Cơ sở về biến ngẫu nhiên và quá trình xử lí ngẫu nhiên

Mô phỏng Anten thông minh trong Thông tin vô tuyến bằng Matlab Trang 158 Chương 6 Cơ sở về biến ngẫu nhiên và quá trình xử lí ngẫu nhiên Chương 6 Cơ sở về biến ngẫu nhiên và quá trình xử lí ngẫu nhiên Trong mỗi hệ thống thông tin vô tuyến hoặc hệ thống radar (radio detection and ranging) phải xét đến nhiễu giống bản chất của các tín hiệu tới cũng như là nhiễu bên trong hệ thống. Các tín hiệu đến thông minh thường bị thay đổi bởi quá trình truyền sóng, sự trãi rộng mặt cầu (spherical spreading), sự hấp thụ, sự nhiễu xạ, sự tán xạ, và/hoặc sự phản xạ từ nhiều đối tượng khác nhau. Trong trường hợp này, điều quan trọng là biết được đặc tính thống kê của kênh truyền sóng cũng như đặc tính thống kê của nhiễu nội bên trong hệ thống. Chương 7 sẽ tập trung vào vấn đề của sự truyền sóng đa đường (multipath propagation), quá trình này được xem như một quá trình ngẫu nhiên. Chuong 8 và chương 9 sẽ giải quyết vấn đề nhiễu của hệ thống, và còn thêm các đặc tính thống kê của các tín hiệu tới. Thêm vào đó, phương pháp luận sử dụng trong các chương còn lại sẽ yêu cầu sự tính toán dựa trên các giả giử rằng các tín hiệu và nhiễu là ngẫu nhiên. Do đó, giả sử rằng các sinh viên hoặc các nhà nghiên cứu đang sử dụng sách này đã làm việc quen với các quá trình xử lí ngẫu nhiên. Thông thường, cấc tài liệu về vấn đề này bao hàm trong các bài học về thống kê hoặc viễn thông của bất kỳ sinh viên đại học nào. Tuy nhiên, cho mục đích nhất quán trong nội dung này, Mô phỏng Anten thông minh trong Thông tin vô tuyến bằng Matlab Trang 159 Chương 6 Cơ sở về biến ngẫu nhiên và quá trình xử lí ngẫu nhiên chúng ta sẽ xem lại một cách vắn tắt về các vấn đề cơ bản của các quá trình xử lí ngẫu nhiên. Trong các chương tiếp theo sẽ áp dụng các nguyên lí này cho các vấn đề cụ thể. Các sách được dành cho vấn đề các quá trình xử lí ngẫu nhiên bao gồm nội dung của Papouslis [1], Peebles [2], Thomas [3], Schwartz [4], và Haykin [5]. Việc xử lí các vấn đề trong chương này được dựa trên các nguyên lí đã được trình bày khá sâu trong các tài liệu tham khảo trên. 6.1. Định nghĩa biến ngẫu nhiên Trong thuộc tính của các hệ thống thông tin, điện áp nhận được, dòng điện, thời gian trì hoãn, và các góc tới có xu hướng là các biến ngẫu nhiên. Xét một ví dụ, nếu ta thực hiện một phép đo pha của máy thu tại mọi thời điểm mà máy thu được bật lên, các giá trị đo được có xu hướng phân bố ngẫu nhiên trong khoảng 0 và 2π. Ta không thể biết chắc chắn giá trị của lần đo kế tiếp sẽ là bao nhiêu nhưng ta có thể phát biểu xác xuất để có một giá trị đo chắc chắn. Một biến ngẫu nhiên là một hàm mô tả tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử. Một cách tổng quát, một vài giá trị của biến ngẫu nhiên có khả năng được đo hơn là các giá trị khác. Xác