Chuyên đề: Phép đếm và nhị thức Newton

Bài tập trọng tõm trong thi Đại học www.cuahocduong.vn ĐẠI SỐ TỔ HỢP CHUYấN ĐỀ: PHẫP ĐẾM VÀ NHỊ THỨC NEWTON Biên soạn: Thầy Đinh Tiến Nguyện Phần 1: Cỏc phộp đếm cơ bản. I. Đếm cỏch lập cỏc chữ số tự nhiờn cú điều kiện. Bài 1. Cho cỏc số { }0;1;2;4;5;6;7;8;9 . Cú thể lập được bao nhiờu số tự nhiờn: a. Cú 3 chữ số b. Cú 3 chữ số khỏc nhau c. Chẵn cú 5 chữ số đụi một khỏc nhau d. Cú 5 chữ số khỏc nhau chia hết cho 5. e. Cú 4 chữ số khỏc nhau chia hết cho 4. f. Cú 4 chữ số khỏc nhau nhất thiết phải cú chữ số 5. g. Cú 5 chữ số khỏc nhau và nhất thiết phải cú hai chữ số 5 và 9. Bài 2. Cho 9 chữ số { }1;2;3;4;5;6;7 . Hỏi lập được bao nhiờu số tự nhiờn: a. Cú 10 chữ số mà trong đú chữ số 2 xuất hiện 3 lần, số 5 xuất hiện 2 lần, cỏc chữ số khỏc xuất hiện đỳng một lần. b. Cú 6 chữ số khỏc nhau sao cho hai chữ số 1, 2 luụn đứng cạnh nhau. Bài 3. Cho cỏc chữ số { }0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 . a. Từ cỏc chữ số trờn cú thể lập được bao nhiờu số tự nhiờn lẻ cú 6 chữ số khỏc nhau và lớn hơn 500000. b. Cũng từ cỏc chữ số trờn, lập được bao nhiờu số tự nhiờn chẵn cú 4 chữ số khỏc nhau và lớn hơn 2009. II. Cỏc bài toỏn về phõn cụng, lựa chọn và sắp xếp. Bài 4. Cho hai đường thẳng song song 1 2,d d . Trờn đường thẳng 1d cú 10 điểm phõn biệt, trờn đường thẳng 2d cú n điểm phõn biệt ( 2n ³ ). Biết rẳng cú 2800 tam giỏc cú đỉnh là cỏc điểm đó cho. Tỡm n thỏa món điều kiện trờn. Bài 5. Một đội văn nghệ gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi cú bao nhiờu cỏch lập một nhúm đồng ca gồm 8 người biết rằng trong đú phải cú ớt nhất 3 nữ. Bài 6. ( ĐH khối B – 2002) Cho đa giỏc đều 1 2 3 2... nA A A A ( n≥2, n nguyờn) nội tiếp đường trũn tõm O. Biết rằng số tam giỏc cú 3 đỉnh trong 2n đỉnh 1 2 3 2, , ,..., nA A A A gấp 20 lần số hỡnh chữ nhật cú cỏc đỉnh là 4 trong 2n điểm 1 2 3 2, , ,..., nA A A A . Tỡm n. Bài tập trọng tõm trong thi Đại học www.cuahocduong.vn ĐẠI SỐ TỔ HỢP Bài 7.( ĐH khối B- 2004) Trong một mụn học, thầy giỏo cú 30 cõu hỏi khỏc nhau gồm 5 cõu hỏi khú, 10 cõu hỏi trung bỡnh, 15 cõu hỏi dễ. Từ 30 cõu hỏi đú cú thể lập được bao nhiờu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 cõu hỏi khỏc nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải cú đủ 3 loại cõu hỏi ( khú, trung bỡnh, dễ) và số cõu hỏi dễ khụng ớt hơn 2? Bài 8. ( ĐH khối B -2005) Một đội thanh niờn tỡnh nguyện cú 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi cú bao nhiờu cỏch phõn cụng đội thanh niờn tỡnh nguyện đú về giỳp đỡ 3 tỉnh miền nỳi, sao cho mỗi tỉnh cú 4 nam và 1 nữ ? Bài 9. ( ĐH khối D - 2006) Đội thanh niờn xung kớch của một trưởng THPT cú 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc khụng quỏ 2 trong 3 lớp trờn. Hỏi cú bao nhiờu cỏch chọn như vậy ? Bài 10. Một lớp cú 30 nam và 20 nữ. Cần thành lập một đội văn nghệ 8 người cú nam, cú nữ. Hỏi cú bao nhiờu cỏch lập. Bài 11. Một lớp cú 30 học sinh gồm 18 nữ. Chon ban cỏn sự lớp gồm 4 người: 1 lớp trưởng, 1 lớp phú học tập, 1 lớp phú đời sống và 1 bớ thư đoàn. Hỏi cú bao nhiờu cỏch chọn sao cho : a. Lớp trưởng là nam, lớp phú là nữ. b. Lớp trưởng là nữ, bớ thư là nam. Bài 12.Một lớp cú 33 học sinh, trong