Tài liệu Đề tài cuối kì Môn: Cấu trúc dữ liệu 2: Đề tài cuối kì
Môn: Cấu trúc dữ liệu 2
Lớp 0811cl2
Nhóm thực hiện:
- Vũ Chí Phương
- Nguyễn Nhân Nghĩa
Phần I - Cây đỏ đen (Red Black Tree)
Cây đỏ đen là một dạn cây tìm kiếm nhị phân tự cân
bằng.
Cấu trúc ban đầu của nó được đưa ra vào năm 1972 bởi
Rudolf Bayer với tên là “B-cây cân bằng” còn tên hiện nay
được đưa ra từ 1978 bởi Leo J. Guibas và Robert
Sedgewick.
Nó là một cấu trúc phức tạp nhưng cho kết quả tốt về thời
gian thực hiện trong trường hợp xấu nhất.
Các phép toán như tìm kiếm (search), chèn ( insert), và xóa
(delete) thực hiện trong thời gian O(log n).
Thay vì thời gian là O (n) như cây nhị phân thông thường
trong trường hợp dữ liệu đã được sắp xếp trước khi chèn.
Quy tắc của cây đỏ đen
Cây đỏ đen là một cây nhị phân tìm kiếm( BST) tuân
thủ các quy tắc sau:
Mọi node phải là đỏ hoặc đen.
Node gốc và các node lá phải luôn luôn đen.
Nếu một node là đỏ, những node con của nó phải
đen.
Mọi đường dẫn từ gốc đến một lá phải c...
33 trang |
Chia sẻ: Khủng Long | Lượt xem: 1109 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Đề tài cuối kì Môn: Cấu trúc dữ liệu 2, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Đề tài cuối kì
Môn: Cấu trúc dữ liệu 2
Lớp 0811cl2
Nhóm thực hiện:
- Vũ Chí Phương
- Nguyễn Nhân Nghĩa
Phần I - Cây đỏ đen (Red Black Tree)
Cây đỏ đen là một dạn cây tìm kiếm nhị phân tự cân
bằng.
Cấu trúc ban đầu của nó được đưa ra vào năm 1972 bởi
Rudolf Bayer với tên là “B-cây cân bằng” còn tên hiện nay
được đưa ra từ 1978 bởi Leo J. Guibas và Robert
Sedgewick.
Nó là một cấu trúc phức tạp nhưng cho kết quả tốt về thời
gian thực hiện trong trường hợp xấu nhất.
Các phép toán như tìm kiếm (search), chèn ( insert), và xóa
(delete) thực hiện trong thời gian O(log n).
Thay vì thời gian là O (n) như cây nhị phân thông thường
trong trường hợp dữ liệu đã được sắp xếp trước khi chèn.
Quy tắc của cây đỏ đen
Cây đỏ đen là một cây nhị phân tìm kiếm( BST) tuân
thủ các quy tắc sau:
Mọi node phải là đỏ hoặc đen.
Node gốc và các node lá phải luôn luôn đen.
Nếu một node là đỏ, những node con của nó phải
đen.
Mọi đường dẫn từ gốc đến một lá phải có cùng số
lượng node đen hay có cùng chiều cao đen black
height(bh).
Cây đỏ đen
Các lá của cây đỏ đen khác với cây nhị phân thông
thường, chúng là các lá NULL, không chứa dữ liệu và
được gán màu đen.
Chiều cao cây đỏ đen (height):
- Height <= 2*log(n+1)
- Height <= 2*bh
Cấu trúc cây đỏ đen
Khai báo một nút:
typedef struct NodeTag {
struct NodeTag *left; /* Con trái */
struct NodeTag *right; /* Con phải */
struct NodeTag *parent; /* Cha */
nodeColor color; /* Màunode (BLACK, RED) */
KeyType key; /* Khoá sử dụng tìm kiếm */
RecType rec; /* Dữ liệu node */
} NodeType;
Khai báo một nút lá NULL
#define NIL &sentinel /* Node cầm canh */
static NodeType sentinel = { &sentinel, &sentinel, 0, BLACK, 0};
NIL
NIL NIL
Cấu trúc cây đỏ đen
Tạo một nút mới :
NodeType *CreateNode(NodeType parent, KeyType key, RecType *rec) {
NodeType*p = new NodeType;
if(!p) exit(1);
x->parent = parent;
x->left = x->right = NIL;
x->color = RED; //Nút thêm vào luôn được gán màu đỏ
x->key = key;
x->rec = *rec;
}
Khai báo một cây mới.
