Chuyên đề Hàm số

Sở GD&ĐT Hà Nam Trung Tâm GDTX Duy Tiên Chuyên đề Chuyên đề hàm số BÙI QUỸ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số 1.1 Tóm tắt lí thuyết 1. Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b). Ta nói: - Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a; b) nếu với mọi x1, x2 ∈ (a; b) mà x1 < x2 thì f(x1) < f(x2). - Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a; b) nếu với mọi x1, x2 ∈ (a; b) mà x1 < x2 thì f(x1) > f(x2). Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng được gọi là đơn điệu trên khoảng đó. 2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu Định lý 1.1 (Định lí Lagrange) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn tại một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a) hay f ′(c) = f(b)− f(a) b− a Định lý 1.2 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b). a) Nếu f ′(x) > 0 ∀x ∈ (a; b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng đó. b) Nếu f ′(x) < 0 ∀x ∈ (a; b) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng đó. Định lý 1.3 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b). Nếu f ′(x) ≥ 0 hoặc f ′(x) ≤ 0) ∀x ∈ (a; b), và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a; b) thì hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến ) trên khoảng đó. Chú ý 1 Trong các hàm số sơ cấp được học (ngoại trừ hàm hằng), ta có kết quả sau: - y = f(x) là hàm số đồng biến trên (a; b) ⇐⇒ f ′(x) ≥ 0 ∀x ∈ (a; b) - y = f(x) là hàm số nghịch biến trên (a; b) ⇐⇒ f ′(x) ≤ 0 ∀x ∈ (a; b) * Các bước xét tính đơn điệu của hàm số: - Tìm các điểm tới hạn - Xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn. - Lập bảng biến thiên, từ đó suy ra chiều biến thiên của hàm số. 3. Nhắc lại định lí dấu tam thức bậc hai1 1.2 Ví dụ và bài tập . 1.1 Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau: 1Phải nhắc lại định lí thuận và định lí đảo CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 2 a) y = 4x3 − 3x + 1 b) y = 3 4 x4 + x3 − 3x2 + 1 c) y = x + 1 x− 1 d) y = x2 + 3x + 3 x + 1 e) y = x4 + 2x2 − 3 x2 f) y = x4 − 3x2 + 15 . 1.2 Cho hàm số y = −1 3 x3 + (m− 1)x2 + (m + 3)x− 4. Tìm m để hàm số tăng trên (0; 3) . 1.3 Cho hàm số y = 2x2 + 2mx + m− 1. Tìm m để hàm số tăng trên (−1;+∞) . 1.4 Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 3(2m− 1)x + 1. Tìm m để hàm số tăng trên tập xác định . 1.5 Cho hàm số y = mx2 + 6x− 2 x + 2 . Tìm m để hàm số giảm trên (1; +∞) . 1.6 Cho hàm số y = 1 3 mx3 − (m− 1)x2 + 3(m− 2)x+ 1 3 . Tìm m để hàm số tăng trên (2; +∞) . 1.7 Cho hàm số y = 2x2 + (1−m)x + 1 + m x−m . Tìm m để hàm số tăng trên (1; +∞) . 1.8 Cho hàm số y = 1 3 x3 + mx2 −mx + 1. Tìm m để hàm số: a) Tăng trên tập xác định b) Tăng trên (−∞; 0) . 1.9 Cho hàm số y = x2 + mx− 5 3− x . Tìm m để hàm số: a) Giảm trên tập xác định b) Giảm trên (−1; 0) c) Tăng trên (−2; 2) 2 Cực đại và cực tiểu 2.1 Tóm tắt lí thuyết 1. Điều kiện cần để hàm số có cực trị Định lý 2.1 (Định lí Fermat) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f ′(x0) = 0. 2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Định lý 2.2 (Dấu hiệu I) Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x0 (có thể trừ điểm x0). i) Nếu f ′(x) > 0 trên khoảng (x0 − δ; x0); f ′(x) < 0 trên khoảng (x0; x0 + δ) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số y = f(x). ii) Nếu f ′(x) 0 trên khoảng (x0; x0 + δ) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 3 Nói một cách vắn tắt: Nếu khi đi qua x0, đạo hàm đổi dấu thì x0 là một điểm cực trị. Và nếu đổi dấu từ + sang - thì x0 là điểm cực đại còn nếu đổi dấu từ - sang + thì x0 là điểm cực tiểu. Quy tắc I - Tìm f ′(x) - Tìm các điểm tới hạn - Xét dấu đạo hàm - Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. Định lý 2.3 (Dấu hiệu II) Giả sử y = f(x) có đạo hàm tới cấp hai liên tục tại x0 và f ′(x0) = 0, f ′′(x0) 6= 0 thì x0 là một điểm cực trị hàm số, hơn nữa: - Nếu f ′′(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu. - Nếu f ′′(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại. Quy tắc II - Tìm f ′(x). Giải phương trình f ′(x) = 0. Gọi xi là các nghiệm - Tính f ′′(x) - Từ dấu của f ′′(xi) suy ra các điểm cực trị. Chú ý 2 - Nếu f ′(x0) = f ′′(x0) = 0 thì không thể khẳng định được x0 có là điểm cực trị hay không. - Chúng ta dùng dấu hiệu I trong trường hợp tổng quát, còn dấu hiệu II chỉ dùng khi gặp các hàm số dễ tính đạo hàm (như hàm đa thức, hàm lượng giác). 2.2 Ví dụ và bài tập . 2.1 Tìm cực trị của các hàm số: a) y = 2x2 − x4 b) y = x 2 − x + 1 x2 + x + 1 c) y = x + √ 3x2 + 6 d) y = x ln x e) y = ex sin x f) y = 5 √ x4 . 2.2 Xác định m để hàm số y = x2 + mx + 1 x + m đạt cực đại tại x = 2. . 2.3 Chứng minh rằng hàm số y = x2 + 2x + m x2 + 2 luôn có một cực đại và một cực tiểu. . 2.4 Tìm a và b để các cực trị của hàm số y = 5 3 a2x3 + 2ax2 − 9x + b đều là những số dương và x0 = −5 9 là điểm cực đại. . 2.5 Cho hàm số y = x3−3mx2 +3(m2−1)x− (m2−1). Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 1. . 2.6 Cho hàm số y = a sin x + 1 3 sin 3x. Tìm a để hàm số đạt cực trị tại x = pi 3 . . 2.7 Tìm m để hàm số dưới đây đạt cực đại và cực tiểu CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 4 a) y = 1 3 x3 + mx2 + (m + 6)x− 1 b) y = x 2 − 2x + m 4− x . 2.8 Cho hàm số y = x2 + mx + 1 x + m . Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 2. . 2.9 Cho hàm số y = x3− (m− 3)x2 +(4m− 1)x−m. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại các điểm x1, x2 thoả mãn điều kiện x1 < −2 < x2. . 2.10 Cho hàm số y = x2 − x + m x + 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2 b) Tìm m để hàm số có hai cực trị. c) Tìm m để hàm số có hai giá trị cực trị cùng dấu. . 