Đề tài Điện động lực học điện tử - Hà Nam Thanh

Điện động lực học lượng tử 1 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 MỤC LỤC MỞ ĐẦU .................................................................................................................................... 2 1. Phƣơng trình Dirac ..................................................................................................................3 2. Các nghiệm của phƣơng trình Dirac .....................................................................................6 3. Hiệp biến song tuyến tính.................................................................................................... 12 4. Photon .................................................................................................................................... 15 5. Các qui tắc Feynman cho Điện động lực học lƣợng tử ................................................... 18 6. Ví dụ ....................................................................................................................................... 22 7. Thủ thuật Casimir và Định lý vết ....................................................................................... 27 8. Tiết diện va chạm và thời gian sống .................................................................................. 31 9. Sự tái chuẩn hóa.................................................................................................................... 38 KẾT LUẬN .............................................................................................................................. 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO..................................................................................................... 45 Điện động lực học lượng tử 2 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 MỞ ĐẦU Trong quang học cổ điển, ánh sáng đƣợc truyền đi theo mọi phƣơng và sự giao thoa của chúng tuân theo nguyên lý Fermat. Tƣơng tự, trong Điện động lực học lƣợng tử (QED- quantum electrodynamics), ánh sáng (hay bất kì một hạt nào nhƣ một electron hoặc một proton) có thể truyền đi theo phƣơng bất kì bởi các gƣơng hoặc thấu kính. Ngƣời quan sát (ở một vị trí đặc biệt) nhận thấy một cách đơn giản kết quả toán học của mọi hàm sóng tăng cƣờng, nhƣ là một tổng các tích phân đƣờng. Giải thích theo cách khác, các quĩ đạo đƣợc quan niệm là phi vật chất, các cấu trúc toán học là tƣơng đƣơng với chúng, trong giới hạn có thể. Tƣơng tự nhƣ quĩ đạo của cơ học lƣợng tử phi tƣơng đối tính, các cấu trúc khác nhau đóng góp vào sự phát triển của Trƣờng lƣợng tử mô tả rõ sự tất yếu hoàn thiện các phƣơng trình chuyển động cổ điển. Do đó theo hình thức luận QED, ánh sáng có thể truyền nhanh hơn hoặc chậm hơn c, nhƣng sẽ truyền với vận tốc trung bình c. Trong QED, lý thuyết nhiễu loạn lƣợng tử miêu tả các hạt tích điện tƣơng tác thông qua trao đổi các quang tử. Biên độ của các tƣơng tác này có thể tính đƣợc bằng lý thuyết nhiễu loạn; các công thức hoàn chỉnh có một cách biểu diễn hình tƣợng đáng lƣu ý nhƣ là các biểu đồ Feynman. QED là lý thuyết mà các biểu đồ Feynman đƣợc áp dụng đầu tiên. Các biểu đồ này đƣợc phát minh ra trên cơ sở của Lagrangian trong cơ học. Dùng biểu đồ Feynman, có thể biểu diễn mọi quĩ đạo khả dĩ từ điểm đầu cho đến điểm cuối. Mỗi quĩ đạo đƣợc gắn với một biên độ xác suất, và biên độ thực mà ta quan sát là tổng của các biên độ trên các quĩ đạo khả dĩ. Các quĩ đạo với pha không đổi đóng góp nhiều nhất (do sự giao thoa với các sóng ngƣợc pha) — kết quả này cũng giống nhƣ sự giao thoa sóng của hai nguồn phát sóng đứng yên trong cơ học. Mô hình cũ của điện động lực học lƣợng tử chỉ bao gồm trao đổi quang tử riêng lẻ, nhƣng Sin-Itiro Tomonaga, Julian Schwinger và Richard Feynman nhận ra rằng tình huống lại phức tạp hơn rất nhiều vì tán xạ điện tử-điện tử có thể bao gồm trao đổi một vài quang tử. Một điện tích điểm trần trụi không tồn tại trong bức tranh của họ. Điện tích luôn tạo ra một đám các cặp hạt-phản hạt ảo ở xung quanh nó, do đó, mô men từ hiệu dụng của nó thay đổi và thế năng Coulomb cũng bị biến đổi tại các khoảng cách ngắn. Các tính toán từ mô hình này đã tái tạo lại các dữ liệu thực nghiệm của Kusch và Lamb với một độ chính xác ngạc nhiên và mô hình điện động lực học lƣợng tử mới đƣợc coi là một lý thuyết chính xác nhất đã từng có. Tomonaga, Schwinger và Feynman cùng nhận giải Nobel vật lý năm 1965. Phát triển này của điện động lực học lƣợng tử lại có một tầm quan trọng vĩ đại nhất cho cả việc miêu tả các hiện tƣợng vật lý năng lƣợng cao. Điện động lực học lượng tử 3 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 1. Phương trình Dirac Mẫu ―ABC‖ tuy là một lý thuyết trƣờng lƣợng tử hoàn toàn phù hợp nhƣng nó không mô tả đƣợc thế giới thực vì các hạt A,B,C có spin bằng 0 , trong khi đó các quark và lepton mang spin 1/2, và các trung tử mang spin bằng 1. Việc tính đến spin có thể là khá phức tạp về mặt số học; đó là lý do tại sao ta đƣa ra phép tính Feynman trong ngữ cảnh của một lý thuyết ―đồ chơi‖ hoàn toàn không có những rắc rối trên. Trong cơ học lƣợng tử phi tương đối tính các hạt đƣợc mô tả bởi phƣơng trình Schrödinger, còn trong cơ học lƣợng tử tương đối tính các hạt có spin bằng 0 đƣợc mô tả bằng phƣơng trình Klein – Gordon, các hạt có spin 1/2 bởi phƣơng trình Dirac và các hạt có spin 1 bởi phƣơng trình Proca. Tuy nhiên một khi các qui tắc Feynman đã đƣợc thiết lập thì phƣơng trình trƣờng cơ bản mất dần hiệu lực về căn bản. Nhƣng với các hạt có spin 1/2, kí hiệu của qui tắc Feynman đã giả định về sự tƣơng tự với phƣơng trình Dirac. Thế nên trong ba phần tiếp theo, ta sẽ nghiên cứu lý thuyết Dirac trong theo đúng nghĩa của nó. Ta đã thiết lập đƣợc phƣơng trình Schrödinger bằng việc bắt đầu với hệ thức năng xung lƣợng cổ điển áp dụng cách mô tả lƣợng tử : và để toán tử thu đƣợc tác dụng lên hàm sóng  cho kết quả : (Phƣơng trình Schrödinger) Phƣơng trình Klein – Gordon có thể thu đƣợc bằng chính phƣơng pháp này, bắt đầu với mối liên hệ năng – xung lƣợng tương đối tính Hoặc (từ nay ta sẽ bỏ qua thế năng, và ta chỉ xử lý các hạt tự do ). Đáng ngạc nhiên là cách mô tả lƣợng tử (7.2) không đòi hỏi sự biến đổi tƣơng đối tính; theo kí hiệu vectơ bốn chiều : Điện động lực học lượng tử 4 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Với Tức là : Thay (1.5) vào (1.4) và để đạo hàm tác động lên hàm sóng , ta thu đƣợc : Hay : (Phƣơng trình Klein – Gordon ) Schrödinger rõ ràng đã khám phá ra phƣơng trình này trƣớc cả phƣơng trình phi tƣơng đối tính