Đề cương thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2009

¤N TËP M«n to¸n Biên soạn: Đỗ Cao Long THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2009 A. CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu Nội dung kiến thức Điểm I · Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số. · Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: Chiều biến thiên của hàm số. Cực trị. Tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị của hàm số. Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước; tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng);... 3,0 II · Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit. · Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Tìm nguyên hàm, tính tích phân. · Bài toán tổng hợp. 3,0 III Hình học không gian (tổng hợp): Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu. 1,0 II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó (phần 1 hoặc phần 2). 1. Theo chương trình Chuẩn: Câu Nội dung kiến thức Điểm IV.a Phương pháp toạ độ trong trong không gian: - Xác định toạ độ của điểm, vectơ. - Mặt cầu. - Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng. - Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. 2,0 V.a · Số phức: Môđun của số phức, các phép toán trên số phức. Căn bậc hai của số thực âm. Phương trình bậc hai hệ số thực có biệt thức D âm. · Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay. 1,0 2. Theo chương trình Nâng cao: Câu Nội dung kiến thức Điểm IV.b Phương pháp toạ độ trong trong không gian: - Xác định toạ độ của điểm, vectơ. - Mặt cầu. - Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng. - Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. 2,0 V.b · Số phức: Môđun của số phức, các phép toán trên số phức. Căn bậc hai của số phức. Phương trình bậc hai với hệ số phức. Dạng lượng giác của số phức. · Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng 2 + + = + ax bx c y px q và một số yếu tố liên quan. · Sự tiếp xúc của hai đường cong. · Hệ phương trình mũ và lôgarit. · Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.. 1,0 ┼- 2Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 3 4 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ Chuyên đề I: Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số. Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số. 1. Chiều biến thiên của hàm số. Lý thuyết: Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số ( )y f x= 1. Tìm tập xác định 2. Tính đạo hàm ( )y f x¢ ¢= . Giải phương trình ( ) 0f x¢ = để tìm các nghiệm ( )1,2...,ix i n= . 3. Sắp xếp các nghiệm ix theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải và lập bảng biến thiên của hàm số. 4. Kết luận (hàm số đồng biến trên khoảng mà ( ) 0f x¢ > và ngược lại). Ví dụ: Xét chiều biến thiên của hàm số 24y x= - Gợi ý giải: · Đ/k xác định: 24 0x- ³ 2 4 2 2x xÛ £ Û - £ £ Tập xác định của hàm số [ ]2;2D = - . · Đạo hàm: ( ) 2 2 2 4 2 4 4 x x y x x ¢- -¢ = = - - 0 0y x¢ = Û = thuộc [ ]2;2- Dấu của y¢ cùng dấu với biểu thức x- . · Ta có bảng biến thiên x -2 0 2 y¢ + 0 - y 0 2 0 · Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số đồng biến trên khoảng ( )2;0- và nghịch biến rtreen khoảng ( )0;2 Một lưu ý quan trọng đó là nếu tập xác định là khoảng ( );a b hoặc hàm số gián đoạn tại 0x thì ta cần tính các giới hạn lim x a y +® , lim x b y -® và 0 lim x x y +® , 0 lim x x y -® để điền vào bảng biến thiên. Bài tập: Câu 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau trên tập xác định của chúng: 1) 5 3 1 4 3 1 5 3 y x x x= - + + ; 2) 4 1 y x x = + - ; 3) Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) tan sin , 0 2 x x x p > < < b) 1 1 , 0 2 x x x+ . Câu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHTN): Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số 4 28 2y x x= - + . Câu 3 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHXH): Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số 3 3 1y x x= - + . Đáp số: Câu 2: H/số đồng biến trên các khoảng ( ) ( )2;0 , 2;- +¥ H/số nghịch biến trên các khoảng ( ) ( ); 2 , 0;2-¥ - Câu 3: H/số đồng biến trên các khoảng ( )1;1- ┼- 3Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 5 6 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ 2. Cực trị của hàm số. Lý thuyết: - Định lý 1, định lý 2 SGK Giải tích 12. Dạng 1: Tìm m để hàm số ( ),y f x m= đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại 0x x= . Cách giải: · Tính ( ),y f x m¢ ¢= · Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại 0x x= là ( ) ( )0 0, 0y x f x m¢ ¢= = . Giải phương trình này tìm được m. · Thử lại (Điều kiện đủ) Với giá trị của m tìm được, ta tính ( )0y x¢¢ . - Nếu ( )0 0y x¢¢ > thì hàm số đạt cực tiểu tại 0x x= - Nếu ( )0 0y x¢¢ < thì hàm số đạt cực đại tại 0x x= . Căn cứ vào yêu cầu đề để chọn giá trị của m thỏa mãn. · Kết luận. Còn có cách khác để thử lại đó là lập bảng biến thiên để kiểm tra xem hàm số đạt cực đại hay cực tiểu tại 0x x= . Ví dụ 1: Tìm m để hàm số 2 1x mx y x m + + = + đạt cực đại tại 2x = . Gợi ý giải: Để dễ tính đạo hàm ta chia tử cho mẫu được 1y x x m = + + · Đ/k xác định 0x m x m+ ¹ Û ¹ - · Đạo hàm ( )2 1 1 1y x x m x m ¢æ ö¢ = + = -ç ÷+è ø + ( ) ( )2 1 2 1 2 y m ¢ = - + · Đ/k cần để hàm số đạt cực đại tại 2x = là ( )2 0y¢ = ( ) ( )22 1 1 0 2 1 2 m m Û - = Û + = + 2 1 1 2 1 3 m m m m + = = -é é Û Ûê ê+ = - = -ë ë · Thử lại (đ/k đủ) Ta có ( ) ( )2 3 1 2 1 0y x m x m ¢æ ö ¢¢ ç ÷= - = + ç ÷+ +è ø ( ) 3 2 x m = + - Với 1m = - , ta có ( ) ( )3 2 2 2 0 2 1 y¢¢ = = > - nên trường hợp này hàm số đạt cực tiểu tại 2x = (không thỏa đề bài). - Với 3m = - ta có ( ) ( )3 2 2 2 0 2 3 y¢¢ = = - < - nên trường hợp này hàm số đạt cực đại tại 2x = (thỏa đề bài) · Kết luận: Giá trị của m phải tìm là 3m = - . Dạng 2: Chứng minh hàm số ( ),y f x m= luôn có cực trị với mọi giá trị của tham số m. Cách giải: Chứng tỏ ( ), 0fy x m = luôn có nghiệm và đổi dấu khi x chạy qua các nghiệm đó. - Với hàm số bậc ba, chứng tỏ y¢ có delta dương; - Với hàm số bậc bốn (trùng phương) cần theo yêu cầu đề để tìm m để y¢ có 1 nghiệm, hoặc 3 nghiệm. ┼- 4Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 7 8 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ Ví dụ 2: Chứng minh rằng hàm số 3 2 1y x mx x= - - + luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu với mọi giá trị của m. Gợi ý giải: · Tập xác định của hàm số: D = ¡ · Đạo hàm 23 2 2y x mx¢ = - - là tam thức bậc hai có ( ) ( )2 22 4.3. 2 4 24m mD = - - = + 0, m> " Ρ . Suy ra 0y¢ = có hai nghiệm phân biệt và y¢ đổi dấu (có thể lập bảng xét dấu với hai nghiệm 1 2,x x ) khi x đi qua hai nghiệm đó. · Vậy hàm số luôn có một cực đại, một cực tiểu với mọi m. Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2006, KPB): Cho hàm số 3 26 9y x x x= - + có đồ thị (C). Với giá trị nào của tham số m, đường thẳng 2y x m m= + - đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C). Câu 2: Tìm m để hàm số 3 2 2 5 3 y x mx m xæ ö= - + - +ç ÷ è ø có cực trị tại 1x = . Khi đó hàm số đạt cực đại hay cực tiểu ? Tính cực trị tương ứng ? Câu 3: (TN BTTH 2006) Chứng minh hàm số ( )3 21 2 3 9 3 y x mx m x= - - + + luôn có cực trị với mọi giá trị của tham số m ? Gợi ý – đáp số: Câu 1: Tìm tọa độ hai cực trị của hàm số ( )3;0A , ( )1;4B Trung điểm hai cực trị ( )2;2M . Cho ( )2;2M thuộc đường thẳng 2y x m m= + - , ta có 22 2 m m= + - . Giải tìm m. Câu 2: 7 3m = . Hàm số đạt cực tiểu tại 1x = . 