2.11 Cho hàm số y = x2 + (m + 1)x + 1−m x−m . Tìm m để hàm số có: a) Một cực đại và một cực tiểu. b) Hai cực trị và các giá trị cực trị trái dấu. c) Cực tiểu có hoành độ nhỏ hơn 1. . 2.12 Cho hàm số y = mx + 1 1− x2 . Tìm m để hàm số có hai cực trị. Trong trường hợp đó chứng minh rằng các điểm cực trị của đồ thị ở cùng một phía đối với trục hoành. . 2.13 Cho hàm số y = mx2 − 2x + m x2 − x . Tìm m để hàm số: a) Tăng trên từng khoảng xác định. b) Chỉ có một cực trị. c) Đạt cực đại và cực tiểu tại các điểm có hoành độ dương. . 2.14 Tìm m để hàm số y = −x3 + 3(m + 1)x2 − (3m2 + 7m− 1)x + m2 − 1 đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ nhỏ hơn 1. . 2.15 Tìm m để hàm số sau có ba cực trị y = x4 + 4mx3 + 3(m + 1)x2 + 1 . 2.16 Cho hàm số y = x4 + 8mx3 + 3(1 + 2m)x2 − 4 Tìm m để hàm số có một cực tiểu mà không có cực đại. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 5 3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3.1 Tóm tắt lí thuyết 1. Phương pháp bất đẳng thức2 2. Phương pháp hàm số Phương pháp hàm số thường sử dụng khi gặp bài toán tìm GTLN, GTNN hoặc chứng minh BĐT chỉ có một tham số. Khi đó chúng ta thường tìm điều kiện chặt của tham số. Xét hàm số y = f(x) trên tập X ⊂ D. Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên X, ta làm như sau: a. Phương pháp chung: - Lập bảng biến thiên của hàm số trên X - Dựa và bảng biến thiên (chú ý đến sự thay đổi giá trị của hàm số trên X), ta tìm được các giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số trên X. b. Trường hợp đặc biệt: Khi X = [a; b], ta có thể làm như sau: - Giải HPT { y′ = 0 hoặc y′ không xác định x ∈ (a; b) , giả sử các nghiệm là x1, x2, ..., xn - Tính f(x1), f(x2), ..., f(xn) và f(a), f(b). - Số lớn nhất trong các số trên là giá trị lớn nhất. - Số nhỏ nhất trong các số trên là giá trị nhỏ nhất. Chú ý 3 Trong trường hợp hàm số có chu kì chúng ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN trên một đoạn có độ dài bằng chu kì. 3. Phương pháp sự biến thiên để giải và biện luận phương trình có tham số Phương pháp chung để giải và biện luận phương trình có tham số bằng PP sự biến thiên là: Bước 1: Đặt ẩn phụ (nếu cần) t = u(x), đặt điều kiện chặt cho t. Bước 2: Từ giả thiết bài toán biến đổi về một trong các dạng sau: f(t) = g(m); f(t) ≥ g(m); f(t) ≤ g(m); f(t) > g(m); f(t) < g(m) Tức là biến đổi để cô lập m về một vế, còn vế kia độc lập với m. Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số f(t) trên miền giá trị của t đã tìm được sau bước 1. Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra miền giá trị của f(t). Sử dụng các kết quả bảng biến thiên, để tìm ra kết luận của bài toán. Chú ý 4 Điều kiện chặt cho t có nghĩa là tìm các giá trị của t để phương trình t = u(x) có nghiệm. Giả sử f(x) là một hàm liên tục trên miền D và giả thiết rằng tồn tại các giá trị lớn nhât, nhỏ nhất của f(x), xét trên miền D (kí hiệu là: max x∈D f(x),min x∈D f(x)). Khi đó ta có các định lí sau: Định lý 3.1 Giả sử D = [a; b]. Nếu như f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (a; b). 2Làm kĩ về cách chứng minh BĐT nhờ BĐT Cauchy CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 6 Định lý 3.2 Phương trình f(x) = m có nghiệm khi và chỉ khi: min x∈D f(x) ≤ m ≤ max x∈D f(x). Chứng minh. =⇒ Giả sử phương trình đã cho có nghiệm x0 ∈ D =⇒ f(x0) = m. Ta có: min x∈D f(x) ≤ f(x0) ≤ max x∈D f(x). hay: min x∈D f(x) ≤ m ≤ max x∈D f(x). ⇐= Giả sử min x∈D f(x) ≤ m ≤ max x∈D f(x). Do f(x) liên tục nên nó nhận mọi giá trị từ min x∈D f(x) tới max x∈D f(x) do đó nó nhận giá trị m, tức là ∃x0 ∈ D sao cho f(x0) = m. Điều này có nghĩa là phương trình f(x) = m, x ∈ D có nghiệm. Định lý 3.3 a) Bất phương trình f(x) ≥ m, x ∈ D có nghiệm khi và chỉ khi: max x∈D f(x) ≥ m. b) Bất phương trình f(x) ≥ m đúng ∀x ∈ D khi và chỉ khi min x∈D f(x) ≥ m. Chứng minh. a) =⇒/ Giả sử bất phương trình f(x) ≥ m, x ∈ D có nghiệm =⇒ ∃x0 ∈ D sao cho f(x0) ≥ m. Rõ ràng: max x∈D f(x) ≥ f(x0) ≥ m. ⇐=/ Giả sử max x∈D f(x) ≥ m. Phản chứng rằng bất phương trình đã cho vô nghiệm, tức là f(x) < m, ∀x ∈ D =⇒ max x∈D f(x) < m điều này mâu thuẫn với giả thiết.Từ đó suy ra điều phải chứng minh. b) Chứng minh tương tự như phần a). Định lý 3.4 a) Bất phương trình f(x) ≤ m, x ∈ D có nghiệm khi và chỉ khi: min x∈D f(x) ≤ m. b) Bất phương trình f(x) ≤ m đúng ∀x ∈ D khi và chỉ khi max x∈D f(x) ≤ m. Định lý 3.5 Cho phương trình f(x) = g(x) với x ∈ D. Giả sử trên miền D hàm f(x) luôn đồng biến, còn hàm g(x) luôn nghịch biến. Khi đó nếu phương trình trên có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Định lý 3.6 Xét bất phương trình f(x) ≤ g(x) trên miền D. Nếu max x∈D f(x) ≤ min x∈D g(x) thì bất phương trình trên thoả mãn ∀x ∈ D. Chú ý: max x∈D f(x) ≤ min x∈D g(x) chỉ là điều kiện đủ để f(x) ≤ g(x), x ∈ D chứ không phải là điều kiện cần và đủ. Giả sử D = [a; b], α, β ∈ R, α < β. max x∈[a;b] f(x) = β > α = min x∈[a;b] g(x) Nhưng f(x) < g(x), ∀x ∈ D. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 7 3.2 Ví dụ và bài tập . 3.1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y = f(x) = x2 + x + 1 x (x>0) b) y = f(x) = 1 + 4x− x2 c) y = f(x) = x4 − 2x2 + 5 (x ∈ [−2; 3]) d) y = f(x) = √ x− 2 +√4− x e) y = f(x) = 2x2 + 4x + 5 x2 + 1 f) y = sin5 x + √ 3 cosx . 3.2 Tìm x để hàm số sau đạt giá trị nhỏ nhất y = f(x) = lg2 x + 1 lg2 x + 2 . 3.3 Giả sử x, y là hai số dương thoả mãn điều kiện x + y = 5 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 4 x + 1 4y . 3.4 Cho x, y, z là các số dương thoả mãn 1 x + 1 y + 1 z = 4 Tìm GTLN của 1 2x + y + z + 1 x + 2y + z + 1 x + y + 2z . 3.5 Cho x, y, z > 0 thoả mãn xyz = 1 Tìm GTNN của√ 1 + x3 + y3 xy + √ 1 + y3 + z3 yz + √ 1 + z3 + x3 zx . 3.6 Tìm GTLN, GTNN của y = ln2 x x , x ∈ [1; e3]. . 3.7 Tìm m để phương trình sau có nghiệm m( √ 1 + x2 − √ 1− x2 + 2) = 2 √ 1− x4 + √ 1 + x2 − √ 1− x2 . 