xuất để đạt được một số cụ thể khi gieo một con xúc xắc là bằng nhau cho tất cả các số. Tuy nhiên, hầu hết các biến ngẫu nhiên viễn thông vấn đề ở chỗ là không chắc là có được các xác xuất bằng nhau. Các biến ngẫu nhiên có thể hoặc là biến rời rạc hoặc là biến liên tục. Một biến ngẫu nhiên là rời rạc nếu nó chỉ có thể đạt được một số hữu hạn các giá trị trong suốt một khoảng thời gian quan sát. Một ví dụ cho biến ngẫu nhiên có thể là góc tới của đường truyền sóng đa đường ở trong nhà. Một biến ngẫu nhiên là liên tục nếu nó có thể đạt được một miền liên tục các giá trị trong suốt khoảng thời gian quan sát. Một ví dụ của biến ngẫu nhiên liên tục có thể là điện áp kết hợp với nhiễu của bộ thu hoặc pha của một tín hiệu tới. Bởi vì các biến ngẫu nhiên là kết quả của các hiện tượng ngẫu nhiên, dùng hàm mật đô xác xuất thường là mô tả tốt nhất các trạng thái của các biến ngẫu nhiên. 6.2. Hàm mật độ xác xuất Mỗi biến ngẫu nhiên x được mô tả bởi hàm mật độ xác xuất p(x). Hàm mật độ xác xuất (pdf) được thiết lập sau khi thực hiện một số lượng lớn các phép đo, nó tính toán khả năng có thể có của các giá trị của x. Một biến ngẫu nhiên rời rạc thì hàm mật độ xác xuất của nó là rời rạc. Và tương tự một biến ngẫu nhiên liên tục nó có hàm mật độ xác xuất là liên tục. Hình 6.1 cho thấy một hàm mật độ xác xuất đặc trưng cho biến ngẫu Mô phỏng Anten thông minh trong Thông tin vô tuyến bằng Matlab Trang 160 Chương 6 Cơ sở về biến ngẫu nhiên và quá trình xử lí ngẫu nhiên nhiên rời rạc. Hình 6.2 cho thấy một hàm mật độ xác xuất đặc trưng cho biến ngẫu nhiên liên tục. Xác xuất mà x đạt được các giá trị trong khoảng giới hạn x1 và x2 được định nghĩa như sau: dxxpxxxP x x 2 1 )()( 21 (6.1) Có hai đặc tính quan trọng của các hàm pdf. Thứ nhất, không có sự kiên nào có thể có xác xuất âm. Do đó 0)( xp (6.2) Hình 6.1 Hàm mật độ xác xuất cho các giá trị x rời rạc Thứ hai, xác xuất mà một giá trị của x tồn tại bất cứ đâu trong phạm vi các giá trị của nó là cố định. Do đó    1)( dxxp (6.3) Bất kỳ hàm mật độ xác xuất nào cũng phải thỏa mãn cả hai đặc tính trên. Vì vậy, tổng diện tích phía dưới hàm PDF (Power density function) bằng 1, xác xuất tồn tại x trên một dãy hữu hạn các giá trị luôn nhỏ hơn 1. Mô phỏng Anten thông minh trong Thông tin vô tuyến bằng Matlab Trang 161 Chương 6 Cơ sở về biến ngẫu nhiên và quá trình xử lí ngẫu nhiên Hình 6.2 Hàm mật độ xác xuất cho các giá trị x liên tục. 6.3. Kỳ vọng và moment Điều quan trọng để hiểu được các đặc tính khác của biến ngẫu nhiên x hoặc các đặc tính khác của hàm của biến ngẫu nhiên x. Đặc tính cụ thể nhất là trung bình thống kê. Trung bình thống kê được định nghĩa như là giá trị được kỳ vọng được ký hiệu bằng E. Do đó, giá trị được kỳ vọng của x được định nghĩa như sau:     dxxxpxE )(][ (6.4) Chúng ta không chỉ tìm được