Đặc trưng và chướng ngại tri thức luận của khái niệm vô cực trong Toán học - Nguyễn Ái Quốc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN SAIGON UNIVERSITY TẠP CHÍ KHOA HỌC SCIENTIFIC JOURNAL ĐẠI HỌC SÀI GÒN OF SAIGON UNIVERSITY Số 65 (5/2019) No. 65 (5/2019) Email: tcdhsg@sgu.edu.vn ; Website: https://tapchikhoahoc.sgu.edu.vn 43 ĐẶC TRƯNG VÀ CHƯỚNG NGẠI TRI THỨC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM VÔ CỰC TRONG TOÁN HỌC An epistemological analysis of infinity in Mathematics TS. Nguyễn Ái Quốc Trường Đại học Sài Gòn TÓM TẮT Vô cực xuất hiện ở nhiều hình dạng và hình thức trong Toán học. Các điểm ở vô cực trong hình học xạ ảnh rất khác với các đại lượng vô hạn và vô cùng bé xuất hiện trong giải tích phi chuẩn, hoặc các số siêu hạn trong lý thuyết tập hợp, hoặc vô hạn liên quan đến một tiến trình giới hạn. Nghiên cứu này trình bày một phân tích tri thức luận làm rõ quá trình hình thành và phát triển của khái niệm vô cực và xác định các đặc trưng tri thức luận của nó. Từ khóa: vô cực, vô cực tiềm năng, vô cực thực tế, đặc trưng tri thức luận, phân tích tri thức luận lịch sử ABSTRACT Infinity occurs in many shapes and forms in mathematics. The points at infinity in projective geometry are very different from the infinite and infinitesimal quantities that occur in nonstandard analysis, or the transfinite numbers in set theory, or the infinity involved in a limiting process. This study presented the epistemological analysis that could clarify the emergence and development of concept of Infinity and determine the epistemological characteristics of this knowledge object. Keywords: infinity, potential infinity, actual infinity, epistemological characteristic, historical epistemological analysis 1. Đặt vấn đề 1.1. Sự cần thiết nghiên cứu khái niệm vô cực Khái niệm vô cực hiện diện trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học như lý thuyết tập hợp, giải tích, hình học, đại số, tôpô học. Nhiều khái niệm toán học được xây dựng gắn liền với khái niệm vô cực, cho thấy vai trò quan trọng của tri thức này trong việc thiết lập các nền tảng của Toán học. 1.2. Tồn tại những quan niệm sai của học sinh về khái niệm vô cực Cuối tháng 4 năm 2019, hai thực nghiệm khảo sát được tiến hành trên 5 học sinh (HS) lớp 10 và 5 HS lớp 11 Trường trung học phổ thông Hùng Vương. Vì đây là thời điểm cuối học kỳ 2 nên các HS lớp 10 đã kết thúc môn đại số, và các HS lớp 11 đã kết thúc môn đại số và giải tích. Khảo sát nhằm tìm hiểu xem HS hiểu như thế nào về khái niệm vô cực trong Toán học. Nội dung thực nghiệm thứ nhất trên HS lớp 10 bao gồm câu hỏi sau: “Cho các hệ thức sau: a/  =  + 1; b/  -  = 1; c/ ∞ ∞ = 1. Email: nguyenaq2014@gmail.com SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 65 (5/2019) 44 Em hãy cho biết mỗi hệ thức đúng hay sai? Vì sao?” Câu trả lời mong đợi: a/ đúng; b/ sai; c/ sai. Nội dung thực nghiệm thứ hai trên HS lớp 11 bao gồm câu hỏi sau: “Trong giới hạn hàm số, em hãy cho biết tại sao các dạng sau được gọi là dạng vô định: a/  - ; b/ 0; c/ ∞ ∞ ?” Câu trả lời mong đợi: Vì đây là câu hỏi liên quan đến ý nghĩa của đại lượng vô cùng lớn được biểu thị bằng ký hiệu , nên câu trả lời mong đợi là nêu ra được một số trường hợp cụ thể để cho thấy không thể xác định chính xác được giá trị của mỗi biểu thức. Kết quả thực nghiệm: Trong thực nghiệm thứ nhất, cả 5 HS đều trả lời đúng cho câu a/, trong đó 3 HS giải thích rằng cộng vô cực với một số dương thì phải là vô cực, 2 HS còn lại giải thích cộng vô cực với một số thực luôn bằng vô cực. Như vậy, các HS này quan niệm vô cực là một con số rất lớn. Đối với câu b/, có 2 HS cho rằng đúng và giải thích hệ thức trong câu b/ tương đương với hệ thức trong câu a/, 3 HS còn lại cho rằng sai vì vô cực trừ cho vô cực bằng 0. Đối với câu c/, cả 5 HS đều kết luận đúng, trong đó 2 HS cho rằng đơn giản tử và mẫu cho vô cực thì được 1, 2 HS còn lại cho rằng hệ thức tương đương với hệ thức  = . Trong thực nghiệm thứ hai, có 4 HS giải thích rằng các biểu thức đã cho vô định vì “Sách giáo khoa quy định đó là những dạng vô định”. Chỉ duy nhất 1 HS giải thích biểu thức trong câu a/ không xác định vì hiệu hai vô cực có thể là một số rất lớn, nhưng cũng có thể rất nhỏ. Đối với câu b/, HS này giải thích rằng vì là giới hạn nên đại lượng chỉ tiến dần đến 0 chứ không thể bằng 0, nên không thể xác định được giá trị của biểu thức. Đối với câu c/, HS này giải thích tương tự như trong câu a/ rằng giá trị của biểu thức có thể rất lớn, hoặc rất nhỏ. Như vậy, trong thực nghiệm thứ nhất, tồn tại ở HS lớp 10 một quan niệm “vô cực là một số rất lớn”, nên có thể áp dụng các quy tắc biến đổi như với các số thực. Trong thực nghiệm thứ hai, đa số HS gặp khó khăn trong việc hiểu ý nghĩa của ký hiệu vô cực gắn liền với tiến trình giới hạn. Mặc dù có 1 HS thấy được tính không xác định của giá trị biểu thức nhưng vẫn chưa đưa ra được một số trường hợp cụ thể để cho thấy các biểu thức có thể lấy nhiều giá trị khác nhau trong một tiến trình giới hạn. Sau cùng, HS