Chuyên đề Ứng dụng của đạo hàm, tính đơn điệu của hàm số

Chuyeân ñeà 11: ÖÙNG DUÏNG CUÛA ÑAÏO HAØM TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ Toùm taét giaùo khoa Ñònh nghóa y f )(x: Cho haøm soá = [ ] xaùc ñònh treân khoaûng (a;b) [ ])2()1(21:);(2,1 f xfxfxxbaxx <⇒<∈∀⇔ñnb)(a; treân (taêng) bieánñoàng • • [ ] [ ])2()1(21:);(2,1 f xfxfxxbaxx >⇒<∈∀⇔ñnb)(a; treân (giaûm) bieánnghòch 69 x y x y 1x 2x )( 1xf )( 2xf a bO )(f (f 2x )1x a b1x 2x )(:)( xfyC = 1. Ñieàu kieän caàn cuûa tính ñôn ñieäu: Ñònh lyù 1: Giaû söû haøm soá f coù ñaïo haøm treân khoaûng (a;b) • [ ] ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∈∀≥⇒ b)(a;x 'f b)(a; khoaûngtreân (taêng) bieánñoàng f 0)(x • [ ] ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∈∀≤⇒ b)(a;x 0)('f xb)(a; khoaûngtreân (giaûm) bieánnghòch f 2. Ñieàu kieän ñuû cuûa tính ñôn ñieäu: Ñònh lyù 2: Giaû söû haøm soá f coù ñaïo haøm treân khoaûng (a;b) [ ]b)(a; treân (taêng) bieánñoàngb)(a;x 0(x)'f f ⇒∈∀> ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ • • [ ]b)(a; treân (giaûm) bieánnghòchb)(a;x 0(x)'f f ⇒∈∀< ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ • [ ]b)(a; treân ñoåi khoângb)(a;x 0(x)'f f ⇒∈∀= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ x a b )(' xf )(xf + x a b)(' xf )(xf − Ñònh lyù 3: Giaû söû haøm soá f coù ñaïo haøm treân khoaûng (a;b) [ ]b)(a; treân (taêng) bieánñoàng b)(a; cuûa ñieåm haïnhöõu soámoät taïi raxaûy chæ thöùc ñaúng b)(a;x 0(x)'f f ⇒ ∈∀≥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ [ ]b)(a; treân (giaûm) bieánnghòch b)(a; cuûa ñieåm haïnhöõu soámoät taïi raxaûy chæ thöùc ñaúng b)(a;x 0(x)'f f ⇒ ∈∀≤ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Minh hoïa ñònh lyù: Ñònh lyù 4 70 : Giaû söû haøm soá f coù ñaïo haøm treân khoaûng (a;b) • [ ] f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∈∀≥⇔ b)(a;x 0(x)'fb)(a; treân (taêng) bieánñoàng • [ ] ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∈∀≤⇔ b)(a;x 0(x)'fb)(a; treân (giaûm) bieánnghòch f • [ ] ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∈∀=⇔ b)(a;x 0(x)'fb)(a; treân ñoåi khoâng f x a b )(' xf )(xf + 0x 0 + x a b )(' xf )(xf − 0x 0 − 3. Phöông phaùp xeùt chieàu bieán thieân cuûa haøm soá: y f )(x= ta coù theå thöïc hieän nhö sau: Muoán xeùt chieàu bieán thieân cuûa haøm soá Böôùc 1: Tìm mieàn xaùc ñònh cuûa haøm soá : D=? Böôùc 2: Tính vaø xeùt daáu )(' xf )(' xf Böôùc 3: Döïa vaøo ñònh lyù ñieàu kieän ñuû ñeå keát luaän. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Khaûo saùt söï bieán thieân cuûa haøm soá: 1) xxy −= 4 2) 12 3 + += x xy 3) 12 2 − = x xy 4) 5) xxey +−= 2 x xey = 6) xxy ln2 2 1 −= 7) x xy ln = 8) xxy −+−= 42 9) 22 xxy −+= Baøi 2: Cho haøm soá 23)12(223 3 1)( +−+++−== axaxxxfy (1). Tìm a ñeå haøm soá nghòch bieán treân R Baøi 3: Tìm m ñeå haøm soá 4)3(2)1(3 3 1 −++−+−= xmxmxy ñoàng bieán treân khoaûng (0;3) Baøi 4: Cho haøm soá 3 2 )32(2)1(3 3 1 )( −−+−+== xmxmxxfy (1) a) Vôùi giaù trò naøo cuûa m, haøm soá (1) ñoàng bieán treân R b) Vôùi giaù