Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn Toán (năm học 2009-2010)

Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 1 §Ò C¦¥NG ¤N THI TèT NGHIÖP M«n to¸n N¨m häc 2009 - 2010 CẤU TRÚC ĐỀ THI NGHIỆP THPT NĂM 2010 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ñiểm) Câu Nội dung kiến thức Điểm I • Khảo sát, vẽ ñồ thị của hàm số. • Các bài toán liên quan ñến ứng dụng của ñạo hàm và ñồ thị của hàm số: Chiều biến thiên của hàm số. Cực trị. Tiếp tuyến, tiệm cận (ñứng và ngang) của ñồ thị của hàm số. Tìm trên ñồ thị những ñiểm có tính chất cho trước; tương giao giữa hai ñồ thị (một trong hai ñồ thị là ñường thẳng);... 3,0 II • Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit. • Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Tìm nguyên hàm, tính tích phân. • Bài toán tổng hợp. 3,0 III Hình học không gian (tổng hợp): Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu. 1,0 II. PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm) Thí sinh học chương trình nào thì chỉ ñược làm phần dành riêng cho chương trình ñó (phần 1 hoặc phần 2). 1. Theo chương trình Chuẩn: Câu Nội dung kiến thức Điểm IV.a Phương pháp toạ ñộ trong trong không gian: − Xác ñịnh toạ ñộ của ñiểm, vectơ. − Mặt cầu. − Viết phương trình mặt phẳng, ñường thẳng. − Tính góc; tính khoảng cách từ ñiểm ñến mặt phẳng. Vị trí tương ñối của ñường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. 2,0 Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 2 V.a • Số phức: Môñun của số phức, các phép toán trên số phức. Căn bậc hai của số thực âm. Phương trình bậc hai hệ số thực có biệt thức ∆ âm. • Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay. 1,0 2. Theo chương trình Naââng cao: Câu Nội dung kiến thức Điểm IV.b Phương pháp toạ ñộ trong trong không gian: − Xác ñịnh toạ ñộ của ñiểm, vectơ. − Mặt cầu. − Viết phương trình mặt phẳng, ñường thẳng. − Tính góc; tính khoảng cách từ ñiểm ñến ñường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai ñường thẳng. Vị trí tương ñối của ñường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. 2,0 V.b • Số phức: Môñun của số phức, các phép toán trên số phức. Căn bậc hai của số phức. Phương trình bậc hai với hệ số phức. Dạng lượng giác của số phức. • Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng 2 + + = + ax bx cy px q và một số yếu tố liên quan. • Sự tiếp xúc của hai ñường cong. • Hệ phương trình mũ và lôgarit. • Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay. 1,0 Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 3 phÇn chung cho tÊt c¶ c¸c thÝ sinh CHñ §Ò kh¶o s¸t, vÏ ®å thÞ hµm sè vµ c¸c bµi to¸n liªn quan i. kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè 1. D¹ng 1: Hµm bËc ba y = ax3 + bx2 + cx + d ( 0a ≠ ) 1.1. C¸c b−íc kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ. 1. TËp x¸c ®Þnh: D = R 2. Sù biÕn thiªn * Ta cã y’ = 3ax2 + 2bx + c - XÐt dÊu y’ tõ ®ã suy ra sù ®ång biÕn, nghÞch biÕn cña hµm sè * T×m cùc trÞ. - T×m cùc trÞ tøc lµ t×m c¸c ®iÓm cùc ®¹i vµ cùc tiÓu cña hµm sè (nÕu cã) - C¸ch t×m: + NÕu t¹i x = x0 mµ y ’ ®æi dÊu tõ (+) sang (-) th× hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x = x0 vµ gi¸ trÞ cùc ®¹i lµ yC§ = y(x0) + NÕu t¹i i x = x0 mµ y ’ ®æi dÊu tõ (-) sang (+) th× hµm sè ®¹t cùc tiÕu t¹i x = x0 vµ gi¸ trÞ cùc tiÓu lµ yCT = y(x0) L−u ý: NÕu qua x0 mµ y’ ®æi dÊu th× hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x0, ng−îc l¹i x0 kh«ng lµ cùc trÞ cña hµm sè. * T×m c¸c giíi h¹n: { } { } 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 lim ( ) lim (1 ) , , lim ( ) lim (1 ) , , x x x x b c d ax bx cx d ax ax ax ax b c d ax bx cx d ax ax ax ax →+∞ →+∞ →−∞ →−∞ + + + + = + + + +∞ = −∞ + + + + = + + + +∞ = −∞ * LËp b¶ng biÕn thiªn. nÕu a > 0 nÕu a < 0 nÕu a < 0 nÕu a > 0 Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 4 1.2. VÝ dô: Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè y = -x3 + 3x2 – 4 1.3. H−íng dÉn 1. TËp x¸c ®Þnh: D = R 2. Sù biÕn thiªn * Ta cã y’ = -3x2 + 6x y’ = 0 ⇔ x = 0, x = 2 XÐt dÊu y’ (b¶ng xÐt dÊu nµy häc sinh cã thÓ lµm ngoµi giÊy nh¸p) x -∞ 0 2 +∞ y - 0 + 0 - Tõ b¶ng xÐt dÊu y’ ta cã Hµm sè nghÞch biÕn trªn c¸c kho¶ng (-∞ ; 0) vµ (2; +∞ ) Hµm sè ®ång biÕn trªn kho¶ng (0; 2) * Cùc trÞ: Hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 0, yCT = y(0) = -4 Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2, yC§ = y(2) = 0 * C¸c giíi h¹n: { }3 2 3 33 4lim (-x + 3x - 4) lim -x (1 - + ) x xx x→+∞ →+∞ = = −∞ { }3 2 3 33 4lim (-x + 3x - 4) lim -x (1 - + ) x xx x→−∞ →−∞ = = +∞ * B¶ng biÕn thiªn. x -∞ 0 2 +∞ y - 0 + 0 - y +∞ -∞ - 4 0 3. VÏ ®å thÞ: Khi vÏ ®å thÞ hµm sè ngoµi c¸c chó ý ®· tr×nh bµy trong SGK häc sinh cÇn l−u ý thªm mét sè ®iÓm sau c¸c b−íc sau: - BiÓu diÔn c¸c ®iÓm cùc trÞ (nÕu cã) lªn hÖ trôc to¹ ®é. - T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi c¸c trôc to¹ ®é, c¸c ®iÓm ®Æc biÖt vµ biÓu diÔn chóng lªn hÖ trôc to¹ ®é. Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 5 1.4. Bµi tËp tù gi¶i: Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ c¸c hµm sè sau: 1. y = x3 + 3x2 - 4 2. y = -x3 +3x – 2 3. y = x3 + x2 + 9x 4. y = -2x3 + 5 5. y = x3 + 4x2 + 4x 6. y = x3 – 3x + 5 7. y = x3 – 3x2 8. y = –x3 + 3x2 – 2 9. y = x3 – 6x2 + 9 2. D¹ng 2: Hµm trïng ph−¬ng y = ax4 + bx2 + c ( 0a ≠ ) 2.1. C¸c b−íc kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ. 1. TËp x¸c ®Þnh: D = R 2. Sù biÕn thiªn * Ta cã y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) - XÐt dÊu y’ tõ ®ã suy ra sù ®ång biÕn, nghÞch biÕn cña hµm sè * T×m cùc trÞ. C¸ch t×m cùc trÞ hµm bËc bèn ®−îc lµm t−¬ng tù nh− hµm bËc ba * T×m c¸c giíi h¹n: { }4 2 4 2 4 ,lim ( ) lim (1 ) ,x x b c ax bx c ax ax ax→±∞ →±∞ +∞ + + + = + + = −∞ * LËp b¶ng biÕn thiªn. 3. VÏ ®å thÞ: Khi vÏ ®å thÞ hµm sè bËc bèn häc sinh còng cÇn l−u ý mét sè ®iÓm nh− vÏ ®å thÞ hµm bËc ba. nÕu a<0 nÕu a>0 3. VÏ ®å thÞ: - Giao ®iÓm cña ®å thÞ víi c¸c trôc to¹ ®é Giao víi Ox (-1; 0), (2; 0) Giao víi trôc Oy (0; -4) Chän x = -2, y = 16 X = 3, y = -4 4 2 -2 -4 -6 -5 5 3-1 2 O Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 6 2.2. VÝ dô: Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè y = x4 - 2x2 + 2 2.3. H−íng dÉn 1. TËp x¸c ®Þnh: D = R 2. Sù biÕn thiªn * Ta cã y ‘ = 4x3 - 4x = 4x(x2 - 1) y’ = 0 ⇔ x = 0, x = 1, x = -1 B¶ng xÐt dÊu y’ x -∞ -1 0 1 +∞ 4x - - 0 + + x2 - 1 + 0 - - 0 + y’ - 0 + 0 - 0 + Tõ b¶ng xÐt dÊu y’ ta cã Hµm sè ®ång biÕn trªn c¸c kho¶ng (-1; 0) vµ (1; +∞ ) Hµm sè nghÞch biÕn trªn c¸c kho¶ng (-∞ ; -1) vµ (0; 1) * Cùc trÞ: Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 0, yC§ = y(0) = 2 Hµm ®¹t cùc tiÕu t¹i x = ± 1, yCT = y(± 1) = 1 * Giíi h¹n: { }4 2 4 2 42 2lim ( 2 2) lim (1 )x xx x x x x→±∞ →±∞+ − + = − + = + ∞ * B¶ng biÕn thiªn x -∞ -1 0 1 +∞ y’ - 0 + 0 - 0 + y +∞ +∞ 3. §å thÞ Giao ®iÓm cña ®å thÞ víi trôc Oy: (0; 2) 1 2 1 6 4 2 -2 -4 -5 5 1 1-1 f x( ) = x4-2⋅x2( )+2 Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 7 2.4. Bµi tËp tù gi¶i: Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ c¸c hµm sè sau: 1. y = -x4 + 8x2 - 1 2. y = -x4 – 2x2 + 3 3. y = 4 2 1 3 2 2 x x+ − 4. y = 4 22 3x x− + + 5. y = 4 2 3 2 2 x x− − + 6. y = 4 2 1 33 2 2 x x− + 7. y = x4 – 2x2 8. y = x4 + x2 + 1 9. y = 4 2 1 1 1 4 2 x x+ + 3. D¹ng 3: Hµm ph©n thøc h÷u tû B1/B1 ( 0)ax by ac cx d + = ≠ + 3.1. C¸c b−íc kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ. 1. TËp x¸c ®Þnh: D = \ dR c   −    2. Sù biÕn thiªn * Ta cã 2( ) ad cby cx d − ′ = + - NÕu ad – cb > 0 th× hµm sè ®ång biÕn trªn c¸c kho¶ng ( ; d c −∞ − ) vµ ( ; d c − + ∞ ) - NÕu ad – cb < 0 th× hµm sè nghÞch biÕn trªn c¸c kho¶ng ( ; d c −∞ − ) vµ ( ; d c − + ∞ ) * Hµm sè kh«ng cã cùc trÞ L−u ý: Lo¹i hµm sè nµy kh«ng cã cùc trÞ * T×m c¸c giíi h¹n: lim , lim dx x c ax b a ax b cx d c cx d→±∞ →− + + = = ∞ + + , do ®ã ®å thÞ hµm sè nhËn c¸c ®−êng th¼ng x = d c − lµm tiÖm cËn ®øng vµ y = a c lµm tiÖm cËn ngang. , lim ,d x c ax b cx d− → −    −∞+ =  +∞+  , lim ,d x c ax b cx d+ → −    −∞+ =  +∞+  * LËp b¶ng biÕn thiªn. 3. VÏ ®å thÞ: Khi vÏ ®å thÞ hµm sè b1/b1, ngoµi c¸c l−u ý trong SGK häc sinh cÇn l−u thªm mét sè ®iÓm sau: - VÏ c¸c ®−êng tiÖm cËn lªn hÖ trôc to¹ ®é - T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi c¸c trôc to¹ ®é, c¸c ®iÓm ®Æc biÖt vµ biÓu diÔn chóng lªn hÖ trôc to¹ ®é. nÕu ad – cb > 0 nÕu ad – cb < 0 nÕu ad – cb > 0 nÕu ad – cb < 0 Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 8 3.2. VÝ dô Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè 2 2 1 xy x − + = + 3.3. H−íng dÉn 1. TËp x¸c ®Þnh D = 1\ 2 R  −    2. Sù biÕn thiªn * Ta cã ( )2 5 0, 2 1 y x D x ′ = − < ∀ ∈ + Do ®ã hµm sè lu«n nghÞch biÕn trªn c¸c kho¶ng 1( ; ) 2 −∞ − vµ ( 1 ; 2 − + ∞ ) * Hµm sè kh«ng cã cùc trÞ * Giíi h¹n 1 1 2 2 2 1 2 2lim ; lim ; lim 2 1 2 2 1 2 1x x x x x x x x x− +→±∞    → − → −        − + − + − + = − = − ∞ = + ∞ + + + Do ®ã ®å thÞ hµm sè nhËn c¸c ®−êng th¼ng x = 1 2 − lµm tiÖm cËn ®øng vµ ®−êng th¼ng y = 1 2 − lµm tiÖm cËn ngang. * B¶ng biÕn thiªn x - ∞ - 1 2 + ∞ y′ - - y - 1 2 3. §å thÞ Giao ®iÓm cña ®å thÞ víi trôc Ox: (2; 0) Giao ®iÓm cña ®å thÞ víi trôc Oy: (0; 2) - 1 2 - ∞ + ∞ 6 4 2 -2 -4 -5 5 O- 1 2 - 1 2 f x( ) = -x+2 2 ⋅ x+1 Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 9 3.4. Bµi tËp tù gi¶i Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ c¸c hµm sè sau: 1. y = 2 1 x x + − + 2. y = 2 2 1 x x − + 3. y = 1 1 x x − + 4. y = 3 1 x x + − 5. y = 1 2 2 4 x x − − 6. y = 5 1 x x − − 7. y = 2 3 2 x x + − 8. y = 3 1 x x + + 9. y = 1 1 x x − + Ii. Mét sè d¹ng to¸n liªn quan ®Õn bµi to¸n kh¶o s¸t hµm sè 4. D¹ng 4: Dùa vµo ®å thÞ biÖn luËn theo tham sè m sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh F(x;m) =0 (1). 4.1. C¸ch giải: 4.2. VÝ dô: Cho hµm sè y = -x3 + 3x2 – 4 a/ Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè b/ Dùa vµ ®å thÞ biÖn luËn theo tham sè m sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: -x3 + 3x2 - 4 - m = 0 (1) 4.3. H−íng dÉn: Bµi to¸n nµy th−êng ®i kÌm theo sau bµi to¸n kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè y = f(x) v× thÕ ®Ó sö dông ®−îc ®å thÞ hµm sè võa vÏ tr−íc hÕt ta biÕn ®æi ph−¬ng tr×nh (1) t−¬ng ®−¬ng: f(x) = g(m). Khi ®ã sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) lµ sè giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè y = f(x) vµ ®−êng th¼ng y = g(m). Dùa vµ ®å thÞ, ta suy ra kÕt qu¶ biÖn luËn vÒ sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1). a/ ViÖc kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè ®· ®−îc tr×nh bµy (xem bµi 1.2). b/ Ph−¬ng tr×nh (1) t−¬ng ®−¬ng: -x3 + 3x2 - 4 = m(2). Sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) lµ sè giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè y = -x3 + 3x2 - 4 vµ ®−êng th¼ng y = m (lu«n song song hoÆc trïng víi trôc Ox). Dùa vµo ®å thÞ (h×nh 4.3) ta cã: * Khi m0: Ph−¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm * Khi m = 0 hoÆc m = -4: Ph−¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm * Khi -4<m<0: Ph−¬ng tr×nh (1) cã ba nghiÖm ph©n biÖt. 4 2 -2 -4 -6 -5 5 y = m y = m y = m H×nh 4.3 Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 10 4.4. Bµi tËp tù gi¶i: 1. Cho hµm sè y = x3 + 4x2 + 4x a/ Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè b/ Dùa vµo ®å thÞ biÖn luËn theo tham sè m sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh x3 + 4x2 + 4x + 2 – m = 0 (1) 2. Cho hµm sè y = y = x3 – 3x + 5 a/ Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè b/ Dùa vµo ®å thÞ biÖn luËn theo tham sè m sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh x3 – 3x + 5 + 3 m = 0 (1) 3. Cho hµm sè y = 4 2 3 2 2 x x− − + a/ Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè b/ Dùa vµo ®å thÞ biÖn luËn theo tham sè m sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh 4 2 1 2 x x− − + + m = 0 (1) 4. Cho hµm sè y = 4 2 1 33 2 2 x x− + a/ Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè b/ Dùa vµo ®å thÞ biÖn luËn theo tham sè m sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh 4 2 1 33 2 2 x x− + + m = 0 (1) 5. Cho hµm sè y = x3 – 3x2 a/ Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè b/ T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã 3 nghiÖm ph©n biÖt: x3 – 3x2 – 3 + m = 0 (1) 5. D¹ng 5: Bµi t−¬ng giao gi÷a ®−êng th¼ng y = px + q vµ ®å thÞ hµm sè y = f(x). 