xem ký hiệu  biểu đạt cho cùng một đại lượng, do đó có thể triệt tiêu nhau trong bài toán trừ, hay được đơn giản như một nhân tử trong bài toán nhân hay chia. 1.3. Sự cần thiết của phân tích tri thức luận Việc xác định các loại sai lầm của người học trong học Toán và nguồn gốc của chúng luôn là nhiệm vụ đầu tiên đặt ra đối với các nhà nghiên cứu Didactic Toán trước khi đưa ra các giải pháp để giúp người học loại bỏ các sai lầm đó. Theo [1]: - Nghĩa của tri thức, những vấn đề mà tri thức đó cho phép giải quyết. - Những quan niệm có thể gắn liền với tri thức. 2. Khái niệm vô cực trong Toán 10 và 11 Khái niệm vô cực không được định nghĩa tường minh trong chương trình Toán 10 và 11. Trong Sách giáo khoa Đại số 10, khái niệm vô cực xuất hiện lần đầu trong bài “Tập hợp và các phép Toán trên tập hợp” NGUYỄN ÁI QUỐC TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN 45 của chương 1 “Mệnh đề và Tập hợp”. Khái niệm vô cực được đưa vào để giới thiệu các khoảng (- ; +), (a ; +), [a ; +), (- ; b), (- ; b], và không được định nghĩa hay mô tả một cách tường minh. Trong Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11, khái niệm vô cực được đưa vào trong các tiến trình giới hạn và cũng không được định nghĩa hay mô tả một cách tường minh. 3. Phân tích tri thức luận lịch sử khái niệm vô cực 3.1. Sự mở đầu các ý tưởng về vô cực Những ý tưởng ban đầu về vô cực gắn liền với người Hy Lạp cổ đại. Ban đầu từ “apeiron” có nghĩa là không giới hạn, vô hạn, không rõ ràng hoặc không xác định. Đó là một từ tiêu cực, thậm chí miệt thị. Đối với người Hy Lạp, sự hỗn loạn ban đầu mà thế giới được hình thành là “apeiron”. Aristotle nghĩ rằng vô hạn là một sự thiếu thốn không hoàn hảo. Đó là sự vắng mặt của giới hạn. Những người theo trường phái Pythagoras1 không làm việc với khái niệm vô cực. Tất cả mọi thứ trong thế giới của họ là số. Thật vậy, họ liên kết thiện, ác với hữu hạn và vô hạn. Mặc dù nó chưa được hiểu rõ vào thời điểm đó, nhưng phát hiện của họ về các đối tượng vô ước không thể đo được, chẳng hạn √2, sẽ đòi hỏi một khái niệm rõ ràng và sự hiểu biết về vô hạn. Những người theo trường phái Pythagoras cảm thấy rằng có một số lượng hữu hạn các số tự nhiên. Aristotle lập luận chống lại bất cứ điều gì thực sự là vô hạn, nhưng tin vào một vô hạn tiềm năng. Trong khi ông không tin vào vô hạn, ông tin rằng đối với bất kỳ nhóm hữu hạn nào, có một nhóm hữu hạn lớn hơn. Chỉ có một số hữu hạn các số tự nhiên đã được viết ra hoặc được hình thành. Nếu L là số lớn nhất được hình thành, chúng ta có thể chuyển sang L + 1 hoặc L, nhưng vẫn chỉ có một lượng hữu hạn được sử dụng [7, tr. 12]. Tuy nhiên, đối với người Hy Lạp, khái niệm vô cực đã áp đặt họ bởi thế giới vật chất bằng ba quan sát truyền thống: thời gian dường như không có hồi kết; không gian và thời gian có thể được chia nhỏ không ngừng; không gian không bị ràng buộc. Với các định lý sao cho số lượng các số nguyên tố không bị chặn và do đó cần đến các số có độ lớn không xác định, người Hy Lạp phải đối mặt với viễn cảnh vô tận. Aristotle đã né tránh tính thực tế của vô cực bằng cách xác định một vô cực nhỏ nhất, trong khi không đưa ra một số tự nhiên mới, đủ gây ra nhiều khó khăn cho các định lý này. Định nghĩa này về vô hạn tiềm năng, không phải vô hạn thực tế, vô cùng hiệu quả và làm hài lòng các nhà toán học và triết gia trong hai thiên niên kỷ. Vì vậy, các số nguyên là vô hạn tiềm năng vì chúng ta luôn có thể thêm một để có số lớn hơn, nhưng tập hợp vô hạn các số như vậy không tồn tại. Aristotle lập luận rằng hầu hết các đại lượng thậm chí không thể là vô hạn tiềm năng, bởi vì bằng cách thêm các đại lượng liên tiếp, có thể vượt quá giới hạn của vũ trụ. Nhưng vũ trụ là vô hạn tiềm năng theo nghĩa nó có thể bị chia nhỏ nhiều lần. Thời gian là vô hạn tiềm năng theo cả hai hướng. Phản ánh suy nghĩ của người Hy Lạp, Aristotle nói rằng cái vô hạn là không hoàn hảo, chưa hoàn thành và không thể tưởng tượng được. Trong hình học, Aristotle thừa nhận rằng các điểm nằm trên các đường nhưng các điểm không bao hàm đường thẳng và tính liên tục không thể được tạo thành từ rời rạc. Nổi tiếng nhất trong các tác phẩm Hy Lạp cổ đại về sự vô hạn là của nhà triết học Zeno of Elea (495-435 B.C.E.). Zeno là người phát ngôn hàng đầu của Trường phái triết học Eleatic. Ông cảm thấy rằng khoa SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 65 (5/2019) 46 học không thể vật lộn với thực tế trừ khi nó tính đến những cách thức vô hạn dường như xuất hiện ở mọi nơi trong tự nhiên. Ông được biết đến với những nghịch lý như làm thế nào một thứ có thể di chuyển qua vô số điểm trong một khoảng thời gian hữu hạn. Một trong những nghịch lý của ông là thảo luận về một cuộc đua giữa Achilles, người chạy theo huyền thoại và một con rùa, trong đó con rùa được khởi hành trước. Zeno nói rằng Achilles sẽ không thể bắt kịp con rùa. Ông lý luận rằng vào thời điểm Achilles bắt đầu chạy, con rùa đã đi trước một khoảng cách. Vào thời điểm Achilles đạt đến điểm mà con rùa đã ở khi Achilles bắt