Đề tài Biểu diễn trực quan động hỗ trợ học sinh khám phá một số kiến thức hình học phẳng

1 Chương 1 : MỞ ĐẦU 1. Lời giới thiệu Nhiệm vụ của người GV là mở rộng trí tuệ của HS chứ không phải làm đầy trí tuệ của các em bằng cách truyền thụ các tri thức đã có. Khi GV dạy một kiến thức mới muốn HS khắc sâu kiến thức vừa học đòi hỏi GV phải có nhiều cách khác nhau thể hiện kiến thức đó một cách khách quan và dễ hiểu nhất. Bởi vì, các tri thức được mô tả bằng mô hình, sơ đồ, hình ảnh trực quan…gắn liền với thực tế, thao tác được thì các kết quả thường dễ được chấp nhận hơn so với các kiến thức đòi hỏi tư duy trừu tượng. Chính vì vậy, GV có thể nghĩ đến việc tiếp cận một khái niệm, một tính chất, một kết quả toán học bằng cách sử dụng CNTT mà cụ thể là biểu diễn trực quan động có nghĩa là một hình vẽ trên màn hình có thể được thay đổi bằng cách kích chuột và kéo rê các đối tượng hình học trong khi các tính chất hình học đó của hình vẽ và mối quan hệ giữa các đối tượng được bảo toàn. Khi đó, những biểu diễn trực quan động không những là phương tiện để minh họa cho quá trình dạy của GV mà còn là công cụ hỗ trợ đắc lực cho quá trình tư duy của HS. GV đang tìm kiếm những biểu diễn toán trực quan, đặc biệt là biểu diễn trực quan động làm cầu nối cho các biểu diễn toán thực tế mà HS quen thuộc với các biểu diễn ký hiệu trừu tượng giúp HS tự kiến tạo tri thức toán cho mình một cách tích cực. CNTT trong dạy và học toán có thể được xem như là một công cụ hỗ trợ cho sự tương tác của HS và GV bởi các đồ dùng dạy học thích hợp. Những phương tiện dạy học thông tin nhằm kích thích và tạo thích thú lôi cuốn HS vào việc học toán và hiểu toán. 1.1. Nhu cầu nghiên cứu Trong thực tế giảng dạy, khi đi đến các nội dung hình học, để chỉ cho HS thấy mối quan hệ của các đối tượng hình học là khó. Trong bài toán quỹ tích, các yếu tố biến thiên và bất biến được trình bày bằng phương pháp truyền thống 2 sẽ khá vất vả và khó hiểu. Do đó hiệu quả giáo dục chưa cao. Việc ứng dụng CNTT vào giảng dạy sẽ giúp cho GV thiết kế bài giảng có hiệu quả cao hơn, HS tiếp thu kiến thức trực quan sinh động, từ đó các em tự giác tích cực trong học tập, ngoài ra các vấn đề như quỹ tích, bài toán thực tế, phép biến hình…nếu được minh họa sinh động của mô hình hoặc hình vẽ thì HS có thể hiểu nhanh hơn, nhớ lâu kết hợp lập luận suy diễn và minh họa, kiểm nghiệm bằng máy giúp hình thành kiến thức rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy của HS. Sử dụng các minh họa thao tác được có thể sẽ giúp HS hiểu về bản chất của một số kiến thức như quỹ tích, các tính chất trong vectơ…Đồng thời, còn giúp HS khám phá một số kiến thức hình học phẳng, kiểm chứng các phỏng đoán và tính toán một số phép tính rườm rà... Chính vì vậy, việc nghiên cứu vai trò của biểu diễn trực quan động hỗ trợ HS khám phá các kiến thức hình học phẳng là đáng quan tâm. 1.2. Phát biểu vấn đề nghiên cứu Nghiên cứu vai trò của biểu diễn trực quan động trong việc hỗ trợ HS khám phá một số kiến thức hình học phẳng được các nhà giáo dục đặc biệt quan tâm. Trong môi trường máy tính với phần mềm toán học có nhiều tác nhân giúp kích thích HS hoạt động tìm tòi khám phá, HS hình thành kiến thức mới bằng chính hoạt động thực hành của mình, HS kiểm nghiệm với số lượng đủ lớn các trường hợp theo ý tưởng toán đã nêu ra, nhờ đó cảm nhận được sự thuyết phục của sự kiện biến đổi biểu thức, hợp lý của hình vẽ, tính đúng đắn của lời giải, định lý, tính chất đưa ra. Do vậy, chúng tôi chọn “biểu diễn trực quan động hỗ trợ học sinh khám phá một số kiến thức hình học phẳng” làm đề tài nghiên cứu cho khóa luận này. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của nghiên cứu này gồm: (1) Nghiên cứu một số tính năng của phần mềm GSP để xây dựng một số biểu diễn trực quan động nhằm hỗ trợ HS khám phá một số kiến thức hình học phẳng. 3 (2) Nghiên cứu vai trò của biểu diễn trực quan động trong hỗ trợ HS khám phá một số kiến thức hình học phẳng. (3) Phát hiện con đường khám phá kiến thức hình học phẳng của HS khi có sự hỗ trợ của các biểu diễn trực quan động. 3. Câu hỏi nghiên cứu Mục đích của nghiên cứu là đánh giá khả năng tư duy phê phán của HS khi sử dụng các biểu diễn động hỗ trợ việc khám phá một số kiến thức hình học phẳng và nghiên cứu vai trò của biểu diễn trực quan động trong hỗ trợ HS khám phá kiến thức hình học phẳng. Do đó việc nghiên cứu sẽ nhằm trả lời các câu hỏi sau: Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất: Xây dựng những biểu diễn trực quan động trong hình học phẳng như thế nào để GV và HS có thể sử dụng nhằm đạt được những hiệu quả trong giảng dạy và học tập? Câu hỏi nghiên cứu thứ hai: Các biểu diễn trực quan động có tác động tích cực trong việc hỗ trợ HS khám phá các kiến thức hình học phẳng ra sao? Câu hỏi nghiên cứu thứ ba: Con đường khám phá các kiến thức hình học phẳng của HS với sự hỗ trợ của biểu diễn trực quan động diễn ra như thế nào? 4. Định nghĩa các thành phần Mục này sẽ dành cho việc định nghĩa các thành phần, thuật ngữ dùng trong khóa luận như: biểu diễn, biểu diễn bội, trực quan, biểu diễn trực quan, biểu diễn trực quan động, tương tác, vấn đề, suy luận, tư duy, tư duy logic, tư duy sáng tạo, tư duy phê phán…  Biểu diễn: Có nhiều định nghĩa khác nhau về biểu diễn trong giáo dục toán. Hầu hết các nhà nghiên cứu giáo dục toán phân biệt giữa biểu diễn trong và ngoài, trong đó biểu diễn ngoài là những biểu hiện của các ý tưởng hoặc khái niệm như biểu đồ, bảng biểu, đồ thị, sơ đồ, ngôn ngữ… và biểu diễn trong là các mô hình nhận thức mà một người có được trong trí óc họ. 4  Biểu diễn bội: Biểu diễn bội là những biểu hiện bên ngoài của các ý tưởng và khái niệm toán học nhằm cung cấp cùng một thông tin ở những dạng khác nhau.  Trực quan: Là khả năng, quá trình và sản phẩm của sự sáng tạo, giải thích, sử dụng và phản ánh dựa trên các hình vẽ, hình ảnh, đồ thị, sơ đồ, biểu bảng ở trong đầu chúng ta, trên giấy hay trên các công cụ khoa học công nghệ, với mục đích mô tả và giao tiếp thông tin, tư duy và phát triển các ý tưởng chưa biết trước đó để đi đến việc hiểu toán (Arcavi (2003).  Biểu diễn trực quan: Là biểu diễn dựa trên hình ảnh thực tế, sơ đồ…để có thể hình dung được các đối tượng trừu tượng.  Biểu diễn trực quan động: Biểu diễn trực quan động trên máy tính là biểu diễn trực quan trong đó cho phép sử dụng các thao tác động lên các đối tượng trong biểu diễn (Minh Phúc, 2010).  Tương tác: những tác động hỗ trợ lẫn nhau giữa các đối tượng, giữa các chủ thể và khách thể. Tương tác trong giáo dục được hiểu là sự trao đổi thông tin, kiến thức, là sự giúp đỡ, hỗ trợ lẫn nhau giữa GV- HS, HS - HS.  Vấn đề: là tình huống đặt ra cho cá nhân hoặc nhóm để giải quyết mà khi đối mặt với tình huống này họ không thấy ngay các phương pháp hoặc con đường để thu được lời giải. (Trần Vui, 2006).  Suy luận: chỉ quá trình một cá nhân có thể sử dụng các quy tắc, các bằng chứng và những kiến thức đã có để suy ra các kết luận mới, xây dựng các giải thích hoặc đánh giá các kết luận khác. (English, L.D, 2004).  Tư duy: Là cách nghĩ để nhận thức và giải quyết vấn đề. Tư duy là quá trình tâm lý nhờ đó mà con người phản ánh, nhận thức được các sự vật hiện tượng, các mối quan hệ của hiện thực qua những dấu hiệu căn bản của chúng.  Tư duy logic: Là tư duy theo các quy tắc của logic học, là cách tư duy nhằm khám phá bản chất, tính tất yếu, tính quy luật của sự vật trong quá trình phát triển. 5  Tư duy sáng tạo: là cách nghĩ mới về sự vật, hiện tượng, về mối quan hệ, suy nghĩ về cách giải quyết có ý nghĩa, có giá trị.  Tư duy phê phán: Là khả năng xem xét các mối liên hệ, đánh giá mọi khía cạnh của bài toán hay tình huống. Tư duy phê phán thể hiện qua việc HS có khả năng nhận ra giả thuyết và các yêu cầu của bài toán, tính đầy đủ của lời giải…Tư duy phê phán bao gồm các kỹ năng như tập trung vào những yếu tố của bài toán hay tình huống khó khăn, thu thập và sắp xếp thông tin trong bài toán, nhớ và kết hợp với thông tin đã học. 5. Ý nghĩa của việc nghiên cứu  Nghiên cứu này sẽ cung cấp cho người dạy những mô hình động phục vụ trong việc khám phá kiến thức hình học phẳng của HS.  Nghiên cứu này giúp HS khám phá các kiến thức hình học phẳng một cách hiệu quả hơn thông qua các biểu diễn trực quan động.  Đồng thời, kết quả nghiên cứu sẽ giúp GV thấy được con đường khám phá, phát hiện các kiến thức hình học phẳng của HS. Từ đó, GV có những phương pháp giúp HS thấy được con đường để đi đến giải quyết các đề toán học. Bên cạnh đó, GV cũng có thể đưa ra các tác động trong quá trình đi tìm lời giải cho các vấn đề toán học của HS. Nếu các em đi chệch hướng, thì các tác động trên có vai trò dẫn dắt. Nếu các em đi đúng con đường nhưng gặp khó khăn thì các tác động của GV đóng vai trò hỗ trợ. 6. Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mục lục, danh mục các chữ viết tắt, tài liệu tham khảo và phụ lục, khóa luận được trình bày trong năm chương.  Chương 1: Mở đầu Chương này, đưa ra nhu cầu nghiên cứu, vấn đề nghiên cứu, mục đích nghiên cứu, đưa ra các câu hỏi nghiên cứu, định nghĩa các thành phần và ý nghĩa của việc nghiên cứu này. 6  Chương 2: Những kết quả nghiên cứu liên quan Chương trình bày nền tảng lịch sử, nền tảng lý thuyết, gồm lý thuyết kiến tạo, lý thuyết biểu diễn bội và lý thuyết về trực quan động. Bên cạnh đó, tôi cũng giới thiệu chương trình đánh giá học sinh quốc tế (PISA). Cuối cùng là những kết quả nghiên cứu liên quan.  Chương 3: Phương pháp và quy trình nghiên cứu Chương này, đưa ra phương pháp nghiên cứu, thiết kế quá trình nghiên cứu, nêu ra đối tượng nghiên cứu, công cụ nghiên cứu, quy trình thu thập tài liệu, quy trình phân tích dữ liệu và các hạn chế.  Chương 4: Kết quả nghiên cứu Chương này, nêu lên những kết quả nghiên cứu nhằm trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu đã nêu ra ở chương 1.  Chương 5: Kết luận, lý giải và ứng dụng Chương này, nêu lên kết luận cho ba câu hỏi nghiên cứu. Từ đó, lý giải cho ba câu hỏi nghiên cứu, cuối cùng là những ứng dụng của nghiên cứu. 7. Tóm tắt Trong chương 1, tôi trình bày mục đích và ý nghĩa của đề tài "Biểu diễn trực quan động hỗ trợ học sinh khám phá một số kiến thức hình học phẳng", đồng thời tôi cũng phát biểu các câu hỏi nghiên cứu và định nghĩa một số thuật ngữ cho khóa luận. Tôi sẽ trình bày các kiến thức làm cơ sở và định hướng cho nghiên cứu này ở chương 2. 