Dạy học định lí hình học với sự hỗ trợ của phần mềm Geospace - Nguyễn Dương Hoàng

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE DOI: 10.18173/2354-1075.2015-0175 Educational Sci., 2015, Vol. 60, No. 8A, pp. 144-151 This paper is available online at DẠY HỌC ĐỊNH LÍ HÌNH HỌC VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA PHẦNMỀM GEOSPACE Nguyễn Dương Hoàng Phòng Sau Đại học, Trường Đại học Đồng Tháp Tóm tắt. Khai thác chức năng của phần mềm Geospace nhằm hỗ trợ học sinh khám phá định lí, giúp học sinh phát huy được khả năng tích cực hoá trong hoạt động học tập. Bài báo giới thiệu quy trình dạy học định lí hình học có hỗ trợ của phần mềm Geospace và vận dụng theo từng bước cụ thể. Từ khóa: Công nghệ thông tin, Geospace, dạy học định lí, hình học không gian. 1. Mở đầu Một trong những xu hướng đổi mới phương pháp dạy học toán ở trung học phổ thông (THPT) là ứng dụng công nghệ thông tin (CNTT) trong dạy học môn Toán. Theo [6], [10], Ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông vào quá trình dạy học sẽ làm cho môi trường dạy học thay đổi, nó tác động mạnh mẽ đến mọi thành tố của quá trình dạy học: thực hiện vai trò dạy học như một giáo viên; cung cấp tài liệu học tập mới có tính tương tác, dễ mang, dễ cập nhật; cung cấp kênh giao tiếp, truyền thông mới giữa giáo viên và học sinh, giữa học sinh với học sinh, giữa học sinh với các đối tượng khác; cung cấp công cụ kiểm tra, đánh giá mới khách quan, chính xác; cung cấp nguồn tài nguyên học tập phong phú, rất dễ truy cập, phân phối và có thể khai thác linh hoạt,. . . Theo [11], giáo viên có thể sử dụng phần mềm dạy học toán để giúp học sinh khám phá tri thức toán học, đặc biệt có các phần mềm hình học. Theo [5, 7, 8], giáo viên cần có các nhóm năng lực sử dụng CNTT trong dạy học môn Toán: năng lực sử dụng CNTT trong khâu chuẩn bị thiết kế bài giảng; năng lực sử dụng CNTT trong khâu tổ chức thực hiện bài giảng; năng lực sử dụng CNTT trong khâu đánh giá giờ học. Việc luyện kĩ năng ứng dụng CNTT trong dạy học toán THPT là một nội dung rất quan trọng. Theo [4], có thể chỉ ra các kĩ năng sử dụng CNTT như sau: nhóm kĩ năng xây dựng kế hoạch dạy học (bên cạnh kĩ năng cơ bản về sử dụng chương trình Microsoft Word, Excel, cần tập trung tới kĩ năng khai thác và sử dụng internet, kĩ năng thiết kế trình chiếu); nhóm kĩ năng trong tổ chức dạy học (kĩ năng diễn đạt ý tưởng bằng công cụ CNTT, kĩ năng chọn chủ đề phù hợp để ứng dụng CNTT, kĩ năng lựa chọn tài nguyên phù hợp bài dạy, kĩ năng sử dụng phần mềm hỗ trợ dạy học Toán, kĩ năng khai thác e-learning trong dạy học); nhóm kĩ năng sử dụng công nghệ thông tin trong đánh giá kết quả dạy học. Để giáo viên (GV) có được kĩ năng đó, cần có một quy trình định hướng, những ví dụ cụ thể minh họa ứng dụng của phần mềm dạy học toán trong những tình huống dạy học điển hình làm Ngày nhận bài: 10/7/2015. Ngày nhận đăng: 10/10/2015. Liên hệ: Nguyễn Dương Hoàng, e-mail: ndhoang@dthu.edu.vn 144 Dạy học định lí hình học với sự hỗ trợ của phần mềm Geospace cơ sở cho GV tiếp tục nghiên cứu phát triển. Trong bài viết này, chúng tôi giới thiệu cách khai thác phần mềm Geospace trong hỗ trợ dạy học định lí hình học. 