static NodeType *root = NIL;
Các thuật toán cơ bản của cây đỏ đen
1. Thêm một nút mới vào cây.
2. Xóa một nút khỏi cây.
3. Tìm kiếm một nút trên cây
4. In cây ra màn hình
5. Xóa cây.
1. Thêm một nút mới
- Việc chèn hay xóa được thực hiện giống với cây
nhị phân thông thường
- Tuy nhiên quá trình này, các quy tắc của cây đỏ
đen có thể bị vi phạm, chúng ta sẽ thực hiện các thao
tác sau đây để khôi phục tính chất cây đỏ đen:
Các phép lật màu trên đường đi xuống.
Các phép quay trên đường đi xuống.
Thực tế chỉ cần không quá O (log n) phép đổi màu
và không quá 2 phép quay cho phép chèn và 3 cho
phép xóa.
Các thao tác khôi phục cây
Các thao tác này chỉ được thực hiện khi cây xuất hiện
xung đột đỏ-đỏ ( vi phạm quy tắc con của nút đỏ phải
là đen).
Khi giải quyết xung đột đỏ-đỏ thì các xung đột khác
cũng được giải quyết đồng thời:
Nút gốc luôn luôn đen.
Chiều cao đen từ gốc đến lá là như nhau
Các trường hợp vi phạm chính
Tính chất cây đỏ đen bị vi phạm khi xuất hiện xung
đột đỏ-đỏ, ta có thể chia làm 3 trường hợp chính:
1. Nút N đỏ có cha P đỏ và có nút chú bác U đỏ.
2. Nút N đỏ có cha P đỏ và có nút chú bác U đen, G là
ông nội của N.(N khác phía với P).
3. Nút N đỏ có cha P đỏ và có nút chú bác U đen, G là
ông ngoại của N. (N cùng phía với P).
( Nút G có màu đen)
1. Nút N đỏ có cha P đỏ và có nút chú bác U đỏ.
UP
N
G
N
Trường hợp này chỉ cần dùng phép lật màu để giải quyết
N N
- Có 4 vị trí để thêm N
- Khi thêm N thì xuất hiện xung đột đỏ đỏ, ta thực hiện phép lật màu
3 nút G,P,U:
P BLACK, U BLACK.
U P
- Nếu nút G là nút gốc thì giữ nguyên màu đen. Nếu G bị chuyển sang
màu đỏ thì có thể vi phạm quy tắc đỏ-đỏ, khi đó coi G như N và xét lại.
Cháu ngoại
Cháu nội
Cháu ngoại
2. Nút N đỏ có cha P đỏ và có nút chú bác U đen,
nhưng N có ông nội G.(N khác phía với P).
Trước tiên ta định nghĩa N là cháu ngoại và cháu nội:
PP
N N
N N
G
-N là cháu ngoại của G nếu nó cùng phía với P
-N là cháu nội của G nếu nó khác phía với P.
2. Nút N đỏ có cha P đỏ và có nút chú bác U đen,
nhưng N có ông nội G.(N khác phía với P).
Ta thực hiện phép một phép quay để tạo một cháu
mới là cháu ngoại, nghĩa là chuyển về trường hợp 3.
UP
N
G
PU
N
G
Rotate RightRotate Left
GPP
G
3. Nút N đỏ có cha P đỏ và có nút chú bác U đen,
nhưng N có ông ngoại G. (N cùng phía với P).
Ta thực hiện đổi màu hai nút G và P, và dùng một
phép xoay để giải quyết xung đột đỏ-đỏ.