mang tên ông; nó thậm chí còn bị phủ nhận về căn bản vì bị cho là không tƣơng thích với ý nghĩa thống kê của hàm sóng  [tức (2) là xác suất tìm thấy hạt ở điểm (x,y,z)]. Nguồn gốc của sự khó khăn này là do phƣơng trình Klein – Gordon là phƣơng trình bậc hai theo thời gian t (phƣơng trình Schrödinger là phƣơng trình bậc nhất theo t). Vì thế Dirac bắt đầu tìm kiếm một phƣơng trình phù hợp với công thức năng – xung lƣợng tƣơng đối tính bậc nhất theo thời gian. Nhƣng năm 1934 Pauli và Weisskopf đã chỉ ra rằng ý nghĩa thống kê tự nó đã có vấn đề trong lý thuyết lƣợng tử tƣơng đối tính, và hoàn trả phƣơng trình Klein – Gordon trở lại đúng vị trí tuyệt vời của nó, trong khi vẫn duy trì phƣơng trình Dirac cho các hạt có spin 1/2. Chiến lƣợc cơ bản của Dirac là ―đặt thừa số‖ cho hệ thức năng – xung lƣợng (1.4). Việc này sẽ trở nên dễ dàng nếu ta chỉ có p0 (tức nếu p = 0) : Ta đƣợc hai phƣơng trình bậc nhất : hoặc Phƣơng trình nào trong số hai phƣơng trình này đều đảm bảo rằng p  p - m 2 c 2 =0. Nhƣng sẽ là một vấn đề khác khi ba thành phần còn lại của p đƣợc tính đến, trong trƣờng hợp đó ta sẽ đi tìm biểu thức dƣới dạng : Điện động lực học lượng tử 5 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 với  k và   là tám hệ số cần đƣợc xác định. Khai triển vế phải của (7.12), ta đƣợc : Để không có số hạng nào phụ thuộc tuyến tính vào pk, ta chọn  k =   , sau cùng ta cần tìm hệ số  k sao cho : tức là Ta thấy rằng có thể chọn  0 = 1,  1 =  2 =  3 = 1, nhƣng dƣờng nhƣ không có cách nào tránh khỏi ―các số hạng chéo‖. Ở điểm này, Dirac đã có một ý tƣởng sáng giá: nếu  là các ma trận thay vì các con số thì sẽ nhƣ thế nào ? Khi các ma trận là không giao hoán, ta có thể tìm thấy một tập hợp sao cho : với Hay ngắn gọn hơn là: với g  là ma trận Minkowski, và dấu móc nhọn thể hiện một phản giao hoán tử. Ta có thể tự giải quyết vấn đề này một cách bình thƣờng. Điều này có thể thực hiện đƣợc, mặc dù ma trận nhỏ nhất là 4  4. Có một số tập hợp tƣơng đƣơng các ―ma trận gamma‖; ta sẽ sử dụng qui ƣớc chuẩn ― Bjorken và Drell ‖ : Trong đó  i (i = 1,2,3) là các ma trận Pauli đã chỉ ra, 1 biểu thị cho ma trận đơn vị cấp 2  2, 0 biểu thị cho ma trận cấp 2  2 của các số 0. Điện động lực học lượng tử 6 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Nhƣ một phƣơng trình ma trận cấp 4  4, hệ thức năng – xung lƣợng tƣơng đối tính cho ra thừa số : Bây giờ ta thu đƣợc phƣơng trình Dirac khi tách ra một số hạng (vấn đề không phải là số nào, mà đây là một cách chọn theo qui ƣớc): Thực hiện sự thay thế thông thƣờng p  i  (phƣơng trình 7.5), và cho kết quả tác dụng lên hàm sóng  : ( Phƣơng trình Dirac) Lƣu ý rằng  là một ma trận cấp 4  4 : Ta gọi đó là ― lƣỡng Spinor‖ hay ― Spin Dirac ‖ (Mặc dù nó gồm 4 thành phần nhƣng đó không phải là vectơ 4 chiều. Trong phần 3 ta sẽ chỉ ra nó thay đổi nhƣ thế nào khi ta thay đổi hệ quán tính; nó sẽ không phải là một phép biến đổi Lorenzt thông thƣờng). 2. Các nghiệm của phương trình Dirac Bây giờ ta sẽ đi tìm các nghiệm đơn giản của phƣơng trình Dirac. Trƣớc hết giả sử rằng  độc lập đối với vị trí : Cùng với (7.5), phƣơng trình này mô tả một trạng thái có xung lƣợng lƣợng bằng không( p = 0 ). Phƣơng trình Dirac giản ƣớc thành : Hoặc : Điện động lực học lượng tử 7 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Trong đó mang hai thành phần phía trên, và mang hai thành phần phía dƣới. Do đó Và các nghiệm là : Ta xem thừa số nhƣ là sự phụ thuộc thời gian đặc trƣng của một trạng thái lƣợng tử với năng lƣợng E. Đối với một hạt đứng thì E = mc 2 , do đó A trong trƣờng hợp p = 0 chính xác là cái mà ta mong đợi. Nhƣng với B thì sao ? Dƣờng nhƣ nó mô tả một trạng thái với năng lƣợng âm (E = -mc 2 ). Đây là một thất bại lớn và là điều đầu tiên mà Dirac cố tránh bằng cách giả thiết về một ―biển vô hạn‖ không nhìn thấy đƣợc của các hạt có năng lƣợng âm, nó lấp đầy các trạng thái không mong muốn. Thay vì làm thế, bây giờ ta giải thích các nghiệm ―năng lƣợng âm‖ bằng cách đƣa ra các phản hạt với năng lƣợng dƣơng. Theo đó, ví dụ nhƣ A mô tả các electron thì B sẽ mô tả các positron. Mỗi hàm sóng là một spinor hai thành phần, đúng với hệ có spin 1/2. Tóm lại, phƣơng trình Dirac với p = 0 thừa nhận bốn nghiệm độc lập (bỏ qua các thừa số chuẩn hóa ) Điện động lực học lượng tử 8 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 lần lƣợt mô tả một electron với spin hƣớng lên, một electron hƣớng xuống, một positron với spin hƣớng lên và một positron với spin hƣớng xuống. Tiếp theo ta đi tìm nghiệm sóng phẳng dƣới dạng : hoặc theo kí hiệu gọn hơn : (với a là hằng số chuẩn hóa, tuy không phù hợp với mục đích biểu diễn của ta nhƣng cần thiết sau này để giữ cho đơn vị phù hợp). Ta hi vọng tìm thấy một lƣỡng spin u(p) sao cho (x) thỏa mãn phƣơng trình Dirac ( lúc này p  (E/c,p) chỉ đơn giản là một tập hợp của bốn tham số tùy ý, nhƣng vì chúng biểu diễn cho năng lƣợng và xung lƣợng nên đơn giản nhất là ta gán cho chúng các kí tự thích hợp ngay từ khi bắt đầu). Do sự phụ thuộc vào x xác định bởi số mũ Thay biểu thức này vào phƣơng trình Dirac (7.20), ta có : hoặc Phƣơng trình này đƣợc biết đến nhƣ là ―phƣơng trình Dirac trong không gian xung lƣợng ‖. Lƣu ý rằng đó là một phƣơng trình thuần túy đại số và không có đạo hàm. Nếu u thỏa mãn phƣơng trình (2.12) thì  (ở phƣơng trình 2.10) thỏa mãn phƣơng trình Dirac (1.20). Ta có : Do đó : Điện động lực học lượng tử 9 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Trong đó chỉ số dƣới A biểu thị cho hai thành phần phía trên và B biểu thị cho hai thành phần phía dƣới. Để thỏa mãn phƣơng trình (2.12), ta phải có Thay uB vào uA ta đƣợc : Nhƣng do Nên với 1 là ma trận đơn vị cấp 2  2. Vậy Và do đó Tức là để thỏa mãn phƣơng trình Dirac, E và p (ở phƣơng trình 2.10) phải tuân theo hệ thức năng – xung lƣợng tƣơng đối tính. Phƣơng trình theo E ở (2.20) cho ta hai nghiệm: Nghiệm dƣơng ứng với các trạng thái hạt, nghiệm âm ứng với các trạng thái của phản hạt. Quay lại phƣơng trình (2.15) và sử dụng (2.17), vấn đề trở nên đơn giản khi xây dựng bốn nghiệm độc lập của phƣơng trình Dirac (bỏ qua các thừa số chuẩn hóa) Điện động lực học lượng tử 10 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 đặt thì đặt thì đặt thì đặt thì Với (1) và (2) ta phải dùng dấu cộng ở phƣơng trình (2.21), nếu không uB sẽ bất định khi p  0, đây là điều dễ hiểu với hàm sóng các hạt. Với (3) và (4) ta buộc phải dùng dấu trừ, đó là các trạng thái của phản hạt. Thông thƣờng ta chuẩn hóa các spinor này theo cách sao cho Với dấu cộng kí hiệu cho liên hợp chuyển vị (hay ―liên hợp