3.8 Cho phương trình: log23 x + √ log23 x + 1− 2m− 1 = 0 a) Giải phương trình khi m = 2 b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3 √ 3] . 3.9 Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN x x + 1 + y y + 1 + z z + 1 . 3.10 Với giá trị nào của m bất phương trình sau đúng ∀x ∈ [−5; 1] 4 √ 5−4x−x2 + 21+ √ 5−4x−x2 ≤ m CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 8 . 3.11 Cho phương trình 9x −m3x + 2m = 0 a) Giải phương trình với m = −1 b) Tìm m để phương trình trên có nghiệm. . 3.12 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = √ 1 + sin x + √ 1 + cosx . 3.13 Cho phương trình cos6 x + sin6 x cos2 x− sin2 x = m tan 2x a) Giải phương trình khi m = 13 8 b) Tìm m để phương trình vô nghiệm. . 3.14 Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm thuộc (0; 1) 4(log2 √ x)2 − log1 2 x + m = 0 . 3.15 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x6 + 4(1− x2)3 x ∈ [−1; 1] . 3.16 Tìm m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [0; pi 2 ] 2(sin4 x + cos4 x) + cos 4x + 2 sin 2x + m = 0 . 3.17 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Tìm GTNN (a + 1 a )(b + 1 b )(c + 1 c ) . 3.18 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 4x −m.2x −m + 3 ≤ 0 . 3.19 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: a) 3 sin2 x + 3 tan2 x + m(cot x + tan x)− 1 = 0 b) 5x2 − (x + 1)2 = m + 2 2x2 − x + 1 c) ( 1 + x√ x )2 + 2m( 1 + x√ x ) + 1 = 0 d) 4x2 1 + 2x2 + x4 + 2mx 1 + x2 + 1−m2 = 0 e) x6 + 3x5 + (6−m)x4 + (7− 2m)x3 + (6−m)x2 + 3x + 1 = 0 f) √ x2 + x + 1−√x2 − x + 1 = m g) √ 2x2 − 2(m + 4)x + 5m + 10 + 3− x = 0 h) √ 3 + x + √ 6− x−√(3 + x)(6− x) = m i) √ x− 1 +√5− x = m j) (x− 3)(x + 1) + 4(x− 3) √ x + 1 x− 3 = 3m−m 2 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 9 . 3.20 Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm x ∈ [−pi 2 ; pi 2 ] 2 + 2 sin 2x = m(1 + cosx)2 . 3.21 Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau đúng ∀x ∈ [0; pi 2 ]: sin 3x + m. sin 2x + 3. sin x ≥ 0 . 3.22 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:{ x5 − (x− 3)5 = m 0 ≤ x ≤ 3 . 3.23 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:{√ x + 1 + √ y + 2 = m x + y = 3m . 3.24 Tìm m để các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: a)   (4− 6m). sin3 x + 3(2m− 1) sin x +2(m− 2) sin2 x cosx− (4m− 3) cosx = 0 0 ≤ x ≤ pi 4 b)   2x2 = y + m2 y 2y2 = x + m2 x . 3.25 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x < 0: x4 + x3 + mx2 + 2x + 4 < 0 . 3.26 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: √ x + 1−√4− x ≥ m . 3.27 Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x : 3 cos4 x−5 cos 3x−36 sin2 x−15 cos x+ 36 + 24m− 12m2 ≥ 0 . 3.28 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi |x| ≥ 2: x4 − 5x2 + x + 4−m ≥ 0 . 3.29 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm trên [1; 2]: 42x−x 2 + 22x−x 2+1 + 2m− 3 ≥ 0 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 10 4 Tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị 4.1 Tóm tắt lí thuyết Định lý 4.1 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (a; b). i) Nếu f ′′(x) < 0; ∀x ∈ (a; b) thì đồ thị hàm số trên là lồi trên khoảng đó. ii) Nếu f ′′(x) > 0; ∀x ∈ (a; b) thì đồ thị hàm số trên là lõm trên khoảng đó. Định lý 4.2 Cho hàm số y = f(x) liên tục trên một lân cận nào đó của điểm x0 và có đạo hàm tới cấp hai trong lân cận đó. Nếu đạo hàm cấp hai đổi dấu khi x đi qua x0 thì điểm U(x0; f(x0)) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho. Chú ý 5 Cho hàm số y = f(x) liên tục trên một lân cận nào đó của điểm x0 và có đạo hàm tới cấp hai trong lân cận đó. Nếu x0 là hoành độ của điểm uốn thì f ′′(x0) = 0, ngược lại thì không đúng. 4.2 Ví dụ và bài tập . 4.1 Tìm khoảng lõm, lồi và điểm uốn của đồ thị các hàm số sau: a) y = 2x3 − 6x2 + 2x b) y = 1 2 x4 − 3x2 + 5 2 c) y = x2 − x + 4 x d) y = lnx . 4.2 Tìm a để đồ thị hàm số y = x4 − ax2 + 3 a) Có hai điểm uốn. b) Không có điểm uốn. . 4.3 Chứng minh rằng đường cong y = x + 1 x2 + 1 có ba điểm uốn cùng nằm trên một đường thẳng. . 4.4 Tìm m để y = −x 3 m + 3mx2 − 2 nhận I(1; 0) làm điểm uốn. . 4.5 Tìm a, b để y = ax3 + bx2 + x− 4 nhận J(2;−6) làm điểm uốn. . 4.6 Tìm a, b, c, d để y = x4 + ax3 + bx2 + cx + d có hai điểm uốn là U1(1; 1), U2(3;−7). . 4.7 Cho hàm số y = x(x − a)(x − b) với a < 0 < b. Tìm a, b để điểm uốn của đồ thị nằm trên đường cong y = x3 . 4.8 Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 + 8mx3 + 3(2m + 1)x2 − 1 có hai điểm uốn có hoành độ thoả mãn bất phương trình x2 − 2x√ 5− 4x− x2 < 0. . 4.9 Chứng minh rằng y = 2x + 1 x2 + x + 1 có ba điểm uốn thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng đi qua ba điểm uốn đó. . 4.10 Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + (m + 2)x + 2m a) Tìm m để đồ thị của hàm số có điểm uốn nằm trên Parabol y = x2. b) Chứng minh rằng tại điểm uốn thì tiếp tuyến với đồ thị có hệ số góc là nhỏ nhất. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 11 5 Tiệm cận 5.1 Tóm tắt lí thuyết Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C). 1. Tiệm cận đứng Định lý 5.1 Nếu lim x−→x0 f(x) = ∞ thì đường thẳng d : x = x0 là một tiệm cận đứng của đồ thị (C). Chú ý 6 Nếu lim x−→x− 0 f(x) = ∞ ( lim x−→x+ 0 f(x) = ∞ ) thì đường thẳng d : x = x0 là một tiệm cận đứng bên phải (bên trái) của đồ thị (C). 2. Tiệm cận ngang Định lý 5.2 Nếu lim x−→∞ f(x) = y0 thì đường thẳng d : y = y0 là một tiệm cận ngang của đồ thị (C). Chú ý 7 Nếu lim x−→+∞ f(x) = y0 ( lim x−→−∞ f(x) = y0 ) thì đường thẳng d : y = y0 là một tiệm cận ngang bên phải (bên trái) của đồ thị (C). 