Đề tài Đổi mới phương pháp dạy học nhằm phát huy tính tích cực nhận thức của học sinh

mở đầu 1. lý do chọn đề tài 1.1. Đổi mới phương pháp dạy học nhằm phát huy tính tích cực nhận thức của học sinh là yêu cầu tất yếu và cấp bách của Giáo dục. Để đáp ứng được những yêu cầu mới của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước, sự thách thức trước nguy cơ tụt hậu trên con đường tiến vào thế kỷ XXI bằng cạnh tranh trí tuệ đang đòi hỏi phải đổi mới Giáo dục, trong đó có việc đổi mới căn bản về phương pháp dạy và học, sớm tiếp cận trình độ giáo dục Phổ thông ở các nước phát triển trong khu vực và trên Thế giới (đây không phải vấn đề riêng của nước ta, mà là vấn đề đang được quan tâm ở mọi quốc gia) nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện thế hệ trẻ, phát triển nguồn nhân lực trong giai đoạn mới, phục vụ các yều cầu đa dạng của nền Kinh tế – Xã hội. Sự phát triển với tốc độ mang tính bùng nổ của khoa học công nghệ thể hiện qua sự ra đời nhiều thành tựu mới cũng như khả năng ứng dụng chúng vào thực tế cao, rộng và nhanh cũng đòi hỏi phải đổi mới Giáo dục. Trong bối cảnh hội nhập giao lưu, học sinh được tiếp nhận nhiều nguồn thông tin đa dạng, phong phú, từ nhiều mặt của cuộc sống, nên hiểu biết linh hoạt và thực tế hơn nhiều, so với các thế hệ cùng lứa trước đây mấy chục năm (đặc biệt là học sinh THPT). Vì vậy, đòi hỏi Giáo dục - Đào tạo phải xác định lại mục tiêu, nội dung, phương pháp, phương tiện, tổ chức, cách đánh giá, theo định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được xác định trong các tài liệu sau: + Nghị quyết Trung ương 4 khóa VII (1- 1993) đã đề ra nhiệm vụ ''đổi mới phương pháp dạy học ở tất cả các cấp học, bậc học". + Nghị quyết Trung ương 2 khóa VIII (12- 1996) đã chỉ rõ: "phương pháp Giáo dục - Đào tạo chậm được đổi mới, chưa phát huy được tính tích cực, chủ động sáng tạo của người học". + Luật Giáo dục (12- 1998), cụ thể hóa trong các chỉ thị của Bộ Giáo dục - Đào tạo, đặc biệt chỉ thị số 14 (4-1999). + Luật Giáo dục, điều 28.2, đã ghi: ''Phương pháp Giáo dục - Phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng, vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú cho học sinh’'. Như vậy, quan điểm chung về hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay (và cũng là một trong những xu thế dạy học hiện đại trên Thế giới), trong đó có phương pháp dạy học môn Toán đã được khẳng định, không còn là vấn đề để tranh luận nữa: Cốt lõi của phương pháp dạy học là phát huy TTCNT trong học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, để tạo cho học sinh học tập một cách tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động. Đó là hướng tới học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, tức là cho học sinh được suy nghĩ nhiều hơn, thảo luận nhiều hơn, hoạt động nhiều hơn, khi đứng trước một vấn đề của nội dung bài học hay một yêu cầu thực tiễn của cuộc sống. Đây chính là tiêu chí, thước đo, đánh giá sự đổi mới phương pháp dạy học. Trên tinh thần đó, việc dạy học không chỉ phải thực hiện nhiệm vụ trang bị cho học sinh, những kiến thức cần thiết về môn dạy, mà điều có ý nghĩa to lớn còn ở chổ dần dần hình thành và rèn luyện cho học sinh tính tích cực, độc lập sáng tạo trong quá trình học tập, để học sinh có thể chủ động, tự lực, tự đào tạo, tự hoàn thiện tri thức trong hoạt động thực tiễn sau này. Do đó, việc thiết kế những nội dung dạy học cụ thể, nhằm tạo môi trường để tư duy nhận thức của học sinh được hoạt động tích cực, là rất cần thiết. Chẳng hạn, dạy học khái niệm về chủ đề Giới hạn có thể là minh chứng rõ nét cho việc dạy học theo hướng phát huy TTCNT của học sinh. 1.2. Chủ đề ''Giới hạn'' là một trong những chương quan trọng, cơ bản, nền tảng và khó của Giải tích Toán học ở THPT. Khái niệm Giới hạn không chỉ là kiến thức cơ bản nền tảng của Giải tích vì: ''không có Giới hạn thì không có Giải tích. Hầu hết các khái niệm của Giải tích đều liên quan đến Giới hạn'' [37, tr. 147] mà còn là khái niệm Toán học khó đối với học sinh. Có thể nói khi học về chủ đề Giới hạn là quá trình biến đổi về chất trong nhận thức của học sinh, ở đây học sinh được xem xét các sự kiện trong mối liên hệ qua lại của thế giới khách quan rõ ràng nhất. Vì ta đã biết Đại số đặc trưng bởi kiểu tư duy “hữu hạn”, “rời rạc”, “tĩnh tại”, còn khi học về Giải tích kiểu tư duy chủ yếu được vận dụng liên quan đến “vô hạn”, “liên tục”, “biến thiên”. Khái niệm Giới hạn chính là cơ sở cho phép nghiên cứu các vấn đề gắn liền với “vô hạn’’, ‘’liên tục’’, ‘’biến thiên’’. Do vậy, nắm vững được nội dung khái niệm Giới hạn là khâu đầu tiên, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho học sinh khả năng vận dụng vững chắc, có hiệu quả các kiến thức Giải tích Toán học ở phổ thông. Chủ đề Giới hạn có vai trò hết sức quan trọng trong toán học phổ thông còn lẽ vì : "khái niệm Giới hạn là cơ sở, hàm số liên tục là vật liệu để xây dựng các khái niệm đạo hàm và tích phân. Đây là nội dung bao trùm chương trình Giải tích THPT’’ [4, tr. 12]. Để hiểu được chứng minh, nắm vững nội dung của những khái niệm Giới hạn cần thiết phải có những phương thức sư phạm tốt, đó là các cách thức và phương tiện thích hợp, những lời nói sinh động, những hình ảnh trực quan, những ví dụ cụ thể, rèn luyện và phát triển khả năng chuyển đổi từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ Toán học, khả năng thực hiện các thao tác tư duy cơ bản, những sơ đồ, bảng biểu, những bài tập thích hợp và những tình huống sư phạm...). Trong quá trình dạy học, giáo viên phối hợp sử dụng với từng nội dung bài học hợp lý để góp phần tạo nên những hoạt động và giao lưu của giáo viên với học sinh và học sinh với học sinh, nhằm đạt được các mục tiêu dạy học chủ đề quan trọng này. 1.3. Thực tiễn của đổi mới chương trình, cải cách phương pháp dạy học hiện nay cho thấy việc sử dụng các phương thức sư phạm thích hợp theo hướng phát huy TTCNT của học sinh thì sẽ nâng cao chất lượng dạy học. Học vấn nhà trường trang bị không thể thâu tóm được mọi tri thức mong muốn. Vì vậy giáo viên phải coi trọng việc dạy chiếm lĩnh và kiến tạo kiến thức của loài người. Đối với từng nội dung kiến thức, giáo viên phải biết khai thác sử dụng những phương thức sư phạm với qui trình dạy học thích hợp để phát huy TTCNT của học sinh, trên cơ sở đó người học có năng lực và thói quen tiếp tục học tập suốt đời. Xã hội đòi hỏi người có học vấn hiện đại, không chỉ có khả năng lấy ra từ trí nhớ các tri thức có sẵn đã lĩnh hội ở nhà trường phổ thông, mà còn phải có khả năng chiếm lĩnh và biết cách thức sử dụng tri thức một cách độc lập, có khả năng đánh giá các sự kiện, hiện tượng mới các tư tưởng một cách thông minh sáng suốt, khi gặp trong cuộc sống trong lao động và trong quan hệ với mọi người. Do có những thay đổi trong đối tượng giáo dục, học sinh được tiếp nhận nhiều nguồn thông tin đa dạng, phong phú, từ nhiều mặt của cuộc sống, hiểu biết được nhiều hơn, linh hoạt và thực tế hơn so với các thế hệ cùng lứa tuổi trước đây. Mặt khác, trong học tập học sinh không thỏa mãn với vai trò người tiếp thu thụ động, không chỉ chấp nhận các giải pháp đã có sẵn được đưa ra, ở lứa tuổi này nảy sinh một yêu cầu và cũng là một quá trình: sự lĩnh hội độc lập các tri thức và phát triển các kĩ năng. Để hình thành phương thức học tập một cách độc lập, phát huy được vai trò tích cực học tập của học sinh một cách chủ định thì cần phải có sự hướng dẫn của giáo viên, các biện pháp, phương thức sư phạm thích hợp đối với từng nội dung bài học cụ thể, giúp học sinh học tập hứng thú, vận dụng tốt tiềm lực sẵn có để phát huy cao TTCNT. Vì những lý do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn: “Quan điểm Giải tích về các cách tiếp cận khái niệm Giới hạn và việc phát huy TTCNT của học sinh trong dạy học chủ đề Giới hạn ở bậc THPT''. 2. Mục đích nghiên cứu 2.1. Xác định cơ sở lý luận cơ bản về phát huy TTCNT của học sinh qua học môn Toán . 2.2. Thiết kế xây dựng những phương thức sư phạm thích hợp cho việc dạy học chủ đề Giới hạn theo hướng phát huy TTCNT của học sinh. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 3.1. Tìm hiểu dạy học chủ đề Giới hạn ở lớp 11-THPT. 3.2. Xác định làm rõ cơ sở lý luận, sáng tỏ vai trò và vị trí của Giải tích nói chung và chủ đề Giới hạn nói riêng ở THPT và việc phát huy TTCNT của học sinh. 3.3. Vạch rõ bản chất, đề xuất các định hướng từ đó xây dựng các phương thức sư phạm thích hợp theo hướng phát huy TTCNT của học sinh thông qua dạy học chủ đề Giới hạn đặc biệt là các khái niệm "Giới hạn về dãy số và hàm số, hàm số liên tục " cho học sinh lớp 11-THPT. 3.4. Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra, đánh giá tính khả thi và hiệu quả của nội dung các phương thức đã đề xuất. 4. Giả thUYết khoa học Trên cơ sở tôn trọng nội dung chương trình và SGK hiện hành nếu định hướng được việc xây dựng các phương thức sư phạm thích hợp vào dạy học chủ đề Giới hạn theo hướng phát huy TTCNT thì sẽ kích thích tính tích cực, tự giác, chủ động, độc lập, sáng tạo của học sinh, từ đó nâng cao được hiệu quả dạy học chủ đề Giới hạn nói riêng, chất lượng dạy học Toán nói chung. 5. Phương pháp nghiên cứu 5.1. Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các văn kiện của Đảng, các văn bản, tài liệu của nghành Giáo dục- Đào tạo có liên quan đến việc dạy học môn Toán ở trường THPT, các tài liệu tâm lý giáo dục về phát huy TTCNT của học sinh để phục vụ cho đề tài luận văn. - Tìm hiểu phân tích chương trình, SGK, lý luận dạy học về Giải tích chủ đề Giới hạn và các tài liệu tham khảo khác có liên quan. 5.2. Tìm hiểu, điều tra thực tiễn: Quan sát dự giờ thực dạy học sinh, tổng kết kinh nghiệm dạy học chủ đề Giới hạn. 5.3. Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy thực nghiệm một số tiết ở trường THPT để xác định tính khả thi và hiệu quả của đề tài luận văn. 6. Đóng góp của luận văn 6.1. Về mặt lý luận: - Hệ thống hóa một số vấn đề lý luận cơ bản về phát huy TTCNT của học sinh. - Xây dựng và thực nghiệm các phương thức sư phạm thích hợp trong dạy học về Giải tích chủ đề Giới hạn, nhằm phát huy TTCNT của học sinh. 6.2. Về mặt thực tiễn: - Qua Luận văn này giúp giáo viên hiểu rõ và nắm vững hệ thống các phương thức sư phạm thích hợp trong dạy học nhằm phát huy TTCNT của học sinh thông qua dạy học chủ đề Giới hạn. - Có thể sử dụng Luận văn để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán để góp phần nâng cao hiệu quả dạy học ở trường THPT. 7. Cấu trúc của luận văn Luận văn, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, có 3 chương sau đây: Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn 1.1. Phát huy tính tích cực nhận thức của học sinh trong dạy học. 1.1.1. Quan niệm về tính tích cực nhận thức (TTCNT) của học sinh. 1.1.2. Vì sao phải phát huy TTCNT của học sinh? 1.1.3. Các cấp độ của TTCNT. 1.1.4. Một số biểu hiện TTCNT của học sinh trong học tập môn Toán. 1.1.5. Các phương thức sư phạm thích hợp nhằm phát huy TTCNT của học sinh trong dạy học nội dung chủ đề Giới hạn. 1.2. Quan điểm về Giải tích và vị trí đặc điểm của Giới hạn ở THPT. 1.2.1. Vị trí đặc điểm Giới hạn của Giải tích ở THPT. 1.2.2. Quan điểm thứ nhất: Giải tích mà Đại số hóa tăng cường ở THPT. 1.2.3. Quan điểm thứ hai: Giải tích xấp xỉ ở THPT. 1.2.4. Quan điểm thứ ba: Giải tích hỗn hợp ở THPT. 1.3. Thực tiễn dạy học chủ đề khái niệm Giới hạn của Giải tích ở THPT . 1.4. Kết luận chương 1. Chương 2: các cách tiếp cận kháI niệm GIớI HạN Và VIệC PHáT HUY TíNH tíCH cực NHậN THức của HọC SINH TRONG DạY HọC chủ đề GiớI HạN ở bậc THPT 2.1. Các cách tiếp cận khái niệm Giới hạn ở THPT. 2.1.1. Các cách tiếp cận định nghĩa khái niệm “ Giới hạn dãy số”. 2.1.2. Các cách tiếp cận định nghĩa khái niệm “ Giới hạn hàm số”. 2.1.3. Các cách định nghĩa sự liên tục - gián đoạn hàm số tại một điểm. 2.1.4. Về việc mở rộng khái niệm giới hạn của dãy số và hàm số. 2.2.Ví dụ minh họa dạy học chủ đề Giới hạn theo hướng phát huy TTCNT. 2.2.1. Thực hiện kế hoạch bài học theo phương pháp dạy học tích cực với khái niệm đề giới hạn 2.2.2. Minh họa dạy học khái niệm Giới hạn. 2.2.3. Minh họa dạy học bài tập về Giới hạn với chức năng phát huy TTCNT. 2.2.4. Dự đoán phát hiện nguyên nhân và hướng khắc phục những khó khăn sai lầm của học sinh khi học chủ đề Giới hạn. 2.3. Kết luận chương 2. chương 3: thực nghiệm sư phạm 3.1. Mục đích thực nghiệm. 