đầu chạy, con rùa đã di chuyển xa hơn. Khi Achilles đến điểm mới này, rùa lại tiếp tục di chuyển. Điều này sẽ tiếp tục mãi mãi, ngăn Achilles không bao giờ bắt kịp. Nghịch lý này, và những người khác ủng hộ Zeno, cũng là một trong những đề cập đầu tiên của ý tưởng về một cái gì đó tiếp tục mãi mãi. Trường phái triết học Eleatic là một trong những người đầu tiên biết ước tính diện tích hình tròn bằng cách cắt nó thành hình tam giác và đo diện tích của mỗi hình tam giác. Khi số lượng hình tam giác tăng lên và kích thước của mỗi hình giảm, ước tính đã trở nên gần hơn với diện tích thực tế. Để có được diện tích thực tế, một người sẽ phải tạo vô số hình tam giác nhỏ vô hạn. Họ hỏi làm thế nào một số lượng vô hạn những cái không gì cả thêm vào một cái gì đó giống như một vòng tròn? Euclid, giống như Aristotle, cũng không xem xét đến vô hạn thực tế. Ông được ghi nhận vì đã chứng minh, khoảng 300 B.C.E., có vô số số nguyên tố. Tuy nhiên, tuyên bố thực tế của ông là “số nguyên tố nhiều hơn bất kỳ đại lượng nào được gán cho các số nguyên tố”. Số này phù hợp với niềm tin của Aristotle trong vô hạn tiềm năng. Tương ứng, các định nghĩa trong tác phẩm “Cơ sở” của Euclid phản ánh hình ảnh ít rõ ràng hơn của các khái niệm cơ bản này. Trong cuốn I, các định nghĩa về điểm và đường được đưa ra như sau: Định nghĩa 1. Một điểm là cái không có phần. Định nghĩa 4. Một đường thẳng là một đường kéo dài với các điểm trên chính nó. Trong “Cơ sở” của Euclid, định nghĩa “Một điểm là không có phần”, gợi các ý tưởng về tính phân chia vô hạn của không gian. một tình huống khác, Euclid tránh sự vô hạn trong định nghĩa một đường bằng cách nói rằng nó có thể được mở rộng đến mức cần thiết. Tiên đề về các đường song song cũng đòi hỏi các đường phải được kéo dài vô tận. Bằng chứng về mối quan hệ giữa diện tích hình tròn và đường kính của nó là một quá trình giới hạn của một đối số hữu hạn thông qua phương pháp vét cạn2. Sau người Hy Lạp, người Ả Rập trở thành người trông coi di sản Hy Lạp và kiến thức toán học tiên tiến nói chung, đặc biệt là về đại số. Họ làm việc tự do với những đối tượng vô tỷ nhưng không kiểm tra chặt chẽ bản chất của chúng và điều này đã phải chờ thêm một ngàn năm nữa. 3.2. Ý tưởng về vô hạn trở nên rõ ràng hơn Theo sau người Ả Rập, các nhà toán học châu Âu cũng nghiên cứu các số vô tỷ, mặc dù có một số nhầm lẫn với tính vô hạn. Thánh Augustine đã chấp nhận quan điểm Plato rằng Thiên Chúa là vô hạn và có thể có những suy nghĩ vô hạn. Thánh Thomas Aquinas thừa nhận tính vô hạn của Thiên Chúa nhưng phủ nhận ông đã làm những điều không giới hạn. NGUYỄN ÁI QUỐC TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN 47 Nicolas của Cusa (1401 - 1464), giữa thế kỷ 15, tin rằng vũ trụ là vô hạn. Ông cũng nói rằng các ngôi sao cách xa mặt trời. Vào thời điểm đó, Giáo hội Công giáo đang cố gắng loại bỏ tất cả những dị giáo không xem trái đất là trung tâm của vũ trụ. Nicolas được đưa đến trước Tòa án dị giáo. Ông đã bị tra tấn trong chín năm trong một nỗ lực để làm cho ông nói rằng vũ trụ là hữu hạn. Ông đã từ chối, và đã bị thiêu cháy năm 1600. Nhiều nhà toán học Hy Lạp cổ đại tin rằng không thể thực hiện phép cầu phương bằng compa và thước, nhưng Nicolas nghĩ có thể thực hiện điều đó vì ông tin rằng một đường tròn là một đa giác với số cạnh lớn nhất có thể. Ông so sánh sự vô hạn và quá trình vô hạn với việc đạt được chân lý cùng thiên ân, là một kiểu nghịch lý nảy sinh trong tư duy thời trung cổ. Điều này được hiểu rằng một vòng tròn lớn hơn nên có nhiều điểm hơn một vòng tròn nhỏ hơn, nhưng chúng được đặt trong sự tương ứng một-một. Năm 1600, Galileo Galilei (1564 - 1642) đã đề xuất việc đưa vào vô số khoảng trống nhỏ vô hạn. Nhưng ông hiểu vấn đề là sử dụng lý luận hữu hạn vào những thứ vô hạn. Ông nói, “thật sai lầm khi nói về các đại lượng vô hạn là số lớn hơn hoặc nhỏ hơn hoặc bằng số kia". Với cái nhìn sâu sắc của thiên tài, ông tuyên bố vô cực không phải là một khái niệm không nhất quán, mà là tuân theo các quy tắc khác nhau. Sự hiểu biết của con người về vô hạn đã được nâng cao rất nhiều bởi các tác phẩm của Galilei. Ông có thể có nhiều điều để nói hơn, nhưng bằng nhận thức về số phận của Nicholas đã làm ông cẩn thận hơn với những gì mình nói ra. Trong bài tiểu luận về “On Two New Sciences” (1638), ông đã thảo luận về các ý tưởng toán học như một cuộc đối thoại giữa Salviati - người thông minh và Simplicius - người đơn giản. Salviati giải thích nhiều khía cạnh của vô cực cho Simplicius. “Vô hạn và những thứ không thể chia tách được vượt qua sự hiểu biết hữu hạn của chúng ta, cái thứ nhất vì sự vĩ đại của chúng, cái sau vì sự nhỏ bé của chúng. Hãy tưởng tượng chúng là gì khi kết hợp lại với nhau” [7, tr. 19]. Galilei phân biệt giữa “vô hạn tiềm năng” và “vô hạn thực tế”. Ông thiết lập một tương ứng một-một giữa các số tự nhiên và bình phương của chúng. Ông suy luận phải có nhiều số chính phương như các số tự nhiên. Ông cố gắng suy luận nghịch lý một tập hợp bằng một tập hợp con của chính nó. Ông viết, nếu