trò naøo cuûa m, haøm soá (1) ñoàng bieán treân khoaûng (1;+∞) Baøi 5: Cho haøm soá 1 2)( − ++== x m xxfy (1) Tìm a ñeå haøm soá (1) ñoàng bieán treân moãi khoaûng xaùc ñònh cuûa noù Baøi 6: Cho haøm soá 1 13)2(22 )( − +−++−== x mxmx xfy (1) Tìm a ñeå haøm soá (1) nghòch bieán treân moãi khoaûng xaùc ñònh cuûa noù Baøi 7: Cho haøm soá : mx mxmxy − ++−+−= 1)1(2 2 . Ñònh m ñeå haøm soá ñoàng bieán trong khoaûng (1;+∞ ) Baøi 8: Chöùng minh raèng: vôùi moïi xtgxx 3sin2 >+ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛∈ 2 ;0 πx Baøi 9: Chöùng minh raèng: 3 3x xtgx +> vôùi moïi ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛∈ 2 ;0 πx Baøi 10: Chöùng minh raèng: xtgx π 4≤ vôùi moïi ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡∈ 4 ;0 π x Baøi 11: Cho haøm soá 3 21 (2 1) 2 3 y x ax a x a= − + − − + Tìm a ñeå haøm soá nghòch bieán trong khoaûng (-2;0) Baøi 12: Cho haøm soá (1) 123 ++−= xmxxy Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå haøm soá (1) nghòch bieán trong khoaûng (1;2) Baøi 13: Cho haøm soá 2 1 1 x mxy x + −= − Tìm m ñeå haøm soá ñoàng bieán treân khoaûng (-∞ ;1) vaø (1;+∞ ). Baøi 14: Cho haøm soá 2 2 2 x x my x − += − Xaùc ñònh m ñeå haøm soá nghòch bieán treân [-1;0]. Baøi 15: Cho haøm soá 2 25 6 3 x x my x + + += + Tìm m ñeå haøm soá ñoàng bieán treân khoaûng (1;+∞ ). Baøi 16: Cho haøm soá 2 (2 3) 1 ( 1) x m x my x m + − + −= − − Tìm m ñeå haøm soá ñoàng bieán treân khoaûng (0;+∞ ) 71 ÖÙNG DUÏNG TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ ÑEÅ CHÖÙNG MINH BAÁT ÑAÚNG THÖÙC GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH - BAÁT PHÖÔNG TRÌNH - HEÄ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH ******** Cô sôû ñeå giaûi quyeát vaán ñeà naøy laø duøng ñaïo haøm ñeå xeùt tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá vaø döïa vaøo chieàu bieán thieân cuûa haøm soá ñeå keát luaän veà nghieäm cuûa phöông trình , baát phöông trình, heä phöông trình . CAÙC KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN ---------- I. Ñònh nghóa : Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh trong khoaûng (a,b). a) f taêng ( hay ñoàng bieán ) treân khoaûng (a,b) ⇔ ∀ x1, x2 ∈ (a,b) : x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) b) f giaûm ( hay nghòch bieán ) treân khoaûng (a,b) ⇔ ∀ x1, x2 ∈ (a,b) : x1 f(x2) II. Caùc tính chaát : 1) Tính chaát 1: Giaû söû haøm soá y = f(x) taêng (hoaëc giaûm) treân khoaûng (a,b) ta coù : f(u) = f(v) u = v (vôùi u, v ⇔ ∈ (a,b) ) 72 2) Tính chaát 2: Giaû söû haøm soá y = f(x) taêng treân khoaûng (a,b) ta coù : f(u) < f(v) u < v (vôùi u, v ⇔ ∈ (a,b) ) 3) Tính chaát 3: Giaû söû haøm soá y = f(x) giaûm treân khoaûng (a,b) ta coù : f(u) v (vôùi u, v ⇔ ∈ (a,b) ) 4) Tính chaát 4: Neáu y = f(x) taêng treân (a,b) vaø y = g(x) laø haøm haèng hoaëc laø moät haøm soá giaûm treân (a,b) thì phöông trình f(x) = g(x) coù nhieàu nhaát moät nghieäm thuoäc khoûang (a,b) *Döïa vaøo tính chaát treân ta suy ra : Neáu coù x0 ∈ (a,b) sao cho f(x0) = g(x0) thì phöông trình f(x) = g(x) coù nghieäm duy nhaát treân (a,b) BAØI TAÄP AÙP DUÏNG Baøi 1 : Giaûi caùc phöông trình sau : 1) 11x41x4 2 =−+− 2) xxx 2)32()32( =++− 3) xlog)x1(log 7 3 2 =+ Baøi 2 : Giaûi caùc phöông trình sau: 1) 2xx1x )1x(22 2 −=− −− 2) 2x3x) 5x4x2 3xx(log 2 2 2 3 ++=++ ++ Baøi 3 : Giaûi caùc heä : 1) vôùi x, y ⎩⎨ ⎧ π=+ −=− 2y8x5 yxgycotgxcot ∈ (0,π) 2) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ +−=− 2yx )2xy).