3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm 3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm. 3.4. Kết luận chương 3 thực nghiệm sư phạm. Chương 1 CƠ Sở Lý LUậN Và THựC TIễN . PHáT HUY TTCNT CủA HọC SINH TRONG Dạy HọC Theo Rubinstein X. L : ''Người ta bắt đầu tư duy khi có nhu cầu hiểu biết một cái gì. Tư duy thường xuất phát từ một vấn đề hay một câu hỏi, từ một sự ngạc nhiên hay một điều trăn trở'', mà hạt nhân cơ bản của TTCNT là hoạt động tư duy, nên phát huy tính tích cực nhận thức (TTCNT) chính là nhằm phát triển tư duy, đặc biệt là tư duy toán học cho học sinh, vậy thế nào là TTCNT của học sinh trong học tập ? 1.1.1. Quan niệm về TTCNT của học sinh Theo Kharlamop: ''Tính tích cực là trạng thái hoạt động của chủ thể, TTCNT là trạng thái hoạt động của học sinh, được đặc trưng bởi khát vọng học tập, cố gắng trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nắm vững kiến thức''. Nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước nhận định về TTCNT của học sinh trong quá trình học tập theo những góc độ, những dấu hiệu khác nhau của chủ thể đối với khách thể, đó là: - Sự căng thẳng chú ý, sự tưởng tượng, phân tích tổng hợp,...( Rôđac I.I.). - Lòng mong muốn không chủ định và gây nên biểu hiện bên ngoài hoặc bên trong của sự hoạt động (Ôkôn V.). - Cường độ, độ sâu, nhịp điệu của những hoạt động, quan sát, chú ý, tư duy ghi nhớ trong một thời gian nhất định ( TS. Phạm Thị Diệu Vân). - Huy động mức độ cao các chức năng tâm lý, đặc biệt là chức năng tư duy ( TS. Đặng Vũ Hoạt). - Hành động ý chí, trạng thái hoạt động về vẻ bề ngoài có vẻ giống nhau nhưng khác nhau về bản chất khi xét đến hoạt động cải tạo trong ý thức của chủ thể (Aristova L.). - Thái độ cải tạo của chủ thể đối với khách thể thông qua sự hoạt động ở mức độ cao các chức năng tâm lý nhằm giải quyết những vấn đề học tập - nhận thức ( TS . Nguyễn Ngọc Bảo). - TTCNT phải thể hiện trước hết ở động cơ học Toán đúng đắn, từ đó tự giác học tập một cách hứng thú, từ chỗ chưa biết đến biết, từ chỗ biết đến biết sâu sắc, không những tiếp thu được chuẩn xác kiến thức Toán học, mà còn đúc kết được phương pháp suy nghĩ giải quyết vấn đề (TS. Lê Thống Nhất). Trên đây là cách nhận định về TTCNT của các nhà tâm lý học, giáo dục học. Khác với quá trình nhận thức trong nghiên cứu khoa học, quá trình nhận thức trong học tập, không nhằm phát huy những điều loài người chưa biết mà nhằm lĩnh hội những tri thức loài người đã tích lũy được. Tuy nhiên trong học tập học sinh cũng phải ''khám phá'' ra những hiểu biết mới đối với bản thân. Học sinh sẽ ghi nhớ thông tin qua hiểu những gì đã nắm được qua hoạt động chủ động, nổ lực của chính mình. Đó là chưa nói đến, khi tới một trình độ nhất định, sự học tập tích cực về nhận thức sẽ mang tính nghiên cứu khoa học và người học cũng làm ra được những tri thức mới cho khoa học. TTCNT trong hoạt động học tập liên quan trước hết với động cơ học tập. Động cơ đúng tạo ra hứng thú. Hứng thú là tiền đề của tự giác (hứng thú và tự giác là hai yếu tố tâm lý tạo nên TTCNT). TTCNT sản sinh nếp tư duy độc lập. Suy nghĩ độc lập là mầm mống của sáng tạo. Tích cực gắn liền với động cơ, với sự kích thích hứng thú, với ý thức hứng thú, có ý thức về sự tự giác học tập, ý thức về sự giáo dục của chính mình, vì vậy có thể hiểu tiêu chí nhằm phát huy TTCNT là tính tích cực tư duy (tư duy bên trong), tất nhiên phải được thể hiện qua ngôn ngữ và hành động tích cực (biểu hiện cả bên ngoài). Ngược lại, phong cách học tập phát huy TTCNT, độc lập, sáng tạo sẽ phát triển tự giác, hứng thú, bồi dưỡng động cơ học tập. Ta có thể minh họa mối liên hệ tác động qua lại đó như sau: Động cơ HứNG THú Tự GIáC SáNG TạO TtCnT TtC ĐộC LậP TTCNT và tính tích cực học tập có liên quan chặt chẽ với nhau, nhưng không phải đồng nhất. Có một số trường hợp, tính tích cực học tập thể hiện ở sự tích cực bên ngoài, mà không phải tích cực trong tư duy. Đó là điều cần lưu ý khi nhận xét đánh giá TTCNT của học sinh. Rèn luyện kỹ năng học tập một cách tích cực độc lập cho học sinh, để học sinh chủ động tự lực chiếm lĩnh kiến thức là cách hiệu quả nhất, làm cho học sinh hiểu kiến thức một cách sâu sắc và có ý thức. Vốn kiến thức, mà học sinh nắm được từ nỗ lực của bản thân chỉ sống và sinh sôi nảy nở nếu học sinh biết sử dụng nó một cách chủ động độc lập sáng tạo. Tính độc lập thực sự của học sinh biểu hiện ở sự độc lập suy nghĩ, ở chỗ biết học tập một cách hợp lý khoa học trên cơ sở quá trình giáo viên hướng dẫn, có phải đây là một trong những lý do phát huy TTCNT của học sinh ? 1.1.2. Vì sao phải phát huy TTCNT của học sinh ? Trong quá trình dạy học, TTCNT của học sinh không chỉ tồn tại như một trạng thái, một điều kiện, mà nó còn là kết quả của quá trình hoạt động nhận thức, là mục đích của quá trình dạy học, chỉ có quá trình nhận thức tích cực mới tạo cho học sinh có tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, hình thành ở học sinh tính độc lập sáng tạo và nhạy bén khi giải quyết các vấn đề trong học tập cũng như thực tiễn. Hiện nay và trong tương lai xã hội loài người đang và sẽ phát triển tới một hình mẫu ''Xã hội có sự thống trị của kiến thức'' dưới tác động của sự bùng nổ về khoa học và công nghệ cùng nhiều yếu tố khác. Để có thể tồn tại và phát triển trong một xã hội như vậy, con người phải có khả năng chiếm lĩnh sử dụng tri thức một cách độc lập sáng tạo. Hiệu quả lĩnh hội tri thức không phải chỉ là ở chỗ tri giác và giữ lại thông tin mà còn ở chỗ cải biến các kết quả thông tin ấy. Điều này đòi hỏi học sinh phải hoạt động tích cực, tìm tòi khám phá những khâu còn thiếu trong thông tin đã tiếp thu được, cải biến nó thành cái có nghĩa đối với mình. Phát huy TTCNT của học sinh và tăng cường hoạt động trí tuệ độc lập của học sinh trong quá trình thu nhận tri thức rèn luyện kỹ năng kỹ xảo. Tích cực hóa việc dạy học không phải chỉ có giá trị về mặt kết quả trí dục mà còn đặc biệt quan trọng về mặt giáo dục, nó ảnh hưởng đến việc hình thành nhân cách của học sinh. Phát huy TTCNT trong học tập của học sinh có tác dụng phát triển những đức tính quý giá như tính mục đích, lòng ham hiểu biết, tính kiên trì, óc phê phán... Những phẩm chất cá nhân này trở thành những yếu tố kích thích bên trong điều chỉnh hoạt động nhận thức của học sinh đó là những điều kiện hết sức quan trọng giúp cho việc học tập đạt kết quả tốt. Quán triệt tinh thần đó việc vận dụng phương pháp dạy học hiện đại vào dạy học môn Toán đòi hỏi phải tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực độc lập và sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề trên cơ sở những kiến thức toán học được tích lũy có hệ thống. Để khai thác hết năng lực học tập của học sinh, việc tổ chức quá trình dạy học phải theo đúng con đường nhận thức khách quan ''từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn'' mà điều quan trọng nhất là học sinh hứng thú tự giác tham gia vào quá trình học tập và chỉ có thế mới đảm bảo cho quá trình học tập đạt kết quả cao. Vậy trong học tập TTCNT có các cấp độ nào ? 1.1.3. Các cấp độ của TTCNT Trong tác phẩm ''Giáo dục học trường phổ thông'' G.L.Sukina, đã chia trong học tập TTCNT có ba cấp độ từ thấp đến cao: a) Tính tích cực bắt chước, chấp nhận và tái hiện: Học sinh bắt chước và tái hiện được các kiến thức đã học, thực hiện được các thao tác kỹ năng mà giáo viên đã nêu ra. TTCNT ở đây xuất hiện do tác động bên ngoài như yêu cầu bắt buộc của giáo viên, thường thấy ở học sinh có năng lực nhận thức ở mức độ dưới trung bình và trung bình. b) Tính tích cực tìm tòi áp dụng: Học sinh độc lập giải quyết các tình huống học tập như quá trình lĩnh hội khái niệm, định lý, bài toán ... với sự tham gia của động cơ nhu cầu hứng thú và ý chí của học sinh. Tính tích cực ở đây không bị hạn chế trong khuôn khổ những yêu cầu của giáo viên trong giờ học mà hoàn toàn tự phát trong quá trình nhận thức, thấy ở học sinh có năng lực nhận thức trên trung bình và khá. c) Tính tích cực sáng tạo : Thể hiện ở chỗ trong học tập học sinh tự mình cũng có thể tìm ra được những cách giải quyết mới, độc đáo hữu hiệu hay thực hiện tốt các yêu cầu hành động do giáo viên đưa ra mà không cần sự giúp đỡ của giáo viên. Loại này thường thấy ở học sinh có năng lực nhận thức ở mức độ giỏi, học sinh năng khiếu. Các phân loại trên, giúp giáo viên đánh giá được mức độ TTCNT của học sinh theo mặt bằng chung của cả lớp. Tuy nhiên nó còn rất khái quát, muốn đánh giá đúng mức độ TTCNT của học sinh, giáo viên còn phải căn cứ vào các mặt biểu hiện TTCNT của học sinh. 1.1.3.1. Các mặt biểu hiện TTCNT của học sinh a) Biểu hiện về mặt hoạt động nhận thức: TTCNT của học sinh thể hiện ở mặt thao tác tư duy, ngôn ngữ, sự quan sát, ghi nhớ, tư duy hình thành khái niệm, phương thức hành động, hình thành kỹ năng, kỹ xảo, các câu hỏi nhận thức của học sinh, giải đáp các câu hỏi do giáo viên đưa ra nhanh chóng chính xác, sự khát khao học hỏi, biết nhận rõ đúng sai khi bạn đưa ra ý kiến, hoài nghi, phê phán và xác lập các quan hệ giúp ích cho hoạt động nhận thức. b) Biểu hiện về mặt cảm xúc, tình cảm: Hay nêu thắc mắc, đòi hỏi giải thích cặn kẽ, những vấn đề chưa đủ rõ, thể hiện sự đam mê, sự sốt sắng, hăng hái thực hiện yêu cầu mà giáo viên đặt ra, bổ sung các câu trả lời của bạn, thích phát biểu ý kiến của mình trước vấn đề nêu ra. c) Biểu hiện về mặt động cơ ý chí: Tập trung chú ý vào vấn đề đang học, có nhu cầu hứng thú học tập có ý chí và quyết tâm kiên trì, hoàn thành các bài tập, không nản trước những tình huống khó khăn. d) Biểu hiện về kết quả nhận thức: Lĩnh hội kiến thức một cách nhanh chóng chính xác, chủ động vận dụng kiến thức, kỹ năng đã học để nhận thức vấn đề mới, kết quả học tập sau một tiết học, một chương… Để có được phong cách học tập tích cực trong nhận thức, học sinh phải thật sự tự giác, chủ động học tập. Tích cực hóa gắn liền động cơ hóa, với sự kích thích hứng thú, với ý thức trách nhiệm học tập, ý thức về sự giáo dục của chính mình. 1.1.3.2. Đặc trưng cơ bản của tư tưởng TTCNT của học sinh Tư tưởng này là một trong những biểu hiện của sự phát triển lý luận và thực tiễn giáo dục hiện nay. Nhấn mạnh vai trò trung tâm của học sinh và đồng thời chỉ rõ vai trò của người giáo viên trong toàn bộ quá trình dạy học. Lấy học sinh làm trung tâm là một thể hiện cơ bản của tính nhân văn, cũng như một khẳng định dứt khoát về vị trí trung tâm hoạt động của học sinh. Vì vậy, có thể nói đặc trưng cơ bản của tư tưởng TTCNT của học sinh là: a) Tính nhân văn: Được thể hiện ở sự thừa nhận và tôn trọng nhu cầu, lợi ích, mục đích và những kinh nghiệm của cá nhân học sinh, cố gắng tạo điều kiện để học sinh tự ''hình thành và phát triển'' theo tiềm lực và khả năng của bản thân. b) Tính hoạt động: Thể hiện sự tối đa hóa các hoạt động của học sinh với phương thức chỉ đạo là: tự phát triển, tự thực hiện, tự kiểm tra và đánh giá quá trình hoạt động nhận thức của bản thân. Qua đó, hình thành và phát triển tư duy độc lập sáng tạo của mỗi cá nhân học sinh. c) Vai trò của giáo viên: Phong phú mềm mại, sáng tạo và có trách nhiệm, có nghĩa là giáo viên không những truyền thụ tri thức, những sản phẩm sẵn có mà cần phải thiết kế, tổ chức điều khiển, ủy thác, thể chế hóa, đánh giá hoạt động tự lực nhận thức của người học sinh, nhằm hình thành cho học sinh thái độ năng lực phương pháp học tập và ý chí học tập từ đó tự khám phá ra những tri thức mới, được cụ thể hóa ở các vai trò: *) Vai trò thiết kế: Một giờ dạy muốn thành công phải có sự thiết kế chặt chẽ về các biện pháp phương thức cấu trúc lôgic giờ học, lập kế hoạch chuẩn bị quá trình dạy học cả về các mặt: mục đích, nội dung, phương pháp, phương tiện, tổ chức, đánh giá. Việc thiết kế tốt, phù hợp sẽ làm cho bài giảng luôn diễn ra trong sự kích thích tưởng tượng, tò mò và say mê tìm tòi cái mới đảm bảo cho giờ dạy có kết quả . *) Vai trò tổ chức: Tổ chức một môi trường học tập cho mỗi học sinh có cơ hội bộc lộ tối đa khả năng tạo điều kiện thuận lợi cho phát huy tính tích cực học tập nhằm hình thành năng lực ý chí phương pháp học tập, từ đó tự khám phá những tri thức mới, ý thức được nhiệm vụ của mình trong giờ học, thông qua các tranh luận tìm tòi tổng hợp tự mình phát huy được năng lực trí tuệ đi đến chân lý, bằng con đường này sẽ làm các em nhớ lâu hơn, hiểu kỹ hơn về các kiến thức đó. *) Vai trò ủy thác: Đây không phải là bắt trò học tập theo ý của giáo viên mà phải làm sao cho học sinh tự giác biến ý đồ dạy của giáo viên thành nhiệm vụ của bản thân, đảm nhận quá trình họat động để kiến tạo tri thức, tức