5.1. C¸ch gi¶i: Sè giao ®iÓm cña ®−êng th¼ng y = px + q víi ®å thÞ hµm sè y = f(x) lµ sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm: f(x) = px + q(1) Nh− vËy ®Ó xÐt sù t−¬ng giao cña ®−êng th¼ng vµ ®å thÞ hµm sè ta gi¶I vµ biÖn luËn ph−¬ng tr×nh (1). Dùa vµ sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) ta kÕt luËn vÒ sù t−¬ng giao cña ®−êng th¼ng y = px + q víi ®å thÞ hµm sè y = f(x). Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 11 5.2. VÝ dô Cho hµm sè y = 3 1 x x + + (C). Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m, ®−êng th¼ng (d): y = 2x+m lu«n c¾t (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. 5.3. H−íng dÉn 5.4. Bµi tËp tù gi¶i. 1. Cho hµm sè y = 1 1 x x + − (C). CMR ®−êng th¼ng 2x-y+m=0 lu«n c¾t ®å thÞ (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt thuéc 2 nh¸nh cña (C.) 2. T×m m ®Ó ®−êng th¼ng y = x +m c¾t ®å thÞ (C): y = 3 1 x x + − t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. 3. Cho hµm sè y = 3 2 1 x x − − .T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ®−êng th¼ng y = mx+2 c¾t ®å thÞ hµm sè ®· cho t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. 6. D¹ng 6: ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i mét ®iÓm M(x0, y0) thuéc ®å thÞ y = f(x). 6.1. C¸ch gi¶i 6.2. VÝ dô Cho hµm sè y = x3 – 3x + 5. ViÕt PTTT cña ®å thÞ t¹i ®iÓm M(1; 3). Ta cã ph−¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm: 3 1 x x + + = 2x+m (1). §−êng th¼ng (d) lu«n c¾t (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt víi mäi m khi vµ chØ khi ph−¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©m biÖt víi mäi m. ThËt vËy 3 1 x x + + = 2x+m 3 (2 )( 1) 1 x x m x x + = + + ⇔  ≠ − 2( ) 2 ( 1) 3 0(2) 1 g x x m x m x  = + + + − = ⇔  ≠ − XÐt ph−¬ng tr×nh (2), ta cã: 2 6 25 0 ( 1) 2 0 m m m g ∆ = − + > ∀ − = − ≠ . VËy ph−¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm kh¸c -1. Do ®ã ®−êng th¼ng (d) lu«n c¾t (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt víi mäi m. * Ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ t¹i ®iÓm M(x0, y0) thuéc ®å thÞ cã d¹ng: y-y0 = f ’(x0)(x-x0) (1) * T×m f’(x0) thay vµo (1) ta ®−îc tiÕp tuyÕn cÇn t×m. Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 12 6.3. H−íng dÉn: 6.4. Bµi tËp tù gi¶i: 1. Cho hµm sè y = 4 22 3x x− + + . ViÕt PTTT cña ®å thÞ t¹i ®iÓm M(2, 3) 2. Cho hµm sè y = 4 2 3 2 2 x x− − + ViÕt PTTT cña ®å thÞ t¹i ®iÓm M(1, 0) 3. Cho hµm sè y = 4 2 1 33 2 2 x x− + . ViÕt PTTT cña ®å thÞ t¹i ®iÓm M(1, -2) 4. Cho hµm sè y = x3 – 3x2 ViÕt PTTT cña ®å thÞ t¹i c¸c giao ®iÓm cña nã víi trôc Ox. 5. Cho hµm sè y = –x3 + 3x2 – 2. ViÕt PTTT cña ®å thÞ t¹i ®iÓm M(2, 2) 6. Cho hµm sè y = 1 2 2 4 x x − − ViÕt PTTT cña ®å thÞ t¹i giao ®iÓm cña nã víi trôc Ox. 7. Cho hµm sè y = 5 1 x x − − ViÕt PTTT cña ®å thÞ t¹i giao ®iÓm cña nã víi trôc Ox 7. D¹ng 7: TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng ®−îc giíi h¹n bëi ®å thÞ hµm sè y = f(x) vµ c¸c ®−êng th¼ng x = a, x = b, trôc Ox. 7.1. C¸ch gi¶i: 7.2 VÝ dô: Cho hµm sè y = x3 - 4x. a/ Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè. b/ TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ hµm sè víi c¸c ®−êng x = -1, x = 2 * Ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ t¹i ®iÓm M(1, 3) thuéc ®å thÞ cã d¹ng: y-y0 = f ’(x0)(x-x0) (1) * Ta cã y’ = f’(x) = 3x-3 ⇒ f’(1) = 0 thay vµo (1) ta ®−îc PTTT cÇn t×m lµ: y = 3 * Ta cã diÖn tÝch ( ) b a S f x dx= ∫ . §Ó tÝnh S ta ph¶I ph¸ dÊu trÞ tuyÖt ®èi cña biÓu thøc d−íi dÊu tÝch ph©n, muèn vËy ta lµm nh− sau: C¸ch 1: LËp b¶ng xÐt dÊu f(x), tõ ®ã ta cã thÓ ph¸ dÊu trÞ tuyÖt ®èi. C¸ch 2: NÕu trªn kho¶ng (a; b) ®å thÞ hµm sè y = f(x) n»m phÝa trªn trôc hoµnh th× ( ) ( )f x f x= Ng−îc l¹i, nÕu ®å thÞ n¨mg phÝa d−íi trôc hoµnh th× ( ) ( )f x f x= − . Sau khi ph¸ dÊu trÞ tuyÖt ®èi ta tÝnh tÝch ph©n b×nh th−êng, kÕt qu¶ ®ã chÝnh lµ diÖn tÝch cÇn t×m. 6 4 2 -2 -4 -5 5 O 1 -1 f x( ) = x3-4⋅x H×nh 7.3 Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 13 7.3 H−íng dÉn. a/ B¹n ®äc tù gi¶i, ®å thÞ (h×nh 7.3) 7.4. Bµi tËp tù gi¶I TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi: 1. y = x3 – 3x2 vµ c¸c ®−êng th¼ng x = -1, x = 2, trôc Ox. 2. y = –x3 + 3x2 – 2 vµ c¸c ®−êng th¼ng x = -1, x = 2, trôc Ox 3. y = x3 – 6x2 + 9 vµ c¸c ®−êng th¼ng x = -2, x = 1, trôc Ox 4. y = 4 22 3x x− + + vµ c¸c ®−êng th¼ng x = 0, x = 1, trôc Ox 5. y = 4 2 3 2 2 x x− − + vµ c¸c ®−êng th¼ng x = -1, x = 1, trôc Ox 6. y = 4 2 1 33 2 2 x x− + vµ c¸c ®−êng th¼ng x = -2, x = 1, trôc Ox b. C¸ch 1 * Ta cã diÖn tÝch cÇn t×m 2 3 1 4S x x dx − = −∫ . * Ph¸ dÊu trÞ tuyÖt ®èi: §Æt f(x) = x3 - 4x = x(x2 - 4) Trªn kho¶ng (-1; 2), ta cã x3 - 4x = 0 ⇔ x = 0, x = 2. * LËp b¶ng xÐt dÊu f(x). x -1 0 2 x - 0 + x2 -4 - -4 - f(x) + 0 - Tõ b¶ng xÐt dÊu, ta cã 2 0 2 0 2 0 2 3 3 3 3 3 3 3 1 1 0 1 0 1 0 4 4 4 ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 )S x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx − − − − = − = − + − = − − − = − − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ TÝnh kÕt qu¶ trªn ta suy ra diÖn tÝch cÇn t×m. C¸ch 2: Tõ ®å thÞ cña hµm sè (h×nh 7.3), ta cã: Trªn kho¶ng (-1; 0) ®å thÞ n»m phÝa trªn trôc hoµnh vµ trªn kho¶ng (0; 2) ®å thÞ n»m phÝa d−íi trôc hoµnh, nªn ta cã: 2 0 2 0 2 0 2 3 3 3 3 3 3 3 1 1 0 1 0 1 0 4 4 4 ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 )S x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx − − − − = − = − + − = − − − = − − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ TÝnh kÕt qu¶ trªn ta suy ra diÖn tÝch cÇn t×m. Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 14 8. D¹ng 8: T×m §iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ®å thÞ hµm bËc ba y = ax3 + bx2 + cx + d a/ Cã cùc trÞ. b/ Lu«n ®ång biÕn hoÆc nghÞc biÕn trªn R. 8.1. C¸ch gi¶i: a/ * T×m tËp x¸c ®Þnh D = R * TÝnh y’ = 3ax2 + 2bx + c Hµm sè cã cùc trÞ (cùc ®¹i vµ cùc tiÓu) khi vµ chØ khi ph−¬ng tr×nh y’ = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt. 0y m′⇔ ∆ > ⇒ cÇn t×m b/ * T×m tËp x¸c ®Þnh D = R * TÝnh y’ = 3ax2 + 2bx + c Hµm sè lu«n ®ång biÕn trªn R khi vµ chØ khi 0,y x R′≥ ∀ ∈ 0 0 y y m a ′ ′ ∆ ≤ ⇔ ⇒ > cÇn t×m Hµm sè lu«n nghÞch biÕn trªn R khi vµ chØ khi 0,y x R′≥ ∀ ∈ 0 0 y y m a ′ ′ ∆ ≤ ⇔ ⇒ < cÇn t×m Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 15 CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT A. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ Kieán thöùc cô baûn 1 – Caùc tính chaát cuûa luyõ thöøa. 2– Caùc tính chaát cuûa haøm soá muõ. 3 – Phöông phaùp giaûi phöông trình muõ. 3.1- Phöông trình muõ ñôn giaûn nhaát. * ( )= ⇔ = < ≠x ba a x b 0 a 1 * ( )= ⇔ = x aa b x lo g b 0 a 1 , b 0 Ví dụ 3x = 5 ⇔ x = log35 3.2 Phöông trình muõ thöôøng gaëp a. Phöông phaùp ñöa veà cuøng moät cô soá. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⇔ = < ≠f x g xa a f x g x 0 a 1 Ví duï: 32 8 2 2 3x x x= ⇔ = ⇔ = Baøi taäp: Giaûi caùc phöông trình sau 1)   =    x1 5 5 2) 5. 5x – 5x = 2x+1 + 2x+3 3) − = x 1 x x5 . 8 5 0 0 4) 1 6-x = 82(1 -x) 5) 52x = 62 5 1.1 ( )−= = = ≠0 1 n n1a 1 , a a , a a 0a 1.2 + −= = m m n m n m n n aa .a a , a a 1.3 ( ) ( )= =m nn m m . na a a 1.4 ( )  = =     nn nn n n a aa b a.b , b b 1.5 = m mnna a Cho haøm soá = xy a ( )< ≠0 a 1 2.1 Taäp xaùc ñònh D = R. 2.2 Taäp giaù trò : T = (0; +∞). 2.3 Haøm soá = xy a ñoàng bieán khi a > 1 vaø nghòch bieán khi 0 < a < 1. 2.4 = ⇔ =x ta a x t 2.5 > < <  ⇒ > ⇒ <  > >  x t x t a 1 0 a 1 x t ; x t a a a a Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 16 b. Phöông phaùp ñaët aån soá phuï Ñaët = xt a (t > 0) {choïn cô s oá a thích h ôï p} Ví dụ: G iải pt : 4 3.2 2 0x x− + = Giải . Biến ñổi pt 4 3.2 2 0x x− + = 2 2(2 ) 3.2 2 0 (2 ) 3.2 2 0x x x x⇔ − + = ⇔ − + = (1) . • Đặt t=2x , ñk t>0 . • Pt (1) 2 1 3 2 0 2 t t t t = ⇔ − + = ⇔  = . • Với t= 1 02 1 2 2 0x x x⇒ = ⇔ = ⇔ = . • Với t= 2 12 2 2 2 1x x x⇒ = ⇔ = ⇔ = Đáp số : Nghiệm của phương trình là x=0 , x=1 . Baøi taäp: G iaûi caù c phö ô ng tr ình 1) + = +x x x8 .3 3. 2 2 4 6 2) + + ++ = +x 1 x 4 x 24 2 2 1 6 3) + +− + =4 x 8 2 x 53 4. 3 27 0 4) − + −− = 2 2x x 2 x x2 2 3 5) 991010 22 11 =− −+ xx c) Phöông phaùp laáy loâragit (cô soá thích hôïp) hai veá. ( ) ( ) ( )= < ≠ < ≠f x g xa b 0 a 1, 0 b 1 Laáy loâga rit cô soá a ta ñöôï c: ( ) ( )= af x g x lo g b Ví dụ: Giải pt 23 .2 1x x = . Giải Lấy Lôgarit cơ số 3 hai vế , ta ñược : 2 2 2 2 3 3 3 2 3 3 3 3 2 23 3 3 3 .2 1 log (3 .2 ) log 1 log (3 .2 ) 0 log 3 log 2 0 log 2 0 (1 log 2) 0 0 0 0 1 1log 3 log1 log 2 0 log 2 1 log 2 3 x x x x x x x x PT x x x x x x x xx x = ⇔ = ⇔ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + = = = =  ⇔ ⇔ ⇔ −   = = − =+ = = −   Baøi taäp: Giaû i ca ùc p hö ông trìn h 1) 722.3 1 )12(3 = + − x x x 2) 132 2 − = xx , 3) 50085 1 = − x x x 4)lo gx+1(x2 + 3 x - 1 ) = 1 5) 4 10ln 1 xxx = Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 17 B. PHÖÔNG TRÌNH LOÂGARIT Kieán thöùc cô baûn Cho 0, 1a a> ≠ ; 1 20, 0, 0x x x> > > . 1) Ñònh nghóa log ba x b x a= ⇔ = Chuù yù: ( ) ( ) ( ) ( ) alog x x a 1 x a x 0 2 x lo g a x R = ∀ > = ∀ ∈ 2) Tính chaát ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 1) log 1, log 1 0 2) log . log log 3) log log log 4) log log , log5) log 0 1 log α α α = = = + = − = ∀ ∈ = < ≠ a a a a a a a a a a b a b a x x x x x x x x x x R x x b a Chuù yù: 1 1log ; log log , 0 log α α α = = ≠a aa b b x x a 3) Phöông phaùp giaûi a) Ñöa veà cuøng moät cô soá ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) b a a a log f x b f x a f x 0 ho aë c g x 0 l og f x log g x f x g x + = ⇔ =  > > + = ⇔  = AÙp duïng: Giải pt : 0)12(log)3(log 2 12 =+++ xx Giải ĐK: x > 2 1 − 0)12(log)3(log 2 12 =+++ xx ⇔ 0)12(log)3(log 22 =+−+ xx ⇔ )12(log)3(log 22 +=+ xx ⇔ x + 3 = 2x + 1 ⇔ x = 2 Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 18 Chuù yù: Kh i kh oâng s öû duïng coâ ng thöù c töông ñöông n hôù ñaët ñ ie àu k ieän ñe å haø m soá loâgar it coù nghóa (cô s oá pha ûi lôù n h ôn 0 vaø khaù c 1, b ie åu th öùc laáy loâ garit pha ûi d öô ng). Baøi taäp G iaûi caù c ph öô ng tr ình ( )231) l og x 2 x 1+ = ( )3 32) lo g x log x 2 1+ + = ( ) ( )23) lg x 2 x 3 lg x 3+ − = − ( ) ( )22 1 2 14 ) lo g x 1 log x 4 0 2 − + + = ( ) ( ) ( )84 221 15) lo g x 3 log x 1 lo g 4 x2 4+ + − = 2 2x6) lo g 2 lo g 4 x 3+ = b) Ñaët aån soá phuï Choï n aån so á ph uï thích hô ïp, b ie án ño åi phöô ng tr ình ñaõ cho thaøn h moä t ph öông tr ình ñaïi s oá. AÙp duïng: Giải pt : 13log2)12(log 123 +=+ +xx Giải ĐK: 1 2 1 ≠<− x 13log2)12(log 123 +=+ +xx ⇔ 01)12(log 2)12(log 3 3 =−+ −+ x x Đặt t = lo g3(2 x - 1 ) Ta ñược 012 =−− t t ⇔ t2 - t - 2 = 0 ⇒ t = -1, t = 2 Với t = -1 ⇒ log3 (2x - 1) = -1 ⇔ 2x + 1 = 3- 1 = 3 1 ⇔ x = 3 1 − t = 2 ⇒ log3( 2x - 1 ) = 2 ⇔ 2x + 1 32 = 9 ⇔ x = 4 Baøi taäp: Giaû i ca ùc p hö ông trìn h sau 1). 3log log 9 3xx + = . 2). 2 22 log 3.log 2 0x x− + = . 3). Lg4(x - 1)2 + lg 2(x - 1)3 = 2 5 4).log3( 2x + 1 ) = 2 lo g2x+1 + 1 5) 2log4( 3x - 2) + 2 log 3x-2 = 5 Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 19 C. BÊt ph−¬ng tr×nh mò 1. sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu 1) 2x < 3x/2 + 1 x<2 (chia cho2x) 2) 2.2x + 3.3x > 6x -1 x < 2 (chuyÓn 1 sang tr¸i vµ chia hai vÕ cho 6x) 3) 8x + 18x ≤ 2.27X → x ≥ 0 2. §−a vÒ cïng c¬ sè 1) 2.14x + 3.49x – 4x ≥ 0 → x ≥ log2/73 (chia hai vÕ cho 49x vµ ®Æt t = (2/7)x) 2) 2x + 2x + 1 ≤ 3x + 3x – 1 → x ≥ 2 3) 96] 12 3 13 3 1 1 12 >      +      + xx → -1<x < 0 4) 1 2 3 13 2 −− −      ≥ xx xx → x ≥ 2 5) 3x + 1 – 22x + 1 - 12x/2 0(chia cho 3x vµ ®Æt Èn phô t = ( 3/4 )x) 6) 1 23 23.2 2 ≤ − − + xx xx →0<x≤ log3/23 (chia c¶ tö vµ mÉu cho 2x) 7) ( ) ( ) 111 2525 +−− −≥+ xxx →x ≥1,-2≤ x<-1 Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 20 Chñ ®Ò Nguyªn hµm - tÝch ph©n A. nguyªn hµm I. KiÕn thøc c¬ b¶n 3, B¶ng c¸c nguyªn hµm: Nguyªn hµm cña c¸c hµm sè s¬ cÊp th−êng gÆp Nguyªn hµm cña c¸c hµm sè hîp (u=u(x)) dx x C= +∫ 1 ( 1) 1 x x dx C α α α α + = + ≠ − +∫ ln ( 0)dx x C x x = + ≠∫ x xe dx e C= +∫ (0 1) ln x x aa dx C a a = + < ≠∫ cos sinxdx x C= +∫ sin cosxdx x C= − +∫ 2cos dx tgx C x = +∫ 2 cotsin dx gx C x = − +∫ du u C= +∫ 1 ( 1) 1 u u dx C α α α α + = + ≠ − +∫ ln ( 0)du u C x u = + ≠∫ u ue du e C= +∫ (0 1) ln u u aa du C a a = + < ≠∫ cos sinudu u C= +∫ sin cosudu u C= − +∫ 2cos du tgu C u = +∫ 2 cotsin du gu C u = − +∫ 1, §Þnh nghÜa nguyªn hµm: F(x) ®−îc gäi lµ nguyªn hµm cña hµm sè f(x) trªn kho¶ng (a;b) nÕu: F'(x)=f(x), ( );x a b∀ ∈ 2, TÝnh chÊt cña nguyªn hµm: 1. ( )'( ) ( )f x dx f x=∫ 2. ( ) ( ) ( 0)af x dx a f x dx a= ≠∫ ∫ 3. [ ]( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫ 4. ( ) ( ) ( ( )) '( ) ( ( ))f t dt F t C f u x u x dx F u x C= + ⇒ = +∫ ∫ . Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 21 II. C¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n 1. D¹ng 1. ¸p dông c«ng thøc biÕn ®æi 1.1 VÝ dô a) ( )∫ +− dxxx 532 2 = ∫ dxx 22 - ∫ xdx3 + ∫ dx5 = ∫ dxx 22 - ∫ xdx3 + ∫ dx5 = Cx xx ++− 5 2 3 3 2 23 b) ∫       − dx x x 2cos 2 sin3 = ∫∫ − dx x dxx 2cos 1 2sin3 = –3cosx – 2tgx + C c) dx x xxx ∫ ++ 2 1 3 1 4 3 32 = ∫ ∫ ∫ −−− ++ dxxdxxdxx 2 1 3 2 4 1 32 = C xxx + +− + +− + +− +−+−+− 1 2 1 3 1 3 1 2 1 4 1 1 2 1 1 3 2 1 4 1 = Cxxx +++ 2 1 3 1 4 3 66 3 4 1.2 Bµi tËp tù gi¶i T×m nguyªn hµm c¸c hµm sè sau: a, f(x)= 3 1 cosx x x + − b, f(x)= 4 2 15 2 cos x x x − + c, f(x)= 4 3 2 5sin x x x − + + d, f(x)= 4 3 2 3 2 5x x x − + (x≠ 0), 2. D¹ng 2. ¸p dông nguyªn hµm ®æi biÕn sè d¹ng 1 2.1. D¹ng : I = ∫ + dxbax n)( a) C¸ch gi¶I tæng qu¸t: §Æt u = bax + b) VÝ dô : T×m I = ( )∫ + dxx 535 Ta cã )35()35( 5 1)35()35( 5 1)35( 555 ++=++=+ xdxdxxxdxx §Æt u = 5x + 3 ta ®−îc: ( ) ( ) ( )∫ ∫ ++=+ 35355 135 55 xdxdxx = ∫ += C uduu 6 . 5 1 5 1 65 = ( ) ( ) CxCx ++=++ 30 35 6 35 . 5 1 66 1. ( ) ( ) ( 0)af x dx a f x dx a= ≠∫ ∫ 2. [ ]( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫ Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 22 c) Bµi tËp tù gi¶i: T×m c¸c nguyªn hµm sau a, ( )∫ + dxx 423 b, ( )∫ − dxx 334 c, ( )∫ − dxx 616 d, ( )∫ − dxx 552 2.2. D¹ng : I = ∫ + dxbaxn a) C¸ch gi¶i: §Æt u = ax+b b) VÝ dô : T×m I = ∫ + dxx3 32 Ta cã : dxx3 32 + = )32()32( 2 1)32()32( 2 1 3 1 3 1 ++=′++ xdxdxxx §Æt: u = 2x + 3 ta ®−îc: ∫ + dxx3 32 = CxCuduuxdx ++=+==++ ∫∫ 3 4 3 4 3 1 3 1 )32( 8 3 4 3 . 2 1 2 1)32()32( 2 1 c) Bµi tËp tù gi¶i: T×m c¸c nguyªn hµm sau a, ∫ − dxx3 5 b, ∫ + dxx5 43 c, ∫ − dxx4 32 d, ∫ − dxx3 53 2.3. D¹ng : I = ∫ + dxe bax a) C¸ch gi¶i : §Æt u = ax + b b) VÝ dô : T×m : ∫ + dxe x 52 Ta cã : dxe x 52 + = )52()52( 5252 +=′+ ++ xdedxxe xx §Æt u = 2x + 5 ta ®−îc ∫ + dxe x 52 = CeCeduexde xuux +=+==+ ++ ∫∫ 5252 2 1 2 1 2 1)52( 2 1 c) Bµi tËp tù gi¶i: T×m c¸c nguyªn hµm sau a, ∫ − dxe x 32 b, ∫ + dxe x 73 c, ∫ − dxe x35 d, ∫ + dxe x 65 Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 23 2.4. D¹ng : I = ∫ + dx bax n)( 1 a) C¸ch gi¶i §Æt u = ax + b b) VÝ dô : T×m I = ∫ + dx x 5)23( 1 Ta cã: )23()23( 1 3 1)23()23( 1 3 1 )23( 1 555 ++ =′+ + = + xd x dxx x dx x §Æt u = 3x + 2 ta ®−îc : C x C u Cudu u xd x + + −=+−=+ − ==+ + − ∫∫ 44 4 55 )23(12 1 12 1 4 . 3 11 3 1)23()23( 1 3 1 c) Bµi tËp tù gi¶i: T×m c¸c nguyªn hµm sau a, ∫ − dx x 5)24( 1 b, ∫ + dx x 3)37( 1 c, ∫ − dx x 5)23( 1 d, ∫ + dx x 7)25( 1 3. D¹ng 3: ¸p dông nguyªn hµm tõng phÇn C«ng thøc nguyªn hµm tõng phÇn ∫ ∫−= vduuvudv 3.1 D¹ng 1: I = ∫ + dxebax x)( . Ph−¬ng ph¸p: §Æt u = ax + b, dv = dxe x 3.2 D¹ng 2: I = ∫ + xdxbax cos)( Ph−¬ng ph¸p: §Æt u = ax + b, dv = xdxcos 3.3 D¹ng 3: I = ∫ + sixdxbax )( Ph−¬ng ph¸p: §Æt u = ax + b, dv = xdxsin 3.4 D¹ng 4: I = ∫ + xdxbax ln)( Ph−¬ng ph¸p: §Æt u = ax + b, dv = xdxln 3.5 D¹ng 5: I = ∫ xdxx n ln Ph−¬ng ph¸p:§Æt u = nx , dv = xdxln Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 24 3.6 VÝ dô T×m: I = ∫ + dxex x)12( Gi¶i §Æt    = += dvdxe xu x 12 ⇒    = = xev dxdu 2 ⇒ I = ∫ + dxex x)12( = (2x + 1) - ∫ dxe x2 =2x + 1 – 2 xe + C 3.7 Bµi tËp tù gi¶i T×m c¸c nguyªn hµm sau a, ( )∫ − xdxx sin2 ; b, ∫ − xdxx cos)23( ; c, dxxx∫ + ln)53( ; d, ∫ − dxex x)53( ; e, dxxx∫ ln3 B. tÝch ph©n I. kiÕn thøc c¬ b¶n 1. C«ng thøc tÝnh tÝch ph©n: 2. TÝnh chÊt cña tÝch ph©n: 1. ( ) 0 a a f x dx =∫ 2. ( ) ( ) a b b a f x dx f x dx= −∫ ∫ 3. ( ) ( ) b b a a af x dx a f x dx=∫ ∫ ; a R∈ 4. [ ]( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫ 5. ( ) ( ) ( ) c b c a a b f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) bb a a f x dx F x F b F a= = −∫ trong ®ã F(x) lµ mét nguyªn hµm cña hµm f(x) trªn [a; b] Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 25 II. Ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n: 1. Ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn sè Qui t¾c: 1.1. VÝ dô tÝnh tÝch ph©n sau: 1) 4 0 I tgxdx pi = ∫ 1.2. H−íng dÉn Ta cã ∫∫ == 4 0 4 0 cos sin pipi dx x x tgxdxI §Æt t = cosx ⇒ dt = - sinxdx ⇒ sinxdx = - dt CËn ®æi: x = 0 ⇒ t = 1; x = 4 pi ⇒ t = 2 2 Khi ®ã I = 2 2 ln 1 2 2 ln 12 2 1 −=−=− ∫ tdtt 1.3. Bµi tËp tËp tù gi¶i TÝnh c¸c tÝch ph©n sau 1) ∫ + = 2 0 cos31 sin pi dx x x I 2) dx x xI e ∫ + = 1 ln1 3) ∫= 2 0 3 cossin pi xdxxI ; 4) ∫= 2 0 sin cos pi xdxeI x ; 5) ∫ += 6 0 cossin41 pi xdxxI 2. TÝch ph©n tõng phÇn 2.1 C«ng thøc tÝch ph©n tõng phÇn . bb b a aa udv u v vdu= −∫ ∫ 1. §Æt t=v(x), v(x) lµ mét hµm sè cã ®¹o hµm liªn tôc 2. BiÓu thÞ f(x)dx theo t vµ dt. Gi¶ sö f(x)dx=g(t)dt 3. T×m mét nguyªn hµm G(t) cña g(t) 4. TÝnh ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v bv b v a v a g t dt G t=∫ 5. KÕt luËn ( ) ( ) ( ) ( ) v bb a v a f x dx G t=∫ . Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 26 2.2. VÝ dô TÝnh tÝch ph©n ( )∫ −= 6 0 3sin2 pi xdxxI Gi¶i §Æt     −=⇒= −=⇒−= xvdvxdx dxduxu 3cos 3 13sin 2 I ( ) ∫−−−= 6 0 3cos 3 1 0 63cos2 3 1 pi pi xdxxx 9 7 0 63sin 9 1 3 2 −=−−= pi x 2.3. Bµi tËp tù gi¶i TÝnh c¸c tÝch ph©n sau 1/ a, ∫= 2 0 2 sin pi xdxxI ; b, dxxI e ∫= 1 ln ; c, ∫= 2 0 sin pi xdxeI x ; 2/ a, 2 2 1 2x xdx x − ∫ b, 2 2 3 3 1 2 6 4 2 x x x dx x + − − ∫ c, 8 3 2 1 dx x ∫ d, 33 2 6 2 cos cos xdx x pi pi − ∫ 3/ a, ( ) 61 2 0 1x x dx+∫ b, 1 2 3 0 2 1 x dx x+ ∫ c, 3 1 2 1 xx e dx− − ∫ d, 3 3 0 sin cos x dx x pi ∫ e, 0 .sinx xdx pi ∫ f, 1 2 0 . xx e dx∫ g, ( ) 2 1 2 1 lnx xdx+∫ h, 2 0 .cosx xdx pi ∫ i, 2 3 3 0 sin .cosx xdx pi ∫ j, 4 2 0 cos tgxe dx x pi ∫ k, 2 .ln e e dx x x∫ l, 2 5 0 sin xdx pi ∫ m, ( ) 1 1 3 xx e dx − +∫ n, 0 .cos 2 e xe xdx∫ p, 2 0 .cosxe xdx pi ∫ 4/ a, 2 2 0 sin 2 4 cos xI dx x pi = − ∫ b, ( ) 2 2 0 sin cosJ x x xdx pi = +∫ d, 1 2 3 0 3 1 xM dx x = +∫ Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 27 Chñ ®Ò H×nh häc kh«ng gian 1. D¹ng 1 : ThÓ tÝch khèi ®a diÖn C«ng thøc tÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp, khèi l¨ng trô, khèi hép ch÷ nhËt 1.1. VÝ dô Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, c¹nh bªn SA vu«ng gãc víi ®¸y, c¹nh bªn SB b»ng 3a . TÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp S.ABCD theo a . 1.2. H−íng dÉn 1.3. Bµi tËp tù gi¶i 1. Cho h×nh chãp tø diÖn ®Òu S.ABCD cã AB = a và SA = b . TÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp S.ABCD theo a và b. 2. Cho h×nh chãp tø diÖn ®Òu S.ABCD cã AB = a và gãc SAC b»ng 450 .TÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp S.ABCD theo a và b 3. Cho h×nh chãp tam gi¸c S.ABC cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c vu«ng t¹i ®Ønh B, c¹nh bªn SA vu«ng gãc víi ®¸y. BiÕt SA = AB = BC = a. TÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp S.ABC theo a. 4. Cho h×nh chãp tø diÖn ®Òu S.ABCD cã AB = a và gãc gi÷a mÆt bªn vµ mÆt ®¸y b»ng 600 .TÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp S.ABCD theo a 5. Cho khèi hép ch÷ nhËt ABCDA’B’C’D’ cã thÓ tÝch V. TÝnh thÓ tÝch cña khãi tø diÖn C’ABC theo V. 6. Trªn c¹nh CD cña tø diÖn ABCD lÊy ®iÓm M sao cho CD = 3CM.TÝnh tØ sè thÓ tÝch cña hai tø diÖn ABMD vµ ABMC. 1 ; ; . . 3 ˆ; .` KC KLT KHCN day V Bh V Bh V a b c B S h Chie u cao ′ = = = = = B D C A S 3a a Theo gi¶ thuyÕt ta cã :SA lµ chiÒu cao cña h×nh chãp 23 22 aaaSA =−= DiÖn tÝch ®¸y ABCD lµ 2. aaaS == VËy thÓ tÝch cña khèi chãp lµ : 32 3 2 .2 3 1 aaaV == Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 28 2. D¹ng 2: DiÖn tÝch xung quanh, thÓ tÝch cña khèi cÇu, khèi nãn, khèi trô 3. Ph−¬ng ph¸p x¸c ®Þnh t©m cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp 4. Ph−¬ng ph¸p t×m b¸n kÝnh cña t©m mÆt cÇu : Dùa vµo c¸c tam gi¸c vu«ng ®ång d¹ng hoÆc c¸c tam gi¸c vu«ng, ®Òu 5. VÝ dô: Cho h×nh chãp tø diÖn ®Òu S.ABCD cã AB = a và gãc gi÷a mÆt bªn vµ mÆt ®¸y b»ng 600 .TÝnh thÓ tÝch cña khèi cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp S.ABCD theo a 5.1. H−íng dÉn DÒ thÊy giao ®iÓm O cña AC vµ Db lµ t©m cña ®¸y ABCD, V× h×nh chãp S.ABCD ®Òu nªn SO vu«ng gãc víi ®¸y Gäi (Q) lµ mÆt ph¼ng trung trùc cña SA, (Q) c¾t SA t¹i P, SO t¹i I. khi ®ã I lµ t©m cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp khèi chãp B¸n kÝnh cña mÆt cµu lµ IS.TÝnh IS Theo gi¶ thuyÕt ta cã gãc SMN b»ng 600 nªn SO = MO. tan 600 hay 2 3aMO = KiÒn thøc c¬ b¶n 1. Cho khèi cÇu S(I,R) khi ®ã 32 3 4 ,4 RVRS pipi == víi S lµ diÖn tÝch mÆt cÇu, V lµ thÓ tÝch khèi cÇu 2. Cho h×nh trô (T) cã chiÒu cao h, b¸n kÝnh ®¸y R khi ®ã : hRVRhS xq 2 ,2 pipi == víi S lµ diÖn tÝch xung quanh cña h×nh trô, V lµ thÓ tÝch cña khèi trô 3. Cho h×nh nãn (N) cã ®−êng cao h, ®−êng sinh l, b¸n kÝnh ®¸y R khi ®ã hRVRhS xq 2 3 1 , pipi == víi S lµ diÖn tÝch xung quanh cña h×nh nãn, V lµ thÓ tÝch cña khèi nãn B−íc 1 : T×m t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ®a gi¸c ®¸y B−íc 2 : Dùng ®−êng th¼ng ®i qua t©m vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng ®¸y( ®−êng th¼ng nµy gäi lµ trôc ®−êng trßn) B−íc 3 : Dùng mÆt ph¼ng trung trùc cña mét c¹nh bªn bÊt kú B−íc 4 : Dùng giao cña mÆt trung trùc vµ trôc ®−êng trßn (®iÓm nµy lµ t©m cña mÆt cÇu) a B D C A S N M O P I Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 29 2 5 aSA = ( Tam gi¸c SAO vu«ng t¹i O) DÔ thÊy SIPSAO ~∆ nªn ta cã : 12 35 2 3 4 5 . 2 5 . a a aa SO SPSASI SP SO SI SA ===⇒= VËy 3 3 22 2 12 35 3 4 3 4 , 12 25 12 35 ..44        ===        == aRVaaRS pipipipipi 5.2. Bµi tËp tù gi¶i: 1. Mét mÆt cÇu ®i qua t¸m ®Ønh cña mét h×nh lËp ph−¬ng c¹nh a. a. TÝnh b¸n kÝnh cña mÆt cÇu theo a b. TÝnh diÖn tÝch vµ thÓ tÝch cña h×nh cÇu 2. Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, c¹nh bªn SA vu«ng gãc víi ®¸y, c¹nh bªn SB b»ng 3a . TÝnh thÓ tÝch cña khèi cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp S.ABCD theo a . 3. Cho h×nh chãp tam gi¸c S.ABC cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c vu«ng t¹i ®Ønh B, c¹nh bªn SA vu«ng gãc víi ®¸y. BiÕt SA = AB = BC = a. TÝnh thÓ tÝch cña khèi cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp S.ABC theo a. 4. Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu S.ABC cã AB = a và gãc gi÷a c¹nh bªn vµ mÆt ®¸y b»ng 600 . a/ TÝnh thÓ tÝch cña khèi cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp S.ABC theo a b/ TÝnh diÖn tÝch cña khãi cÇu 5/ Cho h×nh trô cã b¸n kÝnh ®¸y R vµ diÖn tÝch xung quanh b»ng 24 RS xq pi= .TÝnh thÓ tÝch cña khèi trô. 6/ Cho h×nh trô cã b¸n kÝnh ®¸y R vµ thÓ tÝch 33 RV pi= . TÝnh diÖn tÝch xung quanh cña khèi trô. 7/ Cho h×nh trô cã thiÕt diÖn ®i qua trôc lµ tam gi¸c vu«ng c¹nh 4a. TÝnh diÖn tÝch xung quanh, thÓ tÝch cña khèi trô. 8/ Cho h×nh trô cã chiÒu cao h = 2a. vµ diÖn tÝch xung quanh 24 aS xq pi= . TÝnh thÓ tÝch cña khèi trô, diÖn tÝch toµn phÇn cña khèi trô. 9/ TÝnh thÓ tÝch vµ diÖn tÝch xung quanh cña h×nh trô cã b¸n kÝnh ®¸y R, gäi A vµ B lµ hai ®iÓm thuéc hai ®¸y sao cho AB = 3R vµ gãc gi÷a AB vµ OO’ b»ng 300 .( O, O’ lÇn l−ît lµ t©m cña c¸c ®¸y) . HD : Bµi tËp tõ 6-10 thuéc lo¹i h×nh trô, khèi trô 10/ Cho h×nh nãn cã chiÒu cao h , b¸n kÝnh ®¸y R. TÝnh diÖn tÝch xung quanh, thÓ tÝch cña khèi nãn 11/ Cho h×nh nãn cã chiÒu cao h, ®−êng sinh l. TÝnh diÖn tÝch xung quanh, thÓ tÝch cña khèi nãn. 12/ Cho h×nh nãn cã chiÒu cao h, gãc ë ®Ønh b»ng 1200 . TÝnh diÖn tÝch xung quanh, thÓ tÝch cña khèi nãn. Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 30 13/ Cho h×nh nãn cã chiÒu cao h, gãc hîp bëi ®−êng sinh vµ ®¸y b»ng 300 . TÝnh diÖn tÝch xung quanh, thÓ tÝch cña khèi nãn. 14/ Cho h×nh nãn cã chiÒu cao h, gãc hîp bëi ®−êng sinh vµ ®−êng cao 300 . TÝnh diÖn tÝch xung quanh, thÓ tÝch cña khèi nãn. 15/ Cho h×nh nãn cã thÓ tÝch b»ng V vµ chiÒu cao h. TÝnh diÖn tÝch xung quanh cña khèi nãn theo V vµ h. Chó ý : Khi tÝnh thÓ tÝch hoÆc diÖn tÝch xung quanh cña khèi nãn, h×nh nãn. Ta cÇn x¸c ®Þnh ®−îc R, h, l. *NÕu biÕt h, l th× t×m R b»ng c«ng thøc 22 hlR −= *NÕu biÕt h, R th× t×m l b»ng c«ng thøc 22 hRl += *NÕu biÕt R, l th× t×m h b»ng c«ng thøc 22 Rlh −= * NÕu biÕt R, vµ gãc ë ®Ønh α2 th× : h = R αcot , l = αsin R * NÕu biÕt l, vµ gãc ë ®Ønh α2 th× : h = αcos.l , R = αsin.l * NÕu biÕt h, vµ gãc ë ®Ønh α2 th× : l = αcos h , R = αtan.coh * NÕu biÕt gãc t¹o bëi ®−êng sinh vµ c¸c ®¸y vµ mét trong ba yÕu tè R, h, l th× lµm t−¬ng tù nh− trªn Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 31 PhÇn riªng Theo ch−¬ng tr×nh chuÈn CHỦ ĐỀ PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN I. TOÏA ÑOÄ CUÛA VECTÔ VAØ CUÛA ÑIEÅM 1.Toïa ñoä cuûa vectô Ñònh nghóa: Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz cho vectơ → u tuø y yù ,do → i , → j , → k khoân g ñoàng phaún g neâ n toàn taï i boä ba soá thö ïc (x ; y ; z) sao → u = x → i + y → j + z → k Boä ba so á (x ; y ; z) go ïi laø toïa ño ä cuûa ve ctô → u , kí hieä u: → u = ( x ; y ; z ) Vaäy → u = ( x ; y ; z ) ⇔ → u = x → i + y → j + z → k Caùc tính chaát: → u = ( x ; y ; z ) , → v = ( x’ ; y’ ; z’ ) • → u + → v = ( x + x’ ; y + y’ ; z + z’ ) • → u - → v = ( x – x ’ ; y – y’ ; z – z’ ) • k → u = ( kx ; k y ; kz ) •      = = = ⇔= →→ ' ' ' zz yy xx vu 2. Toïa ñoä cuûa ñieåm : Ñònh nghóa: Tro ng kg(Oxy z ) cho ñie åm M tuøy yù. Toïa ñoä cuûa v ectô OM ñö ôïc goï i la ø toïa cuûa ñ ieå m M . Vaäy n eáu →− OM = (x ; y ; z) thì boä ba soá ( x ; y ; z) la ø to ïa ño ä cu ûa ñieå m M , Ta vie át : M ( x ; y ; z ) M ( x ; y ; z ) ⇔ →− OM = x → i + y → j + z → k Caù c tính cha át : A ( xA ; yA ; zA ) , B ( x B ; yB ; zB ) ta coù ; • AB = ( xB – xA ; yB – y A ; zB – zA ) • AB = 222 )()()( ABABAB zzyyxx −+−+− Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 32 •          − − = − − = − − = ⇔≠= →−→− k kzz z k kyy y k kxx x kMBkMA BA M BA M BA M 1 1 1 )1(, • M laø trung ñieåm cu ûa ñ oaïn AB ⇔          + = + = + = 2 2 2 BA M BA M BA M zz z yy y xx x • G(xG;yG; zG) laø tro ïng taâm töù d ieä n ABCD ⇔          +++= +++= +++= )( 4 1 )( 4 1 )( 4 1 DCBAG DCBAG DCBAG zzzzz yyyyy xxxxx 3 .Bieåu thöùc toïa ñoä cuûa tích voâ höôùng cuûa hai vectô : Cho hai v ectô → a = ( x1; y1 ; z1 ) , → b = ( x2 ; y 2 ; z2 ) ta co ù : * → a . → b = x1x2 + y1y2 + z1 z2 * → a ⊥ → b ⇔ x1x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0 * | → a | = 21 2 1 2 1 zyx ++ * cos ϕ = 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 . zyxzyx zzyyxx ++++ ++ * → a vaø → b cuøn g phö ông vôù i nhau ⇔ x1 : y1 : z1= x2 : y2 : z2 4 . Tích coù höôùng cuûa hai vectô: a. Ñònh nghóa : Cho ha i ve ctô → a = ( x1; y1 ; z1 ) , → b = ( x2 ; y2 ; z 2 ). Tích coù höôùng cuûa hai vectô → a vaø → b laø mo ät v ectô kí h ieä u laø [ → a , → b ] vaø [ → a , → b ] =        22 11 22 11 22 11 ;; yx yx xz xz zy zy Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 33 Ví du 1ï: Cho ba v ectô → a = ( 2;1 ; 0 ), → b = ( 1; -1; 2 ) , → c = (2 ; 2; -1 ). Tìm toïa ñoä cuûa v ectô : → u = 4 → a - 2 → b + 3 → c . Giaûi: Ta co ù: 4 a
(4.2; 4.1 ; 4. 0) = (8 ; 4 ; 0) 2 b
(2.1; 2 .(-1 ); 2.2) = ( 2; -2; 4) Töô ng töï : 3 c
(6; 6; - 3) ⇒ → u = 4 → a - 2 → b + 3 → c = (8 – 2 + 6; 4 + 2 + 6 ; 0 – 4 - 3) = ( 12; 1 2; -7 ) Baøi taäp 1. Vieá t toïa ñ oä cuûa caùc vectô sau : →→→→ −+−= kjia 432 , →→→ −= ijb 2 , →→ = kc 3 , →→→ −−= ikd 2 2. Cho ba ve ctô → a = ( 2;-5 ; 3 ), → b = ( 0; -2; 1) , → c = (-1 ; 6; 2 ). Tì m toïa ñ oä cuûa v ectô → u = 2 → a - → b . →→→→ ++= cbav 3 2 1 3. Cho ba ve ctô → a = ( 0;-2 ; 4 ), → b = ( 1; 3; - 1) , → c = (2 ; 0 ; 5 ). Tì m toïa ño ä cuûa : a) Vectô →→→→ +−= cbad 3 3 14 . b) Vectô → x bieá t →→→ −=+ aax 2 . c) Vectô → u bieá t →→→ =+ bua 52 d) Tì m →→→       cba .. , e) →→→       acb .. , g ) →→→     cba ., 4. Cho 3 ñieå m A ( 3 ;-4 ;7 ), B( -5 ; 3 ; -2 ) ,C (1; 2; -3 ). a. Xaùc ñònh ñ ieå m D sao cho tö ù g iaùc A BCD la ø hì nh bì nh haø nh . b. Tì m toïa ño ä g iao ñ ieå m cuûa ha i ñö ôøng che ùo. 5. Tr ong k hoâ ng g ian v ôùi h eä toïa ñ oä Oxy z cho ba ñie åm A (3;4;- 1) , B ( 2;0 ;3), C(-3 ;5 ;4) a. Tì m ño ä daø i caù c caïnh cuûa tm g iaùc A BC. b. Tín h cosin caù c goù c A, B,C . 6. Tr ong h eä toïa ñ oä Ox yz cho ba ñ ie åm A (1;2 ; -3) , B (3 ; 2 ; 0) , C ( - 4; 2 ; 5) . a) Chöùn g m inh A , B ,C laø ba ñænh cuûa m oä t ta m giaù c . b) Tì m toïa ño ä ñ ieå m D sa o cho tö ù gia ùc AB CD laø hình bì nh haø nh . Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 34 7. Tr ong k hoâ ng g ian v ôùi h eä toïa ñ oä Oxy z , ch o ba ñieåm A(1 ; -1 ;-3 ) , B(2 ;1 ; -2) , C(- 5 ; 2 ; -6) . a) Chöùn g m inh A , B , C laø ba ñænh cuûa ta m g iaù c . b) Tín h ño ä daø i phaâ n g iaùc ngoaøi goù c A cuûa tam g iaùc A BC. c) Tì m toïa ño ä tröï c taâ m cuû a tam g iaù c ABC. II . PHÖÔNG TRÌNH TOÅNG QUAÙT CUÛA MAËT PHAÚNG A. Lí thuyeát caàn nhôù : 1. Ñònh nghóa : • Vectô → n ≠ → 0 ñöôï c go ïi laø vectô pha ùp tuye án cuû a maët phaúng (α ) neáu noù naè m treâ n ñöôøn g tha úng v uoâ ng go ù c vôù i ( α ). Kí hieäu : → n ⊥ ( α ) • Tron g k hoân g g ian vôù i heä to ïa ño ä Oxy z neáu hai v ectô → a , → b ≠ → 0 , kho âng cuøng phöô ng vaø caùc ñ öôøn g thaú ng ch öùa chuù ng song son g h oaëc naè m tro ng (α ) ñö ôïc go ïi la ø caëp ve ctô chæ phöô ng cuûa maët ph aúng ( α ). Chuù y ù : N eáu (α) coù caë p vectô ch æ phö ông → a , → b th ì (α) coù moä t ve ctô pha ùp tuye án → n = [ → a , → b ] 2.Phöông trình maët phaúng: M aët pha úng ( α ) qua M0( x0 ;y0 ; z0 ) coù vtpt → n = ( A; B ; C ) co ù ph öôn g tr ình laø : A ( x – x0 ) + B ( y – y0 ) + C ( z – z 0 ) = 0 Phöông phaùp chung laäp phöông trình cuûa maët phaúng : Ñeå laäp phö ông tr ình cuûa mo ät maë t phaú ng ta caàn tìm moä t ñ ieå m thuo äc maët phaún g vaø vtp t cuûa n où hay tì m caëp v tcp cuûa noù V í dụ (α) laø ma ët p haúng tr ung tröï c cuûa ñ oaïn AB V ieá t phö ông tr ình toå ng qu aùt cuûa ma ët phaúng ( α ) tro ng caùc tröôøn g hôï p sau: (α) ñ i qua M (3; 2; -5 ) vaø vuo âng g où c vôù i truï c Oz .vô ùi A ( 3; -5 ; 4 ), B( 1 ; 3; -2 ) . Giaûi: + Maët phaú ng(α) ñ i qua M (3; 2; - 5 ) va ø vuo âng goùc vôù i truï c Oz nhaän )1;0;0(k
laøm vectô pha ùp tuye án coù p höông tr ình toå ng q uaùt laø: 0(x - 3) + 0(y -2) + 1(z + 5) = 0 ⇔ z + 5 = 0 + Goïi I la ø trung ñie å m cu ûa AB ta co ù I( 2;- 1;1) Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 35 Baøi taäp 1.Vieá t p höôn g tr ìn h to å ng quaù t cuûa maët phaún g ( α ) tro ng ca ùc trö ôøng hôïp sau : a.(α) ñ i qua M( 2 ; - 1 ; -3 ) vaø vuo âng g oùc v ôùi tru ïcc Ox . b.(α) la ø maë t trun g tröïc cu ûa ñoaïn AB vô ùi A(1; 3 ; 2 ), B( -1 ; 1; 0 ). c. (α) qua I(-1 ; 2;4 ) vaø son g song vôù i maët phaún g 2x – 3y + 5 z – 1 = 0 . 2.Vieá t p höôn g tr ìn h m aët phaú ng (α) tron g caù c tröô øng h ôïp sau : a. (α) ñi q ua hai ñieå m M( 1 ; -1 ; 2 ) , vaø vu oâng g oùc vôù i truï c Oz . b. (α) ñi qua ba ñieåm A(1; 6; 2 ), B( 5; 0; 4), C( 4; 0; 6 ) . 3.Vieá t p höôn g tr ìn h m aët phaú ng : a. Ñi qua A( 1 ; 0 ; 2) vaø song so ng v ôùi maë t phaúng xOy. b. Ñi q ua M(2 ;-1 ; -3 ) vaø vuo âng g oùc vôù i truï c Ox . c. Ñi qua I( -1 ; 2 ; 4) vaø song so ng v ôùi maë t phaúng (P): 2x – 3 y + 5 z – 1 = 0 . d. (α ) laø ma ët tru ng töïc cuûa ñ oaïn AB vôù i A(1 ; 2 ; 3) , B(- 1 ; 1 ; 0). e. (β ) ñi q ua ba ñ ieå m A(-1 ; 2 ; 3) , B(2 ; -4 ; 3) , C( 4 ; 5 ; 6). 4.Vieá t p höôn g tr ìn h m aët phaú ng : a. Ñi qua ha i ñ ieå m A( 1;1 ;0) , B(-1 ; 2 ;7) vaø v uoâng goù c vô ùi maë t phaú ng (α) :2x–3 y+z–7 = 0 . b. Ñi q ua M(0 ;2; -1), song song vôù i truï c Ox vaø vuo âng g oùc vôù i maët phaúng (β) x– y +z = 0. c. Ñi qua N(-3 ;0 ;1) vaø vuoân g goù c v ôùi hai maë t phaúng (P):2x–3y+ z–2 = 0;(Q) :x+5 y–2z = 0 5.Cho töù die än AB CD coù A(5 ; 1 ; 3) ,B(1 ; 6 ; 2) , C( 5 ; 0 ; 4) ,D(4 ; 0 ;6) . a. Vieá t phö ông tr ình m aët phaú ng ( BCD). b. Vieá t p höôn g trìn h m aët phaú ng ñ i qua A B vaø song song vôù i CD . c. Goï i G la ø tr oïng taâ m cuûa ta m gia ùc B CD . Vieá t phö ông tr ình maë t phaú ng ñi qua G vaø s ong song vô ùi maët phaú ng (A BC ) . Ta co ù )6;8;2( −−AB . Maët phaú ng tru ng tr öïc cu ûa ñoaû n AB ñ i qua I vaø nha än )6;8;2( −−AB laøm vectô phaùp tuy eán coù p höôn g trìn h toång q uaùt laø: -2(x - 2) + 8(y + 1) -6(z - 1) = 0 ⇔ -2 x + 8y - 6z + 1 8 = 0 Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 36 III. ÑÖÔØNG THAÚNG A. Lí thuyeát caàn nhôù B.Phöông phaùp chung ñeå laäp phöông trình cuûa ñöôøng thaúng: Ñeå la äp p höôn g tr ìn h cuûa mo ät ñ öôøn g thaúng ta söû d uïng mo ät tro ng hai caù ch sau : • Tì m ve ctô chæ p höôn g cuûa ñ öôøn g tha úng vaø m oät ñ ie åm thu oäc ñöô øng thaúng. Chuù yù :+ Ha i ñöô øng th aúng song song coù cu øng vectô chæ phöô ng. +Neá u ñö ôøng th aúng vu oâng goù c vô ùi maë t phaú ng thì noù nhaän vtpt cuûa maët phaún g laø m vtcp. Caùch giaûi: • Vieá t phö ông tr ình maë t phaúng (α) qua M vaø v uoâng goù c vô ùi ( ∆ ). • Vieá t phö ông tr ình maë t phaúng (β) qua M vaø ( ∆ ). Chuù yù : N eáu (∆) ⊥ m p(α) th ì (∆) nhaä n VTP T cu ûa (α) laø m V TCP Ví dụ 3: Vieá t p höôn g trì nh tham so á vaø ch ính taéc cuûa ñöôø ng thaún g ( ∆ ): a. Qua hai ñ ieå m M( 2 ; - 3 ; 5), N ( 1; -2 ; 3). b. Qua A(1; -1; 3) vaø son g song v ôùi BC tron g ñ où B(1 ; 2 ; 0 ),C(- 1; 1; 2 ) c. Qua D(3; 1 ; - 2) vaø vuoâ ng goù c v ôùi maë t pha úng 3x + 4y – 2z +5 = 0 Giaûi: a. Ñöôøng tha úng ( ∆ ) ñ i qua ñieåm M ( 2 ; -3 ; 5) nhaän v ectô )2;1;1( −−MN laøm vectô chæ phöô ng coù p höôn g trìn h : + Ph öông tr ìn h tha m soá :      −= +−= −= tz ty tx 25 3 2 , Rt ∈ + Ph öông tr ìn h ch ính taé c: 2 5 1 3 1 2 − − = + = − − zyx Vectô → u ≠ → 0 naèm tr eân ñ ö ôøng thaún g song s ong h oaëc truø ng v ôùi ñöô õng th aúng (d ) goïi laø v ectô ch æ phö ôn g cuûa ñöôø ng thaún g (d) . Ñöôøng thaún g (d ) ñ i qu a ñieå m M0( x0; y0 ; z0 ) coù vectô ch æ phö ông → u = ( a; b ; c) coù phöô ng trìn h tham soá laø :      += += += ctzz btyy atxx 0 0 0 t ∈ R Phöông tr ình ch ính taéc : c zz b yy a xx 000 − = − = − . Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 37 b. . Ñöôø ng thaún g ( ∆ ) ñi qua ñieåm A ( 1 ; -1 ; 3) song son g vôù i B C nhaä n vectô )2;1;2( −−BC laøm vectô chæ phöô ng coù p höông tr ình : + P höôn g tr ì nh tha m soá :      += −−= −= tz ty tx 23 1 21 , Rt ∈ + P höôn g tr ì nh ch ính taé c: 2 3 1 1 2 1 − = − + = − − zyx c. Ñöôø ng thaún g ( ∆ ) ñi q ua ñie åm D( 3; 1; -2) v aø vuoâ ng go ùc vôù i ma ët p haúng 3x + 4y – 2z +5 = 0 nh aän ve ctô phaùp tu yeán cuûa maë t pha úng )2;4;3( −n
laø m ve ctô chæ phöôn g co ù ph öông tr ìn h: + Ph öông tr ìn h tha m soá :      −−= += += tz ty tx 22 41 33 , Rt ∈ + P höôn g tr ì nh ch ính taé c: 2 2 4 1 3 3 − + = − = − zyx C. Baøi taäp : 1. Cho A(4; -3; 2), B(-2; 1; -4) a. Viết PT mặt phẳng trung trực của ñoạn thẳng AB b. Viết PT mặt phẳng quá A, B và song song với Ox. 2. Cho ñường thẳng d: 1 1 1 2 x t y t z t = −  = − +  = + và (P): x + 2y + z - 5 = 0 Viết phương trình hình chiếu vuông góc d của A lên (P). 3. Vieá t p höôn g trìn h th am soá , phöô ng trì nh chính taé c cuûa ñö ôøng thaú ng ñi qua ha i ñ ieå m A(-1 ; 4 ; 3) , B(2 ; 1 ; 1). 4. V ieá t ph öông tr ình chính taéc cu ûa ñöô øn g thaú ng : a) Ñ i qua ñie å m M( 1 ; - 2 ; 3) vaø s o ng song vôù i ñö ôøng thaú ng :      = −−= += tz ty tx 4 3 31 b ) Ñi q ua ñieå m N( 2 ; 3 ; - 4 ) vaø vöoâ ng goù c v ôùi maë t pha úng x -2y + z – 6 = 0 Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 38 IV. VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI CUÛA CAÙC ÑÖÔØNG THAÚNG VAØ MAËT PHAÚNG. A. LÍ THUYEÁT : 1/ Vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng: Cho ha i ñö ôøng tha ún g : (d ) : c zz b yy a xx 000 − = − = − ,( d ’ ): ' ' 0 ' ' 0 ' ' 0 c zz b yy a xx − = − = − (d) q ua M0(x0 ;y0 ;z0 ) , coù VTCP → u = ( a; b; c) (d’) qua M’0 (x’0 ;y’ 0 ;z’0 ) , coù V TCP ' → u = ( a’; b’ ; c’) 1) (d) vaø (d’ ) ñoà ng p haúng ⇔ 0].,[ '00' = →−−−→→ MMuu 2) (d) vaø (d’) caé t nha u ⇔ 0].,[ '00' = →−−→→ MMuu vaø a:b :c ≠ a’:b’ :c’ 3) (d)//(d ’) ⇔ a :b:c = a’ :b’:c’≠ (x’0 – x0 ):(y’0 – y0) :(z’ 0 – z0) 4) (d) ≡ (d’) ⇔ a:b :c = a’:b’ :c’ = (x ’0 – x0 ) :(y ’0 – y0) :(z’0 – z0) 5) (d) vaø (d’) ch eùo n hau ⇔ 0].,[ '00' ≠ →−−−→→ MMuu Ví duï: Xe ùt vò tr í tö ôn g ñoá i cuûa ca ùc caëp ñ öôø n g thaú ng sau a. d : 11 2 3 1 zyx = + = − vaø d’    =+ =+−+ 01 02 x zyx b. d :    =++ =−+− 012 01 yx zyx vaø d’ :    =+−+ =+− 033 012 zyx yx Giaûi a. Ñöôøng thaú ng (d ) ñ i qua ñieåm M (1 ; -2 ; 0) coù ve ctô ch æ p höôn g )1;1;3(u
. Ñöôøng thaú ng (d ’) ñ i qua ñieåm M ’(- 1; 0 ; 1 ) coù v ectô chæ phö ông )1;1;0(, −−u
. Ta coù : + ],[ uu

