Đại cương về dao động điều hòa

Khĩa học LTĐH mơn Vật lí – Thầy ĐặngViệt Hùng Bài giảng Dao động cơ học Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - II. HỆ THỨC LIÊN HỆ TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA Ví dụ 1: Một vật dao động điều hịa với phương trình x = 5cos(ωt + pi/3) cm. Lấy pi2 = 10. a) Khi vật qua vị trí cân bằng cĩ tốc độ 10pi (cm/s). Viết biểu thức vận tốc, gia tốc của vật. b) Tính tốc độ của vật khi vật cĩ li độ 3 (cm). c) Khi vật cách vị trí cân bằng một đoạn 5 2 (cm) 2 thì vật cĩ tốc độ là bao nhiêu ? Hướng dẫn giải: a) Khi vật qua vị trí cân bằng thì tốc độ của vật đạt cực đại nên maxmax v 10pi v ωA 10pi ω 2pi (rad/s). A 5 = = → = = = Khi đĩ 2 2 2 pi v x 10pisin pit cm/s 3pi x 5cos 2pit cm 3 pi pi a ω x 4pi .5cos pit 200cos pit cm/s 3 3   ′= = − +     = + →        = − = − + = − +        b) Khi x = 3 cm, áp dụng hệ thức liên hệ ta được 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x v v ω A x 2pi 5 3 8pi (cm/s). A ω A + ←→ = − = − = c) Khi vật cách vị trí cân bằng một đoạn 5 2 (cm), 2 tức là 2 25 2 5 2x (cm) v 2pi 5 5 2pi (cm/s). 2 2   = → = − =     Ví dụ 2: Một vật dao động điều hịa với biên độ A, tần số f. Tìm tốc độ của vật ở những thời điểm vật cĩ li độ a) = A 2x . 2 …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… b) = − A 3x . 2 …………………………………………………………………………………………………………………………… c) = Ax . 2 …………………………………………………………………………………………………………………………… Ví dụ 3: Một vật dao động điều hịa với phương trình x = 4cos(2pit + pi/2) cm. b) Viết biểu thức của vận tốc, gia tốc của vật. …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… c) Tính vận tốc, gia tốc của vật tại thời điểm t = 0,5 (s) và t = 2 (s). …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… d) Khi vật cĩ li độ x = 2 cm thì vật cĩ tốc độ là bao nhiều? …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… e) Tìm những thời điểm vật qua li độ x 2 2 cm= theo chiều âm. …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA - PHẦN 2 (TÀI LIỆU BÀI GIẢNG) Giáo viên: ĐẶNG VIỆT HÙNG Khĩa học LTĐH mơn Vật lí – Thầy ĐặngViệt Hùng Bài giảng Dao động cơ học Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - III. CHU KỲ, TẦN SỐ TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA Ví dụ 1: Một vật dao động điều hịa với biên độ 10 cm. Trong khoảng thời gian 90 giây, vật thực hiện được 180 dao động. Lấy pi2 = 10. a) Tính chu kỳ, tần số dao động của vật. b) Tính tốc độ cực đại và gia tốc cực đại của vật. Hướng dẫn giải: a) Ta cĩ t 90t N.T T 0,5 (s). N 180 ∆∆ = → = = = Từ đĩ ta cĩ tần số dao động là f = 1/T = 2 (Hz). b) Tần số gĩc dao động của vật là 2pi 2piω 4pi (rad/s). T 0,5 = = = Tốc độ cực đại, gia tốc cực đại của vật được tính bởi cơng thức max 2 2 2 2 max v ωA 40pi (cm/s). a ω A 16pi 160 (cm/s ) 1,6 (m/s ). = =  = = = = Ví dụ 2: Một vật dao động điều hịa cĩ = = 2max maxv 16pi (cm/s); a 6,4 (m/s ). Lấy pi2 = 10. a) Tính chu kỳ, tần số dao động của vật. b) Tính độ dài quỹ đạo chuyển động của vật. c) Tính tốc độ của vật khi vật qua các li độ = − =A A 3x ; x . 