là hoạt động của thầy nhằm chuyển giao ý đồ sư phạm, ý đồ dạy học sang ý đồ nhận thức của học sinh. Học sinh nhận thấy được mong muốn giải quyết vấn đề thầy dặt ra nhờ các hoạt động tư duy, tích cực, độc lập, sáng tạo. ở khâu này giáo viên làm công việc ngược lại với nhà nghiên cứu: hoàn cảnh lại, thời gian hóa lại và cá nhân hóa lại tri thức, học sinh tự mình đảm nhận lại quá trình giải quyết vấn đề sao cho hoạt động của học sinh gần giống với hoạt động của nhà nghiên cứu, nhờ những lý do này mà học sinh phát huy cao độ TTCNT của thân. *) Vai trò thể chế hóa: Là xem xét những vấn đề học sinh tìm được là đúng hay sai, nếu sai thì phân tích sữa chữa sai lầm, nếu đúng thì ghi nhận cho học sinh đã chiếm lĩnh được tri thức và giáo viên phải trả lại vị trí của tri thức đó trong chương trình, mối liên hệ của nó đối với các tri thức khác. *) Vai trò đánh giá: Thái độ trân trọng của giáo viên đối với mỗi sự tìm tòi mới mẻ của học sinh có một tác động mạnh mẽ đến hứng thú của các em việc đánh giá cao sự sáng tạo sẽ thúc đẩy năng lực học tập tính tích cực học tập của học sinh. Muốn vậy giáo viên cần tạo cho mình vốn kiến thức đủ để nhận ra nét độc đáo trong suy nghĩ của học sinh để có thể đánh giá đúng giá trị của sự tìm tòi học sinh, học sinh sẽ có phản ứng tiêu cực nếu bản thân sự đánh giá của giáo viên chưa thực làm học sinh thỏa đáng, sự nhìn nhận khách quan chính xác của giáo viên tạo được lòng tin của học sinh, từ đó phát huy tính sáng tạo của học sinh qua sự tích cực hóa hoạt động học tập. Vậy các vai trò của giáo viên là làm sao giúp học sinh học tập một cách hiệu quả, thúc đẩy học sinh tự giác học tập phát huy cao độ TTCNT của bản thân, qua đó học sinh hiểu được kiến thức tìm ra là một tri thức chung của nhân loại và giáo viên chính thức chấp nhận kết quả đạt được của học sinh. Nhưng thực tế dạy học ở trường phổ thông cho thấy, đâu đó trong cách dạy học vẫn chưa phát huy đầy đủ được TTCNT của học sinh. Do vậy, cần thiết dựa trên một số biểu hiện về TTCNT trong học tập môn Toán từ đó hình thành và phát triển TTCNT của học sinh là một trong những nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên. 1.1.4. Một số biểu hiện TTCNT của học sinh trong học tập môn Toán 1.1.4.1. Về ý thức, thái độ học tập - TTCNT của HS được thể hiện ở nhu cầu hiểu biết kiến thức, khát vọng và mong muốn được giải quyết các tình huống học tập mà giáo viên đưa ra để chiếm lĩnh được kiến thức mới, giải quyết được bài toán mới. - TTCNT của học sinh còn được thể hiện ở sự hứng thú, niềm say mê lao động trí tuệ, sự sốt sắng thực hiện, có tinh thần trách nhiệm đối với các yêu cầu mà giáo viên đưa ra khi lĩnh hội kiến thức mới. 1.1.4.2. Về hoạt động trí tuệ cao -TTCNT của học sinh thể hiện trong quá trình lĩnh hội tài liệu học tập: Đó là việc thực hiện đầy đủ các yêu cầu của giáo viên đưa ra, tích cực họat động trí tuệ, thực hiện các thao tác tư duy ( phân tích, tổng hợp so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa,…), nhanh chóng phát hiện dấu hiệu bản chất của các kiến thức và tìm ra được nhiều con đường giải quyết các tình huống do giáo viên đưa ra trong quá trình dạy học. -TTCNT của học sinh thể hiện ở sự ghi nhớ vận dụng kiến thức: Đó là sự tái hiện nhanh chóng các kiến thức mới trong các trường hợp cụ thể, biết khái quát hóa, hệ thống hóa các kiến thức đã học, biết vận dụng các kiến thức đã học trong các trường hợp cụ thể. -TTCNT của học sinh thể hiện ở sự kiểm tra đánh giá: Đó là sự đánh giá đúng mức công việc mà bản thân đã làm, nhanh chóng phát hiện và sửa chữa sai lầm mắc phải trong quá trình hình thành khái niệm cũng như vận dụng khái niệm. Trên đây là những biểu hiện TTCNT của học sinh trong quá trình chiếm lĩnh kiến thức, giáo viên khi dựa vào những biểu hiện này có thể định hướng cho việc phát huy TTCNT của học sinh nhằm nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán nói chung, chủ đề Giới hạn nói riêng. 1.1.4.3. Điều kiện phát huy TTCNT của học sinh trong dạy học Muốn phát huy TTCNT của học sinh, giáo viên cần phải tổ chức môi trường học tập đảm bảo : Tính sẵn sàng học tập và tính hoạt đông cao. a) Tính sẵn sàng học tập: Gồm có hai thành tố cơ bản: + Khả năng học tập khi đứng trước một kiến thức nào đó (hình thành và vận dụng kiến thức…); + Chủ định đối với kiến thức và môi trường học tập (có động cơ, hứng thú, ý chí học tập…). Thiếu một mặt nào trong hai yếu tố trên đây cũng đều ảnh hưởng đến tính sẵn sàng học tập: + Có khả năng mà thiếu chủ định thì học sinh không sẵn sàng học tập, vì không muốn hoạt động; + Có chủ định mà thiếu khả năng thì học sinh cũng không sẵn sàng học tập, vì không biết hoạt động. Vì vậy, giáo viên cần phải tổ chức môi trường học tập, xây dựng những biện pháp sư phạm thích hợp làm cho việc dạy học phù hợp với khả năng học tập của học sinh, đồng thời tạo được động cơ, gây hứng thú, ý chí học tập của học sinh,…thì mới phát huy được TTCNT của học sinh. b) Tính hoạt động cao: Thể hiện ở nội dung dạy học và phải dựa trên những tiêu chuẩn sau: + Mỗi hoạt động của giáo viên và học sinh được xác định cụ thể, rõ ràng, có thể nhận thức được, cảm nhận được, hình dung được. + Nội dung dạy học chứa đựng những liên hệ phù hợp để đảm bảo các quan hệ và hoạt động của thầy và trò đều hướng vào tổ chức và kích thích hành động học sinh, tức là nội dung dạy học phải xây dựng được dưới dạng những tình huống có vấn đề. Vậy để bảm bảo được tính hoạt động cao trong dạy học, người giáo viên cần phải lựa chọn nội dung dạy học đáp ứng được hai tiêu chuẩn trên và tổ chức môi trường học tập, xây dựng những biện pháp thích hợp từ đó xác định thiết kế xây dựng phương thức dạy học sao cho kích thích tính chủ động, tự quyết, khả năng tự thể hiện, đánh giá,…trong học tập, phát triển những cơ hội học tập, động cơ học tập, xây dựng mối quan hệ tương tác giữa giáo viên và học sinh, học sinh và học sinh. 1.1.5. Các phương thức sư phạm nhằm phát huy TTCNT của học sinh trong dạy học nội dung chủ đề Giới hạn 1.1.5.1. Những phương hướng phát huy TTCNT của học sinh trong dạy học Để phát huy TTCNT của học sinh là một trong những nhiệm vụ chủ yếu của người giáo viên trong quá trình dạy học. Vì vậy, nó luôn là trung tâm chú ý của lý luận và thực tiễn dạy học. Từ thời cổ đại các nhà sư phạm tiền bối như Khổng tử, Aristot…đã từng nói đến tầm quan trọng to lớn của việc phát huy TTCNT của học sinh và đã có những định hướng và biện pháp để phát huy TTCNT của học sinh. J. A. Komenxki nhà sư phạm lỗi lạc của thế kỷ XVII đã đưa ra những định hướng, biện pháp dạy học là bắt học sinh phải tìm tòi, suy nghĩ để tự nắm được bản chất của sự vật hiện tượng. J. J. Ruxô cũng cho rằng, phải hướng học sinh tích cực tự giành lấy kiến thức bằng cách tìm kiếm, khám phá và sáng tạo. A. Distecvec thì cho rằng, người giáo viên tồi là người cung cấp cho học sinh chân lý, người giáo viên giỏi là người dạy cho học sinh tự tìm ra chân lý. K. D. Usinxki nhấn mạnh tầm quan trọng của việc điều khiển, dẫn dắt học sinh của các giáo viên. Trong thế kỷ IX, các nhà giáo dục Cổ, Kim, Đông, Tây, đã trao đổi bàn luận để tìm kiếm con đường nhằm phát huy TTCNT của học sinh trong dạy học. Chúng ta thường kể đến tư tưởng các nhà giáo dục nổi tiếng như: B.P.Êxipôp, M.A.Danilôp, M.N.Xcatkin, I.F.Kharlamôp, I.I.Xamôva (Liên Xô), Okon (Ba Lan), Skinner (Mĩ)… ở Việt Nam các nhà lý luận dạy học cũng đã viết nhiều về phát huy TTCNT của học sinh như: GS. Hà Thế Ngữ, GS. Nguyễn Quang Ngọc, GS. Đặng Vũ Hoạt …, mà cụ thể GS. Đặng Vũ Hoạt đã nêu lên 6 định hướng là: i) Giáo dục động cơ, thái độ học tập, trên cơ sở thấm nhuần mục đích học tập, động viên khuyến khích kịp thời dựa vào tính tự nguyện của học sinh; ii) Thực hiện dạy học nêu vấn đề là định hướng, phương pháp cơ bản nhất; iii) Tiến hành so sánh các sự vật, hiện tượng, tiến hành hệ thống hóa, khái quát hóa tri thức; iv) Vận dụng tri thức vào nhiều hoàn cảnh khác nhau, giải quyết các vấn đề bằng nhiều cách khác nhau; v) Gắn liền lý luận với thực tiễn, khai thác vốn sống của học sinh; vi) Phát triển ý thức tự kiểm tra, tự đánh giá của học sinh. Từ những phương hướng chung đó, cần phải có những định hướng phương thức sư phạm thích hợp để phát huy TTCNT của học sinh trong dạy học đặc thù môn toán. 1.1.5.2. Một số định hướng và phương pháp để phát huy TTCNT của học sinh trong dạy học môn Toán Trong quá trình dạy học phải tạo được động cơ hứng thú để học sinh có cơ hội phát huy tính chủ động độc lập tự giác chiếm lĩnh kiến thức, ta có thể tổng quan về một số định hướng biện pháp sư phạm thích hợp nhằm phát huy TTCNT của học sinh trong quá trình dạy học theo đặc thù môn Toán: i) Kiến thức bài dạy làm sao có được tính kế thừa phát triển trên kiến thức đã học, sự liên hệ với thực tiễn, gần gũi với cuộc sống, với suy nghĩ hằng ngày, thỏa mãn nhu cầu nhận thức của học sinh; ii) Sử dụng các phương tiện dạy học, dụng cụ trực quan có tác dụng tốt trong việc kích thích hứng thú phát huy TTCNT của học sinh; iii) Xây dựng, sắp xếp, bổ sung và khai thác các ví dụ và phản ví dụ trong quá trình dạy học; iv) Phát triển khả năng chuyển đổi ngôn ngữ thường sang ngôn ngữ Toán học, khả năng thực hiện các thao tác tư duy cơ bản; v) Lập và sử dụng các bảng tổng kết, biểu đồ, sơ đồ thích hợp để làm rõ nguồn gốc và mối liên kết logic của các kiến thức trong quá trình dạy học; vi) Lựa chọn và sử dụng một cách hợp lý hệ thống các bài tập và sử dụng khai thác các tình huống dễ mắc sai lầm. Để học sinh tự kiểm tra, khắc phục các khó khăn và sửa chữa những sai lầm thường gặp trong quá trình lĩnh hội kiến thức. 1.1.5.3. Các phương thức sư phạm nhằm phát huy TTCNT của học sinh trong dạy học về khái niệm Giới hạn Ta đã biết nắm vững được hệ thống khái niệm Giới hạn thì học sinh có khả năng vận dụng vững chắc có hiệu quả các kiến thức về Giới hạn, đó là cơ sở để học tốt về chủ đề Giới hạn nói chung, qua đó rèn luyện năng lực giải bài tập toán của nội dung Giới hạn nói riêng. Trước hết ta cần xác định rõ mối liên hệ trong hoạt động nhận thức của học sinh là: giáo viên hướng dẫn và kích thích TTCNT của trò rồi huy động các phương pháp phương thức sư phạm tác động vào (chủ thể) học sinh, từ đó học sinh có nhu cầu hiểu biết và huy động cao độ khả năng hướng tới tri giác tiếp đến biểu tượng sau cùng (khách thể) khái niệm Giới hạn , cụ thể được minh họa theo sơ đồ sau : Giáo viên Phát huy TTCNT Hướng dẫn Sử dụng các phương thức sư phạm (Chủ thể) Học sinh Có nhu cầu hiểu biết Huy động cao độ khả năng (Khách thể) Khái niệm Giới hạn Biểu tượng Tri giác (Hình 1) Như vậy, quá trình phát huy tính tích cực hoạt động nhận thức của học sinh không phải là quá trình đưa thông tin vào học sinh theo định hướng một chiều xem học sinh như là cái máy thu thông tin thụ động, cụ thể ở đây bàn đến dạy học về khái niệm Giới hạn qua thực hiện các phương thức sau: Phương thức 1: Xác định rõ các cách xây dựng khái niệm Giới hạn. Trước hết hiểu rõ, xác định đúng được cách xây dựng khái niệm Toán học là: + Mô tả không định nghĩa: Chẳng hạn như việc định nghĩa giới hạn 0 của dãy số là: ''dãy số (; n = 1,2,3,…) gọi là dần đến 0 hay có giới hạn 0 khi n +, nếu càng nhỏ khi n càng lớn, tức là nếu có thể nhỏ bao nhiêu tùy ý miễn là chọn n đủ lớn''. + Hay định nghĩa dưới dạng kiến thiết – qui nạp như : Con đường đi tới định nghĩa giới hạn dãy theo ngôn ngữ ", " này là kiến thiết- qui nạp, từ việc mô tả: ''Khi n càng lớn thì càng bé và bé bao nhiêu cũng được'', được chuyển qua ngôn ngữ ", " bằng cách chọn miền giá trị cụ thể để tiến tới khái quát hóa cho mọi, (đặc biệt cần sự giúp đỡ trực quan của trục số) là: ''ta nói rằng dãy số thực có giới hạn là L (LR), khi n + nếu với mọi số dương cho trước( nhỏ tuỳ ý) tồn tại một số tự nhiên , sao cho với mọi n > thì <''. + Hoặc được định nghĩa dưới dạng suy diễn như : Khái niệm giới hạn L0 được định nghĩa theo con đường suy diễn (nghĩa là trình bày phát biểu ngay định nghĩa, sau đó trình bày ví dụ củng cố ), trên cơ sở giới hạn 0 đã được định nghĩa như : un = L, (L R ) ( un – L) = 0. + Đặc biệt chú ý tới cấu trúc của định nghĩa mà mệnh đề nêu lên có tính chất đặc trưng của khái niệm là cấu trúc tuyển hay cấu trúc hội: *) Đối với định nghĩa có cấu trúc hội: A(x) P1(x) P2(x) … Pn(x), được xây dựng sao cho đối tượng : x A(x) x P1(x) P2(x) … Pn(x). *) Đối với định nghĩa có cấu trúc tuyển: A(x) P1(x) P2(x) … Pn(x), cũng được xây dựng sao cho đối tượng: xA(x)xP1(x) P2(x) … Pn(x). Loại cấu trúc tuyển hay hội thường