T×m ch÷ sè tËn cïng cña sè n = víi n N . Ph­¬ng ph¸p: (VËn dông c¸c tÝnh chÊt sau) Nh÷ng sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ: 0;1;5;6 khi n©ng lªn bÊt kú luü thõa nµo còng cã ch÷ sè tËn cïng lµ: 0;1;5;6 Nh÷ng sè cè ch÷ sè tËn cïng lµ: 2;4;6 khi n©ng luü thõa bËc 4 dÒu cã ch÷ sè tËn cïng lµ: 6 Nh÷ng sè cè ch÷ sè tËn cïng lµ: 3;7;9 khi n©ng luü thõa bËc 4 dÒu cã ch÷ sè tËn cïng lµ: 1 Luü thõa bËc bÊt k× cña c¸c sè cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 25 hoÆc 76 (vµ chØ nh÷ng sè Êy) ®Òu cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 25 hoÆc 76 (cã ®u«i bÊt biÕn). Mét tÝch cã mét thõa sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0 th× tÝch ®ã cã ch÷ sè tËn cïng lµ: 0 Mét tÝch cã mét thõa sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ 5 vµ nh©n víi sè lÎ th× tÝch ®ã cã ch÷ sè tËn cïng lµ: 5 Sè chÝnh ph­¬ng chØ chøa c¸c sè tËn cïng lµ: 0;1;4;5;6;9 T×m 2 ch÷ sè tËn cña mét sè cïng th× ta t×m sè d­ khi chia sè ®ã cho 10 (hoÆc béi cña 10 bÐ h¬n 100) T×m 3 ch÷ sè tËn cña mét sè cïng th× ta t×m sè d­ khi chia sè ®ã cho 100 (hoÆc béi cña 100 bÐ h¬n 1000) Thö trªn m¸y lÇn l­ît c¸c sè tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n th× ta chän 10 Luü thõa bËc bÊt k× cña c¸c sè cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 25 hoÆc 76 (vµ chØ nh÷ng sè Êy) ®Òu cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 25 hoÆc 76 (cã ®u«i bÊt biÕn). 12) Luü thõa bËc bÊt k× cña c¸c sè cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 376 hoÆc 625 (vµ chØ nh÷ng sè Êy) ®Òu cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 376 hoÆc 625 (cã ®u«i bÊt biÕn). 13) Luü thõa bËc bÊt k× cña c¸c sè cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 9376 hoÆc 0625 (vµ chØ nh÷ng sè Êy) ®Òu cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 9376 hoÆc 0625 (cã ®u«i bÊt biÕn). VÝ dô 1: T×m ch÷ sè tËn cïng cña sè: a) 9 vµ b) 14 *S¬ l­îc lêi gi¶i:: Ta thÊy 9lµ sè lÎ nªn 9= 2.k + 1 9= 9 nªn tËn cïng lµ sè 9 ta thÊy 14ch¼n nªn 14=2.k 14=14=196nªn ch÷ sè tËn cïng lµ sè: 6 VÝ dô 2: T×m hai ch÷ sè tËn cïng cña sè: 14 *S¬ l­îc lêi gi¶i: Ta cã: 7- 1 = 2400 7- 1 100 7- 1 100 7 cã 2 ch÷ sè lµ : 01 MÆt kh¸c : 14= 2.7 Nh­ng: 2: 20 d­ 4 (v× : 2- 1 =(2)- 1: (2- 1) =15; 4.(2- 1 ): 20 ) Vµ : 7: 20 d­ 9 ( v× :7- 1 : 100 7-1 : 100 7: 20 d­ 17: 20 d­ 9 ) VËy : 14 : 20 d­ 4.9 = 36 14 : 20 d­ 10 14cã 2 ch÷ sè tËn cïng lµ:16 VÝ dô 3: T×m C¸c sè x ; y sao cho  : cã th­¬ng lµ 16 d­ r. Cßn  : cã th­¬ng lµ 16 d­ r -2000 *S¬ l­îc lêi gi¶i: Theo bµi ra ta cã: = 16. + r = 16 . + r - 2000 LÊy trõ ta ®­îc : = 16. + 2000 10.x = 16.y + 2 5.x = 8.y + 1 y = ( v× x; y Z ; 0 x;y 9 ) x = 5: y = 3 VÝ dô 4: T×m c¸c sè khi b×nh ph­¬ng sÏ cã tËn cïng lµ ba ch÷ sè 4. Cã hay kh«ng c¸c sè khi b×nh ph­¬ng cã tËn cïng lµ bèn ch÷ sè 4 ? *S¬ l­îc lêi gi¶i: Ch÷ sè cuèi cïng cña x2 lµ 4 th× ch÷ sè cuèi cïng cña x lµ 2 hoÆc 8. TÝnh trªn m¸y b×nh ph­¬ng cña sè: 2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92, 8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98 ta chØ cã c¸c sè:12, 62, 38, 88. khi b×nh ph­¬ng lªn cã tËn cïng lµ hai ch÷ sè 4. TÝnh trªn m¸y b×nh ph­¬ng cña c¸c sè: 12, 112, 212, 312, 412, 512, 612, 712, 812, 912; 62, 162, 262, 362, 462, 562, 662, 762, 862, 962; 38, 138, 238, 338, 438, 538, 638, 738, 838, 938 88, 188, 288, 388, 488, 588, 688, 788, 888, 988 ta ®­îc: 462, 962, 38, 538 khi b×nh ph­¬ng cã tËn cïng lµ 444. * T­¬ng tù c¸ch lµm trªn, ta cã kÕt luËn: kh«ng cã sè N nµo ®Ó N2 kÕt thóc bëi bèn ch÷ sè tËn cïng lµ : 4444. Bµi tËp ¸p dông: Bµi 5: T×m tÊt c¶ c¸c sè cã 6 ch÷ sè tho· m·n: 1) Sè t¹o thµnh bëi ba ch÷ sè cuèi lín h¬n sè t¹o thµnh bëi ba ch÷ sè ®Çu 1 ®¬n vÞ 2) Lµ sè chÝnh ph­¬ng. Bµi 6: T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn x tho¶ m·n: 10000 < x < 15000 vµ khi chia x cho 393 còng nh­ 655 ®Òu cã sè d­ lµ 210. Bµi 7: T×m c¸c ch÷ sè x, y, z ®Ó chia hÕt cho 5, 7 vµ 9. Bµi 8: T×m sè nguyªn d­¬ng nhá nhÊt cã tÝnh chÊt sau: 1) ViÕt d­íi d¹ng thËp ph©n a cã tËn cïng lµ sè 6. 2) NÕu bá ch÷ sè 6 cuèi cïng vµ ®Æt ch÷ sè 6 lªn tr­íc c¸c ch÷ sè cßn l¹i sÏ ®­îc mét sè gÊp 4 lÇn ch÷ sè ban ®Çu. Bµi 9: T×m sè tù nhiªn n sao cho: a) 2n + 7 chia hÕt cho n + 1 b) n + 2 chia hÕt cho 7 - n Bµi 10: T×m sè tù nhiªn n nhá nhÊt sao cho n3 lµ mét sè cã 3 ch÷ sè ®Çu vµ 4 ch÷ sè cuèi ®Òu lµ sè 1. Bµi 11: a) T×m sè tù nhiªn n nhá nhÊt mµ n2 b¾t ®Çu bëi sè 19 vµ kÕt thóc b»ng sè 89 b) T×m sè tù nhiªn n sao cho: n2 = 2525xxxxxx89 (trong ®ã xxxxxx lµ 6 sè cã thÓ kh¸c nhau). Bµi 12: Víi gi¸ trÞ tù nhiªn nµo cña n th×: 1,01n - 1 n. Bµi 13: T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn: x ; x ; ... ; x Sao cho = §¸p sè – H­íng dÉn lêi gi¶i: Bµi 1: §¸p sè: - Sè lín nhÊt lµ 129304; - Sè nhá nhÊt lµ 1020344 Sè 2: §¸p sè: - Sè lín nhÊt lµ 