bạn lấy tập hợp các số đếm, trừ đi tập hợp các số chính phương có kích thước bằng với tập các số đếm, bạn vẫn còn một tập hợp vô hạn các số không chính phương. Theo hướng thực tế hơn, Leonardo của Pisa được gọi là Fibonacci, đã chứng minh một phương trình bậc ba không thể giải được thuộc bối cảnh của bất kỳ số nào được thảo luận trong Euclid (đó là những con số có dạng, √√𝑎 ± √𝑏, với a và b là số hữu tỷ). Hơn nữa, sự nhầm lẫn là hiển nhiên trong việc hiểu bản chất của các số vô tỷ và mối liên kết cơ bản của nó với vô hạn. Trong cuốn sách “Arithmetica Integra” năm 1544, Michael Stifel (1487-1567) đã thực hiện những quan sát sau đây về số vô tỷ: có các số vô tỷ bởi vì chúng hoạt động trong chứng minh các hình hình học; chúng có hình dạng như thế nào bởi vì khi chúng ta cố gắng đưa ra một biểu diễn thập phân thì chúng lẫn trốn, và chúng ta không thể chạm tay vào chúng. Do đó, một số vô tỷ không phải là một con số thực sự, mà nằm ẩn trong một SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 65 (5/2019) 48 đám mây vô cực. Điều này đánh dấu cảm giác bối rối, không chắc chắn của các nhà toán học chuyên nghiệp, trong khi minh họa mối liên hệ với vô cùng. Bản chất của vô cực không được làm rõ cho đến năm 1874, với một bài báo cơ bản của Georg Cantor. Trong thời gian chuyển tiếp, tính toán cùng giải tích đã ra đời và phát triển đầy đủ thành một lĩnh vực quan trọng của toán học. Steven Simon (1548-1620), một kỹ sư thương mại, là một trong những nhà toán học sớm nhất từ bỏ lập luận doule reductio ad absurdum (suy luận phản chứng kép) của người Hy Lạp cổ đại và tiếp nhận một tiến trình giới hạn. Đây là sự chấp nhận giới hạn như là một tiến trình vô hạn không đòi hỏi mêtric hóa. Trong một nghiên cứu, Simon chứng minh rằng trung tuyến của một hình tam giác chia nó thành hai hình tam giác có diện tích bằng nhau. Ông đã hoàn thành điều này bằng lập luận phân chia liên tiếp thành các hình chữ nhật và ước tính phần thừa. Ông là một nhà toán học/kỹ sư thực tiễn, người muốn thiết lập kết quả theo cách dễ hiểu và truyền bá các phương pháp thập phân mới. Phần giới hạn trong lập luận của ông, rằng 1 2𝑛 tiến đến 0 khi n tiến đến , mà ông tự cho là hiển nhiên. 3.3. Sự xuất hiện của giải tích John Wallis (1616-1703) được cho là nhà toán học quan trọng nhất ở Anh thế kỷ 17 ngoại trừ Newton, là giáo sư hình học Savilian3 tại Oxford (ban đầu nghiên cứu về thần học). Trong tác phẩm “Arithmetica Infinitorum” (vô hạn số học), ông đã mở rộng công trình của Torricelli (1608-1647) và Cavalieri (1598-1647) trên các “indivisiles”4 (các đối tượng không thể chia tách được) và bằng một bước nhảy vọt về phép quy nạp đã thiết lập rằng: 4 𝜋 = 3.3.5.5.7.7.9 2.4.4.6.6.8.8 Sự mở rộng vô hạn này cho , mặc dù không phải là lần đầu tiên, minh họa rõ ràng cho một quá trình vô hạn mà không cần biện minh. Năm 1655, Wallis đưa ra biểu tượng  cho vô cực. Ông chọn biểu tượng này vì nó là một đường cong khép kín có thể vạch ra vô hạn lần. Biểu tượng này xuất hiện trong bài báo “Tract on Conic Sections” (Miền trên các phần Conic) biểu thị một đường cong không có kết thúc. Vài tháng sau, ông sử dụng biểu tượng này lần nữa trong tác phẩm có ảnh hưởng lớn hơn “Arithmetica infinitorum” (Vô hạn số học) [7, tr. 20]. Giống như Wallis, Newton, Leibnitz, Bernoulli, Euler và những người khác đã phát minh ra và sau đó theo đuổi các phép tính mới, không thực hiện một xem xét nghiêm túc nào cho chứng minh và bất kỳ lý thuyết về giới hạn và vô hạn. Vì thế, một  xuất hiện trong một tính toán sẽ được coi là một nghịch lý. Giải tích được Isaac Newton (1643 – 1727) và Leibniz (1646 – 1716) phát triển. Giải tích được chia thành phép tính vi phân. phép tính tích phân và chúng là sự đảo ngược của nhau. Cả hai đều liên quan đến việc chia một số lượng hữu hạn thành vô hạn lần nhiều phần nhỏ vô hạn. Leonard Euler (1707-1783) không cải thiện tình trạng lý thuyết nào cả. Ông theo đuổi giải tích mới với việc bỏ qua điều mà cả Newton và Leibnitz quan tâm. Chẳng hạn, ta xét hai chuỗi được Euler nghiên cứu: 1 (𝑥 + 1)2 = 1 − 2𝑥 + 3𝑥2 − 4𝑥3 + ⋯ (∗) 1 1 − 𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ (∗∗) Thay x = – 1 vào (*), được  = 1 + 2 + 3 + 4 + NGUYỄN ÁI QUỐC TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN 49 Thay x = 2 vào (**), được –1 = 1 + 2 + 4 + 8 + Chuỗi thứ hai có từng số hạng lớn hơn chuỗi thứ nhất. Do đó, −1 > ∞. Những loại tính toán này phổ biến trong giải tích ngày nay và được gọi là các nghịch lý. Bằng cách thay thế 𝑥 = −1 vào (**), Euler cũng lưu ý rằng: 1 2 = 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ Euler tự cho phép 0/0 có một giá trị xác định, mà có ảnh hưởng trong việc tiến đến “tỷ lệ giữa các số không”: Không có nghi ngờ rằng mọi đại lượng có thể bị giảm đến mức nó tan biến hoàn toàn và biến mất. Nhưng một đại lượng nhỏ vô hạn không gì khác hơn là một đại lượng tan biến và do đó, nó chính là 0 [6, tr. 429]. Sau đó, ông tiếp tục giải thích làm thế nào dy/dx bằng 0/0, có thể có một giá trị xác định. Trích dẫn trên