3. Tiệm cận xiên Định lý 5.3 Điều kiện cần và đủ để đường thẳng d : y = ax + b là một tiệm cận xiên của (C) là lim x−→+∞ [f(x)− (ax + b)] = 0 (1) hoặc lim x−→−∞ [f(x)− (ax + b)] = 0 (2) hoặc lim x−→∞ [f(x)− (ax + b)] = 0 (3) Nếu (1) xảy ra thì d được gọi là tiệm cận xiên bên phải của (C). Nếu (2) xảy ra thì d được gọi là tiệm cận xiên bên trái của (C). Nếu (3) xảy ra thì d được gọi là tiệm cận xiên hai bên của (C). Cách xác định tiệm cận xiên d : y = ax + b a = lim x−→∞ f(x) x ; b = lim x−→∞ [f(x)− ax] 5.1.1 Một số chú ý về giới hạn hàm số 5.2 Ví dụ và bài tập . 5.1 Tìm tiệm cận của các hàm số sau: a) y = 2x2 − 1 x2 − 3x + 2 b) y = 1 + e −x2 c) y = 2x2 + x + 1 x + 1 d) y = √ x2 − 1 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 12 . 5.2 Tìm m để hàm số y = x2 x−m có tiệm cận. . 5.3 Tìm m để hàm số y = mx2 + 6x− 2 x + 2 không có tiệm cận đứng. . 5.4 Tìm a để y = −x2 + x + a x + a có tiệm cận xiên đi qua A(2; 0). 6 Đồ thị của hàm số mang dấu giá trị tuyệt đối 6.1 Tóm tắt lí thuyết + Hai điểm M0(x0; y0) và M1(−x0;−y0) đối xứng nhau qua gốc toạ độ. + Hai điểm M0(x0; y0) và M2(x0;−y0) đối xứng nhau qua trục hoành. + Hai điểm M0(x0; y0) và M3(−x0; y0) đối xứng nhau qua trục trục tung. 6.2 Ví dụ và bài tập . 6.1 Vẽ đồ thị hàm số y = (x− 1)(x + 2) x + 1 (C0) Từ đó hãy vẽ các đồ thị các hàm số sau: y = −(x− 1)(x + 2) x + 1 (C1) y = ∣∣(x− 1)(x + 2) x + 1 ∣∣ (C2) y = (|x| − 1)(|x|+ 2) |x|+ 1 (C3) y = |(x− 1)|(x + 2) x + 1 (C4) y = (x− 1)|x + 2| x + 1 (C5) y = (x− 1)(x + 2) |x + 1| (C6) Từ (C0) chuyển sang (C1) bằng cách lấy đối xứng (C0) qua trục hoành. Từ (C0) chuyển sang (C2) bằng cách giữ nguyên phần nằm trên trục hoành, lấy đối xứng phần dưới trục hoành của (C0) qua trục hoành. Từ (C0) chuyển sang (C3) bằng cách giữ nguyên phần nằm bên phải trục tung, lấy đối xứng phần bên phải trục tung của (C0) qua trục tung. Từ (C0) chuyển sang (C4) bằng cách giữ nguyên phần nằm bên phải đường thẳng x = 1, lấy đối xứng phần bên trái đường thẳng x = 1 của (C0) qua trục hoành. Từ (C0) chuyển sang (C5) bằng cách giữ nguyên phần nằm bên phải đường thẳng x = −2, lấy đối xứng phần bên trái đường thẳng x = −2 của (C0) qua trục hoành. Từ (C0) chuyển sang (C6) bằng cách giữ nguyên phần nằm bên phải đường thẳng x = −1, lấy đối xứng phần bên trái đường thẳng x = −1 của (C0) qua trục hoành. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 13 O y x C0 C1 O y x C0 C2 O y x C0 C3 O y x C0 C4 Chú ý 8 Với hàm số y = u(x).v(x) (C) hoặc y = u(x) v(x) muốn vẽ đồ thị các hàm số y = |u(x)|v(x) (C1) hoặc y = u(x)|v(x)| . Ta giữ nguyên đồ thị (C) trong miền làm cho u(x) > 0 hoặc v(x) > 0, (tương ứng). Lấy đố xứng phần còn lại qua trục hoành. 7 Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số 7.1 Tóm tắt lí thuyết Bài toán 1. Tìm giao điểm hai đường Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C1). Hãy tìm các giao điểm của (C) và (C1). Hoành độ giao điểm của (C) và (C1) là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (1) Nếu x0, x1, ... là nghiệm của (1) thì các điểm M0(x0; f(x0)), M1(x1; f(x1)), ... là các giao điểm của (C) và (C1). CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 14 O y x C0 C5 O y x C0 C6 Bài toán 2. Viết phương trình tiếp tuyến Cho hàm số y = f(x) . a) Gọi (C) là đồ thị của nó, hãy viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm M0(x0; f(x0)). b) Hãy viết phương trình các đường thẳng đi qua điểm M1(x1; y1) và tiếp xúc với (C). c) Hãy viết phương trình các đường thẳng có hệ số góc k và tiếp xúc với (C). Cách giải a) Tiếp tuyến của (C) tại M0(x0; f((x0)) là y = f ′(x0)(x− x0) + y0. b) Đường thẳng d đi qua M1(x1; y1) và có hệ số góc k có phương trình là y = k(x − x1) + y1. Để đường thẳng d tiếp xúc với (C), hệ phương trình sau phải có nghiệm:{ f(x) = k(x− x1) + y1 f ′(x) = k Hệ phương trình này cho phép ta xác định hoành độ x0 của tiếp điểm, và hệ số góc k = f ′(x0) của tiếp tuyến. Chú ý 9 - Số nghiệm của hệ trên không phải lúc nào cũng là số tiếp tuyến. - Có thể mở rộng vấn đề hai đồ thị tiếp xúc với nhau tại một điểm chung. Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x), gọi (C) và (C ′) theo thứ tự là đồ thị của chúng. Hai đồ thị được gọi là tiếp xúc với nhau tại một điểm chung, nếu tại điểm đó chúng có cùng một tiếp tuyến. Khi đó điểm chung được gọi là tiếp điểm. Như vậy, hai đồ thị (C) và (C ′) tiếp xúc với nhau nếu và chỉ nếu hệ phương trình sau đây có nghiệm: { f(x) = g(x) f ′(x) = g′(x) Bài toán 3. Biện luận phương trình bằng PP đồ thị Giả sử chúng ta đã có đồ thị hàm số y = f(x) (nhờ khảo sát, hoặc biến đổi từ đồ thị một hàm số nào đó). Bài toán đặt ra là biện luận số nghiệm phương trình P (x) = Q(x) có chứa tham số m thông thường ta làm như sau. - Biến đổi P (x) = Q(x) về f(x) = g(x,m) - Hạn chế đồ thị hàm số y = f(x) nếu cần - Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của hai đồ thị (C) : y = f(x) CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 15 ∆ : y = g(x,m) - Cho ∆ chuyển động theo sự biến thiên của tham số m, biện luận theo m số giao điểm của ∆ và (C) từ đó ta được số nghiệm của phương trình. Các dạng đồ thị của y = g(x,m) Dạng 1. g(x,m) = h(m) thì ∆ là đường thẳng vuông góc với Oy và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng h(m). Dạng 2. g(x,m) = kx + h(m), k = const thì ∆ là đường thẳng cùng phương với đường thẳng y = kx và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng h(m). Tìm các tiếp tuyến song song với đường thẳng y = kx.Để giải và biện luận loại hệ này ta cần so sánh h(m) với các tung độ giao điểm của các tiếp tuyến với Oy. Dạng 3. g(x,m) = h(m)(x− x0) + y0, x0, y0 = const thì ∆ là đường thẳng luôn quay quanh điểm A(x0; y0) cố định. Tìm các tiếp tuyến đi qua điểm A(x0; y0). Để giải và biện luận loại hệ này ta cần so sánh h(m) với các hệ số góc của các tiếp tuyến. 7.2 Ví dụ và bài tập . 