′ =(0; 3 ; -3 ), MM ′ (-4; -1 ; 0 ) + ],[ uu

′ . MM ′ =0(-4) +3(-1) + (-3) 0 = -3 ≠ 0 ⇒ d vaø d’ cheù o nhau b. Ñöôøn g thaúng (d) ñ i qua ñieåm M (0 ; -1 ; 0) coù ve ctô ch æ p höôn g )3;2;1(−u
. Ñöôøng thaú ng (d ’) ñi qua ñie åm M ’(0 ; 1 ; - 4) co ù ve ctô chæ p höôn g )5;2;1(,u
. Ta coù : + ],[ uu

′ =(4; 8 ; -4 ), MM ′ (0; 2; -4) + ],[ uu

′ . MM ′ =4.0 + 8.2 -4. (-4 ) = 0 ( 1) + -1 :2 :3 ≠ 1:2:5 ( 2) Töø ( 1) vaø (2) ⇒ d vaø d’ caét nhau Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 39 Baøi taäp : Xeù t v ò trí töô ng ñoá i cuûa caùc caëp ñöô ø ng tha úng sau a) d : 3 3 6 2 9 1 − = − = − zyx vaø d ’: 2 5 4 6 6 7 − = − = − zyx b) d: 3 3 6 2 9 1 − = − = − zyx vaø d’ : 2 5 4 6 6 7 − = − = − zyx c) 12 2 2 1 zyx = − − = − va ø d’ :      = +−= −= 4 35 2 z ty tx . 2/ Vò trí töông ñoái cuûa hai maët phaúng : Chú ý: Điều kiện vuông góc giữa 2 mp: ( ) ( ) ' ' ' 0AA BB CCα β⊥ ⇔ + + = B. BAØI TAÄP Baøi1. Xeù t vò tr í töôn g ñoái cu ûa caù c ca ëp ma ët p haúng sau a. ( α ): x + 2y – z + 5 = 0 vaø ( β ): 2 x + 3y -7z – 4 = 0 b. ( α ) : x – 2 y + z + 3 = 0 vaø ( β ): 2 x -y + 4z – 2 = 0 c. ( α ): x + y + z - 1 = 0 vaø ( β ): 2x + 2y -2 z + 3 = 0 d. ( α ): 3x - 2y – 3 z + 5 = 0 vaø ( β ): 9 x - 6 y -9 z – 5 = 0 e.( α ): x - y + 2z -4 = 0 v aø ( β ): 10x - 6y + 20z – 40 = 0 Baøi 2. Xaùc ñ òn h caù c g iaù tr ò l vaø m ñ eå caùc maë t phaúng sau ñaây so ng so ng vôù i n hau a. 2x + ly + 2z + 3 = 0 vaø mx+ 2y - 4z + 7 = 0 b. 2x + y + mz - 2 = 0 vaø x + ly + 2z + 8 = 0 Baøi 3. Xeù t vò tr í töôn g ñoá i cuûa ca ùc caëp maë t phaúng sau : a) 2x – 3y + 4 z – 5 = 0 vaø 3x – y +z – 1 = 0 . b ) – x +y – z + 4 = 0 vaø 2 x – 2y + 2z – 7 = 0. c) x + y + z – 3 = 0 vaø 2 x – 2 y + 2 z – 3 = 0. d ) 3x + 3y – 3 z – 12 = 0 vaø 4 x + 4 y – 4z – 16 = 0 . Cho hai mp ( ) ( ),α β lần lượt có phương trình: ( ) :α Ax+By+Cz+D=0 β ):A’x+B’y+C’z+D=0 a) (α ) cắt ( β ) : : ' : ' : 'A B C A B C⇔ ≠ b) D D C C B B A A ′ ≠ ′ = ′ = ′ ⇔)//()( βα c) ( ) ( ) ' ' ' ' A B C D A B C D α β≡ ⇔ = = = Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 40 Baøi 4 : C ho ha i maë t p h aúng coù ph öông tr ình :( m2–5) x – 2y + m z + m – 5 = 0 vaø x + 2y – 3n z +3 = 0 . Tì m m , n ñ eå h ai maë t pha úng : a) Song song vôù i nha u . b) Truø ng n hau . c) Song song vôù i nha u . d) Truø ng n hau . e) Caét n hau . Baøi 5 : C ho ha i maë t p h aúng : 3x – ( m – 3 )y +2 z – 5 = 0 vaø ( m + 2 )x – 2y + m z – 1 0 = 0 . Tì m m ñeå a) Hai maë t phaú ng son g so ng vôù i n hau . b) Hai maë t phaú ng truø ng n hau . c) Hai maë t phaú ng caét nha u . V. KHOAÛNG CAÙCH, GOÙC A. LÍ THUYEÁT : 1. Khoaûng caùch töø moä t ñieå m tôù i m oä t maë t p haú ng Khoaûng caù ch töø ñie å m M0(x0 ; y0 ; z0) ñ eán m aët phaú ng (α) : Ax + By + Cz + D = 0 Kí hieäu : d(M0 ;(α)) = 222 000 CBA DCzByAx ++ +++ 2. Khoaûng caù ch töø moä t ñieå m tôù i m oä t ñöô øng th aúng Khoaûng caù ch töø ñie å m M ñe án ñö ôøng thaú ng (∆ ) ñ i qua ñie åm M0 va ø coù ve ctô ch æ ph öông u
ñöôï c xaù c ñ ònh the o co â ng th öùc: d(M, ∆) = [ ] u uMM

,0 3. Khoaûng caù ch g iöõa h ai ñöô øng thaún g cheùo n hau Cho ha i ñöô øng thaún g d 1 ñi q ua ñieå m M1 coù v ecy tô chæ phöô ng 1u
vaø ñ öôøng thaú ng d2 ñi qua ñieå m M2 coù vecytô ch æ phöôn g 2u
. Goïi h laø k ho aûng caù ch giö õa d1 va ø d2 ta co ù: [ ] [ ]21 2121 , ., uu MMuu h



= Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 41 B. BAØI TAÄÂP: 1. Tính khoaû ng ca ùch töø caù c ñ ieå m M1( 1;- 3;4 ) , M2( 0;4 ;1) , M3 ( 2;-1 ;0 ) ñ eán maë t pha úng (α) : 2x –2 y + z – 5 = 0 2. Tính khoaû ng ca ùch töø ñieå m A(1 ;1 ;3) tôù i ñö ôøng thaún g ∆: 3 1 2 1 1 2 − + = − = + zyx 3. Tính khoaû ng ca ùch g iöõa ha i ñö ôøng thaú ng ch eùo nha u : (∆1) :    =+− =+−+ 012 05 yx zyx vaø (∆2) : 1 3 1 2 1 1 − − = + = − zyx 4. Tìm tre ân Oz ñieåm M caùch ñeà u ñ ieå m A( 2 ; 3; -1 ) vaø ma ët phaúng :x + 3y +z – 17 = 0 5. Tr ong k hoâ ng g ian v ôùi h eä truï c toïa Ox yz ch o ñie åm M (1;-2;3). Tín h khoaû ng ca ùch tö ø M ñe án : a) Maët phaú ng Oy z . b) Maët phaú ng (P) : x – 2y – 2z + 3 = 0. VI. MAËT CAÀU A.Lí thuyeát caàn nhôù: Phöông trình Maët caàu: a. Maët caàu (S) coù taâ m I(a ;b;c), baùn kín h R coù p höôn g trìn h laø : ( x - a )2 + ( y - b )2 + ( z - c )2 = R2 b. Phöôn g trìn h : x2+y 2+z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 ,a2+b2+ c2- d > 0 laø p höôn g tr ìn h cu ûa maët caàu co ù taâ m I (a;b ;c) , baùn kín h R = dcba −++ 222 B.Caùc daïng baøi taäp thöôøng gaëp: 1. Tìm taâ m vaø ba ùn k ín h cuûa maë t caà u sau : a) x2 + y2 + z2 – 8x + 2y + 1 = 0 b ) x2 + y2 + z 2 + 4x + 8y – 2z – 4 = 0 c)3x 2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 9y + 1 2z – 4 = 0 2. Vieá t p höôn g trìn h m aët ca àu (S) tro ng caùc trö ôøng h ôïp sau : a) (S) co ù taâ m I ( 1 ; -2 ; 3 ) vaø ñ i qua ñ ie åm M( 3 ; 2 ; 4 ). b) (S) co ù ñöô øng kín h AB vôùi A(1 ; 4 ; 5), B ( 3 ; -2; 7 ). c) (S) co ù taâ m I ( 0 ; 4; 3 ) vaø tieáp xuù c vô ùi maë t ph aúng (α) : 2x + y – 2z + 8 = 0 d) (S) ngoaï i tie áp töù die än ABCD vôù i A( 3 ; 2 ; 6 ), B( 3; -1 ; 0 ) ,C( 0 ; - 7; 3 ),D(-2 ;1 ; -1 ). 3. Laä p phö ông tr ình m aët ca àu (S) ñi qua ba ñ ieåm A( 1; 2; - 4 ) , B( 1 ; - 3 ; 1 ) C( 2; 2; 3 ) vaø co ù taâ m I naèm tre ân maët phaún g Oxy. Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 42 Chñ ®Ò øng dông cña tÝch ph©n Néi dung träng t©m * TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng * TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay I/ Tãm t¾t lý thuyÕt: 1. C«ng thøc tÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng: * Cho miÒn D giíi h¹n bëi c¸c ®−êng: ; (a<b) Ox; ( ) x a x b D y f x = = =  = Khi ®ã diÖn tÝch miÒn D lµ: ( )b a S f x dx= ∫ * Cho miÒn D' giíi h¹n bëi c¸c ®−êng: 1 2 ; (a<b) ' ( ); ( ) x a x b D y f x y f x = = =  = = Khi ®ã diÖn tÝch miÒn D' lµ: 1 2' ( ) ( ) b a S f x f x dx= −∫ 2. C«ng thøc tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay: * Cho miÒn D giíi h¹n bëi c¸c ®−êng: ; (a<b) Ox; ( ) x a x b D y f x = = =  = . Khi cho miÒn D quay quanh trôc Ox t¹o thµnh khèi trßn xoay; thÓ tÝch khèi trßn xoay ®−îc tÝnh theo c«ng thøc: 2 ( )b a V f x dxpi= ∫ II/ Mét sè vÝ dô minh häa: 1. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng. VÝ dô 1: TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng: 20; 1; 2 ; x x y x x truc Ox= = = + Gi¶i: DiÖn tÝch S cña h×nh ph¼ng lµ: 131 12 2 2 0 0 0 42 ( 2 ) ( ) 3 3 xS x x dx x x dx x= + = + = + =∫ ∫ Chó ý: Khi gi¶ thiÕt bµi to¸n ch−a cã cËn cña tÝch ph©n, chóng ta ph¶i ®i t×m cËn cña tÝch ph©n b»ng c¸ch gi¶i ph−¬ng tr×nh 1 2( ) ( )f x f x= . NghiÖm t×m ®−îc lµ cËn cña tÝch ph©n. y D a x O b y=f(x) y D a x O b y=f(x) y D a x O b y=f1(x) y=f2(x) O ba x y Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 43 VÝ dô 2: TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng: 2 2y x x= − vµ y x= Gi¶i: T×m hoµnh ®é giao ®iÓm cña hai ®−êng ta cã: 2 2 0; 3x x x x x− = ⇔ = = VËy diÖn tÝch S cña h×nh ph¼ng lµ: 33 23 3 32 2 2 0 0 0 0 3 9( 2 ) 3 ( 3 ) ( ) 3 2 2 x xS x x x dx x x dx x x dx= − − = − = − = − =∫ ∫ ∫ . Chó ý: Khi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi nhiÒu ®−êng, ta sö dông c¸ch chia kho¶ng (a;b) thµnh c¸c kho¶ng nhá vµ sö dông c«ng thøc: ( ) ( ) ( ) ( ).b c b a a c f x dx f x dx f x dx a c b= + < <∫ ∫ ∫ VÝ dô 3: TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng: lny x= vµ 1y = . Gi¶i: XÐt ph−¬ng tr×nh: 1ln 1 ln 1 ; x x x e x e = ⇔ = ± ⇒ = = Khi ®ã diÖn tÝch S cña h×nh ph¼ng lµ: 1 1 1 1 11 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 e e e e e e S x dx x dx x dx x dx x dx= − = − + − = − − + −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 11 11 (ln 1) (ln 1) ( ln ) ( ln )e e ee S x dx x dx x x x x x x x x= + + − = − + + − −∫ ∫ (Sö dông kÕt qu¶ ln lnxdx x x x C= − +∫ ; VD9 SGK Gi¶i tÝch 12 ChuÈn trang 100) 1 1 1 1 1ln ( ln 2 ) 1ln1 ln ln 2 2e e S x x x x x e e e e e = + − = − + − + , 1 2S e e = + − 2. TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay. VÝ dô 4: TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay ®−îc t¹o bëi phÐp quay quanh trôc Ox h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng y = x; y = 0; x = 1; x = 2. Gi¶i: Ta cã: 232 2 1 1 8 1 7( ) 3 3 3 3 xV x dx pipi pi pi= = = − =∫ VÝ dô 5: Cho h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng 2 4 4; 0; 0; 3y x x y x x= − + = = = quay quanh trôc Ox. TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay t¹o thµnh. Gi¶i: Ta cã: 353 32 2 4 0 0 0 ( 2) 33( 4 4) ( 2) 5 5 xV x x dx x dx pipi pi pi −= − + = − = =∫ ∫ Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 44 VÝ dô 6: TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay ®−îc t¹o bëi phÐp quay quanh trôc Ox h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng 24 ; 0y x y= − = . Gi¶i: XÐt ph−¬ng tr×nh: 24 0 2x x− = ⇔ = ± VËy 2 22 2 2 4 2 2 (4 ) (16 4 )V x dx x x dx − − = − = − +∫ ∫ 23 5 2 4 384(16 ) 3 5 5 x xV x − = − + = III. Bµi tËp tù gi¶i TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng sau: 1. 22 ; 2y x x x y= − + = 2. 1; 1; 1; 1x y x y x y x y+ = + = − − = − = − 3. 2 1 1 ; 1 2 y y x = = + 4. 3 1y x= − vµ tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ hµm sè 3 1y x= − t¹i ®iÓm (-1;-2). 5. 2 10 3 y x x= − vµ neu 1 2 neu 1 x x y x x − ≤ =  − > 6. ln1 ; 1;xy x y x x e x = − + = − = 7. 2 21 1 ;y x y x= − − = 8. 3 2; 2 ; 0y x y x x= = − = TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay khi quay h×nh ph¼ng x¸c ®Þnh bëi: 9. 22 ; 1y x y= − = quay quanh trôc Ox. 10. 22 ;y x x y x= − = quay quanh trôc Ox. 11. 2 1; 0y x x= + = vµ tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ hµm sè 2 1y x= + t¹i ®iÓm (1;2), quay quanh trôc Ox. 12. 2 2;y x x y= = quay quanh trôc Ox. 13. 1 1 ; ; 1xy y x x x − = = = quay quanh trôc Ox. 14. 1 ; 0; 1;y y x x e x = = = = quay quanh trôc Ox. 15. 2 2 ; 0; 3y x x y x= − = = quay quanh trôc Ox. 16. 1 ; 1y x y= − = quay quanh trôc Ox. Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 45 Chñ ®Ò Sè phøc Néi dung träng t©m * M«®un cña sè phøc. * C¸c phÐp to¸n trªn sè phøc. * C¨n bËc hai cña sè thùc ©m. * PT bËc hai hÖ sè thùc cã ∆ < 0. I/ Tãm t¾t lý thuyÕt: 1. KiÕn thøc c¬ b¶n: * Sè i: sè i lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: 2 1 0x + = . VËy: 2 1i = − * Kh¸i niÖm sè phøc: Sè phøc z lµ biÓu thøc cã d¹ng: z = a + bi trong ®ã: 2, ; 1a b i∈ = −ℝ a lµ phÇn thùc; b lµ phÇn ¶o * Hai sè phøc b»ng nhau: ;a bi c di a c b d+ = + ⇔ = = * BiÓu diÔn sè phøc trªn mÆt ph¼ng täa ®é: §iÓm M(a ; b) trong hÖ täa ®é Oxy ®−îc gäi lµ ®iÓm biÓu diÔn sè phøc z = a + bi * M«®un cña sè phøc: Cho sè phøc z = a + bi, khi ®ã ®é dµi vect¬ OM 
®−îc gäi lµ m«®un cña sè phøc z ký hiÖu lµ z 2 2z ai b OM a b= + = = + 
* Sè phøc liªn hîp: Sè phøc liªn hîp cña sè phøc z a bi= + lµ z a bi= − Chó ý: z z= vµ z z= * C¸c phÐp to¸n trªn sè phøc: PhÐp céng, trõ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a bi c di a c b d i a bi c di a c b d i + + + = + + + + − + = − + − PhÐp nh©n: ( )( ) ( ) ( )a bi c di ac bd ad bc i+ + = − + + Chó ý: cho z = a + bi th×: 22 22 ; .z z a z z a b z+ = = + = O M x y b a Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 46 PhÐp chia: 2 2 2 2 2 2 ( )( )c di c di a bi ac bd ad bc i a bi a b a b a b + + − + − = = + + + + + 2 2( 0)a b+ ≠ * C¨n bËc hai cña sè thùc ©m: C¸c c¨n bËc hai cña sè thùc a ©m lµ: i a± VÝ dô: sè – 1 cã hai c¨n bËc hai lµ i± sè – 3 cã hai c¨n bËc hai lµ 3i± ... * NghiÖm cña ph−¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sã thùc. XÐt ph−¬ng tr×nh 2 0ax bx c+ + = víi , , ; 0a b c a∈ ≠ℝ 2 4b ac∆ = − - NÕu ∆ > 0 th× ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm thùc: 1,2 2 b x a − ± ∆ = - NÕu ∆ = 0 th× ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp thùc: bx a = − - NÕu ∆ < 0 th× ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm phøc: 1,2 2 b i x a − ± ∆ = II/ Mét sè vÝ dô minh häa: D¹ng 1: T×m m«®un cña sè phøc VÝ dô 1: Cho 2 3z i= − + , t×m z . Gi¶i: Ta cã 2 2( 2) ( 3) 7z = − + = VÝ dô 2: Cho 3z i= , t×m z . Gi¶i: Ta cã 2 20 3 3z = + = VÝ dô 3: Cho 5z = − , t×m z . Gi¶i: Ta cã 2 2( 5) 0 5z = − + = D¹ng 2: C¸c phÐp to¸n trªn sè phøc VÝ dô 4: TÝnh (3 - 5i) + (2 + 4i) Gi¶i: (3 - 5i) + (2 + 4i) = (3 + 2) + (-5 + 4)i = 5 - i Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 47 VÝ dô 5: T×m x biÕt: 3x + (2 + 3i)(1 – 2i) = 5 + 4i Gi¶i: Ta cã: 3x + (2 + 3i)(1 – 2i) = 5 + 4i ⇔ 3x + (2 + 6) + (3 – 4)i = 5 + 4i ⇔ 3x + 8 – i = 5 + 4i ⇔ 3x = - 3 + 5i ⇔ 51 3 x i= − + VÝ dô 6: Thùc hiÖn phÐp chia sau: 3 2 2 3 i i + + Gi¶i: 2 2 3 2 (3 2 )(2 3 ) 12 5 12 5 2 3 2 3 13 12 13 i i i i i i + + − − = = = − + + VÝ dô 7: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: ( 2 3) 2 3 2 2i x i i− + = + Gi¶i: Ta cã: ( 2 3) 2 3 2 2i x i i− + = + ⇔ ( 2 3) 3 2i x i− = + ⇔ 3 2 2 3 i x i + = − ⇔ 2 2 ( 3 2)( 2 3) ( 2) ( 3) i i x + + = + ⇔ x i= D¹ng 3: NghiÖm cña ph−¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè thùc cã ∆ < 0 VÝ dô 8: Gi¶i ph−¬ng tr×nh 2 7 0x x+ + = Gi¶i: Ta cã 1 4.7 27 0∆ = − = − < VËy ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm phøc lµ: 1 1 27 1 3 3 2 2 2 i x i− += = − + ; 2 1 27 1 3 3 2 2 2 i x i− −= = − − VÝ dô 9: Gi¶i ph−¬ng tr×nh 2 2 4 0x x+ + = Gi¶i: Ta cã ' 1 4 3 0∆ = − = − < VËy ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm phøc lµ: 1 1 3x i= − + ; 2 1 3x i= − − Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 48 PhÇn riªng Theo ch−¬ng n©ng cao CHỦ ĐỀ PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN I.TOÏA ÑOÄ CUÛA VECTÔ VAØ CUÛA ÑIEÅM A. Lí thuyeát caàn nhôù: 1.Toïa ñoä cuûa vectô Ñònh nghóa: Tron g k g(Oxyz ) cho v ectô → u tuø y yù ,d o → i , → j , → k khoân g ño àng p haúng n eân toà n taïi boä ba s oá thöï c (x ; y ; z) sao → u = x → i + y → j + z → k Boä ba so á (x ; y ; z) go ïi laø toïa ño ä cuûa ve ctô → u , kí hieä u: → u = ( x ; y ; z ) Vaäy → u = ( x ; y ; z ) ⇔ → u = x → i + y → j + z → k Caùc tính chaát: → u = ( x ; y ; z ) , → v = ( x’ ; y’ ; z’ ) • → u + → v = ( x + x’ ; y + y’ ; z + z’ ) • → u - → v = ( x – x ’ ; y – y’ ; z – z’ ) • k → u = ( kx ; k y ; kz ) •      = = = ⇔= →→ ' ' ' zz yy xx vu 2. Toïa ñoä cuûa ñieåm : Ñònh nghóa : Tron g kg(Oxy z ) cho ñie åm M tuøy yù. Toïa ñoä cuûa vectô OM ñö ôï c goï i laø toï a cuûa ñ ieå m M . Vaäy neá u →− OM = (x ; y ; z) th ì bo ä ba soá (x ; y ; z) laø toïa ño ä cuûa ñ ieå m M , Ta vieá t : M ( x ; y ; z ) M ( x ; y ; z ) ⇔ →− OM = x → i + y → j + z → k Caùc tính chaát : A ( x A ; yA ; zA ) , B ( xB ; y B ; zB ) ta coù ; * AB = ( xB – xA ; yB – yA ; zB – zA ) * AB = 222 )()()( ABABAB zzyyxx −+−+− Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 49 *          − − = − − = − − = ⇔≠= →−→− k kzz z k kyy y k kxx x kMBkMA BA M BA M BA M 1 1 1 )1(, * M laø trun g ñ ieå m cuûa ñoaïn AB ⇔          + = + = + = 2 2 2 BA M BA M BA M zz z yy y xx x * G(xG;yG; zG) la ø troïn g taâ m töù d ieä n ABCD ⇔          +++= +++= +++= )( 4 1 )( 4 1 )( 4 1 DCBAG DCBAG DCBAG zzzzz yyyyy xxxxx 3 .Bieåu thöùc toïa ñoä cuûa tích voâ höôùng cuûa hai vectô : Cho hai v e ctô → a = ( x1 ; y1 ; z1 ) , → b = ( x2 ; y2 ; z2 ) ta coù : • → a . → b = x1x2 + y1y 2 + z1 z2 • → a ⊥ → b ⇔ x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0 • | → a | = 21 2 1 2 1 zyx ++ • cos ϕ = 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 . zyxzyx zzyyxx ++++ ++ • → a vaø → b cuøng phöô ng vô ùi n hau ⇔ x1: y1: z1= x 2 : y2: z2 4. Tích coù höôùng cuûa hai vectô: a. Ñònh nghóa : Cho h ai ve ctô → a = ( x1; y1 ; z1 ) , → b = ( x2 ; y2 ; z2 ). Tích coù höô ùng cuûa hai vectô → a vaø → b laø mo ät v ectô kí h ieä u laø [ → a , → b ] vaø [ → a , → b ] =        22 11 22 11 22 11 ;; yx yx xz xz zy zy Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 50 b. Caùc tính chaát : • → a cuøn g ph öông vôù i → b ⇔ [ → a , → b ] = → 0 • [ → a , → b ] ⊥ → a , [ → a , → b ] ⊥ → b • |[ → a , → b ]| = | → a |.| → b |sinϕ c.Dieän tích tam giaùc : Die än tích tam g iaù c ABC ñöôï c tín h bôû i coâng thöù c: S ABC∆ = 2 1 |[AB, AC ]| d.Theå tích : • Theå tích V cu ûa hì nh h oäp ABCD. A’B’ C’D’ ñöôï c tính bôû i coâng th öù c: V = |[ AB, AD ].AA’| • Theå tích V cu ûa tö ù dieän ABCD ñöô ïc tính bô ûi coâng thöù c : V = 6 1 |[AB , AC ]AD | e. Ñieàu kieän ñoàng phaúng cuûa ba vectô : • Ba vectô → a , → b , → c ñoà ng pha ún g ⇔ [ → a , → b ]. → c = 0 • Ba vectô → a , → b , → c kho âng ñ oàn g phaún g ⇔ [ → a , → b ]. → c ≠ 0 • Boán ñ ie åm A, B,C,D ñ oà ng phaú ng ⇔ , ,AB AC AD 