là từ một trong các cuốn sách giáo khoa của Euler, về tổng thể có ảnh hưởng tích cực to lớn trong việc tổ chức giải tích thành một nghiên cứu chặt chẽ về các biểu thức giải tích. 3.4. Các nguồn gốc của vô cực Jean d’Alembert (1717-1783) về cơ bản rút ra phương trình sóng hiện đại cho dây rung và cho thấy chuỗi lượng giác có thể được sử dụng để giải nó. Đây là một sự khởi đầu đáng lưu ý các chuỗi lũy thừa, mà hầu hết các nhà toán học hiểu được giới hạn của tính hợp lệ. Mặt khác, chuỗi lượng giác là mới và khó phân tích hơn. D’Alembert tự giới hạn mình trong các điều kiện ban đầu là các hàm tuần hoàn, giúp cho việc phân tích dễ dàng hơn. Euler ngay sau đó đã cho phép điều kiện ban đầu là bất kỳ hàm số nào không nhảy vì đây là một đoạn. Ông bảo đảm tính tuần hoàn bằng cách mở rộng nó theo chu kỳ bên ngoài khoảng. Daniel Bernoulli (1700-1782) đã đưa các ý tưởng đi xa hơn bằng cách tuyên bố tất cả các đường cong mới, những đường cong được xác định bằng biểu thức, có thể được biểu diễn bằng chuỗi lượng giác. Điều này đã bị từ chối bởi d’Alembert và Euler. Euler cho rằng các hàm số không thể liên tục và không liên tục. Tình trạng này vẫn chưa được giải quyết trong gần một thế kỷ cho đến khi Jean Baptiste Joseph de Fourier (1768-1830) áp dụng chuỗi lượng giác cho bài toán nhiệt. Chuỗi lượng giác tương tự như chuỗi phương trình sóng, nhưng đòi hỏi về tính liên tục của các điều kiện ban đầu không được yêu cầu, nếu chỉ dựa trên cơ sở vật lý như đối với dây rung. Bài báo cơ bản năm 1807 đã bị từ chối không kém gì Legendre, Laplace và Lagrange, mặc dù sau đó công trình nghiên cứu tiếp tục của ông được khuyến khích. Fourier trở lại việc giải thích các hệ số của chuỗi Fourier là diện tích, trái ngược với nguyên hàm. Ta hãy xem xét các chuỗi hàm sin: 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑏𝑛sin (𝑛𝑥) ∞ 𝑛=1 𝑏𝑛 = 2 𝜋 ∫ 𝑓(𝑠) sin(𝑛𝑠) 𝑑𝑠 𝜋 0 Fourier cho rằng mọi hàm có thể được biểu diễn bằng một chuỗi lượng giác. Câu hỏi đặt ra là: Phân loại các hàm số mà chuỗi Fourier hội tụ. Câu hỏi đơn giản này có tác động sâu sắc đến sự phát triển của giải tích và theo nghĩa đen buộc phải nghiêm ngặt đối với chủ đề, trước là cho các ý tưởng về tính liên tục, sau là định nghĩa về tích phân và cuối cùng là khái niệm tập hợp. Điều này buộc các nhà toán học đối đầu với vô cực. Đây là một trong những mối liên hệ SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 65 (5/2019) 50 gây tò mò hơn trong lịch sử toán học. 3.5. Vô cực và Cantor Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) là người đầu tiên thực hiện một công trình nghiên cứu lớn về các mặt khác nhau của vô cực. Đến nay, hầu hết các ý tưởng của chúng ta trong lĩnh vực này đều xuất phát từ ông [7, tr. 22]. Cantor là một học trò của Dedekind và thừa hưởng từ người vấn đề thành lập lớp các hàm số có chuỗi Fourier hội tụ. Tiếp nối thầy mình, Cantor bắt đầu nghiên cứu các họ hàm số có chuỗi Fourier hội tụ được phân loại theo các điểm đặc biệt của chúng. Đó là ngay cả sau những ý tưởng đầu tiên về hội tụ, Cantor đã mở rộng số điểm đặc biệt mà một hàm số có thể có và vẫn có một chuỗi Fourier hội tụ ngoại trừ tại những điểm đó. Nỗ lực đầu tiên của ông vào năm 1872 là đã tính đến vô số điểm đặc biệt trả lời cho câu hỏi của Riemann. Cantor xét một tập hợp vô hạn các điểm. Ông định nghĩa tập dẫn xuất S của S, là tập hợp các điểm giới hạn của S; định nghĩa tập dẫn xuất S của S, còn được gọi là tập hợp dẫn xuất thứ hai của S, v.v. 0 = ∑ 𝑎𝑛 ∞ 𝑛=1 cos(𝑛𝑥) + 𝑏𝑛 sin(𝑛𝑥) Cantor đã có thể chỉ ra rằng nếu chuỗi lượng giác hội tụ về số không, ngoại trừ tại một tập các điểm có một tập dẫn xuất hữu hạn thứ k, với k hữu hạn, thì 𝑎𝑛 = 𝑏𝑛 = 0, 𝑛 = 1, 2, Hơn nữa, ông cũng cho thấy sự tồn tại các tập như thế với mọi n. Cantor chắc chắn đã nhận thức được rằng quá trình dẫn xuất có thể được thực hiện vô hạn. Sử dụng ký hiệu 𝑆(𝑛) là tập dẫn xuất thứ n của S, thì 𝑆(𝑛+1) = (𝑆(𝑛)) ′ là tập dẫn xuất của 𝑆(𝑛). Bằng cách này, định nghĩa 𝑆(∞)là các điểm trong 𝑆(𝑛) với mọi n hữu hạn, ta có thể tiếp tục áp dụng phép toán dẫn xuất nhận được các tập các điểm sau: 𝑆(0), 𝑆(1), , 𝑆(∞), 𝑆(∞+1), , 𝑆(∞.2), , 𝑆(∞.4), , 𝑆(∞ 2), , 𝑆(∞ ∞), Số  xuất hiện tự nhiên trong ngữ cảnh này. Các số +1, +2 cũng xuất hiện như vậy. Như vậy, nguồn gốc của các số vô hạn là nhằm đạt đến việc giải một bài toán giải tích. Năm 1882, Cantor giới thiệu một vô cực mới, phân biệt bản số với bậc, các số đếm với các số thứ tự, chẳng hạn một, hai, ba khác với thứ nhất, thứ hai, thứ ba. Ông muốn nói rằng (𝑎1, 𝑎2, ) và (𝑏2, 𝑏3, 𝑏1) có cùng bản số hay lực lượng nhưng thứ tự của chúng khác nhau. Bộ thứ nhất có bậc  trong khi bộ thứ hai có bậc +1. Đối với các tập hữa hạn, chỉ có một bậc có thể được đưa ra mặc dù các phần tử có thể được hoán vị. Do đó, các số thứ tự và số đếm có thể được đồng nhất. Tuy nhiên, Cantor khi đó đã dành thời gian của mình cho các khía cạnh lý thuyết tập hợp của nỗ lực mới của mình, từ bỏ một số vấn đề cơ bản của các bài toán chuỗi Fourier. Đầu tiên ông dành thời gian của mình để phân biệt các