7.1 Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị các hàm số y = x2 − 6x + 3 x + 2 và y = x−m . 7.2 Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của phương trình x3 + 3x2 − 2 = m . 7.3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = (2− x2)2 (C) biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; 4). . 7.4 Khảo sát vị trí tương đối giữa đồ thị (C) của hàm số y = 4x3 − 3x + 1 và đường thẳng d : y = m(x− 1) + 2. . 7.5 Cho hàm số y = x + 2 x− 2 . Chứng minh rằng với mọi b đường thẳng y = x + b luôn cắt đồ thị (C) của hàm số tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt. . 7.6 Xác định m sao cho đồ thị của hàm số y = −x4 + 2mx2 − 2m + 1 cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng. . 7.7 Xác định m để đường thẳng d : y = −x + m cắt đồ thị (C) của hàm số y = x2 − 2x + 2 x− 1 tại hai điểm A,B đối xứng nhau qua đường thẳng y = x + 3. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 16 . 7.8 Tìm m để đường thẳng d : y = 3x + m tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số y = x2 − 3x + 3 1− x . 7.9 Cho hàm số y = x3 − 3x có đồ thị (C) và đường thẳng d đi qua điểm A(1;−2) và có hệ số góc k. Biện luận theo k vị trí tương đối giữa (C) và d. . 7.10 Xác định định a để đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm số y = x3 − 3ax2 + 4a3 tại ba biểm phân biệt A,B,C sao cho AB = BC. . 7.11 Xác định m để hàm số y = x3 − 3x2 − 9x+m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có các hoành độ lập thành cấp số cộng. . 7.12 Cho hàm số y = (3m + 1)x−m2 + m x + m với m 6= 0. Xác định m để tại giao điểm của đồ thị với trục hoành tiếp tuyến sẽ song song với đường thẳng y = x− 10 . 7.13 Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x2 − x + 1 x− 1 đều không đi qua điểm I(1; 1). . 7.14 Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y = x3 − 3x + 1 biết rằng tiếp tuyến này qua A( 2 3 ;−1). . 7.15 Tìm điểm A trên trục tung sao cho qua A có thể kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = x4 − x2 + 1. . 7.16 Cho hàm số y = x2 − 3x + 4 2x− 2 a) Tìm phương trình tiếp tuyến d với đồ thị hàm số tại điểm A(0;−2) b) Đường thẳng d cắt tiệm cận của đồ thị hàm số tại điểm B,C. Chứng minh rằng A là trung điểm của đoạn BC . 7.17 Cho hàm số y = mx2 + (2−m2)x− 2m− 1 x−m . Tìm m để hàm số có cực trị. Chứng minh rằng với m tìm được, trên đồ thị hàm số luôn tìm được hai điểm mà tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc nhau. . 7.18 Cho hàm số y = x2 + 3x + m x + 1 . Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số trên có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác thứ nhất của góc hợp bởi hai trục toạ độ. Chứng minh rằng khi đó đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu . 7.19 Cho hàm số y = 2x2 − x + 1 x− 1 . Chứng minh rằng trên đường thẳng y = 7 có bốn điểm sao cho từ mỗi điểm đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số và hai tiếp tuyến này hợp với nhau một góc 450 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 17 . 7.20 Cho hàm số y = −x + 3 2x− 1 a) Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến song song với đường phân giác thứ hai của mặt phẳng toạ độ. b) Biện luận theo k số nghiệm của phương trình 2x2 − 2kx− 2x + k + 3 = 0 . 7.21 Cho hàm số y = x3 − 3x. Dựa vào đồ thị của hàm số, hãybiện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 − x(m + 3) + m− 2 = 0 . 7.22 Cho hàm số y = x2 + mx + 2m− 1 mx + 1 a) Xác định m sao cho hàm số có cực trị và đường tiệm cận xiên đi qua gốc toạ độ. b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. c) Biện luân theo m số nghiệm của phương trình{ cos 2x + 2(1−m) cosx + 3− 2m = 0 −pi < x < pi . 7.23 Cho hàm số y = −3x2 + mx + 4 4x + m a) Với giá trị nào của m thì tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ bằng không vuông góc với tiệm cận xiên của đồ thị. b) Xác định các giá trị của a để phương trình sau có nghiệm sin6 x + cos6 x = a| sin 2x| . 7.24 Cho hàm số y = 2x2 − 3x + m x− 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2. b) Biện luận theo a số nghiệm của phương trình 2x2 − 3x + 2 x− 1 + log1 2 a = 0 8 Khoảng cách . 8.1 Cho hàm số y = x2 − x + 1 x− 1 . Xác định hai điểm A,B trên hai nhánh phân biệt của đồ thị sao cho AB ngắn nhất. . 8.2 Cho hàm số y = x + 1 x− 1 . Gọi d : 2x− y +m = 0. Chứng minh rằng d luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A,B trên hai nhánh của đồ thị. Xác định m để độ dài AB là ngắn nhất. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 18 . 8.3 Cho hàm số y = x2 x− 1 . Xác định k sao cho đường thẳng y = k cắt đồ thị hàm số tại hai điểm có khoảng cách bằng √ 5. . 8.4 Cho hàm số y = x2 + x− 5 x− 2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm trên hai nhánh phân biệt của (C) hai điểm A,B sao cho khoảng cách AB là ngắn nhất. c) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên (C) đến hai tiệm cận luôn bằng một hằng số. . 8.5 Cho (C) : y = x− 1 x + 1 . Tìm M ∈ (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất. . 8.6 Cho đồ thị hàm số (C) : y = x2 + 5x + 15 x + 3 a) Tìm M ∈ (C) để toạ độ của M là các ssó nguyên. b) Tìm M ∈ (C) để để khoảng cách từ M đến Ox gấp hai lần khoảng cách từ M đến Oy. . 8.7 Tìm M ∈ (C) : y = x 2 + 3x + 3 x + 2 để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. . 8.8 Cho (C) : y = x2 + 2x− 2 x− 1 . Tìm điểm M ∈ (C) để khoảng cách từ M đến giao điểm hai tiệm cận là nhỏ nhất. 9 Họ đường cong Định lý 9.1 Cho đa thức Pn(x) = anx n + ... + a1x + a0 Khi đó Pn(x) = 0 có tối đa n nghiệm. Nếu Pn(x) có nhiều hơn n nghiệm thì Pn(x) có tất cả các hệ số bằng không. . 9.1 Tìm điểm cố định của các họ (Cm): a) y = x3 − (m + 1)x2 − (2m2 − 3m + 2)x + 2m(2m− 1) b) y = 2x2 + (1−m)x + (1 + m) x−m với m 6= −1 . 