(xy(22 22 yx Baøi 4: Giaûi caùc baát phöông trình sau. 1) 5x + 12x > 13x 2) x (x8 + x2 +16 ) > 6 ( 4 - x2 ) Baøi 5 : Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau : 1) ex > 1+x vôùi x > 0 2) ln (1 + x ) 0 3) sinx 0 4) 1 - 2 1 x2 < cosx vôùi x 0 ≠ ------Heát------- 73 CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM SOÁ Toùm taét giaùo khoa I. Ñònh nghóa: Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a;b) vaø x0∈(a;b) 74 x y ( )a b0xO )( 0xf )(xf )(:)( xfyC = x ( ) x y O a b0xx )(xf )( 0xf )(:)( xfyC = • ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∈∀<⇔ 0x\Vx )0f(xf(x) 0x ñn f soá haømcuûa ÑAÏICÖÏC ñieåmlaø • ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∈∀>⇔ 0x\Vx )0f(xf(x) n 0x ñ f soá haømcuûa TIEÅU CÖÏC ñieåmlaø II.Ñieàu kieän caàn cuûa cöïc trò: Ñònh lyù Fermat : Giaû söû y=f(x) lieân tuïc treân khoaûng (a;b) vaø );(0 bax ∈ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =⇒ 0)0('f x 0x taïi trò cöïcñaït f 0x taïi haømñaïo coù f YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñònh lyù: Neáu haøm soá ( )y f x= coù ñaïo haøm taïi ñieåm x0 vaø ñaït cöïc trò taïi ñieåm ñoù thì tieáp tuyeán cuûa ñöôøng cong (C): ( )y f x= taïi ñieåm M(x0,f(x0)) phaûi cuøng phöông vôùi Ox III. Ñieàu kieän ñuû ñeå haøm soá coù cöcï trò: 1) Ñònh lyù 1: Giaû söû haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm treân moät laân caän cuûa ñieåm x0 ( coù theå tröø taïi ñieåm x0) • ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⇒ + 0 x taïi ÑAÏICÖÏCñaït f - sang töø daáu ñoåi'f maø0x qua ñi x khiNeáu )( x • ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⇒ +− 0 x taïi TIEÅU CÖÏCñaït f sang töø daáu ñoåi'f maø0x qua ñi x khiNeáu )( x Baûng toùm taét: x a b )(' xf )(xf + 0x 0− CT x a b )(' xf )(xf + 0x 0 − CD 2) Ñònh lyù 2: Giaû söû haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm lieân tuïc tôùi caáp hai taïi x0 vaø f'(x0)=0, f''(x0)≠0 • ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⇒< 0x taïi ÑAÏICÖÏCñaït f''f Neáu 0)0( x • ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⇒> 0x taïi TIEÅU CÖÏCñaït f''f Neáu 0)0( x BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Tìm cöïc trò cuûa caùc haøm soá: 1) xxy −= 4 2) 12 3 + += x xy 3) 12 2 − = x xy 4) 5) xxey +−= 2 x xey = 6) xxy ln22 1 −= 7) x xy ln= 8) xxy −+−= 42 9) 22 xxy −+= Baøi 2: Cho haøm soá . Tìm m ñeå y ñaït )12(2)142(2)1(23 +−+−+−+= mxmmxmxy cöïc ñaïi, cöïc tieåu taïi hai ñieåm x1, x2 thoûa maõn ñieàu kieän )21(2 1 2 1 1 1 xxxx +=+ Baøi 3: Cho haøm soá 1 22 − −+= mx mxxy . Xaùc ñònh m ñeå haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu vôùi hoaønh ñoä thoûa maõn 21421 xxxx =+ Baøi 4: Tìm m ñeå haøm soá mx mxxy + ++= 12 ñaït cöïc ñaïi taïi x = 2 Baøi 5: Giaû söû haøm soá )( )()( xv xuxf = ñaït cöïc trò taïi x0. Chöùng minh raèng neáu thì 0)0( ' ≠xv )0( ' )0( ' )0( xv xu xf = AÙp duïng : Tìm giaù trò cöïc trò cuûa haøm soá: 2 532 + ++= x xxy Baøi 6: Cho haøm soá . Chia f(x) cho fdcxbxaxxf +++= 23)( '(x), ta ñöôïc: βα +++= xBAxxfxf )).