Đại số 10 - Chương 6: Góc lượng giác và công thức lượng giác

Chương VI: GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC: A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Góc và cung lượng giác: *. Đường tròn bán kính R có độ dài bằng 2pR và có số đo bằng 3600. *. Chia đường tròn thành 360 phần bằng nhau thì mỗi cung tròn này có độ dài bằng và có số đo 10. *. Cung tròn bán kính R có số đo a0 (0 £ a £ 360) thì có độ dài bằng . *. Radian là số đo của một cung có độ dài bằng bán kính của đường tròn. *. Cung có số đo bằng a0 ứng với a radian công thức đổi đơn vị là: . *. Độ dài của một cung tròn được tính theo công thức: l = R.a. y *. Góc lượng giác (Ox, Oy) theo thứ tự này là góc quét bởi tia Oz, theo một chiều nhất định từ z Ox đến Oy. *.Đường tròn lượng giác là đường tròn O x Bán kính bằng đơn vị mà trên đó ta chọn một chiều làm chiều dương (+). Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta quy ước đường tròn lượng giác là đường tròn tâm O(0; 0) và đi qua A(1; 0), B(0; 1), A’(-1; 0), B’(0; -1); chiều dương là chiều ngược kim đồng hồ. *. Cung lượng giác AC với hai điểm A, C trên đường tròn lượng giác là cung vạch bởi điểm M di chuyển trên đường tròn lượng giác theo một chiều nhất định từ A đến C. *. Số đo của góc và cung lượng giác: sđ(Ox, Oy) = a0 + k3600 hoặc sđ(Ox, Oy) = a + k2p. sđAM = a0 + k3600 hoặc sđAM = a + k2p. y B S M P T A’ O Q A x B’ *. Hệ thức Sa-lơ: + Với ba tia Ox, Oy, Oz tùy ý, ta có: sđ(Ox, Oy) + sđ(Oy, Oz) = sđ(Ox, Oz). + Với M, N, K tùy ý trên đường tròn lượng giác thì: sđMN + sđNK = sđMK. 2. Các công thức lượng giác cơ bản: Điểm M(x; y) trên đường tròn lượng giác với sđAM = a + k2p (k Î Z). Ta có: Nhận xét: - 1 £ cosa £ 1, - 1 £ cosa £ 1. cos(a + k2p) = cosa, sin(a + k2p) = sina, tan(a + kp) = tana, cot(a + kp) = cot a. tana = xác định khi a ¹ cota = xác định khi a ¹ a ¹ kp sina = tanacosa, cosa = cotasina, tanacota = 1, sin2a + cos2a + 1. *. Giá trị lượng giác của những cung đặc biệt: Góc 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 TS . 0 p sin 0 1 0 cos 1 0 -1 tan 0 1 ÷÷ -1 0 cot ÷÷ 1 0 -1 ÷÷ 3.Giá trị lượng giác của những cung có liên quan đặc biệt: *. Cung đối nhau: - a và a: cos(-a) = cosa, sin(-a) = - sina, tan(-a) = - tana, cot(-a) = - cota. *. Cung bù nhau: p - a và a: sin(p - a) = sina, cos(p - a) = - cosa, tan(p - a) = - tana, cot(p - a) = - cota. *. Cung hơn kém p: p + a và a: sin(p + a) = - sina, cos(p a) = - cosa, tan(p + a) = tana, cotp + a) = cota. *. Cung phụ nhau: - a và a: sin = cosa, cos = sina, tan = cota, cot = tana. *. Cung hơn kém : + a và a: sin = cosa, cos = - sina, tan = - cota, cot = - tana. 4. Các công thứ lượng giác khác: *. Công thức cộng: cos(a + b) = cosacosb – sinasinb, sin(a + b) = sinacosb + cosasinb. cos(a– b) = cosacosb + sinasinb, sin(a– b) = sinacosb – cosasinb. tan(a + b) = , tan(a– b) = . *. Công thức nhân đôi: cos2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - 1 = 1 – 2sin2a; sin2a = 2sinacosa; tan2a = *. Công thức hạ bậc: sinacosa = *. Công thức biến đổi tích thành tổng: cosacosb = sinasinb = - *. Công thức biến đổi tổng thành tích: cosa + cosb = cosa – cosb = sina + sinb = sina – sinb = B. BÀI TẬP RÈN LUYỆN: 1. a) Trên mặt phẳng tọa độ, biểu diễn các góc lượng giác (OA, OB) có các số do sau: - 450, 12000, - 8300. b) Trên đường tròn lượng giác, lấy điểm gốc A, xác đinh điểm M sao cho cung AM có số đo bằng: c) Tính giá trị lượng giác của các cung đã biểu diễn ở câu a) và b). 2. Xác định điểm cuối M của cung lượng giác a biết cosa ³ 0,5. Tìm miền giá trị của sina, tana và cota. 3. Chứng minh các đẳng thức sau: a) sin4x + cos4x = 1 – 2sin2x cos2x; b) sin6x + cos6x = 1 – 3sin2xcos2x; h) tan2x – sin2x = tan2xsin2x; i) 4. Rút gọn các biểu thức sau: 5. Tính tổng: S1 = sina + sin2a + sin3a + . . . + sinna; S2 = 1 + cosa + cos2a + cos3a + . . . + cosna. 6. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y: A = cos2x + cos2(x + a) – 2cosxcosacos(x + a); B = cos6x + 2sin4xcos2x + 3sin2xcos4x + sin4x; F = 3(sin8x – cos8x) + 4(cos6x – 2sin6x) + 6sin4x; 7. CMR: sinxcosxcos2xcos4x = Áp dụng: Tính giá trị các biểu thức: A = sin60.sin420.sin660.sin780; 8. a) Cho cosx = - Tính sinx, tanx và cotx. b) Biết tan Tính c) Biết tana + cota = m, tính sin2a, sin4a. Tìm điều kiện của m. d) Cho sina + cosa = m với Tính sin2a, sina, cosa. 9. Không dùng bảng tính và MTĐT, tính: C = cos100.cos500.cos700; D = cos200.cos400.cos800. E = sin1600.cos1100 + sin2500.cos3400 + tan1100.tan3400. F = sin100.sin500.sin700; H = tan50tan550tan650. H = tan90 – tan270 – tan630 + tan810; I = cos100cos200cos300. . . cos800. 10. Chứng minh định lý tang trong tam giác ABC: 11. Chứng minh các đẳng thức sau: a) tana + tanb + tanc – tana.tanb.tanc = b) 12) Chứng minh rằng: a) Nếu thì tanxtany = b) x, y là hai góc nhọn thỏa mãn các điều kiện 3sin2x + 2sin2y = 1 và 3sin2x 2sin2y thì 13. CMR: a) Nếu cos(a + b) = 0 thì sin(a + 2b) = sina; b) Nếu sin(2a + b) = 3sinb thì tan(a + b) = 2tana. 14. CMR: trong mọi DABC ta đều có: a) sinA + sinB + sinC = c) sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC; d) cos2A + cos2B + cos2C = 1 – 2cosAcosBcosC; e) sin2A + sin2B + sin2C = 2 + 2cosAcosBcosC; f) tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC; g) bcosB + ccosC = acos(B – C) h) i) cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1; l) S = 2R2sinAsinBsinC; 15. CMR: trong mọi DABC ta đều có: d) Nếu a4 = b4 + c4 thì 2sin2A = tanB.tanC 16. Nhận dạng tam giác ABC nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau: k) 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15; 17. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để DABC vuông là: a) cos2A + cos2B + cos2C = -1; b) tan2A + tan2B + tan2C = 0; c) sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC. 18. Chứng minh DABC vuông khi: 19. Chứng minh rằng DABC là vuông hoặc cân khi: 20. Chứng minh rằng DABC là cân khi và chỉ khi: 21. Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu nó thỏa mãn biểu thức sau: a) (b2 + c2)sin(C - B) = c2 – b2)sin(C + B); 22. CMR: DABC là tam giác đều nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: a) sinA + sinB + sinC = sin2A + sin2B + sin2C; b) a(1 – 2cosA) + b(1 – 2cosB) c(1 – 2cosC) = 0; c) 2(a3 + b3 + c3) = a(2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2); 23. Tam giác ABC có đặc điểm gì khi thỏa mãn một trong các điều kiện sau: a) sin3A + sin3B + sin3C = 0; b) sin4A + sin4B + sin4C = 0; c) a3 = 3 + c3; d) sin2A + sin2B + sin2C £ 2; e) c = c.cos2B + b.sin2B g) sin2A + sin2B = 5sin2C; A, B, C là nghiệm của phương trình: 24. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: (ĐH An ninh 1998) 25. CMR: nếu ba góc A, B, C của DABC thỏa điều kiện: sin2A + sin2B + sin2C thì A, , C đều là ba góc nhọn. (ĐH An ninh 1998) 26. Cho DABC có các góc thỏa . CMR: (ĐH Bách khoa Hà nội 1998) 27. Cho DABC. CMR: 2b = a + c Û (ĐH Cần thơ 1998) 29. CMR: trong tất cả các tam giác nội đường tròn cho trước thì tam giác đều có diện tích lớn nhất. (ĐH Công đoàn 1998) 30. Cho DABC. CMR: (ĐH Dược hà nội 1998) 31. Cho DABC. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = 3cosA + 2(cosB + cosC). (ĐH Luật Hà nội 1998) 32. Cho DABC. CMR: (ĐH Ngoại ngữ 1998) 33. CMR: trong mọi DAC ta đều có: (ĐH Ngoại thương 1998) 34. Cho DABC sao cho: . Tính các góc của DABC. (ĐH Ngoại thương 1998) 35. CMR: trong mọi DABC ta luôn có: (ĐH Quốc gia Hà nội 1998) 36. a) Cho tam giác nhọn ABC thỏa mãn hệ thức: CMR: DABC đều. b) DABC có đặc điểm gì, nếu các góc thỏa mãn biểu thức: . (ĐH An ninh 1999) 37. CMR: điều kiện cần và đủ để DABC đều là có hệ thức: (ĐH Bách khoa Hà nội 1999). 38. CMR: Điều kiện cần và đủ để DABC vuông là: 1 + cos2A + cos2B + cos2C = 0. (ĐH Cảnh sát nhân dân 1999). 39. DABC thỏa mãn hệ thức: a + b + c = 2(acosA + bcosB + ccosC). CMR: DABC là tam giác đều. (ĐH Dược Hà nội 1999). 40. CMR: nếu DABC có: a.tanA + b.tanB = a + b) thì DABC cân. (ĐH Hàng hải 1999). 41. Tìm giá trị nhỏ nhất của iểu thức: P = cot4a + cot4b + 2tan2a.tan2b + 2. (ĐH Giao thông vận tải 1999).