2939475; - Sè nhá nhÊt lµ: 1030425 Sè 3: §¸p sè: a = Sè 4: §¸p sè: x = Bµi 5: *S¬ l­îc lêi gi¶i:: Gäi sè cÇn t×m lµ: . - §Æt . Khi Êy vµ n = 1000x + x + 1 = 1001x + 1 = y2 hay (y - 1)(y + 1) = 7.11.13x. VËy hai trong ba sè nguyªn tè 7, 11, 13 ph¶i lµ ­íc cña mét trong hai thõa sè cña vÕ tr¸i vµ sè cßn l¹i ph¶i lµ ­íc cña thõa sè cßn l¹i cña vÕ tr¸i. Dïng m¸y tÝnh, xÐt c¸c kh¶ n¨ng ®i ®Õn ®¸p sè: n = 183184 ; 328329 ; 528529 ; 715716. Bµi 6: *S¬ l­îc lêi gi¶i: Tõ gi¶ thiÕt, ta cã: x = 393.q1 + 210 Þ x -210 chia hÕt cho 393 x = 655.q2 + 210 Þ x -210 chia hÕt cho 655 Þ x -210 chia hÕt cho BCNN (393 ; 655) = 1965 Þ x -210 = 1965.k ; (k = 1, 2,...) hay x = 1965k + 210 - Tõ gi¶ thiÕt 10000 < x < 15000 Þ 10000 < 1965k + 210 < 15000 hay 9790 < 1965k < 14790 Þ 5 £ k < 8. TÝnh trªn m¸y: Víi k = 5, ta cã: x = 1965.5 + 210 = 10035 Víi k = 6, ta cã: x = 1965.6 + 210 = 12000 Víi k = 7, ta cã: x = 1965.7 + 210 = 13965 VËy c¸c sè ph¶i t×m lµ: 10035, 12000, 13965 Bµi 7: *S¬ l­îc lêi gi¶i: V× c¸c sè 5, 7, 9 ®«i mét nguyªn tè cïng nhau nªn ta ph¶i t×m c¸c ch÷ sè x, y, z sao cho chia hÕt cho 5.7.9 = 315. Ta cã = 579000 + = 1838.315 + 30 + Þ 30 + chia hÕt cho 315. V× 30 £ 30 + < 1029 nªn (Dïng m¸y tÝnh t×m c¸c béi cña 315 trong kho¶ng (30 ; 1029): - NÕu 30 + = 315 th× = 315 - 30 = 285 - NÕu 30 + = 630 th× = 630 - 30 = 600 - NÕu 30 + = 945 th× = 945 - 30 = 915 VËy ta cã ®¸p sè sau: x y z 2 8 5 6 0 0 9 1 5 Bµi 8: *S¬ l­îc lêi gi¶i: - Gi¶ sö sè cÇn t×m cã n + 1 ch÷ sè. - Tõ ®iÒu kiÖn 1) sè ®ã d¹ng: - Tõ ®iÒu kiÖn 2), ta cã: = 4. (*) - §Æt , th×: = 10a + 6 = 6.10n + a - Khi ®ã (*) trë thµnh: 6.10n + a = 4.(10a + 6) Û 2.(10n - 4) = 13a (**) §¼ng thøc (**) chøng tá vÕ tr¸i chia hÕt cho 13. V× (2 ; 13) = 1 nªn: 10n - 4 chia hÕt cho 13. Bµi to¸n quy vÒ: T×m sè tù nhiªn n nhá nhÊt ®Ó (10n - 4) chia hÕt cho 13, khi ®ã t×m ra sè a vµ sè cÇn t×m cã d¹ng: 10a + 6. Thö lÇn l­ît trªn m¸y c¸c gi¸ trÞ n = 1; 2;... th× (10n - 4) lÇn l­ît lµ: 6, 96, 996, 9996, 99996,... vµ sè ®Çu tiªn chia hÕt cho 13 lµ: 99996. Khi ®ã a = 15384 Þ Sè cÇn t×m lµ: 153846. Bµi 9: *S¬ l­îc lêi gi¶i:: a) LËp c«ng thøc (2n + 7) : (n + 1) trªn m¸y vµ thö lÇn l­ît n = 0, 1, 2,... ta ®­îc n = 0 vµ n = 4 th× 2n + 7 chia hÕt cho n + 1. Chøng minh víi mäi n ³ 5, ta ®Òu cã 2n + 7 kh«ng chia hÕt cho n + 1, thËt vËy: (2n + 7) (n + 1) Þ [(2n + 7) - 2(n + 1)] (n + 1) Þ 5 (n + 1) Þ n £ 5. VËy sè n cÇn t×m lµ 0 hoÆc 4. b) T­¬ng tù ta cã: n = 4 hoÆc n = 6. Bµi 10: *S¬ l­îc lêi gi¶i:: NhËn xÐt: 1) §Ó n3 cã tËn cïng lµ 11 th× n cã tËn cïng lµ sè 1. Thö trªn m¸y c¸c sè:11, 21, 31,...81, 91 ®­îc duy nhÊt sè 71 khi luü thõa bËc ba cã tËn cïng lµ 11. 2) §Ó n3 cã tËn cïng lµ 111 th× n cã ph¶i tËn cïng lµ sè 471. (Thö trªn m¸y víi c¸c sè: 171, 271, 371,...871, 971 ) 3) §Ó n3 cã tËn cïng lµ 1111 th× n ph¶i cã tËn cïng lµ sè 8471. (Thö trªn m¸y víi c¸c sè: 1471, 2471, 3471,...8471, 9471 ) - Gi¶ sö m lµ sè ch÷ sè ®øng gi÷a c¸c sè 111 vµ 1111: + NÕu m = 3k, k ÎZ+, th×: 111 x 103k+4 < n3 = 111...1111 < 112 x 103k+4 () Þ TÝnh trªn m¸y: 10,35398805 x 10k+1 < n < 10,3849882 x 10k+1 Do ®ã, víi k ³ 1. Cho k = 1 ta ®­îc n b¾t ®Çu b»ng sè 103, nghÜa lµ: n = 103...8471 Þ Sè nhá nhÊt trong c¸c sè ®ã lµ: n = 1038471 + NÕu m = 3k + 1 vµ m = 3k + 2, ta ®­îc c¸c sè nµy ®Òu v­ît qu¸ sè 1038471 KÕt luËn: Sè nhá nhÊt tho· m·n yªu cÇu bµi to¸n lµ: n = 1038471 khi ®ã: (tÝnh kÕt hîp trªn m¸y vµ trªn giÊy): n3 = 1119909991289361111 Bµi 11: *S¬ l­îc lêi gi¶i:: a) Tr­íc hÕt ta t×m sè n2 cã tËn cïng lµ 89: - V× n2 cã tËn cïng lµ 9 nªn n chØ cã thÓ cã tËn cïng lµ 3 hoÆc 7. - Thö trªn m¸y c¸c sè: 13, 23,..., 93 ; 17, 27,..., 97 ta t×m ®­îc: ®Ó n2 cã tËn cïng lµ 89 th× n ph¶i cã 2 sè tËn cïng lµ mét trong c¸c sè sau: 17, 33, 67, 83 (*) * B©y giê ta t×m sè n2 b¾t ®Çu bëi sè 19: - §Ó n2 b¾t ®Çu bëi sè 19 th× nã ph¶i cã d¹ng: 19 x 10k £ n2 < 20 x 10k Û (1) + NÕu k = 2m th× ta cã (1), trë thµnh: Û 4,3588989.10m £ n < 4,472135955.10m (2) Trong (2) ta cho m = 0, 1, 2,... (tÝnh trªn m¸y): ta ®­îc n cã thÓ lµ: 44, 436, 437, 438, 439, ... , 447 + NÕu k = 2m th× ta cã (1), trë thµnh: Û 13,78404875.10m £ n < 14,14213562.10m (3) Trong (3) ta cho m = 0, 1, 2,... (tÝnh trªn m¸y): ta ®­îc n cã thÓ lµ: 14, 138, 139, ... , 141 1379, 1380, 1381, ... , 1414 Tãm l¹i ®Ó n b¾t ®Çu bëi sè 19 th× n cã thÓ lµ: 14, 44, 138, 139, ..., 141, 436, 437, ... , 447, 1379, 1380, ... , 1414 (**) Tõ (*) vµ (**) ta nhËn thÊy trong c¸c sè trªn chØ cã sè 1383 tho¶ m·n bµi to¸n. b) Ta cã: 2525 x 108 £ x2 < 2526 x 108 Û 50,24937811 x 104 £ x < 50,25932749 x 104 VËy : 502493 < x < 502593 Sè x tËn cïng ph¶i lµ: 17, 33, 67, 83 (theo c©u a), do ®ã c¸c sè tho¶ m·n lµ: 502517, 502533, 502567, 502583. Bµi 12:*S¬ l­îc lêi gi¶i: Ta cã: 1,01512 » 163,133... < 512 1,011024 » 26612,56.. > 1024 VËy: 512 < n < 1024 Thu hÑp kho¶ng c¸ch chøa