9.2 Chứng minh rằng (Cm) : y = (m + 2)x3 − 3(m + 2)x2 − 4x + 2m − 1 có ba điểm cố định thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng đi qua ba điểm cố định đó. . 9.3 Cho đường cong (Cm) : y = −x2 + mx−m2 x−m . Tìm các điểm trong mặt phẳng sao cho có đúng hai đường cong của họ (Cm) đi qua. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 19 . 9.4 Cho họ đường cong (Cm) : y = mx2 − (m2 + m− 1)x + (m2 −m + 2) x−m Chứng minh rằng mỗi điểm ở bên phải đường thẳng x = 1 luôn có đúng hai đường cong (Cm) đi qua. . 9.5 Tìm trên mặt phẳng những điểm mà không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua: a) y = (3m + 1)x−m2 + m x + m b) y = 2x3 + 3mx2 −m3 − 5m2 − 4 10 Tâm đối xứng. Trục đối xứng của đồ thị hàm số. 10.1 Tóm tắt lí thuyết Công thức đổi hệ trục toạ độ Cho hệ trục toạ độ Đềcác Oxy và hệ trục toạ độ IXY . Giải sử điểm M(x; y) và I(x0; y0) trong hệ trục toạ độ Oxy. Khi đó trong hệ trục toạ độ IXY điểm M(X;Y ) và ta có { x = x0 + X y = y0 + Y Định nghĩa 10.1 Hàm số y = f(x) có tập xác định là D được gọi là hàm số chẵn trên D nếu ∀x ∈ D thì −x ∈ D và f(x) = f(−x). Hàm số y = f(x) có tập xác định là D được gọi là hàm số lẻ trên D nếu ∀x ∈ D thì −x ∈ D và f(x) = −f(−x). Định lý 10.1 Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng. Chú ý 10 - Muốn chứng minh đồ thị một hàm số có tâm đối xứng hay có trục đối xứng ta cần dùng phép đổi hệ trục toạ độ và chứng minh hàm số là hàm số lẻ hay chẵn. - Đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. Đồ thị các hàm số phân thức (bậc hai/bậc nhất hay bậc nhất/bậc nhất) nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng. Đồ thị hàm số trùng phương nhận trục tung làm trục đối xứng. 10.2 Ví dụ và bài tập . 10.1 Chứng minh rằng đường thẳng ∆ : x = 1 là trục đối xứng của đồ thị (C) của hàm số y = x4 − 4x3 + 7x2 − 6x + 4 . 10.2 Cho đồ thị (C) : y = 2x + 3 x− 1 .Chứng minh rằng (C) nhận I(1; 2) làm tâm đối xứng. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 20 11 Phần các đề luyện tập . 11.1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = 2x2 − 4x− 3 2(x− 1) . b) Tìm m để phương trình 2x2 − 4x− 3 + 2m|x− 1| = 0 có hai nghiệm phân biệt. . 11.2 Cho hàm số y = x2 + (2m + 1)x + m2 + m + 4 2(x + m) (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. b) Tìm m để hàm số (1) có cực trị và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). . 11.3 Cho hàm số y = (x− 1)(x2 + mx + m) (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 4. b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. . 11.4 Cho hàm số y = 2x− 1 x− 1 (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). b) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM . . 11.5 Cho hàm số y = x2 + 5x + m2 + 6 x + 3 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 b) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞). . 11.6 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = 2x3 − 3x2 − 1 b) Gọi dk là đường thẳng đi qua điểm M(0;−1) và có hệ số góc k. Tìm k để đường thẳng dk cắt (C) tại ba điểm phân biệt. . 11.7 Cho hàm số y = x4 −mx2 + m− 1 (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 8 b) Xác định m sao đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. . 11.8 Cho hàm số y = x2 − 2x + m x− 2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. b) Xác định m để hàm số nghịch biến trên đoạn [−1; 0]. c) Tìm a để phương trình sau có nghiệm: 91+ √ 1−t2 − (a + 2)31+ √ 1−t2 + 2a + 1 = 0 . 11.9 Cho hàm số y = 1 3 x3 + mx2 − 2x− 2m− 1 3 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d : y = 4x + 2 b) Tìm m ∈ (0; 5 6 ) sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số và các đường thẳng x = 0, x = 2, y = 0 có diện tích bằng 4. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 21 . 11.10 Cho hàm số y = (x−m)3 − 3x a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0. c) Tìm k để hệ phương trình sau có nghiệm:  |x− 1|3 − 3x− k < 0 1 2 log2 x 2 + 1 3 log2(x− 1)3 ≤ 1. . 11.11 Cho hàm số y = x2 + mx 1− x a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0 b) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. Với giá trị nào của m thì khoảng cách giữa hai điểm cực trị của hàm số bằng 10. . 11.12 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = 1 3 x3 − 2x2 + 3x b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục hoành. . 11.13 Cho hàm số y = x2 − x + 1 x− 1 (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Dựa vào đồ thị hàm số (1), hãy vẽ đồ thị hàm số sau y = x2 − |x|+ 1 |x| − 1 . 11.14 Cho hàm số y = x + 3 x + 2 (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Chứng minh rằng đường thẳng y = 1 3 x −m luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt A,B. Xác định m sao cho độ dài đoạn AB là nhỏ nhất. . 11.15 Cho hàm số y = −x3 + 3x− 2 (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến của (1), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(−2; 0) c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 − 3x + 2 + log2 m = m với m là tham số dương. . 11.16 Cho hàm số y = x + 1 + 1 x− 1 (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Tiếp tuyến tuỳ ý với đồ thị (1) của hàm số cắt hai tiệm cận tại A,B, gọi I là giao điểm hai tiệm cận. Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không đổi khi tiếp tuyến thay đổi. . 11.17 Cho hàm số y = x2 + x− 1 x− 1 (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Tìm m để đường thẳng y = mx− 2m + 2 cắt đồ thị (1) tại hai điểm thuộc hai nhánh của (1). CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 22 . 11.18 Cho hàm số y = x2 + 2x + 2 x + 1 (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x2 + 2x + 2 x + 1 −mx−m = 0 . 11.19 Cho hàm số y = x3 − (m + 1)x2 + (m− 1)x + 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 b) Chứng minh rằng khi m 6= 0, đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. . 