Dãy số thời gian - Lê Phương

Chương 4. DÃY SỐ THỜI GIAN Lê Phương Bộ môn Toán kinh tế Đại học Ngân hàng TP. Hồ Chí Minh Homepage: Nội dung 1 Dãy số thời gian Khái niệm Phân loại 2 Các chỉ tiêu phân tích dãy số thời gian Mức độ trung bình theo thời gian Lượng tăng (giảm) tuyệt đối Tốc độ phát triển (chỉ số phát triển) Tốc độ tăng (giảm) Giá trị tuyệt đối của 1% tăng (giảm) liên hoàn 3 Một số phương pháp biểu hiện xu hướng biến động Phương pháp mở rộng khoảng cách thời gian Phương pháp số trung bình trượt (di động) Phương pháp biểu hiện biến động thời vụ Phương pháp hồi quy 4 Dự báo biến động dãy số thời gian Khái niệm Khái niệm Dãy số thời gian là dãy các trị số của một chỉ tiêu thống kê được sắp xếp theo thứ tự thời gian. Thời gian (ti ) t1 t2 t3 · · · tn Trị số chỉ tiêu (yi ) y1 y2 y3 · · · yn Dãy số thời gian bao gồm hai thành phần: thời gian và chỉ tiêu về hiện tượng nghiên cứu. • Thời gian có thể là ngày, tháng, quý, năm. . . • Chỉ tiêu về hiện tượng nghiên cứu có thể là số tuyệt đối, số tương đối, số trung bình. . . Trị số của chỉ tiêu được gọi là mức độ của dãy số. Phân loại theo thời gian Dãy số thời kì Là dãy số biểu hiện sự biến động của hiện tượng nghiên cứu qua từng thời kì. Ví dụ: Năm 2010 2011 2012 2013 Sản lượng (nghìn tấn) 256,1 295 368,5 450,2 Dãy số thời điểm Là dãy số biểu hiện sự biến động của hiện tượng nghiên cứu qua các thời điểm nhất định. Ví dụ: Ngày 1/1/14 1/2/14 1/3/14 1/4/14 1/5/14 Tồn kho (triệu đồng) 365 378 290 350 371 Phân loại theo chỉ tiêu Dãy số tuyệt đối Được cấu tạo bởi các trị số của chỉ tiêu số tuyệt đối. Ví dụ: Năm 2010 2011 2012 2013 Sản lượng (nghìn tấn) 256,1 295 368,5 450,2 Dãy số tương đối Được cấu tạo bởi các trị số của chỉ tiêu số tương đối. Ví dụ: Năm 2010 2011 2012 2013 % hoàn thành kế hoạch 120 98 112 105 Dãy số trung bình Được cấu tạo bởi các trị số của chỉ tiêu số trung bình. Ví dụ: Năm 2010 2011 2012 2013 Thu nhập trung bình (USD) 1850 2000 2100 2300 Mức độ trung bình theo thời gian Định nghĩa Chỉ tiêu phản ánh mức độ đại biểu của các mức độ tuyệt đối trong một dãy số thời gian. 1 Đối với dãy số thời kì: y = ∑n i=1 yi n = y1 + y2 + · · ·+ yn n 2 Đối với dãy số thời điểm • Khoảng cách giữa các thời điểm bằng nhau y = n−1∑ i=1 yi + yi+1 2 n − 1 = y1 2 + y2 + · · ·+ yn−1 + yn2 n − 1 • Khoảng cách giữa các thời điểm không bằng nhau y = ∑n i=1 yi ti∑n i=1 ti = y1t1 + y2t2 + · · ·+ yntn t1 + t2 + · · ·+ tn , trong đó ti là độ dài thời gian có mức độ yi . Mức độ trung bình theo thời gian Ví dụ Xác định sản lượng sản xuất trung bình hàng năm của xí nghiệp X: Năm 2010 2011 2012 2013 Sản lượng (nghìn tấn) 256,1 295 368,5 450,2 Ví dụ Xác định giá trị hàng hóa tồn kho trung bình từng tháng Ngày 1/1/14 1/2/14 1/3/14 1/4/14 1/5/14 Tồn kho (triệu đồng) 365 378 290 350 371 Ví dụ Xác định số công nhân trung bình trong tháng 4 Ngày 1/4 10/4 15/4 21/4 Số công nhân 400 398 406 408 Lượng tăng (giảm) tuyệt đối Định nghĩa Chỉ tiêu phản ánh sự chênh lệch tuyệt đối về mức độ của hiện tượng giữa hai thời gian nghiên cứu. • Liên hoàn δi = yi − yi−1 • Định gốc ∆i = yi − y1 = i∑ k=2 δk • Trung bình ∆ = n∑ k=2 δk n − 1 = ∆n n − 1 = yn − y1 