được dùng định nghĩa tính liên tục hoặc gián đoạn của hàm số. Phương thức 2 : Tìm hiểu các định nghĩa khác nhau của cùng một khái niệm Giới hạn . Từ cách tìm hiểu các định nghĩa khác nhau của cùng một khái niệm sẽ thấy được tính sư phạm của mỗi cách định nghĩa, khi đó có biện pháp thích hợp với mỗi loại đối tượng, làm sao cho học sinh hiểu các tính chất đặc trưng, nhận dạng khái niệm, đồng thời biết thể hiện chính xác, biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể vào giải toán cũng như ứng dụng thực tiễn. Với nội dung chủ đề Giới hạn khi học về các khái niệm có nhiều định nghĩa được phát biểu dưới các dạng khác nhau của cùng một khái niệm, chẳng hạn : + Định nghĩa Giới hạn của dãy số có thể trình bày theo cách ’’mô tả’’ hoặc dùng ngôn ngữ “’’. + Định nghĩa Giới hạn của hàm số có thể thông qua “dãy’’hoặc là “’’. Phương thức 3 : Làm nảy sinh nhu cầu nhận thức về khái niệm Giới hạn của học sinh. Để làm nảy sinh nhu cầu nhận thức khái niệm Giới hạn của học sinh ta cần liên hệ với thực tiễn ví dụ như chiều cao của con người có giới hạn dù tuổi có nhiều đi bao nhiêu nữa. Hoặc trong dạy học xây dựng phương tiện trực quan tượng trưng (mô hình, hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, biểu bảng,…) làm chỗ dựa trực giác. Xây dựng hệ thống phản ví dụ và ví dụ gắn liền với ứng dụng thực tiễn, kết hợp với các phương tiện trực quan tổ chức cho học sinh hình dung được nội dung khái niệm, phát hiện dấu hiệu bản chất của khái niệm từ đó khái quát hình thành khái niệm, chẳng hạn ta xét bài toán của thực tiễn đặt ra, như sau: Bài toán 1: Theo dự đoán tỉ lệ tuổi thọ con người của một nước đang phát triển, sau x năm kể từ bây giờ là : T(x) = năm . Hỏi tuổi thọ của con người sẽ đạt được tới mức giới hạn là bao nhiêu ? . Bài toán 2: Nhu cầu mỗi tháng đối với một sản phẩm mới hiện nay là 195 tấn. Nhà quản lí của xí nghiệp đưa ra một dự đoán rằng sau x năm kể từ bây giời nhu cầu hàng tháng cho sản phẩm sẽ là : S(x) = tấn . Hỏi nhu cầu đối với sản phẩm này hàng tháng sẽ đạt tới mức giới hạn nào sau một khoảng thời gian thật dài ?. Bài toán 3 : Một bệnh truyền nhiễm lây lan qua đường hô hấp nếu không có thuốc tiêm phòng . Mặc dù không quá nguy hiểm, nếu ai bị nhiễm bệnh sẽ trở thành người mang mầm bệnh. Các nhân viên dự phòng y tế cho rằng sau x tháng kể từ bây giời số phần trăm người mang bệnh sẽ là : B(x) = Hỏi cuối cùng số người mang mầm bệnh sẽ là bao nhiêu ? . Từ đó tạo điều kiện tốt nhất, hiệu quả nhất để học sinh tự khám phá kiến thức, tự giải quyết các vấn đề của thực tiễn đặt ra. Phương thức 4 : Tìm hiểu sự phân chia khái niệm, sơ đồ hóa các khái niệm Giới hạn có liên hệ với nhau, giúp học sinh tiếp thu được bản chất kiến thức. Do các tri thức trong chủ đề giới hạn có mối quan hệ tương quan hỗ trợ lẫn nhau nên việc hệ thống, phân chia khái niệm liên hệ với nhau là việc làm rất cần thiết để dạy học đạt hiệu quả. Khi hệ thống hóa kiến thức cần chỉ cho học sinh những mối liên hệ chính yếu của các tri thức toán, đặc biệt chú ý dùng sơ đồ biểu diễn các mối liên hệ giữa các kiến thức. Qua tìm hiểu sự phân chia sơ đồ hóa các khái niệm tập cho học sinh thói quen tìm hiểu sâu sắc, tiếp thu được bản chất của kiến thứcgiúp học sinh hiểu bản chất mối quan hệ, hình dung ra bức tranh tổng thể của khái niệm có liên hệ với nhau như sau: Giới hạn của dãy số Giới hạn của hàm số Giới hạn - Giới hạn trái tại điểm Giới hạn phải tại điểm Giới hạn + ( Hình 2 ) Hình (2) là sơ đồ biểu thị mối liên hệ về giới hạn dãy số và giới hạn hàm số, các giới hạn mở rộng của hàm số. Xét hàm số f(x) Tại x = a Không tồn tại giới hạn: Tồn tại giới hạn: f(x) không xác định tại a f(x) xác định tại x = a L = f(a) L ≠ f(a) f(x) liên tục tại x= a f (x) không liên tục tại x = a ( f ( x) gián đoạn tại x = a) (Hình 3 ) hình (3) là sơ đồ biểu thị các mối liên hệ giữa giá trị của hàm số, khái niệm giới hạn của hàm số, hàm số liên tục. f(x) có lim f(x) = L xx0 f(x) không xác định tại x0 f(x) xác định tại x0 L ≠ f(x0) L = f(x0) f(x) liên tục tại x0 Hình (4) Hình (4) là sơ đồ so sánh khái niệm giới hạn của hàm số và hàm số liên tục Phương thức 5: Tìm hiểu sự tiếp cận lịch sử phát triển Toán học về khái niệm Giới hạn Để kích thích học sinh hứng thú học tập, có thể nêu thêm lịch sử của các khái niệm Toán học về Giới hạn ra đời khi nào, do ai nêu ra và ý nghĩa sau này của khái niệm Giới hạn trong Toán học cũng như trong đời sống, trong việc rèn luyện tư duy Toán học. Với việc dạy học như vậy học sinh sẽ tiếp cận kiến thức về khái niệm Giới hạn, xét về mặt nào đó, gần giống với việc nghiên cứu của các nhà Toán học. Khi đó học sinh sẽ biết được từ đâu xuất hiện các kiến thức Giới hạn, tạo cho học sinh không khí học tập như tập dượt nghiên cứu khoa học, từ đó lĩnh hội được kinh nghiệm lịch sử của Giới hạn không những giúp học sinh nắm vững chắc kiến thức mà còn bồi dưỡng nhân cách cho học sinh, đó là sự giáo dục chứ không chỉ đơn thuần là việc dạy học. Ngoài ra, nếu có điều kiện ta có thể sử dụng tư liệu lịch sử Toán về khái niệm giới hạn để gợi động cơ, hình thành, củng cố, khắc sâu khái niệm qua đó khơi dậy phát huy TTCNT của học sinh trong các tiết dạy tự chọn, ôn luyện hay ngoại khóa, chẳng hạn đưa ra các bài toán thú vị sau: Bài toán : A-sin (Achilis) đuổi rùa Câu chuyện nghịch lý nổi tiếng của D’Elec Zénon (496 – 429) một triết gia người Hi lạp cổ đại vào thế kỷ thứ V trước Công nguyên, đã đưa ra bài toán A-sin (Achilis) đuổi rùa và lập luận như sau : “A-sin (Achilis) là một lực sĩ trong thần thoại Hi lạp, người được mệnh danh là “ có đôi chân nhanh như gió “ đuổi theo môt con rùa trên một đường thẳng. Nếu lúc xuất phát, rùa ở điểm R1 cách A-sin ở điểm A một khoảng a 0, thì mặc dù chạy nhanh hơn, nhưng A-sin không bao giờ có thể đuổi kịp được rùa (!). Thật vậy, để đuổi kịp rùa, trước hết A-sin cần đi đến điểm xuất phát R1 của rùa. Nhưng trong khoảng thời gian đó rùa đã đi đến điểm R2. Để đuổi tiếp, A-sin lại phải đến được điểm R2 này. Trong thời gian A-sin đi đến điểm thứ hai là R2 thì rùa lại tiến lên điểm thứ ba là R3 … . Cứ như thế, A-sin không bao giời đuổi kịp rùa (!)”. Nhưng thực tế nhờ nghịch lý của ông đã góp phần thúc đẩy sự xuất hiện của Giới hạn và cũng từ khái niệm Giới hạn, con người có thể nghiên cứu các vấn đề liên quan tới sự vô hạn trong Giải tích. (?) : Sau khi học về Giới hạn của dãy số, ta có thể có thể lập luận như thế nào về nghịch lý “A-sin không đuổi kịp rùa “ ? (!) : Để đơn giản ở đây ta chỉ xét một trường hợp đặc biệt (còn trường hợp tổng quát được giải tương tự, cụ thể minh họa ở hình vẽ : R1 R2 R3R4 (!) : Ban đầu A-sin ở vị trí A, rùa ở vị trí R1. Khi đó khoảng cách giữa A-sin và rùa minh họa đoạn AR1 có độ dài: U1=100(km) . (?) : Khi A-sin chạy được 100(km) (tức là chạy đến vị trí R1 ) thì rùa đã chạy đến R2, minh họa đoạn R1R2 có độ dài: U2= ? ( U2= 1km). (?) : Khi A-sin chạy đến vị trí R2 thì rùa đã chạy đến R3, minh họa đoạn R2R3 có độ dài: U3= ? ( U3= km). (?) : Khi A-sin chạy đến vị trí R3 thì rùa đã chạy đến R4, minh họa đoạn R3R4 có độ dài: U4= ? ( U4= km). (!) :Tương tự như vậy ta xây dựng được : (?) : Dãy (Un ) có đặc điểm như thế nào? (!) : Dãy (Un ) là một cấp số nhân, có công bội q = , số hạng tổng quát Un = khi n càng tăng thì Un càng nhỏ, tức A-sin ngày càng gần rùa hơn Un nhỏ bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ đủ lớn. Khi n thì Un . Vậy chắc chắn đến một lúc nào đó A-sin có thể đuổi kịp được rùa. Như vậy, việc sử dụng chất liệu cụ thể nhằm tạo môi trường cho tư duy nhận thức của trò được hoạt động tích cực để phát huy cao TTCNT của học sinh trong học tập môn Toán nói chung và khi học về chủ đề Giới hạn nói riêng là rất cần thiết. Từ đó gây hứng thú, tạo được động cơ, ý chí học tập của học sinh và nâng cao được chất lượng cũng như kết quả dạy học. 1.2. Quan điểm về Giải tích và vị trí đặc điểm Giới hạn ở THPT Giải tích Toán học, cùng với Đại số là một trong hai nội dung chính của chương trình Toán ở Phổ thông. Giải tích là tên gọi chung của một số bộ môn Toán học dựa trên khái niệm hàm và Giới hạn, riêng Giải tích lớp 11 ở Phổ thông chỉ bao gồm: Giới hạn về dãy số, hàm số, hàm số liên tục. Quan niệm phổ biến cho rằng, học sinh bắt đầu học Giải tích từ khi học khái niệm Giới hạn (thường ở lớp 11) và Giới hạn cũng là ranh giới phân chia giữa Đại số và Giải tích. 1.2.1. Vị trí đặc điểm của Giới hạn ở THPT Chủ đề Giới hạn là một chủ đề cơ bản, có vị trí đặc biệt quan trọng trong Giải tích Toán học nói chung và Giải tích Toán học của phổ thông nói riêng, không những như là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của đối tượng hàm số mà còn là một công cụ đắc lực của Giải tích trong lý thuyết vi phân hàm, lý thuyết xấp xỉ, lí thuyết biểu diễn,…ngoài ra chủ đề này có nhiều ứng dụng về mặt lý thuyết cũng như thực tiễn. Trên cơ sở nội dung của chủ đề này, ta có thể giải quyết nhiều vấn đề thuộc phạm vi Đại số, Số học, Hình học, Vật lý, ... Vì vậy, dạy học chủ đề Giới hạn ở trường THPT có ý nghĩa rất quan trọng. Có thể nói Giới hạn là kiến thức mở đầu cho bộ môn Giải tích ở trường phổ thông, nó là cơ sở đối với hai phép tính cơ bản của Giải tích toán học là phép tính đạo hàm và phép tính vi phân. Giới hạn còn được áp dụng như một phương pháp để giải một số dạng toán như: tính đạo hàm của hàm số tại một điểm, tìm tiệm cận của đồ thị, chứng minh các đẳng thức và bất đẳng thức, xét sự tồn tại nghiệm của phương trình và bất phương trình ... Dãy số, hàm số cùng với khái niệm Giới hạn xây dựng khái niệm đạo hàm, vi phân, tích phân. Các bài toán về tính Giới hạn, các phương pháp thông dụng và vấn đề chuyển qua Giới hạn trong các phép toán về Giới hạn là nền tảng cơ bản của Giải tích toán học và là một trong những phép toán cốt lõi nhất của Giải tích hiện đại đây là cơ sở để học sinh có khả năng tiếp tục học lên . Vậy Đại số đặc trưng bởi kiểu tư duy “hữu hạn “ , “ rời rạc” , “ tĩnh tại “ , còn khi học về Giải tích vận dụng kiểu tư duy “ vô hạn “ , “ liên tục “ , “ biến thiên“ mà khái niệm Giới hạn chính là cơ sở cho phép nghiên cứu các vấn đề gắn liền với sự “ vô hạn “ , “ liên tục “ , “ biến thiên “ đó, chẳng hạn: Đối với phép toán đặc trưng bởi Đại số đã học cho tương ứng một tập hữu hạn phần tử với một phần tử, như phép toán cộng : ( x1; x2 ) x = x1+ x2 Còn Giới hạn là phép toán cho tương ứng một tạp vô hạn phần tử với một phần tử, như phép toán: Để thấy rõ sự khác biệt nhau giữa các xu hướng trong dạy học Giải tích ở trường Phổ thông có thể nhờ việc so sánh dựa chủ yếu vào việc phân tích mối quan hệ giữa mặt Đại số và mặt xấp xỉ của Giải tích, cụ thể là: 1.2.2. Quan điểm thứ nhất: Giải tích mà Đại số hóa tăng cường ở THPT Quan điểm này giúp ta ý thức về những khó khăn lớn mà học sinh sẽ gặp phải lúc mới làm quen với kiểu tư duy biến thiên, liên tục, vô hạn và khi học về sử dụng các phương pháp, kỹ thuật xấp xỉ. Nhiều công trình nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước đã làm rõ những khó khăn của học sinh khi tiếp thu khái niệm Giới hạn, cũng như những chứng ngại khoa học luận liên quan tới khái niệm này, những khó khăn thao tác với các kỹ thuật đánh giá xấp xỉ, với các bất đẳng thức và giá trị tuyệt đối. Hơn nữa, hiểu được rằng từ một hệ thống chặn trên, chặn dưới hay từ một dãy những xấp xỉ có thể đạt những kết quả chính xác, rằng một khái niệm có thể được định nghĩa bằng các phương pháp đánh giá xấp xỉ và thừa nhận được tính triết học trong những kiểu như khi thực hiện chặn trên, chặn dưới một hàm số hay dãy số ta thường dùng các kỹ thuật: Chọn số hạng trỗi nhất trong một biểu thức; thêm bớt mẫu số, tử số của một phân thức,... Như vậy khi giải quyết các bài toán Giải tích điều này cũng tạo nên một chướng ngại khoa học luận mấu chốt, ngay cả đối với các nhà Toán học trong các thế kỷ trước. Để tránh những khó khăn như vậy, quan điểm phổ biến là "Đại số hóa tăng cường Giải tích". Theo quan niệm này, người ta cố gắng thu hẹp sự ngắt quãng giữa Đại số và Giải tích, xây dựng cái mới trong sự liên tục chặt chẽ với cái cũ và hy vọng rằng học sinh sẽ dần dần tiếp thu được kiến thức mới. Vì vậy, người ta tìm cách tránh đến mức tới đa các phương pháp và kỹ thuật xấp xỉ, thay vào đó là các phép toán và quy trình kiểu Đại số. Những vấn đề lớn như : xấp xỉ các số, xấp xỉ các hàm đều không đề cập đến nữa. Ví dụ 1: Chứng minh: Hàm số f(x) = có giới hạn là 0 khi x 0. Ta nhận thấy : - Kĩ thuật Đại số cho ngay kết quả : = 0. - Bằng kỹ thuật đáng giá, xấp