giá trị được kỳ vọng của x mà còn tìm được giá trị được kỳ vọng của hàm bất kỳ của x.     dxxpxfxfE )()()]([ (6.5) Hàm của x có thể là x2,x 3 , cos(x), hoặc bất kỳ phép toán nào của biến ngẫu nhiên. Giá trị được kỳ vọng của x. Giá trị được kỳ vọng của x được gọi là moment cấp 1, ký hiệu là m1:     dxxxpm )(1 (6.6) Mô phỏng Anten thông minh trong Thông tin vô tuyến bằng Matlab Trang 162 Chương 6 Cơ sở về biến ngẫu nhiên và quá trình xử lí ngẫu nhiên Moment cấp n được định nghĩa như là giá trị được kỳ vọng của nx :     dxxpxm nn )( (6.7) Khái niệm moment được mượn từ thuật ngữ moment trong cơ học. Nếu biến ngẫu nhiên được biểu diễn theo điện áp, thì moment cấp 1 tương ứng với điện áp trung bình, điện áp hiệu dụng, hay điện áp một chiều (dc). Moment cấp 2 sẽ tương ứng với công suất trung bình. Độ phân tán của moment cấp 1 được gọi là phương sai (variance) và được định nghĩa như sau: dxxpmxmxE )()(])[( 2 12 2 1      (6.8) Độ lệch tiêu chuẩn (standard deviation) được ký hiệu là  và được định nghĩa như độ phân tán xung quanh giá trị trung bình: 2  (6.9) Bằng cách khai triển số hạng bình phương trong công thức (6.8), có được 2 12 mm  . Moment cấp 1 và độ lệch tiêu chuẩn có xu hướng là những miêu tả hữu ích nhất về trạng thái của một biến ngẫu nhiên. Tuy nhiên, các moment khác có thể cần được tính để hiểu đầy đủ hơn về trạng thái của biến ngẫu nhiên x đã cho. Vì việc tính toán mỗi moment mới đòi hỏi đánh giá lại biểu thức (6.7), đôi khi việc sử dụng các hàm sinh moment (moment generating function) rất hữu dụng, nó sẽ đơn giản hóa việc tính toán các moment đa cực (multiple moment). Hàm sinh moment được định nghĩa như sau:     )()(][ sFdxxpeeE sxsx (6.10) Hàm sinh moment giống như biến đổi Laplace của hàm mật độ xác xuất. Điều này đem đến cho chúng ta định lý moment. Nếu ta lấy đạo hàm cấp n công thức (6.10) theo s, ta có: exEsF sxnn ][][  (6.11) Do đó, khi s=0, ta có thể suy ra moment cấp n như trong công thức (6.12): xEF nn ][)0(  (6.12) Mô phỏng Anten thông minh trong Thông tin vô tuyến bằng Matlab Trang 163 Chương 6 Cơ sở về biến ngẫu nhiên và quá trình xử lí ngẫu nhiên Ví dụ 6.1 Nếu hàm mật độ xác xuất của biến ngẫu nhiên được cho bởi ( ) 0.5[ ( 1) ( 1)]p x x x    , tìm ba moment đầu sử dụng hàm hàm sinh moment )(sF ? Giải Tìm hàm sinh moment ta có: )cosh(][5.0)]1()1([)5.0()( seedxxxesF sssx      Moment cấp 1: 0)0sinh( )cosh( )( 0 0 1 1    s s ds sd sFm Moment cấp 2: 1)0cosh()( 0 2 2  ssFm Moment cấp 3: 0)0sinh()( 0 3 3  ssFm 6.4. Các hàm mật độ xác xuất thông dụng Có nhiều hàm PDF được dùng phổ biến trong radar, hệ thống định vị dưới nước (sonar), và thông tin liên lạc. Các hàm PDF này mô tả các đặc tính của nhiễu bộ thu, tín hiệu tới đa đường, phân bố của pha, hình bao, và công suất các tín hiệu đến. Một tóm tắt ngắn gọn các hàm PDF này và các trạng thái của chúng sẽ rất có ích cho việc hỗ trợ các khái niệm được trình bày trong các chương 7,8, và 9. 