2 2 Hướng dẫn giải: a) Ta cĩ max max2 2 maxmax v 16pi (cm/s) a 640 40 ω 4pi (rad/s). v 16pi pia 6,4 (m / s ) 640 (cm/s ) = → = = = = = = Từ đĩ ta cĩ chu kỳ và tần số dao động là 2piT 0,5 (s) ω ωf 2 (Hz) 2pi  = =   = =  b) Biên độ dao động A thỏa mãn maxv 16piA 4 (cm). ω 4pi = = = Độ dài quỹ đạo chuyển động là 2A = 8 (cm). c) Áp dụng cơng thức tính tốc độ của vật ta được:
khi 2 2 2 2A A 4pi.A 3x v ω A x 4pi A 8pi 3 (cm/s). 2 4 2 = − → = − = − = =
khi 2 2 2 2A 3 3A 4pi.Ax v ω A x 4pi A 8pi (cm/s). 2 4 2 = → = − = − = = Ví dụ 3: Một vật dao động điều hịa cĩ gia tốc cực đại là amax = 18 m/s2 và khi vật qua vị trí cân bằng cĩ tốc độ là 3 m/s. Tính: a) tần số dao động của vật. …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… b) biên độ dao động của vật. …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… IV. CÁC DAO ĐỘNG CĨ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT 1) Dao động cĩ phương trình x = xo + Acos(ωt + φ) với xo = const. Ta cĩ ( ) ( ) ( )o o X x x Acos ωt φ x x Acos ωt φ X Acos ωt φ= + + ←→ − = + ←→ = +
 Đặc điểm :  Vị trí cân bằng: x = xo  Biên độ dao động: A. Các vị trí biên là X = ± A ⇔ x = xo ± A. Khĩa học LTĐH mơn Vật lí – Thầy ĐặngViệt Hùng Bài giảng Dao động cơ học Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 -  Tần số gĩc dao động là ω.  Biểu thức vận tốc và gia tốc tương ứng : ( ) ( )2 v ωAsin ωt φv x a x a ω Acos ωt φ = − +′= ←→ ′′= = − + 2) Dao động cĩ phương trình ( )= +2x Acos ωt φ Sử dụng cơng thức hạ bậc lượng giác ta cĩ ( ) ( ) ( )2 1 cos 2ωt 2φ A Ax Acos ωt φ A cos 2ωt 2φ 2 2 2 + + = + = = + + Đặc điểm :  Vị trí cân bằng: x = A/2  Biên độ dao động : A/2.  Tần số gĩc dao động là 2ω.  Biểu thức vận tốc và gia tốc tương ứng : ( ) ( )2 v ωAsin ωt φv x a x a 2ω Acos ωt φ = − +′= ←→ ′′= = − + 3) Dao động cĩ phương trình ( )= +2x Asin ωt φ Sử dụng cơng thức hạ bậc lượng giác ta cĩ ( ) ( ) ( )2 1 cos 2ωt 2φ A Ax Asin ωt φ A cos 2ωt 2φ 2 2 2 − + = + = = − + Đặc điểm :  Vị trí cân bằng: x = A/2  Biên độ dao động: A/2.  Tần số gĩc dao động là 2ω.  Biểu thức vận tốc và gia tốc tương ứng : ( ) ( )2 v ωAsin ωt φv x a x a 2ω Acos ωt φ = +′= ←→ ′′= = + Ví dụ 1: Một vật dao động với phương trình ( )= +2x 2cos 2pit pi/6 cm. Lấy pi2 = 10. a) Xác định biên độ, chu kỳ, tần số dao động của vật. b) Tính li độ, vận tốc, gia tốc của vật ở thời điểm t = 0,25 (s). Hướng dẫn giải: a) Ta cĩ 2 pi pix 2cos 2pit 1 cos 4pit cm. 6 3     = + = + +       
Biên độ dao động của vật là A = 1 cm.