n b»ng ph­¬ng ph¸p chia ®«i: - Chia ®«i ®o¹n [512 ; 1024], ta cã: VËy l¹i cã: 512 < n < 768 Sau mét sè b­íc chia ®«i nh­ thÕ ®i ®Õn: 650 < n < 652 Cuèi cïng ta cã: 1,01651 = 650,45... < 651 1,01652 = 656,95.. > 652 Þ n = 652 * Quy tr×nh trªn MT Casio fx: 500 MS (ThuËt to¸n: XÐt hiÖu 1,01A - A , g¸n cho A c¸c gi¸ trÞ tù nhiªn: 0, 1, 2,... dõng l¹i khi hiÖu trªn chuyÓn tõ (-) sang (+)) - G¸n cho « nhí gi¸ trÞ tù nhiªn ®Çu tiªn: 0 - LËp c«ng thøc tÝnh hiÖu 1,01A - A vµ g¸n gi¸ trÞ « nhí bëi sè tù nhiªn kÕ tiÕp: 1,01 1 - LÆp l¹i c«ng thøc trªn: ... Bµi to¸n kÕt thóc khi chuyÓn tõ n = 651 sang n = 652. Bµi 13:*S¬ l­îc lêi gi¶i: Ta cã: 10.000.000 = 99999999 57 99 Ta ghi lªn mµ h×nh kh«ng tho¶ m·n ë vÞ trÝ x; x Dïng phÝm ®Ó söa vµ thö c¸c sè tõ 57; 58; ...;98; 99. ta ®­îc 3 sè : 65; 86; 91 VËy ta cã 3 bé sè x ; x ; ... ; x lµ : 65= 17850625 ; 86= 54700816 ; 91= 68574961 II. ®a thøc: * KiÕn thøc bæ rung: 1) Cho ®a thøc P (x) bËc n: P (x) = an . xn + an-1 . xn-1 + ... + a1. x +a0 (*) Trong ®ã: an ; an-1 ; ...a1; a0 /R ; an 0 Khi đã: an; an-1; an-2; an-3;... ; a1; a0 gọi c¸c hệ số N ếu x0 mµ P(x0) = 0 th× x0 lµ nghiệm của P(x) 2) Khi chia ®a thøc P (x) cho (x - ) lu«n tån t¹i mét ®a thøc th­¬ng Q(x) vµ sè d­ r. Hay ta lu«n cã: P(x) = Q(x). (x - ) + r * Chó ý: (§Þnh lý Bezout) 1) N ếu x = lµ nghiệm của P(x) P(x) (x - ) 2) Nếu x0 lµ nghiệm nguyªn của P(x) th× x0 ước của a0 3) N ếu tổng c¸c hệ số bằng 0 th× P(x) = 0 cã nghiệm lµ x = 1 ( Hay P(x) ( x - 1) ) 4) NÕu tæng c¸c hÖ sè bËc ch¼n b»ng tæng c¸c hÖ sè bËc lÎ th× P(x) = 0 cã nghiÖm lµ x = -1 (Hay P(x) ( x + 1) ) * S¬ ®å Horner: (®èi víi ®a thøc mét biÕn) Khi chia ®a thøc P(x) cho ( x - ) th­¬ng lµ: bn. xn-1 + bn-1. xn-2 + ... + b2 . x + b1vµ cã sè d­ lµ: r . Khi ®ã ta cã s¬ ®å nh­ sau: an an-1 an-2 an-3 ...... a1 a0 bn bn-1 bn-2 bn-3 ....... b1 r = b0 Trong đã: bn = an bn-1 = . bn + an-1 bn-2 = . bn-1 + an-2 .......................... b1 = . bn-1 + a1 b0 = . b1 + a0. Khi đã: 1). P () = b0 2). Nếu P () = 0 th× P(x) (x - ) 3). Nếu P (x) 0 th× P (x) : (x - ) cã sè dư lµ: r = P () Vµ cã thương lµ: bn. xn-1 + bn-1. xn-2 + ... + b2 . x + b1 1/.Lo¹i 1: TÝnh gi¸ trÞ cña ®a P(x,y,) khi x = x0, y = y0; *Ph­¬ng ph¸p: 1). TÝnh trùc tiÕp (Thay trùc tiÕp c¸c gi¸ trÞ cña x, y vµo biÓu thøc råi tÝnh kÕt qu¶. 2). Sö dông s¬ ®å Horner ( chØ sö dông khi bµi to¸n yªu cÇu t×m th­¬ng vµ gi¸ trÞ cña ®a thøc t¹i x = ( r = P() = b0 ) *Trªn m¸y tÝnh: 1). - G¸n gi¸ trÞ x0 vµo biÕn nhí M. - Råi thùc hiÖn quy tr×nh 2). -TÝnh nhê vµo biÕn nhí VÝ dô 1: TÝnh A = khi x = 1,8165 Gi¶i: *C¸ch 1: TÝnh nhê vµo biÕn nhí BÊm phÝm: 1 8165  KÕt qña: 1.498465582 *C¸ch 2: TÝnh nhê vµo biÕn nhí BÊm phÝm: 18165 KÕt qña: 1.498465582 * Chó ý: Trong c¸c kú thi HSG th­êng vÉn hay cã d¹ng to¸n nµy. §Æc biÖt c¸c cuéc thi cÊp huyÖn. Kh¶n n¨ng tÝnh to¸n dÉn ®Õn sai sè th­êng kh«ng nhiÒu. Nh­ng biÓu thøc qu¸ phøc t¹p nªn t×m c¸ch chia nhá bµi to¸n. Tr¸nh t×nh tr¹ng phÐp tÝnh v­ît qu¸ giíi h¹n nhí cña m¸y tÝnh. SÏ dÉn ®Õn kÕt qu¶ sai ( KÕt qu¶ ®· quy trßn trªn m¸y tÝnh trong qu¸ tr×nh thùc hiÖn, cã tr­êng hîp kÕt qu¶ sai h¼n). Do vËy kh«ng cã ®iÓm trong tr­êng hîp nµy. Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1: TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: a. A(x) = khi x = 1,23456 b. khi x = 2,18567 2/.Lo¹i 2: T×m d­ trong phÐp chia ®a thøc P(x) cho nhi thøc ax + b *Ph­¬ng ph¸p: Khi chia ®a thøc P (x) cho (ax + b) lu«n tån t¹i mét ®a thøc th­¬ng Q(x) vµ sè d­ r. Hay ta lu«n cã: P(x) = Q(x). (ax + b) + r P(-) = r VËy sè d­ trong phÐp chia P (x) cho (ax + b) lµ r = P(-) VÝ dô 1: T×m sè d­ trong phÐp chia: P= Gi¶i: §Æt Q(x) = Khi ®ã sè d­ trong phÐp chia: P= lµ Q(1,624) *Qui tr×nh bÊm m¸y (fx-500MS vµ fx-570 MS) KÕt qu¶: r = 85,92136979 Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1: T×m sè d­ trong phÐp chia Bµi 2: Cho . a) T×m phÇn d­ r1, r2 khi chia P(x) cho x – 2 vµ x-3. b) T×m BCNN(r1,r2)? 3/.Lo¹i 3: x¸c ®Þnh tham sè m ®Ó ®a thøc P(x)+m chia hÕt cho nhi thøc a.x+ b *Ph­¬ng ph¸p: Khi chia ®a thøc P (x) + m cho (ax + b) lu«n tån t¹i mét ®a thøc th­¬ng Q(x) vµ sè d­ r. Hay ta lu«n cã: P(x) = Q(x). (ax + b) +m + r §Ó P (x) + m chia hÕt cho (ax + b) th×: m +r = 0 m =- r m =- P(-) VÝ dô 1: T×m a ®Ó ®a thøc A(x) = chia hÕt cho x+6. Gi¶i: *S¬ l­îc lêi gi¶i: §Æt P(x) = Khi ®ã ta cã: A(x) = P(x) + a Mµ d­ khi chia P(x) cho x+6 lµ: r = P(-6) VËy ®Ó A(x) x+6 th× r + a = 0 a = - r = - P(-6) *Qui tr×nh bÊm m¸y fx-500MS 6 47213 KÕt qu¶: a = -222 VÝ dô 2: Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625. T×m m ®Ó P(x) + m2 chia hÕt cho x + 3 ? Gi¶i: *S¬ l­îc lêi gi¶i: Ta cã: d­ khi chia P(x) cho x + 3 lµ: r = P(-3) ®Ó P(x) + m2 chia hÕt cho x + 3 Th×: m2 =- P(-3) = - => m = *Qui tr×nh bÊm m¸y fx-500MS: KÕt qu¶: m = 27,51363298 4/. Lo¹i 4: T×m th­¬ng vµ sè d­ khi chia ®a thøc cho ®¬n thøc: *Ph­¬ng ph¸p: Sö dông s¬ ®å Horner an an-1 an-2 an-3 ...... a1 a0 bn bn-1 bn-2 bn-3 ....... b1 r = b0 Trong đã: bn = an bn-1 = . bn + an-1 bn-2 = . bn-1 + an-2 .......................... b1 = . bn-1 + a1 b0 = . b1 + a0. Khi đã: 1). P () = b0 2). Nếu P () = 0 th× P(x) (x - ) 3). Nếu P (x) 0 th× P (x) : (x - ) cã sè dư lµ: r = P () Vµ cã thương lµ: bn. xn-1 + bn-1. xn-2 + ... + b2 . x + b1 Chøng minh: Ta xÐt ®a thø bËc ba: P(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0 chia cho x - Ta cã: a3x3 + a2x2 + a1x + a0 = (b3x2 + b2x + b1)(x-) + r = b3x3 + (b2-b3)x2 + (b1-b2)x + (r - b1) Tõ ®ã ta cã c«ng thø truy håi Horner: b3 = a3 b2= b3 + a2 b1= b2 + a1 b0 = r = b1 + a3. VÝ dô 1: T×m th­¬ng vµ sè d­ trong phÐp chia x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 cho x + 5. Gi¶i Ta cã: = - 5; a0 = 1; a1 = 0; a2 = -2; a3 = -3; a4 = a5 = 0; a6 = 1; a7 = -1; b0 = a0 = 1. *Qui tr×nh bÊm m¸y fx-500MS: VËy: x7-2x5-3x4+x -1 = (x + 5)(x6 -5x5 + 23x4 -118x3 + 590x2-2590x + 14751) - 73756. 5/. Lo¹i 5: Ph©n tÝch ®a thøc theo bËc cña mét ®¬n thøc *Ph­¬ng ph¸p: Sö dông s¬ ®å Horner cho n lÇn ¸p dông n-1 lÇn sö dông s¬ ®å Horner ta ph©n tÝch ®­îc ®a thøc P(x) bËc n theo x-: P(x)=r0+r1(x-)+r2(x-)2+…+rn(x-)n. VÝ dô 1: Ph©n tÝch P(x) = x4 – 3x3 + x – 2 theo bËc cña x – 3. Gi¶i: Thùc hiÖn phÐp chia P(x)=q1(x)(x-)+r0 theo theo s¬ ®å Horner ta ®­îc q1(x) vµ r0. Sau tiÕp tôc t×m c¸c qk(x) vµ rk-1 ta ®­îc b¶ng sau: 1 -3 0 1 -2 x4-3x2+x-2 3 1 0 0 1 1 q1(x)=x3+1, r0 = 1 3 1 3 9 28 q2(x)=x3+3x+1, r1 = 28 3 1 6 27 q3(x)=x+6, r0 = 27 3 1 9 q4(x)=1=a0, r0 = 9 VËy x4 – 3x3 + x – 2 = 1 + 28(x-3) + 27(x-3)2 + 9(x-3)3 + (x-3)4. 6/. Lo¹i 6: X¸c ®Þnh ®a thøc & tÝnh gi¸ trÞ mét sè gi¸ trÞ cña ®a thøc khi biÕt mét sè gi¸ trÞ cña kh¸c cña nã: *Ph­¬ng ph¸p: 1). Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh tõ ®ã t×m ®­îc c¸c hÖ sè 2). T×m ®a thø phô tr­íc, råi quay l¹i t×m ®a thøc. VÝ dô 1: Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f. BiÕt P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 15. TÝnh P(6), P(7), P(8), P(9). Gi¶i: §Æt A(x) = P(x) - x2 ta cã: A(1) = 0 ; A(2) = 0 ; A(3) = 0; A(4) = 0 ; A(5) = 0; Nªn theo ®Þnh lý Bezout ta cã: x = 1;2;3;4;5 lµ nghiÖm cña A(x) do ®ã ta cã: k.( x - 1)(x-2)( x - 3)(x-4)(x - 5) = P(x) - x2 => P(x) = k.( x - 1)(x-2)( x - 3)(x- 4)(x - 5) + x2 V× P(x) cã bËc lín nhÊt lµ: 5 vµ cã hÖ sè b»ng 1 nªn k = 1 VËy P(x) = ( x - 1)(x-2)( x - 3)(x- 4)(x - 5) + x2 => .P(6) = ( 6 - 1)(6-2)(6 - 3)(6-4)(6 - 5) + 62 = 156 .P(7) = ( 7 - 1)(7-2)(7 - 3)(7-4)(7 - 5) + 72 = 769 .P(6) = ( 8 - 1)(8-2)(8 - 3)(8-4)(8- 5) + 82 = 2584 .P(6) = ( 9 - 1)(9-2)(9 - 3)(9-4)(9 - 5) + 92 = 6801 VÝ dô 2: Cho P(x) = 6x5 + ax4 + bx3 + x2 + cx + 450. BiÕt ®a thøc P(x) chia hÕt cho c¸c nhÞ thøc (x - 2) ; (x - 3); (x - 5) . H·y t×m c¸c gi¸ trÞ a, b, c vµ c¸c nghiÖm cña ®a thøc. *HD: Dïng chøc n¨ng gi¶i hpt ta ®­îc kÕt qu¶: a = -59; b = 161; c = - 495; x1 = 2; x2 = 3; x3=5; x4=3/2; x5=-5/3 Bµi tËp ¸p dông : Bµi 1: Cho ®a thøc P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m. a. T×m m ®Ó P(x) chia hÕt cho 2x + 3. b. Víi m võa t×m ®­îc ë c©u a h·y t×m sè d­ r khi chia P(x) cho 3x-2. c. T×m m vµ n ®Ó Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n vµ P(x) cïng chia hÕt cho x-2. d. Víi n võa t×m ®­îc ph©n tÝch Q(x) ra tÝch c¸c thõa sè bËc nhÊt. Bµi 2: Cho P(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q. BiÕt Q(1) = 5; Q(2) = 7; Q(3) = 9; Q(4) = 11. TÝnh Q(10), Q(11), Q(12), Q(13). Bµi 3: Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m vµ Q(x) = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x + n. a. T×m gi¸ trÞ cña m, n cña c¸c ®a thøc P(x) vµ Q(x) chia hÕt cho x – 2. b. Víi gi¸ trÞ cña m, n võa t×m ®­îc chøng tá r»ng ®a thøc R(x) = P(x) – Q(x) chØ cã mét nghiÖm duy nhÊt Bµi 4: Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m. 1. T×m sè d­ trong phÐp chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2010 2. T×m gÝa trÞ m ®Ó P(x) chia hÕt cho x – 2,5 3. P(x) cã nghiÖm x = 2. T×m m? Bµi5. Cho P(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx + e. BiÕt P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51. TÝnh P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11). Bµi 6: Cho ®a thøc P(x) = x10 + x8 – 7,589x4 + 3,58x3 + 65x + m. a. T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó P(x) cã nghiÖm lµ: x = 0,3648 b. Víi m võa t×m ®­îc, t×m sè d­ khi chia P(x) cho (x -23,55) Bµi 7: 1.Cho x=2,1835 vµ y= -7,0216. TÝnh 2.T×m sè d­ r cña phÐp chia : 3. Cho . T× m m ®Ó P(x) chia hÕt cho ®a thøc x+2 Bµi 8: a. T×m m ®Ó P(x) chia hÕt cho (x -13) biÕt P(x) = 4x5 + 12x4 + 3x3 + 2x2 – 5x – m + 7 b. Cho P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f biÕt P(1) = P(-1) = 11; P(2) = P(-2) = 47; P(3)=107. TÝnh