n − 1 Tính chất : δi = ∆i −∆i−1. Tốc độ phát triển (chỉ số phát triển) Định nghĩa Chỉ tiêu phản ánh tỷ lệ so sánh về mức độ giữa hai thời gian nghiên cứu tính bằng số lần hoặc phần trăm. • Liên hoàn ti = yi yi−1 • Định gốc Ti = yi y1 = i∏ k=2 tk • Trung bình T = n−1 √√√√ n∏ k=2 tk = n−1 √ Tn = n−1 √ yn y1 Tính chất : ti = Ti Ti−1 . Tốc độ tăng (giảm) Định nghĩa Chỉ tiêu phản ánh tốc độ tăng (giảm) về mức độ giữa hai thời gian nghiên cứu tính bằng số lần hoặc phần trăm. • Liên hoàn ki = yi − yi−1 yi−1 = ti − 1 • Định gốc Ki = yi − y1 y1 = Ti − 1 • Trung bình K = T − 1 GTTĐ của 1% tăng (giảm) liên hoàn Định nghĩa Chỉ tiêu phản ánh qui mô giá trị tuyệt đối của 1% tăng trong tốc độ tăng (giảm) liên hoàn trong kì. gi = δi ki(%) = yi − yi−1 yi − yi−1 yi × 100 = yi−1 100 Ví dụ Xác định giá trị liên hoàn và trung bình của lượng tăng tuyệt đối, tốc độ phát triển, tốc độ tăng (giảm) và giá trị tuyệt đối của 1% tăng (giảm) cho các dãy số thời gian trong các ví dụ trước. GTTĐ của 1% tăng (giảm) liên hoàn Ví dụ Năm 2000, địa phương X đạt giá trị sản lượng công nghiệp là 10000 tỉ đồng. Theo kế hoạch thì đến năm 2010 giá trị sản lượng công nghiệp của địa phương sẽ đạt gấp hai lần so với năm 2000. Năm 2006, giá trị sản lượng công nghiệp trên địa bàn địa phương X đã đạt được là 14670 tỉ đồng. 1 Để đến năm 2010 địa phương này thực hiện vượt mức kế hoạch đã định 5.5% thì trong những năm còn lại của kế hoạch 10 năm nói trên, tốc độ tăng trung bình năm của giá trị sản lượng công nghiệp phải là bao nhiêu? 2 Nếu các năm còn lại của kế hoạch 10 năm đạt tốc độ tăng liên hoàn là 9%, 9,5%, 10%, và 10%, thì năm 2010 địa phương này sẽ thực hiện được bao nhiêu phần trăm kế hoạch đã định? Mở rộng khoảng cách thời gian Phương pháp này được sử dụng khi một dãy số thời kỳ có khoảng cách thời gian tương đối ngắn và có nhiều mức độ mà qua đó chưa phản ánh được xu hướng biến động của hiện tượng. Ví dụ Có số liệu về doanh thu hàng tháng (triệu đồng) của một cửa hàng năm 2015 như sau: Tháng Doanh thu Tháng Doanh thu Tháng Doanh thu 1 404 5 422 9 494 2 358 6 485 10 489 3 406 7 408 11 462 4 380 8 448 12 422 Dãy số trên cho thấy, doanh thu các tháng của cửa hàng lúc tăng, lúc giảm không nói rõ xu hướng biến động. Hãy mở rộng khoảng cách thời gian từ tháng sang quý để thấy được xu hướng chung. Số trung bình trượt (di động) Số trung bình trượt (số trung bình di động) là số trung bình cộng của một nhóm nhất định các mức độ của dãy số được tính bằng cách lần lượt loại dần các mức độ đầu, đồng thời thêm vào các mức độ tiếp theo sao cho tổng số lượng các mức độ tham gia tính số trung bình không thay đổi. Với dãy số thời gian: y1, y2, y3, . . . , yn−1, yn. Các số trung bình trượt cho nhóm m mức độ: yk = yk−m+1 + yk−m+2 + · · ·+ yk m Ví dụ Tính số trung bình trượt cho nhóm ba mức độ: Tháng Doanh thu Tháng Doanh thu Tháng Doanh thu 1 404 5 422 9 494 2 358 6 485 10 489 3 406 7 408 11 462 4 380 8 448 12 422 Biểu hiện biến động thời vụ Sự biến động của một số hiện tượng kinh tế - xã hội thường có tính thời vụ, nghĩa là hàng năm, trong từng thời gian nhất định, sự biến động thường lặp lại. Nguyên nhân gây ra biến