tập hợp hữu tỷ và tập số thực. Năm 1874, ông đã thiết lập rằng tập hợp các số đại số có thể được đặt thành tương ứng một-một với các số tự nhiên. Nhưng tập hợp các số thực không thể được đặt vào một sự tương ứng như vậy. Định lý. Tập hợp các số hữu tỷ tương ứng một – một với các số tự nhiên. Chứng minh 1. Đặt 𝑟𝑚,𝑛 = 𝑚 𝑛 là một số hữu tỷ được biểu diễn dưới dạng tối giản. Định nghĩa mối liên hệ 𝑟𝑚,𝑛 → 2 𝑚3𝑛. Điều này cho tương ứng các số hữu tỷ với tập con các số tự nhiên, và do đó tương ứng với các NGUYỄN ÁI QUỐC TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN 51 số tự nhiên. Chứng minh 2. Sắp xếp tất cả các số hữu tỷ trong một bảng và đếm các số theo các mũi tên. Hình 1. Phương pháp đường chéo của Cantor Cách đếm này đặt các số hữu tỷ thành tương ứng với các số tự nhiên. Lưu ý có một số sự trùng lặp của các các số hữu tỷ. Vì vậy, để kết thúc, chỉ cần loại bỏ các bản sao. Ngoài ra, xây dựng bảng với các số hữu tỷ theo thứ tự thấp nhất. Chứng minh cho các số đại số chỉ phức tạp hơn một chút. Chứng minh của một kết quả khác, rằng các số thực không thể được đưa vào một sự tương ứng như vậy đã đòi hỏi một lập luận mới và thông minh: phương pháp đường chéo Cantor. Lập luận này đã được áp dụng thành công cho nhiều kết quả khác. Định lý. Tập hợp các số thực không thể được đưa vào một tương ứng một – một với các số tự nhiên. Chứng minh thứ nhất (năm 1891). Thu gọn tập con các số thực trong khoảng (0 ; 1). Giả sử chúng không thể đếm được như tập {𝑎𝑛}𝑛=1 ∞ , chúng ta viết khai triển thập phân của chúng như sau: a1 = 0, d1,1d1,2d1,3 a2 = 0, d2,1d2,2d2,3 a3 = 0, d3,1d3,2d3,3 Trong đó d là các chữ số từ 0 đến 9. Ta định nghĩa số: a = 0.d1d2d3 bằng cách chọn d1d1,1, d2d2,2, d3d3,3, Điều này cho một số không nằm trong tập hợp {𝑎𝑛}𝑛=1 ∞ , và kết quả đã được chứng minh. Chứng minh thứ hai (năm 1874). Ta chứng tỏ rằng với một dãy số bất kỳ 𝑣1, 𝑣2, các số thực thì có một số không nằm trong dãy trong khoảng tùy ý các số thực (a ; b). Trước hết, đặt a1 và b1 là các số hạng đầu tiên của dãy trong (a ; b) với a1 < b1. Gọi a2 và b2 là các số hạng đầu tiên của dãy nằm trong (a1 ; b1) với a2 < b2, và tiếp tục như thế. Do đó a1, a2, là một dãy tăng, và b1, b2, là một dãy giảm. Có ba trường hợp. Nếu dãy là hữu hạn, thì bất kỳ số nào nằm bên trong khoảng được chọn sau cùng thỏa các yêu cầu. Giả sử rằng các dãy là vô hạn và chúng hội tụ lần lượt về các giới hạn, a và b. Nếu chúng bằng nhau, thì giá trị này thỏa yêu cầu. Nếu không, bất kỳ giá trị trong khoảng mở (a ; b) cũng thỏa yêu cầu. Tìm kiếm các tập không thể đếm được, Cantor đã xem xét các khái niệm tô pô cho các tập hợp dẫn xuất của mình. Ta nói một tập S(a ; b) là trù mật nếu S(a ; b). Ta nói S đóng nếu SS=S. Ta nói S cách ly nếu S=; S là đầy đủ nếu S=S. Đáng lưu ý là Cantor đã chứng tỏ rằng các tập đầy đủ phải là không thể đếm được. Một trong những tập đầy đủ nổi tiếng nhất được gọi là tập các phần ba trung tâm được định nghĩa là phần dư của khoảng mở (0 ; 1) bằng cách loại bỏ phần ba ở giữa, tức là bỏ (1/3 ; 2/3). Tiếp theo loại bỏ các phần ba ở giữa của hai khoảng con còn lại và các phần ba của bốn khoảng con còn lại sau đó, và tiếp tục như thế. Tập này là một trong các ví dụ đầu tiên của tập Lebesgue đo được không đếm được có độ đo không. Lúc đó, ông đề cập đến hai kiểu vô hạn, vô hạn có thể đếm được và không thể đếm được. Không thể xác định được một vô hạn ở giữa, ông đưa ra một chứng minh rằng mọi SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 65 (5/2019) 52 tập hợp điểm trên đường thẳng có thể được đặt tương ứng một-một với các số tự nhiên hoặc số thực. Chứng minh của ông là không chính xác, nhưng sự tìm kiếm của ông được biết đến ngày nay và được gọi là giả thuyết liên tục. Năm 1938, Kurt Godel đã chứng minh rằng giả thuyết liên tục không thể bị bác bỏ trên cơ sở các nguyên tắc lý thuyết tập hợp mà chúng ta chấp nhận ngày nay. Hơn nữa, vào năm 1963, Paul Cohen đã xác định rằng nó không thể được chứng minh trong các nguyên tắc này. Điều này có nghĩa là sự liên tục không thể giải quyết được. Năm 1879, Cantor đề cập đến các lực lượng của vô hạn, xác định hai tập hợp sẽ có cùng lực lượng nếu chúng có thể được đặt vào tương ứng một-một. Sử dụng phương pháp đường chéo của mình, ông có thể chứng minh các bậc hoặc lực lượng vô hạn của mỗi bậc. Năm 1895, Cantor định nghĩa lũy thừa số đếm. Sử dụng thuật ngữ 0 để ký hiệu bản số của các số tự nhiên, ông định nghĩa 20cho bản số của các số thực. Với 1 (và tổng quát hơn  ký hiệu bản số thứ ) là bản số lớn hơn 0, giả thuyết liên tục được viết là 20 = 1. 