Hermit‖) Do đó Vậy bốn nghiệm là : (với ) Điện động lực học lượng tử 11 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 (với ) Và hằng số chuẩn hóa là Có thể đoán nhận đƣợc u (1) mô tả một electron với spin hƣớng lên, u (2) với spin xuống và cứ nhƣ thế, nhƣng không phải nhƣ vậy. Với các hạt Dirac, các ma trận spin là: với và có thể dễ dàng kiểm tra rằng u (1) , chẳng hạn, không phải là một trạng thái riêng của z. Tuy nhiên, nếu ta hƣớng trục z theo chiều chuyển động thì (trƣờng hợp này px = py = 0) thì u (1) , u (2) ,u (3) và u (4) là các spinor riêng của Sz; u (1) và u (3) là spin hƣớng lên, u(2) và u(4) là các spin hƣớng xuống. Nhƣ đã nói ở phần trƣớc thì E và p (trong biểu thức 2.10) là các tham số toán học tƣơng ứng năng lƣợng và xung lƣợng trong vật lí, và điều này hoàn toàn đúng cho các trạng thái của electron, u(1) và u(2). Tuy nhiên, E ở u(3) và u(4) không thể biểu thị cho năng lƣợng của positron; tất cả các hạt tự do, nhƣ electron và positron, đều mang năng lƣợng dƣơng. Nghiệm năng lƣợng âm phải đƣợc giải thích lại nhƣ các trạng thái phản hạt với năng lƣợng dƣơng. Để biểu diễn các nghiệm này dƣới dạng năng lƣợng và xung lƣợng của positron, chúng ta đảo các dấu của E và p : [cho nghiệm (3) và (4)] Chú ý rằng chúng giống với các nghiệm cũ trong phƣơng trình Dirac; ta chỉ đơn giản là chấp nhận một qui ƣớc khác về dấu cho các tham số, để phù hợp hơn với ý nghĩa vật lí của chúng. Ngƣời ta thƣờng sử dụng kí tự  cho các trạng thái của positron, đƣợc biểu diễn dƣới dạng năng lƣợng và xung lƣợng : Điện động lực học lượng tử 12 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 (với ) Từ đó ta sẽ không đề cập đến u(3) và u(4) nữa; các nghiệm ta sẽ dùng là u(1), u(2) (biểu diễn hai trạng thái spin của một electron với năng lƣợng E và xung lƣợng p) và (1), (2) (biểu diễn hai trạng thái spin của positron với năng lƣợng E và xung lƣợng p). Lƣu ý rằng trong khi u thỏa mãn phƣơng trình Dirac (2.13) trong không gian xung lƣợng dƣới dạng Thì  tuân theo phƣơng trình với dấu của p ngƣợc lại : Một cách ngẫu nhiên, sóng phẳng là các nghiệm đặc biệt của phƣơng trình Dirac. Chúng mô tả các hạt với các năng lƣợng và xung lƣợng đặc trƣng, và trong một thí nghiệm đơn giản chúng là các tham số mà ta có thể đo và điều chỉnh đƣợc. 3. Hiệp biến song tuyến tính Ta đã đề cập đến trong phần 1 rằng các thành phần của một spinor Dirac không biến đổi nhƣ một vectơ bốn chiều khi ta chuyển từ hệ quán tính sang một hệ khác. Vậy chúng chuyển đổi nhƣ thế nào ? Ta sẽ không nói cụ thể ở đây mà chỉ trích dẫn ra kết quả: Nếu ta đến một hệ đang dịch chuyển với tốc độ v theo phƣơng x thì qui tắc biến đổi sẽ là Điện động lực học lượng tử 13 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 với S là ma trận cấp 4  4 với và . Giả sừ ta muốn xây dựng một đại lƣợng vô hƣớng không có một spinor  . Ta thử biểu thức Nhƣng đó lại không phải là một vô hƣớng, ta có thể kiểm tra bằng cách áp dụng qui tắc biến đổi đã có: Thật vậy: Dĩ nhiên, tổng các bình phƣơng của các yếu tố của vectơ bốn chiều là bất biến, ta cần các dấu trừ ― - ‖ cho các thành phần không gian. Với một phép thử-và-lỗi nhỏ ta sẽ khám phá ra rằng trong trƣờng hợp các spinor, ta cần các dấu trừ cho thành phần thứ 3 và thứ 4. Do đó ta sẽ đƣa ra phép hiệp biến vectơ bốn chiều để giữ nguyên các kí hiệu về dấu, bây giờ ta sẽ trình bày hàm liên hiệp: Ta thừa nhận đại lƣợng là bất biến tƣơng đối tính. Với S +  0 S =  0 , và do đó : Ta đã phân biệt đƣợc vô hƣớng và giả vô hƣớng theo các tính chất của chúng theo các phép biến đổi chẳn lẽ, P: (x,y,z)  (-x,-y,-z) . Các giả vô hƣớng thay đổi dấu, còn các vô hƣớng thì không. Vậy là vô hƣớng hay giả vô hƣớng? Trƣớc hết ta cần biết spinor. Dirac biến đổi nhƣ thế nào theo P. Một lần nữa, ta sẽ không thiết lập nó mà chỉ trích dẫn kết quả : Điện động lực học lượng tử 14 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Theo đó Vì thế ( ) là bất biến theo phép biến đổi chẵn- lẽ, nó là một vô hƣớng. Nhƣng ta cũng có thể đồng thời thực hiện một giả vô hƣớng không có  : với Theo phép biến đổi chẵn lẽ [lƣu ý là ( 0 ) 2 = 1].  0 ở ngƣợc phía với  5 nhƣng ta có thể đảo vị trí của chúng bằng cách lƣu ý rằng nó phản giao hoán với 1, 2 và 3 (phƣơng trình 7.15) và tự giao hoán với chính nó (3 0 = - 0 3, 2 0 = - 0 2, 1 0 = - 0 1, 0 0 =0 0) do đó Tƣơng tự,  5 cũng phản giao hoán với các ma trận  khác: Trong bất kì trƣờng hợp nào thì do đó nó là một giả vô hƣớng. Nhƣ vậy, có 16 tích có dạng i*j (lấy một thành phần của * và một thành phần của  ) khi i, j chạy từ 1 đến 4. Mƣời sáu tích này có thể cộng lại với nhau theo những tổ hợp tuyến tính khác nhau để xây dựng nên các đại lƣợng với các tính chất dịch chuyển dễ nhận thấy, nhƣ là : = vô hƣớng (1 thành phần) = giả vô hƣớng (1 thành phần) = vectơ (4 thành phần) = giả vectơ (4 thành phần) = tenxơ phản xứng (6 thành phần) Điện động lực học lượng tử 15 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Với Nó cho ta 16 số hạng, đây là tất cả những gì ta hi vọng có thể làm đƣợc theo cách này. Ta không thể thiết lập một tensor đối xứng song tuyến tính trong * và  , và nếu ta đang tìm một vectơ thì chỉ là một đơn cử (nghĩ theo cách khác đó chính là: 1,  5 ,  ,   5 và   cấu thành một cơ sở của không gian của mọi ma trận cấp 4  4, bất kì một ma trận 4  4 nào đều có thể viết dƣới dạng phụ thuộc tuyến tính của 16 số hạng này. Đặc biệt nếu gặp phải tích của năm ma trận chẳng hạn, thì ta có thể chắc chắn rằng nó có thể đƣợc rút gọn thành tích của không nhiều hơn hai thành phần). Bây giờ ta chú ý đến các kí hiệu ở (7.68). Đặc tính tensor của các hiệp biến song tuyến tính, và thậm chí là tính chất của chúng theo toán tử chẳn lẽ đƣợc chỉ ra dễ dàng : giống nhƣ một vectơ bốn chiều, và nó thực sự là một vectơ bốn chiều. Nhƣng   tự nó không hẳn là một vectơ bốn chiều, nó là một tập hợp của 4 ma trận cố định (1.17), chúng không đổi khi ta dịch chuyển qua một hệ quán tính khác, sự thay đổi là của  . 