đú cú 7 nữ. Cần chia lớp thành 3 tổ, tổ 1 cú 10 học sinh, tổ 2 cú 11 học sinh, tổ 3 cú 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ ớt nhất 2 học sinh nữ. Hỏi cú bao nhiờu cỏch chia như vậy. Bài 13. Đội tuyển học sinh giỏi cú 18 em : 7 học sinh khối 12; 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Cú bao nhiờu cỏch chon 8 em đi dự trại hố sao cho cú học sinh của tất cả cỏc khối. Bài 14. Cú 9 phong bỡ và 6 tem khỏc nhau. Cần chọn ra 3 tem dỏn vào 3 phong bỡ. Hỏi cú bao nhiờu cỏch chọn. Bài 15. Một đa giỏc lồi cú 10 đỉnh. Tớnh số tam giỏc tạo thành cú cỏc đỉnh là đỉnh của đa giỏc nhưng cạnh của tam giỏc ko là cạnh của đa giỏc. Bài tập trọng tõm trong thi Đại học www.cuahocduong.vn ĐẠI SỐ TỔ HỢP Phần 2: Nhị thức Newton I. Giải pt, bpt,hpt tổ hợp. CM đẳng thức tổ hợp. Bài 1. Giải cỏc phương trỡnh sau: a. 5 ( 1)! ! . 5.( 2) 1 ( 3)!4! 24.( 3)( 4)! n n n n n n n + - = - + - - - . b. 5 4 230n nA A -= c. 2 3 34 k n nA A C+ = d. 1 1 1 . 72 y x x y x A P P + + - - = e. 1 2 3 26 6 9 14x x xC C C x x+ + = - . f. 2 3 2 3 3 32 100nn n n n n nC C C C C C -+ + = . Bài 2. Giải cỏc bất phương trỡnh sau: a. 3 25 21 0n nA A x+ - Ê b. 2 2 32 1 6 10 2 x x x A A C x - Ê + c. 2 4 3 3( 5) 2 2n n nn C C A- + Ê . Bài 3. Giải cỏc hệ phương trỡnh sau: a. 2 5 90 5 2 80 y y x x y y x x A C A A ỡ + =ù ớ - =ùợ . b. 1 1 1 6 5 2 y y y x x xC C C + - + = = . Bài 4. ( ĐH khối D – 2005) Tớnh giỏ trị biểu thức 4 3 1 3 ( 1)! n nA AM n + += + biết rằng 2 2 2 21 2 3 42 2 149n n n nC C C C+ + + ++ + + = Bài 5. ( ĐH khối B – 2008) Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 1 2 k k kn n n n n C C C++ + ổ ử+ + =ỗ ữ+ ố ứ với n, k là cỏc số nguyờn dương, k≤n. Bài 6. ( ĐH khối D – 2002) Tỡm số nguyờn dương n sao cho 0 1 22 4 ..... 2 243n nn n n nC C C C+ + + + = Bài tập trọng tõm trong thi Đại học www.cuahocduong.vn ĐẠI SỐ TỔ HỢP Bài 7. ( ĐH khối D – 2008) Tỡm số nguyờn dương n thỏa món hệ thức 1 3 2 12 2 2..... 243 n n n nC C C -+ + + = Bài 8. ( ĐH khối A – 2003) Tỡm hệ số của 8x trong khai triển nhị thức Newton của 53 1 n x x ổ ử+ỗ ữ ố ứ , biết rằng 1 4 3 7( 3) n n n nC C n + + +- = + Bài 9. ( ĐH khối D – 2004) Tỡm cỏc số hạng khụng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của 7 3 4 1 x x ổ ử+ỗ ữ ố ứ với x>0. Bài 10. ( ĐH khối A – 2006) Tỡm hệ số của số hạng chứa 26x trong khai triển nhị thức Newton của 74 1 n x x ổ ử+ỗ ữ ố ứ , biết rằng 1 2 20 12 1 2 1 2 1..... 2 n n n nC C C - + + ++ + + = Bài 11. ( ĐH khối B – 2007) Tỡm hệ số của số hạng chứa 10x trong khai triển nhị thức Newton của (2 )nx+ , biết rằng 0 1 1 2 2 3 33 3 3 3 ..... ( 1) 2048n n n n n nn n n n nC C C C C - - -- + - + + - = Bài 12. ( ĐH khối A – 2008) Cho khai triển 0 1(1 2 ) ..... n n nx a a x a x+ = + + + trong đú *n Nẻ và cỏc hệ số 0 1, ,..., na a a thỏa món hệ thức 10 ..... 40962 2 n n aa a + + + = . Tỡm hệ số lớn nhất trong cỏc số 0 1, ,..., na a a . Bài 13. Chứng minh rằng : a. 0 1 1 5 55 5 5 5....... k k k k n n n nC C C C C C C - - ++ + + = . b. ( ) ( ) ( )2 2 20 1 2...... n nn n n nC C C C+ + + = . Bài 14. Tỡm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newton của : 40 1 2 3 3 xổ ử+ỗ ữ ố ứ “Đừng xấu hổ khi khụng biết mà hóy xấu hổ khi khụng học”