U
N
U
N
Rotate LeftRotate Right
Đổi màu Đổi màu
U
P
N G NG
U
P
End
Nhận xét khi chèn
Các nút chèn vào luôn là đỏ để chiều cao đen không
đổi.
Quá trình khôi phục tính chất của cây đỏ đen được
thực hiện như sơ đồ sau:
Trường hợp 1 Trường hợp 2 Trường hợp 3
End
Phép xóa một nút
Ta tìm vị trí nút cần xóa như cây nhị phân.
Nếu nút cần xóa có 2 con thì ta tìm phần tử thế mạng (có thể
là nút lớn nhất bên trái hoặc nhỏ nhất bên phải). Phần tử thế
mạng có thể không có con hoặc chỉ có một con.
Do đó ta chỉ cần xét chung trường hợp nút bị xóa không có
con hoặc chỉ có một con. Gọi nút đó là y.
Nếu nút bị xóa y màu đỏ thì chắc chắn con và cha của nó phải
là nút đen. Việc xóa y được thực hiện bình thường.
Trường hợp phức tạp xảy ra khi nút bị xóa y màu đen. Ta thực
hiện thay nó bằng con của nó hoặc bằng nút lá NULL (nếu nó
không có con). Việc này sẽ làm giảm chiều cao đen của những
nhánh chứa y. Nếu y không phải là gốc thì ta phải thực hiện
khôi phục lại thuộc tính đỏ đen của cây.
Phép xóa một nút
Gọi nút mới thay thế cho y là N.
Nếu N là màu đỏ thì chỉ cần đổi màu của N thành đen là
thuộc tính của cây đỏ đen sẽ phục hồi.
Nếu N là màu đen thì không thể đổi màu N. Phải thực hiện
bằng cách khác. Có 4 trường hợp xảy ra:
+ Nút anh em với N màu đỏ.
+ Nút anh em với N màu đen và nút này có 2 con là đen
+ Nút anh em với N màu đen và có một con màu đỏ là cháu
nội của P, một con màu đen.
+ Nút anh em với N màu đen và có một con màu đỏ là cháu
ngoại của P.
SP P
S
Nút anh em với N màu đỏ.
Ta thực hiện đổi màu 2 nút S và P, rồi xoay nút cha của N
để chuyển về các trường hợp khác với SL là anh em mới của
N.
N
SRSL
N
SRSL
Đổi màu XoayS
P
N
SR
S
PSL
N
Đổi màu
S S
Nút anh em với N màu đen và nút này có 2 con là
đen
Ta thực hiện đổi màu nút S, như thế chiều cao đen của
nhánh bên phải P và bên trái P là như nhau. Nhưng tại P thì
chiều cao đen lại giảm đi 1. Coi P là N và xét lại từ đầu.
P
N
SRSL
P
N
SR
SL
Đổi màu
SSL
S
SR
Nút anh em với N màu đen và có một con màu đỏ
là cháu nội của P , một con màu đen.
Ta thực hiện đổi màu, rồi quay nút S để chuyển về
trường hợp 4.
P
N
SR
P
N
SL
Đổi màuXoay
SR SL
L
S
SR
S
Đổi màu
Đổi màu S thành màu của P , màu của P thành đen,
và màu của S con đỏ thành đen rồi xoay P sang trái.
Nút anh em với N màu đen và có một con màu đỏ là
cháu ngoại của P
S
SL
P
N
SR
S
SR
P
N
SL
Xoay
SR
S
P
N SL
SL
SR
S
P
N
Phần II - AA Tree
1. Giới thiệu chung:
AA Tree được đưa ra bởi Arne Andersson và lấy
theo tên ông.
AA Tree là một biến dạng của cây đỏ đen. Nó cũng
là một cây nhị phân tìm kiếm nhưng khác với cây
đỏ đen là nó chỉ cho phép có con phải màu đỏ.
Ngoài ra các nút sẽ được gắn một cấp độ(mức) xác
định thay vì màu như cây đỏ đen.