3. Tiếp tuyến, tiệm cận của đồ thị hàm số. Lý thuyết: Cho hàm số ( )y f x= có đồ thị ( )C và ( )0 0;M x y là điểm trên ( )C . Tiếp tuyến với đồ thị ( )C tại ( )0 0;M x y có: - Hệ số góc: ( )0k f x¢= - Phương trình: ( )0 0y y k x x- = - Hay ( )( )0 0 0y y f x x x¢- = - Vậy để viết được PT tiếp tuyến tại ( )0 0;M x y chúng ta cần đủ ba yếu tố sau: - Hoành độ tiếp điểm: 0x - Tung độ tiếp điểm: 0y {Nếu đề chưa cho ta phải tính bằng cách thay 0x vào hàm số ( )0 0y f x= } - Hệ số góc ( )0k f x¢= Dạng 1: Viết p/trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm ( )0 0;M x y , hoặc hoành độ 0x , hoặc tung độ 0y . Ví dụ: Viết p/trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 22 1y x x= - + tại điểm ( )2;9M - . Gợi ý giải: · Ta có (đạo hàm): 34 4y x x¢ = - · T/tuyến tại ( )2;9M - có: - Hệ số góc ( ) ( ) ( )32 4 2 4 2 24k y¢= - = - - - = - - P/trình: ( )( )9 24 2y x- = - - - Hay 24 39y x= - - Ở đây cần biết: ┼- 5Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 9 10 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ 0 2x = - , 0 9y = ở tọa độ của M (đề đã cho). Ví dụ 2: Viết p/trình tiếp tuyến với độ thị hàm số 1 1 x y x - = + a) Tại điểm có hoành độ bằng 2 . b) Tại điểm có tung độ bằng 3 . Gợi ý giải: a) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 1 1 1 x x x x y x ¢ ¢- + - + - ¢ = + ( )2 2 1x = + Gọi tọa độ tiếp điểm là ( )0 0;x y . Theo giả thiết có 0 2x = . · Tung độ tiếp điểm: 00 0 1 2 1 1 1 2 1 3 x y x - - = = = + + · Hệ số góc của tiếp tuyến tại 12; 2 æ ö ç ÷ è ø bằng : ( ) ( )2 2 2 2 92 1 k y¢= = = + · P/trình tiếp tuyến: ( )1 2 2 3 9 y x- = - . Hay 2 1 9 9 y x= - Với dạng này, đề cho 0 2x = , ta cần tính 00 0 1 1 x y x - = + và tính đạo hàm, suy ra hệ số góc của t/tuyến ( )0k y x¢= ( )2y¢= . b) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 1 1 1 x x x x y x ¢ ¢- + - + - ¢ = + ( )2 2 1x = + Gọi tọa độ tiếp điểm là ( )0 0;x y . Theo giả thiết có 0 3y = . · Vậy 00 0 1 3 1 x y x - = = + ( )0 01 3 1x xÛ - = + 0 2xÛ = - · Hệ số góc của tiếp tuyến tại ( ) ( )0 0; 2;3x y = - là: ( ) ( )2 2 2 2 2 1 k y¢= - = = - + · P/trình tiếp tuyến cần tìm: ( )( )3 2 2y x- = - - . Hay 2 7y x= + . Dạng 2: Viết p/trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc của nó. Dấu hiệu: - Tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ) : 0d ax by c+ + = - Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( ) : 0d ax by c+ + = Cách giải: · Cần biết (rút y theo x) ( ) : a cd y x b b = - - nên ( )d có hệ số góc ak b ¢ = - . · Khi t/tuyến song song với ( )d thì hế số góc của t/tuyến bằng hệ số góc của ( )d và bằng ak k b ¢= = - . · Khi t/tuyến vuông góc với ( )d thì hế số góc k của t/tuyến và hệ số góc k¢của ( )d thỏa mãn . 1k k¢ = - . 1ak b æ öÛ - = -ç ÷ è ø Lời giải (Các bước): · Tính đạo hàm hàm số ( )y f x¢ ¢= Tính hệ số góc của tiếp tuyến k (theo các dấu hiệu trên) · Gọi ( )0 0;x y là tọa độ tiếp điểm · Hệ số góc của t/tuyến ( )0k y x¢= . ┼- 6Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 11 12 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ - Giải ph/trình này tìm được 0x - Thay vào ( )0 0y f x= để tính tung độ tiếp điểm · Viết p/trình t/tuyến. Ví dụ 3: Viết p/trình t/tuyến với đồ thị hàm số 2 1 x y x = - , biết: a) Hệ số góc của t/tuyến bằng 2- . b) T/tuyến song song với đường thẳng ( ) 1: 2d y x= - . c) T/tuyến vuông góc với đường thẳng ( ) 9: 12y xD = + Gợi ý giải: a) · Ta có ( ) ( ) ( )2 2 2 1 2 2 1 1 x x y x x - - -¢ = = - - · Gọi ( )0 0;x y là tọa độ tiếp điểm, ta có hệ số góc tiếp tuyến tại ( )0 0;x y bằng ( ) ( )0 20 2 1 y x x -¢ = - Theo giải thiết ta có ( )0 2y x¢ = - ( )20 2 2 1x - Û = - - ( )20 1 1xÛ - = 0 0 0 0 1 1 2 1 1 0 x x x x - = =é é Û Ûê ê- = - =ë ë · Với 0 2x = , ta có 00 0 2 2.2 4 1 2 1 x y x = = = - - Tr/hợp này ta có p/trình t/tuyến tại ( )2;4 là ( )4 2 2y x- = - - hay 2 8y x= - + . · Với 0 0x = , ta có 00 0 2 2.0 0 1 0 1 x y x = = = - - . Tr/hợp này ta có p/trình t/tuyến tại ( )0;0 là ( )0 2 0y x- = - - hay 2y x= - . · Kết luận: Vậy có hai t/tuyến thỏa đề bài có p/trình là 2 8y x= - + ; 2y x= - Lưu ý: Hệ số góc của t/tuyến ( )0 2k y x¢= = - (đề cho). b) T/tuyến song song với ( )d nên hệ số góc của t/tuyến bằng hệ số góc của ( )d , bằng 12k = - . · Gọi ( )0 0;x y là tọa độ tiếp điểm, ta có hệ số góc tiếp tuyến tại ( )0 0;x y bằng ( ) ( )0 20 2 1 y x x -¢ = - Vậy ( )0y x k¢ = ( )20 2 1 21x - Û = - - ( )20 1 1 4 xÛ - = 0 0 0 0 311 2 2 1 11 2 2 x x x x éé - = = êêÛ Û êê - = - =ë ë · Với 0 3 2 x = , ta có 00 0 32.2 2 6 31 12 x y x = = = - - . Tr/hợp này ta có p/trình t/tuyến tại 3 ;6 2 æ ö ç ÷ è ø là 1 3 6 2 2 y xæ ö- = - -ç ÷ è ø hay 1 27 2 4 y x= - + · Với 0 1 2 x = , ta có 00 0 12.2 2 2 11 12 x y x = = = - - - . ┼- 7Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 13 14 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ Tr/hợp này ta có p/trình t/tuyến tại 1 ; 2 2 æ ö-ç ÷ è ø là ( ) 1 12 2 2 y xæ ö- - = - -ç ÷ è ø hay 1 7 2 4 y x= - - · Kết luận: Vậy có hai t/tuyến thỏa đề bài có p/trình là 1 27 2 4 y x= - + ; 1 7 2 4 y x= - - c) Đường thẳng ( ) 9: 12y xD = + có hệ số góc 9 2 k¢ = . · Gọi k là hệ số góc của t/tuyến. Biết t/tuyến vuông góc với ( )D nên ta có 9 . 1 . 1 2 k k k¢ = - Û = - 2 9 kÛ = - . Đến đây làm tương tự như câu a) hoặc câu b). · Đáp số: Có hai tiếp tuyến có p/trình là 2 32 9 9 y x= - + ; 2 8 9 9 y x= - + Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2006, Ban KHXH): Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 3 1 x y x + = + tại điểm thuộc đồ thị có hoành độ 0 3x = - . Câu 2 (Đề TN 2007, Bổ túc): Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số 3 3 2y x x= - + tại điểm A(2;4). Câu 3 (Đề TN 2007, Lần 2, Phân ban): Cho hàm số 1 2 x y x - = + , gọi đồ thị của hàm số là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. Câu 4 (Đề TN 2008, Lần 2, Phân ban): Cho hàm số 3 2 1 x y x - = + , gọi đồ thị của hàm số là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 0 2y = - . Đáp số: Câu 1: 1 3 4 4 y x= - + ; Câu 2: 9 14y x= - Câu 3: 4 1 3 3 y x= - ; Câu 4: 5 2y x= - 4. Tương giao giữa hai đồ thị. Lý thuyết: Dạng 1: Dựa vào đồ thị hàm số ( )y f x= để biện luận theo m số nghiệm của phương trình ( )f x m= . Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số 3 3y x x= - . Dựa vào đồ thị ( )C , biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3 3 1 0x x m- + - = (1). Gợi ý giải: · Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C (2 điểm) Học sinh tự làm. · Đồ thị (xem hình) ┼- 8Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 15 16 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ x y 3 - 3 -2 -1 2 0 1 · Viết lại (1) dưới dạng (1) 3 3 1x x mÛ - = - (2) Đây là PT hoành độ giao điểm của đồ thị ( )C của hàm số 3 3y x x= - với đường thẳng ( ) : 1d y m= - (song song với trục hoành) nên số nghiệm của (2) bằng số giao điểm của ( )d và ( )C . · Dựa vào đồ thị ta có kết quả biện luận sau: * Với 1 2 1 1 2 3 m m m m - < - < -é é Ûê ê- > >ë ë , ta thấy ( )d và ( )C không có điểm chung. Suy ra (2) vô nghiệm * Với 1 2 1 1 2 3 m m m m - = - = -é é Ûê ê- = =ë ë , ta thấy ( )d cắt ( )C tại một điểm và tiếp xúc tại một điểm. Suy ra (2) có hai nghiệm (một nghiệm đơn và một nghiệm kép) Nói đơn giản hơn là ( )d và ( )C có hai điểm chung nên (2) có hai nghiệm. * Với 1 2 1 1 2 3 m m m m - > - > -ì ì Ûí í- < <î î , ta thấy ( )d cắt ( )C tại ba điểm phân biệt. Suy ra (2) có 3 nghiệm phân biệt. · Kết luận: * Với 1m , p/trình (1) vô nghiệm. * Với 1m = - hoặc 3m = , p.trình (1) có hai nghiệm. * Với 1 3m- < < , p/trình (1) có 3 nghiệm phân biệt. Dạng 2: Chứng tỏ đường thẳng ( )d : 0ax by c+ + = cắt đồ thị hàm số ( ) mx ny f x cx d + = = + tại hai điểm phân biệt, hoặc không cắt Cách giải: · Viết lại ( ) : a cd y x b b = - - · Lập p/trình hoành độ giao điểm của ( )d và ( )C : mx n a c x cx d b b + = - - + (1) Quy đồng khử mẫu đưa về p/trình bậc hai dạng ( ) 2, 0f x m Ax Bx C= + + = với 0 dcx d x c + ¹ Û ¹ - Tính 2 4B ACD = - · Đến đây cần chứng tỏ 0D > với mọi m và ,df m c æ ö-ç ÷ è ø 0¹ và kết luận (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Suy ra ( )d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt. - Tương tự, kết luận cho tr.hợp 0; 0D < D = . Ví dụ: (Bài 11/tr46-SGK GT12, Cơ bản) Chứng minh rằng với mọi giá trị thực của m, đường thẳng ( ) : 2d y x m= + luôn cắt đồ thị ( )C của hàm số 3 1 x y x + = + tại hai điểm phân biệt M, N. Gợi ý – Giải: ┼- 9Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 17 18 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ · P/trình hoành độ giao điểm của ( )d và ( )C là 3 2 1 x x m x + = + + (1) ( )( ) ( )3 2 1 , 1 0x x m x xÛ + = + + + ¹ ( )22 1 3 0x m x mÛ + + + - = , ( )1x ¹ - (2) · P/trình (2) là p/trình bậc hai có ( ) ( )21 4.2. 3m mD = + - - ( )22 6 25 3 16m m mD = - + = - + 0> với mọi m. (a) Mặt khác, thay 1x = - vào vế trái của (2) ta được ( ) ( )22. 1 1 3 2 0m m- - + + - = - ¹ với mọi m. (b) · Kết hợp (a) và (b) suy ra p/trình (2) luôn có hai nghiệm phân biệt thỏa 1x ¹ - . Do đó (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Vậy đ/thẳng ( )d luôn cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m. Ví dụ (Bài 8.b/tr44- GT12, cơ bản) Tìm m để đồ thị ( )mC của hàm số ( )3 23 1y x m x m= + + + - cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 2x = - . · Phân tích bài toán: - Nhưng điểm nằm trên trục hoành thì có tung độ 0y = . - Vậy ( )mC cắt trục hoành tại điểm ( ) ( ); 2;0x y = - . - Điểm này thuộc ( )mC nên tọa độ của nó thỏa mãn p/trình ( )mC . Lời giải: · Từ giả thiết ta suy ra ( )mC cắt trục hoành tại điểm ( )2;0- , thay tọa độ điểm này vào p/trình của ( )mC ta được: ( ) ( )( )3 20 2 3 2 1m m= - + + - + - ( )8 4 3 1 0m mÛ - + + + - = 3 5 0mÛ + = 5 3 mÛ = - · Vậy 5 3 m = - là giá trị cần tìm. Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2008, L1, Phân ban): Cho hàm số 3 22 3 1y x x= + - . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2) Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình 3 22 3 1x x m+ - = Câu 2 (Đề TN 2008, L2, KPB): Cho hàm số 3 23y x x= - . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt 3 23 0x x m- - = Câu 3 (Đề TN 2006, Phân ban): 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 3 23y x x= - + 2. Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3 23 0x x m- + - = . 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành. 5. Điểm đặc biệt của đồ thị hàm số. Lý thuyết: - Một số dạng bài toán: Tìm điểm trên đồ thị có tọa độ nguyên; Ví dụ: Tìm các điểm trên đồ thị hàm số 3 1 x y x - = + có tọa độ là những số nguyên. Giải: · Đ/k xác định: 1 0 1x x+ ¹ Û ¹ - ┼- 10Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 19 20 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ · Chia tử cho mẫu ta có 41 1 y x = - + Xét điểm ( );x y thuộc đồ thị hàm số đã cho, ta có 41 1 y x = - + . · Với x΢ ta có 41 1 y x = - Î + ¢ 4 1x Û Î + ¢ 1xÛ + là các ước số nguyên của 4. Các trường hợp xảy ra: 1 4x + = 3xÛ = , ta có 3 3 0 3 1 y - = = + 1 4x + = - 5xÛ = - , ta có 2y = 1 2 1x x+ = Û = , ta có 1y = - 1 2 3x x+ = - Û = - , ta có 3y = 1 1 0x x+ = Û = , ta có 3y = - 1 1 2x x+ = - Û = - , ta có 5y = · Vậy có sáu điểm thuộc đồ thị hàm số có tọa độ nguyên là: ( )3;0 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5;2 , 1; 1 , 3;3 , 0; 3 , 2;5- - - - - Bài tập: Tìm các điểm trên đồ thị hàm số 2 2 2 x y x + = - có tọa độ là những số nguyên. 6. Khảo sát hàm số Sơ đồ: · Tập xác định. · Đạo hàm ( )y f x¢ ¢= Giải p/trình ( ) 0f x¢ = · Tính các giới hạn lim x y ®±¥ ; tiệm cận với hàm hữu tỷ ax by cx d + = + Và ( ) lim dx c y ± ® - = ±¥ để suy ra tiệm cận đứng là đ/t ax c= ; lim x ay c®±¥ = , suy ra tiệm cận ngang là đ/t ay c= · Bảng biến thiên (điền đầy đủ các thông tin, chú ý giá trị các giới hạn đã tính) · Dựa vào bảng biến thiên suy ra: - Các khoảng đơn điệu (đồng, nghịch biến) của hàm số; - Cực trị của hàm số (nếu có). · Vẽ đồ thị: - Xác định giao điểm với trục hoành: Cho 0y = , tìm x. - Xác định giao điểm với trục tung: Cho 0x = , tìm y. - Cho thêm một số điểm đặc biệt (Chú ý đến tính đ/xứng của đồ thị: Hàm bậc ba đ/x qua tâm là trung điểm hai cực trị; hàm bậc bốn (trùng phương) đ/x qua trục tung; hàm hữu tỷ đ/x qua giao điểm 2 t/cận) ┼- 11Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 21 22 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ Chuyên đề II: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Lý thuyết: Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số ( )y f x= liên tục trên đoạn [ ];a b . · Tính đạo hàm ( )y f x¢= Giải phương trình ( ) 0f x¢ = và tìm các nghiệm 0x thuộc đoạn [ ];a b (các nghiệm nằm ngoài đoạn này không lấy ) · Tính ( ) ( ) ( )0, ,f a f b f x · So sánh các số trên và kết luận. [ ] ( ) ( ) ( ) ( ){ }0 ; min min , , a b f x f a f b f x= [ ] ( ) ( ) ( ) ( ){ }0 ; max max , , a b f x f a f b f x= Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 1 2 x y x = + + trên đoạn [ ]1;3 . Gợi ý- Giải: · Đạo hàm 2 2 1 2 y x ¢ = - + · 22 2 1 0 0 4 2 2 y x x x ¢ = Û - + = Û = Û = ± Trên đoạn [ ]1;3x = ta lấy 2x = . · Ta có ( ) 2 1 71 1 1 2 2 y = + + = ; ( ) 2 22 1 3 2 2 y = + + = ( ) 2 3 193 1 3 2 6 y = + + = · So sánh các số trên ta suy ra [ ] ( ) 1;3 min 2 3y y= = ; [ ] ( ) 1;3 7 max 1 2 y y= = Bài tập Câu 1 (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHTN): Tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) 2 cosf x x x= + trên đoạn 0; 2 pé ù ê úë û . Câu 2 (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHXH): Tìm GTLN, GTNN của hàm số 4 22 1y x x= - + trên đoạn [ ]0;2 . Câu 3 (Đề TN 2008, L2, KPB): Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 1 3 x y x - = - trên đoạn [ ]0;2 . Câu 4 (Đề TN 2008, L2, Ban KHTN): Tìm GTLN, GTNN của hàm số 4 22 4 3y x x= - + + trên đoạn [ ]0;2 . Câu 5 (Đề TN 2008, L2, Ban KHXH): Tìm GTLN, GTNN của hàm số 3 22 6 1y x x= - + trên đoạn [ ]1;1- . Chuyên đề III: Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit. 1. Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ. Lý huyết - Ghi nhớ các phép toán với lũy thừa, mũ. (Với 0 1a< ¹ ) .x y x ya a a+ = ; ( ) ( ).y xx x y ya a a= = x x y y a a a - = ; 1 x x aa -= . Ghi nhớ công thức khử cơ số: ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x= Û = ( ) ( )1 0f xa f x= Û = ; ┼- 12Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 23 24 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ ( ) ( ) logf x aa c f x c= Û = Dạng 1: Phương trình mũ bậc hai 2. . 