4. Photon Trong điện động lực cổ điển điện trƣờng và từ trƣờng (E và B) đƣợc thiết lập bởi mật độ điện tích  và mật độ dòng J, đƣợc xác định bởi các phƣơng trình Maxwell : Trong kí hiệu tƣơng đối tính, E và B lập thành một tensor phản xứng bậc hai, ―tensor cƣờng độ trƣờng‖ F ( tức là F01 = Ex, F 12 = - Bz, vv…), trong khi đó  và J cấu thành một vectơ 4 chiều : Hệ các phƣơng trình Maxwell không thuần nhất [(i) và (iv)] bây giờ có thể đƣợc viết gọn lại: Điện động lực học lượng tử 16 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Từ sự phản xứng của tenxơ F (F = - F) , ta thấy rằng J là không phân kì. Hoặc theo kí hiệu vectơ 3 chiều, .J = - / t  ; đây là một phƣơng trình liên tục diễn tả sự bảo toàn của điện tích trong trƣờng. Giống nhƣ với các phƣơng trình Maxwell thuần nhất, (iii) tƣơng đƣơng với cách phát biểu rằng B có thể đƣợc viết dƣới dạng tích hữu hƣớng của thế vectơ A : Khi đó (ii) trở thành cũng tƣơng đƣơng với phát biểu rằng   1/ /E c A t   có thể đƣợc viết nhƣ là một gradient của thế vô hƣớng V : Theo kí hiệu tƣơng đối tính, phƣơng trình (4.3) và (4.5) trở thành : với Dƣới dạng thế vectơ 4 chiều, các phƣơng trình Maxwell không thuần nhất (4.4) cho : Trong điện động lực cổ điển, các trƣờng là các thực thể vật lí, các thế là các công thức toán học hữu ích đơn giản. Do biểu thức của thế năng luôn tự phù hợp với hệ các phƣơng trình Maxwell : với các biểu thức (4.3) và (4.4), (ii) và (iii) luôn đƣợc thỏa mãn, nên V và A ta đã định nghĩa nhƣ trên là có thể hợp lý. Nhƣng ở phƣơng trình (4.8) sự không thích hợp của biểu thức thế năng là ở chỗ V và A không đƣợc xác định một cách đơn nhất. Thực vậy, từ phƣơng trình (4.6) ta thấy rằng các thế mới (với  là hàm bất kì của vị trí và thời gian) cũng không xác định đơn nhất vì A A A A            . Sự thay đổi các thế mà không ảnh hƣởng đến trƣờng đƣợc gọi là phép biến đổi định cỡ. Ta có thể khai thác sự định cỡ tự do này để buộc các điều kiện bổ sung cho thế: Điện động lực học lượng tử 17 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Đó chính là điều kiện định cỡ Lorentz, với điều kiện này phƣơng trình Maxwell (7.80) đƣợc đơn giản hóa hơn nữa: Trong đó đƣợc gọi là toán tử D’Alember. Tuy nhiên, điều kiện Lorentz không xác định đơn nhất A. Các phép biến đổi định cỡ khác có khả năng hơn, nó không làm nhiễu loạn phƣơng trình (4.10) và chỉ ra rằng hàm định cỡ  thỏa mãn phƣơng trình sóng: Nhƣng nó không chỉ rõ cách để loại bỏ phần không rõ ràng còn lại trong A  , nên ta có thể hoặc là (1) chấp nhận sự bất định, nghĩa là chấp nhận một số bậc tự do không rõ ràng, hoặc (2) buộc một điều kiện bổ sung, nó phá vỡ tính hiệp biến Lorentz của lý thuyết này. Cả hai phƣơng pháp này đều đƣợc sử dụng trong việc hình thành điện động lực học lƣợng tử mà ta sẽ tiếp tục nghiên cứu. Trong không gian tự do, nơi mà J = 0 , ta chọn Điều kiện định cỡ Lorentz lúc này là Cách chọn này (phép định cỡ n Coulomb) là khá đơn giản, nhƣng bằng cách chọn một thành phần (A0) với cho phƣơng pháp đặc biệt ta bị giới hạn ở một hệ quán tính cụ thể (hoặc nó buộc ta thực hiện một phép biến đổi chuẩn trong trong mối tƣơng quan với mọi phép biến đổi Lorentz duy trì điều kiện chuẩn Coulomb). Trong điện động lực lƣợng tử A trở thành hàm sóng của photon. Photon tự do thỏa mãn phƣơng trình (4.11) với J  = 0 ta thấy rõ đó cũng chính là phƣơng trình Klein – Gordon cho hạt không khối lƣợng. Nhƣ trƣờng hợp phƣơng trình Dirac, ta tìm các nghiệm sóng phẳng với xung lƣợng p = (E/c,p): trong đó  là véctơ phân cực – đặc trƣng cho spin của photon – và a là thừa số chuẩn hóa. Thay biểu thức (7.88) vào phƣơng trình (7.87), ta thu đƣợc điều kiện trên p  : do đó đó phải là hạt không khối lƣợng. Thêm vào đó,  có bốn thành phần, nhƣng chúng không hoàn toàn độc lập. Điều kiện Lorentz (4.10) đòi hỏi rằng Điện động lực học lượng tử 18 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Hơn nữa, theo phép định cỡ Coulomb ta có: tức là véctơ phân cực ba chiều thẳng góc với phƣơng lan truyền, ta nói một photon tự do bị phân cực ngang. Vì thế phép định cỡ Coulomb còn đƣợc biết nhƣ là phép đĩnh cỡ ngang. Nhƣ vậy, có hai véctơ ba chiều độc lập tuyến tính vuông góc với p; ví dụ, nếu p hƣớng theo trục z thì ta có thể chọn Do đó thay vì phải có bốn nghiệm độc lập với mỗi xung lƣợng đã cho(quá nhiều đối với hạt có spin bằng 1), thì ta chỉ còn lại hai. Nhƣ vây, liệu có phải photon có ba trạng thái spin hay không ? Câu trả lời là không : các hạt có khối lƣợng với spin s thì có 2s + 1 cách định hƣớng spin khác nhau, nhƣng một hạt không khối lƣợng thì chỉ có hai cách, không tính spin của nó ( ngoại trừ s = 0 thì chỉ có một cách). Dọc theo phƣơng dịch chuyển chúng chỉ có thể có ms= + s hoặc ms= - s , nói cách khác, độ xoắn của nó chỉ có thể là + 1 hoặc -1. 5. Các qui tắc Feynman cho Điện động lực lượng tử Trong phần 2 ta đã tìm thấy rằng các electron và positron tự do có xung lƣợng p = (E/c,p) với năng lƣợng E = (m2c4 + p2c2)1/2 đƣợc mô tả bởi hàm sóng với s =1,2 cho hai trạng thái spin. Các spinor u (s) và (s) thỏa mãn các phƣơng trình Dirac trong không gian xung lƣợng : và các liên hiệp của chúng, thỏa mãn : Chúng trực giao chuẩn hóa và đủ, theo nghĩa là Điện động lực học lượng tử 19 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Một tập tƣờng minh thông thƣờng (u(1),u(2),u(3),u(4) ) đƣợc đƣa ra trong các phƣơng trình (2.24) và (4.28). Thông thƣờng, ta sẽ tính trung bình các spin của electron và positron, và trong trƣờng hợp đó, vấn đề không còn là spin hƣớng lên hay hƣớng xuống nữa; những gì ta thật sự cần là tính đủ của chúng. Với một số bài tập trong đó spin đã đƣợc xác định thì ta phải dùng các spinor thích hợp cho trƣờng hợp này. Trong khi, một photon tự do có xung lƣợng p = (E/c,p) với năng lƣợng E = pc đƣợc mô tả bởi hàm sóng trong đó s = 1,2 cho hai trạng thái của spin (hoặc sự phân cực) của photon. Véctơ phân cực  s  thỏa mãn điều kiện Lorentz trong không gian xung lƣợng : Chúng trực giao, theo nghĩa là và chuẩn hóa Theo phép định cỡ Coulomb và véctơ phân cực ba chiều tuân theo hệ thức đủ Một cặp tƣờng minh thông thƣờng ( (1), (2) ) đƣợc đƣa ra ở biểu thức (4.20). Để tính biên độ M liên hệ với sơ đồ Feynman cụ thể, ta tiến hành nhƣ sau : 1. Kí hiệu : gán cho các xung lƣợng bốn chiều đi vào và đi ra là p1, p2, …, pn, các spin tƣơng ứng là s1, s2,…, sn; các nội xung lƣợng bốn chiều là q1, q2,…, qn . Đặt các dấu mũi tên cho các tuyến nhƣ sau : mũi tên ở các ngoại tuyến Fermion chỉ ra nó là một electron hay một positron; các mũi tên ở các nội tuyến Fermion đƣợc gán sao cho ―hƣớng của dòng‖ qua sơ đồ đƣợc bảo toàn (tức là mọi đỉnh phải có một mũi tên đi vào và một mũi tên đi ra ). Các mũi tên ở các ngoại tuyến photon hƣớng ra phía trƣớc, với các nội tuyến photon thì sự lựa chọn là tùy ý ( xem hình 1). Điện động lực học lượng tử 20 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Hình 1 Một sơ đồ Điện động lực lƣợng tử điển hình, với các ngoại tuyến đã đặt tên (các nội tuyến không đƣợc chỉ ra ở đây.) 2. Các ngoại tuyến : Các ngoại tuyến đóng góp các thừa số nhƣ sau: Đến Các electron Đi Đến Các Positron Đi Đến Các Photon Đi 3. Các thừa số đỉnh : Mỗi đỉnh đóng góp vào một thừa số Hằng