ñoàng phaún g • Boán ñ ieå m A, B,C,D k h oâng ñ oàng phaún g ⇔ , ,AB AC AD 


khoân g ño àng p haúng Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 51 Baøi Taäp Baøi 1 : Vieát to ïa ñoä cu ûa caùc vectô sau : →→→→ −+−= kjia 432 , →→→ −= ijb 2 , →→ = kc 3 , →→→ −−= ikd 2 Baøi2 : C ho ba v ectô → a = ( 2;-5 ; 3 ), → b = ( 0; -2 ; 1) , → c = (-1 ; 6 ; 2 ) . a) Tì m toïa ño ä cuûa ve ctô : → u = 2 → a - → b . →→→→ ++= cbav 3 2 1 b) Chöùn g m inh raèng 3 ve ctô → a , → b , → c khoâng ñoàn g phaú n g . Baøi 3 : C ho ñ ieå m M( - 1; 2 ; 3) . Tìm to ïa ñoä h ình chieáu vuoâ ng g oùc cuûa ñieåm M . Treâ n truï c Ox . Treâ n ma ët p haúng O yz. Baøi 4 : C ho ha i ñieå m A(1 ; 2 ; 1 ) ,B (-2 ; 1 ; 2) a) Tì m toïa ño ä ñ ieå m A’ ñ oái x öùng vôù i A q ua Oy. b) Tì m toïa ño ä ñ ieå m B’ ñoá i xöù ng v ôùi B qua xOy. c) Tì m ñ ieå m M chia ñ oaï n A’B’ the o tæ soá - 3 Baøi 5 : Ch o ba ve ctô → a = ( 0;- 2 ; 4 ), → b = ( 1; 3; -1) , → c = (2 ; 0; 5 ). Tì m toïa ñ oä cu ûa : a) Vectô →→→→ +−= cbad 3 3 14 . b) Vectô → x bieá t →→→ −=+ aax 2 . c) Vectô → u bieá t →→→ =+ bua 52 d) Tì m →→→       cba .. , e) →→→       acb .. , g ) →→→     cba ., Baøi 6. Cho 3 vectô → a = (1; m ; 2), → b = (m+1; 2;1 ) , → c = (0 ; m-2 ; 2 ) .Xaùc ñònh m ñe å 3 Vectô ñoù ño àng phaúng . Baøi 7. Cho 3 ñieåm A ( 3;-4;7 ),B ( -5 ; 3 ; -2 ) ,C(1 ; 2; -3 ) . a. Xaùc ñònh ñ ieå m D sao cho töù giaù c AB CD laø h ình bìn h haøn h . b) Ta coù : [ ]        − = 1 2 2 0 1- 1 2 0 ; 1 1 ; 1 2 ,ba

= (-3 ; 2; -4) [ ]ba

, c
= -3.2 + 2.2 + -4.(-1 ) ≠ 0 ⇒3 ve ctô →a , →b , →c khoâ ng ñoà ng pha úng . Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 52 b. Tì m toïa ñ oä g ia o ñie åm cuûa hai ñ öôøn g cheù o. c. Tính dieän tích tam giaù c AB C, ño ä daø i BC töø ñoù ñöôø ng ca o tam gia ùc AB C ve õ tö ø A. d. Tìm toïa ñoä tr oïng taâm cu ûa ta m gia ùc ABC . Baøi 8. C ho 4 ñie åm A ( 2; 0 ; 0) , B( 0 ; 4 ; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ). a. Chöùn g m inh 4 ñ ieå m A, B , C , D khoâ ng ñ oàn g phaún g.Tính the å tích töù dieän A BCD b. Tìm toïa ñoä tro ïng taâ m cu ûa töù d ieä n ABCD . c. Tính dieän tích tam g iaùc A BC , töø ñoù su y ra chieàu cao cuûa töù d ie än veõ töø D. d. Tìm toïa ñoä chaân ñö ôøng cao cuûa töù d ieä n ve õ töø D . Baøi 9. Tron g kh oâng gian vôù i heä to ïa ñoä O xyz cho ba ñie åm A (3;4;-1) , B(2 ;0;3),C (-3 ;5;4) a. Tì m ño ä daø i caù c caïnh cuûa tm g iaùc A BC. b. Tín h cosin caù c goù c A, B,C . c. Tín h d ieän tích tam giaù c ABC II . PHÖÔNG TRÌNH TOÅNG QUAÙT CUÛA MAËT PHAÚNG A. Lí thuyeát caàn nhôù : 1. Ñòn h ngh óa : Chuù yù : Ne áu (α) coù caë p vectô ch æ phö ông → a , → b th ì (α) coù moä t v ectô pha ùp tuye án → n =[ → a , → b ] 2.Phöông trình maët phaúng: Maë t p haúng (α) qua M0 ( x0 ;y 0 ; z0) coù v tp t → n = ( A; B ; C ) co ù phöôn g trìn h laø : A ( x – x0 ) + B ( y – y0 ) + C ( z – z 0 ) = 0 • Vectô → n ≠ → 0 ñöôï c go ïi laø v ectô phaù p tu yeá n cu ûa m aët phaú ng (α ) n eáu noù n aèm treâ n ñöô øng thaú ng vu oân g goù c vô ùi ( α ). Kí hieäu : → n ⊥ ( α ) • Tron g kho âng gian vôù i heä toïa ño ä Oxy z ne áu ha i ve ctô → a , → b ≠ → 0 ,khoâ ng cuøn g phöôn g vaø caùc ñöôø ng thaúng chöùa chu ùng so ng song hoaë c naè m tron g (α ) ñö ôïc goïi laø caëp vectô ch æ ph öông cuûa maët phaún g ( α ). Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 53 B. Phöông phaùp chung laäp phöông trình cuûa maët phaúng : Ñeå laäp phö ông tr ình cuûa mo ät maë t phaú ng ta caàn tìm moä t ñ ieå m thuo äc maët phaún g vaø vtp t cuûa n où hay tì m caëp v tcp cuûa noù Baøi taäp 1. Vieá t p höôn g trìn h m aët phaú ng (α) tron g caù c tröô øng h ôïp sau : a. (α) ñi q ua hai ñieå m M( 1 ; -1 ; 2 ) , N( 3 ; 1; 4 ) vaø son g son g vôù i truï c Oz . b. (α) ñ i qua ba ñie å m A(1 ; 6 ; 2 ) , B( 5 ; 0 ; 4), C( 4; 0; 6 ) . (α) ñ i qua hai ñ ieå m D( 1; 0 ; 0 ) ,E( 0; 1; -1 ) vaø vuo âng g oùc vôù i maët phaúng : (P) : x + y – z = 0 . (α) qua ñie åm I( 3 ; -1 ; - 5 ) vaø v oân g goù c v ôùi ha i maë t p haúng : ( α1 ): 3x – 2y + 2z +5 = 0 , (α2 ): 5x – 4y + 3z +1 = 0 . 2. Tr ong k hoâ ng g ian v ôùi h eä toïa ñ oä Oxy z cho ba maë t phaú ng : (α1) : 2x + 3y – 4 = 0 , (α2) : 2y – 3z – 5 = 0 , (α3) : 2x + y – 3 z –2 = 0. a. Vieá t phö ông tr ình m aët phaú ng ( α ) q uañieå m M( 1 ;3 ; -4 ) gia o tu y eán cuûa(α1) ,(α2) b. Vieát phö ông tr ìn h maë t phaú ng ( β ) qua giao tuye án cuûa (α1) , (α2 ) ño àng thô øi v uoâ ng g oùc vôùi (α3) . Ví duï: Vieát phö ông tr ì nh to ång quaù t cu ûa maë t p haúng ( α ) tron g ca ùc tr öôøng hôïp sau : (α) ñ i qua M (3; 2; -5 ) vaø vuo âng g où c vôù i truï c Oz . (α) laø ma ët p haúng tr ung tröï c cuûa ñ oaûn AB vôù i A( 3; -5; 4 ), B( 1 ; 3 ; - 2 ). Giaû i: + M aët pha úng(α) ñ i q u a M (3; 2; -5 ) vaø vuoâ n g go ùc vôùi t ruïc Oz nha ä n )1;0;0(k
laø m vectô ph aù p tuy eán co ù p h öôn g trì nh t oå ng q uaù t la ø : 0(x - 3) + 0(y -2) + 1(z + 5) = 0 ⇔ z + 5 = 0 + Goïi I la ø trung ñie å m cu ûa AB ta co ù I( 2;- 1;1) Ta coù )6;8;2( −−AB . M aët ph aú ng t run g trö ïc cuûa ñoa ûn AB ñi qua I vaø nh aän )6;8;2( −−AB laø m vectô ph aùp tuyeán coù ph öôn g tr ình toå ng q uaùt laø: -2(x - 2) + 8(y + 1) -6(z - 1) = 0 ⇔ -2 x + 8y - 6z + 1 8 = 0 Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 54 3. Trong khoâ ng g ian vôùi heä toïa ñoä Ox yz ch o hai ñ öôøn g thaúng : d1: :    =−−= =−+− 012 0542 zyx zyx , (d 2) :      = += −= tz ty tx 2 32 1 . Vieá t phö ông tr ình maët phaúng (α) q ua (d1 ) vaø song song vôù i (d 2). Vieá t phö ông tr ình maët phaúng (α1) qua M (1 ;–3; 5 ) vaø so ng son g v ôùi ha i ñöôøn g tha úng ( d1), (d2) . 4. Tr ong k hoâ ng g ian v ôùi h eä toïa ñ oä Oxy z.C ho ñieå m M( 2;- 1 ; 1) vaø ñ öôøng thaú ng d:    =+−+ =−+− 0322 0832 zyx zyx . Vieá t ph öông tr ình maët phaún g ñ i qua M v aø vuoâ ng go ùc vôù i ñöôøn g tha úng d . 5. Vie át phöô ng trì nh maët phaún g (P) chö ùa ñ öôøng thaú ng d : 2 2 2 1 1 − − = + = zyx vaø vuoâ n g goùcvôù i ma ët p haúng (Q): 2x – 3y + z + 3 = 0 III. ÑÖÔØNG THAÚNG A. Lí thuyeát caàn nhôù Vectô → u ≠ → 0 naèm tr eân ñ ö ôøng thaún g song s ong h oaëc truø ng v ôùi ñöô õng th aúng (d ) goï i laø vectô chæ phöô ng cuûa ñöôøn g tha úng ( d). Ñöôøng thaún g (d ) ñ i qu a ñieå m M0( x0; y0 ; z0 ) coù vectô ch æ phö ông → u = ( a; b ; c) coù phöôn g tr ình tha m soá laø :      += += += ctzz btyy atxx 0 0 0 t ∈ R Phöông tr ình ch ính taéc : c zz b yy a xx 000 − = − = − . • Phöông tr ình toå ng qua ùt cuûa ñ öôøn g thaúng :    =+++ =+++ 0'''' 0 DzCyBxA DCzByAx (1) tron g ñoù A 2+B2+C2 ≠ 0, A’2+B’ 2+C’2≠ 0 , A :B:C ≠ A’:B’ :C’. Chuù yù: Neá u ñö ôøng thaú ng co ù ph öông tr ình daï ng (1) th ì no ù coù moä t ve ctô ch æ ph öông → u = ( '' ; '' ; '' BA BA AC AC CB CB ) Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 55 B. Phöông phaùp chung ñeå laäp phöông trình cuûa ñöôøng thaúng: Ñeå la äp p höôn g tr ìn h cuûa mo ät ñ öôøn g thaúng ta söû d uïng mo ät tro ng hai caù ch sau : • Tì m ve ctô chæ p höôn g cuûa ñ öôøn g tha úng vaø m oät ñ ie åm thu oäc ñöô øng thaúng. • Vieá t phö ông tr ình ha i maët phaún g phaâ n bieä t vaø ch öùa ñö ôøng thaú ng ñ où. Chuù yù : Ha i ñöô øng thaú ng song so ng coù cuø ng vectô chæ phöô ng. Neáu ñö ôøng tha úng v uoâ ng goù c v ôùi maë t pha úng thì noù nhaän vtp t cuûa maët phaún g laø m vtcp. C. Moät soá caùch vieát phöông trình ñöôøng thaúng thöôøng gaëp: 1/ Baøi toaùn 1:Vieát phö ông trìn h h ình ch ieáu v uoâng goù c cuûa ñö ôøng th aúng (d ) tr eân maë t phaú n g (α ). Caùch giaûi : • Vieá t phö ông tr ình maët phaúng (β ) qua ñö ôøng thaúng ( d ) vaø vuo âng g où c vôù i (α ). ( Maët p haúng (β ) nhaän vtcp cu ûa(d) vaø v tp t cuû a (α ) laøm caëp vtcp ) • Hình chieáu vuoâ ng go ùc (d’) cuûa (d) tre ân (α ) laø giao tuy eán cuûa (α ) v aø (β ) . 2/ Baøi toaùn 2: Vieá t ph öông trính ñ öôøn g thaún g (d) ñ i q ua ñieå m M v aø caé t caû hai ñöôø ng thaúng (d1) , (d2 ) cho tr öôùc .( M ∉ (d1), (d2) ) . Caùch giaûi : • Vieá t phö ông tr ình maët phaúng ( M,(d1 )) • Vieá t phö ông tr ình maët phaúng (M,(d2 )) • (d) = (M, (d1)) ∩ (M, (d 2)). 3/ Baøi toaùn 3: Vieát ph öông trì nh ñ öôøn g thaún g (d ) qua M caé t ñö ôøng thaún g (d1 ) vaø v uoân g g oùc vôùi (d2) . Caùch giaûi : • Vieá t phö ông tr ình maë t phaúng (α ) qua M vaø ( d1). • Vieá t phö ông tr ình maët phaúng (β ) qua M vaø (β )⊥ (d2). • (d) = (α) ∩ (β). 4/ Baøi toaùn 4: Vieá t ph öông trì nh ñ öôøn g thaún g (d ) ñi q ua ñieå m M caét ñö ôøng thaú ng ( ∆ ) vaø vuoân g goù c v ôùi ( ∆ ). Caùch giaûi: • Vieá t phö ông tr ình maë t phaúng (α) qua M vaø v uoâng goù c vô ùi ( ∆ ). • Vieá t phö ông tr ình maë t phaúng (β) qua M vaø ( ∆ ). • (d) = (α) ∩ (β) . Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 56 Ghi chuù :Ta coù the å g iaû i baø i toa ùn n hö sau. • Vieá t phö ông tr ình maët phaúng (α) q ua M vaø v uoâng goù c vô ùi ( ∆ ). • Tì m g iao ñ ieå m N cuûa ( ∆ ) vaø(α ). • Vieá t phö ông tr ình ñ öôø ng tha úng MN ñ où la ø ñö ôøng thaún g (d) caà n tìm. 5/ Baøi toaùn 5: Ch o ñö ôøng thaún g ( ∆ ) vaø ma ët p h aúng (α ) ca ét n hau ta ïi ñ ieåm M .V ieá t p höôn g tìn h ñöô øng thaú ng (d ) ñ i qua M na èm tro ng (α ) vaø (d )⊥ ( ∆ ). Caùch giaûi : • Vieá t phö ông tr ình maët phaúng (β) qua M vaø (β)Vuoâng goù c vô ùi (d) . • (d) = (α)∩ (β). 6/ Baøi toaùn 6 : Vieá t ph öông trì nh ñ öôøn g thaún g ( ∆ ) coù v tcp → u vaø caé t hai ñöôøn g tha úng ( d1) va ø (d2) cho tröô ùc. Caùch giaûi : Vieá t phö ông tr ình maët phaúng (α) q ua (d1 ) vaø nhaän → u laøm mo ät vtcp. Vieá t phö ông tr ình maët phaúng (α) q ua (d2 ) vaø nhaän → u laøm mo ät vtcp. (c) = (α)∩ (β) . Ví duï: Vieát phö ông tr ì nh tha m soá vaø chính ta é c cu ûa ñöô øng thaú ng ( ∆ ): d. Qua hai ñ ieå m M( 2 ; - 3 ; 5), N ( 1; -2 ; 3). e. Qua A(1; -1; 3) vaø son g song v ôùi BC tron g ñ où B(1 ; 2 ; 0 ),C(- 1; 1; 2 ) f. Qua D(3; 1 ; - 2) vaø vuoâ ng goù c v ôùi maë t pha úng 3x + 4y – 2z +5 = 0 Giaûi: a. Ñ öôøn g tha ú ng ( ∆ ) ñi q ua ñieå m M( 2 ; -3 ; 5) nhaän vectô )2;1;1( −−MN laø m vectô chæ phöôn g co ù ph öông tr ìn h : + Ph öông tr ìn h tha m soá :      −= +−= −= tz ty tx 25 3 2 , Rt ∈ + Ph öông tr ìn h ch ính taé c: 2 5 1 3 1 2 − − = + = − − zyx b. . Ñö ôøng th aúng ( ∆ ) ñi qua ñ ieå m A( 1; -1 ; 3 ) song s ong v ôù i BC nhaä n ve ctô )2;1;2( −−BC laøm vectô ch æ ph öông coù p höôn g trìn h : Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 57 + P höôn g tr ì nh tha m soá :      += −−= −= tz ty tx 23 1 21 , Rt ∈ + P höôn g tr ì nh ch ính taé c: 2 3 1 1 2 1 − = − + = − − zyx c. Ñöôø ng thaún g ( ∆ ) ñi q ua ñie åm D( 3; 1; -2) v aø vuoâ ng go ùc vôù i ma ët p haúng 3x + 4y – 2z +5 = 0 nh aän ve ctô phaùp tu yeán cuûa maë t pha úng )2;4;3( −n
laø m ve ctô chæ phöôn g co ù ph öông tr ìn h: + Ph öông tr ìn h tha m soá :      −−= += += tz ty tx 22 41 33 , Rt ∈ + P höôn g tr ì nh ch ính taé c: 2 2 4 1 3 3 − + = − = − zyx D. Baøi taäp : 1. Cho ñöôø ng thaúng (d ) coù phö ông tr ình toån g quaùt    =+−+ =−+− 0242 01023 zyx zyx . Haõy v ieá t p höôn g trình tha m soá vaø ph öôn g tr ình ch ính taéc cu ûa ( d). 2. Cho ñöôø ng thaúng (d ) :    =−+− =− 0323 02 zyx zx vaø maë t pha úng (α) : x –2y + z + 5 = 0. Vieá t p höôn g trìn h hình ch ieá u vuo âng goù c cuûa ( d) treâ n (α). 3. Cho hai ñ öôøn g thaún g: (d 1) zy x =+= − 2 3 1 , (d2) :    =+ =+−+ 01 02 x zyx . a.Vieá t phö ông tr ình ñ öôøng thaú ng (d ) qua A ( 0; 1 ; 1) vuoâ ng g oùc vôù i (d1) vaø caé t (d 2). b. Vieá t phö ông tr ìn h ñöôø ng thaúng (∆ )Q ua ñieå m M( 1; 0 ; - 2 )vaø v uoâng goù c vô ùi hai ñöôøn g tha úng ( d1), (d2). 4. Vie át p höôn g trìn h ñ öôøng thaú ng qua A ( 3 ; - 2; - 4 ),son g song vôù i maëtt pha úng : 3x – 2y – 3 z – 7 = 0 ñoàn g thôø i ca ét ñ öôøn g thaún g (d) : 2 1 2 4 3 2 − = − + = − zyx 5. Laä p phö ông tr ình ñ ö ôøng thaún g vuo âng goù c v ôùi maët phaú ng Oxy vaø caét ca û hai ñöôø ng thaún g : (d1 ):      −= +−= = tz ty tx 3 4 , (d2) :      −= +−= −= tz ty tx 54 3 21 . Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 58 IV. VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI CUÛA CAÙC ÑÖÔØNG THAÚNG VAØ MAËT PHAÚNG. A. LÍ THUYEÁT : 1/ Vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng: Cho ha i ñö ôøng tha ún g : (d ) : c zz b yy a xx 000 − = − = − ,( d ’ ): ' ' 0 ' ' 0 ' ' 0 c zz b yy a xx − = − = − (d ) qua M0 (x0 ;y 0 ;z0) ,co ù VTCP → u = ( a; b; c) (d ’) q ua M’0(x ’0 ;y’0 ;z’0) ,coù VTCP ' → u = ( a’; b ’; c’) 1) (d) vaø (d’ ) ñoà ng p haúng ⇔ 0].,[ '00' = →−−−→→ MMuu 2) (d) vaø (d’) caé t nha u ⇔ 0].,[ '00' = →−−→→ MMuu vaø a:b :c ≠ a’:b’ :c’ 3) (d)//(d ’) ⇔ a :b:c = a’ :b’:c’≠ (x’0 – x0 ):(y’0 – y0) :(z’ 0 – z0) 4) (d) ≡ (d’) ⇔ a:b :c = a’:b’ :c’ = (x ’0 – x0 ) :(y ’0 – y0) :(z’0 – z0) 5) (d) vaø (d’) ch eùo n hau ⇔ 0].,[ '00' ≠ →−−−→→ MMuu Ví duï: Xeù t v ò trí töô ng ñoái cu ûa caë p ñöô øng th aúng sau d: 11 2 3 1 zyx = + = − vaø d’    =+ =+−+ 01 02 x zyx Giaûi: a. Ñöô øng thaú ng (d) ñ i qua ñ ie åm M( 1; - 2; 0) co ù ve ctô ch æ p höô ng )1;1;3(u
. Ñöôøng thaún g (d’) ñ i q ua ñieå m M’(- 1; 0; 1) co ù ve ctô ch æ p hö ông )1;1;0(, −−u
. Ta coù : + ],[ uu