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Sơ lược về phần mềm Geospace Phần mềm Geospace là một phần mềm miễn phí, nhỏ gọn. Tác giả phần mềm là Markus Hohenwarter, quốc tịch Áo, giảng viên Toán – Tin thuộc Trường Đại học Salzburg. Dự án phần mềm Geospace được khởi tạo năm 2001 và trải qua nhiều năm liên tục phát triển . Yêu cầu về cấu hình máy để chạy phần mềm rất nhẹ nhàng và chạy tốt hệ điều hành Windows XP/Vista/Windows 7. Đặc biệt có thể chép vào USB để chạy trên nhiều máy tính khác nhau. Đến tháng 01/2009, phiên bản 1.6 của phần mềm Geospace có hỗ trợ bốn ngôn ngữ Pháp, Anh, Đức, Ý được phát hành. Về tính năng, Geospace có nhiều ưu điểm như hình vẽ của Geospace rất trực quan và giống với hình vẽ mà học sinh nhìn thấy trên bảng, trên giấy khi các em giải toán, đồng thời giáo viên có thể cho học sinh quan sát hình vẽ dưới nhiều góc độ khác nhau. Phần mềm Geospace còn hỗ trợ chức năng tạo vết, tìm quĩ tích của điểm, hỗ trợ việc tính toán diện tích, thể tích, độ dài, khoảng cách, các phép toán vectơ, tính toạ độ điểm. 2.2. Dạy học định lí trong hình học không gian có sự hỗ trợ phần mềm dạy học Geospace Theo Giáo sư Nguyễn Bá Kim [2], quá trình dạy học định lí toán học được tiến hành theo hai con đường: Con đường có khâu suy đoán và con đường suy diễn, theo lược đồ trong Hình 1a, 1b. Căn cứ vào quy trình trên, phần mềm Geospace có thể hỗ trợ trong các khâu sau đây trong dạy học định lí Gợi động cơ học tập cho học sinh Gợi động cơ học tập cho học sinh (HS) trong dạy học định lí bằng cách tạo các tình huống dạy học chứa các mối quan hệ; các quy luật chung ẩn chứa trong các trường hợp riêng hoặc tổng quát; trong thực tiễn hoặc đề xuất bài toán với yêu cầu chứng minh mà kiến thức cũ chưa đủ để giải quyết. Phát hiện định lí Thông qua việc thao tác trên phần mềm dạy học, mô phỏng các đối tượng của tình huống dạy học, đưa ra các câu hỏi và đề nghị HS tìm tòi, dự đoán kết quả. Đặc biệt thông qua các hoạt động phát hiện: Phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hoá, hoạt động biến đổi đối tượng làm bộc lộ các mối liên hệ chung, các quy luật chung từ các trường hợp riêng, dẫn đến định lí. Nếu giai đoạn dự đoán định lí nhằm phát triển khả năng phán đoán thì giai đoạn kiểm nghiệm định lí nhằm mục đích khẳng định tính đúng đắn của dự đoán và nhằm đi tìm lí lẽ để chứng minh dự đoán đó. Trong giai đoạn này phần mềm dạy học hỗ trợ tốt cho việc kiểm nghiệm, giúp người học có thể tự tin hơn trong dự đoán của mình. Thông qua đó, GV thực hiện khâu chính xác hoá lại định lí vừa phát biểu cùng với các kí hiệu. Củng cố định lí Tổ chức cho HS hoạt động để nắm vững nội dung của định lí, vận dụng định lí vừa học vào tình huống cụ thể như: giải các bài tập toán, xây dựng và chứng minh các hệ quả của định lí. Khai thác các ứng dụng của định lí Đây là một yêu cầu rất quan trọng trong dạy học định lí. Từ các ví dụ cụ thể, GV khái quát những ứng dụng của định lí trong những dạng toán điển hình hay xây dựng các quy trình giải toán 145 Nguyễn Dương Hoàng từ nội dung của định lí. Các mô hình động dựa theo phần mềm Geospace có thể giúp HS phát hiện các ứng dụng này. Hình 1a. Hình 1b. Ví vụ minh hoạ: Dạy học định lí “Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau”. HĐ1: Gợi động cơ học tập định lí. Bài toán: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). b. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). - GV: Đối với câu a ta có thể tìm giao tuyến bằng cách tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). Ngược lại câu b ta không thể sử dụng cách tìm hai điểm chung. Tùy vào giả thuyết và yêu cầu của bài toán mà ta chọn công cụ giải quyết cho phù hợp. Định lí sau đây cho chúng ta thêm công cụ tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ở trường hợp câu b. HĐ2: Phát hiện định lí. - GV: Mở mô hình, lần lượt cho hiện ra các yếu tố mặt phẳng (α), (β), (γ) và (α) ∩ (β) = a, (α) ∩ (γ) = c, (β) ∩ (γ) = b. Chọn phím 2 để quay mô hình và di chuyển điểm từ vị trí 1 điểm đến vị trí 2 điểm N cho HS quan sát nhiều góc độ. Có dự đoán gì về vị trí tương đối giữa các giao tuyến a, b, c (hình 2, hình 3)? - HS: Qua khảo sát trên HS dự đoán tại vị trí 1 ba giao tuyến a, b, c song song nhau, tại vị trí 2 ba giao tuyến a, b, c đồng quy tại N. 146 Dạy học định lí hình học với sự hỗ trợ của phần mềm Geospace - GV: Hãy phát biểu mệnh đề trên bằng kí hiệu toán học. Hãy tìm cách chứng minh dự đoán đó? - HS: (α) 6= (β) 6= (γ), (α)∩(β) = a, (β)∩(γ) = b, (α)∩(γ) = c⇒ [ a//b, b//c, c//a a ∩ b ∩ c = N Hình 2. Hình 3. Nếu HS lúng túng trong việc chứng minh GV có thể gợi ý: Giả sử điều ngược lại với kết luận liệu dẫn đến mâu thuẫn nào không? Giả sử không xảy ra a//b, b//c, c//a (1) và không xảy ra a, b, c đồng quy (2). Do a, b, c bình đẳng, không mất tính tổng quát ta giả sử a không song song b, vì a và b đều thuộc (γ) ⇒ a ∩ b = N ⇒ N ∈ (α) ∩ (γ)⇒ N ∈ c. Vậy a ∩ b ∩ c = N (mâu thuẫn với (2)), dẫn đến điều giả sử là sai). Suy ra điều phải chứng minh. - Giáo viên: Từ những hoạt động trên hãy phát biểu mệnh đề đó bằng lời và bằng kí hiệu toán học? - HS: Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau. (α) 6= (β) 6= (γ), (α) ∩ (β) = a, (β) ∩ (γ) = b, (α) ∩ (γ) = c ⇒ [ a//b, b//c, c//a a ∩ b ∩ c = N HĐ3: Củng cố định lí. Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA, AC và BD. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng? A. Ba đường thẳng MP, NQ, EF đôi một song song. B. Ba đường thẳng MP, NQ, EF đồng quy. C. Ba đường thẳng MP, NQ, EF đồng phẳng. D. Cả ba mệnh đề trên đều sai. Sử dụng phần mềm vẽ hình theo yêu cầu, quay hình ở nhiều góc độ khác nhau cho HS quan sát. 147 Nguyễn Dương Hoàng Hình 4. Đối với câu hỏi này HS có thể sử dụng định lí trên để giải quyết, HS phải nhận ra có ba mặt phẳng (MNPQ), (MEPF), (QENF) phân biệt và (MNPQ) ∩ (MEPF) = MP; (MEPF) ∩ (QENF) = EF; (MNPQ) ∩ (QENF) = NQ. Nên theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng và có hai giao tuyến cắt nhau nên MP, EF, NQ đồng quy (hình 4). HĐ4: Khai thác các ứng dụng của định lí. - Ứng dụng 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. GV đặt câu hỏi cho HS: Nếu (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến a, lần lượt chứa hai đường thẳng song song b và c. Xác định vị trí tương đối a, b, c? HS: + Trường hợp 1: a ≡ b hoặc a ≡ c. + Trường hợp 2: a, b, c phân biệt. Qua b và c xác định được (γ), mặt khác b // c nên a // b và a // c. Hãy phát biểu mệnh đề trên dựa vào giả thuyết và kết luận của khảo sát trên? HS: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. Đây là hệ quả của định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng. Ứng dụng của hệ quả: Có thêm một phương pháp nữa để tìm giao tuyến của của hai mặt phẳng. Quy trình xác định giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt: + Quy trình 1: Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng ta chỉ cần xác định hai điểm chung của chúng. + Quy trình 2: Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng cùng song song với 1 đường thẳng (hoặc lần lượt chứa hai đường thẳng song song) ta chỉ cần xác định một điểm chung của chúng. Giao tuyến của 2 mặt phẳng này là đường thẳng đi qua điểm chung ấy và song song với đường thẳng (hoặc song song với 2 đường thẳng) đã biết. Ví dụ 2: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). b. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). Dùng phần mềm vẽ hình theo yêu cầu (hình 5). Chúng ta có thể xác định giao tuyến của hai mặt phẳng theo một trong hai quy trình trên: a. Đối với câu này, HS có thể áp dụng quy trình 1 để giải bài này. Xét hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) ta có S là điểm chung thứ nhất. Gọi O là giao điểm AC và BD thì O là điểm chung thứ hai. Vậy giao tuyến của (SAC) và (SBD) là SO. Với câu a, HS có thể dễ dàng tìm được lời giải theo quy trình 1. Ngược lại câu b tương đối khó với HS. b. Xét hai mặt phẳng phân biệt (SAD) và (SBC) có điểm chung thứ nhất là S. Tuy nhiên để tìm điểm chung thứ hai thì rất khó vì AD và BC là hai đường thẳng song song (theo giả thuyết). Ở đây HS gặp chướng ngại nên điều chỉnh lại kiến thức là đường thẳng đi qua điểm chung và lần lượt chứa hai đường thẳng AD và BC song song nhau. Vậy theo quy trình 2, suy ra giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng đi qua điểm S và song song với AD và BC (hình 6). 148 Dạy học định lí hình học với sự hỗ trợ của phần mềm Geospace Hình 5. Hình 6. Ứng dụng 2: Chứng minh 2 đường thẳng song song, chúng ta chứng minh chúng là 2 trong 3 giao tuyến phân biệt không đồng quy của 3 mặt phẳng phân biệt. Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BC và BD. (P) là mặt phẳng qua IJ và cắt AC, AD lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng IJMN là hình thang. Dùng phần mềm dựng hình theo yêu cầu đề bài. Ta thấy ba mặt phẳng (ACD), (BCD), (P) đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến CD, IJ, MN. (ACD) ∩ (BCD) = CD (ACD) ∩ (P ) = MN (BCD) ∩ (P ) = IJ Hình 7. Hình 8. Hình 9. Vì IJ // CD (IJ là đường trung bình của tam giác BCD). Theo định lí trên ta có IJ // MN. Vậy tứ giác IJNN là hình thang. Ở đây có thể làm rõ hơn việc IJNM là hình thang bằng cách dùng chuột di chuyển điểm M để thấy rõ trong các trường hợp khác (hình 7, 8, 9). Có thể hỏi thêm HS nếu điểm M là trung điểm AC thì hình thang IJNM trở thành hình gì (hình 8)? Ứng dụng 3: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ta chứng minh chúng là ba giao tuyến phân biệt của ba mặt phẳng phân biệt, trong đó có hai đường thẳng cắt nhau. Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Gọi M, N, E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SBC, SCD và SDA, chứng minh ba đường thẳng ME, NF, SO đồng quy (O là giao điểm của AC và BD). 149 Nguyễn Dương Hoàng Sử dụng phần mềm dựng hình theo yêu cầu đề bài (hình 10). Hình 10. GọiM ′, N ′, E′, F ′ là giao điểm của SM và AB; SN và BC; SE và CD; SF và AD. Vì M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB và SBC nên SM SM ′ = SN SN ′ = 2 3 ⇒ MN//M ′N ′ và MN = 2 3 M ′N ′. (1) Tương tự, EF//E′F ′ và EF = 2 3 E′F ′. (2) NE//N ′E′ và NE = 2 3 N ′E′. (3) MF//M ′F ′ vàMF = 2 3 M ′F ′. (4) M ′N ′ là đường trung bình của tam giác BAC suy ra: M′N′//AC vàM ′N ′ = 1 2 AC (5) Tương tự, E′F ′//AC và E′F ′ = 1 2 AC. (6) Từ (5), (6) suy raM ′N ′//E′F ′ vàM ′N ′ = E′F ′ = 1 2 AC. (7) Từ (1), (2), (7) suy raMN//EF (8). Vậy bốn