Tần số gĩc là T 0,5 (s) ω 4pi (rad/s) f 2 (Hz) = = → = b) Biểu thức vận tốc, gia tốc của vật tương ứng là 2 pi v 4pisin 4pit v x 3 a x pi pi a 16pi cos 4pit 160cos 4pit 3 3    = − +  ′=    ←→  ′′=      = − + = − +        Thay t = 0,25 (s) vào các biểu thức của x, v, a ta được 2 pi x 1 4cos pi 1 2 1(cm). 3 pi v 4pisin pi 2pi 3 (cm/s). 3 pi a 160cos pi 80 (cm/s ). 3    = + + = − = −       = − + = −        = − + =     Ví dụ 2: Xác định biên độ, chu kỳ, tần số, li độ, vận tốc, gia tốc của vật ở t = 0,5 (s). a) x = 4cos(2pit + pi/2) + 3 cm. ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... Khĩa học LTĐH mơn Vật lí – Thầy ĐặngViệt Hùng Bài giảng Dao động cơ học Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 - b) 2 pix 2cos 2pit cm. 3   = +    ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... c) 2 pix 5sin pit cm. 6   = +    ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... V. CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA Giả sử cần lập phương trình dao động điều hịa cĩ dạng x = Acos(ωt + φ). Để viết phương trình dao động chúng ta cần tìm ba đại lượng A, ω, φ. Xác định A Xác định ω Xác định φ
= chiều dài quỹđạoA 2
2 2 2 vA x ω = +
maxvA ω =
2pi ω 2pif T = =
2 2 v ω A x = −
max max max v ω A a ω v  =   =   Tại t = 0 : o o x Acosφ v ωAsinφ =  = − Giải hệ phương trình trên ta thu được giá trị của gĩc φ. Chú ý:
Với thể loại bài tốn lập phương trình thì chúng ta cần xác định gốc thời gian (t = 0), nếu đề bài khơng yêu cầu thì để cho đơn giản hĩa bài tốn chúng ta chọn gốc thời gian lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương.
Khi thả nhẹ để vật dao động điều hịa thì ta hiểu là vận tốc ban đầu vo = 0, cịn nếu cho vận tốc ban đầu vo ≠ 0 thì chúng ta áp dụng hệ thức liên hệ để tìm các thơng số khác. Ví dụ 1: Một vật dao động điều hịa với chu kỳ T = 2 (s) và biên độ dao động là 2 (cm). Viết phương trình dao động trong các trường hợp sau ? a) Khi t = 0 thì vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương. b) Khi t = 0 thì vật qua vị trí cĩ li độ x = –1 cm theo chiều âm. Hướng dẫn giải: Gọi phương trình dao động điều hịa của vật là x = Acos(ωt + φ) cm. Tần số gĩc dao động ω = 2pi/T = pi (rad/s). a) Khi t = 0: o o o o x 0 x Acosφ 0 pi pi φ ( rad) x 2cos pit cm. v 0 v ωAsinφ 0 2 2 = = =    ⇔ → = − → = −   > = − >    b) Khi t = 0: o o o o 1 x 1 x Acosφ 1 cosφ 2pi 2pi φ ( rad) x 2cos pit cm.2 v 0 v ωAsinφ 0 3 3 sinφ 0  = − = = −  = −   ⇔ ⇔ → = → = +     Ví dụ 2: Một vật dao động điều hịa với chu kỳ T và biên độ dao động A. Biết rằng trong 2 phút vật thực hiện được 40 dao động tồn phần và chiều dài quỹ đạo chuyển động của vật là 10 cm. Viết phương trình dao động trong các trường hợp sau? a) Gốc thời gian khi vật qua li độ 2,5 cm theo chiều âm. b) Gốc thời gian khi vật qua li độ = − 5 3x cm 2 theo chiều dương của trục tọa độ. Hướng dẫn giải: Gọi phương trình dao động điều hịa của vật là x = Acos(ωt + φ) cm. Khĩa học LTĐH mơn Vật lí – Thầy