0x xm a n a p+ + = (1) Cách giải: · Đặt ( ), 0xt a t= > , khi đó ( )22 2x xt a a= = . Ta có p/trình ( )2. . 0, 0m t n t p t+ + = > (2) · Giải p/trình (2), tìm nghiệm 0t > · Giải p/trình logx aa t x t= Û = · Kết luận, nghiệm của (1) Ví dụ: Giải các phương trình sau 1) 2 13 4.3 1 0x x+ - + = 2) ( ) ( )2. 3 2 2 2 1 1 0x x- - - - = Lời giải : 1) 2 13 4.3 1 0x x+ - + = 23.3 4.3 1 0x xÛ - + = Đặt ( )3 , 0xt t= > , khi đó 2 23 xt = . Ta có p/trình 23 4 1 0t t- + = , ( )0t > Giải p/trình này được 11; 3 t t= = (thỏa mãn đ/k 0t > ) · Với 1t = , ta có 03 1 3 3 0x x x= Û = Û = - Với 1 3 t = , ta có 1 1 3 3 3 1 3 x x x-= Û = Û = - · Vậy p/trình đã cho có hai nghiệm 0; 1x x= = - Chú ý: 2 1 2 1 23 3 .3 3.3x x x+ = = 2) Để ý ( )22 1 2 2 2 1 3 2 2- = - + = - Đặt ( )2 1 xt = - , ( )0t > , Khi đó ( ) ( ) ( ) 22 23 2 2 2 1 2 1 xx x té ù é ù- = - = - =ê ú ê úë û ë û · P/trình đã cho trở thành 22 1 0t t- - = , ( )0t > Giải p/trình này ta được 1t = (nhận); 1 0 2 t = - < (loại) · Với 1t = , ta có ( )2 1 1 0x x- = Û = · Vậy p/trình đã cho có nghiệm duy nhất 0x = . Dạng 2: . . 0x xm a n a p-+ + = hay . 0x x n m a p a + + = Cách giải: · Đặt ( ), 0xt a t= > , khi đó 1 1x xa ta - = = Thay vào p/trình đã cho, giải tìm nghiệm 0t > . Rồi tìm x. · Kết luận. Ví dụ : Giải các phương trình sau 1) 16 6 5 0x x-- - = 2) 1 1 1 5 26 0 5 x x + -+ - = Lời giải: 1) Ta có 16 6 5 0x x-- - = 6 6.6 5 0x x-Û - - = · Đặt 6xt = , ( )0t > ta có 1 16 6 x x t - = = · Ta có p/trình 1 6. 5 0t t - - = , ( )0t > 2 5 6 0t tÛ - - = . ┼- 13Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 25 26 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ Giải p/trình này được 6t = (thỏa); 1 0t = - < (không thỏa) · Vậy ta có 6 6 1x x= Û = . Kết luận: P/trình đã cho có nghiệm duy nhất 1x = . 2) Để ý : 1 15 5 .5 5.5x x x+ = = ; 1 1 1 1 5 5 5 .5 5x x x- - = = Ta có 1 1 1 5 26 0 5 x x + -+ - = 5 5.5 26 0 5 x xÛ + - = Đặt ( )5 , 0xt t= > ta có p/trình ( )55. 26 0, 0t t t + - = > 25 26 5 0t tÛ - + = Giải p/trình này được 15; 5 t t= = (thỏa mãn đ/k 0t > ) · Với 5t = , ta có 5 5 1x x= Û = - Với 1 5 t = , ta có 1 1 5 5 5 1 5 x x x-= Û = Û = - · Tóm lại, p/trình đã cho có hai nghiệm 1; 1x x= = - Dạng 3: Bất phương trình mũ ( ) ( )f x g xa a£ , ( )0 1a< ¹ Cách giải: · Nếu 0 1a< < ta có ( ) ( )f x g x³ (đổi chiều BPT) · Nếu 1a > ta có ( ) ( )f x g x£ . Với BPT ( )f xa c£ - Nếu 0 1a< < , ta có ( ) logaf x c³ (Đổi chiều BPT) - Nếu 1a > , ta có ( ) logaf x c£ Ví dụ : Giải các bất phương trình a) 2 3 12 4 x x- £ b) ( ) 22 3 1 93 x x+ ³ Giải: a) Ta có 2 3 12 4 x x- £ 2 3 22 2x x- -Û £ 2 3 2x xÛ - £ - 2 3 2 0x xÛ - + £ 1 2xÛ £ £ Vậy BPT đã cho có tập nghiệm [ ]1;2T = Vì cơ số 2 1a = > nên 2 3 22 2x x- -£ 2 3 2x xÛ - £ - (hai BPT có cùng chiều). Để giải BPT 2 3 2 0x x- + £ , ta tìm nghiệm tam thức 2 3 2x x- + và xét dấu rồi chọn miền nghiệm. b) ( ) 22 3 1 1 3 9 x x+ ³ ( ) ( ) 22 3 2 1 1 3 3 x x+ Û ³ 22 3 2x xÛ + £ (đổi chiều BPT do cơ số 1 13a = < ) 22 3 2 0x xÛ + - £ 1 2 2 xÛ - £ £ Vậy BPT đã cho có tập nghiệm 12; 2 T é ù= -ê úë û Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2006, Phân ban): Giải phương trình 2 22 9.2 2 0x x+ - + = Câu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Phân ban): Giải phương trình 17 2.7 9 0x x-+ - = Câu 3 (Đề TN 2008, L1, Phân ban): Giải phương trình 2 13 9.3 6 0x x+ - + = Câu 4: Giải các bất phương trình sau a) ( ) ( ) 2 3 2 6 1 1 2 2 x x x- - £ b) 22 7 63 3x x x- +³ 2. Hàm số, phương trình, bất phương trình lôgarit. Lý huyết Ghi nhớ: Với 0 1, 0, 0a b c > khi đó Tính toán: loga a a a= ; log loga ab b a a= ┼- 14Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 27 28 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ 1 log logaa b ba a = Cộng, trừ logarit : log log log .a a ab c b c+ = ; log log loga a a b b c c - = Đổi cơ số: loglog log a c a b b c = ; 1 log loga b b a = · Cách khử logarit: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 log loga a f x f x g x f x g x ì >ï= Û í =ïî ( ) ( )log ca f x c f x a= Û = Chú ý: 10log log lga a a= = ; log lne a a= . Dạng 1: Biến đổi về phương trình ( ) ( )log loga af x g x= Cách giải: - Dùng các công thức tính toán, cộng trừ logarit để biến đổi. - Cần chú ý đến đ/k với các biểu thức dưới dấu logarit. Ví dụ: Giải các p/trình sau: 1) ( )3 9log 9 log 5x x+ = 2) ( ) ( )2 2 2log 2 log 3 log 12x x- + - = Lới giải: 1) · Đ/k xác định: 0 0 9 0 x x x >ì Û >í >î Khi đó ta có ( )3 9log 9 log 5x x+ = 23 3 3log 9 log log 5x xÛ + + = 3 3 1 2 log log 5 2 x xÛ + + = 3 3 log 3 2 xÛ = 2 3log 2 3 9x x xÛ = Û = Û = (thỏa mãn đ/k) · Vậy p/trình có nghiệm duy nhất 9x = . 2) · Đ/k xác định 2 0 2 3 3 0 3 x x x x x - > >ì ì Û Û >í í- > >î î Khi đó ta có ( ) ( )2 2 2log 2 log 3 log 12x x- + - = ( )( )2 2log 2 3 log 12x xÛ - - = ( )( )2 3 12x xÛ - - = 2 5 6 0x xÛ - - = Giải p/trình này dược 6x = (thỏa đ/k); 1x = - (không thỏa đ/k) · Vậy, p/trình đã cho có nghiệm duy nhất 6x = . Dạng 2: P/trình bậc hai chứa lôgarit ( ) ( )2.log .log 0a am f x n f x p+ + = Cách giải: · Đ/k xác định: ( ) 0f x > · Đặt ( )logat f x= , tΡ Ta có p/trình 2. 0m t nt p+ + = . Giải p/trình này tìm t. · Giải p/trình ( ) ( )log ta f x t f x a= Û = để tìm x. · Kết luận. Ví dụ : Giải ph/trình 2 22 2log 3log 10 0x x- - = Giải: ·Đ/k xác định: 0x > Ta có ( ) ( )2 22 2 2 22 2 2 2log log 2log 4logx x x x= = = · Đặt 2logt x= , ta có 2 2 22log 4x t= · P/trình đã cho trở thành 24 3 10 0t t- - = Giải p/trình này được 52; 4 t t= = - ┼- 15Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 29 30 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ · Với 2t = , ta có 22log 2 2 4x x x= Û = Û = - Với 5 4t = - , ta có 5 4 2 5log 24x x - = - Û = · Kết luận: P/trình đã cho có hai nghiệm 54; 4 x x= = - . Dạng 3: Bất p/trình ( ) ( )log loga af x g x< , ( )0 1a< ¹ . Điều kiện xác định: ( ) ( ) 0 0 f x g x ì >ï í >ïî - Nếu 0 1a (BPT đổi chiều) - Nếu 1a > , ta có ( ) ( )f x g x< (BPT cùng chiều) · Với BPT ( )loga f x c£ - Nếu 0 1a< < , ta có ( ) cf x a³ (BPT đổi chiều) - Nếu 1a > , ta có ( ) cf x a£ (BPT cùng chiều) Ví dụ: Giải các bất p/trình: a) ( )2 2log log 3 1x x³ - b) ( ) ( )1 1 3 3 log 2 1 log 2x x- > + Giải: a) · Đ/kiện xác định: 0 1 3 1 0 3 x x x >ì Û >í - >î · Với 1 3 x > ta có : ( )2 2log log 3 1x x³ - 3 1x xÛ ³ - 1 2 1 2 x xÛ £ Û £ { Cơ số 2 1a = > nên có BPT cùng chiều} · Vậy tập nghiệm của bất p/trình đã cho 1 1; 3 2 T æ ù= ç úè û b) · Đ/kiện xác định: 2 1 0 1 2 0 2 x x x - >ì Û >í + >î · Với 1 2 x > ta có : ( ) ( )1 1 3 3 log 2 1 log 2x x- > + 2 1 2x xÛ - < + 3xÛ < { Cơ số 1 12a = < nên BPT đổi chiều} · Vậy tập nghiệm của bất p/trình đã cho 1 ;3 2 T æ ö= ç ÷ è ø Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2007, Lần 1, Phân ban): Giải phương trình ( )4 2log log 4 5x x+ = . Câu 2 (Đề TN 2008, Lần 2, Phân ban): Giải phương trình ( ) ( ) ( )3 3 3log 2 log 2 log 5x x x+ + - = Ρ . Câu 3: Giải các bất phương trình a) ( )1 5 1 5 5 log log 2 log 3x x- - < b) 23 3log 4log 3 0x x- + £ Chuyên đề IV: Hình học không gian (tổng hợp). ·. Tính diện tích, Tính thể tích. Lý huyết Thể tích hình chóp 1 . . 3 ®¸y V S h= (h là chiều cao) Thể tích khối cầu bán kính R: 34 . 