7 Chương 2: NHỮNG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN 1. Lịch sử vấn đề nghiên cứu 1.1. Khái niệm hình học động Khái niệm động (dynamic) trong toán học bao gồm chuyển động và biến đổi. Hình học động (Dynamic Geometry) là một khái niệm mới liên quan đến các phần mềm như Sketchpad và Cabri. Các phần mềm này thực thi với công cụ cơ bản gồm một cây thước và compa điện tử. Các bản vẽ trên Sketchpad khác với cái mà chúng ta tạo ra trên giấy với các công cụ phổ thông không chỉ bởi sự chính xác của cấu trúc. Sketchpad nhớ các mối liên hệ giữa các đối tượng khác nhau trong cấu trúc đó khi rê các đối tượng tự do. Chẳng hạn, nó nhớ điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB, nhớ đường tròn (C) có tâm O và đi qua điểm P… Môi trường hình học động đang trở nên phổ biến ở trường học. Có nhiều tranh luận khác nhau về hiệu quả của phần mềm hình học động trong suy luận toán học của học sinh. Tuy nhiên các phần mềm hình học động đã chứng tỏ sự hữu ích trong việc phát triển suy luận của các em. Việc phổ biến các phần mềm tới tận các giáo viên giảng dạy môn toán đã và đang được triển khai một cách sâu rộng và bài bản, hơn nữa, đã có nhiều tài liệu được xuất bản nhằm giúp cho giáo viên và học sinh có thể sử dụng phần mềm động hoặc các mô hình thiết kế sẵn trong dạy và học Toán. 1.2. Xu hướng kết nối toán học với cuộc sống thực tiễn trong giáo dục toán bằng phần mềm hình học động Mối quan hệ giữa toán học và cuộc sống thực được thảo luận trong một thời gian dài. Một số nhà tâm lý học và nhà toán học đã tranh luận rằng việc nhấn mạnh đến mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn có thể làm học sinh xa rời khỏi những ý tưởng toán học. Một số khác khẳng định những lợi ích quan trọng và có ý nghĩa từ việc trình bày các vấn đề toán học trong bối cảnh thực, 8 bao gồm việc giúp học sinh có được những kết nối tốt hơn giữa toán học, cuộc sống và cả việc gây hứng thú học tập cho học sinh. PISA là chương trình đánh giá học sinh với quy mô quốc tế đầu tiên tập trung vào đánh giá hiểu biết toán mà học sinh sử dụng khi đối mặt với các vấn đề trong cuộc sống thực. PISA chọn một cách tiếp cận rộng cho việc “đánh giá kiến thức và các kỹ năng phản ánh những thay đổi hiện nay trong chương trình, di chuyển xa hơn tiếp cận dựa vào nhà trường về phía sử dụng kiến thức trong nhiệm vụ và thách thức thường ngày” (OECD, 2003, [27, tr. 11]). PISA cũng nhấn mạnh đến quá trình toán học hoá theo một nghĩa rộng đặc trưng cho việc con người sử dụng toán học như thế nào trong nhiều nghề nghiệp chính hiện nay, và những công dân có hiểu biết và biết phản ánh nội dung toán để tham gia một cách trọn vẹn vào thế giới thực. 2. Nền tảng lý thuyết 2.1. Lý thuyết kiến tạo Lý thuyết kiến tạo về cơ bản là một lý thuyết dựa trên quan sát và nghiên cứu khoa học nhằm trả lời cho câu hỏi: CON NGƯỜI HỌC NHƯ THẾ NÀO? Lý thuyết này nói rằng con người kiến tạo những sự hiểu biết và tri thức về thế giới thông qua trải nghiệm và phản ánh. Khi chúng ta đối mặt với một điều gì mới mẻ, chúng ta phải điều ứng nó với những ý tưởng và kinh nghiệm có từ trước. Cũng có thể nó sẽ thay đổi điều mà ta đã tin tưởng hoặc loại bỏ chúng vì không thích đáng. Trong bất cứ trường hợp nào, chúng ta thật sự là những nhà kiến tạo cho tri thức cho chính bản thân. Để làm điều này, chúng ta phải đưa ra những nghi vấn, khám phá và đánh giá cái mà chúng ta biết. Trong lớp học, quan điểm kiến tạo của việc học có thể đi đến một số lượng những thực nghiệm dạy học khác nhau. Trong hầu hết các trường hợp, nó thường có nghĩa là khuyến khích người học sử dụng những kỹ năng hoạt động (thực nghiệm, giải quyết vấn đề thực tế) để tạo nhiều thông tin và rồi phản ánh, nói về những cái mà chúng đang làm và sự hiểu biết của chúng đang thay đổi như thế nào. 9 Trong quá trình dạy học người GV không những quan tâm đến phương pháp giảng dạy của mình mà còn phải chú ý đến HS học như thế nào. Bởi vì việc học của HS không chỉ đơn giản là phản chiếu lại những gì đã được dạy mà HS phải tích cực kiến tạo tri thức cho riêng mình. Về cơ bản lý thuyết kiến tạo cho là việc học gắn liền với sự tương tác của hai yếu tố là đồng hóa và điều ứng.  Đồng hóa: Nếu gặp một tri thức mới nhưng tương tự với cái đã biết thì tri thức mới này có thể được kết hợp trực tiếp vào trong một sơ đồ nhận thức đang tồn tại mà nó rất giống với tri thức mới;  Điều ứng: đôi khi một tri thức mới có thể hoàn toàn trái ngược với những sơ đồ nhận thức đang có (cũ). Những sơ đồ hiện có được thay đổi để tương hợp với thông tin trái ngược đó (kiến thức đã có không bao giờ bị xóa đi). Lý thuyết kiến tạo được trình bày theo hai nguyên tắc sau :  Tri thức được kiến tạo một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức chứ không phải được tiếp thu một cách thụ động từ môi trường bên ngoài;  Nhận thức là quá trình điều ứng và tổ chức lại thế giới quan của chính mỗi người. Nhận thức không phải là khám phá một thế giới độc lập đang tồn tại bên ngoài ý thức của chủ thể. Lý thuyết kiến tạo thể hiện niềm tin rằng tất cả các tri thức đều là sản phẩm của hoạt động nhận thức của chúng ta. Bằng cách xây dựng trên những kiến thức đã được kiến tạo, HS có thể nắm tốt hơn các khái niệm và có thể đi từ nhận biết sự vật sang hiểu nó. Kiến thức được kiến tạo khuyến khích tư duy phê phán, nó cho phép HS tích hợp các khái niệm theo nhiều cách khác nhau. Khi đó HS có thể trình bày khái niệm, kiểm chứng, bảo vệ và phê phán về khái niệm được xây dựng. GV đóng vai trò quan trọng trong việc giúp đỡ HS xây dựng kiến thức chính xác. Đôi khi HS kiến tạo tri thức cho mình nhưng chỉ đúng trong trường hợp cụ thể. Khi đó GV cần phải đưa ra thêm những tình huống cho phép HS thử nghiệm kiến thức của mình. Một HS nhận ra rằng tri thức được sáng tạo không đúng với tình huống các em có thể điều chỉnh và kiểm tra tính đúng đắn cho phù hợp. 10 HS tự kiến tạo tri thức mới cho riêng mình vì thế vai trò của người thầy không phải là đọc giảng mà tạo ra những tình huống cho HS. HS sẽ học toán tốt nhất khi các em được đặt trong môi trường xã hội tích cực mà ở đó các em có khả năng kiến tạo các hiểu biết toán học cho riêng mình. Theo quan điểm này có nhiều cách tiếp cận để cải thiện việc dạy học toán trong nhà trường như tìm nhiều cách khác nhau để thu hút từng HS tham gia, phát triển môi trường giàu thông tin để khảo sát toán học, chuẩn bị nhiều bài toán hoặc vấn đề liên quan để HS đối chứng thực nghiệm. Như vậy, lý thuyết kiến tạo đề cao tính tích cực chủ động và sáng tạo của HS trong quá trình nhận thức. Một môi trường học tích cực gắn liền với sự hứng thú và sự tự giác trong nhận thức của HS. Niềm hứng thú thực sự biểu hiện ở sự bền bỉ, kiên trì và sáng tạo trong việc giải quyết các vấn đề. Tính tích cực học tập liên quan mật thiết với động cơ học tập của HS. Động cơ đúng tạo ra hứng thú. Hứng thú và tự giác là hai yếu tố tâm lý tạo nên tính tích cực. Phong cách học tập tích cực, độc lập và sáng tạo sẽ phát triển tính tự giác, hứng thú và bồi dưỡng động cơ học tập. 2.2. Biểu diễn bội 2.2.1 Vai trò của biểu diễn trong dạy học toán Có nhiều định nghĩa khác nhau về biểu diễn trong giáo dục toán. Hầu hết các nhà nghiên cứu giáo dục toán phân biệt giữa biểu diễn trong và ngoài, trong đó biểu diễn ngoài là những biểu hiện của các ý tưởng hoặc khái niệm như biểu đồ, bảng biểu, đồ thị, sơ đồ, ngôn ngữ… và biểu diễn trong là các mô hình nhận thức mà một người có được trong trí óc họ. Biểu diễn bội là những biểu hiện bên ngoài của các ý tưởng và khái niệm toán học nhằm cung cấp cùng một thông tin ở những dạng khác nhau. Ozgun Koca (2003) đã đề xuất vai trò của các biểu diễn trong dạy học toán như sau:  Các biểu diễn là một phần không tách rời của toán học;  Các biểu diễn là những cụ thể hóa khác nhau của một khái niệm nào đó;  Các biểu diễn được sử dụng để giảm bớt độ khó của vấn đề; 11  Các biểu diễn nhằm làm cho toán học hấp dẫn và thú vị hơn. Biểu diễn như là một công cụ của tư duy. Chúng ta biểu diễn một vấn đề hoặc khái niệm và dùng biểu diễn đó để tư duy. Hơn nữa biểu diễn còn được xem như một phương pháp ghi nhớ và là một phương pháp để thông tin. Chẳng hạn, chúng ta dùng đồ thị để đưa đến khái niệm tiếp tuyến của đường cong tại một điểm như là giới hạn của các cát tuyến đi qua điểm đó. Đồ thị sẽ giúp ta đưa đến biểu thức lấy giới hạn và từ đó đưa ra định nghĩa khái niệm tiếp tuyến. Bruner (trong Tadao Nakahara, 2007) chỉ ra rằng có thể chia biểu diễn thành 3 phạm trù theo các giai đoạn phát triển của biểu diễn là: Biểu diễn thực tế  Biểu diễn biểu tượng  Biểu diễn ký hiệu. Phân loại, mô tả của các biểu diễn được trình bày ở bảng sau, trong đó các biểu diễn được xếp từ dưới lên trên theo thứ tự từ cụ thể đến trừu tượng hơn: Giai đoạn phát triển Phân loại Mô tả Biểu diễn ký hiệu Sử dụng số, chữ cái và các ký hiệu toán. Biểu diễn ký hiệu Biểu diễn ngôn ngữ Sử dụng ngôn ngữ nói và viết hằng ngày như tiếng Việt, tiếng Anh. Biểu diễn biểu tượng Biểu diễn minh họa/ trực quan Sử dụng các minh họa như hình vẽ, sơ đồ, đồ thị trên mặt phẳng hai chiều hoặc giả lập ba chiều trên máy tính. Biểu diễn thực thao tác được Thực hiện các thao tác lên các mô hình ba chiều thực hoặc mô hình cho phép thao tác. Biểu diễn thực tế Biểu diễn thực Dựa trên các trạng thái thực của đối tượng. 12 2.2.2. Những tiếp cận dạy học hình học phẳng theo biểu diễn bội Lý thuyết kiến tạo đề xuất rằng HS phải kiến tạo tri thức cho bản thân bởi chính sự chủ động của các em. Von Glasersfeld (1996) nhận thấy các kiến thức có được nhờ vào thế giới thực nghiệm được xây dựng bởi chính bản thân người học và không có kiến thức nào mang tính đơn trị. Từ đó, chúng ta không nên cho rằng mọi người sẽ lĩnh hội cùng một kiến thức toán từ chỉ một biểu diễn như nhau. Dienes (1960) (trong Ozgun Koca, 1998) đề xuất rằng những khái niệm toán học nên được giới thiệu trong nhiều dạng khác nhau để HS nắm bắt được bản chất toán học của nó. Dienes cũng nhấn mạnh việc học khái niệm toán học sẽ tốt hơn khi các em được thấy khái niệm đó thông qua nhiều bối cảnh hoặc biểu hiện khác nhau. Theo Piez và Voxman (1997) (trong Ozgun Koca, 1998), bởi vì mỗi biểu diễn nhấn mạnh và lưu giữ những khía cạnh khác nhau của một khái niệm. 2.3. Biểu diễn trực quan - Biểu diễn trực quan động 2.3.1. BDTQĐ trên máy tính Biểu diễn trực quan động trên máy tính là biểu diễn trực quan trong đó cho phép sử dụng các thao tác tác động lên các đối tượng trong biểu diễn. Với sự hỗ trợ của máy tính cùng các phần mềm hình học động, có thể thiết kế được các biểu diễn loại này để hỗ trợ HS kiến tạo tri thức toán. Thao tác động theo William Finzer (1998) có các đặc điểm sau đây:  Thao tác trực tiếp. Chẳng hạn như bài toán thực tế đánh golf. Dựng một điểm M trên biên của bức tường. Sau đó, kéo rê M đến các vị trí khác nhau để thấy được đường đi của trái banh. Bạn sẽ nói “Tôi kéo rê điểm M” chứ không nói “Tôi kéo rê chấm tròn nhỏ này và nó sẽ làm thay đổi vị trí của điểm M”.  Chuyển động cập nhật liên tục. Các thay đổi được cập nhật liên tục trong suốt quá trình kéo rê. Các đối tượng toán học có trên màn hình vẫn liên kết trong một tổng thể tại mọi thời điểm. Chẳng hạn, tỉ số 13 , , sin sin sin a b c A B C thay đổi như thế nào khi kéo rê các đỉnh , ,A B C của tam giác ABC quanh đường tròn ngoại tiếp tam giác đó và thay đổi bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Lúc đó, số liệu của các tỉ số trên sẽ tự cập nhật.  Môi trường tối ưu cho các thao tác. Thực nghiệm của bạn chỉ liên quan đến những đối tượng mà bạn thao tác. Bạn khám phá chúng, làm việc với chúng. Giao diện của chương trình hầu như không gây ra tác động nào và bạn có thể tập trung làm thế nào để đạt được những mục đích toán học chứ không phải làm thế nào để điều khiển công nghệ. Dựa trên ba đặc điểm này, việc sử dụng các biểu diễn trực quan động cần tạo cho HS có sự chủ động trong việc tìm ra và thực hiện các thao tác động trên biểu diễn. Hơn nữa, trong những điều kiện cho phép, GV có thể cho HS tự thiết kế biểu diễn trực quan và dùng nó để tìm hiểu, khám phá kiến thức cũng như giải quyết vấn đề. 2.3.2. BDTQĐ – Chiếc cầu nối giữa dạy và học Mối quan hệ giữa CNTT với dạy - học toán đã đang được nhiều nhà giáo dục toán quan tâm nghiên cứu. Ngay cả với những GV có kinh nghiệm dạy học nhất, họ cũng phải cảnh giác rằng phải mất nhiều hơn một lần giải thích một cách rõ ràng để HS nắm bắt và hiểu được khái niệm toán nào đó. Để cho HS nắm bắt và đưa ra được mối quan hệ giữa các khái niệm, không chỉ đơn giản là bằng cách GV nói cho các em biết các quan hệ đó. Con đường hình thành khái niệm của một HS ở giai đoạn đầu thường khác với con đường mà thầy giáo dự định, hoặc không theo một thứ tự được biết của toán học. Giải quyết vấn đề, những công việc thực tế phù hợp, thảo luận, khảo sát là những khía cạnh cần thiết của môi trường học toán ở mọi cấp học. CNTT trong dạy và học toán có thể được xem như là sự hỗ trợ một đặc tính tương tác của HS và GV bởi các đồ dụng dạy học phù hợp. Những phương 14 tiện dạy học thông tin điện tử đem lại những khả năng có tính động cơ, kích thích sự thích thú để lôi cuốn HS vào việc học và hiểu toán. Nếu việc dạy toán được xem như là một quá trình truyền thụ, thì công nghệ thông tin được sử dụng để trình bày, giải thích và làm sáng tỏ các ý tưởng toán học, GV tìm kiếm cách để thuyết phục HS. Còn nếu việc dạy toán được xem như là quá trình kiến tạo, thì