11.20 Cho hàm số y = x2 − x + m 1− x a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu, đồng thời hai điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục tung. . 11.21 Cho hàm số y = x2 + (m + 2)x + 2(m + 1) x + 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0 b) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8 . 11.22 Cho hàm số y = 2 3 x3 −mx2 + 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 b) Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành. . 11.23 Cho hàm số y = 2x + 4 x + 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Chứng minh rằng đường thẳng y = 2x+m luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A,B. Tìm m để AB ngắn nhất. . 11.24 Cho hàm số y = x2 + 1 x a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x2 + 1 x = m2 + 1 m . 11.25 Cho hàm số y = x2 + (m + 2)x−m x + 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = −1 b) Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu c) Tìm m để đường thẳng y = −x − 4 cắt đồ thị hàm số tại hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng y = x CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 23 . 11.26 Cho hàm số y = x3 + mx2 − x−m a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt và hoành độ các giao điểm lập thành cấp số cộng. c) Tìm các điểm mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m. . 11.27 Cho hàm số y = x2 + 2x + 1 x a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Tìm m để phương trình |x + 2|+ 1 x = log2 m có đúng ba nghiệm phân biệt. . 11.28 Cho hàm số y = x2 − 2x + 2 x− 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận. Hãy viết phương trình đường thẳng qua I sao cho chúng có hệ số góc nguyên và cắt đồ thị hàm số tại bốn điểm phân biệt là bốn đỉnh của một hình chữ nhật . 11.29 Cho hàm số y = x2 + 2x− 5 x− 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Xác định m để đường thẳng y = mx cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A,B sao cho gốc toạ độ O là trung điểm AB . 11.30 Cho hàm số y = 2x2 + x + 1 x + 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm M bất kì trên đồ thị đến hai đường tiệm cận của nó luôn là một hằng số. . 11.31 Cho hàm số y = mx + 1 x (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 4 b) Tìm m để hàm số (1) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số (1) đến tiệm cận xiên bằng 1√ 2 . 11.32 Cho hàm số y = −x3 + 3mx2 + 3(1−m2)x + m3 −m2 (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 b) Tìm k để phương trình −x3 + 3x2 + k3 − 3k2 = 0 có ba nghiệm phân biệt c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số (1) . 11.33 Cho hàm số y = mx2 + x + m x− 1 (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = −1 b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có haònh độ dương. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 24 . 11.34 Cho hàm số y = −x2 + 3x− 3 2(x− 1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A,B sao cho AB = 1 . 11.35 Cho hàm số y = mx4 + (m2 − 9)x2 + 10 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 b) Tìm m để hàm số có ba cực trị. . 11.36 Cho hàm số y = x3 − 3x2 + m a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2 b) Tìm m để hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ đô . 11.37 Cho hàm số y = 1 3 x3 − 2x2 + 3x a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ tại điểm uốn. Chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. . 11.38 Cho hàm số y = x2 + (m + 1)x + m + 1 x + 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 b) Chứng minh rằng với m bất kì, đồ thị hàm số luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời khoảng cách giữa hai điểm đó bằng √ 20 . 11.39 Cho hàm số y = (2m− 1)x−m2 x− 1 (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = −1, gọi (C) là đồ thị của hàm số b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và hai trục toạ độ. c) Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x . 11.40 Cho hàm số y = x2 − 2x + 4 x− 2 (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Tìm m để đường thẳng y = mx + 2− 2m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt. . 11.41 Cho hàm số y = 1 3 x3 − m 2 x2 + 1 3 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2 b) Gọi M là điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ bằng −1. Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M song song với đường thẳng 5x− y = 0 . 11.42 Cho hàm số y = 1 4 x2 − x + 2; (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Chứng minh rằng từ điểm A( 7 2 ; 0) có thể vẽ được hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau. c) Gọi d là đường thẳng đi qua B(1;−1) và có hệ số góc k. Biện luận theo k vị trí tương đối của d và (C). CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 25 . 11.43 Cho hàm số y = 2x2 + 2mx + m− 1 có đồ thị là (Cm) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1; m = 2 b) Xác định m sao cho hàm số: 1) Đồng biến trong (−1;+∞) 2) Có cực trị trong (−1;+∞) c) Chứng minh rằng (Cm) luôn luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt M,N . Xác định m sao cho MN là nhỏ nhất. . 11.44 Cho hàm số y = −x3 + 3x2 + 9x + 2 (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số (1) có tâm đối xứng. c) Gọi a là hoành độ của tâm đối xứng, hãy giải bất phương trình f(x− a) ≥ 2 . 11.45 Cho hàm số y = x3 + 3x2 + 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Biện luận số nghiệm của phương trình x3 + 3x2 + m = 0 . 11.46 Cho hàm số y = 3x + 2 x + 2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Tìm các điểm trên đồ thị hàm số có toạ độ là những số nguyên. c) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số đi qua giao điểm hai tiệm cận. . 