số ghép cặp không thứ nguyên ge liên hệ với điện tích của positron : 4. Hàm truyền : Mỗi nội tuyến đóng góp một thừa số nhƣ sau: Điện động lực học lượng tử 21 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Các electron và positron : Các photon : 5. Sự bảo toàn năng lượng và xung lượng : Với mỗi đỉnh, viết một hàm delta dƣới dạng : với k1, k2, k3 là các xung lƣợng bốn chiều đi vào các đỉnh (nếu các mũi tên hƣớng ra ngoài thì k sẽ là xung lƣợng bốn chiều của các tuyến đó nhƣng mang dấu trừ, ngoại trừ các positron bên ngoài). Thừa số này buộc phải tuân theo sự bảo toàn của năng lƣợng và xung lƣợng tại đỉnh. 6. Tích phân theo các nội xung lượng: Với mỗi nội xung lƣợng q, viết một thừa số: và lấy tích phân. 7. Khử hàm Delta : Kết quả sẽ chứa thừa số tƣơng ứng với sự bảo toàn năng – xung lƣợng toàn cục. Khử số hạng này thì những gì còn lại là – iM. Nhƣ trƣớc đây, quy trình thực hiện là viết ra tất cả sơ đồ đóng góp vào quá trình đang khảo sát (đến bậc mà ta mong muốn), tính biên độ (M ) cho mỗi sơ đồ, và cộng chúng lại thành biên độ toàn phần, sau đó chèn biên độ này vào công thức thích hợp của tiết diện va chạm hoặc thời gian sống, nếu có thể. Đây chỉ là một thủ thuật mới : sự phản xứng hóa của các hàm sóng fermion đòi hỏi ta phải chèn thêm dấu trừ trong biên độ liên kết mà chỉ khác nhau khi ta hoán đổi các ngoại fermion giống nhau.Vấn đề không phải là ta gắn dấu trừ vào sơ đồ nào vì dù sao sau đó tổng cũng sẽ đƣợc bình phƣơng; nhƣng lại có một dấu trừ tương đối giữa chúng. 8. Sự phản xứng : Tính đến dấu trừ giữa các sơ đồ mà chỉ khác nhau khi hoán đổi hai electron (hay positron) vào (hoặc ra), hoặc của một electron vào với một electron ra (hoặc ngƣợc lại) Việc điều khiển các vòng lặp fermion sẽ đƣợc thảo luận ở phần cuối chƣơng. Điện động lực học lượng tử 22 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 6. Ví dụ Bây giờ ta đang ở trong hoàn cảnh tái thiết lập nhiều phép tính cổ điển trong điện động lực lƣợng tử. Để không đi lạc vào chi tiết, ta bắt đầu với một danh mục các quá trình quan trọng nhất : BẢNG 1. DANH MỤC CÁC QUÁ TRÌNH CƠ BẢN CỦA ĐIỆN ĐỘNG LỰC LƢỢNG TỬ Quá trình bậc hai Đàn hồi Tán xạ electron – muon ( e +   e +  ) (Tán xạ Mott (M >> m) tán xạ Rutherford (v << c)) Tán xạ electron – electron (e- + e-  e- + e-) (Tán xạ Møller) Tán xạ electron – positron( e- + e+  e- + e+ ) (Tán xạ Bhabha) Phi đàn hồi Hủy cặp (e- + e+   +  ) Sinh cặp (  +   e- + e+ ) Tán xạ Compton (  + e -   + e - ) Điện động lực học lượng tử 23 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Quá trình bậc ba quan trọng nhất : Mômen từ dị thƣờng của electron Hình 2 Tán xạ electron – muon Trƣờng hợp đơn giản nhất là tán xạ electron – muon, ở đây chỉ có một sơ đồ đóng góp vào bậc hai. Ví dụ 7.1 Tán xạ electron – muon Áp dụng các quy tắc Feynman, ta tiến hành dịch lùi theo mỗi tuyến fermion (hình 2): Lƣu ý rằng các chỉ số không – thời gian trong hàm truyền photon phù hợp với các chỉ số của các thừa số đỉnh tại những điểm kết thúc khác nhau của tuyến photon. Lấy tích phân theo q và khai căn hàm delta, ta đƣợc : Điện động lực học lượng tử 24 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Mặc dù xuất hiện sự phức tạp nhƣng với bốn spinor và tám ma trận  thì đây vẫn chỉ là một con số, ta có thể tính toán một khi các spin đƣợc xác định rõ. Ví dụ 7.2 Tán xạ electron – muon Trong trƣờng hợp này có một sơ đồ thứ hai , trong đó electron thoát ra với xung lƣợng p3 và spin s3 đến từ các electron có xung lƣợng p2 và spin s2 thay vì từ các electron p1, s1 (Hình 3). Ta thu đƣợc biên độ này từ biểu thức (5.8) một cách đơn giản bằng cách thay p3, s3  p4, s4 . Theo qui tắc 8, hai sơ đồ đều bị trừ đi, do đó biên độ tổng hợp là Hình 3 Biểu đồ ―xoắn‖ cho tán xạ electron-electron Ví dụ 7.3 Tán xạ electron – positron Một lần nữa, lại có hai sơ đồ. Sơ đồ thứ nhất tƣơng tự với sơ đồ electron – muon (hình 4). Lƣu ý rằng quá trình giật lùi dọc theo đƣờng phản hạt giống nhƣ quá trình đi tới tại cùng thời điểm, thứ tự luôn là hàm spinor liên hiệp / ma trận gamma / hàm spinor. Do đó biên độ cho biểu đồ này là Sơ đồ còn lại biểu thị sự hủy ảo của electron và positron, sau đó là sự sinh cặp (hình 5) : Điện động lực học lượng tử 25 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Biên độ cho sơ đồ này là Hình 5 Xây dựng biểu đồ thứ hai với tán xạ electron - positron Hình 4 Tán xạ elctron – positron Bây giờ ta sẽ cộng thêm chúng vào, hay trừ đi ? Hoán đổi positron vào và electron ra trong sơ đồ thứ hai (hình 5) và sau đó vẽ lại nó theo một cấu hình tùy biến hơn ta lại đƣợc biểu đồ đầu tiên ( hình 4). Theo qui tắc 8, ta cần một dấu trừ : Điện động lực học lượng tử 26 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Ví dụ 7.4 Tán xạ Compton Xét một ví dụ liên quan đến hàm truyền electron và sự phân cực photon, trong trƣờng hợp tán xạ Compton,  + e   +e. Một lần nữa lại có hai sơ đồ, nhƣng chúng không khác khi hoán đổi các fermion, và biên độ đƣợc cộng thêm vào. Sơ đồ đầu tiên (hình 6) cho ta Lƣu ý rằng chỉ số không – thời gian trong mỗi véctơ phân cực photon phù hợp với chỉ số của ma trận  tại các đỉnh nơi photon đƣợc sinh ra hay bị hấp thụ. Cũng cần lƣu ý hàm truyền electron phù hợp thế nào khi ta lùi theo tuyến fermion. Ở đây ta đƣa ra một dạng viết tắt tiện lợi là ―a sổ‖ [dấu / là dấu sổ hoặc xuyệt trái]. Hình 7.6 Tán xạ Compton Rõ ràng biên độ ứng với sơ đồ : Cùng lúc đó, sơ đồ thứ hai (hình 7.7) cho ta Và biên độ tổng hợp là M = M1 + M2 Điện động lực học lượng tử 27 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 7. Thủ thuật Casimir và Định lý vết Trong một số thí nghiệm, các spin electron (hay positron) đến và đi đƣợc xác định rõ, và sự phân cực photon đã đƣợc đƣa ra. Do đó, việc tiếp theo ta cần làm là chèn các spinor thích hợp và các véctơ phân cực vào biểu thức M, và tính M2, đại lƣợng ta thật sự cần để xác định tiết diện va chạm và thời gian sống. Tuy nhiên, thƣờng thì ta không chú ý đến spin. Một thí nghiệm điển hình bắt đầu với một chùm hạt có spin định hƣớng ngẫu nhiên, và sau đó đơn giản là đếm số hạt tán xạ theo một hƣớng đã chọn. Trong trƣờng hợp này tiết diện va chạm phù hợp là trung bình của các cấu hình spin ban đầu i, và tổng các cấu hình spin sau cùng f. Về nguyên tắc, ta có thể tính M( if )2 cho mọi tổ hợp khả dĩ và sau đó tính tổng và trung bình:  trung bình tính trên các spin ban đầu, tổng lấy trên các spin sau cùng  Hình 7 Sơ đồ thứ hai cho tán xạ Compton Trong thực tế, sẽ dễ hơn để tính 2 M một cách trực tiếp mà không xét đến các biên độ riêng lẻ. Ví dụ nhƣ biên độ tán xạ electron – muon (7.104). Bình phƣơng hai vế, ta có : (để tránh nhầm lẫn, ta dùng  cho các chỉ số không – thời gian thứ hai). Số hạng thứ nhất và thứ ba (hoặc thứ hai và thứ tƣ) có thể viết dƣới dạng tổng quát: với (a) và (b) đại diện cho các spin và mômen tƣơng ứng, và 1, 2 là hai ma trận 44. Mọi quá trình khác miêu tả ở phần 6, tán xạ Møller, tán xạ Bhabha và tán xạ Compton, cũng nhƣ sự sinh và hủy cặp, đƣa ta đến các biểu thức với cấu trúc tƣơng tự. Để bắt đầu ta lấy liên hiệp phức(cũng là liên hợp Hermit, vì đại lƣợng trong dấu ngoặc là một ―ma trận‖ 11): Điện động lực học lượng tử 28 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Với , và , do đó : với Do đó Bây giờ ta tính tổng trên các hƣớng spin của hạt (b). Sử dụng hệ thức đủ (4.7), ta có: Với Q là kí hiệu tạm thời cho ma trận 44 Tƣơng tự cho hạt (a): Viết ma trận tích một cách rõ ràng (lấy tổng i và j từ 1  4) với Tr biểu thị cho vết của ma trận (tổng các phần tử trên đƣờng chéo) Tóm lại : các spin Biểu thức này có thể không giống một sự đơn giản hóa, nhƣng lƣu ý rằng vế trái không chứa hàm spinor; khi ta tính tổng trên các spin, nó trở về ma trận tích và thu đƣợc vết. Ta gọi biểu thức (7.6) là ― thủ thuật Casimir‖ khi Casimir là ngƣời đầu tiên sử dụng nó. Nếu thay u [ở phƣơng trình (7.6)] bởi , khối lƣợng tƣơng ứng ở vế phải đổi dấu. Điện động lực học lượng tử 29 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Ví dụ 7.5 Trong trƣờng hợp tán xạ electron – muon [biểu thức (6,5)], 2 =  0 và do đó . Áp dụng thủ thuật Casimir hai lần, ta tìm đƣợc: với m là khối lƣợng của electron, M là khối lƣợng của muon. Thừa số 1/4 đã đƣợc tính đến do ta muốn tính trung bình trên các spin ban đầu; vì có hai hạt, mỗi hạt có hai cách định hƣớng spin, trung bình là 1/4 của tổng. Thủ thuật Casimir rút gọn mọi vấn đề về một bài toán là tính vết của một số ma trận tích  phức tạp. Biểu thức số học này đƣợc hỗ trợ bởi một số lý thuyết mà ta đƣa ra dƣới đây. Trƣớc hết ta nên nhắc lại ba điều tổng quát về vết của ma trận: nếu A và B là hai ma trận bất kì, và  là một số bất kì Từ mục 3 ta thấy rằng Tr(ABC) = Tr(CBA) = Tr(BCA), nhƣng trong trƣờng hợp tổng quát chúng không bằng vết của các ma trận theo một thứ tự khác: Tr(ACB)=Tr(BCA)=Tr(CBA). Theo cách đó ta có thể tách các ma trận khỏi một đầu của một tích của chúng và chuyển vòng ra phía trƣớc, nhƣng phải giữ nguyên thứ tự. Nên lƣu ý rằng và nhắc lại hệ thức phản giao hoán cơ bản của các ma trận  (cùng với một qui tắc ứng với các tích ―sổ‖) Từ đây suy ra một dãy các ―định lý thu gọn‖: Và cuối cùng, có một tập các ―định lý vết‖: 10. Vết của một tích của một số lẻ các ma trận  bằng 0. Điện động lực học lượng tử 30 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 vì 5 = i0123 là tích của một số chẵn ma trận , từ qui tắc 10 suy ra Tr(5)=Tr(5)= 0. Khi 5 đƣợc nhân với một số chẵn ma trận , ta tìm đƣợc với -1, nếu  là một phép hoán vị chẵn của 0123,  = +1, nếu  là một phép hoán vị lẻ, 0, nếu hai chỉ số bất kì trùng nhau. Ví dụ 7.6 Tính vết của tán xạ electron – muon [biểu thức (7.13)] Giải: Theo qui tắc 10, số hạng trong móc vuông bằng không. Số hạng cuối có thể đƣợc tính khi dùng qui tắc 12, và qui tắc 13 cho số hạng đầu. Do đó Vết thứ hai (ở biểu thức 7.13) cũng tƣơng tự, với mM, 12, 34 và các chỉ số Hy Lạp ở dƣới. Từ đó Điện động lực học lượng tử 31 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 8. Tiết diện va chạm và thời gian sống Bây giờ ta quay lại với lĩnh vực quen thuộc. Một khi đã tính M2 (hoặc M2), ta đặt nó vào công thức tiết diện va chạm: Trong trƣờng hợp tổng quát: Cho hai vật thể tán xạ trong CM (Center of Mass: hệ quy chiếu khối tâm): Hoặc trong phạm vi phòng thí nghiệm (LF: Laboratry Frame, ngƣợc với hệ quy chiếu khối tâm): Ví dụ 7.7 Tán xạ Mott và tán xạ Rutherford Một electron (khối lƣợng m) tán xạ với một muon có khối lƣợng lớn hơn (M>>m). Giả sử sự bật trở lại của M có thể bỏ qua, tìm tiết diện tán xạ sai phân trong phạm hệ quy chiếu phòng thí nghiệm (M đứng yên). Giải: Tiết diện va chạm đƣợc cho bởi Điện động lực học lượng tử 32 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Do bia đứng yên, ta có (xem Hình 8): với E là năng lƣợng electron tới (và tán xạ), p1 là xung lƣợng tới, p3 là xung lƣợng tán xạ, (chúng có độ lớn bằng nhau p1=p3=p, và góc giữa chúng là : p1.p3 =p 2 .cos). Do đó: Hình 8 Electron tán xạ từ bia Trước Sau Thay vào biểu thức (7.15), ta có: và do đó ( lƣu ý rằng ) Đây chính là công thức Mott. Với một phép xấp xỉ tốt, nó cho ta tiết diện va chạm sai phân đối với tán xạ electron – proton. Nếu electron tới là phi tƣơng đối tính thì p 2 <<(mc) 2 , phƣơng trình (7.11) trở thành công thức Rutherford: Điện động lực học lượng tử 33 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Còn sự phân rã thì nhƣ thế nào ? Thật ra, trong QED (Quantum ElectroDynamics) thuần túy, nếu một fecmion đơn đi vào thì cũng chính fecmion đó đi ra, một tuyến fecmion không thể kết thúc trong phạm vi một sơ đồ; cũng nhƣ không có một cơ chế nào trong QED cho phép biến đổi một fermion (chẳng hạn một muon) thành một fermion khác (chẳng hạn một electron). Để chắc chắn, phải tồn tại sự phân rã điện từ trƣờng của các hạt đối lập, ví dụ nhƣ 0+; nhƣng thành phần điện từ trong quá trình này không là gì khác ngoài sự hủy cặp quark – phản quark, q + q   + . Đó thực sự là một biến cố tán xạ, mà trong đó sự va chạm của hai hạt xảy ra trong một trạng thái giới hạn. Ví dụ rõ nhất về quá trình này là sự phân rã của Positronium: e+ + e-   + , mà sẽ xét trong ví dụ sau đây. Ta sẽ phân tích trong hệ quy chiếu Positronium đứng yên (hay trong phạm vi hệ quy chiếu CM của cặp electron-positron). Chúng thông thƣờng dịch chuyển khá chậm, thực tế, với mục đích đi tính biên độ ta nên giả sử chúng đứng yên. Nói cách khác, đây là một trong những trƣờng hợp mà ta không thể tính trung bình trên các spin ban đầu, do các hệ tổ hợp đều có cấu hình đơn nhất [singlet] – các spin đối song – hoặc theo cấu hình tam đẳng [triplet]– các spin song song – và công thức cho tiết diện va chạm (và do đó thời gian sống) là hoàn toàn khác nhau trong hai trƣờng hợp. Ví dụ 7.8 Sự hủy cặp Tính toán biên độ M cho e+ + e-   + , giả sử electron và positron đứng yên và đang ở cấu hình spin đơn nhất. Giải : Có hai sơ đồ đóng góp nhƣ đƣợc chỉ ra ở Hình 9. Các biên độ là (để đơn giản ta sẽ bỏ các dấu liên hợp phức tạp ở  ): và lấy tổng Với các hạt ban đầu đứng yên, các photon đi ra ―lƣng đối lƣng‖ [tƣơng tự nhƣ mặt đối mặt] và ta có thể chọn trục z trùng với tuyến photon, từ đó Điện động lực học lượng tử 34 