((')( Giaû söû f(x) ñaït cöïc trò taïi x0 Chöùng minh raèng : βα += 0)0( xxf AÙp duïng : Tìm giaù trò cöïc trò cuûa haøm soá: 23233 +−−= xxxy 75 Baøi 7: Goïi (Cm) laø ñoà thò haøm soá xmxy 1+= (1) Tìm m ñeå haøm soá (1) coù cöïc trò vaø khoaûng caùch töø ñieåm cöïc tieåu cuûa (Cm) ñeán tieäm caän xieân cuûa (Cm) baèng 2 1 Baøi 8: Goïi (Cm) laø ñoà thò haøm soá 1 1)1(2 + ++++= x mxmxy (1) Chöùng minh raèng vôùi m baát kyø, ñoà thò (Cm) luoân luoân coù ñieåm cöïc ñaïi, ñieåm cöïc tieåu vaø khoaûng caùch giöõa hai ñieåm ñoù baèng 20 Baøi 9: Cho haøm soá mx mxxy + ++= 1 2 . Tìm m sao cho haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x = -1 Baøi 10: Cho haøm soá 2)12( 3 1 23 +−−+−= mxmmxxy Tìm m sao cho haøm soá coù hai cöïc trò coù hoaønh ñoä döông Baøi 11: Cho haøm soá 1 2 + ++= x mxxy (1) Xaùc ñònh m sao cho haøm soá (1) coù hai giaù trò cöïc trò traùi daáu nhau. Baøi 12: Cho haøm soá (1) 4)32(3 223 +−++−= xmmmxxy Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá (1) coù ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu ôû veà hai phía cuûa truïc tung Baøi 13: Cho haøm soá : 3( ) 3y x m x= − − Xaùc ñònh m ñeå haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x = 0. Baøi 14: Cho haøm soá : 4 2 2( 9) 1y mx m x= + − + 0 Tìm m ñeå haøm soá coù ba ñieåm cöïc trò. Baøi 15: Cho haøm soá : 3 2 2 33 3(1 ) 2y x mx m x m m= − + + − + − Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá . Baøi 16: Cho haøm soá 2 1 x mxy x += − Tìm m ñeå haøm soá coù cöïc ñaïi ,cöïc tieåu . Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì khoaûng caùch giöõa hai ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá baèng 10. Baøi 17: Cho haøm soá 2 2 1 x mxy mx + −= − Xaùc ñònh m ñeå haøm soá coù cöïc ñaïi , cöïc tieåu vôùi hoaøng ñoä thoaû maõn 1 2 14 . 2x x x x+ = 76 GTLN VAØ GTNN CUÛA HAØM SOÁ Toùm taét giaùo khoa 1. Ñònh nghóa: Cho haøm soá y f )(x= xaùc ñònh treân D • Soá M ñöôïc goïi laø GTLN cuûa haøm soá neáu: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =∈ ∈∀≤ MD Mxf ) Dx )( 0f(x cho sao0x taïi Toàn Kyù hieäu: y Dx MaxM ∈= • Soá m ñöôïc goïi laø GTNN cuûa haøm soá neáu: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =∈ ∈∀≥ mD xf ) Dx m)( 0f(x cho sao0x taïi Toàn Kyù hieäu: y Dx m ∈= min 0x O M )(xf x x y 0x )(:)( xfyC = m D Minh hoïa: 2. Caùc phöông phaùp tìm GTLN & GTNN cuûa haøm soá )(xfy = treân D a) Phöông phaùp 1: Söû duïng baát ñaúng thöùc Ví duï 1: Tìm GTLN vaø nhoû nhaát cuûa haøm soá : x xy 2+= vôùi x > 0 Ví duï 2: Tìm GTNN cuûa haøm soá : xxy −+−= 42 b) Phöông phaùp 2: Söû duïng ñieàu kieän