CNTT được sử dụng gắn liền với người học, nó khuyến khích tính độc lập suy nghĩ và tinh thần dám đặt câu hỏi và phản ánh của HS. Như vậy, những điều đó đang thay đổi môi trường sư phạm, nó cho phép GV sử dụng CNTT một cách phù hợp và có ý thức trong dạy học toán nhằm giúp các em tự kiến tạo tri thức. 2.3.3. BDTQĐ - Công cụ của tư duy Kết hợp lí luận về biểu diễn bội và môi trường thao tác động, biểu diễn trực quan động trên máy tính là biểu diễn trực quan trong đó cho phép sử dụng các thao tác động lên các đối tượng trong biểu diễn. Với sự hỗ trợ của máy tính cùng các phần mềm hình học động, có thể thiết kế được các biểu diễn loại này để hỗ trợ HS kiến tạo tri thức toán. Biểu diễn trực quan bao gồm các hình ảnh đồ thị, mô hình hình học được thiết kế bằng những phương tiện công nghệ như máy tính điện tử, là công cụ thiết yếu để dạy, học và làm toán. Đặc biệt, những mô hình toán tích cực được thiết kế bằng phần mềm động trên máy tính cung cấp những hình ảnh động, trực quan về các ý tưởng toán học, thúc đẩy việc sắp xếp và phân tích các dữ liệu; đồng thời, thiết lập các phép tính một cách có hiệu quả và chính xác. Chúng có thể hỗ trợ HS khảo sát toán trong mọi lĩnh vực toán học bao gồm: hình học, đại số, giải tích, thống kê, đo đạc và số. Với những công cụ và công nghệ phù hợp, HS có thể tập trung vào việc đưa ra các quyết định, phản ánh, suy luận và giải quyết các vấn đề toán học. Các phần mềm xây dựng các mô hình động như GSP hay Cabri cung cấp cho HS một công cụ trực quan động hiệu quả để thu thập dữ liệu hình học nhằm lý giải một cách quy nạp và hình thành những giải quyết, giống với quá trình mà nhà toán học đã sử dụng trong những nghiên cứu toán học của họ. 15 Có thể nói rằng, việc sử dụng biểu diễn trực quan hình học động sẽ tạo ra một môi trường tích cực cho HS tự thao tác trên các mô hình biểu diễn, tự khảo sát toán, tự kiểm chứng các kết quả từ đó phát hiện ra các mối quan hệ giữa các đối tượng, tìm cách chứng minh các mối quan hệ đó bằng toán học, điều này giúp phát huy khả năng tư duy của HS. 2.4. Giải quyết vấn đề Phương pháp giải quyết vấn đề đã phải trải qua nhiều thử thách, thực nghiệm trong gần suốt một thế kỷ 20 để đến gần đây mới được sử dụng thực sự ở nhiều trường học ở Hoa Kỳ và trở thành một yếu tố chủ đạo trong cải cách giáo dục ở một số nước khác. Đó là một phương pháp dạy và học mới phù hợp với triết lý về khoa học và giáo dục hiện đại, đáp ứng tốt những yêu cầu về giáo dục trong thế kỷ 21. Có nhiều phương pháp cụ thể để giải quyết vấn đề. Trong phần này tôi liệt kê các phương pháp thường được sử dụng cho hình học phẳng và cuộc sống.  Phát biểu quy luật.  Giải theo một cách nhìn khác.  Giải một bài toán đơn giản hơn.  Xét các trường hợp đặc biệt.  Vẽ hình.  Đoán và thử.  Tính toán cho mọi khả năng (liệt kê trường hợp) GV cần phải giúp HS phát triển những phương pháp cụ thể để giải quyết vấn đề. Những vấn đề tốt tạo cho HS cơ hội để củng cố và mở rộng tri thức của mình và kích thích tìm kiếm tri thức mới. Hầu hết các khái niệm toán học đều có thể được giới thiệu thông qua những vấn đề dựa trên những kinh nghiệm quen thuộc từ cuộc sống của các em hoặc từ những tình huống toán học. Để phát triển tư duy toán học cho HS, GV cần chọn các vấn đề toán học có một trong những đặc điểm:  Hấp dẫn và thách thức HS;  Tạo cơ hội cho các em thảo luận và tương tác; 16  Đòi hỏi kỹ năng phân tích, phê phán và quan sát;  Gắn liền với việc hiểu một khái niệm toán học hoặc áp dụng một kỹ năng toán;  Có nhiều hướng tiếp cận khác nhau;  Có thể đưa đến một quy tắc hay một sự tổng quát. 3. Chương trình đánh giá học sinh quốc tế (PISA) 3.1. Giới thiệu về PISA Chương trình đánh giá HS quốc tế PISA là một nổ lực hợp tác của các quốc gia thành viên của tổ chức OECD để đánh giá học sinh tuổi 15 được chuẩn bị tốt như thế nào để đáp ứng các thử thách của các xã hội ngày nay. Đánh giá PISA chọn một tiếp cận rộng cho việc đánh giá kiến thức và các kỹ năng phản ánh những thay đổi hiện nay trong chương trình, di chuyển xa hơn tiếp cận dựa vào nhà trường về phía sử dựng kiến thức trong các nhiệm vụ và thách thức thường ngày. Các kỹ năng này phản ánh khả năng của HS tiếp cận việc học trong suốt cuộc đời của mình bằng cách áp dụng những gì các em học được ở nhà trường và các môi trường ngoài nhà trường, bằng cách đánh giá các lựa chọn và quyết định của mình. Đánh giá này được chung sức định hướng bởi các nước tham gia, đưa những quan tâm chiến lược của các quốc gia gần lại với nhau với tinh hoa khoa học ở mức độ quốc gia và quốc tế. 3.2. Cơ sở lý thuyết theo khuôn khổ đánh giá của PISA Định nghĩa về hiểu biết toán của PISA là nhất quán với lý thuyết của tính tích hợp và mở rộng về cấu trúc và sử dụng ngôn ngữ như đã được phản ánh trong những nghiên cứu về hiểu biết văn hóa xã hội gần đây. Trong cuốn Mở đầu cho một Chương trình Hiểu biết (1998) của James Gee, thuật ngữ " hiểu biết" chỉ việc sử dụng ngôn ngữ của loài người. Khả năng để đọc, viết, nghe và nói một ngôn ngữ là công cụ quan trọng nhất mà thông qua nó hoạt động xã hội của loài người được dàn xếp. Thực ra, mỗi ngôn ngữ của nhân loại và việc sử dụng ngôn ngữ có một thiết kế rắc rối gắn chặt với cách phức tạp theo nhiều chức năng. Để một người là 17 hiểu biết trong một ngôn ngữ suy ra rằng người đó biết nhiều nguồn thiết kế của ngôn ngữ và có thể sử dụng các nguồn đó cho nhiều chức năng xã hội khác nhau. Một cách tương tự, việc xem toán học như là một ngôn ngữ kéo theo HS phải học và thiết kế những khía cạnh liên quan đến bài toán và các em cũng phải học để sử dụng các ý tưởng như vậy để giải quyết các vấn đề không quen thuộc trong nhiều tình huống được xác định theo các chức năng xã hội. 3.3. Toán học hoá OECD/PISA kiểm tra các năng lực của HS để phân tích, suy luận và giao tiếp các ý tưởng toán học một cách hiệu quả khi các em đặt, thiết lập, giải và lý giải các vấn đề toán trong nhiều bối cảnh. Giải quyết vấn đề như vậy đòi hỏi HS sử dụng các kỹ năng và năng lực các em đã đạt được qua các kinh nghiệm học đường và cuộc sống. Trong OECD/PISA, một quá trình cơ bản mà các HS dùng để giải quyết các vấn đề thực tế được đề cập là “toán học hóa”. Newton có thể đã trình bày toán học hóa trong công trình chính của mình, “các Nguyên tắc Toán học của Triết học Tự nhiên” khi ông viết: “Những mục đích của chúng ta chỉ là phát hiện đại lượng và các tính chất của lực này từ hiện tượng đó và để áp dụng những gì chúng ta khám phá trong một số trường hợp đơn giản như các nguyên tắc, mà với chúng, chúng ta có thể ước lượng các tác động trong những trường hợp liên quan nhiều hơn” (Newton, 1678). Thảo luận trước đây về cơ sở lý thuyết của khuôn khổ toán học OECD/PISA được thể hiện bằng sự mô tả 5 bước của toán học hóa. Những bước này được chỉ ra ở Hình 1. 18 Hình 1. Quy trình toán học hóa (1) Bắt đầu từ một vấn đề được đặt ra trong thực tế; (2) Tổ chức nó theo các khái niệm toán học và xác định toán học phù hợp; (3) Không ngừng cắt tỉa thực tế thông qua các quá trình như đặt giả thuyết, tổng quát và hình thức hóa, chúng khuyến khích những khía cạnh toán học của vấn đề và chuyển thể vấn đề thực tế thành một bài toán mà đại diện trung thực cho bối cảnh thực tế; (4) Giải quyết bài toán; (5) Làm cho lời giải toán có ý nghĩa theo nghĩa của bối cảnh thực tế, bao gồm việc xác định những hạn chế của lời giải. Như sơ đồ ở Hình 1 đề xuất, 5 khía cạnh sẽ được thảo luận theo 3 giai đoạn. Toán học hóa trước hết liên quan đến việc chuyển thể vấn đề từ thực tế sang toán học. Quá trình này bao gồm các hoạt động như:  Xác định toán học phù hợp tương với một vấn đề được đặt ra trong thực tế;  Biểu diễn vấn đề theo một cách khác; bao gồm việc tổ chức nó theo các khái niệm toán học và đặt những giả thiết phù hợp;  Hiểu các mối quan hệ giữa ngôn ngữ của vấn đề và ngôn ngữ ký hiệu và hình thức cần thiết để hiểu vấn đề một cách toán học; 19  Tìm những quy luật, mối quan hệ và những bất biến;  Nhận ra các khía cạnh tương đồng với các vấn đề đã biết;  Chuyển thể vấn đề thành toán học chẳng hạn như thành một mô hình toán, (de Lange, trong PISA). Một khi HS đã chuyển thể được vấn đề thành một dạng toán, toàn bộ quá trình có thể tiếp tục trong toán học. HS sẽ đặt những câu hỏi như: “Liệu có… không?”, “Nếu như vậy thì có bao nhiêu?”, “Làm thế nào tôi có thể tìm…?”, bằng cách dùng các kỹ năng và khái niệm toán học đã biết. Các em sẽ nổ lực làm việc trên mô hình của mình về bối cảnh vấn đề, để điều chỉnh nó, để thiết lập các quy tắc, để xác định các nối kết và để sáng tạo nên một lập luận toán học đúng đắn. Phần này của quá trình toán học hóa được gọi chung là phần suy diễn của quy trình mô hình hóa (Blum, 1996; Schupp, 1988). Tuy nhiên, những quá trình khác với suy diễn có thể tham gia vào giai đoạn này. Phần này của quá trình toán học hóa bao gồm:  Dùng và di chuyển giữa các biểu diễn khác nhau;  Dùng ngôn ngữ ký hiệu, hình thức, kỹ thuật và các phép toán;  Hoàn thiện và điều chỉnh các mô hình toán;  Kết hợp và tích hợp các mô hình;  Lập luận;  Tổng quát hóa. Bước (hay những bước) cuối cùng trong việc giải quyết một vấn đề liên quan đến việc phản ánh về toàn bộ quá trình toán học hóa và các kết quả. Ở đây, HS phải giải thích các kết quả với một thái độ nghiêm túc và công nhận toàn bộ quá trình, phản ánh như vậy xảy ra ở tất cả các giai đoạn của quá trình, nhưng nó đặc biệt quan trọng ở giai đoạn kết luận. Những khía cạnh của quá trình phản ánh và công nhận này là:  Hiểu lĩnh vực và các hạn chế của các khái niệm toán học;  Phản ánh về các lập luận toán học, giải thích và kiểm tra các kết quả;  Giao tiếp quá trình đó và lời giải; 20  Phê phán mô hình và các hạn chế của nó. Giai đoạn này được chỉ ra ở hai chỗ trong Hình 1 bằng số (5), ở đó quá trình toán học hóa chuyển từ lời giải toán học thành lời giải thực tế, và ở đó lời giải được liên hệ ngược trở lại với vấn đề thực tế gốc 4. Các kết quả nghiên cứu liên quan Có rất nhiều nghiên cứu phân tích những lợi ích của việc sử dụng các biểu diễn trực quan động góp phần đổi mới phương pháp dạy học. Như trong bài báo với tiêu đề “Tích hợp công nghệ thông tin với nghiên cứu bài học để giúp GV toán tự nâng cao năng lực và hoàn thiện nghiệp vụ sự phạm” của Trần Vui (2006), đã nói lên việc sử dụng công nghệ thông tin kết hợp với nghiên cứu bài học như là một công cụ để phát triển tay nghề dạy học của GV. Trong bài báo với tiêu đề " Những đóng góp đáng quan tâm của các biểu diễn trực quan trong việc dạy toán" của Trần Vui, Trường ĐHSP Huế đã các định vai trò của biểu diễn trực quan trong hệ thống biểu diễn toán. Những kết quả nghiên cứu cho thấy biểu diễn trực quan có thể hỗ trợ và minh họa các lời giải toán học thuần túy kí hiệu, chúng thực sự hữu ích trong giáo dục toán. Nhóm tác giả Trần Vui, Lê Quang Hùng, Nguyễn Đăng Minh Phúc (2007) đã nghiên cứu và xuất bản một số sách hỗ trợ HS khám phá các chủ đề trong nội dung toán ở THPT thông qua tương tác với các mô hình động, thiết kế bằng phần mềm GSP. Các sách chủ yếu bám sát nội dung sách giáo khoa. Kèm theo mỗi cuốn sách là một đĩa CD các mô hình thao tác được sắp xếp trình tự theo các nội dung kiến thức của sách giáo khoa. Những đầu sách này là tài liệu bổ ích cho GV và HS trong dạy và học toán. Bên cạnh đó, đề tài nghiên cứu “Thiết kế mô hình toán phục vụ dạy học giải quyết vấn đề trong hình học 10 nâng cao” của tác giả Trương Thị Hồng Thủy (khóa luận tốt nghiệp, 2007). Trong đề tài, tác giả đã đùng phần mềm GSP thiết kế các mô hình động để dẫn tới một số định nghĩa và hướng giải quyết các bài toán trong chương trình hình học 10 nâng cao. 21 Chương 3: PHƯƠNG PHÁP VÀ QUY TRÌNH NGHIÊN CỨU 1. Giới thiệu Với mục đích của nghiên cứu là đánh giá khả năng tư duy phê phán của HS khi sử dụng các biểu diễn trực quan động thông qua việc khám phá kiến thức hình học phẳng, đồng thời nghiên cứu vai trò của biểu diễn trực quan động trong việc hỗ trợ HS khám phá kiến thức hình học phẳng. Chương này nhằm giới thiệu phương pháp và quy trình nghiên cứu của khóa luận. Chương bao gồm: Thiết kế quá trình nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu, công cụ nghiên cứu, quy trình thu thập và phân tích dữ liệu. 2. Phương pháp nghiên cứu  Khảo cứu: Khảo sát các tài liệu đã có, các nghiên cứu về biểu diễn trực quan động như bài báo, khóa luận, luận văn, sách...