ĐặngViệt Hùng Bài giảng Dao động cơ học Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 5 - Trong hai phút vật thực hiện được 40 dao động nên t 120 2pi 2piT 3(s) ω (rad/s). N 40 T 3 ∆ = = = → = = Chiều dài quỹ đạo là 10 (cm) nên biên độ dao động là A = 5 (cm). a) Khi t = 0: o o o o 1 x 2,5 x Acosφ 2,5 cosφ pi 2pit pi φ ( rad) x 5cos cm.2 v 0 v ωAsinφ 0 3 3 3 sinφ 0  = = =  =   ⇔ ⇔ → = → = +     b) Khi t = 0 ta cĩ: o o o o 5 3 5 3 3 5pi 2pit 5pix x Acosφ cosφ φ ( rad) x 5cos cm.2 2 2 6 3 6 v 0 v ωAsinφ 0 sinφ 0    = − = = − = −     ⇔ ⇔ → = − → = −        > = − > <  Ví dụ 3: Lập phương trình dao động của một vật điều hịa trong các trường hợp sau: a) Vật cĩ biên độ 4 cm, chu kỳ dao động là 2 (s) và thời điểm ban đầu vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm. ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... b) Vật cĩ biên độ A = 5 cm, tần số dao động là 10 Hz, gốc thời gian được chọn là lúc vật qua li độ x 2,5 2 cm= − theo chiều âm. ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... c) Vật thực hiện 60 dao động trong 2 phút. Khi vật qua li độ x = 2 cm thì vật cĩ tốc độ 3pi cm/s. Chọn gốc thời gian là lúc vật cĩ li độ cực đại. ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... d) Thời điểm ban đầu vật cĩ li độ ox 2 cm= − , vận tốc ov pi 2 cm/s= − và gia tốc 2a pi 2= cm/s2 ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... e) Chu kỳ dao động T = 1 (s). Thời điểm ban đầu vật cĩ li độ ox 5 2 cm= − , vận tốc ov 10pi 2 cm/s= − . ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... Ví dụ 4: Một vật dao động điều hịa với biên độ A = 3 cm, chu kỳ dao động T = 0,5 (s). Tại thời điểm t = 0, vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm. a) Viết phương trình dao động của vật. ……………………………………………………………………………………………………………………………... Khĩa học LTĐH mơn Vật lí – Thầy ĐặngViệt Hùng Bài giảng Dao động cơ học Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 6 - ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... b) Vật cĩ li độ x = 1,5 cm và x = 3 cm vào những thời điểm nào? ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... Ví dụ 5: Một vật nhỏ dao động điều hồ dọc theo trục Ox, khi vật cĩ li độ x1 = 1 cm thì cĩ vận tốc v1 = 4 cm/s, khi vật cĩ li độ x2 = 2 cm/s thì vật cĩ vận tốc v2 = –1 cm/s. a) Tìm tần số gĩc ω và biên độ dao động A của vật. ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... b) Viết phương trình dao động của vật, biết rằng tại thời điểm ban đầu vật cĩ vo = 3,24 cm/s và xo > 0. ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... Ví dụ 6: Một chất điểm dao động điều hồ dọc theo trục Ox và cĩ vị trí cân bằng O. Tần số gĩc của dao động là 3 rad/s. Lúc đầu chất điểm cĩ toạ độ xo = 4 cm và vận tốc ov 12 3 cm/s= . Hãy viết phương trình dao động của chất điểm và tính tốc độ của chất điểm khi nĩ qua vị trí cân bằng. ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………... Giáo viên : Đặng Việt Hùng Nguồn : Hocmai.vn