′ =(0; 3 ; -3 ), MM ′ (-4; -1 ; 0 ) + ],[ uu

′ . MM ′ =0(-4) +3(-1) + (-3) 0 = -3 ≠ 0 ⇒ d vaø d’ cheù o nhau Baøi taäp Baøi 1 : Xeù t v ò trí töô ng ñoái cu ûa caù c ca ëp ñö ôøng thaúng sau a/ d:    =−++ =+−+ 012 0132 zyx zyx vaø d ’: 1 3 57 2 − + = − = − zyx b / d : 3 3 6 2 9 1 − = − = − zyx vaø d’ : 2 5 4 6 6 7 − = − = − zyx Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 59 Baøi 2 : Xeù t v ò trí töô ng ñoái cu ûa caù c ñö ôøng thaú ng sau : a) d:    =++ =−+− 012 01 yx zyx va ø d’:    =+−+ =+− 033 012 zyx yx b ) d :    =−+ =−+ 0142 02523 zx yx vaø d’: 8 1 64 2 − + = − = − zyx c) d : 3 3 6 2 9 1 − = − = − zyx vaø d ’: 2 5 4 6 6 7 − = − = − zyx d) 12 2 2 1 zyx = − − = − vaø d’ :      = +−= −= 4 35 2 z ty tx . 2/ Vò trí töông ñoái cuûa hai maët phaúng : Cho hai mp ( ) ( ),α β lần lượt có phương trình: ( ) :α Ax+By+Cz+D=0 ( β ):A’x+B’y+C’z+D=0 a) (α ) cắt ( β ) : : ' : ' : 'A B C A B C⇔ ≠ b) D D C C B B A A ′ ≠ ′ = ′ = ′ ⇔)//()( βα c) ( ) ( ) ' ' ' ' A B C D A B C D α β≡ ⇔ = = = Chú ý: Điều kiện vuông góc giữa 2 mp: ( ) ( ) ' ' ' 0AA BB CCα β⊥ ⇔ + + = BAØI TAÄP Baøi 1 : Xeù t v ò trí töô ng ñoái cu ûa caù c ca ëp ma ët p haúng sau a. ( α ): x + 2y – z + 5 = 0 vaø ( β ): 2 x + 3y -7z – 4 = 0 b. ( α ) : x – 2 y + z + 3 = 0 vaø ( β ): 2 x -y + 4z – 2 = 0 c. ( α ): x + y + z - 1 = 0 vaø ( β ): 2x + 2y -2 z + 3 = 0 d. ( α ): 3x - 2y – 3 z + 5 = 0 vaø ( β ): 9 x - 6 y -9 z – 5 = 0 e.( α ): x - y + 2z -4 = 0 v aø ( β ): 10x - 6y + 20z – 40 = 0 Baøi 2 : Xeù t v ò trí tö ôn g ñoá i cuûa ca ùc caëp maë t phaúng sau : a) 2x – 3y + 4 z – 5 = 0 vaø 3x – y +z – 1 = 0 . b ) – x +y – z + 4 = 0 vaø 2 x – 2y + 2z – 7 = 0. c) x + y + z – 3 = 0 vaø 2 x – 2 y + 2 z – 3 = 0. d ) 3x + 3y – 3 z – 12 = 0 vaø 4 x + 4 y – 4z – 16 = 0 . Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 60 Baøi 3 : C ho ha i maë t p h aúng coù ph öông tr ình :( m2–5) x – 2y + m z + m – 5 = 0 vaø x + 2y – 3n z +3 = 0 . Tì m m , n ñeå ha i maët phaúng : a) Song song vôù i nha u . b) Truø ng n hau . c) Caét n hau . Baøi 4 : C ho ha i maë t p h aúng : 3x – ( m – 3 )y +2 z – 5 = 0 vaø ( m + 2 )x – 2y + m z – 1 0 = 0 . Tì m m ñeå a) Hai maë t p haúng so ng song vô ùi nhau . b) Hai maët phaún g truøn g nhau . c) Hai maë t phaú ng caét nha u . V. KHOAÛNG CAÙCH, GOÙC A. LÍ THUYẾT : 1. Khoaûn g caù ch töø mo ät ñieå m tôù i m oä t maë t p haú ng Khoaûng caù ch töø ñie å m M0(x0 ; y0 ; z0) ñ eán m aët phaú ng (α) : Ax + By + Cz + D = 0 Kí hieäu : d(M0 ;(α)) = 222 000 CBA DCzByAx ++ +++ 2. Khoaûn g caù ch töø mo ät ñieå m tôù i m oä tñöô øng th aúng Khoaûng caù ch töø ñie å m M ñe án ñö ôøng thaú ng (∆ ) ñ i qua ñie åm M0 va ø coù ve ctô ch æ ph öông u
ñöôï c xaù c ñ ònh the o co â ng th öùc: d(M, ∆) = [ ] u uMM

,0 3. Khoaûn g caù ch g iö õa h ai ñöô øng thaún g cheùo n hau Cho ha i ñöô øng thaún g d 1 ñi q ua ñieå m M1 coù v ecy tô chæ phöô ng 1u
vaø ñ öôøng thaú ng d2 ñi qua ñieåm M 2 co ù ve cy tô ch æ ph öông 2u
. Goï i h laø khoaûn g caù ch g iö õa d1 v aø d2 ta co ù: [ ] [ ]21 2121 , ., uu MMuu h