để biết được họ làm gì, thiếu gì.  Định tính: Phân tích các quá trình khám phá dựa trên các biểu diễn trực quan động. Từ đó, đưa ra kết luận. Đồng thời, phần nào giải thích được tại sao HS có được kết quả nào đó.  Định lượng: Thống kê các kết quả khám phá khi tiến hành thực nghiệm sư phạm. 3. Thiết kế quá trình nghiên cứu  Nghiên cứu phần mềm The Geometer’s Sketchpad để xây dựng các mô hình động nhằm hỗ trợ HS khám phá kiến thức hình học phẳng.  Nghiên cứu các tác động của phần mềm động trong hỗ trợ HS khám phá kiến thức hình học phẳng.  Tiến hành thực nghiệm dựa trên các phiếu hỏi, phiếu thăm dò ý kiến HS và GV để từ đó thấy được tác động tích cực và con đường khám phá kiến thức hình học phẳng của HS với sự hỗ trợ của các biểu diễn trực quan động. 22 4. Đối tượng nghiên cứu Các đối tượng trong nghiên cứu này bao gồm: HS lớp 10, lớp 11. HS sẽ được nghiên cứu trong một lớp học của trường trung học phổ thông Hai Bà Trưng ở thành phố Huế. 5. Công cụ nghiên cứu  Kế hoạch bài dạy: Chúng tôi sẽ tiến hành thực nghiệm trong 1 tiết, đưa ra ba mô hình có trong khóa luận. Đó là, mô hình phát hiện định lý sin trong tam giác, hai mô hình của bài toán 1 và bài toán 2 trong nội dung các bài toán quỹ tích.  Các mô hình động: Chúng tôi sẽ thiết kế một số mô hình động như: Mô hình phát hiện định lý cosin, định lý sin, một số mô hình của bài toán quỹ tích, mô hình khám phá kiến thức phép biến hình và mô hình bài toán thực tế.  Phiếu trắc nghiệm, phiếu học tập: Chúng tôi sẽ thiết kế phiếu trắc nghiệm bằng những câu hỏi thăm dò ý kiến HS và GV, thiết kế phiếu học tập theo các mục đích nghiên cứu đã đề ra. 6. Quy trình thu thập dữ liệu  Khảo cứu để có những nền tảng lý thuyết cần thiết cho khóa luận.  Chuẩn bị các mô hình động về hình học phẳng trong sách giáo khoa hình học và một số bài tập liên quan đến kiến thức lớp 10, lớp 11, phiếu học tập. Người nghiên cứu sẽ tiến hành giới thiệu các biểu diễn trực quan động của một số định nghĩa hay bài toán trong tiết dạy. HS sẽ quan sát, sau đó, GV đưa ra các câu hỏi vấn đáp để HS khám phá kiến thức. Nhà nghiên cứu thu thập dữ liệu thông qua quan sát, vấn đáp và các phiếu trắc nghiệm, phiếu học tập.  Thông qua các hoạt động dạy - học của GV và HS chúng tôi nghiên cứu và trả lời cho câu hỏi: Xây dựng những biểu diễn trực quan động trong hình học phẳng như thế nào để GV và HS có thể sử dụng nhằm đạt được hiệu quả trong giảng dạy và học tập, các biểu diễn trực quan động có tác dụng tích cực trong việc hỗ trợ HS khám phá kiến thức hình học ra sao, con đường khám phá các kiến thức hình học phẳng của HS với sự hỗ trợ của biểu diễn trực quan động diễn ra như thế nào. 23 7. Quy trình phân tích dữ liệu  Với dữ liệu từ các câu hỏi vấn đáp, các phiếu học tập, phiếu trắc nghiệm, các bảng hỏi đối với học sinh được nghiên cứu, chúng tôi tiến hành phân tích quá trình khám phá kiến thức hình học phẳng góp phần trả lời cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất và thứ ba.  Với dữ liệu thu được từ học sinh, chúng tôi thấy được các tác động của phần mềm động trong việc học toán của học sinh, thấy được các điểm mạnh, các hạn chế của phần mềm như thế nào, góp phần trả lời câu hỏi nghiên cứu thứ nhất.  Với dữ liệu thu được từ việc tìm hiểu phần mềm GSP, chúng tôi nghiên cứu cách sử dụng hiệu quả các tính năng trong phần mềm, từ đó xây dựng các biểu diễn trực quan động như thế nào để hỗ trợ học sinh khám phá kiến thức hình học phẳng, đồng thời giáo viên sử dụng như thế nào để dạy hiệu quả hơn, góp phần trả lời cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai. 8. Các hạn chế Việc tiến hành dạy thực nghiệm có thể gặp nhiều khó khăn. Các câu hỏi đưa ra nhằm hỗ trợ học sinh khám phá kiến thức có thể chưa phù hợp với học sinh của lớp đang nghiên cứu. Nội dung trong phiếu hỏi, phiếu trắc nghiệm có thể quá khó hoặc quá dễ đối với học sinh. Do đó, thu thập dữ liệu không theo chứng kiến của mình. Kết quả của các phiếu trắc nghiệm, phiếu trắc nghiệm có thể có độ chính xác không cao. Kết quả nghiên cứu lấy từ lớp chúng tôi nghiên cứu có thể không phù hợp với các đối tượng khác. 9. Tóm tắt Trong chương 3, chúng tôi đã thiết kế quá trình nghiên cứu, xác định đối tượng nghiên cứu, công cụ nghiên cứu, quy trình thu thập tài liệu, quy trình phân tích dữ liệu và dự đoán những khó khăn có thể mắc phải. Từ đó, đưa ra kết quả nghiên cứu trong chương 4 một cách có hệ thống và khoa học. 24 Chương 4: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 1. Giới thiệu Chúng tôi đã tiến hành nghiên cứu theo đúng thiết kế được trình bày ở chương 3. Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày các kết quả thu được, để lần lượt trả lời các câu hỏi nghiên cứu đã được đề ra ở chương 1. 2. Các kết quả nghiên cứu 2.1 Kết quả cho hỏi nghiên cứu thứ nhất: Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất: Xây dựng những biểu diễn trực quan động trong hình học phẳng như thế nào để GV và HS có thể sử dụng nhằm đạt được những hiệu quả trong giảng dạy và học tập? Chúng tôi chọn nội dung 1 và nội dung 2 để đưa vào nghiên cứu bởi vì, chúng tôi thấy rằng, định lý cosin và định lý sin trong tam giác là hai kiến thức khá quan trọng trong hệ thống kiến thức lớp 10. Đồng thời, quá trình khám phá hai định lý này sẽ giúp HS bước đầu có những tư duy logic, tư duy sáng tạo và tư suy phê phán. Nội dung 1: Định lý cosin trong tam giác Trong tam giác ABC có , ,BC a CA b AB c   . Khi đó, ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos 2 cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C          c a b A B C Hình 2 25 Mở file kl | 1.gsp. c b a A'B' B A C Hình 3. Mô hình phát hiện định lý cosin 1. Giới thiệu cách dựng mô hình:  Dựng tam giác ABC có các cạnh tương ứng , ,a b c .  Trên mỗi cạnh dựng các hình vuông và hình bình hành như hình 2. 2. Khảo sát mô hình:  Di chuyển C tới các vị trí: C nằm trong, C nằm trên và C nằm ngoài nửa đường tròn để HS quan sát tất cả các trường hợp. H: Tính diện tích các hình vuông màu đậm, màu nhạt và diện tích hình vuông ' 'ABA B theo , ,a b c ? H: Dự đoán về sự bằng nhau của hai hình bình hành? H: Sau đó, GV áp dụng Measure | Area để HS quan sát và đưa ra nhận xét đúng đắn về diện tích hai hình bình hành? H: Tính diện tích hai hình bình hành theo ·, ,a b ACB ? 26 Trường hợp điểm C nằm trên nửa đường tròn Mở file kl | 2.gsp 1. Liệu ta có thể ghép hai hình vuông màu đậm và màu nhạt thành hình vuông ' 'ABA B được không? Nếu được thì tiến hành như thế nào? 2. Sau đó, GV nhấn nút cat để HS quan sát. H: Từ đó, em hãy đưa ra một hệ thức liên hệ giữa diện tích các hình vuông nói trên? c b a A'B' B A C Hình 4. Điểm C nằm trên đường tròn Trường hợp điểm C nằm trong nửa đường tròn  Nhấn nút cat. H: Theo quan sát trên thì hình vuông cạnh c được lắp ghép từ các hình nào? H: Nhận xét về độ lớn của góc ·ACB ? H: Từ đó ta có hệ thức gì? c b a A'B' B A C Hình 5. Điểm C nằm trong đường tròn. 27 Trường hợp điểm C nằm ngoài nửa đường tròn Mở file kl | 3.gsp  Áp dụng Measure | Area để tính tổng và Measure | Calculate để tính toán.  Nhấn cat1, cat2. H: Hãy tính phần diện tích còn dư của hình vuông màu đậm và hình vuông màu nhạt khi tiến hành lấp ghép vào hình vuông ' 'ABA B ? H: Nếu ghép các phần còn dư của hình vuông màu đậm và hình vuông màu nhạt lại với nhau ta có điều gì? c b a A'B' B A C Hình 6. Điểm C nằm ngoài đường tròn.  Kéo rê điểm C di động bất kì sao cho C nằm ngoài đường tròn. H: Với diện tích hình vuông màu đậm, hình vuông màu nhạt, hình vuông ' 'ABA B và diện tích hai hình bình hành như trên. Em hãy đưa ra đẳng thức liên hệ giữa các diện tích đó trong trường hợp này? Vậy, với tam giác ABC có , ,BC a CA b AB c   . Ta có đẳng thức gì? Nội dung 2: Định lý sin trong tam giác Với mọi tam giác ABC, ta có 2 sin sin sin a b c R A B C    Trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. c a b R C A B Hình 7 28 1. Trường hợp tam giác ABC vuông tại A  Mở file kl | 4.gsp H: Khi kéo rê điểm A, ta thấy góc ·ABC và góc ·BCA thay đổi phụ thuộc vào ,b c , còn các yếu tố nào không thay đổi?  Như vậy, ta có thể nghĩ đến việc so sánh sự thay đổi của hai tỷ số · ·,sin sin b c ABC BCA . H: Tính , ,b c ·ABC , ·BCA ? c a b 2RBK O A CB Hình 8. Tam giác ABC vuông tại A . H: Nhận xét về sự thay đổi của các tỷ số · ·,sin sin b c ABC BCA khi kéo rê điểm A quanh đường tròn đường kính BC ? H: Vậy, ta có hệ thức liên hệ giữa các đối tượng , , ,a b c · · ·sin , sin , sin ,BAC ABC BCA R như thế nào?  Nhấn nút ABC đều để học sinh quan sát hình. 2. Trường hợp tam giác ABC đều  Nhấn nút tiso H: Quan sát hình và cho biết đẳng thức trên còn đúng với tam giác ABC đều không? H: Tính · · ·sin , sin , sinCAB ABC BAC ? H: Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC được xác định như thế nào? Hãy tính bán kính đó? H: Hãy chứng minh đẳng thức đúng với tam giác ABC đều ? c a b 2RBK O A CB Hình 9. Tam giác ABC đều. 29  Kéo rê các điểm , ,A B C bất kì. Trường hợp tam giác ABC thường Kéo rê một trong các yếu tố sau: điểm A , điểm B , điểm C , bán kính R . H: Khi đó đẳng thức còn đúng không? H: Nhấn nút 'AA , hãy nhận xét về độ lớn của góc ·BAC và góc · 'BA C khi góc ·BAC nhọn và khi góc ·BAC tù? Hãy chứng minh cho nhận xét đó? H: Tam giác 'A BC là tam giác gì? c a b 2RBK O A CB Hình 10. Tam giác ABC thường H: Hãy đưa ra đẳng thức thể hiện mối liên hệ của ·, sin ,a BAC R ? Tương tự cho góc · ·,ABC BCA Vậy, với tam giác ABC bất kỳ ta có đẳng thức gì? Nội dung 3: Các bài toán quỹ tích Các bài toán quỹ tích là kiến thức tương đối khó. Do đó, chúng tôi nghiên cứu vấn đề này nhằm giúp HS nắm chắc hơn kiến thức. Cụ thể, chúng tôi đưa bài toán 1 tương đối dễ, tuy nhiên, HS phải hiểu rõ định nghĩa elip. Bài toán 2, đòi hỏi các em không những nắm chắc kiến thức mà còn phải thấy được mối quan hệ giữa các đối tượng bất biến và biến thiên. Bài toán 3 sẽ giúp HS giải một bài toán quỹ tích dựa trên tọa độ của các đối tượng. Giúp HS có cái nhìn mới trong việc giải các bài toán quỹ tích. Bài toán 1: Cho đường tròn tâm 2F bán kính 2a, A là một điểm di động trên đường tròn. Trong đường tròn lấy điểm cố định 1F . Trung trực đoạn 1AF cắt 2AF tại M. Tìm quỹ tích điểm M? 30 Mở file kl | 5.gsp M F1 F2 A Hình 11 1. Hướng dẫn cách dựng:  Mở trang mới;  Dựng đoạn thẳng AB có độ dài 2a : Chọn Straightedge Tool  Dựng điểm 2F và bán kính 2a :  Chọn lần lượt ,A B vào Transform | Mark Vector;  Chọn 2F , áp dụng Transform | Translate.  Áp dụng Compass Tool để vẽ đường tròn tâm 2F bán kính 2a .  Dựng điểm 1F cố định:  Lấy 1 điểm C bất kỳ trên đoạn AB , chọn lần lượt ,B C vào Transform | Mark Vector;  Chọn 2F , áp dụng Transform | Translate.  Lấy điểm A bất kỳ trên đường tròn. Dựng đoạn thẳng 1 2,AF AF .  Dựng đường trung trực đoạn 1AF :  Dựng trung điểm đoạn 1AF : Chọn đoạn thẳng 1AF , áp dụng Construct | Midpoint; 31  Chọn trung điểm vừa dựng, chọn đoạn thẳng 1AF , áp dụng Construct | Perpendicular Line.  Xác định giao điểm của đường trung trực đoạn 1AF và 2AF : Áp dụng Point Tool.  Tạo vết cho quỹ tích điểm M : Chọn M vào Display | Trace Objects. 2. Hướng dẫn học sinh khám phá:  Quan sát hình vẽ và đánh dấu vào các ô tương ứng: Đối tượng Thay đổi Cố định Điểm A Điểm M Điểm 1F Điểm 2F Độ dài 2AF Độ dài 1 2F F H: Điểm M thuộc đường trung trực đoạn 1AF , ta có điều gì? H: Từ đó, hãy nêu mối liên hệ của 1 2,MF MF và 2AF ? H: Kéo rê điểm A , hãy so sánh độ dài 2AF với độ dài 1 2F F ? H: Vậy, quỹ tích điểm M là gì? Hãy chứng minh điều đó? Bài toán 2: Cho hai đường tròn trong nhau 1( )C có tâm 1O bán kính 1r , 2( )C có tâm 2O bán kính 2r , 1 2O O . Chứng minh quỹ tích của các đường tròn tiếp xúc với cả hai đường tròn trên là một elip. 32 Mở file kl | 6.gsp O O2 O1 Hình 12 1. Hướng dẫn cách dựng: a. Phân tích:  Gọi đường tròn cần dựng là ( )C có tâm O , bán kính a .  