3.6. Lý thuyết tập hợp Theo Cantor, một tập hợp M là “một sự tập hợp thành toàn bộ, theo định nghĩa, các đối tượng phân biệt (gọi là các phần tử) của M theo nhận thức và suy nghĩ của chúng ta”. Chẳng hạn, các số {1, 2, , 10} tạo thành một tập hợp. Tập hợp các số nguyên tố giữa 1 và 100. Bậc của các phần của một tập hợp là không quan trọng. Do đó, các tập hợp {1, 2, 3} và {3, 2, 1} là như nhau. Do đó, hai tập M và N là như nhau nếu chúng có cùng số các phần tử. Quan điểm này được nhấn mạnh bởi Gottlob Frege (1848 - 1926), trong quá trình phát triển lý thuyết tập hợp, người đã chấp nhận rằng các tập vô hạn không thể đếm được. Ông tìm kiếm một lý thuyết độc lập với việc đếm. Vì vậy, ông đã lấy các tương ứng một-một làm nền tảng, không theo thứ tự tốt. Nội tại của điều này là khái niệm về bản số. Định nghĩa. Một tập hợp M gọi là tương đương với tập hợp N, ký hiệu là MN, nếu có thể lấy các phần tử của N tương ứng với các phần tử của M trong một cách thứ một – một. Định nghĩa. Bằng một số đếm của một lực lượng, chúng ta nói đến một đại diện tùy ý M của một lớp các tập hợp tương đương với nhau. Số đếm của một lực lượng của một tập hợp sẽ được ký hiệu bởi |𝑀|. Tại điểm này, chúng ta có các số đếm sau: 0, 1, 2, , 0, 1, 2, Ba số đếm sau cùng được gọi là các số đếm siêu hạng. Chúng ta cũng biết làm thế nào xây dựng nhiều số đếm hơn bằng cách lấy tập hợp các tập con của bất kỳ đại diện của một số đếm. Định nghĩa. Một tập hợp M được gọi có một số đếm nhỏ hơn một tập hợp N, ký hiệu là |𝑀| < |𝑁|, nếu và chỉ nếu M tương đương với một tập con của N, nhưng N không tương đương với một tập con của M. Trong số các số đếm siêu hạn, 0 là nhỏ nhất. Giả thuyết liên tục khẳng định rằng 20 = 1. Bản số của tất cả các hàm trên bất kỳ khoảng nào (hoặc tập hợp không đếm được) là 1. 3.7. Tiên đề chọn Năm 1904, Zermelo lần đầu tiên đưa ra tiên đề chọn trong tạp chí Toán học, mặc dù nó đã được sử dụng trong gần hai mươi năm. Thật kỳ lạ, mặc dù đã được sử dụng nhiều lần trước đây, nhưng nó đã không được chính thức tuyên bố như vậy. Nó chỉ là một NGUYỄN ÁI QUỐC TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN 53 phần của chứng minh về các kết quả khác nhau đã sử dụng nó. Ví dụ, Cantor đã sử dụng nó vào năm 1887 để hiển thị bất kỳ tập hợp vô hạn nào có một tập con có bản số 0. Nó cũng được sử dụng trong tôpô học, đại số và giải tích. Năm 1890, Giuseppe Peano (1858 - 1932) lập luận rằng người ta không thể áp dụng một luật chọn một thành viên của một lớp từ mỗi lớp trong số nhiều lớp với một số vô hạn lần. Sau sự xuất hiện của bài báo Zermelo, một vấn đề tiếp theo chứa đựng những lời gièm pha không kém gì Emile Borel (1871 - 1956) và Felix Bernstein (1878 - 1956) trong Tạp chí Toán học. Những lời gièm pha cũng được gửi đến Bulletin de la Société Mathématique de France (Bảng tin của Hội Toán học Pháp) mặc dù ra năm 1905 bởi Henri Lebesgue (1875 - 1941) và Rene Baire (1874 - 1932). Hạt nhân của lập luận của họ là: nếu một luật xác định không chỉ rõ phần tử nào được chọn từ mỗi tập hợp, thì không có lựa chọn thực sự nào được thực hiện và tập hợp mới không thực sự được hình thành. Cụ thể, E. Borel gọi iên đề chọn là một lựa chọn vô luật mà khi được sử dụng là một hành động của đức tin, và điều đó không được toán học chấp nhận. 3.8. Đặc trưng tri thức luận của khái niệm vô cực Từ những phân tích ở trên về lịch sử hình thành khái niệm vô cực dựa trên các tài liệu tham khảo [5], [6], và [7], chúng tôi rút ra các đặc trưng tri thức luận của khái niệm vô cực như sau: - Đặc trưng trừu tượng: vô cực là khái niệm dùng để mô tả sự vô hạn, vô tận của một đối tượng toán học. - Đặc trưng triết học: vô cực được hình thành từ những tư tưởng mang tính triết học của Hy Lạp cổ đại. - Đặc trưng tiềm năng/thực tế: vô cực tiềm năng của Aristotle đã thống trị nền toán học từ thời cổ đại đến Cantor và vô cực thực tế của Cantor. - Đặc trưng đếm được/không đếm được: gắn liền với các tập số vô hạn. - Đặc trưng không xác định được: vô cực chỉ một đại lượng vô cùng lớn. - Đặc trưng ký hiệu học: ký hiệu  biểu diễn cho vô cực không phải là một số cụ thể. 3.9. Chướng ngại tri thức luận Từ kết quả phân tích lịch sử hình thành khái niệm vô cực, chúng tôi xác định được chướng ngại tri thức luận của vô cực là: Chướng ngại trừu tượng hóa: chướng ngại này sinh ra các khó khăn mà học sinh phải đương đầu khi chuyển từ nghiên cứu trên các tập hợp số cụ thể sang nghiên cứu trên vô cực được ký hiệu bởi . Chướng ngại gắn liền ký hiệu học: chướng ngại này sinh ra các khó khăn cho học sinh khi phải thao tác trên ký hiệu . Chướng ngại gắn liền bản chất tiềm năng/thực tế: vô cực thực tế gây nhiều khó khăn cho các nhà toán học trong quá khứ, do đó cũng có thể chính là chướng ngại sinh ra các khó khăn mà sinh viên đại học ngày nay phải đương đầu khi tiếp cận khái niệm vô cực. 3.10. Giả thuyết nghiên cứu Với hai khó khăn xác định được trong thực nghiệm khảo sát trên học sinh trình bày trong mục 1.2: - Tồn tại quan niệm “vô cực là một số rất lớn”, nên có thể áp dụng các quy tắc biến đổi như với các số thực; - Xem ký hiệu  biểu đạt cho cùng một đại lượng, do đó có thể triệt tiêu nhau trong bài toán trừ hay được đơn giản như một nhân tử khác không trong bài toán nhân hay chia, và từ kết quả phân tích tri thức luận ở SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 65 (5/2019) 54 mục 3.1 đến 3.8, chúng tôi xây dựng giả thuyết H về các khó khăn của học sinh khi tiếp cận khái niệm vô cực như sau: H1. “Tồn tại hai khó khăn trên ở hầu hết học sinh khi tiếp cận khái niệm vô cực và các khó khăn này có nguồn gốc từ chướng ngại tri thức luận: chướng ngại trừu tượng hóa, chướng ngại gắn liền ký hiệu học”. 