3cÇu V Rp= Thể tích khối lăng trụ .L/trô ®¸yV S h= ┼- 16Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 31 32 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ Thể tích khối nón tròn xoay : 21 .3nãnV R hp= Thể tích khối trụ tròn xoay: 2.trôV R hp= . · Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay: .Xq-nãnS R lp= Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay: 2 .Xq-trôS R lp= Một số hình cần chú ý: - Hình chóp đều có đáy là tam giác, hình vuông - Hình chóp có một cạnh vuông góc với đáy (hình chữ nhật, hình vuông, tam giác vuông) - Hình nón tròn xoay, biết chiều cao, hoặc đường sinh, bán kính đường tròn đáy, góc phẳng ở đỉnh. - Hình nón bị cắt bởi mặt phẳng qua đỉnh giao với đường tròn đáy tại hai điểm A, B, biết AB và giả thiết khác. Yêu cầu: Giải lại các bài toán trong SGK HH12 có dạng trên, ghi nhớ cách tính các yếu tố cần thiết và mối quan hệ giữa các yếu tố dựa vào hình vẽ, tính chất của hình. Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2006, Phân ban) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB bằng 3a . 1. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. 2. Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Câu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Phân ban): Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA =AC. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. Câu 3 (Đề TN 2008, Lần 1, Phân ban): Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. 1) Chứng minh SA vuông góc với BC. 2) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a. Câu 4 (Đề TN 2008, L2, Phân ban): Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết AB=a, BC= 3a và SA=3a. 1. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. 2. Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a. Chuyên đề V: Phương pháp toạ độ trong trong không gian. 1. Tọa độ của điểm, vectơ. Lý huyết Yêu cầu nắm được: - Tính độ dài vecto ( ); ;u a b c r : 2 2 2u a b c= + + r - Cho ( ); ;A A AA x y z , ( ); ;B B BB x y z , ( ); ;C C CC x y z Tính tọa độ trung điểm I của đoạn AB, và trọng tâm G của tam giác ABC. 2 2 2 A B I A B I A B I x x x y y I y z z z +ì =ï ï +ï =í ï +ï =ïî ; 3 3 3 A B C G A B C G A B C G x x x x y y y G y z z z z + +ì =ï ï + +ï =í ï + +ï =ïî - Tính tọa độ vecto AB uuur : ( ); ;B A B A B AAB x x y y z z= - - - uuur - Độ dài đoạn AB: ( ) ( ) ( )2 2 2B A B A B AAB AB x x y y z z= = - + - + - uuur - Tính tích có hướng của 2 vecto ( ); ;u a b c r , ( ); ;v a b c¢ ¢ ¢ r ┼- 17Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 33 34 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ , ; ; b c c a a b u v b c c a a b æ öé ù = ç ÷ë û ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢è ø r r ( ), ; 'u v bc b c ca c a ab a bé ù ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢= - - -ë û r r - Tính tích vô hướng của 2 vecto ( ); ;u a b c r , ( ); ;v a b c¢ ¢ ¢ r . . .u v aa b b c c¢ ¢ ¢= + + r r - Tính góc giữa hai vecto ( ); ;u a b c r , ( ); ;v a b c¢ ¢ ¢ r ( ) .cos , . u v u v u v = r rr r r r 2 2 2 2 2 2. aa bb cc a b c a b c ¢ ¢ ¢+ + = ¢ ¢ ¢+ + + + - Nắm được: Cách tính tọa độ điểm, tọa độ vecto thỏa mãn môt hệ thức vecto. Ví dụ: 2. Mặt cầu. Lý huyết · Mặt cầu tâm ( ); ;I a b c và bán kính R có ph/trình ( ) ( ) ( )2 2 2 2x a y b z c R- + - + - = · Dạng thứ hai: 2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d+ + - - - + = (2) Với đ/kiện 2 2 2 0a b c d+ + - > , thì (2) là p/trình mặt cầu tâm ( ); ;I a b c , bán kính 2 2 2R a b c d= + + - . Một số dạng thường gặp: Mặt cầu có tâm ( ); ;I a b c và đi qua một điểm hoặc tiếp xúc với một mặt phẳng; mặt cầu đí qua 4 điểm không đồng phẳng. Chú ý: Khoảng cách từ điểm ( ); ;M M MM x y z đến đường thẳng ( ) : 0Ax By Cz DD + + + = được tính theo công thức ( ); 2 2 2 . . .M M M M A x B y C z D d A B C Dé ùë û + + + = + + Dạng 1: Mặt cầu đi qua một điểm M và có tâm cho trước ( ); ;I a b c Cách giải: - Bán kính mặt cầu là R MI= Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu tâm ( )1;2; 3A - và đi qua điểm ( )0;2;2M . Lời giải: · Mặt cầu đi qua điểm ( )0;2;2M nên có bán kính bằng ( ) ( ) ( )2 2 21 0 2 2 3 2 26R MA= = - + - + - - = · P/trình mặt cầu (tâm ( )1;2; 3A - ): ( ) ( ) ( )( ) ( )222 21 2 3 26x y z- + - + - - = Hay ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 26x y z- + - + + = Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu đường kính AB biết ( )1; 2; 1A - - và ( )3;0; 3B - . Giải: · Mặt cầu đường kính AB có tâm là trung điểm I của đoạn AB. Tọa độ tâm I là ( ) 1 3 2 2 2 2 0 1 2 2 1 3 2 2 2 A B I A B I A B I x x x y y y z z z + +ì = = =ï ï + - +ï = = = -í ï ï - + -+ = = = -ïî Hay ( )2; 1; 2i - - ┼- 18Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 35 36 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ · Bán kính mặt cầu ( ) ( )( ) ( )( )2 221 2 2 1 1 2 3R IA= = - + - - - + - - - = · P/trình mặt cầu cần tìm: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )22 222 1 2 3x y z- + - - + - - = Hay ( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 3x y z- + + + + = Dạng 2: Mặt cầu có tâm ( ); ;I a b c và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) : 0P Ax By Cz D+ + + = . Cách giải: - Bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ tâm I đến mp ( )P . Ví dụ 3: Viết ph/trình mặt cầu có tâm ( )0; 1;1M - và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) : 2 1 0P x y z+ - + = . Lời giải: · Mặt cầu tiếp xúc với mp ( )P nên bán kính m/cầu bằng khoảng cách từ tâm M đến mp ( )P : ( ) ( ) ( ) , 22 2 0 1 2.1 1 1 1 2 M PR dé ùë û + - - + = = + + - 2 2 6 6 - = = · P/trình mặt cầu cần tìm (tâm ( )0; 1;1M - ): ( ) ( )( ) ( ) 2 22 2 20 1 1 6 x y z æ ö- + - - + - = ç ÷ è ø Hay ( ) ( )2 22 21 1 3 x y z+ + + - = Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2007, L2, Ban KHTN): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm E(1;-4;5) và F(3;2;7). 1. Viết phương trình mặt cầu đi qua điểm F và có tâm là E. 2. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng EF . 3. Phương trình mặt phẳng. Lý huyết Dạng 1: Mặt phẳng đi qua điểm ( );M M MM x y z và có vecto pháp tuyến ( ); ;n A B C= r . PTTQ của mp là ( ) ( ) ( ) 0M M MA x x B y y C z z- + - + - = Một số dấu hiệu: - Mặt phẳng ( )P vuông góc với đường thẳng AB¸ hoặc đường thẳng ( )d . Khi đó vecto AB uuur hoặc vecto chỉ phương du uur của ( )d là vecto pháp tuyến của mp ( )P . - Mặt phẳng ( )P song song với mặt phẳng ( )Q , khi đó vecto pháp tuyến Qn uur của mp ( )Q cũng là vecto pháp tuyến của mp ( )P . Ví dụ 1: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ( )P đi qua điểm ( )1;2; 3A - và : a) vuông góc với đường thẳng ( ) 1 2: 2 1 3 x y z d - + = = - b) song song với mặt phẳng ( ) : 3 0Q x y z- - = c) vuông góc với đường thẳng AB với ( )0;1;1A , ( )1;2;0B - Lời giải: a) Đ/thẳng ( )d có vecto chỉ phương ( )2; 1;3u = - r . · ( ) ( )P d^ nên ( )P nhận ( )2; 1;3u = - r làm vecto pháp tuyến. Mặt khác ( )P đi qua điểm ( )1;2; 3A - . · Vậy p/trình tổng quát của ( )P : ( ) ( )( ) ( )( )2 1 1 2 3 3 0x y z- + - - + - - = ┼- 19Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 37 38 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ Hay 2 3 9 0x y z- + + = b) · ( ) ( )||P Q nên vecto pháp tuyến của ( )Q , ( )1; 1; 3n = - - r cũng là vecto pháp tuyến của ( )P . · Mặt khác ( )P đi qua điểm ( )1;2; 3A - . · Vậy p/trình tổng quát của ( )P : ( ) ( ) ( )( )1 1 1 2 3 3 0x y z- - - - - - = Hay 3 8 0x y z- - - = c) ( )P AB^ nên ( )P nhận ( )1;1; 1AB = - - uuur làm vecto pháp tuyến Mặt khác ( )P đi qua điểm ( )1;2; 3A - . · Vậy p/trình tổng quát của ( )P : ( ) ( ) ( )( )1 1 1 2 1 3 0x y z- - + - - - - = Hay 4 0x y z- + - - = 4 0x y zÛ - + + = Dạng 2: Mặt phẳng ( )P xác định bởi hai vecto u r , v r không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trên ( )P . {Ôn thi ĐH-CĐ} Cách giải: Vecto pháp tuyến của ( )P là ,n u vé ù= ë û r r r , tích có hướng của hai vecto u r , v r . Một số dấu hiệu thường gặp: - Mp ( )P song song với hai đường thẳng ( ) ( )1 2,d d không cùng phương. - Mp ( )P vuông góc với hai mặt phẳng ( ) ( ),a b không song song. Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHXH): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;4;-1), B(2;4;3) và C(2;2;-1). 1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC. 2) Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Câu 2 (Đề TN 2006, Ban KHXH): Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(-1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4). 1. Chứng minh tam giác ABC vuông. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB. 2. Gọi M là điểm sao cho 2MB MC= - uuur uuuur . Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng BC. 4. Phương trình đường thẳng. Lý huyết · Đường thẳng ( )D đi qua điểm ( ); ;M M MM x y z có vecto chỉ phương ( ); ;u a b c= r . - P/trình tham số của ( )D : M M M x x at y y bt z z ct = +ì ï = +í ï = +î , ( )tΡ - P/trình chính tắc của ( )D : M M Mx x y y z z a b c - - - = = Yêu cầu: Từ các p/trình tham số và p/trình chính tắc của đ/thẳng phải biết lấy vecto chỉ phương và điểm thuộc đường thẳng. Dạng 1: Đường thẳng đi qua điểm ( ); ;M M MM x y z và có vecto chỉ phương xác định trước. Một số dấu hiệu thường gặp: - Đường thẳng ( )D đi qua hai điểm ,M N , khi đó vecto MN uuuur là vecto chỉ phương của ( )D . - Đường thẳng ( )D vuông góc với mặt phẳng ( )P . Khi đó vecto pháp tuyến Pn uur của ( )P là vecto chỉ phương của ( )D . ┼- 20Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 39 40 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ - Đường thẳng ( )D song song với đường thẳng ( )d , khi đó vecto chỉ phương của ( )d cũng là vecto chỉ phương của ( )D . Ghi nhớ: Nên vẽ hình minh họa để dễ xác định các yếu tố giải thiết cho và liên hệ tới mối quan hệ giữa chúng. Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng ( )D , biết: a) ( )D đi qua hai điểm ( )1;2; 3A - , ( )0;1; 2B - b) ( )D đi qua điểm ( )1; 1;1M - và vuông góc với mặt phẳng ( ) : 3 0x y za - + = . c) ( )D đi qua điểm ( )0;0;2N và song song với đường thẳng ( )d có p/trình ( ) 2 : 1 2 x t d y t z =ì ï = - +í ï =î Lời giải: a) · Đường thẳng ( )D đi qua hai điểm A, B nên nhận vecto ( )( )0 1;1 2; 2 3AB = - - - - - uuur ( )1; 1;1= - - làm vecto chỉ phương. · · Mặt khác ( )D đi qua ( )1;2; 3A - nên có p/trình tham số 1 2 3 x t y t z t = -ì ï = -í ï = - +î , ( )tΡ b) · Đường thẳng ( )D vuông góc với mp ( )P nên nhận vecto pháp tuyến ( )1; 3;1n = - r của ( )P làm vecto chỉ phương của ( )D . · Mặt khác ( )D đi qua điểm ( )1; 1;1M - nên có p/trình tham số 1 1 3 1 x t y t z t = +ì ï = - -í ï = +î , ( )tΡ c) Đ/thẳng ( )d có vecto chỉ phương ( )2;1;0u r . · Đ/thẳng ( )D song song với ( )d nên nhận ( )2;1;0u r làm vecto chỉ phương. · Mặt khác ( )D đi qua điểm ( )0;0;2N nên có p/trình tham số 0 2 0 2 x t y t z = +ì ï = +í ï =î , ( )tΡ . Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2007, Bổ túc): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm E(1;0;2) , M(3;4;1) và N(2;3;4). 1. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng MN. 2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm E và vuông góc với đường thẳng MN. Câu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHXH): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(1;0;2),N(3;1;5)và đường thẳng (d) có phương trình ( ) 1 2 : 3 6 x t d y t z t = +ì ï = - +í ï = -î . 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng (d). 2. Viết p/trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm M và N. 5. Góc, khoảng cách. Lý huyết ┼- 21Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 41 42 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ · Khoảng cách từ điểm ( ); ;M M MM x y z đến đường thẳng ( ) : 0Ax By Cz DD + + + = được tính theo công thức ( ); 2 2 2 . . .M M M M A x B y C z D d A B C Dé ùë û + + + = + + Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHTN): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2;-2) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x-2y+z-1=0. 1) Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P). 2) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P). Viết phương trình của mặt phẳng (Q) sao cho (Q) song song với (P) và khoảng cách giữa (P) và (Q) bằng khoảng cách từ điểm A đến (P). Câu 2 (Đề TN 2008, Lần 2, Ban KHTN): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm M(1;-2;0), N(-3;4;2) và mặt phẳng (P) có phương trình 2 2 7 0x y z+ + - = . 1. Viết phương trình đường thẳng MN. 2. Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng MN đến mp(P). Câu 3 (Đề TN 2008, L2, Ban KHXH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm ( )2; 1;3A - , mặt phẳng ( ) : 2 2 10 0P x y z- - - = . 1) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(P). 2). Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P). 6. Tương giao giữa đường thẳng, mặt pẳng, mặt cầu. Bài toán tổng hợp Lý huyết Bài tập: Câu 1 (Đề TN BTTH 2006): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(4; 3; 2), B(3; 0; 0), C(0; 3; 0) và D(0; 0; 3). 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và trọng tâm G của tam giác BCD. 2. Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng đi qua ba điểm B, C, D. Câu 2 (Đề TN 2006, Ban KHTN): Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 6). 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C. Tính diện tích tam giác ABC. 2. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Viết phương trình mặt cầu đường kính OG. Câu 3 (Đề TN 2006, KPB): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; 0; -1), B(1; 2; 1), C(0; 2; 0). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. 1. Viết phương trình đường thẳng OG. 2. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, A, B, C. 3. Viết phương trình các mặt phẳng vuông góc với đường thẳng OG và tiếp xúc với mặt cầu (S). Câu 4 (Đề TN 2007, L1, Ban KHXH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm ( )1;2;3E và mặt phẳng ( ) : 2 2 6 0x y za + - + = . 1). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc với ( )mp a . 2). Viết phương trình tham số của đường thẳng ( )D đi qua điểm E và vuông góc với ( )mp a . ┼- 22Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 43 44 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ Chuyên đề VI: Nguyên hàm-Tích phân, ứng dụng của tích phân . 1. Tích phân Lý huyết - ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( )y f x= liên tục trên đoạn [ ];a b . Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a= = -ò . - Ghi nhớ các tính chất cộng, trừ tích phân và công thức tính các nguyên hàm của hàm số thường gặp. · ( ) ( ).k f x dx k f x dx=ò ò , (k là hằng số) · dx x C= +ò ; 2 1dx C xx = - +ò ; 2 dx x C x = +ò - Cách tính vi phân của hàm số ( )y g x= là: ( )( ) ( )d g x g x dx¢= Ví dụ 1: Với 3 5u x= - , ta có ( ) ( )3 5 3 5 .du d x x dx¢= - = - 3dx= Với 2 1t x= - , ta có 2 2 1t x= - . Lấy vi phân hai vế (theo biến tương ứng), ta được ( ) ( )2 2 1d t d x= - ( ) ( )2 2 1t dt x dx¢ ¢Û = - 2 . 2 .t dt x dxÛ = tdt xdxÛ = Ví dụ 2: a) ( ) 2 2 1 3 2I x x dx= - +ò 2 2 2 2 1 1 1 3 2x dx xdx dx= - +ò ò ò 2 2 2 2 1 1 1 3 2x dx xdx dx= - +ò ò ò 2 23 2 2 1 1 1 3. 2 3 2 x x x= - + 222 23 11 1 2 2 x x x= - + ( ) ( ) 2 2 3 3 2 12 1 2.2 2.1 2 2 æ ö = - - - + -ç ÷ è ø 15 2 = Có thể tính gộp: ( ) 2 2 1 3 2I x x dx= - +ò 3 2 3 1 2 2 x x x æ ö = - +ç ÷ è ø 2 2 3 32 12 2.2 1 2.1 2 2 æ ö æ ö = - + - - +ç ÷ ç ÷ è ø è ø 5 10 2 = - 15 2 = b) 4 0 2 1J x dx= +ò ( ) 4 1 2 0 2 1x dx= +ò ( ) ( ) 4 1 2 0 1 2 1 2 1 2 x d x= + +ò ( ) 4 1 12 0 2 11 12 1 2 x + æ ö ç ÷+ = ç ÷ ç ÷+ è ø ( ) 43 2 0 1 2 1 3 x= + ( ) 4 3 0 1 2 1 3 x= + ( ) ( )3 31 2.4 1 2.0 1 3 æ ö= + - +ç ÷ è ø ( )1 2627 1 3 3 = - = Nhận xét: Với đa số học sinh trung bình thì nên tính tích phân trên bằng phương pháp đổi biến 2 1t x= + 2 2 1t xÞ = + Lấy vi phân hai vế (theo biến tương ứng) ta được ( ) ( )2 2 1 2 2d t d x tdt dx= + Þ = tdt dxÞ = Đổi cận: Với 1x = ta có 2.0 1 1t = + = ; với 4x = ta có 3t = Vậy 33 3 3 2 1 1 1 . 3 t J t tdt t dt= = = =ò ò 3 33 1 26 3 3 3 - = Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2008, L2, KPB): Tính 1 0 3 1I x dx= +ò . ┼- 23Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 45 46 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ Câu 2 (Đề TN 2008, L2, Ban KHXH): Tính tích phân ( ) 2 2 1 6 4 1I x x dx= - +ò Đáp số: Câu 1: 149I = ; Câu 2: 9I = 2. PP đổi biến số. Lý huyết Một số dạng thường gặp: · ( )1 sin cos b a I f x xdx= ò . Đặt sint x= , ta có cosdt xdx= ( )1 cos sin b a I f x xdx= ò . Đặt cost x= , ta có sindt xdx= - Khi đó ( ) sin 1 sin b a I f t dt= ò hoặc ( ) cos 1 cos b a I f t dt= - ò · ( )2 2tan . cos b a dx I f x x = ò . Đặt tant x= , ta có 2 1 cos dt dx x = Khi đó ( ) tan 2 tan b a I f t dt= ò · ( )3 b x x a I f e e dx= ò . Đặt xt e= , ta có xdt e dx= Khi đó ( )3 b a e e I f t dt= ò · Tổng quát: ( ) ( )3 . b a I f u x u x dx¢= é ùë ûò . Đặt ( )t u x= , ( )dt u x dx¢= Ví dụ 1: Tính ( ) 6 3 cos 1 sinI x xdx p p = +ò · Đặt cost x= , ta có ( )cos sindt d x xdx= = - . · Đổi cận: Với 6 x p = , ta có 3 cos 6 2 t p = = Với 3 x p = , ta có 1 cos 3 2 t p = = . · Khi đó ( )( ) ( ) 31 2 2 13 22 1 1I t dt t dt= + - = +ò ò 3 22 1 2 2 t t æ ö = +ç ÷ è ø ( ) 2 23 12 3 12 2 2 2 2 æ öæ ö æ öç ÷ç ÷ ç ÷è øç ÷= + - +ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ è øè ø 3 3 1 1 3 1 8 2 8 2 2 4 æ ö= + - + = -ç ÷ è ø Ghi chú: các em cũng có thể đặt cos 1t x= + Ví dụ 2: Tính 2 0 cos 3 sin x J dx x p = +ò ┼- 24Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 47 48 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ Ta viết lại 2 0 1 .cos 3 sin J xdx x p = +ò (có dạng 1I ) · Đặt sint x= , ta có ( ) ( )sin sin . cosdt d x x dx xdx¢= = = · Đổi cận: Với 0x = , ta có sin 0 0t = = . Với 2 x p = ta có sin 1 2 t p = = . · Vậy ( ) 1 1 0 0 31 3 3 d t J dt t t + = = + +ò ò ( ) 1 0 ln 3t= + = ( ) ( )ln 1 3 ln 0 3= + - + = 4ln 4 ln3 ln 3 - = Ghi chú: Với bài này có thể đặt 3 sint x= + . Ta có ( ) ( )3 sin 3 sin cosdt d x x dx xdx¢= + = + = · Đổi cận: 0 3 sin 0 3x t= Þ = + = 3 sin 3 1 4 2 2 x t p p = Þ = + = + = · Khi đó 4 3 dt J t = ò 4 3 4 ln ln 4 ln 3 ln 3 t= = - = Cách đặt này giúp lời giải gọn và phép tính tích phân dễ thực hiện hơn rất nhiều so với cách 1. Các em lưu ý nhé ! Ghi nhớ: Trong quá trình tính tích phân dạng ln b b a a du u u =ò cần vận dụng vi phân để tính nhanh. Chẳng hạn ( )dx d x m= + với mọi m là hằng số. ( )1dx d mx n m = + với mọi m, n là hằng số. Ví như, trong 1 dx x +ò mẫu có dạng 1u x= + , nhưng tử chưa phải du do đó cần biến đổi để tử thành du: thay ( )1dx d x= + . Vậy ( )1 ln 1 1 1 d xdx x C x x + = = + + + +ò ò Ví dụ 3: Tính ln 3 0 1 x x e L dx e = + ò Giải: · Đặt 1xt e= + ( )1x xdt e dx e dx¢Þ = + = · Đổi cận: 00 1 1x t e= Þ = + = ln 3ln 3 1 3 1 4x t e= Þ = + = + = · Khi đó 4 4 1 1 2 dt L t t = =ò 2 4 2 1 2= - = Chú ý: Ở đây đã sử dụng công thức 2dt t C t = +ò Cách khác: Đặt 1xt e= + 2 1xt eÞ = + 2 xtdt e dxÞ = Đổi cận: 00 1 1x t e= Þ = + = ; ln3ln 3 1 3 1 2x t e= Þ = + = + = Khi đó 2 2 2 1 1 1 2 2 2 tdt L dt t t = = =ò ò ( )2 2 1 2= - = . ┼- 25Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 49 50 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ Bài tập: Câu 1 (Đề TN BTTH 2006): Tính tích phân ( ) 2 0 2sin 3 cosI x xdx p = +ò . Câu 2 (Đề TN 2006, Ban KHTN): Tính tích phân ( )ln 5 ln 2 1 1 x x x e e I dx e + = - ò . Gợi ý: Đặt 1xt e= - 2 1xt eÞ = - Suy ra 2 1xe t= + và 2 xtdt e dx= Câu 3 (Đề TN 2006, KPB): Tính 2 2 0 sin 2 4 cos x I dx x p = -ò . Câu 4 (Đề TN 2007, Bổ túc): Tính 2 0 cos 1 sin x I dx x p = +ò . Câu 5 (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHTN): Tính tích phân ( ) 1 42 3 1 1I x x dx - = -ò Đáp số: Câu 1: 4I = ; Câu 2: 26 3 I = ; Câu 3: 4 ln 3 I = Câu 4: ln 2I = ; Câu 5: 32 15 I = 3. PP tích phân từng phần Lý huyết b b b a a a udv uv vdu= -ò ò Dấu hiệu: Tích phân có dạng ( )1 .sin b a I f x xdx= ò ; ( )2 .cos b a I f x xdx= ò ; ( )3 . b x a I f x e dx= ò Cách giải: Đặt ( ) ( )u f x du f x dx¢= Þ = Còn sindv xdx= , ta có cosv x= - cosdv xdx= , ta có sinv x= xdv e dx= , ta có xv e= Ví dụ 1: Tính ( ) 4 1 0 2 3 sinI x xdx p = +ò Giải: · Đặt ( )2 3 2 3 2u x du x dx dx¢= + Þ = + = Với sindv xdx= , ta có cosv x= - . · Khi đó: ( )( ) ( )( ) 4 4 1 0 0 2 3 cos cos 2I x x x xdx p p = + - - -ò ( )( )1 2 3 cos 2.0 3 cos04 4I p pæ öæ ö= + - - + -ç ÷ç ÷ è øè ø 4 0 2 cos xdx p + ò ( ) 41 0 2 3 3 1 2sin 2 2 I x pp æ öæ ö= + - - - +ç ÷ç ÷ è øè ø 2 3 3 2 sin sin 0 2 2 4 p pæ ö æ ö= - + + -ç ÷ ç ÷ è ø è ø 2 2 3 3 2 0 2 2 2 p æ öæ ö= - + + -ç ÷ç ÷ è ø è ø 2 2 3 2 4 p = - - Nhận xét: Các em có thể tách 4 4 0 0 2 sin 3sinI x xdx xdx p p = +ò ò ┼- 26Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 51 52 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ Sau đó tính 4 4 0 0 2 sin 2 sinx xdx x xdx p p =ò ò bằng PP tích phân từng phần với cách đặt u x= . Và tính 4 4 4 0 0 0 3sin 3 sin 3cosxdx xdx x p p p = = -ò ò . Tính xong, cộng hai kết quả trên lại. Ví dụ 2: Tính ( ) 2 2 0 5 2 xI x e dx= -ò Giải: · Đặt ( )5 2 5 2 2u x du x dx dx¢= - Þ = - = - Với xdv e dx= , ta có xv e= · Khi đó ( ) ( ) 22 2 0 0 5 2 2x xI x e e dx= - - -ò ( ) ( ) 2 2 0 2 0 5 4 5 0 2 xI e e e dx= - - - + ò 22 0 1. 5.1 2 xe e= - + ( )2 2 05 2e e e= - + - ( )2 25 2 1e e= - + - · Vậy 22 3 7I e= - Ghi nhớ: Trong tích phân từng phần, mặc dù có đổi biến nhưng chúng ta không đổi cận. Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2006, Ban KHXH): Tính ( ) 1 0 2 1 xI x e dx= +ò . Câu 2 (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHXH): Tính tích phân ( ) 2 0 2 1 cosI x xdx p = -ò . Câu 3 (Đề TN 2008, L2, Ban KHTN): Tính ( ) 1 0 4 1 xI x e dx= +ò . Đáp số: Câu 1: 1I e= + ; Câu 2: 3I p= - ; Câu 3: 3I e= + 4. Tính diện tích hình phẳng Lý huyết Dạng 1: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( )y f x= , trục hoành và hai đường thẳng ;x a x b= = ( )a b< . ( ) b a S f x dx= ò Cách tính ( ) b a S f x dx= ò : · Giải ph/trình : ( ) 0f x = tìm các nghiệm 1 2; ;...; nx x x thuộc đoạn [ ];a b . (Nghiệm không thuộc, ta loại bỏ) · Phân tích ( ) b a S f x dx= ò ( ) ( ) ( ) 1 2 1 ... n x x b a x x f x dx f x dx f x dx= + + +ò ò ò Trên mỗi khoảng ( ) ( ) ( )1 1 2; , ; ,..., ;na x x x x b thì ( )f x có dấu xác định không thay đổi. Nên ( ) ( ) ( ) 1 2 1 ... n x x b a x x S f x dx f x dx f x dx= + + +ò ò ò {Đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân} ┼- 27Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 53 54 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3y x x= - , trục hoành và các đường thẳng 0; 2x x= = Lời giải: · Diện tích hình phẳng cần tìm bằng 2 3 0 S x x dx= -ò · Ta có ( )3 20 1 0x x x x- = Û - = 0; 1x xÛ = = ± Trên đoạn [ ]0;2 , ta loại bỏ 1x = - · Suy ra 1 2 3 3 0 1 S x x dx x x dx= - + -ò ò ( ) ( ) 1 2 3 3 0 1 x x dx x x dx= - + -ò ò 1 2 4 2 4 2 0 1 4 2 4 2 x x x xæ ö æ ö = - + -ç ÷ ç ÷ è ø è ø 1 1 16 4 1 1 4 2 4 2 4 2 æ ö æ ö= - + - - -ç ÷ ç ÷ è ø è ø 1 1 5 2 4 4 2 = + + = Nhận xét: Các em nên dùng máy tính cầm tay để tính và kiểm tra đáp án nhé ! Nếu em nào có kỹ năng xét dấu, có thể lập bảng xét dấu để khử dấu giá trị tuyết đối của 3x x- trên đoạn [ ]0;2 . Dạng 2: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số ( )y f x= và ( )y g x= . Cách giải: · Giải ph/trình ( ) ( )f x g x= tìm được các nghiệm 1 2; ;..., nx x x (Giả sử 1 2 ... nx x x< < < ) · Diện tích hình phẳng cần tìm ( ) ( ) 1 nx x S f x g x dx= -ò Chia S thành tổng các tích phân trên các khoảng ( )1 2;x x , ( )2 3;x x ,…, ( )1;n nx x- để tính bằng cách đưa dấu giá trị truyệt đối ra ngoài dấu tích phân. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 ... n n xx x x S f x g x dx f x g x dx - = - + + -ò ò ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 ... n n xx x x S f x g x dx f x g x dx - = é - ù + + é - ùë û ë ûò ò Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 2y x x= - và 0y = Giải: · Ph/trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho : 3 2 0x x- = ( )2 1 0 0; 1x x x xÛ - = Û = = · Vậy diện tích hình phẳng cần tìm ( ) 1 3 2 0 0S x x dx= - -ò ( ) 11 4 3 3 2 0 0 4 3 x x S x x dx æ ö = - = -ç ÷ è ø ò 1 1 4 3 = - 1 12 = Bài tập: Câu 1 (Đề TN BTTH 2006): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 23y x x= + , trục hoành và các đường thẳng 2, 1x x= - = - . Câu 2 (Đề TN 2006, KPB): ┼- 28Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 55 56 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số xy e= , 2y = và đường thẳng 1x = . Gợi ý: Đề đã cho một cận là 1x = . Để tìm cận còn lại ta giải ph/trình 2xe = log 2 ln 2exÛ = = Chú ý: ln 2 1< Vậy diện tích hình phẳng cần tìm bằng 1 ln 2 2xS e dx= -ò . Các em tự tính tiếp nhé ! Câu 3 (Đề TN 2007, L2, Ban KHXH): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 6y x x= - + , 0y = . 5.Tính thể tích khối tròn xoay (khi quay quanh trục Ox) Lý huyết Dạng 1: Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi đồ thị hàm số ( )y f x= , trục hoành và hai đường thẳng ;x a x b= = ( )a b< quay quanh trục hoành. ( ) 2 b a V f x dxp= é ùë ûò Ví dụ: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi đồ thị hàm số cosy x= , trục hoành và hai đường thẳng ; 6 2 x x p p = = quay quanh trục hoành. Giải: · Thể tích cần tìm bằng ( ) 2 2 6 cosV x dx p p p= ò ( ) 2 2 2 6 6 1 cos 1 cos 2 2 V xdx x dx p p p p p p= = +ò ò 2 6 1 sin 2 2 2 x x p p p æ ö= +ç ÷ è ø 1 1 2 sin sin 2 2 2 6 2 3 p p p pp æ öæ ö= + - -ç ÷ç ÷è øè ø 1 1 3 .0 . 2 2 2 6 2 2 p p pæ öæ ö = + - -ç ÷ç ÷ç ÷è øè ø Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHTN): Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường siny x= , 0y = , 0, 2 x x p = = . Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành. Chuyên đề VII: Số phức 1. Mô đun, các phép toán Lý huyết · Số phức z có dạng z a bi= + , trong đó ,a bΡ . · Môđun của số phức 2 2z a bi a b= + = + · Biết cách nhân hai số phức (Chú ý 2 1i = - ) Chia hai số phức: ( )( ) ( )( ) a bi c dia bi c di c di c di + -+ = + + - ( )( ) 2 2 a bi c di c d + - = + Số phức nghịch đảo: ( )( ) 2 2 1 a bi a bi a bi a bi a bi a b - - = = + + - + ┼- 29Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 57 58 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ Ví dụ 1: Tính mô đun của số phức 4 2 5z i= - . Giải: ( )224 2 5 36 6z = + - = = Ví dụ 2: Thực hiện các phép tính sau. a) ( )( )3 5 3i i- + b) ( ) 2 3 2i+ Giải: a) ( )( )3 5 3i i- + ( )215 9 5 3 15 3 1 4 18 4i i i i i+ - - = - - + = + b) ( ) 2 3 2i+ ( ) ( )( ) 2 2 2 3 2 6 4 6 4 3 2 3 2 133 2 i i i i i - - - = = = + - + 6 4 13 13 i= - Ví dụ 3: Tính ( )32 3P i= + . Giải: ( ) ( )22 3 2 3P i i= + + ( )( )22 6 2 9 2 3i i i= + + + ( )( ) ( )( )2 9 6 2 2 3 7 6 2 2 3i i i i= - + + = - + + ( )2 27 2 21 6 2 18 2i i i= - - + + 7 2 18 2 21 12i i= - - - + 25 2 9i= - - Cách 2: Khải triển P (theo hằng đẳng thức) { ( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b+ = + + + } ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 32 3 2 .3 3 2 3 3P i i i= + + + 2 2 18 27 2 27 25 2 9i i i= + - - = - - Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2008, L1, Phân ban): Tính giá trị của biểu thức ( ) ( )2 21 3 1 3P i i= + + - 2. Căn bậc hai của số thực âm Lý huyết · Căn bậc hai của số thực âm: Căn bậc hai của số thực 0a < gồm hai số i a- và i a Ví dụ: Căn bậc hai của 28- gồm 28 2 7i i- = - và 2 7i . Ghi nhớ: Chúng ta không viết 28- , mà chúng ta chỉ nói là các căn bậc hai của 28- . Bài tập: Tìm các căn bậc hai của 27- ; 45- . 3. Phương trình bậc hai không có nghiệm thực Lý huyết · Giải phương trình bậc hai ( )2 0 0ax bx c a+ + = ¹ trên tập số phức £ . Với 2 4 0b acD = - < (Delta âm) Phương trình có hai nghiệm phức 2 b i x a - ± D = Ví dụ: Giải phương trình 22 5 0x x- + = trên tập số phức £ . Giải: · Ta có ( )21 4.2.5 1 40 39 0D = - - = - = - < . · Vậy p/trình đã cho có hai nghiệm ( )1 39 2.2 i x - - ± = Hay 1 39 4 i x ± = 1 39 4 4 i= ± ┼- 30Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 59 60 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2006, Phân ban): Giải phương trình sau trên tập số phức 22 5 4 0x x- + = . Câu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Phân ban): Giải phương trình sau trên tập số phức 2 6 25 0x x- + = . Câu 3 (Đề TN 2008, Lần 2, Phân ban): Giải phương trình sau trên tập số phức 2 2 2 0x x- + = . Lời nhắn: - Để ôn tập có trọng tâm, các em cần tập trung ôn tập bám sát theo các dạng toán mà cấu trúc đề thi đã đưa ra. - Làm thêm các bài tập tương tự các dạng trên ở SGK (để đối chiếu với đáp án SGK cho). - Dành thời gian để giải một số đề thi thử (theo cấu trúc của Bộ GD&DDT) để rèn luyện thêm. Khi làm, cần tạp trung và làm nghiêm túc theo đúng thời gian đã định (150 phút). - Sau mỗi lần giải đề, tự đánh giá xem phần nào đã đạt yêu cầu, phần nào chưa, còn yếu thì cố gắng rèn luyện thêm. - Trong quá trình biên soạn, thời gian gấp rút nên không thể tránh được các thiếu sót. Rất mong các em học sinh thông cảm, phát hiện và góp ý giúp thầy hoàn thiện bộ tài liệu này để có thể lưu hành cho các năm sau. Chúc các em ôn tập tốt ! Hãy vững tinh và bình tĩnh, đọc cẩn thận đề trước khi làm bài ! Nam Đông, ngày 10 tháng 04 năm 2009 Biên soạn Đỗ Cao Long Địa chỉ liên hệ: Cụm 3, khu vực 2, thị trấn Khe Tre, huyện Nam Đông, tỉnh Thừa Thiên Huế.