xỉ của Giải tích, lời giải có thể là: Với x ( -; ), ta có < 1+x << < 2 22. Theo định lý so sánh đã biết, suy ra: f(x) = = 0. Nghiên cứu Giới hạn trong ''Giải tích Đại số hóa'' thường được thực hiện theo các bước sau đây : a) Bước 1: Đưa vào khái niệm Giới hạn, bước này lại có hai xu thế chủ yếu: +) Xu thế thứ nhất: Tìm cách định nghĩa chặt chẽ các khái niệm Giới hạn theo ngôn ngữ '','' , '', N ''. +) Xu thế thứ hai: Thì ngược lại tìm cách tránh ngôn ngữ hình thức. Người ta chỉ yêu cầu học sinh “hình dung” các khái niệm này bằng cách trình bày khái niệm Giới hạn theo con đường thực nghiệm, nghĩa là từ những con số hoặc đồ thị để cho một tư tưởng tổng quát và nếu cần có thể đi đến các định nghĩa kiểu ''mô tả'', chẳng hạn: Đối với định nghĩa trong SGK Đại số và Giải tích lớp 11 của Phan Đức Chính (1999): ''dãy số (; n = 1,2,3,…) gọi là dần đến 0 hay có giới hạn 0 khi n +, nếu càng nhỏ khi n càng lớn, tức là nếu có thể nhỏ bao nhiêu tùy ý miễn là chọn n đủ lớn''. Thông thường, trước hết ta đưa ra khái niệm giới hạn 0, sau đó định nghĩa giới hạn L0. b) Bước 2: Nghiên cứu Giới hạn của một dãy số hay hàm số cơ bản và đơn giản, nhờ vào định nghĩa hay quan sát thực nghiệm, thậm chí công nhận. c) Bước 3: Đưa vào các định lý bản chất Đại số về Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương (thông thường được công nhận, không chứng minh). Trên cơ sở các dãy số hay hàm số cơ bản, các định lý này cho phép thu gọn nghiên cứu Giới hạn vào việc sử dụng các phép toán và những qui trình kiểu Đại số. Chúng cho phép đưa ra các quy tắc kiểu thuật toán như để khử các dạng vô định về Giới hạn, mà không cần đến kỹ thuật kiểu xấp xỉ. Tiến trình nêu trên cũng được áp dụng tương tự trong việc nghiên cứu tính liên tục, đạo hàm, nguyên hàm tích phân. Như vậy, các phương pháp và kỹ thuật đánh giá xấp xỉ được tránh gần như hoàn toàn. Ngay cả với các khái niệm, dù được định nghĩa chặt chẽ bằng ngôn ngữ hình thức, thì học sinh cũng rất ít có dịp thao tác trên chúng mà thường chỉ làm việc về tính giới hạn, tính liên tục... theo kiểu Đại số, theo những qui tắc có tính thuật toán: phân tích hàm số đã cho thành tổng, thành tích của các hàm số sơ cấp cơ bản có giới hạn hay liên tục. Tóm lại, giảng dạy Giải tích chủ yếu chỉ xoay quanh các phép tính: giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm tích phân, của một lớp các hàm số khá đơn giản. Còn các vấn đề liên quan đến xấp xỉ gần như bị loại bỏ. 1.2.3. Quan điểm thứ hai : Giải tích xấp xỉ ở THPT Quan điểm này nhấn mạnh sự khác biệt về bản chất giữa Đại số và Giải tích, nhấn mạnh sự ngắt quãng cơ bản trong kiểu tư duy, phương pháp và kỹ thuật sử dụng. Theo quan điểm này, Giải tích xem như thuộc phạm vi của xấp xỉ. Vì thế vấn đề mấu chốt là phải biết sử dụng và thao tác các quy trình, phương pháp và kỹ thuật chặn trên, chặn dưới, đóng khung, so sánh, đánh giá xấp xỉ. Mặc dù ý thức rõ về mặt khó khăn chướng ngại khi đi vào phạm vi đánh giá xấp xỉ, nhưng theo quan điểm này: Không vượt qua những khó khăn và chướng ngại này có nghĩa là không hiểu được “đúng nghĩa” của Giải tích người ta chỉ còn hiểu được nghĩa về mặt Đại số của nó. Một ''Giải tích Đại số hóa'' như vậy, từ một quan điểm nào đó, có thể cho phép thành công một số công việc giảng dạy ở trường học, nhưng không thích ứng với việc giải quyết các vấn đề lớn của cuộc sống, của các ngành khoa học khác, đặc biệt trong việc giải quyết những vấn đề cơ bản của Vật lý. Quả thực ''Giải tích Đại số hóa'' chỉ cho phép nghiên cứu một lớp hữu hạn các hàm số, dãy số cơ bản, đơn giản. Chẳng hạn người ta không có công cụ nghiên cứu giới hạn của các dãy lặp dạng như: un+1 = f(un), hay tích phân của các hàm số mà nguyên hàm của chúng không thể tính được. Do đó, quan điểm Giải tích xấp xỉ chủ trương hạn chế tối đa mặt Đại số hóa. Mặt khác, quan điểm này cũng nhấn mạnh ảnh hưởng của công nghệ thông tin, của việc sử dụng máy tính trong nhà trường. Những công cụ mới này, tạo điều kiện thuận lợi cho việc đưa vào giảng dạy các phương pháp và kỹ thuật xấp xỉ, qua nội dung ''phương pháp số''. Trong quan điểm này lại phân biệt hai xu hướng chủ yếu : a) Xu hướng thứ nhất: Đưa vào khái niệm cơ bản được định nghĩa một cách chặt chẽ lý thuyết; sử dụng ngôn ngữ '','', '', N '' với phương pháp và kỹ thuật xấp xỉ của các số, dãy số và hàm số. Nghĩa là xử lý đồng thời cả hai mặt: quan niệm và kỹ thuật đánh giá xấp xỉ. b) Xu hướng thứ hai: Tránh những mặt định nghĩa hình thức, nhưng nhấn mạnh vai trò của phương pháp và kỷ thuật đánh giá xấp xỉ. Do đó thay vì làm việc với '','', '', N '' người ta lại làm việc với các hàm số, dãy số sơ cấp cơ bản nhờ vào phương pháp và kỹ thuật xấp xỉ này. 1.2.5. Quan điểm thứ ba : Giải tích hỗn hợp ở THPT Quan điểm này nhấn mạnh rằng Giải tích là một phạm vi trong đó tồn tại và hoạt động xen kẽ nhiều hình thức tư duy và kĩ thuật bản chất khác nhau, mà chủ yếu là tư duy và kỹ thuật mang đặc trưng Đại số và mang đặc trưng xấp xỉ của Giải tích. Tuy ''Giải tích Đại số hóa'' có những mặt hạn chế nhưng cũng nhấn mạnh rằng kiểu tư duy'' hữu hạn '', ''rời rạc'' và các phương pháp kỹ thuật của Đaị số vẫn có một vai trò quan trọng trong Giải tích. Còn quan niệm bản chất Giải tích là xấp xỉ, thấy rõ sự cần thiết cho học sinh học thao tác, sử dụng các kỹ thuật và phương pháp xấp xỉ, nhưng quan niệm này cũng ý thức về những hạn chế của quan điểm ''Giải tích xấp xỉ'', quan điểm trong đó khi thực hiện sự giảng dạy Giải tích thỏa mãn mặt khoa học luận của nội dung, nhưng lại chưa quan tâm đúng mức quy trình nhận thức, khả năng tiếp thu của học sinh, ít tính đến những khó khăn lớn mà học sinh phải gặp khi thao tác các phương pháp và kỹ thuật đánh giá xấp xỉ. Ví dụ 2: Chứng minh: Hàm số f( x ) = x3 +x2+1 có giới hạn là 1, khi x 0. Ta thấy : - Định lý Đại số ''về giới hạn của tổng'', cho ngay kết quả: (x3 +x2+1) = (x3)+ ( x2)+ (1) = 1. - Thì kĩ thuật đánh giá, xấp xỉ của Giải tích có lời giải, sau đây: '' = || = | x2 | . | x+1| . Để đạt được bất đẳng thức: | f(x) – 1 | < 2 | x2 |, ta cần chọn số thực và một khoảng I tâm 0 sao cho: | ( x+ 1) | < , với xI . chẳng hạn ta lấy I = (-1;1), thì (x+1)(-1;1), do đó | x+1| < 2. Khi đó, với xI, ta có: | f(x) - 1 | = | x2 | . | x+1| < 2 | x2 |. Theo định lí so sánh đã học, ta suy ra : f(x) = 1''. - Mặt khác, việc lạm dụng kĩ thuật xấp xỉ lại gặp phải hạn chế của kĩ thuật này, chẳng hạn như: Ví dụ 3: Tính . Ta nhận thấy:kỹ thuật Đại số cho lời giải : = = 0. - Với kỹ thuật, đánh giá xấp xỉ của Giải tích, : <=. Theo định lý so sánh, ta suy ra: = 0. Tuy nhiên, kỹ thuật này không còn đơn giản như vậy, dù chỉ thay đổi vài chi tiết rất nhỏ trong bài toán, chẳng hạn: Ví dụ 4 : Tìm . Ta biến đổi: =, với n > 1. Chắc chắn, những kỹ xảo ''thêm, bớt'' như vậy rất khó khăn đối với học sinh. Qua đó ta thấy, quan điểm "Giải tích hỗn hợp" nhấn mạnh mối quan hệ biện chứng giữa hai thành phần: Đại số hóa /xấp xỉ, nhằm đạt tới xác định một tỉ lệ thích hợp giữa chúng. Chú ý tới các biện pháp, phương thức sư phạm thích hợp nhằm phát huy TTCNT của học sinh. Để thấy rõ sự khác biệt giữa các xu hướng trong dạy học Giải tích ở các trường THPT, cần phải so sánh chúng trên cở sở phân tích nhiều yếu tố khác nhau. Tuy nhiên ở đây chỉ dựa chủ yếu việc phân tích so sánh mối quan hệ giữa mặt Đại số và mặt xấp xỉ của Giải tích. 1.3. Thực tiễn dạy học chủ đề khái niệm giới hạn Qua thực tiễn và dự giờ giảng dạy môn Toán ở trường THPT , cho thấy: Chủ đề Giới hạn là một trong những chương khó của Giải tích THPT. Ngay cả đối với học sinh khá khi tiếp cận với với ngôn ngữ Giải tích như” đủ bé”, “ x dần về a” , “dãy số dần ra vô cực “ ...mà nếu không có trình độ tư duy, khả năng nhận thức những vấn đề trừu tượng thì khó có thể lĩnh hội được chủ đề này, nên cách dạy chủ yếu là cung cấp tri thức, tiến hành các bài tập mẫu vận dụng, mà nguyên nhân có thể là bắt nguồn từ những vấn đề sau đây: - Một là, phần lớn giáo viên chỉ nghĩ đến việc dạy đúng, dạy đủ, dạy khái niệm, định lý, kiến thức chủ đề Giới hạn chứ chưa nghĩ đến việc dạy thế nào; - Hai là, tính chất về khái niệm Giới hạn quá trừu tượng vì : nó không tạo được mối liên hệ giữa hình học với đại số, từ đó dễ có cảm tưởng rằng nó không thực sự toán học. Học sinh rất khó nắm được khái niệm vô cùng lớn, vô cùng bé , vô cực, nhất là giới hạn không thể tính trực tiếp bằng cách dùng phương pháp đại số và số học quen thuộc. Mặt khác, khó khăn nữa trong nhận thức khái niệm giới hạn là những khó khăn liên quan đến ngôn ngữ: "giới hạn", "dần về", "nhỏ tùy ý" có ý nghĩa thông thường không tương hợp với khái niệm giới hạn dạng hình thức khiến cho đa số học sinh khi học về vấn đề này vừa gặp khó khăn về mặt nhận thức nên dễ rơi vào bị động bởi hàng loạt các định lý được thừa nhận không chứng minh, vừa làm cho việc áp dụng trở nên máy móc dẫn đến việc lĩnh hội kiến thức một cách chưa thể trọn vẹn. - Ba là, các hoạt động chỉ đạo, nghiên cứu, bồi dưỡng giảng dạy còn nặng về tìm hiểu, làm quen và khai thác nội dung chương trình và Sách giáo khoa. Thiếu sự chuẩn bị đồng bộ đối với các mắt xích trong mối quan hệ rất chặt chẽ là mục tiêu, nội dung, phương pháp, phương tiện giảng dạy … Việc cụ thể hóa, quy trình hóa những phương pháp dạy học về chủ đề khái niệm Giới hạn để giúp giáo viên sử dụng trong giảng dạy chưa làm được bao nhiêu. Ngoài ra cũng thiếu các thông tin cần thiết về đổi mới phương pháp dạy học nói riêng và đổi mới giáo dục nói chung trên thế giới; - Bốn là, các kiểu đánh giá và thi cử cũng ảnh hưởng rõ rệt tới phương pháp giảng dạy; đánh giá và thi cử như thế nào thì sẽ có lối dạy tương ứng đối phó như thế ấy. Tóm lại, với kiểu dạy học thầy truyền thụ kiến thức nói chung, chủ đề Giới hạn nói riêng theo cách thụ động trò ngồi nghe, những gì thầy giảng thường không có sự tranh luận giữa thầy và trò, điều thầy nói có thể coi là tuyệt đối đúng … Một phương pháp giảng dạy vào kinh nghiệm, không xuất phát từ mục tiêu đào tạo, không có cơ sở kiến thức về những quy luật và nguyên tắc của lý luận dạy học sẽ làm cho quá trình học tập trở nên nghèo nàn, làm giảm ý nghĩa giáo dục cũng như hiệu quả bài giảng. Vì vậy cần tăng cường các hoạt động phát hiện, tự khám phá, ý thức học tập của mỗi học sinh: + Giảm nhẹ lí thuyết trừu tượng, coi trọng vai trò trực giác, rèn luyện khả năng dự đoán và suy luận có lí ; + Phát huy TTCNT của học sinh trong tiến trình xây dựng kiến thức theo qui nạp trong việc hình thành các khái niệm Giới hạn. Một mặt nó phù hợp với qui luật nhận thức " từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng ... " nên dễ dàng hơn cho việc lĩnh hội kiến thức của học sinh. Mặt khác, khi tham gia phương thức này là cơ hội để học sinh tham gia tích cực vào việc xây dựng kiến thức mới, rèn luyện các thao tác tư duy như Phân tích, Tổng hợp, Khái quát hóa,... từ đó phát huy TTCNT . 