4. Kết luận Khái niệm vô cực ra đời nhằm giải quyết bài toán giải tích liên quan đến tập dẫn xuất của một tập có vô số phần tử trong nghiên cứu của Cantor. Khái niệm vô cực nảy sinh từ các ý tưởng triết học Hy Lạp cổ đại về nhận thức thế giới xung quanh, nhưng phải trải qua một thời gian dài để được định nghĩa chính thức bởi Wallis vào năm 1655. Vô cực tiềm năng đã thống trị tư tưởng các nhà toán học theo quan niệm của Aristotle trong suốt nhiều thế kỷ mặc dù vô cực thực tế đã được nhận thấy ở một số nhà khoa học. Cantor là người đã khai sinh chính thức vô cực thực tế qua nghiên cứu lý thuyết tập hợp. Hiểu được quá trình hình thành của khái niệm vô cực trong toán học sẽ giúp giáo viên hiểu được các chướng ngại và khó khăn mà học sinh phải đương đầu khi tiếp cận tri thức này. Để kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu H trong mục 3.10, trong nghiên cứu tiếp theo, chúng tôi sẽ tiến hành một thực nghiệm để làm rõ hai khó khăn của học sinh khi tiếp cận khái niệm vô cực và phân tích các nguyên nhân dẫn đến các khó khăn này. Các kết quả nghiên cứu sẽ được trình bày chi tiết trong một bài viết khác. Chú thích: 1 Pythagoras của xứ Samos là một triết gia Hy Lạp sống từ khoảng năm 570 đến năm 490 TCN. Ông đã có những phát triển quan trọng trong toán học, thiên văn học và lý thuyết âm nhạc. Pythagoras dành phần lớn cuộc đời của mình để nghiên cứu toán và thành lập một trường học đặc biệt nơi các thành viên tuân theo các quy tắc nghiêm ngặt, chẳng hạn như không bao giờ ăn thịt. Pythagoras tin rằng mọi thứ trên thế giới có thể được giải thích bằng các con số và trường học của ông đã làm việc chăm chỉ để cố gắng học đủ về các con số để có thể hiểu được vũ trụ. 2 “Phương pháp vét cạn” trong toán học là kỹ thuật được phát minh bởi người Hy Lạp Cổ đại để chứng minh các mệnh đề liên quan đến diện tích và thể tích của các hình hình học. Mặc dù nó là tiền thân của phép tính tích phân, nhưng phương pháp vét cạn không sử dụng giới hạn cũng như luận chứng về các đại lượng vô cùng bé. Thay vào đó, đây là một quy trình logic chặt chẽ, dựa trên tiên đề rằng một đại lượng cho trước có thể được tạo ra nhỏ hơn một đại lượng cho trước khác bằng cách giảm nó đi một nửa liên tiếp số lần hữu hạn. Từ tiên đề này có thể chứng minh rằng diện tích của một hình tròn tỷ lệ với bình phương bán kính của nó. Thuật ngữ vét cạn được đưa ra ở châu Âu sau thời Phục hưng và được áp dụng cho các quy trình nghiêm ngặt của Hy Lạp cũng như các chứng minh đương thời của các công thức diện tích bằng cách vét cạn diện tích các hình với các xấp xỉ đa giác liên tiếp [6, tr. 201]. 3 Vị trí Giáo sư Hình học Savilian được thành lập tại Đại học Oxford vào năm 1619. Nó được thành lập (cùng lúc với Giáo sư Thiên văn học Savilian) bởi Sir Henry Savile, một nhà toán học và học giả cổ điển, là Warden của Merton College, Oxford và Provost của Eton College, phản ứng với những gì đã được một nhà toán học thế kỷ 20 mô tả là "tình trạng tồi tệ của nghiên cứu toán học ở Anh" vào thời điểm đó. [6, tr. 525] NGUYỄN ÁI QUỐC TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN 55 4 Trong Hình học, phương pháp không thể chia tách được, hay còn gọi là nguyên lý Cavalier, là một phương pháp tính diện tích và thể tích. Nguyên lý Cavalier được phát biểu như sau: “Một bề mặt là một sự đặt kề nhau các đường thẳng song song. Đối với Cavalier, các đường thẳng song song là các đoạn thẳng song song hay các cung của các đường tròn đồng tâm. Mỗi đường được gọi là một không chia tách được của bề mặt để thực hiện phép cầu phương. Nếu hai bề mặt bao gồm các đường có cùng độ dài, thì chúng có cùng diện tích. Một nguyên tắc tương tự tồn tại cho thể tích và phát biểu rằng các thể tích của hai đối tượng bằng nhau nếu các mặt cắt ngang tương ứng trong mọi trường hợp là bằng nhau. Hai mặt cắt ngang tương ứng nếu chúng là phần giao của vật thể với các mặt phẳng cách đều một mặt phẳng cơ sở cho trước” [4, tr. 118-124]. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] G. Brousseau, Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques, Recherches en didactique des mathématiques, 4(2), 165-198, 1983. [2] J. W. Dauben, Georg Cantor and the Origins of Transfinite Set Theory, Scientific American, 248 (6), 122-154, 1983. [3] J. W. Dauben, Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Princeton, NewYork, Princeton University Press, 1990. [4] H. Eves, Two Surprising Theorems on Cavalieri Congruence, The College Mathematics Journal, 22 (2), 118-124, 1991. [5] V. J. Katz, A History of Mathematices – An Introduction, 3rd Edition, Pearson Education, Inc., 2009. [6] M. Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, NewYork, 1972. [7] Whinston, A Finite History of Infinity, Portland State University, 2009. Ngày nhận bài: 10/4/2019 Biên tập xong: 15/5/2019 Duyệt đăng: 20/5/2019