Để đảm bảo cây cân bằng thì các nút phải tuân theo
các quy tắc được đặt ra.
1. Giới thiệu chung:
Các quy tắc của AA Tree:
1. Các nút lá có mức bằng 1.
2. Mức của nút con trái luôn nhỏ hơn mức của nút
cha.
3. Nút con phải có mức nhỏ hơn hoặc bằng nút cha.
4. Nút cháu phải có mức nhỏ hơn nút ông.
5. Mọi nút có mức lớn hơn 1 phải có 2 con.
(Nguồn:
1. Giới thiệu chung:
Thông thường, cây đỏ đen phải xét đến 7 trường hợp
để cân bằng lại cây.
Nhưng AA Tree thì chỉ cần xét 2 trường hợp chính:
2. Các thao tác chính.
Tương ứng với 2 trường hợp chính thì ta có 2 thao
tác được sử dụng khi vi phạm các quy tắc.
Đó là skew và split. Skew giống như phép xoay phải
và split giống như phép quay trái của cây đỏ đen.
Skew sử dụng khi xuất hiện nút con trái cùng mức
với nút cha.
Split sử dụng khi xuất hiện nút cháu phải cùng mức
với nút ông.
2. Các thao tác chính.
Skew:
L là con trái của T nhưng cùng mức với T nên vi
phạm quy tắc 2..
Sau khi skew thì T trở thành con phải của L,
cùng mức với L và các quy tắc được đảm bảo.
2. Các thao tác chính.
Split:
X là cháu phải của nút T. X cùng mức với T nên vi phạm
quy tắc 4.
Sau khi split thì T trở thành con trái của R, vẫn cùng
mức cũ với X nhưng T và X là anh em nên các quy tắc
vẫn được đảm bảo.
Chỉ có nút R là được tăng lên một mức.
3. Thêm một nút mới.
Việc thêm một nút mới thực hiện như cây nhị phân.
Khi tìm được vị trí chèn ở nút NULL thì ta tạo một
nút mới ở đó.
Sau đó kiểm tra trên đường đi xuống bắt đầu từ cha
của nút đã chèn rồi đi ngược lên đến nút gốc:
- Nếu nút cha cùng mức với nút con trái, thì skew.
- Nếu nút đó có nút cháu phải cùng mức , thì split.
Lệnh skew luôn được thực hiện trước lệnh split.
3. Thêm một nút mới.
Ví dụ: Chèn nút 6 vào cây có sẵn.
Nút 6 đã được thêm thành công
4. Xóa một nút khỏi cây.
Việc tìm vị trí nút xóa được thực hiện như cây nhị
phân.
Tuy nhiên việc xóa sẽ đơn giản hơn vì nút xóa sẽ không
thể xảy ra trường hợp chỉ có con trái.
Do đó ta chỉ cần xét trường hợp nút xóa không có con
và có con bên phải (bao gồm cả TH có 2 con).
Nếu không có con thì xóa bình thường.
Nếu có con bên phải thì tìm phần tử thế mạng nhỏ
nhất bên phải để xóa(phần tử này không có con trái
nên nó là nút lá).
Như vậy, nút thực sự bị xóa đi luôn là nút lá.
4. Xóa một nút khỏi cây.
Ta thực hiện khôi phục lại thuộc tính của cây bắt đầu từ
nút cha của nút lá bị xóa và đi ngược lên đến nút gốc.
Với mỗi nút ta phải thực hiện lần lượt 3 bước nếu cần:
1. Giảm mức của nút đó và nút con phải.
2. Skew nút đó, nút con phải, nút cháu phải.
3. Split nút đó, nút con phải.
Theo Arne Anderson thì trường hợp xấu nhất chúng
ta mới phải sử dụng cả 3 bước trên.
Như vậy, khi đến nút gốc thì chắc chắn các quy tắc
của cây sẽ được đảm bảo.
4. Xóa một nút khỏi cây.
Xóa thành công
Ví dụ: Xóa nút 1 khỏi cây.
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- tailieu.pdf