Dạng lượng giác của số phức (Phần 1)

DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC -----------Phần 1--------- A. CHUYỂN MỘT SỐ PHỨC SANG DẠNG LƯỢNG GIÁC I. Tóm tắt lí thuyết 1. Định nghĩa - Acgument của số phức: Cho số phức 0z  . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z . Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox , tia cuối OM được gọi là một acgument của z . - Dạng lượng giác của số phức: Dạng  os sinz r c i   , trong đó 0r  , được gọi là dạng lượng giác của số phức 0.z  Còn dạng   ,z a bi a b   được gọi là dạng đại số của số phức .z 2. Cách chuyển một số phức sang dạng lượng giác - Cho một số phức   ,z a bi a b   khác 0 , để chuyển z về dạng lượng giác  os sinz r c i   ta cần tìm các đại lượng sau:  Tìm r : 2 2r a b  . Số r được gọi là môđun của z và r cũng là khoảng cách từ gốc O đến điểm M biểu diễn số z trong mặt phẳng phức.  Tìm  : Số  là một acgument của z ,  là một số thực sao cho os a c r   và sin b r   . Số  cũng là số đo một góc lượng giác tia đầu Ox , tia cuối OM . - Cách làm như sau: Bằng việc đồng nhất biểu thức tổng quát của số phức dạng dạng đại số và dạng lượng giác ta có     2 2 2 2 2 2 2 2 cos os 1 sin sin 2 . r a b r a b a a a r c r a b b r b b r a b                         Hệ phương trình trên cho phép chúng ta thực hiện việc chuyển đổi dễ dàng từ dạng đại số sang dạng lượng giác. Chú ý - Từ các hệ thức    1 , 2 , kết hợp với kiến thức lượng giác về cung và góc ta xác định được góc . - Trong các biểu thức cho phép xác định  thì thường có hai giá trị  chấp nhận được, tùy thuộc vào chiều quay mà ta chọn để lấy  theo chiều dương hay chiều âm. - Khi 0z  thì 0z r  nhưng acgument của z không xác định, đôi khi coi acgument của 0 là số thực tùy ý và vẫn viết  0 0 os sinc i   . - Cần để ý đòi hỏi 0r  trong dạng lượng giác  os sinr c i  của số phức 0.z  II. Một số ví dụ Ví dụ 1. Viết dạng lượng giác của số phức z sao cho 1 3 z  và một acgument của 1 z i là 3 4   . Giải Do 1 3 z  nên   1 os sin . 3 z c i   Suy ra        1 1 os sin cos sin . 3 3 z c i i         Ta có 2 2 1 2 2 os sin 2 2 4 4 i i c i                 nên 1 os sin . 1 4 43 2 z c i i                          Do đó 3 2 2 , . 4 4 2 k k k Z                Vậy dạng lượng giác của số phức z là 1 os sin . 3 2 2 z c i         Ví dụ 2. Cho số phức 1 os sin . 7 7 z c i      Tìm môđun, acgument của z và viết z dưới dạng lượng giác. Giải Ta có 2 2 2 21 os sin 1 2cos os sin 7 7 7 7 7 8 4 2 1 os 2 1 os 2cos . 7 7 7 z c c c c                                     Gọi  là một acgument của z thì 2 8 sin sin 47 7tan cot tan . 4 7 14 1 os 2sin 7 7 c                   Suy ra , . 14 k k       Vì phần thực 1 os 0 7 c    , phần ảo sin 0 7    nên ta chọn một acgument là . 14   Vậy môđun của z là 4 2 os , 7 z c   acgument của z là , , 14 k k       dạng lượng giác của z là 4 2cos os sin . 7 14 14 z c i                     Ví dụ 3. Viết số phức z dưới dạng lượng giác, biết 1 3z z i   và i z có một acgument là . 6  Giải Đặt    os sin 0, .z r c i r      Khi đó  os sin .z r c i    sin cos cos sin . 2 2 iz r i r i                            Theo giả thiết thì . 2 6 3         Khi đó 3 1 3 1 3 1 2 2 2 2 r r r r z z i i               2 2 22 2 231 3 1 4 1 1. 2 4 4 2 2 r r r r r r r                             Vậy dạng lượng giác của số phức z là os isin . 3 3 z c     Ví dụ 4. Tìm một acgument của số phức  1 3 ,z i  biết một acgument của z bằng . 3  Giải Vì z có một acgument bằng 3  nên 1 3 . 2 2 z z i         Do đó     1 31 3 2 . 2 2 z i z i           Khi 2z  một acgument của  1 3z i  là . 3  Khi 0 2z  một acgument của  1 3z i  là 4 . 3  Khi 2z  thì  1 3z i  =0 nên acgument không xác định. Vậy một acgument của z là 4 , . 3 3   III. Bài tập tự luyện Bài 1. Tìm dạng lượng giác của các số phức sau a. 1 . 3 i z i    Đáp số: 2 os sin . 2 12 12 z c i         b. 5 tan . 8 z i    Đáp số: 1 7 7 os sin . 3 8 8 os 8 z c i c           Bài 2. Tìm  ,arg ,arg ,argz z z z của các số phức sau a.   1 6 6 .z i i   Đáp số: 12,arg 0.z z  b.   7 7 3 1 .z i i    Đáp số: 1114 2,arg . 12 z z    Bài 3. Cho số phức z có môđun 1 và  là một acgument của nó. a. Tìm một acgument của số phức . z z Đáp số: 2 . 5 b. Tìm một acgument của số phức z z nếu os 0.c   Đáp số: Nếu os 0c   thì  arg 0.z z  Nếu os 0c   thì  arg .z z   Bài 4. Cho số phức 1 sin os , 0 . 2 z ic               Tìm một acgument của .z Đáp số: . 4 2    Bài 5. Xác định dạng lượng giác của số phức 3 . 1 3 i z i    Đáp số: 5 5 os sin . 2 2 z c i     Bài 6. Tìm số phức z sao cho 2z z  và một acgument của 2z  bằng một acgument của 2z  cộng với . 2  Đáp số: 1 3 .z i  Bài 7. Tìm tất cả các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho 1z z i   là số thực. Đáp số: Là tập hợp các điểm thuộc Ox , Oy trừ điểm  0,1 .I Bài 8. Viết dạng lượng giác của mỗi số phức sau: a. 1 3 . 4 4 z i   Đáp số: 1 os sin . 2 3 3 z c i         b. 1 3 . 2 2 z i    Đáp số: 4 4 os sin . 3 3 z c i    