Điều kiện cần và đủ để ( )C tiếp xúc trong với 1( )C : 1 1OO r a  ;  Điều kiện cần và đủ để ( )C tiếp xúc ngoài với 2( )C : 2 2OO r a  ;  Từ đó, ta dựng được điểm M sao cho 1 2 1 2OO OO r r   . b. Cách dựng:  Mở trang mới;  Dựng đoạn thẳng AB có độ dài 2a : Chọn Straightedge Tool;  Dựng điểm 2F và bán kính 2a :  Chọn lần lượt ,A B vào Transform | Mark Vector;  Chọn 2F , áp dụng Transform | Translate;  Áp dụng Compass Tool để vẽ đường tròn tâm 2F bán kính 2a ;  Từ đó vẽ được hai đường tròn cố định.  Lấy điểm A bất kì trên 1( )C ;  Dùng Compass Tool dựng đường tròn 3( )C tâm A bán kính 2r ; 33  Chọn lần lượt 1,O A áp dụng Construct | Ray dựng tia 1O A . Tia 1O A cắt đường tròn 3( )C tại hai điểm ,B C . Trong đó, 2 1 2O B r r  ;  Dựng đường trung trực 2O B cắt tia 1O A tại O ;  Điểm O vừa dựng là tâm đường tròn cần tìm. 2. Hướng dẫn học sinh khám phá:  Xét đường tròn ( )C tâm O bán kính a , tiếp xúc trong với đường tròn 1( )C tại M , tiếp xúc ngoài với đường tròn 2( )C tại N .  Quan sát hình vẽ và đánh dấu vào các ô tương ứng: Đối tượng Thay đổi Cố định Điểm O Điểm 1O Điểm 2O Độ dài 1MO Độ dài 2NO Độ dài 1OO Độ dài 2OO Độ dài 1 2O O 1 2OO OO H: Điều kiện cần và đủ để ( )C tiếp xúc trong với 1( )C là gì? H: Điều kiện cần và đủ để ( )C tiếp xúc ngoài với 2( )C là gì? H: Từ đó, hãy nêu mối liên hệ giữa các đối tượng thay đổi và cố định ? H: Vậy, hãy chứng minh quỹ tích các đường tròn ( )C tiếp xúc với cả hai đường tròn 1( )C , 2( )C ? 34 Bài toán 3: Cho hai đường tròn ( )C và ( ')C có phương trình : 2 2 2 2( ) : 4 ) : 1.và ( 'C x y x yC    Các điểm ,A B lần lượt di động trên ( )C và ( ')C sao cho Ox là phân giác của góc ·AOB . Gọi M là trung điểm AB . Lập phương trình quỹ tích của M . Mở file kl | 7.gsp 1. Hướng dẫn cách dựng:  Mở trang mới;  Áp dụng Compass Tool để vẽ hai đường tròn ( ), ( ')C C ;  Lấy điểm B bất kỳ trên 2( )C . Lấy điểm 1B đối xứng với B qua Ox : Kích đúp vào Ox , chọn B , áp dụng Transform | Reflect;  Điểm A cần tìm là giao điểm của đường thẳng 1OB và đường tròn ( )C . (C) (C') x y M A B' 1 B Hình 13  Xác định trung điểm M của AB : Chọn AB , áp dụng Construct | Midpoint.  Tạo vết cho quỹ tích điểm M : chọn M , áp dụng Display | Trace Objects. 2. Hướng dẫn học sinh khám phá :  Di chuyển ,A B và quan sát quỹ tích của M là một elip. Khi đó, phương trình của elip này là gì ? Chúng ta theo dõi các hướng dẫn sau.  Đo tọa độ điểm ,B C (chọn ,B C , áp dụng Measure | Coordinates). 35 H: Kéo rê điểm B , hãy quan sát tọa độ 1B . Khi đó, hãy cho biết 1B có mối liên quan với B như thế nào?  Đo tọa độ điểm A , ,B C (chọn A , ,B C , áp dụng Measure | Coordinates). H: Kéo rê điểm B , quan sát mối liên quan giữa tọa độ điểm A và tọa độ điểm B ? H: Tổng quát, nếu ,( )B BB x y thì A có tọa độ bao nhiêu? H: ( , )M x y , hãy biểu diễn tọa độ điểm M theo tọa độ điểm B ? Kết hợp thêm điều kiện ( ')B C ta có điều gì? H: Vậy, phương trình quỹ tích của M được viết như thế nào? Nội dung 4 : Khám phá một số kiến thức của phép biến hình Phép vị tự là phép biến hình tương đối khó, chúng tôi chọn nội dung bài toán 1 để nghiên cứu nhằm mục đích giúp HS nắm chắc được kiến thức cơ bản của phép biến hình từ đó phát triển khả năng quan sát của HS. Bài toán 2, nhằm mục đích củng cố các phép biến hình, các em thấy được mối quan hệ giữa các phép biến hình. Bài toán 1: Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó. Phép vị tự tỉ số k biến đường thẳng thành đường thẳng song song (hoặc trùng) với đường thẳng đó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với k , biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là k ,biến góc thành góc bằng nó. 36 Mở file kl | 8.gsp  Mở trang mới;  Dựng đường thẳng d , trên d lấy điểm M và điểm O nằm ngoài d .  Dựng điểm 'M là ảnh của điểm M qua phép vị tự ( , )O kV .  Quan sát điểm 'M khi cho M di động trên đường thẳng d . M' O M Hình 14 H: Có nhận xét gì về đường thẳng và ảnh của nó qua phép vị tự? H: Làm thế nào để xác định ảnh của một đường thẳng qua một phép vị tự xác định?  Mở file kl | 9.gsp  Dựng đường tròn ( )I nào đó, qua M . H: Điểm 'M di động trên hình nào khi M di động trên đường tròn ( )I ? Mở file kl | 10.gsp M' I O M Hình 15  Dựng tam giác ABC và miền trong của nó. Dựng điểm N trên biên của tam giác, dựng điểm 'N là ảnh của điểm N qua phép vị tự ( , )O kV . N' A B C O N Hình 16 37 Cho điểm N di động trên biên của tam giác ABC . H: Dự đoán quỹ tích điểm 'N khi N di động trên tam giác ABC ? Có nhận xét gì về tam giác và ảnh của nó qua phép vị tự? Từ đó, hãy cho biết: H: Ảnh của đoạn thẳng, tia, đường thẳng, đường tròn qua phép vị tự là gì? Làm thế nào để xác định ( ')I là ảnh của đường tròn ( )I qua một phép vị tự? H: Phép vị tự có bảo toàn độ lớn của một góc không? H: Với phép vị tự tỉ số k , khi nào thì đường thẳng, tam giác biến thành chính nó? Thay đổi tỉ số k . Nháy các nút điều khiển và quan sát, nhận xét, cho dự đoán về các câu hỏi trên. Từ đó, đi đến định lý và hệ quả có nội dung là bài toán 3. Bài toán 2: Củng cố phép biến hình Mở file kl | 11.gsp x y N' M' O N M BA 1 a b  Hình 17 38  Trong hệ trục tọa độ Oxy cho trước hai số thực ,a b và góc lượng giác  . Hai số thực ,a b có thể thay đổi bằng cách rê điểm ,a b của hai thanh trượt tham số, góc lượng giác  thay đổi được bằng cách rê điểm  trên đường tròn lượng giác.  Hãy dựng vectơ MN uuuur tùy ý trên mặt phẳng tọa độ và đo tọa độ của các điểm ,M N .  GV tính tọa độ các điểm ', 'M N theo công thức:  ' ' os sin sin os +b M M M M M M x x c y a y x y c           và ' ' os sin sin os +b N N N N N N x x c y a y x y c            Dựng điểm ' ' ' ''( ; ), '( ; )M M N NM x y N x y trên mặt phẳng tọa độ. Dựng vectơ ' 'M N uuuuuur .  Đo khoảng cách tọa độ của các đoạn thẳng , ' 'MN M N .  Rê điểm  quanh đường tròn lượng giác để thay đổi góc  , quan sát hai vectơ MN uuuur và ' 'M N uuuuuur . Rê  đến các vị trí đặc biệt: 0, , , 4 2    . H: Khi 0  : Phép biến hình F biến vectơ MN uuuur thành vectơ ' 'M N uuuuuur là phép biến hình gì? H: Khi 4    : Phép biến hình F biến vectơ MN uuuur thành vectơ ' 'M N uuuuuur là phép biến hình gì? H: Khi 2    : Phép biến hình F biến vectơ MN uuuur thành vectơ ' 'M N uuuuuur là phép biến hình gì? H: Khi   : Phép biến hình F biến vectơ MN uuuur thành vectơ ' 'M N uuuuuur là phép biến hình gì? H: Khi 0a b  , có nhận xét gì về các tam giác , ' 'OMN OM N ? H: Khi 0a b  và 0  phép biến hình F là phép gì? 39 Nội dung 5 : Các bài toán thực tế Các bài toán này dựa trên những lĩnh vực quen thuộc trong đời sống, trong hoạt động thường ngày. Các bài toán thực tế sẽ giúp HS thấy được toán học rất gần gũi và ứng dụng của toán học là không nhỏ trong đời sống. Bài toán 1:(chạy thi trên bãi biển) Người ta tổ chức một cuộc chạy thi trên bãi biển với điều kiện sau: Các vận động viên xuất phát từ địa điểm A và đích là địa điểm B , nhưng trước khi đến B vận động viên phải chạm vào nước biển (ta giả sử rằng mép nước biển là một đường thẳng). Hãy xác định vị trí điểm M ở mép nước để quãng đường phải chạy là ngắn nhất. Bài toán trên ta có thể phát biểu dưới dạng thuần túy toán học như sau: Cho hai điểm ,A B nằm về một phía của đường thẳng d . Hãy xác định điểm M trên d sao cho AM MB nhỏ nhất. Mở flie kl | 12.gsp d B A M Hình 18 1. Hướng dẫn cách dựng và hướng dẫn học sinh khám phá:  Mở trang mới;  Dựng đường thẳng d và hai điểm ,A B nằm về một phía của đường thẳng d , dựng điểm M tùy ý trên đường thẳng d .  Đo các khoảng cách ,AM MB rồi tính tổng AM MB . 40 H: Rê điểm M trên đường thẳng d sao cho tổng AM MB có giá trị nhỏ nhất, có nhận xét gì về vị trí đặc biệt này của điểm M ?  Nếu HS chưa đưa ra được nhận xét thì thực hiện bước sau: Hãy đo các góc · ·,AMD EMB . Có nhận xét gì về các góc trên khi M ở vị trí mà tổng AM MB có giá trị nhỏ nhất? Từ đó, hãy nêu cách xác định vị trí của điểm M đó.  Liệu có thể áp dụng cách giải bài toán này để giải bài toán chạy thi trên bãi biển được không?  Trên thực tế, khó có thể dựng được điểm 'A là ảnh của A qua phép đối xứng có trục là mép nước biển, vì 'A lúc đó là điểm nằm trên mặt biển. Bài toán sẽ được giải quyết như thế nào? Mở file kl | 13.gsp d d' A' B' M' H A B M Hình 19  Dựng điểm H là hình chiếu của điểm B xuống mép nước biển. Dùng phép tịnh tiến T theo vectơ HB uuur để dời toàn bộ các đối tượng liên quan vào sau trong bãi biển, cụ thể: Dựng các điểm ', ', 'A B M , đường thẳng 'd lần lượt là ảnh của các điểm , ,A B M và đường thẳng d qua phép tịnh tiến T . H: Hãy xác định vị trí của điểm 'M trên đường thẳng 'd sao cho ' ' ' 'A M M B ngắn nhất ? Với lưu ý là : điểm đối xứng của điểm 'B qua đường thẳng 'd chính là điểm H . 41  Từ vị trí xác định của điểm 'M hãy suy ra vị trí của điểm M cần dựng trên đường thẳng d . Bài toán 2: (bàn bi-a) Cho bàn bi-a hình chữ nhật, hai viên bi A và B nằm tùy ý trên bàn. Hãy xác định ví trí của điểm P trên cạnh 1 của bàn sao cho khi viên bi A di chuyển theo hướng AP chạm vào cạnh 1 của bàn, lúc đó phản xạ sẽ chạm vào bi B 1 4 2 3 BA P Hình 20.Bàn bi-a Mở file kl | 14.gsp 1. Hướng dẫn cách dựng:  Mở trang mới;  Dựng một hình vuông bất kì. Trong hình vuông lấy hai điểm ,A B .  Dựng đường đi của viên bi:  Lấy một điểm 1P bất kì trên cạnh thứ 1, đối xứng điểm đó qua cạnh thứ 1 (kích đúp cạnh thứ 1, chọn 1P , áp dụng Transform | Reflect) ta được điểm 2P . Đoạn thẳng 2AP cắt cạnh thứ 1 tại P .  Lấy một điểm 3P trên cạnh thứ 3, sao cho 3P nằm phía trong góc · 1APP . Nối các điểm 1 3, , ,A P P P ta được tứ giác 1 3APPP . Chọn lần lượt 1 3, , ,A P P P áp dụng Construct | Quadrilateral Interior để được miền trong của tứ giác 1 3APPP . Sau đó, chọn miền trong, áp dụng Construct | Point on Quadrilateral ta sẽ được một điểm M di động trên biên của tứ giác 1 3APPP .  Chọn điểm 3 ,P P áp dụng Edit | Merge Point để nhập điểm 3P vào P . 42  Chọn lần lượt 1,M P , áp dụng Edit | Action Buttons | Movement, trong thẻ Label đặt tên là ban1.  Tiếp tục chọn lần lượt ,M A áp dụng Edit | Action Buttons | Movement, trong thẻ Move chọn Instant, trong thẻ Label đặt tên reset. 2. Hướng dẫn học sinh khám phá:  Điều chỉnh hướng chuyển động của viên bi A bằng cách rê điểm P .  Nháy nút ban 1 hãy quan sát hướng di chuyển của viên bi A sau khi va vào cạnh 1 của bàn bi-a, lúc 1 4 2 3 BA P Hình 21 phản xạ vào viên bi B , trong trường hợp đó, đo các góc hợp bởi các tia PA , PB và cạnh 1 của bàn bi-a rồi đưa ra nhận xét.  Cho các viên bi ,A B ở nhiều vị trí khác nhau, để dự đoán.  Trường hợp không dự đoán được hãy làm bước tiếp sau đây:  Dựng điểm 'B là ảnh của điểm B qua phép đối xứng trục CD , dựng đoạn thẳng 'PB , đo các góc ·APC , ·BPD .  Rê điểm P đến vị trí sao cho " góc tới" ·APC bằng " góc phản xạ " ·BPD . Khi đó, H: Có nhận xét gì về vị trí các điểm , , 'A P B ?  Suy ra cách xác định vị trí của điểm P cần tìm. Tương tự, hãy xác định vị trí của điểm P trên cạnh 1 của bàn bi-a sao cho:  Viên bi A sau khi chạm vào cạnh 1, chạm vào cạnh 2, rồi mới chạm vào viên bi B . 43  Viên bi A sau khi chạm vào cạnh 1, chạm vào cạnh 2, chạm vào cạnh 3, rồi mới chạm vào viên bi B .  Viên bi A sau khi chạm vào cạnh 1, chạm vào cạnh 2, chạm vào cạnh 3, chạm vào cạnh 4, rồi mới chạm vào viên bi B . Bài toán 3: Hai thôn nằm ở hai vị trí A và B cách nhau một con sông (xem hai bờ sông là hai đường thẳng song song). Người ta dự định xây một chiếc cầu MN bắc qua sông (cầu phải vuông góc với bờ sông) và đắp hai đoạn đường từ địa điểm A tới địa điểm M và từ địa điểm B đến địa điểm N . Hãy xác định vị trí của chiếc cầu sao cho AM BN ngắn nhất. Mở file kl | 15.gsp a b M B A N Hình 22 Trường hợp 1: Bài toán trở nên đơn giản nếu con sông rất hẹp, hẹp đến mức hai bờ sông xem như trùng nhau. Trong trường hợp này, bài toán có thể đưa về dạng bài toán 1 để giải được không?  