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 và do đó Các biên độ có phần đơn giản hóa khi ta khai thác qui tắc 5’ từ phần 7: Nhƣng 3 chỉ có các thành phần không gian (theo phép định cỡ Coulomb), trong khi đó p1 chỉ thuần về thời gian, do đó p1.3 =0, và từ đó Tƣơng tự: nhƣng p3.3 = 0 do điều kiện Lorentz (7.90), do đó Vì thế Nhƣng (p1 - mc)u(1) = 0, do u(1) thỏa mãn phƣơng trình Dirac (7.34), vì thế Hình 9 Hai đóng góp cho sự hủy cặp Làm tƣơng tự: Kết hợp các kết quả lại, ta tìm đƣợc: Bây giờ Điện động lực học lượng tử 35 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 do đó sự diễn tả trong dấu ngoặc bình phƣơng đƣợc viết lại Nhƣng và do đó Ta đã biết (từ sự đối xứng) Nó chỉ ra rằng (ta cũng có thể thiết lập trực tiếp từ qui tắc 5’) và với . Vì thế Đến đây, ta vẫn chƣa nói gì đến spin của electron và positron. Nhớ rằng ta đang quan tâm đến trạng thái đơn nhất: Về mặt kí hiệu M thu đƣợc từ biểu thức (8.13) với spin hƣớng lên cho electron và spin xuống cho positron Điện động lực học lượng tử 36 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Sử dụng các spinor này, ta tìm thấy Do đó Trong khi, với M ta có Từ đó nó chỉ ra rằng Do đó biên độ cho sự hủy của môt cặp e+e- tĩnh trong hai photon thoát ra theo phƣơng z là (lƣu ý rằng M = - M , cấu hình tam đẳng ( + ) 2 bằng 0, khẳng định lại quan sát trƣớc đây của chúng ta lúc trƣớc rằng sự phân rã của hai photon bị cấm trong trƣờng hợp này). Sau cùng, ta phải tính các vectơ phân cực photon tƣơng thích. Lƣu ý rằng với spin hƣớng lên(ms = +1) ta có trong khi đó với spin hƣớng xuống (ms = -1) Nếu photon chuyển động dọc theo phƣơng +z, các spin này lần lƣợt tƣơng ứng với vòng phân cực bên trái và vòng phân cực bên phải. Vì thành phần z của mômen góc toàn phần phải bằng 0, các spin photon phải sắp ngƣợc chiều nhau:  hoặc . Trong trƣờng hợp đầu ta có do đó Trong trƣờng hợp thứ hai, 3 và 4 đƣợc hoán vị cho nhau, vì thế Rõ ràng, ta cần sự kết hợp phản xứng ( - ) 2 , điều đó tƣơng ứng với spin toàn phần bằng 0, khi kết hợp hai hạt có spin 1/2 thì ta thu đƣợc ngay điều này. Một lần Điện động lực học lượng tử 37 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 nữa, khi biên độ bằng (M - M) 2 thì các mũi tên sẽ đặc trƣng cho sự phân cực photon. Sau cùng, [ta đặt lại liên hiệp phức của các véctơ phân cực, đó đơn giản là việc đảo các dấu ở biểu thức (8.25) và (8.26)]. Có nhiều vấn đề xuất phát từ đây. Đầu tiên ta có thể tính tổng các tiết diện va chạm cho sự hủy electron-positron. Trong hệ CM, tiết diện va chạm sai phân là ở chỗ Ở đây và khi sự va chạm là phi tƣơng đối tính với v là tốc độ electron (hoặc photon) tới (ta lấy v=0 khi tính M nhƣng rõ ràng ta không thể sử dụng nó ở đây. Đó có phải là một mâu thuẫn? Không thực sự vậy. Ta nghĩ điều này theo hƣớng sau: M(cũng là E1, E2,pf và pi) có thể đƣợc khai triển theo lũy thừa của v/c. Nhƣ vậy ta đã tính đƣợc số hạng đầu trong mỗi phép khai triển). Gộp tất cả lại, ta đƣợc: Khi không có sự phụ thuộc góc, tiết diện va chạm toàn phần là Sau cùng, ta sẽ xác định thời gian sống của positronium ở trạng thái đơn nhất. Thời gian sống của positron liên hệ một cách rõ ràng với tiết diện va chạm đối với sự hủy cặp (8.32), nhƣng mối liên hệ chính xác là gì? Ta đã có Điện động lực học lượng tử 38 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 ta thấy rằng tổng số biến cố tán xạ trên một đơn vị thời gian bằng thời gian chiếu sáng tiết diện va chạm toàn phần: Nếu  là số hạt tới trong một đơn vị thể tích, và nếu chúng chuyển động với tốc độ v thì cƣờng độ sáng (Hình 10) là: Với một nguyên tử duy nhất, mật độ electron là (0)2 và N biểu thị cho xác suất phân rã trên một đơn vị thời gian, tức tốc độ phân rã. Do đó Biểu thức (8.32) và (8.35) là các công thức ta có thể sử dụng để xác định thời gian sống của positron, =1/ Hình 10 Số hạt trong hình trụ là Av dt, do đó độ chiếu sáng (trên một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian) là v. 9. Sự tái chuẩn hóa Trong phần 6 ta đã xét quá trình tán xạ electron-muon đƣợc mô tả ở bậc thấp nhất bởi sơ đồ và biên độ tƣơng ứng Điện động lực học lượng tử 39 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 với Sau đây là một số phép hiệu chỉnh bậc bốn, mà tiêu biểu nhất là biểu đồ phân cực ―chân không‖ Tại đây, photon ảo nhất thời tách thành một cặp electron – positron, dẫn đến sự thay đổi điện tích hiệu dụng của electron. Mục đích của chúng ta bây giờ là chỉ ra công việc này một cách định lƣợng. Biên độ trong biểu đồ này là Nó bao gồm một số sự thay đổi của hàm truyền photon: với [so sánh (8.37) và (8.39)]: Tuy nhiên, tích phân này là phân kì. Ta thấy rằng khi (đó là một phân kì bậc hai). Thật ra, do sự ƣớc lƣợc trong biểu thức số học, nó chỉ còn lại ln k (―sự phân kì theo lôga‖). Giống nhƣ các tính chất của các biểu đồ mạch kín trong phép tính vi tích phân Feynman, một lần nữa, phƣơng pháp sẽ là hấp thụ sự vô định vào sự tái chuẩn hóa khối lƣợng và hằng số kết hợp. Điện động lực học lượng tử 40 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Tích phân dạng (8.41) mang hai chỉ số không – thời gian, khi chúng ta lấy tích phân theo k, vector bốn chiều duy nhất là q, vì thế I phải có dạng tổng quát g( ) + qq( ), với thành phần trong dấu ( ) bao gồm một số hàm của q 2 . Do đó ta viết lại: Số hạng thứ hai không có đóng góp gì vào M, vì q phù hợp với  ở biểu thức (8.39), cho ta mặt khác, từ phƣơng trình (4.22) và do đó Từ đó ta sẽ bỏ qua số hạng thứ hai ở biểu thức (7.176). Nhƣ số hạng đầu, tích phân (8.41) giản ƣớc về dạng Tích phân đầu cô lập một cách rõ ràng với sự phân kì theo lôga. Để giải quyết nó, ta tạm thời đặt ra giới hạn M (không nên nhầm lẫn với khối lƣợng của muon) và ta sẽ cho nó tiến đến vô cùng ở cuối phép tính: Tích phân thứ hai là hoàn toàn hữu hạn. Tuy nhiên, tích phân không thể giản ƣớc thành các hàm các hàm cơ bản. Nhƣng cũng đủ đơn giản để đánh giá một cách số học (Hình 11), và các biểu thức giới hạn cho x lớn và x bé là đơn giản: Trong bất kì trƣờng hợp nào Lƣu ý rằng ở đây q2 có giá trị âm. Nếu xung lƣợng ba chiều của electron tới trong CM là p, và góc tán xạ là , thì Điện động lực học lượng tử 41 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Do đó – q2/m2c2  v2/c2 , và trƣờng hợp giới hạn trong biểu thức (9.4) lần lƣợt tƣơng ứng với tán xạ phi tƣơng đối tính và tán xạ siêu tƣơng đối tính. Biên độ của tán xạ electron – muon gồm cả sự phân cực chân không, và vì thế Bây giờ ta đến bƣớc quyết định, ở bƣớc này ta sẽ can thiệp vào sự vô cùng (có chứa giới hạn M) bằng cách đƣa ra hằng số ghép cặp ―tái chuẩn hóa‖ Viết lại (9.7) dƣới dạng của gR, ta có Hình 11 Đồ thị của f(x) (phƣơng trình 9.3) Đƣờng liên tục là kết quả tính số; đƣờng đứt nét bên dƣới là lnx (gần đúng f(x) với x lớn); đƣờng thẳng ở trên là x/5 (gần đúng f(x) với x bé). (phƣơng trình (9.7) hợp lý với bậc ge 4, do đó cũng không có vấn đề gì khi ta sử dụng ge hoặc gR trong dấu ngoặc nhọn). Có hai lƣu ý quan trọng ở kết quả này: 1. Sự vô cùng đã bị loại bỏ: không còn M trong biểu thức (9.9). Mọi liên quan đến giới hạn đều bị hấp thụ vào hằng số cặp. Mọi biểu thức bây giờ chỉ viết dƣới dạng của gR, thay vì ge. Nhƣng điều đó có thuận lợi: gR, chứ không phải ge, là những gì ta thật sự đo đƣợc trong phòng thí nghiệm (trong hệ đơn vị Heaviside-Lorentz đó là điện tích của electron hoặc muon, và ta xác định nó hoàn toàn bằng thực nghiệm nhƣ hệ số của sự hút hoặc đẩy giữa hai hạt). Trong phép phân tích lý thuyết, nếu chỉ tìm thấy biểu đồ ba mức Điện động lực học lượng tử 42 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 (bậc thấp nhất), ta sẽ đi đến giả thiết rằng điện tích cũng giống nhƣ hằng số kết hợp ―tối thiểu‖ ge. Nhƣng ngay khi tính đến ảnh hƣởng của các bậc cao hơn ta thấy rằng chính là gR, không phải ge, tƣơng ứng với điện tích cần đo. Điều đó có nghĩa là kết quả ban đầu của ta là sai? Không. Thực ra đó là do khi giải thích sơ bộ ge nhƣ là điện tích ta đã không chủ ý tính đến thành phần phân kì trong các sơ đồ bậc cao hơn. 2. Ở đây vẫn còn số hạng hiệu chỉnh không – thời gian, và một lƣu ý quan trọng đó là nó phụ thuộc vào q2. Ta cũng có thể thu đƣợc nó vào hằng số cặp, nhƣng ―hằng số‖ bây giờ là một hàm của q 2 ; ta gọi nó là hằng số ghép cặp ―chạy‖: hoặc dƣới dạng ―hằng số‖ cấu trúc bền ( ) Điện tích hiệu dụng của electron (và muon) do đó phụ thuộc vào sự chuyển biến xung lƣợng trong va chạm. Sự dịch chuyển xung lƣợng cao hơn đồng nghĩa với phép gần đúng chính xác hơn, hay nói cách khác điện tích hiệu dụng của mỗi hạt phụ thuộc chúng tách rời nhau bao xa. Đó là một hệ quả của sự phân cực chân không _ nó che chắn mỗi điện tích. Bây giờ ta có một công thức tƣờng minh cho cái mà ở Động lực học hạt cơ bản chỉ là một cách mô tả thuần túy định tính. Thế nhƣng Millikan và Rutherford, thậm chí cả Coulomb lại không chú ý đến hiệu ứng này. Nếu điện tích của electron không phải là một hằng số, thì tại sao nó không làm rối tung mọi thứ từ điện học đến hóa học? Câu trả lời là trong trƣờng hợp phi tƣơng đối tính, sự thay đổi là cực kì nhỏ. Thậm chí trong một va cham trực diện ở (1/10)c , số hạng hiệu chỉnh ở biểu thức (9.11) chỉ khoảng 610 6 . Do đó để đạt đƣợc mục đích thì (0)=1/137 là thích hợp nhất. Tuy nhiên, có thể nhận thấy số hạng thứ hai ở (9.11) có đóng góp vào độ lệch Lamb. Hơn nữa, ta sẽ gặp phải cùng vấn đề trong sắc động lực học lƣợng tử, với khoảng cách ngắn (do sự giam hãm quark) miền tƣơng đối tính là khu vực đƣợc quan tâm nhất. Chúng ta tập trung vào một quá trình bậc bốn đặc biệt (phân cực chân không), nhƣng tất nhiên còn một vài quá trình khác. Chúng là ―những sơ đồ thang‖: Điện động lực học lượng tử 43 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Chúng hữu hạn và không biểu diễn các vấn đề đặc trƣng. Nhƣng cũng có ba sơ đồ phân kì: (và dĩ nhiên còn ba sơ đồ nữa mà trong đó photon ảo bên ngoài kết hợp với muon). Hai sơ đồ đầu tái chuẩn hóa khối lƣợng electron; biểu đồ thứ ba làm xác định mômen từ của nó. Thêm vào đó, cả ba biểu đồ đều tách biệt nhau, đều đóng góp vào sự tái chuẩn hóa điện tích của electron. May thay, phần đóng góp còn lại triệt tiêu lẫn nhau do đó biểu thức (9.8) vẫn nghiệm đúng (do sự hiệu chỉnh phụ thuộc vào khối lƣợng hạt mà các dòng photon ảo kèm theo, và nếu chúng không khử đƣợc ta sẽ sử dụng một sự tái chuẩn hóa khác cho muon hơn là cho electron. Đồng nhất thức Ward (tên của sự khử này) đảm bảo rằng sự tái chuẩn hóa bảo toàn đẳng thức điện tích, bất kể khối lƣợng của hạt tải nhƣ thế nào). Và thậm chí còn có các sơ đồ bậc cao hơn. Những sơ đồ này giới thiệu các số hạng cao hơn trong biểu thức (9.11), bậc 2, 3 vv…, nhƣng ta sẽ không tiếp tục theo đuổi vấn đề này, vì những ý tƣởng cơ bản bây giờ đều đã đƣợc trình bày rõ. Điện động lực học lượng tử 44 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 KẾT LUẬN Điện động lực học lƣợng tử là một lý thuyết đúng đắn đƣợc khẳng định từ lúc mới ra đời cho đến tận bây giờ vẫn không mất đi giá trị của nó. Tiểu luận đã phần nào trình bày đƣợc những đặc điểm chủ yếu của lý thuyết này, đƣa ra một số ví dụ cụ thể để thấy đƣợc tính thực tiễn của thuyết. Vai trò của Điện động lực học lƣợng tử trong Lý thuyết trƣờng lƣợng tử là không thể phủ nhận, hiện nay nó vẫn đang tiếp tục phát triển và hoàn thiện hơn. Là một sinh viên chuyên ngành vật lý lý thuyết, thiết nghĩ việc tìm hiểu những vấn đề về lý thuyết trƣờng cũng là chuẩn bị những hành trang cần thiết để bƣớc vào thế giới khoa học của vật lý. Qua bài tiểu luận này tôi đã từng bƣớc tiếp cận đƣợc thêm với Lý thuyết trƣờng lƣợng tử, thấy đƣợc các ứng dụng cơ bản của Lý thuyết trƣờng. Tri thức nhân loại luôn rộng lớn hơn từng ngày và trình độ con ngƣời thì vẫn còn nhiều hạn chế. Với thời gian và năng lực bản thân có hạn, trong khuôn khổ bài tiểu luận này tôi chƣa thể trình bày hết đƣợc nhiều khía cạnh khác của Điện động lực học lƣợng tử mà các nhà khoa học trên thế giới đang ngày đêm nghiên cứu; và một điều trăn trở nữa của tôi đó là mong muốn trình bày bài tiểu luận này trên phần mềm Latex, nhƣng do thời gian có hạn nên tôi chƣa thể hoàn thành ý định của mình, âu đó cũng là cánh cửa mở thúc dục các bạn sinh viên khóa sau tiếp tục tìm hiểu. Mong rằng đây có thể là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn sinh viên khóa sau đam mê tìm hiểu về Điện động lực học lƣợng tử, rất mong các bạn đóng góp ý kiến và tiếp tục hoàn thiện hơn về đề tài này. Điện động lực học lượng tử 45 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Trần Công Phong, Bài giảng Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, Đại học Huế, 2004. 2. J. D. Bjorken and S. D. Drell, Relativistic Quantum Mechanics and Relativistic Quantum Fields (New York: McGraw-Hill, 1964). 3. J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, Tập 2 (New York: Wiley, 1975), mục 6.5. 4. A. Pais, Inward Bound (New York: Oxford, 1986), trang 375. 5. J. M. Jauch and F. Rohrlich, The Theory of Photons and Electrons, Tập 2 (New York: Springer-Verlag, 1975), mục 12.6. 6. J. J. Sakurai, Advanced Quantum Mechanics (Reading, MA: Addsion-Wesley, 1967), trang 216. 7. F. Halzen and A. D. Martin, Quarks and Leptons, (New York: Wiley, 1984), Chƣơng 7.