P(12)? Bµi 9: Cho ña thöùc P(x) = x3 + bx2 + cx + d. BiÕt P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9. TÝnh: a. c¸c hÖ sè b, c, d cña ®a thøc P(x). b. T×m sè d­ r1 khi chia P(x) cho x – 4. c. T×m sè d­ r2 khi chia P(x) cho 2x +3. Bµi 10: Cho ®a thøc P(x) = x3 + ax2 + bx + c. BiÕt P(1) = -25; P(2) = -21; P(3) = -41. TÝnh: a. C¸c hÖ sè a, b, c cña ®a thøc P(x). b. T×m sè d­ r1 khi chia P(x) cho x + 4. c. T×m sè d­ r2 khi chia P(x) cho 5x +7. d. T×m sè d­ r3 khi chia P(x) cho (x+4)(5x +7). Bµi 11: Cho ®a thøc P(x) = x4+ax3 + bx2 + cx + d. BiÕt P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18; P(4) = 48. TÝnh P(2010)? Bµi 12: Chia P(x) = x81 + ax57 + bx41 + cx19 + 2x + 1 cho x – 1 ®­îc sè d­ lµ 5. Chia P(x) cho x – 2 ®­îc sè d­ lµ - 4. H·y t×m cÆp (M,N) biÕt r»ng Q(x) = x81 + ax57 + bx41 + cx19 + Mx + N chia hÕt cho (x-1)(x-2) 3: Liªn ph©n sè: Cho a, b (a>b) lµ hai sè tù nhiªn. Dïng thuËt to¸n ¬clÝt chia a cho b, ph©n sè cã thÓ viÕt d­íi d¹ng: V× b0 lµ ph©n d­ cña a khi chia cho b nªn b > b0. Do vËy ta ®­îc TiÕp tôc nh­ vËy ta ®­îc sau n b­íc ta ®­îc: . C¸ch biÓu diÓn nµy gäi lµ c¸ch biÓu diÓn sè höu tØ d­íi d¹ng liªn ph©n sè. Mäi sè höu tØ cã mét biÓu diÓn duy nhÊt d­íi d¹ng liªn ph©n sè, nã ®­îc viÕt gän lµ . VÊn ®Ò ®Æt ra lµ: h·y biÓu diÓn liªn ph©n sè vÒ d¹ng vµ ng­îc l¹i Víi sù trî gióp cña m¸y tÝnh ta cã thÓ tÝnh mét c¸ch nhanh chãng. * Qui tr×nh bÊm m¸y fx-500MS: 1). TÝnh tõ d­íi lªn trªn: BÊm lÇn l­ît c¸c phÝm: 2). TÝnh tõ trªn xuèng d­íi: BÊm lÇn l­ît c¸c phÝm: VÝ dô1: TÝnh gi¸ trÞ cña: Gi¶i: Qui tr×nh bÊm trªn m¸y fx-500MS *C¸ch 1: BÊm c¸c phÝm: *C¸ch 2: BÊm c¸c phÝm: VÝ dô 2: BiÕt trong ®ã a vµ b lµ c¸c sè d­¬ng. T×m a,b? Gi¶i: Ta cã: . VËy a = 7, b = 2. Bµi tËp vËn dông: Bµi 1: TÝnh vµ viÕt kÕt qu¶ d­íi d¹ng ph©n sè: Bµi 2: T×m c¸c sè tù nhiªn a vµ b biÕt: Bµi 3: T×m gi¸ trÞ cña x, y cña c¸c ph­¬ng tr×nh sau: a. b. Bµi 6: Cho H·y viÕt l¹i A d­íi d¹ng ? 4.D·y sè: 1. LËp quy tr×nh tÝnh sè h¹ng D·y sè cho bëi c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t: un = f(n), n Î N* d·y sè (un) cho bëi trong ®ã f(n) lµ biÓu thøc cña n cho tr­íc. C¸ch lËp quy tr×nh: - Ghi gi¸ trÞ n = 1 vµo « nhí : 1 - LËp c«ng thøc tÝnh f(A) vµ g¸n gi¸ trÞ « nhí 1 - LÆp dÊu b»ng: ... ... Gi¶i thÝch: 1 : ghi gi¸ trÞ n = 1 vµo « nhí 1 : tÝnh un = f(n) t¹i gi¸ trÞ (khi bÊm dÊu b»ng thø lÇn nhÊt) vµ thùc hiÖn g¸n gi¸ trÞ « nhí thªm 1 ®¬n vÞ:1 (khi bÊm dÊu b»ng lÇn thø hai). * C«ng thøc ®­îc lÆp l¹i mçi khi Ên dÊu VÝ dô 1: TÝnh 10 sè h¹ng ®Çu cña d·y sè (un) cho bëi: Gi¶i: - Ta lËp quy tr×nh tÝnh un nh­ sau: 1 1 5 1 5 2 1 5 2 1 - LÆp l¹i phÝm: ... ... kÕt qu¶: u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5, u6 = 8, u7 = 13, u8 = 21, u9 = 34, u10 = 55. 2. LËp quy tr×nh tÝnh sè h¹ng D·y sè cho bëi hÖ thøc truy håi d¹ng: d·y sè (un) cho bëi trong ®ã f(un) lµ biÓu thøc cña un cho tr­íc. C¸ch lËp quy tr×nh: - NhËp gi¸ trÞ cña sè h¹ng u1: a - NhËp biÓu thøc cña un+1 = f(un) : ( trong biÓu thøc cña un+1 chç nµo cã un ta nhËp b»ng ) - LÆp dÊu b»ng: Gi¶i thÝch: - Khi bÊm: a mµn h×nh hiÖn u1 = a vµ l­u kÕt qu¶ nµy - Khi nhËp biÓu thøc f(un) bëi phÝm , bÊm dÊu lÇn thø nhÊt m¸y sÏ thùc hiÖn tÝnh u2 = f(u1) vµ l¹i l­u kÕt qu¶ nµy. - TiÕp tôc bÊm dÊu ta lÇn l­ît ®­îc c¸c sè h¹ng cña d·y sè u3, u4... VÝ dô 1: T×m 20 sè h¹ng ®Çu cña d·y sè (un) cho bëi: Gi¶i: - LËp quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh c¸c sè h¹ng cña d·y sè nh­ sau: 1 (u1) 2 1 (u2) ... - Ta ®­îc c¸c gi¸ trÞ gÇn ®óng víi 9 ch÷ sè thËp ph©n sau dÊu ph¶y: u1 = 1 u8 = 1,414215686 u2 = 1,5 u9 = 1,414213198 u3 = 1,4 u10 = 1,414213625 u4 = 1,416666667 u11 = 1,414213552 u5 = 1,413793103 u12 = 1,414213564 u6 = 1,414285714 u13 = 1,414213562 u7 = 1,414201183 u14 =...= u20 = 1,414213562 VÝ dô 2: Cho d·y sè ®­îc x¸c ®Þnh bëi: T×m sè tù nhiªn n nhá nhÊt ®Ó un lµ sè nguyªn. Gi¶i: - LËp quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh c¸c sè h¹ng cña d·y sè nh­ sau: 3 (u1) 3 (u2) (u4 = 3) VËy n = 4 lµ sè tù nhiªn nhá nhÊt ®Ó u4 = 3 lµ sè nguyªn. 3. LËp quy tr×nh tÝnh sè h¹ng D·y sè cho bëi hÖ thøc truy håi d¹ng: D·y sè (un) cho bëi C¸ch lËp quy tr×nh: * C¸ch 1: BÊm phÝm: b A B a C Vµ lÆp l¹i d·y phÝm: A B C A B C Gi¶i thÝch: Sau khi thùc hiÖn b A B a C trong « nhí lµ u2 = b, m¸y tÝnh tæng u3 := Ab + Ba + C = Au2 + Bu1 + C vµ ®Èy vµo trong « nhí , trªn mµn h×nh lµ: u3 : = Au2 + Bu1 + C Sau khi thùc hiÖn: A B C m¸y tÝnh tæng u4 := Au3 + Bu2 + C vµ ®­a vµo « nhí . Nh­ vËy khi ®ã ta cã u4 trªn mµn h×nh vµ trong « nhí (trong « nhí vÉn lµ u3). Sau khi thùc hiÖn: A B C m¸y tÝnh tæng u5 := Au4 + Bu3 + C vµ ®­a vµo « nhí . Nh­ vËy khi ®ã ta cã u5 trªn mµn h×nh vµ trong « nhí (trong « nhí vÉn lµ u4). TiÕp tôc vßng lÆp ta ®­îc d·y sè un+2 = Aun+1 + Bun + C *NhËn xÐt: Trong c¸ch lËp quy tr×nh trªn, ta cã