1.4. Kết luận chương 1 Từ sự phân tích cơ sở lý luận và thực tiễn việc phát huy tính tích cực nhận thức của học sinh trong dạy học môn Toán với các quan điểm Giải tích về đặc điểm chủ đề Giới hạn ở trường THPT cho thấy: + Đổi mới phương pháp dạy học nhằm phát huy TTCNT của học sinh là phương pháp dạy học hiệu quả nhất, để đạt được yêu cầu về sự cạnh tranh trí tuệ trên con đường hội nhập và phát triển toàn cầu, đồng thời đáp ứng được mục tiêu mà xã hội đang đặt ra. + Đưa ra một số quan điểm Giải tích về đặc điểm chủ đề Giới hạn, đây được coi là nội dung quan trọng, cơ bản nền tảng và khó của Giải tích Toán học ở THPT , vì vậy khi học về nội dung này chính là quá trình biến đổi về chất trong nhận thức đối với học sinh. Những kết luận trên đây, là cơ sở cho việc định hướng, thiết kế xây dựng 5 phương thức sư phạm thích hợp, để dạy học khái niệm về chủ đề Giới hạn theo hướng phát huy TTCNT của học sinh nhằm nâng cao hiệu quả dạy học Toán nói chung và chủ đề Giới hạn nói riêng ở trường THPT. chương 2 cách tiếp cận khái niệm GIớI HạN Và VIệC PHáT HUY TíNH tíCH cực NHậN THức Của HọC SINH TRONG DạY HọC chủ đề GiớI HạN ở THPT 2.1. cách tiếp cận khái niệm GIớI HạN ở THPT Thực tế trong chương trình môn Toán ở THPT các khái niệm ''Giới hạn về dãy số và hàm số, hàm số liên tục'' được trình bày theo các cách tiếp cận không giống nhau của mỗi tài liệu riêng biệt. Xét trong các bộ SGK Giải tích - Đại số lớp 11 của các nhóm tác giả ta sẽ thấy rõ hơn điều đó. 2.1.1. Các cách tiếp cận khái niệm “giới hạn dãy số” 2.1.1.1. Cách 1: Của nhóm tác giả Ngô Thúc Lanh chủ biên, 1995 theo ngôn ngữ '','' Con đường đi tới định nghĩa khái niệm Giới hạn dãy số là qui nạp, từ việc mô tả: ''Khi n càng lớn thì càng bé và bé bao nhiêu cũng được'', được chuyển qua ngôn ngữ ", " bằng cách chọn miền giá trị cụ thể để tiến tới khái quát hóa cho mọi : ''ta nói rằng dãy số thực (; n = 1,2,3,…) có giới hạn là L (LR), khi n + nếu với mọi số dương cho trước (nhỏ tuỳ ý) tồn tại một số tự nhiên sao cho với mọi n > thì <. Kí hiệu = L''. Định nghĩa này khá rắc rối, cấu trúc câu thì phức tạp, hơn nữa đây là lần đầu tiên học sinh tiếp cận với ký hiệu của Hy Lạp là . Học sinh khá thì thắc mắc tại sao nói là ''với mọi số dương cho trước'' còn sử dụng cụm từ ''nhỏ bao nhiêu tùy ý '' để làm gì ? Thực ra, nếu không có lời giải thích đó các em sẽ ít chú trọng đến tính chất '' vô cùng bé '', ( đây là đặc trưng của Giải tích) mà các em chỉ nghĩ đến giá trị cố định , thì tư duy lại theo kiểu ''tĩnh tại'', ''rời rạc’', ''hữu hạn'' của Đại số. Lời giải thích này hướng vào kiểu tư duy ''biến thiên'', ''liên tục'', ''vô hạn'' của lĩnh vực Giải tích. 2.1.1.2. Cách 2: Của nhóm tác giả Phan Đức Chính chủ biên, 1999 theo ngôn ngữ ”mô tả” Khái niệm giới hạn dãy số được định nghĩa dưới dạng “mô tả” bằng ngôn ngữ thông thường, đưa vào từng bước để giảm nhẹ mức độ trừu tượng của nó. +) Bước1: Định nghĩa ''Giới hạn 0 của dãy số” là: ''dãy số (; n = 1,2,3,…) gọi là dần về 0 hay có giới hạn 0 khi n +, (nếu càng nhỏ khi n càng lớn) tức là có thể nhỏ bao nhiêu tùy ý, miễn là chọn được n đủ lớn. Kí hiệu = 0 hoặc 0 khi n +''. Định nghĩa này chưa đảm bảo tính chính xác của một định nghĩa khái niệm, nhưng vì tính chất “mô tả” nên học sinh không bị choáng, vì vậy giúp học sinh bước đầu hình thành khái niệm Giới hạn 0 của dãy số. Tuy nhiên với cách định nghĩa này, học sinh không thể dùng định nghĩa để chứng minh một dãy có Giới hạn 0 và làm các bài toán về chứng minh Giới hạn bằng định nghĩa, mà học sinh chỉ có mỗi một con đường là công nhận tất cả các Giới hạn cơ bản, cũng như các định lý về Giới hạn. +) Bước 2: Định nghĩa “ Giới hạn L 0 của dãy số ” là ''ta nói rằng dãy số thực (; n = 1,2,3,…) có giới hạn là L (LR), khi n + nếu với mọi số dương cho trước (nhỏ tuỳ ý) tồn tại một số tự nhiên , sao cho với mọi n > thì <. Kí hiệu = L''. Qua sự phân tích trên ta thấy cần có sự thống nhất giữa các quan điểm để học sinh lĩnh hội được các khái niệm, ngoài ra đảm bảo tính vừa sức, tính lôgic đúng đắn, từ đó giúp học sinh có sự nhận thức rõ ràng và sâu sắc hơn. Chính vì vậy, mà chương trình cải cách SGK lần này đã quán triệt tinh thần đó, của nhóm tác giả Phan Đức Chính, đó là cách 3: 2.1.1.3. Cách 3 : Của nhóm tác giả Đoàn Quỳnh chủ biên, 2004 Trước hết, thông qua ví dụ cụ thể điển hình, bằng việc tổ chức cho học sinh biểu diễn dãy số và nhận xét khoảng cách từ điểm đến tọa độ 0. Qua thao tác sư phạm, giáo viên hướng dẫn học sinh làm sao nêu bật lên được mặt logic của khái niệm Giới hạn 0, một cách trực quan nhất, lúc này cả ba mặt ''trực giác số '' , ''trực giác hình học'' và ''suy luận'' đều được đề cập nhằm hình thành ở học sinh biểu tượng ban đầu về khái niệm Giới hạn 0 của dãy số. Tuy nhiên, mặt ''suy luận'' chỉ được đề cập có mức độ. Vậy muốn đi đến khái niệm Giới hạn 0, học sinh lại cần hiểu được mệnh đề tổng quát '' nhỏ hơn một số dương bất kỳ, kể từ một số hạng nào đó trở đi''. Sau đó thông báo rằng với đặc trưng này dãy () được gọi là có giới hạn 0 khi n +. Mệnh đề nêu trên chỉ dừng ở mức độ '' nhỏ hơn ...'', chứ chưa phải là ''nhỏ hơn ...''. Tuy nhiên, với dãy số này, học sinh có thể có quan niệm sai lệch rằng: ''nếu dãy () có giới hạn là 0, thì phải là dãy đơn điệu và dần tới 0 chỉ từ một phía, thậm chí () phải dương''. Nhưng dãy () có thể là dãy không đơn điệu và có thể dần về 0 từ bên trái hay từ bên phải, hoặc từ cả hai phía. Mục đích chủ yếu vẫn là giúp học sinh hiểu một cách trực giác khái niệm Giới hạn 0, do đó mô tả đặc trưng của dãy số này trên cả hai phương diện ''trực giác số'' và ''trực giác hình học''. Để khắc phục khuyết điểm này và cũng cố biểu tượng ban đầu về Giới hạn 0, nên xét ví dụ dãy đan dấu: Ví dụ 5: Chứng minh dãy số có giới hạn 0 Xét : = 0 < (nhưng ở đây không dùng kí hiệu này mà gọi là “ nhỏ hơn một số dương bất kỳ", kể từ một số hạng nào đó trở đi). Đồng thời hợp thức hóa tính chất cơ bản của dãy số đã cho là: ''Hơn nữa người ta chứng minh được rằng có thể nhỏ hơn một số dương bất kỳ, kể từ một số hạng nào đó trở đi''. Cụm từ ''nhỏ hơn một số dương bất kỳ, kể từ một số hạng nào đó trở đi'' có thể còn mơ hồ đối với học sinh, vì thế ta phải cho cụ thể hai giá trị số dương là: nếu số dương là 0,1 tức thì từ số hạng thứ 101 trở đi; với số dương là 0, tứcthì từ số hạng thứ 1 001 trở đi. Việc trình bày hỗn hợp ''trực giác - suy luận'' như vậy cho phép đảm bảo được cả tính sư phạm và tính chặt chẽ Toán học trong việc khẳng định tính chất cơ bản của dãy số đã cho. Giới hạn L0 được định nghĩa qua khái niệm Giới hạn 0 và theo con đường suy diễn (nghĩa là phát biểu ngay định nghĩa, sau đó trình bày ví dụ củng cố ). Vấn đề là đưa vào khái niệm Giới hạn qua “mô tả” mà không trình bày định nghĩa chính xác, nên khó có thể lột tả được bản chất khái niệm, trên tinh thần đó trong SGK mới, khái niệm Giới hạn 0 và Giới hạn + được đưa vào theo con đường qui nạp. Cụ thể qua các hoạt động và ví dụ, khái niệm được “mô tả” nhờ vào các ghi nhận "trực giác số" và ''trực giác hình học" với “ suy luận”. Còn các khái niệm Giới hạn L0 và Giới hạn - được định nghĩa qua các Giới hạn 0 và Giới hạn +. Ngoài ra, SGK còn cho một số kết quả của giới hạn cơ bản đặc biệt, để học sinh sử dụng kết quả đó làm cơ sở chứng minh những bài toán về giới hạn (mà theo như cách 2, của bước 1 là đối với loại toán này ta không có cách giải, mà chỉ có cách là công nhận các kết quả và định lý về giới hạn). 2.1.2. Các cách tiếp cận định nghĩa khái niệm ” giới hạn hàm số” ở Phổ thông trong các bộ SGK Giải tích - Đại số lớp 11 khái niệm Giới hạn hàm số được các tác giả trình bày theo hai ngôn ngữ khác nhau là: ''dãy'' và '', ''. 2.1.2.1. Cách 1: Của nhóm tác giả Ngô Thúc Lanh chủ biên, 1996 theo ngôn ngữ '','' Định nghĩa khái niệm Giới hạn của hàm số theo ngôn ngữ '','' là: '' Ta nói rằng hàm số y = f(x) dần tới L khi x dần tới a (hoặc có giới hạn L khi x a) nếu mọi số dương cho trước (nhỏ bao nhiêu tùy ý), ta có thể tìm được một số dương sao cho khi 0 << thì <. Kí hiệu = L". Cách phát biểu này đảm bảo về tính chính xác và tổng quát, tuy nhiên lại không đảm bảo về tính vừa sức đối với học sinh vì ngôn ngữ khá trừu tượng và khó tiếp thu. Nhất là đối với loại bài tập dùng định nghĩa để chứng minh giới hạn của hàm số học sinh phải có bước dự đoán kết quả rồi áp dụng định nghĩa để chứng minh và việc tìm số theo quả là không hề đơn giản. 2.1.2.2. Cách 2: Của nhóm tác giả Phan Đức Chính chủ biên và một số SGK của các nhóm tác giả khác theo ngôn ngữ ''dãy'' Trình bày theo ngôn ngữ ''dãy'' các cách phát biểu có thể khác nhau nhưng nhìn chung đều cơ bản đảm bảo tính chính xác về khoa học và cũng không kém phần trừu tượng hơn so với ngôn ngữ '',''. Tuy nhiên nó dựa trên khái niệm dãy số đã được định nghĩa trước đó cùng với sự “mô tả” đã làm cho học sinh dễ tiếp nhận hơn, bởi tính kế thừa của nhận thức. Tức từ khái niệm Giới hạn dãy số có thể chuyển qua Giới hạn hàm số bằng cách chọn định nghĩa qua Giới hạn dãy số. Cụ thể định nghĩa ''Giới hạn hàm số'' trong SGK có thể phát biểu ở các dạng sau: a) Dạng 1: f(x) xác định trên tập hợp số thực D bất kỳ, trong quá trình xa chỉ yêu cầu xa, với xD mà không yêu cầu x a (nghĩa là có thể x = a hoặc x a). Dạng này được trình bày SGK Đại số & Giải tích lớp 11 (1996) của nhóm tác giả Phan Đức Chính chủ biên, có thể phát biểu như sau: ” Ta nói rằng hàm số y = f(x) dần tới L khi x dần tới a (hoặc f(x) có giới hạn bằng L khi x dần đến a) nếu với mọi dãy số (xn) D và (xn) a thì dãy các giá trị tương ứng (f(xn))L. Ta viết f(x) = L hay f(xn) L khi xa”. b) Dạng 2: f(x) xác định trên tập hợp số thực D bất kỳ, trong quá trình xa chỉ yêu cầu với x D và yêu cầu x a. Dạng này được trình bày trong SGK chỉnh hợp nhất năm 2000 của nhóm tác giả Trần Văn Hạo & Ngô Thúc Lanh chủ biên, có thể phát biểu như sau: ''Ta nói rằng hàm số y = f(x) dần tới L khi x dần tới a (hoặc f(x) có giới hạn bằng L khi x dần tới a) nếu mọi dãy số (xn) D với (xn) a và (xn) a thì dãy các giá trị tương ứng (f(xn )) L. Ta viết f(x) = L hay f(xn) L khi xa”. c) Dạng 3: f(x) xác định trong một lân cận nào đó của điểm a trừ điểm a và trong quá trình xa yêu cầu x a. Dạng này định nghĩa bằng ngôn ngữ dãy được trình bày trong SGK Giải tích 12 ban khoa học kỹ thuật (1995) của nhóm tác giả Phan Đức Chính chủ biên, có thể phát biểu như sau: "Giả sử a ( c ; b ), (-< cb <+) và hàm số f(x) xác định trên tập hợp (c;b)\{a}. Ta nói rằng hàm số có giới hạn là L khi x dần đến a và viết: f(x) = L hay f(x) L khi x a, nếu với mọi dãy số thực bất kỳ (xn)(c;b) \ {a} sao cho x= a ta đều có f(xn) = L”. *) Vậy có thể chỉ ra sự khác nhau về định nghĩa của giới hạn hàm số của các dạng nêu trên như sau: + Thứ nhất: Trong vấn đề chọn dãy (xn) a. Ta thấy, ở dạng 1 không yêu cầu dãy (xn) a nhưng ở dạng 2 và dạng 3 yêu cầu dãy (xn) a, ta thấy đây là điều kiện cần thiết bởi vì ta có thể minh chứng rõ nét qua phản ví dụ sau: Ví dụ 6: Xét Nếu xn0 và không yêu cầu xn0, ta chọn dãy : thì . Nhưng với n lẻ thì 1 và với n chẵn thì 0 , do đó không tồn tại. Nhưng nếu ta yêu cầu: xn 0 và xn0, thì dễ thấy tồn tại: f(x). Ví dụ 7 : Cho hàm số Ta chọn dãy (xn) có dạng : Do > 0 nên +1= 1. Và nên = 0 Vì un 0 ; vn 0 mà nên không tồn tại: f(x) Nhưng nếu ta yêu cầu: xn 0 và xn0, thì dễ thấy tồn tại: f(x). Khi học sinh làm việc với ví dụ này, các em dễ phân biệt được sự khác nhau giữa hai khái niệm: f(x) và giá trị f(0) của hàm số. Mặt khác, đa số bài toán tìm giới hạn lim f(x) khi x dần tới a bằng định nghĩa đều rơi vào trường hợp f(x) không xác định tại x =a khi đó với mọi dãy (xn) thoả mãn: (xn) D, (xn) a là để f(xn) xác định trên D. + Thứ hai: Có sự khác nhau đối với mức độ yêu cầu của hàm y = f(x) có giới hạn khi x a. Đó là, về tập xác định của hàm số f(x), (SGK chỉnh lí hợp nhất năm 2000) ở dạng 2, đã trình bày là không chỉ rõ yêu cầu của f(x) xác định trong một lân cận nào đó của điểm a. Nhưng ở dạng 3, lại yêu cầu f(x) xác định trong một lân cận nào đó của a và có thể không xác định tại điểm a, ta minh chứng qua ví dụ sau: Ví dụ 8: Tính : Tìm giới hạn của hàm số f(x) = khi x -2 .Ta thấy tập xác định của hàm số này là D = . Theo dạng ba thì cần một lân cận của -2, nhưng ở đây f(x) lại không xác định trong một lân cận của -2. Do đó không thể tồn tại giới hạn của f(x) khi x -2. Ngược lại, theo như ở dạng hai không yêu cầu lân cận cho nên ta chọn dãy bất kỳ (xn) -2+ và (xn) -2 thì ta có ngay giới hạn f(x) = 0. Với định nghĩa khái niệm như ở dạng ba, học sinh chỉ có câu trả lời là đúng trong trường hợp hàm số xác định trong khoảng chứa điểm a, còn trường hợp hàm số xác định trong đoạn có đầu mút điểm a thì không giải được. Tuy nhiên trong định nghĩa ở dạng 2, khiến cho học sinh đồng nhất ngoại diên của khái niệm tại một điểm của hàm số với ngoại diên khái niệm một phía của hàm số tại a. Thực tế thì giới hạn một phía chỉ là một phần trong khái niệm giới hạn hàm số, có nghĩa là có ngoại diên nhỏ hơn. Do đó để phân biệt ngọai diên của hai khái niệm giới hạn hàm số và giới hạn một phía, cần cho học sinh xét các ví dụ cụ thể dưới dạng bài tập . Ví dụ 9: Xét: f(x) = Lúc đó, thì f(x) không tồn tại, nhưng f(x) có giới hạn phải và giới hạn trái tức là: f(x) và f(x) đều tồn tại. Điều quan trọng lưu ý, khi dạy học chủ đề Giới hạn là làm sao cho học sinh hiểu rõ bản chất, lĩnh hội được nội dung và ý nghĩa của khái niệm, nắm được tinh thần cơ bản để từ đó có kỹ năng vận dụng vào giải toán. Nếu dạy phần lý thuyết quá trừu tượng thì học sinh không những không nắm được kiến thức mà còn khó có thể học tốt được những nội dung còn lại của Giải tích. 2.1.3. Các cách định nghĩa sự liên tục - gián đoạn hàm số tại một điểm Có nhiều điểm khác nhau về định nghĩa ''hàm số liên tục tại một điểm'' ở trong các bộ SGK Giải tích - Đại số lớp 11 của các nhóm tác giả trên, từ đó có nhiều quan điểm về ''điểm gián đoạn''. Ta nhìn nhận điểm khác nhau đó: 2.1.3.1 . Cách1 : Của nhóm tác giả Ngô Thúc Lanh chủ biên, 1995 Đối với SGK Đại số và Giải tích 11 (chỉnh lý hợp nhất 2000) lại đưa ra định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm như sau: ''Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (c; b). Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm a ( c ; b ) nếu f(x) = f(a)''. Nếu tại điểm x = a, hàm số không liên tục thì nó được gọi là gián đoạn tại điểm x = a. Theo sách này, hàm số f(x) gián đoạn tại điểm x = a nếu xảy ra một trong hai điều kiện: i) Không tồn tại f(x); ii) Tồn tại f(x) nhưng (x) f(a). Như vậy, nếu tại điểm x = a hàm số không xác định thì ta không xét tính liên tục cũng như tính gián đoạn tại điểm đó. Điều này cũng được khẳng định trong hướng dẫn giảng dạy toán 11 là: " Ta không đặt vấn đề xét tính liên tục hay gián đoạn của các điểm không thuộc tập xác định của hàm số ". Nhưng đến phần bài tập, ngay từ bài tập 1 đã đưa ra yêu cầu: xét xem các hàm số sau đây có liên tục tại mọi điểm của x không ? nếu chúng không liên tục thì chỉ ra các điểm không liên tục đó ? trong đó có xét hàm số y=; câu trả lời được cho trong sách bài tập Đại số- Giải tích 11 là: Hàm này không liên tục tại x=0; x=2. Rõ ràng hai giá trị 0 và 2, không thuộc tập xác định của hàm số đã cho. Như vậy, theo hướng dẫn trên thì ta không xét tính liên tục hay gián đoạn của hàm số tại 2 điểm này. Câu trả lời như vậy là có mâu thuẫn giữa phần lý thuyết và phần bài tập. 2.1.3.2 . Cách 2 : Của nhóm tác giả Phan Đức Chính chủ biên, 1996 Đối với SGK Đại số và Giải tích 11, Ban khoa học tự nhiên (1996) và SGK Đại số và Giải tích 11 (1996), đưa ra định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm : '' Hàm số y = f (x) gọi là liên tục tại điểm x = a nếu : i) f(x) xác định tại x = a ; ii) f(x) = f(a)''. Cách phát biểu này có ưu điểm là làm rõ các thuộc tính bản chất của khái niệm hàm số liện tục tại một điểm, nhưng quá dài dòng. Hàm số không liên tục tại điểm x = a thì gọi là gián đoạn tại điểm x = a. Như vậy theo sách này, hàm số f(x) gián đoạn tại điểm x = a nếu xảy ra ít nhất một trong ba điều kiện sau : i) f(x) không xác định tại x=a; ii) Không tồn tại f(x) ; iii) Tồn tại f(x) nhưng f(x) f(a). 2.1.3.3. Cách 3 : Của nhóm tác giả Trần Văn Hạo & Ngô Thúc Lanh chủ biên 2000 Đối với SGK Đại số và Giải tích 11, định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm tương tự như SGK chỉnh lý hợp nhất năm 2000. ''Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (c;b). Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm a(c;b) nếu f(x) = f(a)''. Hàm số f(x) không liên tục tại điểm x = a thì gọi là gián đoạn tại điểm x = a, tuy nhiên sau đó sách đã đưa ra chú ý: " Như vậy một hàm số f(x) là liên tục tại điểm x = a nếu và chỉ nếu 3 điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời: i) f(x) xác định tại x=a; ii) f(x) tồn tại; iii) f(x) = f(a). Một hàm số là gián đoạn tại x = a khi và chỉ khi một trong ba điều kiện không được thỏa mãn ". Vậy lại có sự không thống nhất trong định nghĩa về các khái niệm liên tục - gián đoạn của hàm số tại một điểm. Qua phân tích trên ta thấy, có những quan điểm và sự không thống nhất về các khái niệm chủ đề Giới hạn, do đó sẽ khó khăn cho học sinh trong hiểu và nắm vững kiến thức, dẫn tới khó khăn và sai lầm trong ứng dụng vào bài tập. 2.1.4. Về việc mở rộng khái niệm giới hạn của dãy số và hàm số 2.1.4.1. Một số vấn đề về giới hạn vô cực của dãy số Ta biết: Không có khái niệm ''số dương vô cực: +'', ''số âm vô cực: -'',''số vô cực: '', mà chỉ là qui ước ký hiệu: +, -, được sử dụng trong lý thuyết Giới hạn. + Như SGK bậc Phổ thông ở nhiều nước trên thế giới và trong khu vực, người ta dùng hai kí hiệu +và -. Nếu vậy, có sự khác biệt với SGK ở PTTH của nước ta là chỉ sử dụng có kí hiệu là để viết Giới hạn vô cực của dãy số. +Thực tế, trong việc khảo sát hàm số ở lớp 12 ta chỉ xét tính chất hàm số là + hay - không xét chung chung ở vô cực . + Hơn nữa, ngay cả bậc Đại học khi xét tập hợp số thực R mở rộng cũng chỉ bổ sung hai phần tử là + và - mà không sử dụng kí hiệu , tức là: = R. Vì vậy, nên khi xét giới hạn vô cực của dãy số nói riêng, chủ đề Giới hạn nói chung phải xét cụ thể chỉ rõ ràng, giới hạn + hay giới hạn - tức là un = + hoặc un = - . Do R là một tập hợp sắp thứ tự nên không thể kết luận chung chung giới hạn là hay viếtun= . Cho nên, với cách nhìn nhận này thì phản ánh đúng bản chất tính giới hạn vô cực của dãy số, khi xét trên tập hợp sắp thứ tự của số thực R, nếu như vậy thì: Ví dụ 10: Xét và với q > 1. Nhưng còn các giới hạn dãy số và với q < - 1 không có giới hạn, tức : Ví dụ 11 : Xét và với q < 1 đều không tồn tại. Cũng có một số quan điểm coi rằng tương tự như như số tự nhiên +7 và +9 được viết cho gọn là 7 và 9 nên cũng có thể xem kí hiệu được dùng để chỉ +, như vậy việc dùng kí hiệu để chỉ đại lượng vô cùng lớn như vậy có thể gây nhầm lẫn. 2.1.4.2. Mở rộng khái niệm giới hạn của hàm số + Mở rộng khái niệm giới hạn của hàm số ra vô cực ( f(x) ); giới hạn tại vô cực (x ) để ứng dụng khảo sát như tìm tiệm cận của hàm số. Như SGK Đại số và Giải tích 11 ( của Đoàn Quỳnh ) đã phân biệt các giới hạn tại và tại , cũng như các giới hạn và . Điều đó dẫn đến những khác biệt ở Giải tích 12 (SGK chỉnh lý hợp nhất năm 2000) khi xét tiệm cận. Chẳng hạn, khi xét tiệm cận ngang (SGK chỉnh lý hợp nhất năm 2000) thường chỉ phải tìm một giới hạn , nay ta phải xét cả hai giới hạn và. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang nếu chỉ cần một trong hai giới hạn đó là tồn tại và hữu hạn. Cụ thể, giả sử hai giới hạn đó lần lượt là y1 và y2 thì khi y1 y2, thì đồ thị hàm số sẽ có hai tiệm cận ngang là y = y1 và y =y2; còn khi y1 = y2 đồ thị có một tiệm cận ngang y = y1. Điều này cũng xảy ra tương tự đối với tiệm cận xiên. Cũng như vậy, khi xét tiệm cận đứng, phải xét tất cả các điểm x0 sao cho một trong các giới hạn và là +hoặc -. + Mở rộng khái niệm giới hạn một phía là giới hạn trái (x a- ) và giới hạn phải (x a+ ) là cơ sở để xét tính liên tục của hàm số. Vì vậy, cần phải xét đến khái niệm giới hạn trái và phải của hàm số tại một điểm Ví dụ 12: Tính: Ta có tập xác định D = [ 1; + ). Nên x phải lấy các giá trị lớn hơn hoặc bằng 1, rõ ràng x không thể dần đến 1 từ phía bên trái, tức không có, mà chỉ có = 0. a) Mối quan hệ giữa giới hạn một phía và giới hạn tại một điểm của hàm số: = L == L Ví dụ 13: Tính: Lúc này ta phải phân biệt ra: = - và = + , vậy: giới hạn này không tồn tại. ở ví dụ này thì ta thấy: + Điểm a = 0 là điểm “giáp ranh” cho nên khi x , tức là các dãy xn mang giá trị âm; còn khi x tức là các dãy xn mang giá trị dương; + Điểm a 0 các dãy xn a, (a 0) thì ta thấy rằng dù cho x a+ hay x a- thì các dãy xn không đổi dấu. Tóm lại, trong nhiều trường hợp cần phân biệt: giới hạn hàm số khi x a hoặc cả hai phía của x a+ hay x a-. Mối quan hệ giữa giới hạn một phía và giới hạn tại vô cực của hàm số f(x): = L == L Cái gốc: x a và f(x) L là hữu hạn nhưng sau đó mở rộng ra x và f(x) , chẳng hạn: = L = = L Mở rộng như vậy là chưa hợp lý điều này không phản ánh đúng bản chất vì: - ; + nằm ở hai cực có khoảng cách rất xa nhau, nhưng mà trong khi đó a+; a- chỉ là một sự gần gũi giữa hai phía tại một điểm của x a, thế thì chẳng lẽ lại xem rằng lúc này -; + lại là gần gũi nhau, không lẽ xem x cũng như là xa. Ví dụ14: Ta có: = nhưng khômg thể nói giới hạn một cách chung chung rằng: không tồn tại (!). Hay nói tóm lại, không chấp nhận = L mà phải phân biệt ra rõ ràng = L hoặc = L . 2.1.4.3. Một số vấn đề khi dạy học về khái niệm Giới hạn vô cực của dãy số Định nghĩa khái niệm Giới hạn của hàm số tại một điểm, tại vô cực và giới hạn vô cực của hàm số đều được định nghĩa thông qua Giới hạn của dãy số, nên khái niệm Giới hạn vô cực của dãy số (ở đây coi vai trò của n là x tức:) được xem như là một trong những trường hợp mở rộng khái niệm Giới hạn của hàm số, còn các trường hợp mở rộng còn lại như x(-, a+, a-) hoàn toàn tương tự, nên khi đã nắm vững bản chất về Giới hạn vô cực của dãy số, thì sẽ là bước đệm để học tốt về Giới hạn vô cực của hàm số. Chính vì vậy, khi dạy học về các khái niệm Giới hạn nói chung, khái niệm Giới hạn vô cực của dãy số nói riêng, ta quan tâm đến các vấn đề: a) Khi dạy học về khái niệm Giới hạn của dãy số Ta phải định nghĩa phân biệt rõ ràng giới hạn dương vô cực(+) và âm vô cực (-) chứ không định nghĩa giới hạn vô cực () ở dạng chung chung, : +) ''Dãy số un được gọi là có giới hạn + khi n dần tới dương vô cực nếu với mỗi số dương M tồn tại số nguyên dương n0 sao cho : un > M , n > n0 . Kí hiệu : un = +''. +) ''Dãy số un được gọi là có giới hạn - khi n dần tới dương vô cực nếu với mỗi số dương M tồn tại số nguyên dương n0 sao cho: un n0 , Kí hiệu : (un ) = -''. +) Hoặc để đơn giản và làm rõ mối quan hệ giữa hai khái niệm () ta xem định nghĩa dãy số un có giới hạn - thông qua + như sau: ''Dãy số un được gọi là có giới hạn - nếu (-un ) = +”. b) Về kí hiệu: +, - có thể xem như là Giới hạn của dãy số Xét ví dụ 15: = 0; = +; = - . Qua ví dụ 15 này ta thấy, với ''một số thực rất lớn'' là nói đến một số cụ thể ở “trạng thái tĩnh tại, cố định''. Còn bản chất của + và - không phải là những số thực cụ thể rất lớn nào đó, mà đúng ra nói đến lân cận của + tức là khoảng (a, +) và lân cận của - là khoảng (-; a ) với R, do đó không thể thực hiện các qui tắc hay phép toán đại số trên chúng, nhưng kết quả giới hạn (nếu có) của dãy số un có thể là: Giới hạn hữu hạn (0, hằng số L0 ) hoặc Giới hạn vô cực (), nên ta có thể xem kí hiệu + và - như là giới hạn của dãy số. Thực ra, có thể định nghĩa được các giới hạn vô cực + và -, nhưng định nghĩa này khác hẳn về bản chất so với định nghĩa của giới hạn hữu hạn. Như vậy, khi thực hành trong giải toán học sinh dễ bị lẫn lộn, giữa hai khái niệm ''giới hạn hữu hạn'' và ''giới hạn vô hạn vô cực'', trong việc biến đổi các phép toán về giới hạn và dẫn đến sai lầm trong kí hiệu như: = ? ; (+) - (+) = 0 ? ; 0 . = 0 ?... c) Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn hoặc vô cực () Ví dụ 16: Dãy số un = (-1)n không có giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực. Ví dụ 17 : Xét và với q < 1 đều không tồn tại giới hạn d) Khi tìm giới hạn của dãy số Ta sẽ gặp một số trường hợp đặc biệt, mà khi đó các qui tắc thông thường và các định lý về giới hạn hữu hạn không cho phép xác định được giới hạn của các dãy số là có hay không và nếu có thì bằng bao nhiêu đấy chính là các dạng vô định của dãy số . Ví dụ 18: Xét dạng vô định : , với = = 0 , cụ thể: +)Với:un=,vn =mà()= 0,() =0,nhưng:=()= 0. +)Với:un=,vn =, màun =vn = 0 , nhưng = 1 = 1 . +)Với:un =,vn =, màun= 0, vn=0 nhưng=n = +. +)Với: un=,vn = -, màun=vn=0, nhưng=(-n) =-. +)Với:un=,vn =;un =vn=0,thì= (-1)n không tồn tại. Qua ví dụ 18 này, thì kết quả của dạng vô định có thể bằng: 0, hằng số L0, hay ( ), hoặc không tồn tại. Vậy các trường hợp tổng quát về dạng vô định (; ; - ; ) cụ thể : *)Dạng vô định () là : , với = = 0. *)Dạng()là:,với==+hoặc==- *)Với(-)là:;==+hoặc==- *)Dạng(0.) là:, với = 0 và= +hoặc= - Tương ứng với từng dạng vô định này thì đã có từng loại phương pháp để giải, được trình bày rõ ở ví dụ và bài tập có trong SGK và các sách tham khảo . e) Khi thực hiện các phép toán về giới hạn vô cực của dãy số Lúc này không áp dụng được các định về giới hạn hữu hạn của dãy số để tìm giới hạn các dãy số này, nhưng SGK thì không hướng dẫn cách thực hiện các phép toán về giới hạn vô cực, mà chỉ có định lý: ” nếu thì . Ngược lại, nếu thì ” Ví dụ19: Tính (?) Có phải tử số dần tới 9 và mẫu số dần về 0, nên phân thức dần về ? (?) Dựa vào đâu mà có kết luận như trên ? Với cách trình bày như trên chắc chắn học sinh sẽ gặp khó khăn và lúng tùng khi giải các bài toán liên quan đến tìm giới hạn vô cực của dãy số ?! Vì vậy, nên ta phải xét đến các định lý về mối liên hệ giữa: Giới hạn hữu hạn ( 0; L0 ) với giới hạn vô cực (). Chúng là cơ sở cho việc tìm giới hạn: '' tổng, hiệu, tích, thương '' của các dãy số dạng này, *) Cụ thể các định lý đó là: Định lý 1: Nếu thì vn = +, (-). Định lý 2: Nếu thì (un+vn) = +, (- ). Định lý 3 : Nếu thì (un.vn) = +, (- ). Định lý 4 : Nếu thì (un.vn) = -, (+). Định lý 5 : un = = . Địnhlý 6 : Nếu thì = . Định lý 7: Nếu thì =0 (theo qui tắc tích dấu định lý 6). *) Trên cơ sở đó, ta xây dựng qui tắc về các phép toán giới hạn vô cực dãy số. *) Qui tắc 1- Sử dụng với phép toán : = + . Kết quả được thể hiện ở bảng 1 như sau : - 0 L0 + - - - - (-) (vô định) 0 - 0 L0 + L'0 - L'0 L + L' + + (-) (vô định) + + + *)Qui tắc 2- Sử dụng với phép toán : = - . Kết quả được thể hiện ở bảng 2 như sau : - 0 L0 + - (-) (vô định) + + + 0 - 0 L0 + L'0 - -L'0 L - L' + + - - - (-) (vô định ) *)Qui tắc3-Sử dụng với phép toán: = . . Kết quả được thể hiện ở bảng 3 như sau : - 0 L0 + L<0 L >0 - + (0.) (vô định) + - - 0 (0.) (vô định) 0 0 (0.) (vô định) L'0 L'<0 + 0 L . L' - L'>0 - + + - (0.) (vô định) - + + *)Qui tắc 4 - Sử dụng với phép toán: = Kết quả được thể hiện ở bảng 4 như sau : - 0 L0 + L<0 L>0 - (vô định) 0 0 (vô định) 0 0 - + (vô định) + - - 0+ - - + + L'0 L'< 0 + 0 - L'> 0 - + + (vô định) 0 0 (vô định) Qua lập 4 bảng này ta thấy, nếu chỉ xem giới hạn vô cực kiểu chung chung là thì sẽ không có kết quả ở các dòng và cột chia nhỏ của 4 bảng trên ( mỗi bảng gồm 5 cột và 5 dòng chính). Ngoài ra, ở bảng 4 và bảng 5 sẽ không có kết quả - và + mà chỉ là , đây cũng chính là những khó khăn và sai lầm gây thắc mắc cho học sinh trong quá trình giải toán về tìm giới hạn nói chung, giới hạn vô cực nói riêng, nhất là trong việc khảo sát hàm số . 