6.4.1. Mật độ Gaussian Mật độ xác suất Gausian hay mật độ xác suất chuẩn có lẽ là hàm mật độ công suất phổ biến nhất. Phân phối Gaussian định nghĩa một cách tổng quát trạng thái của nhiễu tại các bộ thu và cũng là bản chất của các biên độ ngẫu nhiên của các tín hiệu tới đa đường. Theo định lý giới hạn trung tâm, tổng của nhiều biến ngẫu nhiên liên tục khi số lượng này tăng có xu hướng hướng tới một phân phối Gaussian. Mật độ Gaussian được định nghĩa như sau: 2 2 0 2 )( 22 1 )(   xx exp     x (6.13) Mô phỏng Anten thông minh trong Thông tin vô tuyến bằng Matlab Trang 164 Chương 6 Cơ sở về biến ngẫu nhiên và quá trình xử lí ngẫu nhiên Đây là một đường cong hình chuông đối xứng qua giá trị trung tâm là 0x , và có độ lệch chuẩn là  . Hình 6.3 là đồ thị đặc trưng phân phối Gaussian. Ví dụ 6.2 Cho hàm mật độ xác suất Gaussian với 00 x và 2 , tính xác suất x sẽ tồn tại trong giới hạn 40  x . Giải Từ công thức (6.1) và (6.13) ta có thể tìm được xác suất: 477.0 8 1 )40( 8 4 0 2    x exP  Hình 6.3 Hàm mật độ Gaussian 6.4.2. Mật độ Rayleigh Mật độ xác suất Rayleigh là kết quả khi tìm thấy đường bao của hai quá trình Gaussian độc lập với nhau. Đường bao này có thể được tìm thấy tại ngõ ra của một bộ lọc tuyến tính khi tín hiệu ngõ vào là các biến ngẫu nhiên Gaussian. Phân phối Rayleigh thường được cho là hình bao của các tín hiệu đa đường khi không có đường trực tiếp. Phân phối Rayleigh được định nghĩa như sau: 2 2 2 2 )(   x e x xp   0x (6.14) Mô phỏng Anten thông minh trong Thông tin vô tuyến bằng Matlab Trang 165 Chương 6 Cơ sở về biến ngẫu nhiên và quá trình xử lí ngẫu nhiên Hình 6.4 Hàm mật độ Rayleigh. Độ lệch chuẩn có thể được ký hiệu là  . Hình 6.4 là đồ thị của phân bố Rayleigh điển hình. Ví dụ 6.3 Cho hàm mật độ xác xuất Rayleigh với 2 , tính xác suất x sẽ tồn tại trong khoảng 40  x . Giải Dùng công thức (6.1) và (6.14) ta có được xác suất: 865.0 4 )40( 8 4 0 2    x e x xP 6.4.3. Mật độ đều (Uniform density) Phân phối đều thường được cho là phân phối của pha ngẫu nhiên của việc truyền các tín hiệu. Không những độ trễ pha có xu hướng là phân phối đều mà góc tới của các việc truyền sóng khác nhau cũng có thể là phân phối đều. Phân phối đều được định nghĩa như sau: )]()([ 1 )( bxuaxu ab xp    bxa  (6.15) Giá trị trung bình này được thể hiện là 2)( ba  . Hình 6.5 là đồ thị đặc trưng cho phân phối đều. Ví dụ 6.4 Cho phân phối đều với 2a và 2b , dùng hàm sinh moment để tìm ba moment đầu tiên. Mô phỏng Anten thông minh trong Thông tin vô tuyến bằng Matlab Trang 166 Chương 6 Cơ sở về biến ngẫu nhiên và quá trình xử lí ngẫu nhiên Giải Thay công thức (6.15) vào (6.10) ta có: )2sinh( 2 1 4 1 )]2()2([ 4 1 )( 2 2 s s dxedxexuxusF sxsx      Moment cấp 