coù nghieäm cuûa pt hoaëc heä phöông trình Ví duï: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá: 22 32 ++ += xx xy b) Phöông phaùp 2: Söû duïng ñaïo haøm, laäp BBT cuûa haøm soá f treân D roài suy ra keát qua Ví duï 1: Tìm GTLN cuûa haøm soá : 4334 xxy −= Ví duï 2: Tìm GTNN cuûa haøm soá : x xy 22 += vôùi x > 0 77 Ví duï 3: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : xxy −+−= 42 Ví duï 4: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : x-2xsin=y treân ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡− 2;2 ππ Ví duï 5: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : cosx2 sinx +=y treân [ ]π;0 Ví duï 6: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : 22 xxy −+= Ví duï 7: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : 2 12cossin +−= xxy Ví duï 8: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : )8cos4(cos 2 1)4cos.2sin1(2 xxxxy −−+= BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá: vôùi xxxxy 922334 +−−= ]2;2[−∈x Baøi 2: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : xxy −= 2sin treân ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡− 2;2 ππ Baøi 3: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : xexy .2= treân ]2;3[− Baøi 4: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : = −y 5cosx cos5x treân π π−[ ;4 4] Baøi 5: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá: 22 32 ++ += xx xy Baøi 6: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá: 2312 xxy −+= Baøi 7: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá: 24)2( xxy −+= Baøi 8: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá: 12)3( +−= xxy vôùi ]2;0[∈x Baøi 9: Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá : + += + 22cos cos 1 cos 1 x xy x Baøi 10: Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá π⎡ ⎤⎣ ⎦= − 4 32sin sin treân ñoaïn 0;3y x x Baøi 11: Tìm GTNN cuûa haøm soá : 3 322 xxy −= treân ñoaïn ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡− 3;2 1 78 Baøi 12: Cho phöông trình vôùi . Tìm a ñeå nghieäm lôùn 013)62(2 =−+−+ axax 1≥a cuûa phöông trình ñaït giaù trò lôùn nhaát. Baøi 13: Cho haøm soá 1 242)1(2 − −+−+−= x mmxmxy (1) Xaùc ñònh caùc giaù trò cuûa m ñeå haøm soá coù cöïc trò. Tìm m ñeå tích caùc giaù trò cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu ñaït giaù trò nhoû nhaát Baøi 14: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : xxxxxf 2sin32)cos(sin222cos)( −++= Baøi 15: Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø beù nhaát cuûa haøm soá sau : = + +2 2y 4cos x 3 3sinx 7sin x Baøi 16: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : 1sin2sin 1sin ++ += xx xy Baøi 17: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá: = + − −12(1 sin2 cos4 ) (cos4 cos8 )2y x x x x Baøi 18: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá: = + +3 32(sin cos ) 8sin .cosy x x x x Baøi 19: Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau : 174sin4)sin1(8 1 ≤+−≤ xx Rx∈∀ --------------------------------Heát---------------------------------- 79