11.47 Cho hàm số y = x + 3 x + 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Gọi (C) là đồ thị của hàm số đã cho. Chứng minh rằng đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M,N . c) Xác định m sao cho độ dài đoạn MN là nhỏ nhất. d) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kì của (C) cắt hai đường tiệm cận của (C) tại P,Q. Chứng minh rằng S là trung điểm của PQ. . 11.48 Cho hàm số y = x− 1 x a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Gọi (C) là đồ thị của hàm số đã cho. Tìm các toạ độ của tâm đối xứng của đồ thị (C). c) Chứng minh rằng trên (C) tồn tại những cặp điểm mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau. d) Xác định m để đường thẳng y = m cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho OA⊥OB . 11.49 Cho hàm số y = x2 − 3x x− 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Gọi (C) là đồ thị của hàm số đã cho. Tìm các điểm trên (C) có các toạ độ là các số nguyên. c) Chứng minh rằng đường thẳng d : y = −x+m luôn luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M,N d) Giả sử đường thẳng d cắt hai tiệm cận của (C) tại P,Q. Chứng minh rằng hai đoạn MN và PQ có cùng trung điểm. . 11.50 Cho hàm số y = x2 + mx + 2m− 1 mx + 1 (Cm) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 26 b) Xác định m sao cho hàm số có cực trị và tiệm cận xiên của Cm đi qua gốc toạ độ. c) Biện luận theo tham số h, số nghiệm của phương trình{ cos 2t + 2(1− h) cos t + 3− 2h = 0 −pi < t < pi . 11.51 Cho hàm số y = x2 + mx− 2m− 4 x + 2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = −1 b) Xác định m để hàm số có cực trị. c) Gọi (C) là đồ thị hàm số trên. Giả sử tiếp tuyến tại M ∈ (C) cắt hai tiệm cận tại P,Q. Chứng minh rằng MP = MQ . 11.52 Cho hàm số y = x2 + mx−m + 8 x− 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = −1 b) Viết phương trình Parabol đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị (C) và tiếp xúc với đường thẳng 2x− y − 10 = 0 c) Trong trường hợp tổng quát, hãy xác định tất cả các giá trị của tham số m để điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho ở về hai phía của đường thẳng 9x− 7y − 1 = 0 . 11.53 Cho hàm số y = x3 + ax + 2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = −3 b) Tìm tất cả các giá trị của a để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một và chỉ một điểm. . 11.54 Cho hàm số y = 1 3 x3 −mx2 − x + m + 2 3 (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0 b) Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số (C) c) Với giá trị nào của m thì đồ thị (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ là x1, x2, x3 thoả mãn điều kiện x21 + x 2 2 + x 2 3 > 15 . 11.55 Cho hàm số y = x2 + mx−m + 8 x− 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = −1 b) Viết phương trình Parabol đi qua điểm cực đại, điểm cực tiểu của đồ thị (C) và tiếp xúc với đường thẳng 2x− y − 10 = 0 c) Trong trường hợp tổng quát, hãy xác định tất cả các giá trị của tham số m để điểm cực đại, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho ở về hai phía của đường thẳng 9x− 7y − 9 = 0. . 11.56 Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + (m2 + 2m− 3)x + 4 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1 b) Viết phương trình Parabol đi qua điểm cực đại, điểm cực tiểu của đồ thị (C) và tiếp xúc với đường thẳng y = −2x + 2 c) Trong trường hợp tổng quát, hãy xác định tất cả các giá trị của tham số m để điểm cực đại, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho ở về hai phía của trục tung. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 27 . 11.57 Cho hàm số y = x3 + ax + 2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = −3 b) Tìm tất cả các giá trị của a để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một và chỉ một điểm. . 11.58 Cho hàm số y = −x3 + 3x2 + 2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b) Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị. . 11.59 Cho hàm số y = x2 + x− 1 x− 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b) Tìm trên đồ thị những điểm cách đều hai trục toạ độ. c) Với những giá trị nào của m thì đường thẳng y = m − x cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt. Chứng minh rằng khi đó hai giao điểm đều thuộc cùng một nhánh của đồ thị. . 11.60 Cho hàm số y = x2 x− 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b) Tìm hai điểm A,B trên đồ thị và đối xứng nhau qua đường thẳng y = x− 1. . 11.61 Cho hàm số y = 2x2 + (a + 1)x− 3 x + a a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = 2 b) Xác định a để đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tiếp xúc với Parabol y = x2 + 5 c) Tìm quỹ tích giao điểm của hai tiệm cận khi a thay đổi. . 11.62 Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1)x2 + 2(m2 + 7m + 2)x− 2m(m + 2) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0 b) Tìm m để phương trình y(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt ≥ 1. . 11.63 Cho hàm số y = x2 x− 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số b) Viết phương trình Parabol đi qua điểm cực đại, điểm cực tiểu của đồ thị (C) và tiếp xúc với đường thẳng y = −1 2 c) Tìm hai điểm A,B thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số để khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất. . 11.64 Cho hàm số y = −x + 3 + 3 x− 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b) Chứng minh rằng đường thẳng y = 2x + m luôn luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm có hoành độ x1, x2. Tìm giá trị của m sao cho khoảng cách giữa hai điểm cực trị là nhỏ nhất. . 11.65 Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b) Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình x3 − 3x2 − a = 0 có ba nghiệm phân biệt, trong đó có đúng hai nghiệm lớn hơn 1.