điểmM,N,E,F đồng phẳng. Từ (1), (2), (3), (4), (7), (8) và AC = BD suy ra MN = NE = EF = FM = 1 3 AC. Vậy tứ giácMNEF là một hình thoi. Suy raME ∩NF = I. Dễ dàng thấy O cũng là giao điểm củaM ′E′ và N ′F ′. Xét ba mặt phẳng (M ′SE′), (N ′SF ′), (MNEF ). Ta có: (M ′SE′) ∩ (N ′SF ′) = SO; (M ′SE′) ∩ (MNEF ) = ME; (N ′SF ′) ∩ (MNEF ) = NF. Theo định lí trên ba đường thẳng SO,ME và NF đồng quy. Với cách tương tự, chúng ta có thể sử dụng phần mềm Geospace hỗ trợ dạy học các định lí khác của hình học không gian. 3. Kết luận Việc sử dụng phần mềm Geospace hỗ trợ dạy học định lí theo quy trình đã vạch ra ở trên sẽ giúp HS tích cực hơn khi được tiếp cận, nghiên cứu, khám phá và trực tiếp thao tác trên mô hình động, từ đó giúp HS phát hiện ra kiến thức mới. Nếu chúng ta biết khai thác hợp lí các chức năng của phần mềm Geospace vào quá trình dạy học định lí trong hình học không gian sẽ góp phần đổi mới phương pháp dạy học, nâng cao chất lượng dạy học hình học nói riêng và dạy học toán nói chung ở trường phổ thông. 150 Dạy học định lí hình học với sự hỗ trợ của phần mềm Geospace TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bộ Giáo dục và đào tạo, 2008. Hình học 11. Nxb GD Hà Nội. [2] Bộ Giáo dục và đào tạo, 2007. Hình học 11, Sách giáo viên. Nxb GD Hà Nội. [3] Trần Thanh Cần, 2013. Thiết kế và sử dụng một số mô hình động dựa vào phần mềm Geospace hỗ trợ dạy học hình học không gian. Luận văn thạc sĩ giáo dục học, Đại học Cần Thơ. [4] Lê Minh Cường, 2015. Hệ thống kĩ năng sử dụng công nghệ thông tin trong dạy học Toán ở trường phổ thông. Kỉ yếu Hội thảo khoa học Phát triển năng lực nghề nghiệp giáo viên Toán phổ thông Việt Nam, Nxb Đại học Sư phạm, tr. 72-81. [5] Trịnh Thanh Hải, Lê Minh Cường, Đỗ Đức Thông, 2015. Bồi dưỡng năng lực ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông trong dạy học. Kỉ yếu Hội thảo khoa học Phát triển năng lực nghề nghiệp giáo viên Toán phổ thông Việt Nam, Nxb Đại học Sư phạm, tr. 60-63. [6] Nguyễn Văn Hồng, Lê Viết Minh Triết, 2015. Ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông nhằm bồi dưỡng năng lực tự học hình học lớp 12 cho học sinh trường trung học phổ thông qua tài liệu thiết kế theo mô đun. Kỉ yếu Hội thảo khoa học Phát triển năng lực nghề nghiệp giáo viên Toán phổ thông Việt Nam, Nxb Đại học Sư phạm, tr. 145-151. [7] Nguyễn Bá Kim, 2004. Phương pháp dạy học môn Toán. Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội. [8] Nguyễn Phú Lộc, 2009. Giáo trình học tập trong hoạt động và bằng hoạt động. Tủ sách Đại học Cần Thơ. [9] Đào Tam, 2007. Phương pháp dạy học hình học ở trường trung học phổ thông. Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội. [10] Trần Trung (chủ biên), Đặng Xuân Cương, Nguyễn Văn Hồng, Nguyễn Danh Nam, 2011. Ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy học môn Toán. Nxb Giáo dục Hà Nội. [11] Trần Vui (chủ biên), Lê Quang Hùng, 2007. Khám phá hình học 11 với The Geometer’s Sketchpad. Nxb Giáo dục Hà Nội. ABSTRACT Teaching geometry theorems using Geospace software The use of Geospace software helps students discover theorems and helps students to have ability of positive in activities of student’s study. The article introduces the process of teaching theorems in geometric space using Geospace software applied in specific steps. Keywords: Information technology, Geospace software, teaching theorems, geometric space. 151