1 là: 0 2 )2sinh()2cosh( )( 20 1 1   s s s s sFm s Moment cấp 2 là: 3 4)2sinh(12 )2sinh()( 230 2 2         s s ss ssFm s Moment cấp 3 là: 0 34 )2sinh( 64 )2cosh()( 4230 3 3               ss s ss ssFm s Hình 6.5 Hàm mật độ đều 6.4.4. Mật độ hàm mũ Hàm mật độ mũ đôi khi được dùng để mô tả các góc tới đối với các tín hiệu tới. Hàm mật độ mũ cũng được dùng để mô tả phân phối công suất cho quá trình xử lí Rayleigh. Mật độ mũ cũng là mật độ Erlang khi 1n ([1]) và được định nghĩa như sau: Mô phỏng Anten thông minh trong Thông tin vô tuyến bằng Matlab Trang 167 Chương 6 Cơ sở về biến ngẫu nhiên và quá trình xử lí ngẫu nhiên   xexp  1 )( 0x (6.16) Giá trị trung bình được ký hiệu là  . Độ lệch tiêu chuẩn cũng có thể được ký hiệu là  . Đôi khi tài liệu thay thế  với 22 trong công thức (6.16). Hình 6.6 là một đồ thị đặc trưng của phân phối mũ. Ví dụ 6.5 Dùng mật độ mũ với 2 , tính xác suất trong đoạn 42  x và dùng hàm sinh moment để tìm hai moment đầu tiên. Giải Xác suất được cho bởi 233.0 1 )42( )1( 4 2   dxexP x   Hàm sinh moment được suy ra như sau: s dxesF sx       1 11 )( ) 1 ( 0 Tìm moment cấp 1: 2 )1( )( 0 2 1        s s sF Tìm moment cấp 2: 82 )1( 2 )( 2 0 3 2 2        s s sF Hình 6.6 Hàm mật độ mũ. Mô phỏng Anten thông minh trong Thông tin vô tuyến bằng Matlab Trang 168 Chương 6 Cơ sở về biến ngẫu nhiên và quá trình xử lí ngẫu nhiên 6.4.5. Mật độ Rician Phân phối Rician dùng phổ biến cho các kênh truyền sóng bao gồm một đường tín hiệu đến trực tiếp và thêm vào đó là các tín hiệu đa đường. Đường trực tiếp thêm vào đó thêm vào một sóng mang không ngẫu nhiên bằng cách đó thay đổi phân phối Rayleigh. Các chi tiết về nguồn gốc của phân phối Rician có thể được tìm thấy trong [1,4]. Phân phối Rician được định nghĩa như sau: )()( 20 2 )( 2 2 22   xAIe x xp Ax    0,0  Ax (6.17) Với ()0I là hàm modified Bessel loại một và bậc không. Hình 6.7 là đồ thị đặc trưng của phân phối Rician. Hình 6.7 Hàm mật độ Rician. Ví dụ 6.6 Cho phân phối Rician với 2 và 2A , xác suất là bao nhiêu với 5x ? Giải Dùng công thức (6.17) và (6.1) ta có xác suất như sau: 121.0) 2 ( 4 )5( 0 8 )4( 5 2     dx x Ie x xP x 6.4.6. Mật độ Laplace Một cách tổng quát, hàm mật độ Laplace dùng cho phân phối trong nhà hoặc các góc tới bị tắt ngẽn trong thành phố. Phân phối Laplace được cho như sau: Mô phỏng Anten thông minh trong Thông tin vô tuyến bằng Matlab Trang 169 Chương 6 Cơ sở về biến ngẫu nhiên và quá trình xử lí ngẫu nhiên   x exp 2 2 1 )(    x (6.18) Bởi vì phân phối Laplace đối xứng qua điểm gốc nên moment cấp một bằng không. Moment cấp hai có thể được cho thấy bằng 2 . Hình 6.8 là đồ thị đăc trưng của phân phối Laplace. Hình 6.8 Hàm mật độ Laplace. Có nhiều hàm mật độ xác suất khác được mô tả trong tài liệu này nhưng sáu hàm được đề cập trong chương này gần như là các hàm phổ biến nhất được dùng trong các vấn đề của thông tin vô tuyến. 