thÓ sö dông chøc n¨ng ®Ó lËp l¹i d·y lÆp bëi quy tr×nh sau (gi¶m ®­îc 10 lÇn bÊm phÝm mçi khi t×m mét sè h¹ng cña d·y sè), thùc hiÖn quy tr×nh sau: BÊm phÝm: b A B a C A B C A B C LÆp dÊu b»ng: ... ... * C¸ch 2: Sö dông c¸ch lËp c«ng thøc BÊm phÝm: a b A B C LÆp dÊu b»ng: ... ... VÝ dô : Cho d·y sè ®­îc x¸c ®Þnh bëi: H·y lËp quy tr×nh tÝnh un. Gi¶i: - Thùc hiÖn quy tr×nh: 2 3 4 1 5 3 4 5 3 4 5 ... ... ta ®­îc d·y: 15, 58, 239, 954, 3823, 15290, 61167, 244666, 978671... HoÆc cã thÓ thùc hiÖn quy tr×nh: 1 2 3 4 5 ... ... ta còng ®­îc kÕt qu¶ nh­ trªn. 4.D·y sè cho bëi hÖ thøc truy håi víi hÖ sè biÕn thiªn d¹ng: Trong ®ã lµ kÝ hiÖu cña biÓu thøc un+1 tÝnh theo un vµ n. D·y sè (un) cho bëi * ThuËt to¸n ®Ó lËp quy tr×nh tÝnh sè h¹ng cña d·y: - Sö dông 3 « nhí: : chøa gi¸ trÞ cña n : chøa gi¸ trÞ cña un : chøa gi¸ trÞ cña un+1 - LËp c«ng thøc tÝnh un+1 thùc hiÖn g¸n = + 1 vµ := ®Ó tÝnh sè h¹ng tiÕp theo cña d·y - LÆp phÝm : VÝ dô : Cho d·y sè ®­îc x¸c ®Þnh bëi: H·y lËp quy tr×nh tÝnh un. Gi¶i: - Thùc hiÖn quy tr×nh: 1 0 1 1 1 ... ... ta ®­îc d·y: 5. LËp c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t: Ph­¬ng ph¸p gi¶i: - LËp quy tr×nh trªn MTCT ®Ó tÝnh mét sè sè h¹ng cña d·y sè - T×m quy luËt cho d·y sè, dù ®o¸n c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t - Chøng minh c«ng thøc t×m ®­îc b»ng quy n¹p VÝ dô 1: T×m a2004 biÕt: Gi¶i: - Tr­íc hÕt ta tÝnh mét sè sè h¹ng ®Çu cña d·y (an), quy tr×nh sau: 1 0 1 2 3 1 1 - Ta ®­îc d·y: - Tõ ®ã ph©n tÝch c¸c sè h¹ng ®Ó t×m quy luËt cho d·y trªn: a1 = 0 a2 = Þ dù ®o¸n c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t: (1) a3 = víi mäi n Î N* b»ng quy n¹p. a4 = * DÔ dµng chøng minh c«ng thøc (1) ®óng ... Þ VÝ dô 2: XÐt d·y sè: Chøng minh r»ng sè A = 4an.an+2 + 1 lµ sè chÝnh ph­¬ng. Gi¶i: - Ta co sè sè h¹ng ®Çu cña d·y (an) b»ng quy tr×nh: - Ta ®­îc d·y: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,... - T×m quy luËt cho d·y sè: Þ dù ®o¸n c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t: (1) ®óng víi mäi n Î N* * Ta hoµn toµn chøng minh c«ng thøc (1) ... Tõ ®ã: A = 4an.an+2 + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) +1 = (n2 + 3n + 1)2. Þ A lµ mét sè chÝnh ph­¬ng. C¸ch gi¶i kh¸c: Tõ kÕt qu¶ t×m ®­îc mét sè sè h¹ng ®Çu cña d·y,ta thÊy: - Víi n = 1 th× A = 4a1.a3 + 1 = 4.1.6 + 1 = 25 = (2a2 - 1)2 - Víi n = 2 th× A = 4a2.a4 + 1 = 4.3.10 + 1 = 121 = (2a3 - 1)2 - Víi n = 3 th× A = 4a3.a5 + 1 = 4.6.15 + 1 = 361 = (2a4 - 1)2 Tõ ®ã ta chøng minh A = 4an.an+2 + 1 = (2an+1 - 1)2 (*) B»ng ph­¬ng ph¸p quy n¹p ta còng dÔ dµng chøng minh ®­îc (*). Bµi tËp ¸p dông Bµi 1: Cho d·y sè (un), (n = 0, 1, 2,...): a) Chøng minh un nguyªn víi mäi n tù nhiªn. b) T×m tÊt c¶ n nguyªn ®Ó un chia hÕt cho 3. Bµi 2: Cho d·y sè (an) ®­îc x¸c ®Þnh bëi: a) X¸c ®Þnh c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t an. b) Chøng minh r»ng sè: biÓu diÔn ®­îc d­íi d¹ng tæng b×nh ph­¬ng cña 3 sè nguyªn liªn tiÕp víi mäi n ³ 1. Bµi 3: Cho d·y sè (un) x¸c ®Þnh bëi: T×m tÊt c¶ sè tù nhiªn n sao cho un lµ sè nguyªn tè. Bµi 4: Cho d·y sè (an) x¸c ®Þnh bëi: Chøng minh r»ng: a) D·y sè trªn cã v« sè sè d­¬ng, sè ©m. b) a2002 chia hÕt cho 11. Bµi 5: Cho d·y sè (an) x¸c ®Þnh bëi: Chøng minh an nguyªn víi mäi n tù nhiªn. Bµi 6: D·y sè (an) ®­îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc: ; (kÝ hiÖu lµ phÇn nguyªn cña sè). Chøng minh r»ng d·y (an) lµ d·y c¸c sè nguyªn lÎ. 5.H×nh Häc: 1/. Gi¶i tam gi¸c: * Mét sè c«ng thøc: 1/. C¸c hÖ thøc trong tam gi¸c vu«ng: 2/. TØ sè l­îng gi¸c cña gãc nhän: 3/ C¸c c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c: * C¸c d¹ng to¸n: VÝ dô 1: TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c ABC, biÕt: AB = 4,123 ; BC = 5,042 ; CA = 7,415 HD: Ta cã : S = Tõ ®ã ta cã: ; ; Bµi 2: TÝnh c¹nh BC, gãc B , gãc C cña tam gi¸c ABC, biÕt: AB = 11,52 ; AC = 19,67 vµ gãc 54o35’12’’ §¸p sè: BC = ; ; Bµi 3: TÝnh c¹nh AB, AC, gãc C cña tam gi¸c ABC, biÕt: BC = 4,38 ; 54o35’12’’ ; 101o15’7’’ §¸p sè: AB= ; AC = ; Bµi 4: Tam gi¸c ABC cã ba c¹nh: AB = 4,123 ; BC = 5,042 ; CA = 7,415 §iÓm M n»m trªn c¹nh BC sao cho: BM = 2,142 1) TÝnh ®é dµi AM? 2) TÝnh b¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABM 3) TÝnh b¸n kÝnh ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ACM. §¸p sè: 1) AM = 2) R = 3) r = Bµi 5: Tam gi¸c ABC cã: 49o27’ ; 73o52’ vµ c¹nh BC = 18,53. TÝnh diÖn tÝch S cña tam gi¸c ? §¸p sè: S = Bµi 6: Tam gi¸c ABC cã chu vi 58 (cm) ; 57o18’ vµ 82o35’ TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh AB, BC, CA ? §¸p sè: AB = ; BC = ; CA = Bµi 7: Tam gi¸c ABC cã 90o < < 180o vµ sinA = 0,6153 ; AB = 17,2 ; AC = 14,6. TÝnh: 1) §é dµi c¹nh BC ? Trung tuyÕn AM ? 2) Gãc ? 