Kéo rê đường thẳng a trùng với đường thẳng b . Đo độ dài các đoạn AM , BN , rồi tính tổng AM BN .  Rê điểm M đến các vị trí khác nhau để HS quan sát và đưa ra nhận xét về vị trí mà AM BN đạt giá trị nhỏ nhất. 44 Trường hợp 2: Nhấn nút reset để đưa bài toán về dạng tổng quát.  Đo AM , BN , tính AM BN .  Rê đoạn MN tới các vị trí khác nhau, quan sát và đưa ra cách dựng điểm ,M N sao cho AM BN nhỏ nhất. Nếu HS chưa đưa ra được cách dựng thì đưa bài toán tổng quát về trường hợp đơn giản bằng một phép tịnh tiến đưa bờ b đến trùng bờ a , tịnh tiến BN theo vectơNM uuuur để đưa điểm B đến vị trí mới 'B . Mở file kl | 16.gsp ab M A B N B' Hình 23 Áp dụng phương pháp giải của TH1, từ đó nêu cách dựng hoàn chỉnh. Bài toán 4: Trong một cuộc thi đánh golf, ban tổ chức yêu cầu thí sinh phải đánh quả bóng ở vị trí A sao cho quả banh lọt vào lỗ ở vị trí B được cho như hình vẽ bên. Bạn hãy giúp thí sinh làm việc này. B A Hình 24. Sân golf 45  Mở file kl | 17.gsp H: Hãy nêu các trường hợp có thể đánh quả banh từ vị trí A để lọt vào lỗ ở vị trí B với số đường đi ít nhất?  Giả sử ta có các trường hợp sau:  Trường hợp 1: Đánh trực tiếp từ A đến B ;  Trường hợp 2: Đánh quả banh sao cho chỉ chạm một lần vào tường;  Trường hợp 3: Đánh quả banh sao cho chạm hai lần vào tường. B A Hình 25. Bàn bi-a Trường hợp 1 và 2: H: Đối với trường hợp 1, liệu ta có thể thực hiện được với địa hình này không? Tại sao? H: Đối với trường hợp 2, ta có thể thực hiện được không? Nếu được thì ta có mấy cách?  Gọi M là vị trí mà quả banh va vào tường. H: Làm thế nào để biết trường hợp 2 có thực hiện được hay không?  Sau khi HS kéo rê điểm M đi dọc theo tường và nhận thấy trường hợp 2 cũng không thực hiện được. H: Muốn đánh quả bóng vào vị trí B thì điểm M được xác định như thế nào? 46 M B' B A M B' B A Hình 26. Trường hợp 2a Hình 27. Trường hợp 2b Trường hợp 3 Mở file kl | 18.gsp N M B'' B' A B Hình 28. Trường hợp 3 47 H: Từ cách xác định vị trí điểm M ở trường hợp 2, hãy đưa ra hướng giải quyết cho trường hợp 3?  Hướng dẫn HS kéo rê điểm M để HS quan sát và đưa ra hướng giải quyết.  Trường hợp HS chưa thực hiện được. GV nhấn nút huongdan1, huongdan2, HS quan sát và đưa ra nhận xét.  Nhấn nút danh (đánh) để thấy được đáp án. Mở rộng: HS có thể áp dụng bài toán trên để giải các bài toán mà sân golf có địa hình như sau: A B A B Hình 29 Hình 30 2.2. Kết quả cho hỏi nghiên cứu thứ hai Câu hỏi nghiên cứu thứ hai: Các biểu diễn trực quan động có tác động tích cực trong việc hỗ trợ HS khám phá các kiến thức hình học phẳng ra sao? 2.2.1. Kết quả thực nghiệm a. Kết quả từ các phiếu học tập Dựa vào kết quả của 4 nhóm HS (mỗi nhóm 4 HS) lớp 10A2 trường THPT Hai Bà Trưng. Từ đây, tôi thu được một số kết quả sau. Kết quả điểm trên phiếu học tập số 1 của 4 nhóm HS lớp 10A2 trường THPT Hai Bà Trưng được cho bởi bảng 2.1 Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 PHT Số 1 Số nhóm đạt 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 Bảng 2.1: Bảng thống kê điểm trên phiếu học tập số 1 của lớp 10A2 48 Phân tích:  Ở phiếu học tập số 1, các câu hỏi được xây dựng để giúp HS tự khám phá ra định lý cosin trong tam giác thông qua biểu diễn trực quan động. Đây là định lý quen thuộc nên các em dễ dàng dự đoán được và chứng minh chính xác. Hình 31. Bài làm của HS trong hoạt động 1 ở phiếu học tập 1  Sai lầm hay mắc phải của HS là không đọc kỹ các câu hỏi hướng dẫn trong phiếu học tập, chưa trình bày lời giải chặt chẽ. Do đó, trong quá trình dạy học, GV phải tập cho các em làm quen với suy luận logic và trình bày vấn đề mình hiểu một cách khoa học.  Thực nghiệm cho thấy đại đa số HS đều đạt trên điểm trung bình, số nhóm HS đạt điểm 7 chiếm tỉ lệ 25%, điểm 8 chiếm tỉ lệ 50%, điểm 9 chiếm 25%.  Kết quả điểm trên phiếu học tập số 2 của 4 nhóm HS lớp 10A2 trường THPT Hai Bà Trưng được cho bởi bảng 2.3 Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 PHT Số 1 Số nhóm đạt 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 Bảng 2.2: Bảng thống kê điểm trên phiếu học tập số 2 của lớp 10A2 49 Phân tích:  Ở phiếu học tập số 2, các câu hỏi trong bài toán 1 và bài toán 2 được HS trả lời tương đối tốt. Các câu hỏi này được thiết kế theo mục đích dẫn dắt theo trình tự để HS tự mình khám phá ra quy luật của đối tượng đang quan tâm. HS biết cách khảo sát toán dựa trên các mô hình biểu diễn trực quan động, từ đó phỏng đoán, kiểm chứng các kết quả toán học, đồng thời sử dụng lập luận logic để chứng minh các phỏng đoán đó. Hình 32. Bài làm của HS trong phiếu học tập số 2  Sai lầm mắc phải của HS là xác định chưa chính xác các đối tượng thay đổi và không thay đổi. Điều này do các em cho rằng khi kéo rê đối tượng thấy chúng thay đổi vị trí. Tuy nhiên, các em không nhận thấy rằng, nếu một điểm cố định khi bị kéo rê thì tất cả các đối tượng khác chuyển động theo và không thay đổi hình dạng của hình vẽ ban đầu. Ngược lại thì đối tượng đó là di động. Bên cạnh đó, trong bài toán 1, HS thấy được tập hợp của M là elip nhưng chứng minh chưa chặt chẽ. Trong bài toán 2, HS đã đưa ra điều kiện để đường tròn tiếp xúc với đường tròn nhưng chưa kết hợp hai điều kiện đó.  Số nhóm HS đạt điểm trên trung bình chiếm tỉ lệ 75%. 50 b. Kết quả thăm dò ý kiến HS và GV Kết quả thăm dò ý kiến học sinh như sau: Lựa chọn (%) Câu 1 2 3 4 1 0 37,5 62,50 0 2.1 12,50 68,75 18,75 0 2.2 81,25 12,50 6,25 0 2.3 0 0 31,25 68,75 2.4 0 0 81,25 18,75 2.5 0 0 81,25 18,75 4.1 0 81,25 18,75 0 4.2 31,25 68,75 0 0 4.3 12,50 81,25 6,25 0 4.4 0 93,75 6,25 0 4.5 0 81.25 18,75 0 5 56,25 43,75 0 0 7 0 18,75 62,50 18,75 8 6,25 37,50 50 6,25 9 43,75 56,25 0 0 10 0 25 68,75 6,25 11 43,75 50 0 6,25 51 Lựa chọn (%) Câu Có Không 3.1 87,50 12,50 3.2 87,50 12,50 3.3 6,250 93,75 3.4 6,25 93,75 3.5 93,75 6,25 Kết quả chủ yếu của câu 6, câu 12, câu 13:  Câu 6  Xác định điểm cố định, điểm di động và mối liên quan giữa các giả thiết trong bài ;  Quan sát kỹ hình vẽ để định hướng được cách làm ;  Dự đoán hình dạng của quỹ tích là đường thẳng hay đường cong;  Làm theo các bước trước đây.  Câu 12  Không có khó khăn gì;  Thời gian ngắn nên làm không hết tất cả các nhiệm vụ;  Áp dụng kiến thức khó khăn;  Tất cả các thành viên trong nhóm chưa hoạt động hết mình, chỉ có một vài bạn tích cực.  Câu 13  Cho thêm nhiều thời gian cho mỗi nhiệm vụ;  Giáo viên hướng dẫn kỹ hơn;  Học sinh học tập tích cực, giáo viên cần động viên, nhắc nhở học sinh nhiều hơn. 52 Kết quả từ phiếu thăm dò ý kiến GV: Câu 1: Các phương pháp dạy học tích cực mà Thầy/Cô đã sử dụng trong dạy học là (có thể chọn nhiều phương pháp) : Đàm thoại và thảo luận nhóm. Câu 2: Mức độ sử dụng các phương pháp đã chọn ở câu 1 của Thầy/Cô là (chỉ chọn một câu trả lời): Thường xuyên. Câu 3: Các phương tiện dạy học đã được Thầy/Cô sử dụng là (có thể chọn nhiều phương tiện): Tranh, ảnh dạy học, bảng học tập nhóm, phần mềm chuyên dụng cho môn học Câu 4: Các dạng bài tập được Thầy/Cô sử dụng là (có thể chọn nhiều dạng) : Bài tập có nội dung thực tế, bài tập áp dụng, bài tập tổng hợp, bài tập đồ thị Câu 5: Thầy cô đánh giá thế nào về việc sử dụng các biểu diễn trực quan động hỗ trợ học sinh khám phá các kiến thức hình học phẳng? Các biểu diễn trực quan động hỗ trợ khá nhiều cho học sinh khám phá các kiến thức hình học phẳng. Câu 6: Trong các tiết dạy, thầy cô có thường đưa các biểu diễn trực quan động hỗ trợ học sinh khám phá các kiến thức hình học phẳng không? Nếu có thì gồm những nội dung nào? Có Bao gồm những nội dung: Trong phần tìm quỹ tích, mô tả các hình ảnh thực tế có hình dạng elip, parabol... Câu 7: Thầy cô có suy nghĩ như thế nào về việc ứng dụng CNTT trong dạy học toán? Việc ứng dụng CNTT trong dạy học cho một số kiến thức đã giúp nhiều cho học sinh lĩnh hội kiến thức nhưng không nên quá lạm dụng CNTT . Câu 8: Theo thầy cô việc thiết kế các mô hình toán hỗ trợ có giúp học sinh khám phá được các kiến thức toán (đặc biệt kiến thức hình học phẳng) có cần thiết không? Tại sao? Có Vì việc khám phá các kiến thức có sự hỗ trợ của các biểu diễn trực quan động sẽ giúp học sinh tiếp thu tốt hơn, phát hiện được vấn đề, tìm cách giải quyết vấn đề, hiểu được bản chất vấn đề sâu sắc hơn. 53 Câu 9: Thầy cô hãy nêu ý kiến đề xuất để góp phần nâng cao chất lượng sử dụng các biểu diễn trực quan động trong việc hỗ trợ học sinh khám phá các kiến thức hình học phẳng ở THPT? Để góp phần nâng cao chất lượng sử dụng các biểu diễn trực quan động trong việc hỗ trợ học sinh khám phá các kiến thức hình học phẳng thì ngoài việc cho học sinh thấy rõ những hình ảnh đó, giáo viên cần giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm của bài dạy (hai lĩnh vực này phải hỗ trợ nhau). Nhận xét:  Giáo viên đã có ý thức trong việc đổi mới phương pháp dạy học, việc làm này có ý nghĩa rất lớn trong việc áp dụng các biểu diễn trực quan động để hỗ trợ học sinh khám phá kiến thức toán học nói chung và kiến thức hình học phẳng nói riêng.  Tuy nhiên, do điều kiện khách quan hay do đặc thù của khối kiến thức nên việc sử dụng các biểu diễn trực quan động vẫn gặp nhiều hạn chế. Đa số giáo viên vẫn quen với cách dạy truyền thống, chỉ sử dụng một số mô hình vật chất đơn giản để khái quát lên định nghĩa, tính chất...Trong khi đó, nếu sử dụng tốt các mô hình biểu diễn trực quan động sẽ giúp học sinh khám phá các kiến thức toán học tốt hơn. 2.2.2 Trả lời cho hỏi nghiên cứu thứ hai Thông qua kết quả thực nghiệm nêu trên có thể thấy được các tác động tích cực của biểu diễn trực quan động như sau:  HS quan sát, khám phá, thao tác trên các đối tượng hình học động để hiểu sâu hơn bản chất của các kiến thức hình học phẳng. Bằng cách này, HS dễ dàng chấp nhận các kết quả toán học hơn là thắc mắc, hoài nghi. Chẳng hạn, từ bài làm của HS ở PHT số 2 (hình 31) ta thấy, bằng việc thao tác trên mô hình, HS thấy được sự biến thiên và bất biến của các đối tượng.  Tăng cường khả năng đưa ra các phỏng đoán: HS có nhiều cơ hội để chia sẻ, trao đổi và thảo luận, những phỏng đoán toán học của mình. Các em 54 được khuyến khích tìm tòi, khám phá các kiến thức hình học phẳng theo nhiều cách. Khi làm việc với các mô hình của bài toán quỹ tích, cho A di động, HS dự đoán quỹ tích của M là đường tròn, đường elip và trao đổi với các trong nhóm. M F1 F2 A  HS dễ dàng kiểm chứng các giả thuyết: Sau khi đưa ra phỏng đoán, trao đổi thảo luận với các bạn trong nhóm, HS thấy rằng cần phải kiểm chứng những giả thuyết đó để từ đó đưa ra kết luận chính xác hơn. Ở hình 31, với sự hướng dẫn của GV, HS kiểm chứng được các tỷ số · · ·, ,sin sin sin a b c BAC ABC BAC là không đổi và cùng bằng một hằng số.  Phát triển năng lực tự học: Biểu diễn trực quan động dưới sự hướng dẫn của GV sẽ kích thích, gây hứng thú cho HS tìm tòi, khám phá, đào sâu kiến thức bằng các khám phá xa hơn. Theo thống kê của thực nghiệm, nếu có biểu diễn trực quan động hỗ trợ thì có 56,25% HS cảm thấy hiểu và nhớ kiến thức lâu hơn, có 43,75% HS cảm thấy hướng thú. Về phía GV, thầy cô cho rằng việc ứng dụng CNTT trong dạy học cho một số kiến thức hình học phẳng đã giúp nhiều cho HS lĩnh hội kiến thức.  Phát triển khả năng làm việc theo nhóm: Việc xây dựng các biểu diễn hình học động hỗ trợ HS khám phá các kiến thức hình học phẳng tạo ra nhu cầu cần phải chia sẻ, trao đổi kinh nghiệm toán học ở học sinh. Theo thống kê từ phiếu thăm dò ý kiến HS, có 68,75% HS hoàn thành PHT 55 bằng cách trao đổi với bạn bè và thao tác trên mô hình biểu diễn trực quan động.  Bước đầu khơi gợi tư duy logic, tư duy sáng tạo, tư duy phê phán của HS: Các biểu diễn trực quan động khuyến khích HS đưa ra những dự đoán toán học một cách sáng tạo, trình bày các kết quả một cách tường minh logic, biết bày tỏ quan điểm của cá nhân về một vấn đề toán học với các bạn trong lớp.  