6.5. Quá trình dừng và tính chất Ergodic Trong các ứng dụng thực tế, chúng ta có thể biết được các đặc tính thống kê của các tín hiệu và nhiễu, nhưng chúng ta thường gặp khó khăn với quá trình xử lí vận hành trên một khối giới hạn của dữ liệu đã được lấy mẫu. Nếu trung bình thống kê 1m là giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên x , một cách trực quan giả sử rằng trung bình thời gian sẽ bằng với trung bình thống kê. Chúng ta có thể ước lượng trung bình thống kê bằng Mô phỏng Anten thông minh trong Thông tin vô tuyến bằng Matlab Trang 170 Chương 6 Cơ sở về biến ngẫu nhiên và quá trình xử lí ngẫu nhiên cách sử dụng trung bình thời gian trên một khối chiều dài T. Trung bình thời gian cho biến ngẫu nhiên x có thể được viết như sau: dttx T x T  0 )( 1 ˆ (6.19) Với xˆ là ước lượng của trung bình thống kê của x . Nếu dữ liệu là dữ liệu đã được lấy mẫu, công thức (6.19) có thể được viết lại như một dãy được biễu diễn như sau:    K k kx K x 1 )( 1 ˆ (6.20) Vì biến ngẫu nhiên )(tx thay đổi theo thời gian, một hi vọng rằng ước lượng của xˆ cũng thay đổi theo thời gian phụ thuộc vào chiều dài của T. Vì chúng ta đang thực hiện một quá trình tuyến tính trên biến ngẫu nhiên x . Chúng ta sẽ đưa ra biến ngẫu nhiên mới xˆ . Với kỳ vọng rằng trung bình thời gian và trung bình thống kê sẽ giống nhau, nếu nó không đồng nhất với nhau. Chúng ta có thể lấy giá trị kỳ vọng cả hai bên của công thức (6.19):    dttxE T xE T  0 )( 1 ˆ (6.21) Nếu tất cả thống kê của biến ngẫu nhiên x không thay đổi theo thời gian, thì biến ngẫu nhiên được gọi là quá trình dừng cứng (strict-sense stationary) [1]. Một quá trình dừng cứng là một trong những đặc tính của thống kê là không thay đổi với sự dịch chuyển trong miền thời gian gốc. Nếu giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên không thay đổi theo thời gian, quá trình này được gọi là quá trình dừng theo nghĩa rộng (wide-sense stationary). Nếu x là quá trình dừng theo nghĩa rộng, công thức (6.21) đơn giản như sau: mtxExE 1)]([]ˆ[  (6.22) Trong thực tế, các quá trình thống kê có thể thay đổi cho các khối ngắn của thời gian T nhưng ổn định hơn các khối có thời gian dài. Nếu bằng cách tăng T (hoặc K) chúng ta có thể ép trung bình thời gian ước lượng hội tụ về trung bình thống kê, quá trình được gọi là Ergodic trong trung bình hoặc là trung bình Ergodic và có thể được viết như sau: 10 )( 1 limˆlim mdttxT T TT x   (6.23) Mô phỏng Anten thông minh trong Thông tin vô tuyến bằng Matlab Trang 171 Chương 6 Cơ sở về biến ngẫu nhiên và quá trình xử lí ngẫu nhiên Hoặc 1 1 )( 1 limˆlim mkxK K kTT x    (6.24) Một cách tương tự, chúng ta cũng có thể sử dụng một trung bình thời gian để ước lượng biến x được định nghĩa như sau: dtxtx T T x 2 0 2 )ˆ)(( 1 ˆ   (6.25) Nếu dữ liệu được lấy mẫu, công thức (6.25) có thể được viết lại như một dãy được biểu diễn như sau:    K k x xkx K 1 22 )ˆ)(( 1ˆ (6.26) Nếu bằng cách tăng T (hoăc K) chúng ta có thể ép phương sai ước lượng hội tụ về phương sai thống kê, quá trình này được gọi là Ergodic trong phương sai hoặc là phương sai ergodic (variance-Ergodic). Điều này có thể được viết lại như sau: 2 0 )ˆ)(( 12 limˆlim x T T T dtxtx Tx      (6.27) Hoặc 2 2 1 2 )ˆ)(( 1 ˆ limlim x K kT x T xkx K     (6.28) Tóm lại, quá trình dừng là một trong những số liệu thống kê của các biến ngẫu nhiên không thay đổi tại các thời gian khác nhau. Các quá trình ergodic là các quá trình có thể ước lượng đặc tính dừng như là: trung bình, phương sai, và tự tương quan, từ các giá trị được đo trong miền thời gian. Tính dừng và ergodic sẽ chứng minh giá trị trong các hệ thống thông tin thực tế, bởi vì dưới các điều kiện đã biết, có thể ước lượng một cách đáng tin cậy trung bình, phương sai, và các thông số khác dựa trên tính toán các trung bình thời gian. 6.6. Quá trình tự tương quan và mật độ phổ công suất Nó có giá trị để biết làm thế nào để một biến ngẫu nhiên tương quan với chính nó tại các điểm khác nhau trong miền thời gian. Đó là: làm thế nào x tại thời gian 1t tương Mô phỏng Anten thông minh trong Thông tin vô tuyến bằng Matlab Trang 172 Chương 6 Cơ sở về biến ngẫu nhiên và quá trình xử lí ngẫu nhiên quan với x tại thời gian 2t ? Sự tương quan này được định nghĩa là sự tự tương quan (autocorrelation) bởi vì chúng ta tương quan x với chính nó. Sự tự tương quan được định nghĩa như sau: txtxEttRx )]()([),( 2121  (6.29) Nếu biến ngâuc nhiên x là quá trình dừng theo nghĩa rộng, thì các giá trị riêng của 1t và 2t là không quan trọng bằng khoảng thời gian giữa hai giá trị được định nghĩa bằng  . Do đó, quá trình tự tương quan cho quá trình dừng theo nghĩa rộng có thể được viết lại như sau: txtxERx )]()([)(   (6.30) Lưu ý giá trị tự tương quan tại 0 là moment cấp hai. Do đó: 2 2][)0( mxERx  Một lần nữa, trong các hệ thống thực tế, chúng ta bị hạn chế trong quá trình xử lí bởi các khối dữ liệu bị giới hạn, một cách là ép để ước lượng quá trình tự tương quan sử dụng một trung bình thời gian. Cho nên, ước lượng của sự tự tương quan được định nghĩa như sau: dttxtx T nR T x   0 )()( 1 )(ˆ  (6.31) Nếu dữ liệu đã được lấy mẫu, công thức (6.31) có thể được viết lại như một dãy được biểu diễn như sau:    K k x nkxkx K nR 1 )()( 1 )(ˆ (6.32) Bằng cách tăng T (hoặc K) chúng ta có thể ép sự tự tương quan ước lượng hội tụ về sự tự tương quan thống kê (statistical autocorrelation), quá trình này được gọi là ergodic trong tự tương quan hay là tự tương quan – ergodic (autocorrelation-ergodic). Chúng ta có thể viết lại: )()()( 1 )(ˆ 0limlim  x T T x T Rdttxtx T R    (6.33) Chú ý rằng các đơn vị của hàm tự