3) DiÖn tÝch tam gi¸c S = ? §¸p sè: BC = ; AM = ; ; S = Bµi 8: Tam gi¸c ABC cã 90o ; AB = 7 (cm) ; AC = 5 (cm). TÝnh ®é dµi ®­êng ph©n gi¸c trong AD vµ ph©n gi¸c ngoµi AE ? §¸p sè: AD = ; AE = R O a A a 2. §a gi¸c, h×nh trßn: 1/. §a gi¸c ®Òu n c¹nh, ®é dµi c¹nh lµ a: + Gãc ë t©m: (rad), hoÆc: (®é) + Gãc ë ®Ønh: (rad), hoÆc (®é) + DiÖn tÝch: . O 2/. H×nh trßn vµ c¸c phÇn h×nh trßn: + H×nh trßn b¸n kÝnh R: - Chu vi: C = 2pR - DiÖn tÝch: S = pR2 r R . O + H×nh vµnh kh¨n: d - DiÖn tÝch: S = p(R2 - r2) = p(2r + d)d + H×nh qu¹t: - §é dµi cung: l = aR ; (a: rad) R . O - DiÖn tÝch: (a: rad) (a: ®é) Bµi 9: Ba ®­êng trßn cã cïng b¸n kÝnh 3 cm ®«i mét tiªp xóc ngoµi (H×nh vÏ) TÝnh diÖn tÝch phÇn xen gi÷a ba ®­êng trßn ®ã ? H.DÉn: O1 O2 S D C B A Bµi 10: Cho h×nh vu«ng ABCD, c¹nh a = 5,35. Dùng c¸c ®­êng trßn t©m A, B, C, D cã b¸n kÝnh R = . TÝnh diÖn tÝch xen gi÷a 4 ®­êng trßn ®ã. H.DÉn: Sg¹ch = SABCD - 4Squ¹t Squ¹t = SH.trßn = pR2 Þ Sg¹ch = a2 - 4. pR2 = a2 - pa2 = a2(1 - p) 6,142441068 Bµi 11: Cho ®­êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R = 3,15 cm. Tõ mét ®iÓm A ë ngoµi ®­êng trßn vÏ hai tiÕp tuyÕn AB vµ AC (B, C lµ hai tiÕp ®iÓm thuéc (O) ). TÝnh diÖn tÝch phÇn giíi h¹n bëi hai tiÕp tuyÕn vµ cung trßn nhá BC. BiÕt OA = a = 7,85 cm. H.DÉn: B - TÝnh a: A a Þ O C SOBAC = 2SOBA = aRsina Squ¹t = Sg¹ch = SOBAC - Squ¹t = aRsina - 11,16 (cm2) Bµi 12: TÝnh diÖn tÝch phÇn ®­îc t« ®Ëm trong h×nh trßn ®¬n vÞ (R = 1) (Xem h×nh 1) §¸p sè: Bµi 13: TÝnh tû lÖ diÖn tÝch cña phÇn ®­îc t« ®Ëm vµ diÖn tÝch phÇn cßn l¹i trong h×nh trßn ®¬n vÞ (Xem h×nh 2) §¸p sè: H×nh 1 H×nh 2 PhÇn III: mét sè ®Ò thi ( hÖ THCS ) SỞ GDĐT QUẢNG NGÃI THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO TRƯỜNG THCS – DTNT BA TƠ BẬC TRUNG HỌC NĂM HỌC 2008-2009 Đề chính thức Họ và tênhọc sinh: ……………………………………………………………… Chữ ký của GT1: Chữ ký của GT2: Lớp: ……………………… cấp THCS. Thờii gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 13/12/2008. Chú ý: - Đề này gồm: 4 trang. - Thí sinh làm bài trực tiếp trên bài thi này. ĐIỂM TOÀN BÀI THI CHỮ KÝ CỦA GIÁM KHẢO Bằng số Bằng chữ GK1 GK2 Quy định: Nếu không giaỉ thích gì thêm, hãy tính kết quả chính xác đến 10 chữ số. Bài 1: (10 điểm) Tính giá trị của các biểu thức sau và điền kết quả vào ô vuông: B = A = a) A = KQ: b) B = C = D = c) d) E = e) Biếtt: cosA = 0,8516 ; tgB = 3,1725 ; sinC = 0,4351. Tính : E = cotg(A + B – C) ? Bài 2: (6 điểm) Tìm giá trị của x, y, z dưới dạng phân số (hoặc hỗn số) từ các phương trình sau rồi điền kết quả vào ô vuông : x = a) y = b) z = c) Bài 3: (10 điểm) b = a = a) Tìm các số tự nhiên a và b biết rằng: ÖCLN = b) Tìm ƯCLN và BCNN của 170586104 và 157464096. BCNN = c) Tìm số dư của phép chia: 987654312987654321 cho 123456789. r = Tìm chữ số hàng chục của 172008 Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng chia hết cho 13 Số lớn nhất là: Số nhỏ nhất là: Bài 4: (1điểm) Cho u1 = 2008; u2 = 2009 và un+1 = un + un-1 với mọi n 2. Xác định u13 ? U13 = Bài 5: (3,5 điểm ) Cho đa thức : P (x) = x3 + bx2 + cx + d và cho biết: P(1) = -15; P(2) = -15; P( 3) = -9. a) Lập hệ phương trình tìm các hệ số b, c, d của P(x). Giải: b, c, d là nghiệm của hệ phương trình sau: b = c = d = b) Tìm số dư r và đa thức thương Q(x) trong phép chia P (x) cho (x - 13). Q(x) = r = Bài 6: (1điểm) Cho đa thức : F(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m – 2008. Tìm giá trị của m để phương trình F(x) = 0 có một nghiệm là x = -1,31208. m = B A D C Bài 7: ( 1,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AC = 3AB . Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho DC = AB. Tính tổng số đo ? = Bài 8: (2 điểm) Cho tam giác ABC có ; AB = 4cm ; AC = 6cm và trung tuyến AM. Từ B, kẻ BH vuông góc với AC taïi H và từ M, kẻ MK vuông góc với AC tại K (H, K Î AC). Tính độ dài đường trung tuyến AM. Cách giải: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A H B M K C 4 6 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . AM = Điền kết quả vào ô vuông: Bài 9: (3điểm) Cho tam giác ABC có AB = 8,91cm ; AC = 10,32cm và . (Tính chính xác đến 3 chữ số thập phân). Độ dài đường cao BH. Diện tích tam giác ABC. Độ dài cạnh BC. Cách giải: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Điền kết quả vào ô vuông: BH = SABC = BC = Bài 10: (2điểm) A B 570 D H C Cho hình thang vuông ABCD (BC // AD ; ) có AB = 12,35cm ; BC = 10,55cm ; . Tính chu vi của hình thang ABCD. Tính diện tích của hình thang ABCD. Tính các góc của tam giác ADC. ( Làm tròn đến độ ) Điền kết quả vào ô vuông: C ABCD = SABCD = = ; = SỞ GDĐT QUẢNG NGÃI THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO TRƯỜNG THCS – DTNT BA TƠ BẬC TRUNG HỌC NĂM HỌC 2008-2009 Đề chính thức ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Bài 1: (10 điểm) Tính giá trị của các biểu thức sau và điền kết quả vào ô vuông: Mỗi câu đúng 2 điểm B = 3 A = 2 a) A = KQ: b) B = C = D = 0,266120976 