= B.BAØI TAÂP: 1/ Tín h kh oaûng caù ch töø caùc ñieåm M1(1 ;-3 ;4) , M2( 0 ;4 ;1) , M3 ( 2 ;- 1;0 ) ñeá n maë t p haúng (α) : 2x – 2y + z – 5 = 0 2/ Tín h khoa ûng caùch töø ñieå m A(1 ;1 ;3) tôù i ñö ôøng thaún g ∆: 3 1 2 1 1 2 − + = − = + zyx Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 61 3/ Tín h khoa ûng caùch g iöõa ha i ñö ôøng thaú ng ch eùo nha u : (∆1 ):    =+− =+−+ 012 05 yx zyx vaø (∆2): 1 3 1 2 1 1 − − = + = − zyx 4/ Ch o ñö ôøng thaú ng d : 1 1 12 1 − − = − = + zyx vaø maë t p haúng (α) :x+ y + 2z – 4 = 0 . Tính g oùc giö õa d va ø (α) 5/ Tì m treân Oz ñ ieå m M caùch ñeà u ñ ieå m A( 2 ; 3; -1 ) vaø ma ët phaúng :x + 3y +z – 17 = 0 6/ Ch o ñö ôøng thaú ng ( d):      = −= += tz ty tx 3 2 21 vaø maë t pha úng (α) : 2x – y – 2 z +1 = 0. Tì m ca ùc ñie åm M ∈ (d ) sao ch o khoa ûng caùch töø M ñeán (α) baèng 3 . 7/ C ho ha i ñöô øng thaú ng (d1 ): 5 4 3 3 2 2 − + = − = − zyx vaø (d2 ): 1 4 2 4 3 1 − − = − − = + zyx Tìm hai ñ ie åm M, N laàn löôï t treâ n (d1 ) vaø (d2) sao cho ñ oä da øi ñ o aïn MN noû nhaá t. VI. MAËT CAÀU A.Lí thuyeát caàn nhôù: 1/ Phöông trình Maët caàu: a. Maët ca àu (S) co ù taâ m I(a;b ;c) co ù baù n kính R coù p höôn g trìn h laø : ( x - a )2 + ( y - b )2 + ( z - c )2 = R2 b. P höôn g trìn h : x2+y2+ z2 – 2a x – 2b y – 2cz + d = 0 ,a2+b2+c 2- d > 0 laø p höôn g tr ìn h cu ûa maët caàu co ù taâ m I (a;b ;c) , baùn kín h R = dcba −++ 222 2/ Vò trí töông ñoái cuûa maët caàu vôùi maët phaúng : Cho mp(α) :Ax + By + Cz + D = 0 vaø maë t caàu (S) co ù phö ông trìn h: (x – a)2+ ( y – b)2 + (z – c)2 = R2 G oïi H laø hìn h ch ieáu vuo âng g où c cu ûa taâm I(a;b;c) cuûa (S ) tr eân (α) Vaä y 222 ),( CBA DCcBbAa IdIH ++ +++ == α a. Neáu IH < R th ì (α) caé t (S) th eo g iao tuye án laø moä t ñö ôøng tr oøn ( C) coù taâm H ,co ù baùn r = 22 IHR − Phöông tr ình cuûa ñ öôø n g tro øn ( C) :    =+++ =−+−+− 0 )()()( 2222 DCzByAx Rczbyax Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 62 b. Neáu IH = R th ì (α) tieá p xuù c vô ùi (S ) taï i H .(α) goïi laø maë t tieá p d ieän cuûa m c(S) c. Neáu IH > R th ì (α) vaø (S) kho âng coù ñie åm chu ng B. Caùc daïng baøi taäp thöôøng gaëp: 1/ Tì m ta âm va ø baùn kín h cuûa maë t caà u sau : a) x2 + y2 + z2 – 8x + 2y + 1 = 0 b ) x2 + y2 + z 2 + 4x + 8y – 2z – 4 = 0 1. 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6 x – 9y + 12 z – 4 = 0 2/ Vieát phö ông tr ình maët caàu (S) tron g caù c tröôøn g hôï p sau : a) (S) co ù taâ m I ( 1 ; -2 ; 3 ) vaø ñ i qua ñ ie åm M( 3 ; 2 ; 4 ). b) (S) co ù ñöô øng kín h AB vôùi A(1 ; 4 ; 5), B ( 3 ; -2; 7 ). c) (S) co ù taâ m I ( 0 ; 4; 3 ) vaø tieáp xuù c vô ùi maë t ph aúng (α) : 2x + y – 2z + 8 = 0 d) (S) ngoaï i tie áp töù die än ABCD vôù i A( 3 ; 2 ; 6 ), B( 3; -1 ; 0 ) ,C( 0 ; - 7; 3 ),D(-2 ;1 ; -1 ). 3/ Laäp p höôn g trìn h maët caàu (S) ñ i qua ba ñieå m A( 1; 2 ; - 4) , B (1 ; - 3; 1), C ( 2 ; 2; 3 ) va ø coù taâm I naè m treân maë t p haúng Oxy . 4/ Tron g kh oâng gian vôùi heä toïa ñoä Ox yz ch o maë t caà u (S) : x2+y 2+z 2 = 4vaø maët phaún g (α): x + z = 2. Chöùn g m inh raèng mp (α) caé t maët caàu (S). Xaùc ñònh taâm vaø tín h baùn k ính cuûa ñ öôø ng tr oøn (C ) laø giao tu yeán cuûa (α) vôù i (S) . 5/ C ho (d ) :      += +−= −= tz ty tx 2 21 vaø ma ët p haúng (α) :2x - y – 2 z – 2 = 0 . Vieá t phö ông tr ình maët caàu coù taâ m I ∈ (d) caùch (α) moä t ñ oaïn ba èng 2 vaø caé t maët phaún g (α) theo giao tuy eán laø ñöôøn g tr oøn coù baùn kín h baèng 3 . 6/ C ho ñö ôøng tha úng ( d): 2 1 1 1 2 + = − = zyx vaø hai maë t pha úng(α): x+ y -2 z +5 = 0 , (β) : 2x – y + z + 2 = 0 .Vie át p höôn g trìn h maët caàu co ù taâ m treâ n (d ) vaø tie áp xu ùc vôù i hai maët phaún g (α) , (β). 7/ Ch o dö ôøng tr oøn ( C ) :    =++− =+++−++ 0122 017664222 zyx zyxzyx a) Tì m ta âm va ø baùn kinh cuûa ( C ) . b) Laäp p höôn g trìn h maë t caàu (S) ch öùa ñö ôøn g tr oøn ( C ) vaø co ù taâ m treâ n maët phaún g (p): x + y + x + 3 = 0 . Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 63 8/ Laäp p höôn g trìn h maët tieáp die än cuûa maët caàu (S) :x2+ y2+z2 – 6 x – 2y+4z+ 5 =0. Tại ñ ieå m M( 4; 3; 0 ). 9/ Laäp p höôn g trìn h maët (α) tieáp xuù c vô ùi m aët ca àu x2+y 2+z2 –26 x– 2y-2 z –22= 0 bie át (α) so ng son g vôù i ( β ): 3x – 2 y + 6 z +1 4 = 0. 10/ V ieá t ph öông tr ình maët phaún g ch öùa ñö ôøn g thaún g (d) :      += += += tz ty tx 1 31 44 vaø tieáp xuù c vôùi maë t caàu (S) : x 2 + y2+ z2 – 2 x + 6y+ 2z + 8 = 0 BÀI TẬP Baøi 1 : Tron g he ä to ïa ñ oä Oxy z ch o ba ñ ieå m A (1;2 ; - 3) , B (3 ; 2 ; 0) , C ( -4 ; 2 ; 5) . a) Chöùn g m inh A , B ,C laø ba ñænh cuûa m oä t ta m giaù c . b) Tì m toïa ño ä ñ ieå m D sa o cho tö ù gia ùc AB CD laø hình bì nh haø nh . c) Tì m a , b ñeå ñie åm M (a+2 ;2b – 1 ; 1) thuo äc ñ öôøng thaú ng AC. Baøi 2 : Ch o bo án ñ ieå m A(-3 ; 5 ;15) , B(0 ;0 ;7) , C ( - 4 ; 2 ; 5) , D(4 ;-3 ; 0) .Chö ùng minh r aèng hai ñö ôøng thaú ng AB v aø CD caé t nhau . Baøi 3 : C ho ta m g iaùc ABC co ù A(1 ; 0 ; 3) ,B ( 2 ; 2 ;4 ) , C ( 0 ;3 ; -2) . Chöùn g m inh raèng tam giaù c ABC v uoân g ta ïi A, töø ñoù tì m ta âm vaø baù n kính cuûa ñöôø ng troø n ngoa ïi tieáp tam giaù c ABC . Tín h go ùc C cu ûa ta m giaùc . Baøi4 : Ch o ba ñ ieå m A( 2 ; 1 ; 0) ,B(0 ; 0 ; 1 ) , C(1 ; 1 ; 2 ) . Tính d ie ä n tích tam giaù c ABC , töø ñoù suy ra ño ä daø i ñöô øng ca o veû töø A cu ûa ta m gia ùc . Baøi 5 : Ch o ta m g iaùc A BC vôù i A( 1 ; 1 ; 0 ) , B (3 ; -1 ; 1) , C(5 ; 1 ; 3). Tín h ño ä daø i ñöô øng phaâ n giaù c tr ong cuûa goù c A. Baøi 6 : Ch o bo á ñieå m A( 0 ; -1 ; 0 ) , B (0 ; 0 ; 2) ,C( 1 ; 0 ; 0) , D(-1 ; 1 ; -2) . a) Chöùn g m inh raèng A , B , C , D la ø 4 ñ ænh cuûa töù dieä n . b) Chöùn g m inh raèng A C vuoân g goù c v ôùi BD . c) Tín h go ùc taïo b ôù i hai ñ öôøng thaú ng AB vaø CD . d) Tín h theå tích cuûa töù dòen vaø ñ oä daø i ñ öôøn g ca o cuûa töù dieän haï töø A. Baøi 7 : C ho ba ñ ieå m A (2; 0 ; 0 ) , B( 0; 2 ;0 ) , C (0; 0 ; 2 ) ,D(a; a ; a) v ôù i a laø haè ng soá a ≠ 0 . Chöùn g m inh raèng OD vuoân g goù c v ôùi maë t pha úng (AB C) v ôùi mo ïi a. Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 64 Baøi 8 : Ch o h ình h oäp A BCD.A’B’ C’D’ coù A( 0 ; 0 ; 0) ,B(1 ; 0 ; 0 ),C (0 ; 2 ;0 ) ,A’( 0 ; 0 ; 3). a) Tì m toïa ño ä caù c ñ ænh co øn laï i cuûa h ình hoäp . b) Goi M,N,P,Q la àn löôï t laø tru ng ñ ieå m cuûa A’ B’ , BC , CD, DD’ . Ch öùn g minh ra èng M,N,P,Q ñoàng phaún g . c) Tín h kh oaûng caù ch töø C ’ ñeán maë t pha úng (MN PQ) Baøi 9 : C ho h ình laäp p höông A BCD.A’B ’C’ D’ coù caïn h baèn g a . G oïi M, N laàn löô ït laø tru ng ñieå m cuûa A’D’ vaø B ’B . a) Chöùn g m inh raèng MN vuoân g goù c v ôù i AC’ . b) Chöùn g m inh raèng A C’ vuoân g go ùc v ôù i maë t p h aúng (A’ BD). c) Tín h go ùc g iö õa MN vaø CC’. Baøi 1 0 : V ieá t ph öông trình to ång q uaùt cu ûa maë t phaúng ( α ) tr ong caùc tröôøn ghôï p sau: a) (α) ñ i qua A (1; 0; 2 ) vaø v uoân g go ùc v ôùi maë t phaú ng Oxy . b) (α) ñi qua M(2 ; -1 ; -3 ) vaø vuoâ ng g oùc vôùi tr uïc Ox . c) (α) laø maë t phaú n g tru ng tröï c cuûa ñ oaïn AB vôù i A(1 ; 3 ; 2 ) , B(- 1 ; 1 ; 0 ) . d) (α) qua I(-1 ; 2 ;4 ) vaø s ong son g vôù i maët phaún g 2x – 3 y + 5 z – 1 = 0 . Baøi 1 1 : Tro ng k hoân g gian v ôùi heä toïa ñoä Ox yz, cho ba ñie åm A (1;- 1;-3 ),B( 2;1 ;-2 ),C( -5;2;-6) Chöùn g m inh A , B , C laø ba ñænh cuûa ta m g iaù c . a) Tín h ño ä daø i phaâ n g iaùc ngoaøi goù c A cuûa tam g iaùc A BC. b) Tì m toïa ño ä tröï c taâ m cuû a tam g iaù c ABC. Baøi 1 2:C ho maët phaún g (P) : 2 x + 5y – 7x +1 = 0 . a) Haõy xaùc ñòn h ve ctô ph aùp tu yeán cu ûa (P). b) Xaùc ñònh m ñe å ñieå m A (2m – 1 ; m +2 ; m – 1 ) naèm tr eân (P ). c) Tì m toïa ño ä g iao ñ ieå m cuûa (P) vôù i caùc tru ïc toï a ñoä . d) Tín h theå tích p haàn k hoâ ng gia n giôù i haïn bôû i (P ) vaø ca ùc maët phaú ng toïa ñoä . Baøi 1 3 : V ieá t ph öông trình maë t phaú ng : a) Ñi qua A( 1 ; 0 ; 2) vaø song song vôù i maët phaú ng xOy. b) Ñi qua M(2 ;- 1 ; -3) va ø vuoân g go ùc v ôù i tr uï c Ox . c) Ñi qua I ( -1 ; 2 ; 4) vaø song song vôù i maët phaú ng (P) : 2x – 3y + 5 z – 1 = 0 . d) (α ) laø maë t tr ung töï c cuû a ñoaïn AB vôù i A(1 ; 2 ; 3) , B(- 1 ; 1 ; 0). e) (β ) ñ i qua ba ñie åm A ( -1 ; 2 ; 3 ) ,B (2 ; -4 ; 3) , C(4 ; 5 ; 6). f) Ñi qua h ình ch ieá u cu ûa ñieå m N( 1 ; - 3 ; 1) treâ n caùc tru ïc to ïa ñoä . Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 65 Baøi 1 4:C ho ñ ieå m M(1 ; 2 ; 3) . a) Vieá t phö ông tr ình maët phaúng (α ) vaø caé t ba tr uïc toïa ñ oä taïi A , B, C sao cho M laø troï ng taâm cuûa tam giaù c ABC . b) Vieá t phö ông tr ình maët phaúng (β ) va ø caé t ba tr uïc toïa ñ oä taïi N , P , Q s ao cho M laø tröï c taâm cu ûa ta m gia ùc ABC . c) Vieá t phö ông tr ình maët phaúng ñi q ua M caé t ba truï c toïa ñ oä taïi ba ñieå m caù ch ñeàu goá c toïa ñ oä. Baøi 1 5 :V ieá t ph öông tr ình maët phaún g : a) Ñi qua ha i ñ ieå m A(1 ;1 ;0) , B(- 1 ; 2 ; 7) vaø v uoâng goù c vô ùi maë t phaú ng (α) 2x–3y+ z–7 = 0. b) Ñi qua M(0 ;2 ; -1 ), so ng song vôù i truï c Ox vaø vuoân g go ùc vôù i maë t p haúng (β) x – y +z = 0 . c) Ñi qua N(- 3;0 ;1 ) vaø v u oâng g oùc vôù i ha i ma ët p haúng (P) :2x –3y+ z –2 = 0 ; (Q):x + 5y–2 z = 0 Baøi 1 6: C ho töù d ie än A BCD co ù A(5 ; 1 ; 3) ,B (1 ; 6 ; 2 ) , C (5 ; 0 ; 4) ,D(4 ; 0 ;6 ) . a) Vieá t phö ông tr ình maët phaúng (BCD). b) Vieá t phö ông tr ình maët phaúng ñi q ua AB vaø s o ng song vôù i CD . c) Goïi G laø troïn g ta âm cuû a tam g iaù c BCD . V ieá t phöôn g tr ình maë t pha ún g ñi q ua G vaø song song vôù i maët phaú ng (ABC ) . Baøi 1 7 : V ieá t ph öông trình maë t phaú ng : Ñi qua A(1 ; 2 ; 1 ) vaø chöùa tru ïc Oy . Ñi qua g iao tuye án cuûa hai ma êt p haúng : x – 3z +1 = 0 , 2 y +3z – 5 = 0 vaø vu oâng goù c vôùi maë t pha úng 2 x – y – 1 = 0 . Ñi qua g iao tuye án cuûa hai ma êt p haúng 3x – y + 3z +8 = 0 , -2 x – y + z +2 = 0 vaø song song vô ùi maët phaú ng x – y – 1 = 0. Baøi 1 8 : V ieá t ph öông trình tha m soá, phöô ng trình ch ính taé c cu ûa ñöô ø ng tha úng ñ i q ua hai ñieåm A(-1 ; 4 ; 3) , B(2 ; 1 ; 1). Baøi 1 9 : V ieá t ph öông trình to ång q uaùt cu ûa ñöô ø ng tha úng laø g iao tuye án cuûa maët phaún g ñ i qua M(2 ; 5 ; - 3) vaø chöùa ñöôø ng thaún g 2 3 3 4 3 1 − − = − − = + zyx vaø maët phaún g Oxy. Baøi 2 0 : V ieá t ph öông trình ch ính taé c cu ûa ñöô ø ng tha úng : a) Coù p höôn g trình to ång q uaùt :    =+− =+−+ 012 05 yx zyx . Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 66 b ) Ñi q ua ñieå m M( 1 ; - 2 ; 3) vaø s o ng song vôù i ñö ôøng thaú ng :      = −−= += tz ty tx 4 3 31 c) Ñi qua ñ ieå m N( 2 ; 3 ; - 4) va ø vöo ân g goù c vô ùi maë t phaú ng x -2y + z – 6 = 0 d ) Ñi q ua ñ ieå m A( - 2 ; 5 ; 1 ) va ø so ng vôù i ñ öôøn g tha úng    =−−+ =++− 052 0123 zyx zyx e ) Ñöôø ng thaún g caàn tì m laø g iao tuye á n cuûa (P): x -2 y + 3z – 1 = 0 vô ùi maët phaún g y Oz. Baøi 2 1 :C höùn g m inh raè ng ñöô øng thaún g d :    =−−− =−+− 012 05235 zyx zyx naèm tr ong maë t phaú ng (P):4x – 3y + 7z = 0 . Baøi 2 2 :V ieá t ph öông tr ình maët phaún g (P) tro n g caù c tr öôø ng hô ïp sau : a) (P) ch öùa ñö ôøng thaú ng d vaø son g song vôù i d’ bieá t :d:      −−= += += tz ty tx 2 23 31 vaø d’:    =−−+ =−+− 052 032 zyx zyx . b) (P) ch öùa ñö ôøng tha úng d vaø (P) vuoâ ng g oùc vôù i maët phaún g (Q) bie át : d : 2 2 3 2 2 1 − = − + = − zyx vaø ( Q) : 3x + 2y – z – 5 = 0 . Baøi 2 3 :V ieá t ph öông tr ình ñ öôøn g thaúng d son g song v ôùi hai maë t phaú ng (P) : 3 x + 12 y – 3 z – 5 = 0 (Q) : 3x – 4y +9 z +7 = 0 vaø caét hai hai ñ öôøng thaú ng : d1 : 3 1 4 3 2 5 + = − − = + zyx , d2: 4 2 3 1 2 3 − = + = − − zyx Baøi 2 4: V ieá t ph öông tr ình ñ öôøn g thaúng d’ laø hình ch ieá u vuo âng goù c cuûa ñ öôøn g tha úng d tr eâ n maët phaún g (P) vôù i : d:      += += += tz ty tx 1 33 412 vaø (P ) :3 x + 5y – z – 2 = 0 . Baøi 2 5: V ieá t ph öông tr ình ñ öôøn g thaúng d’ ñ i qua giao ñieåm cu ûa ñöô ø ng tha úng d vaø maët phaú ng (P) bieát : d : 3 2 12 1 − + == − zyx vaø (P) 2x +y + z – 1 = 0 Baøi 2 6: C höùn g m inh h ai ñöô øng thaún g sau ñaâ y song v ôiù nhau vaø v ieát p höôn g trìn h ma ët phaúng chö ùa hai ñöôø ng thaúng ñoù Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 67 d : 12 1 3 2 zyx = − − = + vaø d’:    =−+− =−+ 08 0 zyx zyx Baøi 2 7 : V ieá t ph öông trình ñöôø ng v uoân g go ùc chun g cu ûa hai ñöôø ng thaúng cheù o nhau sau : a) d1:      −−= += −= tz ty tx 2 3 21 , d2 :      −= += = tz ty tx 23 1 2 b) d1 :      −= −−= += tz ty tx 3 2 1 , d2:    =−+− =−+ 08 0 zyx zyx Baøi 2 8: Tro ng kh oâng g ian vô ùi h eä truï c toïa Ox yz cho ñ ieå m M(1 ; - 2 ; 3) . Tín h khoa ûng caùch töø M ñeán : a) Maët phaú ng Oy z . b) Maët phaú ng (P) : x – 2y – 2z + 3 = 0. c) Ñöôøng thaún g d :    =+−+ =+− 02 03 zyx zyx . Baøi 2 9 : Tro ng kh oân g gian v ôùi heä tru ïc toïa ñoâ Oxyz cho ha i ñö ôøn g thaúng : d 1: 4 2 1 2 3 1 + = + = − zyx , d2 : 1 3 32 1 − − == + zyx . a) Chöùn g m inh hai ñ öôøn g thaún g d1 va ø d2 cheù o n hau . b) Chöùn g m inh raèng d1 so ng song vôù i ma ët p haúng (P) : 6 x – 14 y – z – 4 0 = 0. Tín h khoaûng caù ch g iöõa d1 v aø (P). c) Tì m ñ ieå m N ño ái xöùn g vôùi ñie åm M ( 1 ; -1 ;0) qua ñöô øng thaún g d1. Baøi 3 0 : Tro ng kh oân g gian v ôùi heä tru ïc toïa ñoâ Oxyz cho h ìn h laä p ph öông AB CD.A’B’ C’D ’ . Bieá t toïa ñ oä ca ùc ñie åm A(0 ;0 ; 0 ) ,B (1 ; 0 ; 0 ) , D( 0 ; 1 ; 0) vaø A’( 0 ; 0 ; 1) . a) Haõy xaùc ñòn h ca ùc ñ ie å m co øn laïi cu ûa hì nh la äp phöôn g . b) Goïi M,N laàn löô ït laø tr ung ñ ieå m cuûa AB vaø B ’C’ . Tính kh oaûng caù ch giö õa MN vaø AD. Baøi 3 1 : Tro ng kh oân g gian v ôùi heä toïa ñoä Ox yz , cho 4 ñieå m A( 2 ; 3 ;1) , B( 1 ; 1 ; - 1), C ( 2 ; 1 ; 0) , D (0 ; 1 2) . a. Chöùn g m inh A ,B,C, D laø 4 ñ ænh cu ûa tö ù d ieän . b. Tính khoaûn g caù ch giöõa hai ñöôø ng thaúng A B vaø CD . c. Vie át phöô ng trì nh ñ öôøng thaú ng AB . d. Vieá t p höôn g trìn h m aët ca àu coù taâm tr eân ñ ö ôøng thaún g AB vaø qua hai ñ ieå m C va ø D. Phạm Ngọc Khôi Nguyên Ôn thi TNTHPT 68 Baøi32 : Tính go ùc giö õa : a) d 1 :      −= −= +−= tz y tx 4 1 32 , d2 :    =−+− =+− 04 03 zyx zyx . b) d: 4 2 1 2 3 1 + = + = − zyx vaø (P): 3 x + y – z +13 = 0 Baøi 3 3: Tro ng kh oâng g ian vô ùi h eä toïa ñ oä Oxy z cho ñie åm M (-1 ;2 ;-3) vaø maë t pha úng (P):4 x– y + 4z -1 5 = 0. a) Tì m toïa ño ä ñ ieå m H laø hình ch ieá u vuo âng goù c cuûa M treâ n (P). b) Tì m toïa ño ä ñ ieå m M’ ñ oái x öùng vôù i M q ua (P) . Baøi 3 4 :Tì m taâm vaø baù n kín h cuûa caù c maë t caà u sau : a) x2 + y2 + z2 – 6x +2 y – 4z – 2 = 0. b) x2 + y2 + z2 – 4x +8 y + 2z – 4 = 0 Baøi 3 5 : Tro ng kh oân g gian v ôùi heä toïa ñoä Ox yz cho ñ öôøn g troøn (C) coù phöô ng trìn h :    =+++ =−−−−++ 01854 032464222 zyx zyxzyx . Tìm taâ m v aø baùn k ính cuûa (C) . Baøi 3 6 : Tro ng kh oân g gian v ôùi heä toïa ñoä Ox yz, v ieá t p höôn g tr ìn h maët caàu (S) ñ i qua 3 ñieåm A(1; 1 ; 0 ),B( -1; 1; 2), C(1; -1; 2) va ø co ù ta âm n aèm treân maë t pha úng (P ) : x+y+ z-4 = 0 . Baøi 3 7: Tro ng kh oâng g ian vô ùi h eä toïa ñ oä Oxy z cho ñ ie åm I(1 ;-1 ;2) vaø maët phaún g (P) : 3x+4 y – z–23 = 0 . Vie át phöô ng trì nh maët caàu taâ m I va ø tie áp x uùc vôù i (P) . Tìm toïa ñoä tieáp ñie åm . Baøi 3 8 : Tro ng kh oân g gian v ôùi h