Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học của vật rắn trong không gian

Chương 2 Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học của vật rắn trong không gian 2.1 Ma trận cosin chỉ hướng 2.1.1 Định nghĩa ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn Cho vật rắn B và hệ quy chiếu R = {}. Trong đó là ba véc tơ đơn vị trên các trục Ox0, Oy0, Oz0 . Ta gắn chặt vật rắn vào một hệ quy chiếu R = {}, với là ba véc tơ đơn vị trên các trục Az, Ay, Az, (Hình 2.1). Hình 2.0 y0 z0 x0 B y1 z1 x1 z y x1 A O ` Định nghĩa ma trận vuông cấp ba A= (2.1) được gọi là ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn B đối với hệ quy chiếu R0. Nếu ta đưa vào ký hiệu aij = . = cos(.), với (i,j = 1,2,3) (2.2) Thì ma trận cosin chỉ hướng (2.1) có dạng A = (2.3) Từ định nghĩa trên, trong hệ quy chiếu R0 ta có các hệ thức hiên hệ: (2.4) Nếu ta ký hiệu ei là ma trận cột gồm các phần tử của véc tơ trong hệ qui chiếu R0. Ta có: e1, e2, e3 (2.5) Tìm ma trận cosin chỉ hướng (2.3) có dạng: A = [e1, e2, e3] (2.6) Ma trận cosin chỉ hướng A còn được gọi là ma trận quay của vật rắn. 2.1.2 Một vài tính chất cơ bản của ma trận cosin chỉ hướng a) Tính chất 1: ma trận cosin chỉ hướng là ma trận trực giao. Theo công thức (2.6): A = [e1, e2, e3] Ma trận cosin chỉ hướng A là ma trận cột có ba cột là ba véc tơ trực chuẩn. Do đó A là ma trận trực giao. Do tính chất của ma trận cosin chỉ hướng là ma trận trực giao nên A.AT = E. Từ đó nhận được 6 phương trình liên hệ giữa các thành phần của ma trận cosin chỉ hướng như sau: Do vậy chỉ có 3 thành phần của ma trận cosin chỉ hướng là độc lập. b)Tính chất 2: Định thức của ma trận cosin chỉ hướng det(A)=1 Từ hệ thức A.AT = E ta suy ra: det(A.AT)= det(A). det(AT)= det(E)=1 Do: det(A)=det(AT) nên ta có det(A)=. Ta có thể chứng minh det(A)=1. c)Tính chất 3: Ma trận cosin chỉ hướng có ít nhất một trị riêng 2.1.3 ý nghĩa của ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn Xét một hệ qui chiếu R0 và R có cùng gốc O. Trong đó hệ qui chiêú R0Ox0y0z0 là hệ qui chiếu cố định, Hệ qui chiếu ROxyz gắn liền với vật rắn B. Lấy điểm P bất kỳ thuộc vật rắn B. Vị trí của điểm P được xát định bởi vectơ định vị =.(Hình 2.1) z x y0 y x0 z0 P B Hình 2.1 Ký hiệu các toạ độ của điểm P trong hệ qui chiếu động Oxyz là xp, yp, zp, các toạ độ của điểm P toạ độ hệ qui chiếu cố định Ox0y0z0 là , y, z. Ta có hệ thức sau: (2.7) (2.8) Thế các biểu thức (2.4) vào hệ thức (2.8) ta được: (2.9) Hay: (2.10) So sánh các biểu thức (2.7), và (2.10) ta suy ra hệ phương trình: (2.11) Hệ phương trình (2.11) có thể viết lại dưới dạng ma trận như sau; (2.12) Từ hệ phương trình (2.12) ta rút ra kết luận sau: Ma trận cosin chỉ hướng A biến đổi các toạ độ của điển P bất kỳ thuộc vật rắn trong hệ quy chiếu động Oxyz sang các toạ độ của điểm P đó trong hệ quy chiếu cố định Ox0y0z0 2.2 Các ma trận quay cơ bản Ta quy ước hướng quay đơn là hướng ngược chiều kim đồng hồ như hình vẽ ( Hình 2.2) Hình 2.2 z O x y Các phép quay quanh trục x,y,z của hệ toạ độ vuông góc Oxyz được là phép quay cơ bản. Ta tìm ra ma trận quay của phép quay quanh trục một góc j (Hình 2.3). y e z Hình 2.3 y0 z0 ` Theo công thức định nghĩa (2.1) ta có: Ax0(j) = (2.13) Ax0(j) = ` (2.14) Ma trận (2.14) được gọi là ma trận quay của phép quay cơ bản quanh trục x0 bằng cách tương tự ta xác định được các ma trận quay cơ bản quanh các trục y0 và z0 (Hình 2.4). Ay0(y) = , Az0(q)= (2.15) Từ các công thức (2.14), (2.15) ta dễ dàng tính được: detAx0(j) = detAy0(y) = detAz0(q) x y x0 y0 ` ` x z x0 z0 ` Hình 2.4 2.3 Vận tốc góc của vật rắn Vật rắn B chuyển động trong hệ qui chiếu cố định Ox0y0z0. Lấy D là một điểm nào đó thuộc vật rắn B. Gắn chặt vào vật rắn B hệ qui chiếu động Dxyz. Lấy P là một điểm bất kỳ thuộc vật rắn B như hình vẽ (2.5). -Gọi và là vận tốc của điểm P và diểm D bất kỳ trên hệ cố định R0 -Gọi A là ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn B đối với hệ R0 [1]. Từ hình vẽ ta có: (2.16) Đạo hàm phương trình (2.16) trong hệ qui chiếu cố định R0 ta được: (2.17) 0 x0 z 0 y0 x y z D P P D Hình 2.5 Theo công thức định nghĩa vận tốc góc của vật rắn [1] ta có: = Thay vào công thức (2.17): (2.18) Biểu thức 2.46 dưới dạng ngôn ngữ đại số: (2.19) Mặt khác ta biểu diễn phương trình (2.16) dưới dạng đại số: (2.20) Do A là ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn B nên: (2.21) sp: là dạng đại số của véc tơ trên hệ động Dxyz Vậy: (2.22) Đạo hàm phương trình (2.22) theo t ta được : (2.23) Vì A là ma trận cosin chỉ hướng nên là ma trận trực giao. Từ công thức (2.21) ta suy ra: (2.24) Thay (2.24) vào (2.23) ta được: (2.25) So sánh (2.19) và (2.25) ta có : = (2.26) Như vậy nếu biết ma trận cosin chỉ hướng A của vật rắn B và ma trận , ta có thể xác định được các thành phần vận tốc góc của vật rắn B theo công thức (2.26).