c) d) E = 0,206600311 e) Biếtt: cosA = 0,8516 ; tgB = 3,1725 ; sinC = 0,4351. Tính : E = cotg(A + B – C) ? Bài 2: (6 điểm) Tìm giá trị của x, y, z dưới dạng phân số (hoặc hỗn số) từ các phương trình sau rồi điền kết quả vào ô vuông : Mỗi câu đúng 2 điểm x = a) y = b) z = 6 c) Bài 3: (10 điểm) Mỗi câu đúng 2 điểm a = 3 b = 7 a) Tìm ccác số tự nhiên a và b biết rằng: b) Tìm ƯCLN và BCNN của 170586104 vaø 157464096. ÖCLN = 13122008 BCNN = 2047033248 c) Tìm số dư của phép chia: 987654312987654321 cho 123456789. r = 9 4 d)Tìm chữ số hàng chục của 172008 e)Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất ntrong các số tự nhiên có dạng chia hết cho 13 Số lớn nhất là: 5949372 Số nhỏ nhất là: 5041322 Bài 4: (1điểm) Cho u1 = 2008; u2 = 2009 và un+1 = un + un-1 với mọi n 2. Xác định u13 ? U13= 468008 Bài 5: (3,5 điểm ) Cho đa thức : P (x) = x3 + bx2 + cx + d và cho biết: P(1) = -15; P(2) = -15; P( 3) = -9. a) Lập hệ phương trình tìm các hệ số b, c, d của P(x). ( 2 điểm) Giải: b, c, d là nghiệm của hệ phương trình sau: b = -3 c = 2 d = -15 b) Tìm số dư r và đa thức thương Q(x) trong phép chia P (x) cho (x - 13). (1,5 điểm) Q(x) = x2 + 10x +132 r = 1701 Bài 6: (1điểm) Cho đa thức : F(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m – 2008. Tìm giá trị của m để phương trình F(x) = 0 có một nghiệm là x = -1,31208. m = 1,985738113 Bài 7: ( 1,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AC = 3AB . Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho DC = AB. Tính tổng số đo ? = 450 Bài 8: (2 điểm) Cho tam giác ABC có ; AB = 4cm ; AC = 6cm và trung tuyến AM. Từ B, kẻ BH vuông góc với AC taïi H và từ M, kẻ MK vuông góc với AC tại K (H, K Î AC). Tính độ dài đường trung tuyến AM. Cách giải: .Ta có Nên AH = AB. cos cm Mặt khác: BH//MK (gt) mà MB = MC Suy ra KH = KC cm và MK = ( vì MK là đường trung bình của ) = Do đó = 2,645751311 cm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A H B M K C 4 6 1200 AM = 2,645751311 cm Điền kết quả vào ô vuông: Bài 9: (3điểm) Cho tam giác ABC có AB = 8,91cm ; AC = 10,32cm và . (Tính chính xác đến 3 chữ số thập phân). Độ dài đường cao BH. Diện tích tam giác ABC. Độ dài cạnh BC Mỗi câu đúng 1 điểm Cách giải: Ta có BH = AB Sin = 8,91.sin720 = 8,474 cm SABC = AC.BH = 10,32.8.474 = 43,726 cm2 Ta có AH = AB. cos = 8,91.cos720 = 2,753 cm Suy ra HC = AC – AH = 10,32 – 2,753 = 7,567 cm Do đó BC = cm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ñieàn keát quaû vaøo oâ vuoâng: BH = 8,474 cm SABC = 43,726 cm2 BC = 11,361 cm Bài 10: (2 điểm) A B 570 D H C Cho hình thang vuông ABCD (BC // AD ; ) có AB = 12,35cm ; BC = 10,55cm ; . Tính chu vi của hình thang ABCD. Tính diện tích của hình thang ABCD. Tính các góc của tam giác ADC. ( Làm tròn đến độ ) Giải: a) Ta có AD = ; DH = AH. cotg = 10,55.cotg570 (1 đ) Nên CABCD = 2AB + BC +DH +AD = 2.12,35 + 10,55 +10,55.cotg570 + = 54,68068285 cm b) SABCD = cm2 (0,5 đ) c) Ta có : tg Suy ra . Do đó (0,5 đ) Điền kết quả vào ô vuông: C ABCD = 54,68068285 cm SABCD = 166,4328443 cm2 = 820 ; = 410 CÁCH XẾP GIẢI KỲ THI MTCT CASIO CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC : 2008 – 2009 Giải nhất: Từ 36 đến 40 điểm Giải nhì: Từ 32 đến 36 điểm Giải ba: Từ 28 đến 32 điểm Giải KK: Từ 20 28 điểm C. KÕt luËn vµ kiÕn nghÞ: øng dông cña m¸y tÝnh trong viÖc gi¶i to¸n lµ mét vÊn ®Ò lín, ®ßi hái ng­êi häc ph¶i cã tÝnh s¸ng t¹o, cã t­ duy tèt vµ kü n¨ng vËn dông lý thuyÕt mét c¸ch linh ho¹t. ChÝnh v× lÏ ®ã, trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y, ng­êi gi¸o viªn cÇn chuÈn bÞ chu ®¸o, tØ mØ, râ rµng tõng thÓ lo¹i bµi tËp cô thÓ ®Ó häc sinh hiÓu s©u b¶n chÊt vµ c¸ch vËn dông. X©y dùng cho c¸c em niÒm ®am mª, høng thó trong häc tËp, t«n träng nh÷ng suy nghÜ, ý kiÕn vµ s¸ng t¹o cña c¸c em. CÇn th­êng xuyªn kiÓm tra, ®¸nh gi¸ kÕt qu¶ häc tËp, bæ sung thiÕu sãt kÞp thêi, d¹y s©u, d¹y ch¾c vµ kÕt hîp nhuÇn nhuyÔn, l«gic gi÷a c¸c bµi kh¸c nhau. Trong qu¸ tr×nh biªn so¹n: “C¸c d¹ng to¸n thi HSG gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio” kh«ng chØ gióp cho häc sinh yªu thÝch häc bé m«n to¸n, mµ cßn lµ c¬ së gióp cho b¶n th©n cã thªm kinh nghiÖm trong gi¶ng d¹y vµ ng­êi biªn so¹n nhËn ra c¸c nhËn xÐt ®Æc tr­ng sau : 1. M¸y tÝnh ®iÖn tö gióp còng cè c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n t¨ng tèc ®é lµm to¸n. 2.M¸y tÝnh ®iÖn tö gióp më rénh c¸c kiÕn thøc to¸n häc 3. M¸y tÝnh ®iÖn tö gióp liªn kÕt kiÕn thøc to¸n häc víi thùc tÕ MÆc dï ®· rÊt cè g¾ng khi biªn so¹n, song kh«ng thÓ tr¸nh khái thiÕu sãt vÒ cÊu tróc l«gÝc, ng«n ng÷ vµ kiÕn thøc khoa häc. V× vËy mét lÇn n÷a t«i rÊt mong nhËn ®­îc nh÷ng gãp ý kiÕn gãp ý ch©n thµnh cña thÇy c« vµ b¹n ®äc. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n! CÈm xuyªn, Ngµy 07 th¸ng 10 n¨m 2010 Ng­êi biªn so¹n Tr­¬ng Ngäc B«n