tương quan cho các hệ thống điện thường là Watts. Do đó, )0(xR nhường chỗ cho công suất trung bình của biến ngẫu nhiên x . Cũng như với các tín hiệ chuẩn và các hệ thống tuyến tính, để hiểu được trạng thái phổ của biến Mô phỏng Anten thông minh trong Thông tin vô tuyến bằng Matlab Trang 173 Chương 6 Cơ sở về biến ngẫu nhiên và quá trình xử lí ngẫu nhiên ngẫu nhiên x . Với các thông số như là băng thông và tần số trung tâm giúp người thiết kế hiểu được làm thế nào để xử lí tốt nhất tín hiệu yêu cầu. Sự tự tương quan với chính nó là một hàm của trì hoãn thời gian giữa hai biến ngẫu nhiên thời gian độc lập. Do đó, quá trình tự tương quan là đối tượng của phân tích Fourier. Chúng ta hãy định nghĩa mật độ phổ công suất như là biến đổi Fourier của hàm tự tương quan.   deRfS fjxx     2)()( (6.34) dfefSfR fjxx    2)()( (6.35) Cặp biến đổi Fourier trong công thức (6.34) và (6.35) thường được xem như là cặp Wiener-Khinchin [6]. 6.7. Ma trận tương quan Trong việc xử lí các biến ngẫu nhiên ở phần trước, ta giả sử rằng chỉ tồn tại một biến ngẫu nhiên x và đưa các giá trị kỳ vọng về các giá trị vô hướng. Một vài trường hợp bắt nguồn từ việc tập hợp các biến ngẫu nhiên hiện có. Với một ví dụ là ngõ ra của mỗi phần tử của một mảng anten. Nếu một sóng phẳng đến và gây ra một điện áp ngẫu nhiên trên tất cả các phần tử M-mảng, tín hiệu thu được là vectơ x . Dùng giải thích của chương 4 chúng ta có thể mô tả các điện áp ngõ ra trên các phần tử mảng cho một sóng phẳng tới. )().()( tsatx  (6.36) Với )(ts tín hiệu đến đơn sắc tại thời điểm t )(a vectơ lái mảng M phần tử khi góc định hướng là  . Chúng ta định nghĩa ma trận tương quan mảng MxM xxR như sau:       HHHHxx aaSasEaassaExxER .))((. 2*  (6.37) Với H() chỉ chuyển vị Hermit và  2SES  . Ma trận tương quan trong công thức (6.37) giả sử rằng ta đang tính trung bình toàn bộ bằng phép toán kỳ vọng E[ ]. Chú ý rằng đây không phải là sự tự tương quan vectơ bởi vì chúng ta đã áp đặt rằng không có thời gian trễ trong vectơ x . Mô phỏng Anten thông minh trong Thông tin vô tuyến bằng Matlab Trang 174 Chương 6 Cơ sở về biến ngẫu nhiên và quá trình xử lí ngẫu nhiên Đối với cá hệ thống thực tế ta có một khối dữ liệu là hữu hạn, ta phải dùng đến phươn pháp ước lượng ma trận trương quan dùng trung bình thời gian. Ta có thể viết lại phép toán trong công thức (6.37) như sau:   T H H T xx dtts T aa dttxtx T R 0 2 0 )( . )(.)( 1ˆ (6.38) Nếu dữ liệu đã được lấy mẫu, công thức (6.38) có thể được viết lại như sau:    K k H xx ks K aa R 1 2 )( .ˆ (6.39) Nếu tăng T (hoặc K) ta có thể ép ma trận tương quan ước lượng để hội tụ về ma trận tương quan thống kê, quá trình này được gọi là ergodic trong ma trận tương quan. xx H T T xx T Rdttxtx T R    )(.)( 1ˆ 0limlim (6.40) Ma trận tương quan sẽ được dùng nhiều trong chương 8 và chương 9.