Sáng tạo được thể hiện trong mô hình xây dựng định lý cosin (hình 5) với mô hình được thiết kế, đòi hỏi HS phải sáng tạo, logic trong cách lấp ghép để từ đó đi đến biểu thức 2 2 2 2 cosc a b ab C   .  Bên cạnh đó, ở mô hình bàn bi-a đòi hỏi HS xem xét các mối liên hệ giữa vị trí ,A B từ đó đưa ra các trường hợp có thể thực hiện được theo yêu cầu bài toán. Ở mô hình này, 1 4 2 3 BA P  HS phải thấy được tính hợp lý trong quá trình đưa ra những phán đoán tức là với vị trí M như thế nào thì có thể đánh quả banh vào vị trí B , với vị trí như thế, HS phát hiện được quy tắc gì? Bằng lối tư duy như vậy, HS dần dần nhận ra được lời giải và ghi nhớ sâu một phương pháp. 2.3 Kết quả cho câu hỏi nghiên cứu thứ ba Câu hỏi nghiên cứu thứ ba: Con đường khám phá các kiến thức hình học phẳng của HS với sự hỗ trợ của biểu diễn trực quan động diễn ra như thế nào? Từ thực nghiệm, dự đoán con đường khám phá các kiến thức hình học phẳng của HS với sự hỗ trợ của các biểu diễn trực quan động. Trước hết, HS quan sát mô hình, dựa vào gợi ý của GV, HS nhận thấy rằng cần phải thực hiện một số thao tác như kéo rê một đối tượng hãy tính độ dài của một đoạn thẳng, tính tổng và xem sự thay đổi của tổng số đó như thế nào 56 khi HS tiến hành một số thao tác, hoặc các em so sánh các đối tượng, đưa mô hình bài toán về dạng đơn giản, quen thuộc. Sau đó, tổng quát thành vấn đề đang quan tâm. Thông qua một số thao tác trên, kích thích tư duy của HS, các em thiết lập mối liên hệ giữa các đối tượng để đưa ra những phỏng đoán ban đầu. Từ đó, tiến hành thảo luận, nêu lên ý kiến của mình, bác bỏ ý kiến mà các em cho rằng không chính xác. Và để kiểm chứng tính đúng sai của các phỏng đoán đó các em lại thao tác với mô hình. Sau đó, HS tìm cách lý giải và chứng minh các giả thuyết toán học một cách đầy đủ và chính xác. 3. Tóm tắt Tóm tắt các kết quả thu được, nhấn mạnh các kết quả quan trọng. Từ đó rút ra kết luận được nêu ở chương 5. 57 Chương 5: KẾT LUẬN, LÝ GIẢI VÀ ỨNG DỤNG 1. Giới thiệu Trong chương này chúng tôi sẽ đưa ra các kết luận thu được từ các kết quả nghiên cứu cho các câu hỏi nghiên cứu ở chương 4. Ngoài ra, lý giải các kết quả nghiên cứu đó. Cuối cùng là phần ứng dụng của khóa luận. 2. Kết luận 2.1 Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất: Xây dựng những biểu diễn trực quan động trong hình học phẳng như thế nào để GV và HS có thể sử dụng nhằm đạt được những hiệu quả trong giảng dạy và học tập? Thông qua thực nghiệm cho thấy, để đạt được hiệu quả trong giảng dạy và giáo dục thì cần xây dựng các biểu diễn hướng hình học hướng tới các yếu tố cơ bản sau:  Muốn giải quyết được các bài toán, trước hết các em phải có một nền tảng lý thuyết thật vững chắc. Do đó, giáo viên cần mang đến cho các em các hoạt động tìm kiếm và sử dụng các biểu diễn trực quan động gắn liền với các nội dung cần thiết liên quan đến kiến thức hình học phẳng.  Xây dựng các mô hình động có tính trực quan, học sinh có thể thao tác được và cảm thấy gần gũi.  Với sự trợ giúp của công nghệ thông tin và các phần mềm hỗ trợ, giáo viên cần xây dựng các mô hình động đúng, chính xác với nội dung cần truyền đạt và phù hợp với mức độ nhận thức của học sinh để các em có thể tự khám phá tri thức cho riêng mình bằng suy luận chứ không phải toán là một cái gì đó “đã được làm sẵn”.  Yêu cầu học sinh đưa ra những lập luận có cơ sở và lôgic cho dự đoán của mình, tạo thói quen sáng tạo các dự đoán có lý. 58  Cho các em làm việc theo nhóm, tạo điều kiện để các em giao tiếp và giải thích các việc làm của mình, chia sẽ và học tập các phương án mới từ các bạn khác.  Khơi gợi sự thích thú của học sinh trong quá trình khám phá kiến thức hình học phẳng. Kiến thức toán học được khám phá bằng sự nỗ lực của bản thân sẽ là động lực để các em đam mê nghiên cứu, tìm tòi, sáng tạo và quyết tâm theo đuổi những nhiệm vụ toán học. 2.2 Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai Câu hỏi nghiên cứu thứ hai: Các biểu diễn trực quan động có tác động tích cực trong việc hỗ trợ HS khám phá các kiến thức hình học phẳng ra sao? Qua quá trình tìm tòi tài liệu, quá trình tìm hiểu về nền tảng lịch sử, nền tảng lý thuyết cùng với kết quả của thực nghiệm, đã thấy được các tác động tích cực của các biểu diễn trực quan động trong việc hỗ trợ HS khám phá các kiến thức hình học phẳng như sau:  Học sinh làm việc với các biểu diễn trực quan động nhằm mô tả các hoạt động xảy ra trong tình huống của bài toán, qua đó đạt được việc hiểu sâu hơn về các khái niệm, định lý…  Tìm kiếm và sử dụng các biểu diễn trực quan động để giải quyết các vấn đề trong thực tế là cơ hội để học sinh nhận thác được vai trò của toán học trong cuộc sống.  Khi sử dụng các biểu diễn trực quan động trong giờ học giúp học sinh tham gia vào việc học tích cực và hứng thú hơn.  HS chấp nhận kết quả dễ dàng hơn;  Tăng cường khả năng đưa ra phỏng đoán của HS;  Dễ dàng kiểm chứng các giả thuyết và thực hiện được các phép tính rườm rà;  Phát triển năng lực tự học;  Phát triển khả năng làm việc theo nhóm;  Bước đầu khơi gợi tư duy logic, tư duy sáng tạo và tư duy phê phán cho HS. 59 2.3. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ ba Câu hỏi nghiên cứu thứ ba: Con đường khám phá các kiến thức hình học phẳng của HS với sự hỗ trợ của biểu diễn trực quan động diễn ra như thế nào? Từ kết quả của thực nghiệm đã thấy được con đường khám phá các kiến thức hình học phẳng của HS với sự hỗ trợ của biểu diễn trực quan động. Với sự hỗ trợ của các biểu diễn trực quan động, HS quan sát, thao tác, khám phá lên các đối tượng hình học, từ đó đưa ra những phỏng đoán, các giả thuyết toán học, các mối liên hệ trong các đối tượng, kiếm chứng các giả thuyết toán học dựa trên mô hình và tìm cách lý giải, chứng minh các giả thuyết toán học đó, từ đó khám phá được các kiến thức hình học phẳng. 3. Lý giải 3.1. Lý giải cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất: Xây dựng những biểu diễn trực quan động trong hình học phẳng như thế nào để GV và HS có thể sử dụng nhằm đạt được những hiệu quả trong giảng dạy và học tập? Thông thường , HS học các nội dung toán có tính quy trình, học cách giải bài toán bằng các thao tác trên các biểu diễn kí hiệu. HS thiếu những cơ hội để hiểu toán thông qua các mô hình biểu diễn trực quan hình học, các vấn đề mang tính thách thức, đòi hỏi sự sáng tạo và tư duy toán học ở mức độ cao. Như chúng ta đã biết bốn mục đích học tập của UNESCO: Học để biết, học để làm, học để chung sống, học để tự khẳng định mình. Từ đó, cũng cho chúng ta Quan sát Phỏng đoán Chứng minh Tri thức mới Thao tác Kiểm chứng 60 thấy ý nghĩa của việc học toán. Do đó, trong xây dựng các biểu diễn trực quan động phải làm sao đáp ứng những mục đích cơ bản giúp HS phát huy tính chủ động, tính sáng tạo nhằm đạt được hiểu quả trong giảng dạy và học tập. 3.2. Lý giải cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai Câu hỏi nghiên cứu thứ hai: Các biểu diễn trực quan động có tác động tích cực trong việc hỗ trợ HS khám phá các kiến thức hình học phẳng ra sao? Để lý giải cho câu hỏi nghiên cứu này, tôi muốn trả lời vấn đề sau: Lí do nào để các biểu diễn trực quan động được thừa nhận như là một công cụ giúp HS nâng cao khả năng khám phá các kiến thức hình học phẳng?  Trước hết, các kiến thức hình học phẳng với sự hỗ trợ của các biểu diễn trực quan động sẽ tạo ra tính hấp dẫn, sự hứng thú cho HS tham gia khảo sát toán nhờ các tính " trực quan" và " động". Các mô hình hình học trực quan giúp HS hiểu sâu hơn, thấy rõ bản chất của những kiến thức hình học phẳng phức tạp, trừu tượng.  Ngoài ra, các biểu diễn trực quan động tạo ra môi trường để HS kiến tạo tri thức qua việc kiểm chứng các phỏng đoán của chính mình và lôi cuốn các em giải thích tại sao một kết quả nào đó là đúng, là sai. Tuy nhiên, trong môi trường này, HS sẽ nhanh chóng chấp nhận các kết quả mà không cần tìm kiếm cách giải thích thuyết phục và đáng tin cậy hơn. Vì vậy, điều quan trọng đối với GV là phải đặt câu hỏi cho HS rằng : Vì sao các em nghĩ kết quả đó là đúng, là sai. HS thừa nhận kết quả trên một cách dễ dàng thì những câu hỏi này sẽ thôi thúc các em tranh luận, khám phá thay vì chỉ kiếm chứng. 3.3. Lý giải cho câu hỏi nghiên cứu thứ ba Câu hỏi nghiên cứu thứ ba: Con đường khám phá các kiến thức hình học phẳng của HS với sự hỗ trợ của biểu diễn trực quan động diễn ra như thế nào? HS chỉ có thể chiếm lĩnh được tri thức toán học của nhân loại và phát triển tư duy của mình thông qua các hoạt động. Hoạt động của HS phải được diễn ra trong một môi trường có sự tương tác giữa ba đối tượng: HS, GV và tri thức toán học. Trong môi trường này, HS được tự do sáng tạo, bộc lộ những mặt 61 mạnh, mặt yếu của bản thân. Các em được tự do đưa ra ý kiến, bày tỏ quan điểm của mình về một vấn đề toán học . Từ đó, những gì HS nhận được là tri thức toán học do chính các em tự mình hình thành, khám phá . Do đó, khi đứng trước một kiến thức hình học phẳng với công cụ hỗ trợ là các biểu diễn trực quan động việc đầu tiên HS thực hiện là quan sát, thao tác trên các mô hình biểu diễn. HS được tự do khám phá để hình thành kiến thức dựa trên hoạt động của cá nhân. HS với tư cách là chủ thể nhận thức, chủ thể của hoạt động học phải tự mình tìm ra kiến thức bằng hoạt động của chính mình dưới sự hướng dẫn của GV. Việc quan sát, thao tác trên mô hình giúp HS nhận ra được các mối liên hệ giữa các đối tượng hình học, mối quan hệ giữa cái đã cho với cái cần chứng minh, nhận ra các quy luật toán học. Sau khi quan sát và thao tác trên mô hình, HS đưa ra các phỏng đoán và tìm cách kiểm nghiệm các phỏng đoán đó. Nếu học sinh can đảm theo đuổi với những thắc mắc của mình và GV hết lòng trợ giúp HS làm sáng tỏ câu hỏi để có những khám phá xa hơn thì hiệu quả sẽ được nâng cao. Cuối cùng, HS tìm cách chứng minh các kết quả toán học đã được kiểm nghiệm bằng cách lập luận logic, chính xác. Như vậy, có thể khẳng định rằng: Việc sử dụng các biểu diễn trực quan động trở thành chất liệu tạo nên môi trường giúp HS tương tác một cách tích cực thông qua các hoạt động, giúp định hướng cho HS hình thành, khám phá và tiếp cận các kiến thức hình học phẳng theo con đường: Quan sát thao tác  Phỏng đoán  Kiểm chứng  Chứng minh  Tri thức mới. 4. Ứng dụng 4.1. Ứng dụng cho thực hành Khóa luận là một tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên và học sinh. Đối với giáo viên: Đây là công cụ để đưa vào bài giảng, xây dựng kế hoạch bài học để có những bài giảng sinh động, trực quan. Đối với học sinh sẽ giúp học sinh khám phá kiến thức hình học phẳng, các em vận dụng sáng tạo trong việc thiết kế. 62 4.2. Ứng dụng cho các nghiên cứu khác Với xu hướng nghiên cứu sâu hơn, tôi mong muốn xây dựng thêm nhiều mô hình biểu diễn trực quan động để HS và GV có thể sử dụng nhằm đạt hiệu quả cao trong giáo dục và học tập. Trên cơ sở các mô hình đã được thiết kế, cần phải đặt ra những câu hỏi gợi ý mang tính kích thích tìm tòi, các câu hỏi chỉ mang tính gợi ý mà khi HS khám phá được kiến thức sẽ cảm thấy thích thú và xem đó như là thành quả của mình. Với xu hướng mở rộng, tôi mong muốn xây dựng thư viện trực tuyến gồm các biểu diễn trực quan động hỗ trợ học sinh khám phá các kiến thức hình học phẳng. Từ đó, GV, HS dễ dàng trao đồi, thảo luận và chia sẻ trong việc thiết kế các biểu diễn trực quan động bằng công cụ phần mềm. 63 KẾT LUẬN Với sự nổ lực hết mình và sự hướng dẫn tận tình của PGS. TS Trần Vui và Th. S Nguyễn Đăng Minh Phúc chúng tôi đã hoàn thành đề tài "Biểu diễn trực quan động hỗ trợ HS khám phá một số kiến thức hình học phẳng". Qua đây, chúng tôi được nghiên cứu sâu hơn phần mềm GSP, biết được để thiết kế một mô hình hỗ trợ là khó khăn và phải đạt được một số yếu tố cơ bản như tính trực quan, tính chính xác, tính gần gũi, tính thực tế.... Đồng thời, tôi cũng biết đến "Chương trình đánh giá HS quốc tế PISA", vai trò của biểu diễn trực quan động trong việc hỗ trợ dạy