2.2. Ví dụ minh họa dạy học chủ đề Giới hạn theo hướng phát huy TTCNT của học sinh Theo tài liệu SGK thí điểm năm 2004 của Bộ Giáo dục - Đào tạo, Đại số và Giải tích 11, khái niệm chủ đề Giới hạn bao gồm các nội dung về: dãy số, hàm số và hàm số liên tục, cụ thể như sau: Giới hạn dãy số: Giới hạn 0 giới hạn L 0 Dãy số dần ra vô cực un = 0 un = L(un – L) =0 un = - un= + Khi đó định nghĩa giới hạn dãy số được phát biểu như sau: .) un = 0 | un | < m ( m là một số dương nhỏ tùy ý cho trước nhưng không bằng 0), kể từ một số hạng nào đó. .) un = + un > M (M là một số dương tùy ý cho trước), kể từ một số hạng nào đó. .) un = - un < - M (M là một số dương tùy ý cho trước), kể từ một số hạng nào đó. b) Giới hạn hàm số: Định nghĩa giới hạn hàm số được phát biểu dạng như sau: ‘’ Với K là một khoảng (a;b) chứa điểm x0 f(x) là hàm số xác định trên K, hoặc K\ = L xn K , xn x0 và xn = x0 (,,-,+) thì f(xn) = K(-,+)’’. Qua cách phát biểu tổng quát về giới hạn của hàm số nếu phát biểu cụ thể có 15 định nghĩa riêng biệt đó là định nghĩa khái niệm giới hạn của hàm số tại một điểm tại vô cực và giới hạn vô cực của hàm số đều được định nghĩa thông qua giới hạn của dãy số. Các định nghĩa được xây dựng hoàn toàn tương tự nên từ định nghĩa của một trường hợp học sinh có thể tự xây dựng và phát biểu các trường hợp còn lại. Với cách trình bày này không những tiết kiệm được thời gian, tránh được sự nhàm chán khi phải nhắc đi nhắc lại các định nghĩa được xây dựng theo cùng một cách mà còn hợp lý rằng các định nghĩa khái niệm giới hạn của hàm số đúng cho cả trường hợp giới hạn tại một điểm, giới hạn một bên lẫn trường hợp giới hạn vô cực của hàm số, ta minh họa qua bảng dưới đây. đối số x hàm số f(x) Giới hạn hàm số khi Giới hạn hàm số tại một phía của điểm x0 Giới hạn hàm số tại vô cực - ->+ f(x) -> L f(x)= L f(x) = L f(x) = L f(x) = L f(x) = L f(x) ->+ f(x)= + f(x) = + f(x) =+ f(x) = + f(x) =+ f(x) -> - f(x)= - f(x) = - f(x) = - f(x) = - f(x) = - TậpxácđịnK hoặc K\ ( a ; b ) ( a ; x0 ) ( x0 ; b ) ( -; b ) ( a ; +) c) Hàm số liên tục: Định nghĩa hàm số liên tục được phát biểu dạng như sau: “ Hàm số f(x) xác định trên khoảng K, được gọi là liên tục tại điểm x0 K, nếu “. 2.2.1. Thực hiện kế hoạch bài học theo phương pháp dạy học tích cực với khái niệm chủ đề giới hạn 2.2.1.1. Xây dựng kế hoạch bài học Xây dựng kế hoạch bài học cụ thể, thể hiện mối quan hệ tương tác giữa giáo viên với học sinh, giữa học sinh với học sinh nhằm giúp học sinh đạt được mục tiêu bài học. a) Các bước xây dựng kế hoạch bài học chủ đề giới hạn a1. Xác định mục tiêu của bài học chủ đề giới hạn, căn cứ vào chuẩn kiến thức, kĩ năng và yêu cầu về thái độ trong chương trình ở trường THPT a2. Nghiên cứu SGK và các tài liệu liên quan chủ đề giới hạn để : - Hiểu chính xác, đầy đủ những nội dung bài học về chủ đề giới hạn . - Xác định những kiến thức, kĩ năng, thái độ cơ bản cần hình thành và phát triển ở học sinh khi học chủ đề này. - Xác định trình tự lôgic của bài học chủ đề giới hạn . a3 . Xác định những khả năng đáp ứng nhiệm vụ nhận thức của học sinh : - Xác định những kiến thức kĩ năng mà học sinh đã có và cần có khi học chủ đề giới hạn . - Dự kiến những khó khăn tình huống có thể nảy sinh và các phương án giải quyết trong bước đầu tiếp cận chủ đề về giới hạn. a4 . Lựa chọn phương pháp dạy học; phương tiện thiết bị dạy học ; hình thức tổ chức dạy học và cách thức đánh giá thích hợp nhằm giúp học sinh học tập tích cực, chủ động, sáng tạo, phát triển năng lực tự học qua học chủ đề giới hạn . a5 . Xây dựng kế hoạch bài học chủ đề giới hạn : Xác định mục tiêu, thiết kế nội dung, nhiệm vụ, cách thức hoạt động, thời gian và yêu cầu cần đạt cho từng hoạt động dạy của giáo viên và hoạt động học tập của học sinh. b ) Cấu trúc của một kế hoạch bài học chủ đề giới hạn được thể hiện ở các nội dung sau . b1. Mục tiêu bài học : - Nêu rõ yêu cầu học sinh cần đạt về kiến thức, kĩ năng, thái độ khi học chủ đề giới hạn . - Các mục tiêu được biểu đạt bằng động từ cụ thể, có thể lượng hoá được. Mục tiêu kiến thức : gồm 6 mức độ nhận thức: + Nhận biết : Nhận biết thông tin ghi nhớ tái hiện thông tin . + Thông hiểu : Giải thích được, chứng minh được. + Vận dụng : Vận dụng nhận biết thông tin để giải quyết vấn đề đặt ra. + Phân tích : chia thông tin ra thành các phần thông tin nhỏ và thiết lập mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa chúng. + Tổng hợp : Thiết kế lại thông tin từ các nguồn tài liệu khác nhau và trên cơ sở đó tạo lập nên một mẫu hình. + Đánh giá : Thảo luận về giá trị của một tư tưởng, một phương pháp, một nội dung kiến thức. Đây là một bước mới trong việc lĩnh hội kiến thức được đặc trưng bởi việc đi sâu vào bản chất của đối tượng, hiện tượng. Mục tiêu kĩ năng: Gồm hai mức độ làm được và thông thạo về dạng toán chủ đề giới hạn . Mục tiêu thái độ : Tạo sự hình thành thói quen, tính cách nhằm phát triển con người toàn diện theo mục tiêu giáo dục. b2. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh : - Giáo viên chuẩn bị các thiết bị dạy học ( tranh ảnh, mô hình, hiện vật ...), các phương tiện và tài liệu dạy học cần thiết liên quan đến khái niệm giới hạn. - Giáo viên hướng dẫn học sinh chuẩn bị bài học, làm bài tập, chuẩn bị tài liệu đồ dùng cần thiết phục vụ cho việc học chủ đề giới hạn . b3 . Tổ chức các hoạt động dạy học : Trình bày rõ cách thức triển khai các hoạt động dạy - học cụ thể từng bài về chủ đề giới hạn . b4 . Hướng dẫn các hoạt động nối tiếp : Xác định những việc học sinh cần phải tiếp tục thực hiện sau giờ học để cũng cố, khắc sâu, mở rộng bài cũ hoặc để chuẩn bị cho việc học bài mới qua học khái niệm giới hạn . 2.2.1.2. Một số hình thức trình bày kế hoạch bài học của chủ đề giới hạn a ) Viết thứ tự hệ thống các hoạt động, câu hỏi theo thứ tự trên xuống dưới. b ) Viết hệ thống các hoạt động theo 2 cột : + Hoạt động của giáo viên; + Hoạt động của học sinh . c ) Viết hệ thống các hoạt động theo 3 cột : + Hoạt động của giáo viên; + Hoạt động của học sinh ; + Nội dung ghi bảng , hoặc tiêu đề nội dung chính và thời gian thực hiện. d ) Viết hệ thống các hoạt động theo 4 cột : + Hoạt động của giáo viên; + Hoạt động của học sinh ; + Nội dung ghi bảng ; + Tiêu đề nội dung chính và thời gian thực hiện . 2.2.1.3. Phân chia hệ thống các nhóm hoạt động theo trình tự kế hoạch bài học về chủ đề giới hạn Nhóm 1: Kiểm tra, hệ thống, ôn lại bài cũ các kiến thức liên quan đến khái niệm giới hạn và chuyển tiếp sang bài mới; Nhóm 2: Hướng dẫn, diễn giải, khám phá, phát hiện tình huống, đặt và nêu vấn đề liên quan đến khái niệm giới hạn ; Nhóm 3 : Để học sinh tự tìm kiếm, khám phá, phát hiện thử nghiệm, qui nạp suy diễn, để tìm ra kết quả, giải quyết vấn đề khái niệm giới hạn ; Nhóm 4 : Rút ra kết luận, tổng kết, hệ thống kết quả, hệ thống hoạt động và đưa ra kết luận giải quyết vấn đề về giới hạn; Nhóm 5 : Tiếp tục cũng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kỹ năng để vận dụng vào giải bài tập về giới hạn và áp dụng vào cuộc sống . 2.2.1.4. Trình tự của lập kế hoạch bài học chủ đề giới hạn - Đọc kĩ bài học trong SGK, sách giáo viên, sách tham khảo có liên quan đến khái niệm chủ đề Giới hạn; - Trả lời các câu hỏi, giải bài tập về khái niệm chủ đề giới hạn ; - Hình dung phương pháp dạy học, phương tiện dạy học, thiết bị dạy học hệ thống các câu hỏi trắc nghiệm khách quan và phương pháp đáng giá khi dạy học chủ đề giới hạn ; - Chuẩn bị hệ thống các nhóm hoạt động theo trình tự trên để viết kế hoạch bài dạy cụ thể cho từng bài về chủ đề giới hạn ; - Hình thành cách dạy bài học, cách tổ chức giờ học về chủ đề giới hạn ( chú ý sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học , đánh giá kết quả trong dạy học). - Viết kế hoạch bài dạy chủ đề giới hạn theo cấu trúc trên . 2.2.1.5. Thực hiện kế hoạch bài học về chủ đề giới hạn a ) Kiểm tra sự chuẩn bị ( có thể thực hiện đầu giờ học hoặc có thể đan xen trong quá trình dạy học kiến thức giới hạn ) - Kiểm tra việc nắm vững bài học cũ có liên quan đến kiến thức giới hạn . - Kiểm tra tình hình chuẩn bị bài học (làm bài tập, chuẩn bị tài liệu và đồ dùng học tập cần thiết ). b ) Tổ chức dạy và học bài mới - Giáo viên giới thiệu bài học mới : nêu nhiệm vụ học tập và cách thức thực hiện để đạt được mục tiêu bài học ; tạo động cơ học tập cho sinh ; - Giáo viên tổ chức, hướng dẫn học sinh suy nghĩ, tìm hiểu khám phá và lĩnh hội nội dung bài học, nhằm đạt được mục tiêu bài học với sự vận dụng phưng pháp dạy học phù hợp . c ) Luyện tập cũng cố Giáo viên hướng dẫn học sinh củng cố khắc sâu những kiến thức kĩ năng thái độ đã có thông qua hoạt động thực hành luyện tập có tính tổng hợp nâng cao theo những hình thức khác nhau về kiến thức giới hạn . d) Đánh giá - Trên cơ sở đối chiếu với mục tiêu bài học, giáo viên dự kiến một số câu hỏi bài tập khái niệm giới hạn và tổ chức cho học sinh tự đánh giá về kết quả học tập của bản thân và của bạn . Giáo viên đánh giá tổng kết về kết quả giờ học . e) Hướng dẫn học sinh học bài và làm việc ở nhà - Giáo viên hướng dẫn học sinh luyện tập, củng cố bài củ thông qua làm bài tập thực hành, tự ôn luyện, hệ thống lại các kiến thức giới hạn đã học. - Giáo viên hướng dẫn học sinh chuẩn bị bài học mới. 2.2.2. Minh họa dạy học về khái niệm Giới hạn theo hướng phát huy TTCNT của học sinh Để phát huy TTCNT của học sinh cần xây dựng phương tiện trực quan tượng trưng (mô hình, hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, biểu bảng,…) làm chổ dựa trực giác. Xây dựng hệ thống ví dụ và phản ví dụ kết hợp với các phương tiện trực quan tổ chức cho học sinh hình dung được nội dung khái niệm, phát hiện dấu hiệu bản chất của khái niệm và khái quát hình thành khái niệm. Theo như định hướng nhóm tác giả Đoàn Quỳnh chủ biên là không dùng định nghĩa khái niệm Giới hạn thông qua định nghĩa ngôn ngữ '','', '', '' chủ yếu do học sinh khó có thể lĩnh hội được các định nghĩa qua hình thức đó. Nhưng ngay cả khi không còn sử dụng định nghĩa như vậy nữa và theo định nghĩa kiểu mô tả thì người ta thừa nhận rằng không thể đòi hỏi học sinh hiểu một cách sâu sắc bản chất sâu sắc về khái niệm Giới hạn, chính vì vậy chỉ yêu cầu học sinh hiểu khái niệm một cách trực quan và bước đầu hình dung được thế nào là giới hạn dãy số, hàm số từ đó biết lĩnh hội, vận dụng các định nghĩa, định lý, phương pháp giải bài toán về giới hạn. Thực tế đâu đó trong cách dạy học giáo viên thường lướt qua đại khái các định nghĩa và chỉ tập trung luyện tập cho học sinh các thủ thuật tính giới hạn, khử các dạng vô định hay xét tính liên tục. Kết quả cuối cùng không ít học sinh không những biết giải các bài tập liên quan mà còn giải thành thạo nhưng rốt cục lại không hiểu bản chất khái niệm về giới hạn và liên tục. 2.2.2.1. Ví dụ minh họa dạy học khái niệm Giới hạn dãy số a) Mục tiêu +) Về kiến thức: Hiểu được một cách trực quan, và nắm được bản chất khái niệm giới hạn của dãy số có thể là: 0 ; L0; , thông qua xét các ví dụ. +) Về kĩ năng: Giúp học sinh biết vận dụng định nghĩa và các kết quả cơ bản đặc biệt để nhận biết chứng minh dãy số có giới hạn và tính giới hạn dãy số. +) Về tư duy: Bước đầu hình thành kiểu tư duy logíc, linh hoạt, phát triển suy luận toán học gắn liền với sự vô hạn, liên tục, biến thiên +) Về thái độ: Có thái độ học tập tích cực, độc lập, phát huy tính sánh tạo. b) Chuẩn bị phương tiện trực quan dạy học +) Thực tiễn: Học sinh biết biểu diễn sắp xếp thứ tự các số thực trên trục số. +) Phương tiện: Chuẩn bị bảng biểu, để minh họa giới hạn dãy số trên trục số. c) Gợi ý về phương pháp dạy học Sử dụng các phương pháp