động thời vụ là do ảnh hưởng của điều kiện tự nhiên, phong tục, tập quán sinh hoạt của dân cư. Nghiên cứu biến động thời vụ nhằm đề ra những chủ trương, biện pháp phù hợp, kịp thời, hạn chế những ảnh hưởng của biến động thời vụ đối với sản xuất và sinh hoạt xã hội. Trường hợp biến động thời vụ qua những thời gian nhất định của các năm tương đối ổn định (tối thiểu 3 năm), không có lượng tăng (giảm) rõ rệt thì chỉ số thời vụ được xác định như sau: Ii = yi y0 . Trong đó • yi : số bình quân của các mức độ của các thời gian cùng thời vụ i . • y0: số bình quân của tất cả các mức độ trong dãy số. Biểu hiện biến động thời vụ Ví dụ Có số liệu về doanh thu (triệu đồng) của một cửa hàng như sau Quý 2013 2014 2015 1 1200 1250 1380 2 2500 2830 3010 3 4100 4370 4530 4 1820 1960 2010 Tính các chỉ số thời vụ của các quý. Phương pháp hồi quy Trên cơ sở dãy số thời gian, người ta xây dựng một phương trình hồi quy phản ánh sự biến động của hiện tượng theo thời gian yˆt = f (t ,a1,a2, . . . ,ak ) trong đó f là hàm xu thế, a1,a2, . . . ,ak là các tham số và t là thứ tự thời gian. Để lựa chọn đúng đắn dạng của phương trình hồi quy, người ta thường dựa vào việc phân tích đặc điểm biến động của hiện tượng kết hợp với một số phương pháp đơn giản khác như dựa vào đồ thị, dựa vào lượng tăng (giảm) tuyệt đối, dựa vào tốc độ phát triển. . . Các tham số a1,a2, . . . ,ak thường được xác định bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất ∑ (yt − yˆt)→ min . Phương pháp hồi quy Phương trình hồi quy tuyến tính Phương trình hồi quy tuyến tính thường được sử dụng trong trường hợp các lượng tăng (giảm) tuyệt đối liên hoàn (các sai phân bậc 1) gần bằng nhau yˆt = a0 + a1t . Phương trình hồi quy parabol bậc 2 Phương trình hồi quy parabol bậc 2 thường được sử dụng trong trường hợp các sai phân bậc 2 gần bằng nhau. yˆt = a0 + a1t + a2t2. Phương trình hồi quy mũ Phương trình hồi quy mũ thường được sử dụng trong trường hợp các tốc độ phát triển liên hoàn gần bằng nhau. yˆt = a0at1. Phương pháp hồi quy Lưu ý 1 Nếu trên đồ thị biểu hiện mức độ thực tế của hiện tượng theo thời gian có thể xây dựng được một số hàm xu thế khác nhau thì chọn hàm xu thế nào có sai số chuẩn của mô hình nhỏ nhất. 2 Sai số chuẩn của mô hình (SE) được tính như sau SE = √∑ (yt − yˆt)2 n − p . Trong đó • yt : Mức độ thực tế của hiện tượng ở thời gian t . • yˆt : Mức độ của hiện tượng ở thời gian t được tính từ hàm xu thế. • n: Số lượng các mức độ của dãy số thời gian. • p: Số lượng các hệ số của hàm xu thế. Dự báo biến động dãy số thời gian Phương pháp • Dựa vào lượng tăng (giảm) tuyệt đối trung bình yˆn+m = yn + m∆ • Dựa vào tốc độ phát triển trung bình hoặc tốc độ tăng (giảm) trung bình yˆn+m = ynT m = yn(1 + K )m • Dựa vào hàm xu thế yˆn+m = f (n + m) trong đó + yn: giá trị thực tế ở thời gian n + yˆn+m: giá trị dự đoán ở thời gian n + m Ý nghĩa: Đưa ra dự báo hoặc xây dựng kế hoạch cho tương lai. Dự báo biến động dãy số thời gian Ví dụ Năm 2010 2011 2012 2013 Sản lượng (nghìn tấn) 256,1 295 368,5 450,2 Dự báo sản lượng sản xuất năm 2014 dựa vào 1 Lượng tăng (giảm) tuyệt đối trung bình. 2 Tốc độ phát triển trung bình.