học toán. Khóa luận còn cho chúng tôi thấy các tác động tích cực của phần mền toán học trong việc hỗ trợ HS khám phá một số kiến thức hình học phẳng. Đặc biệt, khóa luận phần nào giải quyết được nổi trăn trở là làm thế nào biết được con đường khám phá toán của HS. Tuy nhiên, người GV không nên lạm dụng CNTT, mang tính chất trình diễn khiến cho quá trình học tập của HS trở nên thụ động và kém hiệu quả, không phải mọi kiến thức đều sử dụng CNTT mà một số kiến thức nếu dạy học theo phương pháp truyền thống sẽ thu lại hiệu quả cao hơn. Cụ thể, khóa luận đã khai thác được những mặt sau: Chương 1, khóa luận đã cho chúng ta thấy được nhu cầu nghiên cứu, mục đích nghiên cứu và ý nghĩa của việc nghiên cứu. Chương 2, khóa luận đưa ra lịch sử của vấn đề nghiên cứu để thấy được công việc mình đang làm là một vấn đề đáng quan tâm. Bên cạnh đó, khóa luận cũng trình bày nền tảng lý thuyết, thấy được vai trò của lý thuyết kiến tạo, biểu diễn bội, biểu diễn trực quan động đối với việc dạy và học toán. Chương 3, khóa luận đặt ra phương pháp và quy trình thu thập và phân tích dữ liệu. Từ đó, vạch định một cách khoa học và hệ thống cho việc trả lời các câu hỏi nghiên cứu. 64 Chương 4, khóa luận đã đưa ra các bài toán cụ thể mà có thể sử dụng phần mềm động để xây dựng các mô hình nhằm khám phá một số kiến thức hình học phẳng. Kết quả của thực nghiệm sư phạm sẽ cho thấy tác động tích cực của biểu diễn trực quan động và con đường khám phá kiến thức hình học phẳng của HS. Chương 5, khóa luận đưa ra những kết luận quan trọng, những lý giải mang tính thuyết phục và cuối cùng là những ứng dụng cho thực hành, ứng dụng cho các nghiên cứu khác. Chúng tôi nhận thấy, các biểu diễn trực quan động là một công cụ để HS khám phá kiến thức hình học phẳng rất hiệu quả. Chúng tôi mong muốn sẽ nghiên cứu sâu hơn các phần mềm động để thiết kế nhiều hơn nữa các mô hình phục vụ cho bài giảng không chỉ của hình học phẳng mà hình học không gian, đại số, giải tích...tạo cơ hội cho HS khám phá kiến thức một cách dễ dàng hơn, hứng thú hơn và hiệu quả hơn. Khóa luận này là một tài liệu tham khảo bổ ích cho GV và HS. Đồng thời cũng sẽ là tài liệu tham khảo cho các khóa luận sau này. Khóa luận chắc chắn không thể tránh những thiếu sót, chúng tôi mong, các khóa luận khác sẽ nghiên cứu những vấn đề mà chúng tôi chưa đề hoàn thành tốt. 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1. Vũ Như Cương (cb), Phạm Vũ Khuê, Trần Hữu Nam (2006), Bài tập hình học 10 nâng cao, NXB Giáo dục. 2. Dương Vĩnh Lợi (2010), Biểu diễn trực quan động hỗ trợ học sinh khám phá một số bài toán có biểu diễn đại số, luận văn thạc sĩ, Đại học Sư phạm, Đại học Huế. 3. Nguyễn Đăng Minh Phúc (2010), Thiết kế thiết bị dạy học sử dụng biểu diễn bội hỗ trợ học sinh khám phá kiến thức đạo hàm, Tạp chí thiết bị giáo dục, BGD & ĐT, ISSN 1859 – 0810, Số 59 (tháng 7 – 2010), tr. 21-22 & 41. 4. Nguyễn Đăng Minh Phúc (2010), Đánh giá trong giáo dục toán, giáo trình dành cho sinh viên khoa toán, Đại học Sư phạm, Đại học Huế. 5. Nguyễn Đăng Minh Phúc (2010), Biểu diễn bội và vai trò của nó trong dạy học toán, 6. Đoàn Quỳnh (tbt), Văn Như Cương (cb), Phạm Vũ Khuê, Bùi Văn Nghị (2006), Hình học 10 nâng cao, NXB Giáo dục. 7. Đoàn Quỳnh (tbt), Văn Như Cương (cb), Phạm Khắc Ban, Tạ Mân (2006), Hình học 11 nâng cao, NXB Giáo dục. 8. Trần Vui (2006), Dạy học có hiệu quả môn toán theo những xu hướng mới, tài liệu dành cho học viên Cao học chuyên ngành lý luận và phương pháp dạy học môn toán, Đại học Sư phạm, Đại học Huế. 9. Trần Vui (cb), Lê Quang Hùng (2006), Thiết kế các mô hình dạy học toán trung học phổ thông với the Geometer’s Sketchpad, NXB Giáo dục, Hà Nội. 10. Trần Vui (2006), Những xu hướng mới trong dạy học toán, bài giảng cho học viên cao học, Đại học Sư Phạm, Đại học Huế. 66 11. Trần Vui (chủ biên), Lương Hà, Lê Văn Liêm, Hoàng Tròn, Nguyễn Chánh Tú (2005), Một số xu hướng đổi mới trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông, giáo trình bồi dưỡng thường xuyên giáo viên trung học phổ thông chu kì III, NXB giáo dục, Hà Nội. 12. Trần Vui (2008), Tích hợp công nghệ thông tin với nghiên cứu bài học để giúp giáo viên toán tự nâng cao năng lực và hoàn thiện nghiệp vụ sư phạm, ứng dụng CNTT trong đổi mới phương pháp và nâng cao chất lượng giáo dục, Sở Giáo dục và Đào tạo Thừa Thiên Huế. Tiếng Anh 13. Arcavi, A. (2003), “The role of visual representations in the learning of mathematics”, Educational Studies in Mathematics, Vol. 52, pp. 215 – 214. 14. English, L. D. (2004), Mathematical and analogical reasoning of young learners, Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum. 15. Lemke, M., Sen, A., Pahlke, E., Partelow, L., Miller, D., William, T., Kastberg, D., & Jocelyn, L. (2004), International Outcomes of Learning in Mathematics Literacy and Problem Solving: PISA 2003 Results from the U.S. Perspective, NCES 2005-003, National Center for Education Statisics, Institute of Education Sciences, U.S. Department of Education, Washington, DC. 16. Key Curriculum Press(2008), Discovering Geometry, An Investigative Approach, Key college Publishing. 17. OECD (2003), The PISA 2003 Assessment Framework – Mathematics, Reading, Science and Problem Solving Knowledge and Skills, Paris. PHỤ LỤC PHỤ LỤC 1: KẾ HOẠCH BÀI DẠY Sinh viên lên lớp: Trần Thị Thanh Nhàn. Lớp thực nghiệm: 10A2 Trường THPT Hai Bà Trưng. Thời gian: tiết 9 ngày 09 tháng 04 năm 2011. I. Mục đích, yêu cầu 1. Mục đích  Thực nghiệm nhằm thấy được tác động tích cực của biểu diễn trực quan động trong việc hỗ trợ học sinh khám phá một số kiến thức hình học phẳng;  Thực nghiệm tìm kiếm con đường khám phá các kiến thức hình học phẳng với sự hỗ trợ của các biểu diễn trực quan động. 2. Yêu cầu  Nghiêm túc, chất lượng và khách quan khi tiến hành thực nghiệm. II. Chuẩn bị 1. Mô hình  Mô hình xây dựng định lý sin trong tam giác;  Mô hình hai bài toán quỹ tích. Bài toán 1: Cho đường tròn tâm 2F bán kính 2a, A là một điểm di động trên đường tròn. Trong đường tròn lấy điểm cố định 1F . Trung trực đoạn 1AF cắt 2AF tại M. Tìm quỹ tích điểm M? Bài toán 2: Cho hai đường tròn trong nhau 1( )C có tâm 1O bán kính 1r , 2( )C có tâm 2O bán kính 2r , 1 2O O . Chứng minh quỹ tích của các đường tròn tiếp xúc với cả hai đường tròn trên là một elip. 2. Phiếu học tập và phiếu thăm dò ý kiến của học sinh và giáo viên. III. Tiến trình lên lớp Lớp thực nghiệm bao gồm 4 nhóm, mỗi nhóm 4 thành viên. Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Tập trung quan sát; Đưa ra hướng giải quyết vấn đề theo các câu hỏi trong phiếu học tập; Hoạt động nhóm; 1. Mô hình xây dựng định lý sin trong tam giác Trình chiếu và giới thiệu mô hình; Thao tác mô hình theo hướng giải quyết của học sinh; Theo dõi; Thu phiếu học tập 2. Bài toán 1 và bài toán 2 Tiến hành tương tự như các bước của mô hình xây dựng định lý sin trong tam giác. Sau khi hoàn thành phiếu học tập, tôi sẽ tiến hành phát phiếu thăm dò ý kiến học sinh và giáo viên. PHỤ LỤC 2: PHIẾU THĂM DÒ Ý KIẾN HỌC SINH Câu 1: Trước đây em đã học các kiến thức hình học phẳng có sự hỗ trợ của các hình vẽ được thiết kế trên máy vi tính chưa? 1. Chưa bao giờ 2.Một vài lần 3. Thỉnh thoảng 4. Thường xuyên Câu 2: Những điều sau đây xảy ra thường xuyên như thế nào trong lớp học? 1: Luôn luôn; 2: Hơi thường xuyên; 3: Thỉnh thoảng ; 4: Không bao giờ Câu hỏi Mức độ 1 2 3 4 1. Giáo viên chỉ cho chúng em giải các bài toán như thế nào. 2. Chúng em chép bài giảng trên bảng vào vở. 3. Chúng em dùng máy vi tính. 4. Chúng em dùng các sự việc ở cuộc sống hằng ngày trong việc giải các vấn đề toán học. 5. Chúng em khám phá kiến thức có sự hỗ trợ của phần mềm toán. Câu 3: Đánh dấu X vào ô có/ không cho các câu hỏi sau: Câu hỏi Có Không 1. Em có thường nhớ một kiến thức hình học phẳng thông qua hình ảnh của nó không? 2. Em có thích tiếp thu một kiến thức bằng cách khám phá nó với sự hỗ trợ của các hình ảnh thao tác được trên vi tính không? 3. Em có thích tiếp thu một kiến thức một cách áp đặt không? 4. Em có thích thầy cô giáo viên làm sẵn đáp án một bài toán trên bảng cho em chép vào vở không? 5. Đối với một kiến thức, nếu tự mình tìm tòi thì học thuộc nhanh hơn do thầy cô cung cấp không? Câu 4: Em hãy đánh dấu vào các mức độ thích hợp sau đây 1. Rất đồng ý; 2. Đồng ý; 3. Không đồng ý; 4. Rất không đồng ý. Mức độ Câu hỏi 1 2 3 4 1. Hình học là môn học khó; 2. Em cảm thấy khó khăn khi giải quyết các bài toán quỹ tích; 3. Em cảm thấy để xây dựng một hình ảnh trong đầu về định lý sin trong tam giác nhằm mục đích nhớ lâu là rất khó; 4. Em giải các bài toán quỹ tích theo cách mà em đã gặp trước đây; 5. Em giải các bài toán quỹ tích theo phân tích logic; Câu 5: Em thấy định lý sin trong tam giác được trình bày nếu có mô hình thì như thế nào với không có mô hình? 1. Làm cho học sinh hiểu và nhớ lâu hơn; 2. Hứng thú hơn; 3. Giống nhau; 4. Phức tạp hơn. Câu 6: Khi giải quyết các bài toán quỹ tích , việc đầu tiên em thường làm gì? Câu 7: Em đánh giá các câu hỏi gợi ý được đưa ra trên các phiếu học tập như thế nào ? 1. Rất khó ; 2. khó ; 3. Vừa sức ; 4. Dễ Phiếu học tập 1: 1 2 3 4 Phiếu học tập 2: 1 2 3 4 Câu 8: Em thấy các hình vẽ GV đưa ra để hỗ trợ các em khám phá các kiến thức hình học như thế nào? 1. Rất dễ hiểu; 2. Dễ hiểu; 3. Bình thường; 4. Không cần thiết Hình vẽ của nội dung 1: Khám phá định lý sin 1 2 3 4 Hình vẽ của nội dung 2: Khám phá định nghĩa elip 1 2 3 4 Câu 9: Em cảm thấy các bài toán quỹ tích có hình ảnh trực quan thì như thế nào so với không có hình ảnh trực quan? 1. Dễ hiểu hơn 2. Hứng thú hơn 3. Giống nhau 4. Tệ hơn Câu 10: Cách thực hiện các hoạt động trên phiếu học tập của em như thế nào? 1. Tự mình hoàn thành các hoạt động trong phiếu học tập nhờ tương tác với các biểu diễn trực quan hình học động 2. Nhờ sự gợi ý của giáo viên và tương tác với các mô hình biểu diễn trực quan hình học động 3. Trao đồi với bạn bè và tương tác với các mô hình biểu diễn hình học động 4. Hoàn toàn nghe ý kiến của bạn Câu 11: Em đã tham gia quá trình khảo sát vừa qua như thế nào? 1. Rất tích cực 2. Tích cực 3. Ít tích cực 4. Không tích cực Câu 12: Những khó khăn nào em gặp phải khi thực hiện các nhiệm vụ học tập trên mỗi phiếu học tập? Câu 13: Theo em cần làm gì để giải quyết các khó khăn trên? PHỤ LỤC 3: PHIẾU THĂM DÒ Ý KIẾN GIÁO VIÊN Câu 1: Các phương pháp dạy học tích cực mà Thầy/Cô đã sử dụng trong dạy học là (có thể chọn nhiều PP) Đàm thoại Trò chơi học tập Nghiên cứu trường hợp Nghiên cứu độc lập Thảo luận nhóm Ủng hộ - phản đối Sơ đồ tư duy Câu 2 : Mức độ sử dụng các phương pháp đã chọn ở câu 1 của Thầy/Cô là (chỉ chọn một câu trả lời): Rất thường xuyên Thường xuyên Thỉnh thoảng Khá thường xuyên Câu 3 : Các phương tiện dạy học đã được Thầy/Cô sử dụng là (có thể chọn nhiều phương tiện): Thí nghiệm Bài giảng điện tử Phim dạy học Tranh, ảnh dạy học Phiếu học tập Mô hình vật chất Bảng học tập cá nhân Bảng học tập nhóm Internet Phần mềm chuyên dụng cho môn học Mục khác: Câu 4 : Các dạng bài tập được Thầy/Cô sử dụng là (có thể chọn nhiều dạng) Bài tập có nội dung thực tế Bài tập áp dụng Bài tập tổng hợp Bài tập thí nghiệm Bài tập đồ thị Mục khác: Câu 5: Thầy cô đánh giá thế nào về việc sử dụng các biểu diễn trực quan động hỗ trợ học sinh khám phá các kiến thức hình học phẳng? Câu 6: Trong các tiết dạy, thầy cô có thường đưa các biểu diễn trưc quan động hỗ trợ học sinh khám phá các kiến thức hình học phẳng không? Nếu có thì gồm những nội dung nào? Câu 7: Thầy cô có suy nghĩ như thế nào về việc ứng dụng CNTT trong dạy học toán? Câu 8: Theo thầy cô việc thiết kế các mô hình toán hỗ trợ có giúp học sinh khám phá được các kiến thức toán (đặc biệt kiến thức hình học phẳng) có cần thiết không? Câu 10: Thầy cô hãy nếu ý kiến đề xuất để góp phần nâng cao chất lượng sử dụng các biểu diễn trực quan động trong việc hỗ trợ học sinh khám phá các kiến thức hình học phẳng ở THPT.